автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование основ теории поверхностей их дискретными аналогами

На правах рукописи УДК 513.7+^81.3.01

РГБ ОД

..,/./ АВГ 2000

Максудов Хуршед Темурович

Моделирование основ теории поверхностей их дискретными аналогами

Специальность 05.13.16 - «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ - 2000

Работа выполнена в Институте математики АН Республики Таджикистан.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор, академик АН РТ Усманов З.Д.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

профессор Климентов С.Б.

- кандидат физико-математических наук, Юсупов М.Ч.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Худжандский научный центр

АН Республики Таджикистан

Защита состоится "15" Об 2000 г. в ч._м. на засе

дании Диссертационного совета К 065.01.10 по присуждению ученой сте пени кандидата физико-математических наук при Таджикском государст венном национальном университете по адресу 734025, г. Душанбе, пр. Ру даки 17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тад жикского государственного национального университета.

Автореферат разослан " У " мая 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, к.физ.-мат.наук, доцент

Б.А.Алиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассматривается дискретный поверхностный набор эчек (ДПНТ), который является дискретной моделью поверхности в евк-лдовом пространстве.

Актуальность работы. С появлением современной компьютерной ;хники во многих организациях, решения различных прикладных задач юрт поверхностей должны представляться таким образом, чтобы на < основе можно было составлять достаточно эффективные алгоритмы пя использования на ЭВМ.

Объектом исследования предлагаемой работы являются введенные декретные аналоги поверхности и ее элементов, а также деформации декретного аналога. В геометрии поверхностей исследуют два вида про-пем - локальные, когда поверхность изучается в малой окрестности точ-1, и «в целом», когда поверхность изучается на всем ее протяжении. При гом различают внутренне геометрические задачи, связанные с измерении на самой поверхности, и внешне геометрические, связанные с изу-энием пространственной формы поверхности и ее частей. Как и любой эздел математики, геометрия в целом имеет четко очерченные гра-/щы собственных задач и методов, и тематика исследований в этой эласти непрерывно расширяется, охватывая новый круг задач с привле-энием новых методов.

Дискретный поверхностный набор точек является дискретным ана-эгом куска поверхности, к которому сходится ДПНТ при неограничен-эм увеличении числа его точек с одновременным уменьшением рас-гояний между соседними точками. Изучение нового геометрического эъекта представляет не только самостоятельный интерес. Оно позво-яет также выявить такие закономерности теории поверхностей, кото-ые оказываются инвариантными (справедливыми) и для дискретных по-эрхностных наборов точек. С другой стороны способ определения абора облегчает выявлять его закономерности с помощью ЭВМ.

Цель работы заключается: - в разработке дискретной модели по-эрхности (с введением аналогов квадратичных форм, объектов связно-ги, кривизны и др.), а также в исследовании ее деформаций; - в разработ-5 структуры данных для представления информации о дискретном по-эрхностном наборе точек на ЭВМ, построении алгоритмов для распозна-эния ДПНТ, его связности и типа; - в реализации программных средств пя вычисления различных объектов ДПНТ в заданных точках, для выделения деформаций ДПНТ, для моделирования обувной колодки как 5ъекга для применения полученных результатов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: - Доказан аналог теоремы Гаусса - Бонне для дискретного поверхност-~ ного набора точек, устанавливающей связь между кривизнами и эйлеровой характеристикой, а также аналог теоремы Бонне об определении ДПНТ по его двум заданным «квадратичным формам». Выявлены

параметры, задание которых определяют ДПНТ в пространстве с точностью до движения.

- По аналогии с теорией изгибаний поверхностей получены уравнения точных, аналитических и бесконечно малых изгибаний (деформаций). Выявлены критерии, при которых ДПНТ остается жестким при различных начальных условиях, а также условия однозначной определенности ДПНТ.

- Рассмотрен вопрос о существовании ДПНТ, для которого заданное множество чисел могут служить кривизнами и внешними углами, т.е. доказана обратная теорема Гаусса - Бонне для ДПНТ.

- Изучена жесткость ДПНТ определенных типов.

- Разработана концепция единой базы данных, ее информационная структура для ДПНТ.

- Построена модель обувной колодки как ДПНТ.

- Построены алгоритмы, с помощью которых можно исследовать заданный ДПНТ на ЭВМ.

Научная новизна состоит в разработке дискретных аналогов поверхности и ее элементов, которые позволили:

- Вывести формулы для вычисления кривизны ДПНТ,

- Доказать аналог теоремы Гаусса - Бонне для ДПНТ, который дает возможность судить о типе набора.

- Доказать аналог теоремы Бонне для ДПНТ.

- Получить уравнения точных, аналитических и бесконечно малых деформаций ДПНТ.

- Получить критерии, по которым можно определить жесткость ДПНТ при заданных ограничениях на основной объект.

- Доказать аналог обратной теоремы Гаусса - Бонне для ДПНТ некоторых классов.

- Доказать жесткость ДПНТ некоторых классов.

- Построена дискретная модель поверхности обувной колодки и предложены алгоритмы для создания компьютерной системы автоматизированного проектирования моделей обуви.

- Разработаны алгоритмы для определения связности, ориентируемости топологического строения и некоторых других внутренних характеристик ДПНТ, а также для распознавания произвольного множества точе( как объекта ДПНТ. Предложены методика записи в памяти ЭВМ структурь ДПНТ, как компьютерного объекта и алгоритмы для вычисления деформаций.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в следующем:

- ДПНТ, введенный в качестве дискретной модели куска поверхности, является, прежде всего, объектом теоретических исследований;

- Моделирование поверхности посредством ДПНТ позволяет решать различные практические задачи, что, в частности, продемонстрировано не примере автоматизированного проектирования обувной колодки.

Полученные результаты могут быть использованы при чтении курсоЕ

Компьютерная геометрия», «Компьютерная графика» и «Моделирование ястем» в ВУЗах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. ДПНТ - дискретный аналог куска поверхности.

2. Теорема Гаусса - Бонне для ДПНТ.

3. Аналог теоремы Бонне для ДПНТ.

4. Обратная теорема Гаусса - Бонне для ДПНТ.

5. Жесткость ДПНТ типа "поверхности вращения".

6. Дискретная модель поверхности обувной колодки, как ДПНТ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семи-

арах отделов Института математики (Математический институт с ВЦ) АН Т, «Геометрия в целом» и «Компьютерная геометрия» механико-атематического факультета МГУ, на научных конференциях в г. Душанбе.

Результаты работы внедрены в Худжандском филиале Технологическо-з Университета Таджикистана для проведения занятий по дисциплинам Компьютерная геометрия», «Компьютерная графика» и «Моделирование истем» для специальностей "Программное обеспечение ВТ и АС" и Технология изделий текстильной и легкой промышленности".

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четы-ех глав, заключения, списка литературы из 67 наименований, 15 таблиц, 1 рисунка. Работа изложена на 100 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы и цель диссертационной аботы. Определены элементы теории поверхностей, для которых вводят-я дискретные аналоги, методы исследования и приведены основные ре-/льтаты работы, выносимые на защиту. Приведено описание структуры иссертации.

лава 1. Моделирование поверхности дискретным поверхностным абором точек (ДПНТ).

§ 1.1. Дискретный набор точек Р 2 на плоскости.

Пусть плоскость Е2, снабженная прямоугольной, декартовой системой эординат Ои'и2, покрыта равномерной прямоугольной сеткой. Рассмот-им некоторое конечное множество М узлов упомянутой сетки М = { Мк1_ >} = { (и1к1, и2к2) }, где целочисленные индексы к1 и к2 принимают впол-е определенные значения.

Определим четыре типа отношений между точками множества М.

Определение 1. Если две точки в боих случаях рисунка принадлежат ножеству М, то каждая точка нахо-ится в соседстве 0 рода с другой эчкой.

Определение 2. Если все четыре точки рисунка принадлежат множеству М, то каждая из них находится в соседстве 1 рода с тремя другими точками. Отметим, что каждая точка рисунка находится также в соседстве 0 рода с каждой из двух соответствующих точек.

—Л- -ф—6—-6-6-

о-

Определение 3. Если все шесть точек в четырех случаях рисунка принадлежат множеству М, то выделенная точка находится в соседстве 2 рода с пятью другими точками. Отметим, что точка находится также в соседстве 0 рода с каждой из соответствующих точек и в соседстве 1 с тремя соответствующими точками.

с!)—¿>- -<Ь—4

О--0-

0-

рода

Определение 4.

Если все восемь точек в четырех случаях рисунка принадлежат множеству М, то выделенная точка находится в соседстве 3 рода с семью другими точками. Отметим, что точка находится также

в соседстве 2 рода с пятью соответствующими точками, в отношении 1 рода с тремя соответствующими точками и в соседстве 0 рода с каждой из четырех соответствующих точек.

Определение 5. Цепью (путем) во множестве М называется такая последовательность точек { М кш к2(,), / = 1,2,...,п } из М, в которой каждая точка для ¡=2,...,п-1 находится в соседстве 0 рода с предыдущей и последующей точками, а точки с / =1 и /' = л находятся в соседстве 0 рода с последующей и предыдущей точками соответственно.

Определение 6. Множество М связно, если любые две его точки можно соединить цепью из М.

Определение 7. Конечное множество точек (узлов прямоугольной сетки) называется дискретным набором точек Р на плоскости, если оно связно и каждая его точка по отношению к другим точкам множества находится в соседстве, по крайней мере, 1 рода.

Определение 8. Точка называется внут-знней для дискретного набора Р2 , если она Л-Л.

кружена восемью соседними точками из Р2 зображенными на рисунке.

Определение 9. Точка называется гранич-ой для дискретного набора Р2, если она не зляется внутренней. —ф-

Определение 10. Множество граничных эчек называется краем дискретного набора 2 и обозначается ЗР2.

1.2 Дискретный поверхностный набор точек й2в пространстве Е3.

Пусть Я достаточно большое число такое, что рассматриваемый наи дискретный набор Р2 содержится внутри круга К радиуса Я? с центром начале координат.

Предположим, что х" = х" (и1,и2), а = 1,2,3 - некоторое гомеоморфное гображение К в трехмерное евкпидовое пространство Е3.

Определение 1. Конечное множество точек

{Мк1, к2) = {х(и\ь и2к2 )} = {х1(и1к1, и2к2), х2(и\ьи2к2), х3(и1к1,игк2)} (и\ь и2к2) е Р2 , будем называть дискретным поверхностным набо-эм О2 точек в евклидовом пространстве Е3.

Определение 2. Образы внутренних и граничных точек дискретного эбора Р2 будем называть внутренними и граничными точками О2.

Определение 3. Множество точек набора О2, отличающие друг от дру-1 только координатой и1к1, называется координатной линией и\ь и соот-этственно множество тех точек, которые отличаются только координатой \2, называется координатной линией и2к2.

Предположим, что на О2 задан какой-либо геометрический объект /(и\ь и2к2). Его приращения вдоль координатных линий и1к1 и и2к2 опре-элим следующим образом:

<5, Ш(и\кь и2к2) = Щи\иьи2кд - \Л/(и1к1, и2к2), 5г \Л/(и к1, и2к2) = \Л/(и к1, и2к2+1) - \А/(и к1, и2к2).

Основываясь на определении приращений, введем в рассмотрение в аждой точке О2 базисные векторы х,, х2 и х3 = [Х1, х2] (рис.1). Эта тройка экторов определяет основной локальный базис дискретного поверхно-гного набора О2.

Определим компоненты основного объекта дар как скалярное произ-эдение базисных векторов д0/3 = ха ■ хр , а, (3 = 1,2,3. Компоненты д13, '.з, 931, 9зг = 0, д33 = 1. Введенные понятия являются, очевидно, разностями аналогами основного базиса и основного объекта, хорошо извест-э1х в теории поверхностей.

Обозначим через аь а2, ... , а6 - углы вокруг внутренней точки Ми, ^ ;м. рис. 1) и а(к1 ,к2)=1а,. Внутренняя кривизна в точке Ми к2 определяется ж действительное число К(к1,к2) = 2тт - а(к1,к2).

В случае граничной точки МкЬ к2 определяются углы, которые находятся со стороны набора D2. Обозначим через Ь(к1,к2) сумму углов при граничной точке Mkt к2, тогда внешний угол в точке Mk1i к2 определяется как действительное число е(к1,к2) = тт - Ь(к1,к2) меньшее л. Далее получены формулы, по которым вычисляются кривизны и внешние углы, и рассматривается трансляция векторов вдоль координатных линий.

§ 1.3. Теорема Гаусса - Бонне.

Рассмотрим дискретный поверхностный набор D2 точек в пространстве Е . Каждую точку набора D2 назовем нульмерной клеткой, каждые две точки набора D2, находящие в соседстве 0 рода - одномерной клеткой. Всякую четверку точек набора D2, каждая точка которой находится в соседстве 1 рода с остальными, назовем двумерной клеткой. Если обозначить количество нульмерных, одномерных и двумерных клеток набора 2 2 D через V, Е, F соответственно, то получим V + Е + F = r(D ). Полученное

число называется эйлеровой характеристикой набора D .

Теорема. Пусть D2 дискретный поверхностный набор точек в Е3 и °D2 = D2 \ д D . Пусть К(М) обозначает внутреннюю кривизну во внутренней точке Me D2, a e(N) - внешний угол в граничной точке Ned D2. Тогда

ZK(M) + £e(N) = 2xZ(D2).

Me°D2 Ned D2

Далее приводится доказательство этой теоремы.

§1.4. Аналог теоремы Бонне для дискретного поверхностного набора точек.

В известной теореме Бонне из теории поверхностей говорится о том, что вторая квадратичная форма поверхности вместе с первой определяют поверхность в пространстве с точностью до движения. Аналогичный результат имеет место и для дискретных поверхностных наборов точек.

Пусть D2 некоторый дискретный поверхностный набор точек в пространстве Е3. Обозначим через X(k1,k2) квадратную матрицу третьего порядка компонент векторов базиса в точке (и k1, и к2), т.е.

г х,(и к1, и к2)-Х(к1,к2)= х2(и1к1,и2к2) „ х3 (и к1,и к2).

Обозначим через Гр (к1,к2) (р =1,2) матрицу преобразования базисных екторов дискретного поверхностного набора точек, от точки (и1к1, и2к2) к очкам (и1к1+1, и2к2) и (и1к1, и2к2-ц) соответственно, т.е.

Х(к1+р1,к2+р2) = Гр (к1,к2) Х(к1, к2).

Здесь и далее р=1, если р1=1 и р2=0; р = 2, если р1=0 и р2=1.

Отметим, что базисные векторы в точке (и1к1+1, и2к2-ц), исходя из точи (и1к1, и2к2), можно определить по формуле

Х(к1+1,к2+1) = Г, (к1,к2+1) Г2 (к1,к2)Х(к1, к2) или

Х(к1+1,к2+1) = Г2 (к1+1,к2) Г, (к1,к2) Х(к1, к2).

Следовательно, для определения в нем базисных векторов единст-енным образом необходимо, чтобы определители матриц Гр (р=1,2) бы-и положительными (для одинаковой ориентированности тройки базисных екторов) и выполнялось следующее условие

П (к1,к2+1) г2 (к1,к2) = г2(к1+1,к2)г1(к1,к2).

А для единственности определения базисных векторов в точках Лиьи2^), (и1к1-1, и2^) и (и1к1+1, и2^), исходя из точки (и1кЬи2к2), необ-одимо выполнение следующих аналогичных условий:

П (к1-1,к2+1) Г2 (к1-1,к2) = Г2 (к1,к2) П (к1-1,к2), П (к1-1,к2) Г2 (к1-1,к2-1) = Г2 (к1,к2-1) П (к1-1,к2-1), Г, (к1,к2) Г2 (к1,к2-1) = Г2 (к1+1,к2-1) Г, (к1,к2-1).

Компоненты матриц Гч являются разностными аналогами кристоффе-ей второго рода, коэффициентов второй квадратичной формы из теории оверхностей.

Последние выражения являются условиями Гаусса - Петерсона - Ко-ацци в точках (и1кЬи2к2), (и1 к1.ьи2к2), (и1 м.ьи2к2.-,) и (и\ьи2к2.,).

Элементы матриц Г| : Г/, , Л,ц=1,2,3; ¡=1,2, которые при значениях ,ц=3 обозначены как Ь,р = Г3,ЬР, = Гр31, Ь | = Г33,, р=1,2.

Теорема. Пусть { др }, { Ь,р }, р, /' =1,2; два объекта, заданные в точ-ах дискретного набора Р 2 на плоскости, из коих первый симметрич-ый и его матрица положительно определена. Пусть для коэффициен-юв этих объектов, совместно с коэффициентами вычисленных по ним бъектов { Гчр,}, { Ьч,}, {Ь ,} (¡, р, = 1,2) выполняются условия Гаусса -!етерсона - Кодацци.

Тогда существует, и притом единственный с точностью до положения в пространстве дискретный поверхностный набор точек, для эторого объект { др,} является основным объектом, а объекты { Гяр,}, Ьд}, {Ь-,р} и {Ь/} определяют матрицы перехода базисных векторов.

Далее приводится доказательство.

§ 1.5. Примеры ДПНТ

В этом параграфе приводятся примеры ДПНТ типа цилиндра, сферы и

тора. Для них вычислены все элементы.

Глава 2. Деформации дискретного поверхностного набора точек

§ 2.1. Уравнения точных, аналитических и бесконечно малых деформаций

Здесь рассмотрены различные типы деформаций дискретного поверхностного набора точек О 2. Обозначим через г(и\ ьи2к2) векторное поле конечных перемещений и через х*(и1к1,и2к2) радиус-вектор нового положения О2 точек дискретного поверхностного набора в Е3.

х* (и1 кЬи2к2) =х(и\1,и2кг) +г(и1кьи2кг)

Определение 1. Точной деформацией набора О называется такое его перемещение в новое положение О2., при котором значения компонент основного объекта остаются неизменными.

Если для компонент основного объекта О2, принять обозначение д*ря (р, с/ = 1,2), то из определения 1 будет следовать, что д*Рд(и1кьи к2) = д*р, (и\ьи2к2).

Раскрывая смысл этого равенства с помощью формул для основного объекта получим хр + хягр +гр гц =0 (р, д = 1,2).

Полученные нами скалярные уравнения служат для определения искомого векторного поля г. Отметим, что среди его решений имеются такие, которым отвечают движения точечного набора О2 как абсолютно твердой конструкции. Такие решения следует считать тривиальными. В этой связи будем говорить об однозначной определенности О2, если любая его точная деформация сводится к движению в пространстве Е3.

Рассмотрим перемещение набора О в пространстве Е3 , при котором его произвольная точка М, определяемая радиус-вектором х(и\ьигк 2 ), переходит в новое положение МЕ с радиус-вектором х*(и\ьи2к 2 ,г). Предположим, что преобразование О2 в новый набор Ое2 выражается формулой

х*(и1к1,и2к2,г) = х(и1к1,и2к2) + 2X г^(и\ьи2к2),

т.е. радиус-вектор точки МЕ допускает степенное разложение в окрестности е = 0.

Определение 2. Преобразование называется аналитической деформацией дискретного поверхностного набора точек О2, если оно сохраняет значение компонент основного объекта:

9РЧ (и1к1. и2к2„г) = дрч (и\ьи2к2), р, <7 = 1,2.

Это условие равносильно бесконечной системе уравнений относительно искомых векторов г<>)(и1к1,и2к2)

хр гя(1) + хд гр<1> =0,

Хрг^Хдг^Лг^ = О, • ■ ■»

п-1

хргд(п,+хя2р(п> +2 Е 2Р<%<5> =0, (п=2,3,...).

Теперь рассмотрим более общее преобразование вида.

х*(и1к1,и2кг,е) = х(и1к1,и2к2)+2 I е^(1>(и1к1,и2к2)+2<п+1>(и1к1,и2к2,е),

\ег<п+1, = 0(еп+1), е^О.

Определение 3. Преобразование дискретного поверхностного набо-а точек Ь2 называется бесконечно малой деформацией порядка п, ес-и условие равенства основных объектов выполняется приближенно с ючностью до бесконечно малых величин высшего порядка сравни-юльно се".

Для дальнейшего изучения аналитических и бесконечно малых де-юрмаций дискретных поверхностных наборов точек О2 введем систему экторных полей у^' (у = 1,2,...) посредством соотношения

=1 гУ'Чхр+Х

котором каждый вектор определен в точке (и1к1,и2к2) еР2. Сравнивая ээффициенты при одинаковых степенях е, получим

= IС - ^ ]■

7 ' ' ~ еР

\е р = 1,2. Показано, что векторы (V =1,2,...) определяется через у^ (V 1,2,...) и наоборот.

Теорема 1. Если у™ (и\ьи2кг) = см (V =1,2,...), (и\ьи2кг) е Р2, где см

векторная константа, то бесконечно малая деформация порядка п ючечного набора О2 сводится к его бесконечно малому движению в ространстве Е3.

Определение 4. Бесконечно малая деформация порядка п дискрет-ого поверхностного набора О2 называется нетривиальной, если у11' * эляГ.

Определение 5. Набор О2 обладает жесткостью порядка п, если он е допускает нетривиальных бесконечно малых деформаций порядка п.

Определение 6. Если для любого сколь угодно большого числа п на-ор О обладает жесткостью порядка п, то аналитическая деформа-ия О2 называется аналитическим движением.

Теорема 2. Если дискретный поверхностный набор точек О2 облада-т жесткостью порядка п=1, то любая его аналитическая деформация зодится к аналитическому движению.

§ 2.2. Уравнения деформаций на основе теоремы Бонне.

Допустим, дискретный поверхностный набор точек О2 подвергается де-юрмации. Обозначим матрицу основного объекта нового дискретного оверхностного набора точек 0+2 полученного при деформации набора О2 ерез в*. Тогда из определения точной деформации следует, что в* = в.

Для нового набора 0+2

в* + 4 С* = Гр*в*(ГрГ, (р =1.2), где ()' транспонирование. Откуда получаем соотношение

ГР*С(ГРУ = Грв(Гр)\ Для нового набора также должны выполняться условия Гаусса - Пе-терсона - Кодацци, т.е.

(Л, * + <%/}*; Г2* - (Л2 * + 3,Г2*) Л,* = 0. Откуда имея в виду, что условия Гаусса - Петерсона - Кодацци выполняются, также и для 6 получим

(Л, + ЪГ, )АГ2 + (АЛ, + 62АЛ1 )(Г2+ АГ2) =

= (Г2 + $Гг)АГ1 +(А Г2 + %АГ2)(Г1+ АЛ,). Полученные нами уравнения позволяют определить матрицы АЛР (р=1,2), тогда по ним определяются матрицы Лр нового набора О2: По теореме Бонне (аналог для дискретного поверхностного набора точек) матрицы в вместе с Лр полностью определяют дискретный поверхностный набор точек в Е3 с точностью до движения, т.е. нулевым решениям уравнений соответствуют только тривиальные деформации набора и наоборот. В этой связи будем говорить об однозначной определенности О2, если эти уравнения имеют только нулевые решения.

При бесконечно малых деформациях набора величины, относящие к набору, получают определенные приращения, если они не выражаются полностью через коэффициенты основного объекта, а в случае специальной бесконечно малой деформации, если они не выражаются также и через коэффициенты Ь12 набора.

§ 2.3. Критерии жесткости и однозначной определенности при различных начальных условиях

Рассмотрим некоторую двумерную клетку дискретного поверхностного набора точек О2 при точке М(к1,к2) (рис. 2).

При деформациях, которые были рассмотрены в §2.2 - §2.3, двумерная клетка 1\МРО переходит в новое положение М*М*Р*0*. При этом в силу

эго, что основной объект остается неизменным, треугольники ДМШ и ЫРО преобразуются в конгруэнтные треугольники ДМ*1М*0* и ДМ*Р*0*.

Общее положение точек двумерной клетки ММРО может стать другим, элько изменением угла между упомянутыми треугольниками вдоль линии ежду N и О.

В этом параграфе рассмотрены деформации дискретного поверхност-эго набора точек при условии, что каждая двумерная клетка переходит в энгруэнтную двумерную клетку и получены соответствующие уравнения.

§ 2.4. Обратная теорема Гаусса - Бонне. Реализуемость метрики ПНТ.

Обратная теорема Гаусса - Бонне для дискретных наборов записыва-гся таким образом

Теорема 2.4.1. Пусть Р2-дискретный набор точек; рь...,рг-точки °Р2 Р2 \ д Р2, з -точки на 8 Р2. Пусть кь...,к г и еь...,е 3 - действи-

тельные числа, такие, что

(1) к п< 2 л для всех п,

(2) ет < 7г для всех т,

г э

(3) Х/с„+ Ъет = 2жХ{Р1). п=1 т=1

Тогда на Р2 существует метрика с кривизной к п в р п, внешним уг-ом етвцт.

Для произвольной точки р из Р а(р) обозначает сумму углов вокруг р; на не завысит от способа представления, использованного для ее поддета. Если р - внутренняя точка Р2 , т. е. ре^Р2, то кривизна в точке р эедставляется как действительное число к(р)=2я-а(р), меньшее 2ж. Если - граничная точка Р2 , т. е. с/ едР1, то внешний угол в точке д определятся как действительное число е(р)=тг-а(д), меньшее п.

Заметим, что понятие "существует метрика на Р2" идентично тому, что Р2 существует объект типа дт, и,у=1,2; д11>0, д22>0, который может слу-ить основным объектом для какого-нибудь дискретного поверхностного абора точек, полученного отображением Р2 в трехмерное евклидовое эостранство.

пава 3. Специальные ДПНТ и их деформации

§ 3.1. О жесткости некоторых классов ДПНТ типа «поверхности ращения»

В данном параграфе рассмотрен дискретный поверхностный набор то-эк на поверхности вращения.

Теорема. Дискретный поверхностный набор точек на поверхности оащения жесткий, если хотя бы в одной из точек набора коэффициент >2 не равен нулю.

Далее рассматриваются деформации сферического, цилиндрического и зровых ДПНТ.

§ 3.2. Моделирование дискретного поверхностного набора точек (ячеистой оболочки) обувной колодки

Колодка (внутренняя форма обуви) является основной оснасткой для изготовления обуви. Она определяет размер и форму обуви, придает ей стабильную, форму. Каждая колодка содержит следующие топографические элементы (части): носочную, переднею, геленочную и пяточную части. С точки зрения характера и формы отдельных плоскостей в колодке можно выделить след, грань, внутреннюю и наружную стороны, подъем и площадку.

Пространственная модель колодки строится на основе стельки колодки (контур развертки на плоскость поверхности следа колодки), продольного профиля (контур заднего пяточного закругления, следа колодки, носочной части и подъема)'и поперечных сечений (контуры поперечных сечений в узловых точках).

Для моделирования контуров разработан алгоритм, результатами которого являются массивы координат(пространственных) в соответствующих сечениях. В алгоритме аппроксимация производится с использованием многочленов Безье.

В пространстве Е3 выбрав прямоугольную систему координат на основе данных-массивов- контуров получен пространственный каркас 2/3 длины колодки (пяточную и геленочную части). Пучковая и носочная части добавляются на основе какой-то стандартной модели из базы данных. В результате получаем пространственную модель, аппроксимирую которую "многочленами Безье, получаем поверхность колодки. Расположив на этой .поверхности сетку, получаем дискретный поверхностный набор точек (ячеистой оболочки) обувной колодки. Глава 4. Алгоритмические вопросы.

Для реализации алгоритмов данной главы используется RAD система IMicrosoft Visual Basic 6.0. В программах введены классы набор данных, точка, базисный вектор, объект связности, поднабор данных, кривизна и внешний угол. Для данных классов определены свойства и методы.

§ 4.1. Форма представления ДПНТ на ЭВМ, алгоритмы распознавания ДПНТ, его связности и типа.

В данном параграфе в начале рассмотрены структура данных, алгоритмы идентификация набора данных, связности ДПНТ и определения типа ДПНТ.

§ 4.2. Система для вычисления различных объектов ДПНТ в заданных точках

В данной системе используются наборы данных ДПНТ, образованные процедурой <НД>. Процедура <НД> имеет следующую структуру:

Процедура <НД>

(Вычисление координат точек по формулам!

Ввод значений координат точек

Система для вычисления различных объектов ДПНТ имеет следующую

§ 4.3. Система для вычисления деформаций ДПНТ

Система для вычисления деформаций ДПНТ имеет структуру :

Система <Деформации ДПНТ>1

Процедура <Вычисление деформации по заданному преобразованию»

Процедура вычисления деформации ДПНТ через г(и к1, и2к 2) векторное поле конечных перемещений

Процедура вычисления деформации ДПНТ через у(и к1, и2к 2) векторное поле вращений

^ Определение жесткости ДПНТ

§ 4.4. Структура и алгоритмы системы моделирования обувной элодки

Исходными данными для моделирования обувной колодки является нформация из базы данных <Каркас>, в которой каждая запись имеет 1едующие поля: размер, тип (муж., жен., юнош., дев., дет.), группа обуви, эюота каблука, массив данных о стельке колодки, массив данных о про-эльном профиле, массив данных о 1 поперечном сечении, массив дан-э1х о 2 поперечном сечении, массив данных о 3 поперечном сечении, тип эсочной части.

Система моделирования обувной колодки имеет следующую структуру

Заключение. В нем подводится итог и отмечаются полученные результаты:

- Выведены формулы для вычисления кривизны ДПНТ,

- Доказана теорема Гаусса - Бонне для ДПНТ, которая дает возможность судить о типе набора. Она является условием, которому должны удовлетворять заранее заданные функции, чтобы быть кривизнами.

- Доказан аналог теоремы Бонне для ДПНТ, которая выявляет связи между коэффициентами основного объекта и объектов связности.

- Получены уравнения точных, аналитических и бесконечно малых деформаций.

- Получены критерии, по которым можно определить жесткость ДПНТ при заданных ограничениях на основной объект.

- Доказана обратная теорема Гаусса - Бонне для ДПНТ некоторых классов.

- Доказана жесткость ДПНТ некоторых классов.

- В качестве объекта исследования на ЭВМ построена дискретная мо-

ель поверхности обувной колодки, как ДПНТ и описаны алгоритмы, по зторым можно построить компьютерную систему для проектирования оделей обуви.

- Разработаны алгоритмы, по которым можно определить является ли энный набор точек ДПНТ, его связность, ориентируемость, топологиче-<ое строение и некоторые внутренние характеристики ДПНТ. Также писана методика записи в памяти ЭВМ структуры ДПНТ, как компьютер-эго объекта и алгоритмы для вычисления деформаций.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность и признатель-эсть научному руководителю академику З.Д.Усманову за постановку за-зчи, постоянное внимание и поддержку в процессе работы над диссерта-ией.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих рабо-эх:

1. Усманов З.Д., Максудов Х.Т. О деформациях дискретного поверхно-гного набора точек. Доклады АН ТаджССР, т. 26, №12,1983.

2. Максудов Х.Т. К вопросу деформируемости дискретного поверхност-эго набора точек. - В кн.: Республиканская научно - теоретическая конвенция молодых ученых и специалистов Таджикской ССР (Тезисы док-адов). Секция физико-математических наук. - Душанбе, 1985.

3. Максудов Х.Т. Аналог теоремы Бонне для дискретного поверхност-эго набора точек. - Известия АН Тадж.ССР. Отделение физ.-мат., хим. и юл. наук. № 1 (99), 1986.

4. Максудов Х.Т. О деформируемости дискретного поверхностного (то-эдиального) набора точек. - В кн.: Материалы республиканской научно -эактической конференции молодых ученых и специалистов Таджикской СР (Тезисы докладов). - Душанбе, 1987.

5. Максудов Х.Т. О матричной форме уравнений деформаций дискрет-эго поверхностного набора точек. - В кн.: Республиканская научно - прак-1ческая конференция молодых ученых и специалистов. - Душанбе, 1989.

6. Максудов Х.Т. Специальная бесконечно-малая деформация дис-ютного поверхностного набора точек./ Институт математики АН РТ - Ду-анбе, 1995 - 8 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, № 15(992) -Та95, э1п. 1.

7. Максудов Х.Т. Теорема Гаусса - Бонне для дискретного поверхност-эго набора точек. / Институт математики АН РТ - Душанбе, 1995 -10 с.-епонировано в НПИЦентре РТ, № 16(993) -Та95, вып. 1.

8. Максудов Х.Т. Обратная теорема Гаусса - Бонне для дискретных эверхностных наборов точек некоторых классов./ Институт математики Н РТ - Душанбе - 2000- 10 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, 217(1325) -вып. 1.

9. Максудов Х.Т. Кривизна дискретного поверхностного набора точек и имерсия основного объекта. / Институт математики АН РТ - Душанбе -300 - 11 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №18(1326) - вып.1.

10. Максудов Х.Т. Жесткость и однозначная определенность дискрет-

ных поверхностных наборов точек некоторых классов. / Институт математики АН РТ - Душанбе - 2000 -11 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, № 19(1327)- вып.1.

11.Максудов Х.Т. Дискретная модель обувной колодки. / Институт математики АН РТ - Душанбе - 2000 - 17 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №20(1328)- вып.1.

12.Максудов Х.Т. Система проектирования верха обуви «Колодка». I Институт математики АН РТ - Душанбе - 2000 - 5 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №21(1329) - вып.1.

13.Максудов Х.Т. Дискретные поверхностные наборы точек типа «поверхности вращения» и их деформации. / Институт математики АН РТ -Душанбе - 2000 - 13 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №22(1330) -вып.1.

14.Максудов Х.Т. Структура данных и алгоритмы исследования дискретных поверхностных наборов точек. / Институт математики АН РТ -Душанбе - 2000 - 11 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, № 23(1331) -

вып.1.

Введение.

Глава 1. Моделирование поверхности дискретным поверхностным набором точек (ДПНТ).

§1.1. Дискретный набор точек Р2 на плоскости

§ 1.2. Дискретный поверхностный набор точек О в пространстве Е

§1.3. Теорема Гаусса - Бонне

§ 1.4. Аналог теоремы Бонне для дискретного поверхностного набора точек

§ 1.5. Примеры ДПНТ

Глава 2. Деформации дискретного поверхностного набора точек

§ 2.1. Уравнения точных, аналитических и бесконечно малых деформаций

§ 2.2. Уравнения деформаций на основе теоремы Бонне.

§ 2.3. Критерии жесткости и однозначной определенности при различных начальных условиях.

§ 2.4. Обратная теорема Гаусса - Бонне. Реализуемость метрики

ДПНТ.

Глава 3. Специальные ДПНТ и их деформации

§ 3.1. О жесткости некоторых классов ДПНТ типа «поверхности вращения»

§ 3.2. Моделирование дискретного поверхностного набора точек ячеистой оболочки) обувной колодки

Глава 4. Алгоритмические вопросы

§ 4.1. Форма представления ДПНТ на ЭВМ, алгоритмы распознавания ДПНТ, его связности и типа

§ 4.2. Система для вычисления различных объектов ДПНТ в заданных точках

§ 4.3. Система для вычисления деформаций ДПНТ.

§ 4.4. Структура и алгоритмы системы моделирования обувной колодки

Объектом исследования предлагаемой работы являются введенные дискретные аналоги поверхности и его элементов, а также деформации дискретного аналога. В геометрии поверхностей исследуют два вида проблем - локальные, когда поверхность изучается в малой окрестности точки, и «в целом», когда поверхность изучается на всем ее протяжении. При этом различают внутренне геометрические задачи, связанные с измерениями на самой поверхности, и внешне геометрические, связанные с изучением пространственной формы поверхности и ее частей.

Задачи той области геометрии, которую традиционно называют «геометрией в целом», а в последнее время стали также называть «метрической теорией многообразий и поверхностей», желая тем самым подчеркнуть, что речь идет, прежде всего, о свойствах многообразий и поверхностей, связанных с их метрикой. Как и любой раздел математики, геометрия в целом имеет четко очерченные границы собственных задач и методов. Тематика исследований в этой области непрерывно расширяется, охватывая новый круг задач с привлечением новых методов.

Становление и развитие геометрии «в целом» определили своими работами такие выдающиеся математики, как Дарбу, Коши, Гильберт, Минковский, Вейл, Кон-Фоссен, И.Н. Векуа, А.Д. Александров, Н.В. Ефимов, A.B. Погорелов и др.

Наиболее впечатляющие достижения получены в теории общих выпуклых поверхностей. Первый результат здесь был получен в 1813 г. Коши, доказавшим теорему об однозначной определенности выпуклых многогранников. Другая теорема единственности была доказана в 1897 Минковским. Но только с работ Кон-Фоссена (19271937г.) [14] начались глубокие исследования - изгибание поверхностей «в целом», геодезические линии и полная кривизна поверхностей, топологическое строение абстрактных метрик. Но чтобы материализовать замыслы С.Ф. Кон-Фоссена, требовались новые методы, так как дифференциально-геометрические подходы были недостаточными. Такие методы были найдены А.Д. Александровым, и с 1941 г. началось последовательное изучение общих выпуклых поверхностей. Один из них - метод приближения общей выпуклой поверхности выпуклыми многогранниками. А.Д. Александров в своих исследованиях ввел и использовал новое понятие - развертка и разработал внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей [1]. В 1948-1969 г.г. A.B. Погорелов построил их внешнюю геометрию и решил ряд принципиальных геометрических проблем; в 1948 он доказывает одну из центральных теорем теории - об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей [34].

Далее значительное число результатов были получены по вопросам изгибаний поверхностей. Весьма полное изложение основных проблем этой области и освещения состояния их изученности можно найти в работе Н.В. Ефимова [11]. Его работа выпущена в 1957 г. отдельным изданием в немецком переводе [57] и снабжена рядом дополнений, написанных Е. Рембсом и К.П. Гротемейером. В этих дополнениях содержится довольно полный обзор результатов до1957 г. Далее значительные результаты получены в вопросах изучения изгибаний поверхностей некоторых классов - Э.Г. Позняк [38], И.Х. Сабитов [42], Глюк Н. [60-62], Коннели Р. [53-56], Кейпер Н. [15], З.Д. Усма-нов[47], A.B.Погорелов [36-37] и др. Задачи рассматриваемые в теории изгибаний поверхностей начали изучаться и для других объектов, например для графов [51,52,65]. Результаты и методика исследований теории изгибаний использовались в теории оболочек [36,58,59].

С появлением современной компьютерной техники во многих организациях, решения различных прикладных задач теории поверхностей должны представляться таким образом, чтобы на их основе можно было составлять достаточно эффективные алгоритмы для использования на ЭВМ [3,31,32,39].

Предметом диссертации является дискретный поверхностный набор точек (ДПНТ), моделирующий поверхность и получаемые на его основе дискретные аналоги элементов теории поверхностей.

1. Рассмотрим элементы теории поверхностей, для которых введены их дискретные аналоги [1,5,12,35]. Пусть дана поверхность r = r(u,v), (1) точнее, некоторый ее кусок, покрытый правильной ортогональной сетью линий v = const ии = const. На ней даны две точки Mi и М2 и соединяющая их кривая u = u(t), v = v(t), (2) причем для первой точки t = th а для второй t = t2. Длина L этой кривой определяется как ti

L = ids, t2 где

65 = = \ г иби + rvdv\ = V (г иби + г у dv)( г и6и + rvdv). Вдоль линии (2) би = и'сП, = (3) и = \ -I а2и'2 + Ь2У'2 dt, (4) где а2 = г и г и, Ь2 = г, г,.

Гаусс обратил внимание на то, что функции а и Ь не инвариантны, но подинтегральное выражение формулы (4) инвариантно, представляя собой дифференциал этой длины, который можно записать так ds2 = a2du2 + b2dv2. (5)

-7В произвольной координатизации бв2 выражается через с1и и сЛ/ таким образом

I = с1в2 = Е би2 + 2Fdudv + вс/у2 (6)

Гаусс назвал это выражение первой основной дифференциальной квадратичной формой1 поверхности (первая квадратичная форма) и сформулировал такой вывод: для проведения всех измерений на поверхности достаточно знать ее первую квадратичную форму.

Все, что можно сказать о поверхности, основываясь только на (6), составляет содержание внутренней геометрии поверхности.

Второй квадратичной формой поверхности называется форма

II = (62г,п) = (гш{и}у),п{иу))6и2 + 2{гиу(и,у),п(и,у))с1и 6у + {г^(и,у),п(и,у))с1\/, где п = [г^г2] / (| [г1,г2]\), « [,]» - векторное, а « (,)» -скалярное произведение векторов.

Поскольку (с/г,п) = 0, то, дифференцируя это равенство, получаем (с/ 2г,п) + [бг,бп) = 0. Отсюда

II = - (с/г,с//7) и

Ци, v) = (гии,п) = - {ги,пи), М(и, v) = (гиу,п) = - (гu>гlv) = - (г„пи),

Ы(и^) = (гт,п) = - {ГпПу) . Гауссовой (полной) кривизной поверхности в точке (и,у) называется величина

1Ы-М2

К =-.

Ев-Е2

По знаку гауссовой кривизны К точки на поверхности делятся на эллиптические (К>0), гиперболические (К<0), параболические (К=0 и к12+к22>0) и точки уплощения (К=0, к1=к2=0). кь к2 - главные кривизны поверхности и К = к1к2.

1 ) Формой называют однородный многочлен, т. е. многочлен, все члены которого имеют одну и ту же степень. ии

Л^Ги+Гц rv + Ln, ruv = r121 ru + r122rv + Mn, rw = Г221 ru + Г222 rv + Nn, nu = a1ru+ fa rv + Г1п, nv = a2ru+ fa rv + y2n, где уь- y2 =0. Гц называются коэффициентами Кристоффеля. Для их определения, а также коэффициентов щ , а2, fab fa2, служат уравнения r111E + r112F = Eu /2,

I r111F + r112G = Fu-Ev /2,

Г121Е + Г122 F = EV /2, i r121F + r122G = Gu /2,

22 Е + Г22 F = Fv - G и /2,

Г22Е + Г22 G = G, /2; ГоцЕ + Д Р = -I, \а2Е + = -М, I а? Р + Дв = -М, [а2 Р + = -А/. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Соотношение, которое определяется теоремой Гаусса, выражает гауссову кривизну через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первых двух порядков: 1

K(u,v)-А

•2\2

EG-F )

- Guu /2+Fuv-Evv/2 Еи /2 Fu - Ev Fv-Gu/2 E F

Gv/2 F G

0 Ev/2 GJ2

Ev/2 E F Gu/2 F G

2(ЕО-Е2)(Ц-Ми) - (ЕЛ/ - 2ЕМ + вЩЕ^и) +

Е Еи1 Е М в ви N 0,

Е Еу / Р Еу М =0. 6

Из теоремы Гаусса следует, что первая квадратичная форма явля

2(Ев-Е2)(М,-Лд - (ЕЫ - 2ЕЬА + а)(Егви) + ется объектом внутренней геометрии.

Продолжая рассматривать задачи внутренней геометрии поверхностей, поставим естественный вопрос: могут ли существовать две различные поверхности с одинаковой внутренней геометрией? Иначе говоря, можно ли на двух различных поверхностях Э и Б* так построить координатные сети, что для тех точек, имеющих одинаковые координаты и принадлежащих линиям, имеющим одинаковые уравнения, окажутся равными и расстояния между точками, измеренные по этим линиям?

В этом случае, при указанном выборе координатных сетей коэффициенты первых квадратичных форм должны быть равны при любых значениях и и V, хотя поверхности и различны, т. е. задаются разными уравнениями. Если удастся на двух разных поверхностях выбрать координатные сети так, что выполняются равенства первых квадратичных форм, то говорят, что одна поверхность изгибается в другую или одна поверхность является изгибанием другой.

Если равенства коэффициентов первых квадратичных форм выполняются приближенно с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка сравнительно с г 11, то говорят о бесконечно малом изгибании порядка п (в случае п = 1 просто говорят бесконечно малое изгибание).

Изгибание является тривиальным, если оно является движением всей поверхности как твердого тела в пространстве.

Поверхность считается неизгибаемой, если всякое ее изгибание тривиальное.

Поверхность обладает жесткостью, если всякое ее бесконечно малое изгибание тривиальное.

Важную роль в теории поверхностей играет теорема Гаусса - Бонне. Она связывает кривизну с эйлеровой характеристикой поверхности. Для многосвязной области О сФ (Ф - регулярная поверхность), граница которой 90 состоит из конечного числа кусочно-регулярных циклов, теорема Гаусса - Бонне формулируется следующим образом:

К с/сг + т(дО) = 2ях{0), О где К - гауссова кривизна, да- элемент площади, т(дО) - сумма поворотов всех циклов ¿ЯЭД(цикл - замкнутая линия), %{0) - эйлерова характеристика области О.

Величина п п = 2 кдйз + аь),

1 у, ¡=1 поворот кривой / , / - кусочно-регулярная кривая, состоящая из регулярных дуг -к , к д- геодезическая кривизна в регулярной точке дуги, ац - ориентированный угол между направляющими векторами дуг у\ и у1+1 в точке их соединения.

2. Упомянутым в предыдущем пункте элементам теории поверхностей в диссертации сопоставляются соответствующие им дискретные аналоги. Такое сопоставление осуществляется на основе приближения исходного куска поверхности дискретным поверхностным набором точек (ДПНТ).

При неограниченном увеличении числа его точек с одновременным уменьшением расстояний между ними, ДПНТ сходится к своему прообразу.

Изучение нового геометрического объекта представляет самостоятельный интерес. Оно позволяет также выявить, очевидно, такие закономерности теории поверхностей, которые оказываются справедливыми и для дискретных поверхностных наборов точек. С другой стороны способ определения набора облегчает проводить исследования с помощью ЭВМ.

В работе рассмотрены следующие задачи:

- В теореме Гаусса - Бонне устанавливается связь между кривизнами через эйлеровую характеристику. Доказать аналогичную теорему и для дискретного поверхностного набора точек.

- В теореме Бонне из теории поверхностей говорится о том, что вторая квадратичная форма поверхности вместе с первой определяет поверхность в пространстве до движения. Найти для дискретного поверхностного набора точек некоторые его параметры, задание которых, определяют ДПНТ в пространстве с точностью до движения.

- По аналогии с теорией изгибаний поверхностей получить уравнения точных, аналитических и бесконечно малых изгибаний (деформаций). Выявить критерии, при которых ДПНТ остается жестким при различных начальных условиях, а также условия однозначной определенности ДПНТ.

- Рассмотреть вопрос, существует ли ДПНТ, для которого заданное множество чисел могут служить кривизнами и внешними, углами, т.е. доказать обратную теорему Гаусса - Бонне для ДПНТ.

- Рассмотреть жесткость ДПНТ определенных типов.

- Построить модель обувной колодки как ДПНТ, рассмотреть вопросы наложения частей такого ДПНТ на плоскость.

- Построить алгоритмы, с помощью которых можно было бы исследовать заданный ДПНТ на ЭВМ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия поверхности. - М.: Гостех-издат, 1948.

2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.: ГиТТЛ, 1950.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1981.

4. Бакельман И.Я. и др. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973 - 440 с.

5. Берже М. Геометрия. Т.1 2. - М.: Мир, 1984.

6. Берже М., Берри Ж.-П. Задачи по геометрии с комментариями и решениями. М.: Мир, 1989 - 304 с.

7. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

8. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

9. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

10. Гилой В. Интерактивная машинная графика: Структуры данных, алгоритмы, языки. М.: Мир, 1981 - 384 с.

11. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей «в малом». УМН, 3, вып. 2 (24), 1948 - с. 47-158.

12. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. Ч. 1 М.: Гостехиздат, 1947.

13. Коннели Р. Об одном подходе к проблеме неизгибаемости. В кн. Исследования по метрической теории поверхностей. Сб. статей. М.: Мир, 1980,-с. 164 -210.

14. Кон Фоссен С. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. - М.: Физматгиз, 1959.

15. Кёйпер Н. X. Изгибание полиэдральной сферы в Е3, по Роберту Ко-нелли. В кн. Исследования по метрической теории поверхностей.

16. Максудов Х.Т. Аналог теоремы Бонне для дискретного поверхностного набора точек. Известия АН Тадж.ССР. Отделение физ.-мат., хим. и геол. наук. № 1 (99), 1986.

17. Максудов Х.Т. О деформируемости дискретного поверхностного (тородиального) набора точек. В кн.: Материалы республиканской научно - практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикской ССР (Тезисы докладов). - Душанбе, 1987.

18. Максудов Х.Т. О матричной форме уравнений деформаций дискретного поверхностного набора точек. В кн.: Республиканская научно- практическая конференция молодых ученых и специалистов. -Душанбе, 1989.

19. Максудов Х.Т. Специальная бесконечно-малая деформация дискретного поверхностного набора точек./ Институт математики АН РТ- Душанбе, 1995 8 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, № 15(992) -Та95, вып. 1.

20. Максудов Х.Т. Теорема Гаусса Бонне для дискретного поверхностного набора точек. / Институт математики АН РТ - Душанбе, 1995- 10 с. Депонировано в НПИЦентре РТ, № 16(993)-Та95, вып. 1.

21. Максудов Х.Т. Обратная теорема Гаусса Бонне для дискретных поверхностных наборов точек некоторых классов./ Институт мате

22. Максудов Х.Т. Кривизна дискретного поверхностного набора точек и иммерсия основного объекта. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе - 2000 - 11 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, № 18(1326)- вып. 1.

23. Максудов Х.Т. Жесткость и однозначная определенность дискретных поверхностных наборов точек некоторых классов. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе - 2000 - 11 с. -Депонировано в НПИЦентре РТ, № 19(1327)- вып. 1.

24. Максудов Х.Т. Дискретная модель обувной колодки. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе - 2000 - 17 с.-Депонировано в НПИЦентре РТ, № 20(1328) - вып. 1.

25. Максудов Х.Т. Система проектирования верха обуви «Колодка». / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе -2000-5 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №21(1329)- вып. 1.

26. Максудов Х.Т. Дискретные поверхностные наборы точек типа «поверхности вращения» и их деформации. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе - 2000 - 13 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №22(1330)- вып. 1.

27. Максудов Х.Т. Структура данных и алгоритмы исследования дискретных поверхностных наборов точек. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе - 2000 - 11 с. - Депонировано в НПИЦентре РТ, №23(1331)- вып. 1.

28. Маллер Д., Препарата Ф. Нахождение пересечения двух выпуклых многогранников. В кн.: «Кибернетика». Сборник. № 20 - М.:, 1983, с. 5-29.

29. Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные ме

30. Математика и САПР. Кн. 2. Вычислительные методы. Геометрические методы М.: Мир, 1988.

31. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. М.: Радио и связь, 1986 - 400 с.

32. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.

33. Погорелов A.B. Геометрия. М.: Наука, 1983. - 287 с.

34. Погорелов A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочек. -М.: Наука, 1986.

35. Погорелов A.B. Специальные бесконечно-малые изгибания выпуклых поверхностей. «Труды Математического института АН СССР», 1984, 166. -с.210-217.

36. Позняк Э.Г. Нежесткие замкнутые многогранники. Вестник МГУ, сер. Математики и Механики. № 3 (1960), с. 14-18.

37. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989.-478 с.

38. Роджерс Д.Ф. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989.

39. Роджерс Д.Ф., Адам Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 1991.

40. Сабитов И.Х. О жесткости «гофрированных» поверхностей вращения. Математические заметки, т. 14 №4(1975). с. 517-522.

41. Сабоннадгер Ж. Методы конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989.

42. Синченко Л.Д. Вопросы «геометрии торовых поверхностей». В кн.: Геометрические модели и алгоритмы. - П.: 1983, с. 128-137.

43. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977.

44. Усманов З.Д., Максудов Х.Т. О деформациях дискретного поверхностного набора точек. Доклады АН ТаджССР, т. 26, №12Б, 1983.

45. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. / АН Респ. Таджикистан. Мат. ин-т с ВЦ. Душанбе, 1993 -244 с.

46. Фоли Дж., Ван Дем А. Основы интерактивной машиной графики. М.: Мир, 1985.

47. Холева Э. И др. Основы рационального конструирования колодок и обуви. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. - 248 с.

48. Энджел Й. Практическое введение в машинную графику. М.: Радио и связь, 1988 - с. 195.

49. Asimov L., Roth В. Rigidity of graphs II. J. Math. Anal, and Appl. V. 68, № 1 (1979), 171-190.

50. Asimov L„ Roth B. Rigidity of graphs. Trans, of AMS. V. 245 (1978), 279 -289.

51. Connelly R. A flexible sphere. Mathemat. Intelligence, v.1, № 3 (1978), 130-131.

52. Connelly R. An immersial polyhedral surface which flexes. Indiana University Math. J., 25(1976).- 965-972.

53. Connelly R. Conjectures and open questions in rigidity. Proc. Int. Congr. Math., Helsinki, 15-29, Aug.,1979, vol. 1.-407-414.

54. Connelly R. The rigidity of certain cabled frameworks and the second order rigidity of arbitrary triangulated convex surfaces. Adv. Math., 1980, 37, № 3.-272-299.

55. Efimof N.B. Flächen Verbiegung in grossen. Miteinem Nachtrag von E. Rembs and K.P.Grotemeyer Berlin, Akademie Verlag, 1957.

56. Frackiewicz H. Mechanika osrodkow siatkowych.- Warszawa, PWN, 1970.

57. Frackiewicz H., Legat A. Geometryezna zmiennose powtok siatkowych. -Warszawa, PWN, 1982.

58. Gluck H. Almost all simply connected closed surfaces are rigid. Lec-100tures Notes in Mathematics, v. 438(1975), 225 240.

59. Gluck H. Manifolds with preassigned curvature . A survey. Bull, of AMS, v. 81 (1975), № 2,- 313-329.

60. Gluck H., Krigelman K., Singer D. The converse to the Gauss Bonnet Theorem in PL. -J. Differential Geometry, v. 9(1974), - 601-606.

61. Gruber P.M. Aspects of convexity and its applications. Expos, math., v.2. 1984, №1.-47-83.

62. Hopf H. Differential geometry in large. Lect. Notes Math. , 1983, 1000,VIII. - 184.

63. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Engineering Math. 9(1970), 337-340.

64. Patruno G.N. The Lattice polytope problem. Elem. Math. , 1983, 38, №3,69-71.

65. Singer D. Preassigning curvature of polihedra homeomorphic to the two-sphere. J. of Diff. Geometry, v.9, № 4 (1974) - 683-688.

66. Svec A. Global differential geometry of surfaces. Berlin, Dtsch. Verl. Wiss., 1981,- 154.