автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование диагностирования полостей в стержне по собственным частотам колебаний

005015770

На правах рукописи

Саляхова Елена Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПОЛОСТЕЙ В СТЕРЖНЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 05.13.18 —математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

У

1 0

і

Уфа—2012

005015770

Работа выполнена на кафедре механики сплошных сред Башкирского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ахтямов Азамат Мухтарович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Спивак Семён Израилевич;

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Бояркин Дмитрий Иванович.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики им. P.P. Мавлютова Уфимского научного центра Российской академии наук.

Защита состоится 24 мая 2012 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева» по адресу: 430005, Республика Мордовия, г. Саранск, проспект Ленина, д. 15, корп. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.- мат. наук, профессор

Кузьмичёв Н.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций. Оптико-визуальные методы контроля дают результат лишь для повреждений, достигших относительно больших размеров и расположенных на внешней поверхности, поэтому не всегда применимы. Например, в протяженных объектах типа трубопроводных систем, нефтедобывающих штанг не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и локального приборного диагностирования повреждений. Даже при их доступности, не во всех случаях представляется возможным определение местных дефектов конструкций, обусловленных местной коррозией, охрупчиванием, появлением трещин.

Поэтому в настоящее время остро стоит вопрос создания все новых методов диагностики технических систем в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения надежности функционирования оборудования.

Методы диагностики, основанные на измерении собственных частот колебаний, имеют достаточно широкое распространение для определения физико-механических свойств различных материалов и конструкций. Они относятся к акустическим методам диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения.

На практике большой интерес представляют колебания стержней при различной их заделке (такие системы широко используются в технике - различные валы, оси и т.п.) В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики полостей в стержнях по собственным частотам колебаний, а также их численному исследованию, представляется актуальной.

Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней по собственным частотам изгибных колебаний. В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1) моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей); численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от местоположения и размеров полости в стержне;

2) разработка численного метода расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих колебания дефектных и бездефектных стержней;

получение теоретических доказательств сходимости этого численного метода; применение метода при диагностировании полости в стержне;

3) создание комплекса программ для пользователей, позволяющего провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней на основе разработанного метода расчета, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Методы исследования. В работе использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры, а также программирования.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами и сравнением результатов, полученных при применении разработанного численного метода расчета собственных частот в диагностировании дефектных стержней, с точными результатами модельных задач, а также численными результатами других авторов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- впервые предложено моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей);

- разработан" новый численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Приведены теоретические доказательства его сходимости;

- с помощью разработанного численного метода расчета проведены исследования зависимости собственных частот колебаний стержня от местоположения дефекта при действии различных параметров (закрепление стержня, величина объема полости, масса стержня и т.д.). В результате сделан вывод и приведены численные результаты, показывающие, что не всегда собственные частоты колебаний являются информативным признаком наличия дефекта в стержне - при определенном положении полости в стержне частота колебаний дефектного стержня совпадает с частотой колебаний бездефектного стержня;

разработан комплекс программ, позволяющий провести диагностирование параметров, характеризующих размер и положение полости в стержне, а также вычислить собственные частоты колебаний дефектных, бездефектных стержней.

Теоретическая и практическая - значимость результатов. Предлагаемое моделирование диагностирования полости в стержне становится основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и конструкций. Оно

позволяет судить о величине и местоположении дефектов в виде полостей по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволяет прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к дорогостоящей разборке.

Представленный в диссертации численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка может использоваться для решения конкретных практических задач, приводящих к проблеме собственных значений. Такие задачи возникают в акустике, аэродинамике, механике твердого тела и т.д.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам, взятым из различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). Выполненные в рамках модели численные эксперименты определения местоположения и размеров полости в стержне. Сравнение полученных численных результатов с результатами модельных примеров и результатами других авторов.

2. Численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений чветвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Численные исследования изменения собственных частот изгибных колебаний стержня в зависимости от местоположения, величины полости.

3. Комплекс программ для пользователей, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях и симпозиумах:

- V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Новосибирск, 1-3 ноября 2004 г.;

- Международная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи - ММ-2005», Самара 01.06.2005-03.06.2005 г.;

VI Международная научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии - АКТ - 2005», Воронеж 14.09.200516.09.2005 г.;

- VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 2005 г.;

- Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 30 ноября - G декабря 2005 г.;

- VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.;

VII Международная научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии - АКТ - 2006», Воронеж, 13-15 сентября 200G г.;

- Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», 2-6 октября 2011 г;

научный семинар по математическому моделированию Башкирского государственного университета под руководством д.ф.-м.н. С. И. Спивака, 2012 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из которых 3 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации.

Личный вклад автора.

В совместных работах A.M. Ахтямову принадлежит постановка обратных задач, P.P. Абзалимову принадлежит постановка прямых задач и методика расчета собственных значений для дифференциальных уравнений второго порядка. Автору принадлежит анализ поставленных задач, разработка численного метода решения прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений четвертого порядка, результаты вычислительных экспериментов, создание комплекса компьютерных программ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено па 120 страницах машинописного текста и содержит 17 рисунков и 12 таблиц. Список источников включает 170 наименований.

Благодарности.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством к.ф.-м.н., доцента Абзалимова P.P., д.ф.-м.н., профессора Ахтямова A.M., которым автор выражает глубокую благодарность.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко обоснована актуальность темы, сформулированы цель работы и защищаемые научные положения, отмечена научная новизна и теоретическая ценность полученных

р; —[.__". ~*> ■■

|

¥ £

результатов. Даны сведения о структуре и содержании диссертации.

В главе 1 работы проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации, а также даются основные принципы и методы проведения численного моделирования сформулированных задач.

В параграфе 1.1 приводится обзор работ по изучаемой теме.

В параграфе 1.2 дается постановка задачи идентификации полости в стержне. Рассматриваются колебания призматического стержня с дефектом в виде локальной полости. Его схема и сечение изображены на рисунке 1.

Уравнение изгибных колебаний стержня с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид:

Г1д4п(х,г.) ачм)

где и(х, Ь) - прогиб текущей оси стержня, Е [кг/м2] - модуль упругости, 3 [м4] - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, р [кг/м3] - плотность стержня, Р [м2] - площадь поперечного сечения стержня.

Рассматривается консольный вид закрепления стержня: левый конец жестко закреплен, правый конец свободен.

Полость квадратного сечения локализуется в стержне на отрезке [хх; дг2], длина ее известна. Как видно из рисунка 1, параметр а определяет положение полости рассматриваемого стержня вдоль оси У. При а = О полость лежит на срединной оси стержня. Параметр Н определяет размеры полости.

Необходимо идентифицировать полость в стержне, то есть однозначно определить значения параметра а и параметра к полости.

В параграфе 1.3 моделируется диагностирование местоположения и размера полости в стержне, то есть решается поставленная задача.

При этом задача об изгибных колебаниях консольного стержня длины Ь заменой и(х,£) = у(х)со8и>Ь сводится к следующей спектральной задаче:

= (!) у(0)=0, 2/'(0)=0, у"(£) = 0, у"'{Ь) =.0, (2)

УгЫ) = УгМ, у2{х2) = Уз(х2),

У[(х1)=у'2(х1), = Уз(аг2),

Е3^1[хх) = ЕЛт/Цхг), Е32у'Цх2) = Е31У'1{х2),

Е]ху'?{хл) = Е32у^'{х,), Е.12^{х2) = Е^уЦ'Ы,

(3)

где 3:1,12 - соответственно левая и правая границы полости, у\ тл у2 -прогибы соответственно слева и справа от левой границы полости, у2 и 2/з - прогибы соответственно слева и справа от правой границы полости,

{Л, Хе[0,Х!), ( Зи х €[0,27!),

I € [х1,аг2], / = < Л, х в [11,2:2], 16(11,4 [Л, X е (12, ¿1-

Равенства (3) представляют собой условия сопряжения.

Задача решается в два этапа.

На первом этапе рассматриваются колебания стержня относительно оси У. При использовании одной собственной частоты из спектра частот колебаний относительно оси У вычисляется значение параметра к, характеризующего размер полости.

На втором этапе рассматриваются колебания относительно оси Z\, являющейся нейтральной осыо и проходящей через центр тяжести сечения стержня. На данном этапе известно местоположение полости по оси X, проходящей вдоль стержня, ее длина, а также ее размеры в плоскости YZI вычисленные на предыдущем этапе. Теперь при использовании одной собственной частоты из спектра частот колебаний относительно оси Zl вычисляется значение параметра а, характеризующего местоположение полости вдоль оси У.

Таким образом, используя по одной собственной частоте из двух разных спектров частот изгибных колебаний можно однозначно идентифицировать местоположение и размеры рассматриваемой локальной полости.

В параграфе 1.4 рассматривается постановка задачи и моделируется диагностирование локальной полости квадратного сечения в стержне в случае, когда известна длина полости 1р и ее размерность Л, но неизвестен участок локализации. Из рисунка 1 видно, что параметр хс является серединой отрезка [xjja^] локализации полости в стержне и определяет положение полости вдоль оси X. Таким образом, задача идентификации полости в этом случае состоит в том, чтобы однозначно определить значение параметра а и параметра хс.

В параграфе 1.5 полученные результаты рассматриваются на конкретных примерах.

Все вычисления, проведенные в первой главе диссертации, выполнялись с помощью разностно-аналитического метода. Поэтому в главе 2 диссертации приводится описание разностно-аналитическго метода вычисления собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка. Дается алгоритм метода и теоретическое обоснование его сходимости. Проводится обобщение метода на дифференциальные уравнения n-го порядка.

В параграфе 2.1 дается описание предлагаемого численного метода расчета собственных чисел и собственных функций.

Рассматривается спектральная краевая задача вида:

y{i) + qi{x)y'" + q2{x)y" + qi{x)y' + {qi{x)-\)y = Q, г € [а,Ь], (4)

он у{а) + апу'(а) + а13у"(а) + аиу"'(а)

а.21 у{а) + а22г/(а) + а23у"(а) + а24у'"(а) Ъпу{Ь) + Ъ12у'(Ь) + W№) + Ьиу'"(Ь) &21 у(Ь) + W(b) + WW + WW

где Oij е К, bij е R, qj(x)-кусочно-непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, i = 1,2, j = 1,2,3,4, А- спектральный параметр. Наряду с данной задачей рассмотриваются дифференциальные операторы вида:

yf + 9икГ + Q2jy" + qzjv'j + fa« - A) Vj = 0, j = 0,..., JV, (6)

a = Xq < Xi < ... < Xj < Xj+1 < ... < Xn < хлг+i = b, с граничными условиями:

аиУа{а) + ai2y'0{a) + счзУо{а) + aus/o'Ca) = 0,

a2iy0(a) + а22у'0(а) + а2зУо(а) + а.мУо(а) =

ЪпУи{Ь) + b12y'N(b) + WW + ЬиУ%(Ь) =0,

WW + WW + WW + W(b) = о.

■0, :0,

(5)

где

<ЙУ =-Г+'чк(х)<1х, к = 1,2,3,4, j = 0,...,N. (8)

Следует отметить, что если какая-либо из функций фг(х), к = 1,2,3,4, имеет разрыв в некоторой точке х = х*, то при разбиении интервала [а, 6] на части, необходимо, чтобы х* была одной из точек разбиения. Тогда, на каждом интервале [х^х1+т\, j = 0,.... АГ функции фь(х), к = 1,2,3,4, являются непрерывными.

Функции %(х,А) рассматриваются на [Х],х^+1\. Под собственными функциями задачи (0)-(8) будем понимать функцию у{х, А) = А)},

} = 0,..., Ы, удовлетворяющую следующим условиям:

1. у(х, А) е С3^, гя-х] П О. 3 = ^

2. у(х, А) удовлетворяет краевым условиям задачи (7);

3. -¿/(г, А) удовлетворяет так называемым условиям сопряжения:

0, А) = 1#?1(*3-+1 + М). Л = 0,1,2,3, у = (9)

Таким образом, определяется приближенная задача для исходного уравнения.

На каждом участке (а^а^-ц) уравнение (6) имеет общее решение вида:

у^х, А) = Сх/у1у(х) + С2зУ2](х) + с3]Уз,{х) + сцу*](х), (10)

где уу(а') - линейно независимые решения, к = 1,2,3,4, ] — 0,...,./У, А -спектральный параметр.

Пусть у(х,\) = {у,{х,Х))^а - собственная фуикция задачи (0)-(8), т.е. она удовлетворяет условиям сопряжения, из которых устанавливается связь между с13-,су,сзяс^, 3 = 0,..., ТУ. Подставляя (10) в (9), получаем:

А1& = А2&+1, j = 0,...,N-l,

где

МЛ /Уи(хзУгАх5+\) УзА^+1) У*Лхз+1)\

_ \ I .„' /„. л („..л „' (гг. л „'..(т-.лХ

С, =

С2, 1 _ I З/'хД^ч-х) УгЛ^+О 2/3,(^+1) 2/4,(^+1) I ' ~ йЫ '

\сц) \г/Г^+х) №+») №+0/

(2/1^+1(^+1) 2/25+1(^+1) 2/35+1(^+1) Уь+1(хз+1)\ У1м(Ъ+1) Уу+Лъ+О Уу + Л^+О 2/4;+1(^+1)

г/ц+Д^'+О Уу+Л^+О у'Ь+1(^+1) '

2/ц+1(^'+1) 2/2^+1(^+1) 2/^+1(^+1) 2/^+1(^+1)/

Нетрудно установить, что определитель матрицы А2^ не равен нулю, следовательно

СН1 = А2;1А1&, з = О, ...,М - 1.

Введем обозначение А^ = А2у1А1^ Значит = из этого

рекуррентного равенства следует, что Слг = ■ ■ • АхАцСо-

Положим А = Лдг_1Л^_2 ... АгАо, тогда

CN — АС0.

(И)

Подставляя решение уо(х, А) в краевые условия задачи (6)-(8) на левом конце отрезка [а,Ь], а решение ум(х,\) в краевые условия на правом конце отрезка, и учитывая при этом формулу (11), получаем некоторую систему вида:

Гб^(Л)сзо + ЬЙ(А)с4о = 0, \Ь£(АЬо + Ь»(\)с40 = О,

где ЬпМ'^йМ^йМ^йМ выписываются явным образом. Для того чтобы краевая задача имела нетривиальные решения, необходимо чтобы определитель системы (12) был равен нулю, таким образом получаем уравнение относительно А:

(12)

А)

Ьй(А) А)

= 0.

Это уравнение дает функцию /(А) = &п(А)Ь^(А) — Ь^(А)Ь^(А), нулями которой будут приближенные собственные значения задачи (6)-(8).

В параграфе 2.2 приводится теоретическое обоснование сходимости предлагаемого численного метода расчета собственных значений и собственных функций для уравнений четвертого порядка.

Задача (4)-(5) сводится к задаче Коши. Для этого дифференциальное уравнение (4) записывается в матричном виде:

У' = А(х, А)У, (13)

где

У =

А(х, А) =

Для краевых условий (5) на левом конце отрезка [а, b] вводятся новые переменные: у(а) = а0, у'(а) - «ь у"(а) = °2, 2/"'(а) = аз, причем |а0| + jai| + |а2| + |а3| ^ 0. Получена система:

ГацОо + ii2ai + «1302 + аиаз = 0, |a2iao + «22 <*i + 123"2 + я24о:з = 0,

полагая (аі3а24 - а23аы) ф 0, получено решение:

а2 =

-0-о(ацЯ24 — 0-21 Дн) — аі("і20-24 — Д22°14) "13а24 - а2зОі4

—ао(апа2з — агіДіз) ~ Оі(аі2Д23 ~ 022Д13)

= /2(00, «і)-

= /і(о0,оі),

а3 =

014^23 — "24«13

Таким образом, краевые условия на левом конце отрезка заменяются начальными условиями вида:

у(а)=а0, у'(а) = аи у"(а) = /1(00,01), у"'(а) = /2(00,01).

Аналогично сводятся к задаче Коши дифференциальные уравнения (6) с граничными условиями (7):

При этом краевые условия (7) на левом конце отрезка заменяются начальными условиями вида:

уа{а) = о0, Уо(а) = аь уК(а) = /1(00, а*), Уо(а) = /2(о0, «О-

Условия сопряжения (9) записываются в виде:

У*' = Л*(А)П, к=0,...,Ъ

(14)

где

Ук(хк+1 - О, А) = Ук+1{хк+1 + О, А), к = О, - 1.

Доказана

Теорема 1 Справедливо неравенство

т.е. {У*Ое,А)}^=0

У(х, А), причем равномерно, при каждом

фиксированном А.

Здесь

h = max lx/t+i - xk\,5Ah) = max ( шах \qj(x) - qjk\ ) ,j = 1,2,3,4,

fc=0.....N к \xS(xt,xi,+ ¡) J

к = O, ...,N,5(h) = max5j(ft). Заметим, что 6(h) —> 0 при ft —» 0.

(0 0 0 0\ 0 0 0 0 1 0 0 0 0' 1111/

Доказана справедливость неравенства

|/(A) - Л(А)| < M8(h), Me R.

Тогда

Л (Л) -» /(А) при —» 0 (Af —► оо), /і —> 0

равномерно по А, А Є Л (Л - любой конечный отрезок, в котором рассматривается спектральный параметр). Таким образом,

Нт Л(А) = ДА),

/і->0,ЛєЛ

где /(А) - функция, нулями которой являются Ап - собственные значения задачи (4)-(5), - функция, нулями которой являются А„,д -

приближенные собственные значения задачи (б)-(8).

Таким образом, получаем что Ап,л —» Ап при А„ Є Л.

В параграфе 2.3 проводится обобщение предлагаемого численного метода на дифференциальные уравнения п-го порядка.

В параграфе 2.4 приводятся примеры применения разностио-аналитического метода для решения конкретных задач. Вычисляются собственные значения, строятся собственные функции, проводится сравнительный анализ с результатами других авторов.

В главе 3 проводится численное исследование зависимости поведения частот изгибпых колебаний стержня от местоположения и размеров полости в стержпе. Выявляются и теоретически обосновываются условия, при которых частоты колебаний дефектного стержня совпадают с частотами колебаний бездефектного стержня с такими же характеристиками. Дается описание разработанного комплекса программ для пользователей.

В параграфе 3.1 рассматриваются колебания сплошного призматического консольного стержня и трубчатого призматического

— — — — — — —

1

£

Рис. 2: Схема трубчатого стержня. Поперечные сечения сплошного и трубчатого стержней

консольного стержня, с полостью проходящей по всей длине стержня (рисунок 2).

Модули упругости Е и плотности р сплошного и трубчатого стержней совпадают и являются константами. Через обозначаются

соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения сплошного стержня, а через - момент инерции и площадь

поперечного сечения трубчатого стержня. Собственные частоты изгибных колебаний сплошного обозначаются как ш* (¿=1,2... ), а собственные частоты трубчатого стержня через ш".

Как видно из рисунка 2, параметр а определяет положение полости трубчатого стержня. При а = 0 полость лежит на срединной оси стержня. При значениях параметра (у — < о, < (у + 5) рассматриваемый трубчатый стержень превращается в стержень с открытой трещиной (надрезом). Как известно, собственные частоты стержня с полостью на срединной оси выше, а стержня с трещиной, наоборот, как правило, ниже собственных частот сплошного стержня. Если при определенных значениях параметра а собственные частоты трубчатого стержня ш" совпадают с собственными частотами сплошного стержня и>*, то необходимо выяснить при каких значениях параметра это происходит.

Проводится исследование, при каких значениях параметра о, выполняется соотношение ^і- = 1. В результате аналитически выявлено значение параметра, характеризующего положение полости трубчатого стержня, при котором спектр частот его изгибных колебаний совпадает с

Рис. 3: Зависимость собственных частот стержня с полостью от значений параметра а, ряд 1 соответствует ряд 2 соответствует ряд 3

соответствует

соответствующим спектром частот сплошного стержня: а =--2Я 11 ■

Показана независимость отношения от порядкового номера г для

трубчатого стержня.

В параграфе 3.2 показано, что в случае локальной полости, т.е. полости, не проходящей по всей длине стержня, также есть положения, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний сплошного бездефектного стержня. Однако случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей длине стержня, тем, что эти положения являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот (рисунок 3).

Делается вывод: если полость может развиваться в промежутке между поверхностью стержня и его нейтральной осью, следует с осторожностью применять методы диагностирования дефектов с помощью одного спектра собственных частот колебаний. Они не всегда позволят выявить и правильно идентифицировать такой дефект.

В параграфе 3.3 дано описание разработанного на основе проведенных исследований и полученных результатов комплекса программ «Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне». Комплекс программ реализован на языке программирования Delphi. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса №18000 от 1.03.2012, инвентарный номер ВНТИЦ 50201250274 от 02.03.2012.

Созданный комплекс программ будет работать в ОС семейства MS Windows. В качестве технического средства, используемого при написании программы, выступил персональный компьютер с процессором Pentium IV, ОС Windows ХР и установленной средой разработки программного обеспечения - Borland Delphi Enterprise, Version 7.0. Для работы с комплексом необходимо иметь персональный компьютер с операционной системой семейства MS Windows и оперативной памятью от 512 Мб.

Созданный комплекс программ представляет собой исполняемый файл, после запуска которого, пользователь видит приложение, показанное на рисунке 4.

Приложение содержит две вкладки: «Расчет собственных частот» и «Диагностирование полости в стержне». Оно позволяет решать и прямую задачу по вычислению частот колебаний дефектных, бездефектных стержней и обратную задачу идентификации полости в стержне.

По умолчанию, при запуске активной является вкладка «Расчет собственных частот». Пользователю предлагается сначала выбрать задачу для расчета:

а) сплошной бездефектный стержень;

б) трубчатый стержень (полость проходит вдоль всего стержня);

в) стержень с локальной полостью.

В зависимости от выбора пользователя

- меняется рисунок, представляющий собой схему стержня и его сечения и отражающий основные параметры задачи (расположен справа);

- меняются необходимые параметры, которые должен ввести пользователь.

На вкладке «Диагностирование полости в стержне» пользователю также предлагается сначала выбрать задачу для расчета (рисунок 5):

а) идентификация параметра h (размер полости) и параметра а (положение полости вдоль оси Y);

б) идентификация параметра хс (центр полости) и параметра а (положение полости вдоль оси Y).

В зависимости от выбора пользователя меняется сопровождающий рисунок и параметры, которые должен ввести пользователь.

Остальные параметры в обоих случаях варьируются в зависимости от выбранной пользователем задачи.

В приложении к диссертации приведен листинг одного из модулей разработанного комплекса программ.

**<т » ««г»*

Сл*:«*.:<!> С**«*.*.

' К?*««! ДО&НМиЭй Ч»!»*«: 41»!

¡¡Й*- с«^»»«*^

имена

«! « * •^¿^•^»(»шмй» йвв«Я» ММ*»»; (¡й*и«<* ¿«к»»

Рис. 4: Вид приложения после запуска программы. Активна вкладка «Расчет собственных частот»

Их?**** * ЛЛ

Пгстх^ч» акнл^я&г/ха ЩГ

г

ь

Ш И/У/

Ь

С« г И,

ЙС й

Рис. 5: Вид приложения. Активна вкладка «Диагностирование полости в стержне»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложено моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам изгибных колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей).

2. Разработан новый численный метод расчета собственных значений и собственных функций для уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Дано теоретическое обоснование его сходимости.

3. На основе предлагаемой методики и разработанного численного метода расчета проведены численные исследования зависимости поведения собственных частот колебаний стержня от местоположения и размеров полости. Выявлено существование положений полости в стержне, при которых частоты изгибных колебаний дефектного и бездефектного стержней, рассмотренные вокруг одной оси, совпадают. Для трубчатого стержня аналитически выявлено значение параметра, характеризующего положение полости, при котором происходит полное совпадение спектров частот изгибных колебаний, взятых вокруг одной оси, для трубчатого и сплошного стержней. Для стержней с локальными полостями проведен численный анализ, показывающий, что эти положения являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот. Показано, что рассмотренный дефект, не определяемый с помощью спектра частот колебаний относительно одной оси, может быть однозначно диагностирован при использовании двух собственных частот колебаний, взятых из различных спектров (вокруг разных осей).

4. Разработан комплекс программ «Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне». Комплекс программ реализован на языке программирования Delphi. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса №18000 от 1.03.2012, инвентарный номер ВНТИЦ S0201250274 от 02.03.2012.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО

В изданиях из перечня ВАК:

1. Саляхова Б.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений 4-го порядка с разделенными краевыми условиями / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Известия вузов. Математика. 2008, №11, с. 3-11.

2. Саляхова Е.В. Применение разностно-аналитического метода при исследовании осесимметрических колебаний тонкой кольцевой пластины / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Обозрение прикладной и промышленной математики, Том 12, Вып.4, 2005. С 891.

3. Саляхова Е.В. Исследование осесимметричных изгибных колебаний диска переменной толщины без отверстия в центре / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Обозрение прикладной и промышленной математики, Том 13, Вып.З, 2006. С. 459-460.

В других изданиях:

4. Саляхова Е.В. Диагностирование полости в стержне / А. М. Ахтямов, Е. В. Саляхова // Журнал СВМО. 2011. Т 13, № 1. С. 47-56.

5. Саляхова Е.В. Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? / А. М. Ахтямов, Е. В. Саляхова // Электронный журнал "Техническая акустика", http://www.ejta.org, 2011, 7.

6. Саляхова Е.В. Диагностирование локальной полости в стержне по собственным частотам его изгибных колебаний // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых - Уфа: РИД БашГУ, 2011. - 304 с. С. 246

7. Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений четвертого порядка с неразделенными краевыми условиями / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Авиакосмические технологии "АКТ-2006": Труды седьмой междунар. науч. - технич. конф. - Воронеж: Ворон, гос. техн. ун-т, 2006, 604 е., С. 565-568.

8. Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных частот колебаний круговой пластинки / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Междун. уфимская зимняя школа-конф. по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов: Математика. Т.1 - Уфа: РИО БашГУ, 2005 - 305 е., С. 3-8.

9. Саляхова Е.В. Модификация разностно-аналитического метода расчета собственных значений для уравнений второго порядка / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Авиакосмические технологии "АКТ-

2005"; Труды шестой междунар. науч. -технич. конф. 4.2. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005. 263 е., С. 224-226.

10. Саляхова Е.В. Описание разностно-аналитического метода для расчета собственных значений уравнений четвертого порядка / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Саляхова // Мат. моделир. и краевые задачи. Труды второй всерос. науч. конф., Самара, 1-3 июня 2005 г., 255 е., часть 3, С. 12-14.

11. Шалунова Е.В. (Саляхова Е.В.) Численный метод расчета собственных значений для уравнений 4-го порядка / Р. Р. Абзалимов, Е. В. Шалунова (Е. В. Саляхова) // Сб. тезисов докл. V всерос. конф. мол. ученых по мат. моделир. и инф. технол. с уч. иностр. ученых, Новосибирск, 1-3 ноября 2004 г., С. 10.

12. Шалунова Е. В. (Саляхова Е.В.) Разностно-аналитический метод для расчета собственных значений уравнений высшего порядка // Материалы XLIII Междунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-техн. прогресс": Математика/Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005. 236 е., С. 198.

13. Саляхова Е.В. Поперечные колебания прямых стержней // Тезисы всерос. конф., поев. 15-летию со дня принятия Декларации о гос. Суверенитете РВ и 5-летию образования НФ ВашГУ, 25-27 октября 2005 г, С. 76-84.

14. Саляхова Е.В. Применение разностно-аналитического метода при исследовании топографических вихрей в стратифицированном океане // Первые шаги в науку тысячелетия: Материалы первой регион, студ. науч.-практич. конф., поев. 60-летию Победы советского народа в ВОВ.-Нефтекамск: РИО БашГУ, 2005, 282с., С. 26-32.

15. Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод для расчета собственных частот осесимметрических колебаний кольцевой пластины // Первые шаги в науку тысячелетия: Материалы первой регион, студ. науч.-практич. конф., поев. 60-летию Победы советского народа в ВОВ.-Нефтекамск: РИО БашГУ, 2005, 282с., С. 33-35.

16. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №18000: <Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне>/ Е.В. Саляхова. - Свидет. о гос. per. № 50201250274 от 02.03.2012.

Отпечатано в ГУЛ РБ "Нефтекамский Дом печати". 452688, Республиха Башкортостан, г. Нефтекамск, Берёзовское шоссе, 4А Тел. (34783) 3-93-52, факс 3-93-66. www: n-dp.ru E-mail :п gt@ufamts.ru Заказ № 1982. Тираж 100 экз.

61 12-1/797

Министерство образования и науки Российской Федерации Башкирский государственный университет

Саляхова Елена Викторовна

Математическое моделирование диагностирования полостей в стержне по собственным частотам колебаний

05.13.18 — - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н.. профессор Ахтямов Азамат Мухтарович

На права,х рукописи

Уфа—2012

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 5

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПОЛОСТЕЙ В СТЕРЖНЯХ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИ 12

1.1 Обзор литературы............................ 12

1.2 Постановка задачи............................ 17

1.3 Моделирование диагностирования местоположения и размера полости в стержне............................ 19

1.4 Постановка задачи и моделирование диагностирования полости в стержне в случае, когда известна ее размерность но неизвестен отрезок локализации .......................... 22

1.5 Примеры.................................23

2 РАЗНОСТНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЕННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 28

2.1 Описание разностно-аналитического метода.............29

2.2 Теоретическое обоснование разностно-аналитического метода ... 31

2.3 Обобщение метода на дифференциальные уравнения п-го порядка 37

2.4 Примеры.................................45

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПОВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ ОТ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ И РАЗМЕРА

ПОЛОСТИ В СТЕРЖНЕ. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ 57

3.1 Исследование доведения собственных частот трубчатого стержня

и сплошного (бездефектного) стержня................ 58

3.2 Исследование поведения собственных частот стержня с локальной полостью и сплошного (бездефектного) стержня .......... 64

3.3 Описание комплекса программ <Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне>.......... 76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 83

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 85

ПРИЛОЖЕНИЕ 103

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций. Оптико-визуальные методы контроля дают результат лишь для повреждений, достигших относительно больших размеров и расположенных на внешней поверхности, поэтому не всегда применимы. Например, в протяженных объектах типа трубопроводных систем, нефтедобывающих штанг не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и локального приборного диагностирования повреждений. Даже при их доступности, не во всех случаях представляется возможным определение , местных дефектов конструкций, обусловленных местной коррозией, охрупчиванием, появлением трещин.

Поэтому в настоящее время остро стоит вопрос создания все новых методов диагностики технических систем в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения надежности функционирования оборудования.

Методы диагностики, основанные на измерении собственных частот колебаний, имеют достаточно широкое распространение для определения физико-механических свойств различных материалов и конструкций. Они относятся к акустическим методам диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения.

На практике большой интерес представляют колебания стержней при различной их заделке (такие системы широко используются в технике -

различные валы, оси и т.н.) В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики полостей в стержнях но собственным частотам колебаний, а также их численному исследованию, представляется актуальной.

Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней по собственным частотам изгибных колебаний. В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1) моделирование диагностирования полости в стержне но двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей); численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от местоположения и размеров полости в стержне;

2) разработка численного метода расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих колебания дефектных и бездефектных стержней; получение теоретических доказательств сходимости этого метода; применение метода при диагностировании полости в стержне;

3) создание комплекса программ для пользователей, позволяющего провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней на основе разработанного метода расчета, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Методы исследования

В работе использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры, а также программирования.

Достоверность научных положений, выводов

«з

И рекомендации, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами и сравнением результатов, полученных при применении разработанного метода расчета собственных частот в диагностировании дефектных стержней, с точными результатами модельных задач, а также численными результатами других авторов. .

Научная НОВИЗНа работы заключается в следующем:

- впервые предложено моделировании диагностирования полости в стержне ио двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей):

- разработан новый численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Приведены теоретические доказательства его сходимости;

- с помощью разработанного численного метода расчета проведены исследования зависимости собственных частот колебаний стержня от местоположения дефекта при действии различных параметров (закрепление стержня, величина объема полости, масса стержня и т.д.). В результате сделан вывод и приведены численные результаты, показывающие, что не всегда собственные частоты колебаний являются информативным признаком наличия дефекта в стержне - при определенном положении полости в стержне частота колебаний дефектного стержня совпадает с частотой колебаний бездефектного стержня;

- разработан комплекс программ, позволяющий провести диагностирование параметров, характеризующих размер и положение полости в стержне, а также вычислить собственные частоты колебаний дефектных, бездефектных стержней.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Предлагаемое моделирование диагностирования полости в стержне становится основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и конструкций. Оно позволяет судить о величине и местоположении дефектов в виде полостей по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволяет прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и

сроков проведения, не прибегая к дорогостоящей разборке.

Представленный в диссертации численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка может использоваться для решения конкретных практических задач, приводящих к проблеме собственных значений. Такие задачи возникают в акустике, аэродинамике, механике твердого тела и т.д.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование диагностирования полости в стержне но двум собственным частотам, взятым из различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). Выполненные в рамках модели численные эксперименты определения местоположения и размеров полости в стержне. Сравнение полученных численных результатов с результатами модельных примеров и результатами других авторов.

2. Численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений чветвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Численные исследования изменения собственных частот изгибных колебаний стержня в зависимости от местоположения, величины полости.

3. Комплекс программ для пользователей, позволяющий провести расчет-собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях и симпозиумах, семинарах:

- V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Новосибирск, 1-3 ноября 2004 г.;

- Международная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи - ММ-2005", Самара 01.06.2005-03.06.2005 г.:

- VI Международная научно-техническая конференция "Авиакосмические технологии - АКТ - 2005", Воронеж 14.09.2005-16.09.2005 г.:

- VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 2005 г.;

- Международная уфимская зимняя школа-конференция но математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 30 ноября -6 декабря 2005 г.;

- VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.;

- VII Международная научно-техническая конференция "Авиакосмические технологии - АКТ - 2006", Воронеж, 13-15 сентября 2006 г.;

- Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", 2 -6 октября 2011 г;

- научный семинар по математическому моделированию Башкирского государственного университета под руководством д. ф.-м. н. С.И. Спивака, 2012 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из которых 3 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

В первой главе работы проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации, а также даются основные принципы и методы проведения численного моделирования сформулированных задач.

Здесь рассматриваются колебания призматического стержня с дефектом в виде локальной полости. Приводится постановка задачи идентификации полости в стержне и дается описание предлагаемого подхода к моделированию

диагностирования полости в стержне, когда диагностирование проводится по двум собственным частотам изгибных колебаний стержня, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей). В конце главы полученные результаты рассматриваются на конкретных примерах.

Все вычисления, производимые в первой главе, ведутся с помощью разработанного в диссертации разностно-аналитического метода вычисления собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка. Поэтому вторая глава работы посвящена описанию разностно-аналитического метода.

Во второй главе диссертации приводится алгоритм разностно-аналитического метода и даются теоретические обоснования его сходимости.

Приближенными собственными значениями в данном методе являются нули некоторой функции /(А), которую можно представить в явном виде. Предлагаемый метод решения спектральной задачи позволяет строить приближенные решения без последующей интерполяции и выбора пробных функций. Нужно отметить, что он пригоден для более широкого класса задач, в том числе для случая, когда спектральный параметр присутствует в краевых условиях.

В конце главы приводятся примеры применения разностно-аналитического метода для решения конкретных задач. Эффективность предлагаемого метода продемонстрирована на модельных примерах, имеющих точное решение, а также проведен сравнительный анализ с результатами других авторов.

Во третьей главе диссертации проводится численное исследование зависимости поведения частот изгибных колебаний стержня от местоположения и размеров полости в стержне. Выявляются и теоретически обосновываются условия, при которых частоты колебаний дефектного стержня совпадают с частотами колебаний бездефектного стержня с такими же характеристиками. Дается описание разработанного комплекса программ для пользователей.

Проведенное исследование на примере колебаний сплошного призматического стержня и стержня таких же размеров, имеющего полость, проходящую по всей длине стержня (трубчатого стержня),

подтверждает: при определенном положении полости стержня., один из спектров собственных частот изгибных колебаний стержня с полостью совпадает с соответствующим спектром собственных частот колебаний сплошного бездефектного стержня. Аналитически выявлено значение параметра, характеризующего положение полости трубчатого стержня, при котором происходит совпадение соответствующих спектров частот колебаний бездефектного и трубчатого стержней.

Для случая локальной полости также определены положения полости, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний стержня без полости. Исследование показывает, что случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей дайне стержня, тем, что эти положения являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот.

Тем самым показано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости, что подчеркивает преимущества предлагаемого в диссертации моделированиям диагностирования полостей в стержне, основанного на использовании собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).

В приложении к диссертации приведен исходный код одного их модулей разработанного комплекса программ "Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне".

Глава 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПОЛОСТЕЙ В СТЕРЖНЯХ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В данной главе проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации и предлагается новый подход к моделированию диагностирования полости в стержне, когда диагностирование проводится по двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).

1.1 Обзор литературы

Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются

методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций. Оптико-визуальные методы контроля дают результат лишь для повреждений, достигших относительно больших размеров и расположенных на внешней поверхности, поэтому не всегда применимы. Например, в протяженных объектах типа трубопроводных систем, нефтедобывающих штанг не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и локального приборного диагностирования повреждений. Даже при их доступности, не во всех случаях представляется возможным определение местных дефектов конструкций, обусловленных местной коррозией, охрупчиванием, появлением трещин.

Поэтому в настоящее время остро стоит вопрос создания все новых методов диагностики технических систем в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения надежности функционирования оборудования.

Задачами технической диагностики люди занимаются с самого начала появления техники. Этим задачам посвящено большое количество работ. См., например, библиографию в работах [62], [76],[15].

Методы диагностики, основанные на измерении собственных частот колебаний, имеют достаточно широкое распространение для определения физико-механических свойств различных материалов и конструкций. Они относятся к акустическим методам диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математи