автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Разработка метода и средств математического моделирования для анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами

О V ,)

ВИННИЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Халэд Мохашад АОдэль-Рахман Батиха

РАЗРАБОТКА МЕТОДА И СРЕДСТВ ЙАТШШЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ШШИШШШ. ПйРДМЕШШ

05.13.02 - математическое модежфоваике в научных исследованиях

па ссасканиэ ученой степени кандатата технических наук

Винница- 1995

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления Винницкого государственного технического университета

Научный руководатель - кандидат технически! наук,

доцент ЮХИМЧУК C.B. Офяциальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор КАДУК Б.Г. ' кандидат фазико- математически

—---- * ■ TW15 ТТ TI

паут, жшшгио д.fi.

Ведушая организация - Конструкторское 6щх>

"шторм",г.Киев

тз состоится ^ ^ Ф i

I о 48 сев пс

ззседанзо! специализированного ученого совета Д 10.01»03 в Винницком государственном техническом университете (286021, Винница, ул. Хмельницкое шоссе, 95).

С . диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке Винницкого государственного технического университета. Автореферат разослан " 2-8 "_И_ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета

колодный в.в.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Аналитических методов решения нелинейных нестационарных уравнений, описывэвдих поведение соответсгвущего класса систем, на основе которых возможно осуществить анализ их поведения, немного. Эти метода используются для решения задач анализа узкого класса таких систем.При этом даже для решения задач анализа линейных нестационарных систем основная трудность состоит в отсутствии общих методов решения линейных дшИйрвйциальиых уравнений с переменными параметрами. Хотя шеется много различных кэтемзкпеских методов и приемов решения отдельных частных тшов линейных уравнений с переменны?® коэффициентами, однако эти метода не имеют общности и их применение в инженерной практике анализа такого класса систем затруднено.

В случае зз систем, описываешх нелинейными нестационарными уравнениям, получение решения таких уравнений ¡дроводятся, в осповпом, с помощью моделирования на ЭЕМ. При этом, нес?,ютря на значительные достижения з моделировании, по-прежнему актуальной является задача разработки таких методов и средств математического моделирования нелинейных систем с перемявший параметрами, которыэ позволили ба анализировать их поведение.

Цэльа настоящей диссертационной работа является получение математических моделей для решения задачи оценки поведения замкнутых нелинейных систем, работающих в режиме автоколебаний при периодическом характере изменения их параметров и средств, автоматизирующего процесс исследования устойчивости таких систем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следушие основные задачи:

1.Проведен анализ существующих математических методов оценки поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

2.Выбран способ описания поведения нелинейных нестационарных систем, позволяющий решать задачи оценки поведения таких систем.

3.Обобщен метод описывавших функций для различных типовых однозначных нелинейных звеньев автоматических систем

при периодическом характера изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

4 з, обобщен метод ошшващщ функций для различных типовых неоднозначных нелинейных звеньев автоматических систем при периодическом характере изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

5.Получены математические ¡вдели одного класса нелинейных информационно- измерительных систем (ШС), работавдах в режима автоколебаний.

6.Получены математические модели, описывающие поведение рассматриваешго класса систем в пространстве приращений параметров.

7.Получены условия устойчивости рассматриваемого класса нелинейных ЙИС, работающих в режиме автоколебаний.

8.Получена область изменения первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости рассматриваемого класса нелинейных ШС, работащих в рэхше автоколебаний в пространстве пряращэннй параметров.

9.На основании Фурье- интегрального метода (ФИ-метода) разработано устройство, автоматизирущэе процесс анализа поведения .нелинейных нестщаонарнго; систем.

Методы исследовании базируются на использовании теории чувствительности, теории описываших функций, методов решения нелинейных нестационарных уравнений .методов математического моделирования на ЭВМ.

Научная новизна работы. Впервые получены описываащие функции для различных типовых однозначных и неоднозначных нелинейных звеньев при периодическом характере изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования нелинейных систем с переменными параметрами.Получены математические модели, позволяющие решать задачу оценки поведения замкнутых нелинейных ШС, работащих в режиме автоколебаний.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов, доведенных до расчетных инженерных зависимостей и методик при анализе проектируемых или существующих нелинейных нестационарных ШС, работящих в

ре&име автоколебаний.Полученные результаты позволяют решить задачу определения области изменения первичных параметров, при которых сохраняется свойство устойчивости проектируемых систем.

Реализация результатов_работы. Результаты

диссертационной работы были использовании при выполнении проекта Ш2.3/65" Разработка робастных методов анализа нелинейных систем автоматического управления динамическими объектами", финансируемым Государственным фондом фундаментальных исследований Государственного комитета Украины по вопросам науки, техняки и промышленной политики.

На защиту выносятся следующие результата:

¡.Выражении позволяющие определять оппсывавддо функции для различных типовых однозначных нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения их параметров.

2.Выражения 5 позволящзэ определять спзсцЕспдао функций для различных типовых пеоднозначпнх нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения ах параметров.

3.Математические модели дая решения задач оценки поведения замкнутых нелинейных ИИС, работащих в режиме автоколебаний.

4.Структурная схема устройства, автоматизирующего процесс анализа повэдезгя нелинейных нестационарных систем.

Апробация работы . Основные шлозвния диссертационной работы докладаюались автором на 2-й научно-технической конференции стран СНГ "контроль и управление в технических системах " (г.Винница,19ЭЗг.) и на научно-технической конференции с международным участием " Приборостроение-93 и новые информационные технологии" (г.Николаев,1993г.).

Публикации.Основные результаты .работы излоаенн в 4 печатных работах, получено решение о выдаче патента Украины.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения» пяти глав, заключения, списка литературы, вклотащего 144 наименования и приложений. Общий объем работы составляет 133 страниц машинописного текста,содержащего 36 рисунок и 3 таблицы. Объем приложений составляет ПО страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены актуальность и новизна исследований, сформулирована цель работы, основные решаемые в диссертации задачи и метода, обеспечивающие достижение поставленной цели.

В первой главе проведен обзор математических методов анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами, динамика которых описывается в классе функций Ляпунова и в спектральной области,а так же анализируются методы линеаризации нелинейных моделей систем, приведена постановка задачи исследования.

Рвссмотрвшшв в работы мэтодн оценки устойчивости нелинейных нестационарных систем с помощью функций Ляпунова, спектральных методов з методов линеаризации являются, в некотором смысле, классическими методами. Они пригодны для исследования устойчивости систем, параметры которых незначительно отклоняется от расчетных или номинальных значений.

Однако коэффициенты дифференциальных уравнений нелинейных нестационарных систем, описывавдие их динамику, зависят от численных значений коэффициентов усиления, постоянных времени, коэффициентов демпфирования, ширины зоны нечувствительности, других параметров звеньев, входящих в структурные схемы систем. При атом численные значения таких параметров и, следовательно, коэффициента систем дифференциальных уравнений меняются с течением времени как в силу естественных причин ( например, старение радиоэлементов ), так и под воздействием неконтролируемых возмущений. В этом случае исследователи имеют дело с возмущенным движением, но начальные условия систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику исследуемых систем, не изменяются. Следовательно, требует решение неклассическая задача оценки устойчивости систем, которую в принципе нельзя решить используя модели систем в виде функций Ляпунова, спектральные модели и методов линеаризации. Кроме того, рассмотренными методами не решается задача определения такого диапазона изменения первичных параметров системы, при которых сохраняется свойство устойчивости нелинейных нестационарных систем.

Во второй главе выбран метод моделирования,

позволяющий решать задачу анализа поведения нелинейных нестационарных систем, основанный на методе анализа систем в пространстве приращений параметров и разработан алгоритм моделирования поведения нелинейных нестационарных систем в этом пространстве.

В настоящее время решается задача определения устойчивости рассматриваемого класса систем в пространстве состояний путбм получении зависимости (I),

Y(X(t),P(t),t,t0), (I)

при решении соответствующего нелинейного нестационарного уравнения, отстающего поведение таких систем.

В (I) x(t)- конечномерный вектор входного или управляющего воздействия; Р(t)— конечномерный вектор первичных параметров системы; t- текущее время; tQ- момент начала янялиза поведения систем,

В работе предлагается решать задачу определения устойчивости анализируемых систем путём анализа зависимости (2),

д Y(X(t),P(t),t,t0) д P(t)

(2)

определенной при решении линейного нестационарного уравнения, которое получается из исходного нелинейного нестационарного уравнения с использованием аппарата функций чувствительности.

Анализ зависимостей вида (2) дает возмоаность оценить влияние изменения первичных параметров P(t) на координата пространства состояний системы Y(t). Кроме того, эти зависимости позволяют строить аналоги фазовых портретов нелинейных систем, исследование вида которых даЭт возможность делать вывод об устойчивости нелинейных нестационарных систем, а также определить область изменения первичных параметров, при которой сохраняется условия устойчивости.

В работах профессора Мокина Б.И. и доцента Юхамчука C.B. разработан метод решения задачи оценки поведения нелинейных систем с переменными параметрами, которой основан на методике перехода от описания нелинейных нестационарных систем в пространстве переменных состоянии к описанию е5 поведения в пространстве приращений параметров с помощью аппарата функции чувствительности.

Исполъзуя полученные результаты, в работе разработав алгоритм моделирования поведения нелинейных нестационарные систем в пространстве приращений параметров.

В третьей главе обобщен метод описывающих функций для решения задач математического моделирования нелинейных нестационарных систем, получены выражения, определяшиэ описывающие функции типовых нестационарных однозначных а неоднозначных нелинейностей.

Хорошо известно, что при получении зависимостей (2) для случая разрывных статических характеристик нелинейных звеньев, входящих в структурную схему, неизбежно появляются обобщенные функции, что затрудняет практические применение получаемых результатов. Для преодоления этого, в работе предложено обобщение описыващих функций для основных типовых однозначных и неоднозначных нелинейностей, получены соответствующие аналитические выражения, в предположении, что параметры нелинейных звеньев изменяются по гармоническим законам. Такие изменения возникают при воздействии электромагнитных помех на электронные схемы. Кроме того, такоЗ закон изменения параметров позволяет использовать полученные результаты при линейном законе изменения параметров или изменении параметров, описываемых степенным рядом, содзржщям элементы с нечетным степеням.

Так, для нелинейного звена типа "нелинейность с гистерезисом и зоной нечувствительностью" получены аналитические выражения для описыванцях функций следующего

х

- агсзШ 22)(-§~ - 1))- з(л[(-§- - ■ 1 Г/ П , * - агсз1п гг)~

))- з(л[(-§- - 1)агсзЫ &,]]-

(3)

я(А,ь,с,г)= —- (V гР) -

т-Л ■ С

%А

-9« (% - arcsin £г) - — 1) arcsin Z^JJ +

+ —- Uef(-g- + Díic - arcsin Z0))-

+ i) L l ш 2 i

_ eos+ d arcsin z,)]^ (4)

где A - амплитуда входного сигнала; w - его круговая частота;

с0-первичшй параметр срабатывания реле; тс0~ первичный параметр отпускания рэле; и0- первичный выходной сигнал релейного звена ; Ь, с, П - параметры возмущения,

с0 + с sin ü t

Z* — - f «I LÍ,

А г 1

Т?г»тгаг пдпоцофт\ци ор'лто тэ/лпитлт'отта ^гч

параметры нелинейного элемента являются постоянными. Это значит, что Ь - с - t - ü - О, и если подставить эта значения в выражения (3) и (4}, то ты подучзм выражения, определяющие классические описывающие функции.

В четвертой главе разработаны математические модели для решения задач анализа поведения одного класса замкнутых нелинейных ШС, работающих в режиме автоколебаний.

Обобщенную структурную схему ШС для измерения мэханичесяих величин, работающих в режиме автоколебаний можно представить в виде, показанном на рис.1, где ПУ -подвижный узел; НЗ - нелинейное звено; ЧЭ - чувствительный элемент; ПС - подвижная система; ДП - датчик положения; УПУ -усилительно-преобразующее устройство; ЭК - электронное ключевое устройство; СИЭН(Т) - стабилизированный источник электрического напряжения (тока); КП - компенсирующий преобразователь.

Учитывая, что динамические свойства ИИС в основном определяются параметрами ПУ представляющего собой, как правило, колебательное звено, дифференциальное уравнение, описывающее движение ИИС, запишем в виде :

(^р2 + Вр + D)x = Fm - Рш , (5)

где А,- масса или момент инерции ПС; В - коэффициент демпфирования; D - жесткость подвеса ПУ; х - линейное или

угловое перемещение ПУ; Рш , входное и компенсирующее воздействия.

Входное воздействие ?вх= К^ увх>, где Кдд коэффициент преобразования ЧЭ.

Компенсирующее воздействие с учетом наличия нелинейного звена в контуре и динамических характеристик КП, например, магнитно-электрического типа, определяется выражением :

^кп = к'ф {Т?Р + 1)- гда к'= 2дц Яупу Еш-

Ф (х,рх)~ функция, описывающая нелинейное звено,Яда,,К^-

коэффяцненты преобразования соответствупщх элементов и

звекьэз ИЙС; Т2 - постоянная времени КП.

Для системы, изображенной на рис.1, получено нелинейное нестационарное уравнение, описывапцие е§ динамику. Используя зто уравнение, в работе получено описание анализируемого класса нелинейных нестационарных ИИС в выбранном ранэе пространстве приращении параметров,которое имеет следующий над:

а и ду ах де 7-^----х - ей , (6)

3 а и с = - р 2 й и с;

аР йхг

3 й иъ _ = - р 2 1»*

дс М дс

й иъ dydE.de - 7-^ - —--— х - ей*. (7)

в тл+ Л. + 8 + -гг чил.ъ.с) где р = —3—-¡- , 7 =-,

ОА Ф ОА Ф

—Г1

С + Ка{А,г,Ъ,с) ^ _ у0 К^

2 2 дил,Ъ,с)~ определяются выражениями (3) и (4),

дх

и =--функция чувствительности выходного сигнала к

с дс dx

изменении параметра с нелинейного элемента,

функция чувствительности выходного сигнала к

параметра Ь нелинейного элемента.

Анализ исходного уравнения и уравнений (6), (7), позволил получить достаточные условия асимптотической устойчивости исследуемой системы в виде неравенств следувдего вида:

Ъ < [(2ТЛВ + В) -

%А

(2, - 22)]

ТЕЛ

(8)

где а2 =

ы

1)

П

соз (—— 1)(х - агсзЫ Е2)

Г. п . .11 1 Г Г. о

соэ'^-ъ- - т; агса1П&л>\1 + + ^ ? ^ соз|

+ 1)>

* (тс - сгазЫ 2г)

- соз

I* Ц)

1) агсз1п(1^)

В 2Ьо г г,— ~ ~ ^Г I 2

-Г5 1

+ /1 - 21 I

, О)

гдэ = ти

<-5- -1>

в«п[( 0

ш 1)(% - агсзСл. 2г)

- Г, о л - „ 1 1 Г Г п " 31гг[Нг - сгсатщщ - + } ^ + 1)«

0)

« (и - агсз1п 2г)|- + 1) агсз1п{21^.

Ь <

% А ш

11,2 ^ + гл,^! А^ш

^ - г а^тлв -

ГМ ..

Г

Г Г

(¿,л - ь0) + глл г.,л ^у т - ¿0- + у 1 - ъл

,11

ио)

Решение системы неравенств (8)+(10) позволяет получить область изменения первичных параметров системы, при которой сохраняется свойство асимптотической устойчивости рассматриваемого класса систем.

На основании полученных соотношений (8+10) и связи параметров элементов исследуемой структурной схемы проведен анализ полученной области изменения параметров прецизионных ИИС для измерения механических величин, работающих в рекиме автоколебаний, при изменении спектров входного сигнала и возмущения. На рисунках 2 + 5 показаны некоторые области

устойчивости исследуемой системы при различных отношениях спектра возмущений и спектра входного сигнала.

Правильность полученных результатов подтверждена математическим моделированием с помощью специального пакета прикладных программ.

Разработана методика и алгоритм проектирования устойчивых прецизионных ИКС для измерения механических величин, работающих в рв&имэ автоколебаний. На рис.6 приведена блок-схема разработанного алгоритма проектирования устойчивых нелинейных ИИс для измерения механических величин, работающих в режиме автоколебаний.

В пятой главе разработана структурная схема устройства, автоматизирующего процесс анализа поведения нелинейных квэзнстэцжшарвых систем. Для нелинейных нестационарных систем, параметры которых незначительно отклоняются от номинальных значений, возможно использование, для решения ведачз- анализа таких систем, методов линеаризации и метода

ЗЯМОТЮЖЯНННХ КОЭффЕЦИбНТОВ=

Известно, что для таких динамических систем, находящихся под воздействием сигналов случайного характера справедливо уравнение Винера-Хопфа. Решая это уравнение с помощь® ФИ- метода получено, что:

ъг

,1=о,1,2,...л

1 а1 (II)

с7

£2(200,)=- -^,1= 1,2,...п

где Р(1ш1 )и §()- соответственно, значения вещественной и мнимой частотных характеристик таких динамических систем на частотах оа = = 1,г,...,п, а^Ь^.с^-коэффициенты

разложения в ряда Фурье входного и выходного сигнала.

Используя частотный критерий устойчивости Найквиста можно использовать-выражение (II) для разработки устройства, автоматизирующего процесс анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами. Обобщенная структурная схема такого устройства, решавшего задачу определения устойчивости рассматриваемых систем, приведена на рис.7. На данное устройство подучено решение на выдачу патента Украины.

-13-

Основше результаты работы:

1.Получены выражения, позволяющие определять описывавдие функций для различных типовых однозначных нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения их параметров.

2.Получены выражения, позволяющие определять описывающие функций для различных типовых неоднозначных нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения их параметров.

3.Получены математические модели для решения задач определения области изменения первичных параметров, позволяющая оценить поведения замкнутых нелинейных ИИС, работащих в решке автоколебаний.

4.Разработана структурная схема устройства» автоматизирующего процесс анализа поведения нелинейных нестационарных систем.

В приложении представлены выводы основных формул для определения описнващах функций и распечатки программ, которые использовались при решении поставленных задач.

По теме диссертации опублтеовящ следующие работы: I. Юхикчук С.Б., Бат!ха Х.М. Визначения сбласт! сПйкост! прециз!йних давач!в механ1чних величин, працюючих в реаим! автокод!зань// В1сник ВШ.-1994.- JS3.-C.7-11.

2. Юхнмчук C.B., Батиха Х.М. Обобщение кетода гармонической линеаризации для исследования нелинейных электромеханических систем с переменными параметрами // Известия высш.учеб.зав.Сер.Электромеханика.-1994.- Ж-2.С.9-15.

3. Юхнмчук C.B., Батиха Х.М. Обобщение метода описывающих функций для исследования нелинейных систем автоматического управления с неоднозначными нелинейностями // В сб. материалов ЕГК стран СНГ "Контроль и управление в технических системах".- Винница.- 1993. - С.76.

4. Батиха Х.М., Юхнмчук C.B. Обобщение метода гармонической линеаризации для математического моделирования технических объектов // В сб. материалов ЕГК с международным участием "Приборостроение-93 и новые информационные технологии".- Винница- Николаев. 1993.- С.35-36.

5. Юхимчук C.B., Батиха Х.М. Устройство для определения устойчивости линейных систем управления / Решение о выдаче патента Украины от 10.08.95 года по заявке # 93006169 с приоритетом 16.07.93 г.

Рис.1. Обобщенная структурная схема исследуемой ИИС

Ж*)

C(t)=o -с з:1п(Ш; С(и=оп+о

К-- --- -

ВГ1>уВ'

в 4

1 2 3 4 5 6 са),в

Рис. 2. Область первичных параметров, в которой сохраняется

А = о ^

г.)

АС

у(0

Блок определения Я^СО и «¿(-с)

--5-;--

Блок определения а0,Ь0,ар Ъ7, сг,г=1,2,..к

свойство устойчивости при

Блок определения

Р(1 ад,), 5(1«,) и Р(о)

-?-

С(-Ь)=о0-о вдл(01;; С(^)=о0+о з1п(01;;

Блок сравнения

Логическое устройство определения устойчивости

Рис.7.Обобщенная структурная схема устройства для определения устойчивости 5 б с а), в нелинейных систем

Рис. 3. Область первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости при = 1

С(1;)=с -сузгпдац С(-Ь)=о0+о впгфи

6 С(±).В

Рис. 4. Область первичных параметров, в которой сохраняется

Рнс. 5. Область первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости при -7Т- = 3,33

Рис.6. Блок- схема алгоритма проектирования устойчивых нелинейных ИИС для измерения механических величин, работающих в режиме автоколебаний.

-16-Анотац1я

Хадед Мохаммад Абдедь-Рахман Бат1ха. Розробка методу т засоб1в математичного моделюванкя для анал!эу повед1нк нел!н!йних систем Í3 зм!нними параметрами.

Дисертац!я на здобуття наукового ступеня кандидат. техн!чних наук за спец1альн!стю 05.13.02- математичн! моделювання в наукових досл!дженнях. В1нницький державни; техн!чний ун!верситет, В1нниця. 1995.

Захищаеться 5 наукових роб!т. як! м!стять теоретичн досл!дження для визначення облает! зм!ни первинних параметр!! нел!н!йних нестацЮкарнкх систем, за яких збер1гаетьсч íxHSt ст!йк!сть при пер!одичному характер! 3míhh параметр!í Узагальнений метод огшеуючях ФункШй для р!зних типови:

л пиг*-рт-|эиим V то t«oAm.^nunnMi(v т»р « * ». * "•¿•"'.fTS'" -гм: •

- ^s-¡ÜC» - --•н-.i-v- -.-Ii— „о.... * WS^ - w<4 . v/wj/wuviuiii

структурна схема пристрою, що автомзтизуе процес анал!з: повед!нки келШйиих нестац!оиарних систем.

ÀffiiOTÂTION

Khaled Mohammad Abdel Rahman Bat ilia. Mathoma t loa' modelling methods and hardware development for bohavio] analysis non-linear system with variable parameters.

The dissertation for competition of Doctor of Philosophy in field of technical science in the speciality 05.13.02-mathematical modelling of scientific research, Vinnitsa Stat« Technical University .Vinnitca, 19955 scientific works, which contain theoretical investigation of the determination of variation in non-lineaj non- stationary system parameters which keep up ther« stability for periodical changes parameters Eire beirç supported. The problem of " describing function methoc generalisation for harmonic changes parameters of non-lineai units with one sign and inconclusive static charaoteristic£ is solved. Structural scheme of device, which automatizing process non-linear eyetem with variable parameters behavioi analysis is designed. Клшчевые слова

Математическое моделирование; нелинейные системы; функции чувствительности; описывающие функции; метод] уравниващих операторов; пространство приращений параметров; область устойчивости.