автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на телах сложной формы и некоторые его приложения

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

1.1. Постановка задачи математического моделирования дифракции электромагнитных волн на поверхности сложной формы. Анализ методов решения задач электромагнитного рассеяния.

1.1.1. Постановка задачи математического моделирования дифракции электромагнитных волн на поверхности сложной формы и определение структуры модели.

1.1.2. Методы решения задач электромагнитного рассеяния.

1.2. Разработка математического описания и алгоритмов расчета на ЭВМ формы объекта.

1.2.1. Анализ методов моделирования на ЭВМ поверхностей сложной формы

1.2.2. Первичное геометрическое моделирование поверхностей сложной формы и построение фацетной модели.

1.3. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на поверхности сложной формы. Метод дискретных особенностей.

1.3.1. Плоские задачи дифракции. Е-поляризованные и Н-поляризованные волны.

1.3.2. Скалярные пространственные задачи дифракции. Задачи Дирихле и Неймана.

1.3.3. Пространственная векторная задача дифракции.

Выводы по разделу 1.

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ СРЕДСТВАМИ ЧИСЛЕННОГО И НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

2.1. Исследование плоских задач дифракции.

2.1.1. Численное исследование сходимости квадратурных формул метода дискретных особенностей.

-- Военный авиационный технический университет

2.1.2. Расчет на ЭВМ характеристик открытого рупора ТЕМ-волны и сравнение полученных результатов с экспериментальными.

2.2. Исследование пространственных задач дифракции.

2.2.1. Исследование сходимости квадратурных формул метода дискретных особенностей для пространственных скалярных задач дифракции.

2.2.2. Исследование сходимости решения пространственной векторной задачи дифракции средствами численного эксперимента.

Выводы по разделу 2.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ТЕЛАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

3.1. Исследование зависимости характеристик направленности антенной решетки от взаимного влияния излучающих элементов в широком диапазоне частот.

3.1.1. Математическая модель широкополосной антенной решетки.

3.1.2. Численное исследование широкополосной антенной решетки.

3.2. Определение электромагнитного поля вблизи поверхности объекта рассеяния при различных ракурсах облучения.

Выводы по разделу 3.

Вопросы проектирования и оценки эффективности современных радиотехнических систем практически невозможно решить без априорного знания характеристик рассеяния объектов исследования. Задачи дифракции встречаются при анализе самых различных проблем: выбор местоположения антенны на поверхности летательного аппарата (ЛА) [70], электромагнитная совместимость радиотехнических устройств [110], разработка дистанционных методов зондирования земли и земных покровов [92], вопросы электромагнитной экологии, связанные с расчетом геометрии санитарно-защитных зон и зон ограничения застройки вблизи передающих центров [36]. Учет и использование результатов, полученных в теории дифракции, как правило, дают большой практический эффект [3, 4]. Поэтому теоретическое изучение явлений дифракции радиоволн играет существенную роль в развитии радиотехники. При проектировании и реализации сложных антенных систем (АС) весьма актуальной является задача математического моделирования процесса дифракции электромагнитных волн (ЭМВ) для получения количественных характеристик излучения и приема радиоволн антенными устройствами с учетом влияния поверхности суши или воды, элементов самих антенн и объектов, вблизи которых они расположены.

Решение задачи моделирования дифракции на телах сложной формы до недавних пор сдерживалось сложностью и разнородностью модели, в рамках которой требуется объединить методы электродинамики и вычислительной геометрии, а также большими вычислительными затратами, необходимыми для ее реализации на ЭВМ. Последние достижения в области асимптотической теории дифракции и в методах решения интегральных уравнений (ИУ), а также прогресс вычислительной техники позволяют с достаточной для широкого круга прикладных задач точностью решить задачу моделирования на ЭВМ. Тем не менее, для ее решения обычно используют ряд упрощающих предположений: рассматривают дифракцию монохроматических полей, пренебрегают влиянием соседних тел, полагают пространство безграничным и заполненным однородной изотропной средой, считают металлические объекты идеально проводящими [41].

В связи с тем, что в рассматриваемых практических задачах длина волны соизмерима с размером объекта, использование различных высокочастотных асимптотических представлений рассеянного поля представляется затруднительным. Кроме того, в ряде случаев необходимо решить задачу дифракции с целью получения распределения токов по поверхности и поля вблизи поверхности рассеяния сложной пространственной конфигурации с контролируемой точностью. Для этого в работе использовался метод интегральных уравнений (МИУ), который привлекателен тем, что переформулировка краевой задачи в виде соответствующего ИУ, как правило, понижает размерность исходной задачи, обеспечивает единственность решения и выполнение условий излучения на бесконечности, краевая задача в неограниченной области сводится к задаче в ограниченной области (на поверхности тела).

Метод интегральных уравнений позволяет подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхности произвольной формы. Граничные задачи электродинамики могут быть сведены к интегральным уравнениям различного типа и размерности. Наибольшие успехи были достигнуты при решении задач дифракции на идеально проводящих телах, обладающих определенной симметрией. В. Д. Купрадзе задача дифракции плоской волны на цилиндрической поверхности была сведена к одномерному интегральному уравнению второго рода [56]. Е. Н. Васильевым [22] были исследованы интегральные уравнения, возникающие при решении задачи дифракции на поверхностях вращения. Для широкого класса задач дифракции на незамкнутых экранах Е. В. Захаровым и Ю. В. Пименовым [41] был разработан эффективный метод решения, основанный на сведении задачи к одномерному интегральному уравнению первого рода. Для задачи дифракции на трехмерных телах В. А. Фоком [104] было получено векторное интегральное уравнение относительно поверхностной плотности электрического тока. В последнее время все чаще применяется сведение граничных задач электродинамики к сингулярным (СИУ) и гиперсингулярным интегральным уравнениям (ГСИУ). Для их численного решения может использоваться разработанный И. К. Лифановым [59] метод дискретных особенностей (МДО), развитие которого для решения плоских и скалярных пространственных задач дифракции получило в работах А. Ю. Анфиногенова [114] и И. И. Лифанова [127]. А. Г. Давыдовым, Е. В. Захаровым и Ю. В. Пименовым был развит метод численного решения задач дифракции ЭМВ на незамкнутых поверхностях сложной формы [32], основанный на сведении задачи к ГСИУ первого рода, интегродифференциальный оператор которых допускает эффективную алгоритмизацию, и реализованный в программном комплексе "EDEM3D" [34] для исследования на персональной ЭВМ электродинамических характеристик объектов, которые могут аппроксимированы набором идеально проводящих экранов произвольной трехмерной формы. Метод интегральных уравнений в задачах дифракции породил множество как строгих, так и приближенных методов, подробный обзор которых можно найти в работах [35, 134].

Однако во всех этих работах отсутствует единый подход к решению задачи дифракции, не привязанный к конкретному способу моделирования поверхности объекта рассеяния. Одним из направлений развития современных бортовых радиоэлектронных комплексов (РЭК) является повышение уровня и степени интеграции оборудования. Это проявляется в совмещении функций различных радиотехнических систем, а также в объединении технических средств измеряющих одни и те же либо функционально связанные параметры, что в свою очередь, предполагает увеличение информационных потоков оценки электромагнитной обстановки в бортовой вычислительной системе. Для этого на современных летательных аппаратах устанавливается до нескольких десятков антенн, используются многофункциональные распределенные антенные системы, предполагается построение конформных антенных полотен. Даже в тех случаях, когда антенны работают в различных частотных диапазонах, они могут оказывать влияние друг на друга. Возникает проблема электромагнитной совместимости. Наиболее актуальной она является при построении антенных решеток (АР) с сильными взаимными связями между излучающими элементами. Для ее решения в каждом конкретном случае необходимо знать структуру электромагнитного поля, создаваемого антенной как электродинамической системой в целом. Параметры антенны существенно зависят от свойств объекта, на котором она устанавливается. Неправильный выбор места расположения антенны может привести к резкому ухудшению, а иногда к полной потере связи. Поэтому определение оптимального расположения антенны на объекте имеет большое практическое значение. В ряде случаев для решения инженерных задач бывает достаточно рассмотреть рассеяние в плоском случае, что позволяет сократить вычислительные затраты на решение задачи дифракции. В связи с тем, что современный JIA является объектом сложной пространственной конфигурации, необходимо с достаточной степенью детализации решать задачу дифракции на трехмерном объекте сложной формы. Решение перечисленных выше задач определяет актуальность проводимых в работе исследований.

Цель данной диссертационной работы состоит в разработке и реализации на ЭВМ метода математического моделирования процесса дифракции электромагнитных волн на объектах сложной пространственной конфигурации. Проблема моделирования дифракции электромагнитных волн на поверхностях сложной формы естественным образом разбивается на четыре тесно связанные между собой задачи: моделирование формы наблюдаемого объекта, решение задачи электромагнитного рассеяния на объекте, методические исследования алгоритма решения задачи рассеяния и определение вторичных характеристик рассеянного поля.

Научная новизна работы заключается в следующем. 1. Получены квадратурные формулы для решения пространственной векторной задачи дифракции, ориентированные на использование фацетной модели поверхности объекта и соотношения для нахождения вторичных характеристик рассеяния. Общность метода при математическом моделировании различных типов задач обеспечивает их эффективную алгоритмизацию в рамках использования объектно-ориентированного подхода (ООП) к разработке программного обеспечения.

2. Разработана методика исследования сходимости и проверки правильности реализации квадратурных формул для плоских и трехмерных скалярных задач электродинамики, построенная на основе сравнения известных решений краевых задач для сферы и окружности с вычисленными предлагаемым численным методом. Получены рекомендации по выбору расчетных параметров.

3. Проведено сравнение расчетных зависимостей и экспериментальных данных для открытого рупора ТЕМ-волны, подтверждающее сходимость метода дискретных особенностей к точному решению.

4. Показана практическая сходимость предложенных квадратурных формул для решения трехмерной векторной задачи дифракции при нахождении токов на поверхности и напряженности электрического поля вблизи поверхности объекта рассеяния. Обоснован выбор размера фацета для нахождения характеристик рассеяния с требуемой точностью в зависимости от длины волны и расстояния от исследуемого объекта.

5. Исследована модель широкополосной антенной решетки с учетом взаимного влияния излучающих элементов (ИЭ), произведено сравнение с результатами ранее проводившихся экспериментальных работ и теоретических исследований и сформулированы рекомендации по учету взаимного влияния излучающих элементов в АР.

6. На основе вычисленного распределения поля вблизи поверхности объектов сложной пространственной конфигурации сформулированы рекомендации по учету дифракционных явлений при проектировании и применении радиотехнических систем различного назначения.

Практическая ценность разработанной математической модели для исследования дифракции ЭМВ на телах сложной формы определяется тем, что перечисленные и аналогичные задачи не могут быть решены на основе одних экспериментальных исследований, связанных с измерениями полей рассеяния реальных объектов на полигонах, в безэховых камерах и т.п. Во-первых, такие эксперименты в большинстве своем трудоемки и обходятся весьма дорого (например, для экспериментального исследования направленных свойств антенны, установленной на самолете, проводятся летные испытания). Во-вторых, методы экспериментальных исследований предполагают наличие реального объекта рассеяния или его достаточно хорошего макета, что, наряду со своими значительными экономическими, организационными и физическими затратами, практически неприменимы на ранних стадиях проектирования как новых аэродинамических объектов, так и радиотехнических систем. В-третьих, их правильное проведение требует четкого представления о дифракционных явлениях, что возможно только после теоретических исследований. Предложенная в работе методика математического моделирования была разработана с учетом возможности ее уточнения и развития в области каждой из трех составляющих: моделирования поверхности, решения задачи дифракции и нахождения вторичных характеристик рассеяния, без необходимости пересмотра структуры модели в целом. Для практической реализации модели на ЭВМ разработан комплекс программ общим объемом более 9000 строк на языке программирования Си++.

Апробация работы и публикации:

1. Научно-исследовательские семинары кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (руководители профессор Захаров Е. В., профессор Лифанов И. К.) и кафедры высшей математики ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (руководитель профессор Лифанов И. К.).

2. Научно-исследовательские семинары кафедры радиотехнических и квантовых устройств ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (руководитель Анфи-ногенов А. Ю.).

3. Международный авиационно-космический научно-гуманитарный семинар (руководитель профессор Ништ М. И.).

4. IX Международный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2000" (г. Орел, 29 мая - 2 июня 2000 г.).

5. X Международный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2001" (г. Херсон, 29 мая - 5 июня 2001 г.).

Результаты работы опубликованы в 8 печатных трудах [9-11, 62, 7982].

Рассмотрим структуру и краткое содержание работы, состоящей из введения, трех разделов, заключения и списка литературы, содержащего 143 наименования.

В разделе 1 формулируется задача математического моделирования дифракции электромагнитных волн на поверхностях сложной формы и определяется структура модели; проводится анализ существующих методов решения задач электромагнитного рассеяния; предлагается способ математического описания и расчета на ЭВМ поверхности объекта; решается задача электромагнитного рассеяния на поверхности сложной формы при помощи метода интегральных уравнений, в том числе предлагаются новые квадратурные формулы типа дискретных вихревых рамок для решения пространственной векторной задачи дифракции.

В первом подразделе формулируется задача математического моделирования дифракции ЭМВ на поверхностях сложной формы:

На поверхность S падает электромагнитная волна, поле которой Ё°, Й° считается известным. Под воздействием падающего поля на S наводятся поверхностные электрические токи с плотностью J, которые создают рассеянное электромагнитное поле. Так как падающее поле известно, то задача сводится к определению рассеянного поля Es, Hs.

При разработке модели был принят ряд допущений, наиболее важные из которых следующие:

- поверхность S является идеально проводящим (а - оо) объектом и наблюдается на фоне свободного пространства;

- среда распространения является линейной, изотропной и однородной с абсолютными диэлектрической и магнитной проницаемостями е и /л ;

- падающая электромагнитная волна является монохроматической (зависимость от времени еш).

С учетом принятых допущений, задача дифракции электромагнитной волны (поля Ё°, Н°) на идеально проводящей поверхности 5 состоит в определении рассеянного поля удовлетворяющего уравнениям Максвелла (или Гельмгольца), граничному условию (равенство нулю тангенциальной составляющей полного поля), условиям излучения (Зоммерфельда) и условиям на ребре. В такой постановке эта задача имеет единственное решение [106].

Общая структура математической модели задачи дифракции отражена в виде схемы на рис. 1.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НАХОЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ТОКОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВТОРИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ О ГЕОМЕТРИИ ТЕПА (ЧЕРТЕЖИ ИТП)

РАСЧЕТНАЯ ФОРМА ДАННЫХ О ГЕОМЕТРИИ ТЕПА (МОДЕЛЬ ПО ВЕРХНОСТИ)

ПЕРВИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

РАССЕЯНИЯ ЗМВ (ТОКИ, НАПРЯЖЕННОСТЬ ИТ.П)

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ И КОНТРОЛЬ

ВТОР кННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕЯНИЯ ЗМВ (ЗПР.ДН ИТП.)

Рис. 1

Каждая из решаемых при моделировании электромагнитного рассеяния задач в отдельности достаточно подробно исследована в соответствующих областях науки, новой является возникшая из практики потребность их совместного решения. Важную роль при этом играет сохранение единства подхода к решению плоских, пространственных скалярных и пространственных векторных задач дифракции, что обеспечивает их эффективную алгоритмизацию в рамках парадигмы ООП.

Ряд технических приложений требует решения задачи дифракции в резонансном и нижней части высокочастотного диапазона с целью получения распределения токов по поверхности и поля вблизи поверхности объекта рассеяния сложной пространственной конфигурации с контролируемой точностью. В работе проведен анализ существующих методов вычислительной электродинамики и обоснован выбор для решения этой задачи метода интегральных уравнений, являющегося наиболее гибким из строгих методов. МИУ позволяет, не нарушая общности, сократить вычисления засчет учета симметрии объекта, использования специальных методов при решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученной в результате дискретизации исходного ИУ, удобен для эффективной численной реализации.

Второй подраздел посвящен моделированию поверхности сложной формы. Для ее решения используется набор кусочно-гладких параметрически заданных поверхностей, называемых модулями. В работе используются широко применяемые в вычислительной аэродинамике модули Кунса, а также модули-трубки, являющиеся одной из разновидностей поверхностей, образованных движением, использование которых позволяет упростить процедуру описания сложных поверхностей. Дискретизация параметрического уравнения поверхности на некоторой сетке позволяет перейти к фацетной модели поверхности объекта (см. рис. 2), основным элементом которой является четырехугольная площадка-фацет.

Разработке алгоритма эффективного численного решения задачи дифракции на идеально проводящей поверхности сложной формы посвящен третий подраздел работы. Рассматривается несколько типов задачи электромагнитного рассеяния: плоская (поверхность и падающее поле не зависят от одной из координат), скалярная трехмерная и трехмерная векторная зада

Рис. 2 чи дифракции. Для решения первых двух задач использовался подход к решению краевых задач для уравнения Гельмгольца, развитый в работах Е. В. Захарова, Ю. В. Пименова [41], И. К. Лифанова [59], И. И. Лифанова [128], А. Ю Анфиногенова [114] и др., суть которого заключается в сведении краевых задач к сингулярным и гиперсингулярным интегральным уравнениям. Для численного решения уравнений подобного рода используется метод дискретных особенностей, который объединяет в своем составе группу методов для решения СИУ и ГСИУ, возникающих в задачах аэродинамики, теории упругости и электродинамики. Во всех этих методах для вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов используются квадратурные формулы типа метода прямоугольников, вычисляемые на двух смещенных друг относительно друга сетках. Далее этот подход естественным образом был распространен на решение трехмерной векторной задачи дифракции.

Рассмотрим задачу дифракции монохроматического электромагнитного поля Ё°, Й° на идеально проводящей поверхности сг, являющейся достаточно гладким образом параметрического квадрата П = [-l,l]x [-1,1], находящейся в безграничной однородной изотропной среде с абсолютными диэлектрической и магнитной проницаемостями е и ц .

Используя выражение вектора напряженности рассеянного электрического поля через электродинамические потенциалы и условие калибровки Лоренца, можно получить следующее соотношение [32]:

-ikRuu* -ikRu,u„ ^

ES{M0) =

1 re ш0 - п g^M»

7li<X>£: k2\---JdaM + \{J-V

M I M —-dcrM

D J \ J D

У a KMMa сг KMM0 у (1) M g a, M0 £ a где J - плотность полного тока, наведённого падающей волной на поверхности фигуры в точке М, ES(M0) - напряжённость вторичного электрического поля.

Подставляя соотношение (1) в граничное условие для напряженности электрического поля пМа X Ё3(М0) = -ЯМо XЁ°(М0), М0 е 5 (2) и осуществляя предельный переход для Л/0 а, получаем гиперсингулярное интегральное уравнение, соответствующее решению пространственной задачи дифракции электромагнитной волны на заданной поверхности:

1 ( - Л пМох к2\ф{М,М0)М<тм + j(J-Vw)v^(M,M0)^w =

4 mcoe у а а J , (3) хЁ°(М0), М,М0 ест где пм - нормаль к поверхности фигуры в точке М0, Ё°(М0) - напряg-ilcRMM0 жённость электрического поля падающей волны, Ф(М,М0) =--фундаментальное решение уравнения Гельмгольца.

Вопросы обоснования такого подхода и свойства гиперсингулярного интеграла рассмотрены в работе [40], в которой показано, что из единственности решения граничной задачи и представления для тока, полученного используя теорему о скачке функции, следует, что однородное уравнение (3) имеет только тривиальное решение для незамкнутых поверхностей. Для замкнутых поверхностей ГСИУ (3) можно использовать если волновое число к не является собственным числом внутренней краевой задачи.

Введем систему криволинейных ортогональных координат г, v, п, так чтобы а совпадала с частью координатной поверхности п = п0 (Рис. 3). Тогда

J = JTf° + J У. (4)

Квадратурные формулы для решения уравнения (3) подобны предлагае г™ Рис- 3 мым в работе [32] и строятся следующим образом: параметрический квадрат П по параметрам г и v разбивается на прямоугольники линиями г = т,., i -1, TV, +1 и v = vk, к = 1, N2 +1, обозначим через M0fJt=M(T0„v0t) точку параметрического прямоугольника, у которой

Ч =0.5(т, + гг,+1), i = \,N{ и vOk=0.5(vk+vk+i), k = l,N2, а через Uik - прямоугольник в разбиении, содержащий точку M0i к. Образы точек Мык и прямоугольников Па на поверхности сг обозначим через Моц и aik, соответственно. Шаг разбиения выбирается исходя из гладкости поверхности и длины волны падающего поля по теореме Котельникова-Найквиста. В каждом из параметрических прямоугольников П,. к считаем плотность тока постоянной и равной J{M) = J{Mm) = J0ik. Тогда интеграл в (3) заменяется квадратурной суммой г \ I а=1 пм х к2 \Ф(M,MQnJJQlJldaM+ \{jmyVM)VM<$>{M,M,n.m)d<7M ic Р —* —'

-nManmxE\M0n^,n = \,Nvm = l,N2

•(5) I

Подставляя в элемент интегральной суммы (5) соотношение для плотности тока (4) и применяя ко второму слагаемому формулу Грина, осуществляется переход от гиперсингулярного интеграла по поверхности к интегралу по контуру, устраняющий особенность, в связи с тем, что точка наблюдения выбирается внутри параметрического прямоугольника разбиения. Вычисление первого слагаемого, являющегося слабосингулярным интегралом, осуществляется следующим способом: параметрический прямоугольник П„„, в свою очередь разбивается на меньшие части, на каждой из которых значение подынтегральной функции считается постоянным, далее интеграл вычисляется по методу прямоугольников, с учетом той особенности, что при гШ(я л -» 0, значение подынтегральной функции стремится к бесконечности, поэтому ячейка, на которой гмм -»0 исключается из квадратурной суммы.

Затем, записав полученную квадратурную сумму для всех n = \,Nv m-l,N2, получим систему из 2(W, xN2) линейных алгебраических уравнений относительно 2(N{xN2) неизвестных J0zik и JQvlk, в результате решения которой находятся проекции плотности полного тока по поверхности сг на орты локальной системы координат. После этого переходом в (1) от интеграла к квадратурной сумме вычисляется поле в любой точке пространства. Вычисление диаграммы рассеяния после получения токов осуществляется на основе известных соотношений для интеграла излучения.

Особенностью полученных квадратурных формул для решения пространственной векторной задачи дифракции является то, что их программная реализация хорошо согласуется с фацетной моделью геометрии объекта. Единство подхода при получении квадратурных формул и выражений для характеристик рассеяния обеспечивает удобство их алгоритмизации и реализации на ЭВМ в рамках объектно-ориентированного подхода в программировании.

Раздел 2 работы посвящен методическому исследованию квадратурных формул МДО средствами численного и натурного эксперимента. Сходимость численного метода определяется сходимостью квадратурных формул для соответствующих интегралов. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца имеют точные решения для плотностей токов на поверхности и возмущенного поля вне поверхности только для ограниченного набора случаев, в число которых входят задачи дифракции на окружности и сфере. На основе этих задач осуществляется проверка сходимости следующим образом: вычисляются соответствующие квадратурные суммы метода дискретных особенностей, находятся плотности и значения потенциалов простого и двойного слоя для плоских и трехмерных скалярных задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца и, сравнивая полученные зависимости с точным решением, исследуется зависимость погрешности от интервала дискретизации и других параметров. На основе проведенных исследований был сделан вывод о том, что для скалярных пространственных и плоских задач электродинамики квадратурные формулы метода дискретных особенностей позволяют численно решать сингулярные и гиперсингулярные ИУ с требуемой точностью. При увеличении числа расчетных точек наблюдается равномерная сходимость от интегральных характеристик вычисленного потенциала к точному решению. Максимальная ошибка при вычислении потенциала наблюдается вблизи поверхности (контура).

Во втором разделе работы осуществлено сравнение рассчитанных характеристик рассеяния для математической модели открытого рупора ТЕМ-волны с результатами натурного эксперимента. Экспериментальные данные были получены с помощью автоматизированного антенно-измерительного комплекса, представляющего собой единую измерительно-управляющую систему, позволяющую проводить исследования диаграмм направленности (ДН) фазированных АР и антенн различного назначения. При помощи комплекса можно осуществлять анализ антенных характеристик и техническую диагностику по измерениям поля в ближней зоне. Сравнение расчетных зависимостей и экспериментальных данных подтверждают сходимость МДО к точному решению, что позволяет сделать вывод об адекватности метода при численном решении задач дифракции ЭМВ на цилиндрических поверхностях с уголковыми образованиями и изломами.

Для проверки адекватности использования и правильности программной реализации квадратурных формул математической модели трехмерной векторной задачи дифракции выполнено сравнение результатов численного моделирования с известными из литературы решениями задачи дифракции электромагнитных волн на ряде тестовых примеров: идеально проводящих цилиндре, плоской пластинке и параболоиде вращения вида 4z = х2 +у2 (рис. 4).

Примеры выполненных предлагаемым численным методом расчётов для полуволнового вибратора приведены на рис. 5.6. В качестве модели вибратора выбран идеально проводящий цилиндр, запитываемый в центральной точке кольцом электрического поля вида Ет0 -8{z)-L, где 5{z) - символ Кро-некера. Графики нормированной амплитуды тока даны для симметричного вибратора диаметром 0.014/1 и длиной 0.5Л. Результаты расчетов хорошо совпадают с приводимыми в литературе по антеннам графиками на рис. 5.а.

Рис. 4 а)

-0.25 -0.2 -0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 б)

Рис. 5

На рис. 6.а изображены графики модуля компоненты Jx при разбиении рассеивателя на NxxNy, Nx=N,Ny=N +1 фацетов для нормального падения плоской волны вида E°nle',h ■ ix с длиной волны Я -1 (здесь и далее все линейные размеры указаны в метрах) на идеально проводящую квадратную металлическую пластинку с координатами (х е [—1,1]; у е [—1,1]; z=0). Из графиков видно, что для плотности тока существует практическая сходимость при увеличении числа фацетов, для вычисления модуля плотности тока с ошибкой не более 10% достаточно 5 фацетов на длину волны.

Щх) 45

40

N=4

-а - 85

N=6

-о-

N= 8 30

-в

10 25

20

- #■ VII

40

15

10

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0,8 1

X, м

0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.5 -0.7 -0.8 -0.9

Z, м а) б)

Рис. 6

После подстановки значений тока в (1) и перехода к квадратурной сумме, можно получить рассеянное поле в любой точке пространства вне поверхности, которое затем в сумме с падающим даст полное поле рассеяния.

На рис. 7 приведено полутоновое изображение для нормированной амплитуды компоненты, направленной вдоль оси ОХ (Ех), вектора напряженности полного электрического поля с теми же условиями возбуждения в плоскости с координатами (х е [-2,2]; у = 0; z е [-2,2]). Видно, что в направлении, с которого падает волна, образуются стоячие волны, z

Рис. 7 являющиеся суперпозицией падающей и рассеянной волн. За пластинкой образуется область тени продолжительностью порядка длины волны, затем наблюдается увеличение амплитуды в области геометрической тени. Таким образом, характер рассеяния полностью совпадает с теорией [53].

Для формирования рекомендаций по требуемому соотношению длины волны и размера фацета при нахождении распределения поля вблизи поверхности рассмотрен характер зависимости компоненты Ех вычисленного полного поля от числа фацетов, описывающих пластинку, на оси OZ в зоне возникновения стоячей волны (рис. 6.6). Из графиков видно, что для напряженности электрического поля существует практическая сходимость при увеличении числа фацетов, максимальная ошибка при определении поля наблюдается вблизи поверхности (на расстоянии, сравнимом с размером фацета) и в минимумах зависимости.

Картина силовых линий суммарного электрического поля при наклонном падении плоской электромагнитной волны с параллельной поляризацией под углом (р = 30°, длина волны Я = 0.2, приведена на рис. 8.

Силовые линии поля

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 О X

0.1

0.2

0.3

0.4

Ex(x,z)

Ex(y.z>

0.5 1 1.5 а) б)

Рис. 9

Полутоновое изображение нормированной компоненты Ех в плоскостях XOZ и YOZ приведено рис. 9.а,б. Видно, что вдоль оси ОХ результирующее поле представляет собой однородную плоскую волну с продольным волновым числом h « кпт sin(^). Амплитуды составляющих вектора электрического поля в пределах плоского волнового фронта непостоянны, а зависят от поперечной координаты z по синусоидальному закону с поперечным волновым числом g « &пад cos(^). То есть характер рассеяния совпадает с теоретическим. Похожие результаты были получены и для случая перпендикулярной поляризации.

На рис. 10 приведены результаты решения задачи рассеяния нормально падающей плоской волны вида E{)meikz • ix с длиной волны Я = 0.2 на параболоиде вращения (рис. 4).

Ex(x,z)

Ex(y,z)

-2 -1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5 а)

0.5 1 1.5 б)

Диаграммы направленности при возбуждении элементарным электрическим излучателем, находящимся в фокусе, и длинах волн Я = 0.2, Я = 0.5 изображены на рис. 11, 12. Зависимости на графиках представлены в логарифмическом масштабе для плоскостей XOZ и YOZ, угол 0 отмеряется от оси ОХ, ср - от OY в сторону положительного направления оси OZ. Характер зависимостей, ширина главного лепестка, положение и уровень боковых лепестков соответствуют известным из литературы по антеннам. a) D(G), Л = 0.2 м б) D(<p), X = 0.2 м

Рис. 11 a) D{9), /1 = 0.5 м б) D{(p), Я = 0.5 м

Таким образом, на основе результатов, полученных во втором разделе, можно сделать вывод, что предлагаемый в работе метод позволяет эффективно определять первичные и вторичные характеристики рассеяния ЭМВ на телах сложной пространственной конфигурации с контролируемой точностью.

В разделе 3 выполняется математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на телах сложной формы, необходимое для решения ряда практических задач. Исследованию зависимости характеристик направленности антенной решетки от взаимного влияния излучающих элементов в широком диапазоне частот посвящен первый подраздел. В качестве математической модели излучателя выбрана цилиндрическая поверхность, образованная движением вдоль оси OZ кривой, представляющей собой четную функцию, ветви которой являются сшиванием линейного и параболического участков (Рис. 13). Источником электромагнитного поля в модели является нить с магнитным током. В результате серии численных экспериментов показано, что соседние излучающие элементы решетки при близком расположении оказывают существенное влияние на плотность тока по раскрыву излучателя. Таким образом, при близком расположении излучающих элементов антенной системы, необходимо строго вычислять вклад наведенного соседними излучателями тока в ДН системы, так как получение аналитической или эмпирической зависимости, описывающей это явление с достаточной точностью пока не представляется возможным.

Рассмотрена антенная система, представляющая собой линейку из десяти открытых рупоров ТЕМ-волны с криволинейными стенками, которая возбуждается монохроматической ЭМВ в диапазоне длин волн, обеспечивающем перекрытие по частоте равное 3, что для АР является достаточно

Рис. 13 широкой полосой. Графики диаграммы направленности системы как функции угла сканирования и длины излучаемой волны, полученной с учетом взаимного влияния элементов в решетке и с применением теоремы об умножении ДН для расстояния между излучателями, равному их линейному размеру, изображены на рис. 13.а и рис. 13.6, соответственно.

Из приведенных графиков видно, что структура боковых лепестков (БЛ) ДН посчитанной с учетом взаимного влияния значительно отличается от зависимости, полученной применением теоремы об умножении диаграмм направленности. Осциллирующая форма БЛ и их больший уровень для ДН, полученной без учета взаимного влияния обусловлены методической погрешностью, так как теорема об умножении ДН не учитывает изменение амплитудно-фазового распределения тока по поверхности излучателя, являющегося элементом АР. Таким образом, для излучателя типа открытый рупор ТЕМ-волны с криволинейными стенками сильные взаимные связи являются полезным фактором и засчет них существенно уменьшаются боковые лепестки диаграммы направленности.

Второй подраздел посвящен определению электромагнитного поля вблизи поверхности объекта рассеяния при различных ракурсах облучения. Одной из задач, для решения которой необходимо знать поле вблизи поверхб)

Рис. 14

25

- Военный авиационный технический университет ности объекта рассеяния, является построение многоканальной адаптивной системы обработки сигнала для приемника GPS летательного аппарата. Для построения алгоритмов адаптивной обработки сигнала необходимо знать амплитуду полного поля вблизи поверхности в зоне расположения антенны при различных направлениях прихода полезного сигнала. Созданный в ходе выполнения работы математический аппарат позволяет решить эту задачу с достаточной для инженерных задач точностью. На основе проведенных исследований сформированы рекомендации по выбору местоположения основной в системе обработки сигнала антенны на поверхности J1A.

Также актуальной является задача подавления приемника GPS, расположенного на беспилотном летательном аппарате. Несмотря на то, что она, по своей сути, противоположна предыдущей в техническом плане, при ее решении может использоваться аналогичный подход в плане получения необходимой для формирования тактики применения системы радиоэлектронной борьбы информации о наилучших ракурсах облучения объекта подавления. В ходе выполнения работы проведено исследование JIA, фацетная модель которого изображена на рис. 2 и сформированы рекомендации по выбору наилучших направлений облучения объекта рассеяния помеховым сигналом.

Выводы по разделу 3.

1. При построении антенной решетки с близко расположенными излучающими элементами необходимо строго учитывать вклад взаимного влияния в характеристики направленности решетки. Для излучателя типа открытый рупор ТЕМ-волны с криволинейными стенками сильные взаимные связи являются полезным фактором и засчет них существенно уменьшаются БЛ ДН.

2. Антенная решетка, построенная из открытых рупоров Т-волны с криволинейными стенками, имеет высокий КНД (для решетки из 10 элементов значение КНД больше 5) и низкий уровень боковых лепестков в диапазоне длин волн Х = 2.5 - 10.0 см (для d = 2 см он равен 20%). Для больших расстояний между излучателями требуется смещение диапазона рабочих длин волн в сторону увеличения с целью выхода за область интерференционных максимумов.

3. На основе вычисленного с использованием созданного математического аппарата распределения поля вблизи поверхности объектов сложной пространственной конфигурации сформулированы рекомендации по учету дифракционных явлений при проектировании и формировании тактики применения радиотехнических систем различного назначения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполненных исследований, целью которых была разработка и реализация на ЭВМ метода математического моделирования процесса дифракции электромагнитных волн на объектах сложной пространственной конфигурации, были получены следующие результаты.

1. Разработан и реализован на ЭВМ метод математического моделирования дифракции произвольной ЭМВ в резонансном и нижней части высокочастотного диапазона в плоском, пространственном скалярном и пространственном векторном случаях. Задача дифракции сведена к СИУ и ГСИУ первого рода относительно плотности тока, для решения которых применяется МДО. В работе использованы квадратурные формулы типа дискретных вихревых пар (плоская задача) и рамок (пространственная задача), реализованы новые квадратурные формулы для решения пространственной векторной задачи дифракции, ориентированные на использование фацетной модели поверхности объекта, получены соотношения для нахождения вторичных характеристик рассеяния. Общность метода при математическом моделировании различных типов задач обеспечивает их эффективную алгоритмизацию в рамках использования объектно-ориентированного подхода к разработке программного обеспечения.

2. Разработана методика исследования сходимости и проверки правильности реализации квадратурных формул для плоских и трехмерных скалярных задач электродинамики, построенная на основе сравнения известных решений краевых задач для сферы и окружности с вычисленными предлагаемым численным методом.

3. Проведеное сравнение расчетных зависимостей и экспериментальных данных для открытого рупора ТЕМ-волны подтверждают сходимость метода дискретных особенностей к точному решению, что позволяет сделать вывод об адекватности метода при численном решении задач дифракции ЭМВ на цилиндрических поверхностях с уголковыми образованиями и изломами.

4. Показана практическая сходимость предложенных квадратурных формул для решения трехмерной векторной задачи дифракции при нахождении токов на поверхности и напряженности электрического поля вблизи поверхности объекта рассеяния. Обоснован выбор размера фацета для нахождения характеристик рассеяния с требуемой точностью в зависимости от длины волны и расстояния от исследуемого объекта. Адекватность применения математической модели для решения пространственных векторных задач дифракции показана средствами численного эксперимента путем определения первичных и вторичных характеристик рассеяния ЭМВ на ряде тестовых поверхностей (цилиндр, плоская пластинка, параболоид вращения) и сравнения полученных результатов с известными из литературы.

5. Исследована модель широкополосной антенной решетки с учетом взаимного влияния излучающих элементов, произведено сравнение с результатами ранее проводившихся экспериментальных работ и теоретическими исследованиями и сформулированы рекомендации по учету взаимного влияния излучающих элементов в АР.

6. На основе вычисленного с использованием созданного математического аппарата распределения поля вблизи поверхности объектов сложной пространственной конфигурации сформулированы рекомендации по учету дифракционных явлений при проектировании и формировании тактики применения радиотехнических систем различного назначения.

Предложенная в работе методика математического моделирования была разработана с учетом возможности ее уточнения и развития в области каждой из трех составляющих: моделирования поверхности, решения задачи дифракции и нахождения вторичных характеристик рассеяния, без необходимости пересмотра структуры модели в целом. К числу не реализованных в настоящее время возможностей математической модели относится интеграция с существующими системами твердотельного моделирования для задания поверхности объекта рассеяния, учет симметрии объекта, использование блочных алгоритмов линейной алгебры для повышения размерности исследуемых фацетных моделей.

1. АДАМАР Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978.

2. АЙЗЕНБЕРГ Г.З., БЕЛОУСОВ С.П., ЖУРБЕНКО Э.М. и др. Коротковолновые антенны. М.: Радио и связь, 1985.

3. АЙЗЕНБЕРГ Г.З., ЯМПОЛЬСКИЙ В.Г. Пассивные ретрансляторы для радиорелейных линий. М.: Связь, 1973.

4. АЙЗЕНБЕРГ Г.З., ЯМПОЛЬСКИЙ В.Г., ТЕРЕШИН С. Н. Антенны УКВ. -М.: Связь, 1977.

5. АНГО А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964.

6. АНФИНОГЕНОВ А.Ю. Математическое моделирование радиолокационных портретов распределенных объектов сложной формы и некоторые его приложения: Дис. . канд. физ.-мат. наук М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1996.

7. АНФИНОГЕНОВ А.Ю., ЛИФАНОВ И.К., НЕНАШЕВ А.С., ПЕТРОВ Д.Ю. Численное решение некоторых двумерных задач прикладной электродинамики. Электромагнитные волны и электронные системы, 2001, т.6, №2-3, с. 22-33.

8. БАЛЫБИН Г.Н. Антенное полотно сверхширокополосной ФАР авиационного многофункционального РЭК: Дис. . канд. тех. наук М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

9. БАСКАКОВ С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа, 1992.

10. БЕЛОГЛАЗОВ В.П., СКОТЧЕНКО А.С. Математическое описание поверхности летательного аппарата. / НММ. Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Под ред. Лифанова И.К. Сб. статей. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992, с. 54-83.

11. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ С.М., ЛИФАНОВ И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости и электродинамике. М.: Наука, 1985.

12. БОРОВИКОВ В.А., КИНБЕР Б.Е. Геометрическая теория дифракции. -М.: Сов. радио, 1978.

13. БРОНШТЕЙН И.Н., СЕМЕНДЯЕВ К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1986.

14. БУТОРИН Д.И., МАРТЫНОВ Н.А., УФИМЦЕВ П.Я. Асимптотические выражения для элементарных краевых волн. Радиотехника и электроника, т. 32, №9, 1987, с. 1818-1828.

15. БУЧ Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения. Пер. с англ. совместное издание фирмы "Диалектика" г. Киев и АО "И.В.К." г. Москва, 1992.

16. ВАЙНИККО Г.М., ЛИФАНОВ И.К., ПОЛТАВСКИЙ Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. -М.:Янус-К, 2001.

17. ВАСИЛЬЕВ Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

18. ВЕР ЛАНЬ А.Ф., СИЗИКОВ B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ: Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1978.

19. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М.: Мир, 1988.

20. ВОЕВОДИН В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977

21. ВОРОНИН В.В., ЦЕЦОХО В.А. Численное решение интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации. ЖВМ и МФ, 1981, т. 21, №1, с. 40-53.

22. Вычислительные методы в электродинамике. Пер. с англ. / Под ред. Р. МИТРЫ. -М.: Мир, 1977

23. Г АХОВ Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1974.

24. ГИНЗБУРГ В.Н., БЕЛОВА И. Н. Расчет параболических антенн. М.: Советское радио, 1959.

25. ГОЛИКОВ А.В. Состояние отечественного рынка систем конструкторской графики. PC Week Russian Edition, 1996, №24, c.45-46.

26. ГОРЛИН А.Г. Исследование влияния неоднородностей в волноводе на электромагнитные поля методом полуобращения оператора Гельмгольца. III Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков: Тезисы докладов. С-Пб. Издательство СПбГТУ, 1999, с. 23-26.

27. ДАВЫДОВ А.Г., ЗАХАРОВ Е.В, ПИМЕНОВ Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы. ДАН, 1984, т. 276, №1, с. 96-100.

28. ДАВЫДОВ А.Г., ПИМЕНОВ Ю.В. Программный комплекс EDEM3D для исследования электродинамических характеристик идеально проводящих трехмерных объектов. Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, т.7, №2, с. 24-26.

29. ЕРЕМИН Ю.А., ЗИМНОВ М.Х., КЮРКЧАН А.Г. Теоретические методы анализа характеристик рассеяния электромагнитных волн. Стационарные задачи. Радиотехника и электроника, 1992, т. 37, №1, с. 14-31.

30. ЕРОХИН Г.А., КОЧЕРЖЕВСКИЙ В.Г., ПЕТРОВСКИЙ А.А. Структура ближнего поля проволочных антенн. "ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ", 1999, №3, с. 15-24.

31. ЖЕРМЕН-ЛАКУР П, ЖОРЖ П.Л., ПИСТР Ф, БЕЗЬЕ П. Математика и САПР. Пер.с франц. М.: Мир, 1989.

32. ЗАГОРОДНОВ И.А., ЗАХАРОВ Е.В., ТАРАСОВ Р.П. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции на кубе. Вестник Московского ун-та, ВМК, 1998, №3, с. 38-42.

33. ЗАГОРОДНОВ И.А., ТАРАСОВ Р.П. Задача дифракции на телах с некоммутативной конечной группой симметрий и численное ее решение. -ЖВМ и МФ, 1997, т.37, №10, с. 1246-1262.

34. ЗАХАРОВ Е.В., ДАВЫДОВ А.Г, ХАЛЕЕВА И.В. Интегральные уравнения с ядрами типа Адамара в задачах дифракции. В кн.: Актуальные вопросы прикладной математики. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989, с. 118-127.

35. ЗАХАРОВ Е.В, ГИМЕНОВ Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

36. ЗЕРНОВ Н.В. О решении нестационарных краевых задач электродинамики. ДАН СССР, 1951, т. 80, №1, с. 33-35.

37. ИВАНОВ М.П, КАШИНОВ В.В. Экспериментальная проверка помехозащищенности GPS. Тезисы докладов VII международной конференции "Радиолокация, навигация, связь", г. Воронеж, 24-26 апреля 2001. т. 3, с. 1917-1919.

38. ИЛЬИНСКИЙ А.С, КРАВЦОВ В.В, СВЕШНИКОВ А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. школа, 1991.

39. КЕННО Е.М., МОФФАТТ Д.Л. Аппроксимация переходных и импульсных переходных характеристик. ТИИЭР, 1965, т. 53, №8, с. 1025-1034.

40. КИНГ Р, ТАЙ-ЦЗУНЬ У. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1962.

41. КИСЕЛЬ В.Н, ФЕДОРЕНКО А.И. Комбинированная методика расчета полей рассеяния сложных цилиндрических объектов. Радиотехника и электроника, 1995, т. 40, № 2, с. 182-191.

42. КОЛОБОВ В.А, ПОЛУХИН Г.А. Сверхширокополосные СВЧ-антенны. -Радиотехника, 1991, № 1, с. 23 -29.

43. КОЛТОН Д, КРЕСС Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

44. КОМЯГИН В.Б. 3D Studio. Трехмерная компьютерная мультипликация. Практ. пособ. М.: ЭКОМ, 1995.

45. КОРБАНСКИЙ И.Н. Антенны. М.: Энергия, 1973.

46. КОРБАНСКИЙ И.Н. К вопросу о дифракции электромагнитных волн вблизи выпуклых тел вращения. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1957.

47. КОРБАНСКИИ И.Н. Основы электродинамики высоких частот. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1963.

48. КРАСНОВ М.В. OpenGL графика в проектах DELPHI. С-Пб.: BHV, 2000.

49. КУПРАДЗЕ В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

50. ЛАПТЕВ Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975.

51. ЛИФАНОВ И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995.

52. ЛИФАНОВ И.К. Численное решение одномерных сингулярных интегральных уравнений. Дифференц. уравнения, 1984, т. XX, №1, с. 68-73.

53. ЛИФАНОВ И.К, МИХАЙЛОВ А.А. К расчету безотрывного и отрывного обтекания тел. Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986, вып. 1313, с. 137-145.

54. ЛИФАНОВ И.К, ПЕТРОВ Д.Ю. Модификация метода дискретных рамок к расчету некоторых пространственных задач дифракции электромагнитных волн. Электромагнитные волны и электронные системы (в печати).

55. ЛОБАНОВ В.Н. Решение уравнения Гельмгольца в волноводе с сингулярными точками на границе IV Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Тезисы докладов. С-Пб.: Издательство СПбГТУ, 2000, с. 54-57.

56. ЛЮК Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980.

57. МАЙЗЕЛЬС Е.Н, ТОРГОВАНОВ В.А. Измерение характеристик рассеяния радиолокационных целей. М.: Сов. радио, 1972.

58. Математические модели РСА. Часть 1: Математическое моделирование траекторного сигнала в РЛС с синтезированной апертурой. / Под ред. Г.С. КОНДРАТЕНКОВА. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992.

59. МЕДВЕДЕВ А.В. 3Dfiction. Компьютера, 1998, №20, с. 14-19.

60. МИТРА Р, ЛИ С. Аналитические методы теории волноводов. Пер. с англ. -М, Мир, 1974.

61. МИХЛИН С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям М.: Физматгиз, 1959.

62. МОЛОЧКОВ Ю.Б. Авиационные антенно-фидерные устройства. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1966.

63. МУСХЕЛИШВИЛИ Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

64. НИКОЛЬСКИЙ В.В, НИКОЛЬСКАЯ Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.

65. НОТТ Е.Ф, СЕНЬОР Т. Сравнение трех методов, применяемых в высокочастотной теории дифракции. ТИИЭР, 1974, т. 62, №11, с. 63-71.

66. ОВЧАРЕНКО JI.A, ПОДДУБНЫЙ В.Н. Помехоустойчивость приема фа-зоманипулированных сигналов на фоне наиболее неблагоприятных помех. Радиотехника, 1992, №7-8, с. 13-19.

67. ОСИПОВ А.В. О дифракции цилиндрических волн на импедансном клине. Радиотехника и электроника, 1995, т. 40, №7, с. 880-889.

68. Отчет по НИР Пальмира-ВУЗ. ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1991.

69. ПАНАСЮК В.В, САВРУКМ.П, ДАЦЫШИНА.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976.

70. ПЕТРЕНКО С.А. Самолет-"невидимка" ВВС США F-l 17А "Блэк Джет". -Приложение к журналу "Зарубежное военное обозрение", 1993.

71. ПЕТРОВ Д.Ю. Исследование сходимости МДО на окружности. Тезисы докладов X Международного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2001", г. Херсон, 29 мая - 5 июня 2001 г, с. 261-265.

72. ПЕТРОВ Д.Ю. Методика проверки правильности нахождения численного решения сингулярных интегральных уравнений в плоских задачах электродинамики. Электромагнитные волны и электронные системы, 2001, т.6, №2-3, с. 16-21.

73. ПИССАНЕЦКИ С. Технология разреженных матриц. Пер. с англ. М.:1. Мир, 1988.

74. ПОТЕХИН А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. -М.: Сов. радио, 1948.

75. Радиолокационные характеристики летательных аппаратов. /М.Е.ВАРГАНОВ, Ю.С. ЗИНОВЬЕВ, Л.Ю. АСТАНИН и др.; Под ред. Л.Т. ТУЧКОВА. М.: Радио и связь, 1985.

76. РОДЖЕРС Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1983.

77. САМАРСКИЙ А.А, НИКОЛАЕВ Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

78. САМОХИН А.Б. Модифицированный метод последовательных приближений. ЖВМ и МФ, 1973, т. 13, №6, с. 1402-1413.

79. СЕМЕНОВ В.А, ТАРЛАПАН О.А. Технологии реализации разреженных матричных классов. Вопросы кибернетики. Приложения системного программирования ИСК РАН, 1995, с. 164-188.

80. СЕМЕНОВ B.C., НЕВЕДОМСКИЙ А.В, ДЫБОВСКИЙ В.Г. Возбуждение полем плоской электромагнитной волны проводящего цилиндра в слоистой земле. "ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ", 1999, №2, с. 1-9.

81. СТЕЧКИН С.Б,СУББОТИН Ю.Н. Сплайны в вычислительной технике. -М, Наука, 1977.

82. ТАРАСОВ Р.П. Гармонический анализ на конечных группах и методы численного решения граничных уравнений в краевых задачах с неабелевой группой симметрий. ЖВМ и МФ, 1992, т.32, №9, с. 1515-1517.

83. ТИХОНОВ А.Н, АРСЕНИН В .Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974.

84. ТИХОНОВ А.Н, ГОНЧАРСКИЙ А.В, СТЕПАНОВ В.В, ЯГОДА А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

85. ТИХОНОВ А.Н, САМАРСКИЙ А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1986.

86. ТОЛСТОВ Е.Ф, ФИЛОНЧИКОВ В.Д, ШКОЛЬНЫЙ Л.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Теория сигналов, линейных цепей и систем. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1993.

87. ТЫРТЫШНИКОВ Е.Е. Блочные алгоритмы линейной алгебры. Вычислительные процессы и системы, 1993, Вып. 9, с. 3-31.

88. ЮО.УФИМЦЕВ П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. -М.: Сов. радио, 1962.

89. ФЕЛСЕН Л, МАРКЦВИЦ Н. Излучение и рассеяние волн. Пер. с англ. / Под ред. М.Л. Левина. М.: Мир, 1978.

90. ФЕЛБД Я.Н, БЕНЕНСОН Л.С. Антенны сантиметровых и дециметровых волн. М.: ВВИА им. Н.Е Жуковского, 1997, Ч. 1.

91. ФИЛИППОВ B.C. Численное исследование характеристик сверхширокополосных излучающих структур. Отчет о научно-исследовательской работе Итерация-1, МАИ, 1991.

92. ФОК В.А. Распределение токов, возбуждаемых плоской волной на поверхности проводника. ЖЭТФ, 1945, т. 15, №12, с. 639.

93. Ю5.ФОЛИ Дж, ВЭН ДЭМ А. Основы интерактивной машинной графики: В 2-х книгах. Кн. 2. Пер. с англ.- М.: Мир, 1985.

94. ХЕНЛ X, МАУЭ А, ВЕСТПФАЛЬ К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

95. ШТАГЕР Е.А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. М.: Радио и связь, 1986.

96. ШТАГЕР Е.А, ЧАЕВСКИЙ Е.В. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. М.: Сов. радио, 1974.

97. ЮСЕФ Н.Н. Эффективная площадь отражения сложных радиолокационных целей. ТИИЭР, 1989, т. 77, №5, с. 100-112.

98. ЯРЛЫКОВ М.С, БОГАЧЕВ А.С, МИРОНОВ М.А. Боевое применение и эффективность авиационных радиоэлектронных комплексов. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1990.

99. ЯЦКЕВИЧ В.А, ФЕДОСЕНКО Л.Л. Антенны для излучения сверхширокополосных сигналов. Известия вузов, сер. Радиоэлектроника, 1986, т 29.

100. ABEREGG K.R, PETERSON A.F. Application of the integral equation asymptotic phase method to two-dimensional scattering. - IEEE Trans. Antenn. Propagat, 1995, Vol. 43, №5, pp. 534-537.

101. ANFINOGENOV A.Yu, LIFANOV I.I. On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction problems. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling, 1992, Vol. 7, №5, pp. 387-404.

102. ANFINOGENOV A.Yu, LIFANOV I.K. On the numerical solution of integral equations of the first kind. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling, 1998, Vol. 13, №3, pp. 159-168.

103. BALYBIN G. N, LIFANOV I. I, LIFANOV I. K, MOLOCHKOV Yu. B. Mathematical modeling of wide-band horn antennas. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, Vol. 10, No. 1, pp. 1-8.

104. BOUCHE D.P, MOLINET F.A, MITTRA R. Asymptotic and hybrid techniques for electromagnetic scattering. Proc. IEEE, 1993,Vol. 81, №12, pp. 1658-1684.

105. CANNING F.X. Transformation that produce a sparse moment method matrix. J. of Electromagn. Waves and Appl, 1990, Vol. 4, №9, pp. 893-913.

106. DE LANO R.H. A Theory of Target Glint or Angular Scintillation in Radar Tracking. Proc. IRE, 1953, Vol. 41, №4, pp. 61-63.

107. GRAGLIA D.R, USLENGI P.L, VITIELLO R., D'ELIA U. Electromagnetic scattering for oblique incidence on impedance bodies of revolution. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1995, Vol. 43, №1, pp. 11-26.

108. HERRMANN G.F, STAIN S.M. Sampling method using prefiltered band-limited Green's functions for the solution of electromagnetic integral equation. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1993, Vol. 41, №1, pp. 867-878.

109. HUANG C, WU Z, NEVELS R.D. Edge diffraction in the vicinity of the tipof a composite wedge. IEEE Trans. Geosc. Remote Sensing, 1993, Vol. 31, №5, pp. 1044-1050.

110. JIANJIANG Zh, YOUNGZE Sh. Radar cross-section computations of arbitrarily complicated targets by applying the panel method. J. Electron. (China), 1992, Vol. 9, №2, pp. 140-145.

111. KELLER J.B. Geometrical theory of diffraction. J. Opt. Soc. Am, 1962, Vol. 52, №2, pp. 116-130.

112. KLEMENT D, PREISSNER J, STEIN V. Special problems in applying the physical optics method for backscatter computations of complicated objects. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1988, Vol. 36, №2, pp. 228-237.

113. KNOTT E.F. A progression of high-frequency RCS prediction techniques. -Proc. IEEE, 1985, Vol. 73, №2, pp. 252-264.

114. KOBAYASHI K, NOSICH A.I. RCS analysis of canonical, two-dimensional material-loaded cavities with rectangular and circular cross sections. Ann. Telecommun, 1995, Vol. 50, №5-6, pp. 517-522.

115. LIFANOV I.I, LIFANOV I.K. Antenns-difraction problems and singular solutions of singular integral equations.- J. of Electromagnetic Waves and Applications, 1996, Vol. 10, pp. 925-937.

116. LIFANOV I.I, LIFANOV I.K, NOVIKOV S.N. Numerical solution of the Neuman three-dimensional problem for the Helmholtz scalar equation for bodies of complex form. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, Vol. 11, №.4, pp. 359-366.

117. LIFANOV I.K. Singular Integral Equations and Discrete Vortices. VSP, The Netherlands, 1996.

118. MEDGYESI-MITCHANG L.N, DAU-SING W. Hybrid methods in computational electromagnetics: A review. Comput. Phys. Commun, 1991, Vol. 68, №1-3, pp. 76-94.

119. MEDGYESI-MITCHANG L.N, WANG S.D. Hybrid methods for analysis of complex scatterers. Proc. IEEE, 1989, Vol. 77, №5, pp. 770-779.

120. MICHAELI A. Elimination of infinities in equivalent edge currents, Part II: Physical optics component. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1986, Vol. 34,8, pp. 1034-1037.

121. MICHAELI A. Equivalent edge currents for arbitrary aspect of observation. -IEEE Trans. Antennas Propagat, 1984, Vol. 32, №3, pp. 252-258.

122. MILLER E.K. A selective survey of computational electromagnetics. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1988, Vol. 36, №9, pp. 1281-1305.

123. REINIG K.D. Rapid radar backscatter simulation of detailed targets. IEEE Trans. Aerospace Electronic Systems, 1990, Vol. 26, №5, pp. 858-865.

124. RIUS J.M, FERNANDO M, JOFRE L. High-frequency RCS of complex radar targets in real-time. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1993, Vol. 41, №9, pp. 1308-1319.

125. RIUS J.M, VALL-LLOSSERA M, CARDAMA A. GRECO: graphical processing methods for high-frequency RCS prediction. Ann. Telecommun, 1995, Vol. 50, №5-6, pp. 551-556.

126. UFIMTSEV P.Ya. Elementary edge waves and the physical theory of diffraction. Electromagnetics, 1991, Vol. 11, №1-2, pp. 125-160.

127. UMASHANKAR K.R, NIMNAGADDA S, TAFLOVE A. Numerical analysis of electromagnetic scattering by electrically large objects using spatial decomposition technique. IEEE Trans. Antennas Propagat, 1992, Vol. 40, №8, pp. 867-878.

128. WOHLERS M.R, HSIAO S, MENDELSOHN J, GARDNER G. Computer simulation of synthetic aperture radar images of three dimensional objects. -IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst, 1980, Vol. 16, №3, pp. 258-271.

129. YOUSSEF N.N. Radar cross section of complex targets. Proc. IEEE, 1989, Vol. 77, №5, pp. 722-734.