автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели с сопряженно операторной структурой для стационарных задач механики сплошной среды

Введение

1. Математические модели с сопряжённо операторной структурой для стационарных задач

1.1. Стационарная задача теплопроводности.

1.2. Статическая задача теории упругости.

1.3. Задача о прогибе тонкой пластины.

2. Построение разностных схем для математических моделей с сопряжённо операторной структурой

2.1. Дискретная модель стационарной задачи теплопроводности

2.1.1. Одномерная задача.

2.1.2. Двумерная задача.

2.2. Дискретная модель статической задачи теории упругости.

2.3. Дискретная модель задачи о прогибе тонкой пластины

2.3.1. Одномерная задача.

2.3.2. Двумерная задача.

2.4. О сходимости дискретных сопряженно операторных моделей.

3. Обоснование экономичного прямого метода для дискретных моделей с сопряжённо операторной структурой 108 3.1. Прямой метод для задачи теплопроводности

3.1.1. Одномерная задача.

3.1.2. Двумерная задача.

Содержание

3.2. Прямой метод для статической задачи теории упругости.

3.3. Прямой метод для задачи о прогибе тонкой пластины

3.3.1. Одномерная задача.

3.3.2. Двумерная задача.

4. Обоснование метода друсторонних приближений для спектральных задач

4.1. Формулировка исходной и вспомогательных задач

4.2. Построение и исследование эквивалентных спектральных задач.

4.3. Вспомогательные утверждения.

4.4. К теории возмущений для спектральных задач с вырожденным оператором.

4.5. Обоснование асимптотического разложения

Решение абсолютного большинства современных практических задач невозможно без применения методов математического моделирования, органично сочетающих в себе многие достоинства теории и практики. Неудивительно поэтому, что методология математического моделирования переживает этап бурного развития и охватывает все новые области жизнедеятельности человечества - от разработки и оптимизации сложных технических комплексов до анализа природных, экономических и социальных процессов.

Математическое моделирование какого-либо объекта, явления состоит в создании, исследовании и применении триады: модель - алгоритм - программа.

Создав триаду мы получаем инструмент, позволяющий установить необходимые свойства и характеристики изучаемого о бъ-екта, явления, работая не непосредственно с самим объектом, а с его моделью.

Расширение круга решаемых практических задач и все возрастающая их сложность приводит к тому, что они больше не поддаются исследованию традиционными теоретическими методами а натурный эксперимент становится все более дорогостоящим а зачастую опасным или просто невозможным. В таких условиях метод математического моделирования становится фактически единственной возможностью решения сложнейших современных задач науки и техники. Поэтому любое совершенствование метода в целом или любой его составляющей по прежнему остается и будет оставаться в дальнейшем актуальной задачей.

Целью настоягцей работы является построение и исследование первых двух компонент триады - модель - алгоритм - применительно к стационарным задачам механики сплошной среды. А именно:

• исследование структуры математических моделей основных стационарных задач математической физики;

• построение дискретных аналогов математических моделей стационарных задач механики сплошной среды, сохраняющих структуру исходной модели;

• разработка новых экономичных прямых методов решения разностных задач;

• обоснование нового метода получения двусторонних приближений к собственным числам эллиптических операторов.

Адекватная математическая модель любого физического явления непременно основана на:

- законе (законах) сохранения,

- уравнении состояния,

- определяющих соотношениях, которые всегда можно трактовать как некоторые операторные уравнения в соответствуюш;их гильбертовых пространствах:

Ьги = £ (0.0.1)

У) = Кд, (0.0.2) д = Ки, (0.0.3) и е и{к) С Я*, те и{Ь) с я.

Здесь и {К), и{и) области определения операторов Л Я, Я* гильбертовы пространства вектор-функций «? и ветственно.

Характерным, обш;им, для исследуемого в работе кла матических моделей (линеаризованные задачи механик ной среды) является следуюш;ее: операт,ор Ь сопряжён по Лагранжу оператору К. (0.0.4) и Х а и, соотсса мате-и сплош

Это позволяет, используя соотношение Ь = К*, записать уравнения (0.0.1)-(0.0.3) в терминах только одного дифференциального оператора - К {К ~ числовая матрица)

0.0.5) ии = (0.0.6) д = К и, (0.0.7) операторном виде

0 -Е К' ' 0 '

-Е К 0 Я 0 (0.0.8)

В* 0 0 Л и

1/]

Именно для таких моделей мы будем в дальнейшем использовать название - модель с сопряжённо операторной структурой или сопряжённо операторная модель.

Свойство моделей (0.0.4) является ключевым, но в последнее время оно, как правило, не принималось во внимание при изучении математических моделей для рассматриваемого класса задач. Его игнорирование зачастую порождало неоправданные затраты как при исследовании модели, так и при построении численных методов ее реализации. Напротив, привлечение (0.0.4) позволяет супцественно проще, компактно описать основные свойства задачи и сконструировать новые экономичные вычислительные алгоритмы для ее решения. Это обстоятельство и послужило для автора основной причиной проведения исследований математических моделей с сопряжённо операторной структурой, результаты которых представлены в настоящей работе.

Проиллюстрируем, например, как решается вопрос о единственности в задаче (0.0.8).

Пусть [%и,(1,и решение однородной задачи (0.0.8). Умножая обе части уравнения (0.0.8) с / = О скалярно на его решение гу, д, и]А, имеем

-д + Ки, т)А Кд, д)А -Ь {К*ги, и)ЛЛ = 0.

Учитывая, д = Яи, ь) = Кд и (Л*г«, г*)лл* = (ги, Лгг)лл, немедленно получаем

Кд, я), = 0.

В силу положительной определённости оператора К, из этого следует д = 0. Далее, используя (0.0.6), (0.0.7), приходим к гу = О, и Ей — 0. Наконец, окончательный результат формулируется следующим образом:

- компоненты д решения задачи (0.0.8) определяются единственным образом,

- компонента и решения задачи (0.0.8) определяются с точностью до элемента ядра оператора Я.

Этой иллюстрацией далеко не исчерпывается всё богатство приложений, связанных с использованием сопряжённо операторной структуры исходной математической модели. Одним из самых важных следствий такой структуры модели является сопряжённо факторизованная структура операторов, возникающих в различных её реализациях - постановках. Поясним сказанное более подробно.

В отличие от широко распространенного мнения, что задачи механики сплошной среды состоят в определении какой-либо одной, отдельно взятой компоненты, из уравнения ей соответствующего, автор стоит на точке зрения о необходимости полного решения задачи: решение задачи заключается в определении всех, входящих в её формулировку неизвестных величин - т, д, и.

И в этом смысле математическая модель (0.0.8) является исходной для задач математической физики. В то же самое время, есть два принципиально различных пути, каждый из которых характеризуется своей последовательностью определения компонент д, и.

Первый путь связан с первоначальным нахождением компоненты и. Он предполагает последовательное исключение д из (0.0.6) с помощью (0.0.7) и ги из (0.0.5) с помощью (0.0.6). В результате получаем уравнение для компоненты и :

ЯГКЕи = (0.0.9)

После определения и из (0.0.9) остальные компоненты решения, ю и д, находятся из (0.0.6), (0.0.7).

Такую, наиболее распространённую до недавнего времени, схему реализации математической модели (0.0.8) и получаемое при этом уравнение (0.0.9) можно назвать постановкой в терминах и. Для каждой конкретной задачи механики сплошной среды ей соответствует вполне определённое название, связанное со спецификой задачи. Например:

• для стационарной задачи теплопроводности - постановка в температуре;

• для статической задачи теории упругости - постановка в перемещениях;

• для задачи о прогибе тонкой пластины - постановка в прогибах.

Альтернативный, менее распространённый, путь решения задачи (0,0.8) - постановка в терминах т - состоит в первоначальном определении ги и д. В силу взаимной однозначности отображения (0.0.6) конкретный выбор компоненты в данном случае не имеет значения. Существенным в этом подходе является то, что этап д и может быть реализован лишь в случае разрешимости операторного уравнения (0.0.7), что приводит к условию вида д,ф), = {К-'т, ф), = О, лф:1Гф = 0. (0.0.10)

Условие (0.0.10) выделяет в Н подпространство Щ в котором разрешима задача (0,0,7).

В принятых обозначениях постановка в терминах ги формулируется следующим образом: в подпространстве Нх определить компоненту ги, удовлетворяющую уравнению

К1Г'ш = ЦТ. (0.0.11)

Так же, как и в предыдущей постановке, для каждой конкретной задачи механики сплошной среды ей соответствует определённое название:

• для стационарной задачи теплопроводности - постановка в потоках;

• для статической задачи теории упругости - постановка в напряжениях;

• для задачи о прогибе тонкой пластины - постановка в моментах.

Следует отметить, что видимо впервые, именно для задачи теории упругости, по существу в сформулированном выше виде, но в других терминах, постановка в напряжениях была предложена А.Н. Коноваловым [26]. Наиболее полное ее исследование содержится в монографии [28].

Таким образом, обе постановки приводят к задачам с операторами, имеющими вполне определенную структуру - два крайних сомножителя в их представлении сопряжены друг другу. Операторы такого сорта мы будем называть сопряжённо факто-ризованними или операторами, обладающими сопряжённо факто-ризованной структурой. Подчеркнём, что исходной является структура модели а сопряжённо факторизованная структура операторов А = К*КК в (0.0.9) тл Р = КК* в (0.0.11) автоматически ей порождается.

Очевидным следствием сопряжённо факторизованной структуры оператора является его симметричность и положительность. Как правило, именно эти следствия и только они (причем их обоснование требовало отдельного рассмотрения) ранее принимались во внимание при изучении и численной реализации математических моделей для стационарных задач механики сплошной среды. Тем самым, изначально полностью игнорировалась исходная природа (структура) оператора задачи а использовались лишь ее следствия.

Известны трудности, связанные с построением разностных аналогов для дифференциальных постановок и разработкой вычислительных алгоритмов для нахождения их решения. Стремление получить аппроксимацию оператора из дифференциальной постановки, имеющую те же свойства, что и оператор исходной задачи (симметричность и положительность), породило огромное количество подходов к построению разностных схем, основанных на различных принципах: метод интегральных тождеств, интегро-интерполяционный метод, метод аппроксимации квадратичного функционала, метод сумматорных тождеств, вариационно-разностные методы (метод Ритца и Галеркина) и так далее. Не имея возможности перечислить здесь все работы, посвященные этому вопросу, отметим лишь некоторые, наиболее известные, монографии в которых приводится их описание и обоснование: [22], [27], [28], [63], [64], [66], [81]-[83], [112

В то же самое время, реализация общих принципов, сформулированных в [31] - [35], [38] - [40], применительно к (0.0.5)-(0.0.7) позволяет получить дискретную модель

0.0.12) (0.0.13) д' = Книл, (0.0.14) обладающую, так же как и исходная дифференциальная, сопряженно операторной структурой. Основополагающим при построении (0.0.12)-(0.0.14) является то, что аппроксимация, оператора К*, сопряженного по Лагранжу к К, определяется из соотношения вида

Ел и\ и;'А)! = (^ Щ тА)2 , (0.0.15) то есть как оператор сопряженный к КА]

После этого разностные аналоги операторов для постановки в терминах г*, (0.0.9):

0.0.16) и для постановки в терминах ии, (0.0.11):

0.0.17) приобретают сопряжённо факторизованную структуру и, следовательно, автоматически имеют необходимые свойства: симметричность, положительность.

Более того, наличие сопряженно операторной структуры у дискретной модели (0.0.12)-(0.0.14) и сопряжённо факторизован-ной структуры у операторов в (0.0.16), (0.0.17) позволяет построить и обосновать новый экономичный прямой метод решения

ЭТИХ задач, суть которого состоит в следующем. Соотношения (0.0.12)-(0.0.14) можно рассматривать либо как факторизацию уравнения (0.0.16), либо, что, видимо, более правильно, как один из вариантов метода ортогональных проекций:

Найти проекцию частного решения уравнения (0.0.12) на подпространство, являющееся ортогональным дополнением к кегЩ относительно скалярного произведения, порожденного симметричным положительно определенным оператором КЛЛ.

В обоих случаях нахождение решения исходной разностной задачи сводится к последовательному решению уравнений (0.0.12)-(0.0.14). Определение же гиА, дА, из (0.0.12)-(0.0.14) для рассматриваемого класса задач реализуется элементарно.

Еще одно эффективное приложение в настоящей работе сопряженно операторная структура моделей нашла в спектральных задачах. Эквивалентность (с точностью до кегЩ ) задач на собственные значения для операторов Аи = Щ КлКн и Рд = НнЩ позволяет обосновать новый, основанный на методе фиктивных областей, алгоритм получения двусторонних приближений.

Кроме приведенных выше приложений, непосредственно относящихся к данной работе, возможности, связанные с использованием сопряженно операторной структуры моделей задач механики сплошной среды, широко представлены в работах А.Н. Коновалова (смотри список цитированной литер атуры), среди которых в этой части изложения особенно выделим [41], [42 .

В первой из них приводится и обосновывается сопряженно операторная модель динамической задачи теории упругости в постановке "скорости-напряжения". Принципиальным в этой статье является тот факт, что при доказательстве полной консервативности построенной для этой модели разностной схемы нигде в явном виде не используется конкретный вид операторов Ни и Лл. Существенно лишь то, что конкретная аппроксимация опорного оператора Н в силу (0.0.15) порождает конкретную аппроксимацию сопряженного оператора Н*. Это позволяет на сеточном уровне сохранить структуру дифференциальной модели и структуру интеграла энергии задачи. в [42] для эллиптических операторных уравнений в конечномерных эвклидовых пространствах предложен и обоснован новый класс экономичных итерационных методов нахождения нормального обобщенного решения. Основная идея состоит в переходе от задачи с сопряженно факторизованным оператором к системе уравнений, имеющей сопряженно операторную структуру. Для этой системы удается построить классы сходящихся экономичных итерационных методов, которые не выводят из подпространств разрешимости. Именно этим подпространствам принадлежат искомые нормальные решения.

Здесь, несомненно, следует отметить, что сопряжённо фак-торизованную структуру дифференциальных операторов эллиптического типа, по крайней мере, с начала 50-х годов использовал М.И. Вишик, [10], [11], при исследовании краевых задач. В этих работах вводится и изучается понятие оператора "типа градиента О и оператор типа дивергенции О*, соответствующие главной самосопряженной части системы (т.е. удовлетворяющие условию О*О = су ( [11], стр. 615). Здесь С главная самосопряженная часть сильно эллиптической системы порядка 2 т. Именно привлечение сопряжённо факторизованной структуры позволило в [10], [11] показать, что для нулевой краевой задачи (производные от искомой функции до порядка т — 1 обращаются в нуль на границе) для сильно эллиптической системы Ьи — / и нулевой краевой задачи для сопряженной системы дифференциальных уравнений Ь* V = д справедливы три теоремы, аналогичные известным теоремам Фредгольма и, как следствие, получить исчерпывающие результаты относительно существования и единственности решений сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений.

Работа того же автора [12], в которой подробно излагаются и развиваются результаты, опубликованные им в заметках [13 -15], посвящена изучению задачи Коши

Ьи = Л{г) л -ь Б(г) ~ ^ С(г)и = к(г),

0.0.18) du и

0.0.19) t=0

Основные результаты в [12], к которым следует отнести выделение классов корректности задачи (0.0.18)-(0.0Л9), доказательство теорем существования и единственности решения и исследование непрерывной зависимости этого решения от правой части Л и от начальных условий мо? получены так же в предположении сопряжённо факторизованной структуры оператора A{t) = С*А{1;)С, где A{t) симметричный, положительно определенный и ограниченный оператор. Особо отметим, что результаты [12] непосредственно могут быть применены к широкому кругу смешанных краевых задач для систем дифференциальных уравнений вида д А-1 и и и = О 1 < Гй < п, и „ дх1л. дх1лл „

Б Б где Ат, Вг, Сз - дифференциальные операторы соответственно порядков ш, г, 3, с коэффициентами, зависящими от ж и А, и — (г«1 (ж,/),., )а, Л = (/г1(ж,А), .,/г^(а;^) значение

Л = -таж(ш,г,- четное число, Б - боковая поверхность цилиндра Q = В X (О < г < I), О С Н".

На дифференциальном уровне сопряжённо факторизованная структура операторов использовалась также в некоторых приложениях при изучении вариационных методов решения краевых задач в монографиях французских математиков [62], [74]. В первой из них такая структура возникает в качестве примера при построении операторов вариационного исчисления. Во второй - при рассмотрении вопроса о получении апостериорных оценок ошибки приближения, полученного в результате применения вариационных методов для численного решения скалярных эллиптических краевых задач. В частности, в [74] для рассматриваемого класса задач (скалярные уравнения) наряду с постановкой в терминах и формулируется альтернативный путь их решения и приводится операторная постановка в терминах ги.

Среди работ, непосредственно примыкающих к предмету исследования, необходимо отметить монографии [20], [119], [120] и статьи [3], [135 .

В работе [20] предпринята, видимо впервые, попытка систематизировать результаты исследований по представлению краевых задач математической физики в операторной форме. Фактически в ней обосновывается и используется сопряженно факто-ризованная структура оператора стационарной задачи теплопроводности в постановке в температурах. Аналогичный результат, но уже для статической задачи теории упругости для постановки в перемещениях, представлен в [119 .

Несколько другую форму записи задач математической физики в сопряженно факторизованном виде Н.С.Бахвалов и Г.М.Кобельков использовали при построении и исследовании экономичных итерационных методов, смотри, например [1], [25 .

Что касается идеологии, используемой в настоящей работе при построении дискретных аналогов сопряжённо операторных моделей, то по существу ее следует рассматривать как развитие а в ряде случаев как реализацию новых возможностей тех идей, которые заложены в [57]-[61], [85]-[89]. Здесь уместно отметить также работу А.Л. Крылова [50], посвященную аналогичной тематике.

Предложенный в [57] способ построения конечноразностных аналогов краевых задач математической физики заключается в следующем. Первоначально строятся разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка: grad, div, rot. Эти аналоги определяются (смотри [57]), "так, чтобы для них имели место аналоги свойств и формул непрерывного случая и, в частности, формулы": J fi divvdQ J

Vnda, j(gradip, grad f)dn + J <p Af dQ = J л л d a , n SI s ф J rotn vda =

Vgds,

0.0.20)

0.0.21)

0.0.22) здесь 0 - односвязная область, 5 - ее граница, п - нормаль к 5, 5 - замкнутый контур, а сг - поверхность, натянутая на

5. После этого, разностные аналоги операторов второго порядка строятся путем соответствующей суперпозиции разностных операторов первого порядка. В дальнейшем, в [58], при формулировке метода ортогональных проекций применительно к разностным аналогам сильно эллиптических систем порядка 2 т : оказывается, что вместо привлечения формул (0.0.20)-(0.0.22) достаточно определить Сл, как сопряженный к оператору Си

Такой метод дискретизации, видимо, был предопределен успехами, которые достиг М.И. Вишик в [10]-[11] при исследовании краевых задач для сильно эллиптических систем. Его применение позволило не только перенести полученные на дифференциальном уровне результаты на разностный уровень, что само по себе очень важно, но и впервые получить целый ряд новых результатов, непосредственно относящихся к дискретной задаче. Среди таковых сам автор отмечает следующие: "Методом ортогональных проекций строятся системы разностных уравнений, обладающие регулярным замыканием вычислительного алгорифма (см. [95]); после симметризации они превращаются в системы разностных уравнений 2т - го порядка; таким образом, при выводе систем уравнений 2т - го порядка не использовалось понятие локальной аппроксимации. Для решения этих систем получены оценки через проекционные операторы от правых частей уравнений, исследованы свойства операторов, обратных к операторам разностного градиента и расходимости, показано, что они обладают свойством равномерной вполне непрерывности и правильно приближают соответствующие операторы точной задачи. Употребленные здесь понятия введены СЛ. Соболевым [95]. Они, на наш взгляд, ценны тем, что ими акцентируются структурные свойства (курсив автора) разностных операторов разбираемых задач и характер приближения сеточного решения к точному решению. . Используя эти понятия, удалось показать сильную сходимость в ИА2"*А(А) приближенного решения к точному в случае, если /(х) - правые части уравнений - принадлежат а2(а)-" Добавим к этому то, что в [59], по-видимому впервые, рассматриваются полуцелые точки разностной сетки а в [61], в отличие от используемых ранее граничных разностных операторов, аппроксимирующих локально граничные условия и существенно зависящих от характеристик границы области, вводится понятие слабого удовлетворения граничному условию на сеточном уровне, которое существенно упрощает исследование дискретной задачи.

Решающую роль в [57]-[61] играет операторная запись разностных аналогов для grad, div, rot, которые для прямоугольных сеток вводятся при помощи непосредственной аппроксимации входящих в них частных производных конечными разностями. Вместе с тем, как справедливо отмечается в [87]: ". преимущество операторного представления разностных схем становится наиболее ощутимым в случае произвольных косоугольных сеток, при этом особую роль играют вопросы согласования свойств разностных операторов, обеспечивающих консервативность и полную консервативность соответствующих схем."

Именно вопросу построения дискретных аналогов, GRAD, DIV, ROT, основных дифференциальных операторов на произвольных не ортогональных сетках посвящен цикл работ школы A.A. Самарского [85]-[89]. В этих работах окончательно сформировался метод опорных операторов. Результаты исследований, проведенных в [85]-[89], суммированы и развиты в монографии 90] (смотри, также, цитированную в ней литературу). Основными этапами метода опорных операторов являются:

- задание способа дискретизации скалярных и векторных величин;

- выбор и аппроксимация опорного оператора;

- выбор способа согласования и аппроксимация соответствующих интегральных выражений;

- аппроксимация определяемых операторов на основе выбранных условий согласования.

Под согласованием разностных операторов GRAD, DIV, ROT, так же как и в [57], понимается выполнение для них разностных аналогов некоторых соотношений векторного анализа имеющих место на дифференциальном уровне таких, как А p{u,n)dS = J (fi div и dV + У (л7 g'racf (p) dV S V V j){n, [uxw])dS = j{w,rot u) dV — J(«, rot w) dV. 5 V V

Здесь S - поверхность, ограничивающая объем V, n ~ внешняя нормаль к 5, w и w - вектор-функции а <Л - скалярная функция. Принципиальным при таком подходе является то, что выполнение требований консервативности разностных схем для уравнений высших порядков, построенных на основе операторов GRAD, DIV, ROT, есть следствие согласованности этих операторов. При систематизации результатов, полученных при исследовании метода опорных операторов, его авторы в монографии 90] заменили условие согласованности на условие сопряженности определяемого оператора опорному.

Как уже отмечалось выше, предложенный и обоснованный в данной работе новый экономичный прямой метод можно интерпретировать как один из вариантов метода ортогональных проекций. Абстрактная конструкция этого общего и имеющего чрезвычайно широкую область применения метода подробно изложена в монографии С.Г. Михлина [66]. Первое же его применение к задачам математической физики связывают обычно (смотри, например, [9], [49] ) со статьей Г. Вей ля [139], в которой даны разложения гильбертовых пространств в ортогональные суммы, соответствующие задачам Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

Дальнейшее развитие метод ортогональных проекций нашел в исследованиях, которые провел М.И. Вишик [7]-[9] в области эллиптических дифференциальных уравнений. В этих работах им были указаны ортогональные разложения, соответствующие краевым задачам в произвольной области для общего эллиптического уравнения Lu = О порядка 2т, при некоторых дополнительных условиях приведено доказательство непрерывной дифференцируемости обобщенных решений и указаны краевые условия, которым соответствуют найденные ортогональные разложения.

СЛ. Соболев в [93]-[94] применил метод ортогональных проекций при изучении системы уравнений в частных производных, не являющейся системой Ковалевской: ди г* X л] — дгайр -\- f (1гуи = д, где неизвестные вектор и и скалярная функция р заданы в произвольной гладкой области трехмерного пространства, ограниченной поверхностью 8 в. к орт параллельный оси г. Для этой системы ставится либо задача Коши и = Щ, 0 либо смепханная задача и тогда дополнительно задаются краевые условия

Р = О или и =0. п

Рассмотрев соответствующие ортогональные разложения, автору удалось доказать существование решений этих задач и непрерывную зависимость решения от начальных данных, причем задача Коши в неограниченной области решается им в явном виде.

Для несколько более общей задачи, в которой оператор [ихк заменен на Ап, где А матрица с ограниченными коэффициентами, В.И. Лебедев в [59]-[60] построил дискретный аналог и доказал теоремы разложения на два взаимно ортогональных пространства для функций, заданных в сеточной области. Опираясь на эти теоремы, автор применяет к решениям конечно-разностной схемы метод ортогональных проекций и переносит на них все теоремы, доказанные СЛ. Соболевым в [93]-[94]. Полученные результаты позволяют доказать сходимость в илл'л приближенных решений к точным при соответствующей гладкости правой части и начального условия. Примечательным в

59]-[бО] является то, что существование обобщенных решений исходной системы и их дифференциальные свойства показываются путем исследования свойств решений ее разностного аналога а не методом развитым СЛ. Соболевым, который с успехом мог бы быть здесь применен.

В связи с методом ортогональных проекций отметим также работы З.Х, Рафальсона [80] и С.Г. Крейна [49], в которых изучается возможность его применения к бигармоническому уравнению и задачам гидродинамики, соответственно.

В проблеме построение двусторонних приближений в спектральных задачах, которой посвящена заключительная часть работы, основную трудность представляет построение приближений снизу. Для аппроксимации собственных чисел сверху наиболее известны метод Ритца [66], [113 имеющий широкую область применения и отличающийся высокой точностью, [126 130], [131] и разностный метод Пойя [5], [6 .

Для построения приближений с недостатком рядом авторов предлагались методы, основанные на различных принципах и в той или иной мере успешно решающие задачу. Наиболее известными из них являются:

- метод промежуточных операторов:

Этот довольно общий метод, описание которого можно найти в монографиях [23], [66], был предложен А. Вайнштейном. В формулировке и исследовании алгоритма деятельное участие приняли Н. Ароншайн, посвятивший этому ряд работ (смотри литературу в [23]), Н. Везли и Д. Фокс [125], Л.Т. Позняк [77], [78 и Г. Фикс [130].

Для реализации метода промежуточных операторов необходимо вначале сконструировать симметричный положительно определенный оператор В, для которого спектр известен и справедливо неравенство В < А, где А исходный оператор. Далее строится последовательность операторов А„, п ~ 1,2,.,/г,., таких, что

В < Ап< А„+1 < А.

Тогда собственные числа операторов А„, возрастая при увеличении п, будут стремиться снизу к соответствующим собственным числам оператора А.

Основным недостатком метода Вайнштейна является необходимость построения оператора В с известными собственными числами и собственными элементами, что, например, для задач с эллиптическим оператором второго порядка, можно сделать лишь в том случае, когда область, в которой поставлена задача является либо прямоугольником, либо эллипсом. - метод Фикера:

Этот метод, [66], [128], [129], имеет более узкую область применения, но не требует построения меньшего оператора с известным спектром. В нем в качестве приближения снизу к к— тому собственному числу Л)ь оператора А выбирается величина

МЛ) - а Аг„- + хл: 1=1

Здесь 1/ некоторое число, Лда ¡ = 1,п приближения по Ритцу к первым п собственным числам оператора А, а значение /«/(А) может быть вычислено с помош;ью любой ортонормированной полной системы элементов (рк, к = 1,2,. следующ;им образом оо

Наибольшую трудность при проведении вычислений по методу Фикера представляет подсчет /г/(А). Для этого необходимо предварительно найти величины А~'А'(ркА Однако этот путь, по всей видимости, не может считаться приемлемым, поскольку для того, чтобы гарантировать получение приближений к собственным числам снизу, он требует решения большого количества задач с эллиптическим оператором. - метод Веинбергера:

Этот разностный метод построения приближений с недостатком для собственных чисел дифференциальных операторов эллиптического типа был предложен Вейбергером [136 138 и основывается на использовании известного факта: собственные числа эллиптических операторов (краевые условия Дирихле) убывают с возрастанием размера области в которой рассматривается задача. Большой вклад в развитие этого метода внесли Дж. Херш [133], Б. Хаббард [134] и Дж.Р. Каттлер [132 .

Несомненным достоинством метода Вейнбергера является простота вычислительной схемы. Однако наряду с этим методу присущ ряд недостатков. Один из них низкая точность - получаемые приближения снизу отличаются от истинных собственных чисел на величину порядка шага сетки (причем оценка получена в предположении выпуклости области). Другим существенным недостатком, сужающим область применимости метода, является то, что его можно использовать только для задач с краевыми условиями Дирихле.

- метод сдвига спектра:

Метод в абстрактной формулировке предложен Ю.А. Кузнецовым [52], [54]. Он отличается универсальностью в том смысле, что для построения приближений к собственным числам снизу необходимо к некоторому преобразованному оператору применить тот же метод, что и в большинстве случаев используется для получения приближений сверху - метод Ритца. Таким образом, с точки зрения решения спектральных задач линейной алгебры, в обоих случаях мы приходим к одной и той же задаче.

Свое обоснование для дифференциальных операторов эллиптического типа метод сдвига спектра получил в работах [53], ;108]-[111].

К недостаткам этого подхода следует отнести то, что для конструирования приближений снизу необходимо применение метода Ритца к дифференциальному оператору вдвое большего порядка, чем исходный. Это накладывает дополнительные ограничения на выбор используемых конечных элементов. Кроме того, в принципе, не исключена возможность получения для некоторых собственных чисел отрицательных приближений снизу хотя сами они заведомо положительны.

Систематическому изучению автором математических моделей, обладающих сопряжённо операторной структурой, положила начало работа [31], выполненная им совместно с А.Н. Коноват-ч и о ловым. В ней, при изучении краевой задачи теории упругости, операторы постановок в перемещениях и в напряжениях (впервые) были представлены в сопряжённо факторизованном виде. Дальнейшее развитие теория математических моделей с сопряжённо операторной структурой и численных методов их реализации получила в цикле статей [32]-[41], [9б]-[106

Настоящая работа, к краткому изложению которой мы переходим, основана на результатах, опубликованных в [31]-[33], 96]-[10б], и является законченным исследованием математических моделей для стационарных задач механики сплошной среды, обладающих сопряжённо операторной структурой.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучаются линейные математические модели классических стационарных задач механики сплошной среды: стационарной задачи теплопроводности (первый параграф), статической задачи теории упругости (второй параграф), задачи о прогибе тонкой пластины (третий параграф). Показано, что математические модели всех этих задач обладают сопряжённо операторной структурой вида где вектор-функции и, ш принадлежат некоторым гильбертовым пространствам - Н* и Н, вводимым в каждом конкретном случае специальным образом. Первое равенство в (0.0.23) - (0.0.25) соответствует закону сохранения, второе уравнению состояния а третье - определяющим соотношениям. Основополагающим здесь является тот факт, что оператор в законе сохранения сопряжен по Лагранжу оператору в определяющих соотношениях.

Для описания пространств разрешимости вводятся подпространства

Теперь для каждой из изучаемых в этой главе задач механики сплошной среды могут быть сформулированы две альтернативные постановки, соответствующие двум возможным подходам к их решению:

Е'и) = /, -ш = Кд, д = Ки,

0.0.23) (0.0.24) (0.0.25) |и (и,у)№ = о, VI; : Яу = о | . постановка в терминах и в подпространстве Щ найти такую вектор-функцию и, что выполняется уравнение

К*ККи= £

0.0.26) постановка в терминах т в подпространстве Щ найти такую вектор-функцию ии = Кд, что выполняется уравнение

КК*п) =

0.0.27)

Такие постановки приводятся только в первом параграфе для задачи теплопроводности (для остальных задач они могут быть дословно повторены). При этом уравнение (0.0.26) - постановка в температурах - является ничем иным как классическим уравнением теплопроводности, а (0.0.27) называется постановкой в потоках.

Принципиальное отличие постановок (0.0.26), (0.0.27) состоит в различной последовательности определения неизвестных параметров модели. Применение той или иной постановки при численной реализации модели связано, как правило, с конкретным типом краевых условий.

Таким образом, показано, что сопряжённо факторизованная структура операторов задач в каждой из постановок, является непосредственным следствием сопряжённо операторной структуры исходной математической модели. Показаны также, становящиеся очевидными при таком подходе, следствия сопряжённо факторизованной структуры операторов в (0.0.26), (0.0.27) - их симметричность и положительность.

Далее, в первой главе изучены задачи на собственные значения, соответствующие постановке в терминах гу :

ЯНтАид, гиАКд;

0.0.28) и постановке в терминах и :

Я*КЯи г/г*.

0.0.29)

Для задач (0.0.28), (0.0.29) доказаны теоремы, описывающие ядра операторов ВАКК, КЯ* и устанавливающие связь между этими спектральными задачами:

Теорема 1.

Для того, чтобы в спектральной задаче (0.0.28) собственное число

V было отлично от нуля необходимо и достаточно, чтобы ш Е НА.

Теорема 2.

Для того, чтобы в спектральной задаче (0.0.29) собственное число

V было отлично от нуля необходимо и достаточно, чтобы и Е Н*.

Теорема 3.

Если и Е Щ, а гю Е Нх, то собственные числа задач (0.0.28) и (0.0.29) совпадают, а собственные элементы связаны соотношением и = Ягю.

Отметим, что сопряжённо факторизованная структура оператора постановки в температурах для стационарной задачи теплопроводности, без детального исследования порождающей её модели, использовалась в работах [96]-[98], [100]. Полное обоснование сопряжённо операторной структуры математической модели для этой задачи проведено в [38]-[40], откуда и взята большая часть материала для первого параграфа этой главы. Материалы же второго и третьего параграфов базируются на результатах, полученных в [31]-[33], [101], [104.

Вторая глава диссертации посвящена построению дискретных аналогов для сопряженно операторных математических моделей (0.0.23) - (0.0.25), представленных в первой главе. Их построение осуществляется исходя из общих принципов, сформулированных в [31] - [35] и обеспечивающих сохранение структуры модели на дискретном уровне. Основные этапы дискретизации задачи (0.0.23) - (0.0.25) описываются следующим образом.

По аналогии с дифференциальным уровнем, определяются конечномерные гильбертовы пространства сеточных вектор-функций и со скалярными произведениями ( • , • )н ' (.)н*' соответственно. После этого за опорный выбирается оператор аппроксимация Ни : Н1 ИНА, аппроксимация, Щ : Ни Щ, сопряженного по Лагранжу к К, К

Н* —АНи строится его оператора Я* : Н Н*, определяется из соотношения то есть как оператор сопряженный к Ед;

- строится некоторая аппроксимация Ки оператора К. и за дискретную модель принимается

К1 гоА = / (0.0.30) = (0.0.31)

Яни'', (0.0.32)

Как уже отмечалось выше, такой подход к конструированию разностных схем следует рассматривать как дальнейшее развитие идей, реализованных в [57], [58], [85] - [90 .

Итак, по построению, независимо от конкретно выбранной аппроксимации, Яи, опорного оператора Я дискретная модель (0.0.30) - (0.0.32), очевидно, наследует основное свойство исходной математической модели (0.0.23) - (0.0.25) - сопряжённо операторную структуру.

Далее, в соответствии с непрерывным случаем, вводятся сеточные подпространства Нги С Яд, С Щ : будем говорить, что сеточная вектор-функция гюА = КидА принадлежит подпространству Нцг С Яд, если

Ч\РХ = = 0> Ур" : Щр" = О, а сеточная вектор-функция принадлежит подпространству Яаа С Щ, если « а \, =0, ЧуА : ЯИУА = О, и формулируются две альтернативные постановки, соответствующие двум возможным подходам к численному решению задачи (0.0.30) - (0.0.32):

- постановка в терминах и : найти сеточную вектор-функцию Е ЩА, удовлетворяющую уравнению

К1КкКниА а А. (0.0.33)

После определения остальные неизвестные - и гуА, находятся из соотношений (0.0.31)-(0.0.32);

- постановка в терминах гу : в подпространстве Н\и С найти сеточную векторфункцию = КиЯА такую, что

ЕнЩ-шА = Е А / \ (0.0.34)

После определения мзА сеточная вектор-функция находится из уравнения (0.0.32).

Сопряжённо операторная структура дискретной модели автоматически приводит к тому, что разностные аналоги ПАКАЯк-, КнП% операторов В* КК и ЕЯ* приобретают сопряженно фак-торизованную структуру, что, в свою очередь, гарантирует их симметричность и положительную полуопределенность. К достоинствам используемого подхода следует также отнести:

- при построении разностных аналогов эллиптических операторов необходимо аппроксимировать дифференциальные операторы вдвое меньшего порядка, чем порядок уравнения;

- инвариантность относительно системы координат, в которой рассматривается исходная задача (при рассмотрении криволинейных координат необходимо вместо обычной аппроксимировать ковариантную производную, разностные аналоги которых с исчерпывающей полнотой исследованы в [38] - [40], [122], [123] ).

Проведенных выше формальных построений достаточно, чтобы сформулировать утверждения справедливые для спектральных задач на дискретном уровне. Мы приведем их здесь в абстрактном, и, тем самым, справедливом для любой из рассмотренных во второй главе конкретных задач виде.

Теорема 4.

Для того, чтобы в спектральной задаче

ПъК'шА = ЛgЛ = (0.0.35) соответствующей постановке в терминах ги, (0.0.34), собственное число Л было отлично от нуля необходимо и достаточно, чтобы тА е Нхи.

Теорема 5.

Для того, чтобы в спектральной задаче

ЩКнЕниА = Л м л (0.0.36) соответствующей постановке в терминах и, (0.0.33)Л собственное число Л было отлично от нуля необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 6.

Если Е ЩА, а 11}а Е то собственные числа спектральных задач (0.0.35) и (0.0.36) совпадают, а собственные элементы отвечающие одному и тому эюе собственному числу Л О, связаны соотношением = ЩтА. Для доказательства теорем достаточно провести рассуждения аналогичные тем, что были проведены для спектральных задач на дифференциальном уровне в первом параграфе первой главы.

В последнем, четвертом, параграфе показана устойчивость абстрактной сопряжённо операторной модели (0.0.30) - (0.0.32), при условии положительной определенности (с константой, не зависяш;ей от параметра сетки) оператора ЩКАЕн, из постановки в терминах и. Это условие выполнено для всех рассмотренных во второй главе дискретных сопряжённо операторных моделей. Тем самым проведенные исследования показывают устойчивость этих моделей и, в конечном итоге, сходимость с первым порядком по к приближенного решения (уоллилУ к точному в норме, порождаемой скалярными произведениями в пространствах Ни-, Щ

В третьей главе предлагается и обосновывается новый экономичный прямой метод получения численного решения дискретных задач, построенных в предыдуш;ей главе. Общим для этих задач является то, что все они имеют сопряженно операторную структуру (0.0.30) - (0.0.32). Идея метода состоит в последовательном, поэтапном, нахождении гиЛ из уравнения (0.0.30), затем из соотношений (0.0.31) и, наконец, из (0.0.32). Прежде чем переходить к формулировке предлагаемого алгоритма опишем круг вопросов, возникаюш;их при решении каждой из задач (0.0.30)-(0.0.32) в отдельности и связанных с существованием и единственностью решений этих задач.

Решение (0.0.30) супцествует, по теореме Фредгольма, тогда и только тогда, когда правая часть, ортогональна ядру сопряженного к Щ оператора. Это условие разрешимости для (0.0.30) мы будем считать выполненным. Будем также считать, что оператор Щ, в (0.0.30) действует из пространства Ни в пространство меньшей размерности Щ. Это характерно для рассматриваемого нами класса задач. Таким образом, число неизвестных в (0.0.30) превосходит число уравнений и, в соответствии с классической теоремой линейной алгебры (смотри, например, [17], [51], 124]), любое решение уравнения (0.0.30) представляется в следу-юш;ем виде Л г=1 где гЛо какое-либо частное решение (0.0.30) а л а, (рА есть

1=1 общее решение однородного уравнения (0.0.30), то есть линейная комбинация с произвольными числами аА, г = 1,У элементов какого-либо базиса, (рА, г = 1,У, ядра оператора НА. Здесь и далее У = (Ит1кег ¡а .

Подставляя (0.0.37) в (0.0.31) иучитывая существование обратного к Ки оператора, получаем У д'* = т' = Кл' «Л5 + Е -лд' <Р1- (0-0.38)

Далее, в соответствии с исследуемым алгоритмом, мы должны по из (0.0.32) определить иА. Однако, в (0.0.32) мы имеем ситуацию противоположную той, что была в (0.0.30) - число неизвестных меньше числа уравнений. По теореме Фредгольма уравнение (0.0.32) будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член, дл, ортогонален любому элементу ядра сопряженного к Дд оператора. Поскольку базис ядра Щ есть (рА, г = 1,У, то мы приходим к: дА , <рА),А =0, л = ТГу, или, учитывая (0.0.38), к системе линейных алгебраических уравнений относительно величин а,- : у

5] (КА;' , 95,.)я, = - (АТ' < , <РШ, л = 1 Т , (0.0.39)

1=1 которые до настоящего момента были произвольными.

Матрица системы уравнений (0.0.39) есть матрица Грамма линейно независимой системы элементов (рА, г = 1,У и потому симметрична и невырождена (более того, вследствии положительной определенности она также положительно определена), что обеспечивает однозначную разрешимость (0.0.39). Вычислив из (0.0.39) значения аА, г = 1,У, мы однозначно определяем из (0.0.37)-(0.0.38) компоненты гул, дА решения задачи (0.0.30)-(0.0.32) а компонента находится из уравнения (0.0.32), которое разрешимо вследствии специального выбора величин «г, г = 1,У.

Проведенные выше рассуждения позволяют сформулировать в окончательном виде предлагаемый прямой метод решения разностной задачи (0.0.30)-(0.0.32):

1) Находим какое-либо частное решение, гУр, уравнения (0.0.30);

2) Выбрав какой-либо базис, (рА, г = ядра оператора Щ, из системы линейных алгебраических уравнений (0.0.39) определяем г = 1,У;

3) Подставляя найденные а{ в (0.0.37), однозначно вычисляем компоненту тА;

4) Из уравнения (0.0.31) определяем дА;

5) С вычисленным на предыдущем этапе значением дА решаем уравнение (0.0.32) и находим иА.

Описанный алгоритм можно трактовать как вариант метода ортогональных проекций, ф ормальную схему которого можно найти, например, в [66]:

Найти проекцию частного решения WQ уравнения (0.0.30) на подпространство пространства Ни, являющееся ортогональным дополнением к кегЩА относительно скалярного произведения [ф, = (1ллл л 5 ¥')нд 5 порожденного симметричным положительно определенным оператором

Действительно, из (0.0.37) имеем г 1=1 У причем л л 0;, л л е кег ЩА. Поскольку выбор о;л подчинен усло-¿=1

ВИЮ (0.0.39), то

Следовательно, если «г, г = 1,У выбираются из (0.0.39), мы имеем ортогональное разложение частного репзения хюА. Причем построенная по алгоритму 1) - 5) компонента гул, решения задачи (0.0.30)-(0.0.32) является проекцией гУд, на ортогональное дополнение к кегК\ в пространстве Ни относительно скалярного произведения [ф, (р

Другая трактовка предлагаемого алгоритма связана с постановкой задачи (0.0.30)-(0.0.32) в терминах компоненты :

Стандартный путь при реализации прямого метода решения разностной задачи (0.0.40) состоит в представлении исходного оператора (матрицы) Лд в виде произведения (факторизации) конечного числа легко обратимых сомножителей. В методах типа метода Гаусса это треугольные и ортогональные матрицы. Как правило, число операций, затрачиваемое на факторизацию, велико и определяет стоимость всего алгоритма. В методах типа Гаусса для рассматриваемых в работе задач оно пропорционально :

- для задачи теплопроводности , т = 1,2,3;

- для статической задачи теории упругости т = 2,3, где т размерность пространства в котором поставлена исходная дифференциальная задача.

Этот, классический для абстрактных систем линейных алгебраических уравнений, подход ни в коей мере не учитывает сопряженно факторизованную структуру (0.0.41) оператора Ак задачи (0.0.40). Наличие же такой структуры у Ан позволяет, без каких бы то ни било затрат на факторизацию, стандартным образом, свести решение задачи (0.0.40) к решению, серии задач (0.0.30)-(0.0.32). Таким образом, предлагаемый алгоритм можно трактовать как прямой метод решения наиболее употребимой постановки задачи в терминах компоненты г*'*, (0.0.40)- (0.0.41), основанный на сопряженно факторизованной структуре оператора, которая, подчеркнем это еще раз, является следствием сопряженно операторной структуры дискретной модели.

В последующих параграфах этой главы алгоритм 1) - 5) исследуется применительно к конкретным дискретным моделям, построенным в предыдущей главе.

Реализация этапов 1), 4), 5) для этих задач осуществляется за число операций пропорциональное числу узлов разностной

АниА = /А

0.0.40)

Ан = Я1КиЕн

0.0.41) сетки. Наибольшую трудоемкость при реализации алгоритма может представить нахождение решения системы (0.0.39), этап 2), и вычисление и)л по формулам (0.0.37), этап 3). Это накладывает определенные требования на базис (рА, г = 1,¥ ядра оператора Щ. Необходимо построить такой базис, чтобы этапы 2) и 3) могли быть реализованы за минимальное число арифметических операций. Именно этому вопросу и будет уделяться наибольшее внимание при обосновании алгоритма в каждом конкретном случае.

Сформулируем основные результаты третьей главы. Предложен и обоснован новый экономичный прямой метод получения решения дискретной сопряженно операторной модели. В областях стандартной формы метод позволяет получить разностное решение для:

• одномерной задачи теплопроводности за 8 ]У арифметических операций ( 3]\/' операций умножения и ЬМ операций сложения);

• уравнения Лапласа за число арифметических операций пропорциональное N 1п(]\Г);

• двумерной задачи теории упругости с постоянными коэффициентами за число арифметических операций пропорциональное NN2;

• одномерной задачи о прогибе тонкой пластины за 19 N арифметических операций ( 4Ж операций умножения и 15 Ж операций сложения);

• двумерной задачи о прогибе тонкой пластины с постоянной жесткостью за число арифметических операций пропорциональное Ш".2, где N число неизвестных.

Таким образом:

- для одномерной задачи теплопроводности, одномерной задачи о прогибе тонкой пластины и уравнения Пуассона предлагаемый метод требует числа операций по порядку совпадающего с числом операций, необходимым при применении известных экономичных прямых методов - прогонки, пятиточечной прогонки и циклической редукции. Отметим, что в одномерном случае он превосходит алгоритм прогонки и пятиточечной прогонки за счет уменьшения числа дорогостоящих (по отношению к операциям сложения) операций умножения (проготша. - 57\Г операций умножения и операций сложения, пятиточечная прогонка - 1Ш операций умножения и 8 ТУ операций сложения);

- Для задачи теории упругости и двумерной задачи о прогибе тонкой пластины (задач со смепганными производными, в которых собственные элементы не выписываются в явном виде) исследованный подход позволил предложить прямой метод значительно превосходящий по характеристикам традиционные прямые методы. Существующие для этого класса задач специальные прямые методы с асимптотикой числа операций N N"2, в отличие от предлагаемого здесь алгоритма, основаны на логически сложной организации массивов для хранения информации, что фактически делает их непригодными на практике.

Отметим, что метод близкий к предлагаемому для одномерной задачи теплопроводности с постоянными коэффициентами изложен в 12Г

В четвертой главе, на примере спектральной задачи для эллиптического оператора второго порядка, проводится обоснование нового метода получения двусторонних приближений к собственным значениям. Основные принципы и подходы, использованные при проведении исследования, справедливы для широкого класса задач на собственные значения с операторами, обладающими сопряженно факторизованной структурой. Предлагаемый алгоритм базируется на методе фиктивных областей и превосходит по универсальности все описанные выше методы двусторонних приближений. Для построения приближений к собственным числам как снизу так и сверху следует использовать одну и ту же программу, во входных данных которой в зависимости от ситуации меняется всего один параметр. Решающую роль при получении основного результата главы играет сопряженно факторизованная структура оператора задачи.

Идея п1ироко известного метода фиктивных областей состоит в замене области В, в которой решается исходная задача, стандартной областью, в которой наиболее удобно решать задачу на ЭВМ. В соответствии с этим методом вместо задачи

Аи = f или Аи = Хи в исходной области В с краевыми условиями

1и \до = О решается задача

АеПА = fs или Алил = ЛЛ^Л в расширенной области Вл = ВиВх с краевыми условиями

1и' = 0.

Под Ае И /е понимаются продолжения оператора А и правой части / в область Вх. Продолжения осувдествляются с помовцью малого параметра е > О и выбираются так, чтобы обеспечить близость вспомогательного решения ^л к решению исходной задачи и.

Обоснование метода фиктивных областей состоит в получении оценок близости и — и < Се", Л5 - Лу| < Сел

Среди работ, посвяп1;ённых проблеме обоснования метода, отметим [2], [18], [29], [30], [46], [47], [91], [92] для краевых задач и [19], 71]-[73], [76] для задач на собственные значения. Особо выделим монографию П.Н. Вабишевича [4], являющуюся прекрасным обзором результатов полученных в этой области и содержащую исчерпывающую библиографию.

В [91]-[92] В.К. Саульевым обращено внимание на одно интересное свойство метода фиктивных областей. В этой работе для уравнения Пуассона наряду с традиционным продолжением по старшим коэффициентам с положительным параметром (е > 0) рассмотрено продолжение с отрицательным параметром [е < 0). В результате, для рассмотренного примера, решение исходной задачи оказалось "зажатым" между решениями этих вспомогательных задач. В [43]-[45], [121] было получено разложение решений вспомогательных задач в степенной ряд по параметру е и тем самым гипотеза В.К. Саульева была обоснована для широкого класса эллиптических и параболических задач.

Идея В.К. Саульева оказалась плодотворной и для спектральных задач. А именно, справедливы следующие неравенства 4 < ул (0.0.42) где величины Л|'* и лл'^'* являются положительными, упорядоченными в порядке возрастания, собственными числами вспомогательных спектральных задач к1к,нПки'А = А'Ам'А (0.0.43) с положительным (е > 0) и отрицательным {—£ < 0) параметром, соответственно а собственные числа исходной задачи

0.0.44) также упорядоченные в порядке возрастания. Более того, так же как и для краевых задач эллиптического типа в [43]-[45 и начально краевых задач параболического типа в [121], для спектральных задач справедливо разложение решения вспомогательных задач в степенной ряд по малому параметру е : Х1±еХп + ±., (0.0.45) и (0.0.46)

Обоснование разложений (0.0.45)-(0.0.46) и является основным результатом четвертой главы.

Специально отметим то, что сам факт двустороннего характера приближений (0.0.42) для собственных чисел эллиптических операторов собственными числами вспомогательных, построенных по технологии метода фиктивных областей, задач установлен в работах [67] - [70] с помощью теоремы Коши о разделении и утверждениях, основанных на законе инерции [75]. Однако, получить разложения (0.0.45)-(0.0.46) с помощью используемого в этих работах аппарата, основываясь только на симметрии и определенности операторов, не удается. Доказать справедливость (0.0.45)-(0.0.46) позволило привлечение основного свойства операторов этих задач - их сопряженно факторизованной структуры .

Далее кратко опишем основные этапы проведенного в работе доказательства. С помощью теоремы из второй главы об эквивалентности спектральных задач, отвечающих постановке в терминах и и постановке в терминах т, осуществляется переход от задач (0.0.43), (0.0.44) к задачам

КиЖА'А = Х'^'" (0.0.47) и

ЯНКУ = ХАКЛААу\ (0.0.48) соответственно. Суть такого перехода заключается в следующем. В то время как, параметр продолжения входит в оператор

ИЗ (0.0.43) в виде - в задаче (0.0.47) он входит в оператор К~}а уже в виде малого параметра - е. Поэтому мы можем рассматривать задачу (0.0.47) как возмущенную по отношению к задаче на собственные значения

КнХА''' = Х"'К7ну'\ (0.0.49) где KQfА есть оператор К~1А с е = 0. Это, в свою очередь, позволяет утверждать, что собственные значения задач (0.0.47), (0.0.49) связаны соотношениями:

0.0.50)

УСгУ) = У1А(хг,уА) + £Ш(ХИ,У]) + £\2Ы,У]) + . . (0.0.51)

Обоснованию асимптотических разложений (0.0.50)-(0.0.51) методом априорных оценок посвящен отдельный раздел четвертой главы. Полученные в нем результаты являются непосредственным развитием изложенных в [65] подходов к исследованию алгоритмов теории возмущений.

С другой стороны, оказывается, что собственные числа, ЛЛ, задачи (0.0.48) в точности совпадают с соответствующими собственными числами, ЛЛ'*, невозмущенной спектральной задачи (0.0.49). Этот факт (доказательство которого основано на применении минимаксного принципа с использованием специальных подпространств) в сочетании с (0.0.50)-(0.0.51) и приводит к окончательному результату: для решения вспомогательных задач (0.0.43) справедливы разложения, представленные формулами (0.0.45)-(0.0.4б).

В заключение приведем основные результаты работы, которые составляют совокупность защищаемых положений диссертации:

1. Показано, что при соответствующем функционально-аналитическом описании математическая модель задачи о прогибе тонкой пластины обладает сопряженно операторной структурой.

2. Предложен и обоснован новый экономичный прямой метод численного решения задач: теплопроводности, теории упругости и прогиба тонкой пластины.

3. Для спектральных задач метода фиктивных областей обосновано асимптотическое разложение решений в степенной ряд по малому параметру продолжения. Тем самым, установлен двусторонний характер приближений получаемых применением метода фиктивных областей с положительным и отрицательным параметром.

Считаю своим приятным долгом принести благодарность члену - корреспонденту РАН А.Н. Коновалову, привлекшему мое внимание к изучению непрерывных и дискретных моделей механики сплошной среды с сопряженно операторной структурой и к методу фиктивных областей, как способу построения двусторонних приближений в спектральных задачах.

Приношу благодарность д.ф.-м.н. A.M. Мацокину, обсуждение с которым отдельных положений диссертации привело к более компактному и строгому их изложению.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 93-01-00494, № 96-01-01620, № 99-01-00508) и Межвузовской научно-технической программы "Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России" (Тема 991116).

1. Bakhvalov N.S. 1.erative metbods for stiff eUiptic problems. Advanced Mathematics: Computations and Applications, Proceedings of International Conference AMCA-95, Novosibirsk, Russia, 20-25 June, 1995, pp. 26-31.

2. Бугров A.H. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа. Материалы V Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности", Часть II, Новосибирск, 1978, стр. 24-35.

3. Букенов М.М., Кузнецов Ю.А. Об одной спектральной задаче теории упругости: Препринт JIY^ 81, Новосибирск, 1981. -13 стр. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

4. Вабишевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. Москва, Издательство МГУ, 1991, -156 стр.

5. Вазов В., Форсайд Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Издательство иностранная литература, 1963, - 487 стр.

6. Вайдингер Л. О разностном методе Polya. Stud. Sci. Math. Hung. V. 2, 1967, pp. 193-199.

7. Вишик М.И. Метод ортогональных проекций для самосопряженных уравнений. Доклады АН СССР, 1947, т. 56, № 2, стр. 115-118.

8. Вишик М.И. Метод ортогональных проекций для общих самосопряженных уравнений. Доклады АН СССР, 1947, т. 58, № 6, стр. 957-960.

9. Вишик М.И. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических дифференциальных уравнений. Математический сборник, 1949, т. 25(67), № 2, стр. 189-234.

10. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Доклады АН СССР, 1950, т. 74, 5, стр. 881-884.

11. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Математические заметки. Новая серия, т. 27(71), № 3, Москва, 1951, стр. 613-676.

12. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. Математический сборник. Новая серия, т. 39(81), № 1, Москва, 1956, стр. 51-148.

13. Вишик М.И. Смешанные краевые задачи и приближенный метод их решения. Доклады АН СССР, 1954, т. 97, 2, стр. 193-196.

14. Вишик М.И. Смешанные краевые задачи для уравнений, содержащих первую производную по времени, и приближенный метод их решения. Доклады АН СССР, 1954, т. 99, 2, стр. 189-192.

15. Вишик М.И. Смешанные краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, содержащих вторую производную по времени, и приближенный метод их решения. Доклады АН СССР, 1955, т. 100, 3, стр. 409-412.

16. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. -Москва, Наука, 1967.

17. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -Москва, "Наука", 1984, 318 стр.

18. Войцеховский CA. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений четвертого порядка. Рукопись депонирована в ВНИИТИ, W 2456-81 ДЕП.

19. Войцеховский С.А. К вопросу решения задачи о собственных значениях методом фиктивных областей. Рукопись депонирована в ВНИИТИ, № 2454-81 ДЕП.

20. Раевский X., Грегер К., Захарис К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -Москва, Мир, 1978. 336 стр. (Nictlineare Operatorgleichungen und Operatordiíferetialgleichungen. Akad.-Verl., 1974).

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва, Наука, 1988.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Москва, "Наука", 1977.- 400 стр.

23. Гулд С. Вариационные методы в задачах на собственные значения. Москва, "Мир", 1970. - 328 стр.

24. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Москва, "Наука", 1968. - 504 стр.

25. Kobel'kov СМ., Arbash Zh. Numerical methods for solving elasticity theory problems with strongly varying coefficients. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, vol. 8, No. 5, 1993, pp.371-383.

26. Коновалов A.H. 06 одной итерационной схеме решения статических задач теории упругости. Журнал вычислительной математики и математической физики, т.4, JYA 5, 1964, стр. 942-945.

27. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости. Новосибирск: Издательство НГУ, 1968, 128 стр.

28. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Новосибирск: Издательство НГУ, 1979, 92 стр.

29. Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учётом капиллярных сил. Сб. "Численные методы МСС", Новосибирск ВЦ СО РАН, т. 3, Х5 5, 1972, стр. 52-68.

30. Konovalov A.N. The fixion regions method in problems of mathematical physics. Computing methods in applied sciences and engineering. Noth Holland, 1980, pp. 29-40.

31. Коновалов A.H., Сорокин СБ. Структура уравнений теории упругости. Статика. Новосибирск. Препринт ВЦ СО АН СССР, 1986. W 665, 26 стр.

32. Коновалов А.П., Сорокин СБ. О разностных аппроксимациях уравнений теории упругости. В сб. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики": Тезисы докладов Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1987, стр. 103-104.

33. Konovalov A.N., Sorokin S.B. Grid methods in elasticity problems. Bulletin of the Novosibirsk Computing center. Series: Numerical Analysis, № 5, 1994, Novosibirsk, pp. 27-34.

34. Коновалов A.H. Диагональные регуляризаторы в плоских статических задачах теории упругости. Доклады РАН, 1995, т. 340, № 4, стр. 470-472.

35. Коновалов А.Н. Численные методы в статических задачах теории упругости. Сибирский математический журнал. Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1995. т. 36., № 3. стр. 573-589.

36. Коновалов А.Н. Итерационные методы в задачах теории упругости. Доклады РАН, 1995, т. 340, № 5, стр. 589-591.

37. Коновалов А.Н. Численные методы в динамических задачах теории упругости. Сибирский математический журнал. Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1997. т. 38., № 3. стр. 551-569.

38. Konovalov A.N. Adjointly-factorized operators in the problems of continuum mechanics. Мат. заметки ЯГУ, т. 4, в. 1, Якутск, 1997, стр. 72-93.

39. Коновалов А.Н. Сопряженно факторизованные модели в задачах математической физики. Препринт ВЦ СО РАН, № 1095, Новосибирск, 1997, 60 стр.

40. Коновалов А.Н. Сопряженно факторизованные модели в задачах математической физики. Сибирский журнал вычислительной математики РАН СО, т. 1, № 1, Новосибирск, 1998, стр. 25-57.

41. Коновалов А.Н. Динамическая задача теории упругости в постановке "скорости-напряжения". Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 2, стр. 238-245.

42. Коновалов А.Н. Итерационные методы для операторных уравнений с сопряженно факторизованной структурой. Сибирский математический журнал. Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000. т. 41., № 2. стр. 370-384.

43. Конюх Г.В. Двусторонние оценки в методе фиктивных областей для задачи теории упругости. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов, Новосибирск, 1987, стр. 62-70.

44. Конюх Г.В. Двусторонние оценки для решения сеточных задач. Сб. "Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа", Новосибирск, Вычислительный центр СО РАН, 1988, стр. 163-171.

45. Конюх Г.В. О двусторонних методах решения дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Новосибирск, Вычислительный центр СО РАН, 1989. 135 стр.

46. Копченов В.Д. Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач. Труды МИ АН СССР, т. 131, 1974, стр. 119-127.

47. Коробицына Ж.Л. Метод фиктивных областей для линейных параболических уравнений. Дифференциальные уравнения, 1985, т. 21, № 5, стр. 854-862.

48. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравненияв частных производных математической физики. Москва, Высшая школа, 1970.

49. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики. Доклады АН СССР, 1953, т. 92, № б, стр. 969-972.

50. Крылов А.Л. О разностных аппроксимациях дифференциальных операторов математической физики. Известия СО АН СССР, серия технических наук, 1967, Ш 13, вып. 3, стр. 68-72.

51. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, "Наука", 1975.

52. Кузнецов Ю.А. О методе двусторонних приближений для собственных чисел операторов. В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосибирск, ВП СО АН СССР, 1976, стр. 145-151.

53. Кузнецов Ю.А., Сорокин C.B. Двусторонние приближения для собственных чисел дифференциальных операторов.: Препринт № 30. Новосибирск, В надзаголовке: ВЦ СО АН СССР, 1976, 12 стр.

54. Кузнецов Ю.А., Сорокин СБ. Метод двусторонних приближений в задачах на собственные значения. Дифференциальные уравнения, 1979, № 5, стр. 914-920.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости.- Москва, "Наука", 1987. 247 стр.

56. Ланкастер П. Теория матриц. Москва, "Наука", 1982. - 270 стр.

57. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, т. 4, 3, стр. 449-465.

58. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. П.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, т. 4, 4, стр. 649-659.

59. Лебедев В.И. Метод ортогональных проекций для конеч-норазностного аналога одной системы уравнений. Доклады АН СССР, 1957, т. 113, Ш 6, стр. 1206-1209.

60. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных. Известия АН СССР, серия математическая, 1958, т. 22, № 5, стр. 717-734.

61. Лебедев В.И. О конечноразностном аналоге задачи Неймана. Доклады АН СССР, 1959, т. 126, Ш 3, стр. 494-497.

62. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва, "Мир", 1972. - 587 стр. (J.L. Lions. Quelques méthodes de resolution des problèmes aux limites non linéaires. Paris: Dunod Gauthier-viUars, 1969).

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва, "Наука", 1980. - 536 стр.

64. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. - Москва, "Наука", 1981. - 416 стр.

65. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.Н. Сопряжённые уравнения и алгоритмы возмущ;ений. Москва. АН СССР, Отдел вычислительной математики, 1986. - 208 стр.

66. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Москва, Наука, 1970. 512 стр.

67. Никифоровский C.B., Сорокин СБ. Двусторонние приближения для собственных чисел в методе фиктивных областей. Сб. "Численные методы МСС", т. 17, № 5, Новосибирск, 1986, стр. 110-119.

68. Никифоровский C.B., Сорокин СБ. Двусторонние приближения для собственных чисел в методе фиктивных областей при продолжении по младшему коэффициенту. Моделирование в механике, т. 2(19), № 3, Численные методы, Новосибирск, 1988, стр. 105-115.

69. Никифоровский СВ., Сорокин СБ. Об одном методе получения двусторонних приближений для собственных чисел. Nmnerical Analysis and Mathematical ModelHng, v 24, Warsaw, 1990, pp. 523-531.

70. Николаева Н.И. Метод фиктивных областей для задач на собственные значения. Сб. "Численные методы МСС", Новосибирск, 1979, т. 10, W 6, стр. 105-112.

71. Николаева Н.И. Метод фиктивных областей в задаче о собственных значениях оператора Ламэ. Сб. "Численные методы МСС", Новосибирск, 1980, т. 11, № 2, стр. 88-93.

72. Николаева Н.И. Обоснование метода фиктивных областей в задачах на собственные значения на конечно-разностном уровне. Сб. "Численные методы МСС", Новосибирск, 1981, т. 12, № 1, стр. 95-109.

73. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Москва, "Мир", 1979. - 587 стр. ( Approximation of elliptic boundary-value problems. 1972).

74. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных чисел. Москва, "Мир", 1983, 382 стр.

75. Позняк Л.Т. Об использовании метода фиктивных областей для оценки снизу собственных значений дифференциальных операторов. Журнал вычислительной математики и математической физики, т.19, JVA 4, 1979, стр. 921-937.

76. Позняк Л.Т. О сходимости метода Бэзли-Фокса в проблеме собственных значении одной билинеинои формы относительно другой. Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 13, № 4, 1973, стр. 839-853.

77. Позняк Л.Т. Применение метода Вэзли-Фокса к двумерным эллиптическим уравнениям второго порядка. Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 16,1, 1976, стр. 83-101.

78. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела, Москва, "Наука", 1988. 712 с.

79. Рафальсон З.Х. К вопросу о решении бигармонического уравнения. Доклады АН СССР, 1949, т. 64, № 6, стр. 799-802.

80. Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва, Наука, 1983.

81. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, Наука, 1978.

82. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. Москва, Наука, 1976.

83. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. Москва, Наука, 1989.

84. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме. Доклады АН СССР, 1981, т. 258, W 5, стр. 1092-1096.

85. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. . Операторные разностные схемы. Препринт № 9. -Москва, 1981. 32 стр. - В надзаг.: ИПМ АН СССР.

86. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. . Операторные разностные схемы. Дифференциальные уравнения. 1981, т. 17, № 7. стр. 1317-1327.

87. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа. Препринт № 97. Москва, 1981. - 16 стр. - В надзаг.: ИПМ АП СССР.

88. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа. Дифференциальные уравнения. 1982, т. 18, W 7. стр. 12511256.

89. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский A.n. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996.

90. Саульев В.К. Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быстродействуюпЛих вычислительных машинах. Доклады АН СССР, 1962, т. 144, № 3, стр. 497-500.

91. Саульев В.К. Об асимптотически двусторонних методах решения дифференциальных уравнений с частными производными. Дифференциальные уравнения. 1972, т. 8, ДЛ 2. стр. 362-371.

92. Соболев СЛ. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных. Доклады АН СССР, 1951, т. 81, J\^ 6, стр. 1007-1009.

93. Соболев СЛ. Об одной новой задаче математической физики. Известия АН СССР, серия математическая, 1954, т. 18, Ш 1, стр. 3-50.

94. Соболев СЛ. Некоторые замечания о численном решении интегральных уравнений. Известия АН СССР, серия математическая, 1956, т. 20, № 4, стр. 413-436.

95. Сорокин СБ. Использование структуры эллиптических операторов при построении и обращении их разностныханалогов. Тезисы докладов. Вторая всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений", г. Дрогобыч г. Москва, 1989.

96. Sorokin S.B. Application of operator structure in numerical solution of elliptic problems. Siberian Jomnal of Computer Mathematics, v. 1, № 3, 1992, pp. 259-274, Nova Seience Publishers, Inc.

97. Sorokin S.B. Numerical solution of elliptic problems with factorized operator. Bulletin of the Novosibirsk Computing center. Series: Numerical Analysis, JYs 5, 1994, Novosibirsk, pp. 87-104.

98. Сорокин СБ. Метод поэтапного обраш;ения для численного решения бигармонического уравнения. Сибирский математический журнал. Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1995. т. 36., № 3. стр. 659-663.

99. Сорокин СБ. Прямые методы численной реализации со-пряженно-факторизованных моделей задач математической физики. Тезисы докладов Второго Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ШРШМ-96), Новосибирск, 1996.

100. Сорокин СБ. Сопряженно-факторизованные модели в теории пластин. Препринт ВЦ СО РАН, 1996, № 1069, 16 стр.

101. Sorokin S.B. Step-by-step inversion method for elasticity problems. Сибирский журнал вычислительной математики РАН СО, т. 1, № 1, Новосибирск, 1998 , стр. 89-97.

102. Sorokin S.B. Conjugate-factorized models in plate theory. Сибирский журнал вычислительной математики РАН СО, т. 2, W 1, Новосибирск, 1999 , стр. 81-88.

103. Sorokin S.B. EjB&cient direct methods for discrete conjugate-operator models. The Far-Eastern School seminar on mathematical modehngand numerical analysis. The proceeding and abstracts, Khabarovsk,1999, pp. 99-107.

104. Сорокин СБ. Оценка точности двусторонних приближений для задачи Штурма Лиувилля. Сибирский журнал вычислительной математики РАН СО, т. 3, JVe 1, Новосибирск,2000, стр. 77-94.

105. Сорокин СБ. Обоснование метода двусторонних приближений для собственных чисел эллиптического оператора второго порядка. Сибирский журнал вычислительной математики РАН СО, т. 4, 1, Новосибирск, 2001 г., стр. 61-84.

106. Сорокин СБ. О главных и естественных условиях в методе сдвига спектра. В сборнике: Численные методы в математической физике. Новосибирск, вып. 4, 1979, стр. 116-129.

107. Сорокин СБ. О точности двусторонних приближений в двумерной задаче Штурма-Лиувилля.: Препринт JVA 151. -Новосибирск, В надзаголовке: ВЦ СО АН СССР, 1979, стр. 20-29.

108. Сорокин СБ. О точности двусторонних приближений в двумерной задаче Штурма-Л иувил ля.: Препринт № 76. семинара по руководством Г.И. Марчука Новосибирск, В надзаголовке: ВЦ СО АН СССР, 1980, 18 стр.

109. Сорокин СБ. Метод двусторонних приближений в задачах на собственные значения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Вычислительный центр СО РАН, 1981, 111 стр.

110. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -Москва, Мир, 1977, 350 стр.

111. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. Москва, Мир, 1980. - 454 стр.

112. Тимошенко СП. Курс теории упругости. Киев, "Наукова думка", 1972. 507 с.

113. Тимошенко СП., Гудьер Дж. Теория упругости. Москва, "Наука", 1975. - 575 стр.

114. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1966.

115. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Москва, Мир, 1975.

116. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. Москва, Наука, 1970.

117. Уманский СЭ. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики. Киев, Наукова думка, 1983. -168 стр.

118. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Москва, Наука, 1978.

119. Chertova К.А. Locally two-sided approximate solutions in parabolic problems. Bulletin of the Novosibirsk Computing Center, Series: Numerical Analysis, № 6, 1994, NCC PabHsher, Novosibirsk, p. 37-42.

120. Цуриков H.B. Об аппроксимации ковариантных производных компонент векторов и тензоров а произвольной криволинейной системе координат. Вариационные методы в задачах численного анализа. Новосибирск, 1986, стр. 150-157.

121. Цуриков Н.В. Численное решение задач теории упругости в произвольной криволинейной системе координат. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук. Новосибирск, 1992, 134 стр.

122. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. Москва, "Наука", 1969, 432 стр.

123. Bazley N.W and Fox D.W. A procedure for estimating eigenvalues. -J. Math. Phys., V. 3, ^ 3, 1962, pp. 469-471.

124. Birkhoff G., de Boor C, B. Swartz and B. Wendoroff. Rayleigh-Ritz approximation by piecewise cubic pol3aiomials. J. SI AM Numer. Anal., 1966, V. 3, № 2, pp. 188-203.

125. Evans D.J. An algorithm for the solution of certain threediagonal systems of Unear equtions. Com. J., № 15, 1972, p.p. 356-389.

126. Fichera G. Linear elUptic differential systems and eigenvalue problems. Berhn: Springer-Verlag, 1965.

127. Fichera G. Approximayion and estimates for eigenvalues. In: Numerical Solution of Partial Differential Equations, New York - London Acad. Press, 1966, pp. 317-352.

128. Fix G. Orders of Convergence of Rayleigh-Ritz and Weinstein-Bazley method. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1968, v. 61, K 4, pp. 1219-1223.

129. Fix G. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations. J. Math, and Mech., 1969, V. 18, W 7, pp. 645-658.

130. Kuttler J.R. Upper and lower bounds for eigenvalues by finite differences. Pacif. J. Math., v. 35, W 2, 1970, pp. 429-440.

131. Hersch J. Lower bounds for aU eigenvalues by ceU functions: a refinsd from of H .F . Weinberger's method. Arch. Ration. Mech. and Analysis. V. 12, № 5, 1963, pp. 361-366.

132. Hubbard Bert. Bounds for eigenvalues of the free and fixed membrane by finite difference methods. Pacif. J. Math., v. 11, № 2, 1961, pp. 559-590.

133. Strang G. A framework for equilibrium equations. SI AM Review, v. 30, Ш 2, June 1988.

134. Weinberger H.F. Upper and lower bounds for eigenvalues by finite difference methods. Communs Pure and Appl. Math., v. 9, № 3, 1956, pp. 613-623.

135. Weinberger H.F. Lower bounds for higher eigenvalues by finite difference methods. Pacif. J. Math., v. 8, W 2, 1958, pp. 339-368.

136. Weinberger H.F. Variational methods for eigenvalues approximation. -Philadelphia, Soc. for industr. and mathematics, 1974. 160 стр.

137. Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory. Duke J., 1940, 7, pp. 414-444.P