автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизация электрических полей в электрохимических системах с немонотонно поляризующимися электродами

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ '40-ЛЕТИЯ ОКТЯБРЯ

На правах рукописи

I

Бочкарева Инна Вячеславовна

УДК 519.632:620.197:621.357

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С НЕМОНОТОННО ПОЛЯРИЗУЮЩИМИСЯ ЭЛЕКТРОДАМИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях по отрасли химических наук

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 1990

-Г.? и /''..

/ / / „. с

{■ / / Г Г

Райота выполнена в Башкирском государственном университете имени 40-летия Октября

Научные руководители;

доктор технических наук, профессор Иванов В.Т.

кандидат технических наук Макаров БД.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Карчевский М.М.

кандидат физико-математических наук Масютина М.С.

Ведущая организация -

Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева

Зацита состоится "Л?" 1ийртй' 1990 Г. в /у часов на заседании специализированного совета К-06Ч.13.03 при Башкирском государственном университете имени 40-летия Октября по адресу: 45007'), г. Уфа, ул. Фрунзе, 32

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

" У " сЬ

Автореферат разослан У " МЛ-НРеУШ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-

математических наук — Н.Л.Морозкин

-»г»

"ОТЕ;!' | . х .

.' .Г......1

" ( ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Т" А " ->! |

¡Актуальность проблем«. Проблема изучения и математического моделирования электрических полей возникает при разработке и совершенствовании многих промышленных электрохимических технологий (гальванопластика,гальваноотегия, электрохимическая размерная обработка металлов, электрохимическая защита металлов от коррозии). Характер электрических полей определяется электродными процессами поляризации, В одних электрохимических системах эти процессы достаточно просты и приводят к рассмотрению линейных математических моделей, в других, к числу которых прежде всего относятся системы анодной электрохимической защиты, поляризация электродов немонотонна, что требует построения и исследования сложны1' нелинейных математических моделей.

Борьба с коррозией, прямые и коовенные потери от которой в промышленно развитых странах аннулируют примерно десятую дол» их национального дохода, является в настоящее время одной из важнейших народнохозяйственных задач. Наиболее, высокоэффективный, простой в исполнении, экономичный и экологически чистый опособ предотвращения коррозии - электрохимическая защита, В сильно агрессивных искусственных средах основной химической и смежных с ней отраслей промышленности, где задача борьбы с коррозией особенно актуальна, широкие перспективы применения имеет сравнительно новый ее вид -анодная электрохимическая защита, основанная на использовании явления пассивности, которое наблюдается у многих основных конструкционных металлов и сплавов при анодной поляризации в агрессивных искусственных окислительных средах. При изучении анодной защити возникает не только проблема расчета электрических полей, оказн -вавщих ругающее влияние на надежность еэ эксплуатации, но и Про -блема их оптимизации - поддержания токораспределения, обеспечива-оцего пассивное состояние защищаемой металлической поверхности. Последняя приводит к необходимости решения комплекса задач выбора оптимальных шраметров систем анодной ЭХЭ о самыми разнообразны -ми геометрическими и электрохимическими характеристиками.

Физико-химический эксперимент, до настоящего времени оставшийся основным средством изучения анодной электрохимической за -щиты, не в состоянии дать решения поставленный задач вследствие трудности воспроизведения в лабораторных условиях характеристик реальных процессов анодной защиты, немобильности по отношению к

изменениям параметров электрохимических систем, недостаточной точности и оперативности исследований, их дороговизны.

Решение указанных задач возможно путем разработки математического аппарата исследования анодной ЭХЭ, создания ее строгой математической модели и эффективных методов ее-численного анализа.

Работа выполнялась в соответствии с заданием 05.0'4.117 Обще -союзной научно-технической программы 0.73.01, утвержденной постановлением ПСНТ СССР от 19.06.86.

Целью работы является:

1) разработке расчетной и оптимизационной математической мо -дели электрических полей в электрохимических системах с нелинейной немонотонной поляризацией электродов;

2) разработка эффективных устойчивых универсальных численных алгоритмов расчета стационарных 'электрических полей в электрохимических системах с немонотонно поляризующимися электродами;

3) практическая реализация разработанных алгоритмов в ком -плексе программ для ЭВМ применительно к конкретным системам анодной электрохимической защиты;

4) проведение вычислительного эксперимента с целью исследования и оптимизации токораспределения на электродах в этих системах и выбор в процессе исследования оптимальных параметров электрохи -мических систем;

5) исследование вопросов ветвления решений одномерных и мно -гомерных нелинейных задач расчета электрических полей.

Научная новизна. Все основные результаты данной работы ранее получены не были.

Построена математическая модель стационарных электрических полей в олектрохимических системах с немонотонно поляризующимися электродами. Оптимизационная модель анодной электрохимической запиты представлена в качестве задачи минимакса.

Проведено теоретическое исследование ветвления решений одномерных нелинейных задач электрических полей.

Предложен общий подход к алгоритмизации задач расчета анодной защиты на базе универсальных численных методов математической фи-1ики - разностного метода и метода граничных интегральных урав -чений, а также дифференциально-разностного метода в сочетании с применением криволинейных ортогональных координат. Разработан комплекс алгоритмов и программ расчета токораспределения в некс -горых конкретных пистонах анодной ЭХЗ.

Впервые влияние геометрических и электротехнических параметров на распределение электрических полей в указанных электрохимических системах исследовано методом вычислительного экспери -мента. В ходе вычислительного эксперимента установлена неодно -значность решения двумерных нелинейных задач, что находится а.соответствии с существованием двух реальных устойчивых состояний частичной и полной эапассивированности защищаемой конструкции и тем самым подтверждает адекватность математической модели.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1) разработан комплекс программ расчета токораспределения в системах анодной зашиты химических аппаратов наиболее распровтра-ненной геометрии;

2) результаты теоретических и численных исследований внедрены в научные исследования Научно-исследовательского физико-химического института им. Л.Я.Карпова /г. Москва/ и в учебный процесс математического факультета по кафедре вычислительной математики Ёашгосуниверситета им. 40-летия Октября;

3) на базе разработанных алгоритмов и комплекса программ возт-можно создание пакета прикладных программ, являющегося подсисте -мой АСНИ САПР электрохимической защиты от коррозии. Алгоритмы и программы могут быть использованы та:юсе при проектировании и оптимизации процессов ЭХРО и других промышленных электрохимических технологий, для которых характерна немонотонная поляризация электродов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 1У Украинской Республиканской конференции "Электрохимическая защита и коррозионный контроль" /Северодонецк, 1985/, Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций //фа, 1987/, конференциях молодых ' ученых /Уфа, 1987,1989/, научно-технической конференции "Вычислительный эксперимент и математическое моделирование в интересах те-' хнологических процессов" /Свердловск, 1989/, семинаре кафедры вы -;' числительной техники УГГИ им. .С.М.Кирова /Свердловск, 1989/, семинарах кафедр вычислительной математики и математического модели-« рования БашГУ им. '(О-летия Октября /Уфа", 1988,!. 989/, семинаре ка-., федры вычислительной математики КГУ им, В.И.Ленина /Казань, 1990/, коллоквиуме кафедры химического сопротивления материалов, и защиты от коррозии МИХМ / Москва, 1990/, в экспериментально-технологическом отеле НИФХИ им, Л.Я.Карпова / Москва, 1986-1990/.

- и -

Публикации■ По результатам выполненных исследований опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов, библиографии и трех приложений, Работа изложена на 212 страницах, включая 150 страниц машинописного текста, 2 таблицы /в тексте/, 35 рисунков на 29 страницах, краткую характеристику комплекса программ и три акта внедрения. Библиография включает 195 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В глава I выполнен обзор литературы по применении анодной электрохимической защиты и методам расчета электрических полей в электрохимических системах.

Основную информации о принципиальной возможности и целесообразности применения анодной ЭХЗ дают анодные поляризационные потенциостатические кривые, характеризуете зависимость скорости растворения пассивирурщегося металла от его потенциала (рис.). Изучая их, определяет протяженность по потенциалу кавдой из ха -рактерны* областей поляризационной кривой! области активного растворения (0, Цкр) , переходной области (и*р, ип) . области устойчивой пассивности {> ипп) . а также величины плотности тока в области устойчивой пассивности 3« и плотности критического тока пассивации йкр ,

Рис. Схематическое изображение анодной потенцио-статической поляризационной кривой /I/ и ее аппроксимация сплайнами первой степени /2/

На уровне лабораторных и опытно-промышленных испытаний анодная защита исследована для большого количества металлов и сплавов в различных агрессивных средах. Широкое же промышленное применение она наила для серной кислоты и сред на ее основе, водных растворов аммиака и минеральных удобрений, а также в целлюлозно-бумажной промышленности. Рассмотрены наиболее типичные области использования анодной защиты оборудования из углеродистых и нержавеющих сталей.

Далее в главе проведен обзор методов математической физики, используемых при математическом моделировании электрических по -лей в электрохимических системах. Их можно подразделить на две основные группы:

I) аналитические, среди которых наиболее важными и употребимыми являптся методы конформных отображений и интегральных преобразований;

2) приближенные ( методы характеристических поверхностей, малых параметров, суперпозиции, "выравнивания"поляризуемостей, . эквивалентных параметров и "сшивания") и численные {метод граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностный и разностный методы;.

Дана характеристика вышеназванных методов. Применение каждого из них проиллюстрировано серией работ.

Отмечено, что до настоящего времени э основном разрабатывались и исследовались линейные математические модели электрических полей, изучение анодной 3X3 требует разработки нелинейной мо -дели, что обусловлено немонотонным характером анодной поляриза -дии.. Алгоритмизация ее должна производиться на базе универсаль -1нх численных методов.

В главе 2 построена математическая модель электрических по -1ей в системах анодной электрохимической защиты, в общем случае 1редставляющая собой краевую задачу для дифференциального уравне-шя эллиптического типа со смешанными нелинейными граничными ус -швиями, среди которых имеются немонотонные:

сЛггГэг(х.у,н)дгас1 и) = , £2. , (I)

к

>

о

эе

ац ап

Бэр

3Р(х,у.г), 5л-, с«

(-т ип Зэт П

оэм - и5эт

ди

»0, б,,« и^и, <6>

ип 1з«л. ы

иЦ-

"к;

эг

аи.

ап

= зе.

1и

0П

С7)

где и - функция электрического потенциала, - область интегрирования (область, заполненная электролитом с удельной электропроводность» зе) С границей 5 = $ци5эои5эаи5ам ибо йц - поверхность изоляторов, 5$а> 5« ■ 5эн - поверхности з лектродов, Зд * поверхность анода С защищаемой конструкции^ Ы. поверхности разрыва функции ^ - Функция

внутренних источников поля, Эи/9п - производная по направлению внешней нормали к границе области интегрирования 5 ' *\т ~ монотонные функции относительно 3-Х , для которых выполняется условие ' (.2Е. Функциональные'зависимости определяются немонотонной зависимостью стационарной скорости растворения пассивирующегося металла от потенциала (см. рис0 .

Краевая задача (1)-(7) учитывает некоторую совокупность па -раметров, которую условно обозначим в виде вектора Ц?= (иГ,, Ша,... Варьируя их значения в заданных, определяемых тех-

ническими условиями областях

иг, * -игг*Сгг, .. ., -иГ„ е С-„,

(3)

- ? -

можно получить то или иное распределение потенциала на защищаемой поверхности металла. Параметрами urt , i.« могут слу-

жить, например, число катодов, изоляторов, их формы, взаимное расположение и размеры электродов, разноать потенциалов между элек -тродами и т.д.

Задача оптимизации олектрических полей в системах анодной ЭХЗ формулируется следующим образам: на классе функций LI (UT, Р), P(X,U,2) t Si • удовлетворяющих уравнению (I), краевым условиям (2)-(7) и ограничениям на управлявшие параметры (6), требу -ется найти решение задачи минимизации функционала:

F(u(ur, Р» = max/Utp-ucuT р)| min ,. (9)

Р<&а G»ßj>t

характеризующего максимальное отклонение решения задачи (,1)-(7) на Sfl от Utp - середины интервала (un,Unn). • Задача оптимизации (1)-(9) относится к классу задач минимакса. Возможно рассмотрение функционалов других видов,'

Для решения задачи оптимизации, являющейся в данном случае задачей поиска экстремума, можно предложить методы одномерной и' многомерной минимизации: делания отрезка пополам, Фибоначчи, зо -лотого сечения, покоординатного спуска и т.д. Определение точного минимума функционала при этом необязательно, Пусть минимум Функционала FiutüF.P)) достигается при vJ'^f'Ui",^"^!'!-"»114'*«^ Если, минимизируя его варьированием параметров (В), получим в некоторой окрестности Q^f* точки Ли*

max 1 Utp - uOu?, P)l ^ -äcarik

pesa r 2

то потенциал всей анодной поверхности будет находиться в пределах пассивного участка поляризационной крквой и надежность анод -ной защиты будет гарантирована. Если же

min F(u(ü?,P)) > ,

это означает, что управляющих параметров "UT^ ( ,.. , Vfn не -достаточно для полной пассивации защищаемой поверхности. Их число необходимо увеличить, введя в,рассмотрение новые злементи элек -трохимической системы.

Лля алгоритмизации расчетной модели Ш-(7) необходимо знание аналитического представления функций и . получаемых на практике путем измерений и представляемых в виде таб -личных зависимостей.

Аппроксимации монотонных катодных поляризационных кривых (зависимости •¿я,) предлагается производить кубическими сплай -нами со сглаживанием, обладавшими достаточно высокой точностью приближения и позволяющими осуществить дальнейшую линеаризацию монотонных граничных условий процедурой квазилинеаризации Ньв -тона - Канторовича,

Для аппрокоимации нелинейных немонотонных анодных поляри -зационных кривых (зависимости Ч^) предлагается использовать сплайны первой степени (см. рис. ). Такая аппроксимация достаточно точно приближает поляриэационнув кривую, дает возможность исследовать вопросы ветвления решений и разработать методы числен -кого решения рассматриваемых нелинейных краевых задач.

Проведено теоретическое исследование ветвления решений од -номерных нелинейных задач электрических полей. Рассматривалась аппроксимация немонотонной поляризационной кривой кусочно-линейной функцией, содержащей три и четыре линейных участка (в случае трех участков значения и »р и ип считались совпадающими, а образовавшийся вертикальный участок не учитывался). Рассмотрение двух видов аппроксимации было вызвано соображениями оптимизации программирования, т.к. протяженность по потенциалу переходной зоны реальных поляризационных кривых очень мала.

Определение. Изменение числа и устойчивости решений краевой задачи называется ветвлением или бифуркацией решений.

. Одномерная нелинейная краевая задача

-0---О, 0<хм,

Х=0 ' 1х=0

=0, Ц х=0

?ипп Г») к=о

(поляризационная кривая аппроксимируется тремя линейными участками, Са - коэффициент аппроксимации) может иметь решения трех видов, которые характеризуют состояния активного растворения, пас -сивнооти и перепассивации (транспассивности) защищаемой металли -ческой поверхности и определятся условиями (12(а)) , (12(<0) и (12(в^ соответственно.

Доказаны теоремы:

Теорема 2.1. Пусть функция U(X) удовлетворяет уравнение (10) и граничным условиям (И), (12), тогда значение UM + параметра Uw является точкой бифуркации решений краевой задачи (10)-(12).

Теорема 2.2. Пусть функция Ц(х) удовлетворяет уравнению (10)и граничным условиям (II), (12), тогда точки

= + u = . ЦЭ)

также являются точками бифуркации решений задачи (10)-(12).

Точка ип + Зп/зе.и первая из точек (13) характеризует иэме-/ нение числа решений задачи (IQ)-(I2). Для второй точки (13) характерен переход от одной качественной картины решений к другой йез изменения их числа. При совпадении значений (13} точка UU+ — U кп +• Un /зехарактеризует изменение как числа, так и качества решений рассматриваемой задачи. При этом возможно попарное существование рёшений, характеризующих активное и пассивное состояния и решений, характеризующих активное и транспассивное состояния. Все три решения одновременно существовать не могут.

При аппроксимации немонотонной поляризационной кривой кусочно-линейной функцией с четырьмя линейными участками к условию (12) добавляется условие

Зкр)-(и-и*р))Цо, UKpéU|Xe0*Un, (Щ)

определяющее решение задачи (10)- (12), (14) , характеризующее паре -ходное состояние анодной поверхности (C^^U^-U^/cH,, - ЛкрЗ^О) .

Справедлива теорема 2.3. Пусть функция ufx) удовлетворяет уравнению (10) и граничным условиям (II), (12), (14), тогда значения

u„=u„+Jn/ae, = икр + 3кр/ге, и„п ■*• Зп /зе.

является точками бифуркации решений задачи (10)- (12), (14).

При этом в случав выполнения условия 1 + С10зе>0 возможно одновременное существование трех решений задачи (10)-(12),£М), а в случае 1+С(ц«£<0 при любом Ц^ решение указанной задачи единственно и каждая из точек бифуркации характеризует лишь смену реаенмя одного вид$ решением другого вида.

Приведены значения точек бифуркации одномерны;! задач в цилиндрической и сферической системах координат. Отмечена зависимость значений точек бифуркации от величины удельной поляризуемости катода в случае учета его линейной поляризации.

Выполнен анализ решений одномерных задач для последователь -нооти аппроксимаций немонотонной поляризационной кривой, удов -летворявдей условию ЦПП) „^¡^Ик? , т.е. С,агПп^0 и в пре -дельном случае при C1Q = 0 ( указывающий на устойчивость ре -шений по коэффициентам сплайн-аппроксимации,

В главе 3 изложен разностный метод расчёта электрических полей в системах анодной ЭХЗ.

Построены разностные схемы для одномерных и многомерных задан электрических полей.

Предложен метод решения нелинейных разностных краевых задач, суть которого заключается в организации нестационарного линейного итерационного процесса на основе двухслойных итерационных схем верхней релаксации, Зейделя и простой итерации в сочетании с итерационным процессом с ограничениями. Идея последнего заключается р следующем. Сложность расчета токораспределения в системах анодной запиты ооотоит в том, что заранее неизвестно располо- . хение пассивных и активных участков на защищаемой(анодной)повер-хности, т,е, неизвестно расположение участков границы области и итерирований» на которых заданы линейные условия определенного вида. Предлагаемый итерационный процесс с ограничениями позволяет определять границы этих участков в ходе вычислений. Первона -Чально з решаемую систему разностных уравнений разностные граничные условий на сеточной границе анода • включаются в соответствии со значениями начального приближения сеточной функции Ij^ , выбираемого из физических соображений. Далее, в ходе итерационного процесса, происходит уточнение значений Uft на , что может привести к их перераспределению по зонам анодной поляризационной кривой [см. рис.). Соответственно в решаемой системе разностных уравнений производится замена одних линейных гранич -

них условий на Зц^ другими.

Глава ^ посвящена численному исследования электрических полей в некоторых конкретных системах диодной 3X3.

Приводятся разностные схемы расчета электрических полей в системах анодной ЭХЗ прямоугольных ванн и цилиндрических резервуаров с днищами различных конфигураций,' на базе которых разработай комплекс программ расчета токораспределения в указанных системах, предназначенный для эксплуатации на ЕС и СИ ЭВМ.

При помощи модельной задачи проведены методические расчеты с целью выбора оптимальных параметров разностных схем и итерацион -ннх процессов решения разностных краевых задач.

Проведен анализ устойчивости численных решений двумерных краевых задач электрических полей по коэффициентам сплайн-аппроксимации немонотонных граничных условий.

Осуществлено сравнение численных решений частных случаев задач анодной защиты с аналитическими решениями одномерных задач в декартовой и цилиндрической системах координат.

Методом вычислительного эксперимента проведено исследование распределения электрических полей в системах анодной ЭХЗ прямоу -гольных ванн и цилиндрических резервуаров в зависимости от различных геометрических и электрохимических факторов систем: конфигурации днища, глубины погружения катода, глубины углового днища, величины внешней наложенной разности потенциалов.между электродами, линейного и нелинейного характера поляризации катода, величины критической плотности тока пассивации и удельной электрической проводимости электролита - агрессивной среды.

В ходе вычислительного эксперимента установлена неоднозначная разрешимость двумерных краевых задач расчета электрических полей в системах анодной защиты, что находится в соответствии с существованием двух реальных устойчивых состояний - частичной и полной эапассивированностыо защищаемой конструкции - и объясня -• ется зависимостью текущего состояния системы анодной защиты от ее предыстории, т.е. от того, в каком состоянии система находилась ранее: состоянии активного растворения или в состояниях пассив -но'сти и транспассивиости.

Приведены результаты экспериментальной проверки математического моделирования анодной защиты, доказывающие адекватность математической. модели. .

В главе 5 показано применение других методов расчета элек -

Трических полей в электрохимических системах с немонотонной поляризацией электродов.

Отмечены некоторые недостатки разностного метода, в частности, оложность согласования разностной сетки с границами многосвязных областей интегрирования при моделировании электрических полей в мно-гоэлчктродных системах анодной 3X3, в связи с чем подчеркнуто, что Для расчета токораспределения в реальных электрохимических системах необходимо привлечение разнообразных численных методов, наряду с универсальными используя такие, применение которых может оказать -ся эффективным в каждом конкретном случае.

Произведена алгоритмизация математической модели электричес -ких полей в системах анодной 3X3 методом граничных интегральных уравнений, формирование которых происходит на основе представле -ния решения обобщенной формулой Грина. Б результате получено интегральное уравнение относительно значений функции U(P) , Р€ (SqCS'CS) :

u (Р) + \\ К ÍP.G, u(G))dsa = $(Р) (15)

&'

с нелинейным подынтегральным выражением. Для решения интегрального уравнения (15) предлагается итерационный метод

Л)=uftpwVto+Я №Q-utois.- «Р», cíe)

где ф - номер итерации, с^ - числовые параметры итерационного процесса, которые выбираются в ходе вычислительного эксперимента с целью обеспечения сходимости итерационного процесса. В качестве начального приближения U°CP) из физических соображений можно принять, например, решение задачи с однотипными линейными граничными условиями на каждой поверхности Sai < которое может быть найде -но методом Крылова - Боголюбова или другим методом, учитывающим особенности ядра К (РД,и). Итерационный процесс (.16) представляет собой итерационный процесс с ограничениями, который, как и в разностном методе, позволяет в ходе решения уточнять границы участков каждой поверхности Sq¿ с граничными линейными условиями определенного вида.

Применение метода граничных интегральных уравнений проиллю -стрировано решением задачи расчета токораспределения в электрохимической системе с двумя протяженными электродами в виде некон -

- гэ -

центрично расположенных круговых цилиндров, один из которых (внешний ) является немонотонно поляризующимся. Составлена программа расчета токораспределения на алгоритмическом языке ФОРТРАН - 77. Произведено сравнение численных и аналитических решений в случае концентрических цилиндров для активного и пассивного состояний поверхности внешнего цилиндра. Выполнено численное исследование влияния внешней наложенной разности потенциалов и расстояния между осями цилиндров на характер токораспределения в системе, Получе -ны одновременно существующие решения, характеризующие активное и пассивное состояния поверхности внешнего цилиндра, Расчет'каждого из них обеспечивается выбором начального приближения и параметров итерационного процесса.

Далее в главе показана алгоритмизация частного, случая математической модели (1)-(7) разностным и дифференциально-разностным методами в биполярной системе координат.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Предложена математическая модель стационарных электрических полей в электрохимических системах о немонотонной поляризацией электродов в виде краевой задачи для дифференциального уравнения эллиптического типа с нелинейными немонотонными краевыми условиями.

2 . Оптимизационная модель электрических полей сформулирована в виде задачи минимакса. 3. Предложена аппроксимация немонотонной поляризационной кривой сплайнами первой степени, позволяющая наиболее точно аппрокс мировать поляризационную кривув и на основе этой алпроксима -ции разработать численные методы реиения нелинейных краевых задач расчета электрических полей.

Проведен теоретический анализ ветвления решений нелинейных одномерных задач электрических полей. Доказаны теоремы о точках бифуркации. Исследовано влияние различных способов аппроксимации немонотонной поляризационной кривой на характер решений одномерных задач.

5. Произведена алгоритмизация модели различными численными методами: разностным, дифференциально-разностным, методом граничных интегральных уравнений в декартовой и некоторых системах криволинейных ортогональных координат.

- и -

6. Предложены итерационные методы решения нелинейных разностных, дифференциально-разностных и интегральных уравнений, суть которых заключается в организации нестационарного итерационного процесса (итерационного процесса с ограничениями), позволяю -чего не только найти численное решение нелинейных задач, но

и уточнить участки границы области интегрирования, на которых действуют граничные условия определенного вида.

7, Произведено сравнение численных и аналитических решений нелинейных краевых задач в декартовой и цилиндрической системах координат, показавшее их хорошее совпадение.

в. Путем вычислительного эксперимента произведено исследование численных решений краевых задач электрических полей на устойчивость по коэффициентам, входящим в нелинейные граничные условия,

9. Разработан комплекс программ расчета токораспределения в системах анодной защиты химических аппаратов наиболее распространенной геометрии - прямоугольных ванн и цилиндрических резервуаров с днищами различной конфигурации, а также в электрохимической системе с двумя протяженными цилиндрическими электро -дами, один из которых является немонотонно поляризующимся.

10. Выполнено численное исследование влияния различных геометри -ческих и электрохимических параметров электрохимических систем на характер распределения в них электрических полей.

11. В ходе вычислительного эксперимента установлена неоднозначность решения двумерных краевых задач электрических полей, что находится в полном соответствии с существованием двух реаль -ных устойчивых состояний частичной и полной запассивирован-ности электрода с немонотонными поляризационными характеристиками,

12. Осуществлена экспериментальная проверка результатов матема -Тического моделирования, подтвердившая адекватность матема -тическсй модели и возможность ее использования при проекти -ровании и оптимизации электрохимических технологий, для ко -торых характерна немонотонная поляризация электродов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

I. Иванов В.Т..Бочкарева И.В..Макаров В,А. Математическое моделирование электрических полей при анодной защите промышлен -

них сооружений от коррозии Ц Тез,докл. 1У Укр. Респ. конф. "Электрохимическая защита и коррозионный контроль". - Севе-родонецк. 1985. - С. 57-59.

2. Бочкарева И.В..Иванов В,Т..Макаров В.А. Метод расчета электрических полей в электрохимических системах с немонотонными поляризационными кривыми // Прикладная электрохимия. - Казань: КХТИ. 1986. - С. 55-59.

3. Бочкарева И.В..Иванов В.Т..Макаров В.А. Математическое моделирование электрических полей при анодной защите металлов

от коррозии // Защита металлов. - 19В6. - Т.ХХП, » 3. - С.Э90-396.

h. Бочкарева И.В..Иванов В.Т..Макаров В.А,,Тляшева O.P. Об од -ной задаче минимакоа электрических полей в электрохимических системах // Электромеханика. - 1987. -ft 9. - С. 9-16.

5. Бочкарева И.В. Применение сплайнов при решении одной существенно нелинейной задачи // Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций тезисы докладов . - Уфа: БФАН СССР, 1987. - С. 26-27.

6. Бочкарева И. В. К вопросу создания пакета прикладных программ расчета параметров анодной защиты металлов от коррозии // Проблемы динамики релаксирующих сред. - Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1987. - С. 123-126.

7. Бочкарева А.В..Галимов A.A..Иванов В.Т. К вопросу разработки пакетов прикладных программ расчета электрических полей

в гальванических ваннах // Прикладная электрохимия. - Казань: КХТИ, 1987. - С. 98-106.

8. Бочкарева И.В..Махмутов Н.М. Применение методов конечных разностей и интегральных уравнений для решения существенно нелинейных задач электролиза /У Тезисы докладов конференции молодых ученых. - Уфа, 1987. - С. 150.

9. Бочкарева И. В., Махмутов M. М. ,Бер J!.E, Математическое моделирование существенно нелинейных процессов электропереноса в электрохимических системах // Тезисы докладов конференции молодых ученых. - Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989. - С. 156-157.

10. Бочкарева И.В..Иванов В.Т.,Макаров В.А..Махмутов И.М. Метод интегральных уравнений для расчета электрических полей при анодной защите металлов от коррозии // Защита металлов. -1939. - Т.ХХУ, № I. - С. 65-73.

11. Бочкарева И.В..Иванов В.Т..Макаров В.А. Математическое моде-

дарование электрических полей в электрохимических системах с немонотонными поляризационными характеристиками //Вычислительный эксперимент и математическое моделирование в интере -сах технологических процессов (тезиса докладов научно-технической конференции) . - Свердловск: УПИ, 1989. - С. 30.

12. Бочкарева И.В.,Ревина Г.В..Иванов В.Т.,Макаров В,А..Луховицкий И.В. Оценка величина пусковых токов в системах анодной защиты // Защита металлов. - 1990. - Т.26, I I. - С. М-15Г.

П07212 Подписано к печати 7/П-90 0<Ь.ам I печ.л Зак.118 Тир.100 Ротелринт Башг-осун-та, 450074. г.Уфа,ул.Фрунзе,32