автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и численное моделирование нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами

На правах рукописи

Головин Евгений Дмитриевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ И УСТРОЙСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск-2004

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Шелупанов Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Мицель Артур Александрович;

кандидат технических наук, доцент Воловоденко Виталий Алексеевич

Ведущая организация

Алтайский государственный университет

Защита состоится 23 сентября 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.212.268.02 в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634034, г.Томск, ул. Белинского, 53..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: г. Томск, ул. Вершинина, 74.

Автореферат разослан 18 августа 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.268.02 доктор технических наук

А.Я. Клименко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование возможностей практического применения теории дифференциально-тейлоровских преобразований для расчёта временных характеристик в нелинейных электрических цепях и цепях с переменными параметрами, параметрического синтеза нелинейных электрических цепей и цепей с переменными параметрами, а также развитие теории дифференциально-тейлоровских преобразований (ДТП) является актуальной задачей. Наличие математического, алгоритмического аппарата и программного обеспечения позволяет решать прикладные задачи в области электротехники, теории управления, механики, аэродинамики и астрофизики более эффективно по сравнению с известными методами.

В середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному, исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений (ДУ), т. е. замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко (1862) и одного из основателей Московского математического общества А.В. Летникова (1868). Теория и различные применения операционного исчисления получили дальнейшее развитие в работах О. Хевисайда (1922) Т. Бромвича (1977), А.М. Эфроса и А.М. Данилевского (1937), М.Ю. Юрьева (193б), А.Н.Крылова (1933), А.И.Лурье (1938), В.А.Диткина и П.И.Кузнецова (1951), М.И. Конторовича (1949), Я. Минусинского (1956), Г.Деча (1937) и

ДР-

Основные понятия современных операционных методов — понятия оригинала х и изображения X. Оригиналами называются исходные функции решаемых задач. Часто это такие физические величины, как электрические токи, напряжения, заряды, механические перемещения, давления, температуры и т. п. Изображения получаются преобразованием по определенным правилам оригиналов и математических операций над ними. Ващенко-Захарченко и Хевисайд переходили от оригиналов к изображениям заменой производной d/dt и интеграла j(-)dt алгебраическими множителями

а обратный переход реализовали с помощью так называемых теорем разложения. Д.Р. Карсон (1934) и другие исследователи переходили от оригиналов к изображениям с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье, а обратный переход производили на основании интеграла Бромвича, применяя теорию вычетов.

Многолетняя практика применения операционных методов, основанных на интегральных преобразованиях, показала их высокую эффективность для исследования систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эффективным оказалось и так

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

называемое комплексное исчисление, основанное на двойном интегральном преобразовании Фурье с конечными пределами, для исследования периодических процессов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Но из работ по применению интегральных операционных методов для изучения непериодических процессов в системах с нелинейными и переменными параметрами видно, что решение возникающих задач практически оказывается возможным лишь в квазилинейной постановке из-за сложности перевода в область интегральных изображений основной нелинейной операции - операции произведения оригиналов. Для исследования нелинейных систем более широкие возможности имеют дифференциально-тейлоровские преобразования (ДТ-преобразования), предложенные и в определенной степени изученные в работах Г.Е. Пухова (1968-1988).

Основой к созданию теории ДТ-преобразований явились работы чл.-кор. АН УССР П.Ф. Фильчакова по предложенному им методу решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Тейлора.

Основное отличие дифференциальных преобразований от интегральных состоит в том, что переход от оригиналов к изображениям производится дифференцированием оригиналов, а не их интегрированием. Суть метода заключается в преобразовании функции оригинала от непрерывного аргумента, например, времени, в функцию изображения от дискретного аргумента, коэффициенты которой именуются дискретами. Построенная система правил и формул в теории ДТП на практике позволяет составлять изображающие уравнения, почти не прибегая к дифференцированию оригиналов. Обратный переход от изображений к оригиналам осуществляется очень просто с помощью ряда Тейлора.

К достоинствам ДТ-преобразований относятся возможности распространения операционных методов исследования состояний физических систем с переменными и нелинейными параметрами. Произведению функций в области оригиналов отвечает в области ДТ-изображений сравнительно простая операция - нахождение суммы конечного числа парных произведений дискрет изображений умножаемых функций. Также достоинством является большая гибкость соответствующих ДТ-моделей, так как часто одна и та же модель может служить основой численного решения задачи, аналитического ее решения и численно-аналитического.

Но ДТ-преобразования не получили широкого распространения при всех своих достоинствах. Одной из причин является недостаточно разработанная методика применения теории ДТП, из-за чего требуемая вычислительная работа почти всегда превышает работу, выполняемую с помощью других методов. Не исследованными остаются вопросы оценки погрешности решения, а также предварительной оценки интервала восстановления и количество членов степенного ряда при заданной точности. Степенной ряд, в

виде которого восстанавливается решение, в общем случае имеет относительно малый радиус сходимости. Для нахождения решения на требуемом интервале применяется метод припасовывания: весь интервал разбивается на шаги, для каждого из которых последовательно строится решение. Величина каждого шага будет определяться количеством учитываемых членов степенного ряда и заданной точностью расчетов. Предложенный Л.П. Гавриловым - численный метод решения дифференциальных уравнений методом степенных рядов, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик, не всегда оказывается более эффективным по сравнению с известным методом Рунге-Кутты четвертого порядка, так как требует множество дополнительных вычислений.

Цель работы — определить область применимости дифференциальных преобразований при параметрическом синтезе и расчёте временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами, а также разработать методологию использования дифференциальных преобразований на практике.

Объект исследования - временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

В соответствии с целью работы сформулированы задачи исследования:

> исследование точности решения в зависимости от количества дискрет при восстановлении результата и интервала, на котором строится решение дифференциального уравнения;

> исследование влияния погрешности вычислений на точность и область сходимости полученного решения;

> предварительная оценка области сходимости решения по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами;

> получения количественных оценок точности решения;

> составление наиболее полной таблицы оригиналов и изображений;

> реализация методологии расчета временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами в виде законченного алгоритма и компьютерной программы;

> исследование возможностей параметрического синтеза нелинейных устройств высокого порядка.

Таким образом, предметом исследования являются обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические устройства, в частности электрические цепи, способы нахождения решения с помощью дифференциальных преобразований и возможность параметрического синтеза.

Достоверность научных выводов и результатов диссертации обеспечивается соответствием с выводами и результатами других авторов,

подтверждением расчётов с помощью примеров с известным решением, а также сравнением с другими известными методами.

Методы исследований. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами используется численное интегрирование методом степенных рядов, а также метод припасовывания. Для задач параметрического синтеза используются методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в частности метод Гаусса, итерационный алгоритм, предложенный профессором А.А. Светлановым.

Научная новизна работы заключается в следующем:

7.Аналитическое выражение для? предварительной оценки области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов, по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) и уравнений с переменными параметрами (УПП);

2. Методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов;

3.Новый критерий предварительной оценки точности решения по дифференциальному спектру;

4. Комплекс программ и методика проведения численных экспериментов, доказывающих; возможность параметрического синтеза ЛНДУ и УПП большого порядка, использование которых впервые позволило получить следующие результаты:

- исследовать и показать возможность численно-аналитического решения методом ДТП интегро-дифференциальных уравнений с нелинейностями общего вида;

- создать алгоритм расчёта временных характеристик устройств с заданной точностью в виде суммы локальных степенных рядов;

- дало возможность рассчитать временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами на большом интервале с заданной точностью с помощью теории ДТП;

- исследовать возможность параметрического синтеза ЛНДУ и УПП с помощью ДТП и показать высокую точность данного подхода.

Практическую и теоретическую ценность представляют следующие результаты исследовательской работы.

1. Показана возможность практического использования теории ДТП с помощью современных вычислительных средств.

2. Таблица ДТП, дополняющая. и исправляющая аналогичную таблицу Г.Е. Пухова.

3. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратического

отклонения (СКО) графиков, показана линейная зависимость между областью сходимости решения линейных ДУ и количеством членов ряда.

4. Комплекс программ для проведения вычислений дискрет прямым и обратным способами с точностью до 109 десятичных знаков, нахождения области сходимости решения и построения других характеристик при решении ДУ методом ДТП.

5.Алгоритм решения ДУ методом ДТП, имеющий, существенный выигрыш в скорости вычислений (до 10 раз при СКО менее 10-8) при повышенных требованиях к точности решения по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при прочих равных условиях.

Положения, выносимые на защиту.

1. Методология и аналитические выражения для предварительной оценки интервала сходимости решения и оценки его точности.

2. Переход ДТП в различные базисы, позволяющий существенно сократить количество членов ряда полученного решения.

3.Разработанный алгоритм и программное обеспечение, позволяющий рассчитать дискреты дифференциально-тейлоровского спектра, с высокой точностью.

Реализация и внедрение результатов работы.

Созданное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение применяется для дальнейшего исследования и развития теории ДТП, для построения временных характеристик и параметрического синтеза физических устройств, описываемых ЛНДУ и УПП. Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», а также в учебно-исследовательской работе студентов специальностей 220500 -«Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».

Личный: вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Исследования возможностей сокращения количества членов ряда, с помощью перехода в другие базисы, проведены совместно с О.В. Стукачом.

По результатам диссертационной работы имеется 1З научных публикаций, из них 4 в зарубежных изданиях.

Апробация научных результатов.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 1997 и 2000гг.; VII международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2001; IEEE-Российском семинаре по электронным приборам и материалам EDM, Алтай, 2001 и 2003 гг.; международном симпозиум «PIERS - Прогресс

в электромагнитных исследованиях», Япония, 2001; XI международном симпозиуме по теоретической электротехнике, г. Линц, Австрия, 2001; XI конференции по СВЧ технике COMITE 2001, г. Пардубице, Чехия, 2001; IEEE-Сибирском семинаре по новейшим телекоммуникационным технологиям SIBCOM, Томск, 2001; научных семинарах кафедры комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем ТУ СУР «Системы моделирования, проектирования и управления».

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения и приложений. Её* содержание изложено на 152 страницах и иллюстрировано 104 рисунками, 4 таблицами. Перечень используемой литературы составляет 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении - обоснована важность и актуальность темы диссертации, сформулированы цель работы и задачи исследований, характеризуется научная новизна и практическая значимость работы, дана её общая характеристика.

В первой главе рассматриваются основные понятия дифференциальных преобразований, их свойства, а также основные недостатки и нерешенные проблемы.

Дифференциальное преобразование выглядит следующим образом:

Х(к) =

к!

<1кх(О

о х(0

Х(к),

О)

где слева стоит прямое преобразование оригинала х(е) е Я" непрерывного аргумента времени /=/0...#7 в изображение Х(к)е1Г дискретного аргумента кеГР, а справа - обратное преобразование Х(к) в х(1), Н - нормирующий коэффициент. Значения Х(к) при конкретных значениях аргумента к называются дискретами: Х(0) - нулевая дискрета, Х(1) - первая дискрета и т.д. Последовательность дискрет Х(0), Х(1),... Х(со) называется дифференциально-тейлоровским или ДТ-спектром оригинала х(().

Задачи, решаемые с помощью теории ДТП, можно разделить грубо на задачи анализа и синтеза. Задачи анализа связаны с поиском решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши, краевые задачи) и оценки погрешности решения. Под задачами синтеза понимается поиск параметров системы дифференциальных уравнений по известному решению (временной характеристике).

При поиске решения системы дифференциальных уравнений с помощью ДТ-преобразований ставятся следующие задачи:

1. Перевод оригинала в область изображений.

2. Расчет определенного числа дискрет ДТ-спектра.

3. Определение области сходимости решения при заданном числе дискрет и требуемой погрешности.

4. Восстановление решения в виде ряда Тейлора или суммы локальных степенных рядов.

5. Оценка точности полученного решения.

Рассмотрим подробнее особенности каждой задачи.

Первая задача. Изображения элементарных функций находятся с помощью прямого ДТ-преобразования (1), а более сложные - представлением оригиналов эквивалентными дифференциальными уравнениями. В большинстве случаев для перевода исходных уравнений в область изображений достаточно воспользоваться таблицей перевода, составленной Г.Е. Пуховым. Данная таблица является далеко не полной, а также содержит некоторые неточности. В главе приводится исправленная и более полная таблица перевода, а также доказательства некоторых новых свойств.

В некоторых случаях представление сложных функций эквивалентными дифференциальными уравнениями, является неудобным или невозможным. Тогда изображение можно - получить на основе - суперпозиции функций-изображений. Но ввиду несоизмеримо большого объема вычислений этот способ в литературе рассматривается лишь теоретически. Как показали численные эксперименты, такой метод является достаточно универсальным и требует дальнейшего исследования.

В результате исходная система дифференциальных уравнений преобразуется в систему конечных уравнений рекуррентного типа, из которой вычисляются дискреты ДТ-спектра. В общем случае, когда точное решение не представляется ограниченным полиномом, дифференциальный спектр является бесконечным. Поясним это на примере интегрирующей цепи с нелинейной емкостью (рис. 1).

Рисунок 1 - Интегрирующая цепь с нелинейной емкостью

Е(1) = \°'*<0, С(и) = —^—„ 7* = ЛС,. (2)

Составим дифференциальное уравнение относительно напряжения на. емкости с учетом (2):

л

-+хг0) = 1, х(0) = 0.

(3)

Изображение уравнения (3) выглядит следующим образом: + 1-Х(к + 1) + £Х(1)Х(к-1) = ъ(к), Х(0) = х(0) = О,

Н. гдеъ(к)

■Й

*=0

Рассчитав дискреты (4), можно восстановить решение:

/) = ¿Г— 1 ) = t/T- t'/ЗТ + t'flST - 8tT ¡315Т +... = th(t/T),

которое в данном случав представляет собой гиперболический тангенс.

Вторая задача. Сам по себе расчет дискрет по найденной рекуррентной формуле и восстановление решения в виде степенного ряда не представляет больших сложностей с алгоритмической точки зрения, однако здесь возникает ряд вопросов. Известно, что чем больше членов в ряде Тейлора, тем точнее будет решение. Также известно, что степенной ряд (1) сходится внутри радиуса сходимости, определяемого по признаку Даламбера:

(5)

Следовательно, чтобы определить радиус сходимости ряда, необходимо рассчитать большое количество дискрет. Однако на практике попытка рассчитать более 150-200 дискрет зачастую приводит к переполнению разрядной сетки вычислительных машин, при этом абсолютная величина дискреты становится более Ю308, Данное обстоятельство сильно затрудняет процесс исследования. В то же. время, вычисление-большого количества дискрет может оказаться нецелесообразным из-за накапливающейся ошибки и обнуления малых величин. В реальных условиях решение восстанавливается в виде ограниченного степенного ряда:

x(t,n)

Х(к).

Попытка восстановить решение по выражению (7) на интервале, определенному по одному из признаков (5) или (6), может привести к недопустимо большой погрешности как при малом количестве дискрет (десятки), так и при большом (сотни-тысячи). Причины большой погрешности могут быть разные: неверно определен радиус сходимости, недостаточное количество дискрет, большая погрешность вычислений.

Третья задача. Обзор литературы по решению дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов показал, что при расчете авторы без

объяснения выбирают интервал в 2-3 раза меньше радиуса сходимости ряда, найденного на основе признака сходимости Даламбера. Практика показала, что радиус сходимости на основе признака Даламбера может существенно отличаться (на 1-2 порядка) от максимального интервала, на котором возможно получить решение с приемлемой точностью, при ограниченном степенном ряде. Назовем этот максимальный интервал интервалом ограничения. При недостаточном количестве дискрет, либо при недопустимо большом интервале решение может оказаться кардинально неверным. Таким образом, необходимо контролировать интервал ограничения, учитывая количество дискрет, а также требуемую точность. В соответствии с этим были проведены исследования различных дифференциальных спектров и найдены закономерности, позволяющие с высокой степенью точности оценивать нижнюю границу интервала ограничения при требуемой точности решения и заданном количестве дискрет.

Четвертая задача. Для нелинейных ДУ восстановление решения в виде одного ряда Тейлора в общем случае может быть невозможным из-за малого радиуса сходимости, который может оказаться существенно меньше времени переходного процесса. В таких случаях используют метод припасовывания локальных степенных рядов. Из обзора литературы остается неясным выбор оптимального количества дискрет для. каждого локального решения. Увеличение количества дискрет приводит к увеличению интервала ограничения, но в то же время увеличиваются затраты на вычисление суммы (7).

Пятая задача. В теории дифференциальных преобразований до сих пор остается мало изученным вопрос оценки погрешности полученного решения. В литературе приводятся количественные оценки СКО полученного решения для простых примеров, когда известно точное решение. Но интерес представляют случаи, когда точное решение неизвестно, а требуется оценить погрешность полученного результата. Также известен следующий способ контроля точности по искомой функции и её высшим производным на краях, интервалов:

где Х,(к) - ДТ-спектр на ьом интервале, ¡=0,1,2...

Выражения (8) эффективны при использовании метода припасовывания с равномерным разбиением всего интервала восстановления. Расчеты

показывают, что равномерное разбиение интервала не всегда является эффективным, особенно для жестких систем. В таких случаях выражения (8) усложняются, и их применение становится довольно трудоемким для предварительной оценки погрешности решения. Таким образом, необходимо выявить закономерность между дифференциальным спектром и погрешностью восстановленного решения.

Для детального и оперативного исследования изложенных выше закономерностей необходимо было разработать программное обеспечение, позволяющее просто и оперативно изменять объект исследования (систему дифференциальных уравнений) и получать различные зависимости и характеристики (дифференциальный спектр, временная характеристика, распределение ошибки и т.д.).

При решении задач синтеза, то есть определении параметров математической модели устройства ставится единственная задача - точный графический расчет необходимого количества дискрет по имеющейся временной характеристике. Обычно необходимое количество дискрет Л/ сопоставимо с порядком дифференциального уравнения, при этом можно составить систему из М линейно--независимых уравнений, из которой параметры уравнений однозначным образом определяются через дискреты дифференциального спектра. Составив систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя обратное преобразование (1), по известной временной характеристике рассчитываются дискреты. Таким образом, рассчитав дискреты, получим значения искомых параметров дифференциального уравнения. В литературе данная задача рассматривается на достаточно простых примерах и уравнениях не выше второго порядка. Современные вычислительные средства позволяют достаточно точно (то есть с точностью менее 10%) рассчитать 12-15 дискрет графическим способом, что позволяет определять параметры системы ДУ не более 6-7 порядка, а для нелинейных уравнений и с переменными параметрами максимальный порядок оказывается еще ниже. Но попытка решения задач для уравнений высоких порядков всегда приводит к большой погрешности расчета дискрет.

Таким образом, разработанная Г.Е. Пуховым теория ДТ-преобразований позволяет анализировать достаточно простые дифференциальные уравнения. Многие теоретические выкладки рассматриваются либо на простых примерах, либо приводятся без таковых, при этом остается не ясным, насколько данная теория применима на практике. Отсутствие критериев оценки погрешности решения на текущем интервале не позволяет оперативно судить о достоверности полученных результатов. Для построения верного решения необходимо контролировать радиус сходимости, для чего одного признака Даламбера явно недостаточно. Необходимо определить закономерности, позволяющие оценивать интервал ограничения при заданной точности и количестве дискрет, а также оценивать погрешность полученного решения.

Для задачи синтеза остается неясна природа погрешности при графическом расчете дискрет: погрешность метода, либо погрешность вычислений. Для выяснения этих причин было написано специальное программное обеспечение, позволяющее проводить математические вычисления и хранить данные с высокой степенью точности (до миллиарда десятичных знаков с плавающей точкой).

Во второй главе решаются задачи контроля и оценки погрешности результатов расчета дифференциальных уравнений методом ДТП. Приводятся новые критерии предварительной оценки интервала ограничения решения.

При переводе исходных ДУ в область изображений неизбежно появляется коэффициент Н, который теоретически может быть любым ненулевым значением, хотя для наглядности желательно выбирать Н~1К0„, где 1К0Н -последняя точка интервала времени. В таком случае по ДТ-спектру можно судить о его сходимости на конце интервала, то есть при Г=#, так как

(9)

Известно, что степенной ряд не является точным решением дифференциальных уравнений реальных физических устройств. Поэтому в общем случае при восстановлении решения в виде (7) его наибольшее отклонение от точного решения наблюдается в конце интервала (рис. 2,3). Следовательно, СКО на всем временном интервале обычно не превышает отклонения на его конце. Тогда для предварительной оценки точности полученного решения при ограничении степенного ряда (погрешность ограничения) предлагается следующий критерий:

(10)

Для более точного определения погрешности ограничения предлагается сравнивать решения, полученные для п и п+т дискрет:

СКОтн(п,т) =

м

1-

х«„п)

■100%, I, е[0...Н].

х((1,п + т)

Предложенные критерии позволяют оценить верхнюю границу СКО. Обычно СКО (рис. 4, график 3) оказывается на 1-2 порядка меньше, чем расчеты по критериям (10), (11). Предварительный критерий (10) позволяет быстро оценить достоверность получаемого решения: если значение (10) более 50% (рис. 4, график 1), то с большой вероятностью можно сказать о недопустимых искажениях решения в конце интервала (рис. 2, 18 дискрет). Более точный критерий (11) требует построения решения два раза, но дает более точный результат. Исследования на примерах показали, что для

линейных ДУ и ДУ с переменными параметрами, а также для ДУ с малыми нелинейностями выражение (11) дает достаточно точные результаты при т=1 (рис. 4, график 2). В таком случае (11) примет следующий вид:

Рисунок 2 - Восстановление функции cos($ при разном количестве дискрет (точность вычислений 40 десятичных знаков)

Рисунок 3 — Зависимость относительного отклонения восстановленной функции при разном количестве дискрет

Рисунок 4 - Зависимость СКО (3), грубого (1) и относительного (2) критерия оценки точности от количества дискрет функции еа$(Г), Г=[0..101

Выражение (12) уже не требует двойного расчета решения. Заметим," что оценка (12) будет несколько выше, если в расчете учитывать п-1 дискрет, но в этом случае не требуется расчета дополнительной дискреты.

Для сильно нелинейных дифференциальных уравнений выражения (10) и (11) в некоторых особых случаях могут давать неверные результаты, если дискреты Х(п) и Х(п+т) одного знака. В таких случаях необходимо выбирать т>0такое, чтобы Х(п) и Х(п+т) были разного знака.

Далее в главе обосновывается неэффективность критерия определения интервала ограничения ряда (7) на основе признака Даламбера при ограничении количества дискрет, используемых при восстановлении решения. Приводится вывод более точного критерия для предварительной оценки интервала ограничения с учетом заданной погрешности:

где - заданная погрешность; т - порядок системы. На примерах показана работоспособность предложенного критерия (13) для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами. В большинстве случаев выражение (13) дает результат с запасом 10—30%, что в конечном итоге приводит к небольшому увеличению времени вычисления, но при этом погрешность результата не будет превышать заданную с большой вероятностью, что исключает действия, связанные с возвратом и пересчетом решения с меньшим шагом.

Численные эксперименты и выражение (13) показали линейный характер зависимости интервала ограничения от количества дискрет для линейных устройств и устройств с переменными параметрами.

Показана возможность применения метода припас овывания с использованием предложенных критериев, что дает возможность построения решения на достаточно большом интервале времени.

В третьей главе приводятся способы повышения эффективности применения теории ДТП с помощью других базисов.

Как известно, решение ДУ ищется в виде суммы экспонент. По метод ДТП дает решение в виде степенного ряда. Поэтому имеет смысл восстанавливать решение в другом базисе, не степенном. Приводятся способы перевода решения в экспоненциально-степенной базис, а также базисы ортогональных полиномов Лаггера, Лежандра и Чебышёва.

Таблица 1 -Характеристики разложения в различных базисах

Преобразование / разложение количество членов ряда в разложении / СКО

ДТ-преобразование кол-во дискрет 29 25 21

СКО 0.1 % 0.56 % 2.6 %

полиномы Лаггера кол-во дискрет 11 - -

СКО 0.08 % - -

полиномы Лежандра кол-во дискрет 7 6 5

СКО 0.28 % 0.56 % 3.8 %

полиномы Чебышёва кол-во дискрет 13 11 10

СКО 0.10% 0.80% 2.3 %

смещенные полиномы Чебышёва кол-во дискрет 6 - 5

СКО 0.07% 2.7%

экспоненциально- степенные преобразования кол-во дискрет 18 17 11

СКО 0.01 % ' 0.02 % 3.1 %

В результате проведенных исследований выявлено, что наилучшими характеристиками обладают смещешше полиномы Чебышёва (табл. 1) с точки зрения сходимости ряда, с помощью которых удаётся сократить исходный ряд до пяти раз.

Используя известные начальные условия, предложен способ повышения точности расчета дискрет графическим способом. Также показано уменьшение погрешности вычисления дискрет в базисе полиномов Чебышёва. Применение полиномов Чебышёва первого рода позволяет увеличить количество дискрет в 1,5-2 раза, рассчитанных с погрешностью 1-

10%, что соответственно повышает максимальный порядок системы ДУ при параметрическом синтезе.

В четвертой главе приводится описание разработанного комплекса программ, алгоритма решения дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейных устройств,на основе предложенных критериев оценки рад!гуса сходимости решения; а также сравнение с другими методами.

Большинство результатов диссертационной работы было получено на основе проведения множества численных экспериментов. Несколько лет назад большинство из них было невозможно провести, либо занимало слишком много времени, что значительно затрудняло исследовательскую работу, а порой делало ее просто невозможной. Этим можно объяснить отсутствие в литературе множества количественных оценок, проделанных в данной работе. В начале исследований для расчетов активно использовался пакет MathCad. Однако его возможности накладывали ограничение на применение рекуррентных формул расчета дискрет. Также существенно-сказывалось ограничение разрядной сетки переменных, что затрудняло исследование возможности параметрического синтеза устройств высокого порядка.

Разработанный программный комплекс позволяет решать указанные недостатки. Исходный код на языке С++ написан таким образом, что может быть откомпилирован под различные платформы Windows, UNIX, MS-DOS лишь с незначительными изменениями графического интерфейса.

Главной особенностью комплекса является модуль ASMDC, позволяющий проводить арифметические операции с числами с точностью до 10® десятичных знаков. Исход1гый код модуля оформлен в виде отдельного класса, оперирование которым осуществляется практически идентично стилю языка ассемблера, что позволяет использовать его для различных целей.

Специально для доказательства принципиальной возможности параметрического синтеза нелинейных устройств большого порядка создан модуль MATR1XL, реализующий метод Гаусса для расчета СЛАУ размерностью до 30000 и погрешностью расчетов, обеспечиваемой модулем ASMDC. Используя данный модуль, с помощью тестовых примеров показано, что графический расчет дискрет по известной временной характеристике в основном определяется погрешностью вычислений и исходных данных. Установлено, что погрешность метода влияет лишь на часть дискрет, которая для заданного числа дискрет может быть устранена простым повышением порядка решаемой СЛАУ.

Созданный программной комплекс позволяет проводить комплексные исследования по применению дифференциальных преобразований к расчету временных характеристик и параметрическому синтезу, а именно: S рассчитать большое количество дискрет (до 10^ с точностью до 10'

десятичных знаков;

строить зависимости интервала ограничения по различным признакам, а также экспериментально;

- получать зависимости оценок погрешности решения (10), (11) и СКО от

количества дискрет при фиксированном, либо рассчитанном по (13) интервале;

- получать решение обыкновенных дифференциальных уравнений общего

вида на большом интервале;

- наблюдать распределение отклонения решения на всем интервале;

- строить трехмерные зависимости СКО решения от количества дискрет и

погрешности вычислений;

- строить трехмерные зависимости времени вычисления решения при

различном количестве дискрет и требуемой точности;

- проводить сравнительную оценку времени вычисления по

разработанному алгоритму с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при равных условиях;

- решать СЛАУ высокого порядка с высокой точностью (что

ограничивается оперативной памятью компьютера) для проведения параметрического синтеза нелинейных устройств.

В качестве исходных уравнений возможно использование встроенных элементарных функций, а также уравнений, задаваемых пользователем в виде дополнительного модуля БТ8У8ТБМ.

Разработанный алгоритм (рис. 5) решения ДУ имеет преимущество в скорости и точности по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

В блоках 2-4 (рис. 5) задаются исходные данные и необходимые переменные: конечное время 0„, количество точек N на интервале, погрешность вычислений е , количество используемых дискрет А, порядок решаемой системы ,Нт — начало текущего интервала, Их — интервал ограничения (13), j - счетчик интервалов, Л! - шаг вычислений, Г - текущая (начальная) точка расчета. В блоке 5 проверяется принадлежность рассчитываемой точки текущему интервалу если текущий

интервал пройден или это первая точка расчета, то осуществляется переход для расчета ДТ-спектра. Если это самый первый интервал, то задается вектор начальных условий (блок 7) из исходных данных, в противном случае начальные условия рассчитываются согласно свойству (9) из дискрет предыдущего интервала (блок 8). Далее согласно определенному изображению по рекуррентной формуле рассчитываются к дискрет искомых величин (блок 9). По рассчитанному спектру согласно формуле (13) вычисляется интервал ограничения. Если Их не является положительным числом, значит достигнуто установившееся значение с заданной точностью, либо найдено точное решение на бесконечном интервале, и Нх задается максимальной величиной. В блоке 13 производится перенормировка ДТ-спектра к величине Н=Нх. В блоке 14 производится контроль точности по

одному или нескольким предложенным критериям, вследствие чего производится корректировка интервала Их. Увеличивается счепик интервалов (блок 15) и осуществляется переход на блок 5. При выполнении условия блока 5 восстанавливается ряд Тейлора (блок 16) для точек на интервале с шагом Д1 (блоки 5, 16-19), либо до достижения

последней точки заданного интервала 1Щ<М (блок 19).

Рисунок 5 - Алгоритм построения решения ДУ

Далее в главе на численных примерах приводятся сравнительные характеристики, которые показывают, что данный алгоритм имеет существенные преимущества по точности результата и скорости решения по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка (РК4). Например, вычисление уравнения функции Бесселя первого рода нулевого порядка на интервале 1=[0..10] с точност йбб'д ля метода РК4 потребовало разбить интервал на 27000 точек, при этом затраты на вычисления составили в три раза больше, чем методом ДТП при том же количестве рассчитанных точек

(при к=10). Заметим, что для получения только лишь одного значения функции в конце интервала с заданной точностью позволяет уменьшить время вычислений методом ДТП более чем в 200 раз. Это объясняется тем, что интервал ограничения существенно больше, чем шаг интегрирования у метода РК4 при той же погрешности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе, в соответствии с поставленной целью и сформулированными задачами, была разработана методология использования на практике дифференциально-тейлоровских преобразований при расчете временных характеристик и параметрическом синтезе нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами. На основе созданной методологии разработаны алгоритм, критерии и программное обеспечите, подтверждающие работоспособность изложенных результатов.

В ходе проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Получено аналитическое выражение для предварительной оценки интервала ограничения степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение. Отсутствие данного критерия приводило к большим вычислительным затратам на численный подбор интервала. Разработанное ПО подтверждает работоспособность критерия для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

2. Проверена методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов, показана высокая эффективность применения базиса смещенных полиномов Чебышёва, которая позволяет уменьшить количество членов ряда до пяти раз.

3. Предложен новый критерий предварительной оценки погрешности полученного решения, а также исследована и скорректирована работоспособность критерия на основе сравнения двух решений с разным количеством дискрет, что позволяет оперативно контролировать точность решения.

4. Исправлена и дополнена таблица оригиналов и изображений Г.Е. Пухова.

5. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратического отклонения графиков (СКО).

6. Сравнение разработанного алгоритма решения ДУ методом ДТП с методом Рунге-Кутта четвертого порядка показало существенный выигрыш в скорости вычислений первого (до 10 раз при СКО менее 10"*) при повышенных требованиях к точности результата и прочих равных условиях.

При условии получения результата только в конечной точке выигрыш может составлять более 100 раз.

7. Использование разработанного программного комплекса и методики проведения численных экспериментов позволило впервые получить следующие результаты:

> исследована и показана возможность параметрического синтеза ЛНДУ и УПП высокого порядка;

> исследован созданный автором алгоритм нахождения временных характеристик ДУ с заданной точностью в виде суммы локальных степенных рядов, который имеет существенный выигрыш в скорости вычислений по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при повышенных требованиях к точности решения;

> исследована и показана возможность решения дифференциальных уравнений со сложными функциями методом ДТП.

Таким образом, показана возможность практического использования теории. дифференциально-тейлоровских преобразований с помощью современных вычислительных средств;

8. Разработанный комплекс программ написан на языке С++ и позволяет легко компилировать исходный код с незначительными изменениями графического интерфейса для разных платформ, в том числе UNIX, MS-DOS, Windows.

Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», в учебном процессе ТУСУРа и в лабораторных работах по курсу «Вычислительная математика» для студентов специальностей 220500 - «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.

СПИСОКПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИ

1. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, Microwave Devices with Invariance Characteristics. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Osaka, Japan, 2001, p. 133.

2. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch Solving of Equations of Nonlinear Circuits and Control Systems Basing of Differential Transformations. In "Proceedings of XI International Symposium on Theoretical Electrical Engineering (ISTET)". Linz, Austria, 2001, Volume 1 of2, P. 329-330.

3. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Phase Invariance p-i-n Diode Attenuator. In "Proceedings of The 11th Conference on Microwave Technique (COMITE)". University ofPardubice, the Czech Republic, 2001, P. 237-239.

4. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, A New Operator For The Electromagnetics Characterization In Time Domain. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Nanjing, China, 2004, p. 189.

5. Головин Е.Д., Стукач О.В. Моделирование нелинейных систем управления с использованием дифференциальных преобразований воздействий // Третья областная научно-практич. конфер. студ., аспир. и молод, ученых "Современные техника и технологии". Сб. статей. - Томск: ТПУ, 1997. - С. 143-144.

6. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch, Modeling Accuracy of Technical Systems Using of Differential Transformation Method. In Proceedings of The Sixth International Scientific and Practical Conference of Students and Young Researches "Modern Technique and Technology" (МТГ2000). Tomsk, TPU, 2000, P. 62-64.

7. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch, The Use of Orthogonal Polynoms in the Differential Transformations. In Proceedings of The Seventh International Scientific and Practical Conference of Students, Post-graduates and Young Scientists "Modern Techniques and Technology" (MTT2001). IEEE Catalog Number: 01EX412. ISBN: 0-7803-6346-9. Library of Congress: 00-01533. -Tomsk, TPU, 2001, P. 105-108.

8. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch, The Use of Exponential-differential Transformations in Solving of the Nonlinear Circuits and Control Systems Equations. In Proceedings of 2nd Annual Siberian Russian Student Workshops and Tutorials on Electron Devices and Materials (EDM-2001). Altay, 2001, P. 138-139.

9. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Use of Differential Transformations in Modeling of Communication Systems. The IEEE-Siberian Workshop "Modem Communication Technologies" (SIBCOM). Proceedings. Tomsk, 2001, P. 63-67.

10. Головин Е.Д., Стукач О.В. Использование ортогональных полипомов" при расчете переходных процессов в нелинейных электрических цепях с помощью дифференциальных преобразований / В сб. Интеллектуальные системы в управлении, конструировании и образовании. Вып. 2. Под ред. проф. А.А Шелупанова. - Томск: STT, 2002. - С. 91-105.

11. Головин Е.Д., Стукач О.В. Моделирование физических процессов с использованием диффереициально-чебышёвских преобразований // Известия Томского политехнического университета. - N 2., т. 306,2003. - С. 12-15.

12. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch, Usage of Orthogonal Polynomials at Calculation of Transfer Processes in Electric Circuits With Variable Parameters Using Differential Transformations. In Proceedings of the 4nd Annual Siberian Russian Student Workshops and Tutorials on Electron Devices and Materials (EDM-2003). Altay, 2003, P. 176-181.

13. Головин Е.Д., Стукач О.В. Параметрический синтез нелинейных электрических цепей по временным характеристикам с помощью дифференциальных преобразований / В сб. Интеллектуальные системы в управлении, конструировании и образовании. Вып. 3. Под ред. проф. А.А. Шелупанова. - Томск: STT, 2004. С. 76-83.

04 ■ 1 58 0 б

Тираж 100. Заказ 895. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники пр. Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ТЕЙЛОРОВСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

1.1 Прямое и обратное преобразование.

1.2 Свойства ДТП.

1.3 Пример расчета электрической схемы.

1.4 Параметрический синтез с помощью обратного преобразования.

1.5 Проблемы теории ДТП.

1.6 Выводы.

ГЛАВА 2 КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ И ИНТЕРВАЛА ОГРАНИЧЕНИЯ.

2.1 Влияние количества и точности расчета дискрет на точность полученного решения.

2.2 Критерии оценки точности решения.

2.2.1 Грубая оценка точности решения.

2.2.2 Относительная оценка точности решения.

2.3 Критерии оценки интервала ограничения.

2.3.1 Оценка интервала ограничения для линейных устройств.

2.3.2 Влияние нелинейностей на интервал ограничения и дифференциальный спектр.

2.3.3 Оценка интервала ограничения на основе признака Даламбера.

2.3.4 Определение интервала ограничения по дифференциальному спектру.

2.3.5 Расчет интервала ограничения для устройств с большими нелинейностями.

2.4 Исследование возможности применения метода припасовывания с использованием выявленных закономерностей.

2.5 Выводы.

ГЛАВА 3 ДТП В ДРУГИХ БАЗИСАХ.

3.1 Необходимость перехода к другим базисам.

3.2 Экспоненциально-степенные преобразования.

3.3 Переход в базис полиномов Лаггера.

3.4 Переход в базис полиномов Лежандра.

3.5 Переход к дифференциально-чебышевскому базису.

3.6 Дифференциально-чебышевские преобразования со смещенными полиномами Чебышёва.

3.7 Выводы по сокращению количества членов ряда решения.

3.8 Повышение точности параметрического синтеза.

3.8.1 Графический расчет дискрет.

3.8.2 Параметрический синтез нелинейных устройств.

3.8.3 Способ повышения точности расчета дискрет.

3.8.4 Решение плохо обусловленных систем уравнений с помощью перехода к чебышевским базисам.

3.9 Выводы.

ГЛАВА 4 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РЕШЕНИЯ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ И УСТРОЙСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

4.1 Структура программного комплекса.

Актуальность работы. Исследование возможностей практического применения теории дифференциально-тейлоровских преобразований для расчёта временных характеристик в нелинейных электрических цепях и цепях с переменными параметрами, параметрического синтеза нелинейных электрических цепей и цепей с переменными параметрами, а также развитие теории дифференциально-тейлоровских преобразований (ДТП) является актуальной задачей. Наличие математического, алгоритмического аппарата и программного обеспечения позволяет решать прикладные задачи в области электротехники, теории управления, механики, аэродинамики и астрофизики более эффективно по сравнению с известными методами.

В середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений (ДУ), то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко [9] и одного из основателей Московского математического общества А.В. Летникова [33].

В начале XX века появились работы О. Хевисайда [79], в которых решались различные задачи электротехники и электросвязи методами, близкими, а иногда и совпадающими с методами, предложенными Ващенко-Захарченко. Теория и различные применения операционного исчисления получили дальнейшее развитие в работах Т. Бромвича [8], A.M. Эфроса и А.М.Данилевского [77], М.Ю.Юрьева [78], А.Н.Крылова [32], А.И.Лурье [34], В.А. Диткина и П.И. Кузнецова [22], М.И. Конторовича [30], Я. Минусинского [37], Г. Деча [21] и др.

Основные понятия современных операционных методов — понятия оригинала х и изображения X. Оригиналами называются исходные функции решаемых задач. Часто это такие физические величины, как электрические токи, напряжения, заряды, механические перемещения, давления, температуры и т. п. Изображения получаются преобразованием по определенным правилам оригиналов и математических операций над ними. Ващенко-Захарченко и Хевисайд переходили от оригиналов к изображениям заменой производной d/dt и интеграла алгебраическими множителями р и р~', а обратный переход реализовали с помощью так называемых теорем разложения. Карсон [28] и другие исследователи переходили от оригиналов к изображениям с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье, а обратный переход производили на основании интеграла Бромвича, применяя теорию вычетов.

Многолетняя практика применения операционных методов, основанных на интегральных преобразованиях, показала их высокую эффективность для исследования систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эффективным оказалось и так называемое комплексное исчисление, основанное на двойном интегральном преобразовании Фурье с конечными пределами [52], для исследования периодических процессов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако, из работ по применению интегральных операционных методов для изучения непериодических процессов в системах с нелинейными и переменными параметрами видно, что решение возникающих задач практически оказывается возможным лишь в квазилинейной постановке из-за сложности перевода в область интегральных изображений основной нелинейной операции - операции произведения оригиналов. Более широкие возможности исследования нелинейных систем имеют дифференциально-тейлоровские преобразования (ДТ-преобразования), предложенные и в определенной степени изученные в работах Г.Е. Пухова [23,49,50,51].

Основой к созданию теории ДТ-преобразований явились работы чл.-кор. АН УССР ГТ.Ф. Фильчакова по предложенному им методу решения ДУ с помощью степенных рядов Тейлора [71].

Основное отличие дифференциальных преобразований от интегральных состоит в том, что переход от оригиналов к изображениям производится дифференцированием оригиналов, а не их интегрированием. Суть метода заключается в преобразовании функции оригинала от непрерывного аргумента, например, времени, в функцию изображения от дискретного аргумента, коэффициенты которой именуются дискретами. Построенная система правил и формул в теории ДТП на практике позволяет составлять изображающие уравнения, почти не прибегая к дифференцированию оригиналов. Обратный переход от изображений к оригиналам осуществляется очень просто с помощью ряда Тейлора.

К достоинствам ДТ-преобразований относятся возможности распространения операционных методов исследования состояний физических систем на случаи систем с переменными и нелинейными параметрами. Произведению функций в области оригиналов отвечает в области ДТ-изображений сравнительно простая операция — нахождение суммы конечного числа парных произведений дискрет изображений умножаемых функций. Также достоинством является большая гибкость соответствующих ДТ-моделей, так как часто одна и та же модель может служить основой численного решения задачи, ее аналитического и численно-аналитического решений.

В трудах Г.Е. Пухова изложено операционное исчисление, основанное на дифференциальных Т-преобразованиях, и показано его применение для анализа переходных и установившихся процессов в электрофизических, теплофизических и механических системах. Кроме того, рассматриваются экспериментальные методы получения математических моделей упомянутых физических систем. Изложенное иллюстрируется большим количеством простых примеров.

Но ДТ-преобразования не получили широкого распространения при всех своих достоинствах. Одной из причин является недостаточно разработанная методика применения теории ДТП, из-за чего требуемая вычислительная работа почти всегда превышает работу, выполняемую с помощью других методов. Не исследованными остаются вопросы оценки погрешности решения, а также предварительной оценки интервала восстановления и количество членов степенного ряда при заданной точности. Степенной ряд, в виде которого восстанавливается решение, в общем случае имеет относительно малый радиус сходимости. Для нахождения решения на требуемом интервале применяется метод припасовывания: весь интервал разбивается на шаги, для каждого из которых последовательно строится решение. Величина каждого шага будет определяться количеством учитываемых членов степенного ряда и заданной точностью расчетов. Предложенный Л.П. Гавриловым численный метод решения ДУ методом степенных рядов, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик, не всегда оказывается более эффективным по сравнению с известным методом Рунге-Кутты четвертого порядка, так как требует множества дополнительных вычислений.

Цель работы - определить область применимости дифференциальных преобразований при параметрическом синтезе и расчёте временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами, а также разработать методологию использования дифференциальных преобразований на практике.

Объект исследования - временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

В соответствии с целью работы сформулированы задачи исследований: исследование точности решения в зависимости от количества дискрет при восстановлении результата и интервала, на котором строится решение дифференциального уравнения; исследование влияния погрешности вычислений на точность и область сходимости полученного решения; предварительная оценка области сходимости решения по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами; получение количественных оценок точности решения; составление наиболее полной таблицы оригиналов и изображений; реализация методологии расчета временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами в виде законченного алгоритма и компьютерной программы; исследование возможностей параметрического синтеза нелинейных устройств высокого порядка.

Таким образом, предметом исследования являются ДУ, описывающие реальные физические устройства, в частности электрические цепи, способы нахождения решения с помощью дифференциальных преобразований и возможность параметрического синтеза.

Достоверность научных выводов и результатов диссертации обеспечивается соответствием с выводами и результатами других авторов, подтверждением расчетов с помощью примеров с известным решением, а также сравнением с другими известными методами.

Методы исследований. Для решения нелинейных ДУ с переменными параметрами используется численное интегрирование методом степенных рядов, а также метод припасовывания. Для задач параметрического синтеза используются методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в частности метод Гаусса, рекуррентный алгоритм предложенный А.А. Светлаковым [57].

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Аналитическое выражение для предварительной оценки области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов, по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) и уравнений с переменными параметрами (У 1111);

2. Методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов;

3. Новый критерий предварительной оценки точности решения по дифференциальному спектру;

4. Комплекс программ и методика проведения численных экспериментов, доказывающих возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi большого порядка, использование которых позволило получить следующие результаты впервые:

S исследовать и показать возможность численно-аналитического решения методом ДТП интегро-дифференциальных уравнений с нелинейностями общего вида;

S создать алгоритм расчёта временных характеристик устройств с заданной точностью в виде суммы локальных степенных рядов; ■S дало возможность рассчитать временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами на большом интервале с заданной точностью с помощью теории ДТП;

S исследовать возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi с помощью ДТП, и показать высокую точность данного подхода. Практическую и теоретическую ценность представляют следующие результаты исследовательской работы.

1. Показана возможность практического использования теории ДТП с помощью современных вычислительных средств.

2. Таблица ДТП, дополняющая и исправляющая аналогичную таблицу Г.Е. Пухова.

3. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратичного отклонения графиков (СКО), показана линейная зависимость между областью сходимости решения линейных ДУ и количеством членов ряда;

4. Комплекс программ для проведения вычислений дискрет прямым и обратным способами с точностью до десятичных знаков, нахождения области сходимости решения и построения других характеристик при решении ДУ методом ДТП.

5. Алгоритм решения ДУ методом ДТП, имеющий существенный выигрыш в скорости вычислений (до десяти раз при СКО менее НУ8) при повышенных требованиях к точности решения по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при прочих равных условиях.

Реализация и внедрение результатов работы.

Созданное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение применяется для дальнейшего исследования и развития теории ДТП, для построения переходных характеристик и параметрического синтеза физических устройств, описываемых ЛНДУ и Villi. Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», а также в учебно-исследовательской работе студентов специальностей 220500 — «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Исследования возможностей сокращения количества членов ряда, с помощью перехода в другие базисы, проведены совместно с О.В. Стукачом.

По результатам диссертационной работы имеется тринадцать научных публикаций, из них четыре в зарубежных изданиях.

Апробация научных результатов.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 1997 и 2000 гг.; VII международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2001; DEEE-Российском семинаре по электронным приборам и материалам EDM, Алтай, 2001 и 2003 гг.; международном симпозиуме «PIERS - Прогресс в электромагнитных исследованиях», Япония, 2001; XI международном симпозиуме по теоретической электротехнике, г. Линц, Австрия, 2001; XI и конференции по СВЧ технике COMITE 2001, г. Пардубице, Чехия, 2001; IEEE-Сибирском семинаре по новейшим телекоммуникационным технологиям SIBCOM, Томск, 2001; научных семинарах кафедры комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем ТУСУР «Системы моделирования, проектирования и управления».

Положения, выносимые на защиту:

1. Методология и аналитические выражения для предварительной оценки интервала сходимости решения и оценки его точности.

2. Переход ДТП в различные базисы, позволяющий существенно сократить количество членов ряда полученного решения.

3. Разработанный алгоритм и программное обеспечение, позволяющее рассчитать дискреты дифференциально-тейлоровского спектра с высокой точностью.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения и приложений. Её содержание изложено на 157 страницах и иллюстрировано 118 рисунками, 7 таблицами. Перечень используемой литературы составляет 89 наименований.

Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», в учебном процессе ТУСУРа и в лабораторных работах по курсу «Вычислительная математика» для студентов специальностей 220500 - «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, в соответствии с поставленной целью и сформулированными задачами, была разработана методология использования на практике дифференциально-тейлоровских преобразований при расчете временных характеристик и параметрическом синтезе нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами. На основе созданной методологии разработаны алгоритм, критерии и программное обеспечение, подтверждающие работоспособность изложенных результатов.

В ходе проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Получено аналитическое выражение для предварительной оценки интервала ограничения степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение. Отсутствие данного критерия приводило к большим вычислительным затратам на численный подбор интервала. Разработанный ПК подтверждает работоспособность критерия для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

2. Проверена методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов, показана высокая эффективность применения базиса смещенных полиномов Чебышёва, которая позволяет уменьшить количество членов ряда до пяти раз.

3. Предложен новый критерий предварительной оценки погрешности полученного решения, а также исследована и скорректирована работоспособность критерия на основе сравнения двух решений с разным количеством дискрет, что позволяет оперативно контролировать точность решения.

4. Исправлена и дополнена таблица оригиналов и ДТ-изображений.

5. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратического отклонения графиков (СКО).

6. Сравнение разработанного алгоритма решения ДУ методом ДТП с методом Рунге-Кутта четвертого порядка показало существенный выигрыш в скорости вычислений первого (до десяти раз при СКО менее КГ8) при повышенных требованиях к точности результата и прочих равных условиях. При условии получения результата только в конечной точке выигрыш может составлять более ста раз.

7. Использование разработанного программного комплекса и методики проведения численных экспериментов позволило впервые получить следующие результаты:

S исследована и показана возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi высокого порядка;

S исследован созданный автором алгоритм нахождения временных характеристик ДУ в виде суммы локальных степенных рядов;

S исследована и показана возможность решения ДУ со сложными функциями методом ДТП.

Таким образом, показана возможность практического использования теории дифференциально-тейлоровских преобразований с помощью современных вычислительных средств.

8. Разработанный комплекс программ написан на языке С++ и позволяет легко компилировать исходный код с незначительными изменениями графического интерфейса для разных платформ, в том числе UNIX, MS-DOS, Windows.

1. Арушанян О.Б., ЗалбткинС.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. - М.: Изд-во МГУ, 1990. — 336 с. -1.BN 5-211-00957-6.

2. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. — М.: «Энергия», 1969. 424 с.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 199 с.

4. Батенко А.П. Управление конечным состоянием движущихся объектов. -М.: Сов. радио, 1977. 255 с.

5. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е., Саух С.Е. Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. Киев: Наукова думка, 1993. - 263 с.

6. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учеб. пособие для втузов. М.: «Высш. школа», 1977. - 343 с.

7. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-136 с.

8. Бромвич Т.Дж. Примеры операционных методов в математической физике. Привед. по: Bromwich Т. J. Examples of Operational Methods in Mathematical Physics. - Phil. Mag., 1919, Bd 37, (6), p. 407.

9. Ващенко-Захарченко M.E. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Киев, ун-т, 1862.-92 с.

10. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. — 263 с.

11. Гаврилов Л.П. Применение метода степенных рядов к расчету нелинейных цепей. //Изв. вузов. «Радиотехника», 1974, № 7, С. 24-31.

12. Гаврилов Л.П. Аналитический метод расчета электрических цепей с применением ЦВМ. -М.: Изд. МИЭМ, 1975.

13. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели и их применение в строительной механике. Собр. соч.: В 2-х т. - М.: Стройвоенмориздат, 1948. — Т. 2, С. 5-10.

14. ГоловинЕ.Д., Стукач О.В. Моделирование физических процессов с использованием дифференциально-Чебышевских преобразований // Известия Томского политехнического университета. -N 2., т. 306, 2003. С. 12-15.

15. Голубенцев Л.Я. Интегральные методы в динамике. — Киев: Техшка, 1967.-350 с.

16. Гончарский А.В., Черепащук A.M., ЯголаА.Г. Некорректные задачи астрофизики. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-352 с.

17. Девятое Б.Я. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН УСССР, 1964. - 323 с.

18. ДёчГ. Теория и применение преобразований Лапласа. Привед. по:

19. Doetsch G. Theorie und Anwendung der Laplace — Transformation. — Berlin: Springer, 1937. 337 c.

20. ДиткинВ.Л., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению. — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. 255 с.

21. Дифференциальные спектры и модели / Г.Е. Пухов.; Отв. ред. Мартынюк А.А.; АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике. — Киев: Наук. Думка, 1990. -184 с. ISBN 5-12-001820-3.

22. Заездный A.M. Основы расчетов нелинейных и параметрических радиотехнических цепей. -М.: «Связь», 1973.

23. Калахан Д. Методы расчета электронных схем. М.: «Мир», 1970.

24. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: 1976. — 568 с.

25. Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. —487 с.

26. КарсонД.Р. Электрические нестационарные явления и операционное исчисление. — Харьков; Киев: ГНТИ Украины, 1934. 232 с.

27. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

28. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 459 с.

29. Конторович М.И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. - 215 с.

30. Круг К.Л. Основы электротехники. — 3-е изд. — М.; Л.: Госэнергоиздат, 1942.-Т. 2,634 с.

31. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. — Л.: Изд-во АН СССР, 1933. 472 с.

32. Летников Л.В. Теория дифференцирования с произвольным указателем.- М.: Математический сборник, 1868, т. 3, С. 1-68.

33. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1938. - 432 с.

34. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.1. М.: Мир, 1980.

35. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. — М.: Физматгиз, 1962. — 388 с.

36. Минусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Изд-во иностр. лит. 1956.-366 с.

37. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук, думка, 1971.-440 с.

38. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991.-272 с.:ил. ISBN 5-256-00602-9.

39. Нейман JI.P., ДемирчанК.С. Теоретические основы электротехники. — М.: Энергия, 1966.-522 с.

40. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 344 с.

41. Николенко Д.В. Самоучитель по Visual С++ 6. Под ред. А.А. Малышенко. С.-Пб.: Наука и техника, 2001. - 368 с.

42. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. - 368 с.

43. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 560 с.

44. Подбельский В.В. Язык С++: Учеб. Пособие. 5-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

45. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999. - 336 е.: ил. ISBN 5900916-32-4.

46. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных Т-преобразований / Пухов Г.Е. — Киев: Наук, думка, 1988. 216 с. - ISBN 5-12-009311-6.

47. Пухов Г.Е. Аппроксимационные Т-методы моделирования дифференциальных уравнений. Электрон, моделирование, 1984, № 4, - С. 3-9.

48. Пухов Г.Е. Дифференциальный анализ электрических цепей. — Киев: Наук, думка, 1982.-496 с.

49. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. — Киев: Наук. Думка, 1986. — 160 с.

50. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. — Киев: Наук, думка, 1984.-419 с.

51. Пухов Г.Е. Квазикомплексные векторы и их применение в электротехнике. — Техн. электродинамика, 1984, № 4, С. 3—8.

52. Пухов Г.Е. Комплексное исчисление и его применение к расчету периодических и переходных процессов в системах с постоянными, переменными и нелинейными параметрами. — Таганрог: 1956, Т. № 10. — 369 с.

53. Пухов Г.Е. Методы определения функций по их дифференциальным спектрам. Электрон, моделирование, 1987, т.9, №3, С.3-12.

54. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. — Киев: Наук, думка, 1968. 259 с.

55. Пухов Г.Е., Королев Ю.В. Формализация перехода к чебьппевскому базису в дифференциально-тейлоровских преобразованиях // Электронное моделирование. 1988. - Т. 10. №3. - С. 89-91.

56. Светлаков А.А., Васильченко Г.П. Рекуррентный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений большой размерности. — В сб. Корреляционно-экстремальне системы обработки информации и управления. — Томск: Изд-во ТГУ, 1978, вып.З.

57. Симонян С.О. К упрощению вычислительных процедур расщепления линейных динамических систем на основе дифференциально-тейлоровских преобразований // Известия НАН РА и ГИУА 2000. - T.LIII,N3.

58. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Вычисление определителей неавтономных матриц на основе ДТ-формализма // Известия НАН РА и ГИУА. 1999. - T.LII, №1.

59. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Дифференциально-тейлоровская гомотопическая модель систем конечных уравнений // Электронноемоделирование. — 1997. — Т. 19, N 1.

60. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Способ решения линейных неавтономных систем конечных уравнений на основе ДТ-преобразований // Электронное моделирование. — 1997. Т. 19, N 4.

61. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Гюзалян Н.Г. Дифференциально-тейлоровские модели многокритериальных оптимизационных задач. Матер.научно-тех. конф. Ереван, ГИУА, 1998.

62. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г., Корн Т. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

63. Тарасов B.C. и др. Моделирование технологических процессов с распределенными параметрами. Л.: ЛГТИ им. Калинина, 1978. - 79 с.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие для вузов. Изд. 3-е исправленное. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 288 с.

65. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 232 с. - ISBN 5-02-014135-6.

66. Тэлер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. — М.; Л.: Энергия, 1964. — 488 с.

67. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы, — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1952.-271 с.

68. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1976. - 243 с.

69. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Справочник. — Киев: Наук, думка, 1970. — 795 с.

70. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наук.думка, 1972.-743 с.

71. Френкель А. Теория переменных токов. Добавление проф. ЯЛ1. Шпильрейна: «Символический метод Хевисайда»: Перевод с 3-го нем. изд. / Под ред. Я. Н. Шпильрейна. М.; JI.: Госэнергоиздат, 1933. - 474 с.

72. ЦыпкинЯ.З. Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях. — М.: Госэнергоиздат, 1951. — 220 с.

73. Шаммас Н.К. Основы С++ и объектно-ориентированного программирования. К.: Диалектика, 1996. 448 с.

74. Штейнмец Ч.П. Теоретические основания электротехники сильных токов. Спб., 1905. - 307 с.

75. Эфрос A.M., Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков; Киев: Госнаучтехиздат Украины, 1937. — 218с.

76. Юрьев М.Ю. Устанавливающиеся режимы в четырехполюсниках с сосредоточенными и распределенными параметрами на основе операторного метода Хевисайда. М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 203 с.

77. Heauiside О. Electromagnetic Theory. London: Benn. 1922. - Vol. 1-3.

78. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch Solving of Equations of Nonlinear Circuits and

79. Control Systems Basing of Differential Transformations. In "Proceedings of XI International Symposium on Theoretical Electrical Engineering (ISTET)". Linz, Austria, 2001, Volume 1 of 2, P. 329-330.

80. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, Microwave Devices with Invariance Characteristics. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Osaka, Japan, 2001, p. 133.

81. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Phase Invariance p-i-n Diode Attenuator. In "Proceedings of The 11th Conference on Microwave Technique (COMITE)". University of Pardubice, the Czech Republic, 2001, P. 237-239.

82. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Use of Differential Transformations in Modeling of Communication Systems. The EEEE-Siberian Workshop "Modern Communication Technologies" (SIBCOM). Proceedings. Tomsk, 2001, P. 63-67.

83. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, A New Operator For The Electromagnetics Characterization In Time Domain. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Nanjing, China, 2004, p. 189.