автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Построение линий и поверхностей на основе ротативных преобразований

Г!\ Ом

2 О Г;ДЙ 1С07

Н а правах рукописи

РАЧКОВСКАЯ Гашша Станиславовна

ПОСТЮЕНИБ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ЮТАТИВНЫХ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Специальность 05. 01 . 01 - прикладная геометрия и инженерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Н. Новгород 1997

Работа выполнена на кафедре начертательной геометрии и черчения Ростовской-на-Дону государственной академии строительства.

Научные руководители:

Ведущая организация:

Проектно-строительное предприятие СевкавНИПИагропром.

Зашита состоится 15 апреля 1997 г. в 15 часов в ауд. 5-202 на заседании диссертационного совета Д064.09.03 при Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии по адресу: 603600, Н.Новгород, ул. Ильинская, 65.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке

к.т.н., доц. А.Л.Мартиросов, к.т.н., доц. Н.Н.Титомиров.

Официальные оппоненты:

д.т.н., проф. В.С.Обухова, к.т.н., доц. С.И.Ротков.

НГАСА.

Автореферат разослан

1997 г.

Ученый секретарь совета к.т.н., доц.

Актуальность темы Во многих задачах строительства и техники возннхаст потребность в сложных геометрических образованиях в виде линий и поверхностей.

Однако графические методы такого рода образований сложны и требуют большого количества времени на разработку их вариантов.

Интенсивное развитие электронно-вычислительной техники, в частности, качественное расширение ее возможностей за счет нового уровня визуализации результатов компьютерного моделирования позволяет в настоящее время осуществлять постановку новых исследований кинематики движения различных геометрических форм, что заметно расширяет создаваемые классы новых геометрических образов. Вопросы кинематического образования поверхностей (переноса, ротативных, спироидапьных) и их изготовления активно развивались отечественной школой под руководством профессоров МЛ. Громова и A.B. Бубеннихова, их учениками Г.И. Л уста, А.Ф. Садовничевым и др., а также проф. B.C. Обуховой , проф. А.Л. Подгорным и доц. А.Л. Мартиросозым.

В настоящее время потребности новых технологий и разработка новых рабочих органов переменной геометрии, формы и траектории движений которых нельзя описать на базе разработанных ранее движений, инициировали развитие нового актуального направления, связанного с расширением возможностей кинематических методов образования поверхностей за счет введения аксоидов переменной формы.

Развитию теории этого направления посвящена данная работа, в которой рассмотрено образование ротативных поверхностей в результате качения конуса переменной геометрии по развертке торсовой поверхности.

В этой связи представляется актуальной в рамках развиваемого направления разработка новых геометрических, аналитических и соответствующих программных средств для создания иа их основе многопараметрнческих компьютерных моделей с целью их использования и в научных исследованиях, и в практических приложениях.

Такого рода компьютерные модели позволяют существенно сократить время на реализацию, визуальный анализ и количественную оценху по определенным параметрам множества вариантов разрабатываемого объекта н

последующего выбора наиболее рационального из них по различны эстетическим и технологическим критериям.

Цель днссергационной работы

Цель работы состоит в разватни теоретической базы и в разработи соответствующего аналитического аппарата кинематических методов образов; ния широкого класса новых лнннй и поверхностей, возникающих в результат введения в эта методы аксоида переменной формы, а также в построении соот ветствующей многопараметрической компьютерной модели с последующим фо{ мированием пакетов программ ддл прикладного использования результате компьютерного эксперимента в архитектурно-строительной практике.

Для достижения поставленной цеди решаются следующие задачи:

1. Теоретическое обоснованна возможности качения конуса переменно геометрии по развертке торсовой поверхности.

2. Разработка аналитического аппарата и алгоритма построения плоски изгнбашш торсовых поверхностен.

3. Разработка аналитического аппарата и алгоритма построения линий поверхностей, образующихся в результате качения конуса переменной геометри по развертке торсовой поверхности.

4. Формирование пакетов программ для прикладного использовани иолученных результатов в архитектурно-строительной практике.

Основные методы исследования

В данной работе решите пост;пленных геометрических задач потребовал использования методов синтетической и аналитической, дифференциальной вычислительной геометрии, а такие методов интерактивной компьютерно графики.

Основные научные результаты

1. Обоснована возможность качения конуса переменной геометрии п разверткам торсовых поверхностей.

2. Разработаны аналитический гишарат и компьютерная модель построит плоских изгибаний торсовых поверхностей.

3. Построен алг оритм образования линий и поверхностей в результате качения конуса переменной геометрии по разверткам торсовых поверхностей.

4. Сформированы пакеты программ компьютерного моделирования ротативных неразвертываеыых и развертываемых линейчатых поверхностей для проектирования покрытий архитектурных форы на этапе эскизированпя.

Практическая ценность

Сформированные пакеты программ позволяют варьированием параметров выявить широкий класс неразвертываемых и развертываемых линейчатых поверхностей, созданных на основе ротативного преобразования. Пакеты программ позволяют в интерактивном режиме создавать поверхности, выделять отсеки, преобразовывать их посредством сдвига и поворота в пространстве, получать развертки, вычислять площади и на основании этого выбирать наиболее, рациональные решения.

Реализация результатов работы

Методика проектирования покрытий зданий и сооружений принята к использованию в Ростовском строительном управлении Ленинского района, а также внедрена в учебный процесс на кафедре архитектуры и градостроительства Ростовского государственного строительного университета.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались :

1. На десятом Всесоюзном научно - техническом семинаре в Полтаве; 1991 г.

2. На международной конференции в Севастополе; 1991 г.

3. На ежегодных научно - практических конференциях РГАС в 1991 - 1996 годах.

Публикации

Список печатных работ по теме диссертации содержит 6 наименований.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введеиия, трех глав, списка литературы и приложений. Она содержит 150 страниц машинописного техста и 60 рисунков.

Содержание работы В первой главе проведены геометрические исследования возможности кач няя конуса переыепной геометрии по разверткам торсовых поверхносге поскольку известно, что для конуса фиксированной геометрии по произвольнс развертке торсовой поверхности качение неосуществимо.

Следует отметить, что свойством качения друг по другу обладают толы торсовые поверхности, являющиеся изгибаниями друг друга. При это взаимодействующие поверхности должны быть приведены в соприкосновен! соответственными точками ребер возврата и сопровождающие триэдры в точз соприкосновения должны был, совмещены. Однако возможно существенж расширение класса качений за счет взаимодействия поверхностей, одна I которых имеет не фиксированную, а переменную форму.

В соответствии с принятой в начертательной геометрии методикой предстш лення торса гранным на первом этапе исследования проведен анализ и показан возможность качения друг по другу этих простейших развертываемы поверхностей. Выделив на катящейся гранной торсовой поверхности одну н граней и заменив ее па пирамидальную поверхность, что не нарушает у слови: качения, непрерывным увеличением числа граней пирамиды ее можн< преобразовать в прямой круговой конус. Если эту операцию применить 1 рассматриваемому случаю, то катящаяся поверхность может быть преобразован; в сумму состыкованных по образующим конических поверхностей. Причем конические поверхности вдоль стыковочной образующей должпы иметь общук касательную плоскость, то есть гладкость стыковки первого порядка. Катящий« аксоид может быть представлен не совокупностью состыкованных конусов, £ одним конусом, но с изменяющимися до требуемых значений параметрами (рис. I), то есть по граиному торсу может катиться не только его изгибание, но и конус переменной геометрии. Параметры конической поверхности изменяются скачкообразно, но нрн неограниченном увеличении количества изломов гран-

ното торса, ломаная в пределе преобразуется в некоторую кривую - Т (рис. 2). Эта кривая может считаться ребром возврата некоторого торса в развертке. Касательные к кривой Т определяют образующие торса в развертке. В этом

случае, рассматривая катящийся по развертке торса конус, можно считать, что параметры конуса претерпевают непрерывное, а не скачкообразное изменение.

Для осуществления возможности качения конуса переменной геометрии по разверткам торсов необходимо соблюдение следующих условий :

1. Вершина конуса должна быть помещена в одну из точех ребра возврата торса.

2. Конус должен иметь образующую, наложенную на образующую торса в точке совмещения.

3. Вдоль этой образующей у конуса и торса должна быть общая касательная плоскость.

С целью получения класса торсовых поверхностен для осуществления качений конуса переменной геометрии рассмотрен алгоритм создания плоских изгибаний торсовых поверхностей.

Задача построения изгибаний разбита на два взаимосвязанных, но самостоятельных этапа. На первом этапе определяется изгибание направляющего конуса, а на втором этапе определяется форма ребра возврата.

Начальное рассмотрение проведено на простейших развертываемых поверхностях, а именно гранных торсовых поверхностях, изгибания которых определяются изменением углов между гранями. Задача реорганизации углов между соседними гранями может быть рассмотрена на направляющей

поверхности, являющейся пирамидой с вершиной £ , ребра которой

параллельны соответствующим ребрам гранной торсовой поверхности. Если в

вершину этой пирамиды поместить центр сферы некоторого радиуса Л, то

реорганизацию я определение углов между 1ранями можно вести на поверхности данной сферы.

При развитии граяжш торсовой поверхности в торсовую поверхность с ребром возврата направляющая пирамида превращается в направляющий конус, а в конусе развитее взаимной ориентации образующих вдет уже не дискретно, а непрерывно. Изгибание торсовой поверхности будет соответствовать изгибанию ее направляющего конуса. После получения развертки конуса выявляется ребро возврата торса в развертке на основе второго инварианта из га б алия - равенства

дтш дуг ребер возврата. При этой кручение ребра возврата становится равны нулю. Таким образом, задача создания изгибания торсовой поверхност сведена к изгибанию конической поверхности.

Если с конусом связана система координат, определяющая некоторс пространство, то при качении это пространство перемещается по отношению неподвижному пространству торса. Возникает ротативное преобразование

точка А, выбранная в подвижном пространстве, описывает некоторую крнвуи

В зависимости от положения точки относительно катящейся коническо поверхности получаются кривые, напоминающие плоские кривые - эпициклоид циклоиду, гипоциклоиду.

Если же в подвижном пространстве выбрана прямая, заданная дву)у

точками А и В (рис. 3), то образуется линейчатая поверхность. Ограничивг

протяженность прямых задающими их точками, получим отсек лннейчато поверхности конгруэнтных линейчатых элементов. В случае выбора в подвижно пространстве плоскости образуется торсовая поверхноср».

Так что, учитывая так же и то, что задаваемые в ротатнвном преобразовали геометрические формы могут иметь не только постоянные, но и переменян значения параметров заданных элементов, можно заключить, что предложения процедура является новым средством создания различных геометрических форм Во второй главе рассмотрено аналитическое описание перемещения конус переменной геометрии по развертке торса, причем это описание определяет I только трансформацию хоннческой поверхности, но и ротативне преобразование пространства, определяемого системой координат.

Если на плоскости задана некоторая кривая Г , принимаемая за ребр

возврата торса в развертке н являющаяся однозначной функцией некоторог

параметра р, то и направление касательной в каждой ее точке также являет

функцией параметра Р ~ Р (р). В качестве параметра р может выступат

любой параметр, определяющий точки кривой Г.

SJ- 12

У ¿y

Рис.3

С этой кривой Г связана неподвижная система координат Оху1, начал которой помещено в точку кривой, которая соответствует начальному значении параметра р.

Подвижная система СУх'у'х', связанная с конусом, в процессе его качеш

без скольжения перемещается вместе с ним в неподвижном пространстве.

После совмещения начала координат подвижной и неподвижной систе вершина конуса, в которой помещено это совмещенное начало коорднна' последовательно перемещается по точкам ребра возврата развертки тора

причем развертка располагается в плоскости хОу н, следовательно, вершив конуса не имеет перемещения вдоль оси 02, а смещения коордшшруютс

соответственно: (1 - вдоль Ох и Ь - вдоль О у. Тогда при переходе ;

нормализованным координатам можно для точки, связанной с перемещающейс: системой координат, записать следующее соотношение:

(Х,У,2,\) = (Х',У',1',\)

7 щ

к "Ь "г

тъ «3

<<* Ъ 0

\

, где

//, , П{ - направляющие косинусы для осей О 'х ' ( 1), О'у' (/—2),

О'г'«=3).

Это соотношение позволяет получить координаты любой точки, а значит и любого геометрического образа - прямой, кривой и т.д. в неподвижной системе координат.

Так, если взяггь прямую, то множество ее положений определит однопара-метрячесхое множество прямых, что соответствует определению линейчатой

поверхности. Аналогично н для кривой. Ее преобразование задаст однопараметрнческое множество кривых, то есть линейный каркас нелиненчатон ротатнвпой поверхности. Перемещение же плосхосгя задает однопараметрнческое множество плоскостей, огибающая которых определяет торс.

Далее во второй главе проведено аналитическое описание разверток на основе общего подхода к созданию изгибаний торсов. Рассмотрено два этапа: !) изгибание направляющего конуса торса; 2) нахождение ребра возврата изгабання.

Образующие направляющего конуса задаются в сферической системе координат, в которой направление прямой фиксируется двумя углами :

11 - угол, составляемый плоскостью, проходящей через ось Ох и образующую, с осью Ох.

V- утол, составляемый образующей и осью Ох.

Для пересчета направления образующих в сферической системе координат используются следующие соотношения:

СОБ и —

¡т2+п2

Р + т2

соэК

п.

Если поместить центр сферы произвольного радиуса К в начало координат, то есть в вершину направляющего конуса, то в пересечении сферы с направляющим конусом на ее поверхности образуется кривая к.

Дифференциал длины дуга этой кривой, расположенной на поверхности сферы, может бьпъ определен из следующего соотношения:

гс1КУ

йр

БШ2 V

Г ¿г V

Из равенства ---—---следует, что в предположен}»

Аналогичное соотношение следует и для кривой к} , являющейся пересечением сферы того же радиуса с преобразованным конусом.

с1 К _с1 К^ й р й р

предварительного произвольного задания зависимости V¡~/ (р) > например V]—СОШ1, можно получить:

БИТ V - + - (I р .

Ар) ир)

Так как величина V у может принимать бесчисленное количество числовые

значений, то возмохсно получение бесчисленного множества круговых конусов, являющихся направляющими конусами изгибаний. Это позволяет, в свок очерки, получить целый класс поверхностей одинакового ската, которые образуются изгибанием исходной торсовой поверхности.

Далее получены соотношения для определения значений координат дискретно • непрерывного точечного каркаса ребра возврата изгибания в

функции параметрар .

Для текущих координат точек ребра возврата Х\, у¡, 2у согласно обозначениям, приведенным на рас. 4, справедливы соотношения:

¿Уг -

--— Щ(Х и, соответственно

ах,

^ в ¿/г, _ (1хх р <1 р с! р йр с1 р

Рис. 4

Дифференциал длины дуги ск крнЕой Г , как функции параметра р может быть определен из соотношения :

в. X

+

йр \\У<1р) уёр) \(1р)

йу

+

Лг

С учетом аналогичного соотношения для

Тр

с! 5 г/

и равенства

р с1 р

в результате интегрирования получаем:

и

Ух

=г

=Г

л ф

^J\ + tg2a+tg2P

Ф;

^?!

Ар.

чР

или с учетом соотношений

ф;

Ф

1

tgVl■cosUi

получаем:

* р

а

л чФу

соб С/, • (1р ; ш эт^/, -с1р ; СОБ £/, • с1р .

Если принять, что величина II} независима от параметра /7 , то есть и] =ССШ7, то это приводит к следующим выражениям:

(*Н

( 1тЛ

Ып2К-

аи

+

аР

и соответственно

X = соэ/У,

шнгь

У,

¿р)

аи

кар) {ар

Ар

V" V/

аР

Ып2 V

'аиУ (аг^г

+

шнг^'

(аиУ (¿гУ

— + —

\ЛР)

\

ар

аР

аР

ар

Полупенные соотношения являются основой для построения плоских изгнбаннй торсовых поверхностей и дают возможность для описания ротатнвных преобразований пространства при качении конуса по плоским изгибаниям торсов.

Далее во второй главе рассмотрены аналитические алгоритмы создания каркасов нелинейчатых поверхностей в случае, когда образующей выступает дуга окружности, кроме того, приведен аналитический аппарат создания каркасов линейчатых поверхностей, образующихся при ротативпоы преобразовании который расчиган на машинный алгоритм, а также аналитический аппарат создания каркаса торса, образующегося в ротатнвпом треобразовании.

Получены также соотношения для определения массива отрезков линейчать образующих, задаваемых с любой плотностью, что позволило визуализироват дискретный каркас.

В третьей главе на основе аналитических зависимостей, рассмотренных t второй главе, разработано программное обеспечение расчета и визуализащ ротативяых неразвертываемых и развертываемых линейчатых поверхносге полученных движением отрезка и плоскости, связанных с конусом перемени« геометрии, катящимся по развертке торсовой поверхности. В качестве развертк по которой катится конус, применяются развертки торсов одинакового ската ребрами возврата в виде винтовых линий на центральных поверхностях второ) порядка, алгоритмы построения которых разработаны и реализованы на ЭВМ диссертационной работе A.B. Замятина " Прикладные аспекты кинематш поверхностей 2-го порядка " (НГАСА, Н.Новгород 1996 г.).

С помощью разработанной программы получен ряд новых ротатнвпь поверхностей, отсеки которых могут быть использованы в архитектура строительном проектировании на этапе эскнзнрованпя. Пример неразвертыва мой ротатшшон поверхности приведен на рис. 7 в аксонометрической проекцн

на рис. 5, 6 в ортогональных проекциях на плоскости Охг и Ох

соответственно. Условная развертка данной поверхности приведена на рис. 8.

Сформированы пакеты программ, обеспечивающие компьютерное модел рование на этапе эскизирования вариантов покрытий из отсеков полученш неразвертываемых и развертываемых линейчатых ротатнвных поверхностей. Входными данными являются:

1 ) для эллипсоида общего вида: А, В, С - полуоси;

половила угла между прямыми, по которым катится данный эллипсоид.

2 ) для конуса : начальная донна образующей ;

радиус основания; начальный угол поворота ; конечный угол поворота.

Пакеты программ позволяют:

1 - сконструировать торсовую поверхность одинакового ската с ребром возвра-

та на центральных поверхностях второго порядка и получить ее развертку

методом изгибания;

2 - задать начальные параметры катящегося конуса и начальные координаты

связанного с шш отрезка или плоскости ;

3 - получить ротативгше неразвертываемые н развертываемые линейчатые поверхности;

4 - выполнить ортогональные преобразования исходного отсека;

5 - вырезать из исходного отсека проецирующей призмой рабочий отсек поверхности;

6 - зьщешпь дискретный каркас образующих рабочего отсека и определить координаты их концевых точек;

7 - выполнить визуализацию рабочего отсека в аксонометрических проекциях и

ортогональных проекциях па плоскости Оху, Оуг, 0x2,

8 - выполнить ортогональные преобразования рабочего отсека;

9 - выполнить развертку и расчет площади рабочего отсека;

10 - выдать на экран дисплея нли принтер параметры рабочего отсека .

11 - определить координаты точек опорных элементов.

Интерфейс с пакетами программ выполнен в виде падающих меню, что дает возможность освоения системы неподготовленным пользователем.

Примеры полученных покрытий из отсеков торсовых поверхностей приведены на рис. 11, 15 в аксонометрических проекциях, па рис. 9, 13 и 10, 14 в

прошениях на плоскость 0x2, Оуг - соответственно. На рис. 12, 16 приведены

развертки отсеков.

Примеры разработанных покрытий нз отсеков ротативных неразвертыааемых линейчатых поверхностей приведены на рис. 19, 23 - в аксонометрических проекциях, на рве. 17, 21 и 18, 22 - в ортогональных проекциях на плоскости

приведены развертки рабочих

отсеков поверхностей.

Рис. 5

Входные ллигггиг: Элзвпконд: А=50, В=100, С=20 Полошим угла «кашу прдцц^х 30° Конус: дата образующая . 200 у .е. р*днус осаомнгм -150у.е. вачадьвый угод поворот» - 0° кевечпиЯ угол юк^кгп - 200° шаг образующих -1

Рис. б

Рис 8

Вводные пччтудг.;

Эдикасонд: А=50,В=100, С=»20 13 Половнза угла между прхмшя 30°

Конус: дазп» обриужчкЛ -100 у с р«диус «аонш - 50 у е. ■мчшяыЯ угол поворот» - 0* Г^ ковгпиыЗ угол поворота - 90* ш»г образующих -1

Вюдтп^г дохшие: Эязяпсоил : А=50, В=100, С=20 Пазоаяна угжа исюду г-ре^ыми 30° Конус: дает» обреуюсхЯ -100 у е радиус оево»«як» - 60 у с. л.2. пяч«л*ецЯ угол носорог» - О* конгчниЯ угол поворот» - 90* ^ ияг обрюуюпяа - 1

Рис. 16

г

го

Вюлшедшш . Эжлглкоел : А=«1, В= 100, С=20 Полоакаа угд» »жду пр«шлш 30° Конус: дкнпаоб^ таующев -600 у.е.

радкусоа юышка -590 у. с.

Рис. 19

Входные лг.™мг : Этатсояд : Л=50, В= 100, С=20 ñosotsm* yrx» ыседу njeaaooi W° Конус : детна обреузэдгй -210 у с.

Рис.

Основные результаты и выводы работы

1. Проведено дальнейшее развитие теоретической базы юшематичсскор образования линий и поверхностей, возникающих в результате введения ах со ид переменной формы в кинематические методы образования поверхностей.

2. Обоснована возможность качения конуса переменной геометрии по разверз кам торсовых поверхностей, что заметно расширяет класс ротативны преобразований, на основе которых могут быть получены новые вид пространственных линий и поверхностей.

3. Разработала многопараметрнческая компьютерная модель, котора позволяет проводить в интерактивном режиме компьютерный поиск наиболе рационального из возможных вариантов разрабатываемого объекта пр проектировании покрытий различных архитектурных зданий и сооружений.

4. Сформированы пакеты программ, моделирующие отсеки ротативны неразвертываемых и развертываемых линейчатых поверхностей в качеетт покрытий архитектурных зданий и сооружении, для прикладного использовали результатов компьютерного эксперимента в архитектурно-строительно практихе, в основном, на этапе эскнзнрования.

5. Выполнены эсхпзы покрытий архитектурных сооружений, нашадшв применение в гражданском строительстве.

Содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Мартвросов А.Л., Рачковская Г.С., Баринов В.В.

Качение конуса переменной геометрии по торсу.

Деп. в ВИНИТИ 13.05.90, №4599-В90.

2. Мартнросов А.Л., Рачковская Г.С.

Кинематика торсов.

Тезисы докладов на X Всесоюзном научно-техническом семинаре.

Полтава, 1991 г.

3. Мартвросов А.Л., Рачкооскоя Г.С., Баринов В.В.

Общий случай качения конуса по торсам.

Деп. в ВИНИТИ 08.05.91, № 1878-В91.

4. Мартиросов А.Л., Рачковская Г.С. Исследование торсовых поверхностен.

Тезисы докладов на Международной конференции. Севастополь, 1991 г.

5. Мартиросов А.Л., Замятин A.B., Рачковская Г.С. Об одном пространственном соответствии. Деп. в ВИНИТИ 09.04.93, № 926-В93.

6. Рачковская Г.С.

Линейчатые ротативные поверхности. Деп. в ВИНИТИ 03.02.97, >&281-В97.

ЛР 020818 от 20.09.93 Подписано в печать 12.03.97

Формат 60x84 1/24 Бумага белая. Ксерокс. Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 110 экз. С 33

Редакциопно - издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н / Д, ул. Социалистическая, 162.