автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода конечных элементов в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах

На правах рукописи

КОНЯЕВ Денис Алексеевич

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В

СЛОЖНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 5 ФЕВ 2015

Москва —2015

005559477

005559477

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Андрей Леонидович Делицын

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Института информационных технологий МГТУ МИРЭА

Самохин Александр Борисович,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Лаборатории информационных

технологий Объединённого института ядерных исследований Гусев Александр Александрович

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

электродинамики Российской академии наук

Защита состоится «20» марта 2015 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 на базе Российского университета дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6 (отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу) или на официальном сайте диссоветов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru/ .

Автореферат разослан « » ра А X 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Л А Ч'п лМ// Фомин М.Б

О

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена математическому моделированию дифракции акустических и электромагнитных полей на рассеивателях сложной структуры, состоящих из нескольких тел. В работе проведено численное исследование задачи дифракции. Для этого разработаны алгоритмы, написаны и протестированы программы, реализован вычислительный эксперимент по установлению параметров, при которых предложенные методы и алгоритмы обеспечивают необходимую точность при весьма ограниченных затратах объёмов памяти и времени счёта. Для решения задачи дифракции применяется метод конечных элементов, как наиболее универсальный метод численного решения краевых задач в сложных областях. Чтобы ограничить область, в которой ставится краевая задача, на границе области ставятся парциальные условия излучения. Также в реализованном комплексе программ имеется возможность использования радиационных граничных условий первого порядка. В работе представлены примеры решения задач дифракции акустических и электромагнитных волн на различных сложных рассеивателях.

Актуальность работы.

Математическое моделирование волновых полей в сложных средах является актуальной задачей в области радиолокации, антенной техники, электроразведки, биомедицины и др. При этом, для решения обратных задач и задач синтеза электромагнитных и акустических устройств необходимо иметь надёжный алгоритм решения прямых задач [1].

Для решения задачи дифракции разработано большое количество методов решения [2], которым присущи, однако, существенные ограничения при решении практических задач. Одним го наиболее универсальных методов является метод конечных элементов [3], позволяющий решать краевые задачи в сложных областях и средах с переменными характеристиками. Его применение в теории дифракции сталкивается с проблемой ограничения области и учета условий излучения [4]. Точный учёт условий излучения требует постановки нелокальных

\

краевых условий на фиктивной границе расчётной области [2] и их использование в методе конечных элементов.

Степень разработанности темы исследования.

Задача дифракции волновых полей на различного рода рассеивателях прошла длинный эволюционный путь развития от простейших приближённых методов нахождения дифракционного поля, позволяющих исследовать некоторые простые случаи дифракции волновых полей на препятствиях специальной формы [5], до современных, более сложных приближённых методов решения задачи дифракции - численных и асимптотических [2], в которых в качестве исходной задачи рассматривается строгая математическая постановка задачи дифракции. Для некоторых простых видов рассеивателей найдены также и аналитические решения задачи дифракции [6]. Однако, как правило, аналитическое решение не удаётся получить для областей со сложной структурой. Поэтому важную роль играют численные и асимптотические методы решения задачи дифракции. Асимптотические методы являются весьма универсальными, но требуют наличия некоторого малого параметра, поэтому не всегда применимы. Примеры использования асимптотических методов можно найти в [7]. В связи с этим важную роль играют численные методы построения решения математической задачи дифракции.

Среди исследователей популярным является следующий подход к решению задачи дифракции. Исходная краевая задача заменяется эквивалентным интегральным уравнением [2], чаще всего интегральным уравнением первого или второго рода на некоторой границе [8], в частности на границе рассеивателя. С развитием вычислительной техники весьма популярными также стали интегральные уравнения, интегрирование в которых производится по внутренней области тела рассеивателя. Основным достоинством методов, использующих постановку задачи дифракции в виде интегральных уравнений является возможность решения поставленной задачи только во внутренней области рассеивателя, или на некоторой границе, за счёт чего достигается экономия вычислительных ресурсов. Однако, при наличии нескольких рассеивателей,

применение этих методов значительно усложняется, особенно если структура рассеивателей разнообразна - например, совокупность проницаемых и непроницаемых рассеивателей.

Существуют также методы, использующие постановку задачи дифракции в виде краевой задачи [2]. В частности к таким методам можно отнести проекционные методы, ярким представителем которых является метод дискретных источников [9], который также может быть получен и отталкиваясь от постановки задачи дифракции в виде интегральных уравнений.

Как уже было сказано, при решении краевых задач в сложных областях наиболее универсальным является метод конечных элементов [3]. Однако, в связи с тем, что задача дифракции ставится в неограниченной области, применение этого метода требует серьёзных затрат вычислительных ресурсов [10]. Задача ограничения области и постановки оптимальных граничных условий на фиктивной границе, позволяющих достичь максимальной точности результатов при минимальных вычислительных затратах, сама по себе является весьма сложной. Для этого требуется постановка неотражающих условий на границах расчётной области, обеспечивающих поглощение падающих на них волн [4]. Основным недостатком этих условий является отсутствие универсальности их построения.

Парциальные условия излучения [2] являются точными и позволяют расположить фиктивную границу достаточно близко к рассеивателям. В тоже время, их использование требует адаптации к методу конечных элементов, которая была проведена в настоящей работе.

Цели и задачи исследований.

Целью данной работы является разработка алгоритма и комплекса программ, реализующего метод конечных элементов для решения задачи дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах с использованием парциальных условий излучения.

Основные цели диссертации достигаются решением следующих задач:

1. Программная реализация алгоритма построения неструктурированной сетки в сложных областях в двумерном и трёхмерном случаях.

2. Программная реализация алгоритмов хранения разреженных матриц и операций над ними.

3. Программная реализация алгоритмов сборки разреженных матриц, получаемых при применении метода конечных элементов к двумерным и трёхмерным задачам дифракции, при использовании простых граничных условий на фиктивной границе.

4. Программная реализация алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами.

5. Разработка и программная реализация алгоритма применения парциальных условий излучения при использовании метода конечных элементов для решения задачи дифракции в двумерном и трёхмерном случаях. Распараллеливание наиболее затратных участков алгоритмов.

6. Тестирование разработанного программного комплекса.

7. Получение решений частных случаев задач дифракции, демонстрирующих возможности реализованного программного комплекса.

Научная новизна работы.

При реализации численных методов для решения каких-либо практических задач исследователь может столкнуться с выбором между эффективностью и универсальностью при выборе конкретного алгоритма. Это имеет место и в рассматриваемой задаче дифракции. Если при рассмотрении задачи дифракции типы рассматриваемых рассеивателей заведомо принадлежат какому-либо специальному классу, то исследователь может создать программный комплекс, позволяющий эффективно с минимальными затратами решать задачи для рассматриваемого класса рассеивателей, например если рассматривать только непроницаемые рассеиватели, или рассеиватели состоящие из одного тела, или же рассеиватели расстояние между которыми велико [2]. В противном случае, если класс рассматриваемых рассеивателей достаточно широк и сложен, возникает потребность в применении более универсальных методов, которые уже могут не

обладать столь высокой степенью эффективности. На сегодняшний день наиболее универсальным методом решения краевых задач в сложных областях является метод конечных элементов [3]. Применение этого метода к задаче дифракции длительное время считалось излишне ресурсоёмким из за неограниченности области, в которой ставится краевая задача, поэтому возникает необходимость ограничения расчётной области при применении метода конечных элементов. Вследствие этого, при использовании простых с точки зрения практического применения граничных условий возникает необходимость рассмотрения расчётной области внушительных размеров. В данной работе использовались парциальные условия излучения [2] на фиктивной границе, которые позволяют максимально уменьшить расчётную область. Однако эти условия представляют собой сложный интегро-дифференциальный оператор, который в свою очередь представляется в виде медленно сходящегося ряда. В данной работе ряд заменялся его частичной суммой с небольшим числом членов. При этом результаты численного эксперимента показали неплохое согласие с известными аналитическими решениями задачи дифракции.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость данной работы заключается в доказательстве вычислительной эффективности применения метода конечных элементов к задаче дифракции с использованием парциальных условий излучения в виде частичной суммы соответствующего ряда. Причём в качестве вычислительной машины при этом достаточно использовать мощный современный персональный компьютер.

Практическая значимость работы заключается в реализации программного комплекса, позволяющего решать акустические задачи дифракции в сложных двумерных и трёхмерных областях, и некоторые задачи дифракции электромагнитных волн на сложных рассеивателях, которые могут быть сведены к двумерной задаче дифракции скалярного волнового поля.

Методы исследования.

При выполнении рассматриваемого исследования ключевым подходом следует считать метод вычислительного эксперимента [11]. В этом методе принято выделять пять основных этапов:

1. Построение математической модели рассматриваемого явления.

2. Составление численного алгоритма решения математической задачи.

3. Программная реализация алгоритма решения математической задачи.

4. Расчёты на вычислительной машине.

5. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, и уточнение модели.

В настоящее время математическая модель задачи дифракции широко используется в различных приложениях. Существует несколько возможных эквивалентных с математической точки зрения формулировок этой модели. Например, задачу дифракции можно сформулировать в виде сингулярного интегрального уравнения [12] или в виде краевой задачи с условиями излучения Зоммерфельда на бесконечности [2], или же в виде краевой задачи с применением принципа предельного поглощения или предельной амплитуды, для выделения единственного решения [2].

Для решения задачи дифракции в работе был разработан алгоритм, реализующий ' метод конечных элементов в связи с универсальностью его применения к задачам, решаемым в сложных областях. При этом, как было сказано выше, одной из основных задач данной работы является разработка алгоритма применения парциальных условий излучения при конечно-элементном анализе задачи дифракции.

В соответствии с третьим этапом проведения численного эксперимента был разработан и протестирован комплекс программ, позволяющий решать задачу дифракции скалярного волнового поля на сложных рассеивателях, состоящих из нескольких тел, методом конечных элементов с использованием парциальных условий излучения.

Далее, были произведены вычисления, демонстрирующие возможности разработанного комплекса программ.

Положения, выносимые на защиту. 1. Доказана вычислительная эффективность парциальных условий излучения в конечно-элементном анализе задачи дифракции в сложных средах методом численного эксперимента.

2. Разработан алгоритм применения парциальных условий излучения в методе конечных элементов, позволяющий моделировать явление дифракции в сложных средах.

3. Разработан и реализован программный комплекс, позволяющий решать задачу дифракции на рассеивателях, состоящих из многих тел.

Личный вклад автора.

Результаты, представленные в диссертации, впервые были получены автором. В частности, были разработаны и реализованы:

1. Алгоритм применения парциальных условий при конечно-элементном анализе задачи дифракции волн на сложных рассеивателях

2. Комплекс программ, построения численного решения задачи дифракции скалярного волнового поля на рассеивателях сложной структуры. Данный пакет программ включает:

1) Генератор неструктурированных сеток для сложных многосвязных областей.

2) Библиотеку классов языка Delphi для работы с разреженными матрицами.

3) Пакет программ для решения СЛАУ высокого порядка методом GMRES с предобусловливанием. При этом разработан и реализован параллельный вариант неполного LU разложения.

4) Пакет программ предназначенный для визуализации результатов.

Было произведено тестирование реализованного программного комплекса. Математическая постановка задачи и интерпретация полученных результатов осуществлялась под руководством проф. Андрея Леонидовича Делицына. Результаты диссертации полностью отражены в семи работах, в том числе в трёх статьях [А1-АЗ], опубликованных в журналах, входящих в «Перечень российских

рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук». В совместных работах [А2, АЗ], автором разработан и реализован в виде пакета программ алгоритм решения задачи, произведено тестирование и оформление результатов. А.Л. Делицын принимал участие в общей постановке задачи, обсуждении и интерпретации результатов, редактировании статей и осуществлял общее руководство работой.

Достоверность результатов.

В главе 3 диссертации представлены результаты тестирования реализованного комплекса программ. В этой главе рассматривается сравнение результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями. Из результатов этих сравнений видно, что при рекомендуемом выборе параметров приближённых парциальных условий ошибка в сеточной С норме уменьшается при уменьшении линейного размера элементов сетки. Погрешность решения тестовых задач при этом составляла от десятых долей процента до нескольких процентов.

Апробация работы.

Результаты, представленные в работе, докладывались на нескольких конференциях. Тезисы докладов с этих конференций представлены в виде публикаций, представленных в списке работ автора (пункты А4 - А7).

Также, результаты диссертационной работы обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Математические методы в естественных науках» (руководитель А.Н. Боголюбов).

Структура и объём диссертации.

Текст диссертации изложен на 142 страницах, и состоит из титульного листа, оглавления, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 пункта.

Краткое содержание диссертации.

Во введении представлены актуальность темы исследования, степень разработанности темы исследования, цели и задачи, обоснование научной новизны задачи, теоретическая и практическая значимость работы, методология и методы исследования, положения, выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов.

Первая глава диссертации начинается с постановки исследуемой задачи. Формулируется математическая задача дифракции на рассеивателе, состоящем из нескольких тел сложной структуры, которую с использованием условий излучения Зоммерфельда на бесконечности можно записать в следующем виде [2,6]

Д(г(М) + v0(А/)) + А:2(М)(г(М) + v0(M)) = 0, (Ai) G П0; д{у(M) + v0(M)) + рда(м)(уСм) + Vq{m)^ = hw(M)r (M) е gilw. (])

lim arX-^-ikoviM)) = 0;

Г-»оо ОТ

где k2(M) = q(M) * k02,pw(M),hw(M') - заданные функции, k0 = ш/с0 -волновое число соответствующее однородной среде, заполняющей il0, w = 1,2,..., f(r) = Vr - в двумерном случае, и f(г) = г в трёхмерном случае, v0(M) — падающая волна, а М — (х, у) в двумерном случае, и М = (х, у, z) в трёхмерном случае. При этом, области пространства, принадлежащего телам проницаемых рассеивателей, то есть рассеивателей, не обладающих достаточно большим поглощением, включены в область fi0. При этом на границах таких тел ставятся условия сопряжения, являющиеся условиями непрерывности полного волнового поля v(M) + v0(M) и его нормальной производной.

Для численного решения задачи дифракции методом конечных элементов такая постановка задачи является неконструктивной в связи с наличием бесконечной области Г10, в которой необходимо построить решение. В связи с этим область следует ограничить некоторой фиктивной границей. Наиболее простым в данном случае является выбор сферы в трёхмерном случае и

окружности в двумерном случае в качестве фиктивной границы. При этом возникает важный вопрос о постановке граничного условия на этой границе.

Наиболее простым, но как показывает практика непригодным с вычислительной точки зрения, является постановка условий Зоммерфельда не на бесконечности, а на фиктивной границе, выбрав при этом достаточно большой радиус этой границы. Более эффективным является выбор радиационных граничных условий первого порядка, не являющихся точными [4]:

(ди(М) 1

О,

(2)

где т = 2 в двумерном случае и т = 1 в трёхмерном случае.

Однако, известно, что на фиктивной границе, можно поставить и точные граничные условия, называемые парциальными условиями излучения [2] дv(M)

дг

= ¥ММ),

где для удобства введён оператор V. В двумерном случае

Ч>v(M) ■■

П*(.г,ср)] = [ £ ^ \ ____

/С0Я«'(М)

- [ у(Я,<р)е-1т'Ы<р 2п ]

у1ТП(р

(3)

(4)

и в трёхмерном случае

м) = ч*[у(г,е,<р)] =

/ -г«-" II

ни

СМ)

1 \(п-|т|)!(2п+1)

Я

(1)

п+1/2

(М)

^п=0 т=-п ' п 2п

11 р(Я,в,(р~)Р^т1\со5в)е-'т,Р Бтв йвс1<р

2В. I 4л(п + |т|)!

1(|т|) (со8 0)е'т4

(5)

Воспользовавшись рекуррентными формулами для цилиндрических функций, а также оценками скоростью убывания коэффициентов рядов Фурье несложно показать, что ряды, входящие в оператор Ч1, сходятся чрезвычайно медленно. Поэтому, в связи с накоплением ошибок при численном суммировании

большого числа членов ряда, существует два пути использования этих условий на фиктивной границе.

1. Замена ряда конечной суммой с числом слагаемых, определяемым исходя из результатов, получаемых для задачи, имеющей аналитическое решение.

2. Поиск возможности ускорения сходимости рассматриваемых рядов. В диссертационной работе применяется первый подход.

Основным преимуществом, при использовании парциальных условий излучения является возможность максимально приблизить фиктивную границу к телам рассеивателей, тем самым сократив вычислительные затраты.

Также, в первой главе представлено описание метода конечных элементов, а также рассмотрены этапы построения численного решения задачи дифракции.

Вторая глава содержит подробное описание этапов построения численного решения задачи дифракции. А именно реализованные автором программы:

1. Построение треугольной в двумерном случае и тетраэдрической в трёхмерном случае сетки. Производится обзор существующих методов построения таких сеток. Затем приводится описание программной реализации используемого метода граничной коррекции.

2. Описание сборки матриц системы линейных алгебраических уравнений, получаемых при применении метода конечных элементов к краевой задаче. Для этого используется формат хранения разреженных матриц -разреженный строчный формат.

3. Описание разработанного автором алгоритма сборки матриц соответствующих приближённым парциальным условиям излучения. Сведение этого этапа к сборке простых матриц, или матриц известного типа.

4. Обзор алгоритмов решения СЛАУ, описание реализации итерационного метода реализованного в работе — обобщённого метода минимальных невязок с использованием предобусловливания. Описание разработанной и реализованной автором параллельной версии алгоритма построения матрицы неполного Ш разложения.

5. Описания способа представления результатов. Построение диаграмм

рассеяния.

Третья глава посвящена тестированию, анализу и интерпретации построенного комплекса программ. Путём численного эксперимента выявляются наиболее подходящее количество слагаемых в частичных суммах приближённого оператора парциальных условий излучения.

В качестве тестовых задач рассматриваются задачи дифракции волн на непроницаемых бесконечном круговом цилиндре и сфере. Аналитические решения этих задач известны [6]. В рассматриваемых диапазонах волновых чисел ряды, представленные в этих решениях, сходятся достаточно быстро.

Сначала проводится тестирование реализации метода конечных элементов в двумерном случае. Применение приближённых условий излучения Зоммерфельда не позволяет достичь адекватных результатов, поэтому это тестирование производится с использованием радиационных граничных условий первого порядка.

Затем производится тестирование реализованного программного комплекса с использование парциальных условий излучения, сопряжённое с поиском оптимального числа слагаемых в приближённом операторе V. Исходя из этих тестов, в работе был сделан вывод, что суммирование в операторе приближённых парциальных условиях в двумерном случае лучше производить от -50 до 50, однако и при больших значениях числа слагаемых накопление ошибок за счёт суммирования всё ещё невелико. В трёхмерном же случае суммирование лучше производить от 0 до 15, однако, при больших значениях числа слагаемых накопление ошибок за счёт суммирования большого числа членов ряда уже более заметно, из-за наличия внутренней суммы.

Далее проводилось тестирование разработанного комплекса программ при использовании парциальных условий излучения при изменении различных параметров задачи. Полученные результаты полностью согласуются с известными аналитическими решениями.

В четвёртой главе представлены примеры работы разработанного программного комплекса, то есть построения численного решения задачи дифракции скалярного волнового поля на различных сложных рассеивателях.

В параграфе 1 рассматривается двумерный случай. Приведём пример решения двумерной задачи дифракции, представленный в этом параграфе. Рассмотрим рассеиватель, состоящий из проницаемого эллипса с центром в точке (0; 0) и полуосями а = 4 и Ь = 0,8 и двух непроницаемых фигур заданных неравенством:

F(r, <р) = 1/Vcos2 (2 cos <р)+ cos2 (2sin <р) - г2 > 0, (6)

с центрами в точках (0;2,5) и (0;-2,5). Возьмём к0 = 1, R = 4,5, h = 0,08 и

^ ^ _ |5(2 + sin(nx))e-:y2, при (х.у)принадлежащих эллипсу ^ ( 1, при (х,у)не принадлежащих эллипсу

Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и

диаграмма рассеяния представлены на рисунке 1.

В параграфе 2 рассматривается трёхмерный случай. Приведём пример

решения трёхмерной задачи дифракции, представленный в этом параграфе.

Рассмотрим рассеиватель, состоящий из четырёх непроницаемых эллипсоидов с

центрами в точках и полуосями щ, bi и q значения которых

представлены в таблице 1. Возьмём к0 = 3, соответствующее резонансному

режиму в задаче рассеяния, R = 1 и шаг сетки h = 0,05. В качестве падающей

волны выберем:

VgOX _ e~ik0x _ e~ikar cos <p sine (g)

Рассеиватель, а также полученная диаграмма рассеяния представлены на рисунках'2, 3 и 4.

«Р.е д.

1.43 я

Рисунок 1. а) - треугольная сетка, б) - действительная часть полного волнового поля, в), г) - диаграмма рассеяния.

-4.5 '

-4.5 -2.25 0 2,25 X, ед.

в)Диаграмма рассеяния

б) Зависимость йе и от м=(х;у) -2,82 -1,47 -0,13 1,22 2,56

а) Треугольная сетка

у,ед. 2,25

4'5 4.5 "

х, ед.

г) Диаграмма рассеяния в полярной с.к. г((р) = й(<р),ед.

Падающая волна 0.57ТГ -

Таблица 1. Параметры рассеивателей.

г X; У; а-1 ь,- с,-

1 0,5 0 0 0,25 0,5 0,25

2 0 -0,5 0 0,25 0,25 0,5

3 -0,5 0 0 0,25 0,5 0,25

4 0 0,5 0 0,25 0,25 0,5

-0.5

У.ед.

0 г.ед. -0,5

1 1 0.5

х, ед.

Рисунок 2. Рассеиватель.

0.25

г, ед. 0,5

0.75

1 О

0,25

г,е д. 0.5

0,75

Падающая волна

1 ! 0,5 0 "0,5 ед.

Рисунок 3. Диаграмма рассеяния.

> ! о,5 0 -0,5 -1 У. ед.

Рисунок 4. Диаграмма рассеяния.

Заключение.

В диссертационной работе была исследована методом численного эксперимента вычислительная эффективность парциальных условий излучения при конечно-элементном анализе двумерной и трёхмерной задач дифракции акустических волн на рассеивателях сложной структуры, включающих несколько тел, природа которых может быть различной. Также, представленные в двумерном случае результаты, можно трактовать как некоторые частные случаи трёхмерной задачи дифракции электромагнитных волн на сложных рассеивателях.

Также в диссертационной работе представлен реализованный программный комплекс, позволяющий численно решать двумерные и трёхмерные задачи дифракции скалярных волн на рассеивателях сложной структуры включающих несколько тел, природа которых может быть различной. Двумерные задачи могут рассматриваться как акустические, или как частный случай электромагнитных. При этом заложена возможность постановки граничных условий третьего рода на фиктивной границе, что в частности даёт возможность использовать радиационные граничные условия первого порядка на фиктивной границе. При этом результаты тестирования показывают, что с точки зрения точности получаемых результатов выгоднее использовать парциальные условия излучения.

Список публикаций.

AI. Коняев Д.А. Метод конечных элементов для решения скалярной задачи дифракции на двумерных рассеивателях сложной структуры // Вестник Московского Университета. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. №4 стр. 30-36.

А2. Коняев Д.А., Делицын АЛ. Математическое моделирование дифракции акустических и электромагнитных полей на сложных рассеивателях методом конечных элементов // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. N4. URL: http://jre.cplire.rU/ire/aprl4/3/text.pdf

A3. Коняев Д.А., Делицын А.Л. Метод конечных элементов с учётом парциальных условий излучения для задачи дифракции на рассеивателях сложной структуры // Математическое моделирование. 2014. Том 26. №8, стр. 48-64. A4. Коняев Д.А. Метод конечных элементов для решения задачи дифракции.//Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2012» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2012. А5. Коняев Д.А. Реализация метода конечных элементов для задачи дифракции.//Труды Российского научно-технического общества радиотехники электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. Выпуск V, 2012г., стр. 41-43.

А6. Коняев Д.А. Реализация метода конечных элементов для решения скалярной задачи дифракции с использованием парциальных условий излучения//Труды Российского научно-технического общества радиотехники электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. Выпуск VI, 2013г., стр. 67-69. А7. Коняев Д.А. Строгий учёт парциальных условий излучения в конечно-элементном анализе задачи дифракции. // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2013.

Цитируемые труды

1. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Задачи распознавания и синтеза в теории дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 10. С. 1594-1607.

2. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. Москва: «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1991.

3. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. Москва: Издательство «МИР», 1977.

4. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчётной области. Москва: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003.

5. Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции // Успехи физ. наук. 1959. Т. 69. № 2. С. 321-334.

6. Хёнл К., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Москва: Издательство «МИР», 1964.

7. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. Наука, 1972.

8. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Москва: Издательство «МИР», 1987.

9. Ерёмин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. Издательство Московского Университета, 1992.

10. Медведик М.Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. № 1.

11. Самарский A.A. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. Наука, 1988.

12. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. №2.

Коняев Д.А.

Применение метода конечных элементов в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах

Диссертация посвящена математическому моделированию дифракции акустических и электромагнитных полей на рассеивателях сложной структуры, состоящих из нескольких тел. Для решения задачи применяется метод конечных элементов, как наиболее универсальный метод численного решения краевых задач в сложных областях. Чтобы ограничить область, в которой ставится краевая задача, используется её формулировка с использованием парциальных условий излучения. Реализован программный комплекс, при помощи которого можно строить численные решения задач дифракции на рассеивателях сложной структуры. Кроме парциальных условий излучения программный комплекс также позволяет задать на внешней границе радиационные граничные условия первого порядка. СЛАУ, полученная в результате применения метода конечных элементов, хранится в разреженном строчном формате, а её решение ищется обобщённым методом минимальных невязок с предобусловливанием. В работе представлены примеры решения задач дифракции для различного рода сложных рассеивателей.

Konyaev D.A.

Finite element method application to diffraction problem of acoustic and electromagnetic fields in complex media

Dissertation is devoted to mathematical modeling of acoustic and electromagnetic wave diffraction on obstacle with complex structure, that can consists of several bodies. As the most universal method of numerical solution of boundary value problems in complex domains the Finite Element Method is applied for solving this problem. Statement of the boundary problem with partial radiation conditions is used to confine the domain in which this problem is considered. The software package is realized. One can construct a numerical solution of diffraction problems on the obstacle with complex structure by using this software. One can also use well known radiation boundary conditions of first order instead of partial radiation conditions. System of Linear Algebraic Equation obtained by applying of the finite element method is stored in Compressed Row Storage, and its solution is calculated by Generalized Minimal Residual Method with preconditioning. Examples of the numerical solution of diffraction problems for various kinds of complex obstacles are presented in this work.

Подписано в печать 23.01.2015 г. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат 60x90/16. Усл. печ. л.1. Заказ № 191. Тираж 100 экз. Типография «КОПИЦЕНТР» 119234, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д.20 Тел. 8(495)213-88-17