автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование многократного рассеяния в среде фрактального типа

Введение

1. Общая теория многократного рассеяния

1.1. Кинетическое уравнение.

1.2. Упругое рассеяние. Малоугловое приближение

1.3. Приближение Фоккера-Планка.

1.4. Функция распределения Мольер.

1.5. Рассеяние заряженных частиц. Решение А.С.Компанейца.

1.6. Неупругое рассеяние. Приближение "прямо - вперед"

1.7. Спектр энергетических потерь. Приближение непрерывного замедления. Диффузионное приближение.,.

1.8. Распределение Ландау.

1.9. Выводы.:.

2. Моделирование точечных фрактальных распределений и кластеров

2.1. Классические модели точечных фрактальных структур.

2.2. Модификация алгоритма Мандельброта.

2.3. Ветвящиеся процессы и стохастические фракталы.

2.3.1. Общее описание ветвящихся процессов.

2.3.2. Асимптотическое поведение плотности отдельного каскада.

2.3.3. Критичность и фрактальность

2.4. Распределение по числу частиц в кластере.

2.5. Выводы.

3. Многократное рассеяние на точечных фрактальных структурах

3.1. Распределение длины свободного пробега.

3.2. Вероятностное описание многократного рассеяния.

3.3. Многократное рассеяние со степенным распределением свободного пробега

3.4. Уравнения переноса в среде фрактального типа.

3.5. Разброс по полному пробегу во фрактальной среде.

3.6. Моделирование методом Монте-Карло процесса многократного рассеяния во фрактальных структурах.

3.7. Выводы.

4. Аномальный перенос в аморфных полупроводниках

4.1. Постановка задачи

4.2. Время ожидания.

4.3. Переходный ток.-.

4.4. Выводы.

5. Фрактальное распределение галактик

5.1. Крупномасштабная структура Вселенной

5.1.1. Глобальная массовая плотность фрактальной Вселенной.

5.2. Распространение света в гравитационном поле однородно распределенных источников

5.3. Отклонение луча света в гравитационном поле фрактально распределенных галактик

5.4. Выводы.

В основе современной теории многократного рассеяния лежит кинетическое уравнение Больцмана [1, 2, 3] где Ф(г, V) - фазовая плотность частиц, V - скорость, ¡л - линейный коэффициент взаимодействия, К - интегральный оператор рассеяния, 5 - плотность источников. В малоугловом приближении в асимптотике больших глубин это уравнение приводит к известным результатам теории переноса: гауссову распределению многократно рассеянных частиц по углам и энергиям, распределениям Мольер и Ландау, описываюшим многократное рассеяние быстрых заряженных частиц [4, 5].

Специфический вид левой части уравнения (1) связан с предположением о взаимной независимости рассеивающих центров, образующих в пространстве пуассоновский (в общем случае - неоднородный пуассонов-ский) ансамбль [6]. Такой ансамбль является не более чем приближенной моделью реальной среды, в которой всегда имеются корреляции, обусловленные взаимодействием ее атомов. Мелкомасштабные (близкие) корреляции можно учесть по теории возмущений [7], однако далекие корреляции среды приводят к необходимости обобщения исходного уравнения переноса.

К числу таких структур, интенсивно исследуемых в течение последних десяти с лишним лет, относятся пористые материалы, аморфные полимеры, турбулентные потоки, шероховатые поверхности и др. (см. обзоры [8, 9, 10]), обладающие в широком диапазоне расстояний корреляционной функцией степенного типа

Качественное описание таких структур дает фрактальная модель, в которой соотношение (2) предполагается справедливым при всех г о < г < оо, показатель I) при этом называется фрактальной размерностью [11]. .В у/г;) УФ -/¿Ф = КФ + 5,

1)

2) реальной ситуации при больших г скорость спадания корреляций возрастает и среда представляется однородной. Такую модель назовем средой фрактального типа: в некотором диапазоне расстояний ее можно считать фракталом. Ярким примером подобной среды является распределение галактик во Вселенной, где Б « 1.2 [12, 13]. Распространение света, а также гамма-излучения открытых в конце 60-х годов мощных источников внегалактического происхождения (гамма-всплесков) с математической точки зрения аналогичны просвечиванию фрактальных структур в лабораторных условиях с целью изучения их строения и свойств. Стандартным методом является исследование однократного малоуглового рассеяния на фрактальных структурах [14, 15, 16]. Однако наиболее яркие проявления фрактальной структуры имеют место при многократном рассеянии [8, 17, 18].

Выделю работы наиболее близкие к теме диссертации. В работе [19], посвященной переносу излучения во фрактальной Вселенной, получено интегральное уравнение, описывающее многократное рассеяние частиц в среде коррелированной фрактальным образом, однако не найдено его решение и не изучена его зависимость от фрактальной размерности среды. Многократное рассеяние на фрактальных структурах принадлежит к интенсивно исследуемым в последние годы явлениям аномального переноса (диффузии), отличающегося от нормального замедленным или, наоборот, ускоренным ростом ширины диффузионного пакета. Основные закономерности аномальной диффузии рассмотрены в работах [20, 21]. Конкретными физическим примерами процессов аномального переноса являются аномальный перенос космических лучей в магнитном поле Галактики [22, 23, 24], аномальный перенос заряженных частиц в стохастическом магнитном поле [25, 26, 27] и др.[28, 29]. Важное место в исследовании фракталов занимает математический аппарат дробного дифференциального и интегрального исчисления [30, 31].

Термин "многократное рассеяние во фрактальной среде" уже употреблялся в работах Малеева [32, 33], но там речь идет о рассеянии на равномерно распределенных в пространстве порах со степенным распределением их размеров. Такая модель приводит лишь к модификации интеграла рассеяния без изменения структуры самого уравнения.

В связи с вышеописанным представляется актуальным изучение многократного рассеяния в среде фрактального типа, представляющей собой случайное распределение рассеивающих центров с корреляционной функцией (2). В определенном смысле эта модель является альтернативой модели Малеева.

Целью настоящей работы является построение односкоростной теории многократного рассеяния (в малоугловом приближении) в системе точечных рассеивающих центров с далекими корреляциями степенного типа.

В связи с этим необходимо

1)установить распределение длины свободного пробега частицы, распространяющейся в фрактальной среде и его зависимость от фрактальной размерности среды;

2)вывести уравнения, описывающие многократное малоугловое рассеяние частиц в средах фрактального типа и найти их решения;

3)проанализировать полученные решения, и использовать их для описания конкретных физических процессов.

Положения, выносимые на защиту

1 Получен алгоритм, моделирования фрактального точечного множества с размерностью не ограниченной 2.

2 Распределение длины свободного пробега частицы в точечной среде фрактального типа имеет степенной вид ос Ь~а~г. Показатель а определенным образом связан с фрактальной размерностью П.

3 Многократное рассеяние частиц в среде фрактального типа описывается интегральным уравнением переноса со степенным ядром. В отличие от регулярной среды оно эквивалентно уравнению Больц-мана только в асимптотике больших глубин и только при а > 1.

4 При а < 1 интегральное уравнение переноса во фрактальной среде асимптотически эквивалентно дифференциальному уравнению с дробной производной. Его решения, выражаемые через плотности устойчивых законов и функции Фокса, отличаются от распределений в регулярной среде

5 В модели аномального переноса в среде с ловушками со степенным распределением времени захвата получено выражение для плотности переходного тока носителей заряда в аморфных полупроводниках. В отличие от результатов работ [70], найдено выражение не только в асимптотической, но и в переходной области.

6 В задаче о прохождении луча света в гравитационном поле стохастически расположенных масс показано различие распределений по углу отклонения в случае однородно и фрактально распределенных масс.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанная модель точечной фрактальной среды позволяет моделировать структуры с фрактальными размерностями, соответствующими реальным материалам; полученные выражения для функций распределения по углу отклонения и потерям энергии многократно рассеянных частиц, явно зависят от фрактальной размерности среды, что позволяет использовать их для экспериментального определения размерности структур; выражение для среднеквадратичного угла отклонения излучения, распространяющегося в межгалактической среде, может быть применено при анализе наблюдательных данных во внегалактической астрономии.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на 9 -й Российской гравитационной конференции (Новгород-96), на Международной конференции "Ренормгруппа - 96" (Дубна-96), на Международном семинаре по проблемам стабильности стохастических моделей (Дебрецен-97), на Международной школе-семинаре "Сильно коррелированные системы и критические явления" (Дубна-97)', на Международной школе-семинаре "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск-97), на 22-м Европейском совещании статистиков и 7-й Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс 1998), на Всероссийской конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск-98) а также на ежегодных конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета (1996-1998 гг.), на семинарах ТЭФЛ (НИИ ЯФ МГУ), кафедры математической статистики (ВМК МГУ), Лаборатории фундаментальных исследований физико-технического факультета УлГУ и кафедры теоретической и математической физики УлГУ.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Исходные теоретические положения разработаны совместно с проф. В.В.Учайкиным. Проведение конкретных расчетов, анализ результатов и выводы из них сделаны автором самостоятельно.

Публикации Основные результаты диссертации представлены в 14 печатных работах.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, одного приложения, заключения и списка цитированной литературы 90 наименований, содержит 108 страниц текста, включая оглавление и список литературы.

Основные результаты диссертации изложены в работах [53, 54, 55, 56, 57, 64, 65, 66, 67, 74, 86, 87, 85, 88].

Заключение

В работе произведено исследование многократного рассеяния в среде фрактального типа и получены следующие результаты

• Для моделирования фрактального точечного множества был применен алгоритм Мандельброта с использованием ветвящихся траекторий. Показано, что использование ветвления позволяет снять ограничение на фрактальную размерность И <2.

• Распределение длины свободного пробега частицы в точечной среде фрактального типа имеет степенной вид ос Параметр а определенным образом связан с фрактальной размерностью И.

• Многократное рассеяние частиц в среде фрактального типа описывается интегральным уравнением переноса со степенным ядром. В отличие от регулярной среды оно эквивалентно уравнению Больц-мана только в асимптотике больших глубин и только при а > 1.

• При а < 1 интегральное уравнение переноса во фрактальной среде асимптотически эквивалентно дифференциальному уравнению с дробной производной. Его решения, выражаемые через плотности устойчивых законов и функции Фокса, отличаются от распределений в регулярной среде

• В модели аномального переноса в среде с ловушками со степенным распределением времени захвата получено выражение для плотности переходного тока носителей заряда в аморфных полупроводниках.

• В задаче о прохождении луча света в гравитационном поле стохастически распределенных масс показано различие, распределений по углу отклонения для однородно и фрактально распределенных масс.

1. К.Кейз, П.Цвайфель, Линейная теория переноса, Пер. с англ.- М.: Мир, 1972, 384 с.

2. А.Вейнберг, Е.Вигнер, Физическая теория ядерных реакторов, Пер. с англ.- М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

3. М.В.Масленников, Аксиоматическая модель явлений переноса частиц, М.: Наука, 1989, 192 е.

4. A.M.Кольчужкин, В.В.Учайкин, Введение в теорию прохождения частиц через вещество, М.: Атомиздат, 1978, 256 с.

5. Н.П.Калашников, В.С.Ремизович, М.И.Рязанов, Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах, М.: Атомиздат, 1980, 272 с.

6. V.V.Uchaikin // Physica А, 255, 65-92 (1998).

7. В.В.Учайкин, А.А.Лагутин, Стохастическая ценность, М.: Энерго-атомиздат, 1993, 176 с.

8. В.В.Зосимов, Л.М.Лямшев // УФН, 165, 4, 361-401 (1995).

9. А.И.Олемской,А.Я.Флат // УФН, 163, 12, 1-50 (1994).

10. B.C. Иванова, A.C. Баланкин, И.Ж. Бунин, A.A. Оксогоев, Синергетика и фракталы в материаловедении, М.: Наука, 1994, 384 с.

11. B.B.Mandelbrot // Compt.Rend., 280А, 1551 (1975).

12. Ф.Дж.Э.Пиблс, Структура Вселенной в больших масштабах Пер. с англ.- М.:Мир, 1983, 408 с.

13. P.H.Coleman and L.Pietronero // Phys.Rep. 213, 313 (1992).

14. D.W.Shaefer, J.E.Martin, P.Wiltsiuset al // Ibid., 52, 2371 2374 (1984).

15. F.Ferry, B.J.Frisken and D.S. Cannel // Phys.Rev.Lett., 67, 3626 (1991).

16. A.Hasmy, E.Anglaret, M. Foret et al // Phys.Rev.B, 50, 6006 (1994).

17. В.А.Маркель, Л.С.Муратов, М.Н.Штокман // ЖЭТФ, 98, 819 (1990).

18. В.А.Максименко, А.А.Лушников // Письма в ЖЭТФ, 57, 4, 2041994).

19. V.V.Uchaikin // XXIV ICRC, Roma, 1, Не sessions, 698-701 (1995).

20. J.-P.Bouchaud & A.Georges // Phys.Rep., 195, 127 (1990).

21. G.M. Zaslavsky // Physica D, 76, 110 (1994).

22. L.G.Chuvilgin, V.S.Ptuskin // Astron.Astrophys., 279, 279 297 (1993).

23. А.В.Кулаков, А.А.Румянцев //ДАН, 336, N2, 183-185 (1994).

24. В.R.Ragot, J.G.Kirk // Astr.Astrophys., 327 432-440 (1997).

25. J.M.Rax, R.B.White // Phys.Rev.Lett., 68, 1523 1526 (1992).

26. R.Balesku // Phys.Rev.E, 51, 4807 4822 (1995).

27. H. Wang, M.Vlad, E. Vanden Eijnden // Phys.Rev.E, 51, 4844 48591995).

28. M.B.Isichenko, Rev.Mod.Phys., 64, 961 (1992).

29. B.J.West and W.Deering, Phys.Rep., 246, 1 (1994).

30. R.R.Nigmatullin // Phys.Stat.Sol., (b) 123, 739 (1984).

31. С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Маричев, Интегралы и производные дробного порядка, и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

32. S.V. Maleyev, R.V. Pomortsev and Yu.N. Skryabin // Phys.Rev.B, 50, 7133 (1994).

33. S.V. Maleyev // Phys.Rev.B, 52, 13163 (1995).

34. B.B.Mandelbrot, The Fractal geometry of nature, Freeman, New York, 1982.

35. Б.Росси, Частицы больших энергий, M.: Гостехтереоиздат, 1955.

36. G.Molier // Z.Naturforsch., Bd За, 78 97, (1948). ■

37. H.A.Bethe // Phys.Rev., 89, 1256 (1953).

38. А.С.Компанеец // ЖЭТФ, 15, 235 (1945).

39. Л.Д.Ландау, Собрание трудов, т.1, М.:Наука, 1969, с. 482.

40. П.В.Вавилов // ЖЭТФ, 32, 920 923 (1957).

41. В.С.Ремизович // Атомная энергия, 37, 346 347 (1974).

42. L.Pietronero, Physica А, 144А, 257 (1987).

43. Е.Федер, Фракталы, М.: Мир, 1991, 254 с.

44. Фракталы в физике: Тр. VI Междунар. симпоз. по фракталам (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985 г.), М.: Мир, 1988, 672 с.

45. Б.М.Смирнов, Физика фрактальных кластеров, М.: Наука, 1991.

46. B.Davison, Neutron trasport theory, Clarendon Press, Oxford, 1947.

47. Б.А.Севастьянов, Ветвящиеся процессы, М.:Наука, 1971, 436 с.

48. Т.Харрис, Теория ветвящихся процессов, Пер. с англ.-М.:Мир, 1966, 356 с.

49. В.В.Учайкин // Известия Вузв. Физика, No.7, 131 (1977).

50. Слободенюк В.А., Учайкин В.В. // Теоретическая и экспериментальная физика: Учёные записки Ульяновского государственного университета. Вып.2 / Под ред. С.В.Булярского. Ульяновск: Изд-во СВНЦ, 70-81 (1995).

51. V.Uchaikin and G.Gusarov // J.Math.Sciences, 83, 95 (1997).

52. В.М.Золотарёв, Одномерные устойчивые распределения, М.:Наука, 1983, 304 с.

53. В.В. Учайкин, Д.А. Коробко, И.Ф. Гисмятов, "Модифицированный алгоритм Мандельброта моделирования распределения галактик в модели фрактального типа". // Изв. Вузов. Физика, N8, 7- 12 (1997).

54. V.V.Uchaikin, G.G.Gusarov, D.A.Korobko "Fractal properties of clusters generated by branching processes"// Jorn.Math.Sci., v.92, N3, p.3940-3948,(1998)

55. V.V.Uchaikin, D.A.Korobko "Simulation of random point distribution with long correlations of the fractal type" // 7th Vilnus Conference on Probab. Theory, 22nd European Meeting of Statisticians, Abstracts, p. 441,(1998)

56. V.V.Uchaikin, G.G.Gusarov, D.A.Korobko "Criticality and fractality in the model of random medium with long power-type correlations"// International School "Strongly correlated systems and critical phenomena", Dubna, Abstracts, p. 35, (1997).

57. Г.Г.Гусаров Дисс. физ.-мат. наук, Ульяновск, 1998, 144 с.

58. W.Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications (New York, 1966). Имеется русский перевод: В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее приложения т.2, М.: Мир, 1984, 752 с.

59. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик Таблицы интегралов сумм рядов и произведений, М.: Наука, 1971, 1108 с.

60. C.Fox // Trans. Amer. Math. Soc. 98, 395 (1961).

61. W.R.Schneider, In "Lecture notes in physics262, Berlin, Springer, 1986, p.497.

62. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы, М.: Наука, 1986, 800 с.

63. В.В.Учайкин, Д.А.Коробко, "Распределение свободного пробега частицы в асимптотически фрактальной среде" // Ученые записки УлГУ, серия физическая, вып.4, Под ред. проф. С.В.Булярского, с.З-8,(1998).

64. Д.А.Коробко, В.В.Учайкин, "К теории переноса излучений во фрактальной среде"// Ученые записки УлГУ, серия физическая, вып. 1(6), Под ред. проф. С.В.Булярского, с.15-26,(1999).

65. В.В.Учайкин, Д.А.Коробко "К теории многократного рассеяния в среде фрактального типа"// Письма в журнал технической физики, N 11, с. 33-38, (1999).

66. В.В.Учайкин, Д.А. Коробко "Прохождение частиц во фрактальной среде. Одномерная модель."// Труды научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных ситем и процессов", Ульяновск 98, с.59-60

67. M.E.Sharfe // Bull.Am.Phys.Soc., 18, 454 (1973).

68. G.Pfister // Phys.Rev.Lett., 18, 454, (1973).

69. H. Scher, E.W. Montroll // Phys. Rev. В., 12, 2455-2477 (1975).

70. J.K.E. Tunaley // J.Appl.Phys., 43, N. 11, 4783-4786 (1972).

71. И.П. Звягин, Кинетические явления в неупорядоченных полупроводниках М.: Изд.МГУ, 1984. 192 с.

72. W.G. Glöckle, T.F. Nonnenmacher // J. Stat. Phys. 71, 741 (1993).

73. Г.Г.Гусаров, Д.А.Коробко, В.С.Орлов, В.В.Учайкин, "К расчету переходного тока в аморфных полупроводниках"// Ученые записки УлГУ, серия физическая, вып. 1(6), Под ред. проф. С.В.Булярского, 26-30,(1999)

74. P.H.Coleman and L.Pietronero // Phys.Rep. 213, 313 (1992).

75. M.B.Ribeiro // ApJ, 388, 1 (1992).

76. V.J.Martinez and B.J.T.Jones // Mon.Not.R.astr. Soc. 242, 517 (1990).

77. V.V Uchaikin, G.G. Gusarov // J. Math. Phys., 38, N5, 2453-2464 (1997).

78. Л.Н.Болыпев, В.М.Золотарёв, Е.С.Кедрова, M.A.Рыбинская // Теория вероятностей и её применения, 15, 309 (1970).

79. D.R. Holt, E.L. Crow // J. of Res. NBS- В. Math. Sei, 77B, 143, (1973).

80. W.H.Press, P. Shechter // ApJ, 187, 425, (1974).

81. S. Borgany // Phys. Rep. 251, 1, (1995).

82. S.Hacyan // Ap.Lett., 22, 729 (1982).

83. K.A. Пирагас, В.И. Жданов, B.B. Жданова, И.Т. Жук // Изв.Вузов. Физика, N 12, 79 83 (1986).

84. В.В. Учайкин, Д.А. Коробко, " О глобальной массовой плотности фрактальной вселенной"// ТВП, т.42, вып.2, с.428-429, (1997).

85. V.V.Uchaikin, D.A.Korobko "On existense of non-zero mass density for fractal pointlike masses with a power-type distribution"// Jorn.Math.Sci., v.92, N4, p.4008 4012, (1998).

86. V.V.Uchaikin, D.A.Korobko "Global mass density for fractal model of the Universe"// Grav.and Cosm., N12, p.323-328, (1997).

87. V.V.Uchaikin, G.G.Gusarov,D.A.Korobko "Statistical properties of the fractal Universe as a basis for fractal cosmology"// Международная школа семинар "Проблемы теоретической космологии", Ульяновск, Тезисы докладов, с.29-30, (1997).

88. Е.Лукач Характеристические функции.-М.: Наука, 1979.

89. W. R. Schneider, W.Wyss, J. Math. Phys. 30, 134 (1989).