автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование диагностирования малых полостей и сосредоточенных масс

....004616890

Аюпова Айгуль Рафисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ МАЛЫХ ПОЛОСТЕЙ И СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МАСС

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Нефтекамск - 2010

004616890

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Нефтекамского филиала ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Ахтямов Азамат Мухтарович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кризский Владимир Николаевич

доктор технических наук, профессор Люпаев Борис Михайлович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт механики Уфимского научного центра РАН

Защита диссертации состоится «16» декабря 2010 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 ГОУВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева» по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева».

Автореферат разослан «12» ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, л

кандидат физико-математических наук од* Л. А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Трещины, полости, изменения масс из-за эрозии, коррозии являются одними из наиболее распространенных видов повреждений, возникающих в процессе эксплуатации механических конструкций. До середины прошлого века для поиска повреждений элементов конструкций широко применялись оптико-визуальные методы контроля. Но эти методы применимы лишь для обнаружения относительно больших повреждений, достигших больших размеров, расположенных на внешней поверхности, и потому визуально видимых. К тому же дефекты и даже полные разрушения внутренних элементов не поддаются обнаружению этими методами из-за отсутствия доступа к ним.

Поэтому в последние годы остро стоял вопрос создания все новых и новых методов и моделей диагностики в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения безопасности людей в том числе.

Отмеченных выше недостатков не имеют акустические методы диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения. Определение поврежденности механических структур с использованием экспериментально измеренных собственных частот изгибных колебаний является предметом активных исследований в течение десятилетий, ведь известно, что собственные частоты колебаний таких систем полностью определяются их геометрией и механическими свойствами.

В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики малых полостей и сосредоточенных масс, а также их исследованию, представляется актуальной.

Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней и стержней с сосредоточенными массами по собственным частотам изгибных колебаний. В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1) построение условий сопряжения, моделирующих малую полость в стержне; численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от местоположения и величины полости в стержне;

разработка математических методов для диагностирования объемов и местоположения малой полости по двум собственным частотам изгибных колебаний;

2) построение алгоритма решения задачи определения нагруженности по собственным частотам изгибных колебаний распределенных механических систем и механических систем с несколькими степенями свободы;

3) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач комплекса программ для пользователей.

Методы исследований. Результаты были получены с помощью математического моделирования, численного исследования, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, математического анализа, сопротивления материалов.

Научная новизна. Построена математическая модель малой полости в однородном стержне, не зависящая от геометрической формы полости. Реализация этой математической модели позволила провести исследования зависимости собственных частот от местоположения дефекта при действии различных параметров (краевые условия, величина объема полости, масса самой балки и т.д.).

На основе математического моделирования разработаны методы идентификации нагруженности механических систем по собственным частотам изгибных колебаний. Численные эксперименты по идентификации местоположения и величин нагрузок проведены как для распределенных механических, так и для механических систем с несколькими степенями свободы. Данные модели позволяют проводить качественный анализ зависимости собственных частот от местоположения нагрузки при действии различных параметров (учет различных граничных условий, масса балки и т.д.).

Построены алгоритмы и разработаны комплексы программ для решения задачи акустической диагностики нагруженности балки.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Разработанные математические модели и методы становятся основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и строительных конструкций. Найденные

формулы могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей разборки. Предложенные модели позволяют судить о величине и местоположении сосредоточенных масс стержня, дефектов в виде полости по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволит прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах №13/7, 170-05 (АН РБ) «Методы неразрушающего контроля механических систем», 2005 г.; РФФИ 08-01-97026 - р_Поволжье «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика», 2010. Результаты диссертационной работы использованы в виде рекомендаций лабораторией техники и технологии добычи нефти ЦНИПР при вибродиагностике глубинно-насосного оборудования с целью оценки состояния установок электроцентробежных насосов, о чем свидетельствует акт внедрения.

Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, результатами физических экспериментов и совпадением в частных случаях с результатами других авторов.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование малой полости в виде условий сопряжения. Выполненные в рамках модели численные эксперименты возможностей определения местоположения и объема полости по двум собственным частотам изгибных колебаний балки. Сравнение полученных численных результатов с результатами физических экспериментов и результатами других авторов.

2. Метод идентификации нагруженности распределенных механических систем и механических систем с несколькими степенями свободы по первым собственным частотам изгибных колебаний балки. Численные исследования изменения собственных частот в зависимости от местоположения, величины нагрузки. Сравнение результатов численных исследований с результатами физических экспериментов. Способы получения однозначных результатов

при решении обратной задачи определения значений двух и более сосредоточенных масс.

Апробация работы. Результаты, приводимые в диссертации, докладывались на конференциях и семинарах:

— «III конкурс научных работ молодых ученых и аспирантов», УНЦ РАН и АН, Уфа, 2005 г.;

— V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике, Санкт-Петербург, май 2005 г.; Сочи-Дагомыс, октябрь 2005 г.; Кисловодск, май 2006 г.;

— Всероссийская научно-практическая конференция «Наука и образование», посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ, Нефтекамск, 25-27 октября 2005 г.;

— «Международная уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых» (“International Ufa Winter Mathematical and Physical School Conference with students/Post graduates and youth scientists”), Уфа, 30 ноября - 6 декабря 2005 г.;

— Международная молодежная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 1-6 октября 2009 г.;

— Международная научно-практическая конференция «Роль классических университетов в формировании инновационной среды регионов. Фундаментальное естественно - научное образование - генерация знаний на базе научных исследований», Уфа, 2-9 декабря 2009 г.;

— Финансовая и актуарная математика: Всероссийская научнопрактическая конференция, Нефтекамск, 30 марта -1 апреля 2009 г.;

— IX конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, 1-3 июля 2010 г.;

— Международная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 1- 6 октября 2010 г.;

— научный семинар кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БашГУ, Нефтекамск, 2005г., 2006г.;

— совместный научный семинар по обратным задачам в науке и технике математического факультета БашГУ, Уфа, 2009 г., 2010 г.;

— научный семинар Института математики с вычислительным центром УНЦРАНпод руководством д. ф.-м. н. А.В.Жибера, 2010 г.;

— научный семинар Института механики УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н. М.А..Ильгамова, 2010 г.;

Публикации. По основному содержанию диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 4 статьи в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Материал диссертационной работы изложен на 129 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений, содержит 9 таблиц и 18 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе работы проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации. Здесь рассматриваются изгибные колебания стержней с дефектом в виде малой полости, трещины. Полость моделируется недостатком массы. Данный способ представления дефекта математически реализовывается значением отрицательной сосредоточенной массы. Далее доказана корректность применения данной модели для диагностирования полости в стержне. Моделирование дефектов в виде условий сопряжения дает возможность оценки местоположения и примерных его величин, избегая больших численных расчетов, как это делается в других моделях. Необходимо отметить, что большинство существовавших до этого моделей решало достаточно узкий круг задач, и преимущественно было направлено не на обнаружение дефектов, а на оценку долговечности поврежденной конструкции. В рамках построенной модели проведены численные

эксперименты и построены зависимости первой и второй собственных частот от местоположения дефекта при различных физических параметрах системы. В частности, при исследовании графика зависимости частоты от увеличения объема полости было выявлено, что собственные частоты поперечных колебаний балки с полостью выше собственных частот цельной бездефектной балки. Такое поведение частот колебаний балки с полостью в срединной оси в корне отличается от поведения частот колебаний балки с открытой трещиной. Частоты балки с трещиной ниже собственных частот бездефектной балки. Для каждого случая даны подробные описания и объяснения. Правильность предложенных моделей подтверждает сравнение полученных результатов с результатами физического эксперимента, проведенных для балок, изготовленных из различных видов материалов, с различными граничными условиями и размерами дефектов.

Полость для шарнирно-опертой балки длины Ь рассматривается в виде, изображенном на рисунке 1. Объем полости считаем намного меньшей объема стержня.

¿ж?

Рис.1: Схема балки с полостью Рис.2: Схема сечения балки с

полостью

Величину объема полости моделируем абсолютной величиной отрицательной сосредоточенной массы. Возможность моделирования полости таким способом обоснована следующими соображениями. Вычислив значения моментов инерций и площади сечения для стержней с полостью и без, можно показать, что значение момента инерции при образовании дефекта остается практически неизменным, тогда как площадь сечения уменьшается пропорционально размерам полости. Для стержня без полости, где Я = 1, В = 1 (величины безразмерные), эти величины будут У = 1/12, Г = 1 (здесь J- момент инерции, ^-площадь сечения) (рисунок 2).

При наличии полости размеров Л = 0.01, ¿ = 0.01 значение ./ уменьшится

з —4

на 10“", значение площади на 10 , но для большей полости с размерами А = 0.1, 6 = 0.1 получим изменения 7 и Р на 10-4 и 10'2 соответственно. Отсюда следует, что увеличение объема малой полости значительнее отражается на значении площади сечения стержня в районе полости, а значит и на массе балки рГ, тогда как изгибная жесткость £/ практически не изменяется.

Задача о колебаниях шарнирно-опертой балки длины I с постоянной жесткостью на изгиб, как известно, имеет следующий вид

у(4\х) = Л4у(х) (1)

Я0) = 0, /(0) = 0, Х£) = 0, /(!) = 0, (2)

где Я4 = р/ча2 / £/, Е [кГ/см2] - модуль упругости, У [см4] - момент

инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси

сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, р [кг/см3] - плотность стержня, ^ [см2] - площадь поперечного сечения стержня, со [с'1]-частотный параметр.

Переходя в задачах (1)- (2) к безразмерным переменным _ _ х ^4 _ 1?рР(2ха>)2

~ £7

получаем следующую задачу на собственные значения

У(4)(£)=Л4Ж). (3)

^(0) = 0, У(0) = 0, Я1) = 0, у'(1) = 0. (4)

Ввиду того, что объем дефекта мы представили как отрицательную сосредоточенную массу, то условия сопряжения участков для балок с сосредоточенными массами применим и для случая полости. Условия

сопряжения для сосредоточенных масс хорошо известны и записываются в следующем виде:

где &=хсИ- местоположение полости, тх— сосредоточенная масса, Уг(4с) ' форма колебаний левее и правее каждой полости. Для случая полости мы будем считать, что тх -отрицательное число, абсолютная величина которого характеризует объем полости.

Из формул для перехода к безразмерным переменным следует, что собственные частоты сок балки с полостью находятся по формуле

где Хк - собственные значения граничной задачи для уравнения (3) с краевыми условиями (4) и условиями сопряжения (5).

Собственные значения - это такие значения X, при которых краевая задача (3) - (5) имеет нетривиальные решения. Нетривиальные решения Л(#,Л), у2(^,Л) уравнения (3) левее и правее каждой полости записываются следующим образом:

=Ыу2Ю-т1°>2уЮ

(5)

С08(Л£) + С0811(ЛО .\А£/ ~

8т(Л£) + 8тЬ(Л£) -----------------

.„п -С08(Л£) + С0811(ЛО

2з(^.?) =----------—2----------

являются линейно-независимыми решениями уравнения (3),

которые образуют фундаментальную систему Коши и выражаются через функции Крылова.

Константы Су (/ = 1,2; у = 1,2,3,4) являются решениями системы восьми алгебраических уравнений (4) - (5).

Нули определителя Д(Д) этой системы и являются собственными значениями краевой задачи (3) - (5).

Ниже приведены результаты численных исследований, показывающих зависимость первых двух собственных частот от местоположения полости.

На рисунках 3, 4 приводятся графики этих зависимостей в обезразмеренных величинах.

удовлетворяющими условиям

3.1416

о

0.2

0.4

0.Б

0.8

Legend

Рис. 3: Зависимость первой собственной частоты ог местоположения полости.

Л

А

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.6

0.7 0.8 0.9

Legend

Рис. 4: Зависимость второй собственной частоты от местоположения полости

На рисунках сплошной линией показаны зависимости частот для стержня с наибольшим размером полости, крупным пунктиром - с наименьшей полостью. Анализ этих графиков показывает: собственные частоты балки с малой полостью, расположенной в срединной оси, выше соответствующих собственных частот колебаний бездефектной цельной балки. Объяснить это можно следующим образом: из Л4 = рРсо2 / £/ вытекает, что собственные частоты ак прямо пропорциональны величине Ш / рр. Для малой полости масса балки рР в районе полости уменьшается пропорционально размерам полости, а изгибная жесткость Ю практически не изменяется. Поэтому при образовании полости знаменатель в выражении / рр уменьшается быстрее числителя, а значит,

собственные частоты колебаний балки с полостью оказываются выше собственных частот балки без полости.

Во время эксплуатации дефект может появиться в разных местах стержня, следовательно, с целью определения технического состояния изделия важно уметь рассчитывать его частоты колебаний при разном закреплении, а так же размерах и местоположении трещины. Предложенный метод может быть применен для диагностирования стержня с полостью с

различными видами закрепления. При этом для консольной балки полученные нами результаты совпадают с известными результата;.;;; работы

O.A. Ватульяна, которые были получены, другим более сложным методом.

Итак, нами исследована прямая задача определения собственных частот колебаний балки с полостью по известным граничным условиям и условиям сопряжения. К задаче (3) - (5) поставлена обратная задача.

Обратная задача. При известных значениях первых двух собственных частот сок необходимо определить размеры и местоположение малой полости в стержне.

Эта задача решается нами с помощью системы уравнений

%)=0(Н,2) (6)

относительно двух неизвестных /и; и хс . При этом абсолютная величина сосредоточенной массы будет характеризовать объем полости однородного стержня.

В конце главы приведены примеры определения дефектов в стержнях с различными закреплениями и расчеты. Создан комплекс программ для идентификации объема и местоположения малой полости в стержне:

Среди задач диагностирования технического состояния систем немаловажной является и задача определения их нагруженное™. Ведь механические системы, которые упрощенно можно представить как балки с сосредоточенными массами, являются составной частью многих технических конструкций, находящих широкое применение в различных областях деятельности человека. Известно, что сосредоточенные массы со временем могут менять свои значения в связи с изношенностью. Следовательно, определение масс важно для проверки надежности работы механической системы. Акустические задачи по определению нагруженное™ подобных систем являются новыми не только по методам решения, но и по постановке. Поэтому вторая глава диссертации посвящена численным исследованиям в диагностировании нагруженности распределенных механических систем. Основные работы, посвященные восстановлению системы масс, принадлежат зарубежным авторам. И все исследования ведутся вокруг лишь пружинномассовой системы. Упрощение сложных механических систем до вида

пружинно-массовой системы не всегда позволяет восстанавливать необходимые значения параметров и решать обратные задачи. В рамках построенной математической модели балки с несколькими сосредоточенными массами представлены численные исследования изменения собственных частот в зависимости от расположения и величины нагрузки. Правильность модели и согласованность с результатами других моделей подтверждается сравнением полученных данных с результатами физических экспериментов и результатами известных работ других авторов.

Если /к/ принимать как значение сосредоточенной массы на балке, то предложенный метод отрицательной массы для отыскания дефекта в виде малой полости вполне применим и для диагностирования масс на балке. В этом случае можно восстанавливать значения п масс по п собственным частотам изгибных колебаний балки.

. Модель диагностирования нагруженности построена для системы с двумя сосредоточенными массами.

/УУ7/У7/У

Рис.5: Шарнирно-опертая балка с двумя сосредоточенными массами

Пусть балка с погонной массой т длины I нагружена сосредоточенными массами т) и т2. Эти массы располагаются от левого конца балки на расстоянии х, и хг соответственно (рисунок 5). Тем самым балка делится на 3 участка 0<х<х15 х1<х<х2, х2<х<!. Концы балки шарнирно оперты

Задача об изгибных колебаниях балки (с постоянной жесткостью на изгиб) длины / с шарнирно-опертыми концами имеет вид:

у{4\х) = Л4у(х), где Л = 4|—

К}

(7)

|/т = П „ГП-П

” > У V“/ > ./ V* У “ > ./• V* 7 "

^о->

У^’J

где т \кг/см\ - интенсивность массы балки (масса единицы длины), Ю [кг-см2] - изгибная жесткость сечения балки, со [с"'] - частота.

Условия сопряжения участков балок с сосредоточенными массами запишутся в виде:

Л(*) = Л+1(*). У(*) = У-и(*),

(£У(х)), = (ЕУ(*)),+„ (9)

(Шут)!. = (£^”),+1 -т$со2у, где 5 = 1,2,

где уги _уу+1 (5 = 1,2) есть формы колебаний левее и правее каждой сосредоточенной массы т5.

Развернутая запись условий (8) и (9) приведет к 12 однородным уравнениям относительно постоянных Су, где / = 1,2,3; у = 1,2,3,4. Чтобы

эти постоянные не равнялись нулю одновременно необходимо, чтобы равнялся нулю определитель, составленный из коэффициентов системы.

Для компактной записи определителя системы введем следующие обозначения

4М = !

Л4( х) = (*,/) =

Мх>0 = А1(х) =

г2(х) 2А{х) 2\(х) г3(х))

. Л3(х)--

к4г4(х)

г3(х) г4(х) г2(х) г3(х)

г2(х)

к4 Е/г3(х) + тхсо222 {х) Е31х(х) + тхо>2г4(х)

к4г3{х) к4г4(х)

к4Юг2{х) + 1т2си1г](х) к4Е/г3(х) + Ш2со2г2(х)

к4К1г4(х) + !т2а2г3(х) К/гх(х) + 1т2со2г4(х)

гх{х) 12{х) ' к4г3(х) к4г4(х)у

, Мх) =

г2(х)

х3(х) г4(х) гх(х) г2{х)

, где/ = 0,1; (11)

где / = 0,1;

Уравнение частот необходимое для решения прямой задачи получаем из условия равенства нулю определителя при обозначениях (11):

4(*1) ~А2{х]) ~Аз{хх) О О

-Л5(.г„0) -Ч(*1,0) О О

Д(ю) = О Мх2) ^3(^2) —Л2(х 2) ~А$(х2)

0 А5(х2 ,1) Мх2’1) -А5(х2, 0) -А6(х2, 0)

О 0 О Л7(х3) А$(х3)

На основе частотного уравнения (12) проведено

= 0 (12)

исследование прямой задачи определения собственных частот колебаний балки с сосредоточенными массами по известным граничным условиям и условиям сопряжения в зависимости от изменений величин масс и закреплений. Рассмотрена также обратная задача - получение зависимости значений масс, сосредоточенных на балке, от собственных частот колебаний балки, соответствующих определенным параметрам системы:

Обратная задача. Известны собственные частоты сок задачи (7), (8), (10) и такие параметры, как, жесткость на изгиб ЕУ, местоположения масс Х|, х2 и длина балки. Требуется восстановить значения масс щ и т2.

Данная обратная задача решается с помощью системы

Д(ю*) = 0

(Л = 1,2) нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ш] и т2 ■

В данной главе также исследованы зависимости значений собственных частот от вида закрепления концов балки, величины сосредоточенных масс, массы самой балки. Из последней зависимости (см рисунок 6) видно, что графики зависимостей для т = 0.0616кг / м и т = 0.00616кг / м практически совпадают.

Legend

m* 6.16 кг/11 m * 0.6^6 кг/м m* 0.0Б15 w/m m = 0.00616 кг/и

Рис. 6: Зависимость первой собственной частоты от местоположения сосредоточенной массы для различных по массе балок

Это наблюдение позволяет в случае, когда масса стержня мала по сравнению с сосредоточенными массами, применять уже не математическую модель распределенной механической системы, а модель с несколькими степенями свободы. Конечно, имеется ряд случаев, когда неучет массы самого стержня сильно отражается на точности расчета, поэтому именно для таких систем применим метод, предложенный во второй главе. Однако для расчетов в случаях малой массы самого стержня удобнее использовать модель механической системы с несколькими степенями свободы.

Третья глава работы содержит численные исследования изменения собственных частот на основе простейшей математической модели нагруженной механической системы с несколькими степенями свободы. С ее помощью решаются обратные задачи идентификации величин п сосредоточенных масс или их местоположений по п собственным частотам. Обратная задача, состоящая в решении системы п уравнений, полученных поочередной подстановкой известных значений собственных частот в вековое уравнение, имеет п{ комплексных и действительных решений. Комплексные корни отбрасываются в силу физического смысла. Для получения однозначного решения разработаны дополнительные методы,

суть которых состоит в удалении или добавлении дополнительной массы, изменении вида закреплений на концах для получения нового спектра, с помощью которого и находится уже единственное решение.

Предложены также методы нахождения 3 и более сосредоточенных

масс.

Пусть балка длины I нагружена в точках, отстоящих от левой опоры на расстоянии х1,х2,...,хп, сосредоточенными массами тх,т1,...,тп. Концы балки могут быть закреплены различными способами. От вида закрепления будут зависеть только коэффициенты связи а¿к. Коэффициент связи равен единичному перемещению в направлении ], вызванного единичной силой Рк = 1, действующей в направлении к Перемещения а]к вычисляются, как обычно методами О.Мора или А.Н. Верещагина от единичных сил, приложенных в местах действия сил инерции, т.е. в сечениях, где находятся сосредоточенные массы.

Для шарнирно опертой на обоих концах балки при постоянной жесткости на изгиб Е1

,xjV xi) (2х* 1 Хк______________________^

6 EJ1 Xj l-Xj x2j(l-XjY

akj = ajk для всех j,k.

В случае балки, заделанной одним концом, и свободной на другом, коэффициенты связи вычисляются по формуле

ajk = J]Fj(3xJ ~ хк)’ xk<Xj<l, а]к = akj, EJ = const (14)

Рассмотрим малые изгибные колебания, при этом примем, что массой балки по сравнению с массами тх,тг,...,тп можно пренебречь, и будем учитывать только жесткость на изгиб балки EJ.

Частотное уравнение для малых изгибных колебаний имеет вид:

А<Л{АМ-рЕ) = 0, р = \ (15)

со

где со -частотный параметр, матрицы А и М соответственно

А =

Г «11 0,2 . •• °\п' ч Л 0 . о'

“21 "22 ■ • а2 п , м = и т2 . 0

уап\ ап1 • ,0 0 • тп,

Обратная задача ставится следующим образом: Элементы матрицы А и собственные значения р, задачи (15) известны. Требуется восстановить элементы матрицы М, соответствующие данным частотам колебаний и соответствующие данным параметрам системы.

Если представить вековое уравнение (15) в виде многочлена, то тогда с помощью формул Виета, выражающих коэффициенты многочлена через его корни, можно получить следующую систему уравнений: о» 'Щ +ЧгпЪ +• • +Й+- • -+Рп

°!1 41 % <?ня-1 1/1

°г\ °31 % Цп

■пи-Щ,=Г\-Р1+Ц-Рь+~*Рп-\-Рп

(16)

Ч-Щ-«и-Щ,- = Л • й ■ ■ • •• Рл-1 ■ д,

Значения масс можно легко восстановить, подставив известные значения коэффициентов связи и частот в систему (16).

Погрешность решения задач с подобными допущениями становится меньше, когда масса балки мала по сравнению с сосредоточенными массами. Это наглядно можно увидеть из таблицы:

Таблица 1. Значения сосредоточенных масс при различных массах балки

значение погонной массы балки, кг/м значение частотного параметра Ш) с учетом массы балки, кг Ш| без учета массы балки, кг расхождение, %

0,000001 0,014999987 10,00 10,0000175700 0,000176

0,00001 0,014999868 10,00 10,00017571 0,001757

0,0001 0,014998682 10,00 10,00175716 0,017572

0,001 0,014986837 10,00 10,01757331 0,175733

0,01 0,014869791 10,00 10,1758994 1,758994

0,1 0,013824203 10,00 11,77341116 17,734112

Обратимся теперь к тому факту, что одному набору собственных частот соответствует несколько действительных решений. Диагностика же требует достаточно точных и однозначных результатов. Конечно, в случае возможности визуального обзора, можно проанализировать порядок

расположения масс в системе и выбрать из нескольких решений одно правильное. В частности, сосредоточенные массы могут располагаться строго по возрастанию или по убыванию их значений. Но среди механических систем встречаются и такие, где массы располагаются неупорядочено, или, более того, визуальный обзор их невозможен. Поэтому необходимы дополнительные условия для получения однозначного решения.

Рассмотрим, например, систему с 3 сосредоточенными массами, где один из концов или какой-то участок остается открытым для осмотра и исследования (рисунок 7).

Рис.7: Балка с сосредоточенными массами

Для уточнения решения задачи для этой механической системы, предлагается добавить дополнительную массу на открытый участок или же, наоборот, удалить одну из имеющихся. Тогда, решив задачу уже для измененной системы с новым спектром, можно найти однозначное решение. Такого же результата можно достигнуть, изменив закрепление на концах балки.

Для решения задачи определения значений сосредоточенных масс по двум собственным частотам было разработано программное приложение на языке Ое1рЫ (рисунок 8). Данная программа имеет достаточно удобный интерфейс, рассчитана на диагностирование одной и двух масс.

т ея

и ¡17(00000 к<*м *

- РнеДшие данные - -

*2 Йр

н>дч; сйстаатотенны* масс

ОТВЕТ.

ВЫХОД

Рис.8: Программное приложение «Ва1ка»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены условия сопряжения, которые моделируют малую полость балки и тещину.

2. С помощью численного исследования на основе предложенной модели установлено, что собственные частоты балки с малой полостью выше собственных частот цельной бездефектной балки, а собственные частоты балки с открытой трещиной ниже собственных частот цельной бездефектной балки.

3. Решена обратная задача определения величины полости (трещины) и ее местоположения. На основе численного решения обратной задачи получены зависимости местоположения и объема полости (местоположения и величины трещины) от величин двух первых собственных частот изгибных колебаний балки. Показано соответствие полученных численных результатов с результатами физических экспериментов и результатами других авторов.

4. Решены обратные задачи определения нагруженности стержня по собственным частотам его изгибных колебаний на основе математических моделей распределенных механических систем и систем с несколькими степенями свободы. Получены зависимости местоположения и величин сосредоточенных масс от величин первых

собственных частот изгибных колебаний балки. Предложены методы идентификации нагруженности распределенных механических систем и механических систем с несколькими степенями свободы по первым собственным частотам изгибных колебаний балки. В случае системы с несколькими степенями свободы доказана теорема об определителе матрицы коэффициентов влияния. Построен метод добавления и удаления масс для получения однозначного решения.

5. Разработан комплекс процедур в математическом пакете Maple для решения прямой задачи нахождения двух первых собственных частот изгибных колебаний стержня с малой полостью и обратной задачи определения объема и местоположения дефекта в стержне. Для диагностирования значений сосредоточенных масс на стержне разработано программное приложение Balka на языке Delphi.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО

В изданиях из перечня ВАК:

1. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. Диагностирование двух масс, сосредоточенных на балке// Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2010. №1. С. 42-44.

2. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. Диагностирование полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия. 2010. №5. С.29-33

3. Аюпова А.Р. Идентификация величины трех сосредоточенных масс // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12 Вып.2. С.234-235

4. Аюпова А.Р. Диагностирование величины четырех сосредоточенных масс // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12 Вып.4. №5 С.ЗЗ 1-332.

В других изданиях

5. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. О решении задачи диагностирования дефектов в виде малой полости в стержне // Труды Средневолжского математического общества, Саранск. 2010. Т.12. №3. С.38-42

6. Аюпова А.Р. О решении обратной задачи диагностирования механической системы по собственным частотам ее колебаний //

Тезисы докладов Международной школы - конференции для

студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» - Уфа: РИЦ БашГУ. 2010. С.27

7. Ахтямов А.М, Аюпова А.Р. О решении обратной задачи

восстановления сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний. // Электронный журнал "Техническая акустика", http://eita.org. 2009,12.

8. Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению

сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний// Сборник материалов Всероссийской научно-практической

конференции «Финансовая и актуарная математика», НФ БашГУ. 2009. С.21-23.

9. Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению

сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний // Сборник материалов Всероссийской научно-практической

конференции. НФ БашГУ, Нефтекамск. 2009. С.21-24.

10.Аюпова А.Р. Диагностирование полости в стержне методом отрицательной полости // Материалы Международной научнопрактической конференции «Роль классических университетов в формировании инновационной среды регионов. Фундаментальное естественно - научное образование - генерация знаний на базе научных исследований». Т.П. 4.1.-Уфа: РИЦ БашГУ. 2009. С. 97-101.

11.Аюпова А.Р. Определение масс, сосредоточенных на балке, по собственным частотам изгибных колебаний //Сборник Российской конференции «Механика и химическая физика сплошных сред», Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященной памяти Алексея Федоровича Леонтьева. 2007. С.51-52.

12.Аюпова А.Р. Диагностирование величины сосредоточенных масс по трем собственным частотам // Сборник материалов III конкурса научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ. 2005. С.34.

Аюпова Айгуль Рафисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ МАЛЫХ ПОЛОСТЕЙ И СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МАСС

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР Кз 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 03.11.2010 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе.

Усл.печ.л. 1,5. Уч.-изд.л. 1,4.

Тираж 100 экз. Заказ 24.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета РБ, г. Уфа, ул. З.Валиди, 32

Отпечатано на множительном участке Нефтекамского филиала БашГУ 452683, Нефтекамск, ул. Трактовая 1.

Телефон: (34713) 2-35-80.

Факс:(34713) 2-35-80.

E-mail: nfbgu@yandex.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФЕКТОВ В ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЯХ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ИДЕНТИФИКАЦИИ ИХ МЕСТОПОЛОЖЕНИЙ И ВЕЛИЧИН.

1.1 Обзор литературы.

1.2 Математическая модель малой полости.

1.3 Зависимости первых двух собственных частот от параметров системы.

1.4 Численные эксперименты определения местоположения и объема полости по двум собственным частотам колебаний балки.

2 ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ДИАГНОСТИРОВАНИИ НАГРУЖЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Численное исследование изменения собственных частот в зависимости от расположения и величины одной сосредоточенной массы.

2.1. Идентификация двух и более сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний.

2.2 Обоснование возможностей идентификации нагруженности стержней по собственным частотам их колебаний.

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАГРУЖЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

3.1 численные методы нахождения собственных частот колебаний балки с пренебрежимо малой массой самой балки.

3.2 Идентификация нагруженности системы по собственным частотам их колебаний.

3.3 Методы получения однозначного решения для задачи восстановления сосредоточенных масс.

Трещины, полости, изменения масс из-за эрозии, коррозии являются одними из наиболее распространенных видов повреждений, возникающих в процессе эксплуатации механических конструкций. До середины прошлого века для поиска повреждений элементов конструкций широко применялись оптико-визуальные методы контроля. Но эти методы применимы лишь для обнаружения относительно больших повреждений, достигших больших размеров, расположенных на внешней поверхности, и потому визуально видимых. Но в то же время дефекты и даже полные разрушения внутренних элементов не поддаются обнаружению этими методами из-за отсутствия доступа к этим элементам.

Поэтому в последние годы остро стоял вопрос создания новых методов и моделей диагностики в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения безопасности.

Отмеченных выше недостатков не имеют акустические методы диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения. Определение поврежденности механических структур с использованием экспериментально измеренных собственных частот изгибных колебаний является предметом активных исследований в течение десятилетий, ведь известно, что собственные частоты колебаний таких систем полностью определяются их геометрией и механическими свойствами.

В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики малых полостей и сосредоточенных масс, а также их исследованию, представляется актуальной.

Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней и стержней с сосредоточенными массами по собственным частотам изгибных колебаний.

В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1) построение условий сопряжения, моделирующих малую полость в стержне; численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от наличия полости в стержне; разработка математических методов для диагностирования объемов и местоположения малой полости по двум собственным частотам изгибных колебаний;

2) построение алгоритма решения задачи определения нагруженности по собственным частотам изгибных колебаний распределенных механических систем и механических систем с несколькими степенями свободы;

3) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач комплекса программ для пользователей.

Методы исследований

Результаты были получены с помощью теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, математического анализа, сопротивления материалов. Расчеты проводились в математическом пакете Maple.

Научная новизна

Построена математическая модель дефектов в виде малой полости в однородных стержнях независимо от геометрических форм полости. Реализация этой математической модели позволила провести исследования зависимости собственных частот от местоположения дефекта при действии различных параметров (краевые условия, величина объема полости, масса самой балки и т.д.).

Впервые сформулированы и численно исследованы математические модели определения нагруженности механических систем по собственным частотам изгибных колебаний. Численные эксперименты по идентификации местоположения и величин нагрузок проведены для распределенных и механических систем с несколькими степенями свободы. Данные модели позволяют проводить качественный анализ зависимости собственных частот от местоположения нагрузки при действии различных параметров (учет различных граничных условий, масса балки и т.д.).

Построены алгоритмы и разработаны пакеты программ для решения задачи акустической диагностики нагруженности балки.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Разработанные математические модели и методы становятся основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и строительных конструкций. Найденные формулы могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей разборки. Предложенные модели позволяют судить о величине и местоположении сосредоточенных масс стержня, дефектов в виде полости по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволит прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах №13/7, 170-05 (АН РБ) «Методы неразрушающего контроля механических систем», 2005 г.; РФФИ 08-01-97026 -рповолжье «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика». Результаты диссертационной работы использованы в виде рекомендаций лабораторией техники и технологии добычи нефти Цеха научных и производственных работ ОАО НГДУ Арланнефть при вибродиагностике глубинно-насосного оборудования с целью оценки состояния установок электроцентробежных насосов, о чем свидетельствует акт внедрения.

Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, совпадением в частных случаях с результатами других авторов.

Положения диссертации, выносимые на защиту

1. Математическая модель малой полости и трещины в виде условий сопряжения. Выполненные в рамках модели численные эксперименты возможностей определения местоположения и объема полости по двум собственным частотам изгибных колебаний балки. Сравнение полученных численных результатов с результатами физических экспериментов и результатами других авторов.

2. Методы идентификации нагруженности распределенных механических систем и механических систем с несколькими степенями свободы по первым собственным частотам изгибных колебаний балки. Сравнение предложенных двух методов. Численные исследования изменения собственных частот в зависимости от местоположения, величины нагрузки. Сравнение результатов численных исследований с результатами физических экспериментов. Способ получения однозначных результатов при решении обратной задачи определения значений двух и более сосредоточенных масс.

Апробация работы

Результаты, приводимые в диссертации, докладывались на конференциях и семинарах:

III конкурс научных работ молодых ученых и аспирантов», УНЦ РАН и АН, Уфа, 2005 г.

V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике, Санкт-Петербург, май 2005 г.; Сочи-Дагомыс, октябрь 2005 г.; Кисловодск, май 2006 г.

Всероссийская научно-практическая конференция «Наука и образование», посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ, Нефтекамск, 25-27 октября 2005 г.

Международная уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых» ("International Ufa Winter Mathematical and Physical School Conference with students/Post graduates and youth scientists"), Уфа, 30 ноября - 6 декабря 2005 г.

Международная молодежная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 1-6 октября 2009 г.

Международная научно-практическая конференция «Роль классических университетов в формировании инновационной среды регионов. Фундаментальное естественно - научное образование -генерация знаний на базе научных исследований», Уфа, 2-9 декабря 2009 г.

Финансовая и актуарная математика: Всероссийская научно-практическая конференция, Нефтекамск, 30 марта -1 апреля 2009 г.

IX конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, 1-3 июля 2010 г.

Международная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 1-6 октября 2010 г. научный семинар кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БашГУ, Нефтекамск, 2005 г., 2006 г. научный семинар по обратным задачам« в науке и технике математического факультета БашГУ, Уфа, 2009 г., 2010 г. научный семинар Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н. А.В.Жибера, 2010 г. научный семинар Института механики УНЦ РАН под руководством чл.- корр. РАН д. ф.-м. н. М.А. Ильгамова, 2010 г.

Публикации.

По основному содержанию диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 4 статьи в журналах перечня ВАК.

В первой главе работы проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации. Здесь рассматриваются изгибные колебания стержней с дефектом в виде малой полости. Полость моделируется недостатком массы. Данный способ представления дефектов8 математически реализовывается значениями отрицательной сосредоточенной массы в условиях сопряжения. Далее доказана корректность применения данной модели для диагностирования полости в стержне. Моделирование дефектов в виде условий сопряжения дает возможность оценки местоположения и примерных его величин, избегая больших численных расчетов сложных моделей. Необходимо отметить, что большинство существовавших до этого моделей- решали достаточно узкий круг задач и преимущественно были направлены не на обнаружение дефектов, а на оценку долговечности поврежденной конструкции. В рамках построенной модели проведены численные эксперименты и построены зависимости первой и второй собственных частот от местоположения дефекта при различных физических параметрах системы. В частности, при исследовании графика зависимости частоты от увеличения объема полости было выявлено, что собственные частоты поперечных колебаний балки с полостью выше собственных частот цельной бездефектной балки. Такое поведение частот колебаний балки с полостью в срединной оси в корне отличается от поведения частот колебаний балки с открытой трещиной. Частоты балки с трещиной ниже собственных частот бездефектной балки. Для каждого случая даны подробные описания и объяснения. Правильность предложенных моделей подтверждает сравнение полученных результатов с результатами физического эксперимента, проведенных для балок, изготовленных из различных видов материалов, с различными граничными условиями и размерами дефектов.

Среди задач диагностирования технического состояния систем немаловажной является и задача определения их нагруженности. Ведь механические системы, которые упрощенно молено представить как балки с сосредоточенными массами, являются составной частью многих технических конструкций, находящих широкое применение в различных областях деятельности человека. Известно, что сосредоточенные массы со временем могут менять свои значения в связи с изношенностью. Следовательно, определение масс важно для проверки надежности работы механической системы. Акустические задачи по определению нагруженности подобных систем являются новыми не только по методам решения, но и по постановке. Поэтому вторая глава диссертации посвящена численным исследованиям в диагностировании нагруженности распределенных механических систем. Основные работы, посвященные восстановлению системы масс, принадлежат зарубежным авторам. И все исследования ведутся вокруг лишь пружинно- массовой системы. Упрощение сложных механических систем до вида пружинно-массовой системы не всегда позволяет восстанавливать необходимые значения параметров и решать обратные задачи. В рамках построенной математической модели балки с несколькими сосредоточенными массами представлены численные исследования изменения собственных частот в зависимости от расположения и величины нагрузки. Правильность модели и согласованность с результатами других моделей подтверждается сравнением полученных данных с результатами физических экспериментов и результатами известных работ других авторов.

Предложенная выше модель работает в случае, когда информация о массе самой балки считается известной. Но среди механических систем встречаются и такие, где получение данных о массе балки трудоемко или вообще невозможно. Также существуют конструкции, где масса системы, имеющей колебания, мала по сравнению с приложенной к системе нагрузкой. Поэтому остро встал вопрос разработки математической модели диагностирования нагруженности механических систем, где неучет массы самой системы позволял бы с достаточной для практики точностью решать ряд технических задач. Конечно, имеется ряд случаев, когда неучет массы системы, имеющей колебания, сильно отражается на точности расчета, поэтому для таких систем применим метод, предложенный во второй главе.

Третья глава работы содержит численные исследования изменений собственных частот на основе простейшей математической модели нагруженной механической системы с несколькими степенями свободы. С ее помощью решаются обратные задачи идентификации величин п сосредоточенных масс или их местоположений по п собственным частотам. Обратная задача, состоящая в решении системы п уравнений, полученных поочередной подстановкой известных значений собственных частот в вековое уравнение, имеет п! комплексных и действительных решений. Комплексные корни отбрасываются в силу физического смысла. Для получения однозначного решения разработаны дополнительные методы, суть которых состоит в удалении или добавлении дополнительной массы, изменении вида закреплений на концах для получения нового спектра, с помощью которого можно будет уточнить решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанные математические модели и методы могут стать основой акустической диагностики, доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и строительных конструкций.

В работе построены модели для таких повреждений, как полость, изменение значения масс элемента, которые являются одними из наиболее распространенных видов повреждений. Предложенная математическая модель позволяет выявлять местоположения и объем полости в стержне по собственным частотам изгибных колебаний. Корректность построенных моделей подтверждена численными экспериментами, сравнением полученных результатов с результатами физических экспериментов, согласованностью - результатов с известными результатами других авторов. Приведены зависимости первой и второй собственных частот от местоположения дефекта при различных физических параметрах системы. В частности, при исследовании графика зависимости частоты от увеличения объема-полости было выявлено, что собственные частоты поперечных колебаний балки с полостью выше собственных частот цельной бездефектной балки. Частоты балки с трещиной. ниже' собственных частот бездефектной балки. Для каждого случая даны подробные описания и объяснения. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволит прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения* и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Математические модели для диагностирования нагруженности систем являются новыми не только по методам решения, но и по постановке. Даны численные исследования изменения собственных частот на основе математической моделей нагруженных механической системы с несколькими степенями свободы и распределенной системы в виде балок с несколькими сосредоточенными массами. С их помощью решаются обратные задачи идентификации величин п сосредоточенных масс или их местоположений по п собственным частотам. Для уточнения решения разработаны дополнительные методы, суть которых состоит в удалении или добавлении дополнительной массы, изменении вида закреплений на концах для получения нового спектра, с помощью которого можно будет уточнить решение. Так как изменения значений сосредоточенных масс может говорить об изношенности деталей или налипании инородных предметов, что также может привести к поломке конструкции, то найденные формулы- могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей разборки, тем . самым, повысив эффективность эксплуатации объекта.

1. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. M.-JL: Гостехтеоретиздат, 1946.224 с.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний, 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Физматгиз, 1959. 916с.

3. Андронов A.A., Витт А.А:, К математической теории автоколебательных систем// ЖТФ.-Т1У. Вып. 1.1934.

4. Артоболевский И.И., Бобровицкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 295 с.

5. Ахатов И.Ш., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65.Вып.2. С.290-298.

6. Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Ямилова JI. С. Определение вида и параметров закрепления стержня по собственным частотам его колебаний // Акустический журн. 2008," Т. 54, № 2, С. 181-188.

7. Ахтямов A.M. Диагностирование нагруженности механической системы. Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, №6. 2003. С.51-52.

8. Ахтямов A.M., Урманчеев С.Ф. Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, по собственным частотам колебаний // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. T.XI, № 4. С. 19-24.

9. Ахтямов A.M. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирскогогосударственного университета. Уфа: Изд-е БашГУ.1996. №3(1). С.12-15

10. Ахтямов A.M. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. научн. Конф.22-26 июня 1999. С. 18

11. Ахтямов A.M. Об определении безопасности работающей технической системы по ее шуму // Математические модели и-методы их исследования: Тез. докл. Международ, конф. / Краснояр. Гос. Ун-т. Красноярск, 1999. 0,21.

12. Ахтямов A.M. Об однозначности восстановления закрепления струны по ее собственным частотам // Нелинейное моделирование и управление. Материалы международного семинара. Самара: Офорт, 2000. С. 8-9:

13. Ахтямов A.M., Николаенко В.В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Том 8.Вып.1. С.92-93.

14. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. МММИУ. 2001.Т.5.№3, с.103-110.

15. Ахтямов A.M. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Том 9. Вып. 1.С. 154-155.

16. Ахтямов A.M. Акустическая диагностика закреплений кольцевых пластин // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин. Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Лобачевского, 2002. С. 101-104.

17. Ахтямов A.M. К решению обратной статической задачи журнал «Исследовано в России», 49, с.567-573, 2003: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf

18. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. T.49.№3.C.325-331.

19. Ахтямов A.M. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т.5.№1.С.214-221.

20. Ахтямов A.M. Диагностирование нераспадающихся закреплений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004.№7. С.61.

21. Ахтямов A.M. Восстановление краевых условий по собственным частотам //Обратные задачи в приложениях: Коллектив, монография под общ. ред. проф. С.М.Усманова. -Бирск: БирГСПА, 2006. Т. 11, №2-3. - С.293-296.

22. Ахтямов A.M., Нафикова Э.Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. 2007. -№9. - С.50-52.

23. Ахтямов A.M. Определение массы, скорости движения груза и места его удара по стержню с помощью продольных смещений одного из сечений стержня //Контроль. Диагностика. — 2007. -№11. С.59-60.

24. Ахтямов A.M., Гарипова Г.И. Диагностирование механической системы с двумя степенями свободы по собственным частотам и амплитудам ее колебаний // Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org. 2008.-№13. -7с.

25. Ахтямов A.M., Гарипова Г.И. Диагностирование механической системы с двумя степенями свободы по двум наборам собственных частот // Обратные задачи в приложениях. Сб. ст. научно-практической конференции. Бирск: БирГСПА, 2008.-С. 158-164.

26. Ахтямов А. М., Сафина Г. Ф. Определение виброзащитного закрепления трубопровода // Прикладная механика и техническая физика. 2008, Т. 49, № 1, С. 139- 147.

27. Ахтямов A.M., Урманчеев С.Ф. Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, пособственным частотам колебаний // Сибирск. Журн. Индустриальной математики. 2008. - Т. 11, №4. - С. 19-24.

28. Ахтямов A.M. Теория идентификации краевых условий. -Уфа: Гилем, 2008.- 300 с.

29. Ахтямов А.М. Диагностирование механических систем // Вестник Академии наук Республики Башкортостан. 2008.- Т. 13, №4. - С.26-33.

30. Ахтямов A.M., Муртазина Р.Ф. Определение массы, скорости движения груза и места его удара по стержню с помощью показаний тензодатчика // Контроль.Диагнстика. -2009. №1.-С.36-39.

31. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит, 2009, 272 с.

32. Ахтямов A.M., Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний // Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2009, 12.

33. Ахтямов A.M., Аюпова А. Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия. 2010, №5, С. 2933

34. Ахтямов А.М, Аюпова А.Р. Диагностирование двух масс, *< сосредоточенных на балке// Приборы и системы. Управление,контроль, диагностика. 2010. №1. С. 42-44.

35. Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний // Сборник материалов Всероссийской научнопрактической конференции. НФ БашГУ, Нефтекамск 2009. С.21-24.

36. Бабаков ИМ. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004, 271с.

37. Бабаков И.М. К определению наибольшей частоты малых колебаний//Научн. Зап. ХММИ. Т.У. 1940.

38. Баранов И. В., Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред // Вычисл. Технологии. 2006, № 3, с. 14-25.

39. Бидерман В:Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. М.: Высш. Школа, 1980. 408 с.

40. Биргер И.А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239с.

41. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 560с.

42. Бочарова О. В., Ватульян А. О., Жарков Р. С. Реконструкция малых полостей в упругих стержнях // Изв. вузов Сев.-Кавк. региона. Естеств. Науки. 2006, № 2, С. 28-32.

43. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Т.2.СПБ, 1914.

44. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

45. Бухтияров И.Д., Аллилуев В.А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск. 1968. Вып. 4. С.378-379

46. Ваньков Ю.В., Казаков Р.Б., Яковлева Э.Р. Собственные частоты как информативный признак наличия дефектов // Электронный журнал «Техническая акустика». 2003. №5. С. 1-7.

47. Васильев H.A., Дворников С.И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акуст. журн.2000. Т.46. №3. С.424-426.

48. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения w размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия. 2005, №9, С. 44-56.

49. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела.- 200.- Т.46, №3. С.424-426.

50. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2008, Т. 49, № 6,с. 152-158.

51. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учеб. Для вузов. М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

52. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем./Под. ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978.352с.

53. Вибродиагностика качества приборов. Л.:ЛИАП, 1987.144с.

54. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. - 248 с.

55. Габитов И.И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе эксплуатации. Спб.: СПбГАУ, 2000. 317 с.

56. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестн. Инженеров №19.1915. С.897-908.

57. Ганиев Р.Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.-431 с.

58. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-3-е изд., стер.- М.: Наука, 1967. 575 с.

59. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

60. Гершгорин С.А. О влиянии наложения дополнительных масс на колебания материальной системы // ПММ. Т. 1. Вып. 1.1933

61. Глаголевский Б.А., Москаленко И.Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении Л.: Машиностроение. 1977.

62. Глэдвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. 2008. 608 с.

63. Григолюк Э.И., Селезнев И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973.-Т.5.-274 с.

64. Григорьева Г.Н., Лурье Ф.М. Влияние инерции вращения и сдвига на собственную частоту изгибных колебаний стержня // Строит, мех. расчет сооруж. 1983. - №2. - С.51-54.

65. Данилевский A.M. О численном решении векового уравнения // Матем. сб. Т.2 \ 44. №1. 1937

66. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Учебн. пос. для втузов.М.: Физматгиз, 1960. 659 с.

67. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 206 с.

68. Диагностика автотракторных двигателей / Под ред. Н.С. Ждановского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

69. Дружинин Г.В., Бодунов Н.М., Закиров И.М. Численно-аналитический метод в краевых задачах механики сплошной среды // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. 2001. Вып.2(14). Т.7. С.95-104.

70. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в-теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 328 с.

71. Прикладные задачи механики. Кн.2: Механика упругих и абсолютно твердых тел. М.: Наука, 1986.

72. Зинченко В.И., Захаров В.К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

73. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 200 с.

74. Ильгамов М.А. Диагностика повреждений вертикальной штанги //Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. / Под ред. М.А.Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, С.В. Хабирова. Уфа: Гилем, 2007, С. 201-211.

75. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. / Под ред. М.А.Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, С.В. Хабирова. Уфа: Гилем, 2007. С. 212-220.

76. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия, 2009. № 6, С. 8389.

77. Ильин В.А. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №12. С. 1640-1659.

78. Ильин В.А. // Диффернц. уравнения. 2000. Т. 36, №12. С. 1670-1686.

79. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576с.

80. Коллатц Л.Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

81. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.832 с.

82. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М.:ИЛ, 1958.

83. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах//Изд. АН СССР. 1932.

84. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругих основаниях //Изд. АН СССР. 1931.

85. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, в котором в технических вопросах определяются частоты малых колебаний // Изд.АН СССР. №4. 1931.

86. Кузьмин Р.В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

87. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука. 1982. 272 с.

88. Лапин А.Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст журн. 2002. Т.48. №2. С.277-280.

89. Левин A.B. Расчет на статический изгиб и на вибрацию дисков гиперболического профиля // ЖТФ.1937. Т.7, №17.С. 17541767.

90. Левин A.B. Вибрация дисков // ЖТФ. 1937 Т.7, № 17. С. 17391753.

91. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля, М.: Наука. 1984. 240 с.

92. Лунц Е.Б. О поперечных колебаниях валов. М.-Л.: Глав. ред. авиац. лит. 1935.107 с.

93. Льюнг Л. Идентификация систем. М.: Мир, 1991.

94. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка, 1972. 220 с.

95. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

96. Нафикова Э.Р. Решение обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагруженности стержня // Вестник Башкирск. ун-та. 2005. - №2. - С. 12-14.

97. Неразрушающий контроль: В 5 кн. Кн.2: Акустические методы контроля: практ. пособие / И.Н. Ермолов, Н.П. Алешин, А.И. Потапов; Под ред. В.В. Сухорукова. М.: Высш. шк., 1991. -283 с.

98. Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971. 223 с.

99. Перес М. Е., Чечкин Г.А., Яблокова (Доронина) Е.И. О собственных колебаниях тела с «легкими» концентрированными массами на поверхности //УМН. 2002. Т.57. Вып. 6. С. 195-196.

100. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. Т.З / Под: ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко: Mi: Машиностроение, 1968, с. 294

101. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: Справочник в 2 кн: Под ред. В.В. Клюева. М. Машиностроение 1985. 326 с.

102. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: М.: Мир. 1982. 488 с.

103. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Спецкурс для студентов НГУ, НГУ, 1973.

104. Рудицин М.Н., Артемов П.Я., Любошиц М.И. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск: Вышейш. Школа, 1970. 630 с.

105. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний //Тезисы докладов V Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. БГУ. Уфа-2005. Ч.1.С.11.

106. Страхов В.А. О некоторых вопросах теории обратных задач для дифференциальных операторов // Матем. заметки. 1977. Т.21, №2. С. 151-160.

107. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука, т.1,-М., Л.: Гостехиздат, 1940.

108. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

109. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 230 с.

110. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.

111. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Пер. с англ. М.: Мир 1985. 254 с.

112. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965. - 333 с.

113. Тукмаков А.Л., Аксенов И.Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического анализафункции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т.73. Вып. 10. С. 130-133.

114. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.:Физматгиз, 1963. 734 с.

115. Фридман В.М. Об одном приближенном методе определения частот колебаний // Сб. «Колебания в турбомашинах».- М.: Изд. АН СССР. 1956.

116. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем. Киев: Изд. АН УССР. 1952. 416 с.

117. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. Педагогич. ин-та, 2001. 499 с.

118. Bishop, R.E.D., Gladwell, G.M.L. and Michaelson, S. The Matrix analysis of Vibration. Cambridge University Press. 1965.33,40,42,141

119. Bishop, R.E.D. and Johnson, D.C. The Mechanics of Vibration. Cambridge University Press: 1960

120. Cabib,E., Freddi, L., Morassi, A-. and Percivale, D. Thin notched* beams 11 Journal of elasticity. 2001, P. 157-158

121. Chen J.C and Garba J. A. Analitical model improvement using model test results //AIAA Journal. 1980, 18(6), 684-690.

122. Freund, L.B. and Herrmann, G. Dynamic fracture of a beam or plate in plane .bending // Journal of applied mechanics. 1976, P. 112-116

123. Gladweell, G.M.L. and Gbadeyan, J. On the inverse problem of the vibrating string and rod. 1985.

124. Hald, O.H. Discontinuous inverse eigenvalue problems// Communications on pure and applied mathematics. 1984, P.539-577

125. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Armer/ Math. Monthly. 1966. V.73. №4. P. 1-23

126. Morassi A., Dilena M. On point mass identification in rods and beams from minimal frequency measurements // Inverse Problems in Engineering. 2002, Vol.10, No.3, P. 183-201.

127. Oh S., Kim H., Park Y. Active control of road booming noise in automotive ineriors // J. Acoust. Soc. Am. 2002. Vol. 111. №1. P. 180188

128. Qunli W. U., Fricke F. Detrmination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf Publ. / InstEng.Austral, 1990. № 9. P. 329-333.1