автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Разработка метода и средств математического моделирования для анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами

СП 5§

ВИННИЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Халэд Мохгммад Абдэль-Рэхман Батжа

РАЗРАБОТКА МЕТОДА Я СРЕДСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С НЕРЕШЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

05.13.02 - математическое моделирование в научных исследованиях

Автореферат дйссэртацдг на соискание ученой степени кацднтата технических наук

Винница- 1995

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления Винницкого государственного технического университета

Научный руководитель - кандидат технических наук,

доцент ЮХИМЧУК C.B. Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор НАДУК Б.г. ' кандидат физико- математических

______ * TfTl I ПЛП т* п

Наук, Щ',.пигио д.ь.

Еедушая организация - Конструкторское б^срс

1:Шторм",г.Киев

uuv. х \yja ivjrt ^ ^ ^_

ГООС « ( О

'T. U UV1.» 1&U

зэссдзшси специализированного ученого совете Д 10.01,03 в Винницком государственном техническом университете (286021, Винница, ул. Хмельницкое шоссе, 95).

С . диссертацией моэно ознакомиться в библиотеке Винницкого государственного технического университета. Автореферат разослан " " 1 ^ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета

КОЛОДНЫЙ В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Аналитических методов решения нелинейных нестационарных уравнений, описывавдих поведение соответствущего класса систем, на основе которых возможно осуществить анализ их поведения, нашего. Эти метода используются для решения задач анализа узкого класса таких систем.При этом даже для решения задач анализа линейных нестационарных систем основная трудность состоят в отсутствии общих методов решения линейных даф|©рвщна^ышх уравнений с переменными параметрами. Хотя имеется много различных математических методов з приемов решения отдельных частных типов лшейных уравнений с переменными коэффициентами, однако эта метода нэ имеют общности и их применение в инженерной практике анализа такого масса систем затруднено.

и случае ж систем, описываемых нелинейными нестационарными уравнениями, получение решения таких уравнений проводится, в основном, с помощью моделирования на ЭВМ. При этом, несмотря на значительные достижения в моделировании, по-прежнему актуальной является задача разработки таких методов ж средств математического моделирования нелинейных систем с тгаремввнши пврзметрвнн, которые позволяли бы анализировать их поведение.

Целью настоящей диссертационной работы является получение математических моделей для решения задачи оценки поведения замкнутых нелинейных систем, работающих в режиме автоколебаний при периодическом характере изменения их параметров и средств, автоматизирующего процесс исследования устойчивости таких систем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следушие основные задачи:

1.Проведен анализ существующих математических методов оценки поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

2.Выбран способ описания поведения нелинейных нестационарных систем, позволяющий решать задачи оценки поведения таких систем.

3.Обобщен метод опиенващих функций для различных типовых однозначных нелинейных звеньев автоматических систем

при периодическом характере изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

4 ^Обобщен метод описывающих функций для различных типовых неоднозначных нелинейных звеньев автоматических систем при периодическом характере изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования поведения нелинейных систем с переменными параметрами.

5.Получена математические шдели одного класса нелинейных информационно- измерительных систем (ИИС), работащнх в режиме автоколебаний.

¿.Подучены математические модели, опгсывазщге поведение рассматриваемого класса систем в пространстве приращений параметров.

?.Подучены условия устойчивости рассматриваемого класса нелинейных ШС, работающих в режиме автоколебаний.

8.Получена область изменения первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости рассматриваемого класса нелинейных ШС, работащнх в режиме автоколебаний в пространстве приращений параметров.

9.На основании Фурье- интегрального метода (ФИ-метода) разработано устройство, автоматизирущее процесс анализа поведения нелянейнкх нестадзанярннж систем.

Методы исследовании базируются на использовании теории чувствительности, теории описывавших функций, методов решения нелинейных нестационарных уравнений »методов математического моделирования на ЭВМ.

Научная новизна работы. Впервые получены описывазщие функции для различных типовых однозначных и неоднозначных нелинейных звеньев при периодическом характере изменения их параметров для решения задач математического описания и моделирования нелинейных систем с цаременными параметрами.Получены математические модели, позволявшие решать задачу оценки поведения замкнутых нелинейных ИИС, работащнх в режиме автоколебаний.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов, доведенных до расчетных инженерных зависимостей и методик при анализе проектируемых или существующих нелинейных нестационарных ИИС, работавших в

решмэ автоколебаний.Полученные результаты позволяют решить задачу определения области изменения первичных параметров, при которых сохраняется свойство устойчивости проектируемых систем.

Реализация результатов_работы. Результаты

диссертационной работы были использовании при выполнении проекта Ж2.3/65" Разработка робастных методов анализа нелинейных систем автоматического управления динамическими объектами", финансируемым Государственным фондом фундаментальных исследований Государственного комитета Украины да вопросам науки, техники и промышленной политики.

На защиту выносятся слэдунцяе результата:

1 .Выражения, позволяющие определять ояксывавди® функцви для различных типовых однозначных нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения их параметров.

2.Внряжешя, шзволящзэ определять С22ИСЫ13213ДйЗ фуВКЩоЙ для различных таловых неоднозначных нелинейных звеньев ИКС при периодическом характере изменения их параметров.

3.Математические модели для решения задач оценки поведения замкнутых нелинейных ИКС, работающих в режиме автоколебаний.

4.Структурная схема устройства, автоматязирутацего процесс анализа поведения нелинейных нестационарных систем.

Апробация работы . Оспобнкз положения диссертационной работы докладывались автором на 2-й научно-технической конфференцни стран СНГ "контроль и управление в технических системах " (г.Винница, 1993г.) и на научно-технической конференции с международным участием " Приборостроение-93 и новые информационные технологии" (г.Николаев, 1993г.).

Публикации.Основные результаты .работы изложены в 4 печатных работах, получено решение о выдаче патента Украины.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, вкличавдего 144 наименования и приложений. Общий объем работы составляет 133 страниц машинописного текста,содержащего 36 рисунок и 3 таблицы. Объем приложений составляет 110 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены актуальность и новизна исследований, сформулирована цель работы, основные решаемые в диссертации задачи и метода, обеспечиващие достижение поставленной цели.

В первой главе проведен обзор математических методов анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами, динамика которых описывается в классе функций Ляпунова и в спектральной области,а так а» анализируется метода линеаризации нелинейных моделей систем, приведена постановка задачи исследования.

Рассмотренные в работы метода оценки ус-тойчзвос-ти нелинейных нестационарных систем с помощью функций Ляпунова, спектральных методов и методов линеаризации являются, в некотором сшсле, классическими методами. Они пригодны для исследования устойчивости; систем, параметры которых незначительно отклоняется от расчетных или номинальных значений.

Однако коэффициенты дифференциальных уравнений нелинейных нестационарных систем, описыващие их динамику, зависят от численных значений коэффициентов усиления, постоянных времени, коэффициентов демпфирования, ширины зоны нечувствительности, других параметров звеньев, входящих в структурные схемы систем. При этом численные значения таких параметров и, следовательно, коэффициента! систем дифференциальных уравнений меняются с течением времени как в силу естественных причин ( например, старение радиоэлементов ), так и под воздействием неконтролируемых возмущений. В этом случае исследователи имеют дело с возмущенным движением, но начальные условия систем дифференциальных уравнений, описыващих динамику исследуемых систем, не изменяются. Следовательно, требует решение неклассическая задача оценки устойчивости систем, которую в принципе нельзя решить используя модели систем в виде функций Ляпунова, спектральные модели и методов линеаризации. Кроме того, рассмотренными методами не решается задача определения такого диапазона изменения первичных параметров системы, при которых сохраняется свойство устойчивости нелинейных нестационарных систем.

Во второй главе выбран метод моделирования.

позволяадий решать задачу анализа поведения нелинейных нестационарных систем, основанный на методе анализа систем в пространстве приращений параметров и разработан алгоритм моделирования поведения нелинейных нестационарных систем в этом пространстве.

В настоящее время решается задача определения устойчивости рассматриваемого класса систем в пространстве состояний путЭм получении зависимости (I),

Y(X(t),P(t),t,t0), (I)

при решении соответствующего нелинейного нестационарного уравнения, описывающего поведение таких систем.

В (I) x(t)- конечномерный вектор входного или управляющего воздействия; P(t)- конечномерный вектор первичных параметров системы; t- текущее время; t0~ момент начала анализа поведения систем,

В работе предлагается решать задачу определения устойчивости анализируемых систем путбм анализа зависимости (2),

a Y(x(t),p(t),t,t0)

д P(t)

(2)

определенной при решении линейного нестационарного уравнения, которое получается аз исходного нелинейного нестационарного уравнения с использованием аппарата функций чувствительности.

Анализ зависимостей вида (2) дает возможность оценить влияние изменения первичных параметров P(t) на координаты пространства состояний системы Y(t). Кроме того, эти зависимости позволяют строить аналоги фазовых портретов нелинейных систем, исследование вида которых дабт возможность делать вывод об устойчивости " нелинейных нестационарных систем, а также определить область изменения первичных параметров, при которой сохраняется условия устойчивости.

В работах профессора Мокина Б.И. и доцента Юхимчука C.B. разработан метод решения задачи оценки поведения нелинейных систем с переменными параметрами, которой основан на методике перехода от описания нелинейных нестационарных систем в пространстве переменных состоянии к описанию еб поведения в пространстве приращений параметров с помощью аппарата функции чувствительности.

Используя полученные результаты, в работе разработан алгоритм моделирования поведения нелинейных нестационарных систем в пространстве приращений параметров.

В третьей главе обобщен метод описыващих функций для решения задач математического моделирования нелинейных нестационарных систем, получены выражения, опрвделяшие описывазацие функции типовых нестационарных однозначных и неоднозначных нелинейностей.

Хорошо известно, что при получении зависимостей (2) для случая разрывных статических характеристик нелинейных звеньев, входящих в структурную схему, неизбежно появляется обобщенные функции, что затрудняет практические применение получаемых результатов. Для преодоления этого, в работе предложено обобщение описыващих функций для основных типовых однозначных и неоднозначных нелинейностей, получены соответствующие аналитические выражения, в предположении, что параметры нелинейных звеньев изменяются по гаршническнм законам. Такие изменения возникает при воздействии электромагнитных помех на электронные схемы. Кроме того, такой закон изменения параметров позволяет использовать полученные результаты при линейном законе изменения параметров или изменении параметров, описываемых степенным рядом, содэраащам влвтат с ввчетшш степеням.

Так, для нелинейного звена типа "нелинейность с гистерезисом и зоной нечувствительностью" получены аналитические выражения для описыващих функций следующего

вида:

а(А,Ъ,с,г) =

' 5*1 ^ + ^ У * ( ТЗГ^т ■

^ 4 * а) *'

X

[з!п[(1С - агсзШ 2г)(-§-- - 1)]- з£п[(-§- - л)агсвЫ &,]]

; - агсзЬг г2)~

[% - агсзЫ - 1

(3)

-9* (% - crcain Z2) - cos£(~— 1) orcsin Zzjj +

+ - rcosf(-^- + 1)(% - orcsin Zn) 1-

+ i) L l ш - J

- cos(<-§- + 1> arcsin 2i]]}, (4)

где A - амплитуда входного сигнала; « - его круговая частота;

с0-первичный параметр срабатывания реле; тс0~ первичный параметр отпускания рэле; Ь()- первичный выходной сигнал релейного звена ; о, с, О - параметры возмущения,

с0 + с sin Q t

- ; Zr,= ш Z^

Если параметрические эоэмущення отсутствуй??, то параметры нелинейного элемента являются постоянными. Это значит, что Ь - с - í = Q = О, и если подставить эта значения в выражения (3) н (4), то ты получим выражения, определяющие классические описыващие функции.

В четвертой главе разработаны математические модели для решения задач анализа поведения одного класса замкнутых нелинейных. ЖС, работающих в режиме автоколебаний.

Обобщенную структурную схему ИКС для измерения механических величин, работающих в разные автоколебаний можно представить в виде, показанном на рис.1, где ПУ -подвижный узел; НЗ - нелинейное звено; ЧЭ - чувствительный элемент; ПС - подвижная система; ДП - датчик положения; УНУ -усилительно-преобразующее устройство; ЭК - электронное ключевое устройство; СИЭН(Т) - стабилизированный источник электрического напряжения (тока); КП - компенсирующий преобразователь.

Учитывая, что динамические свойства ШС в основном определяются параметрами ПУ представляющего собой, как правило, колебательное звено, дифференциальное уравнение, описывающее движение ШС, запишем в виде :

(А,?2 + Bp + D)x = FBX - , (5)

где А,- массе или момент инерции ПС; В - коэффициент демпфирования; D - жесткость подвеса ПУ; х - линейное шш

угловое перемещение ПУ; Р^ , Р^- входное и компенсирующее воздействия.

Входное воздействие Рвх= К^д увх>, где К^ коэффициент преобразования ЧЭ.

Компенсирующее воздействие с учетом наличия нелинейного звена в контуре и динамических характеристик КП, например, магнитно-электрического типа, определяется выражением :

Рш = КФ (х.рх)/ (Т2р +1), где к'= Ет Куцу Е^; Ф (х,рх)~ функция, описыващая нелинейное звено,,2упу,¿кп~ коэффзциеяты преобразования соответствующих элементов и звеньев ИИС; Т2 - постоянная времени КП.

Для системы, изображенной на рис.1, получено нелинейное нестационарное уравнение, описывающие еб динамику. Используя это уравнение, в работе получено описание анализируемого класса нелинейных нестационарных ШС в выбранном ранее пространстве приращении параметров,которое имеет следующий вид:

• 3 а и с ■■ - р 2 (1 и с - 7 а и с ат ах де ■ х - ей , С (6)

ш? аг2 (И ас ас

3 й = - р 2 а г^ Т С2 ^ ат в2 де г - ахь, о "(7)

~ як як

К

где р = 1

В тл+ А, + в +

ОАФ ОА ф

—1*1

В + йа(А,1,Ь,с) _ У0 ^д £ — * | Д —

ОД 2 VI

аЫД.Ь.с), определяются зыраженязш (3) и (4),

и ---функция чувствительности выходного сигнала к

с ас ая

изменению параметра с нелинейного элемента,

функция чувствительности выходного сигнала к

параметра Ь нелинейного элемента.

Анализ исходного уравнения и уравнений (6),(7), позволил получить достаточные условия асимптотической устойчивости исследуемой системы в виде неравенств следующего вида:

г п т %А

Ь < [(2Т,В + В) (&, 2,)] ,

где ¡\.2

(-

[ Ч

(-— - 1)(1с - огсз (гс 2г)

Г. п ... 11 1 Г Го

соз^-^- - Л) агсзгтц^ф + у-ц ^ ^ ^ соз|(-=р + 1}»

* (-л; — агсзЫ Z,¿)

- 1) агсзЫ(£,)

гь,

в _ г/ТТТ? + /т

~тг

%А

I1

л

1 J

, О)

где .V,

(Л- _ •,)

к ш "

(-§- - 1)(х - агсзЫ

- 81П1 {-7;

1) агсз1П(21)

О!

Г Г О

+ и»

(1С - агсзЫ + 1) агсзСя(&, .

Ь <

1С А ы

^К А^ + 24,21,1 А-^о [

[ «1

1*2 - 2 -

4^4

Г^й

со

К£>л - й,

- г Г

ОТ

+ ■¿А1г1 д ^У 1 - г2" + у 1 -

0)

Решение системы неравенств (8)*(10) позволяет получить область изменения первичных параметров системы, при которой сохраняется свойство асимптотической устойчивости рассматриваемого класса систем.

На основании полученных соотношений (8+10) и связи параметров элементов исследуемой структурной схемы проведен анализ полученной области изменения параметров прецизионных ШС для измерения механических величин, работавших в режиме автоколебаний, при изменении спектров входного сигнала и возмущения. На рисунках 2 + 5 показаны некоторые области

х

устойчивости исследуемой системы при различных отношениях спектра возмущений и спектра входного сигнала.

Правильность полученных результатов подтверждена математическим моделированием с помощью специального пакета прикладных программ.

Разработана методика и алгоритм проектирования устойчивых прецизионных ИКС для измерения механических величин, работающих в регяме автоколебаний. Ка рис.5 приведена блок-схема разработанного алгоритма проектирования устойчивых нелинейных ИКС для измерения механических величин, работающих в режиме автоколебаний.

В пятой главе разработана структурная схема устройства, звтоматгоирущего процесс анализа поведения нелинейных квэзистационарньк систем. Для нелинейных нестационарных систем, параметры которых незначительно отклоняются от номинальных значений, возможно использование» для решения аадачк аналшза таких систем, методов линеаризации и метода

зямотюшнннх козф|ицйвнтов =

Известно, что для таких динамических систем, находящихся под воздействием сигналов случайного характера справедливо уравнение Ванера-Хопфа. Решая это уравнение с помощью ФИ- метода получено, что:

1 а1 (II)

с7

£3(1(01 )=- -^,1= 1,2,...XI

где Р(1ш1)и 0(1ш1)- соответственно, значения вещественной и мнимой частотных характеристик таких динамических систем на частотах и = = 1,2,...,п, с^-коэффициенты

разложения в ряда Фурье входного и выходного сигнала.

Используя частотный критерий устойчивости Найквиста можно использовать-выражение (II) для разработки устройства, автоматизирующего процесс анализа поведения нелинейных систем с переменными параметрами. Обобщенная структурная схема такого устройства, решающего задачу определения устойчивости рассматриваемых систем, приведена на рис.7. На данное устройство получено решение на выдачу патента Украины.

-13-

Основныв результаты работы:

1.Получены выражения, позволяющие определять описывающие функций для различных типовых однозначных нелинейных звеньев ШС при периодическом характере изменения их параметров.

2.Получены выражения, позволяющие определять описыващие функций для различных типовых неоднозначных нелинейных звеньев 1ЖС при периодическом характере изменения их параметров.

3.Получены математические модели для решения задач определения области изменения первичных параметров, позволяющая оценить поведения замкнутых нелинейных ШС, работающих в режиме автоколебаний.

4.Разработана структурная схема устройства, автоматизирующего процесс анализа поведения нелинейных нестационарных систем.

В приложении представлены выводы основных формул для определения описывающих функций а распечатки программ, которые использовались при решении поставленных задач.

По темэ диссертации опубликованы следующие работы: I. Юхимчук С.Б., Бат1ха Х.М. Визначения сбласт! сПйкост! прециз!йних давач!в механ!Чних величин, працюючих в ревим! автокод!зань// В1сник ВШ.-1994.- ЛЗ.-С.7-11.

2. йхимчук C.B., Ватиха Х.М. Обобщение метода гармонической линеаризации для исследования нелинейных электромеханических систем с переменными параметрами // Известия выси.учеб.зав.Сер.Электромеханика.-1994.- Ж-2.С.9-15.

3. Юхимчук C.B., Ватиха Х.М. Обобщение метода описывающих функций для исследования нелинейных систем автоматического управления с неоднозначными нелкнейностями // В сб. материалов НТК стран СНГ ''Контроль и управление в технических системах".- Винница.- 1993. - C.7G.

4. Батиха Х.М., Юхимчук C.B. Обобщение метода гармонической линеаризации для математического моделирования технических объектов // В сб. материалов НТК с международным участием "Приборостроение-93 и новые информационные технологии".- Винница- Николаев. 1993.- С.35-36.

5. Юхимчук C.B., Батиха Х.М. Устройство для определения устойчивости линейных систем управления / Решение о выдаче патента Украины от 10.08.95 года по заявке Я 93006169 с приоритетом 16.07.93 г.

[ ПУ

ИЗ

*вх|

чэ

ЛРу

ПС

дп

УШ

эк

кп

кп

Рис.1. Обобщенная структурная схема исследуемой ШС

s(t)

АС

У»)

Блок определения Я^СС) и R^ii)

Т

12 3 4 5 6 са),в !а0,Ь0,аг!, Ь7, 1,2,..к Рис. 2. Область пешичннх

параметров, в которой сохраняется

свойство устойчивости при

ш

0,5

Блок определения * i> Т~

Блок определения Р(ЫЛ), «(Юц) и Р(о)

C(t)=o0-o BiniQt; C(t)=o0+o sin(iit;

Блок сравнения

Логическое устройство определения устойчивости

Рис.7.Обобщенная структурная у л схема устройства для ЛА- определения устойчивости б с а), в нелинейных систем

Рис. 3. Область первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости при

SL

ш

= 1

C(t)=o -onBin(Qtj C(t)=on+o ein(flt)

1 2 3 4 5 6 C(t).B

Рис. 4. Область первичных параметров, в которой сохраняется

лолйлдгол t/ninnibn

О

Рис. 5. Область первичных параметров, в которой сохраняется свойство устойчивости при = 3,33

Рис.6. Блок- схема алгоритма проектирования устойчивых нелинейных ИИС для измерения механических величин, работающих в режиме автоколебаний.

-16-Анотац1я

Халед Мохаммад Абдель-Рахман Бат!ха. Розробка методу те засоб!в математичного моделювання для анал!зу повед!но нелШйних систем 1з зм!нними параметрами.

Дисертац1я на здобуття наукового ступеня кандидата техн!чних наук за спец!альн!стю Сб. 13.02- математичне моделювання в наукоэих досл1дяеннях. В1нницький дераавний техн!чний ун1верситет, В1нниця. 1995.

Захищаеться 5 науксЕИХ роб!т. як! м1стять теоретичн! досл1дження для визначення облает! зм!ни первинних параметр!в hsj]îн1йних нестаЩонарних систем, за яких збер!гаеться 1хня cTîKKîcTb при пер!одичному характер! зм!ни параметр!в Узагальнений метод огшеуючих функШй для р!зних типових

Г\ пил^цэ tiuti V Т-а иол т»».*|г\г»т1'* ММ»» V »» ♦ г* * «ч»» D —.Г2Г,TT5" 1

f w w««<_t )»•«:•■ ± ^ w-w о w < * y^^wu^biiu

структурна схема пристрою, що автомзтизуе процес анал!зу повед!нки келхн!йних нестац!онарних систем.

AffiiOÎAÏION

Khaled MohaJTimad Abdel Rahman Batiha. Mathematical modelling methods and hardware development for behavior analysis non-linear system with variable parameters.

The dissertation for competition of Doctor of Philosophy in field of technical scienoe in the speciality 05.13.02-fuathematioal modelling of scientific research, Vinnitsa State Teohnioal University .Vinnitoa, 1995.

5 scientific works, which contain theoretical investigation of the determination of variation in non-linear non- stationary system parameters which keep up there stability for periodical changes parameters are being supported. She problem of " describing function method generalisation for harmonic changes parameters of non-linear units with one sign and inconclusive static characteristics is solved. Structural scheme of device, which automatiaing process non-linear system with variable parameters behavior analysis is designed. Ключевые слова

Математическое моделирование; нелинейные системы; функции чувствительности; описывавдие функции; метод уравнивающих операторов; цространство приращений параметров; область устойчивости.