автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование быстропротекающих процессов тепло- и массопереноса с учетом эффектов памяти

На правах рукопису

МАКАРЕНКО Олександр Сергійович

УДК 517.98

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ШВИДКОПЛИННЫХ ПРОЦЕСІВ

•^t'.05-.02— Математичне моделювання та обчислювальні методи в наукових дослідженнях

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня доктора фізико-математичних наук

ТЕПЛОМАСООБМІНУ

На правах рукопису

МАКАРЕНКО Олександр Сергійович УДК 517.98

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ШВИДКОПЛИННЫХ ПРОЦЕСІВ

ТЕПЛОМАСООБМШУ

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні метод» в наукових дослідасеншгх

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня доктора фізико-математичннх наук

Киш -1996

Дисертація являє собою рукопис Робота виконана на кафедрі математичних методів системного аналізу Національного технічного університету (Kill)

Наукові консультанти: Академік НАН України професор М.З.Згуровський Член-кореспондент НАН України професор В.А.Даиіленко

Офіційні опоненти: .

Член- кореспондент НАН України, ' ■

доктор технічних наук.професор САМОЙЛЕНКО Ю.І.

Доктор фізико-математичних наук.професор КАПУСТЯН В.О.

Доктор фізико-математичних наук.професор ЧИКРІЙ А.О. ■

Провідна організація - Київський державний університет імені Т.Г.Шевченко

а н&.Дн9, //££

Захист відбудеться *....”...ї...... 1996 р. об..!...на

засіданні спеціалізованої ради Д 01.39.02 при

інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою

252022 Київ 22, проспект Академіка Глушхова, 40

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України

Автореферат розіслано ”.....1996 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради 'і'/ СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ЮБОТИ

АКТУАЛЬШС 1'Ь ТЕМИ. Останнім часом процесси інтенсивного тепломасопереносу з великими градієнтами та швидхими змінамі у часі знаходять все більше застосування у різній галузях науки та техніки. Як приклади таких процесів можна навести явища при горінні та вибухах, течії рідин з релаксацією напружень та турбулентних рідин, термопружність, перенос у наноструктурах, розповсюдження тепла у твердих тілах при низьких температурах, тепломасоперенос в керованому термоядерному синтезі, лазерній обробці матеріалов і т.п. В силу швидкого протікання таких

процесів їх детальні натурні дослідження ускладнені, особливо в конденсованих -гілах та в системах малого розміру. У той зке час для прикладних розробок з застосуванням швидкоплинних процесів, а тим більш для керування ними, необхідне глибоке розуміння їх закономірностей.

Одним з виходів з такого складного становища є методи математичного моделювання та обчислювального експерименту. Неформально цей метод являє собою вивчення явищ з допомогою математичних моделей, що адекватно передають деякі потрібні аспекти поведінки досліджуваного явища (Самарський

О-А.,Самарський АА. та Гулін А., Кафаров В.В., Калашников В.В., та ін.). Математичне моделювання вже широко застосовувалося до процесів тепломасопереносу, як в теоретичних, так і в прикладних дослідженнях. При цьому базою такого математичного моделювання тепло і масопереносу е теорія, що заснована на законах Фур'е для розповсюдження тепла, Фіжа для дифузії речовин, Дарсі дляфільтрації. Нав'є - Стокса для течій в’язкої та нестислої рідини. Таж, сучасна теорія горіння заснована на параболічних рівняннях тепло та масопереносу (Зельдович Я.Б., Франк - Каменецький Д.,Мержанов А.Г., Оран Е.,Боріс Да. та ін.). Дослідження ідей

теоріїтсплового вибуху та КТС привели до постановок математичних задач,в яких температура зростає до нескінченості за скінчений час -так званих режимів з загостренням або інаї :ие режимам з колапсами, або ще blow-up розв'язками (Самарський О.А., Курдюмов С.П.,Галактіонов В.О., Levin H., Fujita H., Kaplan S., Vazkuez

І.ДІадьіженська O.O.). Моделювання течій рідини в значній мірі базується на рівняннях Нав’є - Стокса. Прн цьому вдалося вивчити і явища хаотичної поведінки як в зосереджених (Lorentz Е.,Ліхтсн5ерг А., Лі берм ал M., Брушлінська H.H., Francesini V.,Boldrighini C., Mac Laughlin J.B.), так і розподілених системах (Бабін A.B., Вішик М.А., Ладиженська О.О., ' Гершуні Г.З.,Жуховицький Е.М., Шарковський О.М. та ін.). Процеси лазерної обробки матеріалів моделювались на основі параболічних рівнянь наприклад в роботах Рикаліна H.H., Самарського О.А., БункінаФ.В., Кириченко H.A., а процеси КТС у Дюдерштататта Дж. та МозесаГ., Самарського O.A., Змитренко M.. Зауважимо також, що до цього часу і теорія самоорганізації та диссипативних структур (чи ще синергетика) будувались на основі параболічних рівнянь (Пригожин І., Ніколіс Г., Хакен X., Романовський Ю.М., Яхно В.Г., та ін.). •

Треба особливо зауважити, що у великій кількості випадків такий традиційний опис давав прекрасну відповідність з спостереженнями. Однак якраз в зв’зку з високоінтенсивними та. швидкоплинними процесами з’явились ознаки того, що традиційний опис у таких умовах стає неадекватним і необхідним є більш точний опис, який краще пристосований до швидкоплинних процессів. Така непридатність була помічена при розповсюдженні тепла при низьких температурах, в експериментах по розсіюванню нейтронів у рідин ах,в розповсюдженні тепла в термов’язкопружності, у неспівпаданні результатів теорії та експерименту у теорії горіння, в течіях турбулентних рідин, у гетерогенних середовищах і багатьох інших.

Відомо також, що з рівняннями переносу параболічного типу зв'язані деякії фізично парадоксальні розв'язки. Так, воші мають властивість нескінченої швидкості розповсюдження збурень (ЛиковА.В., Селезов ч.Т., Ткаліч М., Галідин A.C., Ленюк М.П.ДІідстригая Я.С., Коляно Ю.М., Joseph D.). В розв'язках деяких задач з’являються також нескінченні значення потоків (Ликов A.B..Гуревич Д.). Крім того, як випливає з результатів сучасної теоретичної фізики, рівняння параблічного типу є лише першим наближенням у цілій ієрархії рівнянь, пов'язаних з різними рівнями скорочениго опису, причому наближенням, справедливим лише для досить повільних процесів (Зубарев Д.М., Купі Ф.М., Могі Н.,РісігеІ1у R.A., Боголюбов М.М., ). Місце параболічних рівняннь також прояснюються в сучасних дослідженнях по феноменологічній термодинаміці середовищ з пам’яттю (Côleman B.D., GurtinM.E., Pipkin A.C., Дей У.А., Трусделл K., Ликов A.B. та ін.).

Аналіз дослідженнь класів задач, що наведені вище, показує, шо застосовується богато методик : аналітичні, асимптотичні,

чисельні. Кожна з них має свої проблеми щодо їх застосування. Для чисельних методів по - перше труднощі пов’язані з розглядом режимів з загостренням , коли в силу зростанням розв’язків та їх градієнтів різницеві схеми втрачають точність. Цьому випадку присвячено дуже мала кількість робот

(О.Самарський,В.Гал аіетіоноз, Л.М.Дегтярьов, Карамзин Ю.Н., чванаускас Ф.,Мешхаусхас T., Макаров В.Л., Копистира М., Егоров A., NakagavaT., Ushijima Т., Матус П.П.). Однак ці роботи далеко не розв’язали усі питання, скажемо такі як обгрунтування розрахунків часу загострення довільною схемою. По - друге, труднощі пов'язані з гіперболічним типом узагальнених рівнянь тепло та масопереносу. Добре відомо, що у випадку розрахунків їх розв'язків, особливо з розривами та велихими градієнтами, виникають осцішщії за розривом, розмазування розривів і т.п. ефекти, які відсутні увихідному рівнянні. Усе це такоя призводить до

актуальності дослідження і питаннь, пов'язаних з обчислювальними методами.

Все вищенаведене вказує на велику актуальність, як наукову,так і практичну, дослідження способів адекватного опису процесів тепло та масопереносу в швидкоплинних явищах, виявлення границь застосування традиційного опису, як у загальних умовах, так і у .конкретних випадках.

МЕТА РОБОТИ : 1) розробка аналітичних та чисельних методів дослідження швидкоплинних процесів тепломосопереносу при описові, що базується на узагальнених рівняннях, які враховують эфекти пам’яті; 2) інтерпретація на основі розроблених методик результатів по дослідженню модельних задач теплопереноса та гідродинаміки з урахуванням ефектів пам'яті.

ВИКОРИСТАНІ МЕТОДИ. В роботі використані методи з теорії рівнянь математичной фізики, асимптотичного аналізу, теорії обчислювальних методів, нелінійної динаміки, математичного модсліовакі- .. та обчислювгльпгоексперимену.

НАУКОВА НОВИЗНА ТА ЗНАЧИМІСТЬ РОБОТИ. Проведен порівняльний огляд способів опису швидкоплинньїх процесів тепло та масопереносута виділені три класи задач, важливих для вивчення ефектівпам'яті: режими з загостренням у гіперболічних рівняннь теплопровідності, модельні для гідродинаміки рівняння, що узагальнюють рівняння Бюргсрса та системы звичайних дифференційних рівнянь типу гальоркінських наближень.

Доведено декілька теорем про режими з загостренням у гіперболічних рівнянь другого порядку та проведено їх конструктивне застосування для знаходження якісних характеристик цих режимів. При цьому:

- дослідогені граничні режими з загостренням у хілерболічного рівняння другого порядку, - доведені теореми про

неіснування глобального за часом розв’язку у гіперболічних рівнянь другого порядку.

- з допомогою конструктивного використання теорем неіснування розв'язків вивчені залежності від параметрів часів загострення в задачах з нелінійними джерелами. Проведено

порівняння асимтотичних закономірностей поведінки звичайних та узагальнених рівнянь у випадку наявності в задачах малого параметру.

Проведено детальне аналітичне та чисельне дослідження модельних для узагальненої гідродинаміки рівнянь - гіперболічної модифікації рівняння Бюргерса та багатовимірного його аналога на предмет можливості існування розв'язків з загостренням та коливальної за простором поведінки розв'язків. Зокрема:

- аналітично вивчені властивості лінеарізації модифікованогорівняння Бюргерса,

- доведена теорема порівняння для розв'язків гіперболічної модифікації рівняння Бюргерса,

- чисельно досліджена гіперболічна модифікація рівняння Бюргерса та двовимірних його аналогів.

Виведені нескінчені системи звичайних диференційних рівнянь проекційного методу для випадку гідродинаміки з пам'яттю. Побудовані та чисельно досліджені маловнмірні системи , що узагальнюють рівняння типу Лоренца. Проведено вивчення нових видів складної поведінки у таких системах. Чисельно вивчені особливості фазових портретів та біфуркацій та проведено порівняння з випадком звичайної гідродинаміки. Залропонован новий принцип обгрунтування розрахунків характеристик режимів з загостренням та проведено таке обгрунтування для різних типів задач та видів розв'язків. Проведене таке обгрунтування для параболічних рівняннь з загостренням класичного розв’язку, гіперболічного рівняння другого порядку з загостренням у випадку класичного та слабкого розв'язку.

Вивчені дисперсійні властивості різницевих схем для узагальнених рівнянь теплопровідності та наведені крітерії та

методи поліпшення наближених розв'язків. Зокрема, досліджені дисперсійні властивості схеми для телеграфеного рівняння та рівняння Клейна - Гордона з дисипацією. Вивчені нефізичні особливості чисельних розв'язків для хвильсі;ого рівняння.

Детально чисельно досліджено коло типових для теорії теплового вибуху задач. Чисельно розглянуті задачі теплового вибуху, запалювання, горіння з урахуванням вигорання. Проведено порівняння класичного і узагальненого опису та виявлені областіїх суттєвої розбіжності. Проведено чисельне дослідження режимів з загостренням у гіперболічних рівнянь другого порядку та їх відхилення від випадку параболічних рівнянь. Вивчена залежність характерних часів розвитку процесів в залежності від часу релаксації.

Наведені можливі наслідки результатів досліджень для теорії самоорганізації в суттєво нерівноважних умовах та накреслені налрямкі подальшіх досліджень в науковому та практичному плані.

Результати дослідженнь, що наведені в дисертаційній роботі мають значення як при теоретичних та чисельних дослідженнях швидкоплинних процесів, режимів з загостренням, хаосу, розв’язків гіперболічниі рівнянь, так і на практиці при використанні та керуванні процесами тепло та масопереносу в детонації, лазерній обробці матеріалів, КТС, нанотехнологіях та ін. де застосовуються нерівноважні умови. Розглянуті розв'язки можуть бути використані як тестові для перевірки різницевих схем.

Матеріали дисертації можуть бути використані в навчальному процесі в внщіх учбових закладах в курсах гідромеханіки, гсорії юріння, рівнянь математичної фізики, обчислювальних методів, фізики та магматичного моделювання.

АПРОБАЦІЯ РОБОТИ. Головні концепції .ідеї, положення і результаты доповідались на наукових семінарах. Всесоюзних та Міжнародних конференціях, в тому числі на: 2 Лазрент’свських читаннях (Київ, 1985), 1 та 2 Всес. конф. "Математичне

моделювання : нелінійні проблеми та обчислювальна математика" (Звенігород, Россія 1988,1990), 2 та 3 наук, тех.конф."Контроль та. керування в те хн.сист".(Вінниця, 1993,1995), International Workshop "Singular solutions and perturbations incontrol systems" (Pereslavl-Zalessky, Russia ,1993), 3 та 4 Int.School &Conf. "Differential Equations and Chaos, Crimea, Ukraine,1991, 1994), I Ukrain.-Amer.

Math.School Diff.Eq. and their Applic (Crimea, Ukraine, 1993),. Міжнар. мат. конф. пам'яті Г.Гана(Чернівці, 1994), Int.Conf. in Memory Ya.B.Zeldovicha (Moscow,1994), Int. IFAC Conf. Modelling and Optimization of Distributed Parameter Systems with applications to engeneering (Wars haw .Poland, 1995), Моделювання та дослідження стійкості систем (Київ,1995) та ін. на семінарах: інституту кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, ИЕЗ імД.О.Патона, ВГВ ін-ту геофізики НАН України,ін-ту фізики' НАН Украши.ін-ту математики НАН України, каф.теоретичної фізики ОДУ,

обчислювальної математики КДУ, ОЦ АН СРСР, відділі теоретичних проблем АН СРСР та ін.

ПУБШКАЦП. Основні результати наведено у 25 роботах, що наведені в кінці автореферату.

СТРУКТУРА РОБОТИ. Дисертація складається з шести глав, списку літератури, ілюстрацій. Обсяг роботи 225 сторінок основного тексту, 289 найменувань літератури та 47малюнків, усього 292 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

В Г л а в і 1 (Вступі) обгрунтовується актуальність теми

досліджекнь, наводиться короткий огляд робот з тематики

диссергації, дасться загальна харалгтенри етика результатів і стислий опис змісга дисертації.

Г л а в а 2 присвячена дослідженню режимів з загостренням у узагальнених рівнянь теплопровідності. У п.1 наведеш означення,що

формалізують різні аспекти режимів з загостренням (усьго 9 означеннь). Приведені як модифікації означень, даних групою

О.Самарського - режима з загостренням, локалізації! розв'язка, режимів з шириною, що скорочується, залишається постійною чи росте (LS, S, HS розв'язки), так і нові означенння поля розглядання розв'язку та HS-LO ре:їаша у випадку режима з скінченой швидкістю розповсюдження збуренннь. А саме:

_ Означений 5.2 Нехай mes supp Т(х, t,) = 1, < +«,

Для t є[їіДг] має місце строга локалізація по відношенню до скінченого поля розгляду Р, mes supp Р < + °о , якщо виконано

Означення 5.3 Нехай 10 < +<» область локалізації в задачах з загостренням. Т - час загострення. Тоді режим називається НБ-ЬО режимом з загостренням, якщо Ь (Т ) - ефективна ширина профилю в

У другому параграфі розглянуті граничні режими загостренням. Вони описуються задачею для Т(х,0

Mes (supp T(x,t) n supp P ) < mes supp P, t e [ti ,t2 ]•

момент T задовольняє умові

L (T ) = 10

eft ет =

T 0L1 ft ex2'

(2.1.)

T{x,0) = 0.xe(0,+co); —(x,0) = 0, x c(0;+«>). (2.2.)

. &

T(Q,t) = p(t), t г а. n(t) -> +«\ t -> t < +«\ p(o) = а

(2.3.)

(2.4.)

Доведені дві теореми

и

Теорема 1.2 Нехай T(x,t) розв'язок задачі (2.1) - (2.4) у випадку а = const = 0, т = О.тоді -> 0 ,при t -> Т" ,де - ефективна

ширина розв'язку.

Теорема 2.2 Нехай Ті (x,t) розв'язок задачі (2.1)-(2.4) з а = 0 ,а Тг (x,t)

- розв'язок задачі (2.1)-(2.4) при а= 1, з одним і тнмже t) для обох задач. Тоді при т* 0 маємо

Vx€(0,4®)x(0.T"),Vt є(0, Т )]

Теорема 2.2 доводиться з використанням точного розв'язку та теореми порівняння для гіперболічного рівняння. Теореми 1.2, 2.2 показують, що на відміну від параболічного випадку (т = 0 ), де були LS, S, HS режими в залежності від темпів росту на границі), тут с лише LS режими.

В п.З розглянуті деякії випадки асимптотик, пов'язаних з малими параметрами в рівнянні

e*r ffT fT , , . /0.

аГ А?’16*-*' ' ' *

та задач Коші у нескінченій області т(х.о) = <р(х)

—(^О) = Ч<*)

хєЯ1 либо х е R1. (2.6.)

або крайових з умовами Т(0. t) = jiit). (2.7.)

Проведено порівняння асимптотик для скінчених розв'язків у випадках 1) d = 1, є « 1,2) е = 1, d « 1 ,3) б « 1, d « 1. Для першого випадку побудовано розв'язок задачі Коагі методом Вішика -Люстерішко, яке мас вигляд

T{x,t,e) = Ze'Tjix.t.e) + £є'ц(х,Д,е)+Рп,Д = t/e (2.8.) мо t-о

для членів якого використовуються задачі:

£ГГ0 , ^То \

эт, ¿Ят,

а—гг - о ' • ?

Й йх2

^Тр , т ^Т0)

а2 1 эт

£]к_

1 й

.^Тк ^Тк-і ¿*2

д?

+ ІТ,, к = 2,..,п

(2.9)

(2.10)

с^ц, (Лх , с^ц,-! ,

-г~7Г + а-^ = сі----г^-1 + Рк, к = 2,..,п

с£2 Ф дк2 К _

де Рк не залежить від Тк, а Рк від Ук , а залежать від молодших

членів та їх похідних з відповідними початковими умовами .

= Ч<*)

¡1 = 0

= о

дії

+»\

= 0;

= 0, к = и....п

Д = 0

8у\

Єц

(2.11)

.£Ь

а

: Ч>(Х)

гп;

сп.

■■ о, к = гз............................................................................п

(2.12)

та умовами, що VI функції пограншару. Основними е члены ТО та VI ( \0 = 0 ), так що розв'язки лише при малих І відрізняються від параболічного ТО , тобто існує "гіперболічний" пограй шар, а далі VI —> 0 і розв'язок прямує до чисто параболічного. Для другого та третього випадків, як відомо, у красвої задачі існують крайові та кутові погранічні шари. Розгляд режимів з загостреніуім вносить свою специфіку в задачі з сингулярними збуреннями. Звичайні

оцінки різниці ш висхідною та збуреною задачами перестають працювати і вгшикаготь нові ефекти. Так, при наближення розв'язку до моменту загострення виникає нове явище в сингулярно збурених задачах - другий часовий пограничний шар.

В четвертому параграфі розглянуті закономірності режимів з загостренням у гіперболічних рівнянь теплопровідності з нелінійним джерелом. Відомо, що існує велика кількість робот, в яких розглянуті питання існування розв’язків різних классів. В той же час поява режимів з загостренням пов'язується з теоремами про неіснування відповідного глобального розв'язку. В П.4 длякрайової задачі з Tk5Q= 0 методом опуклості з застосуванням інтегральної нерівності Ієнсена доведена

Теорема 3.2 Нехай задана крайова задача (2.5) - (2.7) з s=l,a=l, d=l, з правою частішою, що задовільнеє умовам f(s) є С2 ,Г >0, Vs>0 .

Нехай Vo, Яо - власна функція та власне число задачі на власні

(?\Ц

значення + - 0. Я. > 0, у» > 0, х є Г2;

. Vo(0) = Vo(D=0, . (2.13)

«і = JifMvodx. Pi = JhMvoMcIx (2.14)

Q □

Якщо

F(s) = i(s) - Xs. (2.15)

G(s) = ^Jl-Xs + f(s)}ds + (pt + а,)2 - s (2.16)

G(s)>OVs>a1,t* = J^T<+oü (2.17)

a,4s;

то час існування розв'язку 7(х /) е C£f обмежено зверху величиною Т2 Далі у п.4 приведені результати. конструктивного аналізу умовТеоремн 3.2 та інших теорем по неіснуванню глобальних

розв'язків, що дало змогу вивести деякі порівняльні закономірності

режимів з загостренням у параболічних та гіперболічних рівнянь, та які наведені у теоремі:

Теорема 4.2 Нехай умови в задачі (2.5) - (2.7' для параболічного( є=0) та гіперболічного рівнянь такі, що існують blow-up розв'язки. Тоді виконується такі співвідношення для часів загострення: а) при а = 1 при е = R -> <» та \у= 0 оцінки £ прямують до функції Сі Vr , де Сі - дежа стала, б) при є = R - і та а -> 0 , t i-»t о, в) нехай у = 0, тоді

f( R.J/ftRJ^JVRTTRD • ,

г) нехай ер, у фіксовані <р > 0 , у > 0 та виконана умова .

Е > 0, Е = -^((pk^tp/ дх2) -^(чїЦ-) + <^<р) ^ 0;

Тоді t (R) —> coast, при R —' + ».

Таким чином при а -> 0 час загострення прямус до чисто гіпер>болічного, а при R-* °о прямує до сталої . У заключному п'ятому параграфі Гл.2 вперше зроблена спроба огляду різних методів математичного аналізу , які дозволяють досліджувати режими з загостренням. Розглянуті як традиційно застосовувані теореми порівняння, автомодельні та. наближені автомодельні розв'язхи, так і абстрактні постановки задач у шкалах просторів, методи ТФКЗ, сингулярних розв’язків, розширень операторів, красвих сингулярностей та граничних значень, просторів з вагою.

У Г rf а в і 3 наведені результати дослідження класів задач,що відносяться до узагальненої гідродинаміки, одна з систем для якої мас вигляд:

&}

а+'

&j (64 Зои ¿>v

-Oi-----+.т —s- + —*-— + Ov------ - vAv

5xt V.£t 8t dx Stdxj

= -^l+tJ^ gradP + F, divv = 0.

В n.1-3 викладені результати аналітичних дослідзсеинь гіперболічної модифікації рівняння Бюргсрса :

ft) 0*11 Т =- +----+ U = V г-. (3.2)

at2 dt дх дх2 ’

яке е модельним рівнянням, що узагальнює рівняння Бюргсрса з т = 0 на випадок узагальненої гідродинаміхн. В п.1 викладені ргзультати анашза гармонік хгінеаризованого рівнжння(3.2) та точні розв’язки лінійного рівняння, що мають вигляд (наприклад при

простих початкових умовах и(х,0)=0, 5*21 = 6(Х))

Сі •

u(x,t) =

lesp(-Hl)exp(-f)j0(VE:V^v)

для Xі - rt’s 0 (3.3)

длА Xа - rt* > 0

де Jo - функція Бесселя. З результатів аналізу випливає, що при умові на аналог числа Маха М = (а/г) >1, де г = І—, та а = const є

сталою при члені adu / дх, в лінсаризованому рівнянні, мояопгвшлі є розв'язхи з осциляціями за простором, амплітуда яких зростає з часом, причому дозззша осциляції Я. пропорційна величині

= і(±-В£[

1 4v/

У другому параграфі спочатку наведені види автомодельних розв'язків дам рівняння (3.2) вигляду U = U (х - Dt ), а потім

поведена теорема порівняння для розв'язків задачі Коші для рівняння (3.2) .

Теорема 1.3 Нехай задані задачі

Ц* = ^У.Ч,-.*к). * = Оі(^ив*иу)'' “ ^ <3-4)

= <t(s.y).

s,y є Q)

Ч<2.У і.

(s,y є Q)

дл

öy

(s,y є Q)

= <d( s,y)

(3.5)

та

Чзу = f{s.y-Zv..ZK) (3.6)

zi = Qiiv^Uy).! = tk;

= Ws.y).

= Ws.y).

cb

бу

= (B,(s.y)

(3.7)

де Q - характеристичний трикутних, a f - монотонно зростаюча функція аргумеїпів Z ,Z , ... Z , та нескінчено диференційована.Тоді якщо виконуються нерівності

ф, < <?. Vi < V» ші <а- (3-8)

та

9,(v.o,,uy) < g^u.u,,^) в Q, i = l,k (3.9)

то у всьому Q виконано u(s,y) <u(s.y), u,(s,y) <u,(s,y). Uy(s,y) < uy(s,у). (3.10)

Наведена теорема сумісно з виглядом автомодельного розв'язку забезпечує існування режимів з загостренням, що сформульоване як Наслідок 1.4. В п.4 наведені результати обчислювальних експериментів з рівнянням (3.2), його модифікацією з нелінійними коефіцієнтами, що підтверджують результати теоретичного аналізу про існування режимів з загостренням та осцілюючих розв'язків. Наприкінці параграфу описана запропонована автором система рівнянь, що с двувимірним аналогом модифікованого рівняння

и

Бюргерса і є модельною для узагальненої гідродинаміки. Наведені результати чисельного розв'язку такої системи , які вказують на можливість існування розв’язків з подрібненням вихорів з нескінченим ростом завихоренності в локалізованій області. .

В П. 4,5 Гл. З описані вперше запропоновані нескінчено та скінчено вимірні динамічні системи проекційного методу для системи узагальненої гідродинаміки. В п.4 наведено виведення вивід для тривимірних течій з умовами прилипання та для двовимірних течій на торі. Тахі задачі відповідають постановхамдля звичайної гідродинаміки О.О.Ладиженсьхої і Н.Н.Бруїшгінсьхої та С.ВоІігодЬіпі, У-РгапсЬевіпі . Результати для першої постановки мають такий вигляд

Теорема 2.4 Нехай дана тривимірна задача для узагальненої гідродинаміки (3.1) з умовами прилипання на границі. Тоді для розв'язку такої задачі в методі типу Гальорхіна, що шукають увигляді

С(М) = ІХ(ї)й,(х). (3.11). .

К=1

де {(#,} - власні функції задачі

уДу, = + дгасір,, <іпаі^ = 0

ч\| „ = 0 І Ч^ах = 1.

о

нескінчена система проекційного методу мас вигляд

сі2г, гіг, ^ СІ2т\. <і

Т Л2 + Л + ¿^'1Скіт2кгт + +\?,Іґі Л ^ + ** Л Г™ = 1

1-1,2,3.... (3.12)

f1 = / (^СІХ, = Г (V,

О о

Подібна система для випадку течії на торі наведена з Теоремі3.4.

Структура цих рівняннь така, що при х = 0 вони співпадаютьіі

рівняннями для звичайної гідродинаміки . В п.5 з відповідних

нескінченовимірних систем шляхом відборе, змінних отримані маловимірні динамічні системи. Так, для першої постановки отримана б - вимірна система , що узагальнює тривимірну систему

Н.Бруїшгінської та мас вигляд

- XsXe - vx4 + F,) - (х3х5 + х6х2);

^¡f- = | (-х2 + 2х4хв - vx5 + F2) + ^x,xe + х3х4); dx 1

= - (-*э + *4*5 - vxe + F3) - (x2x4 + x,x5); (3.13)

dxt _ dx5 _ dx6~

"dT “ x,í dt ~ X2¡ dt ■ *3-

,a дая другої постановки мас місце система: -

= (~х1 - + 4Х7Х8 + 4х9>Сі°) / t +

+4{х2х9 + х7х3) + 4(х4х10 + Х9Х5) - 2цхг '

= (-х2 - 9хт + Зхвхв) / х + ^х,хв + хвх3) - 9|іх2 = (~х3 - 5хв - 7хвх7) / х - 7(х,х7 + хвх2) - 5цх3 + R /1

= (-х4 - 5хв - хвх10) /1 - (х|Х10 + хвх3) - 5цх4

dx5 dt

= (-*5 - Х10 - ЗХвХв) / X - 3(х,х0 + хвх4) - ЦХ5

dx, dx, dx, dx. dx„

dt ~ x>' я» ~ *»• »i» “ *»• иі - *»■ иі - *»• (3.14)

Наступний, п’ятий параграф Гл.З присвячен викладу детального дослідження властивостей отриманих маловимірних систем. У підпункті 5.1 наведені результати чисельного обстеження 6-вимірної системи, з яких витікають існування автоколивальних розв'язків та розв'язків типу переміжаємосгі (іЩеппіПенсу). ГІ.5.2 приезячен детальному дослідженню складної поведінки розв'язків, їх особливостей в залежності від параметрів та початкових умов. Крім того, приведені результати обчислення картини біфуркацій в залежності від значеній» параметрів. При цьому виявлена розбіжність з випадком звичайної гідродинаміхі. Вперше для . наведених систем описана складна поведінка, що відмінна від поведінки типової для атракторів типу ’метелик", і яка заключзсться у щільному заповненні траєкторіями обмеженої ділянки простору.

Г л а в а 4 присвячена колу пнтаннь щодо обгрунтування та . інтерпретації чисельних розрахунків . У п.1 наведен загальний принцип обгрунтування пристосояанності різницевих схем до розрахунків часу загострення, запропонований автором і заснований на властивості Ыом-ир розв’язків, що витікає з математичних теорем. Ця властивість полягає у тому, що час загострення мало відрізняється від часу досягнення деякого досить великого значення. Позаяк оцінка часу загострення звичайно поз'язусться з прийняттям деяким функціоналом від розв’язку нескінченного значення, то принцип дав змогу ввести декілька понята», що дозволяють ввести нові для схем величини - порядок схем по обрахуванню часу загострення ( Означення 1.4 - 4.4 ) . В п.2-5 з застосуванням запропонованих означень наведено обгрунтування застосування різницевих схем до розрахунку часу загострення як у гіперболічних, так і параболічних рівняннь з загостренням для • гладких і негладких розв'язки та доведен рад теорем. В п.2 доведені дві теореми про параболічний випадок:

Теорема 1.4 Нехай для параболічної задачі (2.5) - (2.7) (є =0) з нелінійною правою частиною виконані умови нєіснування глобальних и(х, ^ є розв'язків згідно з роботою в.КарІап (1963). Тоді при Ь менших деякого Ь0 для явної різницевої схеми виконано

+ ^))

-*■ +«>] -> 00

Де •

= 2Ь'А>І

а .

власні функції та значення дискретної задачі на власні значення -аналогу (2.15), у(.,.) сітковий розв’язок, отриманий за різницевою схемою, тл, Ь - кроки спхи за часом і простором.

Теорема 2.4 Нехай в доповнення до умов Теореми 1.4 виконана умова стійкості різницевої схеми, розв'язок диференційної задачі задовільняс умовам Т(хД) є С*?, f - локально Лігши; ць -неперервна. Тоді Ує при г* , Ь -* 0 схема може передавати час загострення розв'язку диференциальної задачі з точністю 1 по Xа та 2 по Ь. .

В п.З доведені аналоги Теорем 1.4 та 2.4 для відповідної крайової задачі для гіперболічного рівняння з нелінійною правою частиною для и(х, ^ є та и(м) еС"и *(и) розв'язків відповідно та обраховані порядки точності розрахунків часу загострення. В п.4 проведено обтрушування засгосованосгі різницевої схеми дня розрахунка негладкого розв'язку у гіперболічного рівняння другого порядку з нелінійною правою частиною у випадку точної різницевої схеми ІДжураева та Т.Колесника (1983). Має місце Теорема 5.4 Нехай виконані умови роботи Н.Ьєуіп (1975) про нєіснування глобального слабкого розв’язку класу

и є Ь2(оД;\М?(О));0и/б>1 є Ц,(0,Т; У/2’(0));

Лі / ді2 є Ь,(0, Т; 12{0)), 9 є W2г(f2). (4.1)

в задачі (2.5) - (2.7) для гіперболічного рівняння. Тоді вищевказана схема може передавати час загострення у слабкого розв'язку класу (4.1) при Iа , Ь -> 0 , і порядки передачі часу загострення дорівнюють одиниці. П.5 Гл.4 прнсвячен розгляду паразитних ефектів типу

рівняння Клейна - Гордона та різницевих схем для них шляхом вивчення спеціальних збуреннь типу гармоні*

та їх аналогів для схем, де о частота, к = 2тс / X - хвильове чітсло, X -довжина хвилі, причому для нелінійного випадку дисперсійний аналіз робиться на основі малих збурень відносно основного розв’язку . З отриманих результатів одержано критерій правильної передачі розглянутими схемами дисперсійних властивостей, який мас вигляд:

а , р , с - коефіциснги в телеграфному рівнянні, тГ - крок схеми за

параграфу описані чисто розрахункові ефекти, відмінні від особливостей розв'язків висхідного рівняння: биття „ утворення

квазіперіодичного розв’язку, нерегулярна поведінка розз'ятау.

осціляцій при обрахунку негладких розз'язкіз. Наведені результати дисперсійного аналізу телеграфного різнятпія та.

Т(х.О = ехр{ і(кх - в*)]

(4.2)

де

4рсх7

число Куранта, ТО розз’зок .. Наприкінці •

В Г л а в і 5 викладені результата дослідженнь в одній конкретній

процесами, а саме теорії теплового вибуху. При цьому в значній мірі застосовани результати попередніх глав. Вп.1 Гл.5 наведен дуже короткий огляд класичної теорії теплового вибуху, заснованої на параболічних рівняннях, та випадків невідповідності цих теоретичних результатів експериментам та приведені передумови врахування ефектів пам'яті у даній галузі. У другому

параграфі наведена загальна та обезрозмірена система рівнянь, записана з врахуванням ефектів пам'яті (В-Далиленко), яка мас вигляд:

В п.3-5 наведені результати детального чисельного обрахування ряда типових задач теорії теплового вибуху, що раніше були досліджені на основі класичних рівнянь. Спочатку описані результати по плоскій задачі теплового вибуху без вигоряння при фіксованій тепмературі на поверхні. Знайдено суттєвий вплив

галузі явищ, що зв'язана з швидкоплинними нерівковажними

(5П

е(у>) = -е0(г;) л(^о) = о, *еО

(5.3)

(5.4)

е(<хї) = 0 при Е = 1

(5.5)

—(ОД) = 0 при п = 13 (5.6)

релаксації теплового потоку на розвиток процесу, що особливо сильно проявляється в існуванні різко окресленого теплового фроіпу, уповільненні розвитку процеса зі збільшенням часу релаксації та збільшення часу запалювання, а також залежність від початкових умов. В п.3.2 приведені результати моделювання запалювання нагрітою поверхнею в залежності від співвідношення часу релаксації та часу адіабатичного теплового вибуху. У п.3.3 описані особливості поведінки розв'язку задач теплового вибуху при великих значеннях температури. Четвертий параграф містить виклад моделювання точкового теплового вибуху в задачах з нелінійними джерелами в гіперболічному рівнянні теплопровідності, що описують еволюцію початкових умов, сконцентрованих всерсдені об'єму. Досліджені як степеневі, так і нелінійності

арреніусівського джерела, знайдена залежність часу загострення від параметру релаксації, яка добре співпадає з результатами

теоретичного аналізу. Чисельно знайдена порогова поведінка

розв'язка таких задач, коли при амплитудах .більших критичної

розвивається режим з загостренням, а нижче них - з’являються нові відсутні в класичній теорії розв’язки типу бігучіх у різні боки імпульсів сталого виду. В заключному, п'ятому параграфі Гл.5 викладені результати по деяким типовим постановкам задач теорії горіння з врахуванням вигоряння матеріалу. Встановлено, що вигоряння також призводить до асіметриї профілю та уповільнення процесу (п.5.1). В п.5.2 наведені закономірності поведінки розв'язків типа бігучих хвиль у випадках плоскої та ціліндричної симетрії задачі. Описані розв'язки солітоноподібного вигляду, а талож пульсуючі режими, коли швидкість розповсюдження характерних структур коливально залежить від часу та. чисельно обстежено залежність частої и пульсацій від чалу релаксації. Наприкінці Глави 5 приведено обговорення можливостей схладних режимів в таких задачах, а також деякі деталі розрахунків.

В шостій та заключній главі роботи приведені загальні міркування, які показують місце наведених у дисертації результатів у контексті застосованносгі до реальних фізичних явищ, а також вказані постановки нових задач та можливі напрямки розвитку дослідженнь. В п.1 наведено коротке резюме стосовно фізичних застосуваннь. В п.1.1 викладені можливі області прояву локалізованних ростучих розв'язків, які моделюються режимами з загостренням - точкового теплового вибуху, пластичного розігріву, пробою в електроапаратурі і т.ін. Наведен перелік реальних явищ з сильною нерівнозажністю, серед яких треба відмітити різні задачі нанотехнології. В п.1.2 сконцентровано обговорення модельних рівнянь для гідродинаміки, як класичного типу, тах і узагальнених, області їх виникнення та застосуваності та можливості проявів особливостей, що притаманні рівнянням з пам'яттю, зокрема, стосовно до турбулентності та хаотичних явищ.В п.1.3 обговорюється можливі застосування отриманих результатівв теорії самоорганізації. В цьому плані цікава інтерпретація режимів з загостренням як нестаціонарних диссипативиих структур.В п.2 викладені можливі напрямки подальшого - розвитку безпосередньо наведених у роботі результатів. Вони мають відношення до режимів з загостренням, сингулярних збурень, типів розв'язків та обгрунтування розрахунків. В останньому, третьому параграфі Гл.6, зібрано опис деяких більш далеких напрямків дослідженнь, пов'язаних з темою дисертаційної роботи, особливо у зв’язку з задачами керування. Так, обговорено проблему концентрації енергії , використання отриманих структур узагальнених рівнянь в передачі інформації, конструюванні спеціальних підсилюючих середовищ та^ нелінійних середовищ для запису та передачі інформації, синтезу атракторів в задачах керування. ■ '

Наприкінці дисертаційної роботи в окремому пункті приведені основні висновки та характеристика роботи і рекомендації по її застосуванню.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

РОБОТИ.

Проведен порівняльний ОГЛЯД способів опису ШВИДХОПЛИШ1ЫХ процесів тепло та массопереносу та виділені три класи задач, важливих для вивчення ефектів пам'яті: режими з загостренням у гіперболічних рівняннь теплопровідності, модельні для гідродинамікі модельні рівняння, що узагальнюють різняння Бюргсрса та системы звичайних дифференційних рівнянь типу ' гальоркінських наближень.

Доведено декілька теорем про режими з загостренням у гіперболічних рівнянь другого порядку та проведено їх конструктивне застосування для знаходження якісних характеристик ' цих режимів.

Проведено порівняння асимтотичних закономірностей поведінки звичайних та узагальнених рівнянь у випадку наявності в задачах малого параметру.

Проведено детальне аналітичне та чисельне дослідження модельних для узагальненої гідродинаміки рівнянь -гіперболічне! модифікації рівняння Бюргерса та багатовимірного його аналога на предмет можливості існування розв'язків з загостренням та коливальної за простором поведінки розв'язків.

Виведені нескінчені системи звичайних диференційних рівнянь проекційного методу для випадку гідродинаміки з пам'яттю. Побудовані та чисельно досліджені маловимірні системи, що узагальнюють рівняння тішу Лорснца. Проведено вивчення нових видів складної поведінки у таких системах.

Запропонован новий принцип обгрунтування розрахунків " характеристик режимів з загостренням та проведено такс обгрунтування для різних типів задач та видів розв'язків. •

Вивчені дисперсійні властивості різницевих схем для узагальнених рівнянь теплопровідності та наведені крітерії та методи поліпшення наближених розв'язків.

• Детально чисельно досліджено коло типових для теорії теплового вибуху задач. Проведено порівняння класичного і узагальненого опису та виявлені області їх суттєвої розбіжності. Проведено чисельне дослідження режимів з загостренням у гіперболічних рівнянь другого порядку та їх відхилення від випадку параболічних рівнянь. '

Наведені можливі наслідки результатів- досліджень для теорії самоорганізації в суттєво нерівноважних умовах та накреслені напрямкі подальшії досліджень в науковому та практичному плані.

Основним результатом роботи можна вважати сукупність теоретичних досліджеїшь по математичному моделюванню та застосуванню обчислювального експерименту в розвитку дослідженнь швидкоплинних процесів тепло та масоперсносу з урахуванням ефектів пам'яті (релаксації).

Основні публікації по темі дисертаційної роботи:

1. Макаренко A.C. К анализу дисперсии разностных схем для уравнения Клейна - Гордона. Числ.мет.мех.спл.среды.,1982. Т.13,п. 3. с.81-90

2. Даниленко В А., Кудинов В.М., Макаренко A.C. Влияние эффектов памяти на диссипативные структуры, образующиеся при горении Докл. АН УССР, сер.А, 1983. п. 4. с. 59-63.

3. Даниленко ВА., Кудинов В.М., Макаренко A.C. Влияние

релаксации теплового потока на процессы высокоинтенсивного горения. Докл. АН УССР, серА, 1983. п.12. с. 55-58. .

4. Макаренко A.C. О расчете режимов с обострением в задачах теплопроводности. Ж.выч.мат.мат.физ.,1984. Т.24, п.8. с. 871-876. .

5. Данилеііко В.А., Кудинов В.М., Макаренко A.C. Влияние эффектов памяти на процессы горения и взрыва. Физ.горен.и взрыва. 1984.Т.20, а.З. с. 52-56. .

6. Кудинов В.М., Макаренко A.C. Граничные режимы с обострением в задачах теплопроводности с учетом памяти. Докл. АН УССР, сер.А,1984. п.11, с. 57-60.

7. Даниленко В.А., Кудинов В.М., Макаренко A.C. Влияние эффектов памяти на диссипативные структуры, образующиеся в распределенных кинетических системах. Инж.физ.ж., 1984. Т.47, п.5, с.

843 - 848.

8. Макаренко A.C. Математическое моделирование процессов распространения тепла па основе обобщенных уравнений теплопроводен ости. Вьіч.и прикл.мат. (КГУ), 1990. Вып.70. с.78-83

9. Махаренко A.C., Москгльков М.Н. Про деякі властивості . розв'язків гіперболічної модифікації рівняння Бюргерса //Обчисл.та прикл.мат. (КДУ) ,1992. Вип.76. с. 13 -18.

10. Макаренко A.C., Левков С.П. Некоторые свойства решений уравнений, описывающих распределенные системы //Адапт.сист. • упр.К.: КПч , 1992. Вип. 20. с. 49 - 54.

11. Макаренко A.C. Об обосновании расчета времени обострения в задачах с негладкими решениями //Дифф.уравн., 1991. т.27, п. Ю.с. 1766- 1771.

12. Макаренко A.C., Москальков М.М. Решение модельных уравнений гидродинамики с эффектами памяти //Моделир.деформ.срсд. К.: НД,1993. с. 25 - 28.

13. Макаренко A.C. Математическое моделирование влияния эффектов памяти на гидродинамические процессы. Доп. НАН України, 1994.П.2.С.84- 89.

14. Данкленко В.А., Кудинов В.М., Махаренко A.C. Влияние

эффектов памяти на образование диссипативных структур при быстропротекающих процессах .Препр. ИЭС - 83 - 1. К.: ИЭС, 1983.60 с. '

15. Макаренко A.C., Москальков М.Н. Некоторые решения '

модельных уравнений релаксационных сред. Препринт. К. Ин-т. геофизУ НИИМИ, £992. 27 с. .

16. Danilenko VA., Korolevich V.U., Makarenko A.S., ChristenyukVA. Sclforgaaization in strongly nonequilibria media. Colapsesand structures. К.:Ин-т. геофихіки,1992.144 c.

lit Макаренко A.C. Об особенностях описания тепло и массопереноса в быстропротекаюших процессах. Рук.депонир. вВИНИТИ, 1987. П.6882-В87.40 с. (Реф.в ИФЖ, 1988. Т.54, п.2).

18. Кудинов В.М., Даниленко ВА., Давыденко А.В., Макаренко А.С. Исследование устойчивости детонации гетерогенных сред. Теэ.докл.1 Всес.симп. по макроскопич.кинет. и хим. гаю д. 1984. Т.1,4.1. с. 71.

19. Кудинов В.М., Даниленко ВА., Макаренко А.С. Влияние

эффектов памяти на процессы самоорганизации в распределенных системах. Матер.2 - х Лаврентьевских чтений. К.:Ин-т. мат.,1985. с. 55-57. .

20. Makarenko A.S. Hydrodynamics with the memory effects and thenew turbulence models. Abstr.First.Ukrain.-amer. Math. School:Diff. Eq. and their applic. (Crimea, Ukraine, 1993). К.: Ин-т.мат., 1993. c.27.

21. Makarenko A.S. Fast processes models as the new sourse of singular solutions. Abstr. Int.Workshop Singular solutions and perturbations in control systems. (Pereslavl-Zalessky, Russia,1993). PeresL-Zaless., CPRC, 1993. p .27-28.

22. Макаренко А.С. Режимы с обострением у эволюционных уравнений. Тез. доп. Міжн. мат. конф. пам'яті Г.Гана (Чернівці, 1994). Чернівці: Рута, 1994. с. 94.

23. Makarenko A.S. Mathematical modeling of memory effects influence on fast hydrodinamic and heat conduction processes. Abstr. Int.IFAC Conf. Modeling and optimization of distributed parameter systems with application to engeneering. (Warshaw,Poland, 1995). Wars haw, 1995. p. 93.

24. Макаренко A.C., Моек альков M.H. К численному решению волнового уравнения. Рук.депонир. в ВИНИТИ, 1982. и.4117- 82 ДЕГІ.12С. (РЖ КАт. ^%ЪЛ 4t 'ІБ'МЗДЕП).

25. Макаренхо A.C. Об одной мере упорядоченности режимов с

обострением. Рук.депонир. вУкр.НИИНТИ, 1989. п.1717 -Ук89.86с. г<рж мах 19». -ют? •иал*-П).

Розрахунки, аналітичні дослідження, наведені в . роботах по

тепловому вибуху, написаних у співавторстві та використані з

дисертації, виконані автором. Интерпретація отриманих результатів

проводилась разом з В.М.Кудіновим та В.А.Даніленко. У роботах

присвячених дослідженню гідродинаміки з ефектами пам'яті усі

постановки задач зроблені автором, а розрахунки виконані частково

автором, а частково по програмам та сумісно з М.М.Москальковим,

С.П.Левковим, О.Скілягіним, Е.Самородовим. Усі їм автор щиро

дякує за плідне співробітництво. Автор вважає приємним обов'язком

виразити дяку М.З.Згуровському та В.А.Даниленку за кваліфіковану

наукову консультацію на етапі виконання роботи та В.С.Меяьлику за

наукові консультації на завершальному етапі.

зо

Makarenko A.S. Mathematical modeling of fast heat and mass transfer processes with the memory effects. Thesis on the scientific degree of doctor of physico - mathematical science on the speciality

01.0S.02 - mathematical modeling and numerical methods in scientific researchers .Institute of Cibemetics of Ukraine Academi of Science Kiev,1996.

It is defended 25 scientific papers which consist the unity of theoretical investigations on mathematical modeling in fast heatand mass - transfer processes with the accounting of memory effects. There are considered the blow-up solutions, solutions of model for the generalized hydrodynamics equations, the complex solutions in finite - dimensionaql models. It was developed the foundations of methods of the computations of hyperbolic heat conduction equations. The combustion and heat exsplosion problemswas investigated on the basis of generalised heat conductionequations . It is considered their interpretation from selforganisation theory.

Макаренко A.C. Математическое моделирование быстропрогекающих процессов тепло и массопереноса с учетом эффектов памяти. Диссертация на соискание ученой степени доктора фіізико -математических наук по специальности 01.05.02 -математическое моделирование и вычислительные методы в научных исследованиях, Институт кибернетики НАН Украины , Киев, 1996.

Защищается 25 научных работ, которые содержат совокупность теоретических исследований по математическому моделированию в изучении быстропрогекающих процессов тепло и массопереноса сучетом эффектов памяти. Исследованы режимы с обострением, решения модельных для обобщенной гидродинамики уравнений, сложные решения в конечномерных моделях. Развиты методы обоснования и интерпретации расчетов задач для гиперболических уравнений теплопроводности. Проведено исследование задач горения и теплового взрыва на основе обобщенных уравнений теплопроводности а также их интерпретация с позиций теории самоорганизации.

Ключові слова: математичне моделювання, тепломасообмін,

телеграфне рівняння, режими з загостренням, хаос, швидкоплинний, горіння, самоорганізація, різницеві схеми, пам'ять.