автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Развитие каркасно-кинематического метода для формообразования сложно-структурированных поверхностей

На правах рукописи

Замятин Александр Витальевич

РАЗВИТИЕ КАРКАСНО-КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ СЛОЖНО-СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 9 АВГ 2013

ои

Ростов-на-Дону - 2013

005532382

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный

университет»

Научный консультант

доктор технических наук, профессор Ротков Сергей Игоревич

Официальные оппоненты:

Решетников Михаил Константинович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Ю.А. Гагарина», заведующий кафедрой инженерной геометрии и промышленного дизайна,

Толок Алексей Вячеславович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный технологический университет

«СТАНКИН», заведующий кафедрой начертательной геометрии,

Цеханов Юрий Александрович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры информатики и графики

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Южный федеральный университет» (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится «01» октября 2013 г. в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 212.162.09 при Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, аудитория 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан «14» августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат педагогических наук, доцент

Н.Д. Жилина

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. В связи с ускоренным развитием в настоящее время строительной отрасли и тенденциями к нетрадиционным решениям архитектурных задач появилась необходимость разработки методов проектирования новых типов поверхностей, пригодных к применению в качестве основ создания оболочек в задачах архитектурно-строительного проектирования. Особенно большую практическую ценность имеет реализация новых геометрических способов конструирования поверхностей в виде компьютерных программ. Развитие современных средств вычислительной техники позволяет быстро и с большой точностью решать задачи геометрического конструирования поверхностей, вычислять основные технические и экономические характеристики различных вариантов решения задачи и выбирать наилучшее, получать качественную визуализацию геометрических объектов, что дает возможность оценить эстетические свойства этих объектов на этапе эскизного проектирования.

Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Эту тему рассматривали в своих трудах А.Л. Подгорный, B.C. Обухова, В.А. Осипов, В.Е. Михайленко, A.M. Тевлин, Ю.Н. Иванов, А.Н. Подкорытов, Г. Рюле и многие другие.

Применение средств вычислительной техники в архитектурно-строительном проектировании изучали такие ученые, как Н. Виннер, Л. Н. Авдотьин, И.И. Котов, B.C. Полозов, Л.Д. Брокер, Л.Г. Дмитриев, К.А. Сазонов, С .И. Ротков, Г.С. Иванов, С.Н. Ковалев и другие.

Среди широко применяемых в настоящее время методов образования поверхностей следует отметить параметрические методы (поверхности Безье, NURBS-noверхности и др.). Эти методы позволяют создавать сложные поверхности на основе сплайнов, которые программно легко реализуются. К недостаткам можно отнести неочевидную связь параметров определителя с геометрической формой разрабатываемой поверхности (в меньшей степени это

относится к NURBS-поверхностям).

Для формообразования моделей поверхностей часто используется каркасно-кинематический метод, в котором двухпараметрическое семейство линий образует каркас поверхности путем перемещения одних линий или поверхностей, называемых образующими, по другим, называемых

направляющими. Этот метод, разработанный академиком Четверухиным Н.Ф., профессорами Котовым И.И., Осиповым В.А. для различных отраслей науки и промышленности, позволяет достаточно просто сформировать электронную модель поверхности в виде координат точек на поверхности и их связей в виде ребер между этими точками. Метод хорошо работает при моделировании гладких поверхностей, обеспечивая непрерывность функции, ее первой и второй производных. Программная реализация данного метода в различных системах проектирования охватывает только простейшие случаи. Имеются ограничения на количество и типы образующих и направляющих. Возникает необходимость, особенно в задачах архитектурно-строительного проектирования, преодоления этих ограничений, не позволяющих адекватно отобразить замысел архитектора в инженерной конструкции.

В данной работе предлагается для задания законов перемещения образующих использовать процессы качения центральных поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии по различным направляющим.

Выбор в качестве перемещающихся объектов поверхностей второго порядка значительно расширяет возможности каркасно-кинематического метода в плане формообразования и дает возможность более простого аналитического описания данных аппаратов и, следовательно, более удобного применения рассматриваемых аппаратов в системах компьютерной графики.

Объект исследования - метод моделирования процессов кинематики поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии.

Предмет исследования - алгоритмы образования поверхностей на основе рассмотренных процессов и их реализация в виде компьютерных программ, реализующих формообразующие функциональные операторы, отсутствующие в известных системах автоматизированного проектирования.

Целью исследования является создание математического аппарата и методики его применения в задачах формообразования на основе каркасно-

кинематического метода.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо

разработать:

- аналитическое описание образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- алгоритмы образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые способы образования поверхностей в архитектурно-строительном проектировании;

- методику применения пакета прикладных программ при решении практических задач архитектурно-строительного проектирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Получены новые наглядные способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

2. Разработана каркасная геометрическая модель, позволяющая повысить наглядность задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

3. Получил развитие кинематический метод качения поверхности

второго порядка в приложении к каркасным моделям.

4. Разработаны математический аппарат и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и поверхности, по двум поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

5. На основе разработанных аналитических зависимостей образования поверхностей создан пакет прикладных программ, позволяющий применять эти методы в архитектурно-строительном проектировании на этапе эскизного проектирования. Данный способ образования поверхностей не реализован ни в одной из ныне существующих компьютерных графических систем. Разработана методика применения пакета прикладных программ в архитектурно-

строительном проектировании.

Практическая ценность и внедрение. Работа выполнена в рамках госбюджетной темы кафедры «Начертательная геометрия и черчение»

Ростовского государственного строительного университета «Геометрическое ■ моделирование пространственных конструкций» № 02910012257.

По результатам проведенных исследований разработан пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые методы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка в архитектурно-строительном проектировании элементов зданий и сооружении. В пакет входят следующие пять программ, зарегистрированных в Роспатенте:

1. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум

пространственным линиям.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по

пространственной линии и торсу.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум

торсам.

4. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям.

5. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные

модели.

Пакет приведенных прикладных программ применялся в или «Проектный институт Калмыкии» для разработки сложных пространственных объектов, в учебном процессе Ростовского государственного строительного университета и Ростовской государственной академии архитектуры и искусства для выполнения студентами курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Положения и выводы диссертации докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и семинарах: международные научно-практические конференции «Строительство - 972012». Ростов-на-Дону; семинар-совещание заведующих кафедр начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики вузов Центральной, Поволжской, Южной, Уральской и Северо-Западной зон РФ. Н.Новгород, 1997; семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин ' вузов Российской Федерации. Н.Новгород, 1998; семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин вузов Российской Федерации. Ростов-на-Дону, 2001.

Основпые положения, выносимые на защиту:

1. Способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

2. Каркасная геометрическая модель, повышающая наглядность задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго

порядка.

3. Развитие кинематического метода качения поверхности второго

порядка в приложении к каркасным моделям.

4. Математический аппарат и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и поверхности, по двум поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатои поверхности.

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 4 монографиях, 60 статьях (16 из них в изданиях, рекомендованных ВАК). Также по материалам диссертации разработано и зарегистрировано в Роспатенте 6 прикладных программ. Список основных публикаций приведен в

конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

шести глав, заключения, списка литературы и семи приложений. Общий объем

диссертации 307 страниц, 273 рисунка, 14 таблиц. Список литературы содержит

230 наименований.

Основное содержание работы Во введении обоснована актуальность темы. Определена цель исследования, поставлены задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, формулируются научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе рассмотрены основные существующие методы образования поверхностей, представлены разработанные методы формирования поверхностей.

Ключевые методы. Конструирование поверхностей ключевыми методами основано на следующих основных положениях:

1. Если между двумя линиями связи вычерчены какие-либо опирающиеся на них кривые, то любую пару из них можно принять за проекции некоторой пространственной линии (рис. 1, а).

2. Любые два многоугольника, опирающиеся на данную систему линий связи, можно принять за проекции некоторого пространственного многоугольника (рис. 1,6).

3. Чтобы определить поверхность на данном контуре, достаточно задать произвольно две проекции одного семейства

линий

поверхности,

а, =6,

2 находящихся по контуру в проекционной связи, и одну проекцию линий второго

А

п

и\ семейства.

а)

в\ б) С,

Для построения поверхности ,

Рис. 1. Ключевой метод

ключевым способом в

рассмотрение вводят две проекции

поверхности, несущие на себе по одной проекции разных семейств линий, и ключ, согласующий проекционные связи этих семейств.

Данный способ образования поверхностей обладает недостаточной наглядностью, так как приходится работать с проекциями поверхности. Также достаточно сложно подобрать условия согласования линий поверхности (ключ)

сплайновой геометрии. К ним относится NURBS (Non-Uniform Rational В-Splines) аппроксимация. Она заключается в определении поверхностей общего вида NURBS-кривыми. NURBS-щмвая определяется набором контрольных точек Bj (рис. 2). В каждой из контрольных точек задается базовая функция, которая определяет как сильно зависит форма кривой от данной контрольной точки. Л^ЛВЗ-поверхность описывается в особом четырехмерном пространстве, в котором каждая управляющая вершина, кроме трех координат х, у, z имеет дополнительную весовую характеристику {weight). Изменяя положение и относительный вес вершины, можно предельно точно управлять формой объекта. Более подробно В-сплайны рассмотрены во второй главе, т.к. в дальнейшем они применяются для аппроксимации опорных поверхностей.

для получения поверхности нужного вида.

Рис. 2. NURBS-кривая

Параметрические методы. В последние годы для создания поверхностей широко применяются параметрические методы. Наибольшее распространение получили методы образования поверхностей на основе

Для использования данного метода, как было показано выше, необходимо

задавать контрольные точки, что не всегда удобно. пппе,елена

Каркасно-кинематический метод. Поверхность может быть определена непрерывным перемещением в пространстве какой-либо линии и^и поверхности. Эти линии и поверхности называются образующими или поизводящими данной поверхности, а сама поверхность -поверхностью. Поверхность, образованная перемещающейся линиеи «т собой геометрическое место различных положении обР=еи линии. Поверхность, образованная перемещением поверхнос.и яв^ огибающей различных положений образующей поверхности. Образованная „ способом поверхность соприкасайся с образующей каждом ее положении вдоль некоторой линии, которая называется

характеристикой кинематической поверхности.

Образующая линия или поверхность, перемещаясь в пространстве по определенному закону, может сохранять свою форму или непрерывно изменять

Проведенный анализ методов и публикаций показал, что одним из основных условий образования поверхностей каркасно-кинематическим методом является задание закона перемещения образующей линии или поверхности. В данной работе предлагается задавать этот закон на основе кинематики поверхностей 2-го порядка. Так же можно связать изменение образующей с изменением поверхности 2-го порядка, если мы имеем перемещающуюся поверхность 2-го порядка переменной геометрии.

Будем считать, что однопараметрическое множество катящихся по определенному закону центральных поверхностей 2-го порядка О,- задано в дискретном виде, то есть в каждом ,-« положении известны координаты точки траектории движения центра поверхности С& у? координаты

соответствующей точки касания первого опорного элемента А^х? у\* г?), координаты соответствующей точки касания второго опорного элемента в{х? У? Углы дилера подвижной системы координат, связанной с

катящейся поверхностью 2-го порядка, относительно исходной - Д, Г,. параметры характеризующие процесс трансформации катящейся

поверхности по отношению к начальному виду. Через а обозначим линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с первым опорным элементом; через Ь - линию, являющуюся совокупностью

точек соприкосновения со вторым опорным элементом; через с - траекторию движения центра поверхности (рис. 3).

Для решения ряда задач конструирования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка рассмотрим алгоритмы расчета и визуализации некоторых пространственных линий, полученных на основе предложенного аппарата. Эти алгоритмы в дальнейшем будут использованы при конструировании поверхностей, траектории движения центра

Рис. 3. Задание аппарата кинематики поверхности второго порядка

Алгоритм расчета и визуализации катящейся поверхности разрабатывается для каждого конкретного случая в зависимости от вида катящейся поверхности и опорных элементов.

Рассмотрим алгоритмы расчета и визуализации следующих линий:

- траектории движения точки, связанной с катящейся поверхностью;

- линии, являющиеся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с направляющими элементами на этой поверхности.

Пусть в подвижной системе координат, связанной с катящейся поверхностью, задана точка, координаты которой г{х° у" г0)-В начальном положении оси подвижной системы координат параллельны осям неподвижной системы координат. Перемещаясь в пространстве вместе со сферой, заданная точка опишет некоторую кривую с1 (рис. 4). Координаты точки этой линии в неподвижной системе координат, в /-м

Рис. 4. Траектория точки, связанной с катящейся поверхностью

о (х,° у? 2,°) МОЖНО вычислить по

положении катящейся поверхности следующей формуле: ,

(У / у° м.гМ*. у>

где - матрица преобразования обусловленного изменением

параметров катящейся поверхности 2-го порядка, А(«,,/Ы - матрица преобразования Эйлера, обусловленного поворотом подвижной системы

координат относительно исходной.

Рассмотрим параметры, характеризующие процесс деформации

центральной поверхности 2-го порядка, т.е. вид матрицы к'у, к:). Пусть в

некоторой системе координат центральная поверхность 2-го порядка задана

каноническим уравнением:

аих2+а22у2+а}^2+1 = 0. (2)

Рассмотрим преобразование пространства, переводящее поверхность 2-го порядка (2) в поверхность 2-го порядка того же класса, уравнение которой

имеет вид:

-'2 +1 = 0. (3)

а„х'2 + а22у'2 Приведем матрицу этого преобразования:

(к. О 0 4

V

О к. О

О

'у

О к.

(4)

где

Таким образом, каждая точка пространства,

о,,' г аг2

с координатами х,у,г, после преобразования, определяемого матрицей (4), будет иметь координаты (х' / г')=(х у г)хА(кх,ку,к:).

Следовательно, процесс деформации поверхности определяется значениями кх.ку,к. в матрице преобразования (4). Если

деформация поверхности отсутствует или мы ее не учитываем, то принимаем кх=ку=к._= 1.

Обозначим линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения с

Рис. 5. Линии - совокупность

точек соприкосновения с направляющими элементами

первым опорным элементом на поверхности, через е, точку этой линии, соответствующую /-му положению поверхности, обозначим через Е,.(х,£ Аналогично, линию, являющуюся совокупностью точек

соприкосновения со вторым опорным элементом, обозначим через /, точку этой линии, соответствующую /-му положению поверхности, обозначим через МХГ >'Г -Г) (Рис- 5>- Координаты точек искомых линий вычислим по следующим соотношениям:

где Л"'(а,,Д,у,) ~ матрица обратного преобразования Эйлера.

Приведем алгоритмы расчета и визуализации линейчатых поверхностей, полученных на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Рассмотрим следующие алгоритмы:

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра, и соответствующие точки

касания на опорных элементах;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных линиях;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.

Поверхности будем задавать в виде линейчатых каркасов.

На рис. 6 показаны линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки С, и А,, или С, и В,. Данные поверхности содержат линии а и Ъ. Отсеки таких поверхностей, ограниченные траекторией движения центра движущейся поверхности и линиями а или Ь, состоят из отрезков прямых одинаковой длины.

Рис.6. Поверхность - совокупность прямых, проходящих через точки траектории центра и точки касания на опорных элементах

Рис. 7. Поверхность - совокупность прямых, проходящих через точки касания на опорных элементах

Линейчатые поверхности могут быть получены как совокупность прямых, проходящих через соответствующие точки А„ и В1 (рис. 7). Данные поверхности содержат линии а и Ь. Будем изображать отсеки этих

поверхностей, ограниченные линиями а и Ь.

Рассмотрим линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Е, и (рис. 8). Данные поверхности содержат линии ей/. Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями ей/. Рассмотренная поверхность

является изгибанием предыдущей поверхности.

Приведем построение

поверхностей:

- являющихся огибающими однопараметрического множества катящихся поверхностей 2-го порядка;

- являющихся совокупностью окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

Рис. 8. Поверхность - совокупность прямых, проходящих через точки касания опорных элементов на катящейся поверхности

Визуализацию огибающих поверхностей будем производить сечениями катящейся поверхности, плоскостями яг,, проходящими через точку траектории движения центра С, и соответствующие точки соприкосновения с

опорными элементами А„В, (рис. 9). Рассматриваемые поверхности содержат линии а и Ь. Если в качестве катящейся поверхности взята сфера, то огибающие поверхности будут циклическими, состоящими из дуг одинакового радиуса, равного радиусу сферы.

Рис. 9. Поверхность, огибающая катящиеся поверхности второго порядка

Рис. 10. Поверхность - совокупность окружностей, проходящих через точку траектории центра и точки касания на опорных элементах

Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах, содержат опорные линии (рис.10).

Рассмотрим ротативные поверхности, полученные на основе аппарата

кинематики поверхностей 2-го порядка.

Разработаны алгоритмы построения следующих ротативных

поверхностей:

- линейчатых, образованных перемещающейся прямой;

- циклических, образованных перемещающейся дугой окружности;

- общего вида, образованных перемещающейся произвольной

пространственной линией.

Если с катящейся поверхностью 2-го порядка связать линию, то она, двигаясь вместе с ней, опишет в пространстве некоторую ротативную поверхность (рис. И). В зависимости от вида образующей линии, получаем различные виды ротативных поверхностей.

Рассмотрим торсовые поверхности. Как известно, поверхность, являющаяся совокупностью касательных к пространственной линии, есть торс, а сама линия - ребро возврата этого торса. Торсовые поверхности строились

Рис. 11. Ротагивная поверхность

как совокупностью касательных к пространственным линиям, полученным в результате кинематики поверхностей

2-го порядка.

Далее рассмотрены торсовые поверхности, являющиеся огибающими однопараметрических множеств

плоскостей. Однопараметрические

множества плоскостей получены движением плоскости, связанной с катящейся поверхностью 2-го порядка.

Приведенные в данной главе алгоритмы образования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка положены в основу разработки программных

средств, позволяющих использовать их на практике.

Далее приведен алгоритм построения развертки поверхностей. Рассмотрим построение условной развертки нелинейчатой поверхности

методом триангуляции. Метод триангуляции заключается в следующем. Пусть задана поверхность О (рис. 12). Выделим два набора

пересекающихся линий, принадлежащих заданной поверхности (сеть). Рассмотрим отсек поверхности A BCD. Заменим отрезки линий, ограничивающих отсек поверхности ABCD, на хорды. Построим на плоскости натуральные величины треугольников ABC и ADC. Плоский четырехугольник A'B'C'D' считается условной разверткой отсека A BCD поверхности £2. Проделывая описанную выше операцию для каждой ячеики поверхности Q, получим ее условную развертку. Вы числив площади треугольников ABC и ADC и сложив их, получим приближенную площадь отсека A'B'C'D'. Пример построения развертки поверхности (рис. 13) приведен

на рис. 14.

В'

А'

С'

D'

Рис. 12. Развертка поверхности методом триангуляции

Рис. 13. Заданная поверхность

На основе метода триангуляции разработаны

алгоритм преобразования каркасных моделей поверхностей в полигональные, т.к. полигональные модели дают более наглядное представление о поверхности, и алгоритм расчета площадей отсеков поверхностей. На рис.

15,а представлена каркасная модель поверхности, на рис. 15, б эта поверхность приведена в виде полигональной модели.

1

й 111,11 I Ш и Й"'

Рис. 14. Развертка поверхности

Рис. 15. Преобразование каркасной модели поверхности в полигональную модель

Во второй главе рассмотрено конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям. Как было показано в главе 1, поверхности, разработанные на основе данного аппарата,

могут содержать направляющие линии. Поэтому в качестве направляющих можно взять реальные линии, что значительно упрощает сборку и стыковку отсеков поверхностей, полученных на основе рассматриваемого аппарата.

Рассмотрим процесс качения без проскальзывания сферы, заданного радиуса по двум направляющим пространственным линиям.

Будем считать, что опорные линии заданы в виде дискретных точечных

рядов. Линия а задана точками ЛДх? у* *?), где . . ......... линия Ь -

точками В^х) у) х)\ где ] = 1,2, ...,т.

Выполним аппроксимацию точечных рядов, определяющих опорные линий а и Ъ, В-сплайнами. Получим уравнения опорных линий г-га(и);

г=гь(у). _

Пусть по заданным кривым катится сфера, радиус которой равен К Множество положений сферы, заданного радиуса, в пространстве является трехпараметрическим множеством («>3). Накладывая на положение сферы условие касания кривой а, получим двухпараметрическое множество (<*>)._ Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривои Ъ, получим однопараметрическое множество (со1), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии а в каждой точке этой линии, получим поверхность, эквидистантную заданной линии. Эта поверхность является каналовой поверхностью с направляющей линией а, ее уравнение имеет вид:

|(х - (и))2 +(У-Уа (и))2 + (2 - га (м))2 - Л2 = 0; (5)

\(х-ха(и))ха(и) + (у ■- уа(и))у2(и) + (г - га(«Ж(«) = °>

_ . . ,, , _ <Ьса{и)

где *„(«), У Ли), - координаты вектора г», ха(и)~ ^ ,

у = 2'а(и) = .^л*4) _ координаты вектора г'(и) = ■

¿и а?и 11

Такой же каналовой поверхностью с опорной линией Ь является геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся кривой Ъ:

их-хь(г))2+(у-уь^))2+(г-2ь(*))2-К2 = 0: (6)

|(х-х4(у)К(у) + (у-л(v))X(v) + (г -г»К(у) = 0,

где

л (у),

¿УьЬ>)

координаты вектора гь (у), х'ь (у) =

¿М у)

(¿V '

А4(у)

- координаты вектора г'ь (V) =

¿/у ¿/у сЬ>

Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой а и кривой Ь, лежат на линии пересечения каналовых поверхностей (5) и (6) (рис. 16). Уравнение этой линии определяется следующей системой:

(*- Г»)2 +(У-Уа(и)? +(2~2а(и))2

Я2 =0:

(х - х„ (и))х'а (и) + (у - уа (и))у'а (и) + (г-га (и))г'а (и) = 0;

(х-х6(у))2 +0>-Л(у))2 у))2 - Л2 =0;

(х - х, (у))*;(у) + (у - .у,(у))Х (у) +(г~гь (у))4 (у) = 0.

(7)

Л

Рис. 16. Каналовые поверхности, определяющие траекторию центра сферы

В качестве параметра искомой линии пересечения возьмем параметр линии а - и. Для определения координат точек линии пересечения решим систему (7) методом Ньютона. Обозначим:

/¡=(*- х»)2 + (у ■- Уа О'))2 + О'))2 -К2',

/2 = (х - хя (и))х'а(и) + (у - уа(и))Уа (и) + (2 - ¿„(«^(м);

/з = (X - хл (V))2 + (>• - >•„ (V))2 + (г - (У))2 - Л2;

/4 = (х - хь(у))х'ь(у) + (у - уь(у))у'ь( у) + (2 - г4(у))2-;(у).

Продифференцируем уравнения (8) по х, у, г, V. Получим:

& = 2(х - X, (V)); = 2(>. - Л ( V)); & = (* - (V)); <9>а)

8х ду се

^ = -2(х - л4 (у))л-; (v) - 2(>> - д'^жм - 2(2 - гД уЖ(у);

ду

дх ду д~

М* = +(х- хДу)К'(у) - у'2 Ну- Уь(*))у"ь(у) - х'ь2 +(*-(9'б> Зу

„ . ¿2хь(у) , л ¿::.Уь(у) _ координаты вектора

Пусть х„ >-„ 2„ V, - некоторое приближение искомых параметров. Для нахождения приращения параметров Дг„ Ду„ Л-л, Ду„ на /-м шаге итерации, решаем следующую систему линейных уравнений:

дх ду дг ду

, ас ду ' дг ду

Значения функций (8) и их производных (9, а), (9, б) в системе (10), берутся при х = х(,у = у„2 = г1. Следующие приближения параметров

вычисляется по формулам:

х1+1 = х( + Ах,; Ум = У< + АУ/! 2м = + = +

Процесс итерации завершается, когда максимальное по модулю значение приращения параметра меньше заданной точности е.

Таким образом, решив систему (7) при заданном значении параметра и, определим координаты х, у, г - точки траектории центра сферы и параметры точек соприкосновения сферы с опорными линиями и и V.

После проведенных преобразований найдем углы Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, относительно исходной системы координат.

На рис. 17, а приведен пример линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точку центра, и соответствующие точки соприкосновения на опорных линиях, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям. На рис. 17, б приведены развертки этих поверхностей.

100

б)

Рис. 17. Пример поверхности, полученной на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям

В третьей главе описан аппарат кинематики сферы по пространственной

линии и поверхности.

В качестве опорной поверхности можно использовать реальные поверхности, входящие, например, в состав строительных конструкций, что значительно упрощает стыковку полученных отсеков поверхностей.

Пусть опорная линия а и опорная нелинейчатая поверхность П заданы в виде векторных уравнений г =?.(/); г =гп(и,у). Если линия или поверхность не имеют аналитического описания, то выполняем их аппроксимацию В-сплайнами.

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с линией а, представляет собой каналовую поверхность К, ее уравнение аналогично (5).

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с поверхностью П, представляет собой эквидистантную ей поверхность П':

Г=Гп(Н,У) + йп(!»,У)Д. О1)

где Яп(и,у)- единичный вектор нормали поверхности, К - радиус сферы. Следовательно, для определения траектории центра сферы необходимо построить линию пересечения поверхностей К и £Г (рис. 18). Для этого запишем систему уравнений, состоящую из уравнений системы (5) и (11) в координатной форме:

\х - хЛО)2 +(У- У ЛОГ + (г - 2а0))2 - Я2 = 0;

(.X - ха(0)х'а (/) + {у- У О (0 )Уа О) + (Г - 2аиж (0 = 0;

уп(и,г) + у?,(",у)Л-у = 0;

*п(и,у)+ *£(«, *)Л- = = 0.

Решив систему (12), определим траекторию центра сферы и линию ее соприкосновения с заданной поверхностью. Аппарат качения сферы по линии и поверхности эквивалентен аппарату качения сферы по двум линиям - по заданной линии а и линии, по которой сфера соприкасается с заданной поверхностью. Поэтому углы Эйлера, системы координат связанной с катящейся поверхностью, определяются тем же способом, что и в главе 2.

X г

Рис. 18. Каналовая и эквидистантная поверхности, определяющие траекторию центра

сферы

Примеры поверхностей,

полученных на основе данного аппарата, приведены на рис. 19, а и 19, б. На рис. 19, а показана линейчатая поверхность, являющаяся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра сферы и соответствующие тоски

соприкосновения с опорными элементами. На рис. 19,6 показана ротативная циклическая поверхность.

В четвертой главе

рассмотрены методы конструирования поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

Зададим в аппарате кинематики поверхностей в качестве опорных элементов две нелинейчатые поверхности г=гъ СМ); г=га(и^). Если поверхности не имели аналитического описания, то выполнялась их аппроксимация В-сплайнами.

Рис. 20. Эквидистантные поверхности, определяющие траекторию центра сферы

Рис. 19. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям и

Множество точек, в которых находятся центры сфер,

соприкасающиеся с заданными поверхностями, представляет собой эквидистантные поверхности, обозначим их через X' и £2' (рис. 20).

Для определения траектории центра сферы необходимо определить линию пересечения поверхностей X' и Запишем систему уравнений, в которой первым будет уравнение поверхности вторым - поверхности О:

Гг = ^(«,0 + ^(5,0*; п

В координатной форме система (13) имеет вид: XV (■?,/) + =

2,(5,0 + г£(5,/)Л-Г = 0; хп(и, V) + Хп(и,0Л - -X = 0;

(и, у) + (м, у)Л - г = 0.

Решив систему (14), определим траекторию центра сферы и линии ее соприкосновения с опорными поверхностями. Аппарат качения сферы по двум поверхностям, как и аппарат, описанный в главе 3, эквивалентен аппарату качения сферы по двум линиям, по которым сфера соприкасается с заданными поверхностями.

Примеры полученных поверхностей приведены на рис. 21, а и 21, б.

В пятой главе рассмотрены методы конструирования поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

Класс поверхностей, получаемых на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка, может быть значительно расширен, если использовать катящиеся поверхности 2-го порядка с изменяемыми по заданному закону параметрами.

Пусть задана линейчатая поверхность П в виде дискретного линейчатого каркаса. Известно, что через любые три скрещивающиеся прямые проходит единственная линейчатая поверхность 2-го порядка. Если скрещивающиеся прямые параллельны некоторой плоскости, то поверхность, проходящая через них, является гиперболическим параболоидом, если прямые не имеют общей плоскости параллелизма, то через них проходит однополостный гиперболоид.

, 21. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения сферы по поверхностям

Таким образом, для любых трех обыкновенных образующих произвольной поверхности О, находящихся на малых расстояниях между собой, можно построить единственную линейчатую поверхность 2-го порядка СУ, проходящую через выбранные образующие и имеющую в каждои точке области, ограниченной крайними выбранными образующими, общие касательные с заданной поверхностью О. Построив поверхности 2-го порядка,

проходящие через линейчатые образующие заданной поверхности, можно ее представить как огибающую эта поверхности 2-го порядка.

Следовательно, любую линейчатую поверхность, не имеющую торсовых образующих, можно представить как поверхность, огибающую однопараметрическое множество линейчатых поверхностей 2-го порядка (однополостных гиперболоидов или гиперболических параболоидов).

Рассмотрим вопрос построения поверхности 2-го порядка, проходящей через три заданные скрещивающиеся прямые. Пусть каждая из^ трех скрещивающихся прямых задана двумя точками А,(х'а у'А г'А) и В (х'в у'в 4 ) > где ' = !> 2>3 • Уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: аих2+а21У +аУУ + 2апхУ^2а1,х2 + 2а2,^ + +2аих + 2а21У + 2а^ + аи =0. (15) Уравнение (15) имеет девять независимых параметров, поэтому для их определения необходимы девять условий. В качестве условий потребуем, чтобы уравнение (15) выполнялось для трех точек, лежащих на каждой из заданных скрещивающихся прямых. Две точки - это точки А, и В,, определяющие прямую, в качестве третьей точки возьмем середину отрезка [ЛД], которую обозначим через С,(х'с у'с 4)- Подставив координаты точек Д., В„ С, в уравнение (15), получим следующую систему линейных уравнений относительно коэффициентов поверхности 2-го порядка а у:

а, ххпА + а22у'А2 + + 2апх'А/А + 2апх\г'л + 2 а2М + + 2аХ4х'А + 2а24у\А + 2 аиг'А + а44 = 0;

,42 + «22 У в + °33 4 + + + 2«23 У'вЛ + (16)

+ 2а14х'в + 2 а24у'в + 2 а34г'в + ам=0; а, + а22у'с + а»42 + ^пАу'с + Мг^с + 2а2зУс4 + + 2 аих'с + 2а24у'с + 2 а34г'с + а44 = О,

где / = 1,2,3. Приняв аи = 1 и решив систему линейных уравнений (16), получим значения коэффициентов а,ч в уравнении (15).

Для осуществления процесса качения гиперболоидов друг по другу в некоторой области необходимо, чтобы в соответствующих точках этих областей обе поверхности имели общую основную метрическую форму, т.е. область одного гиперболоида являлась изгибанием соответствующей области

другого.

Лг2

Вп

О-, = Л22 = В22 = К 2 — ¿2

Пусть нам задан однонолостной гиперболоид. Выделим на нем три линейчатые образующие одного семейства, находящиеся на малом расстоянии между собой. Построим другой однополостной гиперболоид таким образом, чтобы он содержал изгибание области заданного гиперболоида, ограниченной выделенными крайними образующими.

Зададим каждую из выделенных на исходном гиперболоиде образующих двумя точками Д. (х', у'л г'А) и В,(х'п у'в г'в), где / = 1,2,3. Сделаем такое преобразо--вание системы координат, чтобы образующая, заданная точками А2,В2, в новой системе координат стала фронтально-проецирующей прямой и проходила через начало координат, и прямая, перпендикулярная образующей ЛД, была параллельна оси Ох (рис. 22). Повернем образующую А3В3 вокруг оси Оу на угол 21Р. Таким образом, мы получим новое расположение образующих -с теми же расстояниями между соответствующими точками, что и в исходном положении.

Построим однополостный гиперболоид, проходящий через скрещивающиеся прямые Щ, А2В2 и А3В} методом, описанным выше. Полученный гиперболоид имеет область, ограниченную образующими АД и А3В3, в каждой точке которой основная метрическая форма та же, что и в соответствующей точке области исходного гиперболоида, ограниченной образующими А, В, и А3В3. Следовательно, можно привести в соприкосновение эти два гиперболоида по соответствующим образующим, лежащим в областях, имеющих одинаковые основные метрические формы. Кроме этого можно осуществить качение одного гиперболоида по другому в пределах этих областей.

Рассмотрим вопрос качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

X, / Вгх ' Ви А/,

\

А2\ !

Рис. 22. Преобразование определяющих образующих

Поверхность а"

Рис. 23. Качение однополостного гиперболоида переменных параметров по линейчатой

поверхности

Пусть задана произвольная линейчатая поверхность П. Выделим три линейчатые образующие поверхности П, лежащие на малых расстояниях между собой - /,,„/„(рис. 23). Будем считать, что эти образующие обыкновенные и не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид П', проходящий через выделенные образующие. Как было показано ранее, метрические свойства поверхности П и построенного гиперболоида П' в области, ограниченной образующими /,_, и !м, совпадают. Методом, описанным выше, построим однополостный гиперболоид П\ имеющий область между образующими /,'_, и /Д, с той же основной метрической формой, что и в области, заключенной между образующими /,., и /,+|, гиперболоида П'. Выделим образующую т' гиперболоида О', в области между образующими /,. и /,ч1. Выделим образующую Ш гиперболоида О.', находящуюся между образующими 1]' и /,'+1, на тех же расстояниях от них, что и т' от /, и /,+1. Приводим гиперболоиды П' и П' в соприкосновение вдоль образующих т' и т'.

Выделим следующую образующую /,+2 поверхности О, находящуюся на малом расстоянии от образующей /,.+1 (рис. 23). Будем считать, что образующая /,ч, не торсовая и образующие /,, 1М, /1+2 не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид £2", проходящий через образующие /,., /,+1, /,ч2• Построим однополостный гиперболоид 0", имеющий область, ограниченную образующими /* и 1,"+2, с той же основной метрической формой, что и в области гиперболоида £2", ограниченной образующими /,. и

Найдем образующую гиперболоида £2" - от', находящуюся между образующими I" и /,*,, на тех же расстояниях от них, что и /и' от /,. и /,+1. Выделим образующую т" гиперболоида £2", лежащую между образующими /,+1 и , и образующую гиперболоида £2" - т", находящуюся между образующими /Д, и /,'+2, на тех же расстояниях от них, что и т" от /,+1 и /1+2.

Гиперболоиды £2' и £2" имеют общую область, ограниченную образующими /,. и 1М. Следовательно, гиперболоид £2" можно привести в соприкосновение и с £2' и £2" вдоль образующих т' и т\ Таким образом, если трансформировать гиперболоид £2' в П", то соприкосновение вдоль образующих т' и т' с гиперболоидами £2' и £2", а значит и с поверхностью £2, не нарушится. Но гиперболоид £2" имеет в области между образующими /,", и 1"+2, ту же основную метрическую форму, что и в соответствующей области гиперболоида £2", поэтому гиперболоид £2" непрерывным качением можно привести в соприкосновение с гиперболоидом £2" здоль образующих т" и т". Далее выбираем следующую образующую поверхности £2 и, проделав описанные выше действия, перекатываем гиперболоид в следующую область

заданной линейчатой поверхности.

Пример ротативной циклической поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата с учетом деформации, приведен на рис. 24,а, без учета деформации - на рис. 24, б. На рисунках через <1, ¿Г, ¿Г обозначены траектории точек, задающих образующую дугу окружности.

Рис. 24. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения однополостного гиперболоида по линейчатой поверхности

В шестой главе описаны пакеты прикладных программ, разработанные на основе приведенных исследований, и показана методика их применения в архитектурно-строительном проектировании. Приведены примеры зданий и сооружений, разработанных с использованием предложенных методик.

По заказу кафедры архитектуры и градостроительства Ростовского государственного строительного университета был составлен каталог ряда поверхностей, разработанных по предложенной методике. Каждая поверхность, входящая в каталог, имеет трехзначный номер. Первая цифра номера поверхности определяет расположение опорных эллипсов в плане (1 или 2), вторая - расположение опорных эллипсов на профильной проекции (1,2 или 3) и третья - тип поверхности (1, 2, 3 или 4). Полученные поверхности приведены в табл. 1. В качестве направляющих рассматривались симметричные дуги эллипсов, лежащие в одной плоскости или в разных плоскостях.

Таблица 1

Каталог отсеков_________-

11* 12* 13* 21* 22* 23*

**1

**2 гр Ф щ/г

**3 & 0>

**4 - ) ф 4Р"

В табл. 2 приведены параметры опорных эллипсов. Через й обозначено расстояние между центрами дуг эллипсов в условных единицах, через а - угол наклона плоскости эллипса к горизонтальной плоскости в градусах, а, Ъ -полуоси эллипса в условных единицах, Л - радиус катящейся окружности в условных единицах.

Таблица 2

№

Шифр 11* 12* 13* 21* 22* 23*

Параметры отсеков

200 200 200" 20С" 200~ 200

100 100 100 100 100 100

150 150 150

а

30 30

о

30 30

к 100 100 100 100 100 100

Разработанный каталог позволяет проектировщику быстрее найти нужное решение при использовании разработанного программного обеспечения в архитектурно-строительном проектировании.

Осно вные результаты и выводы

1. Произведен анализ основных методов образования поверхностей. В результате анализа выявлена необходимость расширения аналитических алгоритмов, определяющих законы перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе.

2. Разработаны наглядные способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе качения центральных поверхностей второго порядка по различным направляющим.

3. Разработаны алгоритмы образования поверхностей, имеющие

следующие преимущества:

- позволяют получит!, поверхности, которые включают в себя заданные

линии и поверхности, что значительно упрощает вопросы стыковки отсеков

различных типов поверхностей;

- обеспечивают наглядность выбора параметров при получении

поверхностей заданного вида;

- технологичны в производстве и могут быть легко воспроизведены в

реальности.

4. Разработаны аналитические зависимости, описывающие аппарат образования поверхностей на основе качения сферы по двум опорным линиям. В качестве опорных линий могут быть выбраны плоские или пространственные линии, заданные в аналитическом виде или в виде дискретного точечного каркаса. Для случая, когда опорная линия задана в виде точечного каркаса, создан алгоритм аппроксимации заданных точек полиномиальными В-сплайнами.

5. Разработан комплекс алгоритмов образования поверхностей на основе аппарата качения сферы по линии и поверхности, по двум поверхностям. В качестве опорных поверхностей могут быть использованы развертываемые (торсовые) или неразвертываемые поверхности. Если опорная поверхность не имеет аналитического описания, то применяется созданный алгоритм аппроксимации поверхности полиномиальными В-сплайнами.

6. Разработан алгоритм образования поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности. Использование в аппарате поверхности второго порядка переменной геометрии значительно расширяет возможности данного аппарата.

7. Разработаны и реализованы программные средства образования различных типов поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка, позволяющие значительно расширить возможности синтеза поверхностей в системах автоматизированного проектирования на основе каркасно-кинематического метода.

8. На основе рассмотренных аналитических зависимостей созданы пакеты прикладных программ, позволяющие применять предложенный комплекс алгоритмов образования поверхностей в практических задачах архитектурно-строительного проектирования. Разработанные программные продукты могут быть использованы как в качестве самостоятельных программ, так и в качестве модулей образования поверхностей в архитектурно-строительных системах автоматизированного проектирования.

9. Разработана общая методика применения пакетов прикладных программ при проектировании зданий и сооружений и каталог генерируемых моделей поверхностей.

Основные публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях рекомендованных ВАК:

1. Замятии, A.B. Выявление новых типов геометрических соответствий на основе аппарата кинематики сферы [Текст] / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005. -№ 1.- С. 31-34.

2. Замятин, A.B. Образование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / A.B. Замятин // Вестник ИжГТУ.-2007. -№3. -С. 120-122.

3. Замятин, A.B. Конструирование циклических поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / A.B. Замятин // Вестник ИжГТУ.-2007.-№3. -С. 132-134.

4. Замятин, A.B. Выявление геометрических соответствий на основе кинематики поверхностей 2-го порядка переменной геометрии [Текст] / A.B. Замятин // Вестник ИжГТУ. - 2007. - № 4. - С. 69-71.

5. Замятин, A.B. Выявление новых типов геометрических соответствий при качении сферы по различным направляющим элементам [Текст] / A.B. Замятин // Вестник ИжГТУ. - 2007. - №4. - С. 71-74.

6. Замятин, A.B. Алгоритмы визуализации нелинейчатых поверхностей [Текст] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 20 i 0. - JV» 6. - С. 30-39.

7. Замятин, A.B. Формообразование поверхностей на основе аппарата качения сферы по поверхностям общего вида [Текст] / A.B. Замятин, В. В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2011. - №1. - С. 20-23.

8. Замятин, A.B. Алгоритм построения линии пересечения поверхностей общего вида [Текст] / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2011. - № 2. - С. 100-102.

9. Замятин, A.B. Один из методов аппроксимации отсека нелинейчатой поверхности [Текст] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2012. - № 5.-С. 49-51.

Ю.Замятин, A.B. Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей с прямыми в среде ObjectARX для AutoCAD [Электронный ресурс] / A.B. Замятин // Инженерный вестник Дона. - 2010. -№3. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/issue/95/ (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

11. Замятин, А. В. Алгоритм расчёта вторых отражений на основе геометрической модели [Электронный ресурс] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова // Науковедение. - 20 i 2. - №3. - Режим доступа: http://naukovedenie.ru/sbornikl 2/12-88.pdf (доступ свободный) - Загл. с экрана. -Яз. рус.

12. Замятин, А. В. Алгоритм расчёта первых отражений на основе геометрической модели ¡Электронный ресурс] / A.B. Замятин, В.В.

Сухомлинова // Науковедение. - 2012. - №3. - Режим доступа: ■ http://naukovedenie.ru/sbomikl2/12-89.pdf (доступ свободный) - Загл. с экрана.

Яз. рус.

13 Замятин, А. В. Алгоритм аппроксимации поверхности сплаинами [Электронный ресурс] / A.B. Замятин, А.Е. Кубарев, Е.А. Замятина // Науковедение. - 2012. - № 3. - Режим доступа: http://naukovedeme.ru/ sbornikl2/12-90.pdf (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

14 Замятин А. В. Алгоритм сплайн-аппроксимации нелинейчатои

поверхности [Эле,сгронный ресурс] / A.B. Замятин, А.Е. Кубарев, Е.А Замятина// Науковедение. - 2012. - №3. - Режим доступа: http://naukovedeme.ru/ sbornikl2/12-9l.pdf (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

15 Замятин, А. В. Алгоритм построения линии пересечения каналовых поверхностей [Электронный ресурс] / A.B. Замятин, Е.А. Замятина // Науковедение. - 2012. - № 4. - Режим доступа: http://naukovedeme.rn/PDF/ 18trgsu412.pdf (доступ свободный) - Загл. с экрана. -Яз. рус.

16 Замятин, A.B. Алгоритм построения развертки поверхностей [Электронный ресурс] / A.B. Замятин, Е.А. Замятина // Инженерный вестник Дона. - 2012. - № 4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/ п4р2у2012/1233 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

Монографии:

17. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы [Текст] / A.B. Замятин. -Элиста: Джангр, 2001. -107 с. :ил.

18 Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе, кинематики сферы (часть 2) [Текст] / A.B. Замятин. - Элиста: Джангр, 2002. -79 с. :ил.

19 Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям [Текст] / A.B. Замятин. -Элиста: Джангр, 2002. -71 с. :ил.

20 Замятин, A.B. Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / A.B. Замятин. -Ростов-на-Дону: Издательство РГСУ, 2005. -190 с. :ил.

Статьи в сборниках научных/прудов:

о 1 Замятин, A.B. Кинематика сферы [Текст] / А.Л. Мартиросов, A.B. Замятин, Г.С. Рачковская // Прикладная геометрия и инженерная графика. -

Киев: КДТУБА. - 1997. - Вып. 61. - С. 168-171.

99 Замятин, A.B. Новые способы образования оболочек на основе

кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / A.B. Замятин // Известия

высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -

2004. - Приложение № 9. - С. 93-98.

23 Замятин, A.B. Образование циклических поверхностей на основе

кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / A.B. Замятин // Известия

высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -

2004. - Приложение № 9. -С. 99-104.

24. Замятин, A.B. Аппроксимация порции поверхности по методу Ферпосона [Текст] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2006. -

Приложение № 2. - С. 58-60.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

25. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610676. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем.

Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. - С. 144.

26. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610675. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. - С. 144.

27 Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610674. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный

бюллетень ФИПС. №2, 2003. - С. 144.

28. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения

однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым

поверхностям [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610673. Программы для ЭВМ,

базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС.

№2, 2003.-С. 143-144.

29 Замятин, A.B. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610672. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный

бюллетень ФИПС. №2, 2003.-С. 143.

30. Замятин, A.B. Расчет акустических параметров помещении сложной формы [Текст] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова / Св. №2006610222. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. 2005.

Подписано в печать /Л- г, Формат 60x90 1/16

Бумага газетная. Печать трафаретная. Объем 2,0 печ.л Тираж 100 экз. Заказ № <52 7

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950. Н.Новгород, Ильинская, 65 Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская. 65

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ростовский государственный строительный университет»

На правах рукописи

05201351609 /7 , л

Замятин Александр Витальевич

РАЗВИТИЕ КАРКАСНО-КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ СЛОЖНО-СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант -доктор технических наук, профессор Ротков С.И.

Ростов-на-Дону - 2013

Содержание

Введение.................................................................................. 5

1. Способы конструирования поверхностей...................................... 11

1.1 .Обзор основных способов конструирования поверхностей............ 11

1.1.1. Ключевой метод........................................................... 11

1.1.2. Параметрические методы............................................... 12

1.1.3. Каркасно-кинематический метод...................................... 12

1.2.Образование линий и поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей второго порядка........................................... 15

1.2.1. Конструирование линий................................................... 15

1.2.1.1. Общий алгоритм построения линий.......................... 16

1.2.1.2. Построение траектории движения точки, связанной с катящейся поверхностью....................................... 17

1.2.1.3. Построение линии, являющейся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с направляющими элементами на этой поверхности................ 18

1.2.2. Конструирование линейчатых поверхностей....................... 19

1.2.2.1. Общий алгоритм построения линейчатых поверхностей 19

1.2.2.2. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.......... 21

1.2.2.3. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных элементах................................................... 21

1.2.2.4. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.............................................. 21

1.2.3. Конструирование огибающих и циклических поверхностей... 22

1.2.3.1. Огибающие поверхности....................................... 23

1.2.3.2. Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах........................................................... 24

1.2.4. Конструирование ротативных поверхностей......................... 24

1.2.4.1. Ротативные линейчатые поверхности.......................... 24

1.2.4.2. Ротативные циклические поверхности....................... 25

1.2.4.3. Ротативные поверхности общего вида.......................... 25

1.2.5. Конструирование торсовых поверхностей.......................... 27

1.2.5.1. Торсовые поверхности, являющиеся совокупностью касательных к пространственной линии..................... 27

1.2.5.2. Торсовые поверхности, являющиеся огибающими од-нопараметрического множества плоскостей................... 28

1.3.Развертка поверхностей....................................................... 32

1.3.1. Развертка торсовых поверхностей........................................................................32

1.3.2. Развертка нелинейчатых поверхностей............................................................36

1.4.Построение полигональных моделей..............................................................................42

1.4.1. Построение полигональных моделей торсов................................................42

1.4.2. Построение полигональных моделей нелинейчатых поверхностей............................................................................................................................................................................................43

1.5.Выводы по главе 1............................................................................................................................47

2. Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям..................................................................................................49

2.1.В-сплайн ы................................................................................................................................................49

2.2.Поверхности, эквидистантные пространственным линиям........................55

2.3.Качение сферы по двум пространственным линиям........................................57

2.3.1. Вычисление траектории движения центра сферы, катящейся

по пространственным линиям..................................................................................57

2.3.2. Расчет углов Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, катящейся по пространственным линиям............69

2.4.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям..............................................................................81

2.5.Выводы по главе 2..............................................................................................................................99

3. Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и поверхности..............................................................................100

3.1.Аппроксимация поверхности В-сплайнами..............................................................100

3.2.Эквидистантные поверхности..................................................................................................108

3.2.1. Поверхности, эквидистантные нелинейчатым поверхностям... 109

3.2.2. Поверхности, эквидистантные торсовым поверхностям......................112

3.2.3. Поверхности, эквидистантные линейчатым поверхностям............113

3.3.Качение сферы по пространственной линии и торсу........................................117

3.4.Качение сферы по пространственной линии и нелинейчатой поверхности..................................................................................................................................................126

3.5.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и поверхности............................................131

3.6.Выводы по главе 3............................................................................................................................147

4. Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по

двум поверхностям....................................................................................................................................148

4.1 .Качение сферы по двум торсовым поверхностям................................................148

4.2.Качение сферы по двум нелинейчатым поверхностям....................................158

4.3.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по двум поверхностям................................................................................................160

4.4.Выводы по главе 4............................................................................................................................175

5. Конструирование поверхностей на основе аппарата качения однопо-лостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности............................................................................................................................................................176

5.1.Линейчатая поверхность, как огибающая однопараметрическое множество поверхностей 2-го порядка..............................................................................176

5.2.Построение поверхности 2-го порядка, проходящей через три

скрещивающиеся прямые..........................................................................................................180

5.3.Построение однополостного гиперболоида из условия качения по заданному однополостному гиперболоиду................................................................185

5.4.Приведение однополостных гиперболоидов в соприкосновение..........190

5.5.Приведение уравнения центральной поверхности 2-го порядка к каноническому виду........................................................................................................................200

5.6.Качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности..............................................................................................................211

5.7.Поверхности, полученные на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности..................................................................................................................................................224

5.8.Выводы по главе 5..............................................................................................................................229

6. Применение результатов исследования на практике................................................230

6.1 .Описание пакетов прикладных программ......................................................................230

6.2.Общая методика применения разработанного программного обеспечения......................................................................................................................................................232

6.3.Пример применения предложенных пакетов прикладных программ в архитектурно-строительном проектировании....................................235

6.3.1. Разработка каталога некоторых типов поверхностей, полученных на основе предложенных аппаратов..............................................235

6.3.2. Разработка покрытия торгового комплекса................................................243

6.3.3. Разработка покрытия жилого коттеджа................................................................251

6.4..Выводы по главе 6..............................................................................................................................260

Основные результаты и вывод................................................................................................................261

Литература..................................................................................................................................................................263

Приложение 1. Углы Эйлера..............................................................................................................278

Приложение 2. Приведение плоскости общего положения к виду плоскости уровня..................................................................................................................281

Приложение 3. Построение дуги окружности в пространстве............................285

Приложение 4. Алгоритм решения системы линейных уравнений................288

Приложение 5. Свидетельства о регистрации разработанного программного обеспечения....................................................................................291

Приложение 6. Документы, подтверждающие внедрение результатов

разработок на практике....................................................................................296

Приложение 7. Параметры поверхностей, приведенных в примерах............300

Введение

В связи с ускоренным развитием в настоящее время строительной отрасли и тенденциями к нетрадиционным решениям архитектурных задач, появилась необходимость разработки методов проектирования новых типов поверхностей, пригодных к применению в качестве основ создания оболочек в задачах архитектурно-строительного проектирования. Особенно большую практическую ценность имеет реализация новых геометрических способов конструирования поверхностей в виде компьютерных программ. Развитие современных средств вычислительной техники позволяет быстро и с большой точностью решать задачи геометрического конструирования поверхностей, вычислять основные технические и экономические характеристики различных вариантов решения задачи и выбирать наилучшее, получать качественную визуализацию геометрических объектов, что дает возможность оценить эстетические свойства этих объектов на этапе эскизного проектирования.

Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Эту тему рассматривали в своих трудах Н.Ф. Четверухин [214], A.JI. Подгорный [168, 184 - 187], B.C. Обухова [38, 168, 171 - 180, 215], В.А. Осипов [181, 182], В.Е. Михайленко [165 -169], A.M. Тевлин [210], Ю.Н. Иванов [126, 210], А.Н. Подкорытов [126, 188

- 191, 210], Г. Рюле [216] и многие другие [14, 31- 33, 37 - 39, 135 - 140, 142

- 144,217-229].

Применение средств вычислительной техники в архитектурно-строительном проектировании изучали такие ученые, как Н. Виннер [34], Л. Н. Авдотьин [1 - 9, 23], И.И. Котов [133 - 134], B.C. Полозов [134, 194 - 196], Л.Д. Бронер [23 - 28], Л.Г. Дмитриев [10, 49 - 50], К.А. Сазонов [166, 201 -205], С.И. Ротков [194, 200], Г.С. Иванов [124 - 125], С.Н. Ковалев [131] и другие [22, 42, 47, 51].

Среди широко применяемых в настоящее время методов образования поверхностей следует отметить параметрические методы (поверхности Безье, NURBS-поверхности и др.). Эти методы позволяют создавать сложные поверхности на основе сплайнов, которые легко реализуются в виде программных алгоритмов. К недостаткам можно отнести неочевидную связь параметров определителя с геометрической формой разрабатываемой поверхности (в меньшей степени это относится к NURBS-поверхностям).

Для формообразования моделей поверхностей часто используется кар-касно-кинематический метод, в котором двух параметрическое семейство линий образует каркас поверхности путем перемещения одних линий или поверхностей, называемых образующими, по другим, называемых направляющими. Этот метод, разработанный академиком Четверухиным Н.Ф. [214], профессорами Котовым И.И. [133 - 134], Осиповым В.А. [181 - 182] для различных отраслей науки и промышленности, позволяет достаточно просто сформировать электронную модель поверхности в виде координат точек на

поверхности и их связей в виде ребер между этими точками. Этот метод хорошо работает при моделировании гладких поверхностей, обеспечивая непрерывность функции, ее первой и второй производных. Программная реализация данного метода в различных системах проектирования охватывает только простейшие случаи. Имеются ограничения на количество и типы образующих и направляющих. Возникает необходимость, особенно в задачах архитектурно-строительного проектирования, преодоления этих ограничений, не позволяющих адекватно отобразить замысел архитектора в инженерной конструкции.

В данной работе предлагается, для задания законов перемещения образующих, использовать процессы качения центральных поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии по различным направляющим.

Выбор в качестве перемещающихся объектов поверхностей второго порядка значительно расширяет возможности каркасно-кинематического метода в плане формообразования и дает возможность более простого аналитического описания данных аппаратов и, следовательно, более удобного применения рассматриваемых аппаратов в системах компьютерной графики.

Объект исследования - метод моделирования процессов кинематики поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии.

Предмет исследования - алгоритмы образования поверхностей на основе рассмотренных процессов пригодных для применения на практике и их реализация в виде компьютерных программ, реализующих формообразующие функциональные операторы, отсутствующие в известных системах автоматизированного проектирования.

Целью исследования является создание математического аппарата и методики его применения в задачах формообразования на основе каркасно-кинематического метода.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо разработать:

- аналитическое описание образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- алгоритмы образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые способы образования поверхностей в архитектурно-строительном проектировании;

- методику применения пакета прикладных программ при решении практических задач архитектурно-строительного проектирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Получены новые наглядные способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

2. Разработана каркасная геометрическая модель, позволяющая повысить наглядность задания законов перемещения образующих линий и поверх-

ностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

3. Получил развитие кинематический метод качения поверхности второго порядка в приложении к каркасным моделям.

4. Разработаны математический аппарат и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и поверхности, по двум поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

5. На основе предложенных способов образования поверхностей разработан пакет прикладных программ, позволяющий применять эти методы в архитектурно-строительном проектировании на этапе эскизного проектирования. Данный способ образования поверхностей не реализован ни в одной из ныне существующих компьютерных графических систем. Практическая ценность и внедрение. Работа выполнена в рамках госбюджетной темы кафедры «Начертательная геометрия и черчение» Ростовского государственного строительного университета «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257.

По результатам проведенных исследований разработан пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые методы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка в архитектурно-строительном проектировании элементов зданий и сооружений. В пакет входят следующие пять программ, зарегистрированных в Роспатенте:

1. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам.

4. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям.

5. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели.

Пакет приведенных прикладных программ применялся в ОАО «Проектный институт Калмыкии» для разработки сложных пространственных объектов, в учебном процессе Ростовского государственного строительного университета и Ростовской госуд�