автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электрических полей в системах с биполярным электродом

Оглавление.

Ф Введение.

Моделирование электрических полей в межэлектродном пространстве 'V. сложной конфигурации как способ повышения эффективности и оптимизации технологических систем с биполярным электродом.

Физические процессы в системах с биполярным электродом.

Задачи исследования.

Глава 1. Обзор методов решения уравнения Лапласа.

1.1. Особенности и ограничения методов конформных отображений для плоских областей сложной конфигурации при исследовании электрических полей.

1.2. Метод конечных разностей как численная реализация решения уравнения Лапласа - недостатки и ограничения метода сеток.

1.3. Особенности метода конечных элементов (МКЭ) для решения континуальных задач. л 1.3.1. Теоретические предпосылки МКЭ.

1.3.2 Анализ и выбор численных методов для реализации МКЭ.

1.4. Методы решения уравнения Лапласа на основе последовательных приближений.

1.4.1. Вариационные методы - Ритца и Галеркина [23-27]. г 1.4.2. Метод Треффтца [23-28].

1.5. Методы решения задач оптимизации.

1.6. Обзор пакетов математических программ для моделирования и исследования задач математической физики.

1.6.1. Пакет FEMLAB для моделирования задач в математической или физической постановке.

1.6.2. Программный комплекс Е1С11Тдля инженерного моделирования.

1.6.3. Пакет PDEase2D для численного решения двумерных полевых задач.

1.6.3. Выводы. ф

Глава 2. Разработка моделей электрических полей в системах с биполярным электродом и схем их численного моделирования.

2.1. Конфигурация межэлектродного пространства - физическая модель межэлектродного зазора (МЭЗ) системы с биполярным п электродом.

2.1.1. Численная схема расчета поля - неравномерная сетка для а.- моделирования полей с учетом физических неоднородностей пространства МЭЗ.

2.1.2. Условия перехода к равномерной сетке - преимущества и ограничения разработанного алгоритма.

2.2. Применение комплексного метода оптимизации Бокса для моделирования электрических полей с неявно заданной целевой

Ф функцией.

2.2.1. Стохастичность многомерных точек области поиска экстремума

- особенность канонического алгоритма метода.

2.2.2. Мультипликативный конгруэнтный алгоритм Д. Кнута генераторов случайных чисел для моделирования пространства

Л параметром МЭЗ.

2.2.3. Разработка генераторов многомерных детерминированных

Ч равномерно-распределенных LPj-чисел для алгоритма Бокса.

2.2.4. Исследование зависимости скорости сходимости метода s«. оптимизации Бокса от свойств начального комплекса.

2.3. Выводы.

Глава 3. Разработка программного комплекса для моделирования электрических полей в системах с биполярным электродом (Electric Fields Analysis).

3.1. Общие требования к разрабатываемому Windows-приложению.

3.2. Разработка структуры комплекса Electric Fields Analysis и его реализация на основе объектно-ориентированного подхода.

3.2.1. Структура Модели.

3.2.2. Структура реализации метода сеток.

3.2.3. Структура реализации блока оптимизации.

• 3.3. Структура дополнительных пакетов.

3.3.1. Структура пакета «Метод оптимизации Бокса».

3.3.2. Структура пакета «Равномерно-распределенные числа».

3.3.3. Структура геометрического пакета.

3.4. Разработка алгоритмов визуализации результатов моделирования электрических полей.

3.4.1. Отображение эквипотенциальных, силовых и линий токов в МЭЗ.

3.4.2. Применение цветовой палитры для визуализации оценки сходимости итерационного процесса при моделировании поля в МЭ

3.5. Выводы.

Глава 4. Исследование характеристик электрических полей в МЭЗ и некоторых физических процессов в системе обработки поверхности с биполярным электродом.

4.1. Разработка аналитических моделей расчета электрических полей в ^ МЭЗ биполярного электрода на основе методов ТФКП.

4.1.1. Аналитический расчет распределения электростатического поля в МЭЗ с помощью интеграла Шварца-Кристоффеля.

4.2. Результаты численного моделирования.

Ч 4.3. Математическая модель механического элемента системы с биполярным электродом (узел "ротор-маятник" установки для ч обработки функциональных узлов СВЧ-приборов).

4.3.1. Численно-аналитическая модель «ротора-маятника».

4.3.2. Исследование устойчивости колебательной системы «ротор-маятник»

Ф Моделирование электрических полей в межэлектродном пространстве сложной конфигурации как способ повышения w, эффективности и оптимизации технологических систем с биполярным электродом

В современном СВЧ-приборостроении широко применяются системы на основе биполярного электрода, в которых в результате удаления неровностей на поверхности детали, выступающей в роли электрода, реализуется конечная обработка поверхности. Особые проблемы возникают при «доводке» ф миниатюрных замедляющих и резонаторных систем сложной конфигурации с труднодоступными участками для обработки. Требования по их геометрическим параметрам являются очень высокими с точки зрения обеспечения характеристик всего устройства в целом, особенно в области «коротких» волн СВЧ-диапазона. Многообразие форм электродов, диэлектрических вставок, их взаимное расположение, электрофизические параметры электролита, его динамические характеристики обусловливают возникновение в рабочем пространстве очень сложной конфигурации электрических полей, измерение и управление которыми практически невозможно. Тем не менее, качество поверхности и эффективность процесса ® обработки, во многом, определяются потенциалами электродов, распределением потенциала в межэлектродном пространстве, картиной силовых линий и т.п. Всё это приводит к необходимости моделирования электрических полей в , межэлектродном пространстве сложной (произвольной) конфигурации и поиска способов оптимизации их характеристик.

Проблемой моделирования электрических полей занимался ряд исследователей. Особенно хотелось бы отметить работы Волгина В.М. и # Волгиной О.В. [1,2] (г. Тула, ТГУ, Институт электрохимии РАН им. Фрумкина

A.Н.) по разработке численных методов расчета электрических полей, Клокова

B.В. [3, 4](г. Казань, КГУ) - по разработке аналитических методов на основе ТФКП, Иванова В.Т. [5] (г. Уфа, БГУ) по теории биполярного электрода, Коломейцева В.А. [6] (г. Саратов, СГТУ) - по моделированию и расчету СВЧ-полей сложной конфигурации, научные школы: НПО "Исток"(г.Фрязино), НПО "Титан"(Москва), НПО "Алмаз", НПО "Тантал"(г.Саратов) - теория и методы расчета электрических и магнитных полей для СВЧ-приборов. Однако по-прежнему актуальными остаются задачи, возникающие при использовании систем с биполярным электродом, что затрагивает общую проблему моделирования электрических полей для пространств произвольной конфигурации, включающем проводники 1 и 2 рода и диэлектрики. Разработка аналитических и численных моделей расчета характеристик полей позволила бы разработать эффективные алгоритмы вычислений при моделировании и быстро сходящиеся процедуры оптимизации характеристик, что вообще не рассматривалось исследователями биполярных систем, а это актуально в практическом плане.

В качестве объекта исследования рассматриваются электрические поля, возникающие при обработке поверхностей установками на основе биполярного электрода. Такие схемы являются наиболее перспективными в современных технологиях и, в то же время, объединяющими физические процессы в отдельно рассмотренных упомянутыми исследователями системах. Они оказываются достаточно универсальными, чтобы на примере их исследования создать методику моделирования и анализа подобных систем. Оптимизация характеристик возможна только на основе моделирования и установления физической картины, возникающих электрических полей, адекватной развивающимся процессам в рабочем пространстве. Это приводит, в первую очередь, к необходимости решения смешанной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.

Физические процессы в системах с биполярным электродом

Существуют различные схемы систем с биполярным электродом. [7,8] Некоторые из них представлены на рисунке. ч> ь - — + + а) б) в) @ г)

Д)

Рнс. 1 Схемы систем с биполярным электродом: а) обработка поверхности труб, б) обработка лопаток турбин, в) полирование листов проката, г) сверление отверстий, д) обработка деталей в авиастроении, е) то же с переменным током

Т.к. обрабатываемая деталь, играющая роль биполярного электрода, помещена между анодом и катодом в электролите, то на ее поверхности одновременно протекают анодные и катодные реакции. Ток к обрабатываемой детали подводится через электролит сразу по всей поверхности. Наличие на детали (биполярном электроде) одновременно катодной и анодной зон, где протекают соответствующие реакции, позволяет путем изменения соотношения площадей в пользу катодной реакции, повысить локализацию анодного растворения.

В биполярной схеме в момент касания одного из электродов инструментов детали короткого замыкания не возникает, так как величина тока в цепи ограничена сопротивлением второго межэлектродного промежутка. Исключение явлений короткого замыкания обеспечивается конструкцией инструмента, которая исключает одновременное касание деталью обоих электродов.

Причины, вызывающие одновременное протекание катодной и анодной реакций на поверхности детали, связаны с появлением поверхностных зарядов разных знаков при протекании тока через границу неоднородных сред: — it— р,

- ^

Рис. 2 Стационарное электрическое поле в проводнике, состоящем из участков с разными удельными сопротивлениями (pj>pi).

Скачок нормальной составляющей вектора Е, происходящий при протекании тока через границу различных сред

Если р2 » /7,, то а = £0Е2п = s0p2j2.

Если электрический ток течет из среды с меньшим удельным сопротивлением в среду с большим удельным сопротивлением, то поверхность раздела заряжается положительно, а при обратном направлении тока -отрицательно.

Стационарные заряды (и, соответственно, стационарное электрическое поле) на границе двух сред возникают вследствие скопления здесь заряженных частиц при установлении стационарного режима и непрерывно обновляются в процессе прохождения тока. Т.к. биполярный электрод находится внутри электрического поля и силовые линии проходят через него, то его поверхность

Поверхностная плотность появляющихся зарядов: несет положительные и отрицательные заряды. Соответственно, протекают катодные и анодные электрохимические реакции.

Распределение плотности тока по поверхности детали оказывает определенное влияние на скорость и точность технологического процесса. Существенное влияние на распределение плотности тока оказывает исходная геометрия межэлектродного зазора, кинематика движения инструмента, электропроводность электролита, поляризуемость электродов (эти параметры и являются группой параметров для оптимизации технологического процесса). Исследованию распределения тока по биполярному электроду посвящены работы [5,7,8].

Распределение плотности тока на биполярном электроде зависит еще от таких специфических факторов, как взаимное расположение (мы исследуем конкретную технологическую установку) всех трех электродов, соотношение удельной электропроводности раствора и суммарной поляризуемости биполярного электрода (что можно варьировать в процессе оптимизации).

В работе [9] показано, что поверхность биполярного электрода в среде электролита можно представить эквипотенциальной поверхностью. Так как биполярный электрод в целом электрически нейтрален, то уменьшая расстояние между катодом и биполярным электродом, можно уменьшать площадь, занимаемую положительным зарядом, вследствие чего плотность заряда возрастает. Для отрицательных - наоборот. Для электрохимической системы это приведет к увеличению скорости анодного растворения. Изменить соотношение этих площадей можно так же, изменяя потенциал биполярного электрода с помощью делителя напряжения.

Рассмотрим модель ячейки с биполярным электродом.

S,

Рис. 3 Общий вид схемы с биполярным электродом

Уравнения для потенциала электрического поля [5]: д2и д2и Л + тт = 0> дх2 ду2 дп дп дил дп ds2 = О 0 1

1Л2

Um - потенциал биполярного электрода; сь Cj, Сз - поляризации электродов. электролит

О-\ ротор-маятник шш мшшш

-Uo

U0 шш шммшм ттж шш мш шшчш*; + + деталь

Рис. 4 Общая схема исследуемой установки. -Uq- катод, +Uo- анод, штриховкой обозначен изолятор.

На рисунке 4 представлена схема установки, осуществляющей электрохимическую обработку поверхности детали. Установка представляет собой инструмент с расположенными на нем анодом и катодом, и деталь, которая в результате явления электростатической индукции становится биполярным электродом. Инструмент и деталь помещены электролит (проводящую среду 2-го рода), который прокачивается через межэлектродный зазор (МЭЗ). Причем, перед попаданием в МЭЗ электролит проходит через функциональный элемент установки «ротор-маятник».

Рис. 5 Принципиальная схема комбинированного разрезания с ротационным газонасышением среды: 1-корпус; 2-алмазныП круг; З-кольцевая спираль; 4-ротор маятник; 5-фланец; 6-обрабатываемая деталь; 7сопло.

Ток к детали подводится через электролит сразу по всей поверхности. В биполярной схеме в момент касания одного из электродов инструментов детали короткого замыкания не возникает, так как величина тока в цепи ограничена сопротивлением второго межэлектродного промежутка. Исключение явлений короткого замыкания обеспечивается конструкцией инструмента, которая исключает одновременное касание деталью обоих электродов.

На детали появляются поверхностные заряды разных знаков при протекании тока через границу неоднородных сред. Непосредственно обрабатывается поверхность детали в МЭЗ. При этом под воздействием протекающего тока материал детали окисляется, и его ионы попадают в электролит. Благодаря прокачке электролита через МЭЗ, растворенные ионы покидают зону обработки, и, таким образом, характеристики электролита в МЭЗ не изменяются во времени.

Наиболее существенной характеристикой эффективности системы является время обработки детали, определяемое следующим соотношением: t = Аао .я*,Jj,K„ х,-изф (х, у, j(x, у))), где аа - начальный зазор между катодом и деталью, м, ctk - конечный зазор, м, // - выход по току, Ку - объемный электрохимический эквивалент обрабатываемого материала, м3/(А-с), % - удельная электропроводность электролита в межэлектродном зазоре (МЭЗ), См/м, иэф - эффективное напряжение, В, которое очень сложным образом может зависеть от различных электрофизических параметров: распределения плотности тока j(x,y), А/м в МЭЗ, геометрии взаимного расположения электродов и т.д. Эффективное напряжение, зависящее от распределения поля в МЭЗ является самой трудно определяемой характеристикой.

Вид целевой функции свидетельствует о необходимости решения задачи расчета характеристик элетрических полей в конфигурационно сложном межэлектродном пространстве.

Распределение плотности тока по поверхности детали оказывает определенное влияние на скорость и точность технологического процесса. Существенное влияние на распределение плотности тока оказывает исходная геометрия межэлектродного зазора, кинематика движения инструмента, электропроводность электролита, поляризуемость электродов (эти параметры и являются группой параметров для оптимизации технологического процесса). Также существенное влияние на скорость и качество технологического процесса оказывают колебания, возбуждаемые в технологической среде функциональным элементом установки «ротором-маятником». Поэтому важной задачей становится определение условий, при которых «ротор-маятник» совершает гармонические или квазигармонические колебания, и определение условий перехода в стохастический режим, которого следует избегать.

Распределение плотности тока на биполярном электроде зависит еще от таких специфических факторов, как взаимное расположение (мы исследуем конкретную технологическую установку) всех электродов, соотношение удельной электропроводности раствора и суммарной поляризуемости биполярного электрода (что можно варьировать в процессе оптимизации).

Фактически поставленная задача сводится к решению уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями в некоторой двумерной области. Причем на электродах (аноде и катоде) задается краевое условие 1-го рода (значение потенциала), а на остальных границах - краевое условие 2-го рода (производная потенциала по нормали равная нулю). Полученное решение используется при решении задачи оптимизации.

Задачи исследования

Цель и основные задачи диссертационного исследования

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей расчета характеристик полей, возникающих в межэлектродном пространстве, включающем, в общем случае, проводники 1 и 2 рода и диэлектрики. Эти модели должны явиться алгоритмической основой программного комплекса по моделированию, исследованию и оптимизации характеристик полей в системах с биполярным электродом.

С точки зрения полевого описания системы могут рассматриваться как двумерные, что позволяет сформулировать следующие задачи исследования:

1. Изучение возможности аналитического решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерном случае методом конформных отображений.

2. Создание численной двумерной модели токов в межэлектродном зазоре.

3. Разработка программного обеспечения на основе современных объектно-ориентированных технологий программирования для моделирования и исследования электрических полей, возникающих в конфигурационно сложном межэлектродном пространстве.

4. Разработка эффективного метода оптимизации, учитывающего высокую конструктивную размерность модели (размерность пространства варьируемых параметров) и неявный вид функции цели.

Научная новизна работы

1. Предложен метод приближенного аналитического решения смешанной задачи для уравнения Лапласа. Показано, что, разбивая исследуемую двумерную область на достаточно простые подобласти определенной конфигурации с линейными границами, возможно получить приближенное аналитическое решение смешанной задачи для уравнения Лапласа.

2. Разработана модификация метода сеток, отличающаяся возможностью управления масштабом сеточного покрытия области, что позволяет учитывать неоднородности среды: наличие в исследуемой области электродов, проводников и диэлектриков с различными физическими свойствами.

3. Разработаны эффективные по скорости сходимости модификации численных методов оптимизации (стохастических - Бокса) применительно к задачам с большим количеством зависимых параметров, отличающиеся от канонических применением разработанных генераторов: случайных чисел на основе алгоритмов Д.Кнута и детерминированных многомерных равномерно-распределенных последовательностей LPT - чисел.

4. Разработаны и применены в задачах исследования оригинальные алгоритмы визуализации результатов моделирования, позволяющие, в частности, получать картину эквипотенциальных линий и линий направлений тока для моделируемого поля.

5. Установлено распределение напряженности электрического поля в межэлектродном зазоре (МЭЗ), и, в частности, распределение по поверхности электрода. На основании этого и параметров подвижности ионов электролита получено распределение плотности тока в МЭЗ.

6. Определены области динамической устойчивости основного функционального элемента системы с биполярным электродом (узел «ротор-маятник» установки для обработки функциональных узлов СВЧ-приборов: определяет, в основном, эффективность технологического процесса - его длительность) и выявлены условия перехода системы в стохастический режим.

7. С помощью разработанного программного обеспечения проведено моделирование электрических полей для типичных конфигураций электродов.

Научная ценность и практическая значимость работы

Научная ценность работы состоит в разработке и апробации методов решения двумерных полевых задач, возникающих при исследовании систем на основе биполярного электрода.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработанный программный комплекс позволяет моделировать электрические поля в межэлектродном зазоре биполярного электрода, протекание токов, а так же выявлять картину силовых линий поля и рассчитывать характеристики его распределения. Технологии объектно-ориентированного программирования, реализованные в программном обеспечении, позволили повысить его гибкость (комплекс является открытым для наполнения другими программными модулями и алгоритмами), эффективность и адаптируемость к широкому кругу новых модельных задач.

2. Разработана модельная основа для решения задач оптимизации в системах с биполярным электродом по их конструктивным и электрофизическим параметрам.

3. Развитые в работе методы программирования, математические модели и численные методы моделирования электрических полей, а так же разработанное программное обеспечение используются в учебном процессе на кафедре технической физики и информационных технологий ЭТИ СГТУ в следующих курсах специальности ПВС: «Вычислительная математика», «Моделирование физических систем», «Объектно-ориентированное программирование», «Интернет-технологии».

Методы исследования и достоверность научных результатов

Достоверность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием основных теоретических результатов и выводов экспериментальным данным, а так же результатам, полученным другими авторами. Аналитическое решение получено методом конформных отображений на плоскости. Численное моделирование проводилось на основе методов сеток и конечных элементов.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Численная модель для расчета электрических полей, возникающих в межэлектродном пространстве биполярного электрода, отличающаяся от известных возможностью учета неоднородностей исследуемой области, элементы которой могут принадлежать к одному из трех типов: электродам, проводникам и диэлектрикам.

2. Программный комплекс, позволяющий производить количественный расчет характеристик полей, анализ физических процессов, оптимизацию их, отличающийся от известных модульностью структуры и объектно-ориентированным подходом при реализации. Это позволяет адаптировать разработанное программное обеспечение по расчету электрических полей к моделированию систем с достаточно произвольной конфигурацией электродов.

3. Метод приближенного аналитического решения смешанной задачи для двумерного случая, основанный на разбиении исследуемой области на простые подобласти различной конфигурации с линейными границами, в которых потенциал может быть найден аналитически, позволяет, «сшивая» решения, получить полное аналитическое описание электрического поля и сформулировать целевую функцию для задачи оптимизации системы в целом.

4. Достаточно произвольные амплитуды внешнего воздействия рабочей средой на «ротор-маятник» для частот, превышающих его резонансную, сохраняют гармонический характер колебаний системы, а при частотах воздействия, меньших резонансной, переход системы в стохастический режим реализуется при малых амплитудах внешнего воздействия.

5. Результаты по распределению напряженности электрического поля в МЭЗ, и, в частности, распределение по поверхности электрода, а так же распределение плотности тока в МЭЗ.

Апробация работы

Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: международные конференции «ИТО» (Москва - 2003, 2004), «Технологии Интернет - на службу обществу» (Саратов - 2003, 2004, 2005), «Динамика технологических систем» (Саратов - 2004). По результатам исследований автором получены 2 диплома II степени на Всероссийских конкурсах на лучшие научно-технические и инновационные работы учащейся молодежи вузов РФ по математическому моделированию в области естественных наук (2003 и 2004 гг.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них 3 — в центральной печати), список которых приведен в конце списка литературы.

• при достаточно больших частотах (Q>1) имеют место периодические

колебания, незначительно отличающиеся от гармонических при

довольно произвольных изменениях амплитуды внешнего воздействия;

• при небольших частотах (Q<1) картина колебаний зависит от

амплитуды внешнего воздействия: при малых амплитудах колебания

также незначительно отличаются от гармонических, а при больших

внешних воздействиях (^Q1) ВОЗМОЖНО появление негармонических

периодических и стохастических колебаний;

• появление стохастических режимов возможно только при достаточно

малых значениях параметра 5, связанного с сопротивлением среды. На рис. 25 представлена карта режимов системы "ротор-маятник",

полученная в результате численного моделирования на основании модели

0,2 0,3 0,4 0,6 o.e 0,7 oa o,« i

Рис. 31. Светлая область соответствует значениям параметров, для которых имеют место иериодические

негармонические режимы. Темная область соответствует значениям параметров, для которых

существуют неустойчивые и стохастические режимы. (Левому рисунку соответстствует 5=0.1, правому

рисунку - 6=1.0).Заключение

1. Проведен анализ существующих методов решения смешанной задачи

уравнения Ланласа для двумерного случая. Предложен метод решения,

основанный на разбиении исследуемой двумерной области на

достаточно простые нодобласти определенной конфигурации с

линейными границами, и получено приближенное аналитическое

решение смеша1Н1ой задачи. 2. Проведен анализ численных методов и разработана численная двумерная

модель для расчета электрических полей в межэлектродном

пространстве системы на основе биполярного электрода. 3. Предложена модификация метода сеток, позволяющая учитывать

неоднородности среды: наличие в исследуемой области электродов,

проводников и диэлектриков с различными физическими свойствами. 4. Разработаны эффективные по скорости сходимости модификации

численных методов оптимизации применительно к задачам с высокой

конструктивной размерностью моделей, основанные на применении

равномерно-распределенных многомерных ЬРт-чисел, а так же

оригинальные алгоритмы визуализации результатов моделирования. 5. Разработано программное обеспечение, реализующее разработанные

модели и алгоритмы, позволяющее рассчитывать и оптимизировать

параметры распределений электрических полей. 6. Смоделировано поведение одного из основных элементов системы -

"ротора-маятника", определяющего, в основном, эффективность

технологического процесса (его длительность), выявлены области

динамической устойчивости системы и условия перехода её в

стохастический режим. 7. Разработано Windows-приложение с удобным графическим интерфейсом

для пользователя, позволяющее моделировать протекание токов в межэлектродном зазоре биполярного электрода, а так же выявлять

картину электрических полей и характеристики их распределений. 8. Программное обеспечение для моделирования и расчета характеристик

электрических полей разработано на языка C++ без учета особенностей

конкретных систем программирования. Это позволяет переносить

исходный код между различными средами разработки,

поддерживающими C++ и Windows API. Приложение тестировалось с

использованием MinGW и Visual C++. 9. Разработанный программный комплекс для теоретического исследования

физических процессов, возникающих в электросистемах с биполярным

электродом, обладает эффективностью, гибкостью и адаптируемостью к

новым полевым задачам благодаря примененной при разработке

концепции обьектно-ориентированного программирования.

1. Волгин В.М. Моделирование запредельных режимов ионного переноса в электрохимических системах с ионообменными мембранами / В.М. Волгин, О.В. Волгина // Известия Тульского государственного университета. - 2001. №2.-С. 117-129.

2. Волгин В.М. Моделирование ионного переноса в электрохимических системах с биполярными мембранами / В.М. Волгин, О.В. Волгина // Известия Тульского государственного университета. -2001. №2. С. 129-138.

3. Каримов А.Х. Методы расчета электрохимического формообразования / А.Х. Каримов, В.В. Клоков, Е.И. Филатов// Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1990. -385 с.

4. Клоков В.В. Гидродинамический поток в зазоре с зонами локализации ЭХО /B.В. Клоков, М.Р. Шайдуллин // Краевые задачи и их приложения: итоговая научная конференция КГУ. Казань, 2000 год. С. 115-121.

5. Иванов В.Т. Расчеты электрических полей в многоэлектродных системах с биполярными электродами. / В.Т. Иванов // Электрохимия. X. Вып. 11. 1974.C.1657.

6. Коломейцев В.А. Взаимодействие электромагнитных волн с поглощающими средами и специальные СВЧ системы равномерного нагрева: автореф. дис. д-ратехн. наук: 05.12.21. /В.А. Коломейцев //-Саратов, 1999. -37с.

7. Фомичев В.Г. Исследование биполярного электрода. / В.Г. Фомичев // Труды ЛТИ. 1958. Вып. 46. С.36.

8. Вишневский А.Н. К расчету электрического поля биполярных электродов / А.Н. Вишневский // Электричество. 1977. №7. С.87.

9. Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при кручении электромагнитного поля. / Г.А. Рязанов М.: Наука, 1966.

10. Сильверстов В.В. Конформное отображение / В.В. Сильверстов // Соросовский образовательный журнал. №12. 1999. С. 97-102И. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат М.: Наука, 1987. 688 с.

11. Стренг Г. Теория метода конечных элементов/ Г. Стренг, Дж. Фикс М.: Мир, 1977. 349 с.

12. Courant R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1-43.

13. Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut Sci. 1956. Vol. 23, 9. P. 805-823.

14. Амосов A.A Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

15. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд -М.: Мир, 1979. -392с.

16. Панов Д.Б. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных / Д.Б. Панов М.: Гостехиздат, 1949. -563с.

17. Слепцов А.Г. Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач. / А.Г. Слепцов, Ю.И. Шокин// Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1997. — Т. 37, №5. — С. 572-586.

18. Сёмин Л.Г. Метод коллокаций — наименьших квадратов для уравнений Стокса /Л.Г. Сёмин, А.Г. Слепцов, В.П. Шапеев// Вычислительные технологии, — 1996. —Т. 1,№2. — С. 90-98.

19. Сёмин Л.Г. Метод коллокаций и наименьших квадратов для уравнений Навье — Стокса /Л.Г. Сёмин, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. — 1998. — Т. 3, №3. — С. 72-84.

20. Блейвас И.М. Применение метода конечных разностей для решения трехмерного нестационарного уравнения теплопроводности. / И.М Блейвас, В.А. Крысько, М.П. Мисник// Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45, №3. С.517.

21. Гнусин Н.П. Основы теории расчета и моделирования электрических полей в электролитах / Н.П. Гнусин, Н.П. Поддубный, А.И. Маслий Новосибирск, 1972. 276 с.

22. Миролюбов Н.Н. Методы расчета электростатических полей / Н.Н. Миролюбов, М.В. Костенко, M.JI. Левинштейн, Н.Н. Тиходеев М.: Высш. шк. 1963.416 с.

23. Калиткин Н.Н. Численные методы. /Н.Н. Калиткин М.:Наука, 1978.-512с.

24. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987.

25. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин М.: Наука, 1989.-432 с.

26. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. / Р.П. Федоренко М.: Изд-во МФТИ, 1994. 528 с.

27. Kita Е. Solution of Poisson equation by Trefftz method. / E. Kita, Y. Ikeda, N. Kamiya Southampton: WIT Press, 2002. C.7-15

28. Банди Б. Методы оптимизации / Б. Банди. М.: Радио и связь, 1988.

29. Ауоки М. Введение в методы оптимизации / М. Ауоки. М: Наука, 1977.

30. Соболь И.М. Точки равномерно заполняющие многомерный куб / И.М. Соболь // Знание. 1985. №2.

31. Richardson J.A. The complex method for constrained optimization / J.A. Richardson, J.L. Kuester//Arizona The Computer Journal. Az 85281. 1971.

32. Box M.J., New Method constrained optimization and a compression wish other methods / M.J. Box // The Computer Journal. 1965. JST»8.

33. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников М.: Наука, 1981.

34. Соболь И.М. Наилучшие решения где их искать. / И.М. Соболь Р.Б. Статников М.: Знание, 1982.

35. Kuipers L. Uniform distribution of sequences / L. Kuipers, H. Niederreiter New York: Wiley, 1974.

36. Beveridge, G.S, Optimization: Theory and Practice / G.S. Beveridge, R.S. Schechter New York: Me Graw Hill, 1970.

37. Davidson W.S., Variable metric method for minimization, AEC R&D Report, ANL-5990 / W.S. Davidson Argonne National Laboratory, 1959.

38. Fletcher R. A rapidly convergent descent method for minimization / R. Fletcher, M.J.D. Powell// The Сотр. Journal. 1963. №6.

39. Kiefer J. Sequential minimax search for a maximum / J. Kiefer // Proc. Am. Math.Soc. 1953. №4.

40. Powell M.J. An efficient method of finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives / M.J. Powell // The Сотр. Journal. 1963. №7.

41. Box M.J. Non-linear Optimization Techniques / M.J. Box, D. Davies, W.H. Swann ICI Ltd., Monograph 5, Oliver and Boyd. 1969.

42. Hooke R. Direct search solution of numerical and statistical problems / R. Hooke, T.A. Jeeves //The Сотр. Journal. 1961. №8.

43. Nelder R. A simplex method for function minimization / R. Nelder, R. Meed // The Сотр. Journal. 1965. №7.

44. Powell M.J.D. An interactive method for finding the stationary values of a function of several variables / M.J.D. Powell // The Сотр. Journal. 1962. №5.

45. Rossenbrock H.H. An automatic method for finding the greatest or least value of a function / H.H. Rosenbrock // The Сотр. Journal. 1960. №3.

46. Spendley W. Sequential applications of simplex designs in optimization and evolutionary operation / W. Spendley, G.R. Hext, F.R. Himsworsh // Technometrix. 1962. №4.

47. Broyden C.G. Quasi Newton methods and their application to function minimization / C.G. Broyden // Maths. Of Сотр. 1967. №21.

48. Broyden C.G. The convergence of single rink quasi - Newton methods / C.G. Broyden // Maths. Of Сотр. 1970. №24.

49. Fletcher R. A new approach to variable metric algorithms / R. Fletcher // The Сотр. Journal. 1970. №13.

50. Fletcher R. A rapidly convergent descent method for minimization / R. Fletcher, M.J. Powell // The Сотр. Journal. 1970. №13.

51. Fletcher R. Function minimization by conjugate gradients / R. Fletcher, C.M. Reeves // The Сотр. Journal. 1964. №7.

52. Huang H.Y. Unified approach to quadratically convergent algorithms for function minimization / H.Y. Huang // J. Opt. Theory App. 1970. №5.

53. Huang H.Y. Numerical experiments on quadratically convergent algorithms for function minimization / H.Y. Huang, A.V. Levy // J. Opt. Theory App. 1970. №6.

54. Powell M.J.D. On the Convergence of the variable metric algorithm / M.J.D. Powell // J. Inst. Maths. App. 1971. №7.

55. Powell M.J.D. Quadric termination properties of minimization algorithms. I. Statement and discussion of results / M.J.D. Powell // J. Inst. Maths. App. 1972. №10.

56. Powell M.J.D. Quadric termination properties of minimization algorithms. II. Proofs of theorems / M.J.D. Powell // J. Inst. Maths. App. 1972. №10.

57. Иванов В.Т. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. / В.Т. Иванов, В.Г. Гусев, А.Н. Фокин М.: Машиностроение, 1986.-213 с.

58. Хокни Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд М.: Мир, 1987. 640 с.

59. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ: в 3 т. Т.1. Основные алгоритмы. / Д. Кнут М.: Мир, 1976. 735 с.

60. Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ: в 3 т. Т.2. Получисленные алгоритмы. / Д. Кнут М.: Мир, 1977. 724 с.

61. Элькин М.Д. Введение в компьютерное моделирование в среде VBA. / М.Д. Элькин, Ю.В. Клинаев, A.M. Кац Саратов, СГТУ, 2004. 120 с.

62. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Дж. Влиссидес СПб.: Питер, 2001.-344 с.

63. А.с. 1520755 СССР МКИ4 В23Н7/12. Устройство для электрохимической резки / A.M. Долгих, П.И. Калмыков, В.В. Афанасьева // Открытия. Изобретения. 1987. - №35.

64. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда М.: Наука, 1987.

65. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев М.: Наука, 1987.

66. Болотнов A.M. Численное моделирование электрических полей анодной защиты некоторых электрохимических систем / A.M. Болотнов, В.Т. Иванов // Электрохимия. 1996. Т. 32, № 6. С. 694-697.

67. Болотнов A.M. Расчет электрического поля в многоэлементной электрохимической системе с нелинейно-поляризующимися электродами / A.M. Болотнов // Вестник Башкирского университета. 1998. №1(1). С. 12-15.

68. Соболев С.А. Уравнения математической физики / С.А. Соболев М.: Наука, 1992. 431 с.

69. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики / В.П. Ильин М.: Наука, 1985. 334 с.

70. Физические величины: справочник / под ред. И.С.Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. /Г.И. Марчук М.: Наука, 1989.-608 с.

72. Горенштейн A.M. Численное решение задач радиотехники и техники связи на ЭЦВМ. / A.M. Горенштейн М.: Связь, 1972. 200 с.

73. Вся высшая математика: вариационное исчисление, линейное программирование, вычислительная математика, теория сплайнов. Т. 6. / M.JI. Краснов, А.И. Киселев, Г.И Макаренко, Е.В. Шикин, В.И. Заляпин М. 2003. 256 с.

74. Самохвалов Э.Н. Задачи и упражнения по программированию. Машиностроение, приборостроение и связь / Э.Н. Самохвалов, Ю.Н. Филиппович, Г.И. Ревунков М.: Высш.шк., 1989. 96 с.

75. Клинаев Ю.В. Статистические модели ЛБВО анализ, синтез, управление параметрами. / Ю.В. Клинаев Саратов: СГТУ, 1998. 274 с.

76. Седыкин Ф.В. Размерная электрохимическая обработка деталей машин / Ф.В. Седыкин М.: Машиностроение, 1976. 302с.

77. Мурашев Д.А. К расчету электрического поля электромеханической системы финишного формообразования с биполярным электродом/А.М. Долгих, Ю.В. Клинаев, Д.А. Мурашев//Изв. вузов. Машиностроение. 2004. №8. С. 56-62.

78. Мурашев Д.А. Моделирование физических процессов в контактной зоне при электроалмазной резке/А.М. Долгих, Ю.В. Клинаев, Д.А. Мурашев//Известия вузов. Машиностроение. 2004. №12. С.46-52.

79. Мурашев Д.А. Объектно-ориентированный подход к реализации комплексного метода оптимизации Бокса/Ю.В. Клинаев, Д.А. Мурашев, С.С. Вест//Вестник СГТУ. 2005. № 2. С.77-83.