автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование диодных и триодных систем на основе полевых лезвийных катодов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Фоменко Марина Георгиевна

005016888

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИОДНЫХ И ТРИОДНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ ЛЕЗВИЙНЫХ КАТОДОВ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о иіАЛ 20:2

Санкт-Петербург - 2012

005016888

Работа выполнена на кафедре моделирования электромеханических и компьютерных систем Факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Николай Васильевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович (заведующий кафедрой ТСУЭФА, СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ)

кандидат физико-математических наук, Кримская Ксения Александровна (ведущий специалист, ООО «Аспект СФТ»)

Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ, Москва)

Защита состоится « 30 » мая 2012 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

„Л

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор /" Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В течение последних лет проблемы низкополсвой электронной эмиссии из иано-структурированных материалов привлекают псе возрастающее внимание исследователей во веем мире. Особое место в этих исследованиях занимают углеродные материалы. Открытие напотрубок относится к наиболее значительным достижениям современной пауки. Низкополевая электронная эмиссия происходит из наноразмерпого, проводящего электрический ток образования, окруженного изолирующей фазой или вакуумом. Высокая эмиссионная способность такого напообъекта определяется ие только геометрическим фактором усиления электрического поля, но и пониженным потенциальным барьером для туппелироваиия электронов в вакуум из этой области. Полевая эмиссия является наиболее экономичным видом эмиссии свободных электронов, а это даст возможность создания новых поколений эффективных электронных приборов с новыми свойствами. Среди актуальных задач современной напоэлектро-иики важное место отводится созданию стабильных полевых эмиссионных (автоэмиссионных) катодов, способных длительное время работать в условиях высокого технического вакуума (10~7 - 10~Г) мм рт. ст.). Преимущества, полевых эмиссионных катодов (ПЭК) по сравнению с другими видами источников свободных электронов хорошо известны. К их числу относятся: отсутствие накала, высокая плотность тока., устойчивость к колебаниям температуры, малая чувствительность к внешней радиации, безыисрционпость, экспоненциально высокая крутизна вольт-амперных характеристик. Совокупность этих свойств обусловливает перспективность использования ПЭК в различных электронных приборах, таких, как электронно-лучевые приборы, в частности, в полевом электронном микроскопе, сканирующем туннельном микроскопе. Основная трудность в создании стабильных ПЭК состоит в том, что полспая эмиссия чрезвычайно чувствительна к изменению геометрии катода и состоянию его поверхности. В зависимости от конкретной конструкции и режима эксплуатации ПЭК различные процессы, происходящие на его поверхности, такие, как ионная бомбардировка., иопдемоториые нагрузки, поверхностная миграция, приводят к ряду эффектов, изменяющих режим их работы. Применительно к математическим моделям это, прежде псе го, относится к решению задач в трехмерной постановке. Детальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, позволяя предварительно проанализировать возможности новых приборов. Поэтому задача разработки математических моделей эмиссионных систем на основе полевых катодов является, несомненно, актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей полевых эмиттеров, позволяющих описывать диодные и триодиые эмиссионные системы. Практическая реализация поставленной цели потребовала решения нескольких взаимообусловленных и взаимодополняющих задач:

1. Разработка физических моделей осссимметричных диодных и триодпой электронно-оптических систем на основе полевого лезвийного электронного катода.

2. Создание математических моделей данных систем.

3. Расчет эмиссионных характеристик систем формирования электронного пучка с учетом их особенностей.

В процессе исследования были решены следующие задачи:

1. Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с плоским

анодом и полевым катодом с острой кромкой.

2. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы на основе электронного катода с торообразпым краем.

3. Разработана математическая модель диодной системы с анодом в виде диафрагмы с отверстием.

4. Разработана математическая модель триодиой эмиссионной системы с модулятором, представляющий собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

5. Создан комплекс программ, реализующий математические модели электронных пушек с полевыми катодами.

Методы исследования.

Основными методами исследования являются методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, математического и компьютерного моделирования, численные методы прикладного программирования.

Научная новизна.

Результаты, выносимые па защиту получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов эмиссионной папо- и микроэлектроники. Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии и имеют прикладное значение. Предложенные модели позволяют производить расчет основных параметров приборов и устройств, для которых острийные эмиссионные системы являются основным элементом (инжекторы электронных ускорителей, сканирующие электронные микроскопы, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели диодных систем на основе полевых катодов с острой кромкой, торообразпым краем, анодом в виде диафрагмы с отверстием.

2. Математическая модель триодиой эмиссионной системы с модулятором, представляющим собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

3. Комплекс программ, реализующий математические модели разработанных диодных и триодных систем с полевыми лезвийными катодами.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались па 39-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость"(СПб, СПб-ГУ, факультет ПМ-ПУ, 2008, 2009 гг.); международных семииарах "Beam Dynamics Optimization"(СПб, 2008г.); Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010). Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались па заседаниях кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации.

По материалам публикации опубликованы 5 работ, 2 из которых в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ [3, 4]. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 104 страниц, среди которых 10 таблиц и 9 рисунков. Список литературы включает 125 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показаны научная новизна. и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на. защиту.

Первая глава посвящена анализу литературных данных по основным методам, применяемым для расчета, характеристик острийпых электронно-оптических систем па. базе полевых катодов с использованием наиболее перспективных углеродных па-поматсриалов, поскольку углеродные волокна, имеют более длительное время жизни, они доступнее и технологичнее в сравнении с другими типами полевых катодов, не требуют сверх высокого вакуума.

Последующие главы являются оригинальными.

Во второй главе представлены математические модели диодных систем.

Задачи расчета осесимметричных эмиссионных систем решаются в тороидальной системе координат (а,/3). Распределение потенциала в исследуемых системах удовлетворяет уравнению Лапласа и соответствующим граничным условиям. Решение уравнения Лапласа, записывается в виде разложения по собственным функциям. Нахождение неизвестных коэффициентов в данных разложениях сводится к решению парных интегральных уравнений,

В §2.1 приведено описание метода парных интегральных уравнений, использующийся в дальнейшем, основой которого является метод разделения переменных.

В §2.2 представлена модель полевой эмиссионной системы (модель I), представляющая собой диод, состоящий из анода и катода с острой кромкой (лезвийный катод) (рис. 2.1). Поверхность катода с острой кромкой моделируется двумя бесконечно тонкими сферическими сегментами. Анод моделируется бесконечно тонким сферическим сегментом. Потенциал катода равен нулю. На поверхности анода задаются граничные условия первого рода. Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы.

Электростатический потенциал и (а, ¡5), в силу симметрии задачи, не зависит от координаты у? и, согласно модели I, является решением уравнения Лапласа с граничными условиями, заданными на поверхностях анода и катода:

г

О

Рис. 2.1. Схематическое изображение диодной системы (модель I).

(2.1)

■u(a,ft) = К,И> 0 < q < аі, (2 2)

■и (a, —/З2) = и (а, 2тт — ft) = 0, 0 < а < оо.

a sh а .

Здесь г = -, а - масштабный множитель.

ch а + cos (3

При решении граничной задачи (2.1) - (2.2) используется метод парных уравнений. Для этого удобно разбить всю область рассматриваемой электронно-оптической системы па две части: область I (-/32 < /3 < ft) и область II (ft < /3 < 2тт - /З3). В диссертации показано, что для каждой из областей решение задачи записывается в виде следующего интегрального разложения:

щ (а, ¡3) = v/ch а + cos /J J (¿і (r) sli (ft - (і) т+ + В! (r) sh (/3 + ft) т) Р_і+,т (ch a) dr,

U2 («,/3) = Veil a + cos/3 J (л2 (r) sh (/3 - ft) r+ + B2 (r) sh (2ir - ft - /3) r) P_ i+1T (ch a) dr,

(2.3)

где f_j.+jT (cha) - функция Лсжандра первого рода.

Удовлетворяя граничным условиям (2.2), получаем, что Aiir) = А2{т) = О, В1(т) = В2(т) = В(т).

С помощью замены В (т) (cth(ft + ft) r+cth (27Г - /З3 - ft) rj = tli7rrC (г), условия (2.2) и условия непрерывности вектора электростатического поля па линиях, разделяющих области, но не принадлежащих поверхностям сегментов, приводят к системе парных интегральных уравнений следующего вида:

f°(\-я М )с (т) Р- i+1T (día) dr =

Ko(Q) 0 < a < ai, (2.4)

f

Jo

•v/ch a + cosft '

1

TtilтгтС (т) P_i+ir (cha) dr = 0, ai < a < 00,

где

1 til 7ГТ

9 M = r -

2 cth(ft + ft) т + cth (2тг - ft -ft) г Переходя к решению (2.4), полагаем

С (г) = I (p(t)cosTtdt. Jo

Здесь ip (i) — новая неизвестная функция, которая предполагается непрерывно дифференцируемой в замкнутом промежутке [0,ai],

После преобразований система парных интегральных уравнений (2.4) приводит к интегральному уравнению Фрсдгольма втордго рода

¥>(*)-- [ ' К (х, t) tp (t) dt = F (x), 0 < 1 < ab (2.5)

т Jo

ядро которого имеет вид

лоо

С (У) = / (г) С0Е1 ТУ^Т, Jo

а правая часть выражается квадратурой

2У0 (а) 811 (а)

7Г (¿С

70 о; + сое А \/2 (сЬ .т — сЬ а)

Решение уравнения Фредгольма (2.5) определяет распределение потенциала в любой точке системы.

Расчет по данной модели вошел в комплекс программ. Потенциал катода, равен пулю, потенциал анода равен У0. На рисунках 2.2, 2.3 представлены результаты численных расчетов распределения потенциала и картины эквипотепциалей, на рие. 2.2 для области I системы, на рис. 2.3 — для области II вблизи острой кромки. Во всех случаях использованы безразмерные единицы измерения — потенциал на аноде Уо

1 а 7п а 71 я 3?г равен 1, /Зх = у, /32 = -; Дз = —■

В соответствии с формулами (2.3) для распределения потенциала диодной системы определены значения напряженности поля. Результаты вычислений представлены в Табл.1, Табл.2, Табл.3, Табл.4, где г, г — координаты в цилиндрической системе координат, £ (г, г) — напряженность поля. Та.бл.1 — для области I при различных значениях параметра (¡2, Табл.2 — для области I системы при различных значениях параметра. Табл.3 — для области II системы при различных значениях параметра {¡2, Та.бл.4 — для области II системы при различных значениях параметра /З3.

Рис. 2.2. Распределение потенциала для области I системы в цилиндрических

координатах.

Рис. 2.3. Распределение потенциала вблизи острой кромки для области II системы.

Таблица 1. Значения напряженности поля в области I системы при различных 77Г 37Г

значениях параметра А; А = -5-; А = а = 0-0001, г = 0.01

г

0 0.488745 • 108 0.528222 ■ 108 0.632659 • 108

0.223617 ■ 1(Г1а 0.485036 • 108 0.526133 ■ 108 0.631374 • 108

0.106294 ■ 10"" 0.437038 ■ 10' 0.478022 ■ 10' 0.586283 ■ 10'

0.272422 Ю-1* 0.433870 ■ 10' 0.475223 ■ 10' 0.584451 ■ 10'

Таблица 2. Значения напряженности поля в области 1 системы при различных значениях параметра А. А = —; А = тг, се = 0.0001, г = 0.01

г (а = у)

0 0.365697 ■ 108 0.528222 • 108 0.659875 • 108

0.223617 ■ 10"13 0.363581 • 108 0.526133 ■ 108 0.657076 ■ 108

0.106294 ■ 10"" 0.331028 ■ 10' 0.478022 ■ 10' 0.596512 ■ 10'

0.272422 • Ю"1* 0.329282 ■ 10' 0.475223 ■ 10' 0.592409 ■ 10'

Таблица 3. Значения напряженности поля во области II системы при различных 77г Зтг

значениях параметра А; А = —; А = а = 0.0001, г = 0.01

г (А = |)

0.106294 • 10"г' 0.188700- 108 0.188428 • 108 0.187790 • 108

-0.113939- 10"^ 0.852036 ■ 10' 0.838398 • 10' 0.803295 ■ 10'

0.444803 ■ 10"м 0.800721 • 10й 0.788237 ■ 108 0.755825 • 108

0.716201 ■ 10~1Ь 0.802595 ■ 108 0.790084 ■ 108 0.757570 • 108

Таблица 4. Значения напряженности поля во области II системы при различных значениях параметра Д = —; = о = 0.0001, г = 0.01

2

0.100294 • 10"" 0.185170 • 10й 0.188428 ■ 108 0.202846 • 10й

-0.113939 ■ 0.387227 ■ 10' 0.838398- 10' 0.130189 • 10й

0.444803 ■ 10 И 0.358829 • 108 0.788237 • 10й 0.123938 ■ 10ь

0.716201 ■ 10~1Ь 0.358972 • 10й 0.790084 • 10й 0.124404 • 109

Поскольку для модели I весьма сложно рассчитать радиус кривизны эквипотенциальных линий вблизи острой кромки эмиттера, будем моделировать нолевой катод с заданным радиусом кривизны.

В §2.3 представлена модель электронной пушки (модель II), состоящая из катода сферического сегмента конечной толщины с 'горообразным краем, и анода — бесконечно гонкий сферический сегмен т (рис. 2.4). Потенциал катода ранен нулю, потенциал анода равен Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы.

Рис. 2.4. Схематическое изображение диодной системы (модель II).

Для того чтобы найти распределение электростатического потенциала во всей области системы, необходимо найти функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри заданной области и принимающую заданные значения па границе области. Граничные условия определяются заданными потенциалами па аноде и катоде

Аа(о, (і) = 0,

и{а,р1) = И), 0<а<аь . .

и {а, -&) = <), 0 < о < о0; [ '

и (а, 2тг-Д) = 0, 0 < а < а0.

При решении граничной задачи (2.С) используется метод перекрытия областей, являющийся обобщением метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. Так как поверхности электродов системы совпадают с частями координатных поверхностей, то рассматриваемую область можно

+ /=1

разбить па 3 подобласти, ограниченные поверхностями, входящими в семейство координатных поверхностей, в которых уравнение Лапласа интегрируется разделением переменных.

С «1 (п, /5), -ft < Д < ft, о < ГУ < аа\

и (а, Д) = < «2 (о:, /3), ft < Д < 2л- - Д3, 0 < а < »„;

[ из (п:, /J), -ft < Д < 2л- - Дз, а-! < а < а0.

В диссертации найдено решение уравнения Лапласа для различных подобластей в виде рядов с неизвестными коэффициентами, которые находятся из условий непрерывности потенциала и его производных па границах подобластей, по совпадающих с поверхностями электродов.

щ (о, ft) = v/ch л + cos ft ^ D» sin Л" (ft - ft) P-L+к (cos o) +

ЛЫ Sh (/? + ft) 71 + Лц 8h (ft - /3) T, Л

frí sh(ft+ft)r, V'

71.2 (а, Д) = y/cli a + cos Д ^ ^ sin "" (^ ~ ft' (cos ^ +

" A'u sh (2тг - ft - Д) r, + Л',., si. (Д - ft) n \

^ sh (2тг - Д, - ft) r,

7/3 (a, 0) = v/ch a + cos Д ^ ¿ C„ sin 77„ (Д + ft) *

P_i+T)ii (ch ft) Q_i+,,„ (ch rvn) - P_.+,„, (ch o-ci) Q-i+,h (cb oQ | X P_i!,,„ (clm1)Q_i+4„ (c.ha„) - P_i+t)„ (chon)Q_i+7,„ (chrvi)

y. Du sh (2тг - ft - Д) /я + Д2.1 Sh (fl + ft) iii ^ + f-f sh (2тг - Дз - ft) Ik

x (p_i+,w (ch a) (ch 00) - P_i+>(1, (ch a0) Q.i+4„ (ch a)) j ,

где P_i+1T (ch a) - функция Лсжандра первого рода, Q-i+,h (cha) - функция Лс-

2 7Г П 7ТП _ ТП

жапдра. второго рода, А„ = «/„ = ^ _ д _ д, Ъ - + д _ д,

г/ - корпи уравнения P_i+IT1 ( c,h Оо) = О,

¡j.i корпи уравнения p'i+„„ (ch ai) i+„„ (cha0) - P i+„„ (ch a0)Q. i+i)„ (chen) = 0.

Из граничных условий (2.6) следует, что для коэффициентов выполняются равенства A2,i = О, А'2, = 0, Вп = 0, В'п = 0, Du = 0, D2.i = 0.

Коэффициенты Ди, А\ „ С„ определяются псиосредствснпо из условий на границах выделенных областей:

- а*-

Используя полноту систем собственных функций (функции Лежапдра и тригонометрические функции), приходим к системе алгебраических уравнений для Л^, С„.

Ai,і / Я і+,а, (dio) P i+lA„. (clia) shocia = Ja

r"i V0 sli aP_i+¡xm (cli a) da Jo V cli a + eos px

°° ra и

+ C„ sin//,.№+A) / sha7'_

U = 1

P. i+,,„ (clia)Q (cliQp) - P i+,,„ (chQo) Q ■ +,„. (cha) P-L+Vn (cliOi)Q-i+,„. (chao) - /Ц+,,„ (choo)Q.i+4„ (cha,)

2тг - fc + fo

і1іт,(2тг-А-А)

+ V4sin% (A + P*) (cthr< + A) +ctl>r' (2?r - ^ - A)) ) •

4 + 'OÍ \ >)

Решив систему, найдем требуемое распределение потенциала.

В реальных электронных вакуумных приборах кроме эмиттера, элемента, генерирующего пучок заряженных частиц, необходим второй электрод, обеспечивающий дальнейшую транспортировку и фокусировку пучка. Для этого анод может представлять собой диафрагму с отверстием.

В §2.4 исследуется диодная система (модель III), в которой поверхности анода и катода с острой кромкой являются частями сфер (рис. 2.5). Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы. Потенциал катода равен нулю, потенциал анода - Vq.

Распределение потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями, которые определяются заданными потенциалами па аноде и катоде, а также условиями непрерывности нормальной составляющей вектора смещения па линиях, разделяющих области, по не принадлежащих поверхностям сегментов:

Au(a,fl) = О, ■u (u, A) = Vo, u (a, —ft>) = u (a, 2ir — p-¿)

0,

ai < u < «2, ü < a < oo;

(2.7)

щ (a, A - 0) =«2(a,A +0),

дщ др

t>=/Ji -o

0u¿

w

0 < a < oc,

0 < a < ai, a¿ < ci < oo.

(3=/j,+0

(2.8)

а

Рис. 2.5. Схематическое изображение диодной системы (модель III). ,

Для решения граничной задачи (2.7) удобно разбить пело область элсктропио-оптичсской системы на две подобласти: -А, < /3 < Рг и А < Р < 2и - Р2. Требуется в ппх определить потенциалы (а, Р), удовлетворяющие уравнению Лапласа с граничными условиями (2.7). Согласно методу разделения переменных, общее решение уравнения Лапласа в каждой из подобластей можно записать в виде

"і

СО

(«, р) = у/ С.І1 а + cos Р I (л! (т) sh (Р + Р2)т + В\ (т) sh (Pi - /3) т) х

(ІТ

(2.9)

* Р 1 i,, ( ell а) —;-J-Z-т-г—,

Sil (Рі+Р2)т

ОО

щ (<У, а) = sj cli а + cos р J (А2 (г) sh (2тг - р2 + 0) т+

а

+ В2 (г) sh (ß - pi) т)р.і+іт ( eh о) вЬ

где P_i+1T ( ch a) - функции Лежапдра первого рода или функция тора.

Удовлетворяя граничным условиям (2.7), находим, что Аг (т) = Л2 (г) = А (т), ß1(r) = ß2(r) = 0.

Принимая во внимание условие непрерывности вектора электростатического поля (2.8), вводя замену С (г) = 2/1 (г) ct.li лт, и учитывая, что Pi + Р2 = т, получим систему тройных интегральных уравнений вида:

ОО

/

о

оо

С (т) гР_1+,т ( СІ1 а) (1т = 0, 0 < а < аи

С (т) rP_i+ir ( cli it) dr — 0, о2 < (У < ОО, (2.10)

г 2V

/ th (тгт) С (г) „ ( cli a) d,T = " . < а < а2.

J ' sj cli (а) + cos (Ä) n

Таким образом, для того чтобы найти распределение электростатического потенциала (2.9), необходимо решить систему тройных интегральных уравнений (2.10). Для этого, вводя в рассмотрение новую неизвестную функцию М (г), связанную с С (г) соотношением

оо

У С (т) тР_і+іт ( сії а) ііт = М (т) , 0 < а < а2,

у

получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода

(") + у ' 5! (у) К г (и, к) йи = С (я) , а,<5<а2, (2.11)

где

Г" sh (v) M (v) du Si (s) = / . V ' ~-, ^<«<(>2.

У„, V c'' («) _ cl' («) Ядро интегрального уравнения (2.11) имеет вид

sh (s) sli (ti)

â'2 (u, s) =

Л"'2-^/ cli (q2) - ch (s)v cli (a2) - ch (u)

1 1 ( . 1 ch (o2)+ ch ¿(s)

i —.... _ arcsm .

Ch (i) - ch («) ^ ch 2 _ x \ ~ ch (s) - ch (s) ( ch (a2) + 1)

1 ch (a2) + ch 2(a)

ch (к) - ch (í) y cll 2 ^ _ J V - cil (u) - ch (u) ( ch (o2) + 1)

а правая часть

1 d Г" Fx (a) sh (u)da

G (?) = -I-f /" - = —2l/0>

7Г J, yj ch (q) - ch (s)

„1, І„.Л - qII IЛ I H. \

— «il (я) i x

v/(ch (a2)- ch (s))(ch (a2) + cos (ft))

1

I 2 ch (o2) + cos (ft) - cil (s) + 24/(di (rt2) - ch (s))(ch (02) + cos (ft)) | 8b («)

I ch (л) + cos (ft)

Таким образом, решив уравнение Фредгольма (2.11), найдем неизвестные коэффициенты, входящие в разложение электростатического потенциала (2.9). В общем случае решение интегрального уравнения можно получить численными методами.

В третьей главе представлено математическое моделирование триодпой системы. В предыдущей главе были рассмотрены задачи моделирования электроппо-оптн-ческих систем, содержащих два электрода. В более сложных конструкциях система имеет дополнительные электроды. Одним из важнейших элементов реальных приборов, позволяющий управлять эмиссией, является модулятор (затвор). В данной главе предлагается физическая модель ЭОС, содержащая три электрода - катод, анод, модулятор.

В §3.1 рассматривается физическая модель триодной системы (модель IV). Поверхность катода представляет собой область .пупочного типа, состоящая из двух частей сфер. Поверхность анода моделируется частью сферы, поверхность модулятора - круговой диафрагмой (рис. 3.1). Потенциал катода ранен нулю. На поверхностях электродов заданы граничные условия первого рода. Требуется найти распределение электростатического потенциала по всей области системы.

____і и = ('„

а-а, /

0 Р.=ч _

А г

___/ І ¡7=0

Рис. 3.1. Схематическое изображение триодной системы (модель IV).

Поверхности электродов рассматриваемой электронно-оптической системы можно представить частями координатных поверхностей, а именно катод можно задать поверхностями я = /?2, Р — 2тт - /?.!, О < п < оо. Поверхность анода задастся поверхностью Д = /?ь 0 < ГУ < г>!; а модулятор: Д — ¡Зл = 7г, 0 < а < п2.

В §3.2 строится математическая модель, которая заключается в нахождении функции н(а,0), удовлетворяющей уравнению Лапласа, с граничными условиями, которые определяются заданными потенциалами па аноде, катоде и модуляторе:

Ли(гг, Д) = О, и (о-, ДО = К„, и (а, -1)2) = О, и (а, 2тг - Д,) = О, и (а, л-) = Ц,

О < о < О < а < оо; О < а < оо; О < а < »2-

(3.1)

Для решения этой граничной задачи вся область рассматриваемой эмиссионной системы разбивается па 9 подобластей:

и (<*, Д) = <

щ (а,Д) -Д,<Д< Дь

«2 («, Д), -Д2<Д<Дь

щ{су,р), -Д2<Д<Д,,

1Ц (о, Д) , Д! < Д< Д>,

и5(«,Д), А<Д<Ді,

щ(а,0), Ді < Д < Рл, ?і7 (о-, Д), Д, < р < 2я - Дз, «я /?), Ді<Д<2тг-Дз,

ип (а,/і), Д,<Д<2тг-Дз,

О < а < аь «і < а < а2; о2 < а < оо; О < а < а.\\ «і < о < а2; о2 < а < оо; О < о: < »і; г>х < п < а2 < а < оо.

В §3.3 представлен расчет электростатического потенциала триодной системы. Удовлетворяя граничным условиям (3.1) и находя собственные значения для каждой из подобластей, распределение потенциала представляется в виде разложения по функциям Лежандра.

В диссертации показано, что для первой подобласти распределение потенциала записывается в виде

, ,, ,-р-.Sin Гу„ - ;3) (cha)

Vi (а, Д) = v^cha + cos ¡3 V B'n---

+

.A Au sh ( J + 02) tí + A2J sh (íh - 3) r, ,

(3.2)

+

+h shíA+^r,-—(Ch

Для второй подобласти:

i /j\ гг.-;-n/fsinI/n (A - /3) n(¡/„. a)

v2 (q. (i) = Vcha + cos/í } B"-—————-

V^í «К, ai)

, ^ Dj,¡sh (ft — 3) + P2i sh +

+ h -n a»

где введено обозначение

íí (Ф; О) = Р-1+ф (ch a) Q_i+i (ch а,) - Р_,+ф (ch а2) Q_i¡+)¡, (ch а),

р -í+ir (cha) - функция Лежандра первого рода, <2_i+,„ (cha) - функция Лежандра

(3.3)

ж п

второго рода, ип = ■ щ - корни уравнения П (г/хг. «!) = 0.

Рх + Р2

Для остальных подобластей распределение потенциала выписывается аналогично (3.2)-(3.3) в виде разложений по функциям Лежандра.

Поскольку подобласти перекрываются, то условия непрерывности потенциала удовлетворяются автоматически. Часть коэффициентов разложений определяются непосредственно из граничных условий.

Непрерывность производной по нормали на границах раздела подобластей приводит к системе линейных алгебраических уравнений отноагтельно остальных наборов неизвестных коэффициентов, решение которой определяет распределение электростатического потенциала в любой точке исследуемой триодной системы.

В заключении сформулированы основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с полевым катодом с острой кромкой.

2. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы на основе электронного катода с торообразным краем.

3. Разработана математическая модель диодной системы с анодом в виде диафрагмы с отверстием.

4. Разработана математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющий собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

5. Создан комплекс программ, позволяющий провести численный расчет распределения электростатического потенциала для полевого лезвийного катода.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.) Математическое моделирование диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-ой международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. - СПб.: Издат. Дом С.- Петерб. гос. ун-та, 2008. С. 153-157.

2. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.) Электростатическое поле электронной пушки с полевым катодом в виде сферического сегмента конечной толщины // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С,-Петерб. гос. ун-та, 2009. С.236-240.

3. Мутул М.Г. (Фоменко М.Г.), Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Шэнь Чэ-Чоу. Расчет электростатического потенциала диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой.// Журнал технической физики. 2010. Т.80. Вып.5. С.1-4.

4. Фоменко М.Г., Егоров Н.В., Клемешев В.А. Расчет электростатического потенциала эмиссионной системы с полевым катодом. //Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер.10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып.2. С.39-46.

5. Фоменко М.Г., Виноградова Е.М. Моделирование триодной эмиссионной системы. // Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвягценной 80-ти летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». - СПб.: СПбГУ.

Подписано к печати 09.04.12. Формат 60 х 84 'А . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 5432.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петерб>рг, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

2010. С.114-115.

61 12-1/928

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Фоменко Марина Георгиевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИОДНЫХ И ТРИОДНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ ЛЕЗВИЙНЫХ КАТОДОВ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико—математических наук, профессор Н.В. Егоров

Санкт-Петербург - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................4

Глава .1.........................................

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЕТА СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ КАТОДОВ....................................................10

Глава 2.........................................

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИОДНЫХ СИСТЕМ . . 25

§2.1 Метод парных интегральных уравнений......................................25

§2.2 Математическая модель диодной системы: катод с острой кромкой,

анод - часть сферы..............................................................30

2.2.1 Постановка задачи..........................................31

2.2.2 Математическая модель................................................32

2.2.3 Решение граничной задачи задачи....................................33

2.2.4 Численный эксперимент................................................43

2.2.5 Расчет напряженности электростатического поля.........46

2.2.6 Заключение..............................................................50

§2.3 Математическая модель диодной системы: катод с кромкой в виде тора,

анод - часть сферы..............................................................51

2.3.1 Постановка задачи......................................................51

2.3.2 Математическая модель................................................51

2.3.3 Решение граничной задачи задачи....................................52

2.3.4 Заключение..............................................................58

§2.4 Математическая модель диодной системы: катод - часть сферы, анод

- диафрагма в виде усеченной сферы........................................59

2.4.1 Метод тройных интегральных уравнений в задачах математической физики............................................................59

2.4.2 Постановка задачи......................................................62

2.4.3 Математическая модель................................................63

2.4.4 Решение граничной задачи задачи....................................64

2.4.5 Заключение..............................................................68

Глава3.........................................

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРИОДНОЙ СИСТЕМЫ. 69

3.1.1 Постановка задачи......................................................69

3.1.2 Математическая модель................................................70

3.1.3 Решение граничной задачи............................................71

3.1.4 Заключение..............................................................91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................92

ЛИТЕРАТУРА........................................................................93

ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы.

В течение последних лет проблемы низкополевой электронной эмиссии из нанострук-турированных материалов привлекают все возрастающее внимание исследователей во всем мире. Особое место в этих исследованиях занимают углеродные материалы. Открытие нанотрубок относится к наиболее значительным достижениям современной науки. Низкополевая электронная эмиссия происходит из наноразмерно-го, проводящего электрический ток образования, окруженного изолирующей фазой или вакуумом. Высокая эмиссионная способность такого нанообъекта определяется не только геометрическим фактором усиления электрического поля, но и пониженным потенциальным барьером для туннелирования электронов в вакуум из этой области. Полевая эмиссия является наиболее экономичным видом эмиссии свободных электронов, а это дает возможность создания новых поколений эффективных электронных приборов с новыми потребительскими свойствами. Среди актуальных задач современной наноэлектроники важное место отводится созданию стабильных полевых эмиссионных (автоэмиссионных) катодов, способных длительное время работать в условиях высокого технического вакуума (Ю-7 - 10~6 мм рт. ст.). Преимущества полевых эмиссионных катодов (ПЭК) по сравнению с другими видами источников свободных электронов хорошо известны. К их числу относятся: отсутствие накала, высокая плотность тока, устойчивость к колебаниям температуры, малая чувствительность к внешней радиации, безынерционность, экспоненциально высокая крутизна вольт-амперных характеристик. Совокупность этих свойств обусловливает перспективность использования ПЭК в различных электронных приборах, таких, как электронно-лучевые приборы, в частности, в полевом электронном микроскопе, сканирующем туннельном микроскопе. Основная трудность в создании стабильных ПЭК состоит в том, что полевая эмиссия чрезвычайно чувствительна к изменению геометрии катода и состоянию его поверхности. В зависимости от конкретной конструкции и режима эксплуатации ПЭК различные процессы, происходящие на его поверхности, такие, как ионная бомбардировка, пондемоторные нагрузки, поверхностная миграция, приводят к ряду эффектов, изменяющих режим их рабо-

ты. Кроме того, необходимо отметить, что непрерывно возрастающие требования к качеству проектируемых изделий приводят к необходимости учета все более сложных элементов моделируемых объектов. Применительно к математическим моделям это, прежде всего, относится к решению задач в трехмерной постановке. Детальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, позволяя предварительно проанализировать возможности новых приборов. Поэтому задача разработки математических моделей эмиссионных систем на основе полевых катодов является, несомненно, актуальной.

Результаты первых исследований углеродных наноматериалов указывают на их необычные свойства. Так, нанотрубки с открытым концом проявляют капиллярный эффект и способны втягивать в себя расплавленные металлы и другие жидкие вещества. Реализация этого свойства открывает перспективу создания проводящих нитей диаметром порядка нанометра, которые могут стать основой электронных устройств наиометровых размеров. Согласно многочисленным теоретическим расчетам электрические свойства индивидуальной нанотрубки в значительной степени определяются ее хиральностью. Высокая механичческая прочность наноматериалов в сочетании с их электропроводностью дает возможность использовать их в качестве зонда в сканирующем микроскопе, предназначенном для исследования мельчайших поверхностных неоднородностей, что на несколько порядков повышает разрешающую способность приборов подобного рода. Значительные перспективы имеет применение наноматериалов в химической технологии. Одно из возможных направлений подобного рода, основанное на высокой удельной поверхности и химической инертности, связано с получением разнообразных полимерных нанокомпозитов, используемых в приборо- и машиностроении, электронике, электротехнике и других отраслях народного хозяйства.

К настоящему времени в литературе (в первую очередь в патентной) описано немало конструкций ПЭ катодов на основе углеродных волокон. Так, в патенте США №4728851 описан ПЭ катод в эмиттирующем устройстве с функцией памяти, состоящий из одного углеродного волокна диаметром порядка 2 мюм с эмиттирующей вершиной, заостренной коронным разрядом до диаметра 2 мюм. патент США №4272699

описывает ПЭ катод для импульсного электронного источника. Катод состоит из жгута углеродных волокон диаметром от 2 до 100 мюм каждое с эмиттирующими поверхностями, полученными простым обрезанием волокон, а не заострением с помощью какой-либо специальной процедуры. Одним из последних патентов в этой области и наиболее полным является патент США №5588893 , описывающий ПЭ катод и метод его изготовления. Весьма обнадеживающими результаты были получены к настоящему времени при использовании радиационных технологий создания или обработки ПЭ катодов из массивных углеродных пластин высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ).

Одномерные наноструктуры, такие, как металлические или полупроводниковые нанопроволочки, углеродные нанотрубки, а также углеродные нанотрубки, наполненные металлическими или полупроводниковыми нанопроволочками, привлекают к себе значительный интерес в связи с наличием у них уникальных электрических, магнитных, механических, оптических и других свойств, отличных от свойств массивных материалов. В настоящее время наблюдается рост числа исследований, направленных на получение, установление физико-химических характеристик и поиск путей наиболее эффективного практического применения углеродных нанотрубок (УНТ) и металлонаполненных углеродных нанотрубок (МУНТ). За последние годы внимание сфокусировалось на получении больших массивов ориентированных УНТ и МУНТ в связи с проявлениями у них хороших эмиссионных свойств. Высокие эмиссионные характеристики УНТ определяются в первую очередь существенным значением отношения длины к диаметру УНТ, характеризующим эти объекты. Благодаря этому электрическое поле в окрестности УНТ в сотни раз превышает среднее по объему значение, оцениваемое как отношение падения напряжения к величине межэлектродного промежутка. В результате эмиссионные свойства УНТ проявляются при более низких значениях приложенного напряжения по сравнению с традиционно используемыми эмиссионными катодами, изготовленными на основе макроскопических металлических острий. Это открывает возможность создания мониторов и катодолюминесцентных источников света на основе УНТ и МУНТ, которые будут характеризоваться более низкими значениями напряжения питания и уровня энергопотребления по сравнению с существующими приборами аналогичного назначения.

Цель диссертационной работы.

Целью работы являлась разработка математических моделей полевых эмиттеров, позволяющих описывать диодные и триодные эмиссионные системы. Практическая реализация поставленной цели потребовала решения нескольких взаимообусловленных и взаимодополняющих задач:

1. Разработка оригинальных физических моделей осесимметричных диодных и триодной электронно-оптических систем на основе лезвийного полевого электронного катода.

2. Создание математических моделей данных систем.

3. Расчет эмиссионных характеристик систем формирования электронного пучка с учетом их особенностей.

В процессе исследования были решены следующие задачи:

1. Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с плоским анодом и полевым катодом с острой кромкой.

2. Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы на основе электронного катода с торообразным краем.

3. Разработана математическая модель диодной системы с анодом в виде сферической диафрагмы с отверстием.

4. Разработана математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющий собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

5. Создан комплекс программ, реализующий математические модели электронных пушек полевых катодов.

Методы исследования.

В работе основными методами исследования являются методы математической физики, компьютерного моделирования и численного эксперимента.

Научная новизна.

Все полученные результаты, выносимые на защиту получены впервые и являются новыми. В настоящей работе представлены математические модели для расчета

электростатического потенциала в следующих системах: -катод с острой кромкой, анод - часть сферы; -катод с кромкой в виде тора, анод - часть сферы; -катод - часть сферы, анод - диафрагма в виде усеченной сферы; -триодная система с модулятором.

Практическая значимость.

Практическая значимость заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов эмиссионной нано- и микроэлектроники. Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии и имеют прикладное значение. Предложенные модели позволяют производить расчет основных параметров приборов и устройств, для которых острийные эмиссионные системы являются основным элементом (инжекторы электронных ускорителей, сканирующие электронные микроскопы, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на 39-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость "(СПб, СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, 2008, 2009 гг.); международных семинарах "Beam Dynamics Optimization"(СПб, 2008г.); Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010). Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на заседаниях кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации.

По материалам публикации опубликованы 5 работ, 2 из которых в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 104 страниц, среди которых 10 таблиц и 9 рисунков. Список литературы включает 125 наименования.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели диодных систем на основе полевых катодов с острой кромкой, торообразным краем, анодом в виде сферической диафрагмы с отверстием.

2. Математическая модель триодной эмиссионной системы с модулятором, представляющим собой плоскую диафрагму с круговым отверстием.

3. Комплекс программ, реализующий математические модели разработанных диодных и триодных систем с полевыми лезвийными катодами.

ГЛАВА 1 МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЕТА ЭОС НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ КАТОДОВ

Пучки заряженных частиц - электронов и ионов известны науке много лет. Исследования пучков заряженных частиц приобретают все большую практическую значимость в связи с широким применением быстрых заряженных частиц в науке и технике. Пучки заряженных частиц представляют собой эффективный инструмент исследования состава и структуры твердых тел. Среди широкого круга физических принципов, на основе которых должны разрабатываться новые инструменты, особое внимание уделяется сфокусированным пучкам заряженных частиц низких и средних энергий. В первую очередь это связано с тем, что размер сфокусированного пучка составляет от нескольких единиц до десятков нанометров. Поэтому за счет взаимодействия частиц пучка с веществом можно локально модифицировать его физические и химические свойства в наноразмерных масштабах. Сфокусированные пучки электронов, которые нашли широкое применение в растровой электронной микроскопии, в настоящее время так же широко применяются в пучковой электронной литографии [105, 114, 136, 137, 139].

Для решения задачи фокусировки и транспортировки эмитированных потоков электронов с высокими зарядовой и пространственной плотностями от поверхности эмиттера до поверхности образца-мишени были разработаны оригинальные методы, суть которых заключается в том, чтобы, по возможности, исключить начальное диафрагмирование исходного эмиссионного потока и сфокусировать полный поток экстрагированных электронов на поверхности мишени без потери исходных зарядовой и пространственной плотностей. Как показано в [135], одно из возможных решений задачи фокусировки исходного потока электронов заключается в том, чтобы исходный поток эмитированных электронов (после акта эмиссии) транспортировать в однородном магнитном поле, индукция которого задается таким образом, чтобы за время пролета электрона последний совершал половину ларморовского оборота. При таком принципе фокусировки электроны в процессе транспортировки практически не оказывают влияния на величину потенциала поля задающих электродов, т. к. в процессе транспортировки поле потока электронов оказывается весьма слабым (кроме области взаимодействия пучка с мишенью). Решение задачи об учете влияния

поля пространственного заряда было ранее получено аналитически [70], и поэтому эффект влияния поля пространственного заряда на траектории электронов может быть достаточно корректно учтен при моделировании всей электронно-оптической системы (ЭОС) как целостной системы формирования пучка. Как показали проведенные исследования, применение указанного принципа фокусировки позволяет достигать весьма малого коэффициента увеличения ЭОС (не более 2-3 раз).

В последнее время проявляется повышенный интерес к новому направлению электронной техники, называемое "вакуумной микроэлектроникой электронной и ионной оптики, основу которой составляют процессы формирования, транспортировки и управления пучками заряженных частиц электрическими и магнитными полями, синтеза и оптимизации электронно- и ионно- оптических систем [44, 45, 62], где размер вакуумных электронных приборов достигает микрометрового масштаба. Для их форми�