автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение градиентных итерационных методов при решении задач движения стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкостей

УДК 519.63:532.13

На правах рукописи

Захаров Юрий Николаевич

ПРИМЕНЕНИЕ ГРАДИЕНТНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДВИЖЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ И ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЕЙ

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН и Кемеровском государственном университете

Научный консультант: академик Шокин Ю.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воеводин А.Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Ильин В.П.

доктор физико-математических наук, профессор Куропатенко В.Ф.

Ведущая организация: Институт автоматизации проектирования РАН

(Москва)

Защита состоится «17» ноября 2004 г. в 16 часов 00 минут на специализированного совета Д003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВТ СО РАН (проспект академика Лаврентьева, 6)

Автореферат разослан «17» октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Чубаров Л.Б.

Общая характеристика работы.

Диссертационная работа посвящена разработке и применению итерационных схем с вариационной оптимизацией параметров для решения стационарных и нестационарных задач движения идеальной и вязкой несжимаемой жидкости в ограниченных и неограниченных областях.

Содержание диссертационнойработы определяется исследованиями автора, выполненными в 1974-2004 г.г. и связанными с построением и анализом численных методов решения стационарных и нестационарных задач гидродинамики.

Большинство задач вычислительной гидродинамики сводится к решению либо систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), либо систем билинейных уравнений. Значительное число работ посвящено решению СЛАУ в традиционных постановках: матрица системы неособенная и знакоопреде-лена, неособенная и незнакоопределена, знакоопределенная и особенная. В диссертационной работе рассматриваются итерационные схемы и для этих постановок. Но основное внимание уделяется случаям, когда матрица системы незнакоопределенная и почти особенная.

Для решения билинейных систем предлагаются итерационные схемы минимальных невязок с многошаговой оптимизацией, позволяющие эффективно решать многие стационарные и нестационарные задачи гидродинамики. При этом рассматривается хорошо известная задача поиска обобщенного решения, что позволяет обойти проблему доказательства существования и нахождения единственного классического решения разностных задач аппроксимирующих стационарные и нестационарные задачи гидродинамики.

Актуальность темы обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, безусловно, актуальны задачи детального определения картин течения стратифицированной жидкостей (задачи о внутренних волнах). Эти задачи имеют несколько особенностей затрудняющих их численное решение:

- даже в случае линейных моделей для определения решения часто необходимо решать СЛАУ с незнакоопределенной особенной или почти особенной матрицей;

- при этом, для решении нестационарных задач на каждом временном шаге необходимо решать СЛАУ, у которой свойства матрицы заранее трудно определяемы. Такие матрицы могу быть как особенными, так и неособенными, как знакоопределенными, так и незнакоопределенными. Это обстоятельство требует универсальных быстро сходящихся итерационных схем;

- при решении задач в бесконечных областях важно так ограничить область решения и так перенести краевое условие с бесконечности на границу конечной области, чтобы полученная задача решалась без больших затруднений.

Во-вторых, не менее актуальна задача построения оптимальных итера-ционныхметодоврешениясистемыуравненийНавъе-Стокса, описывающей

стационарное движение вязкой однородной н

В-третьих, при решении стационарных и нестационарных задач обтекания бесконечным потоком вязкой несжимаемой жидкости существует проблема переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области.

Цель работы заключается в конструировании и исследовании таких итерационных методов решения систем линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, сходимость которых слабо зависит от свойств операторов решаемых систем, что позволяет их использовать для решения как внутренних, так и внешних задач движения идеальной стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости.

Методология исследования опирается на современные вычислительные технологии, предусматривающие использование классических и новых постановок задач движения жидкостей (линейная и нелинейная модели движения стратифицированной идеальной и вязкой несжимаемой жидкости), эффективных вычислительных алгоритмов (конечно-разностные схемы, итерационные алгоритмы), сочетанием точных оценок с правильно поставленными численными экспериментами, исследования неточного задания входных параметров на эффективность рассматриваемых алгоритмов На защиту выносятся:

- алгоритм реализации чебышевского итерационного метода решения СЛАУ как с положительно определенной, так и с незнакоопределенной матрицей системы устойчивый к приближенному заданию входных параметров;

- сходящийся класс итерационных методов с вариационной оптимизацией параметров решения СЛАУ с незнакоопределенной и почти особенной матрицей;

- класс итерационных методов решения билинейных уравнений, в котором итерационные параметры выбираются как решение кубического уравнения по явным формулам Кардано;

- метод ускорения сходимости итерационных схем решения билинейных уравнений;

- способ точного и приближенного переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области для стационарного и нестационарного уравнения Бюргерса;

- групповая классификация е-систем аппроксимирующих систему уравнений Навье-Стокса;

- интегральные краевые условия на границе конечной области в задаче внешнего обтекания.

Теоретическое значение и научная новизна работы состоит в следующем:

- предложен новый всегда устойчивый алгоритм реализации чебышевского итерационного метода решения СЛАУ как с положительно определенной, так и незнакоопределенной матрицей А;

- построен новый класс итерационных методов с покомпонентной оптимизацией параметров, сходящийся в случае незнакоопределенной и почти осо-

бенной матрицей А Приводится алгоритм выбора итерационных параметров, с которыми имеет место сходимость за одну итерацию. Этот класс методов эффективно использован для решения стационарных и нестационарных течений стратифицированных жидкостей;

- проведена групповая классификация £-систем, позволяющая строить системы уравнений аппроксимирующих уравнения Навье-Стокса с заданными групповыми свойствами;

- при решении внешних и внутренних задач для системы уравнений Навье-Стокса методом сеток возникают билинейные системы алгебраических уравнений, которые решаются итерационным методом минимальных невязок с точной многошаговой покомпонентной оптимизацией параметров. При плохой сходимости итерационных схем решения билинейных уравнений можно построить ускоряющую процедуру, являющуюся полным анало-гомлинейного случая;

- для решения задач обтекания тел потоком однородной вязкой несжимаемой жидкости, аналогично одномерному случаю (уравнение Бюргерса) предложен метод построения интегральных краевых условий на границе конечной области. Эти условия являются следствием самой системы уравнений Навье-Стокса и краевых условий на бесконечности. Наряду с этими краевыми условиями использовались и краевые условия являющимися некоторой аппроксимацией внутрь области самой системы уравнений;

Практическая значимость работы определяется возможностью использования предложенных алгоритмов для решения задач о волновых течениях идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости и течениях вязкой несжимаемой жидкости (практически все задачи течения вязкой жидкости решались с помощью одного комплекса программ).

При этом, предлагаемые итерационные методы являются практически инженерными, т. е. являются быстро сходящимися даже, если свойства оператора решаемой системы не известны.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается полученными строгими теоретическими оценками скорости сходимости итерационных схем, тестированием предлагаемых алгоритмов на задачах с известными решениями, сравнением с результатами полученными другими авторами.

Личный вклад автора. В совместных публикациях, посвященных методам решения СЛАУ [1] автору принадлежит постановка задачи, алгоритмы и методика численного эксперимента. В работах [7, 11, 23] автором предложены методы расчета СЛАУ, возникающие при решении волновых задач. В публикациях, посвященных решению нелинейных уравнений [3,15,16], автору принадлежит методика исследования, основные теоретические результаты, а в работах [6, 12, 13, 19, 25] — основные идеи, теоретические результаты и методика проведения численных расчетов.

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в

25 печатных работах, куда входят одна монография, 12 статей, опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, и один комплекс программ.

Апробацияработы. Результаты диссертации докладывались на V, VI научных конференциях по математике и механике ТГУ (Томск, 1975,1977 гг.), 6 школ-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (1977, 1979,1981,1983,1985,2000 гг.), Quatrieme Colloque International sur le Metodes de Calcul Scientifique et Technique (Франция, 1979 г.), Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Н. Лузина (Кемерово, 1983 г.), на VI - VIII Всесоюзных семинарах «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (1986,1988,1990 гг.), Совещании по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988 г.), Всесоюзной конференции «Современные проблемы механики жидкости и газа» (Иркутск, 1990 г.), Всесоюзном совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Красноярск, 1991 г.), Совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 1992 г.), Всесоюзной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 1990 г.), Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» (Новосибирск, 1996 г.), Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, 2000 г.), VII конференции по вычислительным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 2000 г.), Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003, на научных семинарах ВЦ СОАН СССР (Новосибирск, Красноярск), ИТ и ПМ (Новосибирск), ИВТ СО РАН (Новосибирск), ТГУ (Томск), КемГУ (Кемерово).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и приложения. Список литературы содержит 365 наименований. Объем диссертации 344 страницы, включая 24 таблицы и 114 рисунков.

Основное содержание работы. Во введении обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач. Приводится обзор научной литературы по изучаемой тематике. Кратко излагается содержание диссертации по главам.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию скорости сходимости и влиянию неточно задаваемой информации об операторе А и известной правой части / решаемого уравнения в гильбертовом пространна скорость сходимости многошаговых циклических итерационных схем.

В параграфе 1.1 приводятся некоторые сведения из теории итерационных методов решения линейных операторных уравнений и постановка задачи.

Параграф 1.2 посвящен исследованию итерационных схем, представимых в каноническом виде. В начале этого параграфа рассматривается стационарная схема

где, вообще говоря, неособенный оператор В зависит от то (В = B(tq)). Доказывается, что если оператор (здесь и далее D — самосопряженный положительный оператор) таков, что он 1) неотрицателен, 2) ||5о|| < 1 и 3) выполнено неравенство

то, полагая

для оператора шага будем иметь оценку

||5iK«J0<||Sb||.

Таким образом, схема (2) с параметром т\ = то(1 + шо) будет сходиться быстрее, чем с параметром то- При этом, если в (4) вместо точного значения ||So|| использовать некоторую оценку рв £ (0,1), то все равно схема (2) будет сходящейся (||Si(pfi)|| < 1)., Более того, к рв € (0,2||5o|j/(2 - ||So||)),t о

INMISoll

Далее, в параграфе : нп+2' _ ип

BP-(5)

т,t

где

Ва_,(£ + G*_,). = Е - т.В^А,

1 +шк

Доказывается, что если известно точное значение нормы оператора шага 5, некоторой сходящейся схемы (||5»|| < 1), то схема (5) имеет скорость сходимости 2'-шагового чебышевского итерационного метода. При этом оказалось, что схема (5) устойчива к определению и>а. То есть, если в (5) вместо точного значения ||5,|| взять некоторую оценку этой нормы рг> £Е (0,1) (шо = рь), то схема (5) с оператором перехода 5,- все равно будет сходящейся и когда

рь€ (О, IIS.H1, то ИЗДИ < Iis.ll2'.

В параграфе 1.4 решается вопрос реализации схемы (5). При этом выясняется, что оператор перехода этой схемы 5,- можно представить в виде следующего произведения

2-2 г-1

5-Ш(1) Я0*- ТТ Я10 Б{2) (64

4=1 4=2"Ч1

где — Е — т^ = т,(1 + постоянные, выражающиеся

через / = 0,1,..., I, р = 1,2. В (6) норма одного оператора всегда

меньше единицы, а другого 5,^-может быть и больше единицы (р = 1,2). Основываясь на разложении (6), можно показать, что реализация чебышевского итерационного метода (5) является устойчивой.

В параграфе 1.5 строятся многошаговые итерационные схемы вида (5), которые сочетают достоинства чебышевского и градиентных итерационных схем. Показывается, что из малости величины

следует малость При этом, если

и (5) будет сходиться как 2'-циклическая чебышевская схема. Здесь p¡n — коэффициент убывания погрешности за 2' шагов.

Таким образом, итерационный процесс сходится или как схема с вариационной оптимизацией параметров, или, асимптотически, как чебышевский итерационный метод.

Вторая глава посвящена построению итерационных схем неполной аппроксимации (НА) со спектральной оптимизацией параметров решения уравнения (1) с положительно определенным оператором А.

В начале параграфа 2.1 доказывается теорема существования схем НА, сходящихся быстрее схем универсального алгоритма с постоянным оптимальным итерационным параметром, а в конце параграфа рассмотрено влияние неточного задания констант, задающих итерационные параметры, на скорость сходимости схем НА. Реализация приведенных в диссертации схем неполной аппроксимации не сложнее реализации схем универсального алгоритма и не требует дополнительных операций.

Параграф 2.2 посвящен построению ряда итерационных методов, применяемых для решения разностной схемы четвертого порядка аппроксимации, Показано, как в этом случае применять схемы из параграфа 2.1, используя приближенную информацию об операторе шага сходящейся схемы.

В третьей главе изучаются итерационные схемы НА с вариационной оптимизацией параметров при решении уравнения (1) с незнакоопределенным оператором А, который или является почти особенным Л и 10~'°-10-20), или имеет число обусловленности или, по крайней мере,

одно собственное число порядка 10~и

Параграф 3.1 содержит необходимые справочные сведения об итерационных схемах с вариационной оптимизацией параметров.

В параграфе 3.2 строится итерационная схема НА с вариационной оптимизацией параметров. Показывается монотонное убывание погрешности в случае положительно определенных, незнакоопределенных и почти особенных операторов А.

Для решения уравнения (1) рассмотрим итерационную схему

где и — произвольные начальные данные, В- неособенный оператор, тл+1, а„ И-итерационные параметры, 2* € Н - произвольный элемент. Если выбрать из минимума , соответственно, где

при

7/1+1 —

«л+1 =

(С^.С»")' (01+1/2^1/2^

ТрЩ^йЩ

(9) (10)

Отсюда следует монотонное убывание ||t/4| при п —» оо. Далее доказывается следующая

Теорема 1. Если оператор С неособенный, то существует последовательность элементов гп, что схема (7)—(10)является сходящейся, т. е. lim \\vn\\ =

п—>оо '

= 0.

Затем показывается оценка скорости сходимости схемы (7), (8) выраженная теоремой.

Теорема 2. Итерационная схема (7}-(10), где zn = хп + £г»л+|/2/ /(D|/V+i/2,^+i/2), где хп е Н — элемент ортогональный элементу ß\/2vn+i/2^ _ —Л/j/А1^ = (gJyJilfyp является сходящейся со следующей оцен-

Здесь £ = 71/72 и 7ь 72 — постоянные неравенства 0 < 71 £ ^ D1/2 ^ 72£. Как показали численные расчеты, в случае самосопряженного и незнако-определенного оператора С = D~l/2B~[ADi/2 скорость сходимости итерационных схем, так же как и в случае положительного оператора С, падает с ростом числа итераций.

Параграф 3.3 посвящен изучению асимптотических свойств схем НА. В этом параграфе удается показать, что если С = С* и вектор zn в схеме (7), (8), в которой a„+i,T„+i выбираются из условия min||f"+,||, удовлетворяет равенству

(D,/2vn,zn+l) = 0, (11)

то

o^ef'^ef ...<1. (12)

Свойство монотонного возрастания 0является не очень хорошим свойством итерационной схемы, но когда схема НА сходится медленно, то можно использовать это свойство монотонности для ускорения ее сходимости. Доказывается, что если

(у"+У)-||р"+2||2

Un+2 ~ Ц1>я+2||2 - 2(г»я+2,1»п) + 1И12'

то для погрешности vn+2 = D^2(ün+2 — и), где

ы'!+2 = (1+шл+2)Ц',+2-^+2«л, (13)

и", и"+2 — решения схемы (7)-(11), справедливо равенство

И?"*2

,2_ ll^llVlP-ll^f ц^+г!12 - 2|iv+4l2 + li»n

или

, Я (2) _ о(2)

^ = i-aea+eHleg,^"'= 0"+2|И|2- °4)

ю

Далее доказывается, что в схеме (7), (8), (11) ^ 0» < 1,

п = 1,2,3,_Тогда из (14) следует, что, если ©^ ~ т0 ©п+2 ~ 0 и

эффект ускорения сходимости схемы путем комбинирования ип, и"+2 по формуле (13) может быть значительным.

В параграфе 3.4 изучается сходимость итерационных схем вида (7), (8), у которых итерационный параметр ап+\ является матрицей. Тогда (8) можно записать в виде

„л+1 л+1/2 _ (И) _ (¡2) у _ лы2. и — и ил+1г11 л+1 '2 "я+Г1"'

(15)

где гл+1 = £ — ш-мерный вектор с только одной ¿^ ненулевой компо-

п \ г \

нентой равной единице, ап+1 = ^ ап1\ — квадратная матрица с одним

ненулевым диагональным элементом сеук, Следует отметить, что не все ¡и, k = 1,2,..., т, могут быть различны.

Такое задание итерационного параметра в виде матрицы позволяет существенно разнообразить способы оптимизации схемы (7), (15). Во-первых, если выбирать из условия минимума

,л+к/т

,,п+{к-\)/т

, к = 1,2.....т,

рЛ+О/т = рл+1/2) уп = д!/2(мл _ ^л+1/2 = £)1/2(цл+1/2 _

где выбирается по формулам аналогичным (10), то каждая ¿д — компо-,,п+1

нента вектора будет изменяться в соответствии со своим оптимальным итерационным параметром.

Во-вторых, можно так построить итерационный процесс, что за одну итерацию будет изменяться только заданная группа компонент, что очень важно при решении гидродинамических задач, когда установление стационарного решения в разных частях области решения происходит неравномерно.

В-третьих, если ал+1 — диагональная матрица с т ненулевыми элементами а"+1, I = 1,... ,т., то их можно выбрать из условий глобального минимума

г.1+1 ' " "

нормы Тогда, для определения имеем систему уравнений

Очевидно, существуют такие элементы гп, что система (16) имеет решение и тем самым матрица элементов минимизирующая существует.

Если система (16) решается сложно, то можно предложить несколько путей частичного решения задачи оптимизации:

1) выбирать одновременно не все {а"+|} как решение (16), аразбив все множество индексов I на р частей Д, ..., 1р, Затем, можно минимизировать сначала по индексам /, затем по /г, и т.д. Каждая такая минимизация приводит к системе вида (16) только меньшей размерности, которую решать проще;

2) если матрица D ленточная, что часто бывает при численном решении дифференциальных уравнений, то и матрица системы (16) тоже является ленточной и в этом случае эту систему решать проще;

3) наиболее просто решается система (16), если ее матрица или диагональная, или трехдиагональная, или треугольная. Таким образом, векторы надо выбирать из условия взаимной ортогональности. Следовательно, если мы точно ортогонализируем в пространстве Нд векторы то (16) решается точно и тогда схема будет сходиться за одну итерацию. При решении уравнений с незнакоопределенным оператором А обычно используют способ сведения к уравнению с положительно определенным оператором путем умножения уравнения на А* (т. н. 1-ая трансформация Гаусса). Но такой путь практически невозможен, если оператор А формально являясь неособенным, но близок к нему, например, или с!еМ = 1О~|0-1О-20, или есть собственное число того же порядка, или число обусловленности порядка

В этом случае оператор являясь формально неособенным, практически, при численном решении, является особенным и решать систему с оператором А*А будет достаточно затруднительно.

Все приведенные выше алгоритмы не используют 1-ую трансформацию Гаусса и эффективно применяются длярешениямногихпрактическихзадач.

В силу того, при решении реальных задач на ЭВМ неточность входных параметров и «машинная» арифметика вносит погрешность в первую часть СЛАУ. Поэтому в параграфе 3.5 проведен численный анализ поведения итерационных схем НА при решении СЛАУ с знакоопределенной и незнакоопре-деленной матрицей при неточном задании правой части системы. Тестовые расчеты проводились как для СЛАУ с матрицей Гильберта, так и для СЛАУ с незнакоопределенной матрицей, аппроксимирующей краевую задачу для уравнения Гельмгольца. Матрица Гильберта А самосопряженна, положительно определена, но почти особенная, т. к. <1е1А « Ю-42 уже при размерности матрицы т = 10. А при решении краевых задач для уравнения Гельмгольца

где Д — двумерный оператор Лапласа, параметр Й2 выбираем таким образом,

чтобы матрица разностной задачи была незнакоопроделенной и почти особенной. Для этого параметр й2 должен быть близок к одному из собственных чисел оператора (—Д).

Проблема заключается в том, что при внесении погрешности в правую часть исходной системы решение итерационной схемы может катастрофически удаляться от точного решения и системы с иевозмущенной правой частью. Т.е. при переитерировании (л^По) ||м" — £/|| может расти с ростом п. Цель построения «хороших» итерационных схем заключается в том, чтобы кривая изменения в минимальной части была как можно пологой, чтобы при возможной переитерировании не было катастрофического, за несколько итераций, увеличения Ци" - и||. Как показали численные расчеты, итерационные схемы НА ведут себя существенно лучше чем градиентные схемы (рис. 1).

1п ]|и" - щ

1 „ ¿ = 0.01

1 — метод МН

2 — схема НА с ап+\ -матрицей

Рис. 1.

Далее, в параграфах 3.6, 3.7 приводятся результаты расчетов некоторых прикладных задач.

В параграфе 3.6 рассматривается задача движения равномерно стратифицированной жидкости в бесконечных областях. Это движение относительно функции тока и описывается уравнением Гельмгольца (17), для которого поставлена следующая задача (рис. 2).

Аппроксимируя в бесконечной области на неравномерной сетке уравнение (17) разностной схемой 2-го порядка, получим СЛАУ бесконечного порядка. При этом, в зависимости от величины к.2 , матрица А этой системы может быть как положительно определенной, незнакоопределенной, так и особенной. Для ограничения размерности решаемой системы необходимо решать уравнение Гельмгольца в ограниченной области Г2о- Но тогда на границах Гг, Гз необходимо каким-то образом замыкать разностную схему, ставя там некоторое условие для разностного решения. Как показывают натурные эксперименты и аналитический анализ [Аксенов А. В., Городцов В. А., Стурова И. В.

Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкостью // Препринт N 282. — М.: Институт проблем механики АН СССР, 1986.— С. 59.], [БелоцерковскийО.М., БелоцерковскийС. О., Пастушков А. Р. Численное моделирование течений стратифицированной жидкости у тел цилиндрической формы // Пробл. стратифицир. течений: Всес. конф.; Юрмала, 14-18 нояб.; 1988: Тез. докл. - Саласпилс, 1988.- Т. 1,- С. 19-22], волновое движение возникающее при обтекании препятствия равномерным потоком стратифицированной жидкости простирается достаточно далеко от препятствия. Поэтому, если мы на границе Гг поставим условие (19), то область будет так велика, что разностная задача будет иметь большую размерность и решать такую систему будет крайне затруднительно. Мы предлагаем для замыкания (17) на границе Гг аппроксимировать уравнение Гельмгольца внутрь области Пр. В результате получим СЛАУ конечной размерности, которую мы будем решать итерационными схемами НА. Многочисленные расчеты показали высокую эффективность используемых алгоритмов.

Использование на верхней и правой границах области решения в задачах обтекания разностных аппроксимаций самого уравнения позволяет получить приемлемое решение в достаточно малой области (см. рис. 3).

Рис. 3.

Разница в решениях в общей области не превышает 2%.

В параграфе 3.7 приведены результаты решения классической задачи Рэ-лея о замыкании заполненной газом сферической полости в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного перепада давления. Нестационарная задача, описывающая движение пузыря, на каждый момент времени методом граничных элементов сводится к задаче решения СЛАУ, матрица которой определяется заново. При этом свойства этой полностью заполненной матрицы, кроме самосопряженности, трудно анализируемы. Для решения этих систем использовались различные схемы НА.

На рис. 4 по результатам расчета задачи Рэлея представлена зависимость относительной погрешности вычисления радиуса пузыря от времени при решении СЛАУ различными численными методами.

Четвертая глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию итерационных схем для решения стационарной системы уравнений

AR(X)

1«

и 12 11

1 — метод НА с ая+| = const

2 — метод минимальных невязок

3 — метод Гаусса с выделением главного элемента

Рис. 4.

Навье-Стокса

B-V0 + Vpu = vAй + g, divй = 0.

(20)

В параграфе 4.1 доказана теорема о том, что если в нестационарную систему уравнений Навье-Стокса ввести матрицы М,- (1), 1=1,2,3 искусственной «вязкости»:

то сходимость решения ш системы (21) к решению системы (20) будет иметь место, вообще говоря, только в том случае, когда матрицы «вязкости» стремятся к нулю не медленнее, чем некоторая экспонента. При этом удается показать, что если нестационарное решение ещё далеко от стационарного, то можно улучшить оценку сходимости нестационарной задачи к стационарной.

Далее определяется структура матриц Mi. Показывается, что в некоторых случаях эти матрицы искусственной «вязкости» имеют диагональный вид, а это имеет наглядный физический смысл. Случай диагональных матриц означает, что вместо постоянной «вязкости» V мы вводим переменную «вязкость» и(1), которая должна стремиться при / —» оо к и не медленнее, чем некоторая экспонента.

Аналогичный результат был доказан в параграфе 4.2 для схемы расщепления, применяемой для решения линеаризованного уравнения Бюргерса, которое является модельным для системы (20). Там же приведены результаты численных расчетов по двум схемам переменных направлений с использованием нелинейной искусственной «вязкости». Расчеты показывают, что «вязкость» позволяет увеличивать скорость сходимости схем, удовлетворяющих условию полной аппроксимации в случае несамосопряженного оператора перехода.

Параграф 4.3 посвящен решению двух стационарных краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса. Рассматривается течение Пуазейля в плоском прямоугольном канале и течение в плоской квадратной камере с двумя противоположно расположенными отверстиями. На этих примерах был продемонстрирован опыт ускорения сходимости нелинейной итерационной схемы с

— + w ■ Vw + V&, = vAw + + g' = ^

dw

d2w

помощью искусственной «вязкости» и было показано, что именно «вязкость» позволяет ускорить сходимость схемы расщепления.

В параграфе 4.4 методом неопределенных правых частей строится итерационная схема четвертого порядка аппроксимации для решения системы уравнений Навье-Стокса. Рассматривается численный пример — течение в квадратной траншее с движущейся верхней крышкой. Расчеты показывают, что построенная итерационная схема — схема повышенного порядка аппроксимации на квадратной сетке с шагом h — 1/10, 1/20. Этой схемой кроме основного вихря удалось обнаружить вихри слабой интенсивности в нижних углах траншеи.

В пятой главе рассматриваются градиентные итерационные схемы с точной оптимизацией параметров решения нелинейных уравнений, возникающих при численном решении краевых задач движения вязкой и идеальной жидкости.

В параграфе 5.1 для решения билинейных операторных уравнений предлагается итерационная схема, у которой итерационные параметры выбираются из условия минимума нормы невязки.

В конечномерном гильбертовом пространстве Нт рассмотрим систему нелинейных уравнений.

где — линейный, — билинейный операто-

ры:

= ЬтМиит) + ЬтМяи "2) + ^тМщ^г) + ЬтМ^^г),

и> {> V,, I = 1,2 — т-мерные векторы из Нт, % I — 1,2 — произвольные постоянные. Будем предполагать, что система (22) имеет хотя бы одно решение.

Для решения (22) рассмотрим итерационную схему

где Вп — заданная неособенная матрица с элементами, зависящими от и", — некоторый вектор, .. — произвольное начальное приближение из области определения оператора А, т„+\, ап+\ — итерационные параметры.

Относительно невязки г" = А{ип, и") — / схема (23) выглядит следующим образом

где

Завис ¡|г^//2|| и ||г"+1|| от ап+\ е т вид полинома 4-го порядка (см. рис. 5).

Аналогична зависимость и Цг""1"1^2!! от тп+1. Отсюда очевидно, что существуют такие Тп+\ и оя+ь что И и Г+Ч1 <

Если ая+1 выбирать из условия минимума ||гл+| ||, то для этого надо решать кубическое уравнение

Решение этого уравнения, о£+«, при котором достигается глобальный ми-

(24)

•I

нимум ||г"+||| , можно найти явно по формулам Кардано и, при этом,

1ГЧ|2 = ^+1Г+1/2||2,

где ^ 1. Причем, равенство достигается только в случае в1Я=Ю. Аналогично, можно выбрать и тя+1. Тогда

и, следовательно, является монотонно убывающей последовательно-

стью.

Если = О, ТО ©3„ = ©4* = о, ©2п = ||^л||2 и о£+| = =

Тогда

" 11 Г 11^1п||2||^+,/2|| /

Последнее равенство означает, что убывание нормы невязки происходит по формулам аналогичным для метода минимальных невязок решений СЛАУ.

Затем, как и в линейном случае, построен итерационный метод минимальных невязок (МН), использующий итерационный параметр в виде матрицы, что позволяет при вычислении каждой компоненты вектора свой итерационный параметр.

я+1

использовать

Пусть в схеме (23) параметр an+i есть некоторая матрица. Тогда перепишем (236)в виде

где

zik) _ вектор с одной ненулевой ki-oü компонентой — г^ = (0,..., О, 2*„0.....0)г.

Для схемы (23) можно предложить несколько алгоритмов выбора итерационных параметров.

Алгоритм 1. aj!+l) выбираются последовательно/ = А,- = I, i = 1,2 ,..,т

из условия минимума последовательности норм невязок ЦА^}^ — /||, р = = 1,2,.., т. Этот алгоритм отвечает диагональной матрицеап+\',

Алгоритм 2. Если какая-то часть компонент вектора цл+1/'2 уже достаточно близка к точным (г £ /(), а остальная часть компонент (i £ /2) — нет, что часто бывает при решении задач движения жидкостей, то, выбирая из множества Ji, можно оптимизировать итерационный метод (23) при пересчете только тех компонент i 6 /2, которые еще далеки от точного значения;

Алгоритм 3. При решении разностных схем, аппроксимирующих нелинейные дифференциальные уравнения, являющихся системами (23) с ленточной матрицей, как и в случае систем линейных алгебраических уравнений, параметры можно выбрать по группам компонент, используя многопроцессорность компьютеров.

Алгоритм 4. В случае диагональной матрицы a„+i = (e^+j) выбираются из условия глобального min Цгл+1Ц. Для этого, в предположении, что

выполнено условие

0, Vi,/ =1,2.....т, (25)

необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

G'Ga = ~Grn+l/2, (26)

где

Ga =A(un+l/2,a) + At(a,un+l/2),

«-(«а.....«iif-

При этом, как и в алгоритме 2, если множество всех индексов / можно разбить на непересекающиеся подмножества /{,... ,/д, для каждого из которых выполняется условие (25), то проблему нахождения оптимальных

18

можно разложить на последовательность решения систем вида (26) только меньшей размерности.

В случае, если итерационный параметр является константой, то для схемы (23) можно, как и в линейном случае, построить ускоряющую проце-

дау

л+2

н"+2 = (1 + ип)ип+2 - ыпи\ л = 0,1,2.....

решение схемы (23), и>п выбирается из условия минимума

где и", и

В этом случае, если схема (23) сходится медленно, то

что полностью соответствует линейному случаю (см.(15)). Проведенные методические расчеты показали эффективность предлагаемого ускорения сходимости итерационных схем решения билинейных систем уравнений.

В параграф 5.3 изложено доказательство сходимости схемы (23) в случае решения одной модельной задачи.

Рассмотрим разностную задачу

ЦД1+ .....ДГ-1,

2Л

й2

(27)

— положительная постоянная, аппроксимирующую дифференциальную задачу

на равномерной сетке с шагом со вторым порядком.

Задача (27) — система билинейных уравнений, которую мы будем решать схемой (23). Для её сходимости достаточно выполнение неравенства

В этом параграфе доказывается, что существует последовательность векторов {г"}, для которых выполнено (28) и тем самым доказывается сходимость итерационного метода (31).

Результаты расчетов неявными методами НА ряда тестовых задач изложены в параграфе 5.4.

Оказалось, что итерационную схему (31) можно использовать и при решении дифференциальных уравнений, имеющих не одно решение.

Рассмотрим дифференциальную задачу ¿2 и 3

+ и + Д (и - с, 51п(тгл:)) = 0, * е [0,1], (29)

<=1

и (0) = и(Ь) = О, здесь 6—1 или 2.

Легко видно, что задача (29) имеет 3 решения Щх) = Щ зт(7г;с), 1= 1,2,3, П[ — произвольные постоянные. Использование итерационных схем МН (23) для решения разностной задачи аппроксимирующей задачу (29) показало, что скорость сходимости этих итерационных схем достаточно высока и они сходятся к ближайшему по норме к начальным данным решению (см. рис. 6)

Рис. 6.

Шестая глава посвящена построению алгоритма переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области на примере модельного уравнения.

В параграфе 6.1 рассматривается дифференциальная задача

du d2u ... .. . ....

u—-vj-t = f(x),xe{0,<x>) (30)

u(0) = uo, и 0 при х -* оо, (31)

v = const > 0, Uci — заданная постоянная, [(х) — известная правая часть такая, что

J f(x)dx < оо, X е (0, оо).

Далее мы будем считать, что задача (30), (31) имеет единственное решение из класса С4 [Ь, оо). Целью настоящего параграфа является такая постановка краевого условия в точке X € (О.оо), чтобы оно было следствием самого уравнения (30) и учитывало краевое условие на бесконечности (31).

Для этого проинтегрируем (30) по области [Х, оо) и, с учетом краевых условий на бесконечности, получим

Заметим, что (32) есть точное следствием самого уравнения (30) и краевого условия на бесконечности.

Теперь равенство (32) можно брать за нелинейное краевое условие при решении уравнения (30) в конечной области.

Введем на [X, оо) неравномерную сетку = 1,2,.

Аппроксимируем какой-либо разностной схемой уравнения (30), а в точке Ху = X аппроксимируем равенство (32). В итоге на конечном отрезке [ОД] получена разностная задача, являющейся билинейной системой уравнений. Эту систему мы решаем итерационными методами из главы 5.

Проблема переноса краевого условия с бесконечности на границу конечной области особенно не проста в нестационарном случае. Параграф 6.2 как раз и посвяшен алгоритму этого переноса.

Рассмотрим нестационарную краевую задачу.

и = и(х, 0, v — const > 0, /(х, t), ip(x), ip(t) — известные функции. Мы считаем что задача (33), (34) имеет единственное решение, имеющее две непрерывные ограниченные производные по t, четыре непрерывных ограниченных производных по л: и

Проинтегрируем уравнение (33) по t на отрезке [i, t + Af] И по X на полуинтервале [Ь, оо) . Предполагая, ч шЛл учим равенство

которое можно взять за краевое условие при численном решении задачи (33), (34).

Затем возможно построение неявных разностных схем 2-х видов:

а) слагаемые и.т£ = 0,5^-, ^¡т аппроксимируются на верхнем временном

слое.

б)слагаемоеа|^1роксимируется следующим образом: и — на нижнем, а — на верхнем временном слое.

Аналогично, нелинейно или линейно, можно аппроксимировать и краевое условие (35).

В первом случае, на каждом временном шаге = лД£, п = 1,2,... необходимо решать билинейную систему уравнений, а во втором случае — СЛАУ, причем, сама матрица системы меняется при переходе от одного временного слоя к другому и тем самым свойства этой матрицы заранее неизвестны и трудно предсказуемы. И для решения таких систем мы использовали итерационные схемы НА, изложенные в главе 3.

В параграфе 6.3 приводятся серия численных расчетов решения ряда стационарных и нестационарных задач.

Наряду с краевыми условиями (32), (35) мы, как и в главе 3, на границе конечной области задавали краевое условие как аппроксимацию самогоурав-нения внутрь области.

На рис. 7 приведены результаты расчетов нестационарной задачи (33), (34).

1 — точное решение

2 — приближенное решение, полученное после выполнения условия ||г"Ц ^ Ю-4

Движение стратифицированной жидкости, даже в самых простых постановках и математических приближениях, является достаточно сложными. Особенно это относится к нестационарным задачам в бесконечных областях, где даже финитное по времени возмущение при стационарных краевых условиях может не приводить к стабилизации по времени решения [Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 344 с ].

Седьмая глава и посвящена построению алгоритмов решения стационарных и нестационарных задач движения идеальной и вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости.

В параграфе 7.1 приводятся краткие сведения о стационарных и нестационарных движениях идеальной и вязкой несжимаемой стратифицированных жидкостей.

В параграфе 7.2 построены алгоритмы решения нестационарных задач движения идеальной и вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости.

Если стационарная задача в бесконечной области требует задания краевого условия на бесконечности, то, как видно из постановок задач, приведенных в параграфе 7.1, для существования и единственности решения нестационарных задач в бесконечных каналах не требует задания краевого условия на бесконечности. А это означает, что при численном решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости в бесконечных областях необходимо решать поставленные задачи в конечной области, на границе которой никакого условия ставить нельзя и тем самым, при аппроксимации краевой задачи неявными схемами, на каждом шаге по времени необходимо решать СЛАУ с может быть «плохой» матрицей (матрица системы из-за аппроксимации уравнения внутрь области решения может быть, например, незнакоопре-деленной для какого-тот момента времени или почти особенной). Поэтому, решение на верхнем временном слое мы получаем с помощью итерационных схем НА, изложенных в гл. 3. На рис. 8 приведены картины движения жидкости в полубесконечном канале с препятствием на дне.

В параграфе 7.3 предлагается способ численного решения уравнения Дюбрейль-Жакотен, описывающее движение стратифицированной жидкости в бесконечной области. Этот способ основан на переносе краевого условия с бесконечности на границу конечной области с помощью некоторой аппроксимации самого уравнения на границе этой области (аналогично гл. 3, 6). Само уравнение аппроксимируется на неравномерной сетке какой-либо разностной схемой. Эта схема вместе с краевыми условиями является системой билинейных уравнений, которая решается рассматриваемыми в гл. 5 итерационными методами МН. Численные расчеты показали высокую эффективность предложенного алгоритма, (см. рис. 9)

Как и прежде, уменьшение области решения приводит к изменению приближенного решения в общей области не более чем на 1%.

Решение задач движения вязкой несжимаемой жидкости является достаточно сложной проблемой. Несмотря на длительную историю построения и изучения численных алгоритмов есть ряд проблем, которые до сих пор не получили достаточного разрешения. Глава 8 как раз и посвящена построению алгоритмов решения некоторых задач.

/ = 0.0015 / = 0.015 /=1.5

Рис. 8.

Рис. 9.

В параграфе 8.1 приводится некоторые необходимые сведения из теории групповых свойств дифференциальных уравнений.

Далее построены 2-ые продолжения инфинитезимальных операторов и доказывается теорема о групповой классификации так называемых релаксационных моделей (£-СИСтем) для системы уравнений Навье-Стокса.

Как показано в §8.1, использование е-систем при решении стационарных задач требует аккуратного подхода. Например, при решении стационарной системы уравнений Навье-Стокса с помощью нестационарной поворот системы координат может существенно менять решение. Чтобы при решении стационарных задач избежать проблемы построения е-систем и разностных схем, не допускающих различные преобразования систем координат, необходимо просто аппроксимировать стационарную систему уравнений Навье-Стокса разностной схемой, которая является системой билинейных уравнений и решать эту систему каким-либо итерационным методом. Такой подход позволяет решать эффективно как внутренние задачи, так и задачи обтекания.

Далее в параграфе 8.2 рассматривается задача для системы уравнений Навье-Стокса, описывающие стационарное движение однородной вязкой несжимаемой жидкости.

Здесь w = (tB?i |Ш2,Шз) — вектор скорости, g = (g1.g2.g3) — вектор массовых сил, w, = Wi(x), р = р(х), gl = g,(x), i ~ 1,2,3, х = (Х[,Х2,Х3), v — const > 0, U — область решения, Г — граница SI. Будем считать, что задача (36)—(38) имеет решение, имеющее 4 непрерывных ограниченных производных по всем переменным [Ладыженская А. О. Математическое вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е издание.— М.: Наука, 1970. ].

Введем в области П согласованную с границей Г неравномерную прямоугольную сетку На этой сетке аппроксимируем задачу (36)—(38) разностной схемой 1-го или 2-го порядка, которую можно записать в виде

шЛ7Ф + Vp = vAw + g,

diväi = 0, x e fi, w(x) = ip{x) на Г = dÜ

(36)

(37)

(38)

A(u, ы) = /, u,feHr

(39)

где ж«,= А1 (и, и) +А2Ч, А]{и, и) — билинейный оператор, Ач — линейный оператор, / — известный вектор, и — неизвестный вектор решения, размерность которого равна количеству точек сетки

Если давление р = р(х), как и в исходной задаче (36)-(38), не задавать на границе сеточной области Пд, то у системы (39) количество неизвестных больше числа уравнений. Поэтому, считая, что уравнение неразрывности (37) выполняется, включая границу, предлагается доопределить разностную схему путем аппроксимации на этой границе уравнения (37) внутрь области решения. Тогда система (39) будет иметь равенство уравнений и неизвестных. В том и другом случае для нахождения обобщенного решения (минимизирующего норму невязки) этой системы мы использовали итерационную схему МН, описываемую в главе 5 во всех модификациях.

Как показали расчеты, явная итерационная схема (23) с параметром матрицей сходится в десятки раз быстрее схем стабилизирующей поправки и продольно-поперечной прогонки.

Использование явных схем МН позволяет решать задачи протекания, в которых трудно поставить краевые условия на входе и выходе канала. Так, удалось решить задачу о течении в квадратной камере с двумя противоположными отверстиями, течение в которой происходит под действием движущейся с постоянной скоростью крышки (рис. 10).

Другой формой системы уравнений Навье-Сток-са, является её представление в виде системы уравнений относительно переменных ф — /(функции тока»,

В параграфе 8.3 рассматриваются методы решения разностных схем, аппроксимирующих как внутренние, так и задачи протекания для системы уравнений Навье-Стокса в переменных

Разностная задача записывается в виде системы билинейных уравнений (39). Эту разностную задачу мы решали итерационными методами из главы 5 во всех модификациях, включая Алгоритм 4 из параграфа 53. В задачах протекания при постановке краевого условия на выходе из канала мы как краевое условие ставили некоторую аппроксимацию самой системыуравнений внутрь области. Правильность приближенного решения проверялось решением (40) во все увеличивающейся области и сравнением полученных решений в общей, меньшей области. На рис. 11 приведена картина течения в канале с уступом для различной длины канала.

ш — «завихренность».

Рис. 11.

Очень интересной и важной практически является задача обтекания препятствия бесконечным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Одной из главных проблем здесь является способ переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области.

Параграф 8.4 посвящен построению интегральных краевых условий, являющихся следствием самой системы уравнений Навье-Стокса и краевого условия на бесконечности и методам численного решения получающихся краевых задач.

Рассмотрим задачу обтекания контура Г потоком однородной вязкой несжимаемой жидкости, описываемую системой уравнений Навье-Стокса (36),(37) с краевыми условиями (рис. 12)

Рис. 12. Область решения в задаче обтекания.

Мы считаем, что поставленная задача имеет достаточно гладкое решение (по крайней мере существует 4 ограниченных гладких производных по всем переменным).

Проинтегрируем уравнение (36) по бесконечной области (рис. 12). Область влияния препятствия Гг на поток обтекаемой жидкости конечна, поэтому, используя равенство нулю производных на границе параллелепипеда

которые можно брать за краевое условие на Гз при решении задачи обтекания.

В области построим неравномерную согласованную с границей Гг сетку и аппроксимируем на ней систему уравнений (36), (37) и краевые условия (41) какой-либо разностной схемой. Интегральные краевые условия (42) заменим квадратурной формулой порядка точности не ниже порядка аппроксимации разностной схемы. В итоге приближенное решение задачи (36), (37), (41), (42) будет удовлетворять системе билинейных уравнений (39), которую мы решаем итерационными методами, рассматриваемыми в главе 5.

Кроме интегрального условия (42) в расчетах мы использовали и локальные условия определения решения на линиях и плоскостях конечной области с помощью аппроксимации внутрь областирешения самой системыуравне-ний.

На рис. 13 приведена картина течения обтекания прямоугольника потоком вязкой несжимаемой жидкости («1 = 1, щ = —0,1). Причем, правую границу мы выбирали максимально близко к обтекаемому телу, что позволяет существенно уменьшить область решения.

Поскольку предложенные алгоритмы оказались достаточно эффективными при решении двухмерных задач, они были применены при решении трехмерной задачи движения вязкой несжимаемой жидкости, описываемой системой уравнений Навье-Стокса (см. §8.5)

Рис. 13.

1/Ддо -

д(ти) д(иии) д(ш2) _ дР ~дх ду дГ ~ дг'

дх ду дг

(45)

(46)

Для проверки эффективности предложенных алгоритмов решения трехмерных задач были проведены расчеты движения жидкости в кубической каверне с движущейся верхней крышкой, движения жидкости в канале с обратным уступом, движения кубического тела в канале, течения в кубической каверне с двумя отверстиями и движущейся крышкой.

Задача течения жидкости в трехмерной каверне была использована в качестве тестовой, так как краевые условия в этой задаче относительно просты.

Расчеты проводились при коэффициенте вязкости V = 0 01, 0 025, 0 001. Анализ решения показал существенное влияние трехмерности задачи на картину течения (рис. 14)

Рис 14 Треки частиц в срединном сечении и на боковых гранях каверны, а также «внешний» и «внутренний» вихри (V — 0 001)

Как и в работах других авторов (см, например, [Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью / С Исаев, А Судаков, Н. Лучко и др. // ИФЖ. - 2002. - Т. 75, № 1. -С. 49-53]) в каверне обнаруживается первичный вихрь, имеющий вид тора. «Внутри» этого тора находится зона заблокированного течения, которое не перемешивается с течением в первичном вихре и индуцируется его движением

С уменьшением параметра вязкости наблюдается интенсификация струй-но-вихревого течения, центр вихревого образования смещается к геометрическому центру каверны и в центральной части каверны формируется зона квазидвумерного течения

Аналогичная картина течения с заблокированным течением наблюдается и в кубической каверне с двумя отверстиями и движущейся крышкой (см. рис 15)

В постановке задач движения жидкости в канале с обратным уступом и движения кубического тела в канале присутствуют условия на бесконечности Для численного решения необходимо каким-либо образом перенести эти

Рис. 15. Течение в протечной каверне [у = 0.01)

краевые условия с бесконечности на границу конечной области Как и в двумерном случае, недостающие условия для компонент скорости и, V, т и давления Р получались с помощью аппроксимации внутрь области уравнений (43), (44), (45) и (46) соответственно. Это позволило уменьшить область расчета и тем самым сократить размерность решаемой системы нелинейных уравнений, что особенно важно в трехмерных задачах.

Анализ приближенного решения показал наличие сложных струйно-вихревых структур за рассматриваемыми препятствиями (рис. 16, 17).

2

Рис. 16. Треки частиц, обтекающих обратный уступ (и = 0,02).

Рис. 17. Треки частиц, обтекающих кубическое тело (и = 0.01).

При решении всех задач использовался метод последовательного измельчения сетки. В численных расчетах на мелкой сетке в качестве начального приближения использовалась линейная интерполяция решения, полученного на более крупной сетке. Такой подход позволил значительно сократить время расчета.

Основныерезультаты

Приведен 2р-циклический всегда устойчивый алгоритм реализации чебы-шевского итерационного метода [4].

Построена итерационная схема неполной аппроксимации с вариационной оптимизацией параметров, в которой итерационный параметр может быть матрицей. Эта схема используется для решения СЛАУ с незнакоопределен-ной и почти особенной матрицей, когда неприемлемо использовать первую трансформацию Гаусса. Причем, выбор итерационного параметра в виде матрицы позволяет глобально (с учетом перехода от одного вектора итерационного решения к следующему) оптимизировать переход от одной итерации к следующей [1, 2, 5, 7, 11,14,18, 21, 22, 23, 24].

Проведена групповая классификация, л-систем, аппроксимирующих систему уравнений Навье-Стокса, что позволяет выделять и строить е-систем с заданными групповыми свойствами [14,17,18].

Для решения билинейных систем уравнений, к которым относятся большинство разностных схем, аппроксимирующих уравнения описывающие движения вязкой жидкости, предложен итерационный метод минимальных невязок с многокомпонентной точной оптимизацией параметров [3, 6, 8, 14, 15, 16,19,25].

Построена процедура ускорения сходимости итерационных схем решения билинейных систем уравнений с аналогичной оценкой ускорения сходимости

имеющей место при решении систем линейных уравнений с самосопряженным оператором [12].

Созданный комплекс программ позволяет решать стационарные двух и трехмерные задачи течения вязкой несжимаемой жидкости [13].

Предложены алгоритмы переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области, основанные или на интегральных равенствах, являющихся следствием решаемых уравнений и краевого условия на бесконечности, или на аппроксимации самого уравнения [9,10,11,12,14, 25].

Основные публикации автора по теме диссертации

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях:

1. Захаров Ю. К, Шокин Ю. //., Яненко Н. Н. Об одном методе ускорения сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. - 1974. - Т. 5, № 5. - С. 57-62.

2. Захаров Ю. Н. Ускорение сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. — 1975. — Т. 7, № 7. — С. 12-22.

3. О двух итерационных схемах для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса / Н. Н. Яненко, В. В. Окунцов, Ю. Н. Захаров и др. // Комплексный анализ и его приложения. — М.: Наука, 1978.— С. 638-652.

4. Захаров Ю. Н. Об одном способе построения циклических итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред.— 1979.— Т. 10, № 4.

5. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации // Численные методы механики сплошных сред. — 1985. — Т. 16, № 6. — С. 77-83.

6. Захаров Ю. Н., Толстых М. А. Многопарамстричсская оптимизация итерационных схем решения уравнений с полиномиальной нелинейностью // Моделирование в механике.— Новосибирск, 1990.— Т. 4(21), № 1.— С. 109-114.

7. Афанасьев К. Е., Гудов А. М., Захаров Ю. Н. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1992. — Т. 1, № 3. — С. 158-166.

8. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнения Дюбрейль-Жакотен // Вычислительные технологии. — 1993. — Т. 2, № 4. — С. 95-104.

9. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности // Вычислительные технологии— 1993,— Т. 2, № 7.— С. 55-68.

10. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения стационарной задачи обтекания // Вычислительные технологии. — 2002. — Т. 7, № 3. — С. 11-17.

11. Балаганстй М. Ю., Захаров Ю. Н., Ханевт В. Использование итерационных методов в решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости // Вычислительные технологии— 2002.— Т. 7, № 5.— С. 3-10.

12. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока, вихрь // Вычислительные технологии— 2003. — Т. 8, № 5. — С. 14-23.

13. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные методы решения уравнений гидродинамики (ISM-FLUID-3D) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004610310. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, г. Москва, 28 января 2004 г. — 2004.

14. Захаров Ю. Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики. — Новосибирск: Наука, 2004.— 240с.

Работы опубликованные в трудах всесоюзных, всероссийских и международных конференций и симпозиумов:

15. Janenko N. N.. Shokin J. I., Zaharov J. N. On the nonlinear acceleration of iterative shemes // Quatrieme Colloque International sur les Metodes de Calcul Scientifique et Technique. France, (Versaille, 1979).- Paris, 1979.- C. 20.

16. Janenko N. N.. Shokin J. I., Zaharov J. N. On the Nonlinear Acceleration of Iterative Shemes // IV Intern. Symp. On Computing Methods in Appl. Sciences a. Eng. (Versailles, Dec. 10-14,1979):Proc-Amsterdam, 1980.- С 113-132.

17. Захаров Ю. Н. О групповом анализе е-систем // В кн. « Численные методы динамики вязкой жидкости».—Тр. IX Всесоюзной школы-семинара.— Новосибирск, 1983.-С. 153-157.

18. Захаров Ю. Н. Об одном методе последовательных приближений решения линейных операторных уравнений // В кн. «Теория функций и ее приложения».- Кемерово, 1985.- С. 86-89.

19. Захаров Ю. Н, Нагорнова О. Н. Итерационная схема минимальных невязок решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // В кн. «Проблемы динамики вязкой жидкости». — Новосибирск, 1985.—С. 156-159.

20. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации решения систем линейных уравнений с незнакоопределенной матрицей // «Конструирование алгоритмов и решения задач математической физики». Сб. науч. тр.-М., 1989,-С. 197-201.

21. Захаров Ю. Н. Об одном численном алгоритме решения нелинейно-дисперсионных уравнений Алешкова Ю. 3. // Тр. Всесоюзного совещания по численным методам в задачах волновой гидродинамики.— Красноярск, 1991.-С. 64-69.

22. Захаров Ю. Н. Применение итерационных схем неполной аппроксимации в задачах волновой гидродинамики // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики, — М., 1991. — С. 102-106.

23. AfanasievК. Е., Gudov A. M., Zakharov Y. N. The use of iteration schemes of incomplete approximation in some problems of hydrodynamics // Modelling Measurement & Control, B, AMSE Press. - 1992. - Vol. 46, no. 4. - Pp. 27-40.

24. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной и почти особенной матрицей // Прямые и обратные задачи теплообмена. — Кемерово, 1993,— С. 85-91.

25. Балаганский М. 10., Захаров Ю. Н. Итерационное решение трехмерной системы уравнений Навье-Стокса // Труды международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». — Усть-Каменогорск, 2003. — Т. 1. — С. 95-101.

Подписано в печать 04.10.04 г.

Формат бумаги 60x90 1/16 объем 1 печлист.

Тираж 130 экземпляров.,, *м Заказ №1025

-!-д . i ,ii ....' г-:-

Отпечатано: типография КВК «Экспо-Сибирь», г.Кемерово, ул.Кузб^ская-28Б, ,7ел.36-20-09

Ц97 96

РНБ Русский фонд

2005-4 17304

Введение

ГЛАВА 1. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ СО СПЕКТРАЛЬНОЙ

ОПТИМИЗАЦИЕЙ

1.1 Некоторые понятия и постановка задач.

1.2 Итерационные схемы с положительным оператором шага.

1.3 Циклические схемы чебышевского типа

1.4 Реализация 2Р-циклической чебышевской схемы.

1.5 Гибридная многошаговая схема.

ГЛАВА 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ НЕПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

СО СПЕКТРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ

2.1 Схемы использующие точное задание границ спектра операторов

2.2 Использование метода неопределенных правых частей в итерационных схемах для решения разностных схем повышенного порядка аппроксимации

ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ НЕПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

С ВАРИАЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ

3.1 Схемы с вариационной оптимизацией параметров.

3.2 Двухслойные схемы неполной аппроксимации.

3.3 Асимптотическое свойство и ускорение сходимости схем неполной аппроксимации.

3.4 Схема неполной аппроксимации с параметром матрицей.

3.5 Некоторые методические расчеты и анализ неточного задания правой части на скорость сходимости схем НА

3.6 Движение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в бесконечной области.

3.7 Решение задачи Рэлея о «схлопывании» газового пузыря.

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ

СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

4.1 О сходимости одной системы, аппроксимирующей систему уравнений Навье-Стокса.

4.2 Использование искусственной «вязкости» для ускорения сходимости схем расщепления.

4.3 Результаты численных расчетов с использованием искусственной «вязкости».

4.4 Построение схемы четвертого порядка аппроксимации для системы уравнений Навье-Стокса методом неопределенных правых частей.

ГЛАВА 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ

5.1 Метод минимальных невязок.

5.2 Ускорение сходимости метода минимальных невязок.

5.3 Итерационные схемы решения стационарных уравнений Бюргерса

5.4 Численные расчеты модельных задач.

ГЛАВА 6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА В БЕСКОНЕЧНОЙ

ОБЛАСТИ

6.1 Решение стационарной задачи в бесконечной области.

6.2 Решение нестационарной задачи в бесконечной области.

6.3 Численные расчеты модельных задач.

ГЛАВА 7. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗА

ДАЧ ДВИЖЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ

7.1 Некоторые задачи, описывающие движения стратифицированной жидкости.

7.2 Численное решение нестационарных задач движения идеальной и вязкой стратифицированной жидкости

7.3 Решение уравнения Дюбрейль-Жакотен

ГЛАВА 8. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

8.1 Групповая классификация £-систем.

8.2 Двумерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке «скорость»-«давление»

8.3 Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока»-«вихрь».

8.4 Интегральное краевое условия при решении задачи обтекания

8.5 Численное решение системы уравнений Навье-Стокса в переменных скоростей и давления в трехмерном случае.

Требование практики приводит в появлению новых математических моделей, описывающих окружающий нас мир. Эти модели являются более сложными в изучении и решении. Это обстоятельство приводит к необходимости решать такие задачи при таких условиях, на которые прежде недостаточно обращалось внимание. Это относится, в частности, к методам решения систем линейных и нелинейных уравнений с «плохими» матрицами и недостаточной информацией о свойствах этих матриц.

Цель работы заключается в конструировании и исследовании таких итерационных методов решения систем линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, сходимость которых слабо зависит от свойств операторов решаемых систем, что позволяет их использовать для решения как внутренних, так и внешних задач движения идеальной стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости.

Диссертация состоит из введения, восьми глав, списка цитируемой литературы и приложения; содержит 345 страниц текста, в том числе 24 таблицы, 114 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 365 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

1. Многошаговая итерационная схема решения линейных операторных уравнений с положительно определенным или незнакоопределенным оператором является чебышевским итерационным методом с простой геометрической интерпретацией. При этом, в отличие от известных реализаций, предлагаемая является устойчивой к определению нормы оператора шага 5*(т*) некоторой базовой сходящейся схемы. Это означает, что если известно точное значение р* = ||5(т*)|| схемы, на основе которой строится многошаговая схема, то эта схема сходится со скоростью чебышевского итерационного метода. Если же вместо неизвестного р* использовать некоторую оценку рь для /э*, то при всех Рь €(0,1) многошаговая схема является сходящейся.

2. Схемы не удовлетворяющие условию полной аппроксимации при правильном выборе итерационных параметров всегда сходятся быстрее схем универсального алгоритма как в случае спектральной, так и в случае вариационной оптимизации параметров. Важным случаем применения этих итерационных схем является решение линейных операторных уравнений с незнакоопределенным и почти особенным оператором, когда фактически нельзя использовать 1-ю трансформацию Гаусса (умножение решаемого уравнения на А*). Введение в эту схему итерационного параметра в виде матрицы позволяет получать сходимость схем НА вне зависимости от знакоопределенности или незнакоопределенности исходного оператора.

Если ап+1 является матрицей, то в этом случае переход от компонент вектора ип к компонента вектора ип+1 происходит со своим оптимальным итерационным параметром.

При этом возможны следующие алгоритмы выбора элементов диагональной матрицы итерационных параметров:

1) элементы диагонали равны;

2) элементы диагонали выбираются последовательно из условия минимизации квадратичных функционалов, тем самым минимизируя функционал ошибки перехода от предыдущего итерационного вектора к последующему покомпонентно;

3) элементы диагонали выбираются группами, минимизируя функционал погрешности перехода от одной группы компонент итерационного вектора к такой же группе компонент последующего итерационного вектора;

4) элементы ап+\ выбираются из условия глобального минимума функционала ошибки перехода от компонент ип к компонентам ип+1, получая точное решение исходной системы за одну итерацию. Для реализации этого алгоритма необходимо решать некоторую систему линейных алгебраических уравнений. В случае решения разностных схем эта система легко решается путем ортогонализации небольшого, даже при большой размерности исходной системы уравнений, числа векторов гп;

5) введение матрицы итерационных параметров не мешает построению алгоритма ускорения сходимости градиентных схем решения СЛАУ с незна-коопределенной матрицей путем комбинации ип и ип+2.

Эти способы организации вычислительного процесса позволяют эффективно решать прикладные задачи, когда информация о матрице и правой части задана неточно. В частности, итерационные схема НА позволили решать задачи движения идеальной и вязкой стратифицированной жидкости в бесконечных каналах.

3. Применение разностных методов к решению задач движения вязкой несжимаемой жидкости приводит к необходимости решать системы билинейной системы алгебраических уравнений большой размерности. Использование итерационных методов решения именно этих систем имеет смысл, если их реализация не требует большого числа арифметических операций и эти схемы сходятся достаточно быстро. В настоящей работе удалось построить метод минимальных невязок, который прост в реализации, т.к. итерационный параметр точно минимизирует норму невязки и вычисляется по точным формулам Кардано. Здесь также как и в линейном случае итерационный параметр можно выбирать в виде матрицы, что позволяет иметь те же вышеперечисленные пять алгоритмов реализации. Особо следует отметить метод ускорения сходимости итерационных схем. При плохой сходимости базовой итерационной схемы это ускорение имеет такую же оценку скорости сходимости, что и полностью аналогичный метод, используемый в линейном случае. Это позволяет эффективно использовать это ускорение при решении двух- и трехмерных задач гидродинамики.

4. При решении разностными методами дифференциальных задач в бесконечных областях стоит проблема переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области. В диссертации для нелинейного одномерного уравнения Бюргерса получены краевые условия на границе конечной области, которые являются следствием самого уравнения и краевого условия на бесконечности. При этом в стационарном случае это краевое условие является точным следствием, а в нестационарном — приближенным. Полученные условия позволяют успешно решать стационарные и нестационарные задачи для уравнения Бюргерса на достаточно малой части бесконечной области решения.

Решение системы уравнений Навье-Стокса (течения вязкой несжимаемой однородной жидкости) особенно в трехмерном случае до сих пор представляет сложную задачу. Это связано, в частности, с тем, что система уравнений Навье-Стокса: во-первых, является нелинейной; во-вторых, нестационарная система в естественных переменных («скорости-давление») не является системой Коши-Ковалевской; в-третьих, в исходной задаче для существования решения системы нет необходимости ставить краевые условия для давления, а для системы, записанной относительно функции тока и завихренности (чр, т) надо задавать краевые условия для завихренности; в-четвертых, решение системы уравнений в бесконечных областях, в силу сложной структуры течений, требует крайне аккуратного способа переноса краевого условия с бесконечности на границу конечной области.

В диссертации решение практически всех этих проблем нашло отражение.

5. В силу того, что в естественных переменных для определения давления Р нет уравнения с <9Р/<9/ для вычисления скоростей и давления чаще всего используют ^-аппроксимации (релаксационные модели) системы уравнений Навье-Стокса. В диссертации показано, что ^-системы не тождественны по групповым свойствам системе Навье-Стокса. Полученные условия групповой адекватности е-систем и системы Навье-Стокса показывают, что использование нестационарных релаксационных моделей для решения стационарных задач может оказаться нецелесообразным из-за их медленной сходимости. Поэтому в диссертации для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса аппроксимирующие ее разностные схемы рассматриваются как система билинейных уравнений. Эта система решается итерационным методом минимальных невязкой. При этом давление, скорости, функции тока и завихренность можно определить из разностных уравнений, аппроксимирующих исходную систему Навье-Стокса на тех участках границы, где сложно задаются краевые условия. Такой подход позволил успешно решить ряд двух-и трехмерных внутренних задач движения вязкой несжимаемой жидкости.

6. Решение задач движения жидкости в бесконечных каналах и задач обтекания требует переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области. В диссертации, используя интегрирование стационарной системы уравнений Навье-Стокса по бесконечной области за обтекаемым телом, на границе конечной области получаются интегральные равенства, являющиеся следствием уравнений и краевого условия на бесконечности. Наряду с интегральным условием при решении задач обтекания и протекания мы успешно использовали локальное условие, основанное на некоторой аппроксимации внутрь области решения исходной системы Навье-Стокса. Оба этих подхода позволяют существенно уменьшить область решения, особенно в задачах

1. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. — 1992,— Т. 28, №7.-С. 1154-1167.

2. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения,- 1993.-Т. 29, №9.-С. 1561-1574.

3. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения,- 1994.-Т. 30, № 12,- С. 2094-2105.

4. Аксенов А. В., Городцов В. А., Стурова И. В. Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкостью // Препринт N 282.— М.: Институт проблем механики АН СССР, 1986. — С. 59.

5. Алешков Ю. 3. Полная модель процесса распространения длинных волн и их взаимодействие с преградами // Исследование цунами.— Ленинград, 1987.-№2.-С. 113-122.

6. Алибиев Д., Данаев Н. Т., Смагулов Ш. Об итерационном методе решения одного класса операторно-разностных уравнений // Деп. В КазНИИНКИ 24.06.93, №4261-93.- Алматы, 1993.- 30 с.

7. Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения для третьей краевой задачи в р-мерном параллелепипеде // Журнал выч. математики и мат. физики.— 1965.— Т. 5, № 4.— С. 626-637.

8. Андронов П. Р. Численное моделирование обтекания двух круглых со-осных дисков с учетом диссипации завихренности в следе // Тр. 9-го Междунар. симп. «Методы дискрет, особенностей в задачах мат. физ.»

9. МДОЗМФ-2000), посвящ. 80-летию со дня рожд. проф. С. М. Белоцер-ковского, Орел, 29 мая-2 июня, 2000. — Орел, 2000. — С. 28-32.

10. Артемьев В. К. Вариант неявного метода для решения системы уравнений Навье-Стокса в естественных переменных // Физ.-энерг. ин-т. — Обнинск, 1989.-№ 1962.-С. 1-21.

11. Афанасьев К. Е., Гудов А. М., Захаров Ю. Н. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1992. — Т. 1, № 3. — С. 158-166.

12. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Деп. в ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001. — Кемерово: Кемеровск. гос. ун-т, 2001.— С. 26.

13. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Многопараметрическая оптимизация в схемах неполной аппроксимации для решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Вестник Кем. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (7). — Кемерово, 2001,- С. 99-105.

14. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока, вихрь // Выч. техн. 2003. - Т. 8, № 5. - С. 14-23.

15. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Комплекс программ для расчета двух-и трехмерных задач движения идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей (ISM-FLUID) // Свидетельство №2004610310, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 28 января 2004 года. — 2004.

16. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н., Ханевт В. Использование итерационных методов в решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости // Выч. техн. — 2002. — Т. 7, № 5. — С. 3-10.

17. Бартоломей П. И. Решение систем нелинейных уравнений методом двойных ньютоновских итераций // Деп. в ВИНИТИ 03.11.1983 г., №5940-83.— Свердловск: Урал, политехи, ин-т, 1983.— С. 8.

18. Бахвалов Н. С., Кобельков Г. М. Эффективные численные методы решения задач гидродинамики // Современ. пробл. прикл. мат. и мат. физ. — М., 1988.-С. 200-208.

19. Белов И. А., Исаев С. А. Циркуляционное движение жидкости в прямоугольной каверне при средних и высоких числах Рейнольдса // Журнал прикладной и технической физики. — Новосибирск, 1982. — № 1. — С. 41-45.

20. Белолипецкий В. М., Костюк В. Ю. Численное исследование рециркуляционных течений в трехмерной каверне // Ж. прикл. мех. и техн. физ. — 1990.-№ 1.-С. 100-104.

21. Белолипецкий В. М., Костюк В. Ю., Шокин Ю. И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости.— Новосибирск: Наука, Сибирское Отделение, 1991.

22. Белоцерковский О. М., Белоцерковский С. О., Пастушков А. Р. Численное моделирование внутренних волн при обтекании полукруглого препятствия стратифицированной жидкостью // Пробл. прикл. мат. и ин-формат. — М., 1987.-С. 11-21.

23. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 1.

24. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 1.

25. Белоцерковский Ю. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике, — М.: Наука, 1982,— 392 с.

26. Бирюков А. Г. Методы псевдосопряженных направлений для решения систем нелинейных уравнений // Мат. м-ды упр. и обраб. инф. — М., 1986.-С. 159-163.

27. Брайловская И. Ю., Кускова Т. В., Чудов Л. А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд. МГУ, 1968, вып. XI. - С. 3-18.

28. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов, — М.: Мир, 1987.

29. Бугров А. Н. Итерационные схемы решения сеточных уравнений, возникающих в методе фиктивных областей // Численный анализ, — Новосибирск, 1978.-С. 79-90.

30. Буледза А. В. Двухшаговые итеративные процессы и решение проблемы устойчивости Чебышевских циклических алгоритмов // Деп. в УкрНИ-ИНТИ 29.12.87 №3317-Ук8^7.- Ужгород: Ужгородский гос. ун-т, 1987. -С. 46.

31. Булеев 77. И., Тарунин Е. Л. Исследование скорости сходимости схемы

32. Ф при различной структуре условия для вихря у твердой стенки // Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск: Изд-во ИТ и ПМ СО АН СССР, 1984. Т. 15, № 6. - С. 28-40.

33. Булеев 77. К, Тимухин Г. И. О составлении разностных уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1968.— С. 198.

34. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

35. Вабищевич 77. 77. Реализация краевых условий при решении уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока — вихрь скорости» // Докл. АН СССР. 1983.- Т. 273, № 1.- С. 22-26.

36. Вабищевич 77. 77. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь // Дифференц. уравнения. Минск, 1984. - Т. 20, № 7. - С. 1135-1144.

37. Вабищевич 77. 77. Анализ граничных условий при приближенном решении задач обтекания вязкой несжимаемой жидкостью // Актуал. вопр. прикл. мат. — Москва, 1989. — С. 49-54.

38. Вабищевич 77. 77, Вабищевич Т. 77. Численное решение стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. — 1983.— Т. 19, №5,-С. 852-860.

39. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.

40. Вайтекунас 77. 77., Йонайтис А.-Р. К, Зданавичюс Г. Б. Расчет течения вязкой жидкости в прямоугольной каверне // Деп. в ВИНИТИ 10.08.1987 №1934-Ли87. — Каунас: Ин-т физ.-тех. проблем энерг., 1987.— С. 15.

41. Валлиулин А. 77. Лекции для студентов НГУ. — Новосибирск, 1973.

42. Валлиулин А. 77. О точном решении трехмерной разностной задачи Дирихле повышенной точности для уравнений Лапласа // Численные методы механики сплошных сред. — 1978. — Т. 9, № 3. — С. 37-42.

43. Валлиулин А. Н., Яненко Н. Н. Экономичные разностные схемы повышенной точности для полигармонического уравнения // Известия СО АН СССР. Серия технических наук, вып. 3. — 1967. — № 13.

44. Варжанская Т. С. Об оном способе постановки граничных условий для задач течения вязкой жидкости // Тр. II Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. — М.: Наука, 1969. — С. 5559.

45. Васин В. Г., Полежаев В. И. Неявные схемы для уравнений конвекции сжимаемого газа // Численные методы механики сплошных сред. — 1977. Т. 8, № 3. - С. 49-67.

46. Владимирова Н. Н., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики. — Новосибирск, 1966.

47. Воеводин А. Ф. Устойчивость и реализация условий Тома для разностной краевой задачи Стокса // Моделирование в механике.— Новосибирск,1992,- Т. 6(23), № 1.- С. 37-47.

48. Воеводин А. Ф. Устойчивость и реализация неявных схем для уравнений Навье-Стокса // Журнал вычислительной математики и мат. физики. —1993.-Т. 33, № 1.-С. 119-130.

49. Воеводин А. Ф. Об устойчивости разностных схем повышенного порядка точности для расчета конвективных течений вязкой жидкости // XVI Международная школа- семинар по численным методам вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

50. Воеводин А. Ф., Гончарова О. Н., Юшкова Т. В. Метод расщепления по физическим процессам для задач конвекции // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 2000.

51. Воеводин А. Ф., ОвчароваА. С. О вычислении функции-вихрь на границе замкнутой круговой области // Моделир. в мех. — 1991. — Т. 5(22), № 1. — С. 113-120.

52. Воеводин В. ВКузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.— М.: Наука, 1984.- 320 с.

53. Войновский А. С. Об одном варианте метода расщепления и неявной реализации граничных условий для решения уравнений Навье-Стокса в криволинейной системе координат // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1990,- Т. 30, № 9.- С. 1372-1380.

54. Волны в океане / Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров, К. А. Наугольных, С. А. Рыбак // Изв. Вузов. Радиофизика. 1976. - Т. 19, № 5, 6. - С. 842863.

55. Воронко В. П., Сироченко В. П. Точная постановка граничного условия для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1981. — Т. 12, №6.-С. 25-30.

56. Вычислительные методы линейной алгебры / В. Н. Фадеева, Ю. А. Кузнецов, Г. Н. Грекова, Т. А. Долженкова // Библиографический указатель, 1828-1974 гг. Новосибирск, 1976.

57. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. — М.: Изд. МГУ, 1968.

58. Габов С. А. О решении одной задачи динамики стратифицированной жидкости и его стабилизации при t —> оо // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1985. - Т. 25, № 5. - С. 718-732.

59. Габов С. А. Об одном виде нелинейных волн, описываемых уравнением Дюбрейль-Жакотен // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 302, № 5. - С. 10361039.

60. Габов С. А., Свешников А. Б. Некоторые задачи динамики стратифицированных жидкостей // Мат. моделир. Соврем, пробл. мат. физ. и вычисл. мат.: Матер. Всес. науч. конф., Москва, 1984. — М., 1989. — С. 89-102.

61. Габов С. А., Свешников А. Г. Математические задачи динамики стратифицированной жидкости // Мат. моделир.: Процессы в нелинейных средах. -М., 1986.-С. 107-141.

62. Габов С. А., Свешников А. Г. Математические модели динамики стратифицированной жидкости // Соврем, пробл. мат. физ.: Тр. Всес. симп., Тбилиси, 22-25 апр., 1987. Тбилиси, 1987. — Т. 2. — С. 208-215.

63. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 344 с.

64. Габов С. А., Тверской М. Б. К задаче об обтекании препятствий потоком стратифицированной жидкости // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1988.— Т. 28, №4.-С. 608-613.

65. Гаранжа В. А., Толстых А. И. О численном моделировании нестационарных отрывных течений несжимаемой жидкости на основе компактных аппроксимаций пятого порядка // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 312, №2.-С. 311-314.

66. Гаспарян М. С. О численной реализации одного метода решения систем нелинейных уравнений // Числ. методы в мат. физ. — Москва, 1986.— С. 61-62.

67. Гаспарян М. С., Николаев Е. С. Неявные итерационные методы решения систем нелинейных уравнений // Деп. в ВИНИТИ №3397-85Деп. — М.: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 1986.— С. 14-67.

68. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1966. — № 5. — С. 56-62.

69. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Об одном сеточном методе решения уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока // Дифференц. уравнения. Минск, 1985. - Т. 21, № 7. - С. 1269-1273.

70. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Об одном численном методе решения уравнений Навье-Стокса на нерегулярных сетках // Мат. моделир. По-луч. монокристаллов и полупровод, структур. — М., 1986.— С. 6-19.

71. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Сеточный метод решения уравнений Навье-Стокса с локальной искусственной вязкостью // Ин-т прикл. мат. АН СССР. Препр. 1986. - № 47. - С. 24.

72. Горбенко Н. Н., Ильин В. Н. О градиентных методах переменных направлений // Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики. — Новосибирск, 1975.

73. Горелов Д. И., ГЦепановская Г. И Об одном методе решения задачи обтекания тел вязкой жидкостью при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1973. — № 4.

74. Громов В. П., Кузнецов Б. Г. Об одном методе расчета задачи вязкой несжимаемой жидкости // Труды 2-го Всесоюзного семинара по численным методам по механике вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1975.

75. Грудницкая Т. Я., Люлька В. А., Шипилин А. В. Использование метода Шварца при численном интегрировании уравнений Навье-Стокса // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 299, № 3. - С. 577-579.

76. Грязное В. А., Полежаев В. Н. Исследования некоторых разностных схем и аппроксимация граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции // Препринт №40. — М.: ИПМ АН СССР, 1974.

77. Гущин В. А. Развитие метода расщепления по физическим факторам для расчета течений несжимаемой жидкости // Числ. моделир. в аэрогидродинамике.- М., 1986.- С. 90-97.

78. Гущин В. А. Численное моделирование отрывных течений вязкой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 2. — С. 19-45.

79. Гущин В. А., ГЦенников В. В. Об одном численном методе решения уравнений Навье-Стокса // ЖВ и МФ. 1974. - Т. 14, № 2. - С. 512-520.

80. Данаее Н. Т., Смагулов Ш. С. Об одной методике численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных (ф, си) II Моделир. в мех. — 1991.-Т. 5(22), № 4,- С. 38-47.

81. Декусар В. В. Метод введения параметров при решении систем нелинейных уравнений // Некотор. пробл. соврем, мат. и их прил. к з-чам мат. физ.-М., 1985.-С. 70-77.

82. Джаигбаев А. М., Смагулов Ш. Об е-аппроксимации модели неоднородной жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1988.— Т. 2, № 5.— С. 59-76.

83. Джакупов К. Б. О некоторых численным методах расчета уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости // Труды 2-го Всесоюзного семинара по численным методам по механике вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1969.-С. 107-113.

84. Джакупов К. Б. Семейство полуявных и полунеявных схем для уравнений Буссинеска // М-ды и средства мат. моделир. процессов переноса. — Алма-Ата, 1985.- С. 3-9.

85. Джакупов К. Б. Метод дробных шагов решения уравнений Навье-Стокса // Мат. моделир. нестационар, процессов.— Алма-Ата, 1988. — С. 20-24.

86. Джакупов К Б., Кузнецов Б. Г. Об одном методе расчета задач вязкой несжимаемой жидкости // Труды 2-го Всесоюзного семинара по численным методам по механике вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1969.-С. 96-106.

87. Дж. Трауб. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985.-264 с.

88. Дородницын Л. В. Неотражающие граничные условия для систем уравнений газовой динамики // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 522-549.

89. Дьяконов Е. Г. Метод переменных направлений решения систем конечно-разностных уравнений // Доклад АН СССР. — 1961. — Т. 138, № 2. — С. 271-274.

90. Дьяконов Е. Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 12-34.

91. Дьяконов Е. Г. О некоторых прямых и итерационных методах, основанный на окаймлении матриц // В кн. «Численные методы в математической физике». Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979,- С. 45-68.

92. Егоров И. В., Зайцев О. Л. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье-Стокса методом сквозного счета // Препр. ЦАГИ, 1990. - № 6. - С. 1-25.

93. Егоров И. В., Зайцев О. Л. Об одном походе к численному решению двумерных уравнений Навье-Стокса методом сквозного счета // Журнал вычислительной математики и мат. физики.— 1991.— Т. 31.— С. 286259.

94. Енальский В. А. Об одном итерационном процессе повышенной точности // Доклады III сибирской конференции по математике и механике. — Томск: Изд. ТГУ, 1964.

95. Енальский В. А. О свойствах одного итерационного процесса // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1967. — Т. 7, № 2.

96. Еналъский В. А. О двух системах повышенной точности решения задачи Дирихле // Труды МИ АН СССР. 1968. - Т. 74.

97. Жумагулов Б. Т. ^-аппроксимация одной задачи для уравнений Навье-Стокса // Деп. в КазНИИНТИ 25.12.89, №2955-Ка89. Алма-Ата: Каз. ун-т., 1989.-С. 14.

98. Жумагулов Б. Т., Смагулов Ш. С., Орунханов М. К. Численные методы решения уравнений Навье-Стокса в многосвязной области // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1989. - № 3. - С. 23-27.

99. Задорин А. И. Редукция краевой задачи для линейного векторного разностного уравнениявторого порядка к конечному числу узлов // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 4. — С. 546-556.

100. Задорин А. И., Чеканов А. В. Редукция трехточечной разностной схемы на бесконечном интервале к схеме с конечным числом узлов // Сиб. журнал вычислительной математики. — 2002. — Т. 5, № 2. — С. 149-161.

101. Задорин А. И., Чеканов А. В. Редукция векторной трехточечной системы на бесконечном интервале к схеме с конечным числом узлов // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8, № 3. — С. 58-74.

102. Захаренков М. Н. Об аппроксимации граничного условия для завихренности // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1982.-Т. 13, №2.-С. 64-81.

103. Захаренков М. Н. Особенности разностных схем решения двухмерных уравнений Навье-Стокса, связанные с постановкой граничных условий на твердой поверхности // Препр. ЦАГИ. — 1989. — № 1. — С. 1-22.

104. Захаренков М. Н. Граничные условия дальнего поля при установившемся обтекании профиля вязкой несжимаемой жидкостью // Мат. моде-лир. 1990. - Т. 2, № 2. - С. 3-18.

105. Захаров Ю. И. Ускорение сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. — 1975. — Т. 7, № 7. — С. 12-22.

106. Захаров Ю. Н. Об одном способе построения циклических итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред.— 1979. — Т. 10, №4.-С. 85-100.

107. Захаров Ю. Н. Многошаговые схемы с вариационной оптимизацией итерационных параметров // Препринт.— Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1980.-С. 12-14.

108. Захаров Ю. Н. О групповом анализе ^-систем // Тр. IX школы-семинара. — Новосибирск, 1983.—С. 153-157.

109. Захаров Ю. Н. Групповой анализ разностных схем для системы уравнений Навье-Стокса // Деп. В ВИНИТИ 18.08.84, №5162-84 Деп. 1984. -С. 10.

110. Захаров Ю. Н. Об одном классе итерационных схем с вариационной оптимизацией параметров // Деп. В ВИНИТИ 18.07.84, №6369-84 Деп. -1984.-С. 7.

111. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации // Численные методы механики сплошной среды. — 1985. — Т. 16, № 6. — С. 77-83.

112. Захаров Ю. Н. Об одном методе последовательных приближений решения линейных операторных уравнений // В кн. «Теория функций и ее приложения». — Кемерово, 1985. — С. 86-89.

113. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации решения систем линейных уравнений с незнакоопределенной матрицей // «Конструирование алгоритмов и решения задач математической физики». Сб. науч. Тр.-М., 1989.-С. 197-201.

114. Захаров Ю. Н. Об одном численном алгоритме решения не-ли-ней-но-дис-пер-си-он-ных уравнений Алешкова Ю. 3. // Тр. Всесоюзного совещания по численным методам в задачах волновой гидродинамики. — Красноярск, 1991.- С. 64-69.

115. Захаров Ю. Н. Применение итерационных схем неполной аппроксимации в задачах волновой гидродинамики // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. — М., 1991. — С. 102-106.

116. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной и почти особенной матрицей // Прямые и обратные задачи теплообмена. — Кемерово, 1993,— С. 85-91.

117. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности // Вычислительные технологии. — 1993. — Т. 2, № 7. С. 56-68.

118. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнения Дюбрейль-Жако-тен // Вычислительные технологии. — 1993. — Т. 2, № 4. — С. 95-104.

119. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения стационарной задачи обтекания // Вычислительные технологии. — 2002.— Т. 7, № 3. — С. 11-17.

120. Захаров Ю. Н., Кривушин С. А. Метод минимальных невязок решения системы уравнений Навье-Стокса // Вестник Кем. гос. ун-та. Математика. Вып. 4.- Кемерово, 2000.- С. 108-113.

121. Захаров Ю. Н., Нагорнова О. Н. Итерационная схема минимальных невязок решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // В кн. «Проблемы динамики вязкой жидкости».— Новосибирск, 1985. — С. 156-159.

122. Захаров Ю. Н., Нагорнова О. Н. Об одном классе итерационных схем решения системы линейных уравнений с знакопеременной матрицей // Деп. В ВИНИТИ 30.01.85, №927-85 Деп.- 1985.- С. 9.

123. Захаров Ю. Н., Окунцов В. В. О схеме с «нелинейной вязкостью» для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Численный анализ. — Новосибирск, 1978. — С. 37-54.

124. Захаров Ю. Н., Терешкова В. В., Шокин Ю. И. Об одном классе итерационных схем решения систем линейных уравнений с незнакоопреде-ленной матрицей // Препринт N14.— Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1990.-С. 22.

125. Захаров Ю. Н., Толстых М. А. Многопараметрическая оптимизация итерационных схем решения уравнений с полиномиальной нелинейностью // Моделирование в механике.— Новосибирск, 1990.— Т. 4(21), № 1.-С. 109-114.

126. Захаров Ю. Н., Ханефт В. А. Волновые движения в канале сложной формы // Вестник Кемеровского государственного университета, сер. Математика, вып. 3(7).— Кемерово, 2001. — С. 92-96.

127. Захаров Ю. Н., Ханефт В. А. Об одном способе решения нестационарной задачи движения стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска // Деп. В ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001. Кемерово: Кем.гос.ун-т, 2001. - С. 24.

128. Захаров Ю. Н., Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. об одном методе ускорения сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. 1974. - Т. 5, № 5. - С. 57-62.

129. Илъгамов М. А. Обзор работ по неотражающим условиям на границах расчетной области // Тр. семин./АН СССР. Казан, физ.-техн. ин-т. — 1990.-№26.-С. 6-54.

130. Илъгамов М. А. Поглощающий слой в расчетной области // Тр. семин./АН СССР. Казан, физ.-техн. ин-т. 1990. - № 26. - С. 55-65.

131. Ильин В. П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирский математической журнал.— 1965.— Т. 6. С. 1425-1428.

132. Ильин В. П. О явных схемах переменных направлений // Известия СО АН СССР. Серия техн., вып. 3.- 1967.- № 13.- С. 97-104.

133. Ильин В. П. Разностные методы решения эллиптических уравнений // Лекции для студентов НГУ. — Новосибирск, 1970.

134. Ильин В. П. Об одном варианте многосеточного метода // Сиб. мат. ж.— 1985. Т. 26, № 2. - С. 102-107.

135. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. — М.: Наука, 1995. — 288 с.

136. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. — Новосибирск: Из-во Ин-та математики, 2000. — 345 с.

137. Исаев С. А. Численное исследование интегральных характеристик течения в прямоугольной выемке // Численные методы механики сплошных сред. Новосибирск, 1983. - Т. 14, № 5. с. 70-78.

138. Исаев С. А., Смагулов Ш. е-аппроксимация уравнений неоднородной жидкости // Мат. моделир. нестационар, процессов. — Алма-ата, 1988. — С. 3-7.

139. Исаков А. Б. К численному решению задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне при Re = 1000 // Моделир. в мех. Новосибирск, 1990. - Т. 4, № 2. - С. 64-76.

140. Калис X. Э. О постановке граничных условий для решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функциях тока и вихря скорости // Проблемы вязких течений. — Новосибирск: изд-во ИТиПМ СО АН СССР, 1981.- С. 93-103.

141. Калиткин Н. Н., Кузнецов Н. О., Панченко С. Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // Докл. РАН. — 2000. — Т. 374, № 5. — С. 598-601.

142. Каменкович К. М. Основы динамики океана.— Л.: Гидрометеоиздат, 1973.-240 с.

143. Каменщиков Л. П. Сравнение ряда различных схем при численном решении трехмерных уравнений Навье-Стокса // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 2000.

144. Канторович Л. В. О методе наискорейшего спуска // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 56, № 3. - С. 233-236.

145. Капорин И. Е. О предобуславливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифферент уравнения. 1990. - Т. 26, № 7. - С. 1225-1236.

146. Карамышев В. Б., Черный С. Г. Об ускорении сходимости итераций в релаксационном методе решения упрощенных уравнений Навье-Стокса // Выч. технологии. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1994,- Т. 3, № 9.— С. 165-177.

147. Карамышев В. Б., Черный С. Г., Шашкин П. А. Об ускорении сходимости итераций в релаксационном методе решения упрощенных уравнений Навье-Стокса // Выч. технологии. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1994. — Т. 3, № 9,- С. 58-70.

148. Каримов Т. X. О некоторых итерационных методах решения нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 269, №5.-С. 1038-1042.

149. Ковеня В. Н. Модификации метода расщепления для численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

150. Колесников Е. В., Сорокин С. Б. Экономичные итерационные методы для решения вырожденных задач с сопряженно-операторной структурой // Междунар. конф. по вычислительной математике. — Новосибирск, 2004.-С. 27-31.

151. Коновалов А. Н. Итерационные методы для операторных уравнений с сопряженно-факторизованной структурой // Сиб. мат. ж. — 2000. — Т. 41, №2.-С. 370-384.

152. Коновалов А. Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобуславливателем // Дифф. уравнения. — Новосибирск, 2004. Т. 40, № 7.

153. Коновалов А. Н. Оптимальные адаптивные переобуславливатели в двухслойных итерационных методах // Междунар. конф. по вычислительной математике. — Новосибирск, 2004. — С. 32-41.

154. Коновалов А. Н., Конюх Г. В., Цуриков Н. В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей // Вариац. методы в задачах числ. анал. — Новосибирск, 1986. — С. 58-79.

155. Корякин В. Е. Расчет ламинарного обтекания решеток пластин потоком вязкой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 5. — С. 61-71.

156. Красносельский М. А., Крейн С. Г. Итерационный процесс с минимальными невязками // Мат. сб. 1952. - Т. 31(73), № 2. - С. 315-334.

157. Краусс В. К. Внутренние волны. — Л.: Гидрометеоиздат, 1968.— 270 с.

158. Кудинов П. Численное моделирование пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости // Вестник Днепропетровского университета. Серия Механика. Вып. 4.- 2001.- Т. 1.- С. 89-99.

159. Кузнецов Б. Г., Смагулов Ш. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса // Численные методы механики сплошных сред. — 1975.— Т. 6, №2.-С. 70-79.

160. Кузнецов Б. И., Смагулов Ш. О сходящихся схемах дробных шагов для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды. Новосибирссск, 1984. - Т. 15, № 2. - С. 69-80.

161. Кузнецов Ю. А. К теории итерационных процессов // Доклад АН СССР. 1969. - Т. 184, № 2. - С. 274-277.

162. Кузнецов Ю. А. Итерационные методы в подпространствах // Препринт. М.: Отд. вычисл. мат. АН СССР, 1984. - С. 133.

163. Кузнецов Ю. А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычисл. процессы и с-мы. — Москва, 1985. — № 2. — С. 265-350.

164. Кузнецов Ю. А., Труфанов О. Д. Метод разбиения области для решения волнового уравнения Гельмгольца // Препринт.— Москва, 1986.— № 125.-С. 38.

165. Кузнецов Ю. А., Финогенов С. А. Метод фиктивных компонент для решения трехмерных эллиптических уравнений // Архит. ВМ и числ. м-ды. — М., 1984.-С. 73-94.

166. Кускова Т. В. Некоторые задачи течения вязкой жидкости // Тр. II Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. — М.: Наука, 1969,- С. 146-160.

167. Кускова Т. В. Численное исследование двухмерных течений вязкой жидкости // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 3.-ВЦ МГУ, 1971.

168. Куценко Л. В. Итерационный метод решения операторных уравнений // Методы реш-ия нелинейн. з-ч и обраб. данных.— Днепропетровск, 1985.-С. 128-130.

169. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

170. Ладыженская А. О. Математическое вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е издание. — М.: Наука, 1970.

171. Ладыженская А. О., Ривкинд В. Я. Вопросы теории разностных схем для уравнения Навье-Стокса и некоторые результаты их численного решения // Труды ГУ Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости, — Новосибирск, 1973. — С. 3-16.

172. Лапко С. А. Итерационные процессы реализации неявных разностных схем для уравнений вязкой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1994,-Т. 30, №7.-С. 1222-1224.

173. Лебедев В. И. Оо бесконечно продолжаемых линейных оптимальных итерационных методах // Методы вычислительной и прикладной математики (труды семинара ВД СО АН СССР). 1976. - Т. 20.

174. Лебедев В. И. О задаче Золотарева в методе переменных направлений // Труды семинара С. JI. Соболева. — Новосибирск, 1976.— Т. 1. — С. 51— 59.

175. Лебедев В. И. Оптимальные с весом итерационные методы // Вычислительные методы линейной алгебры, — Новосибирск, 1977.— С. 31-39.

176. Лебедев В. И., Забелин В. В. Об одном итерационном алгоритме с Чебы-шевскими параметрами // Препринт. — М., 1988. — № 207. — С. 30.

177. Лебедев В. И., Финогенов С. А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // Вычислительная математика и математическая физика.— 1971.— Т. 2, № 2.— С. 425-438.

178. Лебедев В. И., Финогенов С. А. Об устойчивости в чебышевских итерационных процессах // Вычислительные методы линейной алгебры. — Новосибирск, 1973.- С. 42-47.

179. Левковский Ю. Л. Структура кавитационноых течений. — JL: Судостроение, 1978.

180. Ле Блон, Л. Майсек. Волны в океане. — М.: Мир, 1981.— 845 с.

181. Люмкис Е. Д. Об увеличении шага по времени при интегрировании уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока // Дифференц. уравнения. Минск, 1985. - Т. 21, № 7. - С. 1208-1217.

182. Люмкис Е. Д. Об увеличении шага по времени при интегрировании уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 7. - С. 1208-1217.

183. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, гл.ред. физ.-мат. лит., 1989,— 608 с.

184. Марчук Г. К, Кузнецов Ю. А. Итерационные методы, квадратичные функционалы, — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1972.

185. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса. — М.: Атомиздат, 1971.

186. Метод минимальных невязок решения одного класса нелинейных уравнений / Ю. Н. Захаров, Е. Ф. Егорова, М. А. Толстых, Ю. И. Шокин // Препринт N 9. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991. - С. 32.

187. Шишков M. Н., Рябенький В. С. Исследование одного способа построения искусственных граничных условий. (Часть 1) // Препр. — Изд. Ин-т прикл. мат. РАН, 1997. № 55. - С. 1-26.

188. Шишков М. Н., Рябенький В. С. Исследование одного способа построения искусственных граничных условий. (Часть 2) // Препр. — Изд. Ин-т прикл. мат. РАН, 1997. № 56. - С. 1-26.

189. Шошкин Н. А. Метод численного решения задачи протекания в переменных «функция тока, вихрь» // Численные методы механики сплошных сред. 1984.-Т. 15, №3.-С. 96-114.

190. Нажесткина Э. И., Сафронов И. Л. Численная реализация граничных условий дальнего поля для задач трансзвукового аэродинамического обтекания // Препр. — Ин-т прикл. мат. РАН, 2001. — № 93. — С. 1-18.

191. Николаев Е. С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа // Журнал вычислительной математики и мат. физики, 1976,-Т. 16, №6.-С. 1381-1387.

192. Николаев Е. С., Самарский А. А. Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона // ЖВМ и МФ. 1972. - Т. 12, № 4. - С. 960-973.

193. Номофилов Е. В., Чуйкова Н. М. Алгоритм численного решения задач гидродинамики в трехмерной области // Препар. Физ.-энерг. ин-т. — Обнинск, 1989. — № 2011. — С. 1-10.

194. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: изд. НГУ, 1966.

195. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.-400 с.

196. Овсянников Л. В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука, 1985. — 318 с.

197. Окунцов В. В., Захаров Ю. Н. Использование нелинейной искусственной вязкости для ускорения сходимости итерационных процессов // Материалы XIV Всесоюзной научной студенческой конференции НГУ. — Новосибирск, 1976.

198. Осколков А. П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей системы уравнений Навье-Стокса // Труды МИ АН СССР. 1972. - Т. 125.

199. О двух итерационных схемах для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса / Н. Н. Яненко, В. В. Окунцов, Ю. Н. Захаров и др. // Комплексный анализ и его приложения. — М.: Наука, 1978. — С. 638-652.

200. Паасонен В. И. О схемах повышенной точности для некоторых одномерных нелинейных уравнений // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1971. — Т. 2, № 2.

201. Паасонен В. И. Об одном методе построения высокоточных разностных схем и их применении в механике жидкости // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1976. — Т. 7, № 6. — С. 111-126.

202. Палымский И. Б. О постановке граничных условий и расчете давления при численном моделировании потоков несжимаемых жидкостей // Мо-делир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 5. — С. 91-103.

203. Паноеко М. Я. Численное моделирование пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале с уступом // Теплофизика высоких температур.- 1989,- Т. 27, № 6,- С. 1126 1131.

204. Пасконов В. М., Петухова Т. П., Русаков С. В. Применение одной неявной итерационной разностной схемы к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // Вычисл. мат. и мат. обеспеч. ЭВМ. — М., 1985. — С. 216-231.

205. Пасконов В. М., Полежаев В. П., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. — М.: Наука, 1984. — 288 с.

206. Пиленкас К. И., Солонников В. А. О стационарных системах Стокса и Навье-Стокса в бесконечном открытом канале // Лит. мат. сб. — 1989.— Т. 29, № i. с. 90-108.

207. Пиленкас К. И., Солонников В. А. О стационарных системах Стокса и Навье-Стокса в бесконечном открытом канале // Лит. мат. сб. — 1989. — Т. 29, № 2. С. 347-367.

208. Попков А. Н. К задаче численного расчета обтекания сферы безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1990. Т. 4, № 1. - С. 48-60.

209. Приходъко А. А., Полевой О. Б. Применение метода расщепления и разностных аппроксимаций повышенной точности к численному решению задач механики жидкости и газа // Моделир. в мех.— 1992.— Т. 6(23), № З.-С. 108-115.

210. Пухначев В. В. К асимптотике осесимметрического решения обтекания для уравнения Навье-Стокса // Тр. Всес. сем. по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1969.— 195 с.

211. Пухначев В. В. Лекции по динамике вязкой несжимаемой жидкости.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1969.- Т. 1,- 198 с.

212. Расщупкин В. И. О применении метода дробных шагов к численному решению уравнений Навье-Стокса // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1976. — Т. 7, № 6. — С. 127-135.

213. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с.

214. Русаков В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений // ДАН СССР. — 1968. — Т. 180, № 6.

215. Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов и его приложения.— М.: Физматлит, 2002. — 496 с.

216. Рябенький В. С., Торгашев В. А. Метод разностных потенциалов для численного решения внутренней задачи о плоском течении вязкой несжимаемой жидкости // Доклад РАН. 1994. - Т. 337, № 4. - С. 450-453.

217. Рябенький В. С, Турчанинов В. И. Спектральный подход к построению неотражающих искуственных граничных условий // Препр. — Ин-т при-кл. мат. РАН, 2000. № 10. - С. 1-24.

218. Самарский А. А. Об одном экономическом алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений // Вычислительная математика и математическая физика. — 1964.— Т. 4, № 3. — С. 580-585.

219. Самарский А. А. О выборе итерационных параметров в методе переменных направлений для разностной задаче Дитриха повышенного порядка точности // ДАН СССР. 1968. - Т. 179, № 3.

220. Самарский А. А. Двухслойные итерационные схемы // ДАН СССР. — 1969. Т. 185, № 3. - С. 524-527.

221. Самарский А. А. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений//ДАН СССР. 1969.— Т. 186,№ 1.-С. 35-38.

222. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.: Наука, 1971.- 552 с.

223. Самарский А. А., Андреев В. Б. Об одной разностной схеме повышенного порядка точности для уравнения эллиптического типа с несколькими пространственными переменными // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 6.

224. Самарский А. А., Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения задачи Дитриха // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1964. — Т. 1, № 6. — С. 1025-1037.

225. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.- 592 с.

226. Самохин А. Б. Многошаговый метод минимальный невязок для решения линейных уравнений // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1991.— Т. 31, №2.-С. 317-320.

227. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Изд. ЛГУ, 1950.

228. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. — М.: Наука, 1977.- 815 с.

229. Сысоева Е. Я., Чашечкин Ю. Д. Пространственная структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // Ж. прикл. мех. и техн. физ. — 1988.-№ 5.-С. 59-65.

230. Тарунин Е. Л. Вопросы устойчивости двуполевого метода // Гидродинам, и процессы тепломассообмена. — Свердловск, 1989. — С. 95-99.

231. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. — 228 с.

232. Тарунин Е. Л. Исследование устойчивости неявных схем в переменных ф, ю с использованием принципа Бабенко-Гельфанда // Моделир. в мех, 1991,-Т. 5(22), №2.-С. 133-137.

233. Тейлор Т. Д., Ндефо Э. Расчет течения вязкой жидкости в канале при помощи метода расщепления // Численные методы в механике жидкостей.- М.: Мир, 1973,- С. 218-229.

234. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. — М.: Мир, 1981.

235. Течение вязкой жидкости в плоской каверне / С. Ч. Атабаев, В. А. Бра-иловская, В. Р. Коган и др. // Процессы переноса в вынужд. и свободно-конвект. течениях. — Новосибирск, 1987.— С. 168-176.

236. Толстых А. И. Метод внутренних итераций для решения пространственных задач с несамосопряженными операторами // Докл. АН СССР. — 1983,- Т. 272, № 3.- С. 538-541.

237. Толстых А. И. О расчете течений несжимаемой жидкости при помощи компактных схем третьего порядка // Пробл. прикл. мат. и информат. — М., 1987.-С. 70-82.

238. Толстых А. И. Компактные аппроксимации третьего порядка в алгоритмах для несжимаемой жидкости // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1989. - Т. 29, № 10. - С. 1514-1529.

239. Толстых А. Н. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Доклад АН СССР. 1973.-Т. 210, № 1.

240. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 622 с.

241. Фадеев Д. К, Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физико-математическая литература, 1963.

242. Фадеев Д. К, Фадеева В. Н. К вопросу о решении линейных алгебраических систем // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1974. Т. 14, № 3. - С. 539-559.

243. Физика океана / Под ред. В. М. Каменкович, А. С. Монин. — М.: Наука, 1978.-Т. 1,2.

244. Фридман В. М. Метод минимальных итераций с минимальными ошибками для системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1962. Т. 2, № 2. - С. 341-342.

245. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.— М.: Мир,1986.-448 с.

246. Хрущ В. К. Расчет поля давления при течении несжимаемой жидкости // Расчет течений жидкостей и газов. — Днепропетровск, 1989. — С. 11-16.

247. Чашечкин Ю. Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости // Механика жидкости и газа. — 1989. — № 1. — С. 3-9.

248. Чижонков Е. В. Релаксационные методы решения седловых задач. — М.: ИВМ РАН, 2002.- 239 с.

249. Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью / С. Исаев, А. Судаков, Н. Лучко и др. // ИФЖ. 2002. - Т. 75, № 1. - С. 49-53.

250. Численные методы в динамике вязкой жидкости / В. Н. Ветлуцкий, Б. П. Колобов, Б. Г. Кузнецов, Г. Г. Черных // Моделир. в мех. — Новосибирск,1987.-Т. 1, № 4. — С. 22-45.

251. Шайдуров В. В. Многосеточные итерационные алгоритмы решения сеточной стационарной задачи Навье-Стокса // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. — Красноярск, 1986.-С. 165-169.

252. Шайдуров В. В. Многосеточный итерационный алгоритм для смешанного метода конечных элементов // Числ. методы и мат. моделир.— М., 1987.-С. 180-198.

253. Шамина В. А. К задаче об обтекании сферы потоком несжимаемой вязкой жидкости // Вопросы мех. и процессов упр.— 1990.— № 13. — С. 183-187.

254. Шапеев В. П. Неявная разностная схема с погрешностью аппроксимации 0(т4,/г8) для уравнения теплопроводности // Междунар. конф. по вычислительной математике. — Новосибирск, 2004. — С. 759-764.

255. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука, 1979.- 224 с.

256. Экспериментальное исследование течения в траншее / В. Я. Гогатырев, Ю. Н. Дубнищев, В. А. Мухин и др. // Журнал прикладной механики и физики. 1976. - № 2. - С. 76-86.

257. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // ДАН СССР. 1959.- Т. 125, № в.- С. 12071210.

258. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — М.: Наука, Сибирское отделение АН, 1967.

259. Яненко Н. Н., Валлиулин А. Н., Квасов Б. И. Итерационные процессы для точного решения разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности // Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. — Новосибирск, 1969.

260. Яненко Н. И., Шокин. Ю. И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1985. — 364 с.

261. AfanasievK. Е., GudovA. М., Zakharov Y. N. The use of iteration schemes of incomplete approximation in some problems of hydrodynamics // Modelling Measurement & Control, B, AMSE Press. 1992. - Vol. 46, no. 4. - Pp. 2740.

262. Axelsson O. Numerical algorithms for indefinite problems // Elliptic Problem Solution. Proc. Conf. Monterey, Calif, 10-12 Jan 1983.— Orlando l.a., 1984.-Pp. 219-232.

263. Axelsson O. A surrey of preconditioned iterative methods for linear systems of algebraic equations // BIT. 1985. - Vol. 25, no. 1. - Pp. 166-181.

264. Bain J. G., Fletcher C. A. J. Computation of external stagnation flows // Finite Elem. Anal. Fluids: Proc. 7th Int. Conf. Finity Elem. Meth. Flow Probl., Huntsville, Ala, Apr. 3-7, 1989. Huntsville (Ala), 1989,- Pp. 863-867.

265. Barry A., Bielak J., Mac-Camy R. C. On absorbing boundary conditions for wave propagation // J. Comput. Phys.— 1988.— Vol. 79, no. 2,— Pp. 449468.

266. Bayliss Alvin, Goldstein Charles J., Turkel Eli. Preconditioned conjugate gradient methods for the Helmholtz equation // Elliptic Problem Solvers II Proc. Conf. Monterey, Calif, 10-12 Jan 1983. Orlando e.a., 1984. - Pp. 233-243.

267. Beam Richard M., Bailey Harry E. Newton's methods for the Navier-Stokes equations // Comput. Mech.'88: Theory and AppL: Proc. Int. Cqnf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr. 10-14.- Berlin, 1988.- Vol. 2.- Pp. 51.II.1-51.II.4.

268. Bender E. E., Khosla P. K. A modified Newton's method for the computation of fluid flows // Comput. Mech.'88: Theory and AppL: Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr. 10-14, 1988. Berlin, 1988. - Vol. 2. -Pp. 51.IX.1-51.IX.4.

269. Borthwick A. Comparison between two finite-difference schemes for computing the flow around a cylinder // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1986. — Vol. 6, no. 5. Pp. 275-290.

270. Bramble James H., Pasciak Joseph E., Xu Jinchao. The analysis of multi-grid algorithms for nonsymmetric and indefinite elliptic problems // Math. Comput. 1988.- Vol. 51, no. 184.- Pp. 389-414.

271. Bramble J. H., PasciakJ. E. Preconditioned iterative methods for nonseflad-joint or indefinite elliptic boundary value problems 11 Unific. Finity Elem. Meth. Amsterdam e. a., 1986. - Pp. 167-184.

272. Bristeau M. O., Glowinski R., Perlaux J. Acceleration procedures for the numerical simulation of compressible and incompressible viscous flows // Adv. Comput. Nonlinear Meth.: CISM Course Lect., Udine, July, 1987. — Wien: New York, 1989. Pp. 197-243.

273. Chen Zhang-xing, Li Kai-tai. The convergence of the multigrid algorithm for Navier-Stokes equations // J. Comput. Math. — 1987.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 227-237.

274. Chorin A. I. Numerical solution for the Navier-Stokes equations // Math. Of Comput. 1969. - Vol. 22, no. 104.

275. Cnahg Qian-shun. Using a predictor-corrector scheme to compute Navier-Stokes equations in three-dimensional spherical coordinates // J. Comput. Math. 1988,- Vol. 6, no. 4.-Pp. 307-317.

276. Dahl O., Wille S. O. An ILU preconditioner with coupled node fill-in for iterative solution of the mixed finite-element formulation of the 2D and 3D Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1992.— Vol. 15, no. 5.-Pp. 525-544.

277. Davis R. L., Carter J. E., Haiez M. Three-dimensional viscous flow solution with a vorticity-stream function formulation // AIAA Journal. — 1989. — Vol. 27, no. 7. Pp. 892-900.

278. Ddyer Harry A., Ibrani Sokol. Time accurate solutions of the incompressible and three-dimensional Navier-Stokes equations // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1989.- Vol. 75, no. 1-3.- Pp. 333-341.

279. Delagi F. Numerical stability study of finite difference schemes for the solution of three-dimensional time-dependent Navier-Stokes equations // Appl. Math. Model 1990.- Vol. 14, no. 1.- Pp. 14-19.

280. Demuren A. O. Application of multigrid methods for solving the Navier-Stokes equations // Proc. Inst. Mech. Eng. C.— 1989.- Vol. 203, no. 4.— Pp. 255-265.

281. Douglas J., Kellog R. B., Varga R. S. Alternating direction iteration methods for n-space variable // Math. Comput. 1963. - Vol. 17. - Pp. 282-297.

282. Douglas J,, Rechford H. On numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. — 1956. — Vol. 82.-Pp. 421-439.

283. Eisenstat S. C., Ortega J. M., Vaughan C. T. Efficient polynomial preconditioning for the conjugate gradient method // SIAM J. Sci. and Statist. Corn-put.- 1990,-Vol. 11, no. 5.-Pp. 859-872.

284. Evans D. J., Abdullah A. R. The group explicit method for solution of Burger's equation // Computing. 1984. - Vol. 32, no. 3. - Pp. 239-253.

285. Evans D. J., Kammonah M. A. The preconditioned Chebyshev iterative method for unsymmetric linear systems of equations // Precond. Meth. Alan, and Appl. New York e.a., 1983. - Pp. 321-353.

286. Experimental and Theoretical Investigation of Backward-Facing Step Flow /

287. B. Armaly, F. Durst, J. Periera, B. Schonung // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 127.-P. 473.

288. Frankel S. P. Convergence rates of iterative trealements of partial differential equations // Math. Tables Aids Comput. 1950. - Vol 4. — Pp. 65-75.

289. Fuchs Laszio. Incompressible vortex flows: non-uniqueness and hysteresis // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math.- 1989,- T. 1, № 1-4, Pt. 1.1. C. 219-224.

290. Fuchs L., Eguchi Y. On the accuracy of finite-difference finite-element methods for the simulation of some incompressible flows // Comput. Mech. — 1989.-Vol. 4, no. 2.-Pp. 105-114.

291. Gaskell P. H., Lau A. K. C., Wright N. G. Comparison of two solution strategies for use with higher-order discretization schemes in fluid flow simulation // Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 1988.- Vol. 8, no. 10.- Pp. 12031215.

292. Gatski Thomas B. Review of incompressible fluid flow computations using the vorticity -velocity formulation I I Appl. Numer. Math. — 1991.— Vol. 7, no. 3.-Pp. 227-239.

293. Ghia U., Ghia K. N., Shin C. T. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method // J. Comput. Phys.- 1982.-Vol. 48.-P. 387.

294. Glowinski Roland, Periaux Jackues, Pironneau Oliver. An efficient preconditioned conjugate gradient method. Application to the solution of nonlinear problems in fluid dynamics // Recond. Meth.: Anal and Appl. — New York e.a., 1983.-Pp. 463-508.

295. Glowinski R. Splitting methods for the numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations // Vistas Appl. Math.: Numer Anal., Atmosph,

296. Sei., Immunol. Vol. Dedic. Gurij Ivanovich Marchuk Occas. 60th Birthday. New York, N.Y., 1986.- Pp. 57-95.

297. Golub G. H., Varga R. S. Chebyshev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods, and second order Richardson iterative methods. Part I, II // Numer. Math. 1961. - Vol. 3. - Pp. 147-168.

298. Guevremont G., Habashi W., Hafez M. M. Finite element solution of the Navier-Stokes equations by a velocity-vorticity method // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1990.-Vol. 10, no. 4.- Pp. 461-475.

299. He Zi-gan, Ni Han-gen. The separated layers method for the calculation of 3-D Navier-Stokes equations 11 J. Hydrodynam. — 1989.— Vol. 4, no. 3.— Pp. 8-16.

300. Huang L. C., Wu Ya-dan. Implicit projection method for solution of Navier-Stokes equations // Math. Numer. Sin. 199. - Vol. 15, no. 1. - Pp. 77-89.

301. Huser A., Biringen S. A solution of the two-dimensional flow over a cavity with high Reynolds number // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1992. — Vol. 14, no. 9.-Pp. 1187-1109.

302. Iliev Oleg, Stoyanov Dimiter. On a flexible multigrid local refinement solver for incompressible Navier-Stokes equations // Мат. моделир. — 2001.— Vol. 13, no. 8.-Pp. 95-106.

303. Iliev O. P., Makarov M. M. An iterative method for coupled solving of 2D unsteady Navier-Stokes equations // Доклады Бьлг. АН. — 1991. — Vol. 44, no. 7.-Pp. 21-24.

304. Iwatsu Reima, Ishii Katsuya, Kawamura Tetuya. Numerical simulation of three-dimensional flow structure in a driven cavity // Fluid. Dyn. Res.— 1989.-Vol. 5, no. 3.-Pp. 173-189.

305. Janenko N. N., Shokin J. I., Zaharov J. N. On the nonlinear acceleration of iterative shemes // Quatrieme Colloque International sur les Metodes de Calcul Scientifique et Technique. France, (Versaille, 1979).— Paris, 1979. — C. 20.

306. Janenko N. N., Shokin J. I., Zaharov J. N. On the Nonlinear Acceleration of Iterative Shemes // IV Intern. Symp. On Computing Methods in Appl. Sciences a. Eng. (Versailles, Dec. 10-14, 19799):Proc. Amsterdam, 1980.— C. 113-132.

307. Kennon Stephen R., Dulikravich George S. Optimum acceleration factors for iterative solution of linear and nonlinear differential systems // Comput. Meth. Appl. Math, and Eng. 1984. - Vol. 47, no. 3.- Pp. 357-367.

308. Kim ByongBae. On a numerical solution of the system of nonlinear equations A(x)x=b // Math. 1989. - no. 2. - Pp. 5-10.

309. Ku Hwar-Ching, Ramaswamy Bala. A multigrid decomposition method for solution of Navier-Stokes equations in primitive variables // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. - T. 38, № 4. - C. 667-683.

310. Liao S. J. High-order discretization of 2D steady Navier-Stokes equations in stream function-vorticity formulation // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1992. Vol. 14, no. 5. - Pp. 595-612.

311. Liu C., McCormick S. Multigrid, the rotated hybrid scheme and the fast adaptive composite grid method for planar cavity flow // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. 1989. - Vol. 1, no. 1-4, Pt. 1. - Pp. 125-132.

312. Mansour M. L., Hamed A. Implicit solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in primitive variables // AIAA Pap.— 1988.— no. 717. — Pp. 1-9.

313. Maruster S., Popovici P. Generalized gradient's method // Au. Univ. Timisoara Sti. mat. 1983.- Vol. 21, no. 1-2. - Pp. 85-94.

314. Michelassi V, Benocci C. Prediction of incompressible flow separation with the approximate factorization technique // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1987.-Vol. 7, no. 12.-Pp. 1383-1403.

315. Michelassi V., Benocci C. Prediction of incompressible flow separation with the approximate factorization technique // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1987,-Vol. 7, no. 12.-Pp. 1383-1403.

316. Nazarov Serguei A., Specovious-Neugebauer Maria. Artificial boundary conditions for the exterior spatial Navier-Stokes problem // C.r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b. 2000. - Vol. 328, no. 12. - Pp. 863-867.

317. Nordstrom Jan. The influence of open boundary conditions on the convergence to steady state for the Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. — 1989.-Vol. 85, no. 1. Pp. 210-244.

318. A nouveau sur les equations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression / Begue Catherine, Conca Carlos, Murât Francois, Pironneau Olivier // C. r. Acad. sci. — 1987.— Vol. 304, no. 1.— Pp. 23-28.

319. Orlandi P., Briscolini M. Direct simulation of Burgers // Comput. Techn. and Appl.: CTAC-83. Amsterdam e.a., 1984. - Pp. 641-652.

320. Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolice flow // J. Comput. Phys. 1976. - Vol. 21, no. 3. - Pp. 251-269.

321. Papanastasiou T. C., Malamataris N., Ellwood K. A new outflow boundary condition // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1992. — Vol. 14, no. 5. - Pp. 587608.

322. Peaceman D. M., Rechsord H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equation // J. Soc. Indust. Math. 1955. - Vol. 3. - Pp. 28-41.

323. Rannacher Wolf. Numerical analysis of Navier-Stokes equations // Appl. Math. 1993.- Vol. 38, no. 4-5.- Pp. 361-380.

324. Risch Uwe, Schieweck Friedhelm. Experiences with the multigrid method applied to high Reynolds number, steady, incompressible flows // Rept/Acad. Wiss. DDR. Karl-Weierstrass-Inst. Math. 1990. - no. 3. - Pp. 61-77.

325. Risch Uwe, Schiewick Friedhelm. A multigrid method for solving the stationary incompressible Navier-Stokes equations by FEM // Rept./Acad. Wiss. DDR. Karl-Weierstrass-Inst. Math. 1989. - no. 3. - Pp. 74-87.

326. Rogers Stuart E., Chang James L. C., Kwak Dochan. A diagonal algorithm for the method of pseudocompressibility // J. Comput. Phys. — 1987. — Vol. 73, no. 2. Pp. 364-379.

327. Rogers S. E., Kwak D. An Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Applied Numerical Mathematics. — 1991. — Vol. 8. Pp. 43-64.

328. Ruas Vitoriano. Iterative solution of steady incompressible Navier-Stokes equations in stream function-vorticity formulation // C.r. Acad. Sci. Ser. 1. — 1995.-Vol. 321, no. 3.-Pp. 381-386.

329. Rudisil Edgar N. (Jr), Hassan H. A. Boundary conditions for the Navier-Stokes equations // Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 5th Int. Conf., Montreal, 6th-10th July, 1987,- Swansea, 1987.- Vol. 5, no. 1.-Pp. 127-136.

330. Saad Youcef. Conjugate gradient-like algorithms for solving nonsymmetric linear systems // Math. Comput. 1985. - Vol. 44, no. 170. - Pp. 417^24.

331. Saad Youcef. Preconditioning techniques for nonsymmetric and indefinite linear systems // J. Comput. and Appl. Math.— 1988.— Vol. 24, no. 1-2.— Pp. 89-105.

332. Saad Youcef, Schultz Martin H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1986. - Vol. 7, no. 3. - Pp. 856-869.

333. Saunders M. A., Simon H. D., Yip E. L. Two conjugate-gradient-type methods for unsymmetric linear equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — Vol. 25, no. 4. Pp. 927-940.

334. Schroder W., Hanel D. A comparison of several MG-methods for the solution of the time-dependent Navier-Stokes equations // Lect. Notes. Math. — 1986. no. 1228. - Pp. 272-284.

335. Schuller A. A multigrid algorithm for the incompressible Navier-Stokes equations // Notes Numer. Fluid Mech. 1990. - Vol. 30. - Pp. 124-133.

336. Shimura Masayuki, Kawahara Mutsuto. Two-dimensional finite element flow analysis using the velocity correction method // Proc. JSCE. — 1988.— no. 398.-Pp. 51-59.

337. Sorensen J. N., Loc Ta Phuoc. Inflow and outflow boundary conditions for incompressible, axisymmetric flows // Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 6th Int. Conf., Swansea, 11th—15th July, 1989.— Swansea, 1989,- Vol. 6, no. l.-Pp. 519-529.

338. Start-up flows in a three-dimensional rectangular driven cavity of aspect ratio 1:1:2 at Re = 1000 / Guermond J.-L., C. Migeon, G. Pineau, L. Quartapelle // J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 450. - Pp. 169-199.

339. Stuben K., Linden J. Multigrid methods: an overview with emphasis on grid generation processes // Numer. Grid Generat. Comput. Fluid Dyn.: Proc. Int. Conf., Landshut, 14-17 July, 1986. Swansea, 1986. - Pp. 483-509.

340. Taylor T. D., Nadworny H. H., Hirsh R. S. A three-dimensional incompressible primitive variable Navier-Stokes procedure with no Poisson solver // Lect. Notes Phys. 1985. - Vol. 218. - Pp. 546-551.

341. Temam R. Sur l'approximation de la solution des equations des Navier-Stokes // Bull. Soc. Matem. des France. 1968. - Vol. 96. - Pp. 115-152.

342. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / R. Barrett, M. Berry, T. F. Chan et al. Philadelphia, PA: SIAM, 1994.

343. Tezduyar T. E., Liou J. Grouped element-by-element iteration schemes for incompressible flow computations // Comput. Phys. Commun.— 1989. — Vol. 53, no. 1-3,- Pp. 441-453.

344. Thom A. An investigation of fluid flow in two-dimensions // Acr. Res. C.R. a M. — 1928. — № 1194.

345. Venkatakrishnan V. Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, no. 7. - Pp. 885-891.

346. Wachspress E. L. Optimum alternating direction implicit iteration parameters for model problems // J. Soc. Indust. Appl. Math.— 1962,— Vol. 10.— Pp. 339-350.

347. Wachspress E. L. Extended application of alternating direction implicit iteration model problems theory // J. S JAM. — 1963. — Vol. 11, no. 4.

348. Wachspress E. L., Habetler G. L. An alternating direction implicit iteration technique // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1960. - Vol. 8. - Pp. 404-424.

349. Wittum G. Multigrid methods for Stokes and Navier-Stokes equations. Transforming smoothers: algorithms and numerical results // Numer. Math.— 1989. Vol. 54, no. 5. - Pp. 543-563.

350. Woods L. Note on the numerical solution of a fourth order differential equation // Aero Quart. — 1954. — № 5.

351. Youcef S. Iterative solution of indefinite symmetric linear systems by methods using orthogonal polynomials over two disjoint intervals // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - Vol. 20, no. 4. - Pp. 784-811.

352. Young D. M. On Richardson's method for solving linear systems with positive definite matrices // J. Math. Phys. 1954. - Vol. 32. - Pp. 243-255.

353. Zheng Quan, Huang Miu-you. Упрощенный метод расщепления вязкости для решения уравнений Навье-Стокса // J. Comput. Math.— 1992. — Vol. 10, no. l.-Pp. 39-56.

354. Zwick W. Zur Zosung der Navier-Stokes gleichung mit Hilfe eines voll impiziten Iterations verfarhrens // Math, und Mech. — 1984,— Vol. 64, no. 6.-Pp. 221-226.