автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационное решение задач движения идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей

На правах рукописи

Балаганский Максим Юрьевич

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Захаров Юрий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ковеня Виктор Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Берцун Владимир Николаевич

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится «19» февраля 2004 г. в 10 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, ул. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан «19» января 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, д.т.н., доцент

•2004,4 27361

A.Kiyo.iinn сть темы. Постоянное развитие вычислительной техники и средств хранения информации открывает новые возможности для решения различных задач вычислительной гидродинамики. Однако, остаются актуальными многие проблемы, ограничивающие использование существующих численных методов решения.

Как правило, при решении задач гидродинамики используют различные разностные аппроксимации дифференциальных уравнений исходной задачи. Получаемые алгебраические уравнения необходимо дополнять аппроксимацией краевых условий. Эти краевые условия могут не присутствовать явно в исходной постановке задаче.

Например, в случае решения двухмерных уравнений Навье-Стокса, записанных для переменных «функция тока — вихрь», возникают сложности с аппроксимацией на твердых стенках краевых условий для «вихря». Если же решается двухмерная или трехмерная система, записанная для физических переменных «скорость — давление», необходимо аппроксимировать краевые условия для давления, отсутствующие в исходной постановке задачи.

Кроме того, большую проблему составляют условия на бесконечности. Если они присутствуют в постановке задачи, нужно каким-то образом переносить их на границу конечной области.

Далее перед вычислителем встает проблема решения алгебраических уравнений, получающихся в результате аппроксимации системы дифференциальных уравнений и краевых условий.

В линейном случае, например, при решении задач движения, идеальной жидкости, матрица разностного оператора может быть незнакоопределенной, нссамосопряженной, почти особенной. В совокупности наличие этих свойств приводит к тому, что обычные градиентные методы не сходятся или сходятся очень медленно.

Решение нелинейной системы уравнений, получающейся, например, в результате аппроксимации уравнений Навье-Стокса, также является сложной задачей, т.к. существующие методы решения налагают существенные ограничения как на оператор, так и на начальное приближение.

Кроме того, как в линейных, так и в нелинейных случаях использование некоторых аппроксимаций краевых условий ограничивает круг применимых методов.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена численному решению линейных и нелинейных уравнений гидродинамики. Ее цель — построение методов задания недостающих краевых условий для давления в случае решения задачи в физических переменных, разработка новых итерационных алгоритмов решения систем уравнений, аппроксимирующих исходную дифференциальную задачу, алгоритмов ускорения сходимости в случае решения нелинейных задач, а также численных расчет двух- и трехмерных задач движения жидкости в различных областях.

Методы исследования. При решении постлишпыл ц.ип попользовались

РОС НАЦИОНАЛЫ!*!!/ БИБЛИОТЕКА I

Sf^SfS I

методы теории разностных схем, теории итерационных методов решения систем уравнений, методы объектно-ориентированного программирования.

На защиту выносятся:

• • алгоритм многокомпонентной групповой оптимизации для решения систем линейных алгебраических уравнений;

• алгоритм многокомпонентной групповой оптимизации для решения систем нелинейных алгебраических уравнений;

• алгоритм ускорения сходимости итерационного решения систем нелинейных алгебраических уравнений;

• метод задания на твердых стенках недостающих краевых условий для давления в случае решения задачи для переменных «скорость — давле-

Научная новизна работы заключается как в построенных методах и алгоритмах, так и в полученных численных результатах. В диссертационной работе предлагаются новые итерационные алгоритмы с многокомпонентной групповой оптимизацией для решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений; алгоритм ускорения сходимости итерационного решения систем нелинейных алгебраических уравнений; метод задания на твердых стенках недостающих краевых условий для давления в случае решения задачи для физических переменных. С помощью новых методов были проведены численные расчеты различных линейных и нелинейных задач гидродинамики.

Достоверность полученных результатов обеспечена

• тестированием предложенных алгоритмов с контролем точности, в частности, путем изменения области расчета и шагов сетки;

• подтверждается хорошей согласованностью с численными расчетами других авторов, а также с результатами натурных экспериментов.

Практическая н теоретическая ценность. Построенные итерационные схемы с многокомпонентной групповой оптимизацией в случае небольшой размерности позволяют быстро получить приемлемое приближенное решение систем как линейных, так и нелинейных алгебраических уравнений. Полученное решение используется в дальнейшем при задании начального приближения для задачи на более мелкой сетке. Предложенный алгоритм ускорения сходимости в случае решения системы нелинейных алгебраических уравнений позволяет значительно сократить время расчета. Предложенный метод задания на твердой стенке краевых условий для давления позволяет при решении разностных схем отказаться от искусственных условий, отсутствующих в исходной постановке задачи.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались

• на международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», Усть-Каменогорск, Казах-стаи, 11-14 сентября, 2003 г.;

• на международной конференции по математике и механике, Томск, 16-

ние».

18 сеитября-,-2003 Г.: Г

• на Всероссийской научной конференции «Наука и образование», БИФ КемГУ, 2003п;

• на I, II региональных научно-практических конференциях «Информационные недра Кузбасса», Кемерово, 2001, 2002гг.;

• на конференциях молодых ученых по математическому моделирования. и информационным технологиям ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001, 2002гг., Красноярск, 2003 г.;

• на XXIX конференции молодых ученых КемГУ, 2002г.;

• на конференции «Краевые задачи и математическое моделирование», НФИ КемГУ, 2001, 2002гг.;

• на международной конференции, посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, 2001г.;

• на международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии», Томск, 2000г.

• на семинарах кафедры «Новые информационные технологии», КемГУ;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Выполнена на 159 страницах машинописного текста, содержит 4 таблицы, 48 рисунков. Список цитированной литературы включает 265 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении сформулированы цели диссертационной работы, обоснована актуальность решаемых задач. Излагаются основные результаты, содержащиеся в диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена построению итерационного алгоритма неполной аппроксимации с многокомпонентной групповой оптимизацией для решения систем линейных алгебраических уравнений.

В параграфе 1 приводится постановка задачи решения системы линейных алгебраических уравнений, анализируются основные проблемы, связанные с решением этой задачи, дастся обзор существующих методов решения.

Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве Нт задана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

где А — (ау) — невырожденная матрица размерности т, £ и — неизвестный и известный т-мерные векторы из Нт.

Если матрица Л" положительно определена, то для решения системы (1) можно использовать достаточно богатый арсенал итерационных схем.

В случае незнакоопределенной матрицы возникает необходимость при-мснеиия, например, первой трансформации Гаусса. Однако, в случае когда это может привести к значительному ухудшению спектральных свойств задачи (1), что также отрицательно скажется на скорости сходимости

итерационного метода. Таким образом, необходим сходящийся итерационный метод решения системы (1) с незнакоопределенной почти особенной матрицей.

Параграф 2 посвящен построению итерационного алгоритма неполной аппроксимации (НА) с многокомпонентной групповой оптимизацией. Приводится описание итерационной схемы неполной аппроксимации для решения системы линейных алгебраических уравнений и процедуры ускорения сходимости итерационного процесса.

Рассмотрим итерационную градиентную схему НА

ип+1/2 = и" - гп+1В(Лип - /), (2а)

и"41 = ип+1/2 - сь^г», п = 0,1,2,..., (2Ь)

где В — неособенная квадратная матрица, г" б Нт — произвольный вектор, ">п+ь с*п+1 — итерационные параметры, и0 — произвольный начальный вектор. Параметры итерации тп+и »п+1 выбираются исходя из минимума нормы векторов Vп+1/2 = £)1/2(ипИ/2-и) и уп+1 = Д1/2(ип+1 _и) соответственно (£> — самосопряженный положительноопределенный оператор). Заметим, что ап+1 может быть как константой, так и матрицей.

Доказано, что существуют такие вектора гп+1, что последовательность {9п+1 г= ||уп+1||2/||уп||2} является монотонно возрастающей и ограниченной сверху числом ©* < 1. Таким образом, схема НА является сходящейся и обладает асимптотическим свойством.

Процедура ускорения сходимости схемы неполной аппроксимации выглядит следующим образом

(3)

где и"+2, и" — приближенное решение схемы (2). Выбрав ип из условия min ||vn+2|| = ||ö1/2(xn+2 - u)j|, получим

U)„ =

(vn+2,vn)-

L,n+2||2

llv»+a||2 - 2(v»«t v») + Ilv«||2" В силу ограниченности и монотонности {©„и} для || vn,2||2

„п+2„2 _ К+2|| Vll2 - ||v»»|l4 en+2 - e„+i

справедливо

Цу"+2||2 - 2||уп+1ц2 + ||у"||2 ©п+2е„+1-2еп+1 + 1" 11 -

еп+2-еп+1 2 - (1 - е*)2 11 11

Таким образом, чем ближе ©„+2 к ©„., х, тем существенней будет эффект ускорения.

Пусть ап+1 — диагональная матрица размер нга (ит$ — вектор, все элементы которого равны 1, тоща

= £)1/2(ип+1 _ ц) = уП+1/2 _

(4)

¿=1

где — элемент главной диагонали матрицы а„+ь стоящии в г-н строке, г" — единичный вектор с ненулевой ьй компонентой.

Будем находить элементы матрицы {о4+х} из условия ш ||уп+1|| Для этого необходимо решить СЛАУ

В случае, когда известна структура матрицы Б, например, матрица Б — бдочно-диагональная, алгоритм позволяет использовать эту информацию для сокращения количества затрачиваемых операций.

Также для упрощения расчетов, можно проводить оптимизацию не по всем параметрам одновременно, а лишь по некоторому подмножеству. В этом случае размерность СЛАУ, которую нужно решить, будет меньше.

В §1.3 на примере оператора, аппроксимирующего дифференциальное уравнение Гельмгольца, показано как можно проводить оптимизацию, в ходе которой параметры итерации а^ находятся как решение нескольких систем уравнений с диагональной матрицей.

Даже при такой упрощенной многопараметрической оптимизации скорость сходимости выше, чем в случае последовательного нахождения элементов матрицы

Параграф 3 гл. 1 содержит результаты расчетов некоторых тестовых задач.

Для проверки эффективности схем неполной аппроксимации по сравнению с обычным градиентным методом были проведены расчеты задачи движения идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в канале без препятствий. Движение такой жидкости описывается уравнением Гельмгольца

где 100 — коэффициент, зависящий от числа Фруда и скорости набегающего потока. При этом параметре матрица разностной задачи незнакоопреде-лена. Точным решением является функция ф(х, г) = г.

Сравнительные расчеты показали превосходство схемы неполной аппроксимации над обычным градиентным методом.

В приложениях часто приходится решать дифференциальные уравнения с условиями на бесконечности. В ходе численной реализации необходимо ограничивать область расчета и переносить условия с бесконечности на границу

конечной области. С помощью рассмотренного итерационного метода были получены приближенные решения тестовых задач с условиями на бесконечности в различных областях, как с гладкой, так и с негладкой границей. Расчеты проводились как для знакоопределенного (&2 = 1), так и для незнако-определенного (А;2 = 100) оператора. Увеличение размеров области расчета и уменьшение шага практически не оказывало влияния на получаемые картины течения (рис. 1).

Рис. 1. Приближенные решения задачи движения идеальной жидкости в полубесконечной области размер области расчета практически не

влияет на картину течения

Наличие источников жидкости внутри области расчета усложняет постановку краевых условий на выходе из канала. Использование схемы неполной аппроксимации позволило получить приближенное решение задачи течения идеальной несжимаемой жидкости в полубесконечном канале с источником жидкости на негладком дне.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена построению итерационного алгоритма многокомпонентной групповой оптимизации и алгоритма ускорения сходимости итерационного процесса решения системы билинейных уравнений.

В параграфе 1 излагается обшая физическая постановка задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Приводится постановка задачи решения системы билинейных алгебраических уравнений.

Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса.

Большинство существующих в настоящее время итерационных методов решения подразумевает стационирование по фиктивному времени нестационарной системы уравнений [Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980. — С. 616]. В случае использования явной аппроксимации возникает проблема численной устойчивости алгоритма. Это накладывает ограничения на шаг по времени, который должен быть достаточно мал. Если же уравнения аппроксимируются неявной схемой, возникает необходимость решения на каждом временном слое системы алгебраических уравнений, недостаточно

точное решение которой на каком-либо шаге может привести к нарастанию ошибки.

Лишь в некоторых работах аппроксимируется непосредственно стационарная система уравнений Навье-Сгокса с последующим решением системы нелинейных алгебраических уравнений.

Получающаяся в результате аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнения являются системой нелинейных алгебраических уравнений вида

Л(и,и) = f, (8)

где u, f — соответственно неизвестный и известный вектора из Нт, Л(и, v) = .i4i(u, v) + AfV, Л2 — линейный оператор, .Ai(u, u) — билинейный оператор, такой что

где — произвольные постоянные.

Существующие в настоящее время методы решения нелинейных уравнений, например, метод Ньютона, накладывают серьезные ограничения на оператор и начальное приближение, которое должно быть достаточно близким к точному решению.

Параграф 2 посвящен построению итерационного алгоритма многокомпонентной групповой оптимизации и алгоритма ускорения сходимости итерационного процесса решения системы билинейных уравнений. Приводится описание итерационного градиентного метода решения систем билинейных алгебраических уравнений [Мегод минимальных невязок решения одного класса нелинейных уравнений / Ю. Н. Захаров, Е. Ф. Егорова, М. Л. Толстых, Ю. И. Шокин // Препринт N 9. - Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991.- С. 32].

Рассмотрим итерационный градиентный метод решения билинейных уравнений (8)

un+i/2 — и" _ Тп+1[Л(ип, u") - f] (9а)

u«+i = ипц/а + an+i2« „ = о, 1,2,..., (9Ь)

где zn € Нт — некоторый вектор®— произвольное начальное приближение из области определения оператора — итерационный

параметр, который может быть как константой, так и матрицей.

Параметр будем искать из условия минимума нормы

Используя свойство билинейности оператора и формулы Кардано, найдем, в общем случае, несколько корней получающегося в результате кубического

уравнения. Среди них выберем тот, который доставляет глобальный минимум

Цгп+1/2||.

Если параметр а»+1 — константа, будем выбирать его из условия минимума ||гп+1||, также используя свойство билинейности оператора и формулы Кардано.

Выбирая так г„+, и ап+1, получим ||гп+1||2 < Цг^'^Ц2 < ||гп||2. Пусть ап+1 = {«^4.1} — диагональная матрица. Тогда для схемы (9Ь) справедливо равенство

где = и"+1/2, = ип+1, г" = (0,...,0Д,0,...,0). Параметры а^

можно выбирать последовательно, исходя из условия минимизации Цг",^1!^ с помощью свойства билинейности оператора и формулы Кардано.

Найдем параметры из условия глобального минимума ¡|гп+1||. Используя билинейность оператора А, получим

гп+г _ г71+1/2

т

+ £ a«! + Mznf +

ЕЕ

«=i j-i

Пусть оператор Ai и вектора zj1 такие, что

т

rn+1 Й fn+I = г"т1/2 + £ ai'li (л(ип+1/2, z") + ^(а» u"+I/2)) .

t=i

тогда итерационные параметры будем искать из условия минимума Для этого необходимо решить систему линейных уравнений

Как и в линейном случае (см. §1.2) задачу нахождения о:^ можно упростить, если проводить минимизацию не по всем параметрам одновременно, а по некоторому подмножеству.

Построим процедуру ускорения сходимости итерационного алгоритма. По-

где a»n = const параметр, который будем находить из условия минимума нормы вектора невязки г" = Л(йп, й") — f.

Если итерационная схема плохо сходится, то и" !

и

,п-2 ,

пП-1

а также

„п-1

. В этом случае для ||г"|| получается приближенное выражение в точности совпадающее с выражением для нормы невязки при ускорении сходимости в линейном случае (см. §1.2).

Следовательно, как и в линейном случае, можно ожидать, и тестовые расчеты это показали, существенного ускорения сходимости.

Параграф 3 гл. 2 посвящен численному решению нелинейного дифференциального уравнения Бюргерса

Точным решением задачи (11)—(12) будет функция м(х) = зт(х).

Задача была аппроксимирована разностной схемой на неравномерной сетке. Полученные в результате аппроксимации уравнения являются системой билинейных уравнений (8).

Были проведены сравнительные расчеты задачи Дирихле (11)-{12) обычной градиентной схемой (9а), схемой (9а)-(9Ь) с последовательной оптимизацией, схемой (9а)-(9Ь) с оптимизацией по нескольким параметрам одновременно. Проведены расчеты показывающие эффективность применения ускоряющей процедуры (10). Кроме того, использование схемы (9а)-(9Ь) позволило получить приближенное решение задачи с условием на бесконечности, практически совпадающее с точным.

Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена решению системы нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Рассматривалось как двухмерное, так и трехмерное течение.

Параграф 1 посвящен численному решению системы нелинейных уравнений Навье-Стокса для «функции тока» и «вихря», описывающей двухмерное течение вязкой несжимаемой жидкости

где (х, у) 6 П'2^ — прямоугольная область с твердой границей и > 0 — коэффициент динамической вязкости. Функция тока ^ связана с элементами вектора скорости равенствами

Для системы уравнений (13), (14) необходимо задать следующие краевые

условия

где п — нормаль к функции <pi(x,y), f2{x,y) определяются заданием на Г® вектора скорости v (<¿>1 — с точностью до аддитивной постоянной).

На прямоугольной неравномерной сетке аппроксимируем задачу (13)-(15) разностной схемой. Полученные разностные уравнения являются системой билинейных алгебраических уравнений (8).

Для проверки эффективности предлагаемых алгоритмов была проведена серия численных экспериментов по решению системы (13)-(15), описызаю-щей двумерные течения. Были рассмотрены задачи течения жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой, течения жидкости над каверной, течения жидкости в канале с обратным уступом.

Задача двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой активно использовалась многими авторами при тестировании численных алгоритмов.

В большей степени это обусловливается тем, что в отличие от задач протекания, краевые условия в ней реализуются достаточно просто.

Задача решалась при значениях коэффициента вязкости 0.01, 0.0025, 0.001 явным итерационным методом (9) с матричным параметром an+i. При малом количестве узлов использовалась многопараметрическая оптимизация, что позволило получить хорошее решение за малое количество итераций. При большем количестве узлов применялась последовательная оптимизация.

Наблюдается хорошее соответствие полученных результатов с результатами работ других авторов \Ghia U., Ghia К. N., Shin С. Т. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navicr-Stokes Equations and a Multigrid Method // J. Comput. Phys. "- 1982. Vol. 48. "- P. 387 ], в частности, практически совпадают графики зависимости компонент вектора скорости в срединных сечениях каверны, значения «функции тока» и «вихря» в центре основного вихря, линии уровня «функции тока» (рис. 2).

Вторая тестовая задача — это задача течения над каверной. В постановке задачи присутствуют условия на бесконечности. Для численного решения необходимо перенести эти условия на границу конечной области. В качестве граничных условий на правой использовалась аппроксимация уравнений (13)-(14) внутрь области.

Как показали тестовые расчеты, увеличение области расчета вниз по потоку не влияет на решение, а увеличение количества узлов лишь уточняет его. Результаты, полученные с помощью аппроксимации уравнений системы

Рис. 2. Течение в каверне (и = 0.001)

внутрь области, практически совпадают с результатами, полученными с помощью обычно применяемых краевых условий.

Трудности решения третьей тестовой задачи течения жидкости в канале с обратным уступом связаны с тем, что при уменьшении коэффициента вязкости v происходит увеличение области занятой вихрем за уступом. Например, если для V = 0.05 вихрь заполняет область по длине равную 0.6 высоты уступа, то для V — 0.01 — две высоты уступа. Более того, как известно, на верхней стенке канала имеется вихрь, начинающийся за основным вихрем, что делает течение вниз по потоку нетривиальным. В связи с этим, обычно используемые краевые условия необходимо ставить достаточно далеко от уступа. Например, другие авторы [Rogers S. E., Kwak D. An Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Applied Numerical Mathematics. — 1991. — Vol. 8. — Pp. 43-64] используют область расчета имеющую длину в 30 раз большую, чем высота самого уступа, равная 0.5.

В нашем случае удалось получить хорошее решение даже в области лишь частично захватывающей вихрь. При этом, увеличение области решения более чем в 3 раза не привело к изменению решения в меньшей подобласти более чем на 0.1%. Картина течения в большой (рис. 3) области хорошо согласуется с результатами численных и натурных [Experimental and Theoretical Investigation of Backward-Facing Step Flow / В. Armaly, F. Durst, J. Periera, B. Schónung // J. Fluid Mech.- 1983,- Vol. 127,- P. 473] экспериментов других авторов. В частности, практически совпадают размеры вихрей, образующихся у основания уступа и на верхней стенке канала.

Рис. 3. Приближенное решение задачи обтекания уступа (v = 0.023)

Параграф 2 гл. 3 посвящен численному решению двумерной системы нелинейных уравнений Навье-Стокса, записанной для компонент вектора скорости (и, V) и давления (Р)

где (х, у) б Г2(2\ — прямоугольная область с твердой границей Г®, V > О — коэффициент кинематической вязкости. Для уравнений (16)-(18) необходимо задать краевые условия

Для существования решения не требуется каких-либо краевых условий для давления Р.

Данная задача представляет интерес прежде всего потому, что в ходе ее решения возникают те же самые проблемы, что и при решении трехмерной системы уравнений Навье-Стокса. А именно, отсутствие в постановке задачи краевых условий для давления на твердой стенке, проблема переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области, проблема эффективного решения разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную систему уравнений.

Введем в области П® неравномерную согласованную с границей Г2) прямоугольную сетку П^2' с сеточной границей Г^. На П^2' аппроксимируем систему уравнений (16)- (19) разностной схемой.

В исходной дифференциальной задаче отсутствуют краевые условия для давления Р. Однако, для численного решения какие-либо условия должны быть поставлены. Самым распространенным условием, встречающимся в других работах, является условие дР/дп = 0, однако оно не присутствует в исходной постановке задачи, и в этом смысле является искусственным. В данной работе в качестве краевых условий используется аппроксимация внутрь области уравнения неразрывности (18).

Полученная в результате аппроксимации разностная задача является системой билинейных уравнений (8), для решения которой был применен итерационный градиентный метод описанный во втором параграфе второй главы.

В качестве тестовых были рассмотрены задачи течения жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой, течения жидкости над каверной, течения жидкости в канале с обратным уступом.

В задачах с условиями на бесконечности на границе конечной области для замыкания разностной схемы задавалась аппроксимация уравнений (16)-( 18) внутрь области.

Результаты расчетов всех задач практически совпадают с резульгатами, полученным при решении системы уравнений, записанной относительно «функции тока» и «вихря», которая была рассмотрена в первом параграфе третьей главы.

Таким образом, на двумерной задаче для физических переменных «скорость-давление» были апробированы способы задания краевых условий на твердой стенке, переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области, а также итерационный метод решения разностных схем.

Поскольку предложенные алгоритмы оказались достаточно эффективными, они были применены при решении трехмерной задачи движения вяз-

кой несжимаемой жидкости, описываемой системой уравнений Навье-Стокса, рассмотренной в параграфе 3 гл. 3

где (х, у, г) 6 Г2^ — прямоугольный параллелепипед с твердой границей V > 0 — коэффициент вязкости. Для уравнений (20)-(23) необходимо задать краевые условия

и = щ(х, у, г), V = г>!(х, у,г),ы = ы^х, у, г), (х, у, г) 6 Г(3)- (24)

Как и в двумерной задаче, для существования решения не требуется каких-либо краевых условий для давления Р.

На неравномерной прямоугольной сетке аппроксимируем систему уравнений (20)-(24) разностной схемой.

В исходной дифференциальной задаче отсутствуют краевые условия для давления Р. В трехмерном случае для замыкания разностной схемы были использованы хорошо зарекомендовавшие себя при решении двухмерной задачи краевые условия в виде аппроксимации уравнения (23) внутрь области.

Получающиеся аппроксимирующие алгебраические уравнения, являются системой билинейных уравнений (8).

Для проверки эффективности предложенных алгоритмов решения трехмерных задач были проведены расчеты движения жидкости в кубической каверне с движущейся верхней крышкой, движения жидкости в канале с обратным уступом, движения кубического тела в канале.

Задача течения жидкости в трехмерной каверне была использована в качестве тестовой, так как краевые условия в этой задаче относительно просты.

Расчеты проводились при коэффициенте вязкости V — 0.01, 0.025, 0.001. Анализ решения показал существенное влияние трехмерности задачи на картину течения (рис. 4).

Как и в работах других авторов [Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью / С. Исаев, А. Судаков, Н. Лучко и др. // ИФЖ.- 2002.- Т. 75, № 1.- С. 49-53], с уменьшением параметра вязкости наблюдается интенсификация струйно-вихревого течения, центр вихревого образования смещается к геометрическому центру каверны. Также с уменьшением V в центральной части каверны формируется зона квазидвумерного течения.

Рис. 4. Треки частиц в срединном сечении и на боковых гранях каверны, а также «внешний» и «внутренний» вихри (у = 0 001)

В постановке задач движения жидкости в канале с обратным уступом и движения кубического тела в канале присутствуют условия на бесконечности. Для численного решения необходимо каким-либо образом перенести эти краевые условия с бесконечности на границу конечной области П'3'. Как и в двумерном случае, недостающие условия для компонент скорости и, V, хи и давления Р получались с помощью аппроксимации внутрь области уравнений (20), (21), (22) и (23) соответственно. Это позволило уменьшить область расчета и тем самым сократить размерность решаемой системы нелинейных уравнений, что особенно важно в трехмерных задачах.

Анализ приближенного решения показал наличие сложных струйно-вихревых структур за рассматриваемыми препятствиями (рис. 5).

Рис. 5. Треки частиц, обтекающих обратный уступ {у = 0.02) и кубическое

тело (и = 0.01)

При решении всех задач использовался метод последовательного измельчения сетки. В численных расчетах на мелкой сетке в качестве начального приближения использовалась линейная интерполяция решения, полученного на более крупной сетке. Такой подход позволил значительно сократить время расчета.

Основные результаты работы

• построен итерационный алгоритм с многокомпонентной групповой оптимизацией для решения систем линейных алгебраических уравнений;

• построен итерационный алгоритм с многокомпонентен групповой оптимизацией для решения систем нелинейных алгебраических уравнений;

• построен метод ускорения сходимости итерационного решения систем нелинейных алгебраических уравнений, который значительно сокращает количество итераций;

• построен метод задания недостающих краевых условий на твердых стенках в двух- и трехмерных задачах движения вязкой несжимаемой жидкости, описываемой системой уравнений Навье-Стокса для физических переменных;

• предложенные алгоритмы позволили получить, хорошо согласующиеся с результатами как численных так и натурных экспериментов, приближенные решения следующих задач:

- двухмерных задач движения идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости, описываемого уравнением Гельмгольца, в полубесконечных каналах различной конфигурации;

- двухмерной задачи движения вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой каверне, описываемого системой уравнений Навье-Стокса для «функции тока» и «вихря», при различных значениях коэффициента динамической вязкости;

- двухмерных задач движения вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечных каналах различной конфигурации;

- трехмерной задачи движения вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой каверне, описываемого системой уравнений Навье-Стокса для физических переменных, при различных значениях коэффициента динамической вязкости;

- трехмерных задач движения вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечных каналах различной конфигурации;

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Захаров Ю. Н., Балаганский М. Ю. Движение тел в равномерно стратифицированной жидкости // Материалы XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика.— Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000.— Т. И.— С. 12-13.

2. Захаров Ю. Н., Балаганский М. Ю. Движение тел в равномерно стратифицированной жидкости // Материалы международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии». — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000.-С. 109-110.

3. Балаганский М. 10. Исследование влияния препятствий на картину течения равномерно стратифицированной безграничной жидкости // Материалы научно-практической конференции «Информационные недра Кузбасса». — Кемерово: Полиграф, 2001.— Т. П.— С. 220.

4. Балаганский М Ю. Многопараметрическая оптимизация в схемах неполной аппроксимации для решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Вестник Кем. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (7).— Кемерово, 2001.-С. 99-105.

5. Балаганский М. Ю. Численное решение краевых задач с условиями на бесконечности // Сб. тр. 4-й всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование». — Новокузнецк, 2001.-С. 12-16.

6. Балаганский М. Ю., Захаров 10. Н. Итерационные схемы решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Деп. в ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001.— Кемерово: Кемеровск, гос. ун-т, 2001.— С. 26.

7. Балаганский М. Ю. Использование схем неполной аппроксимации при численном решении системы стационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Тезисы докладов конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. — Новосибирск: ИВТ, 2001.— С. 19.

8. Балаганский М. Ю. Итерационная схема неполной аппроксимации с мно-гопарамстрической оптимизацией для решения системы билинейных алгебраических уравнений // Сб. тр. XXIX конференции студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета, — Кемерово: Кузбассвузиздат, 2002.- С. 288-289.

9. Балаганский М. Ю. Применение итерационной схемы неполной аппроксимации с многопарамстрической оптимизацией для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса // Сб. тр. XXIX конференции студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 2002. — С. 289-290.

10. Балаганский М. Ю. Итерационное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Тезисы докладов международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Новосибирск: ИВТ, 2002. — С. 16.

11. Балаганский М. Ю. Итерационное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Сб. тр. молодых ученых Кемеровского государственного университета. — Кемерово: Полиграф, 2002. — С. 118-120.

12. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. II, Ханевт В. Использование итерационных методов в решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости // Выч. техн. — 2002. — Т. 7, № 5. — С. 3-10.

13. Балаганский М. Ю. Итерационное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Труды конференции «Информационные недра Кузбасса». — Кемерово, 2003.— С. 215-217.

14. Балаганский М. Ю, Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока, вихрь // Выч. техн.- 2003.- Т. 8, №5.- С. 14-23.

15. Балаганский М. Ю., Захаров Ю.Н. Итерационное решение трехмерной системы уравнений Навье-Стокса // Труды международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». — Усть-Каменогорск, 2003.— Т. 1.— С. 95-101.

16. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационное решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса, описывающих двух- и трехмерное движение вязкой несжимаемой жидкости // Сб. тр. международной конференции по математике и механике. — Томск, 2003.— С. 102.

17. Балаганский М. Ю. Итерационное решение трехмерной системы уравнений Навье-Стокса // Тез. докл. IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 3-5 ноября 2003 г. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2003.-С. 14.

Подписано в печать 13.01.04г.

Формат бумаги 60x90 1/16 объем 1печлист.

Тираж 130 экземпляров.___Заказ №864

Отпечатано: типография КВК «Экспо-Сибирь», г.Кемерово, ул.Кузбасская-28б, тел.36-20-09.

i. 1954

РНБ Русский фонд

2004-4 27361

Введение

Глава 1. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений

§1 Постановка задачи.

§2 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной почти особенной матрицей.

2.1 Итерационная схема неполной аппроксимации

2.2 Асимптотическое свойство схемы.

2.3 Ускорение сходимости.

2.4 Многопараметрическая оптимизация.

§3 Движение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости

3.1 Уравнение Гельмгольца.

3.2 Разностная схема.

3.3 Тестовые расчеты.

Глава 2. Итерационное решение систем нелинейных алгебраических уравнений

§ 1 Постановка задачи.

§2 Итерационная градиентная схема решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

2.1 Явная итерационная схема.

2.2 Многопараметрическая оптимизация.

2.3 Ускорение сходимости.

§3 Модельное уравнение переноса.

3.1 Уравнение Бюргерса.

3.2 Разностная схема.

3.3 Сравнительные расчеты

Глава 3. Решение систем нелинейных дифференциальных уравнений

Навье-Стокса

§1 Двухмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке «функция тока»-«вихрь».

1.1 Постановка задачи

1.2 Разностная схема.

1.3 Тестовые расчеты.

§2 Двухмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке «скорость»-«давление»

2.1 Постановка задачи

2.2 Разностная схема.

2.3 Тестовые расчеты.

§3 Трехмерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке «скорость»-«давление».

3.1 Постановка задачи

3.2 Разностная схема.

3.3 Тестовые расчеты.

В соответствии с изречением греческого философа Гераклита, который говорил «все течет.», в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с течением обычных жидкостей: воды, воздуха, крови и т.д., в очень простых ситуациях таких как дыхание, мытье рук и т.п.

Большинство течений имеет природное (океаны, моря, ветер) и техногенное происхождение (самолеты, машины, биоинженерия). Существует потребность в моделировании проблем течения жидкостей, с целью лучшего понимания сложных явлений и повышения качества технологий. С появлением новых вычислительных инструментов моделирование становится все более подходящим для проведения экспериментов. При некоторых обстоятельствах, прямой эксперимент может быть слишком дорог и даже привести к разрушению исследуемого объекта, таким образом, моделирование является единственным способом изучить параметры исследуемой системы.

Появление компьютеров привело к развитию вычислительной гидродинамики. В начале, новая дисциплина принесла надежду, что вычисления могут открыть дорогу к моделированию трехмерных течений с высоким числом Рей-нольдса. Реальность разрушила эти наивные ожидания. До сих пор остаются актуальными многие проблемы, ограничивающие использование существующих численных методов решения.

Большинство течений, с которыми человеку приходится сталкиваться, имеют нелинейную природу. Таковыми, например, являются течения вязкой несжимаемой жидкости, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями Навье-Стокса. Используя различные упрощения моделей гидродинамики можно нелинейную задачу свести к линейной. Например, течение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска описывается одним линейным дифференциальным уравнением Гельмгольца относительно функции тока. Упрощенные модели движения жидкости отвечают многим процессам, происходящим в природе, поэтому их исследование также имеет огромное значение.

Как правило, при решении задач гидродинамики используют конечно-разностные аппроксимации исходных дифференциальных уравнений. Если аппроксимируется линейная задача, то получающиеся равенства являются системой линейных алгебраических уравнений вида

Ли = f, (1) где А = (ciij) — матрица размерности га, f, и — неизвестный и известный m-мерные векторы из конечномерного гильбертовою пространства НТп.

Первый итерационный метод для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений (1) был предложен Гауссом [161] в 1828 году. Таким образом, история развития итерационных методов решения (1) насчитывает уже 175 лет. Поскольку работ посвященных данной теме достаточно много [35], остановимся лишь на ключевых моментах.

Большинство итерационных методов решения (1) можно разделить на два типа. Первый — методы, использующие информацию о спектральных свойствах оператора А. Операторы перехода от одного начального приближения к другому в алгоритмах этого типа зависят от некоторых параметров, которые выбираются из условия наиболее быстрой сходимости. Для применения итерационного процесса, построенного исходя из данного принципа, нужно располагать возможно большей информацией о матрице системы, в частности о границах ее спектра. Более подробно об этих методах см. [7,27,49,100,127,153,154,194,195,201,232,258-260,264]. Их недостатком является трудоемкость получения информации о спектре матрицы. В некоторых случаях, например, при решении уравнения Гельмгольца движения идеальной стратифицированной жидкости в сложной области с негладкой границей или с условиями на бесконечности, расчет границ спектра представляет собой не менее сложную задачу чем решение исходной системы уравнений.

Методы второго типа — это вариационные или градиентные методы, в основе которых лежит принцип минимизации некоторого функционала, минимум которого достигается на искомом решении системы. Подробнее см. [121,125,127,133,150-152,154,155,161].

При решении (1) вариационными методами большую роль играют такие свойства оператора А как знакоопределенность, самосопряженность, число обусловленности.

Если матрица А незнакоопределена, возникает необходимость преобразования системы (1). Умножая (1) на А* (1-ая трансформация Гаусса), мы получим новую систему с положительно определенной матрицей А = А*А и правой частью А*{, которую можно решать обычными методами. Но когда с^Л ~ 0, такой путь неприемлем. Покажем это на примере. Пусть А = А*, тогда получим систему

А2 и = Ж.

Собственные числа матрицы А2 будут равны X2. Если какое-либо собственное число « 0, например, пусть = 10~5, то соответствующее собственное число новой матрицы Цк будет равно Ю-10, а это означает, что придется решать СЛАУ с фактически особенной матрицей. Таким образом, использование трансформации Гаусса в случае незнакоопределенной, почти особенной матрицы приводит к существенному изменению свойств системы и полученного приближенного решения, т.к. в случае особенной матрицы решение неединственно и итерационный процесс может сойтись к любому из решений с точностью до вектора из ядра оператора.

Итерационные методы решения СЛАУ с несимметричной матрицей рассматривались в следующих работах [8,21,38,135,156,160,174,196,224,247]. В последнее время большое распространение получил метод обобщенных минимальных невязок (GMR.ES) решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной матрицей [244,246,255,262]. Однако, сходимость этого метода не доказана и его реализация предъявляет большие требования к объему памяти и количеству операций, т.к. смысл этого алгоритма заключается в ортогонализации большого набора векторов. В связи с этими ограничениями, как правило, проводят перезапуск метода после ортогонализации заданного числа векторов, которое меньше размерности системы. Однако, исследования показывают, что такое упрощение может привести к отсутствию какой-либо сходимости.

Скорость сходимости итерационных методов зависит от спектральных свойств матрицы коэффициентов. Таким образом, можно сделать попытку трансформировать исходную систему уравнений в эквивалентную ей, но с матрицей коэффициентов, имеющей лучший спектр. Предобуславливатель — матрица, проводящая данное преобразование. Например, если матрица М аппроксимирует матрицу А в некоторым смысле, система вида

АГМ и = М~Ч имеет то же решение, что и исходная, но спектральные свойства матрицы М~1А могут быть лучше.

Использование предобуславливателя в итерационном методе оборачивается дополнительными вычислительными затратами при его построении и использовании на каждой итерации.

Работы [109,175,177,182,189,197,199,245,263] посвящены предобуслав-ливанию систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

При решении СЛАУ хорошо зарекомендовали себя схемы неполной аппроксимации (НА), которые не являются инвариантными относительно решения (1). Эти схемы, впервые были предложенные H.H. Яненко, позволяют решать СЛАУ с незнакоопределенной матрицей без использования 1-й трансформации Гаусса. Существует теорема, доказывающая их сходимость. В ходе итерационного процесса, проводимого схемами НА, возможно применение ускорения сходимости, которое существенно сокращает время расчета, даже в незнакоопределенном случае.

В работах [58,61,64,68,69,71,72,75,78,84,88,89,94-96] схемы неполной аппроксимации используются для решения линейных задач гидродинамики.

Необходимость решения СЛАУ возникает, например, при аппроксимации линейных дифференциальных уравнений гидродинамики (уравнение Гельм-гольца движения идеальной стратифицированной жидкости), однако, линейными уравнениями описываются значительно упрощенные модели течений жидкости. Например, отказ от допущения, что жидкость является идеальной, приводит к необходимости решения уже нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вязкой жидкости.

В двухмерном случае при численном исследовании течений вязкой несжимаемой жидкости используются уравнения Навье-Стокса, записанные как в переменных скорость-давление (v, Р) так и в переменных функция тока-вихрь (ф, со) (см. обзор [202]).

В последнем случае при численном расчете в первую очередь встает проблема постановки краевых условий для вихря на твердых стенках, которые не присутствуют явно в постановке задачи. Условия первого, второго порядка, получающиеся путем разложения условия прилипания дф/дп вблизи границы [147], с успехом использовались в численных расчетах многими авторами (см., например, [23,29,204]). В некоторых работах отмечается, что использование условий более высокого порядка аппроксимации при расчете методами стационирования может привести к зарождению численной неустойчивости. Кроме того, эти условия при решении явными схемами существенно замедляют сходимость, а при решении неявными схемами требуют организации отдельного итерационного процесса.

Система Навье-Стокса в физических переменных скорость-давление до недавнего времени обладала меньшей популярностью вследствие того, что в ней отсутствует уравнение для давления и краевые условия для него.

Обычно недостающее уравнение для Р получают либо путем дифференцирования остальных уравнений системы с учетом соленоидальности поля скоростей, либо путем введения в уравнение неразрывности некоторой функции давления по времени. Граничные условия для полученного уравнения обычно являются следствием теории пограничного слоя и имеют, как правило, градиентный вид. Многие авторы, решающие систему Навье-Стокса в физических переменных, успешно используют условия градиентного типа для давления [144,229], однако, встречаются работы [235,250], в которых показано, что градиентные условия для давления при расчете нестационарной задачи являются некорректными.

Трехмерные задачи движения вязкой жидкости в большинстве своем решаются в переменных скорость-давление, однако, существуют некоторые работы, исследующие систему в переменных векторный потенциал-вихрь. Проблемы задания краевых условий для давления или векторного потенциала сохраняются и в пространственных задачах.

И двухмерная и трехмерная задача может включать в себя условия на бесконечности. В этом случае появляется проблема их переноса с бесконечности на границу конечной области. Использование на неотражающих границах каких-либо сложных равенств затрудняет использование существующих схем решения, замедляет сходимость и может привести к неустойчивости. Краевые условия на бесконечности а также неотражающие условия рассматривались в работах [42,48,99,106,142,143,145,149,176,203,217,228,231,251]. Отметим работу [98], содержащую обзор по неотражающим условиям на границах области расчета.

Краевые условия для уравнений Навье-Стокса исследуются также в работах [25,26,36,56,57,130-132,148,158,227,233,243,254].

В последнее время большое распространение получили методы модификации исходной системы уравнений путем введения искусственной вязкости [40], псевдо- [192,223,225,226,240] или слабосжимаемости (е-аппроксимация) [44,52,102,103], впервые предложенные H.H. Яненко.

В существующих итерационных схемах решения стационарных уравнений Навье-Стокса решение, в основном, ищется путем стационирования разностных уравнений, аппроксимирующих нестационарную систему Навье-Стокса. Преимуществом явных схем является экономичность, однако их условия устойчивости очень ограничены. Таким образом, шаг по времени в некоторых задачах должен быть достаточно мал. Неявные схемы, наоборот, имеют более широкую область устойчивости, требуя взамен большего числа операций для обращения блочно-диагональных матриц. Еще одним недостатком неявных схем является бесконечная скорость распространения ошибки по области решения.

В неявных схемах можно избавиться от нелинейности, если коэффициенты матрицы оператора, зависящего от решения, рассчитывать используя приближенное решение, полученное на предыдущем временном слое.

Наиболее эффективными неявными методами являются методы переменных направлений [3,4,180,210], расщепления (в иностранной литературе алгоритм SIMPLE и его модификации) [33,33,46,103,115,120,159,183,184,186, 191,206,210,211,257].

Лишь в очень немногих работах нелинейные уравнения, аппроксимирующие стационарную систему Навье-Стокса, решаются как система нелинейных алгебраических уравнений [51,179,208,213,242]. Это связано с тем фактом, что методы решения нелинейных уравнений накладывают сильные ограничения на оператор и начальное приближение. Например, в работе [178] отмечена большая чувствительность метода Ньютона к начальному приближению. Решение нелинейных операторных уравнений рассматривалось также в [11,14,20,28,37,110,111,205,219,220].

При решении задач гидродинамики достаточно эффективными оказались многосеточные методы (см. обзор [253]). Принцип их работы может быть объяснен с использованием Фурье-анализа вектора ошибки. Оказывается, при получении следующего приближенного решения с помощью какого-либо итерационного метода уменьшаются те Фурье-составляющие вектора ошибки, длинна волны которых сравнима с размером шага сетки. Таким образом, чередование точных и грубых сеток позволяет уменьшать все Фурье-составляющие вектора ошибки. Многосеточные методы также применялись в работах [141,162,181,185,193,207,212,221,222,237-239,248,249,261,265].

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений также применимы схемы неполной аппроксимации, которые оказались достаточно эффективными при решении широкого класса задач. Применение схем НА позволяет использовать сложные краевые условия при решении задач гидродинамики. При решении стационарных задач течения вязкой жидкости схемами НА отпадает необходимость проведения внутренних итераций для решения промежуточных линейных задач.

Схемы неполной аппроксимации на примере различных нелинейных задач гидродинамики рассматривались в работах [12,13,50,59,60,62,63,65-67,73, 74,76,79-81,83,85-87,91-93,97,128,136-138,146,171,173,215,216].

Для получения более полной информации о численных методах решения уравнений Навье-Стокса см. также обзоры [17,147,170,202] и работы [1,2,9, 15,24,39,41,43,45,47,52,53,55,101,112,116,117,124,126,169,187,188,234,256].

Из последних работ по численному исследованию уравнений Навье-Стокса отметим следующие [6,10,22,30,31,34,54,104,107,108,113,114,118, 122,123,139,140,157,163-167,172].

В диссертации исследуются схемы неполной аппроксимации решения как линейных, так и нелинейных задач. Строятся алгоритмы, позволяющие проводить в многопараметрических схемах неполной аппроксимации оптимизацию по нескольким параметрам одновременно, а также алгоритмы существенно ускоряющие сходимость процесса решения нелинейных задач. Исследуются способы задания краевых условий для вихря. Строится метод задания недостающих условий для давления, в случае решения задачи в физических переменных. Проводятся численные эксперименты по расчету двухмерных и трехмерных внутренних задач и задач протекания в различных областях.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена построению итерационного алгоритма неполной аппроксимации с многокомпонентной групповой оптимизацией для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В параграфе 1 приводится постановка задачи решения системы линейных алгебраических уравнений, анализируются основные проблемы, связанные с решением этой задачи, дается обзор существующих методов решения.

Параграф 2 посвящен построению итерационного алгоритма неполной аппроксимации с многокомпонентной групповой оптимизацией. Приводится описание итерационной схемы неполной аппроксимации для решения системы линейных алгебраических уравнений и процедуры ускорения сходимости итерационного процесса [90].

Рассмотрим итерационную градиентную схему НА ип+1/2 = ип Тп+1в(Аип - /), (2а) ип+1 = ип+1/2 + ап+12п? п = о, 1,2,., (2Ъ) где В — неособенная квадратная матрица, £ Нт — произвольный вектор, тп+ь ап+1 — итерационные параметры, и0 — произвольный начальный вектор. Параметры итерации т„+ь ап+1 выбираются исходя из минимума нормы векторов \п+1/2 = ¿)1/2(и"+1/2 и) и уП+1 £)1/2(ип+1 соответственно (£> — самосопряженный положительноопределенный оператор). Заметим, что ап+\ может быть как константой, так и матрицей.

Доказано, что существуют такие вектора гп+1, что последовательность {0п+1 = |Кп+1||2/||уп||2} является монотонно возрастающей и ограниченной сверху числом 0* < 1. Таким образом, схема НА является сходящейся и обладает асимптотическим свойством. Благодаря этим свойствам, процедура ускорения сходимости схемы неполной аппроксимации позволяет существенно сократить время расчета.

Можно проводить оптимизацию по нескольким параметрам одновременно. Пусть an+i — диагональная матрица размерности m и zn — вектор, все элементы которого равны 1. Если находить элементы матрицы {o^+i} из условия min ||vn+1||, это приведет к необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений, матрица которой, в случае блочно-диагональной матрицы А, также будет блочно-диагональной, что упрощает ее решение. Кроме того, в этом случае можно так проводить минимизацию, что для нахождения параметров итерации а^+х нужно будет решать систему уравнений с диагональной матрицей.

Параграф 3 гл. 1 содержит результаты расчетов некоторых тестовых задач.

Для проверки эффективности схем неполной аппроксимации по сравнению с обычным градиентным методом были проведены расчеты задач движения идеальной несжимаемой равномерно стратифицированной жидкости, описываемого уравнением Гельмгольца.

С помощью рассмотренного итерационного метода были получены приближенные решения тестовых задач в областях с различными формами и размерами. В случае расчетов краевых задач с условиями на бесконечности увеличение размеров области расчета и уменьшение сеточного шага практически не оказывало влияния на получаемые картины течения.

Сравнительные расчеты задач с незнакоопределенной несимметричной матрицей показали превосходство схемы неполной аппроксимации над обычным градиентным методом.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена построению итерационного алгоритма многокомпонентной групповой оптимизации и алгоритма ускорения сходимости итерационного процесса решения системы билинейных t уравнений.

В параграфе 1 излагается общая физическая постановка задачи движения вязкой несжимаемой жидкости, дается краткий обзор литературы и результатов, полученных ранее другими авторами. Приводится постановка задачи решения системы билинейных алгебраических уравнений.

Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Конечно-разностная аппроксимации уравнений Навье-Стокса является системой нелинейных алгебраических уравнений вида

А(и, и) = f, (3) где u, f — соответственно неизвестный и известный вектора из Нт, A(u, v) = ;4i(u, v) + A<iv, А2 — линейный оператор, Ai(u, и) — билинейный оператор, такой что аш^ + а2и(2), blvw + 62v(2)) = aiMi(u(1), v(1)) + а1М1(и<1\ v<2>) + a2Mi(u(2), v«) + a2Mi(u(2), v(2)),

4) где uW, v^ G Hm, cii, b( — произвольные постоянные.

Существующие в настоящее время методы решения нелинейных уравнений, например, метод Ньютона, накладывают серьезные ограничения на оператор и начальное приближение, которое должно быть достаточно близким к точному решению [178].

Параграф 2 посвящен построению итерационного алгоритма многокомпонентной групповой оптимизации и алгоритма ускорения сходимости итерационного процесса решения системы билинейных уравнений. Приводится описание итерационного градиентного метода решения систем билинейных алгебраических уравнений [129] un+1/2 = un Tn+1 unj f] (5а) un+i = un+1/2 + Qn+l2nj n = 0, 1, 2, . . . , (5b) где zn G Hm — некоторый вектор, u° — произвольное начальное приближение из области определения оператора А, тп+\ — const, an+i — итерационный параметр, который может быть как константой, так и матрицей.

Параметр тп+\ находится из условия минимума нормы ||гп+1/2|| с помощью свойства билинейности оператора и формулы Кардано решения кубических уравнений. Если параметр ап+\ — константа, будем выбирать его из условия минимума ||гп+1||, также используя свойство билинейности оператора и формулы Кардано.

Выбирая так тп+1 и ап+ь получим ||гп+1||2 < ||гп+1/2||2 < ||гп||2.

Пусть ап+1 = {^+1} — диагональная матрица.

Можно находить параметры а^ из условия глобального минимума ||гп+1||. В этом случае, используя некоторые предположения относительно оператора А\ и векторов г", задача минимизации сводится к задаче решения системы линейных уравнений относительно а^+г

Для указанного итерационного алгоритма (5) построена процедура ускорения сходимости, которая, как показали тестовые расчеты, существенно сокращает время, необходимое для получения хорошего приближенного решения.

Параграф Зш.2 посвящен численному решению нелинейного дифференциального уравнения Бюргерса.

Были проведены сравнительные расчеты обычной градиентной схемой (5а), схемой (5а)-(5Ь) с последовательной оптимизацией, схемой (5а)-(5Ь) с групповой оптимизацией. Имеются расчеты, показывающие эффективность применения ускоряющей процедуры. Кроме того, использование схемы (5а)-(5Ь) позволило получить приближенное решение задачи с условием на бесконечности, практически совпадающее с точным.

Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена решению системы нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Рассматривалось как двухмерное, так и трехмерное течение.

Параграф 1 посвящен численному решению системы нелинейных уравнений Навье-Стокса для «функции тока» и «вихря», описывающей двухмерное течение вязкой несжимаемой жидкости. Рассматривались задачи течения жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой, течения жидкости над каверной, течения жидкости в канале с обратным уступом.

Использование предложенного итерационного градиентного метода с многопараметрической оптимизацией, а также метода ускорения сходимости позволило провести расчеты в широком диапазоне коэффициента вязкости. Кроме того, алгоритм расчета позволяет использовать сложные краевые условия, которые возникают, например, при решении задач с условиями на бесконечности.

Полученные приближенные решения хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами [204,241].

Параграф 2 гл. 3 посвящен численному решению двумерной системы нелинейных уравнений Навье-Стокса, записанной для компонент вектора скорости и давления.

Данная задача представляет интерес прежде всего потому, что в ходе ее решения возникают те же самые проблемы, что и при решении трехмерной системы уравнений Навье-Стокса. А именно, отсутствие в постановке задачи краевых условий для давления на твердой стенке, проблема переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области, проблема эффективного решения разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную систему уравнений.

В качестве тестовых были рассмотрены задачи течения жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой, течения жидкости в канале с обратным уступом.

На примере этих задач были продемонстрированы методика задания недостающих краевых условий для давления на твердых стенках, способ переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области, итерационный градиентный метод решения уравнений Навье-Стокса в примитивных переменных.

Результаты расчетов всех задач практически совпадают с результатами, полученным при решении системы уравнений, записанной относительно «функции тока» и «вихря», которая была рассмотрена в первом параграфе третьей главы.

Поскольку предложенные алгоритмы оказались достаточно эффективными, они были применены при решении трехмерной задачи движения вязкой несжимаемой жидкости, описываемой системой уравнений Навье-Стокса, рассмотренной в параграфе 3 гл. 3.

В качестве тестовых рассматривались задачи движения жидкости в кубической каверне с движущейся верхней крышкой, движения жидкости в канале с обратным уступом, движения кубического тела в канале с жидкостью, результаты расчетов которых хорошо согласуются с численными [16,105,119,134,168,190,209,214,218,236] и натурными [252] экспериментами других авторов.

Полученные в диссертации теоретические результаты и численные расчеты показывают, что использование многопараметрической оптимизации в совокупности с ускорением сходимости и многосеточной методикой значительно сокращает время расчета как линейных, так и нелинейных задач. При этом, применяемые методы расчета позволяют использовать достаточно сложные краевые условия, возникающие при решении задач с условиями на бесконечности. Использование при решении двухмерных и трехмерных задач течения вязкой жидкости в формулировке скорость-давление предложенных методов задания на твердых стенках краевых условий для давления позволяет отказаться от введения искусственных условий, отсутствующих в исходной постановке задачи.

Заключение

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

1. Рассмотренная итерационная градиентная схема неполной аппроксимации (НА) позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений с различными матрицами коэффициентов. Схема является сходящейся даже в случае незнакоопределенной матрицы системы. Построенная модификация схемы НА с многопараметрической оптимизацией по нескольким параметрам одновременно позволяет существенно увеличить скорость сходимости.

2. Использование итерационной градиентной схемы неполной аппроксимации, приведенной в работе, а также построенной модификации с многокомпонентной оптимизацией по нескольким параметрам одновременно позволяет проводить расчеты широкого класса нелинейных задач движения вязкой жидкости без каких-либо ограничений на нелинейный оператор или начальное приближение, причем минимизация по нескольким параметрам сразу значительно сокращает время расчета.

3. При использовании схем НА для решения систем нелинейных уравнений возможно применение ускорения сходимости. Предложенная процедура является аналогом алгоритма ускорения итерационного процесса решения линейных задач. Оценка ускоряющего шага также аналогична линейному случаю. Сравнительные расчеты тестовых нелинейных задач с применением ускоряющей процедуры показали уменьшение времени расчета по сравнению с итерационным процессом, не использующим ускорение.

4. Решение аппроксимации задачи Навье-Стокса как системы нелинейных уравнений позволяет отказаться от введения в исходную систему уравнений, не присутствующих в постановке задачи. Кроме того, автоматически отпадает необходимость проведения внутренних итераций для решения промежуточных линейных задач.

Например, при решении задачи Навье-Стокса, записанной для скорости и давления, функция давления находится не как решение дополнительного уравнения на каждом итерационном шаге, а одновременно с вектором скорости из принципа минимизации некоторого функционала, характеризующего близость приближенного решения к точному. При этом, задавать краевые условия для давления на твердых стенках не нужно, т.к. на них выполняется уравнение неразрывности, аппроксимация которого на границе дополнит разностную задачу недостающими граничными условиями.

Аналогично решается задача и в переменных функция тока-вихрь, которые находятся исходя из минимума некоторого функционала.

Такой подход к решению задачи Навье-Стокса позволяет также использовать в качестве краевых условий достаточно сложные равенства. Например, в задачах с условиями на бесконечности при переносе граничных условий с бесконечности на границу конечной области, в задачах для физических переменных скорость-давление при задании краевых условий для давления на твердых стенках, в задачах для переменных функция тока-вихрь при задании краевых условий для вихря на твердых стенках.

5. Разработанные методы дополнения систем дифференциальных уравнений недостающими равенствами и также итерационные методы решения позволили получить приближенные решения некоторых задач гидродинамики:

• движения идеальной стратифицированной жидкости в прямоугольном канале;

• решения одномерного модельного уравнения Бюргерса с известным решением;

• движения вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой;

• движения вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне с движущейся верхней крышкой;

• движения идеальной стратифицированной жидкости в полубесконечном канале с препятствием в виде полукруга; движения идеальной стратифицированной жидкости в полубесконечном канале с препятствием в виде прямоугольника с источником жидкости; движения вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном канале с выемкой; движения вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном канале с уступом; движения вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном трехмерном канале с уступом; движения кубического тела в полубесконечном трехмерном канале с вязкой несжимаемой жидкостью.

1. Абдулаев Г. С. Метод характеристик и метод фиктивных областей для решения уравнений Навье-Стокса // Деп. в ВИНИТИ 10.02.95 №394-В95. — М.: Ин-т выч. мат. РАН, 1995.- С. 26.

2. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. — 1992.— Т. 28, №7.-С. 1154-1167.

3. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 9. - С. 1561-1574.

4. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения.- 1994.- Т. 30, № 12.- С. 2094-2105.

5. Аксенов А. В., Городцов В. А., Стурова И. В. Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкостью // Препринт N 282.— М.: Институт проблем механики АН СССР, 1986. — С. 59.

6. Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения для третьей краевой задачи в р-мерном параллелепипеде // Журнал выч. математики и мат. физики.— 1965.— Т. 5, № 4.— С. 626-637.

7. Аристова Е. Н., Голъдин В. Я. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений // Мат. моделир.— 2001.— Т. 13, №9.-С. 82-90.

8. Артемьев В. К. Вариант неявного метода для решения системы уравнений Навье-Стокса в естественных переменных // Физ.-энерг. ин-т.— Обнинск, 1989.-№ 1962.-С. 1-21.

9. Аскарова Ж. Я. К теории метода фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса // Труды Международной конференции 1ШАММ-2001, 4.2, Спец. выпуск. 2001.- Т. 6.- С. 59-62.

10. Асроров Я. Приближенные методы решения нелинейных операторных уравнений // Вопр. мат. анализа и его прил. — Самарканд, 1983. — С. 2025.

11. Афанасьев К. Е., Брехова А. Л., Захаров Ю. Н. Сравнение метода сеток и МКЭ на примере решения внутренних задач движения вязкой несжимаемой жидкости // Тез. Докл. Совещания по механике реагирующих сред. — Красноярск, 1988.— С. 154-155.

12. Афанасьев К. Е., Гудов А. М., Захаров Ю. Н. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1992. — Т. 1, № 3. —1. С. 158-166.

13. Бартоломей П. И. Решение систем нелинейных уравнений методом двойных ньютоновских итераций // Деп. в ВИНИТИ 03.11.1983г., №5940-83.— Свердловск: Урал, политехи, ин-т, 1983.— С. 8.

14. Бахвалов Н. С., Кобельков Г. М., Чижонков Е. В. Эффективные численные методы решения уравнений Навье-Стокса // Числ. моделир. ваэродгидродинам. — М., 1986.— С. 37-45.

15. Белолипецкий В. М., Костюк В. Ю. Численное исследование рециркуляционных течений в трехмерной каверне // Ж. прикл. мех. и техн. физ. — 1990.-№ 1.-С. 100-104.

16. Белолипецкий В. М., Костюк В. Ю., Шокин Ю. И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости.— Новосибирск: Наука, Сибирское Отделение, 1991.

17. Белоцерковский О. М., Белоцерковский С. О., Пастушков А. Р. Численное моделирование внутренних волн при обтекании полукруглого препятствия стратифицированной жидкостью // Пробл. прикл. мат. и ин-формат. — М., 1987.-С. 11-21.

18. Бирюков А. Г. Методы псевдосопряженных направлений для решения систем нелинейных уравнений // Мат. м-ды упр. и обраб. инф.— М., 1986.-С. 159-163.

19. Богданова М. С. Метод минимальных итераций для решения систем с несимметричной матрицей // Б-ка программ для решения краев, задач разност. методами. — М., 1983.— С. 18-24.

20. Бубенчиков А. М., Фирсов Д. К, Альбрандт Е. В. Численное исследование течения жидкости в кровеносных сосудах с аневризмой // Труды Международной конференции Ш>АММ-2001, 4.2, Спец. выпуск.— 2001.-Т. 6.-С. 134-137.

21. Вабищевич П. Н. Реализация краевых условий при решении уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока — вихрь скорости» // Докл. АН СССР. 1983.- Т. 273, № 1.- С. 22-26.

22. Вабищевич П. Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь // Дифференц. уравнения. Минск, 1984.- Т. 20, № 7.- С. 1135-1144.

23. Вабищевич П. Н. Анализ граничных условий при приближенном решении задач обтекания вязкой несжимаемой жидкостью // Актуал. вопр. прикл. мат. М., 1989. — С. 49-54.

24. Вабищевич П. Н. Анализ граничных условий при приближенном решении задач обтекания вязкой несжимаемой жидкостью // Актуал. вопр. прикл. мат. — Москва, 1989.— С. 49-54.

25. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.

26. Васенина М. И. Об аппроксимации условий на свободной границе // Приближ. м-ды исслед. дифференц. уравнений и их прил. — Куйбышев, 1984.-С. 40-46.

27. Воеводин А. Ф. Устойчивость и реализация неявных схем для уравнений Навье-Стокса // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1993.-Т. 33, № 1.-С. 119-130.

28. Воеводин А. Ф. Об устойчивости разностных схем повышенного порядка точности для расчета конвективных течений вязкой жидкости // XVI Международная школа- семинар по численным методам вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

29. Воеводин А. Ф., Гончарова О. Н., Юшкова Т. В. Метод расщепления по физическим процессам для задач конвекции // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 2000.

30. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.— М.: Наука, 1984.-С. 320.

31. Войновский А. С. Об одном варианте метода расщепления и неявной реализации граничных условий для решения уравнений Навье-Стокса в криволинейной системе координат // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1990. - Т. 30, № 9. — С. 1372-1380.

32. Вычислительные методы линейной алгебры / В. Н. Фадеева, В. А. Кузнецов, Г. Н. Грекова, Т. А. Долженкова // Библиографический указатель, 1828-1974 гг. Новосибирск, 1976.

33. Гаранжа В. А., Толстых А. И. О численном моделировании нестационарных отрывных течений несжимаемой жидкости на основе компактных аппроксимаций пятого порядка // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 312, №2.-С. 311-314.

34. Гаспарян М. С. О численной реализации одного метода решения систем нелинейных уравнений // Числ. методы в мат. физ. — Москва, 1986.— С. 61-62.

35. Гончаров А. Л. О применении градиентных методов для решения разреженных несимметричных систем алгебраических уравнений // Ж. вы-числ. мат. и мат. физ. 1989. - Т. 29, № 4. - С. 604-608.

36. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Об одном сеточном методе решения уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока // Дифференц. уравнения. Минск, 1985.- Т. 21, № 7.- С. 1269-1273.

37. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Сеточный метод решения уравнений Навье-Стокса с локальной искусственной вязкостью // Ин-т прикл. мат. АН СССР. Препр. 1986. - № 47. - С. 24.

38. Гончаров А. Л., Фрязинов И. В. Разностные схемы на девятиточечном шаблоне «крест» решения уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1988. - Т. 28, № 6. - С. 867-878.

39. Грудницкая Т. Я., Люлька В. А., Шипилин А. В. Использование метода Шварца при численном интегрировании уравнений Навье-Стокса // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 299, № 3. - С. 577-579.

40. Гущин В. А. Численное моделирование отрывных течений вязкой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 2.— С. 19-45.

41. Джаигбаев А. М., Смагулов Ш. Об ¿-аппроксимации модели неоднородной жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1988.— Т. 2, № 5.— С. 59-76.

42. Джакупов К. Б. Семейство полуявных и полунеявных схем для уравнений Буссинеска // М-ды и средства мат. моделир. процессов переноса. — Алма-Ата, 1985. — С. 3-9.

43. Джакупов К. Б. Метод дробных шагов решения уравнений Навье-Стокса // Мат. моделир. нестационар, процессов.— Алма-Ата, 1988.— С. 20-24.

44. Джакупов К. В. Методы численного решения уравнений Навье-Стокса // «Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.».- 1984.- № 5.- С. 17-21.

45. Дородницын Л. В. Неотражающие граничные условия для систем уравнений газовой динамики // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 522-549.

46. Дьяконов Е. Г. Метод переменных направлений решения систем конечно-разностных уравнений // Доклад АН СССР.— 1961.— Т. 138, №2.-С. 271-274.

47. Егоров И. В., Зайцев О. Л. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье-Стокса методом сквозного счета // Препр. ЦАГИ, 1990. - № 6. - С. 1-25.

48. Жумагулов Б. Т. е-аппроксимация одной задачи для уравнений Навье-Стокса // Деп. в КазНИИНТИ 25.12.89, №2955-Ка89.- Алма-Ата: Каз. ун-т., 1989.-С. 14.

49. Жумагулов Б. Т., Смагулов Ш. С., Орунханов М. К. Численные методы решения уравнений Навье-Стокса в многосвязной области // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.- 1989.- № 3.- С. 23-27.

50. Жумагулов Б., Темирбеков Н. М. Численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в сложных областях // Вычислительные технологии. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.

51. Забелина М. П., Фрязинов И. В. О сходимости разностных схем для двумерных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в переменных вихрь-функция тока-угловая скорость // Дифференц. уравнения.- Минск, 1984.- Т. 20, № 7.- С. 1203-1213.

52. Захаренков М. Н. Особенности разностных схем решения двухмерных уравнений Навье-Стокса, связанные с постановкой граничных условий на твердой поверхности // Препр. ЦАГИ. — 1989. — № 1. — С. 1-22.

53. Захаренков М. Н. Граничные условия дальнего поля при установившемся обтекании профиля вязкой несжимаемой жидкостью // Мат. моде-лир.- 1990.- Т. 2, № 2.- С. 3-18.

54. Захаров Ю. Н. Об одном классе итерационных схем // Мат-лы XIII Всесоюзной научной студенческой конференции НГУ. — Новосибирск, 1975.

55. Захаров Ю. Н. О быстросходящихся итерационных схемах // Материалы пятой научной конференции по математике и механике. — Томск: ТГУ, 1975.

56. Захаров Ю. Н. Ускорение сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. — 1975.— Т. 7, № 7.— С. 12-22.

57. Захаров Ю. Н. Об итерационных схемах с переменным шагом // Молодые ученые и специалисты Кемеровской области народному хозяйству. Тез. Докл. — Кемерово, 1977.

58. Захаров Ю. Н. Построение схем повышенного порядка аппроксимации методом неопределенных правых частей // Молодые ученые и специалисты Кемеровской области народному хозяйству. Тез. Докл. — Кемерово, 1977.

59. Захаров Ю. Н. Об одном способе построения циклических итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред.— 1979.— Т. 10, №4.-С. 85-100.

60. Захаров Ю. Н. Многошаговые схемы с вариационной оптимизацией итерационных параметров // Препринт.— Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1980.-С. 12-14.

61. Захаров Ю. Н. Об одном способе решения системы уравнений Навье-Стокса // Тезисы Всесоюзной школы по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения акад. Н.Н.Лузина. — Кемерово, 1983.— С. 47.

62. Захаров Ю. Н. О групповом анализе Е-систем // Тр. IX школы-семинара. — Новосибирск, 1983. —С. 153-157.

63. Захаров Ю. Н. Групповой анализ разностных схем для системы уравнений Навье-Стокса//Деп. В ВИНИТИ 18.08.84, № 5162-84 Деп. 1984. -С. 10.

64. Захаров Ю. Н. Об одном классе итерационных схем с вариационной оптимизацией параметров // Деп. В ВИНИТИ 18.07.84, № 6369-84 Деп.— 1984.-С. 7.

65. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации // Численные методы механики сплошных сред. — 1985. — Т. 16, № 6. — С. 77-83.

66. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации // Численные методы механики сплошной среды. — 1985. — Т. 16, № 6. — С. 77-83.

67. Захаров Ю. Н. Об одном методе последовательных приближений решения линейных операторных уравнений // В кн. «Теория функций и ее приложения». — Кемерово, 1985.— С. 86-89.

68. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы неполной аппроксимации решения систем линейных уравнений с незнакоопределенной матрицей // «Конструирование алгоритмов и решения задач математической физики». Сб. науч. Тр. М., 1989.- С. 197-201.

69. Захаров Ю. Н. Об одном численном алгоритме решения нелинейно-дисперсионных уравнений Алешкова Ю. 3. // Тр. Всесоюзного совещания по численным методам в задачах волновой гидродинамики. — Красноярск, 1991.- С. 64-69.

70. Захаров Ю. Н. Применение итерационных схем неполной аппроксимации в задачах волновой гидродинамики // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. — М., 1991. — С. 102-106.

71. Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной и почти особенной матрицей // Прямые и обратные задачи теплообмена.— Кемерово, 1993.— С. 85-91.

72. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности // Вычислительные технологии. — 1993.— Т. 2, №7.-С. 56-68.

73. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности // Выч. техн. — 1993.— Т. 2, № 7.— С. 55-68.

74. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнения Дюбрейль-Жакотен // Вычислительные технологии.— 1993.— Т. 2, № 4.— С. 95104.

75. Захаров Ю. Н. Использование итерационных схем с переменным шагом при решении некоторых задач гидродинамики // Математические модели и численные методы механики сплошной среды. Тез. докл. междунар. конф. — Новосибирск, 1996.

76. Захаров Ю. Н., Кривушин С. А. Использование итерационной схемы минимальных невязок для решения стационарной системы уравнений

77. Навье-Стокса // Тез. докл. междунар. конф. «Сопряженные задачи механики и экологии». — Томск: ТГУ, 2000.— С. 110.

78. Захаров Ю. Н., Кривушин С. А. Метод минимальных невязок решения системы уравнений Навье-Стокса // Вестник Кемеровского государственного университета, сер. Математика, вып. 4.— Кемерово, 2000.— С. 108-113.

79. Захаров Ю. Н., Кривушин С. А. Метод минимальных невязок решения системы уравнений Навье-Стокса // Вестник Кем. гос. ун-та. Математика. Вып. 4.- Кемерово, 2000.- С. 108-113.

80. Захаров Ю. Н., Нагорнова О. Н. Итерационная схема минимальных невязок решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // В кн. «Проблемы динамики вязкой жидкости».— Новосибирск, 1985.— С. 156-159.

81. Захаров Ю. Н., Нагорнова О. Н. Об одном классе итерационных схем решения системы линейных уравнений с знакопеременной матрицей // Деп. В ВИНИТИ 30.01.85, № 927-85 Деп.- 1985.- С. 9.

82. Захаров Ю. Н., Окунцов В. В. О схеме с нелинейной «вязкостью» для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // В кн. «Численный анализ». — Новосибирск, 1978.— С. 37-54.

83. Захаров Ю. Н., Паутов В., Грибанова О. В. Некоторые итерационные схемы для системы уравнений Навье-Стокса // Молодые ученые и специалисты Кемеровской области народному хозяйству. Тез. Докл. — Кемерово, 1977.

84. Захаров Ю. Н., Терешкова В. В. Многопараметрическая оптимизация итерационных схем решения уравнений с знакопеременной матрицей //А

85. В кн. «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики». Тез. докл. — Кемерово: КемГУ, 1988.-С. 50-51.

86. Захаров Ю. Н., Терешкова В. В., Шокин Ю. И. Об одном классе итерационных схем решения систем линейных уравнений с незнакоопреде-ленной матрицей // Препринт. — Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1990.— № 14.-С. 22.

87. Захаров Ю. Н., Терешкова В. В., Шокин Ю. И. Об одном классе итерационных схем решения систем линейных уравнений с незнакоопреде-ленной матрицей // Препринт N 14. — Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1990.-С. 22.

88. Захаров Ю. Н., Толстых М. А. Итерационная схема с переменным шагом решения стационарных задач гидродинамики // Численные методы механики сплошных сред, ч. 1,2. Тез. докл. — Красноярск, 1989. — С. 5658.

89. Захаров Ю. Н., Толстых М. А. Многопараметрическая оптимизация итерационных схем решения уравнений с полиномиальной нелинейностью // Моделирование в механике.— Новосибирск, 1990.— Т. 4(21), № 1.-С. 109-114.

90. Захаров Ю. Н., Ханефт В. А. Волновые движения в канале сложной формы // Вестник Кемеровского государственного университета, сер. Математика, вып. 3(7). — Кемерово, 2001. — С. 92-96.

91. Захаров Ю. Н., Ханефт В. А. Об одном способе решения нестационарной задачи движения стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска // Деп. В ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001.- Кемерово: Кем.гос.ун-т, 2001.- С. 24.

92. Захаров Ю. Н., Шокин Ю. Н., Яненко Н. 77. Об одном методе ускорения сходимости итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. 1974. - Т. 5, № 5. - С. 57-62.

93. Илъгамов М. А. Обзор работ по неотражающим условиям на границах расчетной области // Тр. семин./АН СССР. Казан, физ.-техн. ин-т. — 1990.-№26.-С. 6-54.

94. Илъгамов М. А. Поглощающий слой в расчетной области // Тр. семин./АН СССР. Казан, физ.-техн. ин-т. 1990.- № 26.- С. 55-65.

95. Ильин В. 77. Разностные методы решения эллиптических уравнений // Лекции для студентов НГУ. — Новосибирск, 1970.

96. Исаев С. А. О сходящихся разностных схемах для уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения, теории функций и их прил. — Алма-Ата, 1986.-С. 50-52.

97. Исаев С. А., Смагулов Ш. ¿-аппроксимация уравнений неоднородной жидкости // Мат. моделир. нестационар, процессов. — Алма-ата, 1988.— С. 3-7.

98. Исаев С. А., Смагулов Ш. ¿-аппроксимация уравнений неоднородной жидкости // Мат. моделир. нестационар, процессов. — Алма-Ата, 1988. — С. 3-7.

99. Исаев С. А., Усачев А. Е., Фролов Д. 77. Идентификация струйно-вихревых структур в пространственных отрывных течениях несжимаемой жидкости // XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

100. Исаков А. Б. К численному решению задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне при Re — 1000 // Моделир. вщмех. Новосибирск, 1990. - Т. 4, № 2. — С. 64-76.

101. Калиткин Н. Н., Кузнецов Н. О., Панченко С. Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // Докл. РАН. — 2000. — Т. 374, № 5. — С. 598-601.

102. Каменщиков Л. П. Сравнение ряда различных схем при численном решении трехмерных уравнений Навье-Стокса // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 2000.

103. Каменщиков Л. П. К решению уравнений Навье-Стокса на параллельной ЭВМ // Вычислительные технологии и математические модели внауке, технике и образовании Алма-Ата, Казахстан, 18-20 сентября 2002 года. — Казахстан, Алма-Ата, 2002.

104. Капорин И. Е. О предобуславливании метода сопряженных градиентовпри решении дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифферент уравнения. 1990.- Т. 26, № 7.- С. 1225-1236.

105. Каримов Т. X. О некоторых итерационных методах решения нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 269, №5.-С. 1038-1042.

106. Каримов Т. X. О некоторых приближенных методах решения нелинейных систем // Рукопись деп. в ВИНИТИ 17.02.1984г., №942-84.— М.: Ред. ж. «Ж. вычисл. мат. и мат. физ.» АН СССР, 1984.— С. 7.

107. Кобельков Г. М. Об одной разностной схеме расчета нестационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1987.— Т. 24, №2.-С. 294-304.

108. Ковеня В. Н. Модификации метода расщепления для численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

109. Корякин В. Е. Расчет ламинарного обтекания решеток пластин потоком вязкой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 5. — С. 61-71.

110. Котеров В. И., Кочерова А. С., Кривцов В. М. Об одной методике расчета течений несжимаемой жидкости // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 550-558.

111. Кровцов В. М. Об одной численной схеме решения уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1986. Т. 26, № 6. — С. 914-923.

112. Кудинов П. Численное моделирование пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости // Вестник Днепропетровского университета. Серия Механика. Вып. 4.- 2001.- Т. 1.- С. 89-99.

113. Кузнецов Б. И., Смагулов Ш. О сходящихся схемах дробных шагов для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды. Новосибирссск, 1984.- Т. 15, № 2.- С. 69-80.

114. Кузнецов Ю. А. К теории итерационных процессов // Доклад АН СССР. 1969. - Т. 184, № 2. - С. 274-277.

115. Лапко С. А. Итерационные процессы реализации неявных разностных схем для уравнений вязкой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 7. - С. 1222-1224.

116. Ларин М. Р. Оптимальный итерационный метод для решения задач, возникающих в конечно-элементных приложениях // Препр. — Ин-т вычисл. мат. и мат. геофиз. СО РАН, 1998.- № 1129. — С. 1-22.

117. Лэйтон У. Алгоритмы расчета несжимаемых вязких течений при боль* ших Re // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1996. - № 1. - С. 25-34.

118. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы, квадратичные функционалы. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1972.

119. Метод минимальных невязок решения одного класса нелинейных уравнений / Ю. Н. Захаров, Е. Ф. Егорова, М. А. Толстых, Ю. И. Шокин // Препринт. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991.- № 9.- С. 32.

120. Метод минимальных невязок решения одного класса нелинейных уравнений / Ю. Н. Захаров, Е. Ф. Егорова, М. А. Толстых, Ю. И. Шокин // Препринт N 9. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991. — С. 32.

121. Мишков М. Н., Рябенький В. С. Исследование одного способа построения искусственных граничных условий. (Часть 1) // Препр. — Изд. Ин-т прикл. мат. РАН, 1997.- № 55.- С. 1-26.

122. Мишков М. Н., Рябенький В. С. Исследование одного способа построения искусственных граничных условий. (Часть 2) // Препр. — Изд. Ин-т прикл. мат. РАН, 1997.- № 56. — С. 1-26.

123. Нажесткина Э. И., Сафронов И. Л. Численная реализация граничных условий дальнего поля для задач трансзвукового аэродинамического обтекания // Препр. — Ин-т прикл. мат. РАН, 2001. — № 93. — С. 1-18.

124. Николаев Е. С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа // Вычислительная математика и математическая физика. 1976.- Т. 16, № в.-С. 1381-1387.

125. Номофилов Е. В., Чуйкова Н. М. Алгоритм численного решения задач гидродинамики в трехмерной области // Препар. Физ.-энерг. ин-т. — Обнинск, 1989.-№ 2011.- С. 1-10.

126. Нощенко О. Э., Тукалевская Н. И. Выбор итерационных параметров в двухслойных вариационно-градиентных методах // Мат. и прогр. обес-печ. задач дискрет, оптимизации. — Киев, 1989.— С. 8-13.

127. ОкунцовВ. В., Захаров Ю. Н. Использование нелинейной искусственной вязкости для ускорения сходимости итерационных процессов // Материалы XIV Всесоюзной научной студенческой конференции НГУ. — Новосибирск, 1976.

128. О двух итерационных схемах для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса / Н. Н. Яненко, В. В. Окунцов, Ю. Н. Захаров и др. // В кн. «Комплексный анализ и его приложения».— М.: Наука, 1978.— С. 85-100.

129. Паничкин А. В. Применение алгоритма уменьшения схемной диффузии для расчета течений вязкой жидкости // XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

130. Пасконов В. М., Петухова Т. П., Русаков С. В. Применение одной неявной итерационной разностной схемы к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // Вычисл. мат. и мат. обеспеч. ЭВМ. — М., 1985. — С. 216-231.

131. Пиленкас К. И., Солонников В. А. О стационарных системах Стокса и Навье-Стокса в бесконечном открытом канале // Лит. мат. сб. — 1989. — Т. 29, №2.-С. 347-367.

132. Пиленкас К. И., Солонников В. А. О стационарных системах Стокса и Навье-Стокса в бесконечном открытом канале // Лит. мат. сб. — 1989. — Т. 29, № 1.-С. 90-108.

133. Полынский И. Б. О постановке граничных условий и расчете давления при численном моделировании потоков несжимаемых жидкостей // Мо-делир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 5.— С. 91-103.

134. Попков А. Н. К задаче численного расчета обтекания сферы безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1990.- Т. 4, № 1.- С. 48-60.

135. Применение итерационных схем неполной аппроксимации в задачах волновой гидродинамики / К. Е. 32. Афанасьев, А. М. Гудов, Ю. Н. Захаров, В. В. Терешкова // Современные проблемы механики жидкости и газа. Тез. докл. — Иркутск, 1990.— С. 29-30.

136. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.— С. 616.

137. Рябенький В. С., Торгашев В. А. Метод разностных потенциалов для численного решения внутренней задачи о плоском течении вязкой несжимаемой жидкости // Доклад РАН. 1994. — Т. 337, № 4. — С. 450^53.

138. Рябенький В. С., Турчанинов В. И. Спектральный подход к построению неотражающих искуственных граничных условий // Препр. — Ин-т при-кл. мат. РАН, 2000. № 10. - С. 1-24.

139. Самарский А. А. Двухслойные итерационные схемы // ДАН СССР.— 1969.- Т. 185, № 3.- С. 524-527.

140. Самарский А. А. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1969. - Т.186, № 1. - С. 35-38.

141. Самарский А. А. Введение в теория разностных схем. — М.: Наука, 1971.

142. Самарский А. А., Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения задачи Дитриха // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1964. — Т. 1, № 6.— С. 1025-1037.

143. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978.

144. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.- С. 592.

145. СамохинА. Б. Многошаговый метод минимальный невязок для решения линейных уравнений // Ж. вычисл. мат. и мат. физ.— 1991.— Т. 31, №2.-С. 317-320.

146. Сёмин Л. Г., Шапеев В. 77. Построение и тестирование метода колло-каций и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнений Навье—Стокса // XVI международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

147. Тарунин Е. JI. Вопросы устойчивости двуполевого метода // Гидродинам, и процессы тепломассообмена. — Свердловск, 1989. — С. 95-99.

148. Тейлор Т. А., Ндефо Э. Расчет течений вязкой жидкости в канале при помощи метода расщеплений // Численные методы механики жидкости. — М.: Мир, 1973.- С. 218-229.

149. Толстых А. И. Метод внутренних итераций для решения пространственных задач с несамосопряженными операторами // Докл. АН СССР.— 1983.- Т. 272, № 3.- С. 538-541.

150. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физико-математическая литература, 1963.

151. Федосик Е. А. Об итерационных процессах реализации неявных разностных схем // 6 Конф. мат. Белоруси, 29 сент.-2 окт., 1992: Тез. докл. 4.2 Гродн. гос. ун-т. — Гродно, 1992. — С. 163.

152. Фирсов Д. К. Расчет течения несжимаемой жидкости на неотогональ-ной неразнесенной сетке // Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию МВТ СО РАН, 25-26 декабря 2000 года, Новосибирск, Академгородок. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.

153. Фирсов Д. К, Бубенчиков А. М. Нестационарное течение ньютоновскойжидкости в канале произвольной геометрии // Вычислительные технологии. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.

154. Черный С. Г., Шаров С. В., Шашкин 77. А. Метод расчета пространственных течений несжимаемой жидкости в различных приближениях // XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

155. Чирков Д. В. Метод численного моделирования пространственных течений сжимаемого вязкого газа // Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН, 25-26 декабря 2000 года, Новосибирск, Академгородок. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.

156. Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью / С. Исаев, А. Судаков, Н. Лучко и др. // ИФЖ. 2002. - Т. 75, № 1. - С. 49-53.

157. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах / И. А. Граур, Т. Г. Емуарова, И. В. Косарев, Б. Н. Четвертушкин // Мат. моделир. 1994. - Т. 6, № 5. - С. 37-54.- 170. Численные методы в динамике вязкой жидкости / В. Н. Ветлуцкий, Б. П.щ

158. Колобов, Б. Г. Кузнецов, Г. Г. Черных // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. Т. 1, № 4. - С. 22-45.

159. Шокин Ю. И., Захаров Ю. Н. О монотонности разностных схем // Отчет ВЦ СО АН СССР.- 1971.- С. 7.

160. Afanasiev К. Е., GudovA. М., Zakharov Y. N. The use of iteration schemes of incomplete approximation in some problems of hydrodynamics // Modelling Measurement & Control, B, AMSE Press. 1992. - T. 46, № 4. — C. 27-40.

161. Axelsson O. Numerical algorithms for indefinite problems // Elliptic Problem Solution. Proc. Conf. Monterey, Calif, 10-12 Jan 1983.— Orlando l.a., 1984.-Pp. 219-232.

162. Axelsson O. A surrey of preconditioned iterative methods for linear systems of algebraic equations // BIT. 1985.- Vol. 25, no. 1. — Pp. 166-181.

163. Barry A., BielakJ., Mac-Camy R. C. On absorbing boundary conditions for wave propagation // J. Comput. Phys.— 1988.— Vol. 79, no. 2.— Pp. 449468.

164. Bayliss Alvin, Goldstein Charles J., Turkel Eli. Preconditioned conjugate gradient methods for the Helmholtz equation // Elliptic Problem Solvers II Proc. Conf. Monterey, Calif, 10-12 Jan 1983. Orlando e.a., 1984. - Pp. 233-243.

165. Beam Richard M., Bailey Harry E. Newton's methods for the Navier-Stokes equations // Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr. 10-14.— Berlin, 1988.— Vol. 2.— Pp. 51.II.1-51.11.4.

166. Bender E. E., Khosla P. K. A modified Newton's method for the computation of fluid flows // Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr. 10-14,1988. Berlin, 1988. - Vol. 2. -Pp. 51.IX.1-51.IX.4.

167. Borthwick A. Comparison between two finite-difference schemes for computing the flow around a cylinder // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1986. — Vol. 6, no. 5.- Pp. 275-290.

168. Bramble James H., Pasciak Joseph E., Xu Jinchao. The analysis of multi-grid algorithms for nonsymmetric and indefinite elliptic problems // Math. Comput.- 1988.- Vol. 51, no. 184.- Pp. 389^14.

169. Bramble J. H., Pasciak J. E. Preconditioned iterative methods for nonseflad-joint or indefinite elliptic boundary value problems // Unific. Finity Elem. Meth. Amsterdam e. a., 1986.- Pp. 167-184.

170. Bristeau M. O., Glowinski R., Perlaux J. Acceleration procedures for the numerical simulation of compressible and incompressible viscous flows // Adv. Comput. Nonlinear Meth.: CISM Course Lect., Udine, July, 1987.— Wien: New York, 1989.- Pp. 197-243.

171. Buscaglia Gustavo, Pari Enzo A. Solution of Navier-Stokes equations by Lagrange-Galerkin method // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1992. — Vol. 15, no. 1.—Pp. 23-36.

172. Chen Zhang-xing, Li Kai-tai. The convergence of the multigrid algorithm for Navier-Stokes equations I I J. Comput. Math.— 1987.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 227-237.

173. Cnahg Qian-shun. Using a predictor-corrector scheme to compute Navier-Stokes equations in three-dimensional spherical coordinates // J. Comput. Math. 1988.-Vol. 6, no. 4.-Pp. 307-317.

174. A comparison of finite-difference approximations for the stream function of the incompressible Navier-Stokes equations / E. Rieger, H. Shutz, D. Wolter, F. Thiele // Notes Numer. Fluid Mech. 1990. - Vol. 30. - Pp. 100-108.

175. Currle J., Fasel H. Numerische Simulation der instationaren Stromungsvor-gange bei einer Cavityumstromung // Z. angew. Math, und Mech. — 1989. — Vol. 69, no. 6.- Pp. 671-674.

176. Dahl O., Wille S. O. An ILU preconditioner with coupled node fill-in for iterative solution of the mixed finite-element formulation of the 2D and 3D Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1992.— Vol. 15, no. 5.-Pp. 525-544.

177. Davis R. L., Carter J. E., Haiez M. Three-dimensional viscous flow solution with a vorticity-stream function formulation // AIAA Journal. — 1989. — Vol. 27, no. 7.- Pp. 892-900.

178. Ddyer Harry A., Ibrani Sokol. Time accurate solutions of the incompressible and three-dimensional Navier-Stokes equations // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1989.- Vol. 75, no. 1-3.- Pp. 333-341.

179. Delagi F. Numerical stability study of finite difference schemes for the solution of three-dimensional time-dependent Navier-Stokes equations // Appl. Math. Model. 1990.- Vol. 14, no. 1.- Pp. 14-19.

180. Demuren A. O. Application of multigrid methods for solving the Navier-Stokes equations // Proc. Inst. Mech. Eng. C.— 1989.- Vol. 203, no. 4.— Pp. 255-265.

181. Douglas J., Kellog R. B., Varga R. S. Alternating direction iteration methods for n-space variable // Math. Comput. 1963. — Vol. 17. - Pp. 282-297.

182. Douglas J., Rechford H. On numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. — 1956.— Vol. 82.-Pp. 421-439.

183. Eiermann M., Niethammer W., Varga R. S. A study of semiiterative methods . for nonsymmetric systems of linear equations // Numer. Math.— 1985.—

184. Vol. 47, no. 4.- Pp. 505-533.

185. Eisenstat S. C., Ortega J. M., Vaughan C. T. Efficient polynomial preconditioning for the conjugate gradient method // SIAM J. Sci. and Statist. Corn-put.- 1990.- Vol. 11, no. 5.- Pp. 859-872.

186. Evans D. J., Abdullah A. R. The group explicit method for solution of Burger's equation // Computing. — 1984. — Vol. 32, no. 3. — Pp. 239-253.

187. Evans D. J., Kammonah M. A. The preconditioned Chebyshev iterative method for unsymmetric linear systems of equations // Precond. Meth. Alan, and Appl. New York e.a., 1983. - Pp. 321-353.

188. Experimental and Theoretical Investigation of Backward-Facing Step Flow / B. Armaly, F. Durst, J. Periera, B. Schonung // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 127.-P. 473.m

189. Frankel S. P. Convergence rates of iterative trealements of partial differential equations // Math. Tables Aids Comput. — 1950. — Vol. 4.- Pp. 65-75.

190. Gatski Thomas B. Review of incompressible fluid flow computations using the vorticity -velocity formulation // Appl. Numer. Math. — 1991.— Vol. 7, no. 3.-Pp. 227-239.

191. Ghia U., Ghia K. N., Shin C. T. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method // J. Comput. Phys. 1982. - Vol. 48. - P. 387.

192. Glowinski Roland, Periaux Jackues, Pironneau Oliver. An efficient precon-. ditioned conjugate gradient method. Application to the solution of nonlinearproblems in fluid dynamics // Recond. Meth.: Anal and Appl. — New York e.a., 1983.-Pp. 463-508.

193. Guevremont G., Habashi W., Hafez M. M. Finite element solution of the Navier-Stokes equations by a velocity-vorticity method // Int. J. Numer.m Meth. Fluids. 1990. - Vol. 10, no. 4. - Pp. 461-475.

194. He Zi-gan, Ni Han-gen. The separated layers method for the calculation of 3-D Navier-Stokes equations // J. Hydrodynam.— 1989.— Vol. 4, no. 3.— Pp. 8-16.

195. Huang L. C., Wu Ya-dan. Implicit projection method for solution of Navier-Stokes equations // Math. Numer. Sin. — 199. — Vol. 15, no. 1. — Pp. 77-89.

196. Huser A., Biringert S. A solution of the two-dimensional flow over a cavity with high Reynolds number// Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1992. — Vol. 14, no. 9.-Pp. 1187-1109.

197. Iliev Oleg, Stoyanov Dimiter. On a flexible multigrid local refinement solver for incompressible Navier-Stokes equations // Мат. моделир.— 2001.— Vol. 13, no. 8.-Pp. 95-106.

198. Iliev O. P., Makarov M. M. An iterative method for coupled solving of 2D unsteady Navier-Stokes equations // Доклады Бьлг. АН. — 1991.— Vol. 44, no. 7.-Pp. 21-24.

199. Iwatsu Reima, Ishii Katsuya, Kawamura Tetuya. Numerical simulation of three-dimensional flow structure in a driven cavity // Fluid. Dyn. Res.— 1989.- Vol. 5, no. 3.- Pp. 173-189.

200. Janenko N. N., Shokin J. I., Zaharov J. N. On the nonlinear acceleration of iterative shemes // Quatrieme Colloque International sur les Metodes de Calcul Scientiflque et Technique. France, (Versaille, 1979).— Paris, 1979.— C. 20.

201. Janenko N. N., Shokin J. I., Zaharov J. N. On the Nonlinear Acceleration of Iterative Shemes // IV Intern. Symp. On Computing Methods in Appl. Sciences a. Eng. (Versailles, Dec. 10-14, 19799):Proc.-Amsterdam, 1980.— C. 113-132.

202. Jiang Hong, Wong Yau Shu. Absorbing boundary conditions for second-order hyperbolic equations // J. Comput. Phys. — 1990. — Vol. 88, no. 1. — Pp. 205231.

203. Kennon Stephen R., Dulikravich George S. Optimum acceleration factors for iterative solution of linear and nonlinear differential systems // Comput. Meth. Appl. Math, and Eng. 1984.- Vol. 47, no. 3.- Pp. 357-367.

204. Kim Byong Bae. On a numerical solution of the system of nonlinear equationsm

205. A(x)x=b // Math. 1989. - no. 2. - Pp. 5-10.

206. Ku Hwar-Ching, Ramaswamy Bala. A multigrid decomposition method for solution of Navier-Stokes equations in primitive variables // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. - T. 38, № 4. - C. 667-683.

207. Liu C., McCormick S. Multigrid, the rotated hybrid scheme and the fast adap-^ tive composite grid method for planar cavity flow // IMACS Ann. Comput.and Appl. Math. 1989.- Vol. 1, no. 1-4, Pt. 1.- Pp. 125-132.

208. Mansour M. L., Hamed A. Implicit solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in primitive variables // AIAA Pap.— 1988.— no. 717.— Pp. 1-9.

209. Maruster S., Popovici P. Generalized gradient's method // Au. Univ. Timisoara Sti. mat. 1983. - Vol. 21, no. 1-2.- Pp. 85-94.

210. Michelassi V., Benocci C. Prediction of incompressible flow separation with the approximate factorization technique // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1987.- Vol. 7, no. 12.- Pp. 1383-1403.

211. Michelassi V., Benocci C. Prediction of incompressible flow separation with the approximate factorization technique // Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 1987.- Vol. 7, no. 12.- Pp. 1383-1403.

212. Nazarov Serguei A., Specovious-Neugebauer Maria. Artificial boundary conditions for the exterior spatial Navier-Stokes problem // C.r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b.- 2000.- Vol. 328, no. 12.- Pp. 863-867.

213. Nordstrom Jan. The influence of open boundary conditions on the convergence to steady state for the Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. — 1989.- Vol. 85, no. 1.- Pp. 210-244.

214. A nouveau sur les equations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression / Begue Catherine, Conca Carlos, Murât Francois, Pironneau Olivier // C. r. Acad. sci.— 1987.— Vol. 304, no. 1.— Pp. 23-28.

215. Orlandi P., Briscolini M. Direct simulation of Burgers // Comput. Techn. and Appl.: CTAC-83. Amsterdam e.a., 1984.- Pp. 641-652.

216. Papanastasiou T. C., Malamataris N., Ellwood K. A new outflow boundary condition // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1992. — Vol. 14, no. 5. — Pp. 587608.

217. Peaceman D. M., Rechsord H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equation // J. Soc. Indust. Math. — 1955. — Vol. 3. — Pp. 28-41.

218. Perozzi M. A. On boundary conditions for the numerical solution of fluid dynamic problems // Calcolo. 1989. - Vol. 26, no. 2-4. - Pp. 149-165.

219. Quarteron A., Sacchi Landriani C. Iteration by subdomains in numerical fluid dynamics // Proc. 3rd Germ.-Ital. Symp. «Appl. Math. Ind. and Technol.», Siena, June 18-22, 1988.- Stuttgard, 1989.- Pp. 54-76.

220. Rannacher Wolf. Numerical analysis of Navier-Stokes equations // Appl. Math. 1993.- Vol. 38, no. 4-5.- Pp. 361-380.

221. Ribichaud Michel P., Tanguy Phillipe A., Fortin M. An iterative implementation of the Uzawa algorithm for 3-D fluid flow problems // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1990.- Vol. 10, no. 4.- Pp. 429^42.

222. Risch Uwe, Schieweck Friedhelm. Experiences with the multigrid methodapplied to high Reynolds number, steady, incompressible flows // Rept/Acad. Wiss. DDR. Karl-Weierstrass-Inst. Math. 1990.- no. 3.- Pp. 61-77.

223. Risch Uwe, Schiewick Friedhelm. A multigrid method for solving the stationary incompressible Navier-Stokes equations by FEM // Rept./Acad. Wiss. DDR. Karl-Weierstrass-Inst. Math. 1989.- no. 3.- Pp. 74-87.

224. Risch Uwe, Schiewick Friedhelm. Experiences with the multigrid method applied to high Reynolds number, steady, incompressible flows // Rept./Acad. Wiss. DDR. Karl-Weierstrass-Inst. Math. 1990.- no. 3.- Pp. 61-77.

225. Rogers Stuart E., Chang James L. C., Kwak Dochan. A diagonal algo*rithm for the method of pseudocompressibility // J. Comput. Phys. — 1987. — Vol. 73, no. 2.- Pp. 364-379.

226. Rogers S. E., Kwak D. An Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Applied Numerical Mathematics. — 1991. — Vol. 8.-Pp. 43-64.

227. Saad Youcef. Conjugate gradient-like algorithms for solving nonsymmetriclinear systems // Math. Comput. — 1985. — Vol. 44, no. 170. — Pp. 417-424.

228. Saad Youcef. Preconditioning techniques for nonsymmetric and indefinite linear systems // J. Comput. and Appl. Math.— 1988.— Vol. 24, no. 1-2.— Pp. 89-105.

229. Saad Youcef, Schultz Martin H. GMRES: A generalized minimal residualmalgorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1986. - Vol. 7, no. 3. - Pp. 856-869.

230. Saunders M. A., Simon H. D., Yip E. L. Two conjugate-gradient-type methods for unsymmetric linear equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — Vol. 25, no. 4. — Pp. 927-940.

231. Schroder W., Hanel D. A comparison of several MG-methods for the solution of the time-dependent Navier-Stokes equations // Lect. Notes. Math. — 1986.- no. 1228.- Pp. 272-284.

232. Schuller A. A multigrid algorithm for the incompressible Navier-Stokes equations // Notes Numer. Fluid Mech. 1990. - Vol. 30. - Pp. 124-133.

233. Shimura Masayuki, Kawahara Mutsuto. Two-dimensional finite element flow analysis using the velocity correction method I I Proc. JSCE. — 1988.— no. 398.-Pp. 51-59.

234. Sorensen J. N., Loc Ta Phuoc. Inflow and outflow boundary conditions for incompressible, axisymmetric flows // Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 6th Int. Conf., Swansea, 11th—15th July, 1989.'— Swansea, 1989.- Vol. 6, no. 1.- Pp. 519-529.

235. Start-up flows in a three-dimensional rectangular driven cavity of aspect ratio 1:1:2 at Re = 1000 / Guermond J.-L., C. Migeon, G. Pineau, L. Quartapelle // J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 450. - Pp. 169-199.

236. Stuben K., Linden J. Multigrid methods: an overview with emphasis on grid generation processes // Numer. Grid Generat. Comput. Fluid Dyn.: Proc. Int. Conf., Landshut, 14-17 July, 1986.- Swansea, 1986.- Pp. 483-509.

237. Tachim Medjo Theodore. Navier-Stokes equations in vorticity-velocity formulation: two-dimensional case // Appl. Numer. Math.— 1996.— Vol. 21, no. 2.-Pp. 185-206.

238. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / R. Barrett, M. Berry, T. F. Chan et al. — Philadelphia, PA: SIAM, 1994.

239. Tezduyar T. E., Liou J. Grouped element-by-element iteration schemes for incompressible flow computations // Comput. Phys. Commun.— 1989.— Vol. 53, no. 1-3.- Pp. 441-453.

240. Theodossiou V. M., Sousa A. C. M. An efficient algorithm for solving the incompressible fluid flow equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1986. — Vol. 6, no. 8.-Pp. 557-572.

241. Wachspress E. L. Optimum alternating direction implicit iteration parameters for model problems // J. Soc. Indust. Appl. Math.— 1962.— Vol. 10.— Pp. 339-350.

242. Wachspress E. L. Extended application of alternating direction implicit iteration model problems theory // J. SJAM. — 1963. — Vol. 11, no. 4.

243. Wachspress E. L., Habetler G. L. An alternating direction implicit iteration technique // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1960. — Vol. 8. - Pp. 404-424.

244. Wittum G. Multigrid methods for Stokes and Navier-Stokes equations. Transforming smoothers: algorithms and numerical results // Numer. Math.— 1989.- Vol. 54, no. 5.- Pp. 543-563.

245. Youcef S. Iterative solution of indefinite symmetric linear systems by methods using orthogonal polynomials over two disjoint intervals // SIAM J. Numer. Anal. 1983.- Vol. 20, no. 4.- Pp. 784-811.

246. Young D. M. On Richardson's method for solving linear systems with positive definite matrices // J. Math. Phys.— 1954. — Vol. 32. — Pp. 243-255.

247. Zwick W. Zur Zosung der Navier-Stokes gleichung mit Hilfe eines voll impiziten Iterations verfarhrens // Math, und Mech.— 1984.— Vol. 64, no. 6.—Pp. 221-226.

248. Публикации по теме диссертации

249. Захаров Ю. И., Балаганский М. Ю. Движение тел в равномерно стратифицированной жидкости // Материалы международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии». — Томск: Изд-во Том. ун-та,2000.-С. 109-110.

250. Балаганский М. Ю. Исследование влияния препятствий на картину течения равномерно стратифицированной безграничной жидкости // Материалы научно-практической конференции «Информационные недра Кузбасса». — Кемерово: Полиграф, 2001. — Т. II. — С. 220.

251. Балаганский М. Ю. Многопараметрическая оптимизация в схемах неполной аппроксимации для решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Вестник Кем. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (7).— Кемерово,2001.-С. 99-105.

252. Балаганский М. Ю. Численное решение краевых задач с условиями на бесконечности // Сб. тр. 4-й всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование». Т. 1. — Новокузнецк, 2001.-С. 12-16.

253. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. И. Итерационные схемы решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Деп. в ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001.— Кемерово: Кемеровск. гос. ун-т, 2001.— С. 26.

254. Балаганский М. Ю. Использование схем неполной аппроксимации при численном решении системы стационарных нелинейных уравнений

255. Навье-Стокса для функции тока и вихря // Тезисы докладов конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. — Новосибирск: ИВТ, 2001.— С. 19.

256. Балаганский М. Ю. Итерационное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Сб. тр. молодых ученых Кемеровского государственного университета. — Кемерово: Полиграф, 2002. — С. 118-120.

257. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н., Ханевт В. Использование итерационных методов в решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости // Выч. техн. — 2002. — Т. 7, № 5. — С. 3-10.

258. Балаганский М. Ю. Итерационное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса для функции тока и вихря // Труды конференции «Информационные недра Кузбасса». — Кемерово, 2003.— С. 215-217.

259. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока, вихрь // Выч. техн. 2003. - Т. 8, № 5. с. 14-23.

260. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационное решение трехмерной системы уравнений Навье-Стокса // Труды международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». — Усть-Каменогорск, 2003.— Т. 1.— С. 95-101.

261. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационное решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса, описывающих двух- и трехмерное движение вязкой несжимаемой жидкости // Сб. тр. международной конференции по математике и механике. — Томск, 2003. — С. 102.