автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математической модели, методов и алгоритмов решения задачи о течении и распространении примесей в горных выработках затопленных шахт

На правах рукописи

06460251

Чирюкина Алина Владимировна

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ И РАСПРОСТРАНЕНИИ ПРИМЕСЕЙ В ГОРНЫХ ВЫРАБОТКАХ ЗАТОПЛЕННЫХ ШАХТ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 О МД*

Кемерово -2010

004602511

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Захаров Юрий Николаевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Тайлаков Олег Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор Белолипецкий Виктор

Михайлович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт вычислительных технологий Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «26» мая 2010г. в 13ч. на заседании объединённого диссертационного совета ДМ 003.036.01 при Институте угля и углехимии СО РАН по адресу: г. Кемерово, Ленинградский проспект, 10.

Телефакс: 8 (3842) 45-20-63

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института угля и углехимии Сибирского Отделения РАН, г. Кемерово

Автореферат разослан «26» апреля 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 003.036.01,

доктор технических наук

В.Т. Преслер

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Кемеровская область является промышленно развитым регионом, в связи с этим существует проблема с загрязнениями, которые являются побочным продуктом деятельности предприятий. Всегда остается опасность проникновения этих загрязнений из мест утилизации в различные проточные водоемы - реки, озера, водохранилища и иные водоемы.

В связи с этим для предупреждения и уменьшения последствий антропогенных катастроф актуальна проблема анализа процессов распространения загрязняющих веществ. Наблюдение за отстойниками или другими проточными водоемами сложно в силу возможной малодоступности их для измерений параметров течения и загрязнения. В этой ситуации математическое моделирование является наиболее удобным инструментом изучения течения жидкости и распространения примесей.

Оптимальный выбор факторов, влияющих на распространение загрязнений, и анализ различных факторов физической реальности обуславливает формирование модели, наиболее полно отвечающей данным натурных экспериментов и ее использование для прогноза загрязнения проточных водоемов.

В Кемеровской области, впервые в мировой практике, запущен проект по утилизации шламовых вод горнообогатительной фабрики Комсомолец в затопленных горных выработках угольной шахты Кольчугинская. Предполагается, что при утилизации таким способом происходит естественная очистка загрязненных вод за счет оседания мелкодисперсных примесей и разбавления фильтрующимися грунтовыми водами.

Таким образом разработка физико-математической модели, методов и алгоритмов решения задач о течении жидкости и распространении примесей в горных выработках затопленных шахт являются актуальными, так как вопрос оценки вышеописанного и подобных ему проектов является важным, а в силу особенностей изучаемых объектов (недоступность для измерений, большие размеры, сложная геометрическая форма шахты и другие) математическое моделирование становится практически единственным инструментом для построения прогнозов распространения загрязняющих веществ.

Цель работы: оценка эффективности очистных сооружений (в том числе затопленных горных выработок) посредством моделирования течений в них с учетом фильтрации жидкости, оседания и диффузии примесей и построения прогнозных картин загрязнения водоема.

Идея работы состоит в построении нескольких различных математических моделей течения и распространения примесей в проточных водоемах с учетом оседания, диффузии примеси и фильтрации жидкости для описания движения конкретных загрязняющих веществ в очистных сооружениях и горных выработках затопленных угольных шахт.

Задачи исследования:

1. Создание модели течения в проточном водоеме (затопленной угольной шахте) с учетом процессов фильтрации жидкости через кровлю, оседания и диффузии примеси в виде замкнутой системы уравнений в частных производных.

2. Разработка метода и алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих течение и распространение примесей в водоеме.

3. Создание программного комплекса для проведения исследований течения и распространения примесей в водоеме.

4. Проведение вычислительного эксперимента по моделированию течений и распространению примесей в конкретных водоемах.

Методы исследования. Исследование осуществлено с использованием методов механики сплошной среды для построения математической модели, конечно-разностных методов решения краевых задач, теории итерационных методов решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений для решения систем разностных уравнений, методов объектно-ориентированного и функционального программирования для создания комплекса программ, методов многовариантного моделирования для нормализации модели и проведения вычислительного эксперимента.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Созданная в работе физико-математическая модель течения и распространения примесей, учитывающая фильтрацию жидкости через кровлю, оседание и диффузию примеси, представленная в форме замкнутой системы уравнений в частных производных, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры жидкости, влияющие на течение -уровень стратификации либо вязкости, а также параметры загрязнения -коэффициент диффузии, скорость оседания частиц, интенсивность гелеобразования в осадке), в силу чего информационно достаточна для построения прогнозных течений и картин распространения примесей в водоеме.

2. Построенный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с особенным оператором обеспечивает нахождение единственного нормального решения системы. Метод решения задачи о течении идеальной жидкости, созданный для случая неограниченного по длине проточного водоема, расширяет возможности моделирования и в области конечных размеров. Параллельная версия метода неполной аппроксимации с матрицей итерационных параметров для решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений с разряженной матрицей уменьшает временные затраты на решение (при использовании машин с разделяемой памятью) практически кратно числу использованных процессоров.

3. Разработанный программный комплекс расширяет возможности решения задач о течении жидкости и распространении примесей в проточных водоемах, реализуя модули, функционал которых сложно достижим стандартными средствами известных математических пакетов (МаИ>аЬ,

ТесИРЫ и др.)

4. Проведение численного эксперимента на основе трех рассмотренных моделей жидкости и распространения примесей является необходимым условием для обоснованного выбора той или тех моделей течения жидкости, которые в большей степени соответствуют качественным особенностям поведения примесей.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается корректностью физико-математической модели, построением сходящихся методов решения разностных задач, совпадением с известными точными решениями, малым отличием полученного распределения концентрации примесей от данных натурных измерений (для некоторых веществ менее 10%).

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложен итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, сходящийся для неособенного и особенного оператора системы.

2. Разработан численный метод, существенно расширяющий возможности решения задач о течении жидкости в закрытых водоемах при наличии нескольких выходных отверстий и фильтрации через стенки водоема, когда фильтрация возникает за счет разности давлений внутри области течения и вовне. Реализован способ замыкания разностной задачи на конечной границе путем аппроксимации исходных уравнений при решении задачи о течении в бесконечной области.

3. Представленный в работе пакет прикладных программ, в отличие от других, позволяет решать класс задач о течении жидкости и распространении загрязняющих веществ без дополнительной работы по программированию, что невозможно в стандартных пакетах прикладных программ. Реализована параллельная версия метода неполной аппроксимации минимальных невязок, обуславливающая распараллеливание программного кода на уровне алгоритма (независимых подзадач), в отличие от традиционного способа распараллеливания на уровне массивов.

4. Посредством численного моделирования движения жидкости по трем моделям и распространения примесей в затопленной шахте с учетом фильтрации жидкости через стенки выявлена эффективность использования затопленных горных выработок в качестве очистных сооружений для сточных вод углеперерабатывающей промышленности.

Личный вклад автора:

1. Получена единая математическая модель течения и распространения примесей в проточном водоеме.

2. Сделаны теоретический анализ и программная реализация метода неполной аппроксимации решения систем линейных алгебраических уравнений с особенным оператором. Разработана параллельная версия метода и получены для нее оценки скорости сходимости.

3. Создан программный комплекс для численного моделирования течения и распространения загрязнения в проточном водоеме.

4. Проведен вычислительный эксперимент, по результатам которого сделан анализ эффективности утилизации суспензированных и растворенных примесей в горных выработках затопленных угольных шахт на основе динамики массовой доли примеси на выходе из шахты (на примере ш. Кольчугинская).

Научная значимость работы состоит в разработке ряда новых алгоритмов решения задач о течении жидкости, фильтрации и распространении примесей в проточных водоемах, построении и обосновании применимости алгоритмов для переноса граничных условий с бесконечности на границу конечной области, модификации метода неполной аппроксимации для решения задач с особенным оператором, получении различных картин течения и распространения примеси в водоемах различной конфигурации.

Практическая ценность работы обусловлена реализацией в программном комплексе методов решения, позволяющих проводить анализ распространения примесей и течения для различных значений времени и с учетом различных заданных внешних факторов, как-то: скорость жидкости, фильтрация, внутренние свойства частиц и жидкости, форма области решения.

Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре кафедры Вычислительной математики КемГУ «Математические модели. Методы решения» (г. Кемерово), объединенном семинаре «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск), научном семинаре кафедры UNESCO по новым информационным технологиям КемГУ (г. Кемерово), на конференции Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование (КемГУ, Кемерово, Июнь 2006), Пятой всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (НИИПММ, г. Томск, Октябрь 2006), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г.Новосибирск, 07-10 декабря 2006 г.), VI Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии-2007» (КемГУ, г.Кемерово, 19-21 марта 2007г.), Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20). XX (ЯГТУ, г. Ярославль, 28-31 мая 2007г.), IV Российско-германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск, 09-20 июля 2007г.), Всероссийской конференции с участием иностранных ученых «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» IX (г. Барнаул, 17-22 сентября 2007), конференции Инновационные недра Кузбасса (г. Кемерово, 20 февраля 2008), международной конференции «Вычислительные технологии в науке, технике и образовании» (г. Алматы, Казахстан, 10-14 сентября, 2008г.), XXI Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г. Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009г.), X Всероссийской конференции

«Проблемы мониторинга окружающей среды (ЕМ-2009)» (г. Кемерово, 27-30 октября 2009).

Публикации. По результатам диссертационного исследования было опубликовано 14 работ, из них 2 в ведущих рецензируемых научных журналах.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 114стр., содержит 3 таблицы, 44 рисунков и список литературы из 116 наименований.

Основное содержание исследования

Введение содержит обзор литературных источников, посвященных проблемам математического моделирования течений и распространения примесей в проточных водоемах различных конфигураций, проблемам численного решения получаемых задач.

Первая глава посвящена построению единой математической модели течения и распространения примесей в проточных водоемах, в том числе в прямоугольных отстойниках и затопленных горных выработках

На горных предприятиях для осветления сточных и дренажных вод наибольшее распространение получил метод отстаивания. Сточные воды в виде пульпы подаются в хвостохранилище, где происходит осаждение основной части твердых частиц, а затем в специально для этой цели организованные пруды-отстойники.

В то же время, опыт показывает, что в затопленных шахтах способны идти процессы очистки техногенных вод. В связи с этим, опыт экспериментального использования выработанного пространства закрытых шахт в качестве очистных сооружений для очистки сбросов шахт и обогатительных фабрик представляет существенный практический интерес.

Первый практический опыт исследования возможностей использования выработанного пространства и горных выработок затопленной шахты осуществляется с использованием шахты Кольчугинская для очистки сточных вод обогатительной фабрики Комсомолец. Проблема исследования протекающих при этом процессов является на сегодняшний день актуальной. При этом исследовании присутствует целый ряд особенностей, влияющих на сам ход исследования.

Прежде всего следует выделить следующие факторы: большие физические размеры и другие геометрические особенности водоемов, степень ядовитости или структура отходов, принципиально исключающие возможность натурных экспериментов.

С учетом влияния этих факторов математическое моделирование и численный эксперимент оказываются тем инструментарием, с помощью которого возможно не только предсказывать вероятные сценарии распространения загрязнения, но также прогнозировать процесс очистки сточных вод и иных отходов. Математическое моделирование предоставляет также широкие возможности для инженерного проектирования очистных сооружений.

Важной проблемой в таких случаях является также обеспечение корректности построения моделей. При построении моделей в данной работе были сделаны следующие предположения: примеси представляют собой взвеси частиц и растворы химических соединений в жидкости. Загрязнение переносится потоком, не оказывая влияния на картину течения, но влияя тем не менее на внутренние свойства самой жидкости, делая ее либо стратифицированной (в случае модели идеальной жидкости), либо изменяя вязкость (в случае вязкой несжимаемой жидкости). Картина течения определяется внутренними свойствами жидкости.

В диссертационной работе рассмотрены три модели жидкости, принципиально по-разному описывающие течение, — идеальная стратифицированная, идеальная нестратифицированная и вязкая жидкость. Это позволяет среди полученных вариантов выбрать те, которые наилучшим образом отвечают данным натурных наблюдений.

Для стратифицированной жидкости, если плотность р мало отличается от среднего значения плотности р0, то есть (р - ро)« 1, то можно использовать приближение Буссинеска. В этом случае система уравнений для описания динамики стратифицированных течений в отсутствии вязкости, теплопроводности и диффузии для двумерного случая сводится к одному уравнению Гельмгольца для функции тока:

ди/2 ду/2 2/

дх ду

где у/— функция тока, связанная с вектором скорости (и,у) соотношениями

дц/ ди/ 2 а др ип

и = , V =--— ; /л = —-, а = —, = . —

ду дх Рг ду ^ЬАр/р0

плотностное число Фруда, g — ускорение свободного падения, Ы() — характерная скорость, I — характерная длинна, р — плотность, Ар —

отклонение плотности от среднего значения р0. £

Если а =-= 0, и тем самым ¡л = 0, то жидкость является

ду

нестратифицированной. Течение такой жидкости является безвихревым.

Течение однородной вязкой несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса. которая в двумерном случае в переменных «скорость»-«давление» имеет вид:

,. ди2 дт др . . дт ду2 др

ЯАи----= —, ЛАу----= —,

дх ду дх дх ду ду

ди ду . — + — = 0 дх ду

где (х,;у)еС2<2), О'2' - двумерная область с границей Г<2), 1>0 -коэффициент кинематической вязкости, А - оператор Лапласа, (и, у) -компоненты вектора скорости, р - давление.

Распространение примеси описывается уравнением переноса

дС дС . Ч5С _д_ — + и — + 0-^.)— = £>ДС (3)

й/ дх ду

где С=С(1,х,у) — концентрация примеси, (и, V) - компоненты вектора скорости основного течения, v, - скорость оседания примеси, й - коэффициент диффузии, А— оператор Лапласа.

Системы уравнений (1), (3) либо (2), (3) представляют собой единые модели течения и распространения примесей в случае идеальной (стратифицированной и нестарифицированной) и вязкой несжимаемой жидкости, соответственно.

Для решения задачи о течении и распространении загрязнения в проточном водоеме необходимо поставить граничные условия к уравнениям (1), (2) и (3). Рассмотрим водоем рис. 1, который является моделью затопленной угольной шахты.

У Г,

Гу/ V.

г. с / /

\ о / .v

г.

Рис. 1. Область решения

Для идеальной стратифицированной и нестратифицированной жидкости, течение которой описывается (1), граничные условия поставим в виде:

Г,: у/ = т1{у-у0)\ Г2: у/= 0; Г3: у/ = ц/{а)\

Г4: у/ = у/(а) + г(рв1тш1 - ртутр);

Г5: у/ = у/[с)\ Г6: р = т2(у-у0), где /??! — скорость жидкости во входном отверстии, т2 — скорость жидкости в выходном отверстии, хь — соответствует точке Ь, г>0 — константа, отражающая проницаемость границы Г4 для фильтрации,

X

,,сш„ М 1г4 = ¡Рмши (0 1г4Л, Реиешп (Х) ~

заданное внешнее давление, на

Г4 Р,щщ, 00 1г4 = \Р,Щ,ПР (01г4 А, Р,шутр 1Г+ = Р«путр О, У) |Г4 определяется

*ь

из уравнения

-12 ( Л2 О Ц/ О Ц/ | о ц/

2 + г ^Л Я, .2

дхду

дх2 ду2

Таким образом интенсивность и направление фильтрации зависят от разницы давлений внутри области решения и вовне.

Для системы уравнений Навье-Стокса (2) граничные условия имеют вид: Г,: и = т],у = 0; Г2,Г3,Г5: и = 0,V = 0;

Г4: и = 0, V = -г(р1111СШИ -ртутр); Г6: и = т2, V = 0, где иу - компоненты вектора скорости, тх — скорость жидкости во входном отверстии, т2 - скорость жидкости в выходном отверстии, г>() - константа, отражающая проницаемость границы Г4 для фильтрации, РеиеШи(х) 1г, -заданное внешнее давление, Рвиутр(х) |Гд определяется из решения системы уравнений Навье-Стокса.

Для уравнения переноса (3) начальные условия могут быть записаны

в виде

С(0,х,у) =С0,

где С() =С0(х,у) - начальная концентрация, а граничные условия заданы следующим образом:

Г,: С = С,; Г2: = Г3,Г5: ^ = Г4: С = С2; Г6: ^ = 0,

ду ду дх

где С| - концентрация загрязнения в жидкости, поступающей в шахту через входное отверстие, С2 - концентрация вещества в фильтрующихся грунтовых водах, а - константа, отражающая интенсивность образования возле дна геля с повышенной концентрацией загрязнения и выпадения твердого осадка при оседании. Если а=0, то образования твердого осадка и накопления примеси не происходит.

Вторая глава посвящена формализации задачи, построению разностных схем и описанию методов решения и тестовых расчетов.

Для решения задач о течении жидкости и распространении примесей использован метод сеток. Введем в области решения неравномерную прямоугольную согласованную с границей сетку, аппроксимируем исходные уравнения на этой сетке с помощью разностных схем. Граничные условия заменим их разностными аналогами.

В итоге получаем систему уравнений

А(и)и = /, (5)

где А(и)=А1(и)+А2, в А1 вектор и входит линейно, А2 - линейный оператор. Если ^ = 0, в этом случае система (5) есть аппроксимация

дифференциальных задач для уравнения (1). Если АХФ 0, то система уравнений (5) аппроксимирует дифференциальную задачу для системы уравнений (2).

Для решения разностных задач использована схема неполной аппроксимации минимальных невязок:

(у)

и"+'=и"+и2-ап+1г", п = 0,1,2,..., где г„+1 выбирается из условия минимума

II г"+и2 11=11 А(и"+и2)и"+и2 — /||, а ап+, - диагональная матрица,

элементы которой выбираются последовательно из условия минимума последовательности норм невязок.

Показано1, что если Л1 & 0, то невязка схемы (5) убывает. Если же

А1 = 0, то есть имеем линейную задачу, то показана сходимость схемы (6) для неособенной матрицы. В диссертационной работе доказывается, что в линейном случае (А] = 0) в случае особенного

оператора А2 существует

такая последовательность векторов {г"} и набор итерационных параметров сс,н\, с которыми схема (6) (при Г(|+1 = 0) сходится к нормальному решению системы (5).

Параллельная версш метода. В работе показано, что за счет блочно-диагональной структуры матрицы возможен выбор итерационных параметров в виде непересекающихся подгрупп таким образом, что процесс нахождения параметров, входящих в каждую из подгрупп, возможно организовать независимо ото всех остальных итерационных параметров. За счет такого выбора элементов возможно проводить вычисления для каждой группы независимо ото всех других. При распараллеливании на машинах с разделяемой памятью, если каждую такую подгруппу обрабатывать на отдельном процессоре, такой подход дает значительное ускорение работы алгоритма.

Тестирование алгоритмов осуществлено на точных решениях, приведенных в монографии2. Оказалось, что численное решение, полученное

1 Захаров Ю.Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики. // Н.: Наука, 2004.

2 Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И., Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. // Н.: Наука, 1991

с помощью схемы (5) отличается от точного решения на величину, не превышающую порядка аппроксимации построенных разностных схем.

Далее была решена задача о течении жидкости в водоеме, являющемся моделью прямоугольного отстойника (см. рис. 2).

_^_1

О

с

г.

_

т тт^ч,

Рис. 2. Прямоугольная область решения с двумя выходными отверстиями.

Для уравнения (1) граничные условия поставим в виде: Г,: V = т^у - у0)\ Г2,Г3,Г4ГИ: ц/ = 0; Г6 : ц/=у{а)\

Г7 : у = у/(Ъ) - {у„ - у)\ Г8,Г9,Г10: ц/ = у/ (с); Г„ : -> 0, * -> со,

ох

где ш,, пи - скорости во входном и верхнем выходном отверстии соответственно, уь - вертикальная координата точки Ь.

Для системы (2) граничные условия имеют вид: Г,: и = /и,,у = 0; Г2,Г3,Г4 Г6,Г8,Г9,Г]0,ГП : к = 0,г = 0;

Г7 : и = т2,у = 0; Гю : V -» 0,х -> оо,

где шь т2 - скорости во входном и верхнем выходном отверстии соответственно.

При численной реализации методом сеток необходимо решать задачу в

бесконечной области, но граничное условие на Гм сложно реализуемо.

Поэтому для решения разностной задачи, поскольку исходные уравнения

выполняются в том числе на границе Г5, мы аппроксимировали на ней

исходную систему разностными уравнениями внутрь области решения, и таким образом доопределили разностную задачу.

Для уравнения (3) поставим следующие граничные и начальные условия:

дС

Г, : С = С0; Г2, Г6, Г8, Г10, Гп : — = 0;

ду

Г3,Г5,Г7,Г9: ^-=0; Г4 : = аС~ С(0,х,у) = С0(х,у), ох ду

где а < 0 - коэффициент, отражающий интенсивность накопления осадка возле дна.

На рис. 3 показаны картины течения идеальной нестра-тифицированной, идеальной стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости. В случае нестратифицированной жидкости имеет место

безвихревое течение, в стратифицированной жидкости образуется течение, имеющее вихревую структуру. В случае вязкой несжимаемой жидкости также имеет место вихрь, расположением и формой отличающийся от случая стратифицированной жидкости. Поэтому мы и взяли для анализа распространения примеси три модели движения жидкости, дающие совершенно различные картины течения. Распространение загрязнения в прямоугольном водоеме показано на рис. 4.

Рис. 3. Картины течения. Линии тока а) Нестратифицированная жидкость, б) Стратифицированная жидкость, в) Вязкая несжимаемая жидкость.

Рис. 4. Распространение примеси в идеальной нестратифицированной (а), идеальной стратифицированной (б) и вязкой несжимаемой (в) жидкости. Момент времени, когда примесь распространяется в водоеме, но значение концентрации еще не установилось.

В третьей главе приводится описание созданного программного комплекса.

Созданный программный комплекс позволяет осуществлять моделирование течений и распространения суспензированных примесей в жидкости. Основными отличительными особенностями комплекса являются:

— Наличие удобного пользовательского интерфейса.

— Элементы, позволяющие на простом уровне с использованием дружественных пользователю инструментов создавать модели двумерных водоемов и конструировать в них расчетные сетки, пригодные для применения сеточных методов.

— Расчетные модули для определения картины течения идеальной стратифицированной, идеальной нестратифицированной и вязкой жидкости.

— Модули расчета распространения загрязнения.

На рис. 5 показана принципиальная схема программного комплекса. Модульная структура позволяет пользователю отказаться от установки и использования частей комплекса, ненужных ему при решении конкретной задачи, подобрать конфигурацию комплекса, наиболее полно отвечающую потребностям оператора.

Рис. 5. Структура программного комплекса.

Конструктор водоемов и сеток позволяет конструировать как прямоугольные, так и непрямоугольные области решения, многосвязные области, области с несколькими входными и выходными отверстиями. Расчетные модули интегрированы в среду таким образом, что пользователь, оперируя только с интерфейсом, имеет возможность избежать непосредственной работы с кодом и исполняемыми модулями. Комплекс предоставляет возможность получить файлы в разном формате для последующей визуализации в различных графических пакетах.

Четвертая глава представляет результаты моделирования течения и распространения примесей в горных выработках затопленных угольных шахт. Рассмотрен водоем непрямоугольной формы, повторяющей форму затопленной шахты, задачи с фильтрацией жидкости через стенки, изучены различные типы фильтрационных процессов. Модель идеальной нестратифицированной жидкости позволяет получать картины течения наиболее простой структуры. Однако имеется целый ряд факторов, которые могут порождать более сложное течение: это и форма области течения, и загрязнения, частицы или растворы которых в воде могут вызвать стратификацию по плотности, и многие другие факторы, учесть и прогнозировать наличие которых в отдельных случаях затруднительно.

Водоем. - модель шахты Кольчугинская. На рис. 6 представлены картины течения в присутствии фильтрации через верхнюю стенку области для нестратифицированной, стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости в области, моделирующей форму затопленной шахты. В случае нестратифицированной жидкости течение безвихревое, в стратифицированной жидкости образуются вихревые структуры, которые

также имеют место и в случае течения вязкой несжимаемой жидкости, однако в стратифицированной жидкости вихри занимают большую, по сравнению с вязкой жидкостью, область водоема и имеют принципиально другую форму.

Рис. 6: Линии тока в водоеме с фильтрацией сверху, а) Нестратифицированная жидкость, б) Стратифицированная жидкость, в) Вязкая несжимаемая жидкость

Рис. 7. Распространение примеси в шахте - нестратифицированная жидкость.

!

б)"

# : : Ж г) г

Рис. 8. Распространение примеси в шахте - стратифицированная жидкость (параметр стратификации /.Г =10).

Рисунки 7, 8 и 9 показывают динамику распространения примеси в водоеме-модели шахты. Показано начало движение (а), развитие процесса (б,в) и установившаяся картина (г).

Рис. 9. Распространение примеси в шахте - вязкая жидкость (вязкость А.=0.01).

Для оценки степени загрязнения водоема при заполнении его примесью и оценки последствий возможных антропогенных катастроф важное значение имеет оценка массовой доли примеси в жидкости, вытекающей из водоема.

На рис.10 показан график зависимости массовой доли примеси на выходе из шахты при организации циклического процесса с периодами, когда на вход шахты подается вода, содержащая примесь в виде взвеси частиц, и периодами, когда на вход вода не подается, присутствуют только фильтрационные процессы и забор жидкости из шахты для поддержания уровня грунтовых вод, представлены циклы различной длины.

Рис. 10. Массовая доля примеси на выходе из шахты. 1,4 -нестратифицированная жидкость, 3,6 - стратифицированная жидкость, 2, 5 - вязкая несжимаемая жидкость, 1,2,3 - длинный цикл (с периодом большим времени стабилизации значения

концентрации на выходе из шахты), 4,5,6 - короткий цикл (меньше времени стабилизации значения концентрации на выходе.

При использовании модели стратифицированной жидкости наблюдается наименьшая разница между минимальным и максимальным значениям массовой доли примеси, и тенденция сохраняется при изменении длины цикла. Для нестратифицированной жидкости наблюдается существенный разброс абсолютных значений в зависимости от длинны цикла. При организации длинных циклов, больших либо равных времени стабилизации значения концентрации, наблюдается наибольшая разница между

!

'.-.'.^лг'.-л'лул'л'/^.'л.:^.

максимальными и минимальными значениями, при организации коротких циклов (меньше времени стабилизации) наблюдается наиболее стабильное значение массовой доли примеси, и при этом максимально достигаемое значение меньше, чем при организации длинных циклов.

Вещество Концентрация, натурные измерения Расчетные модели, концепт данные эация Степень совпадения иагурных измерений и модели Реком. модель

На На входе ; выходе Умсиъш. Конниц, рач На входе На выходе Уменьш. конц-ии, рач

Азот шггрптнмй 0.15 ; 0.003 55 0.15 0.0028 53.5 В, С -97%, Н - не т В, С

Взвешен, псшсстпа 10000- : 20.8550000 : 29.87 3331667 10000 о.о1......... 28.064 о'ооз..... 356.3 С - 93%, Н,И - нет С

Фенолы 0.01 ; 0.0010.002 3.5 3.3 11 - 95%, С - 72%, В -нет 11, с

Железо 0.78 : 0.57 1.4 0.78 0.42 1.9 В - 75%, Н.С - нет В

Таблица 1. Сравнение концентрации на входе в шахту и выходе. Значения литер: Н - нестратифицированная жидкость, С - стратифицированная жидкость, В - вязкая несжимаемая.

В таблице 1 представлены сравнительные данные натурных измерений и численного моделирования. Оказалось, что нет единой модели, описывающей движение всех рассматриваемых примесей.

Например, для взвешенных веществ при моделировании следует использовать идеальную стратифицированную жидкость, и это единственная модель, которая описывает поведение данной примеси. Для азота нитритного можно взять либо вязкую несжимаемую, либо идеальную стратифицированную жидкость — для обеих этих моделей возможна идентификация их с натурными данным, а для идеальной стратифицированной жидкости — нет. Поведение фенолов описывает модель идеальной нестратифицированной жидкости, менее точные прогнозы даст использование вязкой несжимаемой жидкости, а модель стратифицированной не подходит. Для железа следует использовать только модель вязкой несжимаемой жидкости, поскольку для идеальной стратифицированной и нестратифицированной модель с натурными данными не идентифицируется.

С помощью изменения значений небольшого числа параметров возможно провести адаптацию созданной модели течения и распространения примеси в проточном водоемов для любого типа примесей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой решена задача разработки и идентификации математической модели, методов и алгоритмов решения задач о течении и распространении примесей в горных выработках затопленных шахт.

Основные выводы:

1. Построенная физико-математическая модель обладает информационной достаточностью. Численное моделирование проводится на основе небольшого набора физических параметров (уровень стратификации или вязкости жидкости, скорость оседания и интенсивность диффузии примеси), обеспечивающих адаптацию модели к данным натурных измерений в реальных водоемах (на примере ш. Кольчугинская).

2. Метод неполной аппроксимации минимальных невязок позволяет получать решение вне зависимости от свойств оператора системы линейных и билинейных алгебраических уравнений, в том числе в случаях с особенным оператором. Доопределение разностной задачи путем аппроксимации уравнения внутрь области решения на участках границы, где не удается поставить граничные условия непосредственно на конечной границе, дает решения, не противоречащие физической реальности.

3. Так как известные математические пакеты общего назначения, такие как Ма^аЬ и другие, не позволяют решать задачи о течении жидкости и распространении загрязнения в горных выработках затопленных шахт стандартными средствами, был разработан специализированный программный комплекс, позволяющий решать задачу в реальной топологии, отслеживать течение жидкости, распространение и оседание загрязнений и идентифицировать используемые модели с реальными шахтами.

4. По данным численного моделирования было установлено, что в случае стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости направление фильтрации влияет на расположение и размер вихрей.

5. Как показывают расчеты, распространение примесей происходит вдоль линий тока жидкости. В случае наличия вихревых структур перенос загрязнения происходит преимущественно вдоль вихрей, проникая в них за счет процессов диффузии и оседания. Свойства жидкости (уровень стратификации или вязкость, скорость и другие), а также скорость оседания и диффузия влияют на картину расространения загрязнения -- при увеличении диффузии первые признаки загрязнения на выходе из шахты повляются раньше, чем при малой способности примеси к дифундированию, при возрастании скорости оседания загрязняющих частиц наблюдается большая степень очистки от взвешенных в жидкости веществ и более высокая интенсивность загрязнения вблизи дна водоема.

6. При моделировании очистки сточных вод углеперерабатывающих предприятий от примесей в горных выработках затопленных угольных шахт более стабильный уровень массовой доли примеси на выходе из шахты может обеспечиваться при циклической организации процесса (чередующиеся временные интервалы подачи в шахту жидкости с примесью и отстаивания) с малой длиной периода цикла — меньшей, чем время стабилизации уровня загрязнения на выходе, наблюдаемое при постоянной закачке сточных вод в шахту.

7. Выявлено, что поведение различных примесей невозможно описать с использованием одной модели жидкости. Например, для взвешенных

веществ идентификация с натурными данными возможна только для моделей стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости, фенолы лучше всего моделируются идеальной нестратифицированной жидкостью, а железо — вязкой несжимаемой.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

Свидетельство о регистрации ПЭВМ и БД.

Захаров Ю.Н., Потапов В.П., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Программный комплекс для инженерного проектирования гидротехнических сооружений «DirtFlow». / Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство №2010611938 Ведущие рецензируемые научные издания.

1. Захаров Ю.Н., Потапов В.П., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Нестационарное распространение примесей в затопленных шахтах. // Кузбасс-1: Сборник статей. Отдельный выпуск горного информационно-аналитического бюллетеня (научно-технического журнала) Mining Informational and analitical bulletin (scientific and tecnical journal) — 2009. №OB7 —320c. —M.: Издательство «ГОРНАЯ КНИГА».

2. Захаров Ю.Н., Потапов В.П., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Моделирование распространения загрязняющих веществ в затопленных горных выработках. // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии - Н.: Новосибирский государственный университет, 2009 — т.4. — с.66-72.

Статьи, тезисы и доклады научных конференций

3. Захаров Ю.Н., Потапов В.П., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Моделирование распространения загрязняющих веществ в затопленных горных выработках. // Численные методы решения задач упругости и пластичности: Тр. XXI Всероссийской конференции, Кемерово, 30 июня-2июля 2009г. /Под ред. В.М.Фомина./ Новосибирск: Параллель, 2009. — стр.112-119.

4. Захаров Ю.Н., Потапов В.П., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Нестационарное распространение примесей в затопленных шахтах // Вычислительные технологии, Т. 13; Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби, сер. математика, механика, информатика №3 (58). Специальный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные технологии в науке, технике и образовании» (10-14 сентября, 2008). С. 142-156.

5. Захаров Ю.Н., Счастливцев Е.Л., Чирюкина A.B. Влияние фильтрации на течение и распространение примесей в шахтах // Инновационные недра Кузбасса. IT- технологии - 2008: Сборник научных трудов. — Кемерово, 2008. — С.325-328.

6. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B. Об одном итерационном методе решения задач гидродинамики // 3-я Российско-Немецкая Школа по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных

системах, Сборник тезисов докладов участников, Новосибирск, 2007.

7. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B. Итерационный метод решения задачи о течении в проточном водоеме с учетом фильтрации через дно. // Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации», Новосибирск, 2007.

S. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B., Влияние фильтрации на течение идеальной стратифицированной жидкости и распространение примесей в проточном водоеме. // IV Российско-германская школа по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах. Научная сессия. Тезисы докладов. —Новосибирск, 2007. —с.21 —24.

9. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B., Течение жидкости в подземных полостях с учетом фильтрации через стенки. // Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. - Кемерово: ИНТ, 2007. С.305-309.

10. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B., Итерационный метод решения задачи о течении стратифицированной жидкости в проточном водоеме. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20. [Текст]: сб. трудов XX Международной научной конференции. В 10 т. Т.1. Секция 1 / под общ. Ред. B.C. Балакирева. — Ярославль: Изд-во Яросл. Гос. Техн. Ун-та, 2007, с. 198-200.

11. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B. Влияние фильтрации на течение идеальной стратифицированной жидкости и распространение примесей в проточном водоеме. Аннотация доклада. // Вычислительные технологии. 2007, Т. 12, №6, С. 140.

12. Ю.Н. Захаров, A.B. Чирюкина, Итерационные методы решения задачи о течении вязкой стратифицированной жидкости в проточном водоеме [текст] II Материалы III международной летней научной школы «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование», Кемерово, 2006, с.477-479.

13. Чирюкина A.B., Итерационный метод решения задачи о течении в проточном водоеме с учетом фильтрации через дно. / Наука. Технологии. Инновации // Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых в 7 частях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. Часть. 1,с. 127 - 128.

14. Захаров Ю.Н., Чирюкина A.B., Итерационный метод определения течения стратифицированной жидкости в проточном водоеме./ Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы V Всероссийской научной конференции. - Томск: Изд-во Том. Унта, 2006г. С.511-512.

Подписано в печать 22.04.2010г. Формат 60х 84 1/16 Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Уч. изд. л. 2,7. Тираж 150 экз. Заказ №1584.

ГОУ ВПО «Кемеровский госуниверситет». 650043 г. Кемерово, ул. Красная, 6 Отпечатано на участке оперативной полиграфии.

Введение

1 Математические модели течения и распространения примесей

1.1 Математические модели течения жидкости

1.2 Математическая модель распространения примесей

1.3 Постановка задачи для затопленной горной выработки

Выводы по первой главе.

2 Разностные задачи и методы решения

2.1 Разностные задачи.

2.1.1 Разностные схемы для задачи о течении идеальной жидкости.

2.1.2 Разностные схемы для задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости.

2.1.3 Разностная задача для уравнения переноса примесей.

2.2 Методы решения.

2.2.1 Метод неполной аппроксимации для решения систем линейных и билинейных алгебраических уравнений.

2.2.2 Решение систем с особенным оператором

2.3 Параллельное программирование для метода неполной аппроксимации минимальных невязок.

2.4 Тестовые расчеты.

2.5 Влияние фильтрации на характер течения.

2.5.1 Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости с заданным расходом жидкости.

2.5.2 Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости через дно на основе разницы давлений

2.6 Распространение примеси в идеальной стратифицированной жидкости в прямоугольном проточном водоеме.

Выводы по второй главе.

3 Программный комплекс для моделирования течения и распространения примесей

3.1 Назначение, область применения и варианты использования.

3.2 Структура комплекса

Выводы по третьей главе.

4 Результаты'математического моделирования

4.1 Предметная область для численного моделирования

4.2 Течение и распространение примесей в затопленной угольной шахте.

4.3 Идентификация модели с натурными данными . . 88 Выводы по четвертой главе.

Масштабы загрязнения окружающей среды сегодня переходят от загрязнений, носящих локальный характер, к загрязнениям, оказывающим влияние на большие географические регионы, а значит и на природные и биологические объекты, находящиеся там. Изучив по большому числу факторов и проведя обобщения, американский эколог Б. Коммонер еще в середите XX века показал, что чрезмерное загрязнение окружающей среды свидетельствует об ошибках, допущенных при использовании среды обитания. Большой ущерб водоемам наносят неочищенные сточные воды [10, 86], в результате промышленных выбросов в почве накапливаются губительные для животных и человека химические соединения, в атмосферу попадают канцерогенные вещества. Регулярный сбор, удаление и обезвреживание отходов - одна из основных санитарно-гигиенических и социальных задач любого производства.

С развитием промышленного производства эта задача обретает большое значение, и ее решение представляет собой все большую проблему. Отходы по своей структуре могут быть весьма разнообразными - жидкими, твердыми, пастообразными, газообразными. Неодинакова и степень их токсичности - от слаботоксичных до особо вредных, сильнодействующих ядовитых веществ. В настоящее время на всех промышленных предприятиях установлены фильтры и очистные сооружения, в которых осаждаются токсичные вещества из сточных вод. Однако осадки, содержащие вредные для окружающей среды вещества, в большинстве случаев не могут быть обезврежены или переработаны на предприятии. Вредные вещества скапливаются в фильтрах и очистных сооружениях и могут быть источником вторичного загрязнения.

В Кемеровской области одной из ведущих отраслей промышленности является горнодобывающая, и воздействие ее на биосферу существенно при любом способе разработки месторождений. В [71] сделан обширный обзор различных воздействий горной отрасли на природу, и одним из главных выводов авторов является вывод о существенном влиянии вод pi водного баланса на экологическое равновесие. Большое влияние на водные ресурсы в районах с развитой угольной индустрией имеют сточные воды.

Для обеспечения добычи в шахтах необходимо обеспечивать откачку рудных вод. Д.Девис (Великобритания) выделяет следующие основные загрязняющие вещества, содержащиеся в водах, откачиваемых из угольных шахт [71]: взвешенные частицы, главным образом угольная и породная пыль, частицы глины, хлористые соединения, свободная серная кислота и сопутствующие соли, а также повышенную температуру шахтных вод и канализационные стоки. Из-за наличия хлористых и сернистых соединений, а также кальция, магния и калия, шахтные воды без предварительной очистки не могут быть использованы даже в технических целях.

Наиболее эффективна на практике [10] оказалась централизованная утилизация отходов. При таком подходе на специальных полигонах [71, 86] твердые отходы укладывают в штабеля на площадках-котлованах, на которых грунт защищают от загрязнения химическими веществами противофильтрационными экранами (из полимерных материалов). После заполнения площадки верх откоса отвала планируют для создания уклона, сверху засыпают растительный грунт, засевают травой и засаживают кустарником. Жидкие негорючие промышленные отходы собирают в железобетонные резервуары, которые после заполнения закрывают железобетонным покрытием. Горючие твердые и жидкие отходы сжигают в специальных установках.

В последнее время во многих странах мира с целью охраны окружающей среды входит в практику захоронение в недрах промышленных стоков, особенно токсичных, путем их нагнетания через скважины. В отдельных случаях с учетом геологических и гидрогеологических особенностей массива создают подземные водохранилища методом выщелачивания солей.

Утилизация отходов в недрах требует обстоятельных изысканий для определения приемной способности подземных коллекторов, их изолированности, надежности их состояния, особенно в районах тектонической активности, при которых обеспечиваются накопление запасов, сохранение их качества, предотвращение загрязнения пресных вод в результате выщелачивания вмещающих пород или проникновения минерализованных вод, предотвращение загрязнения подземных вод захороненными промышленными стоками. Хотя еще не зафиксированы случаи загрязнения недр 'захороненными промышленными отходами, однако этот метод потенциально опасен. В связи с этим традиционные методы очистки и утилизации шламовых вод остаются актуальными.

Как отмечают Наркевич И.П., Печковский В.В.,Торочин-ников Н.С., Родианов И.А. и другие [69], наиболее употребительными являются следующие виды очистки загрязненных сточных вод:

- для осаждения суспензированных и эмульгированных примесей, представлелнных грубодисперсными частицами, - отстаивание, 'флотация, фильтрация, осветление, центрифугирование; при содержании в водах мелкодисперсных и коллоидных примесей - коагуляция, флокуляция, электрические методы;

- для очистки от неорганических соединений - дистиляция, ионообмен, обратный осмос, ультрафильтрация, реагентное осаждение, методы охлаждения, электрические методы;

- для очистки от органических соединений - регенерацион-ные методы - экстракция, абсорбация, флотация, ионообмен; ре-агентные методы; деструктивные методы - биологическое, жид-кофазное, парофазное и электрохимическое окисление, озонирование, хлорирование;

- для очистки от газов и паров - отдувка, нагрев, реагентные методы;

- для уничтожения вредных веществ - термическое разложение.

На горных предприятиях для осветления сточных и дренажных вод наибольшее распространение получил метод отстаивания как один из наиболее экономиченых и эффективных. Для этой цели организуются пруды-отстойники, вместимость и размеры которых определяются в зависимости от объемов сточных вод, размера и концентрации осаждаемых частиц. Сточные воды в виде пульпы подаются в хвостохранилище, где происходит осаждение основной части твердых частиц, а затем, уже в значительной степени осветленные, воды через сбросные колодцы поступают в пруды-отстойники. В Кузбассе для очистки шахтных вод, сбрасываемых в водоемы, широкое распространение получили открытые горизонтальные отстойники, облицованные бетоном.

Одним из новых методов является утилизация жидких отходов угольных предприятий в горных выработках затопленных угольных шахт. Этот метод был описан [86] еще в 40-50-х годах XX века, но технические возможности для его реализации появились только в настоящее время.

Наблюдения показывают, что в затопленных шахтах способны идти процессы очистки техногенные вод. В связи с этим, опыт экспериментального использования выработанного пространства закрытых шахт в качестве очистных сооружений для очистки сбросов шахт и обогатительных, фабрик представляет существенный практический интерес. Предполагается, что в шахтах происходит очистка жидкости за счет разбавления ее фильтрующимися грунтовыми водами, а также за счет оседания примеси. Однако если имеет место коллоидный раствор, то оседания частиц может не происходить.

Первый практический опыт исследования возможностей использования выработанного пространства и горных выработок затопленной шахты осуществляется с использованием шахты Коль-чугинская для очистки сточных вод обогатительной фабрики Комсомолец.

А так как Кемеровской области в результате закрытия большого количества нерентабельных угледобывающих предприятий огромные подземные пространства, свыше 30 млрд. м3, заполнены техногенными подземными водами и могут быть использованы в будущем в качестве очистных сооружений, проблема исследования протекающих при этом процессов является на сегодняшний день актуальной.

При построении математических моделей и проведении численного эксперимента присутствует ряд специфических особенностей. Прежде всего следует выделить следующие факторы:

1) фактор топологии. Очистные сооружения как правило имеют большие физические размеры, что значительно усложняет процесс измерений. В отдельных случаях физическая геометрия может быть такова, что проведение измерений в принципе невозможно. Например, выходные отверстия расположены на значительной глубине или доступ к ним ограничен, из-за большой глубины или сложной внутренней структуры водоема нет возможности установить измерительное оборование.

2) фактор доступности. Иногда степень ядовитости или структура отходов принципиально исключают возможность натурных экспериментов.

С учетом влияния этих факторов математическое моделирование и численный эксперимент оказываются тем инструментарием, с помощью которого возможно различные варианты распространения загрязнения, а также прогнозировать процесс очистки сточных вод от содержащихся в них примесей. Математическое моделирование предоставляет также широкие возможности для.инженерного проектирования очистных сооружений.

Жидкие отходы, подлежащие очистке в прямоугольных отстойниках и в горных выработках затопленных угольных шахт, представляют собой растворы химических соединений, суспензии и коллоидные растворы мелкодисперсных примесей в воде. В соответствии с технологическим регламентом ожидается, что в сбросах обогатительной фабрики поступающих в ее шламоот-стойники основная масса взвешенных веществ концентрируется на частицах менее 100 мкм в диаметре. Поскольку, скорости осаждения мелких частиц невелики, то процесс осветления подобных вод без дополнительных стимулирующих технологий достаточно длителен.

Исходя из этого можно предположить, что наличие примеси в жидкости не влияет на характер ее движения в отстойнике и шахте, однако может вызвать устойчивую стратификацию по плотности по высоте, несмотря на то, что высота выработки составляет Зм. В силу того, что отсутствует информация о структуре течения, необходимо при численном моделировании выбирать модели, позволяющие наиболее широко изучить возможные варианты течения. Поэтому в настоящей работе исследован характер движения идеальной нестратифицированной и стратифицированной и вязкой жидкостей, и различные варианты течений были использованы для нахождения картины распространения примесей.

Различные задачи о течении стратифицированной жидкости рассмотрены в [5, 11, 16, 21, 84, 113]. В1 приведенных работах найдены аналитические решения для течений с непрерывным изменением плотности по глубине для частных случаев прямоугольных водоемов [5, 85, 103, 112], однако для водоема более сложной формы, отличной от прямоугольника, возможно найти лишь приближенное решение. При численном решении рассматривают [7, 8, 9, 114] либо полную систему уравнений Навье-Стокса, либо систему Навье-Стокса в приближении Буссинеска [19, 22, 51].

В двумерном случае при моделировании течений вязкой несжимаемой жидкости рассматривают систему уравенний Навье-Стокса, записанную относительно физических переменных «скорость»-«давление» [7, 8, 9,114] или в переменных «функция тока» вихрь» [57, 101].

Модели распространения различных примесей рассматриваются в [6]. Основным подходом при выводе уравнений, описывающих поведение растворенных, взвешенных веществ или растворителей, в которых эти примеси сосредоточены, является требование соблюдения закона сохранения массы. Граничные условия для получаемых уравнений моделируют различные физические процессы, например, источники загрязнения на границе либо стока вещества, образование геля в придонных обрастях и т.д. Разделение веществ по классам - растворенные, взвешенные частицы, коллоидные растворы и прочее - не производится, поскольку в рамках рассматриваемого закона можно вывести единые для всех случаев зависимости.

Для решения стационарных разностных задач, появляющихся после аппроксимации уравнений математической физики и гидродинамики, часто применяются итерационные методы. Свою историю итерационные методы ведут с 1825г., когда Гауссом был предложен [89] первый итерационный метод для решения сов-местрой системы линейных алгебраических уравнений. За последние годы развитие темы [18] привело к формированию двух основных направлений в построении итерационных методов: первое направление основано на использовании спектральных характеристик операторов, входящих в итерационную схему, второе связано с применением вариационных принципов - методы данного типа осуществляют последовательною минимизацию некоторого функционала, который достигает минимального значения на искомом решении системы [29, 66, 83]

Современными методами, основанных на использовании спектральных характеристик оператора системы, пришедшими на смену методу Гаусса-Зейделя (или просто Зейделя) [14, 45], являются метод последовательной верхней релаксации [14], метод симметричной последовательной верхней релаксации, блочной последовательной верхней релаксации [102, 116, 14, 45] и другие модификации.

Появление схемы продольно-поперечной прогонки (работы Писмана и Рэкфорда [105]) дало начало большому количество эффективных итерационных методов для решения систем конечно-разностных уравнений [20, 43, 44, 76, 77, 75, 80, 83, 96, 109, 110, 111].

В начале 20в. Ричардсоном для решения систем алгебраических уравнений был предложен сходящийся итерационный процесс, вопрос об оптимальном выборе и упорядочении параметров которого, решен в работах А.А. Самарского, Е.С. Николаева [70, 75, 83], В.И. Лебедева, С.А. Финогенова [59, 61, 61, 63, 67]. Развитие метода и его исследование сделано в работах [13, 28, 60]. Влияние не точно заданной информации на скорость сходимости рассматривалось в [28, 83, 90].

Методы, построенные на применении вариационных принципов, берут начало от метода наискорейшего спуска, который для решения линейных систем был применен в 1945г. JI.B. Ка-троновичем [47]. Развитие подхода привело к созданию метода минимальных невязок и метода минимальных ошибок [50, 91]. Подробнее метды вариационного типа для решения систем линейных и операторных уравнений описаны в [17, 42, 52, 66, 75, 83].

При решении некоторых задач движения идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости разностными методами возникают системы линейных алгебраических уравнений с незна-коопределенной матрицей. В этом случае чаще всего используют так называемую первую трансформацию Гаусса, то есть умножают исходную систему на сопряженную матрицу системы и получают новую систему с положительно определенной матрицей. Новую систему можно теперь решать любым итерационным методом, имеющимся в распоряжении прикладных математиков [17, 65, 66, 83, 92, 100]. Для решения таких систем можно использовать и двухступенчатые итерационные методы и варианты метода разбиения области [23, 24, 55, 87].

В последнее время большое распространения получил метод обобщенных минимальных невязок решения систем линейных алгебраических уравнений с незнакоопределенной матрицей [104, 106, 107, 108, 115]. Однако сходимость данного метода не доказана и его реализация предявляет большие требования к ресурсам компьютеров, поскольку смысл такого алгоритма заключается в орогонализации большого набора векторов. При решенир1 СЛАУ хорошо зарекомендовали себя схемы неполной аппроксимации, впервые предложенные Н.Н. Яненко [97]. Развитие направления прослеживается в работах [81, 25, 27, 26, 79, 15, 98] и других, одкако проблема построения метода, сходящегося в случае особенного оператора, решена не была.

В настоящее время в прикладной математике сложилась следующая цепочка: физический объект исследования - физическая модель - математическая модель - численные методы - программа для ЭВМ - расчет на ЭВМ - анализ результатов и их сравнение с физическим объектом и другими данными [5, б, 99, 68, 78]. Эта логическая последовательность выдержана в диссертационной работе.

Первая глава работы посвещена анализу физической реальности и построению математической модели, описание численных методов содержится во второй главе, в третьей - описание созданного программного комплекса, и в четвертой - анализ полученных результатов и их сопоставление с данными натурных экспериментов.

Цель работы: оценка эффективности очистных сооружений (в том числе затопленных горных выработок) посредством моделирования течений в них с учетом фильтрации жидкости, оседания и диффузии примесей и построения прогнозных картин загрязнения водоема.

Идея работы состоит в построении нескольких различных математических моделей течения и распространения примесей в проточных водоемах с учетом оседания, диффузии примеси и фильтрации жидкости для описания движения конкретных загрязняющих веществ в очистных сооружениях и горных выработках затопленных угольных шахт.

Задачи исследования:

1. Создание модели течения в проточном водоеме (затопленной угольной шахте) с учетом процессов фильтрации жидкости через кровлю, оседания и диффузии примеси в виде замкнутой системы уравнений в частных производных.

2. Разработка метода и алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих течение и распространенные примесей в водоеме.

3. Создание программного комплекса для проведения исследований течения и распространения примесей в водоеме.

4. Проведение вычислительного эксперимента по моделированию течений и распространению примесей в конкретных водоемах.

Методы исследования. Исследование осущестлвено с использованием методов механики сплошной среды для построения математической модели, конечно-разностных методов решения краевых задач, теории итерационных методов решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений для решения систем разностных уравнений, методов объектно-ориентированного и функционального программирования для создании комплекса программ, методов многовариантного моделирования для нормализации модели и проведения вычислительного эксперимента.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Созданая в работе физико-математическая модель течения и распространения примесей, учитывающая фильтрацию жидкости через кровлю, оседание и диффузию примеси, представленная в форме замкнутой системы уравнений в частных производных, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры жидкости, влияющие на течение - уровень стратификации либо вязкости, - а также параметры загрязнения - коэффициент диффузии, скорость оседания частиц, интенсивность гелеобразования в осадке), в силу чего информационно достаточна для построения прогнозных течений и картин распространения примесей в водоеме.

2. Построенный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с особенным оператором обеспечивает нахождение единственного нормального решения системы. Метод решения задачи о течении идеальной жидкости, созданный для случая неограниченного по длине проточного водоема, расширяет возможности моделирования и в области конечных размеров. Параллельная версия метода неполной аппроксимации с матрицей итерационных параметров для решения систем линейных pi нелинейных алгебраических уравнений с разряженной матрицей уменьшает временные затраты на решение (при использовании машин с разделяемой памятью) практически кратно числу использованных процессоров.

3. Разработанный программный комплекс расширяет возможности решения задач о течении жидкости и распространении примесей в проточных водоемах, реализуя модули, функционал которых сложно достижим стандартными средствами известных математических пакетов (Mat-Lab, TechPlot и др.)

4. Проведение численного эксперимента на основе трех рассмотренных моделей жидкости и распростраенния примесей является необходимым условием для обоснованного выбора той или тех моделей течения жидкости, которые в большей степени соответствуют качественным особенностям поведения примесей.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается корректностью физико-математической модели, построением сходящихся методов решения разностных задач, совпадением с известными точными решениями, малым отличием полученного распределения концентрации примесей от данных натурных измерений (для некоторых веществ менее 10%).

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложен итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, сходящийся для неособенного и особенного оператора системы.

2. Разработан численный метод, существенно расширяющий возможности решения задач о течении жидкости в закрытых водоемах при наличии нескольких выходных отверстий и фильтрации через стенки водоема, когда фильтрация возникает за счет разности давлений внутри области течения и вовне. При решении задачи о течении в бесконечной области реализован способ замыкания разностной задачи на конечной границе путем аппроксимации исходных уравнений внутрь области течения.

3. Представленный в работе пакет прикладных программ, в отличие от других, позволяет решать класс задач о течении жидкости и распространении загрязняющих веществ без дополнительной работы по программированию, что невозможно в стандартных пакетах прикладных программ. Реализована параллельная версия метода неполной аппроксимации минимальных невязок, обуславливающая распараллеливание программного кода на уровне алгоритма (независимых подзадач), в отличие от традиционного способа распараллеливания на уровне массивов.

4. Посредством численного моделирования движения жидкости по трем моделям и распространения примесей в затопленной шахте с учетом фильтрации жидкости через стенки выявлена эффективность использования затопленных горных выработок в качестве очистных сооружений для сточных вод углеперерабаты-вающей промышленности.

Личный вклад автора:

1. Получена единая математическая модель течения и распространения примесей в проточном водоеме.

2. Сделаны теоретический анализ и программная реализация метода неполной аппроксимации решения систем линейных алебраических уравнений с особенным оператором. Разработана параллельная версия метода и получены для нее оценки скорости сходимости.

3. Создан программный комплекс для численного моделирования течения и распространения загрязнения в проточном водоеме.

4. Проведен вычислительный эксперимент, по результатам которого сделан анализ эффективности утилизации суспензированных и растворенных примесей в горных выработках затопленных угольных шахт на основе динамики массовой доли примеси на выходе из шахты (на примере ш. Кольчугинская).

Научная значимость работы состоит в разработке ряда новых алгоритмов решения задач о течении жидкости, фильтрации и распространении примесей в проточных водоемах, построении и обосновании применимости алгоритмов для переноса граничных условий с бесконечности на границу конечной области, модификации метода неполной аппроксимации для решения задач с особенным оператором, получении различных картин течения и распространения примеси в водоемах различной конфигурации.

Практическая ценность работы обусловлена реализацией в программном комплексе методов решения, позволяющих проводить анализ распространения примесей и течения для различных значений времени и с учетом различных заданных внешних факторов, как-то: скорость жидкости, фильтрация, внутренние свойства частиц и жидкости, форма области решения. Получены прогнозы концентрации сточных вод ш. Кольчугинская при использовании ее в качестве очистного сооружения для сбросов горнообогатительной фабрики Комсомолец.

Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались семинаре кафедры Вычислительной математики КемГУ «Математические модели. Методы решения»(г. Кемерово), объединенном семинаре «Информа-ционно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск), научном семинаре кафедры UNESCO по новым информационным технологиям КемГУ (г. Кемерово), на конференции Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование (КемГУ, Кемерово, Июнь 2006), Пятой всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (НИИПММ, г. Томск, Октябрь 2006), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г.Новосибирск, 07-10 декабря 2006 г.), VI Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии-2007» (КемГУ, г.Ке-мерово, 19-21 марта 2007г.), Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20). XX (ЯГТУ, г. Ярославль, 28-31 мая 2007г.), IV Российско-германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск, 09-20 июля 2007г.), Всероссийской конференции с участием иностранных ученых «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» IX (г. Барнаул, 17 - 22 сентября 2007), Инновационные недра Кузбасса (г. Кемерово, 20 февраля 2008), международной конференции «Вычислительные технологии в науке, технике и образовании» (г. Алматы, Казахстан, 10-14 сентября, 2008г.), XXI Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г. Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009г.), X Всероссийской конференции «Проблемы мониторинга окружающей среды (ЕМ-2009)» (г. Кемерово, 27-30 октября 2009).

Публикации. По результатам диссертационного исследования было опубликовано 14 работ, из них 2 в ведущих рецензируемых научных журналах.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 114 стр., содержит 3 таблицы, 46 рисунков и список литературы из 116 наименований.

Основные выводы:

1. Построенная физико-математическая модель обладает информационной достаточностью. Численное моделирование проводится на основе небольшого набора физических параметров (уровень стратификации или вязкости жидкости, скорость оседания и интенсивность диффузии примеси), обеспечивающих адаптацию модели к данным натурных измерений в реальных водоемах (на примере ш. Кольчугинская).

2. Метод неполной аппроксимации минимальных невязок позволяет получать решение вне зависимости от свойств оператора системы линейных и билинейных алгебраических уравнений, в том числе в случаях с особенным оператором. Доопределение разностной задачи путем аппроксимации уравнения внутрь области решения на участках границы, где не удается поставить граничные условия непосредственно на конечной границе, дает решения, не противоречащие физической реальности.

3. Так как известные математические пакеты общего назначения, такие как MatLab и другие, не позволяют решать задачи о течении жидкости и распространении загрязнения в горных выработках затопленных шахт стандартными средствами, был разработай специализированный программный комплекс, позволяющий решать задачу в реальной топологии, отслеживать течение жидкости, распространение и оседание загрязнений и идентифицировать используемые модели с реальными шахтами.

4. По данным численного моделирования было установлено, что в случае стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости направление фильтрации влияет на расположение и размер вихрей.

5. Как показывают расчеты, распространение примесей происходит вдоль линий тока жидкости. В случае наличия вихревых структур перенос загрязнения происходит преимущественно вдоль вихрей, проникая в них за счет процессов диффузии и оседания. Свойства жидкости (уровень стратификации или вязкость, скорость и другие), а также скорость оседания и диффузия влияют на картину расространения загрязнения - при увеличении диффузии первые признаки загрязнения на выходе из шахты повляются раньше, чем при малой способности примеси к дифун-дированию, при возрастании скорости оседания загрязняющих частиц наблюдается большая степень очистки от взвешенных в жидкости веществ и более высокая интенсивность загрязнения вблизи дна водоема.

6. При моделировании очистки сточных вод углеперераба-тывающих предприятий от примесей в горных выработках затопленных угольных шахт более стабильный уровень массовой доли примеси на выходе из шахты может обеспечиваться при циклической организации процесса (чередующиеся временные интервалы подачи в. шахту жидкости с примесью и отстаивания) с малой длиной периода цикла - меньшей, чем время стабилизации уровня загрязнения на выходе, наблюдаемое при постоянной закачке сточных вод в шахту.

7. Выявлено, что поведение различных примесей невозможно описать с использованием одной модели жидкости. Например, для взвешенных веществ идентификация с натурными данными возможна только для моделей стратифицированной pi вязкой несжимаемой жидкости, фенолы лучше всего моделируются идеальной нестратифицированной жидкостью, а железо - вязкой несжимаемой.

Заключение

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой решена задача разработки и идентификации математической модели, методов и алгоритмов решения задач о течении и распространении примесей в горных выработках затопленных шахт.

1. 1.Антипенко J1.A. Технологические регламенты обогатительных фабрик Кузнецкого бассейна. // Л.А.Антипенко - Прокопьевск: СибНИИ углеобогащения, 2003. - 428с.

2. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. Н. Итерационные схемы решения СЛАУ с незнакоопределенной матрицей // Деп. в ВИНИТИ 14.11.01, №2370-В2001. Кемерово: Кемеровск. гос. унт, 2001. - С. 26.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.//М.: Недра, 1984. 211с.

4. Б ело липецкий В.М. Аналитическое решение для двумерных установившихся течений стратифицированной жидкости. // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1982 - Вып.2 №13 -С.36-39.

5. Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И., Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости // Н., Наука, 1991

6. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.Н., Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды. // Новосибирск: Издательство «ИНФОЛИО-пресс», 1997.-240с.:ил.

7. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплаошных сред. // М.:Наука, 1984.-519с.

8. Белоцерковский O.M. Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ.-1975.-Т.15, №1.-С. 197-207.

9. Белоцерковский С.О., Гущин В.А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости.-М.: ВЦ АН СССР, 1982.-66с.

10. Бережинский А.И., Хомутинников П.С., Утилизация, охлаждение и очистка конвертерных газов. // М.: Недра, 1967г.

11. Бруяцкий Е.В. Турбулетнтые стратифицированные струйные течения. Киев: Наук, думка, 1983. - 224с.

12. Бугров А.Н. Итерационные схемы решения сеточных уравнений, возникающих в методе фиктивных областей // Численный анализ-Новосибирск, 1978.-С. 79-90.

13. Буледза А.В. Двухшаговые итеративныхе процессы и решение проблемы устойчивости Чебышевскихй циклических алгоритмов // Деп. в УкрНИИНТИ 29.12.87 #3317-Ук87.-Ужгород: Ужгородский гос. ун-т, 1987.-С.46.

14. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. // М.: ИЛ, 1963.

15. Валлиулин А.Н. О точном решении трехмерной зарностной задачи Дирихле повышенной точности для равнений Лапласа //Численные мтоды механики сплошных сред.-1978.-Т.9, еЗ.-С.37-42.

16. Васильев О.Ф., Квон В.И., Дыткин Ю.М. и др. Стратифицированные течения //Гидромеханика. Итоги науки и техники.-М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 8. - С.74-131

17. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления // М.: Наука, 1984.-320 с.

18. Вычислительные методы линейной алгебры / Н.В. Фадеева, В.А. Кузнецов, Г.Н. Грекова, Т.А. Долженкова // Библиографический указатель, 1828-1974гг.-Новосибирск, 1976.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости // М: Наука, 1972.-392с.

20. Горбенко Н.Н., Ильин В.Н. О градиентных методах переменных направлений // Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики.-Новосибирск, 1975.

21. Делбер В. Стратифицированные потоки вблизи линейных стоков // Водозабор из стратифицированных водоемов. По материалам зарубежных работ. Л.: Энергия, 1968.-С.71-79

22. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости // М.: Мир, 1981.-638С.

23. Дьяконов Е.Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1966.— Т. 6, е 1. - С.12-34.

24. Дьяконов Е.Г. О некоторых прямых и итерационных методах, основанных на окаймлении матриц //В кн. «Численные методы в математической физике».-Новосибирск: ВЦ СО АР СССР, 1979.-С. 45-68.

25. Енальский В.А. Об одном итерационном процессе повышенной точности // Доклады III сибирской конференции по математике и механике Томск: Изд. ТГУ, 1964.

26. Енальский В.А. О двух системах повышенной точности решения задачи Дирихле // Труды МИ АН СССР.-1968.-Т.74.

27. Енальский В.А. О свойствах одного итерационного процесса // Журнал вычислительной математики и мат. физики.-1967.-Т.7, т.

28. Захаров Ю.Н. Об одном способе построения циклических итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред.-1979.-Т.Ю, JVM.-C. 85-100.

29. Захаров Ю.Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики. //Новосибирск, Наука, 2004. 239с.

30. Захаров Ю. Н. Многошаговые схемы с вариационной оптимизацией итерационных параметров // Препринт Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1980.- С. 12-14.

31. Захаров Ю.Н., Нагорнова О.Н. Итерационная схема минимальных невязок решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса //В кн. «Проблемы динамики вязкой жидкости».-Новосибирск, 1985. с. 156-159

32. Захаров Ю.Н., Счастливцев E.JI., Чирюкина А.В. Влияние фильтрации на течение и распространение примесей в шахтах // Инновационные недра Кузбасса. IT- технологии 2008: Сборник научных трудов. - Кемерово, 2008.- С.325-328.

33. Захаров Ю.Н., Счастливцев E.JI., Чирюкина А.В. Течение идеальной жидкости в закрытых водоцмах. // Вычислительные технологии. 2008, Т. 13, специальный выпуск. С. 21-27.

34. Захаров Ю. Н., Терешкова В. В., Шокии Ю. И. Об одном классе итерационных схем решения систем линейных уравнений с незнакоопредец ленной матрицей // Препринт №14.-Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1990.-С.

35. Захаров Ю.Н., Чирюкина А.В. Влияние фильтрации на течение идеальной стратифицированной жидкости и распространение примесей в проточном водоеме. Аннотация доклада. // Вычислительные технологии. 2007, Т. 12, №6, С. 140

36. Захаров Ю.Н., Чирюкина А.В., Течение жидкости в подземных полостях с учетом фильтрации через стенки./ Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. Кемерово: ИНТ, 2007. С.305-309.

37. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений.// Новосибирск: Из-во Инта математики, 2000.345с.

38. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирский математический журнал 1965.-Т.6-С. 1425-1428.

39. Ильин В.П. О явных схемах переменных направлений // Известия СО АН СССР. Серия техн., вып. 3-1967-№13-С.97-104.

40. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений // Лекции для студентов НГУ. Новосибирск, 1970.

41. Канн К.В., Капиллярная гидродинамика. //Н., Наука, Сибирское отделение, 1989г. 167с.

42. Канторович Л.В. О методе наискорейшего спуска // Доклады АН СССР.-1947.-Т. 56, еЗ.-С.233-236.

43. Коммонер Б. Экология горного дела.//М.: Наука, 1954.

44. Коновалов А.Н., Конюх Г.В., Цуриков Н.В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей // Вариац. методы в задачах числ. анал. Новосибирск, 1986.-С. 58-79.

45. Красносельский М.А., Крейн С.Г. Итерационный процесс с минимальными невязками //Мат. сб. 1952.- Т.31(73), №2. -С.315-334.

46. Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численное исследование поведения однородного «пятна» в идеальной стратифицированной по плотности жидкости // ПМТФ.-1973.-№3.-С. 120-126

47. Кузнецов Ю.А. К теории итерационных процессов // Доклад АН СССР.-1969.-Т. 184, е2.-С. 274-277.

48. Кузнецов Ю.А. Итерационные методы в подпространствах // Препринт.-М.: Отд. вычисл. мат. АН СССР, 1984.-С.133.

49. Кузнецов Ю.А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычисл. процессы и с-мы.-Москва, 1985.-No2.-С. 265-350.

50. Кузнецов Ю.А., Труфатов О.Д. Метод разбиения области для решения волнового уравнения Гельмгольца // Препринт. -Москва, 1986.-№125.-С.38.

51. Кузнецов Ю.А., Финогенов С.А. Метод фиктивных компонент для решения трехмерных эллиптических уравнений // Архит. ВМ и числ. м-ды.-М., 1984.-С. 73-94.

52. Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости // Некотороые применения метода сеток в гозовой динамике.-М: Изд-во Моск. ун-та, 1972.-вып.З.-С.8-115

53. Ладыженская А.О. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е издание // М.: Наука, 1970

54. Лебедев В.И. О задаче Золотарева в методе переменных направлений // Труды семинара С.Л. Соболева-Новосибирск,1976.-Т.1.-С. 51-59.

55. Лебедев В.И. Оптимальные с весом итерационные методы // Вычислительные методы линейной алгебры.-Новосибирск,1977.-С. 31-39.

56. Лебедев В.И., Залебин В.В. Об одном итерационном алгоритме с Чебышевскими параметрами // Препринт.-М., 1988.-№207.~с.30.

57. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // Вычислительная математики и математическая физика-1971 -Т. 2, №2.-С. 425-438.

58. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об устойчивости в чебышев-ских итерационных процессах // Вычислительные методы линейной алгебры.-Новосибирск, 1973.-С. 42-47.

59. Мамаев В.А., Одишария Г.Э., Семенов Н.И., Точигин А.А. Гидродинамика газо-жидкостных смесей в трубах //М.: Недра, 1969. 208с.

60. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. // М.: Наука, гл.ред. физ.-мат. лит., 1989.Ч 608 с.

61. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы, квадратичные функционалы // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1972.

62. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса. // М.: Атомиздат, 1971.

63. Моисеев Н.П. Математика ставит эксперимент // М.: Наука, 1979.-223С.

64. Наркевич, Печковский, Утилизация и ликвидация отходов в технологии неорганических веществ. М.: Химия, 1984г., 240с., ил.

65. Николаев Е.С., Самарский А.А. Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона // ЖВМ и МФ.-1972.-Т. 12, е4-С. 960-973.

66. Певзнер С., Костовецкий Р., Экология горного производства, // М: Недра, 1990

67. Поле шахты «Комсомолец» в Ленинском районе Кузбасса (Геологическое строение, качество и запасы каменного угля по состоянию на 01.01.1967г.)// Пензин Ю.П., Григорьев А.В.,Свиридова Е.Н. и др.- Ленинск-Кузнецкий, 1968г.-165с.

68. Роуч П., Вычислительная гидродинамика. //М.:Мир, 1980. -616с.

69. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. // М.: Наука, 1971.-552 с.

70. Самарский А.А. Двухслойные итерационные схемы // ДАН СССР-1969.-Т. 185, №3.-С.524-527.

71. Самарский А. А. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений // ДАН СССР.-1969.-Т. 186, el.-С. 35-38.

72. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестн. АН СССР.-1979.-№5.-с. 38-49.

73. Самарский А. А. О выборе иреационных параметрво в методе переменных направленй для разностной задачи Дитриха повышенного порядкоа точности // ДАН СССР.-1968.-Т.179, еЗ.

74. Самарский А.А., Андреев В.Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения задачи Дитриха // Журнал вычислительной математики и мат. физики.-1964.-Т. 1, №6.-С. 1025-1037.

75. Самарский А.А., Андреев В.Б. Об одной разностной схеме повышенного порядка точности для уравнения эллиптического типа с несколькими пространственными переменными // Журнал вычислительной математики и ма. физики.--1963.-Т.З, еб.

76. Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы математической физики, // М., Научный мир, 2000г.

77. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978г.

78. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. // М.: Мир, 1980. 549с.

79. Снегирев И.А. Механика стратифицированной жидкости // Русловые процессы и методы их моделирования // Л.: Энергия, 1977.-С. 89-92.

80. Титов А.П. и др., Обезвреживание промышленных отходов // М.: Стройиздат, 1980, (п1030709).

81. Толстых А.И. Метод внутренних итераций для решения пространственных задач с несамосопряженными операторами // Докл. АН СССР.-1983.-Т. 272, №-с. 538-541.

82. Фадеев Д. К, Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. // М.: Физико-математическая литература, 1963.

83. Фадеев Д.К., Фадеева В.П. Вычислительные методы линейной алгебры // М.: Физико-математическая литература, 1963.

84. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. К вопросу о решении линейных алгебраических систем // Журнал вычислительной математики и мат. физики.-1974 -Т. 14, №3.-С 539-559.

85. Фридман В.М. Метод минимальных итераций с минимальными ошибками для системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей // Журнал вычислительной математики и мат. физики.-1962.-Т. 2, е2.-С. 341-342.

86. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.//-:. М.: Мир, 1986.-448с. ;

87. Захаров Ю.Н., Чирюкина А.В. Об одном итерационном методе решения задач гидродинамики // 3-я Российско-Немецкая Школа по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах, Сборник тезисов докладов участников, Новосибирск, 2007

88. Захаров Ю.Н., Чирюкина А.В. Итерационный метод решения задачи о течении в проточном водоеме с учетом фильтрации через дно. //. Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации», Новосибирск, 2007

89. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики // М.: Наука, Сибирское отделение АН, 1967.

90. Яненко Н.Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // ДАН СССР.-1959.-Т. 125, М.-С. 1207-1210.

91. Яненко Н.Н., Валлиулин А.Н., Квасов Б.И. Итерационные процессы для точного решения разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности // Труды конференции поч исленными методам решения задач теории упругости и пластичности.-Новосибирск, 1969.

92. Яненко Н.Н., Карначук В.И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии // Числ. методы механики сплошн. среды.-Новосибирск, 1977.-Т. 8, т.-с. 129-157

93. Axellson О. Nuberical algorithms fro indefinite problems // Elliptic Problem Solution. Proc. Conf. Monterey, Galif, 10-12 Jan 1983.-Orlando l.a., 1984.-Pp. 219-232.

94. Chia V., Chia H.V, Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method // J. Compu. Phys.-1982.-V.48, N3.-P. 387411.

95. Frankel S.P. Convergence rates of iterative trealements of partial differential equations // Math. Tables Aids Comput-1950-Vol. 4-Pp. 65-75.

96. Harleman D.R.F., Elder R.A. Withdrawal from two-layer stratified flows // J. Hidraul. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1965.-V. 91, N 4, Pt.l.-P.43-58.

97. Maruster S., Popovici P. Generalized pradient's method // Fu/ Univ/ Nimisoara Sti. mat. -1983.-Vol.21, no.l-2.-Pp.85-94.

98. Peaceman D.M., Rechsord H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Indust. Math.-1955-Vol. 3-P. 28-31.

99. Saad Youcef. Conjugate gradient-like algorithms for sloving nonsymmetric linear systems // Math. Comput.-1985.-Vol.44, no. 170-Pp.417-424.

100. Saad Youcef, Schultz Martin H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. and Statist. Comput.-1986.-Vol. 7, no. 3.-Pp.856-869.

101. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / R. Barrett, M. Berry, T. F. Chan et al. -Philadelphia, PA: SI AM, 1994.

102. Wachspress E.L. Optimum alternating direcrion implicit iteration paramerers for model problems //J. Soc. Indust. Appl. Math.-1962.-Vol. 10.-Pp. 339-350. f

103. Wachspress E.L. Extended application of alternating direcrion implicit iteration model problems theory // J. SIAM-1963.-Vol.ll, no. 4.

104. Wachspress E.L., Habetler G.L. An alternating direcrion implicit iterarion technique //J. Soc. Indust. Appl. Math-1960.-Vol.8-Pp. 404-424.

105. Wood I.R., Lai K.K. Flow of layered fluid over broad crested weir //J. Hidraul. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1972.-V. 98, N 1.-P.87-104.

106. Yih C. S. Stratified flows.-New York: Acad. Press, 1980.-418p.

107. Yong J.A., Hirt C.W. Numerical calculaton of internal wave motions // J. Fluid Mech-1972-V. 56, N2.-P. 265-276

108. Youcef S. Iterative solution of indefinite symmetric linear systems by methods using orthogonal polynomials over twodisjoint intervals // SIAM J. Numer. Anal.-1983.-Vol. 20, no. 4-Pp. 784-811.

109. Young D.M. On Richardson's method for solving linear systems with positive definite matrices //J. Math. Phys., 1954-Vol. 32.-Pp. 243-255.