автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка

оозоввг^ь

На правах рукописи

Замятин Александр Витальевич

Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка

Специальность 05.13.12 - «Системы автоматизации проектирования (строительство, архитектура)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ростов-на-Дону 2007

003068236

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА В РОСТОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ СТРОИТЕЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

Научный консультант

доктор технических наук, профессор Ротков Сергей Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кузин Геннадий Александрович, доктор технических наук, профессор Мишанин Иван Никифорович, доктор технических наук, профессор Павлов Александр Сергеевич

Защита диссертации состоится «29» мая 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.162.04 при Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, аудитория 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан « 6 » 04 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Ведущая организация

Южный федеральный университет (г. Ростов-на-Дону)

кандидат технических наук, профессор

В.И. Дергунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В связи с ускоренным развитием в настоящее время строительной отрасли и тенденциями к нетрадиционным решениям архитектурных задач, появилась необходимость разработки методов проектирования новых типов поверхностей, пригодных к применению в качестве основ создания оболочек в задачах архитектурно-строительного проектирования. Особенно большую практическую ценность имеет реализация новых геометрических способов конструирования поверхностей в виде компьютерных программ. Развитие современных средств вычислительной техники позволяет быстро и с большой точностью решать задачи геометрического конструирования поверхностей, вычислять основные технические и экономические характеристики различных вариантов решения задачи и выбирать наилучшее, получать качественную визуализацию геометрических объектов, что дает возможность оценить эстетические свойства этих объектов на этапе эскизного проектирования.

Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Эту тему рассматривали в своих трудах А.Л. Подгорный, B.C. Обухова, В.А. Осипов, В.Е. Михайленко, A.M. Тевлин, Ю.Н. Иванов, А.Н. Подкорытов, Г. Рюле и многие другие.

Применение средств вычислительной техники в архитектурно-строительном проектировании изучали такие ученые, как Н. Виннер, JL Н. Ав-дотьин, И.И. Котов, B.C. Полозов, Л.Д. Бронер, Л.Г. Дмитриев, К.А. Сазонов, С.И. Ротков, Г.С. Иванов, С.Н. Ковалев и другие.

Среди широко применяемых в настоящее время методов образования поверхностей следует отметить параметрические методы (поверхности Безье, NURBS-поверхности и др.). Эти методы позволяют создавать сложные поверхности на основе сплайнов, которые легко реализуются в виде программных алгоритмов. К недостаткам можно отнести небольшую прозрачность параметров, определяющих поверхность (в меньшей степени это относится к NURBS-поверхностям).

Широко применяется для образования поверхностей кинематический метод. В данном методе поверхности образуются перемещающейся в пространстве линией или поверхностью, которые называются производящими. При реализации данного метода необходимо задать закон перемещения производящей линии или поверхности. Удобно описать перемещение производящих как процесс качения одних геометрических объектов по другим.

На кафедре начертательной геометрии и черчения Ростовского государственного строительного университета в течение последних лет в рамках госбюджетной темы «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257 проводились исследования по образованию поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей. Данная работа является продолжением и обобщением проведенных ранее исследований. В ней рассмотрены вопросы образования поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка. Выбор в качестве перемещающихся объектов - по-

верхностей 2-го порядка обусловлен возможностью более простого аналитического описания данных аппаратов и, следовательно, более удобного применения рассматриваемых аппаратов в системах компьютерной графики.

Проведенные исследования показали, что конструирование поверхностей на основе предложенных аппаратов обладает рядом следующих преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:

• Большей наглядностью. Это следует из того, что в качестве параметров, определяющих закон движения производящей линии или поверхности и, следовательно, получаемой поверхности, используются не формальные величины, как в большинстве современных методов, а хорошо предста-вимые геометрические параметры опорных элементов и катящихся поверхностей. В этом случае, легко представить какие параметры, и в каком направлении необходимо изменять для получения поверхностей нужной формы.

• Технологичностью в применении. В качестве геометрических элементов, входящих в состав аппарата качения и, следовательно, поверхностей, полученных на основе этого аппарата, могут быть выбраны реальные линии и поверхности, входящие в состав сооружений, что значительно упрощает задачи стыковки отсеков поверхностей с элементами конструкций зданий и сооружений.

• Технологичностью в изготовлении. Формообразование поверхностей на основе кинематики поверхностей, легко реализовать в технологических процессах образования поверхностей, воссоздав аппарат кинематики поверхностей в натуре.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что вопросы конструирования поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка являются актуальными в настоящее время.

Объект исследования — метод моделирования процессов кинематики поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии, алгоритмы образования поверхностей на основе рассмотренных процессов пригодных для применения в архитектурно-строительной практике и их реализация в виде компьютерных программ, реализующих формообразующие функциональные операторы, отсутствующие в известных системах автоматизированного проектирования архитектурно-строительных объектов.

Цель и задачи исследования — создание аналитических моделей процессов качения поверхностей 2-го порядка по различным направляющим, разработка алгоритмов образования поверхностей на основе моделей кинематики поверхностей 2-го порядка, написание пакета прикладных программ, позволяющего использовать предложенные способы в архитектурно-строительном проектировании, разработка методики применения пакета прикладных программ в архитектурно-строительной практике.

Для достижения поставленной цели необходимо разработать:

- аналитическое описание образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- программные алгоритмы образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые способы образования поверхностей в архитектурно-строительном проектировании;

- методику применения пакета прикладных программ при решении практических задач архитектурно-строительного проектирования.

- каталоги образцов поверхностей, полученных на основе предложенных аппаратов, облегчающих проектировщику выбор нужных типов поверхностей.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Получены новые наглядные способы задания законов перемещения производящих линий и поверхностей в кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка.

2. Рассмотрены аналитические и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и торсовой поверхности, по двум торсовым поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

3. На основе предложенных способов образования поверхностей разработан пакет прикладных программ, позволяющий применять эти методы в архитектурно-строительном проектировании на этапе эскизного проектирования. Данный способ образования поверхностей не реализован ни в одной из ныне существующих компьютерных графических систем.

4. Разработана методика применения пакета прикладных программ в архитектурно-строительном проектировании.

Практическая ценность и внедрение. Работа выполнена в рамках госбюджетной темы кафедры «Начертательная геометрия и черчение» Ростовского государственного строительного университета «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257.

По результатам проведенных исследований разработан пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые методы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка в архитектурно-строительном проектировании элементов зданий и сооружений. В пакет входят следующие пять программ, зарегистрированных в Роспатенте:

1. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам.

4. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям.

5. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели.

Пакет приведенных прикладных программ применялся в ОАО «Проектный институт Калмыкии» для разработки сложных пространственных объектов, в учебном процессе Ростовского государственного строительного университета и Ростовской государственной академии архитектуры и искусства для выполнения студентами курсовых и дипломных работ.

Программы разработаны в системе программирования VISUAL С++, версии 6.00, под управлением операционной системы WINDOWS ХР. При разработке проектов были использованы возможности автоматизированной системы подготовки конструкторской документации AutoCAD 2000.

Апробация работы. Положения и выводы диссертации докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научно-практическая конференция «Строительство - 97». Ростов-на-Дону, 1997.

2. Семинар-совещание заведующих кафедр начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики вузов Центральной, Поволжской, Южной, Уральской и Северо-Западной зон РФ. Н.Новгород, 1997.

3. Международная научно-практическая конференция «Строительство - 98». Ростов-на-Дону, 1998.

4. Семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин вузов Российской Федерации. Н.Новгород, 1998.

5. Юбилейная международная научно-практическая конференция «Строительство - 99». Ростов-на-Дону, 1999.

6. Международная научно-практическая конференция «Строительство - 2000». Ростов-на-Дону, 2000.

7. Семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин вузов Российской Федерации. Ростов-на-Дону, 2001.

8. Международная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2001.

9. Международная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2002.

10.Международная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2003.

11 .Международная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2004.

12.Международная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2005.

13. Между народная научно-практическая конференция Ростов-на-Дону, 2006. Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 4

монографиях, 48 статьях. Также по материалам диссертации разработано и за-

«Строительство - 2001», «Строительство — 2002», «Строительство — 2003», «Строительство - 2004», «Строительство - 2005», «Строительство - 2006»,

регистрировано в Роспатенте 5 прикладных программ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложений.

Общий объем диссертации 320 страниц, 274 рисунка, 14 таблиц. Список литературы содержит 206 наименований.

Положения, выносимые на защиту:

1. Образование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

2. Образование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсовой поверхности, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

3. Образование поверхностей на основе качения сферы по двум торсовым поверхностям, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

4. Образование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы. Определена цель исследования, поставлены задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, Формулируются научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе рассмотрены основные методы образования поверхностей.

Ключевые методы. Конструирование поверхностей ключевыми методами основано на следующих основных положениях:

1. Если между двумя линиями связи вычерчены какие-либо опирающиеся

на них кривые, то любую пару из них м ожог, у п но принять за проекции некоторой пространственной линии (рис. 1).

2. Любые два многоугольника, опирающиеся на данную систему линий связи, можно принять за проекции некоторого пространственного много-

Рис. 2 угольника (рис. 2).

3. Чтобы определить по-

а.

верхность на данном контуре, достаточно задать произвольно две проекции одного семейства линий поверхности, находящихся по контуру в проекционной связи, и одну проекцию линий второго семейства.

Для построения поверхности ключевым способом в рассмотрение вводят две проекции поверхности, несущие на себе по одной проекции разных семейств линий, и ключ, согласующий проекционные связи этих семейств.

Данный способ образования поверхностей обладает недостаточной наглядностью, так как приходится работать с проекциями поверхности. Также достаточно сложно подобрать условия согласования линий поверхности (ключ) для

получения поверхности нужного вида.

Параметрические методы. В последние годы для создания поверхностей широко применяются параметрические методы. Наибольшее распространение получили методы образования поверхностей на основе сплайновой геометрии. К ним относится NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) аппроксимация. Она заключается в определении поверхностей общего вида NURBS-кривыми. NURBS-кривая определяется набором контрольных точек В1 (рис. 3). В каждой из контрольных точек задается базовая функция, которая определяет как сильно зависит форма кривой от данной контрольной точки. NURBS-поверхность описывается в особом четырехмерном пространстве, в котором каждая управляющая вершина, кроме трех координат X, у, Z имеет дополнительную весовую характеристику (weight). Изменяя положение и относительный вес вершины, можно предельно точно управлять формой объекта.

Кинематические методы. Поверхность может быть определена непрерывным перемещением в пространстве какой-либо линии или поверхности. Эти линии и поверхности называются образующими или производящими данной поверхности, а сама поверхность - кинематической поверхностью. Поверхность, образованная перемещающейся линией, представляет собой геометрическое место различных положений образующей линии. Поверхность, образованная перемещением поверхности, является огибающей различных положений образующей поверхности. Образованная таким способом поверхность соприкасается с образующей поверхностью, в каждом ее положении, вдоль некоторой линии, которая называется характеристикой кинематической поверхности.

Образующая линия или поверхность, перемещаясь в пространстве по определенному закону, может сохранять свою форму или непрерывно изменять ее.

Будем считать, что однопараметрическое множество катящихся по определенному закону центральных поверхностей 2-го порядка £2, задано в дискретном виде, то есть в каждом i - м положении, известны координаты точки

траектории движения центра поверхности С,(л;,с у^ г^), координаты соответствующей точки касания первого опорного элемента Д (х^ у* г?), координаты соответствующей точки касания второго опорного элемента В1 {х^ у" углы Эйлера подвижной системы координат, связанной с ка-

тящейся поверхностью 2-го порядка, относительно исходной — аг,, Д, у1, параметры к'х,к'у,к'г, характеризующие процесс трансформации катящейся поверхности по отношению к начальному виду. Через а обозначим линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с первым опорным элементом; через Ь — линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения со вторым опорным элементом; через с - траекторию движения центра поверхности (рис. 4).

Для решения ряда задач конструирования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка рассмотрим алгоритмы расчета и визуализации некоторых пространственных линий, полученных на основе предложенного аппарата. Эти алгоритмы, в дальнейшем, будут использованы при конструировании поверхностей.

Алгоритм расчета и ви-Рис. 4 зуализации траектории движе-

ния центра катящейся поверхности разрабатывается для каждого конкретного случая в зависимости от вида катящейся поверхности и опорных элементов.

Рассмотрим алгоритмы расчета и визуализации следующих линий:

- траектории движения точки, связанной с катящейся поверхностью;

- линии, являющейся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с направляющими элементами на этой поверхности.

Пусть в подвижной системе координат, связанной с катящейся поверхностью, задана точка, координаты которой х, у, г. В начальном положении оси подвижной системы координат параллельны осям исходной системы координат. Перемещаясь в пространстве, вместе со сферой, заданная точка опишет некоторую кривую й (рис. 5). Координаты точки этой линии в 1-й положении поверхности - £>, у® ) можно вычислить по следующей формуле:

(х? у? у 2)ха(^д;д;)ха(«,,д,7,)+(х,с 2,с) (1)

где , к'у, к'7) - матрица преобразования обусловленного изменением параметров катящейся поверхности 2-го порядка, А(а1, Д, у() - матрица преобразования Эйлера, обусловленного поворотом подвижной системы координат относительно исходной.

Обозначим линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения с первым опорным элементом на поверхности, через е, точку этой линии, соответствующую г -му положению поверхности, обозначим через £,(х,£ у': г^У Аналогично, линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения со вторым опорным элементом, обозначим через /, точку этой линии, соответствующую г-му положению поверхности, обозначим через ^{х^ у1"' г/1) (рис. 6). Координаты точек искомых линий вычислим по следующим соотношениям

Рис. 5

е е

У, г,

У,

П-к'-

с в х, У,

-г,с)хА-'(«„Д.Г,),

У?-*

(2)

где А '(а,,Д,/,) - матрица обратного преобразования Эйлера.

Приведем алгоритмы расчета и визуализации линейчатых поверхностей, полученных на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Рассмотрим следующие алгоритмы: - построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствую-Рис. 6 щие точки касания на опорных эле-

ментах;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных линиях;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.

Поверхности будем задавать в виде дискретных линейчатых каркасов.

На рис. 7 показаны линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки С( и А1, или С, и Д. Данные поверхности содержат линии а и Ъ.Отсеки таких поверхностей, ограниченные траекторией движения центра движущейся поверхности и линиями а или Ь, состоят из отрезков прямых одинаковой длины, что делает эти поверхности удобными в применении в архитектурно-строительном проектировании.

Могут быть получены линейчатые поверхности как совокупность прямых, проходящих через соответствующие точки А,, и Д (рис. 8). Данные поверхности содержат линии а и Ъ. Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями а и Ь.

Рассмотрим линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Д, и Д (рис. 9). Данные поверхности содержат линии ей/. Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями ей /. Рассмотренная

Рис. 7

Рис. 8

поверхность является изгибанием предыдущей поверхности.

Приведем построение поверхно-

стей:

- являющихся огибающими од-нопараметрического множества катящихся поверхностей 2-го порядка;

- являющихся совокупностью дуг окружностей, проходящих

- через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

Визуализацию огибающих поверхностей будем производить сечениями катящейся поверхности, плоскостями ап проходящими через точку траектории движения центра С, и соответствующие точки соприкосновения с опорными элементами Ап В, (рис. 10). Рассматриваемые поверхности содержат линии а и Ъ. Если в качестве катящейся поверхности взята сфера, то огибающие поверхности будут циклическими, состоящими из дуг одинакового радиуса, равного радиусу сферы.

Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах, содержат опорные линии (рис.11).

Рассмотрим ротативные поверхности, полученные на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Разработаны алгоритмы построения следующих ротативных поверхностей:

- линейчатых, образованных перемещающейся прямой;

- циклических, образованных перемещающейся дугой окружности;

- общего вида, образованных перемещающейся произвольной пространственной линией.

Приведем алгоритм образования ротативных поверхностей общего вида. Если с катящейся поверхностью 2-го порядка связать линию, то она, двигаясь вместе с ней, опишет в пространстве некоторую ротативную поверхность (рис.

Рассмотрим торсовые поверхности. Как известно, поверхность, являющаяся совокупностью касательных к пространственной линии, есть торс, а сама линия - ребро возврата этого торса. Торсовые поверхности, описанные в данном разделе, являются совокупностью касательных к пространственным линиям, полученным в результате кинематики поверхностей 2-го порядка.

Рис. 10

Рис. 11

12).

Рис. 12

Далее рассмотрены торсовые поверхности, являющиеся огибающими од-нопараметрические множества плоскостей. Однопараметрические множества плоскостей получены движением плоскости, связанной с катящейся поверхностью 2-го порядка.

Приведенные в данной главе алгоритмы образования поверхностей на ос-—^^ нове аппарата кинематики поверхностей

2-го порядка далее положены в основу разработки программных средств, позволяющих использовать их на практике.

Во второй главе рассмотрен ряд общих вопросов, которые будут использованы в дальнейших исследованиях. Среди них - определение углов Эйлера подвижной системы координат, относительно неподвижной.

Имеем две системы координат с общим началом Охуг и Ох'у'г' (рис. 13). Линия пересечения плоскостей хОу и х'Оу' - 1 называется линией узлов. Угол а - это угол между осью Оу и прямой I, Р - угол, составляемый осями Ог и 02', у - угол между Оу' и прямой /.

Пусть в начальном положении исходная система координат совпадает с подвижной системой координат. Будем считать, что в подвижной системе г). Затем, после ряда преобразований, под-

Рис. 13

координат задана точка М{х у вижная система координат имеет углы Эйлера, относительно неподвижной системы координат, равные а, /3, у. Координаты точки М в исходной системе координат после проведенных преобразований определяются следующим соотношением:

У г')=(х у г)хА {а,р,у\ где А(а,/3,у)~ матрица преобразования Эйлера,

Ч, «12 «13 "

А (а,р,у)= «21 «22 «23

.«31 «32 «33,

(3)

где <з,, = cos a cos cos у- sin a sin у; ап = - cos a cos Р sin у - sin a sin у; ахз = cosacos/?; a21 = sin a cos ft + cos a sin y; a22 = - sin a cos /3 + cos a cos y; a23 = sin or sin /?; a31 = -sin/? cos;'; a32 = sin/? sin y; a33 = cos /?.

Матрица обратного преобразования Эйлера имеет вид

Следовательно, для того чтобы получить координаты точки в исходной системе координат, нужно воспользоваться следующей формулой:

Рассмотрим построение поверхности эквидистантной заданной пространственной линии. Пусть линия т задана в виде дискретного точечного ряда. Обозначим точку, принадлежащую линии т, через М1(х1 у1 ), где г = 1, 2,..., п. Множество точек, удаленных от точки М, на расстояние Я, образует сферу радиуса Л, с центром в точке М1. Уравнение этой сферы имеет вид

А-'(а,р,у) = А{у,-р,а).

(5)

(х у *) = (*' / z')xA-'(а,Р,у)

(6)

(7)

Таким образом, поверхность, эквидистантная заданной пространственной линии т, представляет собой огибающую одно-параметрического множества сфер, радиусы которых равны Я, а центры находятся в точках М,, заданной линии (рис. 14). Как известно, такая поверхность является кана-ловой поверхностью.

i >

Запишем уравнение этой каналовой поверхности, как совокупность сечений сфер (7) плоскостями аг,, проходящими через центры сфер и перпендикулярными касательным к линии т. Обозначим вектор касательной к т в точке М, через Ж,(Л, В1 С,). Вектор N,=7,, (8)

где г, - радиус-вектор точки М,, координаты которого х^уп г,. Следовательно, координаты вектора имеют вид

А=х„В, = у„С,=г1. Таким образом, уравнение плоскости а1 имеет вид

А,х + В,у + С,г + 0,= О, где £>, = -А1х1-В1у1 -С,г,.

Искомое уравнение каналовой поверхности запишем в виде

(х-х-У+О

А,х + В1у + С,г + П,=0,

(9)

(10)

(П)

где г = 1,2,..., и.

Рассмотрим определение поверхности эквидистантной (параллельной)

заданной поверхности. Пусть задано уравнение поверхности О в векторном виде

г=Г(И,У). (12)

Каждая точка поверхности О', параллельной заданной поверхности О, лежит на заданном расстоянии В от поверхности О. Возьмем на поверхности О точку А (рис. 15), ее радиус вектор -Л(м,у), координаты этой точки х(и,у),у(и,\),2(и,у). Построим в этой точке нормаль к поверхности Г2. Уравнение направляющего вектора нормали имеет вид

Рис. 15

дг дг

= — х— •

ди ОУ

Его координаты удовлетворяют условию

ЛГ(к,у) =

1 ] к

дх <к дг

ди ди ди

дх ду дг

ду 5У

Направляющий единичный вектор нормали имеет вид

-г л К лп

(15)

Радиус-вектор точки А', лежащей на нормали к поверхности О, проведенной в точке А и отстоящей от нее на расстоянии Я, найдем по следующему соотношению:

Я\и,у) = Я{и,у) + Кп{и, у). Координаты точки А' имеют вид

х' = х + 1Ъсп;

У' = У + &Уп, г' = г + И2п,

(16)

(17)

где хп, уп, гп - координаты единичного вектора п.

Выполняя описанные выше действия для каждой точки поверхности О, получим параллельную ей и отстоящую от нее на расстоянии Я поверхность П'. Уравнение поверхности имеет вид

?' = г '(и, у) = г {и, у) +

(18)

Далее разработаны алгоритмы построения разверток поверхностей методом триангуляции.

Рассмотрим параметры, характеризующие процесс трансформации центральной поверхности 2-го порядка. Пусть в некоторой системе координат центральная поверхность 2-го порядка задана уравнением

а, ,х2 + а22 у1 4- а33г2 +1 = 0.

(19)

Рассмотрим преобразование пространства, переводящее поверхность 2-го порядка (19) в поверхность 2-го порядка, того же класса, уравнение которой имеет вид

<3] ¡х'2 + а12у'2 + а^г'2- + 1 = 0.

(20)

Такое преобразование пространства является аффинным. Приведем матрицу этого преобразования

А(кх,к ,кг) -

К о о О О ч0 0 кх/

(21)

где =£¡31

а,, а 22 «зз

Таким образом, каждая точка пространства с координатами х, у, г после преобразования, определяемого матрицей (21), будет иметь координаты

(*' у' *•) = (* У *)хМкх,ку,кг). (22)

Следовательно, процесс трансформации поверхности 2-го порядка определяется значениями кх,ку,к2 в матрице преобразования (21). Если трансформация поверхности отсутствует или мы ее не учитываем, то принимаем кх=ку=к2-\.

Также в этой главе приведены алгоритмы преобразования каркасных моделей торсовых, линейчатых и нелинейчатых поверхностей в поверхностные модели.

В третьей главе рассмотрено конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям. Как было показано в главе 1, поверхности, разработанные на основе данного аппарата, могут содержать направляющие линии. Поэтому в качестве направляющих можно взять реальные линии, что значительно упрощает сборку и стыковку отсеков поверхностей, полученных на основе рассматриваемого аппарата.

Рассмотрим процесс качения, без проскальзывания, сферы, заданного радиуса, по двум направляющим пространственным линиям.

Будем считать, что направляющие линии а и Ь заданы в виде дискретных точечных наборов. Уравнения линий в векторном виде г , где / = 1,2,...,п и г=г1ь, где / = 1,2,...,т. Координаты 1-й точки каждой из линий

обозначим через Д (х" у" г") и В1 (х^

г^). На вид кривых для упрощения

задачи наложим следующие условия: хх

<х"2<...<х\

и х\<х\<.

■<х°

Пусть по этим кривым катится сфера, радиус которой равен Я. Множество положений сферы заданного радиуса в пространстве является трехпарамет-рическим множеством (°о3). Накладывая на положение сферы условие касания кривой а, получим двухпараметрическое множество (со2). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривой Ь, получим однопарамет-рическое множество (со1), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Пусть сфера касается линии а в точке Д, следовательно, касательная, проведенная к линии а в точке Д — /,, будет касательной и к сфере в этой же точке. Радиус сферы, проведенный в точку касания А,, будет перпендикулярен касательной /,. Поэтому, геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся линии а в точке А,, является окружностью с центром в точке Д, радиус которой равен Я, лежащей в нормальной к линии а в точке Д плоскости а,.

Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии а, в каждой точке этой линии, получим поверхность

эквидистантную заданной линии. Как было показано в главе 1, эта поверхность является каналовой поверхностью с направляющей линией а. Такой же каналовой поверхностью с направляющей Ь является геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся кривой Ъ. Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой а и кривой Ь лежат на линии пересечения этих каналовых поверхностей (рис. 16).

Уравнение каналовой поверхности с направляющей а будет иметь следующий вид:

Рис. 16

[л>+£> + 0 + Ца =0;

где г = 1,2,...,и.

Аналогично получим для каналовой поверхности с направляющей Ь:

Линию пересечения каналовых поверхностей (23) и (24) определим методом секущих плоскостей-посредников. В качестве однопараметрического множества плоскостей-посредников выберем плоскости а1, где / = 1,2,...,п, рассекающие поверхность (23) по образующим окружностям. Эти плоскости в заданных точках кривой а будут нормальными к ней, следовательно, они будут определяться первым уравнением системы (23) при соответствующих значениях г. Данная линия пересечения является траекторией движения центра сферы.

Рассмотрим построение линии пересечения плоскости-посредника а, с каналовой поверхностью, направляющей которой является линия Ъ (24). Обозначим ее через с,. Для построения этой линии определим точки пересечения плоскости-посредника а1 с каждой из образующих окружностей. Окружность с плоскостью, в которой она не лежит, если они пересекаются, имеет с ней две общие точки. Следовательно, искомая линия пересечения будет иметь две ветви. Запишем ее уравнение в векторной форме:

где г = 1,2,..., и; _/ = 1,2,..., т, г - определяет плоскость-посредник, а } -образующую окружность каналовой поверхности с направляющей Ъ. Точки, лежащие на первой ветви линии пересечения, определяемые первым уравнением системы (25), будем обозначать через С(х^1 ус^ г^), точки лежащие на второй ветви, определяемые вторым уравнением системы (25), обозначим через

Найдем точки пересечения полученной кривой с, и образующей окружности, лежащей в плоскости а1. Эти точки принадлежат траектории движения центра сферы. Можно получить две точки пересечения, которые соответствуют двум положениям сферы, при условии касания линии а в определенной точке А1. Если не существует вещественных точек пересечения, то это означает, что если сфера касается линии а в данной точке А,, то она не может соприкасаться с линией Ъ. Также можно получить более двух вещественных точек. Это означает, что для данной точки касания существует несколько положений сферы. Так как аппарат качения в дальнейшем будет использован для конструирования поверхностей, то можно рассматривать качение сферы с геометрической точки зрения, то есть будем считать возможным пересечение катящейся сферы направляющими кривыми аи Ь. Поэтому, если будет получено более двух точек,

(25)

с2у (К2 У? О-

то мы выбираем только те две, которые расположены ближе к предыдущим точкам касания на линии Ь. Таким образом будем рассматривать две ветви траектории движения центра сферы, которую обозначим через с/. Запишем уравнение траектории движения центра сферы в векторной форме:

В качестве параметра при качении сферы выберем точку касания на линии а — А1. Каждой точке А,, если существует касание, соответствуют две точ-

ки

на каждой ветви траектории движения

Л у!1

уЪ2

.¿2

) и две точки касания линии Ь

¡¿1

г, У,

о 61 61

Уь 2к,

7Ь2 2к,

\

После проведенных преобразований найдем углы Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, относительно исходной системы координат.

На рис. 17 приведен пример линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точку центра, и соответствующие точки соприкосновения на опорных линиях, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям, на рис. 18 приведены развертки этих поверхностей.

Рис. 17

Рис. 18

В четвертой главе описан аппарат кинематики сферы по пространственной линии и торсовой поверхности. При использовании в архитектурно-строительном проектировании торсовых поверхностей удобно ввести в качестве одного из опорных элементов в аппарате конструирования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка торс. В качестве опорного торса можно использовать реальные торсы, входящие в состав строительных конструкций, что значительно упрощает стыковку полученных отсеков поверхностей. В данной главе рассмотрен вопрос качения сферы по опорным элементам в виде пространственной линии а и торсовой поверхности О. Пусть, как и в главе 3, пространственная линия задана дискретным точечным набором, ее

уравнение в векторной форме имеет вид г = г", где / = 1,2,...,п. Точку, принадлежащую направляющей линии а, обозначим через Д, ее координаты -х", у1,2°. На вид направляющей линии, для упрощения решения задачи, наложим следующее условие х, <х" <...<х". Отсек опорной торсовой поверхности О зададим в виде дискретного набора отрезков линейчатых образующих. Каждый отрезок образующей определен двумя концевыми точками Р; и их координаты х^, у ^, и — соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Р], обозначим через р, а линию являющуюся совокупностью точек Q - через д. Пусть в качестве направляющих заданы пространственная

линия а и отсек торсовой поверхности (рис. 19). Будем считать, что по этим

направляющим катится сфера, радиус которой равен Л. Множество положений сферы заданного радиуса в пространстве, как отмечалось ранее, является трехпараметрическим множеством (<ю3). Накладывая на положение сферы условие касания кривой а, получим двухпара-метрическое множество (да2). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания торсовой поверхности Г2, получим одно параметрическое множество (со1), которое и будем использовать для конструирования поверхностей.

Как было показано в главе 3, геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса ./?, касающиеся линии а, представляет собой каналовую поверхность. Уравнение этой каналовой поверхности имеет вид (23).

Геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся торсовой поверхности О, представляет собой поверхность О', параллельную заданной и отстоящую от нее на расстоянии В.. Вопрос построения поверхности, параллельной заданной поверхности, рассмотрен в главе 2.

Поэтому, для того чтобы сфера касалась и линии а, и торса О, одновременно, необходимо, чтобы ее центр принадлежал и каналовой поверхности, заданной уравнением (23), и поверхности О', то есть траекторией движения центра сферы является линия пересечения каналовой поверхности (23) и торса О'.

Пример ротативной циклической поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата, приведен на рис. 20.

В пятой главе рассмотрены методы конструирования поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

Рис. 19

Пусть оба торса заданы в виде дискретных наборов линейчатых образующих. Обозначим один опорный торс через О, его образующие Р&, где / = 1,2,..., п,

хГ.УГ.гГ

и х;, у ', г* - координа-

Рис. 20

ты точек Р1 и Q¡, соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Р1, обозначим через р. Линию, являющуюся совокупностью точек Q¡, обозначим через .

Другой опорный торс обозначим через О, его образующие Р]<21, где 7 = 1,2,..., т, х?, у?, г? и х^, у 1, г ^ -координаты точек PJ я QJ, соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Р], обозначим через р. Линию, являющуюся совокупностью точек Q], обозначим через д. Будем считать, что нам заданы два отсека торсовых поверхностей. По ним катится сфера радиуса Я.

Геометрическим множеством точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся торса О, представляет собой торс, параллельный данному и отстоящий от него на расстоянии Я, обозначим его через О'. Аналогично, множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся торса О, является торсом П', параллельным данному и отстоящим от

него на расстоянии Я (рис. 21). Координаты точек Р,'(х?' у?

У]

*П и

), определяющих линейчатые образующие соответствующих параллельных торсов, найдем методом, описанным в главе 2.

Таким образом, траекторией движения центра сферы является линия пересечения торсов Г2 и Й'.

Пример линейчатой поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата, приведен на рис. 22.

В шестой главе рассмотрены методы конструирования поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

Рис. 21

100 усл. ед.

Рис. 22

Класс поверхностей, получаемых на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка, может быть значительно расширен, если использовать катящиеся поверхности 2-го порядка с изменяемыми по заданному закону параметрами.

Пусть нам задана линейчатая поверхность Г2 в виде дискретного линейчатого каркаса. Известно, что через любые три скрещивающиеся прямые проходит единственная линейчатая поверхность 2-го порядка.

Если скрещивающиеся прямые параллельны некоторой плоскости, то поверхность, проходящая через них, является гиперболическим параболоидом, если прямые не имеют общей плоскости параллелизма, то через них проходит однополостный гиперболоид.

Таким образом, для любых трех обыкновенных образующих произвольной поверхности £2, находящихся на малых расстояниях между собой, можно построить единственную линейчатую поверхность 2-го порядка проходящую через выбранные образующие и имеющую в каждой точке области, ограниченной крайними выбранными образующими, общие касательные с заданной поверхностью О. Построив поверхности 2-го порядка, проходящие через линейчатые образующие заданной поверхности, можно ее представить, как огибающую эти поверхности 2-го порядка.

Следовательно любую линейчатую поверхность, не имеющую торсовых образующих, можно представить как поверхность, огибающую однопараметри-ческое множество линейчатых поверхностей 2-го порядка (однополостных гиперболоидов или гиперболических параболоидов).

Рассмотрим вопрос построения поверхности 2-го порядка, проходящей через три заданные скрещивающиеся прямые. Пусть каждая из трех скрещивающихся прямых задана двумя точками А,(х'а у'А г'л) и В^х'ц у'в г'в), где г = 1,2,3. Уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид

а, ,х2 + а22у2 + агъ22 + 2 а12ху + 2 апхг + 2а23уг + + 2 аых + 2 а24у + 2 а34г + а44 = 0.

(27)

Уравнение (27) имеет девять независимых параметров, поэтому для их определения необходимы девять условий. В качестве условий потребуем, чтобы уравнение (27) выполнялось для трех точек, лежащих на каждой из заданных скрещивающихся прямых. Две точки - это точки А1 и В1, определяющие прямую, в

качестве третьей точки возьмем середину отрезка [ЛД], которую обозначим через С,(х'с у'с г'с). Подставив координаты точек Ап В1, С, в уравнение (27), получим следующую систему линейных уравнений относительно коэффициентов поверхности 2-го порядка а1}

а1 Iх А + а22Ул + азъ2л + ^а12ХАУА + ^13ХА2А + ^23 У А2 А +

+ 2 аих'А + 2 а24у'А + 2аиг'л + а44 = 0;

аихв + а2гУв + азз2в

+ 2апх'ву'в+2а13х вгв + 2а23увгв +

(25)

+ 2 аих'в + 2 а24у'в + 2 аЪ4г'в + а44 = 0;

ах\хс +а22Ус +язз2с +^а\2хсУс + ^-а\зх'с2'с + 2а23у'сг'с +

+ 2 анх'с + 2 а24у'с + 2 а34г'с + а44 = О,

где / = 1,2,3. Приняв а44 = 1 и решив систему линейных уравнений (28), получим значения коэффициентов ац в уравнении (27).

Для того чтобы осуществить процесс качения гиперболоидов друг по другу в некоторой области, необходимо чтобы в соответствующих точках этих областей обе поверхности имели общую основную метрическую форму, т.е. чтобы область одного гиперболоида являлась изгибанием соответствующей области другого.

Пусть нам задан однополостной гиперболоид. Выделим на нем три линейчатые образующие одного семейства, находящиеся на малом расстоянии между собой. Построим другой однополостной гиперболоид таким образом, чтобы он содержал изгибание области заданного гиперболоида, ограниченной выделенными крайними образующими.

Зададим каждую из выделенных на исходном гиперболоиде образующих двумя точками А,(ха у'л г'А) и В^х'д у'в г'в), где / = 1,2,3. Сделаем такое преобразование системы координат, чтобы образующая, заданная точками А2,В2, в новой системе координат, стала фронтально-проецирующей прямой и проходила через начало координат и чтобы прямая перпендикулярная образующей АгВ{ была параллельна оси Ох. (рис. 23). Повернем образующую А3В3

вокруг оси Оу на угол 24'. Таким образом, мы получим новое расположение образующих с теми же расстояниями между соответствующими точками, что и в исходном положении.

Построим однополостный гиперболоид, проходящий через скрещивающиеся прямые /1| у А2 В2 и АгВ3 методом, описанным выше. Полученный гиперболоид имеет область, ограниченную образующими АХВХ и А3В3, в каждой точке которой основная метрическая форма та же, что и в соответствующей

точке области исходного гиперболоида, ограниченной образующими А\ВХ и Аф3. Следовательно, можно привести в соприкосновение эти два гиперболоида по соответствующим образующим, лежащим в областях, имеющих одинаковые основные метрические формы. Кроме этого можно осуществить качение одного гиперболоида по другому в пределах этих областей.

Рассмотрим вопрос качения однопо-лостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

Пусть задана произвольная линейчатая поверхность П. Выделим три линейчатые образующие поверхности Г2, лежащие на малых расстояниях между собой — , /1+1 (рис. 24). Будем считать, что эти образующие обыкновенные и не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид О', проходящий через выделенные образующие.

Как было показано ранее, метрические свойства поверхности О и построенного гиперболоида О' в области, ограниченной образующими и /,+1, совпадают. Методом, описанным выше, построим однополостный гиперболоид О', имеющий область между образующими и 1'+1 с той же основной метрической формой, что и в области, заключенной между образующими /,_, и /(+1, гиперболоида О'. Выделим образующую тя' гиперболоида Г2', в области между образующими /, и /1+1. Выделим образующую т' гиперболоида О', находящуюся между образующими /,' и , на тех же расстояниях от них, что и т' от /, и /1+1. Приводим гиперболоиды О' и О' в соприкосновение вдоль образующих т' и т\

Выделим следующую образующую /,+2 поверхности □, находящуюся на малом расстоянии от образующей /1+1 (рис. 24). Будем считать, что образующая /1+2 не торсовая и образующие /,, /1+1, /,+2 не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид О", проходящий через образующие /,, 11+и /,+2. Построим однополостный гиперболоид О", имеющий область, ограниченную образующими I" и 1[+2, с той же основной метрической формой, что и в области гиперболоида £2", ограниченной образующими /, и /(+2. Найдем образующую гиперболоида О" - т', находящуюся между образующими 1" и /,"[, на тех же расстояниях от них, что и т' от /, и /,+1. Выделим

К

Поверхность £2"

Рис. 24

образующую т" гиперболоида О", лежащую между образующими /1+1 и /1+2, и образующую гиперболоида О" - от", находящуюся между образующими 1"+1 и 1"+2, на тех же расстояниях от них, что и от" от /|+1 и /,+2.

Гиперболоиды О' и £2" имеют общую область, ограниченную образующими /, и /,+1. Следовательно, гиперболоид О" можно привести в соприкосновение и с £2' и £2" вдоль образующих от' и от'. Таким образом, если трансформировать гиперболоид О' в О", то соприкосновение вдоль образующих от' и от' с гиперболоидами О' и £2", а значит и с поверхностью £2, не нарушится. Но гиперболоид О" имеет, в области между образующими 1"+1 и /,"2, ту же основную метрическую форму, что и в соответствующей области гиперболоида £2", поэтому гиперболоид £2" непрерывным качением можно привести в соприкосновение с гиперболоидом £2" вдоль образующих от" и от". Далее выбираем следующую образующую поверхности О и, проделав описанные выше действия, перекатываем гиперболоид в следующую область заданной линейчатой поверхности.

Пример ротативной циклической поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата, приведен на рис. 25.

В седьмой главе описаны пакеты прикладных программ, разработанные на основе приведенных исследований, и показана методика их применения в архитектурно-строительном проектировании. Приведены примеры зданий и сооружений, разработанных с использованием предложенных методик.

На основе приведенных выше геометрических моделей, аналитических зависимостей и программных алгоритмов были разработаны следующие пакеты прикладных программ:

1. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели. Программы этого пакета предназначены для преобразования каркасных моделей торсовых, линейчатых и нелинейчатых поверхностей в поверхностные модели, построения разверток отсеков поверхностей и расчета их площадей. В качестве входных файлов они могут использовать DXF-файлы системы AutoCAD. Аналитические зависимости и программные алгоритмы, на основе которых разработаны программы, приведены в главе 2.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям. Программы, входящие в этот пакет предназначены для проектирования различных типов поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям, который описан в главе 3.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу. Программы, входящие в данный пакет предназначены для проектирования различных поверхностей на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсовой поверхности, который описан в главе 4.

4. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам. В этот пакет входят программы разработки поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям. Аппарат качения сферы по двум торсам описан в главе 5.

5. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям. Программы, входящие в данный пакет предназначены для проектирования различных поверхностей на основе аппарата качения гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности, который описан в главе 6.

Программы написаны в системе программирования VISUAL С++, версии 6.00, под управление операционной системы WINDOWS ХР.

Рассмотрим методику использования новых программных комплексов при проектировании элементов зданий и сооружений на этапе эскизного проектирования.

С помощью разработанных программ создается отсек исходной поверхности, который используется целиком или из которого в дальнейшем вырезается отсек, используемый в качестве конструкции здания. Обозначим его через Q (рис. 26). Полученный отсек загружается в систему AutoCAD. С помощью стандартных команд системы AutoCAD приводим исходный отсек в положение, удобное для дальнейшей работы. Задаем, в случае необходимости, форму вырезаемого отсека - Z (рис. 26). Удаляем части исходного отсека, не попавшие в выбранную область Е (рис. 27). Затем, с помощью разработанной программы каркасная модель отсека преобразуется в поверхностную модель (рис. 28), выполняется развертка отсека и расчет его площади.

Полученный отсек может быть использован в качестве элемента покрытия здания или сооружения.

По заказу кафедры архитектуры и градостроительства Ростовского государственного строительного университета был составлен каталог ряда поверхностей, разработанных по предложенной методике.

Рис. 27

Рис. 28

В качестве направляющих рассматривались симметричные дуги эллипсов, лежащие в одной плоскости или в разных плоскостях. Расположение эллипсов в плане, приведенное на рис. 29, обозначим цифрой «1», приведенное на рис. 30 - цифрой «2». Расположение опорных эллипсов, приведенное в профильной проекции на рис. 31, обозначим цифрой «1», приведенное на рис. 32 — цифрой «2», приведенное на рис. 33 - цифрой «3». В каталоге рассматривались

X

' У

Рис. 29

Рис.31

Рис. 32

Рис. 33

линеичатые поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории движения центра сферы и соответствующие точки касания на опорных элементах (обозначим этот тип поверхностей цифрой «1»); поверхности, являющиеся огибающими однопараметрического множества катящихся сфер (цифрой «2» обозначен верхний отсек, цифрой «3» - нижний отсек); поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах (обозначим цифрой «4»). Таким образом, каждая поверхность, входящая в каталог, имеет трехзначный номер. Первая цифра номера поверхности определяет расположение опорных эллипсов в плане (1 или 2), вторая - расположение опорных эллипсов на профильной проекции (1,2 или 3) и третья — тип поверхности (1, 2, 3 или 4). Полученные поверхности приведены в табл. 1.

_ _ Таблица 1

Ц* 12* 13* 21* 22* 23*

** 1 «#

Ф ф ф <0

**3 4# Ж-

г# #

В табл. 2 приведены параметры опорных эллипсов. Через d обозначено расстояние между центрами дуг :>ллмпсоте в условных единицах (рис. 29 - 30), через if—угол si ;t клеш а плоскости эллйиса к горизонтальной плоскости к градусах (рис, 31 — 33), а, Ь - полуоси эллипса в условных единицах, R — радиус катящейся окружности й условных единицах.

Таблица 2

№ Шифр а b d а R

1 11* 200 100 0 0 100

2 12* 200 100 0 30 100

3 13* 200 100 0 30 100

4 21* 200 100 150 0 100

5 22* 200 100 150 30 100

6 23* 200 100 150 30 100

Разработанный каталог позволяет проектировщику быстрее найти нужное решение при использований разработанного программного обеспечения л архитектурно-строительном проектировании.

На рис. 34, 35 приведены примеры использования разработанных методик в архитектурно-строительном проектировании. Поверхности, полученные на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка, применены в качестве элементов покрытий зданий.

Км воды

В предложенной диссертационной работе рассмотрены следующие вопросы: 1, Разработаны аналитические зависимости, описывающие процессы качения сферы но двум пространственным линиям, качения сферы по пространственной линии и торсовой поверхности, качения сферы по двум торсовым поверхностям, качения одиополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности. Полученные анапти-

ческие зависимости могут служить основой для создания программных алгоритмов реализующих рассмотренные процессы.

2. Разработаны алгоритмы образования различных типов поверхностен на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка, позволяющие значительно расширить возможности синтеза поверхностей в системах автоматизированного' проектирования, и, следовательно, применение

этих поверхностей в архитектурно-строительном проектировании в качестве элементов зданий и сооружений.

3. На основе полученных аналитических зависимостей разработаны программные алгоритмы, реализующие предложенный аппарат моделирования в виде программных комплексов и позволяющие получить на их основе поверхности пригодные для применения в архитектурно-строительной практике. Предложенные программные алгоритмы позволяют получить поверхности, которые включают в себя реальные линии, что значительно упрощает вопросы стыковки отсеков различных типов поверхностей, делает более удобным выбор параметров при получении поверхностей заданного вида.

4. На основе полученных аналитических зависимостей и программных алгоритмов созданы пять пакетов прикладных программ, позволяющие применять предложенные методы образования поверхностей в практических задачах архитектурно-строительного проектирования в качестве элементов зданий и сооружений. Разработанные программные продукты могут быть использованы как в качестве самостоятельных программ, так и в качестве составных модулей образования поверхностей архитектурно-строительных систем автоматизированного проектирования. Это позволит значительно расширить возможности автоматизированных систем проектирования.

5. Разработан каталог различных типов поверхностей, полученных на основе предложенных алгоритмов и программных комплексов. Данный каталог позволит проектировщику быстрее найти нужное решение при использовании разработанного программного обеспечения в архитектурно-строительном проектировании.

6. Предложена общая методика применения пакетов прикладных программ при проектировании зданий, сооружений.

Таким образом, задачи, поставленные в данном исследовании можно считать выполненными, а цель достигнутой.

Публикации по теме диссертационной работы

1. Замятин, A.B. Кинематика сферы [Текст] / A.JI. Мартиросов, A.B. Замятин, Г.С. Рачковская // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 61 / -Киев: КДТУБА. -1997. -С. 168-171.

2. Замятин, A.B. Расчет и визуализация торсовых поверхностей [Текст] / A.JI. Мартиросов, A.B. Замятин, Г.С. Рачковская // Материалы семинара-совещания заведующих кафедрами начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики вузов Центральной, Поволжской, Южной, Уральской и Северо-Западной зон РФ. -Н.Новгород: НГАСА. -1997. -С. 25-27.

3. Замятин, A.B. Линии, полученные при качении сферы по скрещивающимся прямым [Текст] / А.Л. Мартиросов, A.B. Замятин, И.В. Кашина // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика. Межву-

зовская научно-методический сборник кафедр графических дисциплин вузов РФ. Вып. 3, -Н.Новгород: НГАСУ. -1998. -С. 28-32.

4. Замятин, A.B. Алгоритм приближенного расчета теней отсеков линейчатых поверхностей [Текст] / А.Е. Кубарев, A.B. Замятин, Д.А. Папин // Сборник трудов Саратовского технического университета. - Саратов: СГТУ. -2000. -С 58-62.

5. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы [Текст] / А.Е. Кубарев, A.B. Замятин // Сборник трудов всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами графических дисциплин. -Ростов-на-Дону: РГУПС. -2001. -С. 28-30.

6. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы [Текст] / A.B. Замятин. -Элиста: Джангр, 2001. -107 с. :ил.

7. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы (часть 2) [Текст] / A.B. Замятин. -Элиста: Джангр, 2002. -79 с. :ил.

8. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения одно-полостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям [Текст] / A.B. Замятин. -Элиста: Джангр, 2002. -71 с. :ил.

9. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610676. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2,2003. -С. 144.

Ю.Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610675. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2,2003. -С. 144.

11 .Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610674. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2,2003. -С. 144.

12. Замятин, A.B. Конструирование поверхностей на основе качения одно-полостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610673. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2,2003. -С. 143-144.

13.Замятин, A.B. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели [Текст] / A.B. Замятин / Св. № 2003610672. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. -С. 143.

Н.Замятин, A.B. Новые способы образования оболочек на основе кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2004. -Приложение № 9. -С. 93-98.

15.Замятин, A.B. Образование циклических поверхностей на основе кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / A.B. Замятин // Известия

высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2004. -Приложение № 9. -С. 99-104.

16.Замятин, A.B. Новые способы образования оболочек на основе кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005. -№ 1. -С. 31-34.

17.3амятин, A.B. Алгоритм преобразования каркасных моделей торсов в полигональные модели / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005. -Приложение № 1. -С. 170-171.

18.Замятин, A.B. Алгоритм преобразования каркасных моделей линейчатых поверхностей в полигональные модели [Текст] / A.B. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005. -Приложение № 1. -С. 171-172.

19.Замятин, A.B. Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / A.B. Замятин. -Ростов-на-Дону: Издательство РГСУ, 2005. -190 с. :ил.

20. Замятин, A.B. Аппроксимация порции поверхности по методу Ферпо-сона [Текст] / A.B. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2006. -Приложение № 2. -С. 58-60.

Подписано в печать 21.02.07. Формат 68x84/16. Ризограф. Бумага писчая. Уч. -изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 58. Редакционно-издательский центр РГСУ. 344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162.

Введение.

1.Основные способы конструирования поверхностей.

1.1.Ключевой метод.:.

1.2.Параметрические методы.

1.3.Кинематический метод.

1 АОбразование поверхностей на основе аппарата кинематики

1 поверхностей 2-го порядка.

1.4.1 .Конструирование линий.

1.4.1.1.Общий алгоритм построения линий.

1.4.1.2.Построение траектории движения точки, связанной с катящейся поверхностью.

1.4.1.3.Построение линии, являющейся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с направляющими элементами на этой поверхности.

1.4.2.Конструирование линейчатых поверхностей.

1.4.2.1.Общий алгоритм построения линейчатых поверхностей.

1.4.2.2.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

1.4.2.3.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных элементах.

1.4.2.4.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.

1.4.3.Конструирование огибающих и циклических поверхностей.

1.4.3.1 .Огибающие поверхности.

1.4.3.2.Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания опорных элементах.

1.4.4.Конструирование ротативных поверхностей.

1.4.4.1.Ротативные линейчатые поверхности.

1.4.4.2.Ротативные циклические поверхности.

1.4.4.3.Ротативные поверхности общего вида.

1.4.5.Конструирование торсовых поверхностей.

1.4.5.1.Торсовые поверхности, являющиеся совокупностью касательных к пространственной линии.

1.4.5.1.1 .Построение торсовых поверхностей, являющихся совокупностью касательных к пространственной линии.

1.4.5.1.2.Алгоритм построение торсовых поверхностей, являющихся совокупностью касательных к пространственной линии.

1.4.5.2.Торсовые поверхности, являющиеся огибающими однопараметрического множества плоскостей.

1.4.5.2.1.Построение торсовых поверхностей, являющихся огибающими однопараметрического множества плоскостей.

1.4.5.2.2.Алгоритм построения торсовых поверхностей, являющихся огибающими однопараметрического множества плоскостей.

1.5.Выводы по разделу 1.

2,Общие геометрические вопросы.

2.1.Углы Эйлера.*.

2.1.1.Определение углов Эйлера.

2.1.2.Программный алгоритм определения углов Эйлера.

2.2.Построение дуги окружности в пространстве.

2.2.1.Аналитические зависимости необходимые для построения дуги окружности.

2.2.2.Программный алгоритм построения дуги окружности.46 •

2.3.Эквидистантные поверхности.

2.3.1.Поверхности, эквидистантные пространственным линиям.

2.3.1.1.Построение поверхностей, эквидистантных пространственным линиям.

2.3.1.2.Программный алгоритм построения поверхностей, эквидистантных пространственным линиям.

2.3.2.Поверхпости, эквидистантные поверхностям.

2.3.2.1.Поверхности, эквидистантные торсовым поверхностям.

2.3.2.1.1.Построение поверхностей, эквидистантных торсовым поверхностям.

2.3.2.1.2.Программный алгоритм построения поверхностей, эквидистантных торсовым поверхностям.

2.3.2.2.Поверхности, эквидистантные линейчатым поверхностям.

2.3.2.2.1.Построение поверхностей, эквидистантных линейчатым поверхностям.

2.3.2.2.2.Программный алгоритм построения поверхностей, эквидистантных линейчатым поверхностям.

2.3.2.3.Поверхности, эквидистантные поверхностям общего вида.

2.4.Развертка поверхностей.

2.4.1.Развертка линейчатых поверхностей.

2.4.1.1.Построение развертки линейчатых поверхностей.

2.4.1.2.Программный алгоритм построения развертки линейчатых поверхностей.

2.4.2.Развертка нелинейчатых поверхностей.

2.4.2.1.Построение развертки нелинейчатых поверхностей.

2.4.2.2.Программный алгоритм построения развертки нелинейчатых поверхностей.

2.5.Трансформация поверхностей 2-го порядка.

2.6.Построение поверхностных моделей.

2.6.1.Построение поверхностных моделей торсов.

2.6.2.Построение поверхностных моделей линейчатых поверхностей.

2.6.3.Построение поверхностных моделей нелинейчатых поверхностей.

2.6.3.1.Алгоритм функции RFL.

2.6.3.2. Алгоритм функции PER.

2.6.3.3.Алгоритм функции VYP.

2.7.Выводы по разделу 2.

3.Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям.

3.1.Качение сферы по двум пространственным линиям.

3.1.1.Аналитические зависимости, описывающие качение.сферы по двум пространственным линиям.

3.1.2. Программный алгоритм расчета траектории движения центра сферы, при ее качении по пространственным линиям.

3.1.2.1 .Алгоритм функции TRC.

3.1.2.2.Алгоритм функции PREOBR.

3.1.2.3.Алгоритм функции VKC.

3.1.2.4.Алгоритм функции PROV.

3.1.2.5.Алгоритм функции VKC1.

3.1.2.6.Алгоритм функции VKC2.

3.1.2.7.Алгоритм функции VKC3.

3.1.2.8.Алгоритм функции TRC1.

3.1.3. Расчет углов Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, катящейся по пространственным линиям.

3.1.4. Программный алгоритм расчета углов Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, катящейся по пространственным линиям.

3.1.4.1.Агоритм функции VUE.

3.1.4.2.Алгоритм функции VUE1.

3.2.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.1.Линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.1.1.Траектория движения точки, связанной с катящейся сферой.

3.2.1.2.Линия, являющаяся совокупностью точек соприкосновения сферы с направляющими линиями на сфере.

3.2.2.Линейчатые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.2.1.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствующие точки касания на направляющих линиях.

3.2.2.2.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на направляющих линиях.

3.2.2.3. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на сфере.

3.2.3.0гибающие и циклические поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.3.1 .Огибающие поверхности.

3.2.3.2. Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

3.2.4.Ротативные поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.4.1.Ротативные линейчатые поверхности.

3.2.4.2.Ротативные циклические поверхности.

3.2.4.3.Ротативные поверхности общего вида.

3.2.5.Торсовые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям.

3.2.5.1.Торсовые поверхности, являющиеся совокупностью касательных к пространственной линии.

3.2.5.2.Торсовые поверхности, являющиеся огибающими однопараметрического множества плоскостей.

3.3.Выводы по разделу 3.

4.Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.1.Качение сферы по пространственной линии и торсу.

4.1.1.Аналитические зависимости, описывающие качение сферы по пространственной линии и торсу.

4.1.2. Программный алгоритм расчета траектории движения центра сферы, при ее качении по пространственной линии и торсу.

4.1.2.1.Алгоритм функции TRC.

4.1.2.2.Алгоритм функции PREOBRP.

4.1.2.3.Алгоритм функции PARPOV.

4.1.2.4.Алгоритм функции VKC1.

4.2.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.2.1.Линии, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.2.1.1 .Траектория движения точки, связанной с катящейся сферой.

4.2.1.2.Линия, являющаяся совокупностью точек соприкосновения сферы с направляющими элементами на сфере.

4.2.2.Линейчатые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.2.2.1 .Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствующие точки касания на направляющих элементах.

4.2.2.2.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на направляющих элементах.

4.2.2.3. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на сфере.

4.2.3.Огибающие и циклические поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.2.3.1.Огибающие поверхности.

4.2.3.2. Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

4.2.4.Ротативные поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.2.4.1.Ротативные линейчатые поверхности.

4.2.4.2.Ротативные циклические поверхности.

4.2.4.3.Ротативные поверхности общего вида.

4.2.5.Торсовые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

4.3.Выводы по разделу 4.

5.Конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

5.1.Качение сферы но двум торсовым поверхностям.

5.1.1.Аналитические зависимости, описывающие качение сферы по двум торсовым поверхностям.

5.1.2. Программный алгоритм расчета траектории движения центра сферы, при ее качении по двум торсовым поверхностям. 176 5.1.2Л .Алгоритм функции TRC.

5.1.2.2.Алгоритм функции PROV.

5.1.2.3. Алгоритм функции VKC1.

5.1.2.4. Алгоритм функции V KOOR.

5.2.Поверхности и линии, полученные на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

5.2.1.Линии, полученные па основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

5.2.1.1.Траектория движения точки, связанной с катящейся сферой.

5.2.1.2.Линия, являющаяся совокупностью точек соприкосновения сферы с направляющими элементами на сфере.

5.2.2.Линейчатые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

5.2.2.1.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра и соответствующие точки касания на направляющих элементах.

5.2.2.2.Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на направляющих элементах.

5.2.2.3. Поверхности, являющиеся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на сфере.

5.2.3.0гибающие и циклические поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

5.2.3.1 .Огибающие поверхности.

5.2.3.2. Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах.

5.2.4.Ротативные поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

5.2.4.1 .Ротативные линейчатые поверхности.

5.2.4.2.Ротативные циклические поверхности.

5.2.4.3.Ротативные поверхности общего вида.

5.2.5.Торсовые поверхности, полученные на основе аппарата качения сферы по пространственной линии и торсу.

5.3.Выводы по разделу 5.

6.Конструирование поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

6.1 .Качение гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

6.1.1. Линейчатая поверхность, как огибающая однопараметрическое множество поверхностей 2-го порядка.

6.1.2. Алгоритм построения поверхности 2-го порядка, проходящей через три скрещивающиеся прямые.

6.1.2.1 .Алгоритм функции POSTR.

6.1.2.2.Алгоритм функции GAUSS.

6.1.3.Построение однополостного гиперболоида из условия качения по заданному однополостному гиперболоиду.

6.1 ААлгоритм построения однополостного гиперболоида из условия качения по заданному однополостному гиперболоиду.

6.1.5.Приведение однополостных гиперболоидов в соприкосновение.

6.1.6.Алгоритм приведения двух однополостных гиперболоидов в соприкосновение.

6.1.6.1 .Алгоритм функции SOPR.

6.1.6.2.Алгоритм функции MINRASST.

6.1.7.Приведение уравнения центральной поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

6.1.8.Алгоритм приведения уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

6.1.9.Качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

6.1.10.Алгоритм качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

6.2.Поверхности, полученные на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

6.2.1 .Линейчатые поверхности. 6.2.2.Циклические поверхности.

6.3.Выводы по разделу 6.

7.Применение результатов исследования на практике.

7.1.0писание пакетов прикладных программ.

7.2.0бщая методика применения разработанного программного обеспечения.

7.3.Пример применения предложенных пакетов прикладных программ в архитектурно-строительном проектировании.

7.3.1. Разработка каталога некоторых типов поверхностей, полученных на основе предложенных аппаратов.

7.3.2.Разработка покрытия торгового комплекса.

7.3.3.Разработка покрытия жилого коттеджа.

7.4.Выводы по разделу 7.

Выводы.

В связи с ускоренным развитием в настоящее время строительной отрасли и тенденциями к нетрадиционным решениям архитектурных задач, появилась необходимость разработки методов проектирования новых типов поверхностей, пригодных к применению в качестве основ создания оболочек в задачах архитектурно-строительного проектирования. Особенно большую практическую ценность имеет реализация новых геометрических способов конструирования поверхностей в виде компьютерных программ. Развитие современных средств вычислительной техники позволяет быстро и с большой точностью решать задачи геометрического конструирования поверхностей, вычислять основные технические и экономические характеристики различных вариантов решения задачи и выбирать наилучшее, получать качественную визуализацию геометрических объектов, что дает возможность оценить эстетические свойства этих объектов на этапе эскизного проектирования.

Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Эту тему рассматривали в своих трудах АЛ. Подгорный [150, 165-168], B.C. Обухова [37, 150, 153-162, 191], В.А. Осипов [163], В.Е. Михайленко [147-151], A.M. Тевлин [188], Ю.Н. Иванов [108, 188], A.M. Подкорытов [108, 169-172, 188], Г. Рюле [192] и многие другие [14, 31-33,36,38-39, 117-122, 124-126, 193-203].

Применение средств вычислительной техники в архитектурно-строительном проектировании изучали такие ученые, как Н. Виннер [34], JI. Н. Авдотыш [1-9, 23], И.И. Котов [115-116], B.C. Полозов [116, 173-175], Л.Д. Бронер [23-28], Л.Г. Дмитриев [10, 47-48], К.А. Сазонов [148, 179-183], С.И. Ротков [173, 177], Г.С. Иванов [106-107], С.Н. Ковалев [113] и другие [22, 41, 45, 49].

Среди широко применяемых в настоящее время методов образования поверхностей следует отметить параметрические методы (поверхности Безье, NURBS-поверхности и др.). Эти методы позволяют создавать сложные поверхности на основе сплайнов, которые легко реализуются в виде программных алгоритмов. К недостаткам можно отнести небольшую прозрачность параметров, определяющих поверхность (в меньшей степени это относится к NURBS-поверхностям).

Широко применяется для образования поверхностей кинематический метод. В данном методе поверхности образуются перемещающейся в пространстве линией или поверхностью, которые называются производящими. При реализации данного метода необходимо задать закон перемещения производящей линии или поверхности. Удобно описать перемещение производящих как процесс качения одних геометрических объектов но другим.

На кафедре начертательной геометрии и черчения Ростовского государственного строительного университета в течение последних лет в рамках госбюджетной темы «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257 проводились исследования по образованию поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей.

В работах [89, 132-134, 142, 145] рассматривалось образование поверхностей на основе аппарата качения поверхностей 2-го порядка по пересекающимся прямым. Образование поверхностей на основе аппарата качения сферы по скрещивающимся прямым рассматривалось в [67-68, 72, 112, 135-141, 144]. В [143, 146, 175] рассмотрены вопросы образования поверхностей на основе качения конуса переменной геометрии по разверткам торсовых поверхностей. В [50, 127-128, 129-131] рассмотрены способы образования поверхностей на основе качения торса по торсу.

Данная работа является продолжением и обобщением проведенных ранее исследований. В ней рассмотрены вопросы образования поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка. Выбор в качестве перемещающихся объектов - поверхностей 2-го порядка обусловлен возможностью более простого аналитического описания данных аппаратов и, следовательно, более удобного применения рассматриваемых аппаратов в системах компьютерной графики.

Проведенные исследования показали, что конструирование поверхностей на основе предложенных аппаратов обладает рядом следующих преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:

• Большей наглядностью. Это следует из того, что в качестве параметров, определяющих закон движения производящей линии или поверхности и, следовательно, получаемой поверхности, используются не формальные величины, как в большинстве современных методов, а хорошо предста-вимые геометрические параметры опорных элементов и катящихся поверхностей. В этом случае, легко представить какие параметры, и в каком направлении необходимо изменять для получения поверхностей нужной формы.

• Технологичностью в применении. В качестве геометрических элементов, входящих в состав аппарата качения и, следовательно, поверхностей, полученных на основе этого аппарата, могут быть выбраны реальные линии и поверхности, входящие в состав сооружений, что значительно упрощает задачи стыковки отсеков поверхностей с элементами конструкций зданий и сооружений.

• Технологичностью в изготовлении. Формообразование поверхностей на основе кинематики поверхностей, легко реализовать в технологических процессах образования поверхностей, воссоздав аппарат кинематики поверхностей в натуре.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что вопросы конструирования поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка являются актуальными в настоящее время.

Объект исследования - метод моделирования процессов кинематики поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии, алгоритмы образования поверхностей на основе рассмотренных процессов пригодных для применения в архитектурно-строительной практике и их реализация в виде компьютерных программ, реализующих формообразующие функциональные операторы, отсутствующие в известных системах автоматизированного проектирования архитектурно-строительных объектов.

Цель и задачи исследовании - создание аналитических моделей процессов качения поверхностей 2-го порядка по различным направляющим, разработка алгоритмов образования поверхностей на основе моделей кинематики поверхностей 2-го порядка, написание пакета прикладных программ, позволяющего использовать предложенные способы в архитектурно-строительном проектировании, разработка методики применения пакета прикладных программ в архитектурно-строительной практике.

Для достижения поставленной цели необходимо разработать:

- аналитическое описание образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии; ,

- программные алгоритмы образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые способы образования поверхностей в архитектурно-строительном проектировании;

- методику применения пакета прикладных программ при решении практических задач архитектурно-строительного проектирования.

- каталоги образцов поверхностей, полученных на основе предложенных аппаратов, облегчающих проектировщику выбор нужных типов поверхностей.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Получены новые наглядные способы задания законов перемещения производящих линий и поверхностей в кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка.

2. Рассмотрены аналитические и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и торсовой поверхности, по двум торсовым поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

3. На основе предложенных способов образования поверхностей разработан пакет прикладных программ, позволяющий применять эти методы в архитектурно-строительном проектировании на этапе эскизного проектирования. Данный способ образования поверхностей не реализован ни в одной из ныне существующих компьютерных графических систем.

4. Разработана методика применения пакета прикладных программ в архитектурно-строительном проектировании.

Практическая ценность н внедрение. Работа выполнена в рамках госбюджетной темы кафедры «Начертательная геометрия и черчение» Ростовского государственного строительного университета «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257.

По результатам проведенных исследований разработан пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые методы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка в архитектурно-строительном проектировании элементов зданий и сооружений. В пакет входят следующие пять программ, зарегистрированных в Роспатенте (приложения 1):

1. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам.

4. Конструирование поверхностей на основе качения одногюлостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям.

5. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели.

Пакет приведенных прикладных программ применялся в ОАО «Проектный институт Калмыкии» для разработки сложных пространственных объектов, в учебном процессе Ростовского государственного строительного университета и Ростовской государственной академии архитектуры и искусства для выполнения студентами курсовых и дипломных работ. Документы, подтверждающие внедрения приведены в приложениях 2.

Программы разработаны в системе программирования VISUAL С++, версии 6.00 [152, 184-186], под управлением операционной системы WINDOWS ХР. При разработке проектов были использованы возможности автоматизированной системы подготовки конструкторской документации AutoCAD 2000 [18, 44, 177].

Положения, выносимые на защиту:

1. Образование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

2. Образование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсовой поверхности, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

3. Образование поверхностей на основе качения сферы по двум торсовым поверхностям, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

4. Образование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности, аналитическое описание и программный алгоритм, реализующий данный процесс.

В первой главе рассмотрены основные методы образования поверхностей. Наибольшее внимание уделено кинематическим способам образования поверхностей. Описаны способы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка переменных и постоянных параметров. Рассмотрены вопросы конструирования торсовых, линейчатых, циклических и ротативных поверхностей.

Во второй главе приведен ряд общих геометрических вопросов, аналитических зависимостей и программных алгоритмов, которые будут использованы в дальнейших исследованиях. Рассмотрен вопрос вычисления углов Эйлера при преобразованиях поворота системы координат в пространстве. Разработаны алгоритмы построения поверхностей эквидистантных пространственным линиям, торсовым поверхностЯхМ, линейчатым и нелинейчатым поверхностям. Разработаны алгоритмы построения разверток линейчатых и нелинейчатых поверхностей. Рассмотрены параметры, описывающие трансформацию поверхности 2-го порядка в пределах одного класса. Приведены алгоритмы преобразования каркасных моделей торсовых, линейчатых и нелинейчатых поверхностей в полигональные (поверхностные) модели.

В третьей главе рассмотрен процесс качения сферы по двум пространственным линиям и образование на его основе различных типов поверхностей. Приведены аналитические зависимости и программные алгоритмы, описывающие данный процесс. Приведены примеры полученных поверхностей.

В четвертой главе разработаны аналитические и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по пространственной линии и торсовой поверхности. Приведены примеры, полученных на основе данного аппарата, поверхностей.

В питой главе рассмотрены аналитические и программные алгоритмы описывающие аппарат кинематики сферы, в котором она катится без проскальзывания по двум торсовым поверхностям.

В шестой главе рассмотрен процесс качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности. Разработаны аналитические зависимости и программные алгоритмы, описывающие данный процесс.

В седьмой главе разработана методика применения рассмотренных способов образования поверхностей и программных алгоритмов, реализующих эти способы, в архитектурно-строительном проектировании. Представлена общая методика использования предложенных методов на практике. Приведен каталог поверхностей. Приведено несколько примеров разработки зданий и сооружений с элементами, разработанными на основе предложенных способов.

В приложениях представлены свидетельства регистрации программ в Роспатенте, документы, подтверждающие применение результатов данного исследования на практике, параметры приведенных в примерах поверхностей.

Выводы

В предложенной диссертационной работе рассмотрены следующие вопросы:

1. Разработаны аналитические зависимости, описывающие процессы качения сферы по двум пространственным линиям, качения сферы по пространственной линии и торсовой поверхности, качения сферы по двум торсовым поверхностям, качения однополостного гиперболоида переменной геометрии но линейчатой поверхности. Полученные аналитические зависимости могут служить основой для создания программных алгоритмов реализующих рассмотренные процессы.

2. Разработаны алгоритмы образования различных типов поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка, позволяющие значительно расширить возможности синтеза поверхностей в системах автоматизированного проектирования, и следовательно, применение этих поверхностей в архитектурно-строительном проектировании в качестве элементов зданий и сооружений.

3. На основе полученных аналитических зависимостей разработаны программные алгоритмы, реализующие предложенный аппарат моделирования в виде программных комплексов и позволяющие получить на их основе поверхности пригодные для применения в архитектурно-строительной практике. Предложенные программные алгоритмы позволяют получить поверхности, которые включают в себя реальные линии, что значительно упрощает вопросы стыковки отсеков различных типов поверхностей, делает более удобным выбор параметров при получении поверхностей заданного вида.

4. На основе полученных аналитических зависимостей и программных алгоритмов созданы пять пакетов прикладных программ, позволяющие применять предложенные методы образования поверхностей в практических задачах архитектурно-строительного проектирования в качестве элементов зданий и сооружений. Разработанные программные продукты могут быть использованы как в качестве самостоятельных программ, так и в качестве составных модулей образования поверхностей архитектурно-строительных систем автоматизированного проектирования. Это позволит значительно расширить возможности автоматизированных систем проектирования.

5. Разработан каталог различных типов поверхностей, полученных на основе предложенных алгоритмов и программных комплексов. Данный каталог позволит проектировщику быстрее найти нужное решение при использовании разработанного программного обеспечения в архитектурно-строительном проектировании.

6. Предложена общая методика применения пакетов прикладных программ при проектировании зданий, сооружений.

Таким образом, задачи, поставленные в данном исследовании можно считать выполненными, а цель достигнутой.

1. Авдотыш Л.Н. Архитектурное образование и научно-технический прогресс // Архитектура СССР, 1971, № 7.

2. Авдотыш Л.Н., Ванд Л.Э. Проектирование жилой застройки на электронных машинах // Жилищное строительство, 1965, № 1.

3. Авдотыш Л.Н. Градостроительства и кибернетика // Архитектура СССР, 1963, №3.

4. Авдотыш Л.Н. и др. Рекомендации по применению ЭВМ в градостроительстве. -М.: ЦНИИП градостроительства, 1965.

5. Авдотыш Л.Н. Математика и электронно-вычислительная техника в решении прикладных градостроительных задач. М.: ЦНТИ госграждан-строя, 1966.

6. Авдотыш Л.Н. Математические методы и электронные вычислительные машины в проектной и научно-исследовательской работе. Киев: Бу-Д1велышк, 1966.

7. Авдотыш Л.Н. Методологические и технические вопросы структурно-кибернетического моделирования городов // Материалы научно-технического семинара научные прогнозы развития городов. — М.: ЦНТИ госгражданстроя, 1969.

8. Авдотыш Л.Н. Рационализация процессов градостроительного проектирования с использованием вычислительной техники. -М: ЦНИИП градостроительства, 1969.

9. Авдотыш Л.Н. Системный подход к актуальным проблемам градостроительной теории // Архитектура СССР, 1968, № 10.

10. Автоматизированное проектирование конструкций гражданских зданий. ДмитриевЛ. Г., КасиловА. В., Гильман Г. Б. КовбасюкВ. П. -Киев.: Будцвельник, 1977.- 236 с.

11. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1966.-912 с.

12. Алимов Р. У. Алгоритмизация конструирования и развертывания торсовых поверхностей в приложении к автоматизации построения разверток фасонных частей трубопроводов: Дне. .канд. техн. наук. -М.: МАИ, 1984.

13. Алимов Р. У., Садриддинов А. С. Развертка торсов общего вида //Доклады AII УзССР. Вып. 6.- Ташкент. Изд-во ФАН УзССР, 1978. С. 24 -28.

14. Анпилогова В. А., Кухарчук II.Г. О построении торсовой по-верх-ности с направляющими кубическими параболами/Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 27, -Киев, 1979.-С. 80-82.

15. Баджория Г. Ч. Об одном методе построения развертки торсовой поверхности//Судостроение. 1984.№9.- С.37-38.

16. Бахвалов Ы.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. 631 с.

17. Беалл М.Е. и др. AutoCAD 14. Киев: ДиаСофт, 1997. -672 с.

18. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука, 1966. -623 с.

19. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1968.-639 с.

20. Берри, Роберт, Микинз, Брайан. Язык Си. Введение для программистов / Перевод с английского. Финансы и статистика, 1988.

21. Бертенев П. А. Форма и конструкция в архитектуре. -М., 1968.

22. Бронер Л.Д. Авдотыш JI.H. Союз кибернетики и архитектуры // НТО СССР, 1966, № 1.

23. Бронер Л.Д. Гитберг В.Д., Зац Г.Я. и др. Применение автоматизированных систем в проектировании объектов строительства. — М.: ЦНИИПИАСС Госстроя СССР, 1981.

24. Бронер Л.Д., Ломоносов Д.Б. О методе оптимального проектирования с помощью ЭВМ // Архитектура СССР, 1963, № 10.

25. Бронер Л.Д. Моделирование процессов архитектурного проектирования на электронных вычислительных машинах // Экспериментальное проектирование, 1965, № 3.

26. Бронер Л.Д. Применение ЭВМ в архитектурно-строительном проектировании. — М.: Госстройиздат, 1965.

27. Бронер Л.Д. Применение электронных вычислительных машин в архитектурно-строительном проектировании. — М.: Дитература по строительству, 1966.

28. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. —М.: Паука, 1984.-544 с.

29. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1973.-416 с.

30. Булгаков В.Я. Аналитическое исследование торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 14. Киев, 1972. - С.68-73.

31. Булгаков В.Я. Конструирование поверхностей оболочек из отсеков торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 21. — Киев, 1976.-С. 134-137.

32. Булгаков В.Я. Конструирование торсов 4-го порядка по наперед заданным условиям // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 12. -Киев, 1971. С. 41 -48.

33. Винер I I. Творец и робот / Перевод с английского. М., 1966.

34. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия. -М.: Просвещение, 1989. -239 с.

35. Волкомор А.А. Вопросы классификации кривых поверхностей, применяемых в покрытиях / Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. l.-Киев, 1965.-С. 104-109.

36. Воробкевич Р.И., Обухова B.C. Аналитическое описание параболических торсов 4-го порядка// Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 33.-Киев, 1982.-С. 16-19.

37. Воронина А.Н. Построение торсов с ребром возврата в виде кривой 4-t го порядка / Прикладная геометрия и шгженерная графика. Вып. 5. Киев,1967.-С. 103-105.

38. Гидион 3. Пространство, время, архитектура / Перевод с немецкого. М., 1984.

39. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геомет- * рии. М.: Наука, 1988. - 272 с.

40. Григорьев Э.П. Теория и практика машинного проектирования объектов строительства. М., 1974.

41. Делоне Б.Н. Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 1. -М.: Гостехиз-дат, 1948.

42. Делоне Б.Н. Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 2. -М.: Гостехиз-дат, 1949.

43. Джамп Д. AutoCAD. Программирование. -М. Радио и связь, 1992.

44. Джанабаев Д.Д. Построение развертки торса с помощью ЭВМ // Прикладная геометрия и шгженерная графика. Вып. 23. Киев, 1977. - С. 6971.

45. Джахани, Нараиян: Программирование на языке Си. М.: Радио и связь, 1987.

46. Дмитриев Л.Г., Соловьев В.А. Применение автоматизированных систем в проектировании объектов строительства. — М.: ЦНИИПИАС Госстроя СССР, 1981.

47. Дмитриев Л.Г., Сосис П.М. Программирование расчета пространственных конструкций. Киев: Госстройиздат УССР, 1963.

48. Дыховничий Ю.А. Жуковский Э.З. Пространственное соответствие конструкций. -М., Высшая школа, 1989.-288 с.

49. Ефременко А.В. Исследование линейчатых и нелинейчатых поверхностей на основе новых видов преобразования пространства. Дис. .канд. техн. наук. Нижний Новгород; НГАСУ, 2000.

50. Замятин А.В. Алгоритм качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности. Деп. в ВИНИТИ 8.08.2003, № 1555-В2003. 9 с.

51. Замятин А.В. , Кубарев А.Е. Алгоритм построения линии пересечения двух линейчатых поверхностей. Деп. в ВИНИТИ 1.08.2003, № 1509-В2003. 8 с.

52. Замятин А.В. Алгоритм построения однополостного гиперболоида из условия качения по заданному однополостному гиперболоиду. Деп. в ВИНИТИ 11.08.2003, 1573-В2003. 5с.54.