автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование энергетических цепей с помощью операторных методов

ШДЕШ НАУК УКРАЛШ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ

На правах рукописи

САУХ Сергей Евгеньевич

УДК 621.372

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.С ПОЮЦЬЮ ЧИСЛЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ

Специальность 05.13.16. - применение вычислительной т, хники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Киев - 1992

Dnrtrt»9 «iiHA»»frtiT4 n VTtfwfmtimn rrnnffumi ип^лштппчптпт ti «nonno»

iauuio ooàuujincrna a /inbi*ii.jA9 U^UUJIOM с dnapio

тике Академии наук Украины

Научный консультант:

академик АН Украины Пухов Г. Е.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Бондаренко В. 11

доктор технических наук, профессор Нагорный Л. Я.

доктор технических наук Катков А. Ф.

Ведущая организация:

Институт гааа АН Украины.

Защита состоится

20

wei/ïQuA

1992 г. в.

.час. на

заседании специализированного совета Д 018.61.01 при Институте проблем моделирования в энергетике АН Украины по адресу: 252680, Киев-16^ ул. Генерала Наумова, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем моделирования в энергетике АН Украины.

Автореферат разослан JLUËLccjXS^

.1992 г.

Ученый секретарь, специализированного совета кандидат технических наук

Семагина Э. П.

.'р г

•• тдьл 'I

, . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность npo6.iei.gJ. Последние десятилетия методы теории цепей широко используются не только для анализа электрических, ко также механических, пневно-гидравлических и тепловых систем. Это стало возможны.« благодаря введению понятия энергетической цепи, которое получено в результате обобщения подходов, применяемых при описании электрически цепей. В основу этого обобщения положены аналогии в математических описаниях элементарных структур различной физической природы, например, индуктивностей, емкостей, упру-гостей, жесткостей т. п.

Такой подход особенно плодотворен при исследовании сложных энергетических объектов, в которых процессы различной физической природы протекают не только одновременно, но и в тесном Езаимо-дойстени, когда для достижения, например, положительного электромагнитного эффекта необходимо учитывать сопутствующие тепловые эффекты.

Однако современная теория энергетических цепей ориентирована в основном на системы с сосредоточенными параметра».« и применяется преимущественно для анализа линейных устройств.

В то же время анализ реальных энергетических объектов как правило сопряжен с необходимостью решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Другими словами эти объекты являются не только нелинейными, но имеют распределенные параметры. Еместе с тем большое значение энергосистем для стабильного существования и развития промышленности и сельского хозяйства, их высокая стоимость, а также возможность провоцирования опасных для человека ситуаций выдвигают в качестве одной из первоочередных задач задачу моделирования штатных и нештатных режимов их работы.

Эта- задача не может бьггь решена без привлечения современных электронных вычислительных машин и требует разработки специальных подходов, методов и алгоритмов, позволяющее эффективно использовать вычислительные средства для сбора и обработки информации о работе энергосистемы, а также моделирования режимов её работы с учетом этой информации.

Поскольку одним из направлений научных исследований, решающих указанную задачу, является разработка численных операторных

методов, позволяющее моделировать сложную энергосистему, содержащую нелинейные элементы с распределёнными параметрами, проблема,7 которой посвящена диссертационная работа, является актуальной.

В диссертационной работе принципы теории энергетических цепей распространяется на случаи, когда элементы энергетической Системы описываются нелинейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями в частных производных; еаданных на областях изменения аргумента со сложными границами, в результате этого математическое описание, как правило, представляется дгумя rpyr.nai.ci уравнений. Одна группз определяетя физическими законами, ааписан-. ными для элементов системы, а другая - связывает переменные в точках, соответствующих граничным -узлам.

Широко применяемые для анализа стационарных и нестационарных энергетических цепей с распределенными параметрами численные методы, использующие матричную прогонку, позволяют моделировать цепи с достаточно простой.топологией и небольшим набором элементов. При этом приходится иметь дело с алгебраическими уравнениями большой размерности, что. порождает проблемы устойчивости явных численных схем и значительных затрат процессорного времени в случае неявных численных схем.

Благодаря разработанным в диссертационной работе численным операторным методам удаётся сопоставить каждому элементу цепи свой численный блок, связывающий значения переменных в° граничных точках, что позволяет резко сократить размерность общей системы уравнений. При этом числе'нные блоки комбинируются в соответствии с топологией цепи, не накладывая ограничений на её структуру.

Указанные методы строятся на основе преобразований Ньютона, полученных в результате совместного применения дифференциальных и локально-интегральных преобразований.

Дельи работы является разработка теории энергетических цепей с распределенными параметрами и численных операторных методов . их анализа, обеспечивающих исследование на ЭВМ сложных энергетических систем.

Методы исследования:

- методы формирования моделей элементов энергетической цепи, основанные на энергетических аналогиях;

г операторные методы анализа цепей, базирующиеся на интегральных преобразованиях Лапласа, дифференциальных преобразованиях, локально интегральных преобразованиях и преобразованиях

тона;

- численные методы решения дифференциальных уравнений, ис-пользук^е явные и неявнш разностные схемы, многошаговые и блочные односаговие схемы.

Автор заиипуает:

- новый подход к построен™ t/.атематичэсгах моделей энергетических иепей с распределёнными параметрами;

- численные операторные штоды анализа стационарных и нестационарных процессов з энергетических цепях, полученные на осноей преобразований Ньетона.

Научная новизна диссертационной работы:

- установлены соответствия меэтду группаш переменных, которое используются для описания неоднородные физических явлений в элементах знергетотео-лй цепи и подчиняются таганам Кирхгофа;

- получена обобщенная математическая модель энергетической цепи с распределенными параметрам! н произвольной топологической CTpyirrypOfl;

- разработаны численные операторные методы анализа энергетических цепей, основанные на преобразованиях Ньютона;

- разработаны блочные численные методы решения одномерных и многомерных дифференциальных уравнений, адаптируема к различным формам областей определения искомых функций и харгжтеркзуюсшеся гесткой устойчивостью и высотой аппроксимационной точностью.

Практическая ценность работы. Исследования, проведенные в диссертационной работе, позволили поставить и рекггь прямуп и обратную задачи моделирования газотранспортных систем в ускорением язеигабе времени. Это даёт диспетчеру всзмо.таость осусзствллть упрэ.чдзхтди анализ состояния реальных газопроводов.

Реализация результатов работы. Fc-зультаты диссертационной работы воплощены в пакетах прикладных программ, разработанных в í Слетит уте проблем моделирования в энергетике АН Украины и предназначенных для:

- моделирования стационаршгх и нестационарных рвлпмов работы газотранспортной системы;

- адаптации математической модели газопровода по измеренным данным, поступаичтн с датчиков в текущем времени;

- оптимального управления газотранспортной системой с целио максимального удовлетворения потребностей в объёмах йостзпки гп?з п минимизации ггдег-^к ня ег1 транспорт при гарантированном гапа •

- 6 -

се устойчивости функционирования системы;

- численного моделирования установившихся и переходных режимов в пластинчатых и трубчатых теплообменниках;

- численного моделирования переходных процессов в.электрических цепях с вентилями;

- численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Р-езультаты диссертационной работы внедрены в производственном объединении "Тшентрансгаз" в виде программных комплексов оптимального управления и контроля режимов работы газотранспортных систем. Ожидаемый экономический эффект от внедрения программных комплексов составит 1,5 млн.рублей в год. Из них на долю диссертанта приходится 645 тыс. рублей.

Теоретические положения диссертации были положены в основу кандидатских диссертаций Е К Процент "Организация вычислительного процесса при моделировании режимов работы газотранспортных систем" (198Э г.), А.Е.Геригорина "Организация вычислительных процессов в сети ЭВМ при оптимальном управлении режимами работы гагопроводов"(1989 г.), А. В. Иарфуса "Применение дифференциальных преобразований к исследовании электрических и тепловых процессов в многопроводных линиях элэктропэредачи"(1990 г.).

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на 1,11,IV,V скалах-семинарах "Дифференциальные преобразования и их приложения" (г. Житомир, 1984г., 1985г.; г. Киев, 198Эг. ,1991г.), "Дифференциальные преобразования и численно-аналитические методы ресоиия уравнений'Чг. Киев, 1991г.), на научных конференциях ШШЭ АН УССР "Ыэтоды и средства прикладного моделирования"^.Киев, 1990-1991Г.г.), на семинарах научного совета АН УССР по проблеме "Теоретическая электротехника и электронное моделирование'Чг. Киев,1980-1991г. г.), на юбилейном научном семинаре, посвяцешюм 50-летия Одесского электротехнического института связи им. А. С. №г.ова,"Сннтеэ фильтрукзк ц корректирующие устройств для аппаратуры передачи нкформацш! по каналам свп-эи"(г. Одесса, 1980г.), на Всесоюзной научно-технической конферен-щш "УодэифоЕ шие-85. Теория,средства,применениэ'Чг. Киев, 1985г.), на Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование в знергетике'Чг. Киев, 1990г.), на республиканской семинаре "Автоматизация построения моделирующих тренажерных н диаг-

ностических систем знергетики"(г. Киев,1389г.), на республиканском семинаре "Моделирование и совершенствование технологических процессов в теплоэнергетике"(г. Киев, 1990г.), на 1-ой научно-технической конференции'"Проблемы экологии и ресурсосбережения'^ г. Черновцы, 1991г.), на IV республиканской конференции "Нелинейные га-дачи математической фиэшш"(г. Донец::, 1987г.), на VII Есесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструироэание численных алгоритмов решения задач математической физики"( г. Кемерово, 1988г.), на II Всесоюзной конференции "Новые подходы к репенни дифференциальных ураЕнений'Чг. Дрогобыч, 1289г.), на IV 1йждународкой конференции "Проблемы комплексной автоматизации"(г. Киев, 1990 г.), на Мэ^ународной конференции "Математическое моделирование и прикладная математигл"(г. Москва, 1990г..).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 рзбст, п том ■числе 2 авторских свидетельства. В настоящее время в редакции "Наукова думка" сдана монография "Численные операторные методы решения дифферэнцизлышх уравнений и анализа динамических систем", подготовленная в соавторстве с Г. Е, Пуховым и Г. Я. Еереговен-ко.

Структура и объэм работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, насчитывает,его С?55 наименований, и изложена на 269 страницах машпгашгного текста, включающих 22 рисунка и 13 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ео впадении обоснована актуальность проблемы, указаны цель и задачи исследовиим, приведен краткий реферат работы.

I первой г.тазе - "Энергетгпеские цепи и их элементы" - отмечаются основные препятствия на пути создания эффективных моделей энергосистем (ЕС), обусловленные технической сложностью и разнообразием физических процессов, реализуемых в ЭС. Построение моделей ЭС путем простого объединения ее элементов порождает совокупности нелинейных алгебратеских и дифференциальных уравнений в частных производных, отражающих электромагнитные, механические, гидравлические, тепловые и другие явления. Такие совокупности в виду больсиу. размерностей не поддаются не только аналитическому исследованию, не часто и численному анализу с помощью 3EIÍ.

Показано, что при моделировании ЭС целесообразно строить соответствующую энергетическую цепь. При этом следует использовать специальные схемы эашаркая.

Энергетические цепи описываются с помощью обобщенных, последовательных и параллельных переменных, определяемых в зависимости от способа подключения измерительного прибора. В частных случаях обобщенные переменные описывают электромагнитные, механические, тепловые и гидравлические процессы, порождая математически эквивалентные выражения, которые отражают энергетические аналогии (табл.1). Отмечается, что ггк аналогии обусловлены законом сохранения анергии. С помощью вектор-функций I ^ 1(1) я и ~ и.сЬ) , характеризующих последовательные и параллельные переменнее действия, строятся выражения для пассшных элементов энергетической цепи

где

¿^-¿ат.туг-атмг), (2)

¿VСПД)/2~(СиЛЮ, (з)

Здесь векторы И и Т , а также матрицы С , ¿. , Ц , к включают элементы

и

и. р N Т

1 V о б %

<?-£ .( 5)

[ _Вад___

взаимодействий

Переменные л&йсгаая

пара ллелшые

последова тельные сила тока , А

Переменные с паралуельиь/е

остояния_ лоаедсва тельные магнитный поток, В5

Ф

электрицесгас

напряжение, В

зауэял, К Я>

Механика

сила,Н

мне иная скорость, с"

перемещение, м X

импульс,

К

момент силы, Нм

ы=¿мм

утоааа скорость

со = с19/сИ

угол поворота,рал 9

момент импульса,

кг м*

М

тепло

температура, К Т

поток энтропии,

энтропии,

Лж к

отсутствует

гидравлика

сила, Н п

Л-поверхность о^гемаУ р-дааление, Па

средияя а поперечном сечении, скорость Айижения,

и-г = (1хгМ1

перемещение „м

импульс движущейся жидкости ПЛОТНОСТЬЮ (> и объемом V

С =

¿¿ад. ¿ =

ска^К^

к" ¿у ¿4 ......1-" Г ш.лх\г ^¿9\г _ ¿5 имп ¿1/1 <т ¿г ■ 1 1 п _ ¿хА 1'г'с[Гг\ г 1

¡V ¿ф '¿1 / о ¿V I м» ¿0 1 I 1 1/ ¿Кг 1

¿4 ¿1 1 1 О .¿Лв „¿Н\»ЛТ "" ¿тг \ ™ ¿о 1 г ¿6' < 1 Г" 1иг 1 1 , г, 1

(В)

(7)

(8)

Наряду с пассивными преобразующими элементами строятся математические модели активных элементов. Рассмотрены особенности различных источников энергии, порождающих -параллельные ■ и последовательные переменные.

Отмечается, что соотношения между последовательными и параллельными переменными для основных элементов энергетических цепей с сосредоточенными параметрами подобны соотношениям мезвду напряжениями и токами, описывающими соответствующие элементы электрических цепей. При этом электрическая цепь описывается скалярными выоажениями, энергетическая - векторно-матричными, а методы анализа электрических цепей в матрично-векгорном варианте полностью применимы к анализу цепей электрических.

Рассмотрены энергетические цепи с распределенными параметрами. Путем установления соответствий между штеьитическшя! моделями электромагнитных процессов в длинной линии, гидравлических явлений в трубопроводе, тепловых процессов в стержне, теплогидрав-лических явлений в трубопроводах, а также процессов магнитной гидродинамики в импульсных плазменных ускорителях эрозионного типа получена обсш форма описания указанных процессов

Такое описание отличается от традиционного описания линии электропередачи наличием матричных параметров' К^ , Ки , К? , К^ , размерность которых определяется количеством учитываемых физических взаимодействий.

Энергетические цепи могут содержать элементы, характеристики которых меняются не только с изменением координаты X , но зависят от других пространственных координат. При этом частные производные от векторов последовательных и параллельных переменных в -выражении (9) заменяются операторами дивергенции и градиента от тех же веютров. В качестве примера приведено описание процессов теплового взаимодействия потоков в пластинчатых теплообменниках.

Особо отмечается случай, когда элементы энергетической цепи характеризуются разлишшм количеством физически неоднородных явлений. При этом шлет быть потеряна связность цепи по потокам различных видов энергии - тепловой, гидравлической, электромагнитной. Так, в двухгаэнтурной схеме энергоблока с реактором во-до-водяного типа имеем односвязную цепь по потокам тепловой знер-ГШ1 и двухсвязную цепь по потокам механической энергии двилуцэйся жадности. Поэтому процесс формирования математических моделей энергетических .цепей с такшш специфическими фиэико-топологичес-кши свойствами целесообразно осуществлять последовательно по однотипным потокам эиерпга, используя первый закон Кирхгофа.

Математические модели цепей с распределенными параметрам! формируются на основе законов сохранения энергетических потоков в узлах. Основой при таком формировании является метод узловых параллельных переменных - апалог метода узловых потенциалов в электрических цепях. Аналог метода контурных токов для энергетических цепей с распределенными параметрами не используется, так гак в нестационарных режимах потога на входе и выходе элементов не совпадают.

Если параллельные и последовательные переменные на границах элементов с номерами /¿=> N обозначить соответственно через

{ иа(0,Ъ, ипаЛ). ~псОА), ХМ I }, (ю)

а 8начэвия узловых потенциалов (узловых параллельных переменных) через

где - общее количество узлов в цепи, то математическую модель энергетичеасой цепи с распределенными параметрами шлшо представить в виде

А I

' о

ип(0Л)=и.(1) ¿ля

¿¿Н) АЛЯ /п -у

(13)

9 СаДО- ¡^

I_I ■ °

1 г

г

^„N¿>¿1 \CJKa ГЧЦф

_1 1_

.(14)

Здесь {сц1.С1г} - вектор с элементами А.,, , упорядоченными по параметру . ' Система уравнений (12) отражает первый закон Кирхгофа для последовательных переменных на границах элемэнтов, примыкающих к узлам цепи. А - матрица'соединений; последовательные переменные внешних источников или потребителей вевдства и энергии, примыкающих к ^-му узлу. В системе уравнений (13) устанавливается связь из жду параллельными переменными на .границах элементов и ь узлах цепи. £ и ^ - номера узлов, к которым примыкают соответственно левая и правая границы п-го элемента Система уравнений (14) представляет совокупность математических шделей элементов энергетической цепи с распределении-

ш параметрами.

Таким образом математические модели энергетических цепей предствляются алгебраическими и дифференциальными уравнениями в обыкновенных и частных производных, причем большая часть этих уравнения являются нелинейными.

Среди задач анализа энергетических цепей особое внимание уделяется задачам моделирования эксплуатационных режимов энергосистем. При этом подчеркивается, что необходимость получения информации в реальном или ускорениям времени с обеспечением адекватности модели и объекта создает значительные трудности в нии соответствующих задач на ЭЖ

Во второй главе - "Штоды анализа энергетически цепей с распределенными параметрами" рассмотрены особенности численных и численно-аналитических методов решения уравнений энергетических цепей.

В результате анализа делается вывод о необходимости разработки специальных методов исследования энергетических цепей, сочетающих свойства операторных соотношений с вычислительными возможностями численных схем.

Этим вопросам посвящена третья глава "Преобразования Ньютона". 'В основе преобразований Ньютона или М -преобразований лежит ряд Ньютона

к-»оо 1=0

где

г

(16)

(17)

Оормулы (15) и (16) определяют прямое и обратное преобразования. Прямое N -преобразование в пределе при к-*- 0 переходит в пряшэ дифференциальное преобразование.

При реализации на ЭШ функция хс£) на каждом подынтервале длиной Ит>= "С^- . аппроксимируется интерполяционным многочленом Ньютона кп~го порядка. В узлах интерполяции

• '¿тч • .....%п-<+Ьпкт - . где кп-Ит/1ст,

сначешш функций 5с с Ь) и Х(-Ь) совпадают. В точках ^ , ,..., ^н-1 ■ ¿УИКЦ11Я ¿¿ск) , как и функция Х(1) , может шэть разрывы 1-го рода. Преобразования (1Б)-(16) в этом случае «задается формулами

{хии,-£п,кт) Ja1 осЛ i m-lM¡,

(18)

^n•^ i-0

и называются днскретко-нопрерывныш ' N -преобразованиями. Здесь функция определяется выражением

4, ¿eC^-A^O, О, Ьф&пНъХпд.

(20)

В Н-преобразованиях (18)-(19) для приближенного восстановления функции XCÍ) используется интерполяционная формула Ньютона с интерполяцией назад.

Значения Xwf"С,Л.) связаны coi значениями X(t-£k) функции X(.i) выражениями

ХиИЛк)- Z ТТПТ7ТГ

КоИУЩ})

(21)

- 15

и

\Uw4t)

которые шню представить в виде

-ц >

"Х-П5с, х = ПчХ.

(23)

Здесь Ск+{) -мерные векторы X и X , а тага» матрица преобразования П размерности + {к+1) ииэпг вид:

\Хн(0,т:Л) . 1 Хы(к,-С,к) 1 ■

1 1 1 1 • 1 А ' Л2 ' 1 хсо \f-xit) | А х{<) 1 Iя- I л." | 1111 Г ц 1 .к 1 | кк | • ■

1 11-1 1 X«) | хсс-к) \х<Х-2к) 1... 1 1 I I, 1 и , \Xit-kk) 1. -.1 , .......... . ,1

п =

10 0 0

к'' -1С1 0 0

1С1 -2к'г к"2 О

к~3 -З/гГ3 З/Г3 -/Г3

п-<=

I 0 0 0

\ -к о о

< -2к кг О

1 -31ь 31ь -1ь

Рассмотрим выражения

и ±

Если функция является полиномом Скт+/) -го порядка,

то функция Х(т,£) должна быть полиномом кт -го порядка.

Применив преобразования (18)-(19) к функциям и , можно, с учетом (21)-(23), установить равенства

(27)

в которых ли /П.) и т) - матричные операторы дифференцирования и интегрирования размерности (ктукт) ; и кп-мерные векторы, учитывающие начальное условие

Х(т^т./) . Элементы ^-мерных векторов Х.(7гГ) и с зпадают с первыми к т. элементами (кп+-() -мерных векторов ХОП) к В векторах ЗЦггГ) и ^СШ) отсутствуют элементы

и £ (т.соответственно. Операторы интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными, то есть

Мп) ШкщЬ - Шкт) Х(кт)-Е, (28)

где В - единичная матрица, и удовлетворяют соотношениям

Ц,(кт)-1ж(кт), Щп) ЦгСк^. (29)

С помощью соотношений (18)-(19), (26)-(29) задачу Коши

х'= {{х,I), хссв)-хв, -бе С*0,<„1

(30)

легко представить в алгебраической форме

(31)

Исследование устойчивости блочных численных схем, порождаемых выражением (31), показывают, что такие схемы обладают свойством А-устойчивости независимо от порядка к.^ . В этом отношении они превосходят численные схемы методов Гира, сохраняющих жесткую устойчивость вплоть до порядка к=б.

В основе А/ -преобразований многомерных функций лежит пара соотношений

Ч'Ч с Л*.*'

¿-«о 04ИЦк

в которых использованы мультгашдексные обозначения

1-(1,Лг, , .....

Крош того, = А''" Л„) - А^хсб^,...,

т:,1 г,/о ^

(32)

(33)

x-—i-*

lJ

U

Выражение (33) 'является многомерным обобщением ряда Ньютона. Цри переходе от него к выражению для многомерной интерполяционной формулы Ньютона использованы -преобразования глобальной системы координат (,0,i) к локальной системе (0, L) . Это позволяет распространить многомерные ti -преобразования на случай произвольных замкнутых областей определения функций. В системе коорди-

(0,1) строятся операторы дифференцирования Функций у-(^) по мультиаргументу . Опе-

раторы дифференцирования (.N+i) -мерных функций'строятся из операторов дифференцирования ■ N. -мерных функций..

В четвертой главе - "Анализ электрических ■ цепей с помощью преобразований Ньютона" -'рассмотрена численная операторная форма уравнений элементов с сосредоточенными параметрами и установлены соотношения для резистившх, емкостных и индуктивных элементов цепи

1uh-ktd) = Tir-Rj^, (34)

Tdy- $ Hd) = Tn=Gntun, (35)

t.

LLii) = J C'Tit) ¿< + 11(0) s

о

cit

~ H'Jc^dck^u^-H^Cjurt^N/kJ,

= ¡CUA djLn-H'¿Lju-tm-<) Na dm.)], <a» t

uh- J¿'fuc¿) ¿t +

o

= HJtck^L^ut^fyc^b (39)

в которых

и = "rrt 1 r i , i « > . \Шт- иi i

-Г»- 1 ! i i i ¡r^-iC/m) I • i • i • • ! • ¿ -/ i - t-V^) '-m 1

Блочно-диагональные матрицы Rm , Qn , L^ , Сm содерлат элементы

¿Lay. Gm~{ç(u, Г, О, G(ïï, T,-¿m~l£Hm\...,Q(u, ¿X-

¿¿ад, LAL (Z, T.-tJ.l (LL, T^-k^HJ.....ЩХЛпС^Нпд}.

Елочные-элементы матриц Д(кт) , И (km) и векторо? fi (¡ст) образованы _из соответствующих элементов матриц ,

мЦкгг) и векторов Nglkm) ¡fJ^C^m.) путем умножения их на единичную матрицу • размерности равной размерности векторов LL(é) и L(i). Соотношения (34)-(39) пригодны для описания нел1шейных ре-зистивных, емкостных и индуктивных элементов.

Численные операторные методы естественным образом применяются при исследовании цепей с коммутирующими устройствами и, в отличии от традиционных методов, ае наталкиваются на трудности, г.^.услтеще;;ныо неопределенностью моментов коммутации, когда правая часть Ч(И,ГЛ) системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка теряет гладкость.

Преобразования Ньютона уравнений элементов с распределенными параметрами выполняются независимо по временной и пространственным координатам. В результате.система уравнений (9) представляется в виде

1 UxÏÏcB 1 • -1-1 Кц. 1 Г 1 f- 1 1 ÏÏ(ï) | 1 '..il Ki\l

1 \лхШ) 1 Г 1 ! i l 1 1 т 1__1 j с - 1

- kj I-1). (40)

Здесь .к^ f^-rw , m-f,M ,

Шу-

и

1 _ 1

1 1

ктк~1) ]

1 » 1 • . 1

1 ШпГ 1 1 ^ т. ,

I . (41)

а элементы матрицы и вектора кт) образованы из со-

отзетствугзлх элементов 'матрицы Д^) и вектора умно-

жением их на единичные матрицы,^ размерность которых совпадает с размерностью векторов и .. В отличив от диагональных

матриц , 7я , ^ , К1 , , / , С или, безотноситель-

но, У с диагональными элемента),-л с&ад ^Р(Ь) , диагональные матрицы вида Ц* составлены из элементов.где

Ь = I

1т: -Аг

ит. I~

I_П

В операторном уравнении (40) учитываются начальные условия Ц[.(Хт.-1} 11 £ ^т.-/)» тогда как граничные условия могут быть заданы для последовательных и параллельных переменных на границах отрезка [0,1] пространственной координаты X . Так как граничные условия в исходной системе уравнений (14) удовлетворяют уравнениям (12) - (13), то они заранее неизвестны. Но их полно считать заданными параметрически. Для определенности полагаем параметрически заданными параллельные переменные и.(0,£) и 11(1,Ь) . Тогда, вычеркнув в системе алгебраически уравнений (40) строки с номерами, соответствующем номерам элементов

\ 1(0,^)1'¿(О,*^ х^) 1 г 1 ^т. 1 • • • | г ^и \ л» т. |

и элементов

а=1 11 '¡Ыы 1 1 1 к т. I ... 1 К т. ' ,

_ — ' - 22 -в векторе U(i) , систему уравнений (40) можно представить в виде

1 г

■ " ' + ¿¿¿(frh^H + L 1,(44)

где матрицы A н -г Д ¿2 и блочные векторы ^ -г образованы

из соответствующих матриц и векторов уравнения (40), а вектор отличается от вектора LLCij тем, что в нем отсутствую,. элементы, образующие ' векторы -граничных условий LL0 Ct) и Ц^СЪ ■ Лжарпзуя систему алгебраических уравнений (44) и решая ее относительно неизвестных U-^Ct) и L(i) , получаем искомое операторное соотношение

Ii0cl) i ¡v.„|V(£| I lld(±) i « i 1 1 -C 1 i i 1

1 1 I Tt d ) I ¡у«. % ! 1 LL.U) i t 1 1 1 1 1 lb 1 1 t . . . м 1

. -у -Г- —Г" -ТТ-

Здесь векторы ¿„(^ и по структуре тождественны век-

торам ~ц_0 (-Ь) и ЖрСЬ) . Матрицы проводиыостей У00 ,, УвС , \ ¿0 , и векторы последовательных переменных 1й и

определяются в ходе преобразований системы уравнений (44) к системе уравнений (45).

Таким образом в процессе покоординатных преобразований системы уравнений (9) строится численная схема к^ порядка по X и ' (с ^ порядка по "Ь , согласованная с начальны},и: п граничными условиями, которые могут быть заданы параметрически. Это позволяет исключить в алгебраизированных уравнениях йенепостные, определенные на внутренней части отрезка С0,£] и установить непосредственную сеязь между граничными значениями последовательных и параллельных переменных.

Численное операторное уравнение (45) содержит У -параметры некоторого четырехполюсника. При необходимости это уравнение может быть разрешено относительно переменных !ХС(£) и Тогда четырехполюсник будет характеризоваться Z -параметрами.

Аналогично могут быть получены и другие, смешанные форш операторных уравнений. Все они значительно упрощают процесс формирования уравнений энергетической цепи с распределенными параметрами.

Операторный родход иллюстрирован примерами расчета переходных режимов в линии электропередачи, электрическая схема которой содержит длинные линии и RC-элементы, а также исследованиями нестационарных процессов движения газа в трубопроводах постоянного диаметра D. Процессы, возникающие При нестационарном неизотермическом течении газа в трубопроводе, описываются уравнениями

ÜLE (р -Р)

п Эх J íp" Р>'

m.fjfv^fn.^-v*

(46)

*nít+¿tw(E*P> ■

где p(X,í) - давление; Т(Х,{) - температура; (¡ (р, - плотность гага; W(x,i) ~ скорость его движения; £(17, рТ) ~ полная энергия еденицы массы газа; рн и Тн - давление и температура внешней среды на поверхности трубы; к(Х) - высота заложения трубы относительно нулевого уровня; ^ - ускорение свободного падения; Л , оС , кф - коэффициенты, соответственно, гидравлического сопротивления, теплопередачи и фильтрации газа через стенку трубы.

Операторное уравнение, соответствующее системе уравнений (45), имеет вид

II " "II-П-С-:-»т

1м(о#п) 11 Eco^n) II Md,-tm) I Zd,^) II

lb-II-I!-IF-A=

Ш(0,^-H.) I 1

u___ii_в

(47)

i pio\-cn) iTco,tm) \pU,tm) \ra/tm_) ;s _

Y ¡1-3-5-:—I--

ip(o,f.-rHL) г*Т(0,т:т-Н,) ¡p(?;inrUt) IITdtn-Hj ■

л__j<_и___a

где

Это уравнение связывает потоки масс M(0,h) , bi(i,t) и энергий .£(£),£) , Е(1,-к) на входе'и выходе трубы с давлениями р(0, i) , p([tt) , и температурами Т(0г, T(l,i) на границах. Штри-цз У и векторы I , Ik , ГЛ , Т^ , Гг определяются в

.процессе преобразований системы уравнений (46) в уравнение (47).

С помощью операторного уравнения (47) легко формулируются и решаются прямые и обратные задачи моделирования газотранспортных систем. При этом ваконы сохранения потоков масс и энергий в узлах газотранспортной•системы описываются системой линейных алгебраических уравнений вида

Wrc-Irc. (48)

где Угс - блочная структурно-симметричная матрица, образованная из матричных проводимостей элементов соответствующей энергетической цепи, то есть из элементов матриц У , входящих в операторные уравнения труб; - If - блочный вектор изображений параллельных узловых переменных p^ti) 11 Tyd) i которые являются искомыми во всех узлах цепи, ва исключением граничных узлов V£ GrpU • гДе 0Hil могут быть заданы функциями^ рГр ^ и Тгр)) (Qrp у - множество номеров для таких узлов); Ггс - блочный вектор изображений последовательных переменных , образованный элементами векторов 1у , входящих в операторные уравнения труб , г

ег

также изображениям;! функций МГрУ(-£) и Егру(Ь, характерезукщими последовательные переменные в V- м граничном узле (у>в

^гр1 • 0тр1 " множество номеров для таких узлов) .

Численные операторные методы на основе преобразований Ньютона обеспечивают высокую аппрогспгмациоинуа точность при алгебраи-зации уравнений нестационарного течения газа в трубах-и позволяют объединить операторы , характерезухщие разнородные элементы газотранспортной сети ,в единую систему балансовых уравнений вида (40). В процессе преобразования системы уравнений (-16) 1: операторному виду (47) исключаются "внутренние" неизвестные и снижается на порядок размерность репаемой системы балансовых уравнений. В результате достигается необходимое быстродействие программных средств , ориентированных на решение в текуцем времени задач контроля и управления .

В задаче контроля требуется оценить параметры газового потока во всех "внутренних"'И граничных точках пространства,т. е. необходимо .минимизировать фунгаргонал

^ " (А№-№>}*, а /ЪЮ-Т„К)

н

-I

I

2

ГЧ"

т

' и

2

ГР

>1 к(

(

М^ю-М^в)

м,

г Гр

пип.

Км}

(49)

тех " ^аих " ^ГР * где 0-р , йт, йЕ -некоторые весовые коэффициент и; рн ,ТН , Мн -номинальные значения давления , температуры и расхода газ а; рк^(Х) и р/гО, Т,я(-С) И и измеренные и расчетные значе-

ния параметров газового потека в узлах V , образующие множества номеров , , - узлов входа и выхода компрессорных

станций .

При такой минимизации расчетные значения параметров газового потока должны удовлетворять системе уравнений газовой динамики

- 28 -

(46) и системе балансовых уравнений в узлах сети (48).

Сложность математической постановки задачи контроля усугубляется тем , что начальные условия для уравнений в частных производных априори неизвестны. Кроме того, граничные функции сопоставляются с измеренными значениями в' дискретные моменты времени тГ , что свидетельствует о некорректности задачи.

Его решение-в значительной степени упрощается, если воспользоваться системой балансовых уравнений (48) газотранспортной сети, составленной из операторных уравнений труб вида (47). В этом случае вопрос о некорректности задачи ие возникает, а её решение сводится к итерационному формированию другой системы линейных алгебраических уравнений л ог- решении. Итерации выполняются с целью решения нели-к-Лл-х йдгебреизованншс уравнений газовой динамики.

Такой подход был положен в основу комплекса программ для ГГЭЕМ. который в настоящее время используется в ПО "Тюментрансгаз". В диссертационной работе приведены результаты решения задач оперативного управления газопроводами, поставленными специалистами этого производственного объединения.

Особенности применения преобразований Ньютона для решения задач анализа энергетических цепей с элементами, параметры которых распределены в многомерной области, иллюстрируются примером расчета стационарных процессов в пластинчатых теплообменниках.

В заключении резюмируются основные особенности разработанного подхода к исследованию энергетических цепей и его реализации в воде пакетов программ моделирования газотранспортных систем и теплооб-менных устройств. ¡Высокая эффективность этих пакетов позволяет применять их при расчета!: в реальном и ускоренном времени. Таким образом открывается перспективная возможность использовать этот подход при моделировании в реальном времени режимов работы энергоблоков тепловых и атомных станций с учетом полевых эффектов, возникающих в системообразующж устройства}:.

- 27 -

ВЫВОДЫ

1. Реализован новый подход к исследованию энергетических цепей.

2. В рамках этого подхода установлены энергетические аналогии между различными физическими явлениями и получены математические модели элементов, содержащие в качестве неизвестных векторы обобщенных переменных.

3. Алгебрзиэация дифференциальных уравнений элементов энергетической цепи осуществлена с• помощью преобразований Ньютона, порождающих оригинальные численные операторные методы.

4. Предложенный подход обеспечивает преобразование линейных и нелинейный уравнений с обыкновенными и с частными производными к единой численной операторной форме, что позволяет объединять уравнения различных элементов в единую систему уравнений энергетической цепи.

5. Методы, предназначенные для численного моделирования энергетических цепей, были использованы при исследовании цепей с постоянными, переменными и нелинейными параметрами, при моделировании электрических цепей с вентилями, теплообменник устройств, магистральных газопроводов большой протяженности и городских газовых сетей. Ь настоящее время результаты диссертационной работы внедряются в производственном объединении "Тюментраисгаз" в виде программных комплексов контроля режимов работы и оптимального управления газотранспортным] системам:. Ожидаемый экономический эффект от внедрения результатов работы составляет 545 тыс. рублей в год.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах, опубликованкых в печати:

1. А. с. 1476463 СССР, Б 00 Г 15/32 Устройство для решения линейных дифференциальных уравнений /Васильев В. В. , Еереговеша Г. Я., Саух С. Е. и др. (СССР); ШИЭ АН УССР. - !! 4314610/24-24; Еа-явл. 08. 10. 87; Опубл. 03. 01. 89. Еш. I! 16. - 24 с.

2. А. с. 1580359 СССР, В 03 Г 7/64 Цифровой интегратор /Еере-говенко Г. Я , Воробьева II. II , Герпгорин А.Е. , Саух С. Е., Федотов Е. Е. (СССР); ЯШЭ АН УССР. - Н 4487469/24 - 24; Ззявл. 28.09.88; Опубл. 23.07.90. Вол. М 27. - 8 с.

3. Саух С. Е. Решение уравнений для ступенчатых изображений на ЭЕМ "Мир - 2" '*Автоматизация и механизация процессов ннформа-

- 28 -

ционного обеспечения. - Киев, 1977. - С. 8 - 9.

4. Саух' С. Е. О построении штриц осреднения в операторных методах на основе ступенчатых изображений // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1981. - N 10. - С. 80 - 82.

Б. Еереговекко Г. Я., Саух С. Е. Об организации параллельных вычислений при' решешш нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР Сер. А. - 1981. - N 9. С. 65 - 68.

6. Саух С. Е. О синтезе цифровых фильтров с учетом длительности импульсной реакции // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1981. - N 6.

- С. Ё5 - 69.

7. Саух С. ь. , йрмолеько Л. И. О применении частотного подхода к описанию цифро-аналоговых преобразований // E.:eirrpou;ioe моделирование. - 1981. - Б. - С. 12 - 15.

8. Саух С. Е. Об одном способе описания дискретных сигналов // Электронное моделирование. - 1981. - N 3. - С,- 103 - -105.

9. Саух С. Е., Ярмоленко А. 11 К вопросу о влиянии времени анализа на качество спектральных измерений / УгсрШШНГИ. - Киев,

1981. - 9 с. - Деп. в УкрШШГК 12.05.81, N 3033 Ук - 81 Дэп.

10. Саух С. Е. Использование операторных методов 1;а основе ступенчатых изображений в расчете цифровых фильтров //Авт. дне. ... канд.техн.наук. - Ы.: Московский энергетический институт",

1982. - 20 с.

11. Саух С. Е. Излучение решений дифференциальных уравнений с помочью операторных методов на основе 'ступенчатых изображений // •Электронное моделирование.' - 1982. - 11 2. - с. 102 - 104.

12. Еореговенко Г. Я., Саух С. Е. Об одной параллельно-последовательной процедуре решения■дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Электронное моделирование. - 1982. -N 4. - С. 105 - 103.

13. Саух С. Е. Применение ступенчатые: изображений при дискретном описании аналоговых фильтров //Электронное моделирование.

- 1983. - И 3. - С. ,90 - 91.

14. БерегоЕенко' Г. Я. , Саух С. Е. Оценка точности численных схем, преобразующих ступенчатые изображения/ УкрНШШТЛ - Киев, 1984. - 18 с. - Деп. • в УкрЮШНГИ 28.11. 84, II 1974 Ук - 84 Дэп.

15. БерегоЕенко Г.Я., Саух С.Е. Особенности операторов, пре-обраэущцх ступенчатые изображения при решении систем дифференциальных уравнений // Электронное' моделирование. - 1984. - N 6. -С. 7 - 10.

16. Саух С. Е. Дискретизация аналоговых фильтров с помощью ступенчатых изображений // Вычислительная техника и моделирование в энергетике. - Киев: Наукоаа ду1.1ка, 1984. - С. 58 - 63.

17. Саух С.Е. "Об одном способе дискретизации уравнений нестационарного течения гага в трубах // Моделирование - 85. Теория, средства, применение: Тез. докл. Всесоюзной конференции. - Киев: Кн-т проблем моделирования в энергетике АН УССР, 1985. -44.-С. 33.'

18. Береговенко Г. Я., Саух С. Е. Численные схемы преобразования ступенчатых изображений функции двух переменных ,и их применение для решения уравнений нестационарного течения.газа в трубах// Электронное моделирование. - 1986. - ИЗ. - С. 55 - 61.

19. Саух С. Е., Проценко К I.Í. .Эффективный метод машинного моделирования магистральных газопроводов большой протяженности // •Докл. АН УССР. Сер. А. - 1986. М 1. - С. 67 - 69.

20. Саух С. Е. Анализ нестационарных процессов течения газа в трубах с применением ступенчатых изображений // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1986. - Н 4. - С. 79 - 82.

21. Саух С. Е. G5 одном способе дискретизации уравнений нестационарного течения'газа в трубах / ' Теория и применение моделирующее систем. - Киев: Наукова думка, 1986. - С. 151 - 156.

22. Береговенко Г. Я , Саух С. Е. Параметрическая схема преобразования ступенчатых изображений и многошаговые методы численного решения дифференциальных уравнений //Электронное моделирование. - 1987. - Н 5. - С. 7 - 11.

23. Саух CiE. Особенности математического моделирования газотранспортных систем. - Киев, 1987. - 48 с. (Препринт/АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике ; N 94).

24. Саух С. Е. Опыт использования операторных методов на основе ступенчатых изображений для расчета нестационарных процессов в магистральных газопроводах // Нелинейные задачи математической физики: Тез. докл. VI Республиканской конференции. - Донецк: Ин-т прикладной математики и механики АН УССР, 1987. - С. 133.

25. Саух С. Е. Блочно-рекурсивный алгоритм решения краевых задач с помощью локальных интегро-дпфференциальных преобразований //Теоретические основы и конструирование численных алгоритмовв решения задач математической физики: Тез. докл. VII Всесоюз. семинара. - Кёщерово: Ин-т теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1983. - С. 101.

26. Саух С. Е. Локальные интегро-дифференциальные преобразования одномерных функций и уравнений. - Киев, 1986. - 53 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике;

1N 142).

27. Саух С. Е. Локальные интегро-дифференциальные преобразования дифференциальных уравнений // НоЕые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. II Есесоюз. конференции. -Москва: ЕЦ АН СССР, 1989. - С. 145.

28. Еереговенко Г. Я., Саух С. Е. Особенности задания функций на множестве конечноразрядных чисел. - Киев, 1989. - 48 с. (Препринт/АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике; 89-9).

29. Саух С. Е., Гершгорин А. Е. Особенности моделирования на ЭВМ многотх'.-ьых компрессорных станций //Докл. АН УССР.. Сер. А. -I960. - N 2. - С. 79 - 81.

30. Саух С. Е., Гершгорин А. Е. Моделирование режимов работы многоцеховых компрессорных станций. - Киев, 1989. - 42 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетик ; 89-3).

31. Саух С. Е. Численные операторные методы на основе многомерных локальных интегро-дифференциальных преобразований//Ызте-матическое моделирование в энергетике: Тез. докл. Всесоюзной на-учно-техн. конференции. - Киев: Ин-т проблем моделирования в энергетике АН УССР, 1990. - Ч. 4. - С. 80.

32. Саух С. Е. Многомерные локальные интегро-дифференциальные преобразования функций и уравнений в частных производных //Mathematical Modellings and Applied Mathematics: Abstracts of International IMACS Conference. - Moscow - Vilnius: M. V. Keldysh Institute of Applied Mathematics, USSR Academy of Sciences, 1990. - p. 44.

33. Саух С. E. Обратные задачи моделирования энергетических цепей с распределенными параметрами//Проблемы комплексной автоматизации: Труды IV Шждународной научно-технической конференции. -Киев: КПИ, 1990. - С. 133 - 137.

34. Саух С. Е. . Гершгорин А. Е. Применение локальных интег-ро-дифференциальных преобразований для решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Теория дифференциальных преобразований и ее приложения. - Киев: Наукова думка, 1990. - С. 79 - 85.

35. Саух С. Е. Численные операторные методы на основе локальных интегро-дифференциальных npe06pa30BaHnñ//Elektr0techmka

r Tom 9. Zessyt 3-4. - Krakow: Wydawnictwo AGH, 1990. - s. 297 -303.

36. Саух С. E. Многомерные локальные ин'тегро-дифференциальные преобразования функций и дифференциальных уравнений. - Киев,

1990. - БЗ с. (Препринт/АН УССР. Гя-т проблем моделирования в энергетике; 90 - 34).

37. Саух С. Е. Экотехнологическиэ задачи моделирования газотранспортных ,систем//Проблемы экологии и ресурсосбережения: Тез. докл. научно, -техн. конференции. - Черновцы: ЫВ и ССО УССР,

1991. - Ч. 3. - С. 93.

28. Saukh S. Е. Multidimensional Local Integrodifferential Transformations of Functions and Partial Differential Equations //Mathematical Modelling and Applied Mathematics: Proceedings or' the International Conference held in toscow, June 18 - 23, 1990. - North Holland / Elsevier (Amsterd&n), 1991. p. 190 - 193.

Личный вклад автора: В работах 1, 2, Б, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 19, 22, 28, 29, 30, 34, выполненных в соавторстве, основные идеи и теоретические результаты принадлежат лично автору.

Подписано и печати OS,0/. l99Zr. Формат G0xB4/I6 Бумагл офсетная Усл.-печ.лист.а,0. Уч.-изд.лист 1,0, Тира» 100. Заказ 2.8. Бесплатно

Полиграф, уч-к Института электродинамики ЛИ Украины 252057, Кнев-57, проспект Победы, 56.