автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами

МШ1СТЕРСТВООСВ1ТИ 1 НАУКИ УКРАШИ

КШВСЬКПН НАЦЮНА ЛЬНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ Б> Д1ВНИЦТВА I АРХ1ТЕКТУРИ

- ц о\а ^

ПИЛИПАКА Серий Федорович

КОНСТРУЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ ТА 14 НЕПЕРЕРВНЕ ЗГИНАННЯ В К1НЦЕВ1 ФОРМ» НА ОСНОВ1 УПРАВЛ1ННЯ НАТУРАЛЬНИМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Спешальнкть 05.01.01 - Прикладна геометр{я, шженерна графжа

Автореферат днсертацп на здобуття наукового ступеня доктора тех1-пчних наук

КИ1В-2000

Дисерташгю ( р\ копис.

Дисерташя виконана в Национальном) аграрном) \шверсшс~п ЬСабшст мшюрш Укра'ши. Науковий консультант:

- доктор техшчних наук, професор. академж АН Вищо'1 школи Укра'ши ОБУХОВА Вюлетта Сергп'вна. Нашональний афарний ушверсше!. професор кафедри нарисно! геометрп 1 машинобуд1вного креслення.

Офшшш опоненти:

1 - доктор техшчних наук, професор СКИДАН 1ван АндрШович. Донецький державний техшчний ушверситет. завщувач кафедри нарисно'1 геометр!! та шженерноТ фафши;

- доктор техшчних наук, професор БАДАСВ Юрш 1ванович,

Ки1вська державна академия водного транспорту, завщувач кафедри жформацшних технолопй:

- доктор техшчних наук, доцент КОРЧИНСЬКИЙ Володимир Михайлович. Днтропетровський державний ушверситет, доцент кафедри автоматизацп проектування.

Провщна установа: Нашональний техшчний ушверситет Укра'ши "КПГ, кафедр нарисно'1 геометрп, шженерно? 1 комп'ютерноГ графжи Мнпстерства освпи науки Укра'ши. м. Кшв.

Захист вщбудеться " О^УМ&^ръ 2000 р. о "годиш на заадаш

спещал13овано'1 вчено? ради Д 26.056.у Кшвському нащональному ушверситеп буд1вництва 1 арх1тектури за адресою:

03037, м. Ки'ш-37, Пов1троф.потський проспект, 31.

3 дисерташсю можна ознайомитися в б1блттеш Кшвського национально! университету бу;пвннцтва 1 арх1тектури за адресою: 03037. м. Кшв-3" Пов!трофлотський проспект. 31.

-• к

Автореферат розкланий "7_" (10НШ2000 Р-

Вчений секретар спешал1зовано°1 вчено'1 ради Плоский ВО.

]

ЗЛГЛЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Методи моделювання кривих липй i поверхонь лежать в основ: конструювання техшчних форм як за технолопчним, так i естетичним призначенням або в ix поеднанш. LJ,i методи постшно вдосконалюються виповино до сучасних запшлв практики по створенню i виготовленню вироб1в. криволшпип noeepxHi i обводи яких вииграють функшональну роль. Конструйоваш крив1 лшп та поверхш в крашому випадку можуть бути задаш р1вняннйми, а коли це неможливо. то масивами точок чи каркасами лшш. якч представляють щ noeepxHi i обводи. Для дискретно представлених кривих та поверхонь знаходять анал1тичш залежностг яга дали б можливкть загущувати точки i лinil каркасу п необхщною чплыпстю. На даний час розроблеш р1зноман1тн1 методи вщшукання таких залежностей як у вигляд1 полшом1В. так i трансиендентних функшй. Вони розв'язують задачу загущения, але не мютять \ co6i геометричних характеристик, властивих кривим лииям i поверхням. KpiM того, при незмиших ix внутрппшх властивостях анал1тичний опис в декартовш систем] ускладнтоеться при загальному положенш об'аспв. Звичайно, ¡снують методи диференшально! геомегрп для знаходжения геометричних характеристик Л1н1й i поверхонь, але, по - перше, вони гром1здю, шод1 пов'язаш 13 застосуванням чисельних метод1в обчислень, а по - друге, знайдеш таким чином характеристики можуть не задовольняти поставлених вимог. Однак саме внутрнпш характеристики лшш i поверхонь впливають на робочий процес або несуть шше функцюнальне навантаження i повинш включатися в ана'птичне описания. Як приклад, можна навести рух матер^альних частинок по поверхнях. Щоб змусити частинку рухатись по певнш Tpaeicropii на noeepxHi, необхщно прикласти до не! вщпоииш сили, величина i напрям дй яких залежить вщ кривпни TpacKTopii i кута М1ж головною нормаллю Tpaeicropii i нормаллю до noeepxHi вздовж дуги трасктори. Таким чином, в окремих випадках, зважаючи на практичне значения BuyrpiuiHix (не запежних вщ положения в декартовш систем! координат) властивостей кривих лили i поверхонь, дощльшше вести ix описания на ocuoBi BHyTpiuiiiix властивостей. Роздш геометри, що розглядае дане питания, називасться натуральною reoMeTpicio, тому що за параметр у niй взято довжину дуги лши — натуральний (природний) параметр. Дослъхження у rIpeдcтaвлeнiй робот1 спираються саме на ней роздш геометри. Методи натурально! геометри детально розвинуп ¡тапйським математиком Чезаро (Е. Cesaro), якого можна вважати творцем ixiei област1 reoMeTpii. Ним же введений i терм in "внутршня геометр ¡я", який у трактовш шмецьких учених звучить як "натуральна геометр(я~\

В силу ¡сторичного розвитку так склапося, що виявлення або врахування внутрппшх властивостей лппй j поверхонь г вторинною задачею у прийнятих в прикладшй геометри методах. Але враховуючи задачи пов'язаш ¡з рухом, таке первкне врахування внутршппх властивостей можна вважати основним i природним. Тому у кшематиш cnoci6 опису руху точки по вщом1Й траекторп, де за координату (параметр) взято довжину дуги криво!, так i називасться — природним. Отже ¡снус певний клас задач, для розв'язування яких методами приклатно!

геометрп ели розвинути в шй теоретичний розлл геометричного моделюванш л1н1Й I поверхонь, який буде опиратися на гплходи натурально! геометрп т; задовольняти вимоги практичного застосування. Нишшшй стан дослщжень \ данш области особливо в прикладнш сфер1. певний час не набував широкогс розповсюдження. Це пояснюеться низкою чинниюв.

По-перше, довжина дуги описуеться елементарними функщями титьки дл? обмеженого числа кривих, заданих параметричними р1вняннями в нерухоми систем! координат. Якшо задати криву натуральним ргвнянням. тобто залежнктк кривини В1д довжини дуги, то при переход! до координатно! форми запис) потр1бно застосувати чиселып методи розв'язання диференшальних р^внянь Якщо ж крива просторова, тобто для не! задана ще й залежшсть скруту вц довжини дуги, то трудомктюсть обчислень зростас многократно. Про щ промовисто свшчить той факт, що за натуральними р1вняннями можна знайтг координатний запис в елементарних функщях деяких плоских кривих (наприклад. евольвенти кола, циклоида, логариф.чпчноТ сшрал! та ж ), а для просторових -тиьки лшш укосу, для яких вщношення кривини до скруту € величиною сталою. При шших залежностях не вдаеться знайти розв'язок в елементарних функщях для координатно! форми запису.

По - друге, використання пщходт натурально! геометрп довгий час стримувався втдсутшстю ефективно! обчислювально! техшки. Знаходження координат точок лшш 1 поверхонь потребуе велико! кшькосп обчислювальних операцш. 1 нашть при появ1 швидкодшчих обчислювальних машин мало що змшилося. Адже сполучення точок за 1х координатами у лнпю ручним способом забирало дуже багато часу 1 проблеми не розв'язувало.

По - трете, поява мехашчних пристрой (графопобудувачш) була великим кроком вперед у виршенш питания в1зуал1зацй, але все-таки повшстю його не розв'язувала, осюльки швидгасть виконання граф1чних побудов у них обмежена в силу ф1зичних можливостей пересування каретки з пером 1 в багато раз1в менша вщ швидкосп обчислень. Такими пристроями дошльно користуватися при побудов! остаточних, чистових рисунмв. Коли ж ще пошук потр!бних форм, важливо мати пристрш для побудови кривих \ поверхонь, котрий встигав би за швщшстю проведения обчислень.

На сучасному етап! розвитку комп'ютерно! техшки така можлив^ть з'явилася. Велика граф1чна спроможшсть моштор!в ПЕОМ дозволяе буквально миттево одержувати на екраш рисунки лшш 1 поверхонь високо! якосп. При цьому побудова здшсшосться ¡з такою точшстю, яку вручну досягти практично неможливо.

Таким чином, виникла необхишсть звернутися до проблеми розвитку прикладно! геометр!! лшш I поверхонь на основ! тдход1в натурально! геометрп в поеднанш в методами !х координатного опису та теоркю зображень. Можливкть и вир1шення забезпечуеться сучасною комп'ютерною технолопсю дослижень та оперативною в!зуал!защею результате. Шдставою для теоретичних розробок по тем! послужили т1 невиршеш практичш питания конструювання лшш ! поверхонь на основ! натуральних параметр1в. як\ автор виявив пщ час анал1зу Л1тератури. Ц1

гараметри повишу \в'яз\ватися ¡з показниками технологичного. функшонального характеру. ям мають бути закладеш в нов! геометричш модел! конструйованих 11н1й 1 поверхонь. Обгрунтування необхиносп проведения дослижень зумовлене ¡начущктю проблеми 1 сприятливими умовами в розвитку машинних засоб1в для х здшснення.

Актуалыпсть роботн. Методи натурально'] геометрп дозволяють вивчати ?ластивост! кривих Л1Н1Й 1 поверхонь за ьх натуральними р1вняпнями. не маючи зри цьому ввуального зображення даних об'екпв. Якшо дослыжувана поверхня ¡а сво1.ми внутршшми властивостями вшповшае иевним вимогам 1 и необхино пдтворити. (що с практичною задачею), то може виявитися, що цього зробнти градицшними методами взагал! неможливо. Пояснюсгься це тим, що перехщ шд :ивнянь поверхн] в систем! супровшного тригранника напрямно! криво! до р!ннянь )7 нерухом1Й систем! координат зв'язаний 13 ¡нтегруванням диференшальних •нвнянь, як! в биьшосп випадю'в не можуть бути доведен! до юнцевого вигляду. Дя проблема постала давно ! для и р!шення пропонувались р!зн! пщходи, зокрема рафоаналпичш методи в!дтворення кривих. Вони розраховаш на ручну побудову с трудомюткими, тому на сучасному етап! розвитку прикладно! геометрн уже не чожуть повною м!рою задовольняти потреби практики, хоча у свш час и ¡/и грат зажливу роль у розвитку прикладно! геометр!'! поверхонь. Необхщшсть розробки моделей поверхонь, описаних через 1х внутр!шн! параметри викликана ще й тим, но дозволяс розв'язувати задачу '!х неперервного згинання. Адже при згинанн! товерхш Г! внутршш властивост! не зм!нюються ! це можна використати п!д час :творення моделей згинання як розгортних, так ! нерозгортних поверхонь. На з ¡длину в!д розгортних поверхонь, згинання яких досить добре висв!тлено в ¡нтературк нерозгортн! в даному виношенш потребують подальших досл!джень, ЧК1 мають практичне значения для вдосконалення технолог!'! виготовлення форм вгннанням. Таким чином, дисертацшна робота спрямована на усунення зазначених зерешкод шляхом розробки нових моделей та поеднання досягнень натурально!'! ггрикладно!' геометр!'! з можливостями сучасних ПЕОМ.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослгдження велись за темою роботи кафедри нарисно!" геометрп' та шженерно! граф!ки НАУ 'Конструювання поверхонь техн!чних форм та !'х автоматизоване проектування" у зиповшюст! з галузевими НДР. Науков! пошуки стосовно взаемодн поверхонь эобочих орган!в ¡з грунтовим середовищем проводились у рамках теми 'Дослшження напружено - деформованого стану грунтового нашвпростору з четою забезпечення наперед заданих показник!в якост! оброб!тку грунту при шшмальних енергошлратах"' (№ держреестраци' 019би005216).

Мета I задач! дослиження. Метою роботи е розробка теоретичних основ конструювання поверхонь ¡3 заданими внутршшми властивостями та !'х перетворення на основ! неперервного згинання. Досягнення мети роботи пов'язане ¡з розв'язанням наступних задач.

1. Виконати пор!вняльний анал!з геометрично! \ юнематичноУ природи ру.х\ :упров!дного тригранника просторових кривих ! л!н!й поверхн! та встановити

зв'язок мш диференшальними характеристиками поверхш i юнематичними компонентами руху супровшного тригранника криво!' на шй.

2. Розробити метод побудови плоских i просторових кривих за заданими натуральними р1вняннями на основ! кшематичного гпдходу моделювання руху тригранника Френе i встановити обмеження на його рух для одержання окремих випадмв кривих лшш.

3. З'ясувати к1нематику супровиного тригранника Дарбу криво! на поверхш та Гюго зв'язок п тригранником Френе. На ochobi цього розробити метод конструювання лшшчатих косих i розгортних поверхонь за заданою напрямною кривою, яка для поверхш може бути спещальною лш!ею.

4. За допомогою тригранника Френе ¡з криволшшною TBipnoio в його систем] розробити модел! конструювання нелипйчатих поверхонь за заданою напрямною, для яких cim"! координатних лшш були б ортогональними, спряженими або ланями кривини.

5. Розробити геометричш модел1 неперервного згицання лжшчатих розгортних i нерозгортних поверхонь на ochobi управлшня натуральними параметрами напрямно! криво! та взаемозв'язку триграннгаав Френе i Дарбу. Показати можлив1Сть апроксимацп нелтайчатих поверхонь, що допускають неперервне згинання модулями TopciB за умови забезпечення ix сум1сного згинання.

6. Розробити геометричш модел1 неперервного згинання нелипйчатих поверхонь кшематичного формоутворення (переносу, обертання, ¡з гвинтовим та ротативним рухом тв1рних).

7. Проанал1зувати формоутворення циюпчних поверхонь i створити методи побудови каналових поверхонь в систем! тригранника Френе напрямно! криво!.

8. З'ясувати геометричну суть i закошлпрносп вимушеного руху матер1алышх частинок по поверхнях i на конкретних прикладах показати можливють розв'язання задач! знаходження поверхш, яка забезпечила б необхщну траекторий руху частинок грунту по робочому органу.

9. Показати можливосп використання отриманих результат!« як при проектуватн конкретних техшчних форм, так i в навчальному npoueci при шдготовц! ¡нженер1в-конструктор!в.

Наукова новизна оде ржа и их результатов.

1. Впереше в прикладнш геометри в якосп теоретично! основи побудови i В1зуал1заш'] плоских i просторових лшш за натуральними р1вняннями запропонован! кшематичш способи моделювання руху тригранника Френе:

- як сукупносп повороту навколо миттево! oci обертання, що проходить через початок координат тригранника, i поступального перемщення вздовж орта дотичнок

-як сукупност! гвинтового руху навколо миттево! oci обертання, яка не проходить через початок координат тригранника п одночасним ковзанням вздовж нек

- на основ! встановленого взаемозв'язку тригранниклв Френе i Дарбу при pyci по лши на поверхш.

Ц! способи дозволяють управляти кривиною ] скрутом кривих 1 викорчстовувати ш можливост! як базу при розробш мeтoдiв конструювання поверхонь на основ! натуральних параметр!в.

2. Дктав подальший розвиток метод конструювання поверхонь при р\а тв1рноц зв'язано! ¡з тригранником Френе напрямно! л¡Н11. При цьому:

- для лiнiйчaтиx поверхонь встановлено взасмозв язок \иж натуральними параметрами напрямно'1 криво! 1 положениям прямолшшно! тв|'рно'!, за якого напрямна буде геодезичною, асимптотичною або Л1шею кривини нерозгортно! чи розгортно! поверхш:

- для нелшшчатих поверхонь п тв!рною незмшно! формн знайдено закон и перемипення в триграннику. за якого поверхня буде представлена аткою спряжених лнпй або ;пшй кривини:

- для цикл)чних поверхонь встановлено взасмозв язок мгж величиною кола змшного ра/иуса, його розташуванням в триграннику 1 натуральними параметрами напрямно! криво!, за якого поверхня буде представлена аткою ортогональних Л1Н1Й або буде каналовою.

3. Вперше запропоновано модел1 неперервного згинання нерозгортних поверхонь в комп'ютернш реамзацп з отриманням зображень дискретного ряду згинань. При цьому:

- для лнийчатих поверхонь показано, що згинання розгортних 1 нерозгортних поверхонь здшснюеться вздовж прямолипйних тв1рних на основ! сшльних математичних залежностей натуральних параметр!в;

- для р13ьблених поверхонь Монжа ! поверхонь переносу згинання въдбувасться за рахунок деформаци напрямно! ! тв!рно! плоских кривих за знайденими натуральними р1вняннями;

- для поверхонь обертання згинання здшснюсться на основ! ортогонально! Ытки паралелей ! меращашв, яка збер1гасться при перетворенш поверхш у гвинтову змшою !Т крону.

4. Теореми ! анамтичш залежносп, як! розвивають теор!ю конструювання поверхонь та !х неперервного згинання на основ! натуральних параметр!в.

Практичне значения одсржаних результатов:

• розроблеш методи побудови просторових кривих за заданими натуральними р!вняннями в!дкривають широю можливост! в розвитку прикладних питань натурально! геометри:

• реал1зашя запропонованих моделей поверхонь засобами машинно! граф!ки збагатила диференц!альну геометр!ю за рахунок в!зуал!заш! зображень. причому деяк! поверхш мають ще й естетичне значения:

• моде.'п неперервного згинання поверхонь у теоретичному плат дата можлив1сть зробити процес згинання наочним за рахунок комп'ютерно! ашмацн. а в практичному - служать основою для створення нових гехнолопй виготовлення тонкостшних форм згинанням:

• на основ! анал!зу геометрично! сут! згинання окремих груп нелшшчатих поверхонь вказано напрям, в якому мае йти пошук ¡нших поверхонь. що допускають неперервне згинання;

• розглянуп питания примусового рух\ частинок грунту по поверхнях робочих оргашв дають можливють вести проектування грунтообробних знарядь за бажаною rpacKTopicro руху частинок.

На основ1 одержаних резулы атш дослщжень запропоноваш методики i рекомендацн прикладного характеру, ефектившсть яких гидтверджена впровадженнями в науков1, виробнич1 i навчальш заклади:

- стосовно проектування робочих органов за заданою траекторию руху частинок грунту - на завод1 ''Агромаш" (м. Кшв), в 1нститут{ сад1вництва УААН (м. Кшв), в 1нстигут1 мехашзацп та електрифшаци альського господарства Украшсько! академп аграрних наук (Глеваха Кшвсько! обл.), у навчальний процес НАУ (м. Кшв);

- стосовно виготовлення робочих орган ¡к згинанням тонкостшнкх заготовок - на державному шдприсмстш "Агробудсервю" (м. Кшв), на заво;и "Уманьсшьмаш" (м. Умань Черкасько'1 обл.);

- стосовно автоматизованого проектування поверхонц i побудови ix розгорток - у навчальний процес НАУ (м. Кшв) i Нг/кинський агротехшчний коледж (Чершпвська обл.).

Особнстий внесок здобувача в сшвавторських иуб.пкацшх полягас у розробц! наступннх питань:

- застосування тригранншав Френе i Дарбу для дослиження руху матер1альних частинок по поверхнях 13 постшною швидистю;

- принципов! схеми i теоретичне обгрунтування пристрою для виготовлення гвинтошшбних нож!н згинанням заготовки та подр1бнюючого барабана силосозбиральних машин.

Апробацт результате дисертаца. Основш положения та робота в щлому пройшли апробацио на: десятому Всесоюзному науково-методичному ceMiHapi 'Инженерна i машинна графика" (м. Полтава, 1991р.); Всеукрашськш науково-мегодичнш конферснцп "Геометричне моделювання. 1нженерна та комп'ютерна графжа" (м. Харю'в, 1993р.); п'ятш м1жнародшй конфсрекцп "New leading-edge technologies in machine building" (м. XapKie, 1996р.); м1Жнародних щор1чних науково-практичних конференщях "Сучасн! проблеми геометричного моделювання" (м. Мелггополь, 1997 - 1999 p.p.); м1жвуз!вських науково-техшчних ceMiHapax "Прикладна геометрш, ¡нженерна та комп'ютерна графка" загальнотехшчного в1ддшення Академii наук вищо! школи Укршни (1996 - 1999 p.p.); mopi4HHX наукових конференщях Нацюнального аграрного ушверситету (1992-2000 p.p.).

IlyGjiiKauu. За темою дисертацп oпyблiкoвaнa 41 робота (32 стагп в 36ipKax праць, 3 ста-rri в журналах, 4 — в матер1алах i тезах конференцш, 2 с авторськими евщоцтвами на винахщ). Основний 3MicT i результати дос.'пджень висв1тлеш в 24 ггублжашях у фахових виданнях, з них 21 опублшована oднoociбнo.

Дисерташ'я складаеться i3 вступу, 6 роздшв, висновюв, списку використаних джерел ¡з 249 найменувань та двох додаткт. Загальний обсяг роботи становить 332 стор. (¿з них ochobho'i частини 294 стор.. 38 стор. п рисунками).

ОСНОВНИЙ 3MICT РОБОТ»

>' BCTyni розкрито сугшсть i стан науково! проблеми, i"i теоретичн\ та прикладну значуиисть. обгрунтовано необхишсть проведения дослижень. Сформульована мета i задач! дослиження. показана наукова новизна i практичне значения одержаних результат.

У першому роздЫ наводиться сучасна трактовка термшу "внутршня" або "натуральна" геометр!я, на яку спираються проведенi дослщження. Внсв1тлюсться ¡сторичний розвиток i формування внутршньо! геометри в окремий роздкт. Показано вклад видатних вчених у становления внутршньо! геометри, починаючи ¡3 Л.Ейлера. Окрема увага придшяеться праиям французьких математиков Ф.Френе, А.Серре, Г.Дарбу за ix внесок у дос.идження супровщних тригранниюв кривих, у систем! яких ведуться дос.идження у eeix роздиах дисертащйно! роботи.

Проведений анаш сучасного стану використання здобупав натурально!' геометрн визначив напрям дослшженъ роботи. Анал13 праць i3 прикладно'У геометри показав, що автоматизация геометричного моделювання е невщ'емною складовою Bcix напрям1в дослижень. Ii динам!чний розвиток стимулюе впровадження нових пшход!в у розв'язання ¡снуючих проблем, позитивно впливае на проведения дослижень в шлому. Розробка питань автоматизаци пов'язана п працями ЮЛ.Бадаева, А.Г.Горелика, С.М.Грибова, А.С.Дехтяря, 1.1. Котов а, В.М.Найдиша, В.С.Полозова та ш. Серед праць украшських вчених в дани! облает! добре в ¡дом! доондження професора К.О.Сазонова, шд кер!вництвом якого створена САПР "Intear". Поеднання можливостей сучасних ПЕОМ п методами натурально! геометр!'! створюе передумови ефективного розв'язання прикладних задач, зокрема згинання поверхонь, що i зумовило Bn6ip теми роботи.

Теоретичною базою для проведения дослщжень послужили npaui ¡з диференщально! та прикладно!' геометр!!':

- ¡з Teopii кривих лшш i поверхонь - Г.Дарбу, Ф.Дюпена, Ф.Френе, Ф.1оах!мсталя та in;

- ¡з конструктивно! Teopii метод!в зображень - С.М.Колотова, Л.М.Куценка, В.С.Обуховой' та ia;

- i3 метод]'в конструювання поверхонь арх!тектурних i техшчних форм -В.В.Ванша, Г.СЛванова, С.М.Ковальова, В.С.Михайленка, В.О.Надолинного, В.С.Обухово'!, В.А.Осипова, А.М.Пщкоритова, А.В.Павлова, О.Л.Пщгорного, М.М.Рижова, I.A.Скидана, А.М.Якубовського та ш.;

- ¡з класично! Teopii згинання поверхонь - Ж.Бура, Ф.Гаусса, М.М.Луз!на, Ф.Г.М!нд!нга, Б.К.Млодзеевського, К.М.Петерсона, С.П.Ф!н!кова та ¡н.;

- ¡з землеробсько! механ!ки стосовно взасмодп грунтового середовища п робочими органами - В.П.Горячюна, П.М.Василенка, Л.В.Гячева, ВЛ.Корабельського, П.М.ЗаУки, М.М.Летошнева та ¡н.

1з po6iT прикладно! геометр!'! найб!льш близькими до теми проведених досл!джень е:

- за обсягом застосування апарата диференш'ально'У геометри - роботи В.В.Ванша. I.A.Скидана:

- за практичном застосуванням згинань розгортннх i нерозгортних поверхонь - роботи В. Я. Булгакова, В.А.Григор'ева. Д.Д .Джанабасва. А.З.Джакашева. О.Л.Мартиросова. Л.А.Павлово! та íh.

1з результапв огляду лггерагури видьте! ю питания побчдови просторово! криво!, задано! натуральними р1вняннями кривини k~kfs) i скр}ту г= t(sj у функцм параметра л - довжини дуги криво!, яке мае важливе значения для подальших дослижень Í3 конструтовання лппй i поверхонь. Напрям ра.тус-вектора точки криво! у нерухомш систем! координат можна визначити трьома кутамп Ейлера q>. i//, i О. як: зв'язаш Í3 кр1Шиною к i скрутом гзалежностями:

dw sin® dd dep , sin©

—!— = т-—; -— = rcos<p; —r- = A"-r-—. m

ds sin¿? ds ds tgé?

За умови. що кути cp=<p(siy=y/(s), i в=ф), що входять до ртнянь (]). büoml можна знайти координати точок криво! ¡нтегруванням залежностей:

л = |(cos^cos^-sin^sin^cosé1)^;

v = |(sini¿/cos<z> + cos^sincjcoséty/.r,

J (2)

2 = Jsin^sin^A.

Однак диференшальш р1вняння (1), куди входять вирази kvtíb Ейлера, розв'язати неможливо, тому що в кожне з цих р1внянь входить невщома залежшеть одного Í3 kvtíb. Спещальною подстановкою Дарбу система р1внянь (1) зводиться до диференшального р1вняння PiicKaTi, яке в загальному випадку не розв'язусться у квадратурах. Для його пггегрування необхщно знати один будь-який частковий розв'язок. Таким чином задача знаходження параметричних р1внянь просторово! криво! за заданими натуральними ртняннями не е елементарною.

Другий роздш присвячений обгрунтуванню i розробш кшематичних cnoco6ÍB побудови плоских i просторових кривих за заданими натуральними ртняннями. D,i способи для подальших дослщжень е единою теоретичною основою конструювання, згинання та вдосконалення технолог!! виготовлення техшчних форм. Крива, задана натуральними р1вняннями, с напрямною лииею для побудови поверхш на ochobí внутршшх napawerpiB. Натур алып р1вняння k=k(s) i t=t(s) задають криву однозначно i не залежать вщ И положения в простор!. В кожнш точщ криво! щлком визначено можна побудувати супровщний тригранник Френе. Рухаючись вздовж дуги криво!, тригранник у загальному випадку в кожен момент часу здшенюе гвинтовий рух, тобто обертаеться навколо миттево! oci i одночасно ковзае вздовж не! з певними швидкостями. U,i швидкосп (кутова i поступальна) повшетю обумовлеш значениям кривини i скруту в дашй точш криво!. Цей факт взято за основу моделювання руху супровгдного тригранника в простор! за заданими натуральними р1вняннями k=k(sj i г= г(sj i bí,i-творення само! криво! в декартовш систем! координат, як траекторп руху вершини

тригранника. В poóoTi воановлено. що вектор миттсво! oci обертання i ковзання знаходиться в площиш. парательшй спрямнш площиш тригранника. нахилений до стично! площини пи кутом /? i перетпнас орт головно! нормаш криво! на висташ 00,, bü вершини тригранника (рис.1). Кут ¡5 i вшстань 000 визначаються через кривину i скрут криво! в лат и точцг.

jareta-: 00 = / .. (3)

"т к' + т~

Величина кутово! швидкосп (модуль вектора &>„) i поступально! птидкосп ковзання вщповцно píbhí:

\са \ ~-Jk2 + г; г = , Г (4)

1 1 VF+r

Паралельним перенесениям вектора ñ миттсво! oci обертання со,, у початок координат гвинтовий рух тригранника розкладасться на два: обертачьний - навколо нового положения вектора со миттсво! oci обертання i поступалыгий - вздовж орта дотично!. Величина кутово! швидкосп при цьому не змшилася, а швидюсть поступального руху стас pibiioio одиниш (роль часу вйиграс довжина дуги s). Якщо припустите, що на досить малому ni;ipÍ3Ky криво! zLv кривина i скрут nocTÍfini. то tcwí напрям (кут /I) i модуль вектора кутово! швидкосп со не будуть змнповатися пiд час pÍBHOMipHoro руху тригранника по кривш в межах дуги A?. Загальне перемшення тригранника в межах дуги As буде складатися Í3 повороту його навколо вектора со на кут Да = *Jk: + г" Ai i поступального руху вздовж орта дотично! t на величину As. Для моделювання руху тригранника крива розбиваеться на окрем1 ланки як завгодно мало! величини As, кривина i скрут на яких вважаються постшними. 1х величина для кожного наступного значения 5 визначаеться ¡з натуральних piBMHb k=k(s) i t=t(s). Рух тригранника моделюсться почерговим поворотом i поступальним перемещениям для кожно! ланки As. Схема алгоритму побудови просторово! криво! за заданими нату'рачьними piвняннями показана на рис.2. Вихшними даними с: число ланок N, величина окремо! ланки As, початкове значения дуги л„ i координата та напрямш косинуси розташування тригранника в nepyxoMiñ систем) координат. Порядок обчислень наступний:

- при заданому значенш дуги í за заданими натуралышми р]вняннями знаходять числов1 значения кривини i скруту;

- визначаютъ величину кутово! iiibiukoctí i розташування вектора миттсво! oci обертання у триграннику Френе. a noTÍM - у нерухомш систем! координат;

- обчислюють величину кута повороту Да;

- здшснюють поворот навколо oci со на кут До i знаходять нове положения тригранника Френе в нерухомш систем!' координат:

Рис.2

- до кцщя останньо! ланки ламаноУ вщкладають В1др130к довжиною 4s у напря\п орта дотично! i визначають координата його юнця в нерухомш систем! координат;

- до поточного значения дуги 5 додають As i Bei обчислення повторюють. На екран! мон!тора вщбувасться з'еднання юншв ланок вщр!зками прямих.

При належшй величиш As конструйована ламана виглядае бездоганною кривою. При г=0 згщно приведеного алгоритму будусться плоска крива. На рис.3 побудоваш деяк1 плосю крив! ¡з синусощною залежн!стю кривини k=asm(bsj+c при pi3Hiix значениях сталих а, Ъ, с.

Рис. 5

а)

б)

Рис.4

в)

г)

Серед просторових кривих розглянуто побудову лшш, що вщносяться до спешальних клаЫв. На рис.4 деяю ¡з них показан! в проекщях. Це лшп пост1йно! кривини (рис.4,а - скрут прямо пропорцюнальний довжиш дуги), постшного скруту (рис.4,б - кривина оберено пропорцюнальна довжиш дуги), укосу (рис.4,в -кривина 1 скрут прямо пропорцюнальш довжиш дуги, р~сот(), постшно'! повно! кривини та ш. Розглянутл деякл сферичш крив! та крив! на поверхнях обертання. Знайдеш, зокрема, натур алый р!вняння криво'!, що належить круговому цил!ндру:

к = — R: а': + cos' а; R

(R~a"cXga + 3R:a'~ + cos' a)sin 2a

(5)

2R(R:a': + cos' or)

де R - paaiyc цил!ндра; a - кут м!ж кривою i паралеллю щшндра. При будь-як!й залежносп a=a(s) р!вняння (5) дають цшиндричну лшио. На рис.4,г побудована крива для лшйно! залежност! a=a(s). Kpimi побудован! за допомогою програми, написано! мовою Turbo Pascal 5.5.

В третьему poriLii розроблено геометричн! модел! л^шйчатих i нелшшчатих поверхонъ ганематичного формоутворення у систем! супровщного тригранника Френе напрямно'! криво!. Напрямна крива будуеться за алгоритмом, розробленим у друтому роздш. Tisipna л!н!я постшно! форми (пряма, крива) або ж коло змшного pafliyca закр!плюеться певним чином у систем! тригранника Френе i шд його pyxv по напрямнш утворюеться поверхня. В такому випадку з'являсться можлив!сть будувати супровщний тригранник Дарбу для л!н!! на поверхш (наприклад, напрямно'!), у якого два орти знаходяться в площиш, дотичн!й до поверхн!, а трет!й - направлений по HopMaii до не'!. Орти дотичних до напрямно! триграншшв Френе i Дарбу сшвпадають (!=Т), а м1ж ортами нормал! до поверхн! i бшормап! криво! утворюггься певний кут s (рис.5). Цей кут можна характеризувати. як кут mîjk площиною, дотичною до поверхш, i стичною площиною напрямно! криво'!. При pvci триграншшв по напрямнш крив1Й кут с в загальному випалку змшюсться (якщо напрямна крива - геодезична .'шля поверхш, то £=90°. асимптотична - е=0''). Рух тригранника Дарбу в!др1знясться вш руху тригранника Френе тим. що одержу с

T=t

Рис.5

додаткову швидклсть обертання навколо логично!' Т, величина яко! р1вна =£'- Таким чином, швидклсть

обертання навколо орта Т дор1внюс су\п двох обертань: г, = г + е': ця величина носить назву геодезичного скруту криво!. Розкладання вектора кутово! швидкосп тригранника Френе навколо бшормагп Ь, модуль якого чисельно р1вний кpивинi к напрямно! криво!, на орти Л' 1 Р дае ще дв1 складов! вщповщно: кт-ксои: (геодезична кривина) 1 А'„=А'5т£ (нормальна кривина). Координати вектора миттево! оы обертання тригранника Дарбу (рис.5) 1 величина кутово! швидкocтi запишуться:

г, =г + £'; кк-к%тЕ\ кг = ксо%е\ = ^(г + е'У + к:. (6)

В робот1 розглянута також юнематика тригранника Дарбу гид час його руху по лш1ях кривини поверхонь, а також по сферичних 1 цишндричних кривих.

При конструюванш лшшчатих поверхонь пря.молшпша тв1рна закр1плюеться в систем! тригранника Френе за допомогокз двох кулв £ \ у (рис.6), яю с функщями довжини дуги 5 напрямно!. Якщо тв1рну вщнести до тригранника Дарбу, то для визначення и положения достатньо одного кута у, тому що тв1риа знаходиться в площши, дотичнш до поверхш, тобто в координатшй площиш тригранника Дарбу. Векторне р1вняння поверхш в систем1 тригранника Френе (в робол розглянуто також р1вняння поверхш в систем1 тригранника Дарбу) \ його частинш похщш запишуться:

T=t

Рис.6

ds ди

(7)

де R - pafliyc-BeKTop точки noeepxHi; г - рад1ус-вектор точки напрямно! криво!; и - довжина прямолшшно! TBipHoi (другий змшний параметр noBepxiii); IV -напрямний вектор прямолшшно! TBÍpHoi. Його координати в систем! тригранника Френе i координати вектора W (диференщювання здшснюсться по параметру 5 за bí дом им и формулами Серре-Френе) мають вигляд:

И7= tcosy + «sin у cose + ¿sin у sin s\ W = tWt + nWn +bWb, де Wt =+A'cosí);

Wn - {k + y' eos£) eos/-(r + e')sin y sin s\

Wh = /cos7SÍn£ + (r + £')sin/cos£; Коефщннти першо! квадратично! форми лшшчато! noeepxHi Í3 врахуванням (7) i

(8) будуть Е

äi

, _ cRcR

■ J: F =--= cos/;

A di

G =

с R

а

■ [7-MSin/(/' + A'COS£-)]"

+ u: {sirr у(т + £■')'" + 2kcosy\y' cosy cose- sin /sin e(r + £')]+cos" y(k: + )|. Розглянут] Hepo3ropTHÍ лiнiйчaтi поверх)», для яких напрямна крива с спещ'ального лш!ею (геодезичною, асимптотичною, кривини, стрикшйною).

Показано конструювання розгортних поверхонъ (торав). Найпроспший випадок - напрямна крива с ребром звороту. В цьому випадку напрямний вектор прямолшшно'! TBÍpHoi сгпнпадас ¡з ортом дотично! (= 1). На рис.7,а за допомогою розробленоТ програми побудований вис! к торса обмежений ребром звороту i його евольвентою (u=-s). Яйцо у buxuhí даш програми ввести г = 0, то вона будуе розгортку (рис. 7,6). 1нший випадок - напрямна крива не с ребром

звороту. Tofli м!ж параметрами к, г, <?, в станов.тюсгься залежш'сть: /csin¿r

tgr=-Г- (10)

Т+£

Для побудови ребра звороту виведеш вщповщш р1впяння. Координати точки ребра звороту по напрямках

t, п, b в триграннику Френе знаходяться для конкретно! точки напрямно!':

Ar sin V

Н '

Рис.7

к~ sinocos

Л = , ,

н Н (И)

де Я = Acosar +е')(г + 2е ) +к2 sin" е] + sin 4к'(т + е') ~ к(т' + £*)].

На рис.8,а побудований торс, у якого напрямною линоо с коло i кут е зм!нюсться за лшпгним законом; на рис.8,б напрямна крива теж плоска, a e^const. В обох випадках виконуеться залежшсть (10), а точки ребра звороту знаходяться за р!вняннями (11). Розглянуто також конструювання лшшчатих поверхонь ам'ями ортогональних .tíhíü. Для цього необхщно, щоб прямолшшна тв1рна знаходилась у нормалыпй плошин! тригранника Френе, тобто потр!бно задати у=90°. Для розгортно! поверхш напрямна крива для даного випадку буде лшкю кривини. а на законом!ршсть змши кута е Рис.8 накладасться обмеження: s=~frds~£„. Як

+

/

приклад. розглян\то торс, у якого лпиею кривини с гвинтова лнпя. Ртняння торса його ребра звороту i розгортки одержан! в нерухомш систем! координат, тобтс показана можлив!сть переходу вщ системи супровщного тригранника до систем! OXYZ (у тому випадку, коли напрямна крива задана у декартов!!! систем

Запропоновано метод конструюванн; нелшшчатих поверхонь ым'ями ортогональних лшш Для цього систему Оху: 13 кривою z=z(u); у-у(и, cyMimaioTb ¡3 тригранником Френе, як показано н; рис.9. При pyci тригранника Френе по напрямик крив!!! разом ¡3 системою Оху: крива :=:(и); у=у(и, опише певну нел!н!йчату поверхню. Показано, що для того, щоб множина положень криволшшно! TBipnoi z=z(u); у=у(и) утворила ортогональний каркас ¡з траектор1ями cboíx тонок, необхщно, щоб боне поверталася в нормальн!й площиш напрямно! на кут e=-fzds. У такому випадку cím'í взаемно ортогональних лшш будуть л!н!ями кривини, а сама поверхня -р!зьбленою поверхнею Мошка. I! векторне р1вняння в систем! супровщного тригранника Френе буде:

R = г + (b sin £+ н eos s)y + (b cose — п sin s)z. (12)

Плоска тв!рна e незмишо!' форми, тому вона не залежить вщ параметра 5, а залежить тшьки вщ параметра и. Зважаючи на це, а також на те, що с' = -т, частинн! похщш i коефаденти першо! квадратично! форми поверхш (12) будуть:

—- = t\l - A'(3'Cos¿:-rsin£')l = (6sin¿: + «cos£')v' + (¿eos «sin s)z; ás *ди (13)

G = [7-A(ycosí-zsinf)]"'; F = 0; E = y'2+z'2.

координат).

~b

a)

6)

Рис. 10

На рис.10,а показана р1зьблена поверхня Монжа, у яко! напрямною кривою служить кошчна лпия укосу, a TBipnoro - парабола. Поверхня побудована в систем! AutoCAD за допомогою мови програмування AutoLisp. Якщо за

TBipHy КрИВу ВЗЯТИ КОЛО ПОСТ1ЙНОГО

радиуса, то конструйована поверхня буде трубчастою. У випадку, коли тв!рною е коло зм!нного paaiyca, ортогоналыпеть и'тки

координатних л!н!й збериасться, але координатн! лiiiii не будуть лшями кривини.

Теорема. Якщо коло змтного paOiyca рухаапься взбов.ж■ npocmopoeoi кривоi так, що воно лежишь v нормально» тощим/ супров!дного тригранника. itenmp знаходиться на кривт i саме коло при pyci тригранника одночасно повертаеться навколо орта дотично)' на кут e=-Jtds, (де t=t(s) - скрут, s - довжина Оуги криво)'), то множина положенъ кола i трасктори його точок утворять каркас ортогонапьних лшш.

Дана теорема справедлива i для плоских напрямних. У такому випадку кут £=0. На рис. 10.6 побудована цикшчна поверхня, у яко! напрямною кривою с коло, а paaiyc TBipnoro кола змшюсться по синусо'ьдному закону. Поверхня под)'бна до циклщи Дюпена, але не е нею. В роздип розглянуто також конструювання поверхонь адм'ями спряжених лiнiii. Для цього TBipHa крива постшно! форми закртлюсгься в площиш, яка утворюе i3 нормальною плотиною тршранника певний кут а (рис. 11,а). Показано, що при pyci тригранника по илоскш напрямнш

кривш площина Oyz, в — якш знаходиться тв1рна

вщхиляеться вщ нор-матьно! площини на кут а, залишаючись весь час паралельною самш co6i. Це въдомий cnoci6 утво-рення поверхонь переносу. Доведено, що даний cnoci6 справедливий i для цтшчних поверхонь i3 TBipnnM колом змшного paniyca. На рис. 11 ,б показана цишпчна поверхня, утворена рухом кола по параболг CiTKa координатних лшш noeepxHi спряжена.

Четвертий розди1 присвячений розробщ моделей неперервного згинання Л1-жйчатих i нелшшчатих поверхонь кшематичного формоутворення на основ! panio-нальиого управления натуральними параметрами. TepMiH "неперервне згинання" оз-начас, що мгж початковим i кшцевнм положениям поверх Hi при ii деформаци можна побудувати сюльки завгодно пром1Жних положень. Це дозволило зробити процес згинання наочним за допомогою комп'ютерно! ашмаци. Найпроспше здшснити неперервне згинання розгортно"1 noeepxHi змшою скруту и ребра звороту. Якщо ребром звороту е лши укосу, то можна записати ртняння неперервного згинання торса в нерухомш систем! координат та коефпц'опи nepuioi' квадратично!' форми:

( 1 г Л ( ' 4

ds + u cos j3 cos

a)

Рис. 11

X ~ cos в fcos —-— [kdt у cos y?

f ]

Y - cos P fsin -

J \co%p

Z = ssin [5 + и sin J3\

E = l:

fr+ i/cos/?sin

F = l\

G = l + irk:

де к-к($) - натуральне ртняння горизонтально! проект! ребра звороту: ¡3 - ку гпдйому ребра звороту (нахилу тв1рннх): 5, и - змшш параметри (довжина дуги прямолшшно! тв1рно! вшповщно). При згинанш поверхш коефхшенти першо квадратично! форми поверхш не змшюються. Так як в !х вирази не входить кут Д тс вш с параметром згинання. Зменшуючи кут /3 на певну величин}', можна одержан за формулами (14) ам'ю поверхонь - згинань вихшно! аж до розгортки (при /3=0°). В роздин розглянуто також згинанш торс1в деформащею напрямно! криво!, яка не с ребром звороту. Згинання нерозгортних лтайчатих поверхонь розглянуто на ортогональнш \ косокутнш атках координатних лшш. Ортогональною с!тка буде тод]. коли прямолшшна тв1рна буде знаходитись у нормальнш площиш супровщного тригранника, тобто при у=90°. Коефщ1енти першо! квадратично! форми (9) поверхш в такому випадку значно спрощуються 1 приймають вигляд:

£ = /; /Г = 0; в = (1 - иксо&е):+и:(т+е')'\ (15)

Коефпиенти (15) при згинанш поверхш не повинш зм1нюватися. Цього можна добитися, змшюючи в добутку ксоБ£ окрем1 функцп к=к(з) \ так, щоб в

шлому значения !х добутку не змшилося по вс1й довжиш дуги 5 напрямно! криво!. Аналопчно поступаемо вщносно до суми т + е' , де нове значения функцп е=а($) тягне за собою змшу скруту т=ф), не зм1нюючи само! суми. Керувати процесом згинання можна змшою одше! п функщй г, е, к, що входять до виразу коефвдента С. Осюльки функцш три, то можлшп три вар!анти керування процесом згинання, кожен ¡з котрих розглянуто на приклад! гвинтового коно'ща.

Керування процесом згинання змтою кривини напрямног криво'!. Задаеться нове значения кривини кж= звики знаходять нов1 функцп' £зг=атссо5(ксо5£'к3,) 1 Гзг=г+£'-£'зг. Найпроепший випадок - поверхня бинормалей (при е=90°), у вирази коефпцагпв (15) яко! не входить кривина к напрямно! криво!, отже и змшою здшснюеться керування згинанням. Для згинання поверхш бшормалей гвинтово!

лши одержан! параметричш р1вняння:

£

А' = —я--со + и2?5т(Л$);

к' + т~

к

У = -ГвШ^я) - иВС05(АзУ,

к* + т~

г = 06)

г* + к'

а 2(г+к:) (г+к:)±{г-к:)

де А-хЛ—-—,—рг~; В=.

'(г* +Л-:)±(г- -к2У V 2(т: + к2) За р1вняннями (16) на рис.12 побудоваш згинання поверхш при р1зних значениях кривини к гвинтово! лши. При к=0 напрямна гвинтова линя перетворюсться у пряму, а поверхня б)нормалей - у гвинтовий коно!д.

Керування процесом згинання змшою кута е лаж прямолштною твгрною поверхн! / головною нормаллю напрямно1 кривоI Задасться нова законом1ршсть змши кута звщки знаходять нов!' функцп к„~ксо$£/со$с1Т 1 т1Г=т^-£■-£'„.

Рис.12

При згинанш поверхш прямолшшна тв1рна змшюе свое положения в триграннику Френе, залишаючись у нормальнш площиш, тобто кут М1ж напрямною кривою i прямолшшною парною не змшюсться i залишасгься píbhhm 90°. Для випадку гвинтового коноща кут е=0° (поверхня головних нормалей гвинтово! лши). При £¡r=comí поверхня 31гнеться i перетвориться у поверхню нормалей гвинтово']' лши; при збьтьшенш кута c¡r поверхня "скручусгься", наближаючись до прямо! л!н11. Для згинання поверхш нормалей гвинтово! лшп одержан! параметричш р!вняння:

к eos а|г f rsing|r . А

X =--—eos v — и cosí,, cosv - —?=—sinv ;

}' = ■

D

к COS £„

■Jd

D

"Sinv-MCOS£,J sinv +

rsin£,r

1ъ

-cosv

z =

де

reos" £„

D

D--

"v + u-

k sin £..

(17)

JD

k: + r eos" г:,,

COSÍ,

+ t~ COS"

За р!вняннями (17) на рис.13 побудоваш згинання поверхш при р!зних значениях кута £зг: починаючи вщ ех=0° (гвинтовий конощ) i зактчуючи ^=60°.

Керування процесом згинання змшою скруту напрямно! криво!. Задаеться нова залежшеть скруту напрямно"! криво! tir=ziT(s), зв!дки знаходять hobi' функш!

^ £■+ frds-fr^ds; k2r=kcosefcos(£+/rds-/ss^Js). Для гвинтового коноща дан! залежносп запишуться: r3r=c - const; eiT=(r-c)s; kir-k/cos[(r-c)s]. При с= г одержимо вих!дну поверхню - гвинтовий конощ. При с=0 одержимо згинання коноща. в якому гвинтова лпля перетворюеться в плоску криву. Зменшуючи скрут напрямно! криво! вщ с=г до с=0 можна спостер1гати поступове згинання коноща ¡з переходом гвинтово! лши в плоску криву (рис. 14.а). Згинання коноща при зростанш скруту

Рис. 13

напрямноТ криво! показано на рис. 14.6.

Дал1 в роздип показано згинання поверхонь на

косокутнш атш. Щоб спростити вираз коефщ1ента С в (9), розглянуто випадок. коли вс1 натуральш праметри к, г, е, у -постшж величини, а також випадок, коли кут £=90°. При £=90"

у вих1днш поверхю 1 шд час н згинання прямолшшна твфна залишасться у спрямнш площиш тригранника Френе. Коеф1щенти (9) приймають наступний вигляд: Е-Г, Е=соьу; С~1+и2{пту - кса$у)2. Залежшсть у=у($) змштовати не можна, тому що кут у с кутом М1Ж напрямною кривою 1 прямолшшною тв1рною поверхш 1 при згинанш не змшюсться. Тому, прир1внявши вираз у дужках шп/ -ксоъу = ГзгБШ/- кггсоъу до 1 шсля згшання, одержимо: кзг=(тж-т^у+к. На основ1 сказаного одержано параметричш р1вняння згинання поверхш, у яко! напрямною

Рис. 14

кривою с гвинтова :пшя в вимдними параметрами ;

к / I— \ sini л/Ds) Л' = — cos(V Ds) + и —-j^— (гя. sin у ~ cos у):

к s i— \ cos(VDi) У = -£-smyDs)-u—-j^—(r„ sin у - kv cos y):

z = ~7Ds + 7D{t"' cosr + ksin/)'

де D= г; +[(r„ - т)Щу + кж = (r„ - r)tgr + k.

(18)

Рис.15

Параметром згинання в (18) е величина скруту гзг напрямно! гвинтово? лшн. При гзг=0 р1вняння (18) опишуть поверхню однопорожнинного гiпepбoлoiдa обертання, а при гзг= г - кс\°у - косий закритий гелжоГд. Задаючи гзг у вказаних межах, одержимо пром1жш згинання пoвepxнi (рис.15). Як видно ¿з рисунка, при певному значенш гзг косий гел1коТд може бути 31пгутий на прямий вщкритий гелжощ (зображення в центр^. При у=0 ртняння (18) опишуть згинання торса-гелжо'иа. Одержано узагальнеш р1вняння згинання поверхонь, у яких напрямною кривою служить крива укосу:

X = сов Дг ]сОз(.0 + и СО5(7 + Д) СОБ

Y - cos Дг jsin(l) + иcos(;/ + Дг )sin(d JMs-}

Z = 5 sin Дг + и sin(/ + Дг),

cosí y "г в)

де D =---. k=k(s) - натуральне р1вняння горизонтально!'

cosj3cos(y + flv)

проекцп напрямно! криво!: Дг - кут пщйому напрямно! криво! - параметр згинання; y=const. При J%r=0° напрямна крива плоска: при pÍT~9ü" вона перетворюеться в прям)' лшю; при /%т=-у bcí прямол!н!йн! tbiphí стають горизонтальними прямими, тобто поверхня згинасться на цил!ндро!д.

Теорема. Нерозгортну поверхню, утворену рухом прямолштно'г meipnoï в спрямнш пчощит плоскоï напрямноï кривоï так, що пряма перетинае криву nid nocmiÙHUM кутом, завжди можна з1гнути в цилшдроХО, а також в тншчату поверхню, для якоХ напрямна крива перетворюеться в пряму.

Рис.16

На рис.16 за р!вняннями (19) побудоваш згинання поверхш, починаючи ¡з початкового положения (напрямна крива — плоска) ! заюнчуючи к!нцевим (напрямна л!шя - пряма). За горизонтальну проекцйо лшй" укосу взята евольвента кола, а довжина прямолнийно!' тв!рно!' р!вна довжиш дуги напрямно'!: и=я. У центр! - поверхня, з!гнута на цшиндрощ. У роздш наведен! приклади неперервного згинання !нших лйнйчатих поверхонь.

Певна увага придшена згинанню нелшшчатих поверхонь (гвинтових, поверхонь переносу ! р!зьблених поверхонь Монжа). Неперервне згинання гвинтових поверхонь грунтуеться на теорем! Бура, згщно з якою всяку гвинтову поверхню можна з1гнути на поверхню обертання. В робот! дослщжено згинання вщомих гвинтових л!шйчатих поверхонь на поверхш обертання. Якщо у косого закритого гелжо'ща пщ час згинання прямолшшна тв!рна знаходиться у спрямн!й площиш напрямно!' гвинтово! лшн ! сам процес згинання вщбувасться в збереженням прямолшшних тв!рних, то у гвинтових лшйчатих поверхонь з шшою внутршньою геометр!ею згинання вщбувасться без збереження прямол!н!йних тв!рних. Такий випадок показаний на приклад! неперервного згинання гвинтового коноща в катенощ. На рис.17 побудоваш пром!жн1 положения поверхн]' за знайденими р!вняннями:

Л' = л/и" + А" - Л" со б V - агй§

Ии

У = л/и' +Ь: -И: 51П V-агй§

-1г)(и:+Ь:) Ни

-Л-)(и- + 6') '

(20)

-¡1: Ли2+ъ: + и

+ /п\

де и, V - змшш параметри поверхнк 6, Л — поспит величини, причому гвинтовий параметр /г е параметром згинання. При И=0 р1вняния (20) опишуть катеноГд. при И=Ь - гвинтовий К0Н01Д, при ¡нших допустимих значениях - пpoмiжнi положения мЬк початковою \ юнцевою поверхнями. Показано, що поверхня при зпшанш залишаеться м!шмальною.

У роздш також наведен! р1вняння 1 побудоваш окрем! положения поверхонь, одержаних згинанням параболоУда обертання. На вказаному приклад! показана можливють згинання поверхонь обертання, заданих р!внянням мерид1ана, у гвинтову поверхню.

До окремоУ групи нелшптчатих поверхонь, що допускають неперервне згинання, вщносяться пoвepxнi переносу 1 р1зьблеш поверхш Монжа 1з плоскими линями крив1ши. Якщо Гх вщнести до Ымей спряжених л1н!й (для даних Ымей вони плот) ! згинати, то ом"! лшш, деформуючись, залишаються плоскими 1 спряженими. Отже, згинання вщбуваеться на основ! спряжених лшш 1 така основа називасться головною. Для р!зьблених поверхонь Монжа головною основою с атка ¡з лшш кривини. В третьому роздал! було показано, що утворення поверхонь переносу ! р)'зьблених поверхонь Монжа п<шбне м!ж собою. В обох випадках по плоск!й напрямн!й крив!й рухасгься плоска тв!рна крива незмшно)

Рис.17

форми так. що 1'х плошини взаемно перпендикулярн!. Вимшнють полягае в тому, що у поверхш переносу площина тв1рно! при рус1 залишаеться паралельною самш собь тобто здшснюе плоско-паралельне перемщення, а у р1зьблено1 поверхш Монжа вона сгивпадае ¡з нормальною площиною напрямно! криво!. Зясовано, шо при згинанш даних поверхонь !х тв1рш крив! деформуються за однаковими законами, а напрямн! - за р!знлми. Деформащя тв!рни.х крив их для обох поверхонь вшбуваеться за одним ! тим же натуральним р!внянням:

к^ЦкаБ)

(21)

К =

а напрямно! криво! - за р!зними (для поверхонь переносу ! р!зьблених поверхонь Монжа в!дпов!дно):

рксо$( \kcls)

---^-----' К = рк. -

к

/Г'бпгЦМУ)

(22)

У р!вняннях (21), (22) довжина дуги ! и кривина для тв!рно! криво! позначена прописними л!терами, а для напрямно! - строчними. Величина р=сот1 - параметр згинання; при р=1 ¡з р!внянь (21), (22) одержуемо вихщш крив!, тобто поверхню до згинання. Для р!зьблених поверхонь Монжа деформашя напрямно! криво! вщбувасться множенном параметра р на И натуральне р!вняння, тому поверхн! ¡з напрямною кривою — колом - при згинанш залишаються поверхнями обертання. На основ! одержаних результат!в у робот! наведен! параметричш р!вняння згинання тора. Показано неперервне згинання р!зьблено! поверхн! Монжа додатно! (рис. 18,а) ! вщтмно! (рис. 18,6) гауссово! кривини. Наведено також

приклад неперервного згинання поверхш переносу. Зроблено пор!вняльний анал!з згинання р!зьблених поверхонь Монжа ! поверхонь переносу ¡з згинанням вщповщних поверхонь, апроксимованих вщсжами торс!в. Доведено, що для одних ! других поверхонь стала величина р - параметр згинання - мае одну ! ту ж геометричну суть. Зроблено висновок про можливють неперервного

згинання нелшйчатих поверхонь, якщо вшсжи торс!в. що !х апроксимують, допускають сум]'сне згинання.

б)

Рис.18

Рис. 19

У п'яточу роздЫ розроблена узагатьнена геометрнчна модель конструювання каналових поверхонь ¡з колом nociifiHOro або змжного радпса в одшй ¡з плотин с\провиного тригранника напрямно! криво!. У таких поверхонь шнсичний каркас юл утворюс сш"ю ¡з лшш кривини. Якщо поставити вймог\. щоб одна ам'я лшш кривини б\ла колами постшного рад1уса. то Bci вони мають знаходитися в нормальних площинах лшн центр1в. TaKi поверхш називаються трубчастими i с окремим випадком як канатових поверхонь. так i р1зьблених

У поверхонь Монжа. Для !х

' " ' утворення достатньо

з акр i пит и коло постойного paaivca в норматьнш плотин i тригранника Френе, а за напрямну взяти лшто uempiB. У роздЫ розглянуто конструювання каналових поверхонь !з TBipmiM колом зм!нного paaiyca. В такому випадку площини 13 колами в них не сшвпадають ¡з

норматьними площинами Л1Н11 центр1в i в загальному випадку обгортають певний торс, зокрема цилшдричну поверхню. Якщо вважати цшпндричну поверхню заданою, то конструювання каналово! поверхш зллйснюеться за напрямною кривою, яка с ортогональним nepepi30M цшпндра. Коло змшного paaiyca p=p(s) розташовуеться в спрямтй плошиш тригранника Френе на вщсташ u=u(s) вщ початку координат (рис. 19,а). Встановлено, що циюпчний каркас мл змшного paaiyca утворить ам'ю i3 лшш кривини за умови виконання наступного р1вняння: р: = с + и~ -2juds. де с - пост1йна штегрування. Задавши функшю u-u(s), одержимо законочпршсть 3MiHH paaiyca p=p(s). В дане pieromwi не входить кривина напрямно! криво!, отже воно справедливе для Bcix кривих незапежно вщ !х натуральних р1внянь. У випадку, коли напрямна крива вироджусться в точку, тобто цилшдр перетворюсться в пряму, цшспчний каркас лшш кривини буде знаходитися в пучку плошин (рис. 19.6). Paaiyc TBipHoro кола р i вщстань / його центра в u oci пучка будуть мгж собою зв'язаш через мосттйну с: р: = /" + с. Осмльки bci площини - Hoci! лшш кривини (кш) - перетинаються по сшлынй прямш. то така поверхня буде канатовою поверхнею кюхгмсталя. 1! параметр ичш р1княнпя запишуться:

А' = (%//" + с cos v + /)cosa; Y- -JГ + с sin v; Z= (-Jl: + с cosv + /)sin«, (23) де v, a - 3MiHHi параметри. Р1вняння (23) дають можлишсть будувати канатов) поверхню при довьтьнш залежност! 1- 1(a). Доведено, шо KanaTOBi поверхш 1оах1мстатя завжди можна винести до амей координатних Л1Н!Й i3 .linin кривини. Для иього потр1бно в р1вняннях (23) перейти вш параметра v до нового параметра

i- V = 2arctg

t(i + 4F

(24)

Позаяк функшя 1~1(а) може бути довшьною, то це дас можлитст ь конструювати поверхш за заданою лппсго центр1в або обрисовою лш1ею поверхш. На рис.20 побудоваш каналов! поверхнг у яких обрисовою лшоо с парабола. Якщо за обрисову Л1Н1К) взяти коло, то одержимо вс1 види шпспд Дюпена (рис.21,а, б), у яких обидв1 ам'Т лшш кривини с колами. На рис.21,б обрисовою лппао е пряма - коло необмежено великого рашуса.

Якщо у р1вняпнях (23) прийняти с=0, то вс] кола пучка пройдуть через сгильну точку -початок координат. Р1вняння (23) спрощуються 1 при переход! вщ параметра V до нового параметра I за формулою (24) приймають вигляд:

2р

Y =

Z =

1 + 4Г р-

4г р 1 + 4V р~ 2р

cosor;

(25)

sin ff.

Рис.21

Рис.22

1 + 4t" р'

У поверхонь, побудованих за р1вняннями (25), координатш лшн завжди будуть лппями кривини при будь-якш залежносп р=р(а).

Теорема. Якщо довтъну тоску криву взяти за линю иентрге км, а сам! кола розташувати в пучку площин /з eiссю, перпендикулярною до площини кривое, то eci кола, що дотикаютъся до oci, утворять циклтний каркас /з л пай кривини.

На рис.22 побудована каналова поверхня 1оах!мстапя за р!вняннями (25) при лшшнш залежносп р=р(а). Bei кола циюичного каркасу проходять через початок координат. Якщо в р!вняннях (23) перейти вщ залежносп 1=!(а) до

Рис.24

а)

б)

залежносп р=р(а), то за ними можна будувати каналов! поверхш ¡з заданою законом!ршстю змши рад1уса TBipHoro кола. На рис.23 показан! каналов! поверхш 1оах!мстатя Í3 pÍ3HOK> залежшстю р=р(а): лшшною - a) i синусоиною Í3 pÍ3HHM перюдом - б), в).

У роздип розглянуто констр}товання канатових поверхонь розмпценпям TBipnoro кола в одшй h площин тригранника Френе просторово! напрямно!. Po3MÍp кола i його положения в плошиш (рис.24) описуеться функшямн p=p(s), u=u(s), a=a(s). 3 найден i залежносп м1ж вказаними величинами i кривиною к напрямно! криво!, за яких конструйована поверхш буде каналовою. Встановлено, що для стично! плошини при а=90" р=]/к.

Теорема. Якщо в кожтй точщ npocmopoeoi кривоХ провести коло кривини, то циклшний каркас утвореноХ поверхнi буде каркасом .niuiü кривини.

Знайдеш також залежносп мЬк функшями р, и, ai кривиною к та скрутом г для випадгав, коли тв!рне коло розташоване в нормальшй та спрямнш плотинах тригранника Френе. На рис.25,а побудована каналова поверхня, у яко! цшспчний каркас лнпй кривини е множиною klji кривини гвинтово! лип!, а на рис.25,б кожне коло циюпчного каркасу поверхш знаходиться в нормальшй площиш гвинтово! л i ni! Í3 фжсовашш центром на бшорма'н.

У шестому роздЫ на ochobí отриманих в проведених дос.шдженнях результате визначаеться !х практичне значения i можливост1 застосування, яю ¡люструються конкретними прикладами. U,i можливосп стосуються удосконалення метод!в конструювання та технолог!! виготовлення робочих робочих opranÍB i техшчних форм сшьськогосподарського призначення, а також моделювання !х взасмодн Í3 грунтом. Показано дощльшсть дослцдаення руху матер1альних частинок по поверхнях робочих оргашв в систем! супров!дних тригранник!в Френе i Дарбу траекторп.

Рис.25

Пояснюсгься це тим, що напрям деяких i3 д!ючих на частнику сил обумовлений внутр!шньою reoMCTpiao поверхн! i строго ор1снтований в систем! супров!дних тригранник!в. На рис.26 побудован! два супровщних тригранники траекторн i3 спшьним ортом логично! t. Bei mini орти знаходяться в нормальшй плогциш траекторп, м!ж якими попарно icirye кут ß. Якщо вважати рух частинки по поверхн! вимушеним (тобто не брати до уваги сил, що його спричинюють), то положения траектори на поверхн! визначаеться р!вновагою прикладених до частинки сил в нормальшй площин!. Вщцентрова сила завжди направлена по головшй нормал! п траекторп, а реакшя поверхш' - по нормап N до поверхн!.

— Вказан! I шин с или (сила ваги. прикладен!

сили) потр1бно розклалати на взасмно перпендикулярна складов! в тригранник\ Дарбу вздовж ортт Т \ .V. Перил сили викликають зсув по поверхш. тобто формують траектор!ю руху. а друг! - спричинюють тиск на поверхню. В роздш розглянуто рух мастинок грунту по поверхн!, яка примусово рухаеться в грунтовому середовиц». При цьому прийнято. що швидккть руху частники по поверхн! р1вна швидкост! руху само! поверхн! в грунп ! е постшною. На приклад! цшнндрично! поверхн! ¡з заданою кривою поперечного перер!зу показано знаходження траекторн руху частинок -.грунту по шй. Вихщними даними с: натуральне р!вняння к=к($) криво! поперечного перер]'зу цил!ндра: кут с0 М1ж горизонтальною площиною ! площиною, дотичною до поверхш в точщ О: величина швидкост! V ! кут у м'ж напрямом руху вщсжа поверхн! й горизонтальною тв1рною в точщ О (рис.27). Ртняння траекторн

у=\\%ас15\ 2 = |8т(|Ыу)с&, (26)

де а=а(&) - законом!рн!сть зм!ни кута а м!ж дотичною до траскторп ! площиною криво! поперечного перер1зу. Виходячи ¡3 умови р^вноваги д!ючих на частинку сил у нормальнш площин! знайдена залежшсть а=а(Б) для цшнндра Ь поперечним перервом - евольвентою кола. Показана можливють конструювання иил!ндра за заданою траектор!ею руху частинки по його розгортщ. Якщо робочою новерхнею цшнндра е ув^гнута (рис.27), то частинки грунту, досягнувши певно! верхньо! меж1, дат рухаються вниз. При проектуванш щшндра за заданою траектор!ею, яка не допускае руху частинок вниз, виявлено, що робочою поверхнею повинна бути випукла. Знайдено крив1 поперечного перер1зу такого цил!ндра для р^зних швидкостей та зроблено есгазний проект робочого органу для пщняття грунту ! його перем!щення в сторону без перевертання.

Розроблен! для використання в навчальному пронес! вар!анти проектування поверхн! полиш плуга за заданою граничною трасктор!ею руху скиби. За основу взято вщомий факт, що при зростанш швидкост! оранки траскторп руху частинок грунту наближаються до верхньо! гранично! меж! - геодезично! лшн поверхн!. Траектория задаеться натуральними р1вняннями кривини к=к(з) \ скруту г= ф) \ за нею проектусться розгортна поверхня полиц!, з яко! вир!заггься необх!дний в!дс!к. Серед розроблених вар!ант!в не рекомендусться брати траекторш ¡з сталими значениями кривини ! скруту, так як поверхнею полиш б\де круговий цилшдр. а

мае вигляд X

ллд.

1= ]со5(р«&)<&;

Рис.28

граничною траектор!оо - гвинтова линя. С'киба в такому випадку буде ковзати вздовж траскторп под1бно тому, як ковзае гайка при и закручу ванш на болт 1 кришшня скиби буде мш1ма1ьним. Розроблеш алгоритми 1 програмне забезпечення автоматизовано! побудови розгорток полиць \ шших висшв розгортних поверхонь. На основ! анал!зу технологи виготовлення витюв шнект зроблено висновок. що пром!жною поверхнею обертання (заготовкою) може бути не титьки поверхня катеноиа, а 1 и згинання на ¡ншу поверхню обертання "розкручуванням" катеноиа. Знайдено меж! такого "розкручування" й шил параметри заготовки, яю описуютьея вихщними даними шнека. Показано, що при сирой) "розкрутити" катено'и на величину. билыпу В1Д розрахунково!. потерпить розрив нерифер1Я поверхш по дуз! бшьшого кола, що потребно враховувати при формуванш заготовки шнека у вигляд1 поверхн! обертання.

Запропоновано приступи для виготовлення гвинтопо-Д1бних ножш подр1б-нюючих барабан! в згинанням заготовки, довжина яких не л1м!тована на ви-мшу вщ штамповки (рис.28). Смута металу прямокутного перер1зу 1 по напрямнш 2 примусово подасться в клинопод!бну щилину м1ж кошчними валками 3, де за рахунок розплющення одше! сторони перетворюеться у кшьце. Зовшшнш 1 внутршшш рад!уси кшьця знаходять теоретичним згинанням гвинтопод!бного ножа в поверхню обертання 1' практично забезпечують за рахунок встановлення певних ■¡алежностей мгж розм1рами поперечного перер1зу смуги 2 1 величиною клинопод!бно! пилили М1ж ватками 3. Дал! заготовка у вигляд! киьця проходить м!ж валками 4, 5, 6, як! здШснюють Г! згинання у гвинтопод!бну форму. Абразивним кругом 7 здшснюеться заточка леза ! його змщнення порошком сормайту, який знаходиться в посудин! 9. Перед цим лезо попередньо роз!гр!-васться ¡ндуктором 8. Пристрш захищений авторським евщоцтвом на винахщ.

висновки

Результатом виконаних у робот! дослщжень с розв'язання науково! проблеми конструювання поверхонь на основ! шдход!в натурально! геометр!'! у поеднанш !'х ¡3 методами координатного опису та теор!сю зображень. Розроблена концепшя неперервного згинання поверхонь у науковому план! дае напрям подальшим доопдженям, а в практичному - с основою вдосконатення технолог!'! виготовлення тонкостшних форм згинанням.

Загатьш висновки можна конкретизувати за наступними пунктами:

1. Анаш Л1тературних джерел з теорп просторових кривих лшш. а також виповиних розд!л!в ¡з диференшатьно! геометр!'! показав, що ¡снус проблема переходу вщ заданих натурачьних р!внянь кривих до !х координатного запису а

також buiiobi.ihiix роздимв ¡з диференшальноУ геометрн показав, шо icnye проблема переходу вщ заданих натуральних р1внянь кривих до Ух координатного запису а також в!зуального ыдтворення. У зв'язку з ци.м була взята за основу юнематична природа pvxy супровщного тригранника Френе плоских i просторових Л1И1Й зпдно яко'1 в кожен момент часу тригранник здшснюе гвинтовий рух у випадку просторово! криво! й оберталышй - для плоско! Рух тригранника повшстю визначаеться кривиною i скрутом криво! у функци довжини и дуги. На основ! цього був розроблений кшематичний шдхи вщтворення кривих лний моделюванням пере.\пщення тригранника Френе у npocTopi. Ефективна робота запропонованого пшходу стала можливою з появою комп'ютер!в, у яких велик! обчислювальш можливост! посднуються i3 миттевим в!дтворенням зображення кривих на екран! мон!тора. Математична модель перемщення тригранника реал!зована програмно i перев1'рена на численних тестових прикладах.

2. Для криво! на поверхш розглянута к!нематика супровшних тригранник!в Френе i Дарбу i встановлено взаемозв'язок м!ж к!нематичними характеристиками руху тригранниюв через параметри поверхн! i криво! на нш. Виявлено особливост! кшематики тригранника Дарбу при перем!щенн! його по спешальних лнпях поверхн! (асимптотичних, геодезичних, кривини), а також по лш!ях на сфер! i uHjiinapi.

3. На основ! вивчення кшематики тригранниюв Френе i Дарбу криво! на поверхш розроблено метод конструювання поверхонь за заданою напрямною кривою, яка е спец!альною л!н!ею поверхш. Поверхня утворюеться рухом TBipHOi лшн, яка певним чином прив'язана до тригранника Френе напрямноТ криво! Прямолшшнш TBipniii в!дповщае л!н1йчата поверхня, криволтойнш -нел!н!йчата. Знайден! обмеження на розташування прямол!н!йних тв!рних у триграннику Френе, при яких конструйована поверхня буде розгортною. Виведеш р!вняння точок ребра звороту в систем! тригранника Френе.

4. Знайден! анал!тичш залежност! мЬк к!нематикою тригранника Френе напрямно! криво! i положениям тв!рно! в його систем!, на основ! яких створен! конструктивн! модел! поверхонь окремих клас!в. До них вщносяться лшшчап ¡з ортогональною спкою координатних лшш i деяк! нел!н!йчат! (р!зьблен! поверхн! Монжа i цикл!чн1 i3 тв1рним колом зм!нного paaiyca), а також поверхш, представлен! аткою спряжених лшш. Отримаш результати пщтверджен! конкретними прикладами.

5. Створена модель неперервного згинання поверхонь, побудованих у систем! тригранника Френе. Вона грунтуеться на незмшност! коеф!щент!в першо! квадратично! форми i дозволяс управляти процесом згинання лшшчатих розгортних i нерозгортних поверхонь за рахунок: а) зм!ни кривини напрямно! криво!; б) змши й скруту; в) зм!ни кута м!ж прямолшшною тв!рною поверхн! i головною нормаллю напрямно! криво!. Виявлено, що спшьною ознакою нел!н!йчатих поверхонь, як! допускають неперервне згинання, с така апроксимашя Ух в!дс!ками TopciB, яка допускас сум!сне згинання апроксимованих поверхонь.

6. Для дсякнх конкретних нелшшчагих поверхонь (переносу. р!зьблених поверхонь Монжа. гвинтових) одержан! параметричш р1вняння згинання в кшцевому виглядг Достов!ршсть одержаних результат тдтверджустъся виразом першо! квадратично'! форми. З'ясовано геометричну суть так званого параметра згинання. Для поверхонь, що згинаються на головшй основ! спряжених лшш (переносу 1 р!зблених поверхонь Монжа) виявлено закономерности змши натуральних р!внянь напрямно!! тв!рно! кривих.

7. Дослщжено окрему трупу поверхонь. у яких тв^рними кривими г кола постшного або зм1нного рад!уса. Виявлена залежш'сть м1ж диференшалъними характеристиками напрямно! криво'!, законом1'ршстю змши рад1уса тв1рного кола 1 його положениям у триграннику Френе, за яко! поверхня буде каналовою. Показано, що частковим випадком таких поверхонь е каналов! поверхн! 1оах!мсталя, у тому чис.гп циклщи Дюпена. Доведено, що так1 поверхн! завжди можна вшнести до координатних л!н!й ¡з л!н!й кривини. На основ! виявлених властивостей каначових поверхонь 1оах!м стал я запропонована модель Ух констр\товання за заданими вихщними умовами.

8. З'ясовано геометричну суть примусового руху матер!ально! частники по поверхн! з точки зору взаемозв'язку супров!дних тригранник!в Френе ! Дарбу траекторп. Прийнято допущения, що по поверхн! робочого органу, який примусово рухасться в грунт! гз пост!йною швидк!стю, частники грунту теж будуть рухатися в постшною швидюстю в протилежну сторону. При цьому основн]' сили (окр1'м сили ваги) мають строго визначений напрям ди в супровщних тригранниках траектори (сили шерцй \ тертя - в триграннику Френе, сила реакци поверхн! - в триграннику Дарбу). Виходячи п р1'вноваги в нормальтй площин! траекторп вах д!ючих сил, запропонована методика знаходження траекторш руху частинок грунту по поверхн!. 3 практично! точки зору мае значения обернена задача: проектування поверхш, яка забезпечила б необхщну траекторто руху частинок грунту. Розв'язання прямо! й обернено! задач продемонстровано на цшиндричних поверхнях.

Перспективи подальшого розвитку досл1джень в теоретичному I практичному плат вбачаються у виявленш нових груп нелшшчатих поверхонь, що допускають неперервне згинання; конструюванш поверхонь за заданими вихщними даними ¡з застосуванням натуральних параметр!в; покращенш проектування та технологи виготовлення техн!чних вироб!в; розв'язанш задач! знаходження траекторш руху частинок по нерозгортних поверхнях.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ НРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦН Стагп у фахопих зб!рк-ах

1. Пшипака С.Ф. Графо-анатитический метод приближенного построения кривой по заданному натуратьному уравнению // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Бу^вельник. 1989. -Вып.48*. -С.44-45.

2. Птипака С.Ф. Проектирование трубопроводов из отсеков круговых конусов и цилиндров и автоматизированное построение разверток составных частей /У

Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Буд1вельник. 1990. -Вып. 49. -С.42-44.

3. Пшипака С.Ф. Построение линий откоса на телах вращения // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Буадвельник, 1990. -Вып.50. -С.88-89.

4. Пшипака С.Ф. Применение методов начертательной геометрии для нахождения скоростей произвольных точек твердого тела, совершающего пространственное движение // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Бушвельник. 1991. -Вып. 51. -С.62-64.

5. Пшипака С.Ф. Досл1Джешш руху твердого tí л а. що обертаеться навколо двох мимоб1жних осей // Прикл. геометшя та ¿нж. графжа. -К.: Буд1велышк. 1991. -Вип.52. -С. 34-36.

6. Пшипака С.Ф. Использование компьютера в учебном процессе как средства проверки правильности решения графических задач по начертательной геометрии //Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1994. -Вып. 57. -С.96-97.

7. Пшипака С.Ф. Кинематический способ построения плоской кривой по ее натуральному уравнению // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА,

8. Пшипака С.Ф. Конструювання лшшчатих поверхонь ам'ями ортогональних лшш //Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1996. -Вып.59. -С.55-59.

9. Пшипака С.Ф. Конструювання лшшчатих поверхонь за заданою напрямною кривою, котра с спещальною .tíhício поверхш // Прикл. геомепш та ¡нж. графжа. -К.: KflfyBA, 1996.-Вип.60.-С.87-89.

10. Пшипака С.Ф. Неперервне згинання косого гел1коща в однопорожнинний Г1перб0л01д обертання // Прикл. геометр1я та ¿нж. графша. -К.: КДТУБА, 1996. -Вип 61.-С. 140-144.

11. Пшипака С.Ф. Неперервне згинання р1зьблено! поверхш Монжа Í3 плоскими Л1Н1ями кривини // Прикл. геометргя та ¡нж. графша. -К.: КДТУБА, 1997. -Вип.62. -С. 180-183.

12. Войтюк Д.Г., Пшипака С.Ф. Розробка алгоритму автоматизованого проектування полиць плупв Í3 дисциплши "САПР" для студент!в спец1альност1 "Сшьськогосподарськ1 машини" // Науковий bíchhk Нашонального аграрного ушверситету. -К., 1997. -Вип.2. -С. 145-148.

13. Пшипака С.Ф. Комп'ютерна побудова кривих за графшами натуральних швнянь // Труды Таврическои государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.1. -Мелитополь: ТГАТА, 1997. -С.84-

14. Пшипака С.Ф. Неперервне згинання катено'ща в гвинтовий коно!д // Прикл. геометр ¡я та ¡нж. графжа. -К.: КДТУБА, 1998. -Вип. 63. -С. 80-83.

15. Пшипака С.Ф. Конструювання каналових поверхонь 1оах1мсталя С1м'ями лшш кривини II Прикл. геометр1я та ¡нж. граф1ка. -К.: КДТУБА. 1998. -Вип. 64. -С. 171-173.

16. Пшипака С.Ф. Кшематична штерпретащя руху супров^дних тригранник1в Френе i Дарбу через внутршпп параметри кривих // Науковии bíchhk Нашонального аграрного ушверситету -к.: НАУ, 1998. -Вип.4. -С. 143-146.

17. Пшишка С.Ф. Нагуральш р1вняння кривой шо належить круговому цилшдрч // Труды Таврической государственной агротехнической академий. -Вып.4 Прикл. геометрия и инж. графика. Т.З. -Мелитополь: ТГАТА, 1998. -С.42-43.

18. Пилипака С.Ф. Конструювання каналових поверхонь 1оах1мсталя за заданими вихйними умовами // Прикл. геометр1я та ¡нж. графша. -К.: КНУБА, 1999. -Вип. 65. -С.87-91

19. Пилипака С.Ф. Геометрична суть згинання тзьблених поверхонь Монжа // Прикл. геометр1я та ¡нж. графжа. -К.: КНУБА. 1999. -Вип. 66. -С.92-95.

20. Пилипака С.Ф. Геометрична суть згинання поверхонь обертання у гвишош // Труды Таврической государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.6. -Мелитополь: ТГАТА, 1999. -С.85-88.

21. Войтюк Д.Г., Пилипака С.Ф. До визначення траекторш руху частинок грунту по цилищигчних поверхнях робочих оргашв грунтообробних знарядь // Зшрник наукових праць Нашонального аграрного упвсрситету "Механ1защя сьтьськогосподарського виробництва". -Том 5. "Сучасн1 проблеми MexaHi3auii сьчьського господарства". -К.: НАУ, 1999. -С. 242-251.

22. Пшипака С.Ф. Практичш аспекта гнуття шнеюв с1льськогосподарських машин // 36ipHHK наукових праць Наш'онального аграрного утлверснгету "Мехашзащя сшьськогосподарського виробництва". -Том 6.' Teopin i розрахунок с1льськогосподарських машин -К.: НАУ, 1999. -С. 149-151.

23. Пилипака С.Ф. Конструювання техшчних каналових поверхонь пухом TBipnoro кола в нормальнш площшп просторово! напрямно! криво! // Зшрник наукових праць Нашонального аграрного ушверситету "Мехашзашя сшьськогосподарського виробництва". —Т.7. -К.: НАУ, 2000. -СЛ 91-195.

24. A.c. ¡784388 СССР, МКИ В 21 Н 7/10. Устройство для изготовления винтообразных ножей / В.С.Обухова, С.Ф.Пилипака, Т.Я.Изаак (СССР). -№ 4683225/27; Заявлено 27.04.89; Опубл. 30.12.92, Бюл. № 48. -Ас.

Додатков! публ!кацГ|"

25. Пилипака С.Ф. Проектирование транспортирующих органов сельхозмашин // Повышение эффективности использования и надежности сельскохозяйственной техники. -К.: УСХА, 1993. -С.10-15.

26. Пилипака С.Ф. Методичш основи розробки комп'ютерних контрольно-навчаючих програм 13 граф1чних дпсципл!» // Проблеми агропромислового комплексу: пошук, досягнення. Матер ¡ал и доповщей науково! конференщ! професорсько-викладацького складу та асшраштв. -К.: НАУ, 1994. -С. 52.

27. Птипака С.Ф., HeceidoMM В.М. Побудова просторово! криво! лшн за зшханими натуратьними ршняннями // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1996. -Вып.59. -С. 106-107.

28. Пилипака С.Ф. Згинання гвинтового коно'ща в дшшчату поверхню з переходом гвинтово! л1нй в плоску криву // Прикл. геометр1я та ¡нж. rpatbiKa. -К.: КДТУБА. 1996.-Вип. 60.-С. 147-Г49 '

29. Пшипака С.Ф. Р!вняння поверхонь обертання як результату згинання гвинтових лшшчатих поверхонь // Прикл. геометр(я та ¡нж. граф)ка. -К.: КДТУБА. 1996. -Вип.61. -С. 73-79.

30. Войтюк Д.Г..{)Пшипака С.Ф. Проектування гвинтоподшних нолчв ¡з к \том закручування 360 i рекомендацй до !х вйготовлення // Bichhk arpapiioi на\ки. -К.: Аграрна наука. 1996. -№ 10. -С.56-60.

31. Пшипака С.Ф. Згинання косих лнпйчатих поверхонь // Сборник трудов III Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». Часть II. -Мелитополь: ТГАТА, 1996. -С. 17532. Sergev Pvlvpaka. Bending of screw surfaces in the surface of revolution // Proceedings fifth international conference «New leading-edge technologies in machine building». -Kharkov-Rybachie. 1996. -P. 134.

33. Пшипака С.Ф. Конструювання розгортних поверхонь в систем! супровщного тригранника Френе напрямно! криво! та побудова i'x розгорток // Прикл. геометр!я та ¡нж. графка. -1С.: КДТУБА, 1997. -Вип.62. -С.74-77.

3-4. Пшипака С.Ф. Згинання поверхш головних нормалей в поверхню нормалей на приклад} гвинтового коноща и Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». Часть II. -Мелитополь: ТГАТА, 1997. -С. 126-128.

35. Войтюк Д.Г., Пшипака С.Ф. Проектування полиш плуга i3 розгортно! поверхш за заданою граничною трасктор!ею руху скиби //В¡сник arpapiioi науки. -К.: Аграрна наука, 1998. -№ 1. -C.47-4SC

36. Пшипака С.Ф. Конструювання циюпчних поверхонь с1м'ями ортогональних л!н1й в систем1 супровщного тригранника напрямно! криво! // Прикл. геометтпя та 1нж. графжа. -"К.: КДТУБА, 1998. -Вин. 63. -С.159-151.

37. Пшипака С.Ф. Конструювання каналових поверхонь в систем! супровщного тригранника плоско! напрямно! криво! // Прикл. геометр!я та ¿нж. граф1ка. -К.: КДТУБА, 1998. -Вил. 64 -С.116-119.

38. Пшипака С.Ф. Неперервне згинання поверхонь переносу // Труды Таврической государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.З. -Мелитополь: ТГАТА, 1998. -С.39-41.

39. Пшипака С.Ф. Геометрична суть згинання поверхонь переносу // Прикл. геометр!я та шж. графка. -К.: КНУБА, 1999. -Вип. 65 -С. 148-152.

40. Войтюк Д.Г., Пшипака С.Ф. Побудова траекторш руху частинок грунту по цшпндричних поверхнях i знаходження криво! nepepi3y цил1ндра // Техн1ка АЛК. -К., 1999. -№ 8. -С6-9.

41. А.с. 1658896 СССР, МКИ А 01 F 29/00. Измельчающее устройство / С.Ф.Пилипака и В.П.Звенигородский (СССР). -№ 4717347/15: Заявлено 11.07.89; Опубл. 30.06.91, Бюл. № 24.-3 с.

Анотацй'

Пилипака С.Ф. Констр\товання поверхонь та !х неперервне згинання в KiHueei форми на основ! управлшня натуральними параметрами. —Рукопис.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня доктора техшчних наук за cneaiajibniciK) 05.01.01 - прикладна reo\ierpi«. ¡нженерна граф!ка. -Кшвський наш'ональний ун!верситет буд|вництьа i архтектури, Ки!в, 2000.

Дисерташю присвячено розробш нового напряму конструювання поверхонь та !х неперервного згинання в KiHueBi форми на основ1 внкористання натуральних параметр1в. Основу дослижень складас запропонований кшематичний шдхи побудови кривих лшш за заданими р1вняннями кривинн i скруту. Конструювання поверхш зд1Йснюггься в систем! супровщного тригранника одержано! криво'!. Вид поверхн)' залежить в!д TBipnoi криво! закршлено! в триграннику (пряма, крива стало! форми, коло постшного або змшного рад!уса). На основ! незмжност! коефшюгпв першо! квадратично) форми створено модел! неперервного згинання лшшчатих поверхонь (розгортних i нерозгортних) i деяких нелшшчатих (р!зьблених поверхонь Монжа, поверхонь переносу, гвинтових). З'ясовано геометричну суть процесу згинання. Розглянуто pyx MaicpiaibHo! точки по поверхн! ¡з пост!йною швидкктю. Одержан! результати обгрунтован! теоретично i п!дтверджен! впровадженнями у виробнинтво i навчальний процес.

Ключов! слова: неперервне згинання, перша квадратична форма, тригранники Френе i Дарбу, натуральш параметр».

Пилипака С.Ф. Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. -Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2000.

Диссертация посвящена разработке нового направления конструирования поверхностей и их непрерывного изгибания в конечные формы на основании использования натуральных параметров. В первом разделе проведен анализ литературных источников по теории пространственных кривых линий а также соответствующих разделов дифференциальной геометрии. Он показал, что существует проблема перехода от заданных натуральных уравнений кривых к их координатной записи либо же к визуальному воспроизведению. В связи с этим была изучена геометрическая сущность движения сопровождающего трехгранника Френе плоских и пространственных линий и предложен во втором разделе кинематический подход их воспроизведения моделированием перемещения трехгранника Френе в пространстве. Эффективная работа разработанного подхода стала возможной с появлением компьютеров, у которых большие вычислительные возможности совпадают из возможностью мгновенного воспроизведения изображения кривых на экране монитора. Математическая модель перемещения трехгранника реализована программно и проверена на численных тестовых примерах построения кривых линий по заданным натуральным уравнениям.

В третьем разделе исследовано кинематику сопровождающего трехгранника Френе кривой на поверхности. Одновременно рассмотрено движение сопровождающего трехгранника Дарбу, кинематика которого определяется не только дифференциальными характеристиками кривой, по и

самой поверхности. Установлена взаимосвязь между кинематическими показателями движения трехгранников через параметры поверхности и кривой, расположенной на ней. Разработан метод конструирования поверхностей по заданой направляющей кривой, которая является для создаваемой поверхности специальной линией. Поверхность строится движением образующей линии, которая определенным образом привязана к трехграннику Френе направляющей кривой. Прямолинейной образующей соответствует линейчатая поверхность, криволинейной - нелинейчатая. Созданы конструктивные модели поверхностей отдельных классов. Это линейчатые из ортогональной сетью координатных линий и некоторые нелинейчатые (резные поверхности Монжа и циклические из образующей окружностью переменного радиуса), а • также поверхности, отнесенные к сети сопряженных линий. Найдены ограничения на расположение прямолинейных образующих в трехграннике Френе, при которых поверхность будет развертывающейся. Выведены уравнения точек ребра возврата в системе трехгранника Френе.

Четвертый раздел посвящен непрерывному изгибанию поверхностей, построенных в трехграннике Френе. Разработанная модель изгибания базируется на неизменности коэффициентов первой квадратической формы и позволяет получать какое угодно число промежуточных положений поверхности при ее деформации из начального положения в конечное. При этом можно управлять процессом изгибания линейчатых развертывающихся и неразвертывающихся поверхностей за счет изменения: а) кривизны направляющей кривой; б) ее кручения; в) положения прямолинейной образующей в трехграннике Френе. Для некоторых нелинейчатых поверхностей (переноса, резных поверхностей Монжа, винтовых) получены параметрические уравнения изгибания в конечном виде. Для поверхностей, которые изгибаются на главном основании сопряженных линий (переноса и резных поверхностей Монжа), установлены закономерности изменения натуральных уравнений направляющей и образующей кривых. Предложена аппроксимация нелинейчатых поверхностей отсеками торсов, допу скающая совместное изгибание составных поверхностей.

В пятом разделе исследовано отдельную группу поверхностей, у которых образующими кривыми есть окружности постоянного или переменного радиуса. Установлена зависимость между дифференциальными характеристиками направляющей кривой, закономерностью изменения радиуса образующей окружности и ее положением в трехграннике Френе, при которой поверхность будет каналовой. Показано, что частным случаем таких поверхностей являются каналовые поверхности Иоахимсталя, в том числе циклиды Дюпена. Доказано, что такие поверхности всегда можно отнести к координатным линиям из линий кривизны. На основании выявленных свойств каналовых поверхностей Иоахим стал я предложена модель их конструирования по заданным исходным условиям.

Шестой раздел посвящен изучению вынужденного движения материальных частиц по поверхностям и вопросам практического применения результатов, полученных в предыдущих разделах. Движение частиц исследовано

при помощи сопровождающих трехгранников траектории, так как основные силы, кроме силы тяжести, имеют строго определенное направление действия в их системах (силы инерции и трения - в трехграннике Френе, сила реакции поверхности - в трехграннике Дарбу). Исходя из равновесия в нормальной плоскости траектории всех действующих сил. предложена методика нахождения траектории движения частиц почвы по поверхности. С практической точки зрения имеет значение обратная задача - проектирование поверхности, которая обеспечила бы необходимую траекторию движения частиц почвы. Решение прямой и обратной задач продемонстрировано на цилиндрических поверхностях.

На основании полученных результатов исследований предложены методики и рекомендации прикладного характера, эффективность которых подтверждена внедрениями в научные, производственные заведения и в учебный процесс.

Ключевые слова: непрерывное изгибание, первая квадратическая форма, трехгранники Френе и Дарбу, натуральные параметры.

Pylvpaka S. F. Construction of surfaces and their continuous winding in finite forms on the base of operation of the natural parameters. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kyiv National University of Building and Architecture, Kyiv, 2000.

Thesis is devoted to the working out of new direction in surface construction and their continuous winding in finite forms in the base of natural parameters usage. Proposed kinematic approach in the construction of curve lines on given equations of curvature and forsion is the base of investigations. The construction of surface is carried out in the system of accompanying three - edge of received curve. The kind of surface depends on derivative curve, fixed in three - edge (straight, curve of constant form, circumference of constant and variable radius). The models of continuous winding of lined surfaces (fold and unfold) and some unlined ones (curved surfaces of Monge. surfaces of transfer, screw were created on the base of invariability of coefficients of the first quadratic form. Geometrical essence of winding process was proved. The motion of material point on surface with constant speed was considered Obtained results were grounded theoretically and confirmed by the installations in production and educational process.

Key words: continuous winding, first quadratic form, three - edge of Frenet and Darboux, natural parameters.

4 я)

klí ВИДАВНИЧИЙ ЦЕНТР НАУ

<ат трл (044| 26/ 8049, 26/ 8434 тсл/фтс. |044) 26/ 8835 Зам №| \j ninn. no ncmv г. Л? ¿V Фоомат: íftr Л/íí

Наклал. /ОО поим. Л апю Н>1