автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Корреляции и фрактальные свойства стохастических процессов в ядерной физике и физике частиц

а

МОСКОВСКИМ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИМ ИНСТИТУТ (ГОСУ ДАРСТВЕННЫ Й_УПИВЕРСИТЕТ)

ии^иьБ8бЗ На правах рукописи

МОИСЕЕНКО Александр Васильевич

КОРРЕЛЯЦИИ И ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ И ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 01.04.16 - Физика элементарных частиц и атомного ядра

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

Москва, 2007

003056863

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете).

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ф.М. Сергеев

д.ф.-м.н., проф. каф. №32

МИФИ,

Яковлев В.П.

д.ф.-м.н., зав.лаб. ФГУП ВНИИАМ, Встовский Г.В.

Лаборатория информационных технологий ОИЯИ (Объединенный Институт Ядерных Исследований, Дубна)

Защита состоится 23 мая 2007 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в МИФИ по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, дом 31, телефон 324-84-98.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан 2~ООЯ~

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор , А.С.Леонов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность

В конце XX века получила широкое распространение относительно молодая и интенсивно развивающаяся в настоящее время теория фракталов. Основоположником многих современных приложений фракталов, внесшим большой вклад в развитие этой теории является известный американский ученый Бенуа Мандельброт [1]. Именно он впервые ввел термин «фрактал», привлек внимание общественности к полузабытым идеям девятнадцатого века и провел трудную работу по поиску фракталов в природе, моделированию природных процессов с помощью прикладной фрактальной геометрии.

В некоторых современных работах показано, что фракталь-ность можно рассматривать как особый вид симметрии в природе [2-4], которая в свою очередь может нарушаться. Таким образом, мы видим что новая теория не нарушает гармонии общей физической картины природы.

В настоящее время теория фракталов применяется во многих областях физики, особенно активно - в физике твердого тела, диффузных систем, кластеров и фазовых переходов, во многих других областях макрофизики. Фрактальные структуры обнаружены в обобщенном фазовом пространстве конкретных физических процессов как в микроскопической физике, так и в макроскопической. Фракталы обнаруживаются на любых масштабах в совершенно различных областях науки - физике, химии, биологии, экономике, социологии. Вселенная как бы пронизана ими. Принимая во внимание это интуитивное предположение, нельзя не обратиться к теории фракталов при проведении фундаментальных исследований - в области физики ядра и элементарных частиц. И таких работ уже много - для процессов сильного взаимодействия и квантовой хромоди-намики, в экспериментальной физике высоких энергий, в основном для взаимодействий ядер с ядрами. Однако вопрос о природе фракталов в физике частиц на сегоднящний день остается открытым.

Особую актуальность методы фрактального анализа процессов в микрофизике приобретают в свете того что в фундаментальной физике - как экспериментальной, так и теоретической - все большее внимание уделяется времени, как переменной, принципиально влияющей на формирование конечных результатов исследо-

вания. Появляются все новые данные о проявлении в процессах и объектах микрофизики перемежаемых фрактальных свойств, не сводящихся только к чисто статистическим, о возможно связанной с этим невоспроизводимостью результатов в экспериментах. Поставлена общая задача описания процессов в микрофизике в терминах наблюдаемых непосредственно в эксперименте вероятностей.

1.2. Цели работы

1. Поиск проявлений фрактальности, определение ее степени и, по возможности, причин в стохастических процессах на микроскопических масштабах, т.е. в физике ядра и частиц.

2. Установление математического класса анализируемых физических случайных рядов (марковский, стационарный, га-уссовский).

3. Проверка свойства вероятностного самоподобия (автомо-дельности) исследуемых физических рядов.

4. Определение вида стохастических дифференциальных уравнений для распределений вероятности, описывающих исследуемые физические процессы.

5. Построение моделей для компьютерного воспроизведения изучаемых физических процессов.

1.3. Научная новизна

1. На основе метода нормированного размаха (метод Херста) проведен статистический анализ упорядоченных по времени рядов измерений кинематических переменных дифракционно-подобных реакций

7Г+ + р—ур + 2 % X,

р р + 2 п к

в области промежуточных энергий. Подобный анализ в экспериментальной физике ядра и частиц проведен впервые. С его помощью установлена фрактальная структура исследованных рядов, определены значения показателей Херста, свидетельствующие о наличии в рядах дальних корреляций.

2. Показано что исследуемые процессы (последовательные независимые взаимодействия пи-мезонов с протонами) могут

4

быть представлены как результат случайных блужданий в пространстве выбранных переменных и воспроизведены моделью фрактального броуновского движения. Процессы оказываются аналогичными диффузии и описываются уравнением Фоккера-Планка, где коэффициент Херста полностью определяет характер диффузии.

3. Проделанная работа впервые дает экспериментальное подтверждение открытости систем взаимодействующих в исследованных реакциях частиц {ж+р, ~к+р), возникающей очевидно из-за воздействия окружения, т.е. условий в которых протекают процессы, а возможно, и информационных влияний, которые появляются в процессе переработки исходных экспериментальных данных.

1.4. Практическая значимость

1. Показано что информация о зависимости коэффициента Херста от условий протекания для конкретных физических процессов открывает возможности предсказания их поведения, а также выявления и изучения источников воздействия на эти процессы.

2. Разработанная методика определения нормированного размаха для случайных рядов может быть использована для точного определения степени и типа корреляций в рядах физических данных различного объема и характера.

3. Результаты исследования компьютерных генераторов случайных чисел методом Херста помогут выявить их влияние на результаты моделирования при использовании моделирующих физические процессы программ.

1.5. Автор защищает

1. Результаты анализа методом Херста временных рядов для динамических параметров последовательных независимых тс+р и 7Гр-взаимодействий в области промежуточных энергий, а также их компьютерных моделей и компьютерной модели многократного рассеяния заряженной частицы в веществе.

2. Фрактальный характер и наличие корреляций во временных радах для динамических параметров последовательных независимых я+р и тГр-взаимодействий в области промежуточных энергий.

3. Статистические свойства (стационарность, негауссовость, немарковость) и свойство вероятностного самоподобия обозначенных выше рядов.

4. Вид дифференциального уравнения для описания обозначенных выше стохастических процессов с учетом их фрак-тальности.

1.6. Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 120 наименований, содержит 135 страниц, в том числе 89 рисунков и 63 таблиц.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность применения фрактальной математики и хаотической динамики для описания физических объектов и процессов, приводятся результаты исследований, подчеркивающие важность поиска и исследований проявлений фрактальности природы на микроскопическом уровне, в физике частиц. Дается краткое введение в фрактальную математику - приводятся ее основные формулы и определения, примеры классических фракталов. Обсуждается тесная связь теории стохастических процессов и фрактального анализа временных рядов с микроскопической физикой. Ставятся основные и вспомогательные задачи. Обозначается структура диссертации, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе дается обзор методам обработки данных, используемым в работе. Приводится алгоритм и формулы для определения фрактальной размерности (размерности Хаусдорфа) физических объектов.

Подробно рассматривается центральный в работе метод нормированного размаха (метод Херста, Д/З'-метод). Нормированым

6

размахом для случайного ряда £2> Ы называется величина: S(T)'

где R(x) = шах X(t, т) - min X(t, т), (1 < t < т), t t

n=l T n=l T n=J

Законом Херста называется соотношение

ср(т) = (ат)н,

где параметры а и Н характеризуют исследуемый фрактальный процесс, а г - длина промежутка усреднения (запаздывание). Фрактальная размерность графика накопленного отклонения X(i) равна 2-Я. Если показатель Н отличается от 0,5, то в процессе присутствуют корреляции между случайными величинами. Самоподдерживающиеся (персисгпентность) при #>0,5 и антиподдерживающиеся (антиперсистентность) при Н<0,5.

Необходимо отметить, что метод Херста выдает приемли-мую погрешность фрактальной характеристики Н лишь для больших объемов статистики (больше нескольких тысяч элементов). Для малых же объемов недавно был разработан аналогичный и не менее эффективный метод [5-7].

Приводится описание стандартного метода выявления корреляций в случайных рядах - расчет коэффициента корреляции.

Во второй главе выбираются процессы физики частиц для поиска в них фрактальных свойств. А именно - реакции дифракционного неупругого рассеяния пи-мезонов на протонах при промежуточных энергиях с невысокой множественностью рождения:

71+ + р -> р + 2тС + п (1)

71' + р р + 2 П+ п. (2)

Экспериментальный материал по этим взаимодействиям был получен на пузырьковых камерах ИТЭФ и CERN, экспонированных в пучках 7г+ и я" -мезонов с импульсами 4,2 ГэВ\с и 3,91 ГэВ\с, соответственно. Обработка экспериментального материала проводилась на ЭВМ с помощью программы Matlab 6.1.

В данной работе в качестве характеристики каждого события (функции номера) были выбраны следующие величины, которые, как представляется, наилучшим образом отражают динамику процесса:

1. разность наибольшего и наименьшего значений кумулятивного числа для частиц определенного сорта в событии Да = «шах — ®Ш1П' в данном случае а = (Е-рп)/тр, где Е, р{] -энергия, продольный импульс частицы, тр - масса протона;

2. максимальное значение поперечного импульса для частиц данного сорта в событии Р(тах;

3. квадрат разности наибольшего и наименьшего значений

четырехмерных скоростей и~Р/т частиц в событии

ц шах __/т т _ТТ \2 .

°тт ~ 1итах итт/ '

4. разность наибольшего и наименьшего значений быстрот для частиц определенного сорта в событии: Лу = утах - утт->

у = \/2-Ы{{Е + рп)/(Е-рп)). ■

Предлагаются два метода расчета постоянной Херста: с усреднением и без усреднения по исследуемой статистике.

Приводятся результаты расчета постоянной Херста для исследуемой статистики первым и вторым методом (таблица 1) и логарифмические графики нормированного размаха от запаздывания. Приводятся значения $ и вероятностей с которыми можно принять гипотезы о наличии и отсутствии (#=0,5) корреляций. Первые в большинстве случаев оказываются больше 90%, а последние <1%.

Таблица 1. Значения постоянных Херста и ^ЛМ для реакций (1) -

р- ия Метод Вел. Да ртах 7 тал Ьтш Ау

с у ср. Н±АН 0,580+0,002 0,575+0,001 0,585+0,002 0,60010,003

(1) ■¿ш 1,0 1,0 0,8 1,0

без уср. Н±АН 0,651 ±0,048 0,55610,037 0,72810,080 0,78210,075

ГШ 0,7 0,9 0,7 0,7

с ус р. Я+ЛЯ 0,657±0,007 0,708±0,009 0,62110,003 0,67010,007

(2) хм 0,9 1,0 1,0 0,9

без уср. Н±АН 0,702±0,084 0,69710,091 0,74410,089 0,680+0,071

. 1,0 0,8 0,7 0,8

Затем, для расширения общности искомой фрактальности приводятся результаты аналогичных исследований для других ад-рон-адронных взаимодействий:

7Г+ + />-> р + 2к+ +7Г~ + /Г°, (3)

к+ +р ~> р + Ък* +2я~, (4)

р + р п + р + Ъя* + 2ж~, (5)

Р + Р -» Р + Р + + 2я~ +7Г° , (6)

и других переменных:

1- тах(«,.) * min(a,) > где О - множество частиц какого-либо сорта,

ten (Sil

а а,- кумулятивное число i-й частицы

2. тах(/>,) - ша{р, )>P¡~ М°ДУЛЬ поперечного импульса i-й частицы

teil

3. max(y,)-min(y,), У, - быстрота i-й частицы

left n.il

Значения постоянной Херста, рассчитанные методом с усреднением приводятся в таблице 2.

Таблица 2. Значения постоянных Н и а для вышеуказанных реакций. Объем статистики от 2000 до 9000 событий._

Р-ия Вел. тах(а,)-min(or,) тах(р,)-min(p() тах(у,)-ггап^)

(3) Н±АН 0,б5±0,01 0,61±0,01 0,60±0,02

а±Аа 0,48+0,05 0,55±0,04 0,54±0,11

(4) 7СХ ,К2 ,Я3 Н±АН 0,62+0,02 0,58+0,01 0,57+0,02

а±Аа 0,56±0,07 0,61+0,05 0,67±0,10

(5) я, ,л2 ,къ Я±АЯ 0,65±0,02 0,54±0,02 0,55±0,01

а±Аа 0,53±0,08 0,78±0,12 0,69±0,07

(6) 7Г, ,Я2 Н±АН 0,61+0,01 0,58±0,01 0,52+0,02

а±Аа 0,58+0,06 0,66±0,05 0,82+0,16

Необходимо отметить, что при случайном перемешивании исследуемой статистики корреляции пропадают, и постоянная Н становится близкой к 0,5.

Делаются предварительные выводы исходя из полученных результатов - в' исследуемых экспериментах наблюдается фрак-тальность и определяемые ей корреляции, а именно - персистент-ность. Тот факт, что коэффициент Н в нашем случае оказывается

больше 0,5, подтверждает идею, высказанную самим Херстом о том, что в природе не существует абсолютно случайных процессов и закрытых систем. Механизм же потери закрытости и случайности еще предстоит выяснить.

В третьей главе с целью попытки выяснения причины обнаруженных ранее корреляций происходит обращение к профессиональным компьютерным программам, способным моделировать адрон-ацронные взаимодействия: «РгШоГ», «МББМ» и модификация первой программы В.Ужинским (далее «игЫпэку»). Эти программы используются для моделирования процессов (1) и (2) с теми же начальными импульсами. Поскольку алгоритмы применяемых программ намеренно не рассматриваются, цель которая преследуется в данной главе - определить не могут ли наблюдающиеся в эксперименте корреляции быть следствием способа формирования рядов данных (отбор нужных событий, искусственное ограничение объема статистики), или же следствием естественных ограничений фазового объема, вносимых законами сохранения энергии, импульса, а также заряда, барионного числа и др..

Проводится анализ полученной статистики методом нормированного размаха, аналогичный главе 2 и приводятся соответствующие графики нормированного размаха и таблицы (таблица 3).

Таблица 3. Значения Н, полученные методом с усреднением для модельных данных. Объем статистики порядка 100000 событий.

Р. Модель Величина Да ртах М гтах Ьтш Ау

РгНЫ я+дя 0,491±0,001 0,511+0,001 0,53710,001 0,52210,002

0,8 1,0 1,2 1,0

(1) МБОМ я+дя 0,528±0,001 0,49210,002 0,515+0,001 0,53210,001

у^т 0,9 0,7 0,9 0,9

игЫпвку я±дя 0,507±0,002 0,52510,001 0,518+0,001 0,50610,003

Ит 0,8 1,0 0,8 0,8

РгШоГ я±дя 0,494±0,003 0,518+0,002 0,50810,001 0,50510,001

х2т 0,7 0,8 0,8 0,7

(2) \1SDM н±ш 0,51410,001 0,54110,001 0,529+0,001 0,541+0,001

0,7 0,9 0,7 0,9

игЬтэку Я1ЛЯ 0,48710,003 0,51310,001 0,51510,001 0,508+0,001

0,9 0,9 0,7 0,7

Приводятся основные выводы по полученным результатам -значительные корреляции отсутствуют, вышеназванные причины не оправдывают себя в качестве источников корреляций в экспериментальной статистике.

В четвертой главе проводится проверка полученных ранее результатов на достоверность («верификация») путем исследования возможных источников ложных корреляций. Проводится поиск корреляций в статистике, выдаваемой компьютерными генераторами случайных чисел. Как известно, эти программы выдают всего лишь псевдослучайные ряды чисел. Чтобы отличить настоящие корреляции в моделях, обусловленные физикой или технологией процесса, от влияния генератора случайных величин, необходимо исследовать чистую гапс1от-статистику. Приводятся таблицы с результатами анализа такой статистики методом Херста, а также стандартным методом (таблица 4).

Таблица 4. Н, полученные методами с усреднением и без него, ~)1/Ы и коэффициент автокорреляции для гапёот-статистики объема Ь.

Вел. 1=1000000 ¿=100000 ¿=10000

Нс уср ±АН 0,49±0,01 0,52±0,02 0,56±0,05

-¿т 0,7 0,9 0,9

Я без кр ¿АН 0,44+0,01 0,45±0,10 0,5+0,1

0,8 0,9 0,7

с+дс 0,0008+0,0007 0,002+0,001 0,008+0,006

Проводится исследование генератора случайных чисел на предмет скрытых периодичносггей. Кратко излагается теория Шус-тера анализа временных рядов. Строятся периодограммы Шустера для гапс1от-статистики. Проводится изучение зависимости постоянной Херста от объема исследуемой выборки. Строятся соответствующие графики для гапс!от-статистики, а также для экспериментальных данных. Рассчитываются коэффициенты автокорреляции с различным смещением для гапс1от-статистики а также для экспериментальных данных. Последние оказываются больше первых в пределах погрешностей.

Приводятся основные выводы на основе проведенных исследований - полученные во второй главе с помощью метода Херста результаты действительно свидетельствуют о наличии корреля-

ций, а отклонения Я от 0,5 в четвертой главе можно объяснить особенностями генератора случайных чисел.

В пятой главе проводится доказательство математических свойств исследуемых рядов для перехода к описанию их как математических объектов, а именно - установление их автомодельное™ (самоподобия), их математического класса и фрактальной размерности графиков накопленного отклонения. Фрактальная размерность графиков рассчитывается в соответствии с описанным и первой главе методом. Для выявления степени вероятностного самоподобия определяется различие между экспериментальными распределениями для одной Й той же статистики на различных масштабах. Для этого из основной статистики отбираются М-е члены и из них формируются ряды объемом в N элементов. Затем строятся гистограммы получившихся рядов, которые сравниваются между собой.

Приводятся соответствующие таблицы и графики (некоторые из них - таблицы 5-6).

Таблица 5. Значения размерностей Минковского для графиков накопленного отклонения. Реакция (1). __

Величина Аа ртах М »тах Ау

м= 1 1,41±0,04 1,42±0,05 1,42±0,05 1,40±0,04

м=10 1,45±0,04 1,46±0,04 1,45±0,03 1,44±0,04

м=ю0 1,46+0,04 1,48±0,05 1,44±0,03 1,46±0,04

2-Я 1,420±0,002 1,425±0,001 1,415+0,002 1,400±0,003

Таблица 6. Значения размерностей Минковского для графиков накопленного отклонения. Реакция (2).__

Величина Аа ртах М г тах Ьтш Ау

М= 1 1,29±0,05 1,27±0,05 1,35+0,04 1,37±0,05

М=10 1,21 ±0,03 1,20±0,02 1,33±0,04 1,43±0,03

Л^ЮО 1,19±0,02 1,17±0,01 1,31±0,02 1,44+0,03

2-Я 1,343+0,007 1,29210,009 1,37910,003 1,33010,007

Приводятся основные выводы из полученных результатов -в общем, исследуемые процессы являются негауссовскими, немарковскими, стационарными, фрактальными и обладающими вероятностным самоподобием. Определяется общий ввд формул для распределений Аа, Р,тах, , Ау.

В шестой главе с попыткой обнаружить возможный механизм возникновения корреляций обнаруженных в Главе 2 или хотя бы пролить свет на физический смысл параметра Н, рассматривается модель хорошо изученного классического процесса - многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. _

Обсуждается насколько данный процесс соответствует нашей задаче, приводятся формулы описывающих его распределений.

Выполняется численное решение обратной задачи - определения траектории частицы и ее характеристик, в каждой точке по заранее известным вероятностным распределениям. Массив статистических данных для этого приготовлялся с помощью компьютерного моделирования процесса многократного рассеяния методом Монте-Карло с использованием известных законов взаимодействия и распределений кинематических величин.. Использовались только первые приближения этих законов.

При моделировании предполагается что частица движется в бесконечном и однородном по своим свойствам блоке вещества с заданными массовым числом, зарядом ядра и плотностью. Также в начале программы задаются параметры исследуемой частицы - ее заряд, масса и кинетическая энергия. Потерями энергии частицы в веществе пренебрегаем. Строятся две модели - микроскопическая и макроскопическая. В первом случае разыгрываются последовательные столкновения частицы с ядрами вещества. Учитывается только электромагнитное взаимодействие. Во втором случае разыгрывается последовательное прохождение частицей заданного числа слоев вещества определенной толщины. Угол рассеяния рассчитывается исходя из теории Мольера в первом приближении. В работе осознанно не ставится цель достичь согласия компьютерной модели с экспериментом, поскольку модель создается исключительно для приблизительного определения («нащупывания») источника возможных корреляций и иллюстрации связи параметра Н с физическими характеристиками процесса.

В качестве характеристики частицы, подвергаемой анализу методом Херста используются угол ^ отклонения траектории от оси вдоль которой направлена начальная скорость частицы и координата X. Разыгрывается по 10000 событий (актов рассеяния или прохождений через тонкий слой вещества, в зависимости от типа модели) для четырех различных углов рассеяния в частицы в диапазоне [0; л/2].

Приводятся таблицы значений постоянных Херста для обоих типов модели, а также графики для траекторий частицы (табл. 7 и рис. 1 - 2).

Таблица 7. Значения постоянных Херста, рассчитанных для У и X, в зависимости от средних углов рассеяния.__

Вел. Н <0>=О,ОЗО± ±0,005 <0>=Ю,О8О± ±0,005 <0>=О,25± ±0,01 <0>=О,75± ±0,01

Ф ■^микр 0,99+0,01 0,92+0,01 0,82+0,02 0,61 ±0,02

■^макр 0,99+0,01 0,92±0,01 0,77+0,02 0,59+0,02

X ■^микр 0,99±0,02 0,93+0,01 0,80+0,02 0,62±0,02

-^макр 0,99±0,01 0,94+0,01 0,78±0,02 0,58±0,02

Рис. 2. Траектория частицы в веществе, плоскость У-2, <в>=0,03.

Рис. 4. Траектория частицы в веществе, плоскость У-2, <в>-0,25.

Делаются обобщения полученных результатов - в исследуемой модельной статистике наблюдается фрактальность и присутствует значительная персистентность, степень которой зависит от среднего угла рассеяния частицы <в>, то есть фрактальная характеристика процесса Я оказывается функцией от физических характеристик системы (энергии частицы, заряда ядер вещества и др.).

В седьмой главе проводится поиск вида стохастических дифференциальных уравнений для распределений вероятности, описывающих исследуемые процессы (1) и (2) и для модели многократного рассеяния. Согласно всем предыдущим исследованиям, естественным шагом на пути поиска способа теоретического описания этого эффекта может послужить обращение к обобщенной центральной предельной теореме. Согласно ней, распределение суммы независимых, но коррелированных случайных величин со временем приближается к распределению для фрактального броуновского движения (ФБД). Для подтверждения этого исследуется зависимость вида распределения суммы соответствующих процессу случайных величин от времени, а также вид зависимости дисперсии от времени. Как известно, для ФБД

и соответственно,

1п(£>) = а + Ып(/-/0), где а = 21п(ст) и Ъ- 2Я.

Приводятся соответствующие графики и таблицы для накопленного отклонения - сумм параметров Аа, , А™", Ау для реакций (1) и (2) (некоторые из них - таблицы 8-9).

Таблица 8. Значения коэффициентов достоверности для проверки

соответствия экспериментальных распределений (2) но рмальному.

N 2 4 8 16

Аа 67±3 17±2 3,6±0,5 1,3±0,5

ртах Ч ' 13±1 3,0±0,6 1,5±0,5 2,0±0,5

гтах °тт ' , 113±12 19±2 4,3±0,8 1,7±0,4

Ау 26±2 6,0±1,0 2,3±0,5 1,7±0,3

Таблица 9. Значения коэффициентов а и Ь. Реакция (2).

Р-ия Величина Аа ртах rt 1 max тш Ау

а -4,5±0,2 -3,6±0,1 9,85+0,05 -0,14±0,03

(2) b 1,35±0,05 1,50±0,10 1,28±0,0б 1,31 ±0,04

2 Н 1,31+0,01 1,42±0,02 1,24±0,01 1,34±0,01

Приводятся основные выводы из полученных результатов -исследуемые случайные процессы (для реакций (1) и (2) - искусственно сконструированные фиктивные процессы) на больших временах (f-* оо) имеют плотность распределения

(x-x<,-M(t-l0))2

о(х х i t )= с

где х - исследуемая случайная величина, М - ее математическое ожидание, а а и Н - зависящие от физических характеристик системы параметры, р является решением уравнения диффузии Фоккера-Планка:

dt дх дх

где М - имеет смысл коэффициент сноса, a a2H(t -/0)2Я~' ~ коэффициента диффузии по соответствующей переменной.

В восьмой главе подробно анализируются и обобщаются результаты, полученные в каждой из предыдущих глав.

В заключении перечислены основные результаты работы и высказаны благодарности.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведен статистический анализ методом нормированного размаха (метод Херста) упорядоченных по времени рядов измерений кинематических переменных дифракционно-подобных реакций:

7Г+ + р -» р + 2 7Г+ тг> 7Г~ + р -> р + 2 7Г+ тГ

в области промежуточных энергий. Подобный анализ в экспериментальной физике ядра и частиц проведен впервые.

2. Установлена фрактальная структура исследованных рядов, определены значения показателей Херста, свидетельствующие о наличии в рядах дальних корреляций (персистент-ность).

3. Было выполнено моделирование исследуемых процессов с помощью генераторов РгШо/, \Jzhinsky. Установлено что в модельных рядах данных корреляции не проявляются.

4. Проведено моделирование процесса многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Установлено наличие фрактальности и корреляций в рядах данных, описывающих траекторию такой частицы. Показано что в данном случае степень фрактальности определенным образом зависит от физических характеристик исследуемой системы.

5. Проведено исследование влияния используемых компьютерных генераторов псевдослучайных чисел на полученные результаты. Установлено что оно является несущественным.

6. Определены статистические свойства рядов измерений, рассматриваемых как стохастические процессы. Установлено, что они являются стационарными, негауссовыми и немарковскими. Определен вид распределений для исследуемых случайных величин.

7. Проведено математическое доказательство фрактальности исследуемой статистики. Результаты метода Херста проверены с помощью расчета размерностей Хаусдорфа. Установлено свойство вероятностного самоподобия изученных рядов измерений.

8. Результаты метода Херста проверены с помощью стандартного метода - расчета коэффициентов корреляции. Продемонстрирована более высокая точность первого метода определения корреляций в рядах данных по отношению к последнему.

9. Показано что анализируемые данные могут быть представлены как результат случайных блужданий в пространстве выбранных переменных и воспроизведены моделью фрактального броуновского движения. Процессы оказываются аналогичными диффузии и описываются уравнением Фок-кера-Планка, где коэффициент Херста полностью определяет характер диффузии. Информация о зависимости этого па-

раметра от условий протекания для конкретных физических процессов открывает возможности предсказания их поведения.

10. Проделанная работа впервые дает экспериментальное подтверждение открытости систем взаимодействующих в исследованных реакциях частиц (п+р, я~+р), которые очевидно испытывают воздействие окружения, т.е. условий в которых протекает процесс. Также не могут быть исключены и влияния информации, которые появляются в процессе переработки первоначальных экспериментальных данных.

4. ПУБЛИКАЦИИ И ССЫЛКИ

Основные результаты, вошедшие в диссертацию, .отражены в тезисах докладов на конференциях, в том числе международных, в двух препринтах и трех статьях.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Борчиков A.C., Булеков О.В., Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Фрактальные свойства траекторий частиц при многократном рассеянии». Препринт 005-2003/ МИФИ, М., 2003.

2. Борчиков A.C., Булеков О.В., Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Фрактальные свойства траекторий частиц испытывающих многократное рассеяние». LIII Международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, Тезисы докладов, СпбУ., 2003, С.227.

3. Борчиков A.C., Булеков О.В., Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Наблюдение фрактальности процесса многократного рассеяния». П конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.12-13.

• 4. Булеков О.В., Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Новый подход к исследованию глубоконеупругих ядерных реакций». П конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.14-15.

5. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Многократное рассеяние как фрактальный диффузионный процесс». Ш конференция

научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.9-11.

6. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц». Ш конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.11-13.

7. Моисеенко A.B. «Исследование генераторов случайных чисел на наличие корреляций методом Херста». Препринт 009-2005/МИФИ, М., 2005.

8. Булеков О.В, Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Фрактальность в адрон-адронных взаимодействиях». Научная сессия МИФИ-2006, Сборник научных трудов, Том 7, М., 2006, С.148-149.

9. Булеков О.В, Моисеенко A.B., Поносов А.К., Сергеев Ф.М. «Фрактальные свойства многократного рассеяния заряженной частицы в веществе» // Инженерная физика, 2006, №1, С.2-6.

10. Моисеенко A.B. «R/S-анализ компьютерных генераторов случайных чисел» // Инженерная физика, 2006, №1, С.56-59.

11. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц» // Письма в ЭЧАЯ, 2007, т.4, №3(139), С.371-381.

Ссылки:

[1] Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982.

[2] Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Монография. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 105 с.

[3] Встовский Г.В. Элементы информационной физики. Москва: РИЦ МГИУ, 2002. 257 с.

[4] Vstovsky G.V. Foundations of Physics, 1997,27, N10, p.1413-1444v .....

[5] Дубовиков M. M., Крянев А. В., Старченко H. В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрак-

тальных временных рядов // Вестник РУДЫ, серия «Прикладная и компьютерная математика». — Т.З, №1. — 2004. — С. 30-44.

[6] Dubovikov М. М, Starchenko N. V., Dubovikov М. S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of natural time series // Physica A. — 2004.

[7] Дубовиков M. M., Старченко H. В.. Индекс вариации и его приложение к анализу фрактальных структур// Научный альманах Гордон — № 1. — 2003. — С. 5-33.

Подписано в печать А^^Заказ #5 Тираж 100 экз.

Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31

20

Введение.

1. Актуальность работы.

2. Определения, примеры, подходы.

3. Постановка задачи.

4. Структура диссертации.

5. Научная новизна работы.

6. Практическая значимость работы.

7. Автор защищает.

Глава 1. Методы обработки данных.

1.1. Методы определения фрактальной размерности.

1.2. Метод нормированного размаха.

1.3. Стандартный метод поиска корреляций.

Глава 2. Рождение пионов при промежуточных энергиях.

2.1. Реакции л + р ->/? + 2 л + л и л + р ^р + 2л + к

2.2. Другие процессы.

3.2. Анализ модельных данных.50

3.3. Основные результаты и выводы.56

Глава 4. Проверка методологии исследований.58

4.1. Исследование генератора случайных чисел на предмет корреляций. 58

4.2. Исследование генератора случайных чисел на предмет скрытых периодичностей.61

4.3. Связь показателя Херста с объемом статистики.65

4.4. Анализ эксп-х и модельных данных стандартным методом.70

4.4. Основные результаты и выводы.74

Глава 5. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов.76

5.1. Введение.76

5.2. Обработка экспериментальных и модельных данных.77

5.3. Основные результаты и выводы.83

Глава 6. Моделирование многократного рассеяния.86

6.1. Введение.86

6.2. Моделирование.88

6.3. Исследование полученной статистики.91

6.4. Основные результаты и выводы.95

Глава 7. Определение дифф. уравнений для описания исследуемых процессов. .97

7.1. Введение.97

7.2. Реакции (2.1) и (2.2).98

7.3. Модель многократного рассеяния.107

7.3. Основные результаты и выводы.109

Глава 8. Основные результаты и выводы.112

8.1. Рождение пионов при промежуточных энергиях.112

8.2. Моделирование рождения пионов при промежуточных энергиях. 113

8.3. Проверка методологии исследований.115

8.4. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов.117

8.5. Моделирование многократного рассеяния.119

8.6. Определение дифф. уравнений для описания исследуемых процессов 123

Заключение.126

Литература.129

Введение

7.3. Основные результаты и выводы

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

Очевидно, что со временем, то есть, по мере увеличения числа слагаемых в суммах последовательных членов временных рядов исследуемой статистики, распределения всех этих сумм приближаются по своей форме к нормальному. Уже на 16-м шаге они становятся практически неотличимыми от гауссовского. Кроме того, для дисперсий экспериментальных и модельных распределений от времени справедлив закон: \n(D) = a + b\n(t-t0), так как погрешность МНК (коэффициентов а и Ь) очень мала (-1%). В таблицах 7.2.9, 7.2.10, 7.3.3 приведены расчетные значения коэффициентов b для исследуемых величин. Там же указаны расчетные значения 2Я, причем для реакций (2.1) и (2.2) Я взяты непосредственно из таблиц 2.1.1 и 2.1.3 соответственно. Сравнивая полученные значения можно уверенно заявлять, что в пределах погрешностей выполняется равенство b = 2Н. Таким образом, имеет место формула D = <j2(t -t0)2n . Более того, судя по графикам 7.2.9, 7.2.10, 7.3.3 можно проследить что данное соотношение будет выполняться в широком диапазоне п, эквивалентного (t-t0), то есть практически не зависит от времени. Для многократного рассеяния однако, наблюдается тенденция к некоторому уменьшению b со временем, что сможет свидетельствовать об ослаблении корреляций со временем.

Характеристики процессов (2.1) и (2.2) и модели многократного рассеяния подробно исследованы в предыдущих разделах работы. Вместе с представленным выше анализом поведения дисперсий они позволяют полностью определить дальнейший ход анализа. Действительно, как показано в [12], случайный процесс с коррелированными значениями, зависимыми и стационарными приращениями может быть представлен (смоделирован) обобщенным, фрактальным броуновским движением, описываемым следующим выражением для плотности вероятности: (ЛГ-.Т „)р{Х1)^-10) = -==--—е 2а2{,-'°)1" (7.3.1) где хо, х - значения характеристик процесса в моменты /о и Я - показатель Херста, а2 - параметр, имеющий смысл коэффициента диффузии. Таким образом, мы проверили справедливость обобщенной центральной предельной теоремы для исследуемых нами процессов, убедившись тем самым в независимости составляющих их случайных величин.

Линейной заменой переменных выражение (7.3.1) приводится к виду

1 V2 х) = -р=ехр(-—), то есть исследуемый процесс представляет собой

72 п 2 разновидность винеровского, диффузионного процесса, распределение плотности вероятности которого является решением дифференциального уравнения, связывающего значение функции распределения со значениями ее производных. Установленный факт сдвига среднего от распределения плотности вероятности прямо пропорционально ширине временного интервала (см. выше) позволяет сделать заключение, что таким уравнением является уравнение Фоккера-Планка:

7.3.2) с/ дх ох где М- коэффициент сноса, приведенный для реакций (2.1) и (2.2) в таблице 7.2.11, а сг2Я(г-?0)2//"' имеет смысл коэффициента диффузии по соответствующей переменной.

Как известно, уравнением Фоккера-Планка [104] описываются специальные виды диффузии. Оно известно в физике некоторых диффузионных процессов, в математической теории случайных процессов оно возникает как прямое уравнение Колмогорова для распределения плотности переходной вероятности.

Формула (7.3.1) справедлива только когда математическое ожидание исследуемой величины равно нулю, как например, для броуновского движения. Характеристики же яр-взаимодействий имеют отличные от нуля средние, поэтому в числителе выражения под экспонентой для переходной вероятности появится зависящее от времени математическое ожидание суммы, накопленной за время

ПО

-/0): М(?-Г0), где М - математическое ожидание исследуемой величины. Вид р будет таким: х-х0 -M(t-l0))2

Вычислив —, — и —V можно легко показать, что р является решением dt ôx дх~ уравнения диффузии которое имеет вид (7.3.2).

Итак, можно сделать заключение о возможности рассмотрения исследуемых стохастических процессов в качестве случайных блужданий. Причем в случае жр-взаимодействий мы рассматриваем фиктивный случайный процесс в том смысле, что исследуется не история состояний одной и той же частицы, а характеристики последовательных независимых событий, которые берутся в качестве приращений координаты в некотором пространстве. С математической же точки зрения любая совокупность случайных величин Ç(t), teT (где Т - некоторое множество), заданных на вероятностном пространстве <Q,I,P>, называется случайным процессом [59]. Необходимо отметить, что поставленная во Введении задача поиска дифференциального уравнения описывающего процесс по его реализации разрешается в данной главе не полностью, поскольку мы получили лишь асимптотический вид искомого уравнения. Тем не менее, это позволяет нам понять характер процессов и углубиться в исследование их физики - очевидно что постоянные о, M и Я определяются именно ей - а значит и природа возникновения корреляций тоже.

Не следует также забывать что фрактальная диффузия в ядерной физике обнаружена уже давно - как внутреннее блуждание партонов в адронных взаимодействиях [105-109]. Нельзя исключить вариант что оно служит одной из причин фрактально-диффузионного характера исследуемых процессов.

Глава 8. Основные результаты и выводы.

8.1. Рождение пионов при промежуточных энергиях

В Главе 2 проводился анализ экспериментальной статистики методом нормированного размаха. Установлено, что для исследуемых динамических переменных A a, Ptma\ Ау как для реакции (2.1), так и для и (2.2) значения постоянных Херста достоверно превышают 0,5. В некоторых случаях это превышение значительно (Н= 0,7 + 0,8). Погрешности определения Н малы (-1%), причем для метода без усреднения они больше. Графики зависимостей нормированного размаха от запаздывания не совпадают с прямой соответствующей отсутствию корреляций (#= 0,5 и а=к/2). Результат получен с высокой достоверностью - обратную гипотезу можно принять лишь с очень малой вероятностью - в большинстве случаев менее 1% - см. таблицы 2.1.1-2.1.4. Как и следовало ожидать, для метода с усреднением они более сглажены и мало отличаются от прямой. Если усреднение не проводится, то график становится ломаным, и оказываются заметными участки статистики с различными коэффициентами наклона (Я).

Аналогичные по смыслу результаты получаются для адрон-адронных взаимодействий других видов: (2.3), (2.4), (2.5), (2.6). В этих случаях исследовались другие переменные, нежели для реакций (2.1) и (2.2) а также начальная энергия налетающих частиц и множественность в конечном состоянии были другими. Несмотря на это, соответствующие таблицы и графики указывают на значительные отклонения постоянной Херста в большую сторону от 0,5 почти во всех случаях.

Такая общность результатов позволяет заключить, что по крайней мере в исследуемых в данной работе экспериментах наблюдается фрактальность, определяющая корреляции последующих событий с предыдущими. Аналогичные результаты были получены ранее в предшествующих работах [72, 85-86].

Причины такого, как оказалось, распространенного, явления назвать затруднительно, поскольку условия проведения экспериментов предполагают абсолютную случайность и независимость актов взаимодействия частиц. С учетом того, что во-первых, мы имеем качественно одинаковые (//>0,5) результаты для различных реакций и различных переменных на статистике, полученной в разных лабораториях, во-вторых наблюдаем отсутствие подобного эффекта при моделировании подобных процессов, а в-третьих, замечаем что корреляции исчезают при перемешивании статистики - мы заключаем что обнаруженный эффект либо является следствием каких-то неизвестных физических законов, либо следствием неустановленного влияния экспериментатора (наблюдателя) на процесс. В любом случае оказывается что процессы взаимодействия частиц не являются информационно закрытыми, что открывает перед нами возможности дополнительных исследований, направленных на поиск причин этого информационного воздействия. Очевидно они должны представлять собой детальное изучение зависимости степени фрактальности процесса от физических условий, характеристик взаимодействующих частиц, а также от методики сбора данных и формирования рядов.

Тот факт, что коэффициент Н в нашем случае оказывается больше 0,5, подтверждает идею, высказанную самим Херстом [54] о том, что в природе не существует абсолютно случайных процессов и закрытых систем. Механизм же потери закрытости и случайности еще предстоит выяснить.

8.2. Моделирование рождения пионов при промежуточных энергиях

В Главе 3 мы исследовали двумя вариациями метода нормированного размаха шесть различных модельных наборов данных (три модели двух реакций). По сути модели повторяли эксперимент (2.1, 2.2), но только в идеальных условиях - исключались любые изменения начальных и внешних условий. Для полной аналогии рассматривались те же переменные, что и для экспериментальной статистики. Эта работа была призвана выяснить, не являются ли причинами возникновения корреляций различного рода тривиальные причины, например возникающие в результате действия законов сохранения и искусственных ограничений.

Общий вывод исследования можно сформулировать так: модели не описывают эксперимента по части проявления корреляций. Значения коэффициента Херста для всех моделей колеблются около 0,5 и какой-то обнадеживающей закономерности глядя на таблицы 3.2.1 - 3.2.12 выявить не удается. Максимальные значения Н - около 0,54 для метода с усреднением и около 0,58 для метода без усреднения, встречаются только для одной переменной (4у) в случае использования модели <<А/57Ж>> и все равно, даже в пределах погрешности не достигают экспериментальных значений. Учитывая проведенную в Главе 4 верификацию метода Херста и проведенное там исследование компьютерного генератора случайных чисел, используемого при моделировании, можно не сомневаться в сделанном выводе.

Таким образом, мы определили что технология формирования рядов данных (а именно - отбор только нужных событий с определенным числом и типом частиц в конечном состоянии, а также искусственное ограничение объема статистики - все это проводилось при подготовке рядов модельных данных) и фундаментальные законы сохранения, как предполагаемые причины возникновения корреляций, не оправдали себя. Это также указывает на несовершенство исследуемых моделей, в том смысле что они не учитывают ответственного за появление корреляций физического механизма. После логического анализа всей проделанной работы можно заявлять, что в качестве кандидатов на этот механизм могут выступать - либо неизвестные ранее свойства пространства, времени и материи, либо, что более всего вероятно - условия протекания исследуемых процессов. Например это может быть незначительное, но закономерное изменение энергии пучка пионов, вылетающих из ускорителя.

8.3. Проверка методологии исследований

Не следует забывать, что причиной обнаружения корреляций, кроме вышеперечисленных, могло бы быть несовершенство методики или воздействие причин, вызывающих ложные корреляции. Глава 4 была посвящена как раз этим проблемам - методологии и исследованию причин, могущих оказывать воздействие на значение Я.

Во-первых, было установлено что компьютерные генераторы случайных чисел действительно не являются чисто случайными - в выдаваемых ими рядах всегда присутствуют корреляции большей или меньшей степени, как и заявлялось разработчиками таких программ. Однако нельзя исключать того, что частично эти корреляции могут определяться ограниченностью исследуемого ряда, объемом выборки, поскольку, как было показано, с ростом последнего убывают как и Я, так и С. В рамках данной работы мы не сможем отделить одну причину от другой, поскольку для этого потребовалась бы статистика значительного объема, которую с уверенностью можно считать абсолютно случайной. Сбор такой статистики сам по себе является непростой задачей. Поэтому предлагается в качестве критерия-максимума неслучайности любого процесса, представленного рядом длины N считать среднее значение Я или С для random-ряда такой же длины.

Специальный поиск скрытых периодичностей (см. рисунки 4.1.1, 4.2.3

4.2.6) не дает определенного ответа на вопрос об их наличии в галдЬ/и-статистике.

По крайней мере можно уверенно утверждать, что при малых объемах выборки периодичности отсутствуют. При увеличении же длины ряда до 103 - 106 их наличие не исключено, на что указывает смещение коэффициента Херста, определенного методом без усреднения, в сторону антиперсистентности. Здесь же фактически проводится сравнение двух методов определения Я - с усреднением и без. Оказывается что каждый метод хорош по своему. Первый позволяет получить усредненную фрактальную характеристику всего ряда с хорошей точностью, и сглаживает тенденции в выборке, как, например, изменение условий эксперимента со временем, оставляя лишь чистую исследуемую переменную. Поэтому он используется в данной работе «по умолчанию». Второй метод выдает

115 глобальную» фрактальную характеристику, но с большей погрешностью, которая характеризует изменения Я внутри выборки.

Мы продолжаем эти рассуждения, изучая графики зависимостей постоянной Я от объема выборки. Для рядов полученных с помощью генератора случайных чисел, а также для модельных данных они представляют собой асимптотическое приближение Я к некоторому значению, близкому к 0,5. Колебания Я оказываются незначительными (по сравнению с 0,5). Иным образом выглядят аналогичные графики для экспериментальной статистики. Почти всегда они расположены над обозначенным выше уровнем критерия-максимума неслучайности. Асимптотического поведения не наблюдается - либо график близок к прямой, либо присутствуют значительные изменения коэффициента Херста с объемом выборки. Все это, вместе с изломанными графиками нормированного размаха от запаздывания (Глава 2) указывает на справедливость сделанного в конце предыдущего параграфа предположения. Если бы за возникновение корреляций были ответственны фундаментальные законы, вряд ли бы их степень (Я) значительно менялась на протяжении всей статистики. Скорее всего изменения Я, а значит и фрактальной размерности соответствующих графиков накопленного отклонения по мере нарастания объема выборки, определяются непостоянством условий проведения экспериментов - например, изменениями вида распределения энергии налетающих частиц.

В качестве проверки используемых методов выявления корреляций применяется альтернативный способ - стандартный. Он хоть и оказывается гораздо менее точным и чувствительным чем метод нормированного размаха, но позволяет уверенно утверждать, что статистика гат/от-генератора и моделей имеют примерно одинаковую степень автокоррелированности ряда (см. таблицы 4.1.3, 4.4.1-4.4.6, рис. 4.4.2, 4.4.3.), которая в пределах погрешности оказывается ниже значений коэффициентов автокорреляции для экспериментальной статистики (см. таблицы 4.4.7, 4.4.8, рис. 4.4.4). Более того, при произвольном перемешивании статистики С резко падает, что свидетельствует о действительности корреляций.

8.4. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов

В Главе 5 производилась математическая идентификация исследуемой статистики для обеспечения математической строгости полученных ранее результатов. Некоторые выводы относительно характера изучаемых рядов уже были сделаны выше, а другие можно сделать основываясь на результатах предыдущих глав. Так очевидно, что в общем случае все рассматриваемые процессы, как реальные, так и модельные не могут считаться марковскими, исходя из определения последних: процесс является марковским, если вероятность достижения процессом определенного значения не зависит от его поведения в предыдущее время, то есть каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения [12]. Все определенные коэффициенты Херста и коэффициенты корреляции в свете проделанных выше рассуждений о причинах корреляций указывают на наличие этой самой зависимости от того, как разворачивался процесс в прошлом. Лишь в некоторых случаях процессы, построенные с помощью генератора случайных чисел, дают значение Н совпадающее в пределах погрешности с 0,5. Эти конкретные ряды можно считать марковскими, но в общем случае как гапс1от-генератор, так и эксперимент проявляют немарковские свойства, причины которых лежат для первого варианта - в особенностях компьютерной программы, а для второго - по-видимому, в технологии эксперимента.

Установлено, что все процессы относятся к классу негауссовских. Это следует как непосредственно из физики самих процессов (алгоритмов их моделирования), так и из анализа формы соответствующих гистограмм. Несмотря на то что при проведении моделирования мы используем гапс1от-генератор, генерирующий распределенные по Гауссу случайные величины, из последних формируются другие переменные, обладающие отличным от нормального распределением. Если провести анализ вида распределений, подробности проведения которого в данной работе опущены, с использованием различных функциональных зависимостей для их оценки и применением метода наименьших квадратов, то можно убедиться, что формулы распределений для реакции (2.1) и г2 для реакции (2.2) с коэффициентами достоверности таковы: п

5) Для Ла: fix) - А, ехр(-а,х2)

6) Для Ptmax: f{x) = А2х"гХ ехр(-/?, -х)

7) Для f(x) = A}x'^exp(-ß2-x)

8) Для Лу: f{x) = А4 ехр(-а2х2) , где х>0, и А], An, A3, A4, а\, а% а], а2, ßl, ß2> - положительные параметры (различные для реакций (2.1) и (2.2)).

Далее переходим к вопросу о стационарности изучаемых рядов. Как известно, процесс считается стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени [71]. Для экспериментальной статистики рисунки 5.2.2 - 5.2.5 и 5.2.7 - 5.2.10 как раз указывают на то, что форма распределения вероятностей для исследуемых переменных не меняется со временем. Это же подтверждается численно в таблицах 5.2.2 и 5.2.4. Для модельной статистики специальное исследование не проводилось, поскольку алгоритм моделирования подразумевает неизменность закона распределения для всех характеристик процесса со временем.

Наконец, проводилось строгое определение фрактальности исследуемых нами объектов. Во-первых, было выяснено что размерность Минковского графиков накопленного отклонения во всех случаях (таблицы 5.2.1, 5.2.3) дробная, чего, согласно некоторым источникам, уже достаточно, чтобы признать такое множество фракталом. Во-вторых, размерность Хаусдорфа (совпадающая с размерностью Минковского) графиков накопленного отклонения больше топологической размерности (для ломаной линии она равна единице), а значит выполняется первое определение фрактала по Мандельброту. В-третьих, графики IgiNia)) от lg(a) очень близки к прямой, имеющей почти один и тот же наклон на протяжении трех и более порядков величины. Изменение масштаба статистики в пределах от 1 до 100 приводит лишь к незначительным изменениям размерности

Минковского, совпадающим в пределах погрешности для различных масштабов. Также вид распределений для исследуемой статистики почти не зависит от масштаба (см. соответствующие рисунки), о чем говорят близкие к единице 2 значения 11 в вышеуказанных таблицах. Таким образом, мы обнаруживаем п масштабную инвариантность и вероятностное самоподобие исследуемых процессов, что свидетельствует о выполнении второго определения фрактала по Мандельброту. Но стоит отметить что само определение Мандельброта (фракталом называется «структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [12]) не требует строгого доказательства самоподобия.

Даже если считать второе определение фрактала по Мандельброту для последнего случая сомнительным, другие определения для него, как было продемонстрировано, выполняются. Таким образом, исследуемые нами статистические объекты являются фракталами. Тем не менее, не стоит забывать, что в физике мы никогда не имеем дело с математически строгими фракталами, так как всегда имеются естественные ограничения по масштабу, в пределах которых объект можно считать фракталом.

8.5. Моделирование многократного рассеяния

В Главе 6 была разработана компьютерная модель процесса многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Полученная с ее помощью статистика обрабатывалась методом Херста, в результате чего, при определенных и вполне реальных условиях, были обнаружены значительные корреляция между углами отклонения траектории от выбранной. Они оказывается особенно сильными при малых средних углах рассеяния частицы - траектория представляет собой почти гладкую кривую, схожую с дугой окружности (см. рис. 6.3.2). Когда <6> велико и достигает величины порядка л/4, что практически не наблюдается в экспериментальной практике (это уже диффузия частицы в веществе), траектория хаотична и похожа на броуновское движение (рис. 6.3.8), что подтверждается близкими к 0,5 коэффициентами Херста. Такая крайняя ситуация характерна для частиц с очень низкой энергией, и, соответственно, быстро ее теряющих, но практического смысла она не имеет. В данной работе потери энергии не учитывались, чтобы средний угол рассеяния не менялся на протяжении траектории. Для релятивистских частиц это вполне допустимо. Очевидно, что при учете снижения энергии <9> несколько увеличился бы, что повлекло бы за собой некоторое уменьшение И. Следующий важный вывод заключается в том, что показатель Херста и, стало быть, форма траектории не зависят от используемого типа модели - микроскопического или макроскопического. Они определяются только значением <0>. Этот факт дает возможность полагать, что хаотичность траектории не зависит от распределения углов рассеяния и от масштабного фактора, а определяется чем-то общим для обеих моделей, а скорее всего -кумулятивным характером угла содержащего в своем значении информацию об углах 0 для всех предыдущих актов рассеяния. Хотя ранее уже разъяснялся смысл обозначений и 0, еще раз подчеркнем, что первый - это угол отклонения траектории частицы от направления ее первоначального импульса (от оси 7), а 0 -угол, на который рассеивается частица после взаимодействия с ядром вещества. Также приведем рисунок, иллюстрирующий процесс многократного рассеяния с обозначением этих углов.

Рисунок 8.5.1

Анализ показывает, что в процессе рассеяния осуществляется связь (корреляция) между предыдущим и последующим углами отклонения траектории ч ч от направления первоначального импульса частицы (см. таблицу 6.3.1), в то время как углы рассеяния (0) - чисто случайные, некоррелированные величины (см. таблицу 6.3.2), что неудивительно, поскольку они определяются абсолютно независимыми (как закладывалось в модели) актами рассеяния. Математически такая связь реализуется с помощью матрицы перехода между системами координат (6.2.2). Каждый прямолинейный участок траектории в исходной системе координат образуется с помощью умножения случайного вектора свободного пробега на цепочку матриц типа (6.2.2), переводящих вектор в наши координаты через множество систем, связанных с предыдущими пробегами.

Рассмотрим теперь более подробно вопрос марковости процесса последовательного изменения угла Из вышеприведенного текста и рисунка понятно, что имеет место формула *¥„= 01+.+0„1, где 0/ независимы. То есть рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями, как и, например, классическое (а не обобщенное!) броуновское движение. А в [12] мы прямо видим: «броуновское движение, как и любой процесс с независимыми приращениями, есть марковский процесс». Обратимся к приведенному там же определению: процесс является марковским, если «условная вероятность события «Д^) достигает определенного значения при данном значении Д^)» зависит только от и Ь- Эта вероятность не зависит от поведения Д/) при К t^ , то есть в процессе случайного блуждания каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения». Именно так и происходит многократное рассеяние - каждый последующий акт рассеяния происходит без какой-либо информации о прошлом (см. выше). Таким образом, согласно определению, последовательное изменение угла - это марковский процесс. Однако такой вывод может вызвать недоумение, поскольку еще недавно мы говорили о наличии в процессе многократного рассеяния корреляций и отличия Н от 0,5. Рассмотрим этот момент подробнее, проводя прямую аналогию с процессом броуновского движения. В [5] говорится следующее: «фрактальное броуновское движение не является марковским процессом, за исключением случая #=0,5». Здесь Н - коэффициент Херста, рассчитываемый для ряда последовательных приращений координаты броуновской частицы. Его отличие от 0,5 свидетельствует о наличии корреляции, связи между последовательными приращениями координаты. Это и означает немарковость (см. выше определение марковского процесса). Рассчитаем же теперь коэффициент Херста для ряда самих значений координаты броуновской частицы. Хотя в данной работе и не проводилось отдельного исследования по этому вопросу, можно показать, что Я для ряда самих значений координаты будет близок к единице, причем независимо от значения Я для приращений координаты. И это неудивительно, поскольку сами значения координаты в любом процессе с последовательными приращениями всегда зависимы - каждая последующая координата есть предыдущая плюс случайный добавок. В случае многократного рассеяния аналогом броуновской координаты выступает угол % а аналогом приращения - 0: ¥„= 01+.+0Л,1. Поскольку в, всегда независимы (см. таблицу 6.3.2), марковость процесса не вызывает сомнения.

Теперь же попытаемся определить почему степень корреляции (Я) между зависит от <0> именно таким образом, как было обнаружено (см. таблицу 6.3.1). Начнем с того, что угол Ч7 - величина изначально ограниченная и меняющаяся в некотором коридоре -а до а, где а определяется начальной энергией частицы и характеристиками среды. При больших средних углах рассеяния <0> случайные колебания угла У от одной границы этого коридора до другой будут значительными, порядка самого значения угла *Р. Это фактически будет означать независимость последовательных значений а значит Я будет около 0,5. Если же распределение <0> становится чрезвычайно «зажатым» (<0> « л), то коридор случайных колебаний ¥ сужается (а<< ¡Ч1!). Это значит что между последовательными значениями ¥ усиливается зависимость (вклад случайной компоненты становится все меньше и меньше), и поэтому Я приближается к единице.

Рассмотрим теперь приращения координат частицы, испытывающей многократное рассеяние. Они очевидно определяются углами отклонения от соответствующих осей. Например, как видно из рисунка 8.5.1, Д£(. = г( -соз^,),

122 где АД - приращение координаты 2 в /-м акте рассеяния, гь - пробег частицы (независимая случайная величина) в веществе в /-м акте рассеяния, а - угол отклонения от оси 1 в /-м акте рассеяния. А это значит что если углы отклонения от осей (в данном случае 4*) коррелированны, то и приращения координат тоже будут коррелированны в соответствующей степени (см. таблицу 6.3.3). Как известно [12], процесс с коррелированными приращениями не является марковским. Таким образом мы приходим к любопытному и парадоксальному, казалось бы, выводу: процесс многократного рассеяния частицы в веществе в смысле изменения координат частицы является немарковским, а в смысле изменения угла наклона траектории частицы к выбранной оси - марковский.

Проведенная в Главе 6 работа вряд ли поможет непосредственно ответить на вопрос о причинах корреляций, обнаруженных для адрон-адронных взаимодействий, поскольку здесь нельзя провести простую аналогию. В последнем случае мы имеем дело с последовательностью независимых случайных событий для разных частиц, а в первом - со случайными независимыми изменениями характеристик одной частицы, которая, как было показано, может частично «запоминать» свои предыдущие состояния. Действительно, например А2Я -гп -соб^), где то есть каждое приращение каждой координаты частицы, испытывающей многократное рассеяние заключает в себе всю историю процесса в виде значений углов рассеяния 0Ь. , 1. Здесь материальный объект - частица - является физическим носителем собственной истории.

8.6. Определение дифференциальных уравнений для описания исследуемых процессов

Наконец, рассмотрим результаты Главы 7. В ней показано, что со временем, то есть, по мере увеличения числа слагаемых в суммах последовательных членов временных рядов исследуемой статистики, распределения всех этих сумм приближаются к распределению для ФБД, процесс которого характеризуется переходной вероятностью (7.3.1). В случае если математическое ожидание исследуемой величины не равно нулю, то эта вероятность принимает вид (7.3.3).

Вычислив —, — и —£ можно легко показать, что р является решением

5/ ах дх~ уравнения диффузии (Фоккера-Планка) которое имеет вид (7.3.2).

Таким образом можно предложить рассмотрение исследуемых стохастических процессов в качестве случайных блужданий в пространстве выбранных переменных (при 1).

Рассмотрим подробнее уравнение 7.3.2 для ФБД. Как известно, в случае полного отсутствия корреляций во временных рядах (классическое броуновское д2/ движение), Н=0,5. При этом, очевидно, коэффициентом перед будет просто

2 ^ коэффициент диффузии Д равный в нашем случае —. Тогда 2H(t-t0У -й можно назвать обобщенным коэффициентом диффузии и обозначить как Следует отметить что множитель сг2(/-/0)2// соответствует дисперсии и всегда имеет размерность координаты в квадрате, поэтому проблем с размерностью в выражении 7.3.2 при различных значениях Я не возникнет. Итак, обобщенное з/ . а2/ др уравнение Фоккера-Планка можно записать как ~ •

Коэффициент М (математическое ожидание исследуемой величины) по аналогии с реальным процессом диффузии здесь можно рассматривать в качестве характеристики сопротивления (постоянного смещения). Особое свойство коэффициента П заключается в том, что при возникновении корреляций, диффузия вдруг приобретает зависимость от времени, и в крайнем случае, когда Н= 1, зависит от него линейно. Такое свойство представляется закономерным, поскольку физический смысл коэффициента диффузии - это квадрат смещения вдоль оси х за время I. Очевидно, что чем ближе к единице Я, тем более гладкая будет «траектория» изменения х и тем дальше она будет уходить со временем от 0. Проанализируем, можно ли объяснить возникновение зависимости от времени изменением самого D. Если х - координата, то коэффициент диффузии, как известно [ПО], задается формулой:

6 ЛТ]Г где rj - вязкость среды, г - радиус броуновской частицы. Очевидно, что в случае наличия ФБД при неизменных условиях эксперимента, изменение со временем любого из множителей в этой формуле кажется невероятным. Но даже если допустить положим, рост температуры со временем, то это даст увеличение D засчет роста амплитуды колебаний броуновской частицы и не объяснит изменения вида траектории, например, то что она становится более гладкой с ростом Н.

Обобщенный коэффициент диффузии D', помимо универсальных констант и констант, характеризующих среду, включает в себя еще и постоянную Н, определяющую степень корреляций между предыдущими и последующими событиями. Очевидно что она, так же как и Д определяется физикой самого процесса. Не следует забывать, что параметры обобщенного уравнения диффузии, в том числе и Н, сами могут зависеть от времени, поэтому его вид 7.3.2 следует считать справедливым лишь на том временном отрезке, на котором условия протекания процесса можно считать неизменными.

Таким образом, уравнение 7.3.2, определяющее характеристики процесса, а не отдельной частицы, кроме того что выявляет фрактальный характер процесса, реализует новый, статистический, подход к описанию взаимодействий в микроскопической физике [111]. Параметры же о, Н и М представляют собой ни что иное как функции от усредненных по всему процессу характеристик отдельных взаимодействий, а соответственно, являются аналогами температуры в термодинамических уравнениях. Отсюда ясно что чтобы дать окончательный ответ на вопрос о природе корреляций в исследуемых адрон-адронных взаимодействиях, необходимо провести дополнительные исследования, имея возможность изменять характеристики налетающего пучка и мишени ли же имея полную соответствующую статистику с исчерпывающим описанием условий эксперимента.

Заключение

В качестве основных результатов выполненной работы можно выделить следующие:

1. Проведен статистический анализ методом нормированного размаха (метод Херста-Мандельброта) упорядоченных по времени рядов измерений кинематических переменных дифракционно-подобных реакций

7Г+ + р —» р + 2 7Г+ п, тС+рр + 2%+ ж~ в области промежуточных энергий. Подобный анализ в экспериментальной физике ядра и частиц проведен впервые.

2. Установлена фрактальная структура исследованных рядов, определены значения показателей Херста, свидетельствующие о наличии в рядах дальних корреляций (персистентность).

3. Было выполнено моделирование исследуемых процессов с помощью генераторов РгШо/, \Jzhinsky. Установлено что в модельных рядах данных корреляции не проявляются.

4. Проведено моделирование процесса многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Установлено наличие фрактальности и корреляций в рядах данных, описывающих траекторию такой частицы. Показано что в данном случае степень фрактальности определенным образом зависит от физических характеристик исследуемой системы.

5. Проведено исследование влияния используемых компьютерных генераторов псевдослучайных чисел на полученные результаты. Установлено что оно является несущественным.

6. Определены статистические свойства рядов измерений, рассматриваемых как стохастические процессы. Установлено, что они являются стационарными, негауссовыми и немарковскими. Определен вид распределений для исследуемых случайных величин.

7. Проведено математическое доказательство фрактальности исследуемой статистики. Результаты метода Херста проверены с помощью расчета размерностей Минковского. Установлено свойство вероятностного самоподобия изученных рядов измерений.

8. Результаты метода Херста проверены с помощью стандартного метода -расчета коэффициентов корреляции. Продемонстрирована более высокая точность первого метода определения корреляций в рядах данных по отношению к последнему.

9. Показано что анализируемые данные могут быть представлены как результат случайных блужданий в пространстве выбранных переменных и воспроизведены моделью фрактального броуновского движения. Процессы оказываются аналогичными диффузии и описываются уравнением Фоккера-Планка, где коэффициент Херста полностью определяет характер диффузии. Информация о зависимости этого параметра от условий протекания для конкретных физических процессов открывает возможности предсказания их поведения.

Ю.Проделанная работа впервые дает экспериментальное подтверждение открытости систем взаимодействующих в исследованных реакциях частиц (к+р, к+р), которые очевидно испытывают воздействие окружения, т.е. условий в которых протекает процесс. Также не могут быть исключены и влияния информации, которые появляются в процессе переработки первоначальных экспериментальных данных.

11.По результатам работы выполнено 11 печатных научных работ [68, 69, 112120], в том числе три статьи в научных журналах, препринты, тезисы докладов в сборниках научных трудов конференций, в том числе международных. Работа многократно обсуждалась на научных семинарах кафедр МИФИ, в ОИЯИ.

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю, профессору Феликсу Михайловичу Сергееву за теплую человеческую поддержку, за переданные глубокие знания и мудрые советы, за заразительный и неугасающий энтузиазм по отношению к теме моей работы.

Выражаю глубокую признательность профессору Александру Климентьевичу Поносову за доброту, поддержку и помощь в поиске экспериментальных данных, в участии в конференциях, при подготовке публикаций.

Благодарю уважаемых членов научно-технического совета кафедры №7 проф. Петрухина A.A., проф. Кокоулина Р.П., проф. Гальпера A.M., доц. Юркина Ю.Т., доц. Колдашова C.B. за конструктивную критику и важные замечания, которые помогли мне доработать диссертацию.

Хочу сердечно поблагодарить доцента кафедры высшей математики Сандракову Елизавету Васильевну, определившую начало моего научного пути, за доброе отношение и математические знания, необходимые для моей работы.

Говорю искреннее спасибо всем своим бывшим и нынешним коллегам: И.В. Болотину, A.C. Борчикову, О.В. Булекову, И.А. Рубинскому, C.B. Федосееву за свежие идеи, плодотворные обсуждения исследуемой проблемы, за помощь в моделировании и обработке данных и в подготовке компьютерных программ.

1. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.

2. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982.

4. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco, W.H. Freeman, 1977.

5. Mandelbrot B.B. //J.Stat.Phys. 1983. V.34. P.895.

6. Mandelbrot B.B. Fractals and multifractals: noise, turbulence and galaxies. New York, Springer, 1988.

7. Mandelbrot B.B. Fractals and Scaling in Finance. New York, Springer, 1997.

8. Mandelbrot B.B., Van Ness J.W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SI AM Rev. 1968. № 10, p. 422-437.

9. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Монография. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 105 с.

10. Ю.Встовский Г.В. Элементы информационной физики. Москва: РИЦ МГИУ, 2002. 257 с.1 l.Vstovsky G.V. Foundations of Physics, 1997, 27, N10, p.1413-1444.

11. Кроновер P. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

12. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993.

13. Barnsley M.F. Fractals everywhere. New York: Academic press, 1988.

14. Bjorken J.D. Fractal phase space as a diagnostic tool for high-energy multijet processes. Physical Review, 1992. V. 45, № 11, p. 4077-4087.

15. Поликарпов М.И. Фракталы, топологические дефекты и невылетание в решёточных калибровочных теориях. // Успехи физических наук, 1995. Том 165, №6. С. 627-643.

16. Sprott J.C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford: University Press, 2003.

17. Жиков B.B. Фракталы. Соросовский образовательный журнал, №12, 1996, С. 109-117.

18. Лагутин A.A., Никулин Ю.А. Флуктуации космических лучей в Галактике.

19. Барнаул, 1993. 26 с. - (Препринт АГУ; 93/2). 24.Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. Т. 152. С.3-32.

20. Mandelbrot B.B.//J. Fluid Mech. 1974. V. 62. P. 331.

21. Frisch U., Sulem P., Nellan M.//Ibidem. 1978. V.87. P. 719.

22. Михайлов Е.Ф., Власенко C.C. // УФН. 1995. Т. 165. N3.

23. Кликушин Ю.Н. // Журнал радиоэлектроники. 2000. N4. С. 1-12.

24. Смирнов Б.М. // УФН. 1987. Т.152. С.133-157.

25. Vstovsky G.V.// Phys.Lett.A, 1992,165, N1, р.41-46.

26. Де Вольф Э.А., Дремин И.М., КиттельВ. //УФН, 1991, Т. 163, с.З.

27. Bialas A., Peschanski R. //Nuclear Physics. 1986. V. В273. P.703.

28. De Wolf E.A., Dremin I.M., Kittel W. //Phys.Rep. 1996, V.270. P.l.

29. Dremin I.M. // Modern Phys. Lett. 1993, V.A8, p.2747.

30. Потапов A.A., Герман В.A. // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. С. 19.

31. Реутов А.П., Потапов A.A., Герман В.А. // Нелинейный мир. 2003. Т.1. N1-2. С.12.

32. Потапов A.A. // Proceedings of The International Conference MSS-0423-25 November 2004. Москва. 2004. С. 508.

33. Дремин И.М. // УФН. 1994. Т. 164. С.785.

34. Дремин И.М. // УФН. 2002. Т. 172. С.551.

35. Dokshitzer Yu.L., Dremin I.M. //Nucl.Phys. 1993. V.B402. P. 139.

36. Дремин И.М., Назиров М.Т. //ЯФ. 1992. Т.55. С. 197.

37. Hwa R.C. // Phys.Rev. 1993. V.D47. Р.2773.

38. Brax A., Peschanski R.V. Levy stable law description of intermittent behaviour and quark-gluon plasma phase transitions//Phys. Lett. B. 1991. V.253. P.225-230.

39. Gustafson G. // Phys. Lett. 1986. V. В175, P. 453.

40. Andersson В., Dahlqvist P., Gustafson G. // Phys. Lett. 1988. V. B214. P. 604.

41. Tokarev M.V. // E2-2003-200, Дубна 2003, Proceedings of the 7-th International workshop "Relativistic Nuclear Physics". August 25-30, 2003.

42. Singh G., Jain P.L. // Phys. Rev. C. V.50. N5. P.2508.

43. Clemente M., et al // Phys. Lett. 1984. V.137B. P.41.

44. Cowan Т., et al // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. P. 1761.

45. Tsertos H., et al // Phys. Lett. 1985. V.162B. P.273.51 .Danzmann K., et al // Phys. Rev. Lett. 1987. V.59. P. 1885.

46. F.W.N de Boer, R. van Danzig // Phys. Rev. Lett. 1988. V.61. P. 1274.

47. Hurst H.E., Black R.P., Simaika Y.M. // Long-term storage: an experimental study. London, Constable. 1965.

48. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991.

49. Михайличенко В.И. и др. Препринт ИТЭФ 79-94, Москва, 1994.

50. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

51. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987.

52. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.

53. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

54. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. В. 2. С. 269-277.

55. Aharonov Y., Albert D. // Phys. Rev. 1981. V.D24, P.359.

56. Zurek W.H. // Ann. N.Y.Acad.Sci. 1986. V.480. P.89.

57. Namiki M., Pascazio S., Schiller CM Phys. Lett. A. 1994. V.187. P. 17.

58. Unruh W.C., Zurek W.H. //Phys.Rev. D. 1989. V.40. P. 1071.

59. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1999. (Броуновское движение, УФ-П).бб.Энциклопедический словарь. Вероятность и математическая статистика. М.: Большая российская энциклопедия, 2003.

60. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

61. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Многократное рассеяние как фрактальный диффузионный процесс». III конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.9-11.

62. Чистяков В.П. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1982.

63. Демидов B.C., Михайличенко В.И. и др. Препринт №42/ ИТЭФ, М., 1999.

64. Дьяконов В. Matlab. Обработка сигналов и изображений. С.-П.: Питер, 2001.

65. Bialas A., Peschanski R. //Nuclear Physics. 1988. V. В308. P. 857-867.

66. Дремин И.M. Перемежаемость и фрактальность в процессах множественного рождения частиц//УФН. 1987. Т.152. С.531-539.

67. Дремин И.М.// Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 45. No. 11; Preprint CERN-TH. 4693/87. Jeneva, 1987.

68. Дремин И. M. Дальние корреляции частиц и вейвлеты // УФН. 2000. Т. 170, С. 1235-1244.

69. Логу нов A.A. Корреляции и флуктуации в процессах множественного рождения частиц// УФН. 1990. Т. 160, С. 801.

70. Ангелов Н., Любимов В., Тогоо Р. //Краткие сообщения ОИЯИ. 1991. N1 47. С.27.

71. Lebedev I. A. and Shaikhatdenov B.G., The Use of the Hurst Method for Rapidity Correlation Analysis// J. Phys. G: Part. Phys.: v.23, 1997.

72. Lebedev I. A., New Method for Analysis of Correlations in Multiparticle Processes// Physics of Atomic Nuclei:v.60, N 7,1997.

73. Qin L., Ta-Chung M. Direct evidence for the validity of Hurst's empirical law in hadron production processes // Phys. rev. D. 2005. vol. 72, Issue 1, id. 014011

74. Балдин A.H., Балдин A.A. Релятивистская ядерная физика: пространство относительных 4-скоростей, симметрии решений, принцип ослабления корреляций, подобие, промежуточные асимптотики. Дубна: Р2-97-309, 1997.

75. Федосеев С.В. Пояснительная записка к дипломному проекту на тему: Фрактальные свойства рядов измерений для адрон-адронных реакций. МИФИ, 2002.

76. Михайличенко В.И. и др. Препринт №21/ИТЭФ, М., 1999.86.0короков В.А., Поносов А.К. и др./Инженерная физика, М., 2000, N2,1. С.2-8.

77. Барашенков B.C., Тонеев В.Д. Взаимодействия высокоэнергетических частиц и атомных ядер с ядрами. М.: Атомиздат, 1972.

78. Hong P. An event generator for interactions between hadrons and nuclei FRITIOF version 7, University of Lund, Lund, Sweden, 1993.

79. V.D.Toneev, K.K.Gudima, Nucl. Phys. A400 (1983).

80. P. Danielewicz, G.F. Bertsch, Nucl. Phys. A533 (1991).

81. Теребиж В.Ю. Анализ временных рядов в астрофизике. М.: Наука, 1992.

82. Росси Б. Частицы больших энергий. М.: ГИТТЛ, 1955.

83. Беленький С.З. Лавинные процессы в космических лучах. М.: Гостехиздат, 1948.

84. Компанеец А.С. ЖЭТФ, 1945. №15, с.235.

85. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.

86. Scott. М.В., Snyder H.S. //Phys. Rev. С. 1950. V. 78. P 223.

87. Scott M.B. //Phys. Rev. С. 1949. V. 76. P. 212.

88. Luebke E.A. et al. //Phys. Rev. C. 1947. V. 71 P. 649.

89. Александров Ю.А., Воронов Г.С. и др. Пузырьковые камеры. М.: Госатомиздат, 1963.

90. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976.

91. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. М.: Энергоатомиздат, 1983.

92. Сегре Э. Экспериментальная ядерная физика. М.: ИЛ, 1955.

93. Bershadskii A. Some generalization of self-similarity. Europhysics Letters, Volume 39, Issue 6, September II 1997, pp.587-592.

94. Risken H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Application, Springer-Verlag, New York, 1996.

95. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. // УФН. 1985. T. 146. С.493-506.

96. Смирнов Б.M. // УФН. 1986. Т.149. С.177.

97. Соколов И.М. // УФН. 1986. Т.150. С.221.

98. O'Shaughnessy В., Procaccia I.//Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. P. 455.

99. Батунин А. В., Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике адронов // УФН. 1995. Т. 165. С.645-660.

100. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1976. (случайные блуждания, диффузия).

101. Пригожин И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени М.: УРСС, 2003.

102. Борчиков A.C. и др. Препринт 005-03/ МИФИ, М., 2003.

103. Моисеенко A.B. и др. // LUI Международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, Тезисы докладов, СпбУ., 2003, С.227.

104. Борчиков A.C. и др. II II конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.12-13.

105. Булеков О.В. и др. // II конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.14-15.

106. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц». III конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.11-13.

107. Моисеенко A.B. «Исследование генераторов случайных чисел на наличие корреляций методом Херста». Препринт 009-2005/ МИФИ, М., 2005.

108. Булеков О.В. и др. «Фрактальность в адрон-адронных взаимодействиях». Научная сессия МИФИ-2006, Сборник научных трудов, Том 7, М., 2006, С. 148149.

109. Моисеенко A.B. «R/S-анализ компьютерных генераторов случайных чисел» // Инженерная физика. 2006. №1. С.56-59.

110. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц» // Письма в ЭЧАЯ, 2007, т.4, №3(139), С.371-381.