автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и расчет поля напряжений в височно-нижнечелюстном суставе

На правах рукописи

Колонских Денис Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИСОЧНО-НИЖНЕЧЕЛЮСТНОМ СУСТАВЕ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЗ1585В1

Уфа - 2007

003158581

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Морозкин Николай Данилович

доктор физико-математических наук, профессор

Спивак Семен Израилевич

Ведущая организация*

кандидат медицинских наук, доцент

Шайхутдинов Ильяс Фалахиевич

Институт механики Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 24 октября 2007 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета КМ 212 117.07 при ГОУВПО "Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева" по адресу: 430000, Республика Мордовия, г Саранск, ул. Большевистская, 68, корп. 1., ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУВПО "Мордовский государственный университет им Н.П.Огарева".

Автореферат разослан 20 сентября 2007 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Л А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изменения в височно-нижнечелюстном суставе (ВНЧС), довольно частая патология, с которой сталкиваются врачи-стоматологи Сложность анатомического строения нижней челюсти, своеобразная амплитуда движений, ранимость структур создают проблемы для исследования. При функционировании сустава в его элементах возникают нагрузки, которые при нарушении динамического равновесия могут привести к патологическим состояниям. В работах ряда зарубежных и отечественных авторов освещены вопросы развития, диагностики и лечения заболеваний нижнечелюстного сустава [Helms С.А , Виноградов С.И., Хватова В.А.]. Дисфункциональные состояния встречаются значительно чаще, чем воспалительные и дегенеративные изменения. Статистика показывает, что до 25% обратившихся в стоматологию пациентов испытывают проблемы в области ВНЧС.

Между тем механизм и этиология возникновения патологических состояний ВНЧС остаются недостаточно изученными. При решении этих проблем важную роль играет изучение напряженно-деформированного состояния ВНЧС Математическое моделирование и использование вычислительной техники позволяет создавать сложные модели разных объектов сложной конфигурации и изучать их функционирование при различных условиях.

Проведенный анализ отечественных и зарубежных работ показывает, что математическое моделирование используется либо для анализа наиболее характерных задач ортопедической стоматологии, дентальной имплантологии, ортодонтии и челюстно-лицевой хирургии, либо для расчета напряжений ВНЧС. Однако расчеты в них, как правило, приводятся на достаточно грубых моделях, не учитывающих сложного строения нижней челюсти и ВНЧС Не исследовались вопросы, связанные с адекватностью модели, со сходимостью используемого метода конечных элементов

Целью настоящей работы является изучение закономерностей распределения напряжений в элементах ВНЧС при различных окклюзиях

Для исследований напряженного состояния ВНЧС необходимо создать трехмерную модель, повторяющую геометрию реального сочленения, разработать комплекс программ, позволяющий проводить разбиения невыпуклых трехмерных областей на тетраэдральные элементы и расчет напряженного состояния полученных моделей.

Задачи исследования:

• создание трехмерной модели нижней челюсти и ВНЧС с целью изучения напряженно-деформированного состояния сустава в окклюзиях, составляющих жевательный цикл;

• разработка алгоритма разбиения сложной геометрии модели на тетраэдральные элементы;

• создание комплекса программ расчета напряжений в нижней челюсти и ВНЧС

Методика исследований основана на теории метода конечных элементов, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных, вычислительной геометрии, системах автоматизированного объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна работы:

1 Создана трехмерная математическая модель нижнечелюстного сустава, учитывающая физиологические особенности строения и приложение мышечных усилий реальной челюсти.

2 Предложен и реализован на компьютере алгоритм адаптивного разбиения сложных многосвязных невыпуклых трехмерных областей на тетраэдральные конечные элементы

3. Разработан комплекс программ и рассчитаны напряжения, возникающие в элементах височно-нижнечелюстного сустава в окклюзиях составляющих жевательный цикл Программный комплекс зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий, Всероссийском научно-техническом информационном центре, внедрен и используется для расчетов напряженного состояния нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава в 21й городской клинической больнице г. Уфы, отделение челюстно-лицевой хирургии.

Практическая ценность. Познание механизма возникновения напряжений в ВНЧС при различных окклюзиях, составляющих жевательный цикл, позволяет более эффективно проводить профилактику, а также разумно подходить к составлению ортопедического и ортодонтического лечения Разработанный комплекс программ позволяет моделировать и изучать функционирование нижней

челюсти и ВНЧС не только в норме, но и в патологии Уровень сервиса программного обеспечения доступен стоматологам

Предложенный и реализованный в виде комплекса программ алгоритм разбиения сложных невыпуклых трехмерных областей позволяет подготавливать тетраэдральные модели для решения достаточно широкого класса задач методом конечных элементов

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

• трехмерная модель нижней челюсти и ВНЧС человека, учитывающая ее сложную геометрию и основные составные части, места крепления мышц и физико-механические характеристики;

• алгоритм разбиения сложных невыпуклых трехмерных областей на тетраэдральные элементы,

• комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов,

• результаты и анализ расчетов поля напряжений височно-нижнечелюстного сустава в окклюзиях, составляющих жевательный цикл.

Достоверность результатов численных расчетов рассмотренных математических моделей, методов и алгоритмов обоснована и подтверждена: математической корректностью постановки задач исследования; сравнениями с результатами аналитических решений тестовых задач; сравнениями с результатами других авторов в некоторых частных случаях; согласованием с результатами клинической практики хирургов-стоматологов; успешным применением на практике.

Реализация и внедрение результатов работы Представленные в работе результаты реализованы в виде комплексов программ, список которых приведен в конце автореферата. Программы зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий, Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ) Комплекс программ [10] внедрен и используется для расчетов напряженного состояния нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава в 21 й городской клинической больнице г.Уфы, отделение челюстно-лицевой хирургии Результаты внедрения подтверждены прилагаемым актом

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на третьей международной научной школе-конференции "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2007 г.), Уфимской международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика" (Уфа, 2007 г), на VI всероссийской научно-практической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании" (Бирск, 2007 г.), на общем семинаре института механики Уфимского Научного Центра РАН (Уфа, 2007 г.), на Уфимском городском семинаре по математическому моделированию, численным методам и программированию (Уфа, 2006 г.), на IV всероссийской научно-практической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании" (Бирск, 2005 г.), на Уфимском городском семинаре по математическому моделированию, численным методам и программированию (Уфа, 2005 г.), на II всероссийской научно-практической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании" (Бирск, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в восьми научных работах [1-9], в том числе две статьи в издании, рекомендованном ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 142 наименования. Полный объем работы составляет 139 страниц, включая приложения на 21 странице, 47 иллюстраций, 5 таблиц, библиографию.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, обосновывается актуальность темы исследования, формулируются основные результаты работы.

Глава I диссертации посвящена вопросам анатомического строения тела нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава и разработке математической модели задачи Рассматривается геометрия нижней челюсти, основные составные части, суставной диск, выписывается математическая модель задачи для трехмерного случая: уравнения равновесия и краевые условия, учитывающие особенности крепления мышц, поднимающих нижнюю челюсть, направления мышечных усилий (рис. 1)

а) внешняя сторона, б) внутренняя сторона, в) вид сзади — жевательная мышца, — височная мышца, /<з — внутренняя крыловидная мышца, ^ — наружная крыловидная мышца Рис 1 Области приложения и направления мышечных усилий.

Глава содержит математическую постановку задачи для трехмерного случая:

уравнения равновесия для симметричного тензора деформаций

а — [ох, сгу, аг, аху, сгуг]-

дах доху дагх = 0 дх ду дг '

даху дсгу сЬуг =

дх ду дг ' да ях . друг до= 0 дх ду дг

и краевые условия:

а) в области приложений мышечных усилий к границе области Г>

Р'у — ахуПх ОуПу + (Уух^гу Рц — агхПх + РугПу +

б) на границе областей жесткого закрепления Г5

их = 0, иу = 0, их = 0,

где иТ = [их,иу,иг] — перемещения по направлениям х, у и г, Гр — граница области приложения сил, — граница области жесткого закрепления,

FT = Fy, Fz] — сила, действующая на границу области Гр, пх = cos (х, ~п), пу = cos (у, ~п) и пг = cos (г, ~п) направляющие косинусы внешней нормали к

rF

Вторая глава диссертации посвящена исследованию проблемы связанной с разбиением трехмерных областей со сложной геометрией на конечные элементы, рассматриваются вопросы создания трехмерной конечно-элементной модели нижней челюсти: задания геометрии объекта, адаптивного распределения опорных точек, построения триангуляции Делоне на основе множества опорных точек и оценки качества полученного разбиения.

В качестве метода исследования напряженного состояния нижнечелюстного сустава выбран метод конечных элементов (МКЭ) Сущность МКЭ состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных на некоторых элементах области (КЭ). Совокупность элементов, соединенных определенным образом, составляет конечно-элементную модель объекта Такая дискретизация области называется триангуляцией

Проблема оптимального разбиения является подчас очень сложной. На каждый элемент сетки могут накладываться жесткие ограничения. К тому же, в задаче могут быть некие характерные области, где параметры меняются довольно резко. Например, в задачах механики твердого деформируемого тела, такие области образуются вблизи концентраторов напряжений и в них напряжения меняются чрезвычайно резко. Описанные области требуют более частого разбиения

В современных задачах подобного класса разбиение включает в себя огромное количество элементов, как правило, не менее тысячи Создавать вручную такие разбиения не представляется возможным, поэтому в дополнение к основным расчетным алгоритмам должны быть созданы и алгоритмы генерации разбиения.

Следует отметить, что для проведения триангуляции двумерных областей в настоящее время имеется достаточно широкий набор программных продуктов Обратная ситуация с триангуляцией тела произвольной трехмерной формы. Эта проблема изучена гораздо меньше, чем проблема построения двумерных сеток различного вида, кроме того, алгоритмы, применяемые в широко известных конечно-элементных продуктах (ANSYS, COSMOS, NASTRAN и др.), не известны общественности, т.к составляют коммерческую тайну для фирмы владельца К сожалению, стоимость последних версий программ делает их, как правило, мало доступными для широкого использования, а доступ-

ные версии являются устаревшими В старых версиях программных продуктов имеются существенные ограничения на максимальное количество узлов модели, на количество используемой оперативной памяти. Основным недостатком доступных (бесплатных) программных комплексов является то, что в них слабо развиты возможности автоматической генерации конечно-элементной сетки Такие программы позволяют генерировать лишь регулярные сетки для относительно простых двумерных, реже трехмерных областей.

Впервые задача построения триангуляции была поставлена в 1934 г в работе советского математика Б Н. Делоне Тем не менее, по настоящее время многие продолжают работать над усовершенствованием известных и созданием новых алгоритмов Это обусловлено неустойчивостью ряда известных алгоритмов и значительным временем их работы на реальных наборах данных.

В настоящей работе получен достаточно эффективный способ адаптивной триангуляции объекта, разбивающий объемное тело на тетраэдры со сгущением сетки вблизи заданных областей. Результатом такого разбиения является тетраэдральная модель объекта

Предложенный алгоритм разбиения состоит из следующих основных этапов:

• задание трехмерной геометрии объекта;

• подготовка набора растровых сечений, которые определяют характеристическую функцию распределения опорных точек триангуляции;

• определение множества опорных точек триангуляции;

• построения триангуляции Делоне на основе полученного множества опорных точек;

• оценка качества полученной конечно-элементной модели.

Этапы алгоритма подробно описаны в главе II диссертации, приводится обзор существующих методов дискретизации, предъявляются требования к построению КЭ модели Полученный алгоритм реализован в комплексе программ адаптивной триангуляции трехмерных областей со сложной геометрией и зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий.

С помощью разработанного комплекса программ получена КЭ модель аисочно-нижнечелюстного сустава, со сгущением элементов в височной области и вблизи границы объекта (рис 2).

Рис. 2. КЭ модель нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава

Трехмерная модель построена на основе реальной челюсти, учитывает сложную геометрию и основные составные части: зубы, тело нижней челюсти, венечный и суставной отростки, суставной диск

Разработанный алгоритм триангуляции позволяет разбивать объекты с гораздо более сложной геометрией. Области могут быть невыпуклыми и многосвязными, что существенно отличает предложенный нами алгоритм от способов триангуляции других авторов.

В третьей главе рассматриваются особенности метода конечных элементов для расчета напряженного состояния трехмерных объектов Приводятся уравнения равновесия в перемещениях, выводятся основные разрешающие уравнения и соотношения для матрицы жесткости, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

После вычисления узловых перемещений находятся деформации и напряжения на каждом элементе. Узловые значения напряжений КЭ модели рассчитываются с помощью теории согласованных результантов. Исходя из узловых напряжений (нормальных и касательных) вычисляются главные напряжения.

Далее в главе обсуждаются вопросы выбора интерполирующих функций,

вычисления производных интерполирующих функций, сходимости метода конечных элементов.

Глава IV посвящена решению системы линейных алгебраических уравнений и оптимизации хранения матриц. Для оптимизации нумерации узлов конечно-элементной модели предлагается разновидность метода Катхилла-Макки Суть метода состоит в последовательном построении так называемых структур уровней, после чего находится оптимальная нумерация узлов КЭ модели.

Перенумерация позволяет хранить матрицу жесткости в компактном виде. При этом требования к оперативной памяти компьютера значительно уменьшаются. Приводится алгоритм решения больших разряженных систем алгебраических уравнений адаптированный под такое компактное хранение матрицы жесткости. Даются оценки использования оперативной памяти ЭВМ при работе с такими матрицами.

Последняя глава диссертации содержит расчеты напряженного состояния нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава при центральной, передней и боковой окклюзиях составляющих жевательный цикл. Получены результаты, во многом подтверждающие результаты клинической практики хирургов-стоматологов городской клинической больницы №21 г. Уфы, отдел челюстно-лицевой хирургии, а также описанные в литературе исследования стоматологов.

Вычисления проводились с использованием специально разработанной нами программы расчета напряженного состояния нижней челюсти и нижнечелюстного сустава. Программа зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий.

Наиболее интересные результаты расчетов напряжений можно отметить в состоянии боковой окклюзии.

Боковая окклюзия является одним из положений нижней челюсти, при которой наблюдается несимметричное приложение нагрузки В данном положении происходит пережевывание пищи, при этом зубы нижней и верхней челюсти устанавливаются в одноименном контакте щечных бугров премоля-ров и моляров на рабочей стороне, на балансирующей стороне окклюзивные контакты отсутствуют.

Данные клинической практики показывают, что на балансирующей стороне височно-нижнечелюстной сустав подвержен большим патологическим изменениям, чем на рабочей стороне.

Условия функционирования нижней челюсти при боковой окклюзии согласованы с биомеханикой движения челюсти- крепление мышц поднимающих нижнюю челюсть, величина мышечных усилий, значения физико-механических характеристик составных частей челюсти.

Сила сокращения мышц на балансирующей стороне составляет 70% от силы сокращения мышц на рабочей стороне (табл 1). В таблице указаны х, у, г составляющие и модули мышечных усилий на рабочей и балансирующей стороне челюсти

Таблица 1

Обозначения мышц Рабочая сторона Баллансирующая сторона

х,у,г (Н) 1*1 (Н) х,у,г (Н) И (Н)

46,227,-113 258 -32,159,80 181

13,270,55 276 -10,189,39 193

-49,126,35 140 35,90,25 100

Я -58,12,-12 60 38,8,8 40

В качестве областей жесткого закрепления рабочей стороны укажем верхнюю часть пищевого комка и внутренне-переднюю часть суставного диска Гд-2 (рис 3 б). В качестве областей закрепления балансирующей стороны — внешне-заднюю часть суставного диска Г,^ (рис. 3 а) Зубные ряды балансирующей стороны свободны от закрепления Получаем несимметричную фиксацию нижней челюсти.

а) балансирующая сторона, б) рабочая сторона Рис 3. Области жесткого закрепления модели в положении боковой окклюзии.

Результаты вычислений главных напряжений в нижней челюсти в положении боковой окклюзии представлены на рисунке 4 Левая сторона челюсти является рабочей, правая сторона — балансирующей.

изображение с суставным диском, вид сверху Рис. 4. Распределение главных напряжений 04 в нижней челюсти при боковой окклюзии

Распределение напряжений несимметрично, наблюдаются области концентрации: пищевой комок и зубы рабочей области, суставные отростки и диски рабочей и балансирующей стороны. При этом зубы рабочей стороны испытывают значительные напряжения, в то время как зубы балансирующей стороны свободны от напряжений. В суставных головках же наоборот: большие напряжения испытывает балансирующая сторона, по сравнению с рабочей стороной.

главные напряжения а, (МПа)

2

9 [ 9,29370, 10,77800]

8 [ 7,80980, 9,29370)

7 [ 6,32590, 7,80980)

6 [ 4,84200, 6,32590)

5 [ 3,35810, 4,84200)

4 [ 1,87420, 3,35810)

3 [ 0,39026, 1,87420)

2 [-1,09360, 0,39026)

1 [-2,57760, -1,09360)

главные напряжения сг, (МПа)

9 [ 9,29370 10,77В00]

в I 7,60980 9 29370)

7 I 6,32590 7,80980)

6 { 4,84200, 6,32590)

5 ( 3,35810 4,81200)

> I 1,87420 3,35810)

3 [ 0,39026 1 87420)

г 1-1,09360, 0,39028)

1 [-2,57760, -1 09360)

б)

а) балансирующая сторона, б) рабочая сторона Рис. 5. Распределение главных напряжений в нижней челюсти при боковой окклюзии

На рисунке 5 показаны рабочая и балансирующая стороны нижней челюсти Отмечаем неравномерное напряжение зубного ряда рабочей стороны

главные напряжения а, (МПа)

9 [ 9,29370, 10,77800]

8 [ 7,80980, 9,29370)

7 [ 6,32590, 7,80980)

6 [ 4,84200, 6,32290)

5 [ 3,35810, 4,84200)

4 [ 1,87420, 3,35810)

3 £ 0,39026, 1,87420)

2 [-1,09360, 0,39026)

1 1-2,57760, -1,09360)

Рис. 6. Распределение главных напряжений в височно-нижнечелюстном суставе рабочей стороны.

На рисунке 6 показано распределение напряжений в суставной головке на рабочей стороне. Во внешне-переднем отделе суставной головки отмечаем участок концентрации напряжений, с довольно четкими границами.

Рис. 7 Распределение главных напряжений в височно-нижнечелюстном суставе балансирующей стороны.

На рисунке 7 показаны напряжения, возникающие в суставной головке на балансирующей стороне, распределение которых весьма не равномерно Следует отметить наличие двух локальных участков концентрации напряжений, один из которых располагается на внешне-передней поверхности суставной головки, второй у ее основания на передней поверхности.

Сравнивая величины напряжений на рабочей и балансирующей стороне, следует отметить, что они в локальных участках на балансирующей стороне

о

главные напряжения о, (МПа)

7

3.

4

9 [ 9,29370, 10,77800]

В [ 7,80980, 9,29370)

7 [ 6,32590 7,80980)

6 [ 4,84200, 6,32590)

5 [ 3,35810, 4,84200)

4 [ 1,87420, 3,35810)

3 [ 0,39026, 1,87420)

2 1-1,09360, 0,39026)

1 [-2,57760, -1,09360)

больше аналогичных участков на рабочей стороне, хотя нагрузка прикладывается к рабочей стороне, где осуществляется разжевывание пищи

Данный факт подтверждает результаты многих авторов, полученных в ходе клинических исследований о том, что балансирующая сторона подвержена большим напряжениям по сравнению с рабочей стороной Полученные данные подтверждают правоту клиницистов о том, что патологические изменения возникают в первую очередь на балансирующей стороне, что наглядно демонстрируется полученными нами результатами.

В заключении подводятся итоги проделанной работы. В приложениях приведены блок-схемы алгоритмов, основные типы данных и тексты разработанных программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана трехмерная математическая модель нижней челюсти, учитывающая анатомические особенности геометрии реальной челюсти Модель позволяет изменять физико-механические характеристики выбранных пользователем областей, а также задавать различные условия приложения мышечных усилий и участков жесткого закрепления.

2 Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм адаптивного разбиения сложных многосвязных невыпуклых трехмерных областей на тетраэдральные элементы позволяющий создавать конечно-элементные модели со сгущением сетки вблизи заданных пользователем областей. Алгоритм позволяет подготавливать тетраэдральные модели для решения достаточно широкого класса задач методом конечных элементов.

3. Разработана программа расчета поля напряжений нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава при различных условиях нагружения. Программа внедрена и используется для расчетов напряженного состояния элементов нижней челюсти в 21й городской клинической больнице г Уфы, отделение челюстно-лицевой хирургии.

4. По результатам вычислительного эксперимента получены картины распределения напряжений в элементах сустава в положениях центральной, передней и боковой окклюзии. Установлено, что височно-нижнечелюстной сустав постоянно испытывает неравномерные нагрузки при окклюзиях, которые не являются патологическими

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1 Морозкин Н.Д, Чудинов В.В., Попков B.C., Колонских Д.М. Адаптивная триангуляция трехмерных областей со сложной геометрией // ВЕСТНИК Башкирского университета. Научный журнал — Уфа, 2005, №4 — С.З-7.

2 Колонских Д.М Расчет поля напряжений нагруженного гаечного ключа методом конечных элементов // ВЕСТНИК Башкирского университета. Научный журнал — Уфа, 2007, Nsl. — С.11-15 (принято к печати 27.06.06).

В других изданиях

3 Колонских Д.М. Расчет поля напряжений нижнечелюстного сустава методом конечных элементов // Саранск- Средневолжское матем. общество, 2007, препринт № 106. — 20 с

4 Морозкин Н.Д., Колонских Д М. Математическое моделирование и расчет упругих напряжений в височно-нижнечелюстном суставе // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А Ф Леонтьева, Т.2. - Уфа. ИМВЦ, 2007. - С 46-48

5 Морозкин Н Д., Колонских Д.М. Расчет напряжений височно-нижнечелюстного сустава при боковой окклюзии // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании — Бирск, 2007. — С 78-84

6 Чудинов В В, Колонских Д.М Об одном способе задания геометрии сложных трехмерных объектов // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2005 — С.29-33

7 Колонских Д.М., Попков B.C. Конечно-элементная дискретизация трехмерных областей // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2005. — С.49-53.

8 Колонских Д.М. Расчет температурного поля остывающего подшипника методом конечных элементов // Сборник материалов всероссийской научно-технической конференции "Наука и образование 2005". — Нефтекамск ч.1 — С.44-54

9 Чудинов В.В, Колонских Д.М. Расчет температурного поля остывающей пластины методом конечных разностей // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2003 — С 14-18

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ выданные в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий, Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ):

10 Колонских ДМ. Расчет напряжений нижнечелюстного сустава. — М : ВНТИЦ, 2006. - №50200700727

И Колонских Д М. Программа расчета поля напряжений плоских фигур со сложной геометрией. - М ВНТИЦ, 2006 - №50200600765.

12 Колонских Д.М. Программа расчета температурных полей объемных фигур со сложной геометрией. — М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200600766.

13 Колонских Д.М., Попков B.C. Комплекс программ адаптивной триангуляции трехмерных областей со сложной геометрией. — М.: ВНТИЦ, 2005. - №50200501379.

Колонских Денис Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИСОЧНО-НИЖНЕЧЕЛЮСТНОМ СУСТАВЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 13 09 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Anal Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,15 Уч -изд л 1,11 Тираж 100 экз Заказ 490

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Введение

Глава I Математическое моделирование напряжений в височно-нижнечелюстном суставе

1.1 Особенности моделирования напряжений в височно-нижнечелюстном суставе.

1.2 Постановка задачи.

Глава II Адаптивная триангуляция трехмерных областей со сложной геометрией

2.1 Краткий обзор существующих методов дискретизации области.

2.2 Требования, предъявляемые к конечно-элементной модели

2.3 Триангуляция Делоне.

2.4 Проблема задания области.

2.5 Построение характеристического множества опорных точек

2.6 Построение триангуляции по заданному характеристическому множеству опорных точек.

2.7 Анализ качества построенной модели.

Глава III Расчет поля напряжений нижней челюсти методом конечных элементов

3.1 Конечномерная аппроксимация.

3.2 Интерполирующие функции, вычисление матриц градиентов

3.3 Сходимость дискретной задачи.

Глава IV Решение системы линейных алгебраических уравнений и оптимизация хранения матриц

4.1 Метод Холецкого для решения системы линейных уравнений

4.2 Упорядочение узлов конечно-элементной модели.

4.3 Схема компактного хранения разреженных матриц

Глава V Результаты исследования напряжений височнонижнечелюстного сустава

5.1 Физико-механические характеристики, приложения мышечных усилий.

5.2 Напряжения, возникающие в височно-нижнечелюстном суставе в положении центральной окклюзии.

5.3 Напряжения, возникающие в височно-нижнечелюстном суставе при передней окклюзии.

5.4 Напряжения, возникающие в височно-нижнечелюстном суставе при боковой окклюзии.

5.5 Анализ результатов исследования.

Актуальность темы исследования. Под влиянием механических воздействий (природных и искусственных) в биологических тканях, органах и системах появляется механическое движение, распространяются волны, возникают деформации и напряжения. Физиологическая реакция на эти факторы зависит от механических свойств биологических тканей и жидкостей. Знать, как меняются эти реакции и свойства в тканях и органах, очень важно для профилактики, защиты организма, для понимания их физиологии и патологии, а также для применения искусственных органов и тканей [29].

Изменения в височно-нижнечелюстном суставе (ВНЧС), довольно частая патология, с которой сталкиваются врачи-стоматологи. Сложность анатомического строения нижней челюсти, своеобразная амплитуда движений, ранимость структур создают проблемы для исследования. При функционировании сустава в его элементах возникают нагрузки, которые при нарушении динамического равновесия могут привести к патологическим состояниям. В работах ряда зарубежных и отечественных авторов освещены вопросы развития, диагностики и лечения заболеваний нижнечелюстного сустава [9,35,132,141]. Дисфункциональные состояния встречаются значительно чаще, чем воспалительные и дегенеративные изменения. Статистика показывает, что до 25% обратившихся в стоматологию пациентов испытывают проблемы в области ВНЧС.

Диагностика и лечение заболеваний ВНЧС таким образом связаны с исследованием его напряженно-деформированного состояния. В последнее время в научных работах этим проблемам уделяется все большее внимание.

Так, например, в работе [122] на основе физических предположений была предложена математическая модель и проведен расчет напряженного состояния периодонта зуба как круговой конической оболочки постоянной толщины.-В работах [33,64,139] на основании соотношений теоретической механики и теории упругости разработана математическая модель и выполнены расчеты напряженного состояния периодонта в виде конической оболочки постоянной толщины с эллиптическим поперечным сечением. В работе [45] рассчитывается напряженное состояние корня зуба с помощью кубической сплайн-аппроксимации его боковых поверхностей.

Для расчета напряженного состояния привлекается теория оболочек, хотя применение МКЭ открывает широкие возможности в исследовании биомеханических процессов, что видно на примерах [54,89,101], посвященных изучению имплантантов в теле нижней челюсти. Исследование тела нижней челюсти проведено в работах [4,6,9,11,15,27,84,120].

Ряд работ [136 - 139] посвящен построению двух и трехмерных математических моделей в стоматологии. Рассматриваются некоторые вопросы конечно-элементного моделирования и анализа наиболее характерных задач ортопедической стоматологии, дентальной имплантологии, ортодонтии и челюстно-лицевой хирургии, в том числе вопросы моделирования клыка нижней челюсти, окклюзии и их биомеханический анализ, биомеханика мостовидных протезов.

В работе Лазарева С.А. [84] описывается проблема изучения на-пряженых состояний височно-нижнечелюстного сустава с точки зрения стоматологов. Автор приводит расчеты напряжений двумерной и трехмерной моделей челюсти, вычисленные с помощью программ Geostar и

Cosmos/M, дает практические рекомендации по профилактике и лечению заболеваний ВНЧС. Следует отметить, что расчеты проводились на достаточно грубых моделях, не учитывающих сложного строения нижней челюсти и ВНЧС. Не исследовались вопросы, связанные с адекватностью модели, со сходимостью используемого метода конечных элементов.

В настоящей работе исследуются вопросы корректной математической постановки задачи, вывода конечно-элементных соотношений для трехмерной модели, задания сложной геометрии, учитывающей особенности реальной челюсти, неравномерного разбиения невыпуклой трехмерной области на тетраэдральные элементы, оценки качества КЭ модели и результатов исследования. Нами разработан комплекс программ, предназначенный для вычисления полей напряжений нижней челюсти и височно-нижнечелюстного сустава. Дело в том, что существующие программы подобного класса предназначены для изучения несколько иных проблем. Так, например, программы Geostar и Cosmos/M созданы при проектировании искусственных спутников Земли в рамках исследований космоса NASA. Стоимость современных программ ограничивает круг пользователей. Такие программы часто бывают недоступны прикладным исследователям. Свободно распространяемые же программы устарели и не учитывают возможностей современных вычислительных машин, их объема памяти, скорости вычислений, разрядности процессора и т.п.

В качестве метода исследования нами выбран метод конечных элементов (МКЭ). С развитием вычислительной техники и развитием численных методов, в первую очередь метода конечных элементов, появилась возможность проводить двумерные и трехмерные расчеты напряженного состояния элементов конструкций самой общей геометрии без каких-либо ограничений на поведение материала и процесс их нагруже-ния.

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 50-х годах прошлого столетия. Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топа [18]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [13], который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Релея-Ритца [115].

Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому его использованию при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. В первых публикациях [19,20], с помощью метода конечных элементов, решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.

Область применения метода конечных элементов существенно расширилась, когда было показано [17,56], что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина и метод наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, и позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений [21,69,94,100,109,137]. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физических задач [88,99,117].

Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период, за счет совершенствования быстродействующих электронно-вычислительных машин, необходимых для более точного расчета сложных конструкций.

Одной из первых работ в отечественной литературе, посвященных описанию процедуры метода конечных элементов применительно к исследованию термоупругого напряженного состояния тел вращения, является работа [42], ее основные теоретические положения основаны на выводах работы [44], где используется напряженное состояние тонкой круговой пластины с отверстием. Уравнения связи между напряжениями и деформациями описываются в перемещениях без конкретизации выражений для пластических деформаций. В последующих работах [23,43] эти выражения конкретизируются на основе концепции кинетического и изотропного материала, процесс ее снятия при повышенных температурах. Этот метод был применен к расчету составных конструкций, состоящих из сопряженных пространственных и плоских элементов при квазистатических и тепловых воздействиях.

В работе [50] МКЭ применен для исследования объемного напряженного состояния дисков турбомашин. Использованы деформационная теория пластичности и теория пластического течения с кинематическим упрочнением, что позволяет учесть историю нагружения. На примере диска переменной толщины показано, что учет объемного состояния приводит к значительным изменениям компонентов перемещений и напряжений в ступице и ободной части диска. Следует заметить, что соотношения теории течения с кинематическим или кинематически-изотропным уточнением позволяют описать только простые процессы деформирования по различным прямолинейным траекториям.

В работах [39,106] был разработан метод определения упругопла-стического напряженного состояния осесимметричных неоднородных тел под действием объемных и поверхностных сил в условиях неравномерного нагрева. Метод допускает рассмотрение тел с дискретной и непрерывной неоднородностью, при этом используются соотношения теории малых деформаций. В качестве КЭ использованы прямоугольные элементы, стороны которых параллельны осям цилиндрической системы координат. В случае криволинейного контура в меридиональном сечении прямоугольные КЭ заменяются на треугольные, но с четырех узловыми точками основной сетки.

В работе [40] рассмотрены задачи о концентрации напряжений в окрестности тепловых канавок роторов турбин под действием силового и теплового нагружения; используются соотношения теории малых упру-гопластических деформаций. Как и в предыдущем цикле работ используются четырехугольные конечные элементы. Задача о концентрации напряжений решается в два этапа: сначала рассматривается напряженное состояние всего ротора с редкой сеткой, а затем сетка элементов сгущается в местах геометрических концентраторов.

Решению конкретных задач осесимметричного напряженно-деформированного состояния элементов конструкций в виде тел вращения с помощью МКЭ посвящены работы [3,10,16].

Численный расчет кожуха ракетного двигателя выполнен в работе [3]. Сравнение результатов с экспериментом показало высокую эффективность метода при решении сложных нелинейных задач. В работе [10] анализируются тепловые напряжения, возникающие в железнодорожных колесах при резком торможении состава, приводятся графики распределения тепловых и остаточных напряжений при различных режимах торможения.

В рамках теории простых процессов деформирования в работах [99,108] рассмотрены методы решения осесимметричных задач пластичности для элементов конструкций в виде кусочно-неоднородных тел вращения при переменном тепловом и силовом нагружении. Этот цикл работ направлен на создание универсальных алгоритмов и методов, позволяющих в рамках единого подхода выполнить детальный анализ НДС широкого класса конструкций с максимально полным учетом их особенностей и режимов их эксплуатации в рабочих и экспериментальных условиях. При этом авторы используют такую форму записи разрешающих уравнений, что удается построить единый алгоритм решения различных классов краевых задач термопластичности.

При решении краевых задач методом конечных элементов возникает проблема разбиения области на элементы. Совокупность элементов, соединенных определенным образом, составляет конечно-элементную модель объекта. Такая дискретизация области называется триангуляцией. Проблема оптимального разбиения является подчас очень сложной. На каждый элемент сетки могут накладываться жесткие ограничения. К тому же, в задаче могут быть некие характерные области, где параметры меняются довольно резко. Указанные области требуют более частого разбиения.

Следует отметить, что для проведения триангуляции двумерных областей в настоящее время имеется достаточно широкий набор программных продуктов. Обратная ситуация с триангуляцией тела произвольной трехмерной формы. Эта проблема изучена гораздо меньше, чем проблема построения двумерных сеток различного вида [7,8,12,14,36,93,121], кроме того, алгоритмы, применяемые в широко известных конечно-элементных продуктах (ANSYS, COSMOS, NASTRAN и др.), не известны общественности, так как составляют коммерческую тайну для фирмы владельца. К сожалению, стоимость последних версий программ делает их мало доступными для широкого использования, а доступные версии являются устаревшими. В старых версиях программных продуктов имеются существенные ограничения на максимальное количество узлов модели, на количество используемой оперативной памяти (к примеру, размер оперативной памяти ЭВМ увеличился более чем в 104 раз по сравнению с ЭВМ 1989 года). Основным недостатком доступных (бесплатных) программных комплексов является то, что в них слабо развиты возможности автоматической генерации конечно-элементной сетки. Такие программы позволяют генерировать лишь регулярные сетки для относительно простых двумерных, реже трехмерных областей.

Впервые задача построения триангуляции была поставлена в 1934 г. в работе советского математика Б.Н. Делоне [49]. Тем не менее, по настоящее время многие продолжают работать над усовершенствованием известных и созданием новых алгоритмов [93]. Это обусловлено неустойчивостью ряда известных алгоритмов и значительным временем их работы на реальных наборах данных [121].

К настоящему моменту разработано множество методов, подходящих для выполнения разбиения. Некоторые из этих способов предназначены для частных случаев [67], тогда как другие могут иметь более общее применение [121]. Существуют приемы управляемого пользователем, полуавтоматического, а также автоматического построения разбиений. Наиболее привлекательными для пользователей конечного программного продукта являются способы, в которых выполнено требование максимальной автоматизации процесса триангуляции.

Завершающим этапом конечно элементного анализа является решение систем линейных алгебраических уравнений. При этом количество неизвестных может достигать 104 и более. Для проведения такого рода вычислений разработаны методы оптимизации хранения и расчетов больших систем уравнений. Исследованию проблем численного решения больших разреженных систем уравнений посвящены работы [51, 131J. Описаны различные способы экономии оперативной памяти вычислительной машины при хранении матриц. Приведены оценки методов решения таких систем с точки зрения скорости вычислений, точности выполнения, дополнительных требований к памяти компьютера.

В работах [99,119] ставится проблема перенумерации узлов КЭ модели с целью приведения вычислительных матриц к ленточному виду и минимизации ширины ленты. Даются примеры ручной нумерации для простых двумерных областей, содержащих не более 50 узлов. Решение же современных задач МКЭ предполагает гораздо большее количество узлов. Автоматизированных алгоритмов перенумерации узлов двумерных и, тем более, трехмерных моделей не приводится.

Таким образом, в современной литературе имеется довольно много работ, посвященных решению различных задач математической физики методом конечных элементов. При этом возникают не достаточно изученные аспекты метода, требующие более глубокого анализа, разработки алгоритмов и написания прикладных программ. Как видно из сделанного обзора, метод конечных элементов нашел особенно широкое применение при расчетах прочности деталей, конструкций и сооружений в технике и промышленности. Но возможные области его приложения к решению проблем естествознания и медицины остались мало затронутыми. Тем не менее, применение математических методов исследований в данных областях, в том числе и клинической стоматологии, позволяет глубже исследовать механизмы протекания биологических и физиологических процессов.

Выше сказанное определяет актуальность проблемы изучения задач биомеханики, в частности расчета поля напряжений височно-нижнечелюстного сустава.

Краткая характеристика содержания работы

Выводы

1. Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм адаптивного разбиения сложных невыпуклых трехмерных областей на тетраэдральные конечные элементы.

2. Создана трехмерная модель нижней челюсти, учитывающая анатомические особенности геометрии реальной челюсти. Модель позволяет изменять физико-механические характеристики различных областей, а также задавать различные условия приложения мышечных усилий и областей жесткого закрепления.

3. Созданная модель является универсальной и может быть использована стоматологами различных специальностей (например, для изучения дистрофии мышечной системы жевательного аппарата).

4. Разработана программа, рассчитывающая напряженно-деформированное состояние нижней челюсти методом конечных элементов. Программа зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий.

5. По результатам вычислительного эксперимента получены картины распределения напряжений в элементах сустава в положении центральной, передней и боковой окклюзии.

6. На основании исследований установлено, что височнонижнечелюстной сустав постоянно испытывает неравномерные нагрузки при окклюзиях, которые не являются патологическими. Зоны концентрации напряжений находятся в одних и тех же областях.

7. Наличие постоянного напряжения в элементах височно-нижнечелюстного сустава объясняет большой процент распространения патологических изменений данной области, что подтверждается клиническими исследованиями практикующих хирургов-стоматологов 21й городской клинической больницы г. Уфы.

Практические рекомендации

Своевременное восстановление целостности зубного ряда, нормализация функциональной окклюзии для профилактики заболеваний ВНЧС. Несвоевременное проведение профилактических мер приводит к нарушению внутрисуставных взаимоотношений, что в свою очередь отразится на распределении напряжений в височно-нижнечелюстном суставе.

1. Ash М.М., Ramfjord S.P. An 1.troduction to Functional Occlusion. — Philadelphia, 1982. - 231 p.

2. Barbenel J.C. The Biomechanics of the Temporomandibular Joint: a Theoretical Study // J. Biomechanics. v.5, №2, 1972. - P. 251-256.

3. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. CUP, 1997. - 283 p.

4. Endo B. On the Stress Distribution in the Human Facial Skeleton Produced by the Occlusion. — Proc. Joint Meet.Anth, 14-th Session, Tokyo, 1960. P. 160-162.

5. Evens T.J. Mechanical Properties of Bone // Springfield (Illinois), C.C. Thomas, 1973. 322 p.

6. Faulkner M.G., Hatcher D.C., Hay A.A. Three-dimensional Investigation of Temporomandibular Joint // J. Biomech. — v.20, №10, 1987. P. 997-1002.

7. Frey P.J., Geotge P.-L. Mesh Generation Application to Finite Elements. HERMES Science, 2000. - 817 p.

8. George P., Borouchaki H. Delaunay Triangulation and Meshing: Application to Finite Elements. — Kogan, 1998. — 431 p.

9. Helms СЛ., Vogler J.B., Morrach M.R. Diagnosis by Computed Tomography of Temporomandibular Joint Meniscus Displacement // J. Prosth.Dent. v.51, №8, 1984. - 544 p.

10. Johnson M.R., Welch R.E., Yeung K.S. Analysis of Thermal Stress and residual stress changes in railroad wheels caused by severe drag braking // Trans.ASME. B99, №1, 1977. - P. 18-23.

11. Knoell A.C. A Mathematical Model of Vitro Human Mandibule // J. Biomech. v.10, 1977. - P. 159-166.

12. Lloyd E. On Triangulation of a Set of Points in the Plain. MIT Lab. Сотр. Sc. Tech. Memo. N88. Boston, 1977.

13. Melosh R.J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method 11 J. Am. Inst, for Aeronautics and Astronautics. — v.l, 1965.- P. 1631-1637.

14. Ruppert J. A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimentional Mesh Generation, NASA Ames Research Center, Submission to Journal of Algorithms, 1994.

15. Smith DM., McLachlan K.R. A Numerical Model of Temporomandibular Joint Loading // J. Dent.Res. — v.65, №8, 1986. P. 1046-1052.

16. Smith I.M., Griffiths D. V. Programming the Finite Element Method- Wiley, 1988. 478 p.

17. Szabo B.A., Lee G.C. Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin's Method // Intern. J. of Numerical Methods in Engineering. v.l, 1969. - P. 301-310.

18. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J. Aeronaut, Sci. — v.23, 1956. P. 805-824.

19. Wilson E.L., Nikell R.E. Applications of the Finite Element Method to Heat Conduction Analysis // J. Nuclear Engineering and Design. — 1966, v.4. P. 276-286.

20. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. Finite Elements in the Solution of Field Problems 11 The Engineer. 1965. - P. 507-510.

21. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Solid mechanics. 2000, v.2. - 479 p.

22. Агошков В.И. Методы решения задач математической физики — Физматлит, 2002. 320 с.

23. Адясова Н.М., Капустин СЛ. Исследование упругопластических составных конструкций МКЭ // Прикл. пробл. прочности и пластичности. — 1975, вып.2.

24. Акулич M.JI. Математическое программирование в примерах и задачах — М.: Высш. шк., 1986. — 319 с.

25. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости — М.: Наука, 1978. — 463 с.

26. Аничков Н.М., Зусь Б.А., Михеева ЕЛ., Сакович АЛ. Моделирование артритов и деформирующих артрозов височно-нижнечелюстного сустава // Заболевания и повреждения височно-нижнечелюстного сустава. — JI., 1989. — С. 22-25.

27. Артюкевич А.С., Танин JJ.B., Дробот И.Л. Определение деформаций нижней челюсти при помощи оптической голографии // Стоматология. 1992, №3. - С. 12-15.

28. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. — М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986. — 560 с.

29. Бранков Г. Основы биомеханики. — Перев. с болг. — М.: Мир, 1981. 254 с.

30. Брега И.Н., Сысолятин П.Г., Рабухина Н.А., Ильин А.А., Афанасьев Ю.Д. Артография височно-нижнечелюстного сустава // Вестник рентгенологии и радиологии. — 1992, №1. — С. 44-46.

31. Бусыгин А. Т. Строение челюстных костей. — Ташкент: Метгиз Уз-ССР, 1962. 108 с.

32. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 544 с.

33. Величко Л.С., Крушевский А.Е. Решение задачи о равновесии пе-риодонта при действии на зуб внешних сил // Теор. И прикл. механика. 1996. - С. 63-80.

34. Величко Л.С., Шалатонина О.И., Бунина М.А. Биоэлектрическая активность жевательных мышц у здоровых людей // Здравоохранение Белоруссии. 1992, №10. - С. 22-25.

35. Виноградов С.И. Электромиографическая активность основных жевательных мышц у больных артритом височно-нижнечелюстного сустава. Л., 1989. - С. 31-34.

36. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. 428 с.

37. Глушков И.А. Механические свойства нижней челюсти в возрастном аспекте. В. кн.: Биомеханика. — Рига, 1975, вып.13. — С. 85-87.

38. Гонтаровский В.П., Гонтаровская Т.Н., Козлов В.А. Применение МКЭ для расчета напряженного и деформированного состояния неоднородных тел вращения // Пробл. прочности. — 1975, №8. — С. 72-76.

39. Гонтаровский В.П., Коваленко В.П., Марченко Г.А. О реализации МКЭ для упруго пластического расчета роторов турбомашин // Пробл. машиностроения. — 1977, вып.4. — С. 13-18.

40. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды — М.: Наука, 2000. — 216 с.

41. Горячев А.П. Применение МКЭ к решению осесимметричных задач. — Горьковский ун-т, 1971, №5. — С. 10-23.

42. Горячев А.П., Коротких Ю.Т., Санков Е.И., Угодчиков А.Г. МКЭ и проблемы циклической термопластичности // Материалы Всесоюз. симпозиума по малоцикловой усталости при повышенных температурах. вып.1.

43. Горячев А.П., Санков Е.И. Решение двумерных нелинейных задач методом КЭ. — Горьковский ун-т, 1970, вып.108.

44. Григоренко ЯМ., Ниспрядько В.П., Топка П.П. Определение напряженного состояния периодонта зубов с помощью сплайн аппроксимации его боковых поверхностей // Прикл. механика. — 1990, вып.26, №12. С. 33-39.

45. Гризодуб В.И., Чуйко А.Н., Бахуринский Н.Ю. Основные биомеханические характеристики тканей пародонта // Весник стоматологии. 2001, № 1. - С. 59-65.

46. Гросс М.Д., Мэтьюс Дж.Д. Нормализация окклюзий. — Пер. с англ. — М.: Медицина, 1986. — С. 16-29.

47. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. — ИЛ, 1961. — 104 с.

48. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1934.- 793 с.

49. Демьянушко И.В., Биргер И.Л. Расчет на прочность вращающихся дисков. — М.: Машиностроение, 1978. — 247 с.

50. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 333 с.

51. Егоров П.М., Карапетян И.С. Болевая дисфункция височно-нижнечелюстного сустава. — М.: Медицина, 1986. — 123 с.

52. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безъе П. и др. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с фр. - М.: Мир, 1989. -264 с.

53. Жулев Е.Н., Махкамов Т.Ю., Беллюстин Н.С. Математическое моделирование упругих напряжений при протезировании дефектов зубов вкладками // Нижегород. мед. журнал. — 1995, №1. — С. 45-49.

54. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики.- М.: Наука, 1973. 351 с.

55. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — Пер. с англ.- М.: Мир, 1975. 542 с.

56. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 312 с.

57. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: ИЛ, 1950. — 457 с.

58. Израилев Ю.Л., Лубны-Герцык А.Л., Плоткин Е.Р. Метод численного решения задач упругости и пластичности для тел произвольной формы // Материалы Всесоюз. симпозиума по малоцикловой усталости при повышенных температурах. — 1974. — С. 79-87.

59. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. 4.1. Основы механики сплошной среды: Учебн. пособ. для студентов вузов. — 2е изд., М.: Высш.школа, 1979. — 384 с.

60. Карманов В.Г. Математическое программирование: учебное пособие 5е изд. — Физматлит, 2004. — 263 с.

61. Кати, А.Я. К вопросу о физиологии жевательного аппарата // Современные проблемы стоматологии. — Л.,М., 1935. — С. 176-192.

62. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — 792 с.

63. Климашин Ю.И., Лавровский Э.К. Использование метода математического моделирования для оценки состояния пародонта // Стоматология. 1977, №2. - С. 57-63.

64. Клиническая биомеханика //под ред. В.И. Филатова. — Л.: Медицина, 1980. 200 с.

65. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулюзис Ю.И. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. — Рига: Зинатие, 1980. — 319 с.

66. Ковбасов К.В. Решение трехмерных задач электроразведки методом конечных элементов // IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Красноярск, 2003.

67. Колмогоров B.J1. Напряжения, деформации, разрушение. — Л.: Металлургия, 1970. — 229 с.

68. Колонских Д.М Расчет температурного поля остывающего подшипника методом конечных элементов // Сборник материалов всероссийской научно-технической конференции "Наука и образование 2005". Нефтекамск ч.1. - С. 44-54.

69. Колонских ДМ. Основы Flash 5. М.: ВНТИЦ, 2004. -№50200401288.

70. Колонских Д.М. Программа расчета поля напряжений плоских фигур со сложной геометрией. — М.: ВНТИЦ, 2006. — №50200600765.

71. Колонских Д.М. Программа расчета температурных полей объемных фигур со сложной геометрией. — М.: ВНТИЦ, 2006. — №50200600766.

72. Колонских Д.М. Расчет напряжений нижнечелюстного сустава. — М.: ВНТИЦ, 2007. №50200700727.

73. Колонских Д.М. Расчет поля напряжений нагруженного гаечного ключа методом конечных элементов // ВЕСТНИК Башкирского университета. Научный журнал 2007 №1. — С. 11-15.

74. Колонских Д.М., Попков B.C. Комплекс программ адаптивной триангуляции трехмерных областей со сложной геометрией. — М.: ВНТИЦ, 2005. №50200501379.

75. Колонских Д.М., Попков B.C. Конечно-элементная дискретизациятрехмерных областей // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2005. — С. 49-53.

76. Колонских Д.М. Расчет поля напряжений нижнечелюстного сустава методом конечных элементов // Саранск: Средневолжское матем. общество, 2007, препринт № 106. — 20 с.

77. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: ЛГУ, 1977. - 208 с.

78. Корхус В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. — М.: Наука, 1990. 198 с.

79. Крючков В.Н. Механизмы переломов костей. — М.: Медицина, 1971. 108 с.

80. Купрадзе В.Д., и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. — ФМЛ, 1976.

81. Курляндский В.Ю., Ковалев Ю.С. Установка для изучения функции жевательных мышц и височно-нижнечелюстных суставов. — Стоматология, 1972, т.51,№2. — 108 с.

82. Лавров С.С. Программирование. Математические основы, средства, теория. — 314 с.

83. Лазарев С.А. Клиническое значение изучения напряжений а височно-челюстном суставе при различных оклюзиях методом конечных элементов: Автореф.дис.канд.мед.наук. — Казань, 1998. — 19 с.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости, т.7. — М.: Наука. 247 с.

85. Лощилов В.И., Газарян А.С., Бабаев Э.П. Собственные напряжения в костных тканях черепа // Механика полимеров. — 1974, №4. — С. 746-749.

86. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах конструкций. М.: Наука, 1996. - 240 с.

87. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.-416 с.

88. Матвеева А.И., Иванов А.Г., Гвитадзе Р.Ш., Гаврюшин С.С., Карасев А.В. Повышение эффективности ортопедического лечения больных на основе математического моделирования перспективных конструкций имплантантов // Стоматология. — 1997, №5. — С. 4448.

89. Миргазизов М.З. Биометрия и ее значение для стоматологии // Количественные методы в диагностике и планировании лечения стоматологических заболеваний. — Кемерово, 1982. — С. 3-31.

90. Миргазизов М.З., Ткачев А.Д., Петрушев А.Р. Применение математических методов и ЭВМ в стоматологии. — Кемерово: Кн. изд-во, 1984. 134 с.

91. Морозкин Н.Д., Гилев А.Ю. Построение адаптивных сеток на основе триангуляции Делоне для метода конечных элементов. // ВЕСТНИК Башкирского государственного университета. Научный журнал, 2005, №2. С. 7-11.

92. Морозкин Н.Д., Колонских Д.М. Расчет напряжений височно-нижнечелюстного сустава при боковой окклюзии // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2007. — С. 78-84.

93. Морозкин Н.Д., Колонских Д.М. Математическое моделирование и расчет упругих напряжений в височно-нижнечелюстном суставе // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф.Леонтьева, Т.2. — Уфа: ИМВЦ, 2007. С. 48-48.

94. Морозкин Н.Д., Чудинов В.В., Попков B.C., Колонских Д.М. Адаптивная триангуляция трехмерных областей со сложной геометрией // ВЕСТНИК Башкирского государственного университета. Научный журнал, 2005, №4. — С. 3-7.

95. Насибуллин Г.Г. Форма и размеры элементов височно-нижнечелюстного сустава по данным рентгенографии // Научные труды Казанского медицинского института. — 1964, №17. — С. 107-110.

96. Несис Е.И. Методы математической физики. — М.: Просвещение, 1977. 199 с.

97. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 304 с.

98. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1986. — 464 с.

99. Осипов А.В., Олесова В.Н. Изучение процессов НДС в системе протез-имплантант-кость при ортопедическом лечении // Проблемы нейростоматологии и стоматологии. — 1998, №1. — С. 17-18.

100. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

101. Петросов Ю.А., Калпакьянц О.Ю., Сеферян Н.Ю. Заболевания височно-нижнечелюстного сустава. — Краснодар, 1996. — 351 с.

102. Петросов Ю.А., Пономаренко И.И., Калпакьянц О.Ю. Рентгенологическое исследование при воздействии функциональной нагрузке на элементы височно-нижнечелюстного сустава // Клин, стоматология. — Ташкент, 1987. — С. 42-48.

103. Пискун В.В., Савченко В.Г., Шевченко Ю.Н. Напряженное состояние составного ротора с учетом напряжений натяга // Пробл. прочности. 1977, №6. - С. 93-95.

104. Пискун В.В., Савченко В.Г., Шевченко Ю.Н. О применении МКЭ для определения термонапряжений в дисках // Тепловые напряжения в элементах конструкций. — 1975, вып.15. — С. 54-57.

105. Пляскина Н.В. Оптимизация дифференциальной диагностики синдрома болевой дисфункции височно-нижнечелюстного сустава: Ав-тореф.дис.канд.мед.наук. — Иркутск, 2004. — 19 с.

106. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. МГУ, 1995. - 366 с.

107. Подгорный А.Н., Гонтаровский В.П., Марченко Г.А. Решение осе-симметричной задачи методом конечных элементов для тел сложных конструктивных форм // Пробл.машиностроения. — 1976, вып.З. — С. 9-14.

108. Полу хина С.П. Исследование напряженно-деформированного состояния нижней челюсти при решении некоторых задач ортопедической стоматологии: Автореф.дис.канд.мед.наук. — М., 1969. — 21 с.

109. Пономарев А.В. Диагностика дисфункций височно-нижнечелюстного сустава: Автореф.дис.канд.мед.наук. — Самара, 2004. 23 с.

110. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение.

111. Пер. с англ. — М.: Бином, 1997.

112. Приписное Д.Ю. Моделирование в 3D Studio Мах 3.0. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 352 с.

113. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. 713 с.

114. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. - 592 с.

115. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, т.2.- М.: Мир, 1984. 381 с.

116. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Jl. Метод конечных элементов и САПР. Пер. с фр. - М.: Мир, 1989. - 192 с.

117. Саргасян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. — 2е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 286 с.

118. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — Пер. с. англ. М.: Мир, 1979. - 393 с.

119. Семенников В.И., Тиманюк А.Н. Метод механо-математического исследования усилий и напряжений в нижней челюсти при физиологической нагрузке // Стоматология. — 1983, №3. — С. 23-26.

120. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне // Вычислительные методы и программирование. — т.З. 2002.

121. Соснин Г.П. Распределение напряжений в периодонте при действии на зуб функциональной нагрузки // Вопр. клинической стоматологии. 1997, вып.23. - С. 37-41.

122. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. — 351 с.

123. Сысолятин П.Г, Плотников Н.А., Ильин А.А. Компьютерная оценка томограмм височно-нижнечелюстного сустава // Стоматология. 1987, №5. - С. 37-39.

124. Таптунова Г.Г., Полухина С.П., Петрова В.А. Определение модуля упругости Юнга нижнечелюстной кости // Теория и практика стоматологии. — М., 1976. — С. 244-246.

125. Таптунова Г.Г., Полухина С.П., Щелканов И.В. Распределение функциональных напряжений в нижней челюсти // Основные стоматологические заболевания. — М., 1979. — С. 160-163.

126. Тер-Асатуров Т.П., Аджиев К.С., Абакаров С.И., Чечин А.Д., Ру-зин Г.П. Функциональная активность жевательных мышц // Новые методы диагностики и результаты внедрения в стоматологическую практику. М., 1991. - С. 131-133.

127. Уманский С.Э. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики. — Киев, Наукова Думка, 1983. — 168 с.

128. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. — М.: Мир, 1974. 160 с.

129. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела. Том.1. М.: Наука, 1975. - 833 с.

130. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир, 1969. — 167 с.

131. Хватова В.А. Заболевания височно-нижнечелюстного сустава. — М.: Медицина, 1982. 154 с.

132. Хватова В.А., Корниенко В.Н. Компьютерная и ядерно-магнитная томография в диагностике заболеваний и повреждений височно-нижнечелюстного сустава // Стоматология. — 1991, №3. — С. 80-82.

133. Чудинов В.В., Колонских Д.М. Об одном способе задания геометрии сложных трехмерных объектов // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2005. — С. 29-33.

134. Чудинов В.В., Колонских Д.М. Расчет температурного поля остывающей пластины методом конечных разностей // Сборник научных трудов ЭВТ в обучении и моделировании. — Бирск, 2005. — С. 1418.

135. Чуйко А.Н. Некоторые вопросы окклюзии и их биомеханический анализ // Новое в стоматологии. — М., 2004, №4. — С. 70-80.

136. Чуйко А.Н. О возможностях конечно-элементного моделирования в ортопедической стоматологии // Стоматолог. — Харьков, 2000, № 3. С. 37-38.

137. Чуйко А.Н., Бережная Е.О., Батуринский Н.Ю. О современных возможностях биомеханического анализа в стоматологии // Стоматолог. Харьков, 2001, № 1-2. - С. 36-41.

138. Чуйко А.Н., Бочарова Э.В. Особенности напряженно-деформированного состояния при заболеваниях пародонта. // Стоматолог. — Харьков, 2000, № 11. — С. 30-35.

139. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. — М.: Наука, 1989. 289 с.

140. Шайхутдинов И.Ф. Биомеханические закономерности распределения напряжений в височно-нижнечелюстном суставе и их значение для клиники ортопедической стоматологии: Авто-реф.дис.канд.мед.наук. — Омск, 1990. — 16 с.

141. Шварц А.Д. Биомеханика и окклюзия зубов. — М.: Медицина, 1994. С. 193-196.