автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель периодонта

Введение.

1. Периодонт: строение, функции, экспериментальные и биомеханические исследования.

1.1. Краткие сведения о строении и свойствах частей жевательного аппарата.

1.2. Определение, строение и функции периодонта.

1.3. Обзор исследований периодонта.

1.4. Периодонт как пористая среда, наполненная свободной жидкостью: экспериментальное доказательство.

1.4.1. Гипотеза о движении периодонтальной жидкости.

1.4.2. Материалы и методы исследования.

1.4.3. Результаты эксперимента.

1.4.4. Определение коэффициента проницаемости периодонта.

Выводы по главе 1.

2. Математическое моделирование поведения пороупругой среды.

2.1. Теория фильтрации.

2.1.1. Пористая среда и ее свойства.

2.1.2. Закон фильтрации Дарси.

2.2. Модель изотермической пороупругой среды, наполненной свободной жидкостью.

2.2.1. Определяющие соотношения, описывающие поведение изотропной пористой среды, наполненной свободной жидкостью.

2.2.2. Постановка краевой задачи.

2.2.3. Физический смысл материальных констант.

2.2.4. Система уравнений, описывающих поведение пористой среды, в переменных перемещений точек пористого скелета и давления жидкости.

2.3. Моделирование поступательного перемещения зуба (тестовая задача о движении жидкости в периодонте).

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Определение поля перемещений точек пористой среды и давления жидкости.

2.3.3. Определение поля скоростей точек жидкости и линий тока.

2.3.4. Определение напряженно-деформированного состояния в пористой среде.

Выводы по главе 2.

3. Роль периодонта в амортизации различных видов травматической нагрузки, действующей на центральный резец верхней челюсти.

3.1. Введение.

3.2. Пример эквивалентности определяющих соотношений, описывающих поведение пороупругой среды, наполненной свободной жидкостью, уравнениям теории упругости.

3.3. Влияние на вид травмы времени действия нагрузки.

Выводы по главе 3.

4. Определение оптимальных ортодонтических сил.

4.1. Основные положения ортодонтического перемещения зубов.

4.2. Постановка задачи оптимизации ортодонтических сил.

4.3. Нахождение напряженно-деформированного состояния в периодонте

4.4. Определение оптимальных сил.

4.5. Зависимость положения границы зон давления и тяги в периодонте от отношения действующих сил FJF2.

Выводы по главе 4.

5. Центр сопротивления и центр вращения зуба: определения, условия существования, свойства, методики экспериментального нахождения.

5.1. Введение.

5.2. Модель зуба, погруженного в периодонт и находящегося под нагрузкой.

5.3. Центр сопротивления: определение понятия, существование, свойства, методика экспериментального нахождения.

5.4. Центр вращения: определение понятия, существование, свойства, методика экспериментального нахождения.

Выводы по главе 5.

Актуальность. В настоящее время тенденция развития естественных наук заключается во все более широком использовании математического моделирования, математических методов и вычислительной техники для описания процессов, протекающих в различных материалах и конструкциях. Это особенно актуально при исследованиях поведения живых тканей. Подобные работы (G. Brankov, P.M. Calderale, S.C. Cowin, Y.C. Fung, R. Huiskes, P.J. Prendergast, F.G. Rammerstorfer, J.-F. Stoltz, J. Vossoughi и др.) активно ведутся за рубежом на протяжении последних трех десятилетий. В России, однако, они пока не получили должного развития; можно отметить лишь работы Г.А. Любимова, С.А. Регирера, A.A. Штейна.

При описании поведения зубочелюстной системы под действием механической нагрузки особенно важна реакция на нее периодонта - мягкой соединительной ткани, заполняющей пространство между корнем зуба и лункой альвеолярной кости челюсти. Именно поведение периодонта в значительной степени определяет способность зуба воспринимать различные виды как физиологических, так и патологических нагрузок. Несмотря на незначительную толщину (порядка 0,2 мм), эта тонкая прослойка может амортизировать достаточно большие нагрузки, возникающие при жевании и достигающие величины 80 кг (H.H. Бажанов). Однако механизм амортизации до сих пор остается недостаточно ясным.

В практической деятельности врач-стоматолог использует субъективные данные, что иногда приводит к ошибочным заключениям. Поэтому имеется необходимость объективизировать знания с помощью аппарата математического моделирования и на основе его подходов развить новые методы индивидуальных диагностики и лечения заболеваний, описания поведения зубочелюстной системы и, в частности, периодонта, под действием функциональной, травматической, ортодонтической и других видов нагрузки с единых биомеханических позиций.

Клиническому исследованию изменений в периодонте, находящемся под нагрузкой, посвящены работы Е.И. Гаврилова, А.Н. Еловиковой, Д.А. Калвелиса, А.Я. Катца, И.С. Кудрина, В.Ю. Курляндского, И.М. Оксмана, Е.Ю. Симановской, Ф.Я. Хорошилкиной, М.И. Эмдина, A.A. Gianelly, E.H. Hixon, A.M. Schwarz и др. Имеется ряд экспериментальных работ по исследованию подвижности зуба в альвеолярной лунке (C.J. Burstone, M.L. Jones, H.R. Mühlemann, G.J. Parfitt, D.C.A. Picton, R.J. Pryputniewicz и др.) и прочности периодонта (H.F. Atkinson, M. Chiba, U. Mandel, W.J. Ralph, A.Viidik и др.). В биомеханических исследованиях (Г.П. Соснин, K.L. Andersen, J. Cobo, T.R. Katona, J. Middleton, K. Tanne, S. Tsutsumi, A.N. Wilson) периодонт, как правило, полагается линейноупругим материалом. C.S. Lear, H. Oka, G.G. Ross, T.W. Walker предлагают структурные вязкоупругие модели периодонта как конструкции.

Подобные подходы позволяют описать с большим или меньшим успехом лишь некоторые аспекты поведения периодонта при ограниченном классе нагрузок. Поэтому требуется построение более корректной и универсальной модели периодонта, учитывающей его реальную анатомическую структуру.

Таким образом, задача построения математической модели поведения периодонта при различных видах механической нагрузки является весьма актуальной.

Цель. Целью работы является построение корректной математической модели периодонта, учитывающей его реальную структуру и описывающей его поведение при различных видах механического нагружения зубочелюстной системы.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Впервые экспериментально установлено, что под нагрузкой периодонт ведет себя как пористый материал, насыщенный свободной жидкостью. Объяснены особенности механизма амортизации нагрузки периодонтом. Оценен коэффициент проницаемости периодонта.

2. Поставлена нестационарная связанная начально-краевая задача деформирования пороупругого материала, наполненного свободной жидкостью. 6

3. С единых биомеханических позиций поставлены и решены задачи моделирования поведения периодонта под действием различных видов нагрузки -функциональной, травматической, ортодонтической.

4. Введено корректное определение понятия "центр сопротивления" зуба и периодонта, исследованы условия его существования, способы его нахождения.

Практическая значимость:

- установлены особенности структуры периодонта; объяснен механизм амортизации периодонтом нагрузки, действующей на зуб;

- выявлены факторы, приводящие к различным видам травмы зуба и периодонта;

- найдены величины сил, которые обеспечивают оптимальные условия для успешного начала перемещения аномально расположенного зуба с помощью ортодонтической аппаратуры;

- разработана методика экспериментального определения центра сопротивления.

Полученные результаты используются при чтении лекций и при проведении практических занятий со студентами стоматологического факультета ПГМА и со студентами специальности "Биомеханика" ПГТУ.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с федеральной программой "Интеграция" и международной программой ШТАБ.

Достоверность научных положений и результатов работы подтверждается проведенным экспериментом на морских свинках; сравнением теоретических и экспериментальных результатов с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся:

- математическая модель деформирования пороупругой среды, насыщенной свободной жидкостью;

- экспериментальное доказательство существования в периодонте путей для миграции жидкости и способности периодонтальной жидкости перемещаться под давлением;

- оценка коэффициента проницаемости периодонта;

- постановка и решение задачи о перераспределении жидкости в периодонте при поступательном (корпусном) перемещении зуба;

-постановка и решение задачи исследования факторов различных видов травмы зуба;

- постановка и решение задачи оптимизации ортодонтических сил, действующих на зуб при ортодонтическом аппаратурном лечении зубочелюстных аномалий;

- определение понятия "центр сопротивления" зуба и периодонта, условия его существования, свойства, методика его теоретического и экспериментального нахождения.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Выводы по главе 5

В пятой главе диссертации:

1. Введены корректные математические понятия "центр сопротивления" зуба и периодонта и "центр вращения зуба".

2. Доказаны теоремы существования и единственности центра сопротивления и вращения.

3. Предложены методики теоретического и экспериментального нахождения центров сопротивления и вращения.

4. Проведено компьютерное моделирование с целью определения положения центра сопротивления и тестирования его свойств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные итоги исследований, изложенных в работе, состоят в следующим:

- проведено экспериментальное доказательство существования в периодонте путей для миграции жидкости и способности периодонтальной жидкости перемещаться под давлением;

- объяснены особенности амортизации механической нагрузки периодонтом;

- дана оценка коэффициента проницаемости периодонта;

- на основе результатов эксперимента предложена математическая модель деформирования пороупругой среды, наполненной свободной жидкостью;

- поставлена и решена задача о перераспределении жидкости в периодонте при поступательном перемещении зуба;

- поставлена и решена задача исследования факторов различных видов травмы зуба;

- поставлена и решена задача оптимизации ортодонтических сил, которые следует прикладывать к коронке для обеспечения наперед заданного перемещения зуба при удовлетворении необходимым биологическим требованиям;

- построенная математическая модель периодонта правильно описала известные в клинической практике эффекты, происходящие в периодонте при различных видах механического нагружения зубочелюстной системы;

- введено понятие "центр сопротивления" зуба и периодонта, позволяющее получить некоторую информацию о движении зуба, не решая краевой задачи; доказаны теоремы существования и единственности центра сопротивления; предложена методика его теоретического и экспериментального нахождения.

- введено понятие "вращения зуба"; предложена методика его теоретического и экспериментального нахождения.

1. Бажанов Н.Н. Стоматология. М.: Медицина, 1984. 272 с.

2. Боровский Е.В., Грошиков М.И., Патрикеев В.К. Терапевтическая стоматология. М.: Медицина, 1973. 384 с.

3. Колесов А.А. Стоматология детского возраста. М.: Медицина, 1978. 504 с.

4. Пахомов Г.Н. Первичная профилактика в стоматологии. М.: Медицина, 1982. 240 с.

5. Пеккер Р.Я. Болезни зубов и полости рта. М.: Медицина, 1976. 128 с.

6. Справочник по стоматологии. / Под ред. А.И. Рыбакова, Г.В. Иващенко, Т.М. Лурье. М.: Медицина, 1966. 320 с.

7. Prives М., Lysenkov N., Bushkovich V. Human anatomy. Vol. 1, 3th ed. Moscow: Mir publishers, 1989, 608 c.

8. Курляндский В.Ю. Зубное протезирование. Атлас. Том 1. М.: Медицина, 1963. 288 с.

9. Шугар Л., Баноци Й., Рац П., Шаллаи К. Заболевания полости рта. Будапешт: изд-во Академии наук Венгрии, 1980. 392 с.

10. Brown W.S., Dewey W.A., Jacobs H.R. Thermal properties of teeth. Journal of Dental Research, 49: 752-755, 1970.

11. Darendeliler S., Darendeliler H, Kinoglu T. Analysis of a central maxillary incisor by using a three-dimensional finite element method. Journal of Oral Rehabilitation, 19: 371-383, 1992.

12. Davy D.T., Dilley G.L., Krejci R.F. Determination of stress patterns in root-filled teeth incorporating various dowel designs. Journal of Dental Research, 60(7): 1301-1310, 1981.

13. Hassan R., Caputo A.A., Bunshah R.F. Fracture toughness of human enamel. Journal of Dental Research, 60(4): 820-827, 1981.

14. Hickman J., Jacobsen P.H., Wilson A., Middleton J. Finite element analysis of dental polymeric restorations. Clinical Materials, 7: 39-43, 1991.

15. Hojjatie В., Anusavice K.J. Three-dimensional finite element analysis of glass-ceramic dental crowns. Journal of Biomechanics, 23(11): 1157-1166, 1990.

16. Jameson M.W., Hood J.A.A., Tidmarsh B.G. The effect of dehydration and rehydration on some mechanical properties of human dentine. Journal of Biomechanics, 26(9): 1055-1065, 1993.

17. Katona T.R., Winkler M.M. Stress analysis of a bulk-filled Class V light-cured composite restoration. Journal of Dental Research, 73(8): 1470-1477, 1994.

18. Kiton М, Suetsugu Т., Murakami Y. Mechanical behaviour of tooth, periodontal membrane, and mandibular bone by the finite element method. Bulletin of Tokyo Medical and Dental University, 24: 81-87, 1977.

19. Lehman M L., Meyer M.L. Relationship of dental caries and stress: concentrations in teeth as revealed by photoelastic test. Journal of Dental Research, 1706-1714, 1966.

20. Lehman M.L. Tensile strength of human dentin. Journal of Biomechanics, 197-201, 1967.

21. Lin C.P., Douglas W.H. Structure property relations and crack resistance at the bovine dentin - enamel junction. Journal of Dental Research, 73(5): 1072-1078, 1994.

22. Morin D.L., Cross M., Voller V.R., Douglas W.H., DeLong R. Biophysical stress analysis of restored teeth: modelling and analysis. Dental Materials, 4: 77-84, 1988.

23. Nyashin M.Y., Pechenov V S., Rammerstorfer F.G. Determination of optimal orthodontic forces. Russian Journal of Biomechanics, 1: 84-96, 1997.

24. Peyton F.A., Mahler D.B., Hershenov B. Physical properties of dentin. Journal of Dental Research, 366-370, 1952.

25. Rasmussen S.T. Fracture properties of human enamel and dentin. Journal of Dental Research, 55(1): 154-164, 1976.

26. Rubin C., Krishnamurthy N., Capilouto E., Yi H. Stress analysis of the human tooth using a three-dimensional finite element model. Journal of Dental Research, 62(2): 82-86, 1983.

27. Sano H., Ciucchi В., Matthews W.G., Pashley D.H. Tensile properties of mineralized and demineralized human and bovine dentin. Journal of Dental Research, 73(6): 1205-1211, 1994.

28. Spears I.R., Van Noort R., Crompton R.H., Cardew G.E., Howard 1С. The effect of enamel anisotropy on the distribution of stress in a tooth. Journal of Dental Research, 72(11): 1526-1531, 1993.

29. Tanne K., Koenig H.A., Burstone C.J. Moment to force ratios and the center of rotation. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 94: 426-431, 1988.

30. Widera O., Tesk J. A., Privitzer E. Interaction effect among cortical bone, cancellous bone and periodontal membrane of natural teeth and implants. Journal of Biomedical Material Results (Symposium), 7, 1976.

31. Caputo A.A., Standlee J.P. Biomechanics in clinical dentistry. Chapter 3. The periodontium. Quintessence Publushing Co., 1987.

32. Page R.C. Development aspects of oral biology: ed. Slavkin H., Bavetta L. New York, 1972, 291-308.

33. Грошиков М.И. Периодонтит. M.: Медицина, 1964. 120 с.

34. Астахов Н А., Гофунг Е.М., Катц А.Я. Ортопедическая стоматология. М.-Л: Медгиз, 1940. 378 с.

35. Бетельман А.И. Ортопедическая стоматология. М.: Медгиз, 1965. 404 с.

36. Гаврилов Е.И. Биология пародонта и пульпы зуба. М.: Медицина, 1969. 215 с.

37. Гаврилов Е.И, Оксман И М. Ортопедическая стоматология. М.: Медицина, 1978. 464 с.

38. Гаврилов Е.И., Щербаков А.И. Ортопедическая стоматология. М.: Медицина, 1984. 576 с.

39. Иванов B.C. Заболевания пародонта. М.: Медицина, 1989. 272 с.

40. Копейкин В.Н., Пономарева В.А., Миргазизов М.З. и др. Ортопедическая стоматология. М.: Медицина, 1988. 512 с.

41. Курляндский В.Ю. Учебник ортопедической стоматологии. М.: Медгиз, 1958. 476 с.

42. Марченко А.И. Руководство по терапевтической стоматологии. М.: Медицина, 1967. 572 с.

43. Рубинов И С. Физиологические основы стоматологии. Л.: Медицина, 1970. 334 с.

44. Руководство по ортопедической стоматологии. / А.И. Бетельман: под ред. А.И. Евдокимова, А.И. Ильиной-Маркосян. М.: Медицина, 1974. 568 с.

45. Bien S.M. Hydrodynamic damping of tooth movement. Journal of Dental Research, 45: 907-911, 1966,

46. Марченко Ю.Ф. Очерки по древнеегипетской медицине: стоматология. (Часть пятая). М.: Сейлинг, 1997. 18 с.

47. Asaoka К., Kuwayama N., Tesk J A. Influence of tempering method on residual stress in dental porcelain. Journal of Dental Research, 71(9): 1623-1627, 1992.

48. Boyer D.B., Chalkley Y., Chan K.C. Correlation between strength of bonding to enamel and mechanical properties of dental composites. Journal of Biomedical Materials Research, 16: 775-783, 1982.

49. Davy D.T., Dilley G.L., Krejci R.F. Determination of stress patterns in root-filled teeth incorporating various dowel designs, Journal of Dental Research, 60(7): 1301-1310, 1981.

50. Greener E.H., Szurgot K., Lautenschlager E.P. The creep compliance of dental amalgam in the stress range of 20-80 MPa. Journal of Biomedical Materials Research, 16: 600-608, 1982.

51. Yettram A.L., Wright K.W., Pickard H.M. Finite element stress analysis of the crowns of normal and restored teeth. Journal of Dental Research, 1004-1011, 1976.

52. Матвеева А.И., Канатов B.A., Гаврюшин С.С. Математическое моделирование ортопедических конструкций с опорой на внутрикостные имплантаты. Стоматология. 1990. № 4. С. 62-66.

53. Brunski J.B. Biomechanical factors affecting the bone-dental implant interface. Clinical Materials, 10: 153-201, 1992.

54. Jemt Т., Book K., Karlsson S. Occlusal force and mandibular movements in patients with removable overdentures and fixed prostheses supported implants in the maxilla. International Journal of Oral and Maxillofacial Implants, 8(3): 301-308, 1993.

55. Kregzde M. A method of selecting the best implant prosthesis design option using three-dimensional finite element analysis. International Journal of Oral and Maxillofacial Implants, 8(6): 662-673, 1993.

56. Ledley R.S., Huang H.K. Theoretical analysis of force distribution of lower partial dentures with symmetric saddles. Journal of Biomechanics, 2: 417-428, 1969.

57. Sakaguchi R.L., Borgersen S.E. Nonlinear finite element contact analysis of dental implant components. International Journal of Oral and Maxillofacial Implants, 8(6): 655-661, 1993.

58. Wright K.W.J., Yettram A.L. Reactive force distributions for teeth when loaded singly and when used as fixed partial denture abutments. Journal of Prosthetic Dentistry, 42(4): 411-416, 1979.

59. Андерсон X А. Клинико-экспериметальные исследования лечения палатинальной окклюзии верхних резцов функционально действующими аппаратами: Автореф. дис. . канд. мед. наук. Рига, 1953. 40 с.

60. Василевская З.Ф., Мухина А.Д., Хотимская М.М. Деформации зубочелюстной системы у детей. Киев: Здоровье, 1962, 340 с.

61. Гаврилов Е.И., Большаков Г.В. Атлас деформаций зубных рядов. Саратов, 1992. 96 с.

62. Еловикова A.H. Глубокий прикус: Клинико-экспериментальные исследования. Дис. . канд. мед. наук. Пермь, 1965. 231 с.

63. Иванов Л.П. Метод дозирования сил ортодотических аппаратов: Автореф. дис. . канд. мед. наук. Москва, 1971. 24 с.

64. Калвелис Д. А. Биоморфологические основы ортодонтического лечения. Рига, 1961. 222 с.

65. Камышева Л.И. Клиника и лечение диастемы у детей. Автореф. дис. . канд. мед. наук. Москва, 1974. 20 с.

66. Логинова H.K., Воложин А.И. Патофизиология пародонта. М., 1995. 108 с.

67. Райзман С.С. Практическое руководство по ортодонтии. М.: Медгиз, 1933. 236 с.

68. Хорошилкина Ф.Я., Зубкова Л.П. Применение в клинической практике несъемных дуговых ортодонтических аппаратов. Одесса, 1993. 80 с.

69. Щербакова Э.В. Обоснование силового режима ортодонтического лечения прогнатического прикуса с учетом функционального состояния пародонта у детей в возрасте 12-15 лет. Автореф. дис. . канд. мед. наук. Калинин, 1989. 20 с.

70. Gianelly А.А. Force-induced changes in the vascularity of the periodontal ligament. American Journal of Orthodontics, 55: 5-11, 1969.

71. Hixon E.H., Aasen Т.О., Arango J., Clark R.A., Klosterman R., Miller S.S., Odom W.M. On force and tooth movement. American Journal of Orthodontics, 57: 476-489, 1970.

72. Hixon E.H., Atikian H, Gallow G.E., McDonald H.W., Tacy R.J. Optimal force, differential force, and anchorage. American Journal of Orthodontics, 55: 437-457, 1969.

73. Kurol J., Franke P., Lundgren D., Owman-Moll P. Force magnitude applied by orthodontics. An inter- and intra-individual study. European Journal of Orthodontics, 18: 69-75, 1996.

74. Nakamura Y., Tanaka Т., Kuwahara Y. New findings in the degeneration tissues of the periodontal ligament during experimental tooth movement. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 109: 348-354, 1996.

75. Schwarz A.M. Tussue changes incident to orthodontic tooth movement. International Journal of Orthodontics, 18: 331-352, 1932.

76. Соснин Г.Н. Бюгельные протезы. Минск: Наука и техника, 1981. 344 с.

77. Mtihlemann H.R. Tooth mobility: a review of clinical aspects and research findings. Journal of Periodontology, 38: 115-141, 1967.

78. Andersen K.L., Pedersen E.H., Melsen B. Material parameters and stress profiles within the periodontal ligament. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 99: 427-440, 1991.

79. Atkinson H.F., Ralph W.J. In vitro strength of the human periodontal ligament. Journal of Dental Research, 48-52, 1977,

80. Burstone C.J., Every T.W., Prputniewicz R.J. Holographic measurement of incisor extrusion. American Journal of Orthodontics, 82(1): 1-9, 1982.

81. Burstone C.J., Pryputniewicz R.J. Holographic determination of centers of rotation produced by orthodontic forces. American Journal of Orthodontics, 77(4): 396-409, 1980.

82. Caputo A.A., Chaconas S.J., Hayashi R.K. Photoelastic vizualization of orthodontic forces during canine retraction. American Journal of Orthodontics, 65(3): 250-259, 1974.

83. Chiba M., Komatsu K. Mechanical responses of the periodontal ligament in the transverse section of the rat mandibular incisor at various velocities of loading in vitro. Journal of Biomechanics, 26(4/5): 561-570, 1993.

84. Jones M.L., Middleton J., Hickman J., Volp C., Knox J. The development of a validated model of orthodontic movement of the maxillary central incisor in the human subject. Russian Journal of Biomechanics, 2: 36-44, 1998.

85. Kaewsuriyathumrong C , Soma K. Stress of tooth and PDL structure created by bite force. Bulletin of Tokyo Medical and Dental University, 40: 217-232, 1993.

86. Katona T.R., Paydar N.H., Akay H.U., Roberts W.E. Stress analysis of bone modelling response to rat molar orthodontics. Journal of Biomechanics, 28(1): 27-38, 1995.

87. Lear C.S.C., Mackay J.S., Lowe A.A. Threshold levels for displacement of human teeth in response to laterally directed forces. Journal of Dental Research, 1478-1482, 1972.

88. Mandel U., Dalgaard P., Viidik A. A biomechanical study of the human periodontal ligament. Journal of Biomechanics, 19: 637-645, 1986.

89. McGuinness N.J.P., Wilson A.N., Jones M.L., Middleton J. A stress analysis of the periodontal ligament under various orthodontic loadings. European Journal of Orthodontics, 13: 231-242, 1991.

90. Noyes D.H., Solt C.W. Measurement of mechanical mobility of human incisors with sinusoidal forces. Journal of Biomechanics, 6: 439-442, 1973.

91. Parfitt G.J. Measurement of the physiological mobility of individual teeth in an axial direction. Journal of Dental Research, 608-618, 1960.

92. Pedersen Е., Andersen К., Melsen В. Tooth displacement analysed on human autopsy material by means of a strain gauge technique. European Journal of Orthodontics, 13: 65-74, 1991.

93. Picton D C.A. Tooth mobility: an update. European Journal of Orthodontics, 12: 109-115, 1990.

94. Picton D C.A, Wills D.J. Viscoelastic properties of the periodontal ligament and mucous membrane. Journal of Prosthetic Dentistry, 40(3): 263-272, 1978.

95. Pryputniewicz R.J., Burstone C.J. The effect of time and force magnitude on orthodontic tooth movement. Journal of Dental Research, 58: 1754-1764, 1979.

96. Puente M.I., Galban L., Cobo M. Initial stress differences between tipping and torque movements. A three-dimension finite element analysis. European Journal of Orthodontics, 18: 329-339, 1996.

97. Ralph W.J. The in vitro rupture of human periodontal ligament. Journal of Biomechanics, 13: 369-373, 1980.

98. Ross G.G., Lear C.S., DeCou R. Modelling the lateral movement of teeth. Journal of Biomechanics, 9: 723-734, 1976.

99. Tanne K., Sakuda M., Burstone C.J. Three-dimensional finite elements analysis for stress in the periodontal tissue by orthodontic forces. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 92: 499-505, 1987.

100. Walker T.W. A model of the periodontal vasculature in tooth support. Journal of Biomechanics, 13: 149-157, 1980.

101. Wills D.J., Piston DC.A., Davies W.I.R. The intrusion of the tooth for different loading rates. Journal of Biomechanics, 11: 429-434, 1978.

102. Synge J.L. Phil.Trans.R.Soc. A231, 534, 1933.

103. Haack D.C., Haft E.E. An analysis of stresses in a model of the periodontal ligament. International Journal of Engineering Sciences, 10: 1093-1106, 1972.

104. Чупрынина H.M., Воложин А.И., ГиналиН.В. Травма зубов. М.: Медицина, 1993. 160 с.

105. Керимов Э.Э. Экспериментальное изучение механизмов повреждения механизмов повреждения тканей пародонта при тиреотоксикозе. Стоматология, 1989. №6. С. 47-51.

106. Lowney J.J., Norton L.A., Shafer D.M., Rossomando E.F. Orthodontic forces increase tumor necrosis factor a in the human gingival sulcus. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 108: 519-524, 1995.

107. Laible J.P., Pilaster D., Simon B.R., Krag M.H., Pope M., Haugh L.D. A dynamic material parameter estimation procedure for soft tissue using a poroelastic finite element model. Journal of Biomechanical Engineering, 116: 19-29, 1994.

108. Spilker R.L., Suh J.-K., Mow V.C. A finite element analysis of the indentation stress-relaxation response of linear biphasic articular cartilage. Journal of Biomechanical Engineering, 114: 191-201, 1992.

109. Боуэн Т. Введение в ультрацентрифугирование. М.: Мир, 1973. 248 с.

110. Шошенко К.А. Методы исследования массопереноса в системе микроциркуляции. Новосибирск: Наука, 1991. 217 с.

111. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 208 с.

112. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.

113. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. 368 с.

114. Ентов В.М. Теория фильтрации. Соросовский образовательный журнал. 2: 121-128, 1998.

115. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей м газов в пористой среде. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 244 с.

116. Ляшко ИИ., Демченко ЛИ, Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереноса в пористых средах. Киев: Наукова думка, 1991. 264 с.

117. Ляшко ИИ, Сергиенко И.В., Мистецкий Г.Е., Скопецкий В.В. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1981. 296 с.

118. Молокович Ю.М., Осипов П.П. Основы теории релаксационной фильтрации. Казань, 1987. 116 с.

119. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664с.

120. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. Минск: изд-во "Университетское", 1987. 182 с.

121. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1978. 640 с.

122. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Ч.П. Механические испытания. Конструкционная прочность. М.: Машиностроение, 1974. 368 с.

123. Biot MA. General theory of three-dimensional consolidation. Journal of Applied Physics, 12: 155-164, 1941.

124. Biot MA. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. Journal of Applied Physics, 33: 1482-1498, 1962.

125. Лурье А.И. Теория упругости. М : Наука, 1970. 940 с.

126. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1970. 288 с.

127. Трусов П.В., Няшин Ю.И. Введение в нелинейную механику. 4.1. Необходимые сведения из тензорного исчисления. Пермь, 1992. 104 с.

128. Хан X. Теория упругости: основы линейной теории и ее приложения. М.: Мир, 1988. 344 с.

129. Егер Дж.К. Упругость, прочность и текучесть. М.: Машгиз, 1961. 172 с.

130. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука, 1970. 492 с.

131. Гинали Н.В., Аникиено А.А., Ерадзе Е.П., Воложин А.И. Острая травма зубов у детей: клиника, диагностика, лечение. Метод, рекомендации, 1987. 20 с.

132. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

133. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М: Наука, 1974.

134. БазараМ., ШеттиК. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. 584 с.

135. Федоров В В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 280с.

136. Christiansen R.L., Burstone C.J. Centers of rotation within the periodontal space. American Journal of Orthodontics, 55: 353-369, 1969.

137. Demange C. Equilibrium situations in bend force systems. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 98: 333-339, 1990.

138. Haskell B.S., Spencer W.A., Day M. Auxiliary springs in continuous arch treatment: Part 1. An analytical study employing the finite-element method. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 98: 387-397, 1990.

139. Hocevar R.A. Understanding, planning, and managing tooth movement: orthodontic force system theory. American Journal of Orthodontics, 80: 457-477, 1981.

140. Hurd J.J., Nikolai R.J. Centers of rotation for combined vertical and transverse tooth movements. American Journal of Orthodontics, 70: 551-558, 1976.

141. Kusy R.P., Tulloch J.F.C. Analysis of moment/force ratios in the mechanics of tooth movement. American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics, 90: 127-131, 1986.

142. Pedersen E., Andersen K., Gjessing P.E. Electronic determination of centres of rotation produced by orthodontic force systems. European Journal of Orthodontics, 12: 272-280, 1990.

143. Smith R.J., Burstone C.J. Mechanics of tooth movement. American Journal of Orthodontics, 85: 294-307, 1984.

144. Valet R, Pagin J. The center of resistance. Rev Orthop DentoFaciale, 21: 115-129, 1987.

145. Шварц А.Д. Биомеханика и окклюзия зубов. М.: Медицина, 1994. 204 с.

146. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 824 с.

147. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. 296 с.