автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели с нелинейными, немонотонными операторами и теоремы существования в них положительного решения

На правах рукописи

Ковалева Ирина Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ, НЕМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ В НИХ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Специальность 05.13.18. - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь, 2004

Работа выполнена на кафедре математических и естественнонаучных дисциплин Северо-Кавказского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алтухов Виктор Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перепелица Виталий Афанасьевич кандидат физико-математических наук, доцент Толпаев Владимир Александрович

Ведущая организация: Ростовский государственный

университет (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится «14» мая 2004 года в 15.00 на заседании диссертационного совета К 212.245.02 по присуждению ученой степени физико-математическим и техническим наукам в Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, зал заседаний. Отзывы на автореферат направлять по адресу: 355029 г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу/355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

Автореферат разослан: «27» марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук ¿^бЁ^*' О. С. Мезенцева

ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ

Актуальность проблемы

Работа посвящена развитию методов отыскания положительных решений операторных уравнений и разработке-процедур сходимости этих решений в соответствующих экономических и физических моделях.'

Во многих задачах математической физики вопрос о существовании неотрицательного решения х' (т.е. решзния, являющегося элементом конуса К неотрицательных векторов пространства Е) крайне актуален и в первую очередь в тех задачах, когда речь идет о решениях, имеющих экономический или физический (сугубо положительный) смысл. Действительно, в раде задач, которые сводятся к уравнению типа (0.1) оно, как правило, является либо уравнением межотраслевого баланса и описывает, связи между искомым вектором х' валового выпуска продукта и вектором / чистого выпуска, либо, как, например, в задачах о фазовом переходе искомый вектор т* (0.1) представляет собой энергию (положительную собственную или энергию связи в системе).

Тем самым, возникает необходимость в разработке и развитии методов исследования операторных уравнений (моделей) вида

x = F$)+J (0.1)

с линейным или нелинейным и неположительным оператором действующим в линейном банаховом пространстве, в котором введена полуупорядоченность при помощи конуса К М.Г.Крейна. Рассмотрение уравнения вида (0.1) в пространстве со структурой порядка, особенно важно в тех случаях, когда речь идет о_существовании решения х', обладающего свойством неотрицательности х' > в, а также когда требуется сравнение' решений дг,, х,, соответствующих разным значениям свободного-члена связанных между собой неравенством До недавнего' времени, в соответствующей математической литературе в уравнениях типа (0.1) рассматривались в основном положительные и линейные операторы, т.е. такие, что /"(*)><) при х^О или монотонные операторы, т.е. такие, что при х\ '¿.хг имеем:F^xJàF^î) [S, 20, 37, 41, 50]. Для построения теории таких уравнений были развиты соответствующие методы исследования. Однако, в связи с расширением класса прикладных задач (экономические задачи с учетом аспектов экологии или задачи о фа-' зовом переходе в физической системе), возникает необходимость рассматривать нелинейные уравнения вида (0.1) с неположительными и немонотонными операторами F(.*) с целью выяснения существования положительного решения в таких уравнениях. Возникла потребность в развитии

з

методов отыскания положительных решений с нелинейными, немонотонными и неположительными операторами для моделей типа (0.2) и (0.4).

Приведем два важных, интенсивно разрабатываемых для практических целей примера.

(а) Так математическую модель производства, учитывающую состояние экологического фактора окружающей среды, можнэ и удобно записать в общем виде

Здесь х еЛ* ,у е К", соответственно, вектор валового выпуска полезного продукта и вектор вредных отходов, выделяемых в процессе производства в окружающую среду и подлежащий уничтожению, с целью поддержания экологического состояния среды на определенном (заданном) уровне;

векторы чистого выпуска полезного продуктам остаточного уровня вредных отходов, после уничтожения в окружающей среде вектора у вредных отходов, соответственно; Л, ,-(ттг) технологическая

матрица (элемент этой матрицы показывает, что для производства одной единицы ] - го продукта необходимо - в силу принятой технологии производства затратить а^ единиц, или долей единиц i - го продукта). Соответственно А12у и -Апу векторы затрат полезного продукта на уничтожение (понижение содержания в окружающей среде) вектора у вредных отходов и полезного продукта, получаемого при утилизации вектора у вредных отходов, векторы вредных отходов, выделяемых, в ок-

ружающую среду в процессе производства валового вектора х полезного продукта и дополнительно выделяемых в окружающую среду в процессе экологической деятельности.

(б) Другим важным примером является фононная модель структурного фазового перехода, которую в операторной форме можно предста-витькак _

где Щ1,х) - оператор группы / - преобразований сжатия В явном виде для сегнетоэлектриков - кристаллов эта модель определяется замкнутой системой уравнений [8].

(0.2)

или конкретно в виде модели Леонтьева и Форда [431:

(0.3)

где 1 множитель масштабного преобразования сжатия (растяжения), а импульсы д берутся в интеграле по d"q из актуальные области 0„= Л//<]?)<А; - квадрат частоты мягкой моды, е-4 — п,

с11=4х(а/2л)" - постоянная, характеризующая объем единичной сферы в обратном п-мерном q - пространстве, соа частота активного .при фазовом переходе затравочного мягкого фонона, /,2„ четырехфононная эффективная вершина. В изотропном случае /,0и4 = {Рй1В)(5п5м +<5^<УМ + <5"м^гэ) в первом порядке по константе связи

Таким образом, именно указанный класс уравнений-типа (0.2), (0.4) с немонотонными, неположительными, часто нелинейными операторами исследуется в данной диссертационной работе. Конкретно речь идет о развитии методов получения положительных решений и определении неподвижной точки применительно к двум актуальным моделям: (а) к модели Леонтьева - Форда межотраслевого баланса, учитывающей состояние окружающей среды и (б) к фононной модели структурного фазового перехода с / - масштабными преобразованиями сжатия..

Цели и задачи исследования заключаются в развитии методов отыскания неотрицательных решений с нелинейными, немонотонными и неположительными операторами и обобщении теоретических положений и теорем существования и единственности положительного решения, неподвижных точек для рассмотрения решений математических моделей (0.2),(0.3) и (0.4), (0.5). Важным моментом является разработка процедур сходимости положительных решений операторных уравнений в соответствующих математических моделях.

Модель (0.2) фактически предполагает, что часть уничтожаемых вредных отходов утилизируется в полезный продукт, а в процессе природоохранной деятельности возможно создание дополнительных вредных отходов и является моделью с неположительными элементами (~62) для которой актуальна проблема существования неотрицательного решения х' '¿О, у к0 при заданных неотрицательных векторах Ь, Ь. Причем,

операторы в правой части уравнений системы не обладают свойством монотонности. В общем случае рассматриваются монотонно разложимые операторы.

Линейный оператор А называется монотонно разложимым оператором, если

где Д, А, - линейные, положительное операторы.

Каждая вещественная матрица является монотонно разложимым оператором и представление (0.5) для матрицы А не единственное, т.к. для любой неотрицательной матрицы В соответствующего порядка, наряду с (0.6) имеют место представления

Для модели (0.2) и (0.4) важным является вопрос о существовании неподвижной точки и построение траектории эволюции отклонения от этой неподвижной точки, а также получение оценок относительной погрешности приближенного решения и численных значений критических показателей состояния системы.

Для уравнений с монотонными операторами в пространствах с сильно миниэдральным конусом К (конус К в банаховом пространстве Е называется сильно миниэдральным. если в этом пространстве каждое ограниченное сверху по конусу К множество элементов имеет супремум, т.е. точную верхнюю границу) справедливо обобщение принципа Биркгофа о неподвижной точке, когда пространство Е полуупорядочено телесным, нормальным и миниэдральным конусом.

В связи с выше сказанным, в данной диссертации целями и результатами исследования являются следующие положения.

1. Изучение двух математических моделей: модели Леонтьева -Форда межотраслевого баланса, существенно учитывающей состояние окружающей среды и фононной модели структурного фазового перехода в сегнетоолектриках на предмет существования положительного решения, неподвижных точек и получения оценок погрешностей приближенного решения.

2. Получение признаков существования положительного решения, для операторных уравнений и моделей в банаховом пространстве с немонотонными операторами, обладающих свойством монотонной разложимости.

3. Выделение и описание признаков принадлежности соответствующему классу равномерно - вогнутых операторов, которые, являются операторами обобщенного сжатия метрического пространства < > в- некоторой специальной метрике вводимой с помощью отношения полуупорядоченности и получение новых признаков равномерно - вогнутых нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна в терминах свойства равномерности ядра и оценки степени близости последовательных приближений к решению уравнения с оператором обобщенного сжатия.

4. Доказательство нового принципа обобщенного сжатия метрического пространства в некоторой специальной метрикеd(x,y) для уравнений с так называемыми равномерно ий - вогнутыми операторами и применение этого принципа для получения оценки относительной погрешности приближенного решения.

5. Получение теоремы о сравнении решений уравнений с параметром А и принципа существования положительного решения для уравнений с операторами, являющимися операторами растяжения (сжатия) конуса.

6. Применение доказанных теорем и признаков к известным математическим моделям: модели межотраслевого баланса и модели фазового перехода 2-го рода; показать сходимость метода итерации в модели межотраслевого баланса и определить неподвижные точки в модели структурного фазового перехода второго рода.

Методы исследования_

В диссертационной работе использованы, понятия и методы Тгории функциональных и. операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами,' действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах, численные методы последовательных приближений. Применяемые в диссертации методы исследования, позволяют: обобщить утверждение принципа Бйркгофа на случай уравнений с немонотонными операторами, доказать теоремы существования, в том числе применительно к двум математическим моделям с операторами сжатия или растяжения.

Научная новизна

Развиты методы отыскания неотрицательных.решений _х'., с нелинейными, немонотонными и неположительными операторами для математических моделей (0.2) и (0.4). Рассматриваются модель межотраслевого баланса и фононная модель фазового перехода с нелинейными оператора-:. ми, не обладающими свойствами положительности или монотонности на предмет выяснения условий существования положительных решений и неподвижных точек у этих уравнений:' 11

Научная новизна заключается в выяснении условий существования положительного решения для существенно, новых классов нелинейных, уравнений и моделей (теоремы 4.2,4.3, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5).

В диссертации получены результаты, научная новизна которых заключается в доказательстве теорем существования положительных решений для новых типов операторных уравнений, для которых ранее не были известны теоремы существования (единственности) положительных решений по причине отсутствия соответствующих свойств у рассматриваемых типов операторов.

Из результатов диссертации особо выделим следующие моменты:

- выделены и описаны признаки принадлежности соответствующему классу равномерно - вогнутых операторов; доказан новый принцип обобщенного сжатия метрического пространства в некоторой специальной метрике с!(х;у) для этих операторов;

- способ сведения уравнений с монотонно разложимыми операторами к изучению уравнений с монотонными операторами, для уравнений межотраслевого баланса;

- получены новые признаки равномерно - вогнутых нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна в терминах свойства равномерности ядра и оценка степени близости последовательных приближений к решению уравнения с оператором обобщенного сжатия; признаки существования в конусе К неподвижной точки для уравнений с равномерной - вогнутым нелинейным оператором, с последующим использованием этого принципа в теории фазового перехода;

- найдены признаки существования и единственности в конусе К неподвижной точки у уравнения г оператором Аи принцип существования положительного решения для уравнений с операторами, являю- -щимися операторами растяжения (сжатия) конуса (в модели фазового перехода);

- получены оценки относительной погрешности приближенного решения для модели межотраслевого баланса

- в модели фазового перехода второго рода х = /?(/,х) определена неподвижная точка и исследовано критическое поведение хараетеристик системы; найдены числовые значения критических индексов а, р, у, у, г].

Достоверность результатов иссчедования, полученных в данной работе, следует из математической строгости постановки задачи и методов ее решения, а также из совпадения полученных результатов, с известными результатами из литературы для частных случаев.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в развитии раьее известных теорем существования и единственности для более узких классов нелинейных операторных уравнений на существенно более широкие типы нелинейных операторных уравнений. Полученные в работе результаты позволяют решить задачу о существовании положительного решения нелинейных математических моделей вида (0.1), задачу о наличии неподвижной точки у моделей (0.3) и (0.5); оценить относительную

погрешность приближенных решений; найдены численные значения критических показателей поведения физической системы.

На защиту выносятся следующие основные положения

1 Развиты методы отыскания положительных решений и разработана процедура сходимости этих решений в математических моделях: (а) модели, учитывающая экологическое состояние окружающей среды и возможности утилизации вредных отходов и (б) модели с оператором сжатия (или растяжения) группы преобразований в теории фазо-

1

вых переходов, с которыми связано использование принципиально новых типов нелинейных, немонотонных операторных уравнений типа (0 2) и (0.4).

2. Способ сведения уравнений с немонотонными операторами к уравнениям с монотонными операторами и применительно к модели межотраслевого баланса и модели фазового перехода второго рода;

3. Показано существование и единственность положительного решения в нелинейной модели межотраслевого баланса и получены оценки вида

представляющую собой ЯВНУЮ относительную погрешность приближений х» (л = 1,2,3,...) к точному решению х'

4 Новый принцип обобщенного сжатия метрического пространства в некоторой специальной метрике для уравнений с равномерно

и0- вогнутыми операторами, являющимися операторами обобщенного сжатия метрического пространства с последующим использованием этого принципа в теории фазового перехода.

5. Найдены признаки равномерно - вогнутых нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна в терминах свойства равномерности ядра и оценка степени близости последовательных приближений к решению уравнения с оператором обобщенного сжатия.

6. Принцип существования положительного решения для уравнений с операторами, являющимися операторами растяжения (сжатия! конуса, новые признаки существования и единственности в конусе К неподвижной точки для уравнений с равномерной и0 - вогнутым нелинейным оператором в модели фазового перехода.

7. В фононной модели фазового перехода второго рода г I -преобразованиями сжатия найдена неподвижная точка и оп-

ределены численные значения критических показателей

а, /?, у, V, г].

Апробацияработы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на научно - практических конференциях Северо-Кавказского государственного университета (1999, 2001, 2002, 2003, 2004г.г.), на III межрегиональной научной конференции « Студенческая наука - экономике России», на II международной конференции «Циклы», в издательстве вузов Северо -Кавказких регионов. Естественные науки. Спецвыпуск.

По теме диссертации издано 10 научных публикаций, из которых 4 тезисов докладов и 6 научных статей. Эти работы выходили на внутри вузовских, межвузовских и международной конференциях, депонированы в ВИНИТИ, одна работа издана в СКНЦ (г. Ростов - на - Дону).

Структура и объем duccepmav ионнойработ ы

Данная диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Краткое содержаниеработы

Е о введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и научная задача, отражены научная новизна и практическая ценность результатов работы, описываются постановки основных задач, излагаются основные проблемы, а также приводится обзор основных результатов.

В главе 1 приведен обзор литературы, подводящей определенные итоги и результаты ранее проведенных исследований по проблеме изучения уравнений и моделей вида (0.1) — (0.5) Предложена более общая постановка конкретных, задач исследэвания. В конце главы определяется цель работы, ставятся задачи, определяются их актуальность, формулируются выводы.

В главе 2 «Нелинейные уравнения и модели с немонотонными и неположительными операторами. Вопросы сходимости последовательных приближений в моделях отраслевого баланса» приводятся примеры соответствующих уравнений и моделей. Для установления существования положительного решения доказана следующая теорема.

Теорема2 1

Пусть ^¡(х) - оператор, действующий в пространстве Е и обладающий свойствами, из принадлежат области определения оператора с о д е р ж а щ^ейс ^е дует, ч т /^Д^т . является

антимонотонным. Пусть далее, конус К нормален, оператор ¥х(х) вполне непрерывен и для всех х, х е К^ \ в.

Тогда существует в ненулевое решение уравнения

х~Г{х\ (О 7)

То есть для антимонотонного, вполне непрерывного оператора в нормальном конусе К для всех хеК существует положительное решение операторного уравнения (0.7).

Затем в главе 2 рассматривается класс антитонных операторов и доказывается теорема о единственности положительного решения для таких операторов.

Пусть оператор ¥(х) антитонен на множества элементов л е удовлетворяющих неравенству ,

где йг(х)>-0 п рсмби /крометого,

<~А/=■(*), если (> 1,

F(tx)<

ГЛр(х\ если 0<f £1,

(0 8)

где рк, рг некоторые положительные постоянны, - фиксированный ненулевой элемент конуса К0 Тогда справедлива теорема 2 2. Теорема 2 2 (О единственности решения)

Пусть для элементов хе б{х)иЛ (<5(т)>0) выполняется условие

(0 9)

где ¡л = ц{х) > 0, V = ^(х) > 0 при х>в. Пусть из неравенства х,>хг, х„хгеКа и

3,щ<х, <а,ий, 0=1,2)

следует неравенство

(Д>0> (0.10)

Наконец, пусть выполняются условия

,

Тогда оператор ¥(х) может иметь в,Ка не более одной неподвижной точки.

Отметим, что в случае,-когда выполняются неравенства р,<1, рг< 1

а условиях теорем 2.1 и 2.2, оператор Рг{х) является монотонным и равномерно вогнутым и в этом случае единственность неподвижной точки у оператора ¥(х) В конусе К вытекает из свойств равномерно вогнутых

операторов. Интересным является то, что и в случае рх = рг = 1 теорема 2.2 так же обеспечивает единственность положительного решения. В случаях теорем 2.1 и 2.2 уравнение

при всех А > 0 имеет единственное решение

х=*(Л)еЛГ0, х*в.

Следующая теорема позволяет сравнить решения х(Л), отвечающие разным значениям параметра

Теорема 2.3. (О сравнении решений). Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и 2.2. Тогда из неравенства Л1<Л1 ел едует неравенство.

В свете теорем 2.1 - 23 интересен вопрос о том, каким образом можно найти приближения к решению уравнения (0.7). На этот вопрос отвечает следующий результат, приведенный в § 4.

Теорема 2 4 (О сходимости метода последовательных приближений). Пусть выполнены условия теоремы 23, причем р, <1, рг<\.

Тогда последовательные приближения

(»» = 0,1,...)

сходятся к единственному в конусе К решению х'{Х) уравнения Лх = р(х)

при любом начальном приближении

Далее рассмотрена нелинейная модель отраслевого баланса (модель Леонтьева - Форда)

Решение этой задачи (ху у) можно найти в явном виде методами итераций с оценкой близости:

в соответствии с утверждениями теоремы 2.4.

В главе 3 рассмотрена оценка относительной погрешности решения уравнения с оператором обобщенного сжатия.

Хорошо известен принцип Банаха сжатых отображений и широкие его возможности для применения к доказательству теорем существования и единственности решения уравнений различных классов (линейных и нелинейных алгебраических систем уравнений, интегральных уравнений, задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения или систем дифференциальных уравнений-и др.). Существует более широкий класс операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах и являю-

щихся операторами так называемого обобщенного сжатия Приведем соответствующее определение.

Пусть (Х,р) метрическое пространство с метрикой р, полное по этой метрике, А(х) - оператор, действующий в X, удовлетворяющий условию

р[а(х1аШРМ-&[Р(х>У)]>

где Д = д(м) некоторая непрерывная функция, обладающая свойствами

1) д(и)> 0 при и > 0 и Д(0}=0;

2) функция возрастает при и > О.

Оператср Л(х), удовлетворяющий этим условиям, называется оператором обобщенного сжатия.

Ясно, что каждый оператор сжатия является одновременно оператором обобщенного сжатия, обратно неверно (так, например, равномерно вогнутые операторы, изучаемые в работе, представляют примеры операторов обобщенного сжатия, не являющиеся, вообще говоря, операторами сжатия).

Тем интереснее, устанавливаемый, в работе принцип неподвижной точки для операторов обобщенного сжатия, имеющий самое непосредственное применение к доказательству теоремы существования положительного решения уравнения с равномерно вогнутым оператором Теорема 3 1.

Пусть оператор А(х) преобразует в себя полное метрическое пространство (Х,р) и является оператором обобщенного сжатия этого пространства.

Тогда А(Х) имеет в(Х,р) единственную неподвижную точку х*

40=*"

и к этой неподвижной точке сходятся последовательные приближения

(и=од/)

при любом начальном приближении х0 е (Х,р).

При этом может быть указана оценка близости р(хп,х') приближения к неподвижной точке .

Так на рисунке 1. (а) и (б) представлена скорость сходимости (число шагов - итераций) согласно

и > 1п£ + 1п(1 -д)- 1пр(х„х0) = (01])

1пд

как функция заданной точности (г) для четырех значений метрики' (р = 3, 6; 9, 12) и для значений параметра сжатия д = 0,1 (а) и q = 0,5 (б)

1 ' Рис. 1. Скорость сходимости (число шагов - итераций -п(4 л1(4 п2(е\ иЗ(г)) согласно (0.11) как функция заданной точности

(е) для четырех значений метрики (р = 3; 6; 9; 12 снизу вверх, соответственно) и для значений параметра сжатия q = 0,1 (а) и q = 0,5 (б)

Видно, что при q - 0,5 скорость сходимости метода последовательных приближений (n=20-22) в два, три раза выше, чем в случае сжатия при 9 = 0,1.

В теории монотонных операторов известен также еще один важный принцип неподвижной точки — принцип Биркгофа для монотонного отображения А{Х) В пространстве с сильно миниэдральным конусом. Однако не каждый миниэдральный конус обладает свойством сильной миниэд-ральности, и это ограничивает возможность применения этого принципа.

В этой связи в § 4 этой главы изучается возможность получения аналога этого принципа для операторов, действующих в пространствах, конус которых не обладает свойствами сильной миниэдральности в предположении, что сам оператор обладает некоторыми дополнительными свойствами (например, свойством компактности).

Установлена справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.2.

Каждое компактное ограниченное сверху (снизу) по конусу К, множество элементов имеет точную верхнюю (соответственно, точную нижнюю) грань.

В качестве следствия этой теоремы получаем развитие принципа Биркгофа на монотонные компактные отображения конусного отрезка < u,v > в себя в случае пространства с нормальным конусом:

Пусть А(х) монотонное и компактное отображение конусного отрезка < и, v > в пространстве Е с нормальным конусом К:

A{u)Zu,

Тогда А{Х) имеет на отрезке <и,у>, по крайней мере, одну неподвижную точку.

Затем утверждение принципа Биркгофа распространяется на некоторые классы немонотонных отображений С этой целью выделяется класс так называемых монотонно разложимых отображений. По операторам А, А, для которых имеет место равенство (0.6) построим теперь оператор

действие которого на элемент определим формулой

А1-(А,х-Агу,-А2х+А,у) (О13)

Замегим, что в случае конечномерного пространства каждое линейное отображение является монотонно разложимым отображением

В § 5 изучаются уравнения с разномерно вогнутыми операторами Оказывается, что такие операторы являются операторами обобщенного сжатия в одной специальной метрике, введенной в свое время Г Биркго-фом, а само полуупорядоченное пространство Е является в этой метрике полным метрическим пространством, если конус К нормален Это позволяет использовать результаты § 4 для доказательства теоремы существования положительной неподвижной точки у уравнений с равномерно вогнутыми операторами

Приведены признаки равномерной - вогнутости важного класса нелинейных операторов, каковым является класс нелинейных интегральных опера горов типа Гаммерштейна

В главе 4 изучаются уравнения содержащие параметр на предмет существования положительных решений, то есть эта глава посвящена изучению нелинейных уравнений

Лх - А(х)

с нелинейными операторами на предмет существования для этого уравнения положительного решения

для некоторого множества значений параметра

Наконец, последняя глава 5 посвящена нелинейным уравнениям, содержащим параметр Л с оператором А(Л), являющимся оператором растяжения и аи сжатия конуса на предмет существования у таких операторов неподвижных точек, принадлежащих конусу К В этой паве в §4 приведен пример существования неподвижной _точки шуппы ренормализацион-ных преобразований сжатия (растяжения^ *==/?(/,*) В модели структурного фазового перевода второго рода уравнения (0 4) и (0 5) можно представить в эквивалентной форме

Здесь 1 масштабный множитель траектории отклонении Дг(/)=:г — г',

ш{1) = и~и'.

Начало движения характерных параметров системы г = и = 0, определяется гауссовской неподвижной точкой

и в соответствии с (0 14) представлено траекториями движения на рис. 2.

Да(/) = и—и* с началом движения из неподвижной точки (г ,&*), обозначенной звездочкой (1); изинговая неподвижная точка обозначена черяым кружком (2).

Получены численные значения критических индексов для сегнетоэлек-триков, которые в целом находятся в согласии со значениями этих показателей, рассчитанных рядом авторов с использованием различных приближений. Кроме того, в соответствии с гипотезой универсальности, они согласуются со значениями показателей для ферромагнетиков или для переходов типа- пар-жидкость. Найдены значения критических показателей

а, Р, V, у, П -

а =0,166; у = 0,583, Г = М66; Р = 0,334; 77 = 0,06.

Они могут быть использованы при описании и классификации особенностей поведения кинетических характеристик системы, например теплопроводности сегнетоэлектриков, около температуры фазового переход \

Взаключении сформулированы основные результаты, попученные входе исследования

В данной диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Развиты методы отыскания положительных решений и разработана процедура сходимости этих решений в математических моделях: модели Леонтьева-форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды и предусматривающая возможности утилизации вредных отходов, возникающих в процессе производства и модели с оператором сжатия (или растяжения) ренормализационной группы преобразований в теории фазовых переходов.

2. Указан способ сведения уравнений с монотонно разложимыми операторами к изучению уравнений с монотонными операторами.

3. Доказан новый принцип обобщенного сжатия метрического пространства в некоторой специальной метрике й(х\у) для уравнений с равномерно и0 - вогнутыми операторами и применение этого принципа для" получения оценок относительной погрешности приближенного решения.

4. Указаны новые признаки равномерно иа - вогнутых нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна в терминах свойства равномерности ядра и оценка степени близости последовательных приближений к решению уравнения с оператором обобщенного сжатия с последующим использованием этих признаков в теории фазоного перехода.

5. Доказана теорема о сравнении решений уравнений с параметром Я и обобщен принцип существования положительного решения и неподвижной точки для уравнений с операторами, являющимися операторами растяжения (сжатия) конуса и уравнений с равномерной - вогнутым нелинейным оператором в модели фазового перехода.

6. "Получена оценка относительной погрешности приближенного решения для нелинейной модели межотраслевого баланса в виде

где постоянная

и N - постоянная нормальности конуса К (как правило N=1). 7. Найдгна неподвижная точка группы ренормализационных преобразований сжатия (растяжения) в модели структурного фазового перехода

второго рода. Получены численные значения критических индексов для сегнетоэлектриков а, р, V, у, Т].

Основныерезультаты по материалу диссертации опубликованы в следующих^работах:

1. Алтухов В.И!, Ковалева И.Н. Уравнение типа Бете-Солилтера для корреляционной функции ток-ток. // Материалы XXXI научно-техническая конференция ППС, аспирантов и студентов Сев.Кав. ГТУ, г. Стаьрополь, 2001 г. - с. 50-51.

2. Ковалева И.Н., Сгеценко В.Я. Проблемы существования положительного решения у операторного уравнения с немонотонным неположительным оператором. // Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках: сб. науч. тр. I региональной научной конференции студентов и преподавателей- Георгиевск, 2001г. с. 41 - 42.

3. Ковалева И.Н. Принципы неподвижной точки у уравнения с оператором обобщенного сжатия. // Материалы третьей межрегиональной научной конференции «Студенческая наука - экономике России» -том первый, Ставрополь, 2002г. с. 73 - 74.

4. Ковалева И.Н. Нелинейные операторные уравнения с антитонным оператором, содержащий параметр // Материалы третьей межрегиональной научной конференции «Студенческая наука - экономике России» - том первый, Ставрополь, 2002г. с. 78 - 79.

5. Ковалева И.Н. Уравнения с равномерно-вогнутыми операторами. Метрика Биркгофа. // Циклы. Материалы междисциплинарного научного семинара вузов Северо-Кавказского региона. Вторая часть. Ставрополь, 2002г. с. 112 - 114.

6. Ковалева ИН. Признаки равномерной «0- вогнутости нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна. ( Северо - Кавказский государственный технический университет - Георгиевск. 2003.- 8 с-Библиогр. 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ ).

7. Ковалева И.Н., Алтухов В.И. Существование неподвижных точек у операторов, являющихся операторами растяжения (сжатия) конуса. ( Северо - Кавказский государственный технический университет -Георгиевск, 2003.- 12 с. - Библиогр. 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ ).

8. Алтухов В.И., Ковалева И.Н., Ростова А.Т. Корреляционная функция ток-ток и неподвижная точка в изотропной фононной мэдеаи сегне-тоэлектрика. ( Северо - Кавказский государственный технический университет - Георгиевск, 2003.- 9 с - Библиогр. 15 назв. - Рус - Деп. в ВИНИТИ).

9. Ковалева И. Н. Об одном развитии принципа Биркгофа неподвижной точки для компактного монотонного отображения пространства Е в себя. { Северо - Кавказский государственный технический университет - Георгиевск, 2003.- 16 с. - Библиогр. 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ).

10. Алтухов В.И., Ковалева И.Н., Стеценко В.Я. Неподвижные точки в математических моделях с операторами растяжения или сжатия конуса. // Известия вузов Северо - Кавказких регионов. Естественные науки. Спецвыпуск, г. Ростов - на - Дону, 2004. с. 111.

Изд лиц. серия ИД № 00502 Подписано к печати 23 03 04 г.

Формат 60x84.1/16 Усл. печ л. - 1,3. Уч -изд. л. -1,0

Бумага офсетная Печать офсетная. Заказ 955 Тираж 1 СО экз Северо-Кавказский государственный технический университет 355029 г. Ставрополь пр. Кулакова, 2

Отпечатано в типографии СевКавГТУ Издательство Северо-кавказского государственного техническою университета

№- 66 5 6

Введение

1 Основные уравнения

1.1 Квазиклассическая теория сверхпроводимости.

1.2 Поверхностные состояния.

2 Низкотемпературная аномалия в эффекте Мейсснера

2.1 Отклик Андреевских поверхностных состояний на магнитное поле.

2.2 Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике.

2.3 Эффект Мейсснера.

2.3.1 Борновские примеси.

2.3.2 Унитарные примеси.

2.4 Спонтанный ток.

2.5 Заключительные замечания.

3 Нелинейный эффект Мейсснера при низких температурах

3.1 Нелинейный отклик андреевских состояний.

3.2 Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме . 44 3.2.1 Влияние примесей и поверхностных уровней.

3.3 Заключительные замечания.

4 Влияние беспорядка у поверхности на транспортные свойства сверхпроводников

4.1 Примесные состояния. 4.1.1 Точечная примесь вблизи (110) поверхности.

4.1.2 Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости.

4.1.3 Волновая функция примесного состояния в рамках уравнений Горькова.

4.2 Модель приповерхностного грязного слоя

4.2.1 Влияние поверхностных дефектов на нулевой уровень

4.2.2 Случай малой поверхностной концентрации дефектов

4.2.3 Припороговая концентрация дефектов.

4.2.4 Грязный слой произвольной толщины.

4.2.5 Большая концентрация примесей.

4.3 Заключительные замечания.

Теоретические и экспериментальные исследования транспортных и термодинамических свойств сверхпроводящих соединений являются важными для понимания природы сверхпроводящего состояния в этих веществах. Многие экспериментальные факты, в том числе и фазочувствительные исследования, свидетельствуют в пользу того, что параметр порядка в купратных высокотемпературных сверхпроводниках, сверхпроводниках с тяжёлыми фермиона-ми и в соединении 8г2Ки04 является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы [1,2,3,4] (а также литература указанная в этих обзорах). Наличие в сверхпроводнике параметра порядка с анизотропным спариванием может существенно повлиять на их физические свойства, по сравнению с аналогичными свойствами изотропных ¿-волновых сверхпроводников. В частности, анизотропный параметр порядка подавляется в окрестностях примесей, границ разделов, поверхностей и других неоднородностей, тогда как в й сверхпроводниках параметр порядка нечувствителен к примесям и границе с вакуумом или диэлектриком. Также, теорема Андерсона о нечувствительности критической температуры к немагнитным примесям оказывается неприменимой к сверхпроводникам с анизотропным спариванием.

Те сверхпроводящие фазы, для которых параметр порядка обращается в ноль вдоль некоторых направлений импульса на поверхности Ферми обладают степенной зависимостью плотности состояний при малых энергиях. Показатель степени зависит от закона обращения в ноль параметра порядка. В случае линий нулей показатель степени равен единице. При низких температурах такое поведение плотности состояний приводит к степенной зависимости объёмных значений глубины проникновения магнитного поля, теплоёмкости, теплопроводности от температуры, в отличие от экспоненциальной зависимости соответствующих величин в сверхпроводниках без нулей параметра порядка [1,2,3,4].

Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от неоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных ¿-волновых сверхпроводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в 5 сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с ¿х2у2 спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.

Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет параметр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в с^г.^-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного распределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энергией важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].

Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштабные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]).

Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как УВа2Сиз07,5, В128г2СаСи208 и Б^ЯиС^ [1,2,3,4] . Часть этих экспериментов основана на исследовании объёмных свойств сверхпроводников. Сюда можно отнести измерения теплоёмкости, теплопроводности и глубины проникновения магнитного поля при ориентациях не допускающих формирование поверхностных андреевских уровней. В экстра чистых образцах УВа2Сиз07а при низких температурах наблюдается линейная зависимость глубины проникновения от температуры [32, 33, 34], что согласуется с моделью (¿х2у2 параметра порядка. Квадратичную зависимость, измеренную в некоторых экспериментах, связывают с влиянием резонансных объёмных примесей [35]. При низких температурах и некоторых ориентациях (1х2-у2 вклад андреевских поверхностных состояний в глубину проникновения может быть существенным [19,94,21]. В отличие от диамагнитного отклика массива сверхпроводника, отклик поверхностных состояний на внешнее магнитное поле является парамагнитным, а в случае нулевых поверхностных уровней усиливается с понижением температуры. Это приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.

Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверхпроводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36,37,95] и геометрии вихревой решётки [38,39].

Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состояний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значительная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два режима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала. л

Основные результаты настоящей диссертации заключаются в следующем

1. Найдено ядро линейного отклика связанных состояний, локализованных вблизи поверхности анизотропного сверхпроводника, на внешнее магнитное поле. Этот результат был применён для вычисления глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Было показано, что парамагнитный отклик поверхностных состояний с нулевой энергией может приводить к минимуму в температурной зависимости глубины проникновения. Найдены условия на длину свободного пробега квазичастиц при которых минимум может существовать.

В случае очень чистого сверхпроводника ниже некоторой температуры благодаря поверхностным уровням с нулевой энергией сверхпроводник переходит в состояние со спонтанным поверхностным током. В пределе чистого сверхпроводника температура перехода найдена аналитически.

2. Найдена нелинейная по магнитному полю поправка к глубине проникновения, возникающая благодаря поверхностным состояниям с нулевой энергией. Показано, что вдали от точки появления спонтанного тока она является малой и квадратичной по полю. Вблизи температуры фазового перехода в состояние со спонтанным поверхностным током отклик сверхпроводника является существенно нелинейным и описывается в рамках теории фазовых переходов второго рода Ландау.

3. Аналитически найдена нелинейная поправка к глубине проникновения при тех условиях, когда она определяется нелокальными эффектами даже в сверхпроводниках сильно II рода.

4. Проанализировано влияние одиночной точечной примеси на нулевой поверхностный уровень. Найдена зависимость энергии и ширины примесного состояния от силы примесного потенциала, расстояния от примеси до поверхности сверхпроводника и ориентации поверхности. Найдена волновая функция примесного состояния в рамках квазиклассических уравнений сверхпроводимости и уравнений Горькова.

5. Проведён анализ влияния тонкого приповерхностного слоя примесей на пик в кондактансе при нулевой энергии туннельного контакта, содержащего сверхпроводник с б, спариванием. Показано, что существует пороговая поверхностная концентрация дефектов, разделяющая существенно различные режимы влияния примесей на пик в кондактансе при нулевом напряжении. Приведены аналитические и численные результаты для туннельной плотности состояний и кондактанса для различных концентраций примесей и силы их потенциала.

В заключение, мне приятно выразить благодарность научному руководителю Ю. С. Барашу за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе. Мне также хочется выразить благодарность всем сотрудникам ОТФ ФИАН за всестороннюю поддержку.

Заключение

1. D. J. Van Harlingen, Rev. Mod. Phys. 67, 515 (1995).

2. С. C. Tsuei and J. R. Kirtley, Rev. Mod. Phys. 72, 969 (2000).

3. Robert Joynt and Louis Taillefer, Rev. Mod. Phys. 74, 235 (2002).

4. Andrew Peter Mackenzie and Yoshiteru Maeno, Rev. Mod. Phys. 75, 657 (2003).

5. H. Shiba, Prog. Theor. Phys., 40, 435 (1968). 61 А. И. Русинов, Письма в ЖЭТФ, 9, 146 (1969).

6. А. V. Balatsky, М. I. Salkola, and A. Rosengren, Phys. Rev. В, 51, 15547,1995).

7. M. I. Salkola, A. V. Balatsky, and D. J. Scalapino, Phys Rev. Lett 77, 18411996).

8. E. V. Thuneberg, J. Kurkijarvi and D. Rainer, J. Phys. C: Solid State Phys 14, 5615 (1981).

9. L. Buchholtz and G. Zwicknagl, Phys. Rev. B, 23, 5788 (1981).

10. C.-R. Hu, Phys. Rev. Lett., 72, 1526 (1984).

11. Y. Tanaka and S. Kashiwaya, Phys. Rev. Lett., 74, 3451 (1995).

12. L. J. Buchholtz, M. Palumbo, D. Rainer and J. A. Sauls, J. Low. Temp. Phys., 101, 1079 (1995).

13. L. J. Buchholtz, M. Palumbo, D. Rainer and J. A. Sauls, J. Low. Temp. Phys., 101, 1099 (1995).

14. M. Fogelstrom, D. Rainer and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 79, 281 (1997).

15. Yu. Barash, H. Burkhardt and A. Svidzinsky, Phys. Rev. B, 55,15282 (1997).

16. Yu. S. Barash, Phys. Rev. B 61, 678 (2000).

17. Yu. S. Barash, H. Burkhardt, and D. Rainer, Phys. Rev. Lett. 77, 4070 (1996).

18. H. Walter, W. Prusseit, R. Semerad, H. Kinder, W. Assmann, H. Huber, H. Burkhardt, D. Rainer and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 80, 3598 (1998).

19. L. Alff, S. Kleefisch, U. Schoop, M. Zittartz, T. Kemen, A. Marx T. Bauch and R. Gross, Eur. Phys. J. B, 5, 423 (1998).

20. A. Carrington, F. Manzano, R. Prozorov, R. W. Giannetta, N. Kameda, and T. Tamegai, Phys. Rev. Lett. 86, 1074 (2001).

21. JI. OajitKOBCKHft, >K3TO 58, 1830 (1970).

22. L. Falkovskii, Adv. Phys. 32, 753 (1984).

23. L. J. Buchholtz and D. Rainer, Z. Phys. B 35, 151 (1979).

24. L. J. Buchholtz, Phys. Rev. B 33, 1579 (1986).

25. D. Rainer, Recent Progress in Many-Body Theories, vol. 1, 217 (Plenum Press 1987).

26. L. J. Buchholtz, Phys. Rev. B 44, 4610 (1991).

27. M. Matsumoto and H. Shiba, J. Phys. Soc. Jpn. 64, 1703 (1995); 64, 3384 (1995); 64, 4847 1995.

28. Y. Nagato, S. Higashitani, K. Yamada and K. Nagai, J. Low Temp. Phys. 103, 1 (1996).

29. Е. V. Thuneberg, М. Fogelstrom and J. Kurkijarvi, Physica В 178, 176 (1982).

30. Y. Tanuma, Y. Tanaka, M. Yamashiro, and S. Kashiwaya, Phys. Rev. В 98, 7997 (1998).

31. W. N. Hardy, D. A. Bonn, D. C. Morgan, Ruixing Liang, and Kuan Zhang, Phys. Rev. Lett. 70, 3999 (1993).

32. S. Kamal, Ruixing Liang, A. Hosseini, D. A. Bonn, and W. N. Hardy, Phys. Rev. В 58, R8933 (1998).

33. С. Panagopoulos, J. R. Cooper, and T. Xiang, Phys. Rev. В 57,13422 (1998).

34. P. J. Hirschfeld and N. Goldenfeld, Phys. Rev. B, 48, 4219 (1993).

35. I. Kosztin and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett., 79, 135 (1997),

36. M.-R. Li, P. J. Hirschfeld and P. Wolfle, Phys. Rev. В 61, 648 (2000).

37. M. Franz, I. Affleck and M. H. S. Amin, Phys. Rev. Lett., 79, 1555 (1997).

38. M. H. S. Amin, I. Affleck and M. Franz, Phys. Rev. B, 58, 5848 (1998).

39. А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, „Физматгиз", (1962).

40. G. Eilenberger, Z. Phys., 214, 195 (1968).

41. А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ, 55, 2262 (1968).

42. J. W. Serene and D. Rainer, Physics Reports, 101, 221 (1983).

43. Nils Schopohl, Kazumi Maki, Phys. Rev. В 52, 490 (1995); N. Schopohl, cond-mat/9804064.

44. Ю. С. Бараш, A. M. Бобков, Письма в ЖЭТФ 73, 470 (2001).

45. А. В. Зайцев, ЖЭТФ, 86, 1742 (1984).

46. М. Eschrig, Phys. Rev. В, 61, 9061 (2000).

47. Shan-Wen Tsai and P. J. Hirschfeldl, Phys. Rev. Lett. 89 , 147004 (2002).

48. J. R. Cooper, Phys. Rev. B 54, R3753 (1996).

49. L. Alff, S. Meyer, S. Kleefisch, U. Schoop, A. Marx, H. Sato, M. Naito, and R. Gross, Phys. Rev. Lett. 83, 2644 (1999).

50. R. Prozorov, R. W. Giannetta, P. Fournier, and R. L. Greene, Phys. Rev. Lett. 61, 3700 (2000).

51. S. Higashitani, J. Phys. Soc. Jpn., 66, 2556 (1997).

52. C. Honerkamp, K. Wakabayashi and M. Sigrist, Physica B 281-282, 888 (2000); cond-mat/9902026.

53. W. K. Neils and D. J. Van Harlingen, Phys. Rev. Lett. 88, 047001 (2002).

54. A. Poenice, Yu. S. Barash, C. Bruder and V. Istyukov, Phys. Rev. B, 59, 7102 (1999).

55. D. A. Bonn, P. Dosanjh, K. Liang and W. N. Hardy, Phys. Rev. Lett., 68, 2390 (1992).

56. D. A. Bonn, S. Kamal, K. Zhang, R. Liang, D. J. Baar, E. Klein and W. N. Hardy, Phys. Rev. B, 50, 4051 (1994).

57. K. Krishana, J. M. Harris and N. P. Ong, Phys. Rev. Lett, 75, 3529 (1995).

58. K. Krishana, N. P. Ong, Y. Zhang, Z. A. Xu, R. Gagnon and L. Taillefer, Phys. Rev. Lett, 82, 5108 (1999).

59. A. Hosseini, R. Harris, Saeid Kamal, P. Dosanjh, J. Preston, Ruixing Liang, W. N. Hardy, and D. A. Bonn, Phys. Rev. B 60, 1349 (1999).

60. A. J. Berlinsky, D. A. Bonn, R. Harris, and C. Kallin, Phys. Rev. B 61, 9088 (2000).

61. A. L. Fauchere, W. Belzig and G. Blatter, Phys. Rev. Lett., 82, 3336 (1999).

62. Y. Ohashi and T. Momoi, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 3254 (1996).

63. S. К. Yip, and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 69, 2264 (1992).

64. D. Xu, S. Yip, and J. A. Sauls, Phys. Rev. B, 51, 16223 (1995).

65. T. Dahm and D. J. Scalapino, Phys. Rev. В 60, 13125 (1999).

66. A. Maeda, Y. lino, T. Hanaguri, N. Motohira, K. Kishio, and T. Fukase, Phys. Rev. Lett. 74, 1202 (1995).

67. A. Maeda, T. Hanaguri, Y. lino, S. Masuoka, Y. Kakata, J. Shimoyama, K. Kishio, H. Asaoka, Y. Matsushita, M. Hasegawa, and H. Takei, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 3638 (1996).

68. A. Carrington, R. W. Giannetta, J. T. Kim, and J. Giapintzakis, Phys. Rev. В 59, R14173 (1999).

69. С. P. Bidinosti, W. N. Hardy, D. A. Bonn, and Ruixing Liang, Phys. Rev. Lett. 83, 3277 (1999).

70. K. Halterman, О. T. Vails, and I. Zutic, Phys. Rev. В 63, 014501 (2001).

71. JI. П. Горьков, П. А. Калугин, Письма в ЖЭТФ 41, 208 (1985).

72. S. Kashiwaya, Y. Tanaka, М. Koyanagi, Н. Takashima and К. Kajumura, Phys. Rev. В 51, 1350 (1995).

73. J. Н. Xu, J. H. Miller, Jr., and C. S. Ting, Phys. Rev. В 53, 3604 (1996).

74. M. Covington, R. Scheuerer, К. Bloom, and L. H. Greene, Appl. Phys. Lett. 68, 1717 (1996).

75. L. Alff, H. Takashima, S. Kashiwaya, N. Terada, H. Ihara, Y. Tanaka, M. Koyanagi, and K. Kajimura, Phys. Rev. В 55, R14757 (1997).

76. J. W. Ekin, Y. Xu, S. Mao, T. Venkatesan, D. W. Face, M. Eddy, and S. A. Wolf, Phys. Rev. В 56, 13746 (1997).

77. M. Covington, M. Aprili, E. Paraoanu, L. H. Greene, F. Xu, J. Zhu, and C. A. Mirkin, Phys. Rev. Lett. 79, 277 (1997).

78. M. Aprili, М. Covington, Е. Paraoanu, В. Niedermeier, and L. H. Greene, Phys. Rev. В 57, R8139 (1998).

79. S. Sinha and K.-W. Ng, Phys. Rev. Lett. 80, 1296 (1998).

80. L. Alff, A. Beck, R. Gross, A. Marx, S. Kleefisch, Th. Bauch, H. Sato, M. Naito, and G. Koren, Phys. Rev. В 58, 11197 (1998).

81. J. Y. T. Wei, N.-C. Yeh, D. F. Garrigus, and M. Strasik, Phys. Rev. Lett. 81, 2542 (1998).

82. M. Aprili, E. Badica, and L. H. Green, Phys. Rev. Lett. 83, 4630 (1999).

83. R. Krupke and G. Deutscher, Phys. Rev. Lett. 83, 4634 (1999).

84. M. Covington and L. H. Greene, Phys. Rev. В 62, 12440 (2000).

85. Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ 56, 1590 (1969).

86. F. J. Culetto, G. Kieselmann, and D. Rainer, in Proceedings of the 17th International Conference on Low Temperature Physics, LT-17, edited by U. Eckern, A. Schmid, W. Weber, and H. Wühl (North-Holland, Amsterdam, 1984), p. 1027.

87. H. Hilgenkamp, J. Mannhart, and B. Mayer, Phys. Rev. В 53, 14586 (1996).

88. A. Golubov, M. Kupriyanov, Письма в ЖЭТФ 69, 242 (1999).

89. N. P. Kopnin, Phys. Rev. В 65, 132503 (2002).

90. M. B. Walker and P. Pairor , Phys. Rev. В 60, 10395 (1999).

91. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1965).

92. J. Rammer and H. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986).

93. Публикации автора по теме диссертации

94. Yu. S. Barash, М. S. Kalenkov, and J. Kurkijarvi, „Low-temperature magnetic penetration depth in d-wave superconductors: Zero-energy bound state and impurity effects", Pliys. Rev. В 62, 6665-6673 (2000).

95. M. С. Каленков, „Влияние нелокальности отклика квазичастиц на нелинейный эффект Мейсснера в сверхпроводниках с d спариванием", ЖЭТФ 122, 404-410 (2002).

96. М. S. Kalenkov, М. Fogelstrom, and Yu. S. Barash, „Two regimes for effects of surface disorder on the zero-bias conductance peak of tunnel junctions involving d-wave superconductors", cond-mat/0404317 (послано в Phys. Rev. B).