автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эмиссионных систем на основе полевых катодов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Долгов Сергей Леонидович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭМИССИОННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ КАТОДОВ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ1В0581

Санкт-Петербург 2007

003160581

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Николай Васильевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович

кандидат технических наук, Вишневкин Андрей Борисович

Ведущая организация

Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им Д В Ефремова

Защита состоится 31 октября 2007 г в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212 232 50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета

Автореферат разослан « 2$>> С&^Лилё

2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ -мат наук, профессор

Г И Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Явление полевой электронной эмиссии может использоваться для создания широкого круга приборов и устройств В первую очередь это источники электронов, применяемые в электронных микроскопах, плоских дисплеях на основе полевой эмиссии, системах диагностики поверхности, высокочастотных радиопередающих системах, приборах микро- и нано-электроники Основные отличия полевых катодов от наиболее широко применяющейся сегодня термокатодов заключаются в следующем более узкий энергетический спектр полевых электронов, малые размеры эмитирующей области, безынерционность, компактность, экономичность (отсутствие расхода энергии на принудительный нагрев) Некоторые из вышеперечисленных характеристик не являются свойством полевой эмиссии как физического феномена, а обусловлены техническими приемами, применяемыми для создания условий, необходимых для ее возникновения А именно, необходимые значения напряженности поля в большинстве практических случаев возможно получить лишь придав эмиттеру форму острия Это накладывает естественные ограничения на размер излучающей области и разброс направлений вылетающих электронов, делая полевой эмиттер практически точечным источником с узкой диаграммой направленности - незаменимое свойство (наряду с высокой монохроматичностью) для, например, прецизионных спектрометров, применяемых для химической диагностики поверхности с высоким пространственным разрешением Отсюда же следует и один из основных недостатков малый полный ток с одного острия

Для создания сильноточных источников электронов возможно применение массивов из полевых эмиттеров, называемых много-

осгприйными эмиссионными системами

Несмотря на то, что объем публикаций по этой теме достаточно велик, основную массу в нем составляют работы посвященные экспериментальным исследованиям или расчетам с использованием исключительно численных методов (как правило, с использованием дорогостоящих коммерческих программных продуктов, представляющих собой для исследователя, по существу, черный ящик) Поэтому задачи разработки новой универсальной математической модели эмиссионных систем с полевым катодом, допускающей рассмотрение как одно-, так и многоострийных систем, а также создания эффективной реализации соответствующих алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента являются, несомненно, актуальными

Цель работы. Целью диссертационной работы являлась разработка математической модели полевого эмиттера, пригодной для описания как одноострийных, так и многоострийных полевых эмиссионных систем Практическая реализация поставленной цели потребовала решения следующих взаимообусловленных и взаимодополняющих задач

1 Разработки оригинальных математических моделей одноострийных и многоострийных эмиссионных систем с полевым электронным катодом

2 Расчета основных характеристик формирующего электронный пучок электрического поля и эмиссионных характеристик таких систем

В процессе реализации программы исследований было решено также несколько частных задач

1 Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с полевым катодом и плоским анодом

2 Разработана математическая модель электронно-оптической системы с полевым катодом и плоской диафрагмой

3 Разработана математическая модель многоострийной эмиссионной системы

4 На основе созданных математических моделей рассчитаны основные характеристики электрического поля и эмиссионные характеристики систем

5 Проведено компьютерное моделирование и реализован численный эксперимент для проверки адекватности предложенных моделей

Методы исследования. В работе основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1 Математические модели диодной одноострийной системы, од-ноострийной системы с диафрагмой, многоострийной системы

2 Комплекс программ для расчета полей и эмиссионных характеристик

3 Результаты расчета основных характеристик электрического поля и эмиссионных характеристик

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту получены впервые и являются новыми

Практическая значимость. Разработанные математические модели позволяют сформулировать рекомендации по практической реализации полевых эмиссионных катодов, в том числе в многоост-рийных системах Предложенные модели позволяют производить расчет основных параметров приборов и устройств, для которых острийные эмиссионные системы являются основным элементом (сканирующие электронные микроскопы, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи, инжекторы электронных ускорителей, системы диагностики поверхности и т д )

Опубликованные работы. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы

Список литературы включает 112 наименований Работа изложена на 79 страницах, содержит 14 рисунков и 3 таблицы

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной Математики — Процессов Управления Санкт-Петербургского государственного университета и представлялись на конференциях

• XXXVI научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ—ПУ «Процессы управления и устойчивость», г Санкт-Петербург, 2005г

• XXXVII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ—ПУ «Процессы управления и устойчивость», г Санкт-Петербург, 2006г

• XXXVIII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ—ПУ «Процессы управления и устойчивость», г Санкт-Петербург, 2007г

• международной конференции «Устойчивость и процессы управления», г Санкт-Петербург, 200ог

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показаны научная новизна и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту

В первой главе проведен обзор литературы по методам, применяемым при математическом моделировании эмиссионных систем с полевыми эмиссионными катодами

Во второй главе представлены математические модели систем с полевым острийным эмиттером

В параграфе 2 1 приведено описание методов, использующихся в дальнейшем Метод, который мы называем методом синтеза поверхности проводящего катода позволяет упростить решение краевых задач с граничными условиями, заданными на поверхности сложной формы, путем искусственного введения в систему некоторого заряженного слоя Рассмотрен также способ приближенного численного решения возникающего при этом интегрального уравнения относительно плотности распределения заряда с использованием метода линейной регуляризации

В параграфе 2 2 представлена модель одноострийной диодной системы с полевым эмиттером Рассматривается прямоугольный круговой цилиндр с проводящими основаниями, служащими под-

и

г = с

ложкой катода и анодом, и осесимметричным проводящим острием, закрепленным на подложке соосно с цилиндром (рис 1) По существу, это идеализированная модель, пренебрегающая всеми остальными электродами системы

В данной системе известны значения потенциалов на аноде и катоде, размеры острия и расстояние между анодом и катодом Требуется найти распределение потенциала в такой системе

В силу осесимметричности задачи, воспользуемся цилиндрической системой координат Распределение электростатического потенциала при отсутствии объемных зарядов удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями, заданными на основаниях и боковой поверхности цилиндра, а также на поверхности острия

и = о

Рис 1 Диодная эмиссионная система

АЛ (г, г) = О, и(г,0) = О, и (г, с) = С/о, II(а, г) = -С/о, и (г, 2) = О,

О < г < а, О < г < а, 0< г< с,

(1)

где Я — поверхность острия

Поскольку аналитическое решение задачи (1) в общем случае невозможно (из-за последнего граничного условия), рассматрива-

ется модифицированная задача

' АЩг,г) = -р(г,г),

и (г, 0) = 0, 0 < г < а,

II(г, с) = С/о, 0 < г < а,

и(а,г) = -и0, 0<г<с,

где р(г, г) — некоторая искусственно введенная в задачу плотность распределения заряда, в данном случае соответствующая «заряженной нити», расположенной на оси цилиндра

р(г,г) = —р(г),

7ГГ

где 8 (г) — дельта-функция Дирака

Аналитическое решение задачи (2) получено с применением метода разделения переменных в виде ряда

И (г, г) = *и,о + V

г '

п—0

7га7„«Т?(7и)зЬ ^с

X

X

Г с-г') ¿г'+

а а

+аЬАс-г)

а

р(г') эЬ —г'с1г'

(3)

Здесь р(г') — неизвестная линейная плотность заряда нити, в каждом конкретном случае она должна находиться численно как решение интегрального уравнения С/(г, г) = 0, (г, г) е в, где [/(г, г) определяется формулой (3)

На рис 2 приведены сечения эквипотенциальных поверхностей, полученных в результате численного расчета для случая острия в форме цилиндра с полусферической вершиной (форма углеродной нанотрубки)

00 05 10 15 20

Рис 2 Распределение потенциала в диодной системе с острием «полусфера на цилиндре» со следующими параметрами высота — 10_3 м, радиус — Ю-4 м Расстояние между катодом и анодом — Ю-2 м

В параграфе 2 3 представлена математическая модель электронно-оптической системы с полевым катодом и диафрагмой (рис 3)

Модифицированная задача, аналогичная (2), записывается в виде

' А1/(г,г) — —^гр(г), Щг,0) = О, и(г,г2) = 1, и(г,г1) = и0, и(г2,г) = ^си0,

Разбив цилиндр на подобласти согласно рис 3 и применив метод разделения переменных, будем искать потенциал в парах смежных областей в следующем виде

О < г < г2, О < г < г2, П < г < г2, 0<г<г1, 21 < г <

(21-22)

о р(г)

Рис 3 Схема электронно-оптической системы с диафрагмой

Области 1-11

^ М)^+ £ Л>7#ГТ М ¿»^ + (г, г)

Области 1-1II

СМг, *) = + ЕЪ-Й-Ёт^г) + Е£л(г, г)

й=1

Области П-1У

Из (г, г)

1 - г/0 .. , г/0«2 - у^ ^ эЬ - г)

~

■г +

22 - ¿1

(4)

(5)

МХкг), (6)

г=1

где Ап, Вк, С} — неизвестные коэффициенты, /о(г) — функция Вес-селя первого рода нулевого порядка, /о (г) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, 5п = \к -корни уравнения </(Лг2) = 0, а запись и? г2(г, г) означает решение

задачи (2) при а — г, с = г и однородных граничных условиях

(и0 = 0)

Условия непрерывности на границах выделенных областей записываются в виде

иг(гъг) =

и2(п,г), 0<г<ги

(7)

и2(г,г1) = и3(г,г1), 0 <г<ги (8)

и1{г,г1) = и2(г,г1), 0 < г < п. (9)

Подставляя выражения (4) - (6) в условия (7) - (9) и используя полноту соответствующих систем функций, получим бесконечную систему линейных уравнений, которая позволяет определить коэффициенты Ап, ВС0

Тот факт, что приосевая область описывается непрерывно одним разложением (4), позволяет избежать затруднений при траек-торных расчетах

Третья глава посвящена построению математической модели многоострийных эмиссионных систем Рассматривается бесконечный массив проводящих острий, расположенных в узлах прямоугольной решетки на плоской проводящей подложке Рис 4 Общий вид многоострийной Источником поля служит плос-системы кий аН0д; параллельный подлож-

ке (рис 4)

В силу симметрии задачи, достаточно рассмотреть лишь одну «элементарную ячейку» (рис 5) Распределение потенциала явля-

ло

и = о

ется при этом решением уравнения Лапласа с граничными условиями, определяемыми заданными потенциалами анода, подложки и острия, а также симметрией задачи

Аи(х,у,г) = 0, и(х,у,г) = 0, г = и(х,у,г) = и0, г = с,

~и(х,у,г) = 0, х = ±а,

Эх д

^¡и(х,у,г) = 0, у = ±Ь,

ду

и(х, у, г) = О, где Б — поверхность острия

(х, у, г) е 5,

(10)

Рис 5 «Элементарная ячейка»

Так же, как и в главе 2, допустимо ввести в задачу (10) неоднородную правую часть, соответствующую заряженной нити, расположенной вдоль оси острия, избавившись при этом от граничного условия на поверхности острия

Аи{х,у, г) = -5(х)б(у)р(г),

11(х,у,г) = 0, г = 0,

< и(х,у,г) = 11о, г = с,

&и(х,у,г) = 0, х = ±а,

^Щх,у,г) = 0, у = ±Ъ

Распределение потенциала получено в виде ряда

и(х,у,г) = Щ-+

+

4 аЬс

Гр(г')(с - г)г' йг' + Гр(г')(с -./О Jz

оо ^

+

к,1=0

X

/ р(г') эЬ Хк1(с - г) эЬ Лиг' ¿г'+

.¿о

+ / вЪ Хк1(с ~ г') вЪ Хы2 ёг'

, (И)

где Хк{х) = сх>ъ(кжх/а), = со${1-ку/Ъ), Хпт = 7г(п2/а2 +

т2/Ь2)1?2, р(г') — неизвестная линейная плотность заряда нити, которая в каждом конкретном случае должна находиться численно как решение интегрального уравнения I/(х, у, г) = 0, (ж, у, г) Е Я, где и(х,у,г) определяется формулой (11)

В четвертой главе приведены основные результаты, полученные с помощью методов, разработанных в двух предыдущих главах

В параграфе 4 1 рассматривается влияние геометрических параметров систем на коэффициент усиления напряженности электрического поля на вершине эмиттера ¡3, определяемый как отношение напряженности Р на вершине острия к макроскопической напряженности Рм

Р = Р/Рм

Напряженность находилась путем дифференцирования соответствующих аналитических выражений для потенциала

Для острий формы «полусфера на цилиндре» исследована зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от длины

Таблица 1 Зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от отношения длины острия I к его радиусу г

1/г 10 30 100 300 600

10 6 32 5 103 233 373

острия при постоянной толщине Результаты приведены в таблице 1

Для многоострийных систем исследована зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от плотности упаковки острий в массиве, те от отношения 2а/I, где I — длина, 2а — расстояние между соседями Результаты приведены в таблице 2

Таблица 2 Зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от отношения расстояния между отдельными остриями 2а к длине острия I

2 а/1 03 06 1 2 20 40 80

¡3 27 1 44 3 84 6 97 2 101 102

Параграф 4 2 посвящен расчету эмиссионных характеристик систем, рассматривавшихся в предшествующих главах

Основным выражением полевой электронной эмиссии является зависимость величины плотности тока с поверхности металлического эмиттера от электрического поля, вызывающего эмиссию, и работы выхода, которая дается известной формулой Фаулера-Нордгейма

где Р — напряженность, а и Ъ — некоторые комбинации физических констант, ф — работа выхода, V(у) и ¿(г/) — эллиптические функции Нордгейма Безразмерный аргумент эллиптических функций

у зависит от работы выхода и напряженности

у = (е3/4тг ео)1/2^/2М

где е — заряд электрона, бо — диэлектрическая проницаемость вакуума

С использованием математической модели диодной эмиссионной системы с полевым катодом были получены зависимости величины напряженности электростатического поля на сферической части поверхности острия (заданного, как полусфера на цилиндре) от расстояния до оси острия Величина напряженности максимальна на вершине острия и быстро убывает по мере удаления от оси (рис 6)

Рис 6 Напряженность на поверхности сферической части острия как функция расстояния от оси острия

В таблице 3 приведены значения полного тока с острия, полученные численным интегрированием выражения (12) по поверхности острия, с подстановкой значений напряженности, полученных в рамках модели диодной эмиссионной системы с полевым катодом

Таблица 3 Зависимость величины полного тока с острия от приложенного к аноду напряжения Параметры острия полусфера на цилиндре, высота — Ю-3 м, радиус — 5 х Ю-6 м, расстояние между подложкой и анодом — 10~2 м

Щ, кВ 30 50 100

1,А 1 0 х Ю-9 1 9 х Ю-4 32

Основные результаты работы:

1 Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с острийным катодом и плоским анодом

2 Разработана математическая модель электронно-оптической системы на основе полевого электронного катода с плоской диафрагмой

3 Разработана математическая модель многоострийной эмиссионной системы на основе полевого электронного катода

4 Создан комплекс программ, позволяющий провести численный расчет распределения электростатического потенциала предложенных моделей

5 На основе полученных математических моделей произведен расчет эмиссионных характеристик

Публикации по теме диссертации:

1 Е М Виноградова, С Л Долгов, Н В Егоров Расчет электростатического потенциала в многоострийных и одноострийных полевых эмиссионных системах // Вестник СПбГУ Прикладная математика, информатика, процессы управления Серия 10, выпуск 1 С -Петербург 2007 С 29-37

2 Долгов С Л Расчет потенциала системы точечных зарядов

во внешнем поле // Процессы управ пения и устойчивость Труды

XXXVI научной конференции С -Петербург 2005 С 137-140

3 Виноградова Е М , Долгов С Л , Егоров Н В Моделирование многоострийной эмиссионной системы // Устойчивость и процессы управления Труды международной конференции С -Петербург 2005 С 102-107

4 Долгов С Л Математическое моделирование многоострийной эмиссионной системы с помощью точечных зарядов // Процессы управления и устойчивость Труды XXXVII научной конференции С -Петербург 2006 С 134-138

5 Долгов С Л Математическое моделирование многоострийной эмиссионной системы с помощью точечных зарядов // Процессы управления и устойчивость Труды XXXVIII научной конференции С-Петербург 2007 С 156-158

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 26.09.07 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз, Заказ № 579/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Актуальность темы.

Цель работы

Методы исследования.И

Основные результаты, выносимые на защиту . . И

1 Общие методы моделирования и расчета электронно-оптических систем с полевым катодом

2 Математическое моделирование одноострийных электронно-оптических систем с полевым катодом

2.1 Задача о синтезе поверхности проводящего катода

2.2 Математическая модель одноострийной диодной эмиссионной системы с полевым эмиттером

2.3 Математическая модель фокусирующей одноострийной эмиссионной системы с полевым эмиттером

3 Математическое моделирование многоострийных электронно-оптических систем с полевым като

3.1 Математическая модель многоострийной эмиссионной системы.

4 Расчет коэффициента усиления поля и эмиссионных характеристик

4.1 Влияние геометрических параметров на коэффициент усиления электростатического поля / на вершине эмиттера.

4.2 Эмиссионные характеристики.

Актуальность темы

Явление полевой электронной эмиссии может использоваться для создания широкого круга приборов и устройств. В первую очередь это источники электронов, применяемые в электронных микроскопах, плоских дисплеях на основе полевой эмиссии, системах диагностики поверхности, высокочастотных радиопередающих системах, приборах микро- и наноэлектрони-ки. Основные отличия полевых катодов от наиболее широко применяющейся сегодня термокатодов заключаются в следующем: более узкий энергетический спектр полевых электронов, малые размеры эмитирующей области, безынерцион-ность, компактность, экономичность (отсутствие расхода энергии на принудительный нагрев). Некоторые из вышеперечисленных характеристик не являются свойством полевой эмиссии как физического феномена, а обусловлены техническими приемами, применяемыми для создания условий, необходимых для ее возникновения. А именно, необходимые значения напряженности поля в большинстве практических случаев возможно получить лишь придав эмиттеру форму острия. ными.

Цель работы

Целью диссертационной работы являлась разработка математической модели полевого эмиттера, пригодной для описания как одноострийных, так и многоострийных полевых эмиссионных систем. Практическая реализация поставленной цели потребовала решения следующих взаимообусловленных и взаимодополняющих задач:

1. Разработки оригинальных математических моделей одноострийных и многоострийных эмиссионных систем с полевым электронным катодом.

2. Расчета основных характеристик формирующего электронный пучок электрического поля и эмиссионных характеристик таких систем.

В процессе реализации программы исследований было решено также несколько частных задач:

1. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы с полевым катодом и плоским анодом.

2. Разработана математическая модель электронно-оптической системы с полевым катодом и системой фокусирующих электродов, представляющих собой соосные плоские диафрагмы.

3. Разработана математическая модель многоострийной системы.

4. На основе созданных математических моделей рассчитаны основные характеристики электростатического поля и эмиссионные характеристики систем.

5. Проведено компьютерное моделирование, и реализован численный эксперимент для проверки адекватности предложенных моделей.

Методы исследования

В работе основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Математические модели диодной одноострийной системы, одноострийной системы с диафрагмой, многоострийной системы.

2. Комплекс программ для расчета полей и эмиссионных характеристик.

3. Результаты расчета основных характеристик электрического поля и эмиссионных характеристик.

Основные результаты работы

• Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с острийным катодом и плоским анодом.

• Разработана математическая модель электронно-оптической системы на основе полевого электронного катода с плоской диафрагмой.

Разработана математическая модель многоострийной эмиссионной системы на основе полевого электронного катода.

Создан комплекс программ, позволяющий провести численный расчет распределения электростатического потенциала предложенных моделей.

На основе полученных математических моделей произведен расчет эмиссионных характеристик.

Заключение

Разработанные математические модели позволяют адекватно описывать распределение потенциала и напряженности электрического поля в использующихся на практике системах, таких, как катоды Спиндта, системы, в которых эмиттером является одиночная нанотрубка или их регулярный массив. Модели не накладывают существенных ограничений на форму эмиттера и позволяют расслатривать острия с формой, близкой к реально используемой.

Комплекс программ, разработанный для реализации расчетов в рамках предложенных математических моделей, достаточно универсален и может быть использован вне рамок настоящей работы.

1. Ch. Adessi, M. Devel. Field-enhancement properties of nanotubes in a field emission setup. Phys. Rev. B, 65(7):075418-, February 2002.

2. M. Andretta, M. Mariny, G. Zanariny. Numerical simulation of a rotatioinal symmetric space — charge effect in the near — cathode region. Institute of Electric, Electronic Engeneering. Transactions on electron devices, 33(8):1021-1028, 1986.

3. A.S. Berdinsky, A.V. Shaporin, J.-B. Yoo, J.-H. Park, P.S. Alegaonkar, J.-H. Han, G.-H. Son. Field enhancement factor for an array of mwnts in cnt paste. Applied Physics A: Materials Science & Processing, 83(3):377-383, June 2006.

4. V.T. Binh, S.T. Purcell. Field emission from nanotips. volume 111, pages 157-164, 1997.

5. E.G. Borgonjen, G.P. van Bakel, C.W. Hagen, P. Kruit. A novel vacuum electron source based on ballistic electron emission, volume 111, pages 165-179, 1997.

6. Z. Borkowicz, W. Czarczynski. Simple fabrication process of high-density field emission arrays, volume 111, pages 224227, 1997.

7. E.C. Boswell, S.E. Hug, M. Huang. Polycrystallic silicon field emitters. Journal of Vacuum Science, Technology, 14(3):1910—1913, 1996.

8. L. Chen, M.M. El-Gomati. Stabilized emission from micro-field emitter for electron microscopy. Microelectronics Reliability, 46:1209—1213, 2006.

9. J. Chmelik, L. Veneklasen, G. Marx. Comparing cathode lens configurations for low energy electron microscopy. Optic, 83(5):155-160, 1989.

10. W.W. Dolan, W.P. Dyke. Temperature, field emission of electrons from metals. Physical Review, 95(2):327—332,1954.

11. W.P. Dyke, J.K. Trolan, W.W. Dolan, G. Bernes. The field emission: fabrication, electron microscopy, electric field calculations. Journal of Applied Physics, 24(2):305-316, 1953.

12. С. J. Edgcombe, U. Valdre. The enhancement factor, the characterization of amorphous carbon field emitters. Solid-State Electronics, 45(6):857-863, June 2001.

13. C. J. Edgcombe, U. Valdre. Microscopy, computational modelling to elucidate the enhancement factor for field electron emitters. Journal of Microscopy, 203(2):188—194, 2001.

14. C. J. Edgcombe, U. Valdr&egrave;. Experimental, computational study of field emission characteristics from amorphous carbon single nanotips grown by carbon contamination i. experiments, computation. Philosophical Magazine Part В, 82(9):987-1007, 2002.

15. N.V. Egorov, E.M. Vinogradova. Mathematical model of electron gun on the field emission electron cathode basis. Vacuum,, 57:267—281, 2000.

16. N.V. Egorov, E.M. Vinogradova. Mathematical modeling of the electron beam formatting systems on the basis of field emission cathodes with various shapes. Vacuum, 72:103— 111, 2004.

17. Y. Feng, J. P. Verboncoeur. A model for effective field enhancement for fowler-nordheim field emission. Physics of Plasmas, 12(10):103301, 2005.

18. V. Filip, D. Nicolaescu, F. Okuyama. Analysis of microwave generation by field emitter electrons moving in crossed electric, magnetic fields, volume 111, pages 185-193, 1997.

19. V. Filip, D. Nicolaescu, M. Tanemura, F. Okuyama. Modeling the electron field emission from carbon nanotube films.Ultramicroscopy, 89(l-3):39-49, October 2001.

20. Richard G. Forbes. Simple good approximations for the special elliptic functions in standard fowler-nordheim tunneling theory for a schottky-nordheim barrier. Applied Physics Letters, 89(11):113122, 2006.

21. Richard G. Forbes, C. J. Edgcombe, U. Valdre. Some comments on models for field enhancement. Ultramicroscopy, 95:57-65, 2003.

22. R. H. Fowler, L. Nordheim. Electron emission in intense electric fields. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical, Physical Character (1905-1934), 119(781):173-181, May 1928.

23. Mark Gesley. A new method for measuring the virtual object diameter of high-field electron sources. Journal of Vacuum Science, Technology, 6(6): 1984-1988, 1988.

24. O. Groning, O.M. Kuttel, P. Groning, L. Schlapbach. Field emission from die films, volume 111, pages 135-139, 1997.

25. W.B. Herrmannsfeldt. Numerical design of electron guns, space charge limited transport system. Nuclear Instruments, Method, 187:245-253, 1981.

26. Y. Hirata, M. Fukushima, T. Sano, K. Ozaki, T. Ohji. Micro-arc discharge phenomen. Vacuum, 59:142-151, 2000.

27. Y. Hirata, K. Ozaki, U. Ikeda, M. Mizoshiri. Field emission current, vacuum breakdown by a pointed cathode. Thin Solid Films, 515(9):4247-4250, 2007.

28. J. Itoh. Development, applications of field emitter arrays in japan, volume 111, pages 204-212, 1997.

29. H.S. Jang, S.O. Kang, S.H. Nahm, Y.I. Kim, B.G. Min, D.H. Kim, H.R. Lee. Field emission characteristics of an individual carbon nanotube inside a field emission-scanning electron microscope. Vacuum, 81(4):422-426, 2006.

30. K. L. Jensen, E. G. Zaidman. Analytic expressions for emission in sharp field emitter diodes. Journal of Applied Physics, 77(7):3569-3571, 1995.

31. K.L. Jensen, P. Mukhopadhyay-Phillips, E.G. Zaidman, K. Nguyen, M.A. Kodis, L. Malsawma, С. Hor. Electron emission from a single spindt-type field emitter: Comparison of theory with experiment. ApplSurfSci, 111:204-212,1997.

32. K.L. Jensen, E.G. Zaidman. Analitic expressions for emission characteristics as a function of experimentalparameters in sharp field emitter devices. Journal of Vacuum Science, Technology, 13(2):511—515, 1995.

33. S. Kanemaru, T. Hirano, H. Tanoue, J. Itoh. Control of emission currents from silicon field emitter arrays using a built-in mosfet. volume 111, pages 218-223, 1997.

34. E. Kasper. Field electron emission systems. In Advances in optical, electron microscopy, pages 207-260. London: Academic Press, 1982.

35. L. Klemar, E. Kasper. On the numerical desing of electron guns. Optic, 72(1):29—30, 1985.

36. I. Kleps, D. Nicolaescu, C. Lungu. Porous silicon field emitters for display applications, volume 111, pages 228232, 1997.

37. V.G. Litovchenko, A.A. Evtukh, R.I. Marchenko. Enhancement of field emission from cathodes with superthin diamond-like carbon films, volume 111, pages 213-217, 1997.

38. L. Nilsson, 0. Groening, C. Emmenegger, 0. Kuettel, E. Schaller, L. Schlapbach, H. Kind, J-M. Bonard, K. Kern. Scanning field emission from patterned carbon nanotube films. Applied Physics Letters, 76(15):2071-2073, 2000.

39. H. Ogawa, N. Arai, K. Nagaoka. Energy spectra of field emission electrons from a w(310). Surface Science, 357:371375, 1996.

40. Т. Ohshima, Т. Mishima, М. Okamoto, К. Kuroga. Resonant tunneling electron beam source using gaas/alas/gaas field emitter, volume 111, pages 170— 173, 1997.

41. A.G.J. Oostrom. Validity of fowler-nordheim model for field electron emission. Philips Research Reports Supplement, (1):1-162, 1966.

42. Kazuyuki Ozaki, Toshimi Ohye, Nobuaki Tamura, Yoshiki Uchikawa. Computation of field distribution on the emitter tip using the surface charge metod. Journal of Electron Microscopy, 30(4):281—291, 1981.

43. Li-Hong Pan, Thomas E. Sullivan, Vallorie J. Peridier, Paul H. Cutler, Nicholas M. Miskovsky. Three-dimensional electrostatic potential, potential-energy barrier, near a tip-base junction. Applied Physics Letters, 65(17):2151—2153, 1994.

44. C. Park, H. Park, Y.K. Hong, J.S. Kim, J.K. Kim. Electron emission characteristics of diamond like carbon films depositee by laser ablation technique, volume 111, pages 140-144, 1997.

45. J.B. Poole. Electron guns, state of art. Nuclear Instruments, Methods in Physical Research, Al87:241-244, 1981.

46. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Numerical Recipes in C. CUP, 1992.

47. F. H. Read, N. J. Bowring. Field enhancement factors of random arrays of carbon nanotubes. Nuclear Instruments, Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors, Associated Equipment, 519(1-2):305—314, February 2004.

48. S. Roques, M. Denizart, F. Sonier. Tetrode field emission guns for electron microscopy. Optic, 61(1):51—66, 1983.

49. J.C. She, N.S. Xu, S.Z. Deng, Jun Chen. Vacuum breakdown of carbon-nanotube field emitters on a silicon tip. Applied Physics Letters, 83(13):2671-2673, 2003.

50. C. A. Spindt. A thin-film field-emission cathode. Journal of Applied Physics, 39(7):3504-3505, 1968.

51. A. Taflove. Emerging applications for fd-td computation. Institute of Electric, Electronic Engeneering on Computer Science, Engineering., 2(4):24-34, 1995.

52. Kenneth В. K. Teo, Eric Minoux, Ludovic Hudanski, Franck Peauger, Jean-Philippe Schnell, Laurent Gangloff,

53. Pierre Legagneux, Dominique Dieumegard, Gehan A. J. Amaratunga, William I. Milne. Microwave devices: Carbon nanotubes as cold cathodes. Nature, 437(7061):968-968, October 2005.

54. M. G. R. Thomson. Compression of field-emission angular distribution using a cathode shield, volume 13, pages 2455— 2458. AVS, 1995.

55. Z.L. Wang, Q. Luo, J.J. Li, Q. Wang, P. Xu, Z. Cui, C.Z. Gu. The high aspect ratio conical diamond tips arrays, their field emission properties. Diamond, Related Materials, 15:631— 634, 2005.

56. E.D. Williams, R.Q. Hwang, R.L. Park. Summary abstract: Electron gun, detector for high resolution low energy electron diffraction. Journal of Vacuum Science, Technology, 2(2):1004-1005, 1984.

57. Zhi Xu, X. D. Bai, E. G. Wang. Geometrical enhancement of field emission of individual nanotubes studied by in situ transmission electron microscopy. Applied Physics Letters, 88(13):133107, 2006.

58. Y. Xuebiao, X. Zhangchcheng, H. Guoguang, Z. Qingxue, Y. Ping. Emission characteristics of the molybdenum-coated silicon field emitter array. Journal of Physics, 29(3):506-510, 1996.

59. M.I. Yavor, E.V. Strigova. Field distribution, electrical properties of electrostatic conical slit lenses. Nuclear Instruments, Methods in Physical Research, 363(l):445-450, 1995.

60. Guang Yuan, Hang Song, Yixin Jin, Hidenori Mimura, Kuniyoshi Yokoo. Effect of distribution of field enhancement factor on field emission from cathode with a large number of emission sites. Thin Solid Films, 484(1-2) :379-381, July 2005.

61. E.G. Zaidman. Simulation of field emission microtriodes. Electron Devices, IEEE Transactions on, 40(5): 1009-1016, 1993.

62. Z. Znamirowski, W. Czarczynski, J. Sobanski. An adge-type field emission cathode with ion trap, volume 111, pages 233236, 1997.

63. J. D. Zuber, K. L. Jensen, Т. E. Sullivan. An analytical solution for microtip field emission current, effective emission area. Journal of Applied Physics, 91(11):9379-9384, 2002.

64. A.A. Алмазов, H.B. Егоров. К методике расчета характеристик автоэмиссионных систем. Радиотехника и электроника, 31(12):2452—2458, 1986.

65. А.А. Алмазов, Н.В. Егоров. Оптимизация многоострий-ных эмиссионных систем. Радиотехника и электроника, 40(4) :638-643,1995.

66. A.M. Бродский, Ю.Я. Гуревич. Теория электронной эмиссии из металлов. М.: Наука, 1973.

67. И. Броудай, Дж. Мерей. Физические основы микротехнологии. М.: Мир, 1985.

68. Дж.Р. Брюэр, Д.С. Гринич, Д.Р. Херриот. Электроннолучевая технология в изготовлении микроэлектрониых приборов. М.: Радио и связь, 1984.

69. JI.A. Баранова, С.Я. Явор. Электростатические электронные линзы. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986.

70. С.П. Бугаев, Е.А. Литвинов, Г.А. Месяц, Д.И. Проскуровский. Взрывная эмиссия электронов. УФН, 115(2):101—120, 1975.

71. В.А. Васин, В.А. Невровский. Исследование распределения электрического поля в диоде с острийным катодом. Журнал технической физики, 49(1):110—116, 1979.

72. В.Л. Васкевич, А.В. Тыщенко. Приближенное решение задачи Дирихле в областях типа микроканала, с. 111122. Новосибирск. Наука. Сиб.отд-ние, 1990.

73. М.И. Елинеон, Г.Ф. Васильев. Автоэлектронная эмиссия. М.: Физматгиз, 1958.

74. М.И. Елинеон, Т.А. Кудинцева, Ю.А. Кулюпин. Ненака-ливаемые катоды. М.: Советское радио, 1974.

75. В.И. Зубов. Динамика управляемых систем. Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1982.

76. В.И. Зубов. Колебания и волны. Учеб. пособие для вузов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.

77. В.Г. Иванов, В.Л. Данильчук. Полевая эмиссия из ge и si лезвийных катодов. Известия АН СССР. Серия физика, 52(8):1522—1525, 1988.

78. В.П. Ильин. Численные методы решения задач электро-нооптики. Новосибирск: Наука, 1974.

79. В.П. Ильин, ред. Методы расчета электронно-оптических систем. Труды IV Всесоюз. сем. Новосибирск, 1982.

80. В.П. Ильин, ред. Алгоритмы и методы расчета электронно-оптических систем: Сб. науч. трудов. Новосибирск, 1983.

81. И.М. Капчинский. Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика частиц. М.: Энергоиздат, 1982.

82. Г.В. Лебедев, Н.А. Тимченко. Комплекс программ автоматического проектирования электронно-оптических си

83. В.В. Плохов, В.А. Сыровой. О расчете многолучевого инжектора с релятивистским электронным пучком. Радиотехника и электроника, 35 (12):2582-2593, 1990.

84. В.В. Рассадин. Расчет электрического поля в периодических структурах линейных ускорителей ионов. Система линейных ускорителей и использование пучков заряженных частиц, с. 41-45. М.: Изд-во МИФИ, 1987.

85. А.Д Селидовкин. Модель острия автоэмиссионного катода. Радиотехника и электроника, 28(7): 1371-1377, 1983.

86. В.А. Сыровой. О геометрии пространственных электронных потоков в окрестности произвольного гладкого эмиттера. Известия вузов. Радиофизика, 31(8):984-994, 1988.

87. В.А. Сыровой. Расчет формирующих электродов в оптике осесимметричных электронных пучков. Радиотехника и электроника, 39(4):ббб-687, 1994.

88. В.А. Сыровой. Расчет формирующих электродов в оптике плоских электронных пучков. Радиотехника и электроника,, 39(3):481-502, 1994.

89. В.А. Сыровой. О синтезе непараксиальных релятивистских электронных пучков при эмиссии, ограниченной температурой, и при инжекции с ненулевой скоростью.

90. Радиотехника и электроника, 42(3):348-360, 1997.• >

91. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

92. Я.С. Уфлянд. Метод парных уравнений в задачах математической физике. JL: Наука, 1977.

93. Л.Э. Цырлин. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. М.: Сов.радио, 1977.

94. С.И. Шкуратов, С.Н. Иванов, С.И. Шилиманов. Автоэмиссионная лаборатория полевой электронный спектрометр, совмещенный с полевым ионным/электронным микроскопом. Приборы и техн. эксперимента, (4):126— 134, 1996.

95. Г.Ч. Шушкевич. Электростатическая задача для тора и диска. Журнал технической физики, 67(4): 123-126, 1997.

96. В.М. Юркевич. Численный расчет электрического поля методом сферических сегментов. Электричество, (7):40—46, 1995.

97. В.М. Юркевич. Расчет источников и напряженности электрического поля в методе сферических сегментов. Электротехника, (10):49-54, 1996.

98. Е.М. Якушев, А.А. Сапаргалиев, А.К. Еленгеев. Общая теория пространственной и времяпролетной фокусировки заряженных частиц в стационарных электромагнитных полях. Журнал технической физики, 55(7): 12911299, 1985.