автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Математическое моделирование электромагнитных процессов ассинхронных машин с учетом насыщения и вытеснения тока при питании несимметрическими полигармоническими напряжениями

ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ "Л Ь В I В С Ь К Л П О Л I Т Е X Н I К А"

На правах рукопису

Б!ЛЯКОВСЬКИЙ 1гор ввгеновнч

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГН1ТНИХ ПРОЦЕС1В АСИНХРОННИХ МАШИН 3 УРАХУВАННЯМ НАСИЧЕННЯ И ВИТ1СНЕННЯ СТРУМУ ПРИ ЖИВЛЕНН1 НЕСИМЕТРИЧНИМИ П0Л1ГАРМ0Н1ЧНИМИ НАПРУГАМИ

Спешалыпсть 05.09.01 - електричш машинн

Автореферат дисертацп на эдобуття наукоюго ступеня кандидата техн1чних наук

Льв1в - 1996

Дисерташею е рукопнс Робота виконана в Державному ушверситсп "Льв1вська пол!техшка"

НАУКОВИЙ КЕР1ВНИК: доктор техшчних наук, професор Лев Йоснпович Глух1вськнй

ОФ1Ц1ЙН1 ОПОНЕНТИ:

1. Доктор техшчннх наук, професор ШумIлов Юр1й Андр1йович

2. Кандидат техшчннх наук, доцент Гаврнлюк Роман Богданович

ПРОВ1ДНА ОРГАН 13АЦ1Я: 1нститут електродинам1ки НАН Украши, и. Ки1'в

Захист дисертацп втбудеться "25"" ^995 роКу на

заадант спешал1зовано7 вчено1 ради К04.06.17 в Державному ун¡~ верснтет1 "Льв1вська тмптехшка" (головнин навчальний корпус, ау-дитор1Я о /у год (?Охв за адресою: 290646, м.Льв1в-13, вул.

С.Бандерн, 12.

3 дисерташею можна ознаномнтися у науково-техшчшй б1бл10-теш Державного утверситету "Льв^всъка пол ¡техника" (вул. Про-фесорська, 1).

Автореферат роэкланнн "22" 1996 р.

Вчений секретар

спешал1зовано1 вчено! ради Марущак Я.Ю.

- 3 -

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Мета днс.ертац1йноТ роботн полягае в розвитку нелшШиоТ тео-р11 перех1дннх та перюднчних електромагштннх процеав трнфазних асинхронных машин, у створенш математнчннх моделей як математич-ного забезпечення для розрахунюв цнх процеав на р!вн) адекватности прндатному для широкого кола ¡нженерних задач, 1 в досл1д-женш вплнву наснчення, виткнення струму та внших гармошк напруг жнвлення на електромагштш процесн.

Методи досл!дження. В основу теоретичннх розробок прнйнят1 анал1тнчн1 та чнслов! методи анал1зу. Досл1'дження впливу наснчення магжтопроводу, вит!снення струму та пол1гармон¡много характеру напруг жнвлення на процесн в асннхронннх машинах внконане на шд-став1 математичного експернменту. Р1вень адекватносп створених математнчннх моделей перев1рявся ф1знчним експернментом.

Наукою новизна.

Вперше на стльшй математичшй основ1 складено комплекс ал-горнтм1в розрахунку перех1дния 1 перюднчних процессе асинхронно'! машннн з урахувзнням наснчення основного магштного колз й шлях* в потоюв розояння, штснення струму в обмотш ротора й пол1гар-мотчного характеру напруг жнвлення у взасмозв'язку цнх чнннимв.

Практична ц1нн1сть. - .

Розроблен! математнчт модел! у внгляд1 комп'ютерннх програм можуть бути безпосередньо внкорнсташ при розв'язанн] широкого кола ¡нженерних задач, зв'язаних з розрахунками перехшних 4 пер10-дичних електромагштннх процеав аснихронних машин з урахуванням найважлнв1'ших чиннимв, шо впливають на техшко-економНт показ-ники машин у цнх процесах.

Автор захнщас:

математичж модел! для розрахунку електромагштннх перех!дних процеав асинхронно] машннн при "¡1 жнвленш несиметричними пол!-гармошчннми напругамн та з урахуванням наснчення й вилснення струму в обмотш ротора на шдстав! опнсу машннн у фазних ] в за-гальмованнх координатах;

теоретнчш результатн, спрямоваш на обгрунтування можливосТ1 застосування й шдвншевня^^вня формал1зацл методу тригонометрнч-но'1 колокацп для розрахунку полГгармошчних пepioднчннx процеав у нелШйних об'ектах, шо характернзуються пофазною снметр*ею вну-тр1шшх зв'язк1в 1 вимушуючих сил,

математнчт модел1 для розрахунку електромапптних перюднчних

npoueciB асинхронно! машини при ii живленю несиметричними пол1-гармон¡чннми напругами та з урахуванням насичення й виткнення струму в обмотш ротора на nmcraBi методу тригонометрично! коло-каш i та диференшйного гармон¡много методу й опнсу машннн в за-гальмованих координатах;

результаты анал!зу впливу насичення магштопроводу асинхронно) машннн, внт*снення струму в стрижнях ротора та внших гармошк на-пруг живлення на "ii електромагштш nepexiflHi та перюдичш про-цеси.

Реал1зац1я в промисловост!. Результатн роботн у внгляд1 алго-PHTMia i комп'ютерннх програм розрахунк1в npoueciB в асинхронних двигунах впроваджеш на Московському виробничому об'еднант "ЗВГ.

Апробац1я. Ochobhi haykobi та практичш результата доповша-лись та обговорювались на:

V Всесоюзюй науково-техшчшй конференци СРСР "Дннам1чн1 ре-жнмн електрнчннх машин та електропривод1в" (Каунас, 1988);

VT Всесоюзна науково-техшчшй конференци СРСР "Д инамiчнi ре-жнми роботн електричннх машин" (Бшкек, 1991);

I М1Жнародн1й науково-техшчшй конференци "Математичне моде-лювання в електротехшш та електроенергетиui" (JlbBiß, 1995);

на шор1чних науково-техшчних конференциях JlbBiBCbKo'i пол!тех-HiKH (1985-1988, 1991-1994) i на наукових ceMiHapax кафедри "Елек-тричш машннн" JlbBiBCbKoi пол^ехншн.

Публ1кацП. Ochobhi результата днсертацн внкладеш в десяти друкованнх працях.

Структура та обсяг дисертац1У. Днсерташя викладена на 178 CTopiHKax i складаеться з п'яти роздШв з 26 рисунками, bhchobki'b та списку л1тератури: 118 назв. Основннй машинописний текст внкла-деннй на 149 сторшхах.

3MICT РОБОТИ

У Bcryni наведений огляд лтратурн з проблемн математичного моделювання електромагштних перехщних i перюднчних npoueciB асинхронннх машин, висв1'тлена актуальшсть теми, сформульована мета роботн й обгрунтоваш шляхи ii досягнення.

У першому розд!л! "Математичне моделювання електромагштних переходник процессе машини на nidcraei Ti опису у ф[зинних координатах" сформульоваш допушення, прнйнят1 за основу в розв'язанш поставленнх у днсертацп задач, складена система алгебричннх i дн-ференшйних р1внянь (САДР), яка описуе у фазних координатах елект-ромагштш процесн з урахуванням виткнення струму в обмотш рото-

ра й наснчення основного магжтного кола та шлязпв пол!в розаян-ня, виведеш формули для обчислення електромагштннх параметр1в машини у фазннх координатах I викладен1 алгорнтмн розрахунку електромагштннх перехщних процеав.

Об'ектом дослщження е трифазна асинхронна машина (АМ) за-гальнопромислового прнзначення з короткозамкненим ротором.

За основу математичного моделювання П електромагштннх пронес ¡в (ЕМП) прнйнят1 так1 основш допущения: втратн в стал1 не впливають на ЕМП; магштш пров1дност1 шлях1в основного мапптного кола й пол1в розаяння е взаемонезалежними; короткозамкнена обмотка ротора замжена за загальноприйнятою методикою екв1валентною трнфазною обмоткою; фази обмотки статора й екв1валентно'1 обмотки ротора е сннусними, зубчасп поверхш статора й ротора замжеш гладкими; магштш потоки розаяння статора й ротора, що замика-ються через шлши паз1в, залежать нел1шйно В1Д струм^в паз1в зпдно з характеристикою намагшчування коронок зубшв статора й ротора вщповШно.

Для коректного врахування нер1вном1рного розпод1лу густини струму по висот1 стрижшв ротора у взаемозв'язку цього явиша з на-сиченням шлях!в розаяння обмотки ротора як у перюдичннх, так I в перех1дних процесах екв!валентна обмотка ротора представлена су-купшстю ¡ндуктнвно та гальван1чно зв'язаних м1ж собою трнфазних обмоток, отриманих у результат] п розд!лення в пазов1й частнш коакс1альннмн цилждричннмн поверхнямн.

Математичне формулювання задач1 розрахунку електромагштннх перех1дннх процеав АМ при Н олис1 у фазннх координатах складае-ться з днференшйних р1внянь електричного стану

* ГФ 'Ф ~ иФ= 0 (1)

1 сукупност1 алгебрнчних р1внянь (формул), шо описують П явну

електромагштну характеристику (ЕМХ)

*ф = 1ф*л <ф + *фш + *ф& > 0) = * См ^ • <3)

= «" ; <6> = *5^бв^ > <7)

2

де

1Ф ФА 1фЬ ' фС 'ф!а *ф1Ь 'ф!с

*ф = ФФВ *ФС 4ф,Ь *Ф,С

Ф, = \\ф , . Ф, Ф, Ф. Ф, Ф,

гфш Г фшл фшВ фшС фша фшЬ фшс

*Ф8 = П*ф5л *Ф8в ^Ф5с *Ф5* *ф5ь *Ф5с

V = []ифА ифв ифс 0 0 0

1фла 'фпЬ 'фпс

^фпа ^фпЬ ^фпс

^фша ^фшЬ ^фшс

*ф5а *ф8с

ООО

- вектори струм1в, повних потокозчеплень, потокозчеплень розпяння через шлши, робочнх потокозчеплень ) напруг жнвлення фаз;

г = (гфА, ГфВ, г^ ГфрГ гфрГ Гфр,,...,

- матриця електричних опор1в фаз;

- вектори проекшй зображуючих (просторових) вектор! в поток ¡в роз-С1яння через шлши й робочнх поток1в статора й ротора на ос1 пря-мокутннх систем координат ОХУ та Оху, нерухомнх в1дносно статора й ротора в1дпов!дно,

= II ^щсХ РшсУ ^шрх ^щруИ. ' Ш = II?6У ^5х ^буИ-

- векторн проекшй зображуючих (просторових) вектор1в намаппчу-

вальннх сил, що створюють поля розаяння через шлши й робоче поле, В1ДП0В1ДН0.

5 _ V» - Ц . ы _ \\°2 *2 - Ч\ . ы _ \\°2 °2 - Ч

* \\°2 }2 - Ч\ ' М' II°2 °2 - 4 ' * \\{2 °2 -

- прямокутн! матриц] розм1ру 4 х 2(1+п) I

С^ = <Иаё (С , С , ..., С) ; См = (12 , С , С)

- матриц! розм1р1в 3(1+п) х 2(1+п) 1 2(1*п) х 2(!+п) вшповШно, причому

II II II С05Э- -

С = т/7ТЗ со^р) 5Ш(/Р) ; С = | ^ с05у

II соъ(2р) 51 п(2р) II 02 , /2 - нульова квадратна й одннична матриц! розм!ру 2; р =2п/3 .

Зм1ст векториих функшй (4), (7) внзначаеться мапптною характеристикою шлях*в розаяння через шлши статора як сукупнктю формул

* * /—~2-~2—

шс шс

магштною характеристикою шлях1в розаяння через шлши ротора, $ =р * Р = /р2 Р2 , Ф =* \Р 1 (10)

шрх шрх р * Шру р шр V шрх шр Щг У '

шр шр

\ магштною характеристикою основного мапптного кола

- Чф ЧУ - ^ ; «5 = Ф5[Р5]; (11)

гх Гх

5 ' б

«

§8Ж - % = -МТ7^ ! - »^вЬ

5 5

складеннх на шдстав1 математичннх понять зображуючих вектор1в з внкористанням систем координат ОХУ та Оху.

На П1дстав1 ЕМХ (2)-(8) отриман1 формулн для обчнслення елек-

тромагштних параметр1а АМ у фазннх координатах - матриць ¡ндук-тивностей розс^яння через 1длши та робочих ¡ндуктивностей

¿, = IV С 5 Л п, 3 С

фш ж ж» шиа. ж л

Ш

с 5 ЛЛгы (5 + N. в + N , С_)С

ж ж» оОа 4 ж ж/ ж ж2 ж»1 л

(13)

де Л^^ , - блочно-д|агональн! квадратш матрнш розм1ру 4,

як1 е матрицями Якоб1 векторннх функшй (4), (7).

САДР (1)-(8) складаеться з 12(1+п)+16 скалярних р!внянь. П числове ¡нтегрування внмагае на крош ¡нтегрування розв'язування нел1н1Йно1 САР, яка складаеться з 3(1+п) р1внянь стандартного типу I 9(1+п)+16 р)внянь, шо е формулами. Для зменшення кмькост! р^в-нянь стандартного типу САДР (1)-(8) перетворена до вигляду

(14)

^Фк/аигФкк1ФкиФ*Г°>

а*Фя/с1игФяк1ФК+гФяя1Фя=0'

Ффк ^ФОКК 'ФК 1Фдкя 'ФЯ * ^Фшк * УФ&К

^ФЯ 1~ф0як'фк+1'4еяя'фя

фокк 'фк ' "Фака фя ; (17) £

фшК.

*5»Г •

*шО<1

#Ф5>СШ С

К Ы ■

^.¿ФК

де г

ФКК'

3 С-фКК 'ФК * Ш С-ФКЯ 1фЯ>

^фОКЯ' ^'роНК' ^фОЯЯ ^-ФКЯ ~ иатРиц'> стал! на крот' ¡нтегрування;

(15)

(16) (18) (20) (22) (23)

ГфЯК' ГфЯЯ' 1>рокк

стал! матрнш;

'ФКК ¡ФК ="'фА *ФК = **фЛ ^фшК " ^фшА ^ф5к = ^ф&А

*ФК ' ФЯ

II и

фв ' фС фв ФфС

'фшС ^Ф5С фА ифВ ифС 1 ф2а 1ф2Ь 1ф2с

ЦфВ

1 ф1 а 1 ф! Ь 'ф1с *фи *Ф1Ь Фф1с ^ фш1а 6 ^фш1с

Ффд1а Фф&1Ь *ф$1с

17)—(2

О

фпа

Ф Ф.

о

фп Ь фпс *

Ффгь-^фп *ф2с-*ф1с

фпс тф1с -

Стосовно до САДР (17)—(23) складено алгоритм розрахунку пере-х1дннх ЕМП АМ на тдстав! неявного методу §-го порядку. Вш е ¡те-рашйною процедурою, яка на I-й ¡терацп к-го кроку ¡нтегрування зводнться до числового розв'язування Л1Н1ЙН01 САР

де А.

Афк

Фк

(24)

"ФЬ' ¡фк ~ квадратна матриця \ вектор-стовпеиь poзмipy 6, як1 обчислюються за {1-1)-м наблнженням кореня нелж1Йно1 САР, отрима-но1 в результат; алгебризацп САДР (15)-(23) на крош ¡нтегрування, обчнслення ¿-го наближення вектора шляхом додавання до його (/-/)-го наближення поправки &'фКк на 1-й ¡терац1Т та обчнслення решти невщомнх безпосередньо за формулами.

Тут, на В1дмшу В1д алгоритму, що грунтуеться безпосередньо на ¡нтегруванн! САДР (1)-(9), найб!льш гром;эдка операция ¡тера-

С

шйного циклу - розв'язування лжжно/ САР з невтомнмн поправками струм!в - перестае бутн домшуючою. Ця обставнна забезпечуе внсо-кий р1вень оптимальносп ММ як з погляду обсягу оперативно] пам'я-т1 комп'ютера, так I машинного часу.

У другому розд)л1 "Математичне моделювання електромагштних перех1дних процессе машина на п1дстав~1 и опису в загальмованих координатах~ викладене перетворення САДР, що опнсуе перех1дш про-цеси машинн у фазних координатах, до трнфазно! загальмовано! снс-теми координат (ЗСК), ви ведет формули для обчислення електромагштних параметр1в машинн в ЗСК 1 викладеннй алгоритм розрахунку електромагштних перехщних процеав.

Матриця перетворення до ЗСК для АМ з п трифазними обмотками на ротор1 мае вигляд

де

П = (I П,

/ Ъ

Р)

}+2соз(?+ р) /+2со5(?+2р)

П) ,

/+2соз(зг+2р) 1+2соЦу+ р) }+2соьц

(25)

(26)

Осюлькн <±е! П = 1 1 П = П , то матриця П ортогональна.

Доведено, що р]вняння електричного стану АМ мають у ЗСК виг-

ляд

£1ф/(И (•«!! $ + г I - и = О

а ЕМХ (2)-(8) Ф =

внгляд

Ол

* + + Н

Ф*

= ш С

®5оо <2 Г&оо = 3

(28) (30) (32) и> £

Ф

ш С 2

IV 5

м- шОй

I ;

шОО 3 ~~ "м

= •

(27)

(29) (31)

(33)

(34)

де

< = 11 1В 1 и Чь 1,с - . / па 1пЬ / 1 п с

ф = 11 *А *,ь */« - ■ Ф па Кь Л с

к = ^шА ФщВ УшС Ф Кь ф ШС ■ Ф ф 1

Н = ^бс На Нв *5 с- ■ На Не'

"Ф - ив "с 0 0 0 . 0 0 0 1

V = ГФ

- вектори струм)в, повних потокозчеплень, потокозчеплень розаяння через шлши, робочнх потокозчеплень 1 напруг живлення фаз;

/ = ('л- Гв< гс> > V V"" V лр

- матриця електричних опор1в фаз;

= *шсу ^шрХ *шру11» ' *бш> = II *5У ^бх *бу!1-

- вектори проекшй зображуючих вектор]в поток!в розаяння через

шлши 1 робочих потоюв статора й ротора на ос1 нерухомо') прямоку-тно| системи координат ОХУ,

Р^= Рх„ ^

шсУ ' ифХ 1 щ>П* ' 1 бОО 11*6* ' бу г5А" - вектори проекшй на ш ж ос1 зображуючих вектор1в намагшчуваль-

^ш№ II ^шсХ

П

них сил, шо створюють згадаш

Е = 5 *

О л фил

- 9 -потоки;

N + N

П = <11ав , П

га ; я =

тГЗ

0 -1

1

1 о -/

12 12 12 }-2 -/ / 0

и = ¿у/Л

Зм1ст векторних функшй (30), (33) визиачаеться мапнтною характеристикою шляхов розаяння через шлшн статора як сукупжстю формул (9), магштною характеристикою шляхов розаяння через шлщи ротора як сукупнктю формул

шрХ~ шрХ р ' шрУ шрУр ' шр~т/ ШрХшрУ' шр шр^ ^

игр шр

1 магштною характеристикою основного маттного кола як сукупшс-тю формул (11).

Таким чином, у САДР, яка описуе перехиш ЕМП АМ у ЗСК, кут повороту ротора в1дсутшй.

Формулн для обчнслеиня електромагштних параметр1в АМ у ЗСК мають вигляд

Ь = иГ С 5

де А.

Л „„ 5

шпи

С

¿5 = ш2 С.

5

С

(36)

"шов • Л5оо ~ блочн°-Д13гональн1 квадратш матриц! розм1ру 4, ят е матрииями Якоб1 векторних функшй (30), (33).

3 метою оптнм1зацп алгоритм!В розрахунюв ЕМП АМ у ЗСК САДР (27)—(34) перетворена до вигляду

IЫ!к/Л1

+ гккЫ

- и.

^к ' ^екк 'к + ^икя'я

^я = ^як 'к + яя 'я

- ~ (42)

+ ГЯЯ1Я

шК

о ;

= О

К = " СК

К шДО

(37)

(38)

(39) (41)

. + ф5к (40) ФшК - «С,

<44> Чоо = «б^боЛ

де г

С

кк

■кя

• гяк • гяя • ■ ^аАЯ • ^аяк ' 1ОЯЯ • Ск

СТЗЛ1 матрнцг,

и = "'л 'в ' с (1а ' 1 ь '; е" <

^ = Ьс Ьь ЬсК

= ф. ф ф II ШС '

= НА Нв

"л = Ни. А "в "с 0 0 0 II,

'л = ' 2 Ь '"ас .. . 1 1 . па пЬ /' II ПС ■

II *2с - К ...

(45)

(46)

'КК '

Стосовно до САДР (37)-(46) складено алгоритм розрахунку пере-

Х1ДНИХ ЕМП АМ на шдстав! неявного методу £-го порядку. В1н е ¡те-рашйною процедурою, яка на /-й ¡терацп к-го кроку ¡нтегрування зводнться до числового розв'язування л!н!йно'] САР

де Ак, ¡к - квадратна матрнця 4 вектор-стовпець розм1ру 6 ям обчислюються за (/-/)-м наблнженням кореня нелЫйно! САР, отри-мано'1 в результат! алгебризацп САДР (37)-(46) на крош штегру-вання, обчнслення 1-го наблнження вектора шляхом додавання до його (/-/)-го наблнження поправки Д/^ на I-й ¡терацп та обчнслення рештн нев1Домих безпосередньо за формулами.

У третьому розд!л! "Матвматичнв моделюваняя електромагштних пер'юдичшх процесив нашини методом тригонометрично1 колокаци" викладена математична сутшсть методу тригонометрично1 колокацП (МТК) визначення перюдичних розв'язк^в нелш^ннх САДР з ураху-ванням необх1дно1 його адаптацп стосовно до класу розв'язуваннх у дисертацП задач, розглянуп П1Д кутом зору теорП ¡нвар1антного наблнження функшй особливосп МТК при в!дсутносп в розв'язку га-рмошк парних порядк1в 1 при наявносп пофазно'1 симетрП та на основ! отрнманих результат)в складен! алгоритмн розрахунку електромагштних перюдичних процеав машнни в ЗСК з урахуванням наснчен-ня й вит!снення струму при П живленш пол!гармон!чними напругами. Сутшсть МТК розглянено стосовно до САДР Ш/йа + Б № + Г V + и = 0 ; (48) У = , (49)

Де и = ¡1 и, ... им = £/[<*] = Ц[а + 2п] (50)

- вектор-стовпець як задана перюдична функшя змжно')' а;

" = II - II- к = II - ^ II.

- вектори-стовпш залежннх змшних як функшй незалежно! змшно! а; Б , Г - квадратш матриц! розм1ру М.

Перюднчннм розв'язком ц 1 е 1 САДР е сукупшсть функшй

№ = Ща] = Й^а + 2п) ; (51) V = У[а] = У[сс + 2л] , (52)

яка задовольняе р1вняння (48), (49).

Наблнження функшй (51), (52), (50) многочленами Фур'е з V гармошками мають у матричному запиа вигляд

У = Э^а]^ (53) V = (54) и = (55)

- *9с : (56) К/с - V VII-". <57> "г= И и0 и,с ип - UVc ^11- <58>

- вектори-стовпц! гармошчних вщображень функшй (53)-(55) в МР-вим!рному л1И1Йному простор! амшптуд, причому ,..., , Уд ,

..., V -> це векторн-стовпш розм^ру М, як1 об'еднують однойменш ампл1туди;

5Л<М = II !м 1мсо$а -- '*С05а,а II <59>

- узагальненнй рядок Фур'е, причому ¡м - це единична матрния роз-М1РУ М ;

Наклавши на перюд 2п р1вном!рну атку Р=1+2и точок колока-цн, утворимо точков1 воображения функшй (53), (54), (55) як ве-ктори-стовпш значень цих функшй у точках колокаип

Рх; - кх= 11^ - иг= \\и„ ••• (60)

Застосувавшн внрази (53), (54) до кожно1 з точок колокаип, маемо р1вняння

де - матрния Фур'е як матриця, що складаеться ¡з значень рядка (59) у точках колокаип. Вона е невнродженою, тому

3 (55) вилливае, що

де <№,1*Уйа. = ^а] Ош , (65)

= <Нгё (О,

- *м ' - м

) (66)

гМ & х М

- квадратна вироджена матриця розм1ру МР, яка в 1^Р-вим1рному простор! точкового воображения функшй (53)-(55) е алгебрнчннм аналогом диференшйного оператора ¿/йа.

3 урахуванням (61)-(66) алгебрнчний аналог диференшйно'! кра-Йово! задач 1 (48)-(50) мае в МТК вигляд

Ут + Бт К * Гт УТ + °т - 0 ' <67> Кт = ^^ ' <68>

= <69>

- квадратна вироджена матриця розм*ру МР, яка в МР-вим1рному прос-тор( точкового вщображення функшй (53), (54) е алгебричним аналогом диференшйного оператора ¿/¿а ;

Бт = ciiag (Б ,..., Б); Гт = (Г ,..., Г) - квадратш матрн-

Ц1 розм1ру МР.

Таким чином, для отрнмання в МТК алгебрнчного аналога диференшйно"] крайово'1 задач! (48)-(50) доенть в останнШ виконати формальну замшу диференшйного оператора ¿/¿а. його алгебричним аналогом (69) 1 невиомнх та заданих функций - 1'хн(мн точковими воображениями (60).

ПохОна с№ /¿Ут векторно! функцп (68) е блочно-д*агональною матрицею, д1агональш блоки я ко']' дор]внюють значениям пох1'дно1 фуяки!] (49) у точках колокаип.

Розв'язування нелЫйно! САР (67), (68) методом Ньютона зво-днться на 1-й ¡терацм до числового розв'язування Л1ЖЙно1 САР

А АК = - [ , (70)

т т ' т ' 4 '

де матриця Ат = + Б^) (Шу6У^ + Гг \ вектор-стовпеиь / не-

в'язок р1вняння (70) мають розм1р МР 1 обчнслюються за (/-/}-м наближенням кореня нел1н1йно1 САР (67), (68), обчнслення /-го наб-лиження вектора V шляхом додавання до його (¿-/)-го наближення поправки АУт та обчнслення вектора за формулами (68), (49).

Застосувавшн наведет вище М1ркування до САДР (37)-(46), от-рнмуемо 11 алгебричнйй аналог в МТК. як нел!шйну САР

°т6 *Кт + м + ГККт Ыт - Икт = <71>

°гЗ(п-1) #Ят Ш П*т К ~ ГЯКг 1Кг + ГЯЯт 1Ят = (72>

*Кг = Ьщкт'кт* 10КЯтЫт* К*** Ькт- <73)

^т = 1СЯКгЫг+1-ОЯЯг1Яг' <74> ^т^хАя«»' <75>

<76> <77>

^5Хг = " С*т*Й1>^ <78> *5и>Г «виЛи^ (79)

'Ъ/ЮГ 3 С~ККГ Ыт + " С-Х*т 'V ■ <80>

де , , гККт , гЯКт , , , ^(¡гкяг 1 ^отгхг • ^чдагт»

^Хт > СЯт ' ^'ККт ' с*кЯт ~ блочно-д1агональн! стал! матриш, як1 М1стять на Д1"агоналях по Р ¡дентнчних блоюв П^ ,..., С^^ в1'дпо-в1дно.

Породжувана нeлiнiйнoю САР (71)-(80) лж1йна САР на й 1те-рац!1 зведена до внгляду

^ХХт Д'хт = ~ IХт ' де АККт , - квадратна матриця \ вектор-стовпець розм1ру 6/> як1

обчнслюються за {1-1)-м наближенням кореня САР (71)-(80). При цьо-

му I-те наблнження вектора обчислюеться як сума його (/-/)-го

наближення 1 поправки А¿' , а I-те наближення вектора - за

формулою

Ат т Хт '

де В - матриця, яка не залежить вш номера 1терацп, а I-те наближення впх ¡нших невшомих - послшовно за формулами (80)-(73).

Отже, тут, незважаючи на високий порядок нешшйно! САР (71)-(80), що описуе точкове воображения перюдичного електромагштно-го процесу АМ (де порядок становить (/2(/+гс)+/6)Р), на кожшй ¡те-раш'/ необхщно розв'язувати лШйну САР, порядок яко! становить т1льки 6Р.

На П1дстав1 внкористання оператора трансляцп функцп скалярного аргументу 1ВД = ехр(р^/^а) як оператора, шо здШснюе перет-ворення функцН у = у[а] у функшю г = = тобто

трансляшю (змшення) ше! функцп в простор! аргументу а на величину р, а також з застосуванням понять:

непарно! векторной функцп IV векторного аргументу V як функцп, для я КО ) ЩУ] = -

пер10дичн01 скалярно! функцп у = у[а] без парннх гармошк як функцп, для яко! = 1/[а+л] = - гДа];

(л-фазно! циркулянта Ц як матриш, шо зд1йснюе цнкл1чну пересып

тановку елемент1в вектора з ггс-внМ1рного л1шйного простору;

циркулянтно'1 векторио1 функцп векторного аргументу як функцп, для яко1 \У[ЦтУ] = Ц^ЩК], тобто векторно! функцп, у як1й замена Г! аргументу добутком циркулянти на аргумент приводить до замжи вектора-функцп добутком ше! ж циркулянти на вектор-функшю;

от-фазно'1' симетрнчно! перюднчноТ векторно! функцп V скалярного аргументу а як функцп, для я ко']" ■С{2п/т]У[а] = Ц^а], тобто пер1-однчно! векторно'1 функцп скалярного аргументу, у яюн граф1к кожного скалярного ¡1 елемента отрнмуеться шляхом трансляцп граф1ка попереднього елемента на т-ту частину перюду,

розроблено алгоритмн внзначення перюднчннх розв'язюв САДР (48), (49) за умов, шо ш розв'язкн не мктять гармошк парних порядмв або мають пофазну снметрт. Показано, шо при цьому юлынсть ска-лярних невщомнх у САР, розв'язок яко) е необх1Дним I достатшм для формування точковнх вщображень функшй № = Ща] I V = У[а], зменшуеться в!ДПовщно в 2 або в т раз1в, а при одночасшй в|дсут-ност1 гармошк парннх порядюв \ наявност1 пофазно! симетрП - в 2т раз1В.

Внкладеш теоретнчш положения МТК безпосередньо застосоваш до САДР (37)-(46) 1 на ¡хшй шдстав1 розроблеш алгорнтмн та складеш в1дповшш комп'ютерш программ як для внпадку, колн розв'язкн е перюдичнимн функшямн загального вигляду, так 1 для вн-падк1'в висутносп гармошк парних порядюв 1 наявност1 пофазно"! си метр)).

У четвертому розд!л! жМатематичне ноделювання електромагшт-них пер'юдичшхх процессе машина диференцШним гармошчним методом~ викладена математична сутшсть диференшйного гармошчного методу (ДГМ) внзначення перюднчннх розв'язк^в нелШйннх САДР з ураху-ванням необх]дно'1 його адаптацл стосовно до класу розв'язуваних у днсертацп задач, розглянут) пш кутом зору теорп ¡нвар]антного наближення функшй особливосп ДГМ при вшсутносп в розв'язку гармошк парннх порядюв 1 при наявносп пофазно! симетрм та на основ!' отриманнх результат!В складен! алгоритми розрахунку електро-

магштних перюдичних процеав машннн в ЗСК з урахуванням насичен-ня й виткнення струму при п живленш пол^армошчними напругами.

ДГМ концептуально в1др1зняеться вщ МТК тим, шо в ньому для опису функций, що пов'язують М1ж собою залежш зм!нн1, внкористо-вуються так зваш гармошчш характеристики. Так, для функцп (49) П1Д гармошчною характеристикою належить розум1ти функшю

= ИРЦд , (81)

у яюй вектор визначаеться за таким алгоритмом:

на перюд 2п накладають р1вном1рну с!тку А/ = к(/+2у) = кР точок (к - шле число) ¡, задавши значения вектора V , застосовують ви-рази (54) до кожно'1 з цих точок, у результат! чого отримують сукупшсть значень ,..., К^ вектора К;

злдно з (49) обчнслюють вщпов^ш 1м значения УУ, ..... ве-

1 N

ктора

обчнслюють елементи вектора №. за формулами гармошчного анал]-

зу.

Алгебричний аналог диференишно'! крайово! задач 1 (48), (50) мае в ДГМ вигляд

°гм К + Бг ^г + гг К + ит = о ; (82) = ВД , (83)

де Бг= (Б,..., Б); Гг= <Иаё (Г,..., Г) - матриц! розм!ру МР.

Таким чином, для отримання в ДГМ алгебричного аналога дифе-реншйно! крайово"1 задач 1 (48), (50) достатньо в останн!й виконати формальну замшу диференц!йного оператора Л/йо. його алгебричним аналогом (66) ! нев!домих ! заданнх функц!й - !хшми гармон!чними в!дображеннями (57)-(59).

Гкшдна векторно'1 функцп (83) е в загальному випадку

заповненою матрицею розкмру МР, яка в ДГМ називаеться матрицею ди-ференшйних гармошчних параметр!в.

Розв'язування нел!шйно1 САР (82), (83) методом Ньютона зво-диться на 1-й ¡терацп до числового розв'язування Л1шйно! САР

Лг =-!г, (84)

де матрнця Аг = (Е>гМ + Б+ Гг ! вектор-стовпець / нев'я-зок р!вняния (84) мають розм!р МР ! обчислюються за (/-/)-м наблн-женням кореня нел!шйно1 САР (82), (83), обчислення /-го наблнження вектора Кг шляхом додавання до його (7-/)-го наблнження поправки АУ. та обчислення вектора V? за формулою (83).

Застосувавши наведен! више м!ркуаання до САДР (37)-(46), от-римуемо и алгебричний аналог в ДГМ як нелшШну САР

°г6 '"кг + Ы ПКг *Кг + ГККг 1Кг ~ иКт = °> <85>

°г3(«-п ФКГ + И V К- " <Кг + ГЯ*Г '*г = <86>

**г = икг'кг^г'яг' <88) Ккг = ^КгКоТУ <89>

*бхг = » <92> «бмД^ва* <93>

Р&ООГ Ъ С-«Кг '«г ^ ® С-**г V ■ <94>

де ,..., - матриц!, тотожш в!дпов1дним матрицям ,

..., С,^ САР "(71) " (80).

Як видно з пор1вняння САР (37)-(46) ! (85)-(94), вони не т1-льки мають ¡дентичну структуру, але й велику юльккть ¡дентнчних елемент1в, тому алгоритмн ¡хнього розв'язування е дуже блнзькнми.

На гидстав! ДГМ розроблеш алгоритмн й складен! виновен! комп'ютерн1 програми як для випадку, коли розв'язкн е перюдичними функшями загального вигляду, так 1 для внпадюв вщсутност1 гар-мон1К парних порядюв 1 наявносп пофазно) снметрп.

У п'ятому розд1л! "Анал13 перех1дних I пер'юдичних елекгро-магштнмх процессе машин" наведен! найб1льш характерна на наш погляд, результата розрахунк^в вшповщннх процессе на приклад! АМ 4А160М6УЗ з ном1нальними даннми: Р2= 15 кВт; V 380 В; /^=29,9 А; со5фн=0,87; 7)^=0,87; "н=974 об/хв; момент шерип ротора /=0,18 кгм2 (машина мае закрн™ пазн в ротор1 й В1дкрит1 - на статор!).

Показано, шо наснчення ишшв потомв розаяння, нер!вном1р-ннй розпод1Л струму по висот1 обмотки ротора та пол1гарможчний характер напругн живлення ¡стотно впливають на поведОку машннн як в усталених, так \ в перехОннх режимах роботи.

Пор1вняння результат1в розрахунку з ф1знчним експернментом свичить про достатню для широкого кола шженерннх задач адекват-шсть запропонованнх математичних моделей (вОхилення вО експери-менту не перевнщуе 9%).

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. За данимн л1тератури й на шдстав1 власннх експерименталь-ннх дослщжень встановлено, шо насичення основного магштного кола та шлях!в пол1в розаяння, виткнення струму в стрижнях обмотки ротора та пол1гарможчннй характер напруг живлення асннхронних машин належать до основннх чинник*в, шо визначають поведжку й тех-шко-економ!чш показники машини як в усталених, так 4 в перехш-них режимах роботи, однак математичн* модел!, як\ забезпечували б можлив!сть розрахунку перехОннх та перюднчннх електромагштних процес!В машини з урахуванням згаданих чиннишв у 1хньому взаемоз-в'язку та на пшстав1 стльного для цих процес1в теоретичного ш'д-

ходу, висутш. Тому досягнення сформульовано! в дисертацп мети е актуальним завданням.

2. На шдстав1 вивчення застосовуваних в електромехашш ма-тематичних методу 1 шдход1в з'ясовано, шо найб1льш дошльним для формал1зацп опису електромагштних зв'язюв в асннхронних машинах е диференшйн! електромагштш параметри, для числового ¡нтегру-вання диференшйннх р)внянь - метод ФДН, для опису електрнчного й магштного сташв - фазш координати 1 трифазш загальмоваш коор-динатн, а для розрахунку перюдичних процеав - метод тригономет-рично'] колокацП 1 днференшйний гармошчний метод.

3. Сформульована явна електромагштна характеристика трифаз-но! асинхронно] машин-и у фазних координатах з урахуванням насичен-ня основного магштного кола й шлях1в потоюв розаяння та витк-нения струму в обмотш ротора як послшовшсть формул, шо дозволяе обчнслювати потокозчеплення фаз обмоток за в!Домнмн струмами фаз I кутом повороту ротора, ] виведеш формулн для обчислення диференшйних ¡ндуктнвностей машнни у фазних координатах.

4. Виконано перетворення явно"! електромагштно] характеристики та диференшйних р1внянь електричиого стану машини до трифазно'1 загальмовано'1 системи координат 1 показано, що в математичному формулюванш задач1 розрахунку електромагштних проиеав машинн в загальмованих координатах кут повороту ротора вщсутшй. Виведено формулн для обчислення диференшйних ¡ндуктнвностей машини в загальмованих координатах.

5. Створен 1 оптимальш за швидкод1ею математичш модел1 для розрахунку перехщних електромагштних процессе трнфазно/ асинхронно! машини з урахуванням насичення магштопроводу, вит1снення струму й пол1гармошчного характеру напруг жнвлення на пщстав1 опнс1в машини у фазних 1 в загальмованих координатах, як> охоплю-ють математичш формулювання в1дпов!дннх задач Кош», алгоритмн '¡х-нього розв'язування та програмш реал1зацп цих алгоритмов.

6. Метод тригонометрично'1' колокацп та днференшйний гармош-чннй метод розв'язування двоточкових диференшйннх крайовнх задач адаптовано до системи р1внянь, яка складаеться з диференшйних р1-внянь та алгебричних р1внянь, представлених у внгляд1 формул, що описують л]шйш та нел1шйш фуикшональш залежносп м\ж невшо-мими крайово'1 задача

Складен] оптимальш за юльхктю арифметичннх операшй типов1 алгоритми розв'язування таких крайових задач.

7. На математичному р!вш сформульоваш означения понять, як!

е корисними при розрахунках методом тригонометричноТ колокацП та диференшйним гармошчннм методом перюднчннх проце<мв у нелж1й-них багатофазних симетричних системах при дп на них багатофазних симетричних вимушуючнх сил, а також при вщсутносп у розв'яэках гармошк парннх порядюв.

8. Розглянут! особливост! методу тригонометрично! колокацп' та диференшйного гармошчного методу при наявност1 пофазно! снме-тр11" та при вщсутносп гармошк парних порядюв стосовно до систем р1внянь, вказаних у висновку 6, I складен! оптнмальш за мль-юстю арифметнчних операций тнпов1 алгоритми розв'язування випо-в!дннх дюточковнх крайових задач.

9. На шдстав1 методу тригонометрнчно'1 колокацп та диференшйного гармошчного методу створеш оптнмальш за швндкод1ею ма-тематичш модел1 для розрахунк!в перюднчннх електромагштних про-цес!в асинхронно'! машини з урахуванням насичення магштопроводу, витюнення струму в обдаотш ротора й пол1гармошчного характеру напруг жнвлення за И описом у трифазшй загальмовашй систем1 координат стосовно до загального випадку й при наявност! пофазно"! симетрП розв'язку та (чн) при вшсутносп .в ньому гармошк парних

ПОРЯДК1В.

10. На шдстав1 математичного експернменту показано, шо насичення шлях18 поток ¡в розаяння, нер1вном1рний розпод1л струму по висо^ обмотки ротора та пол^гармошчннй характер напруги жнвлення ¡стотно вплнвають на поведжку машини як в усталеннх, так 1 в пе-рех!дних режимах роботи.

11. Перев1рка адекватное™ запропонованих моделей св1дчнть про можливЮть Чх застосування для розв'язання широкого кола ¡нже-нерннх задач, зв'язаних з розрахунком перех1дних I перюдичних пронес ¡в АМ.

Публ1кацП за темою дисертацП

1. Б1ляковський I. €., Глух1вський Л. Я. Про врахування ефек-ту виткнення струму в асинхронних двигунах при ')'х несинусоЧдному жнвленш. // Вкник ЛП1. 1995. - №279.

2. Б1ляковський I. 6., Глух1вський Л. й. Чнслове моделювання перюднчннх усталених процеав в асинхронних двигунах при несину-сощному жнвленш. - Льв1в, 1995.- 10 е.; Укр. -Деп. в УкрНД1НТ1.

3. Б1ляковськнй I. в. До питания про експернментальне внзначення моменту асинхронного двигуна у дннам^них режимах. // Вюник ЛП1, 1992. - №263. - С. 4-6.

4. Б1ляковськнй I. 6. Математичне моделювання магнетннх ха-

рактеристнк трифазно'1 асинхронно1 машини.//Тези 1-1 М1ЖнародноТ науково-техн1ЧНо'1 конференцп "Математнчне моделювання в електро-техшш й електроенергетиш"^ - Льв1в, 1995 - С. 94.

5. Б]ляковський I. Математнчне моделювання перюднчних процеав в асинхроншй машиш з короткозамкненим ротором з ураху-ванням наснчення та внтюнення струму.//Тезн 1-1 М1жнародно1 нау-ково-техшчно1 конференцп "Математнчне моделювання в електротех-шш й електроенергетиш". - Льв1в, 1995,- С. 91.

6. Глухнвскнй Л. И., Биляковскнй И. Е., Дышовый Р. В. Численное моделирование процессов в насыщенных асинхронных двигателях при их несинусондальном питании.// Динам, режимы работы электр. машин и электроприводов: Тез. докл. 5 Всес. науч-тех. конф. -Каунас, 1988,- Ч. 1. - С. 36.

7. Глухивский Л. И., Биляковскнй И. Е., Маляр В. С. Алгоритм численного моделирования установившихся режимов АД при его несинусоидальном питании.// Динамические режимы работы эл. машин: Тез. докл. 6 Всес. науч-тех. конф. - Бишкек. - Ч. 1. -1991,- С. 4-5.

8. Глухивский Л. И., Биляковскнй И. Е. Расчет установившегося режима асинхронного двигателя при его несинусоидальном питании. //Техническая электродинамика. -1988.- №5. - С. 57-61.

9. Глухивский Л. И., Биляковскнй И. Е. Численное моделирование тиристорных регуляторов напряжения дифференциальным гармоническим методом.//Техническая электродинамика. -1986,- №4. -С. 32-37.

10. Кушлык О. Д., Биляковскнй И. Е., Глухивский Л. Й. Расчет стационарных процессов в системе явнополюсная синхронная машина -мостовой тирнсторный преобразователь.// Вести. ЛПИ. - Львов: Внша школа, 1985,- №194. - С. 45-47.

Особистий внесок автора. В публ1кашях, написаних у сшвав-торств1, автору належать: в [1] - розробка алгоритму; в [2], [6] -розробка математнчних моделей, комп'зотерних програм ! виконання математнчних експеримент1в; у [8], [9], [10] - розробка математнчних моделей 1 комп'ютерних програм та виконання математнчних 1 ф1зичних експеримешчв.

Abstract

Bilyakovskiy I.E. Mathematical simulation of electromagnetic processes of the asynchronous machines that permit to take into account saturation and skin-effect if power is non-simetric polygar-monic.

This thesis proposal is being presented in defence of the following Candidate Discertation: 05.09.01 - Electrical Devices, Lviv State Politechnical University, Lviv 1996.

The manuscript is defended, the essence of which is described in ten scientific works and contains mathematical models of electromagnetic processes of the asynchronous machines and results of mathematical experiments. Received models as software can be directly used in solving wide range of the engineering problems, connected with calculation of electromagnetic processes in asynchronous machines.

Аннотация

Биляковскнн И.Е. Математическое моделирование электромагнитных процессов ассмняронных машин с учетом насыщения и вытеснения тока при питании несимметрическими полнгармоннческнми напряжениями.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.09.01 - электрические машины, Государственный университет "Львовская политехника", Львов, 1996. Защищается рукопись, сущность которой отражена в десяти научных работах, содержащая математические модели электромагнитных процессов ассинхронных машин и результаты математических экспериментов. Полученные модели в виде компьютерных программ могут быть непосредственно использованы в решении широкого круга инженерных задач, связанных с расчетом электромагнитных процессов ассинхронных машин.

Ключов! слова:

асинхронна машина, математнчна модель, електромагштний процес.