автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование колебательных процессов в стержневых элементах при особых условиях

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ 1.1. Обзор основных дифференциальных уравнений теории колебаний стержней, пластинок и замкнутых колец

1.2. Обзор и анализ литературных источников продольных и поперечных колебаний стержня

ВЫВОДЫ

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ, МГНОВЕННЫМИ ИМПУЛЬСАМИ

2.1. Продольные колебания стержня с одним жестко защемленным 27 концом

2.2. Продольные колебания стержня с учетом податливости упругого 52 основания

ВЫВОДЫ

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ И СДВИГОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ. ОБОБЩЕННОЕУРАВНЕНИЕ С.П. ТИМОШЕНКО

3.1. Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных 61 колебаний призматического стержня.

3.2. Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных 64 колебаний непризматического стержня специального вида

3.3. Одно свойство дифференциального уравнения 67 С.П. Тимошенко

3.4. Постановка и решение начально-краевой задачи поперечных 69 колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений ifc 3.5 Постановка и решение начально-краевых задач поперечных колебаний призматического стержня при действии на него продольных периодических импульсов 3.6 Численный анализ на ЭВМ поперечных колебаний призматического 98 стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций ^ 3.7. Разработка аналитического метода решения начально-краевых 108 задач поперечных колебаний непризматического стержня при действии сосредоточенных и импульсно действующих сил 3.8 Анализ спектра собственных частот поперечных колебаний неприз- 118 матического стержня ф 3.9. Математическое и компьютерное моделирование динамической 125 устойчивости колебаний упругих стержневых элементов ВЫВОДЫ

Актуальность проблемы. Широкий круг задач механических колебаний упругих элементов различных конструкций, деталей машин и механизмов строго моделируются начально-краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих некоторые особенности. Коэффициенты этих уравнений выражаются через импульсные функции Хевисайда и Дирака. Эти особенности существенно усложняют решения соответствующих дифференциальных уравнений, и каждый из них требует индивидуальный теоретический подход.

Наиболее наглядно подобные дифференциальные уравнения формулируются для конструкций удлинённого очертания, подверженных действию продольных импульсов, гидравлического удара или удара.движущегося тела. Исследование динамических процессов при таких импульсных воздействиях весьма важно в теоретическом плане, так как в этом случае наиболее явно проявляется динамичность процесса деформаций, который может быть охарактеризован минимальным числом параметров.

При высокочастотных колебаниях упругого непризматического стержня в соответствующем дифференциальном уравнении должны быть учтены инерция вращения и сдвиговые деформации, существенно влияющие на собственную частоту колебаний упругого элемента. Коэффициенты дифференциального уравнения при вышеотмеченных условиях являются переменными величинами, зависящими от продольной координаты. Учёт инерции вращения и сдвиговых деформаций поперечных сечений стержня существенно изменяют характеристики дифференциального уравнения, и оно из неволнового принимает волновой характер. Эти особенности дифференциального уравнения создают существенные математические трудности и до настоящего времени не получено строгое аналитическое решение какой-либо начально-краевой задачи для такого дифференциального уравнения. Поэтому разработка строгих научно-обоснованных методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений колебаний упругих элементов при вышеотмеченных особых условиях является актуальной научной проблемой.

Цель работы - разработка строгих научно-обоснованных аналитиче-^ ских методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений механических колебаний упругих элементов, обусловленных действием периодически повторяющихся мгновенных импульсов, имеющих особенности.

Поставленная цель достигается: щ -разработкой строгого аналитического метода решения начальнокраевых задач для дифференциальных уравнений поперечных колебаний ф непризматического стержня с учётом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений;

-проведением серии численных расчётов на ЭВМ напряжённо-деформированного состояния упругих элементов в зависимости от их геометрических размеров и величин и периодов прилагаемых к ним импульсных сил.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель колебательных процессов в ударных инструментах с учетом податливости упругого основания в виде горной порощ ды. Модель представляет собой начально-краевую задачу математической физики для дифференциального уравнения гиперболического типа, имеющего особенности. Аналитический метод решения указанной начально-краевой задачи.

2. Математическая модель вынужденных поперечных колебаний упругого стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций, когда на него действуют импульсивные силы. Модель представляет собой начально-краевую задачу для дифференциального уравнения четвертого

• порядка, имеющего особенности. Аналитический метод решения указан-i ной начально-краевой задачи.

3. Компьютерно-математическая модель динамической устойчивости колебаний упругого стержня, когда на него действуют периодически повторяющиеся импульсы.

Методы исследования Для решения поставленных задач использована теория дифференциальных уравнений в частных производных, методы математической физики, теоретические положения обобщенных функций Дирака и Хевисайда, а так же классическая теория удара.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Впервые составлена компьютерно-математическая модель колебательных процессов в ударных инструментах с учетом податливости упругого основания в виде горной породы.

2. Впервые составлена компьютерно-математическая модель вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений, когда на стержень действуют импульсные силы.

3. Впервые получено аналитическое решение начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций, когда на него действуют распределенные и сосредоточенные импульсные силы. Аналога решения этой задачи еще нет.

4. Впервые доказаны теоремы, которые раскрывают некоторые свойства дифференциального уравнения теории поперечных колебаний с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

- полученные расчетные формулы и программные средства автоматизировано позволяют установить критические значения импульсных нагрузок и тем самым исключить превышения максимальных напряжений и деформаций до их предельно допускаемых значений;

- разработаны ориентированные на систему автоматизации проектирования алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния непризматических стержней, моделирующих работу конструктивных элементов машин и механизмов.

Основные положения диссертации используются в проектных организациях РСО-Алания, занимающихся вопросами проектирования машин и механизмов для горнодобывающей и металлургической отраслей промышленности и учебном процессе в вузах при подготовке специалистов в области расчета и проектирования машин и механизмов.

Достоверность научных разработок. Все разработки диссертационной работы получены в рамках общепринятых допущений и предположений. Математические модели колебаний представляют собой начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений, адекватно описывающие динамические процессы в колеблющихся элементах. Эти положения подтверждают обоснованность и достоверность полученных результатов.

Апробация.

Основные результаты работы в ходе выполнения отдельных ее разделов были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях и семинарах, в том числе: международных: XIX Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2001 г.); Международный симпозиум «Неделя горняка - 2001»; III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, 2003). региональных: ежегодных и юбилейных научно-технических конференциях СКГМИ (ГТУ) в период с 1998 по 2006 г. На научно-технических семинарах института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского отделения РАН (Нальчик, 2003, 2004гг.).

На объединенном научно-исследовательском семинаре кафедр инженерно-технического и математического факультетов КБГУ (Нальчик, 2006г.).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из 3 глав, введения, заключения, списка использованной литературы и 2 приложений. Содержит 144 страницы основного текста, в том числе 20 рисунков. Список литературы включает 100 наименование работ отечественных и зарубежных авторов.

Выводы и заключения

В диссертации на основании выполненных автором исследований решены задачи математического моделирования колебательных процессов в стержневых элементах при особых условиях.

Основные научные выводы и результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Составлена компьютерно-математическая модель колебательных процессов в ударных инструментах. Модель представляет собой начально-краевую задачу, имеющую особенности. В результате решения начально-краевой задачи получены расчетные выражения для напряжения и деформации в ударном инструменте, которые позволяют обеспечить безаварийную эксплуатацию ударного инструмента.

2. Составлена компьютерно-математическая модель поперечных колебаний упругого стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций, когда колебания обусловлены распределенными, сосредоточенными и импульсно действующими силами. Модель представляет собой начально-краевую задачу для дифференциального уравнения четвертого порядка, имеющего особенности. Разработан аналитический метод решения такой задачи. В результате решения получены расчетные формулы для напряжения и деформации в стержне в зависимости от места приложения импульсивных сил, величины и периода импульса, а также от физико механических характеристик и геометрических размеров стержня.

3. Поставлена и решена начально-краевая задача поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций. Получены расчетные формулы для напряжений и деформаций в зависимости от параметра, характеризующего непризматическое очертание стержня.

4. Доказаны теоремы, которые раскрывают некоторые свойства дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений, когда колебания обусловлены импульсно действующими силами.

5. Полученные аналитические решения реализованы на ЭВМ и проведены серии численных расчетов по определению напряженно-деформированного состояния упругих элементов. Результаты численных расчетов представлены в виде графиков.

6. Получены частотные уравнения поперечных колебаний непризматического стержня при разных комбинациях краевых условий. По методу С.П. Тимошенко проведен теоретический и численный анализ степени влияния параметра непризматичности на собственные частоты колебаний стержня.

7. Разработанные аналитические методы и алгоритмы решения начально-краевых задач дают возможность автоматизированного подбора геометрических размеров колеблющихся упругих элементов, обеспечивающих их прочность, жесткость и устойчивость.

1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частотных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970.-71 Ос.

2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: 1959.439с.

3. Доннел Л.Г. Балки, пластинки и оболочки. Пер. с англ. М.: Наука, 1982. -567с.

4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем -М.:Наука, 1967.-984с.

5. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат,1956.

6. Пановко Г.П. Основы прикладной теории упругих колебаний.-М.: Машиностроение, 1967.

7. Пановко Г.П., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1979.384с.

9. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.:, 1985. - 383с.

10. Музаев И.Д., Созанов В.Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши-Пуассона в узких непризматических водоемах //Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1996г. № 3. -С.40-43.

11. Музаев И.Д., Хосаев Х.С. Краевая задача о сейсмогидроди-намическом давлении воды на плотину // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1998г. № 3. -С. 120-122.

12. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Том I-II. -М.: Наука, 1965.

13. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. М.: Высшая школа, 1970.

14. Справочник по бурению геолого разведочных скважин / Под общ. ред. Е.А. Козловского. - М.: Недра, 1984.

15. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: «Мир», 1971.

16. Кодзаев Ю. В. Бурение разведочных горизонтальных скважин. -М.: Недра, 1978.-221с.

17. Прочность. Устойчивость. Колебания / Под общ. ред. И. А. Бир-гера и Я.Г. Пановко. Том 1-3. - М.: Машиностроение, 1968.

18. Воздвиженский Б. И., Вассильев М. Г. Буровая механика. М.: Госгеолтехиздат, 1954.

19. Исаев М. И. Технический прогресс и новые достижения в колонковом бурении. М.: Недра, 1972.

20. Поляков Г. Д., Булгаков Е. С., Лащилин К. Н. Подъемные устройства буровых установок. М.: Недра, 1976.

21. Саркисов Г. М. Расчеты бурильных и обсадных колонн. М.: Недра, 1971.

22. Сароян А. Е. Основы расчета бурильных колонн. М.: Госгеолтехиздат, 1961.

23. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. Прикладная математика и механика. Т. XII, 1948. С. 287-299.

24. Лурье А.И. Операционное исчисление в приложение в приложении к задачам механики. ОНТИ НКТП СССР. Л.-М. 1938.

25. Ден-Гартог Дж. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 464 с.

26. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. Т.З. под общей редакцией И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: «Машиностроение». 1968. 569 с.

27. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. Гос-техиздат, М., 1961.

28. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. Гостехиздат, М., 1956.

29. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. ОНТИ, 1935; Продольный изгиб, ОНТИ, М., 1949.

30. Конноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. Стройиздат, М., 1949.

31. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.И. Расчеты на прочность в машиностроении, изд. 1-е, т. II, Машгиз, М., 1952, изд. 2-е, т. Ill, 1959.

32. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. Гостехиздат, М., 1955.

33. Дейнеко К.С., Леонов М.Я. Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня. Прикл. Мат. И мех. 19 (1955), 738-744.

34. Джанелидзе Г.Ю. Об устойчивости стержня под действием следящей силы. Труды Ленингр. Политехи. Ин-та, № 192 (1958).

35. Копейкин Ю.Д., Леонов М.Я. Об одном особом случае потери устойчивости равновесия сжатого стержня, прикл. мат. и мех. 19 (1955).

36. Вольмир А.С. К вопросу о продольном изгибе за пределом упругости. Научн. Зап. Харьковк. мех.-маш. ин-та (1935), 137-145.

37. Динник А.Н. О продольном изгибе стержней переменного сечения. Изв. Донск. политех, ин-та 1 (1913), 390-404; Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Избранные труды, т. 2, Изд.

38. АН УССР, 1952, 73-78; О расчете сжатых стоек переменного сечения, Вестн. инж., № 1,2 (1929); Устойчивость арок. М., 1946; Продольный изгиб; Кручение, М., 1955.

39. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности. М., 1960.

40. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сивере Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем. Машгиз, 1953.

41. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил. Для стержневых систем. Гостехиздат. М., 1949.

42. Снитко Н.К. Устойчивость стержневых систем. Госстройиздат, М., 1952; Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем, 1956.

43. Гольденблат И.И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений. Стройиздат, 1947.

44. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил. сб. «Инженерные сооружения и строительная механика», Изд. «Путь», 1924.

45. Болотин В.В. О поперечных колебаниях стержней, вызываемых периодическими силами, «Поперечные колебания и критические скорости», 1, изд. АН СССР (1951), 46-77 О параметрически возбуждаемых колебаниях упругих арок, ДАН СССР 83, № 4 (1952), 537-539.

46. Вольмир А.С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении. Строит. Механика и расчет сооружен, № 1 (1960), 6-9.

47. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем, ДАН СССР, 65 № 6 (1949).

48. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. Гостехиздат, М., 1949.

49. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил. М.: Госстройиздат. 1961 г. 319 с.

50. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзабеков С.М. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. Ташкент. ФАН, 1979. 235 с.

51. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука. 1980. 335 с.

52. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Тт. I-V. Физматгиз, 1958-1960.

53. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. ИЛ, 1950.

54. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. Физматгиз, 1962.

55. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Тт I-II. Гостехиздат, 1957.

56. Левин В.И., Гросберг О.Ю. Дифференциальные уравнения математической физики.остехиздат, 1951.

57. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Тт 1-2. ИЛ, 1958, 1960.

58. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Г остехиздат, 1953.

59. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. «Высшая школа», 1953.

60. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. «Наука», 1964.

61. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Гостехиздат, 1954.

62. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Гостехиздат, 1953.

63. Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, 1955.

64. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз,1959.

65. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Тт. 1-2. ИЛ,1960, 1961.

66. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. Гостехиздат, 1956.

67. Уиттенкер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Тт I-II. Физматгиз, 1963.

68. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Изд. АН СССР, 1963.

69. Шварц Л. Математические методы для физических наук. «Мир», 1965.

70. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Физматгиз, 1960.

71. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. «Наука», 1965.

72. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. «Наука», 1964.

73. N.J. Hoff, Buckling and stability , J of Royal Aeron. Soc. 58, #1 (1954) (перевод: H. Хофф, продольный изгиб и устойчивость, ИЛ, 1955).

74. S. Kaliski, Statecznosc udarowa preta, Biuletyn Wojckowei Akademy technicznej, Warszawa, 1955.

75. C. Koning, J. Taub, Stossartige Knickbeanspruchung schlanker Stabe in elastischen Bereich, Luftfahrtforschung 10, № 2 (1933), 55-64.

76. S. Lubkin, J.J. Stoker, Stability of columns and springs under periodically varying forces, Quart, of Appl. Math. 1, № 3 (1943).

77. Rayleing, The theory of sound, v. 1, London, 1926 (в переводе: Релей, Теория звука, т. Гостехиздат, 1940, стр. 311-313).

78. J.S. Rinehart, J. Pearson, Behaviour of metal under impulsive loads, 1953 ( впереводе: Дж. Райнхарт, Дж. Пирсен, Поведение металлов при импульсивных нагрузках, ИЛ, 1958).

79. V.L. Salerno, F. Bauer, I. Sheng, The behaviour of simply supported column under constant or varying end load, Proc. Of the 1st U.S. Nat. Congress of Appl. Mech., 1952, 425-434.

80. J. Taub, Stossartige Knickbeanspruchung schalker Stabe im elastischen Bereich, Luftfahrtforschung 10, № 2 (1933), 65-85.

81. J.F. Fleming, E.H. Liebold, Dynamic response of highway bridges, Proc. ASCE, J. Str. Div. 87, ST 7 (1961), 33-61; Dynamic response of columns. J. Frankl. In-te 275, № 6 (1963), 463-472.

82. G. Gerard, H. Becker, Column behaviour under conditions of impact, J. Aeron. Sci. 19, № 1 (1952), 58-62, 65.

83. G.W. Housner, W.K. Tso, Dynamic behaviour of supercritically loaded struts, Proc. ASCE, J. Eng. Mech. Div. 88 (1962), 41-65.

84. N. Haffington, Response of elastic columns to axial pulse loading, AIAA Journ. 1, behaviour №9 (1963), 2099-2104.

85. H.E. Lindberg, Impact buckling of a thin bar, J. Appl. Mech. 32, № 2 (1965), 315-322.

86. A. Petre, Flambage de barres droites par chex axial, Etudes et rech. De mech. Appliquee, 7, № 1 (1956), 173—178; Bull. Inst, polit. Bu-kuresti 20, № 3 (1958), 189-198.

87. E. Sevin, On the axial bending of columns due to dynamic axial forces including effects of axial inertia, J. Appl. Mech. 27, № 1, (1960), 125131.

88. Хосаев X.C. Музаев И.Д., Вазиева JIT. Один эффективный метод решения начально-краевых задач поперечных колебаний непризматической балки. Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естествен, науки, №4, 1997г.

89. Вазиева Л.Т. Некоторые задачи определения сдвиговых прогибов балок под действием равномерно распределённой нагрузки. Сборник трудов СКГТУ №5, 1998г., Владикавказ, с.306.

90. Вазиева Л.Т. Приближенный метод решения начально-краевых задач продольных колебаний непризматического стержня с плавно меняющейся площадью поперечного сечения. Юбилейный сборник трудов СКГТУ, посвящен. 60-летию НИСа, Владикавказ, 1998 г.

91. Вазиева Л.Т. Обобщенное дифференциальное уравнение С.П. Тимошенко для призматической балки с учетом инерции вращения и поперечного сдвига. Юбилейный сборник трудов СКГТУ, посвящен. 60-летию НИСа, Владикавказ, 1998 г.

92. Хосаев Х.С., Вазиева Л.Т., Метод решения начально-краевых задач продольных колебаний в горных машинах ударного действия. Сборник научных трудов СКГТУ 7, Владикавказ. 2000г., С. 88-91.

93. Музаев И.Д., Хосаев Х.С., Вазиева Л.Т. Математическая модель колебаний конвейерной ленты в нестационарных режимах. Тез. докл. Международный симпозиум «Неделя горняка-2001». М.: МГГУ, 2001г. 10 с.

94. Музаев И.Д., Хосаев Х.С., асс. Вазиева Л.Т. Математическая модель поперечных колебаний стержня под воздействием продольных импульсов. Тез. Докл. Международный симпозиум «Неделя горняка-2001». М.: МГГУ, 2001г. 10 с.