автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели для оценки состояний систем нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа

Введение

1 О математическом моделировании динамики системы нелинейно упругих стержней под действием механического удара по основанию

1.1 Общая схема построения математической модели одномерной механической системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.

1.2 Математическая модель первого класса.

1.3 Математическая модель второго класса.

1.4 Базовые математические модели стержневых элементов.

Выводы к главе

2 Внешняя задача о прочности всех связей системы

2.1 Постановка задачи и схема анализа с использованием энергетических неравенств в случае общей математической модели

2.2 Достаточные условия прочности в случае математической модели первого класса.

2.3 Достаточные условия прочности в случае математической модели второго класса.

2.4 Свойства внешних характеристик для нелинейно упругих стержневых элементов Эйлера-Бернулли.

Выводы к главе

3 Внутренние задачи о применимости линейно упругих математических моделей

3.1 Постановка задачи в гильбертовом пространстве и общий анализ с использованием априорных неравенств.

3.2 Достаточные условия применимости линейно упругой математической модели первого класса.

3.3 Внутренние и внешние свойства линейно упругих стержневых элементов Кирхгофа-Клебша.

Выводы к главе

4 Об оптимизации по критериям прочности с учетом неопределенности информации о внешнем воздействии

4.1 Подход к нахождению целевой функции по внешнему критерию упругости.

4.2 Подход к нахождению целевой функции по внутреннему критерию упругости.

Выводы к главе

Актуальность темы. Применение математического моделирования и вычислительного эксперимента при проектировании конструкций заранее предопределено характером самих проблем в этой области. Одно из основных требований, предъявляемых к разрабатываемым объектам, состоит в обеспечении свойств, связанных с понятиями прочности, устойчивости. Во многих случаях при проектировании тех или иных составных конструкций исходят из условия их работы в упругой области деформирования, чтобы обеспечить прочность этих конструкций в процессе эксплуатации. В результате использования такой нормы проектирования ожидается, что реальный объект будет обладать способностью выдерживать любые нагрузки, не приводящие к неупругим состояниям. В конечном счете прочностные свойства составной конструкции определяются параметрами проектирования, геометрическими и физическими характеристиками ее элементов. Однако известные критерии упругости формулируются в виде ограничений на параметры состояния., которые определяются законами механики. Чтобы определить теоретическую зависимость экстремального значения меры напряженного состояния 1 от па.-раметров проектирования, вводится математическая модель составной конструкции, находящейся под действием внешних нагрузок. Фактически проблемы определения ресурса прочности моделируемых конструкций тесно связаны с проблемами применимости упругих математических моделей.

Определяющей математической моделью для составной конструкции может служить система с распределенными и сосредоточенными параметрами. При этом динамика состояний континуальных фрагментов описывается нелинейными уравнениями с частными производными или их системами. В ряде случаев описание динамики состояний бывает связано с использованием интегро-дифференциальных уравнений.

К особой категории относятся объекты, находящиеся под действием сейсмических нагрузок или под действием механического удара по основанию. Специфика таких воздействий состоит в принципальной неопределенности информации об их параметрах: величине, длительности, интенсивности, направленности.

1 Которая входит в любой из известных критериев упругости.

При неустранимой неопределенности информации о параметрах воздействий вычислительный эксперимент в виде численных расчетов конечной серии вариантов с использованием популярных методов (например, метода конечных элементов) не ведет к исчерпывающим результатам по оценке прочности проектируемого объекта. Более того, вычислительный эксперимент по схеме "метода проб и ошибок" с учетом "опыта проектировщика" мало помогает в определении способов изменения проекта с целыо усовершенствования прочностных свойств объекта. В силу сложности математических моделей и недостаточной изученности нелинейных задач установка на вычислительный эксперимент может послужить основанием для развертывания научно-исследовательских работ, направленных не только на совершенствование чис-леных методов, но и на разработку специального математического аппарата, обеспечивающего сопровождение вычислительного процесса. Например, чтобы ставить и решать задачи оптимизации при проектировании объектов, с 1983 г. в ряде комыотерных программ, реализующих метод конечных элементов, стали использовать эффективные методы анализа чувствительности при проектировании (Hang Е. J., Arora J. S., 1979; Haug Е. J., Choi К. К., Ivomkov V., 1986).

Все эти обстоятельства вместе со спецификой прочностной проблемы 2 выдвигают на первый план анализ самих математических моделей с целью изучения влияния параметров проектирования на параметры напряженного состояния. Целесообразный переход к упрощенным математическим моделям составных конструкций неизбежно ведет к выделению их категорий. К одной из них относятся конструкции, представимые стержневой системой с присоединенными массами или сводящиеся к ней, находящиеся под воздействием механического (или сейсмического) удара. В этой категории реальными объектами проектирования могут служить, например, стержневые конструкции в составе тех или иных космических объектов или летательных аппаратов, а также представительные фрагменты ряда наземных объектов в сейсмически активных районах, в том числе трубопроводы атомных электростанций и магистральные трубопроводы для транспортировки жидкости или газа.

В настоящей работе изучаются некоторые достаточно простые математические модели стержневых конструкций выделенной категории, учитывающие наиболее существенные параметры проектирования, в том числе физические и геометрические нелинейности.

Цель и задачи работы. Основной целыо настоящей работы является разработка математического аппарата как для анализа характера влияния параметров проектирования на оценки напряженных состояний с использо

2Как проблемы применимости упругих математических моделей. ванием математических моделей систем нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа, так и для нахождения условий (в виде ограничений на параметры внешнего воздействия и параметры проектирования), обеспечивающих применимость упругих математических моделей.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать общую схему построения формализованной упрощенной математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа, используя характеристики отдельных стержневых элементов и учитывая особенности структуры системы. Из общей модели выделить конкретные типовые математические модели.

2. Разработать базовые математические модели стержневых элементов, применимые как для определения их упругих характеристик, так и для нахождения нижних границ энергии деформации. Для каждой из базовых моделей ввести области (внутренние и внешние) их реализации по критериям упругих состояний.

3. Разработать подход к получению энергетических соотношений (равенств и неравенств), вытекающих из уравнений движения системы с использованием введенных математических моделей. Установить достаточные условия, обеспечивающие выполнимость тех или иных энергетических неравенств.

4. Разработать математический аппарат, позволяющий с использованием конкретной модели получать априорные оценки параметров напряженного состояния системы, не связанные с нахождением решения уравнений движения. Выделить достаточные условия, обеспечивающие применимость введенных упругих моделей.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались вариационные принципы аналитической механики и ее лагранжев формализм, энергетические соотношения (равенства и неравенства), интегральные нера.-венства, прямые методы вариационного исчисления, элементы выпуклого анализа, элементы функционального анализа, а также элементы прикладной механики твердого деформируемого тела.

Научная новизна.

1. Разработана общая схема построения математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа с учетом особенностей структуры системы и с использованием базовых математических моделей отдельных стержневых элементов.

2. Разработаны базовые математические модели стержневых элементов с целью определения их внешних упругих характеристик и внешних областей реализации (по внутренним критериям упругости) с учетом физической нелинейности и с использованием больших перемещений.

3. Разработаны математические методы нахождения нижних границ (в виде функций от обобщенных перемещений) как для энергии деформации упругого стержневого элемента, так и для максимальной интенсивности напряжений в его теле. С использованием найденных нижних границ получены оценки границ областей реализации внешних упругих характеристик для базовых стержневых элементов.

4. Разработаны математические методы получения априорных оценок внутренних и внешних параметров напряженного и деформированного состояний системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударно-го типа с использованием установленных энергетических неравенств потенциального типа и с учетом всей информации об упругих характеристиках стержневых элементов в составе системы.

5. Установлен характер влияния параметров проектирования на оценки параметров напряженного и деформированного состояний системы. Выделены достаточные условия применимости упругих моделей.

6. Разработан подход к нахождению целевых функций для оптимизации проекта системы по прочностным критериям с учетом неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.

Практическая ценность. В целом работа имеет теоретический характер, но отличается направленостыо на прикладные задачи. Использование полученных результатов при оценке ресурса прочности объекта проектирования существенно снижает уровень неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия, а также может в определенной степени повлиять как на планирование, так и на содержание сопутствующего вычислительного эксперимента. Эффективность их использования состоит в том, что в рамках одного проекта сужается область применения вычислительного эксперимента, а для ряда проектов полностью отпадает надобность в его проведении. Результаты теоретического анализа позволяют принять подход к проблеме улучшения проекта по прочностным критериям. Все это может найти полезное применение в методических разработках по проектированию объектов данной категории. Установленные достаточные условия применимости упругих моделей вместе с математическими средствами (в виде алгоритмов и программных модулей) для проверки этих условий могут составить основу методик для оперативной оценки объекта.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка общей схемы построения математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмо-ударного типа с учетом особенностей структуры и с использованием базовых математических моделей отдельных элементов.

2. Проект базы математических моделей стержневых элементов с целью определения их внешних упругих характеристик и внешних областей реализации (по внутренним критериям упругости) с учетом физической нелинейности и с использованием больших перемещений.

3. Разработка математических методов нахождения нижних границ (в виде функций от обобщенных перемещений) как для энергии деформации упругого стержневого элемента, так и для максимальной интенсивности напряжений в его теле. Использование найденных нижних границ с целью получения оценок границ областей реализации внешних упругих характеристик для базовых стержневых элементов.

4. Разработка математических методов получения априорных оценок внутренних и внешних параметров напряженного и деформированного состояний системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа с использованием установленных энергетических неравенств потенциального типа и с учетом всей информации об упругих характеристиках стержневых элементов в составе системы.

5. Методы установления характера влияния параметров проектирования на оценки параметров напряженного и деформированного состояний системы, позволяющие выделить достаточные условия применимости упругих моделей.

6. Разработка подхода к нахождению целевых функций для оптимизации проекта по прочностным критериям при проектировании объекта с учетом неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной научно-практической конференции "V Виш-няковские чтения": "Университетская наука - российскому образованию и промышленности" (СПб. - Бокситогорск, 2002), на научном семинаре в Институте проблем машиноведения РАН (СПб., 2004), на Межрегиональной научно-методической конференции "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" в КГПИ (Сыктывкар, 2005), на 63-ей Международной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГАСУ (2006), на 59-ой Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ (2006).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы содержатся в опубликованных работах [79]-[95].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 95 наименований.

Выводы к главе 4

Разработан подход к нахождению целевых функций по прочностным критериям (внешним и внутренним условиям упругих состояний) при проектировании объекта с учетом неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.

2Предста.вимое в § 3.2 неравенством (3.2.21)

Заключение

В работе рассматривается ряд математических задач, ориентированных на получение оценок параметров напряженного и деформированного состояний системы нелинейно упругих стержней, находящейся под внешним воздействием сейсмоударного типа. Исходная прикладная проблема (оценка ресурса прочности) сводится к задачам на выяснение условий, обеспечивющих применимость упругих моделей для таких конструкций.

1. Разработана общая схема построения математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа с учетом особенностей структуры и с использованием базовых математических моделей отдельных элементов.

2. Разработаны базовые математические модели стержневых элементов с целью определения их внешних упругих характеристик и внешних областей реализации (по внутренним критериям упругости) с учетом физической нелинейности и с использованием больших перемещений.

3. Разработаны математические методы нахождения нижних границ (в виде функций от обобщенных перемещений) как для энергии деформации упругого стержневого элемента, так и для максимальной интенсивности напряжений в его теле. С использованием найденных нижних границ получены оценки границ областей реализации упругих внешних характеристик для базовых стержневых элементов.

4. Разработаны математические методы получения априорных оценок внутренних и внешних параметров напряженного и деформированного состояний системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа с использованием установленных энергетических неравенств потенциального типа и с учетом всей информации об упругих характеристиках стержневых элементов в составе системы.

6. Установлен характер влияния параметров проектирования на оценки напряженного и деформированного состояний. Выделены достаточные условия применимости упругих моделей.

7. Разработан подход к нахождению целевых функций по прочностным критериям при проектировании объекта с учетом неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.

1. Абрамов Л.М. Капустин В.Ф. Математическое программирование: Теория выпуклого программирования. - СПб.: Изд-во СПбГУ. 2001. -264 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука., 1979. - 432 с.

3. Бердичеоский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. 1983. - 448 с.

4. Бирбрайер А.Н. Шульман С.Г. Прочность и надежность конструкций АЭС при особых динамических воздействииях. М.: Энергоиздат, 1989. - 448 с.

5. Бирбрайер А.В. Расчет конструкций на сейсмостойкость. СПб.: Наука, 1998. - 255 с.

6. Бурбаки В. Топологические векторные пространства. М.: Изд-во ИЛ, )59. - 411 с.

7. Бутенин И.В. Фуфаев В.А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1991. - 256 с.

8. Введение в механику сплошных сред: Учеб. пособие/ Под ред. К. Ф. Черных. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. - 280 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 528 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. - 300 с.

11. Гельфхтд И.М. Фомин С.В. Вариационное исчисление. -М.: ФМ, 1961.

12. Гихман И.И., Скороход А.В. Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Вища школа, 1979.

13. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. - 304 с.

14. Григолюк Э.И., Шалашшшн В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения, по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

15. Губанов В.А. Захаров В.В.: Коваленко А.Н. Введение в системный анализ: Учеб. пособие/ Под ред. Л. А. Петросяна. Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. - 232 с.

16. Дубровин Б. А. Новиков С.П. Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1979. - 760 с.

17. Дюво Г. Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

18. Елисеев В.В. Механика упругих стержней: Учеб. пособие. СПб.: СПбГ-ТУ, 1994, - 84 с.

19. Ильюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова Думка, 1979. - 216 с.

20. Илъюшип А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. гос. унта, 1978. - 287 с.

21. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. - 624 с.

22. Картаи А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. - 392 с.

23. Канторович, Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, ' 1977. - 744 с.

24. Колмогоров А.В. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968. - 496 с.

25. Копа/ч,евский И.Д. Крейн С.Г. Иго Зуй Кап. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. - 416 с.

26. Ландау Л.Д. Лифшиц ЕМ. Механика. М.: Наука, 1973. - 208 с.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. -248 с.

28. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

29. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.

30. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. - 512 с.

31. Моисеев Н.Н., Иваиилов К).П., Столяров В.М. Методы оптимизации. М.: Наука. 1978.

32. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. -- 480 с.

33. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1989. 221 с.

34. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука. 1986. - 294 с.

35. Работное Ю.Н. Основы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 221 с.

36. Расчет и проектирование зданий для сейсмоопасиый районов. М.: Наука, 1988. - 120 с.

37. Рид М. Саймон В. Методы современной математической физики: Т. 1.

38. Функциональный анализ. М.: Мир. 1977. - 359 с.

39. Рид М. Саймон Б. Методы современной .математической физики: Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. - 400 с.

40. Рид М. Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. - 428 с.

41. Рисс Ф., Сёкефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, 1979. 589 с.

42. Рождествннский Б.Л. Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнеий и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 592 с.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 470 с.

44. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. - 445 с.

45. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. - 368 с.

46. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. М.: Наука, 1976. - 536 с.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976. - 576 с.

48. Сейсмостойкость сооружений. М.: Наука, 1989. - 192 с.

49. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. - 472 с.

50. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Под ред. Дж.Б. Келлера и С. Антмана. М.: Мир, 1974. - 254 с.

51. Трусделл К. Первиачалный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

52. Филин А,П. Прикладная механика твердого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Т. I. М.: Наука, 1975. - 832 с.

53. Филин А.П. Прикладная механика твердого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Т. II. М.: Наука, 1978. - 616 с.

54. Филин А.П. Прикладная механика твердого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики, Т. III. М.: Наука, 1981. - 480 с.

55. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986. •■ 462 с.

56. Хог Э. Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. - 428 с.

57. Янг Л. Лекции по вариационому исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир. 1974. - 488 с.1.. Статьи

58. А бра мое В. И., Александров В. Т. Об использовании математических методов оптимизации в проектировании j j Строит, механика и расчет сооружений. 1989. Л/о 4, - С. 40-41.

59. Галимханов К.Г., Юнусов Р.З. Распространение упругих волн деформации в стержневой системе ступенчато-переменной жесткости // При-кл. механика. 1989. - Т. 25, Л/о 4. - С. 88-93.

60. Исполов К).Г. К расчету жесткости армировки шахтного ствола // В кн.: Механика и процессы управления. М. Л.: Машиностроение, 1966.- 128 с. (Труды ЛПИ, Я о 266.)

61. Матвийчук К. С. Исследование устойчивости прямолинейных трубопроводов с транспортируемой жидкостью // Мат. физика и нелинейн. механика. 1989. - Вып. 11(45). - С. 18-23.

62. Милославский А.И., Станиславский Ю.Л. Об устойчивости прямолинейного консольного трубопровода // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. -Я о 5. - С. 160-167.

63. То, Калади. Вибрации систем трубопроводов, содержащих движущуюся среду /7 Теоретические основы инженерных расчетов. 1986. -Яо 1. - С. 122-133.

64. Шопа В.М. Сухоролъский М.А., Полевой В.Н. Математическая модель нелинейной механической системы с упорами j j Прикл. механика,- 1990. Т. 26, Яо 4, - С. 109-113.

65. Atsumi Ohtsuki. An analysis of large deflection in a cantelever beam with a vertical point load at the free end // Мейдзё дайгаку рикогакубу кенкю хококу. Repts. Fac. Sci. and Technol. Meijyo Univ. 1987. - No 26. - P. 2936.

66. Balakrislinan A.V. Damping operators in continuum models of flexible structures: Explisit models for proportional damping in beam bending with end-bodies // Appl. Math, and Optim. 1990. - V. 21, No 3. - P. 315-334.

67. Kirn C. D. Dickinson S. M. On the analysis of laterally vibrating elastically supported slender beams // J. Sound and Vibr. 1989. - V. 129(1). -P. 161-165.

68. Lardner T.J. A note on the elastica with large loads // Int. J. Solids and Struct. 1985. ~ V. 31. No 1. - P. 21-26.

69. Nageswara Rao В., Shast-y B.P., Venkateswara Rao G. Large deflection of a cantilever beam subjectied to a tip concentrated rotational load // Aeron. J. 1986. - V. 90, No 897. - P. 262-266.

70. Rosen A., Loewy R. G., Mathew M.B. Nonlinear analysis of pretwisted rods using "principal curvature transformation". Part I: Theoretical derivation // AIAA Journal. 1987. - V. 25, No 3. - P. 470-478.

71. Rosen A., Loewy R.G. Mathew M.B. Nonlinear analysis of pretwisted rods using "principal curvature transformation". Part II: Numerical results // AIAA Journal. 1987. - V. 25, No 4. - P. 598-604.

72. Rosen A., Loewy R.G. Mathew M.B. Nonlinear dynamics of slender rods // AIAA .Journal. 1987. - V. 25, No 4. - P. 611-619.

73. Sloss J.M., Adali S. Sadek I.S., Bruch J.G. Boundary feedback control of a vibrating beam subject to a displacement constraint // Optim. Control Appl. and Meth. 1989. - V. 10. - P. 81-87.

74. Stepanov E., Vavilov S.A. Nonlinear resonance beam oscillations induced by shear forces //' Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications. -1994. V. 23, No 11. P. 1477-1490.

75. Tsay H.-S. Kingsbury H.B. Vibrations of rods with general space curvature // J. Sound and Vibr. 1988. - V. 124(3). - P. 539-554.

76. Wu J.-S. Lin T.-L. Free vibration analysis of a uniform cantilever beam with point masses by an analytical-and-numerical-eombinatecl method j j J. Sound and Vibr. 1990. - V. 136(2). - P. 201-213.

77. I. Публикации автора по теме диссертации

78. Кондрашков А.В. О задаче Гурса для псевдопараболического уравнения //' Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, J\fo 9. -С. 1588-1596.

79. Кондрашков А.В., Маляров А.Ф., Улыбип А.Е. Методика расчета трубопроводов при сейсмических воздействиях // В кн.: Обеспечение сейсмостойкости атомных станций. М.: Наука, 1987. - С. 101-103.

80. Кондраликов А.В., Французов С.Б. Плоская задача о сильном изгибе упругого криволинейного стержня// Прикл. механика. 1992. - Т. 28, Л/о 4. - С. 48-56.

81. Кондраликов А.В. Французов С.Б. Плоская задача о сильном изгибе нелинейно упругого криволинейного стержня//' РЖ Механика. 1992. - Я О 4. - 4В502 ДЕП. - 92 с.

82. Кондрашков А.В., Парфенова Т.В. О нижних границах внутренней энергии в плоской модели изгиба упругого стержня // СПб.: ЛГОУ им. А.С. Пушкина, 2000. Деп. в ВИНИТИ 09.10.2000, Afo 2574-ВОО. -20 с.

83. Кондрашков А.В., Парфенова Т.В. О нижних границах для энергии деформации упругого стержня по Кирхгофу-Клебшу // В сб.: Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях. Вып. 3. СПб.: ЛГОУ им. А. С. Пушкина, 2002. - С. 94-100.

84. Кондраликов А.В., Парфенова Т.В. Об условиях неприменимости теории Кирхгофа-Клебша для описания форм изгиба изотропного стержня /У Материалы международной научно-практической конференции

85. V Вишняковские чтения". Часть 1. СПб. Бокситогорск: ЛГОУ им. А.С. Пушкина, 2002. - С. 137-138.

86. Кондрашков А.В. Об условиях применимости линейной модели для описания динамики системы упругих стержней при механическом ударе j j СПб.: ЛГОУ им. А.С. Пушкина. 2002. Деп. в ВИНИТИ 08.04.2003, Л/о 640-В2003. - 30 с.

87. Кондрашков А.В. Выпуклый анализ главных форм изгиба нелинейно упругого стержня j j СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2004. -Деп. в ВИНИТИ 18.06.2004, Wo 1040-В2004. 41 с.

88. Кондрашков А.В. Применение выпуклого анализа в нелинейной задаче прикладной механики // СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2004. -Деп. в ВИНИТИ 02.06.2004, No 932-В2004. 17 с.

89. Кондрашков А.В. Выпуклый анализ нелинейной задачи прикладной механики // В сб.: Методология и история математики. Том 5. СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2004. - С. 145-160.

90. Кондрашков А.В. О математической модели упругого стержня по Кирхгофу-Клебшу j j Актуальные проблемы современной математики: Уч. зал. Т. 13 (Вып. 2). СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2004. - С. 74-97.