автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Дискретно-параметрический метод геометрического моделирования кривых линий и поверхностей

- ' >4 ti

;s» 'С - mihîctepctbo kkïbcbkm державши бзмцеництвл

осв1ти yKPAÏKH техшчний ушверситет ■

î apxítektyph

На правах рукопису УДК 515.3

верещага bíkt0p михайлович

дискретно-параметричшш метод гесметричного моделювання кривих л1н1й та поверхонь

Спец1альн1сть 05.01.01. - Прикладна геометр1я,

комп'ютерна граф&са, дизайн та ергоном1ка

автореферат дасертацИ на здобуття наукового ступени доктора техн1чних наук

Ки1в, 1S96

До захисту пропонуеться рукопис

Роботу виконано в Тавр1йськ1й державн1й агротехн1чн!й академИ (м.МелХтополь).

Науковий консультант: академ!к AIK Укратни, доктор техн1чких

наук, професор Найдаш В.М.

0ф1ц1йн1 отононта:доктор техн!чних наук, професор Куценко JI.M.

доктор техн1чких наук, професор Шдкоритов A.M.

доктор техн1чних наук, професор Грибов С.М.

Пров1дна орган!зац1я - Науково-досл1дний 1нститут спеЩальних

технолог!® М1я1стерства осв1ти Укра1ни

Захист вШудеться н/7" ^Всггр^Я 1996р. о 13 годон1

на зас1данн1 стоц!ал1зовано1 рада Д 01.18.06. в Ки!вському державному техн1чному ун1верситет1 буд1внвдтва 1 арх1тектури.

25203?,. Ки1в-37, ПоВ1трофлотський проспект,31, КДТУБА.

3 дисертац1ею можна ознайомитися в б1бд!отец1 КДТУБА.

' Автореферат роз!слано " /2" ОерРбМЯ 1996р.

Вмений секретер сшц1ал1зованоГ»вчено1 ради Д 01.18.06

кандидат техн!.чних наук,доцент. /'•-•■ ■ Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальн1сть теми. Геометричн1 молол1 знаходять дедэл1 широк© 1 р1зноман1тне застосування в багатьох галузях науки 1 техн1ки для огтасу та досл1дження явищ i nponecis, Ix ангШзу, розра-хунк1в, прогнозування тэ оптим1зац11 окре),¡их параметр 1в та я виц в ц1лому. Розшфюеться спектр досл1джуваних явищ, зростае р1эно-ман1ття моделей, що застосовуюгься, та геометричних 1двй, як1 при цьому використозуються,

Стр1мке ытровадженпя сучасно! обчислювальда! техн1ки в ус! сфери науковот та Еиробничо! д1яльност1 вимагаз розробки адекват-них методХв дискретно! обрэбки Щормац'И, як1 максимально врахо-вують дискретний характер обчислювальних процес1в в ПЕОМ, а такок дискретний характер робота виконавчих механ1зм!в та пристро!в ви-воду. граф1чно! 1нформац11 (ворстати з ЧПУ, графопобудувач1

та 1н.).

В теорИ та практиц1 дискретного геомотричного моделювання (ДГМ) найб1лъшого розвитку досягли метода дискретно! 1нтврполяц1! дискретно представления кривих (ДПК) та поверхонь (ДЛИ). Зокрома . це стосуеться проектувакня функц!оналышх поверхонь: кузов1в лег-кових автомоб1л1в,аеродинам1чних поверхонь.робочих поверхонь грунтообробних знарядь 1 т.1н.;розрахунку р1вноваших систем та

ÍH.

Метода ДГМ мають багато переваг в пор1внянн1 з методами непе-рервного геометричного моделювання. Насамперед це - покроковий контроль розв'язку та його похибки з метою забезпечкти за дану точн1сть та дапередити виникноння осциляц!! розв'язку шляхом ц1леспрямовано1 його корекцИ. для чого метода ДГМ надають иирок1 можливост!. За умов забезпечення повторност! розрахунк1в метода ДГМ надають можливост! максимально! авидкодИ розрахунк!в, еко-homíI машшших pecypclB та м1н1мального об'ему пам'ят! для збере-I ження 1нформац11.

Методам ДГМ притаманна ун1версзльн1сть, як у в1дношени1 гео-метричних характеристик вих1дних точкових масив1в, так 1 в в1дно-шекн1 капрякку та характеру використання результат!в моделювання, завдяки чому вони об1цяють стати основою побудови ефективних ун1версалышх обчислювальних систем.

Для досягшння ule Г мети треба розробити нов i метода чисель-ного дифэренц1»ват1Я та 1нтегрування ДПК i ДПП, а тзкок розвинути та запропонувяти нов! способ».? доскрчтно! 1нтерпо.ляц11, и;о вр-ъхо-

вують значения видах пох!дних. В наявиих досл!дженнях метода дискретного диференц1ювання та 1нтегрування взагал1 не розроб-лен1, не досл!джен1 питания дискретно! 1нтерполяц11 точкових ряд!в э особливостями, не розроблен1 слособи дискретно! 1нтерпо-ляц11 за умов одночасно! неосцшшци ДПК та граф!к!в II похЦщих, що е вкрай важливим для забезпечення задано! точност! та ст1йкост1 обчислювального процесу. Все це обумовлюе актуальн1сть роботи.

Мета робота полягае в розробц! теоретичних основ та досл1дженн1 единого методу розв'язання да$ференц1ально-!нтегрэлъ-них задач формотворення дискретно представлених кривих та повер-хонъ за умов' в!дсутност1 осциляц!! кривих та граф!к1в !х

п0х1дних.

Для досягнення поставлено! мети в робот! розв'язуються так! задач!:

- розробка основних положень теорИ ' утворення та завдання дискретно представлених кривих (ДПК);

'- розробка теоретичних основ методу дискретного дафе-ренцИовання плоских ДПК, в т.ч. 1 сп1ралевидних;

- розробка нових спосо01в дискретно! 1нтерколяц1! ДПК з краг-ними вузлами;

- розв'язання загально! задач! дискретного 1нтегрування плоских ДПК;

- розробка нових способ!в 1нтегрування звичайних дифе-ренц!алъних р1внянь;

- розробка нових способ!в дискретно! 1нтерполяци ДПП;

- створення програмного забезпечення запропонованого методу та впровадаення результата досл1джень в практику.

Методика досл1дхень. Для розв'язання поставлених задач засто-совувались метода нарисно!, анал!тично1, диференц1ально1 гео-метр1й, теори 1нтерполяц!Т, обчислювальних метод1в, дифе- 1 ренц1ального та 1нтегрального обчислень. >

При проведенн1 досл!джень буди прийнят! так1 передумови:

1. Задана ДПК мае свою внутр1шю геометр!ю,шо визначаеться сукупнЮтю значень ординат точок та розд1лених р!зниць на за-дан1й с1тц1.

2. Вих!дн1 дан! задан! без похибок.

3. Вих!дн! дан!, як 1 результат моделювання, не мають осциляц! 1 . .

4. ЕЬщевст метой дискретного геометричного модолювання в згущена Д1ТХ, яо задовольняе поставленим умовлм, або супроводжуюча ламана л!н1я, яка тюсл1довно з'еднус вс1 точки останнъого кроку згуцоння та являв собою образ (апрокснмац!ю)неперервно! криво! при настушсгх розв'язаннях практкчшяс задач моделквання.

5. Значения параметр!в (нанрпклад, похоти), а такой координат точок згущення но розраховуиться однозначно, а вибнраються в «ежах поля допуску, де гарантуеться вшсонання поставлонпх умов, що з на!!б1лъа1й м!р1 в1дпов!дае 1нтерзктивному характеру моделю-вання.

» Наукову новизну досл.1дкенъ складае дискретно-парамотричннй метод мододаь:«шя крдапх л!н1й 1 ттоверхонь, характерною ознакою якого с лобудова смугк допустимых значень розв'язку поставлено! задай! та к:б!р шукзного значения усередкн1 побудовано! смуги. .

Концептуально» основою котоду е вар1ативн1сть розв'язку, виб!р шуканого значения 1з множини пр;туст1«мжс. •

Геонетрпчно» основою методу в побудова смуги припустимся значень .

Обчислхвально» основою методу с розв'язок спстеми нер1шостеЯ.

В мехах методу одержан! нов! результата, ¡цо в!добража»ть його зм!ст:

- разроблеи! загальн! положения теорП ДЛК та Гх завдашш;

- розроблен! теореглчн1 осневи методу дискретного дкфе-рошНмвання плоских ДПК; . -

- запропонован! нов! способи дискретно! 1нтерполяц11 ЛПК з краткими вузлами;

- розроблггШ оагальн! положения методу дискретного 1нтегру-ьашя плоских ДИК;

- зйпропононано новий. спос!б дискретного 1нтегрувашя эвичап-1П'х дпФоренц! алылк р!внянь;

- зглтрононоган! нов! способи дискретно! 1нтерполяц1! ДПП.

Практична ц1нн!сть результата досл1дг.ень полягае в наступио-

му:

I. Сукутм1сть теоретичних полоконь та алгорптмХв мкко слугу-вати основою для створення ун!версалыю1 оСчислкьалънсЛ системп дискретного гоонотрпчного шдолсБання з максимально» евпдкод!сю та жнрскпмл ксклнвостяи! корекцII розв'язку.

?,. Розроблено прогршгс забозпечешья надэо проектусальнику кирок! мохливост! ьрпхуьашш багатьох ъпхиппх та додаткоькх г;:-

мог, корекцИ розв'язку, «держания проекта«. вар'1шт1в з покраще-ними технолоПчними, експлуатац1Яними тэ 1ншими характеристиками.

На захист виноситься дискретно--параметричнмй метод ?,:оделюван-ин криьих л1н1й та поверхонь та складов!, що в!дображэыть Лого зм!ст 1 мають наукову новизну.

Реал1зац1я результат^ досл!дкень зд!йснена в вигляд1 програм розрахунку дискретного точкового каркасу неосцилкючих л!н!йних обвод1в та поверхонь з неосцилюючим характером зм!ни IX похЗдних. Программ впровадкен! у в1дд!л! САПР ПО "АвтоЗАЗ" (формотворення кузовних поверхонь); пряйнят1 до впровадження на ПО "Азовсталь" (м.Мар!уполь) при формотворенн! поверхонь штамп1в та обробц! екс-периментальних даних.

На основ! дискретно-параметричного методу створено ППП Форму-вання л1н1й водопоток1в та водорозд1л1в при розрахунках розмщек-ня г1дротехш чних споруд на схилах та впроваджено в ДД1 охорони грунт1в УААН (м.Луганськ).

.Обсяг пуйл1кац1й за темою дасертацП складас 38 наЯменувзяь.

Апробац1я робота. Основн! положения дисертац!йно! роботи пов1домл9Но 1 обговорено на X Всесоюзному науково-методичному сем1нар! "1нженерна 1 машинна граф!ка" в Полтав! (1991р.); на Всесоюзна конференцИ "КОГРАФ-91" в Н-Ковгород1 (1991р.); на м1жнародних конференц1ях в Севастопол! (1991р.,1992р.); на рес-публ!канському науково-практкчному сем!нар! в ВХтебську (1992р.); на XIII Всеукра1нськ1Й науково-методичн1й конферецИ в Харков! (1993р.); на м!жнародних науково-практичних конференц!ях • в Мел1топол1 (1994р.,1995р.5; на м1жнародн!й науково-методичн1й конференцИ у Львов! (1994р.); на м1жвуз1вському'сем1нар! з прак-ладно! геометрИ та 1нкене'рно1 граф1ки в КДТУВА (1994р.), на нау-ково-методочних конференц1ях ТДАТА(м.Мел1тополь)в 1990...1995 рр.

Структура та об'си робота. Дисертац1я складаеться 1з вступу, п'яти глав, висновкIв, списку л!тератури 1з 152 найменувань, до-датку. Робота м!стить 294 стор!нок друкованого тексту, 119 рисунка та 21 таблица.

ЗМ1СТ Р060ТИ

У встуШ обгрунтовуеться актуа'льнЮть досл1дз:ень з теми ди-сертацП, формулюеться мета та задач! досл!дження, нзукова новизна та практична Щнн1сть результат!в роботи.

Наводиться особливост! дискротного геометричного шделювання

(ДГМ) у сп1вставленн! з неперервним геометричним моделюванням, виконуеться анал1з л1тературких даерел та досягнень в галуз1 ДГМ.

Розглядаються загальн! положения теорП даскретних функц1й (ДФ), як1 представляються множиною значень ординат у0,...,уп на деяк1й с1тц1 х0,...хп I вважаються такими, що не мають неперерв-ного прообразу, а залишаються дискретними при як завгодно щ!льно-му згущенн! множини У0,•••,уп. Граф1чним представником дискретно! Функц1! е ДПК, яка е об'ектом ДГМ. Результатом ДГМ е ДПК на згу-щен!й с1тц1 (або згущена ДПК).

Множима ДФ с метричним 1 одночасяо лШйним нормованим простором 1 задовольняе IX акс!омам.

Розглядавться зб1жн1сть посл1довност! ДФ в метричному (нормо-ваному) простор1.

Для множини Го,...,Гп р1зноман1тних ДФ на одн1й 1 т1й хе с1тц! вводиться ознака л1н1йно1 незалежиост1 елемент!в 1, як приклад, наводиться посл1довн1сть л!н1йно незалежних даскретних алгебра!чних ряд!в.

На основ1 в1дпов1дних теорем диференц1алъно! геометрИ регу-лярних кривих доводиться

Твердаеннл I. Для того, щоб ДПК була точковим рядом деяко! регулярно! криво!, необх1дао 1 достатньо, щоб в кожн1й точц1 ДПК 1снував единий ненульовий вектор дотично!.

Це твердження визначае основну вимогу до ДГЫ: на дов1льнсму кроЩ згущення будь-яка точка ДПК повинна мати ненульовий вектор дотично!.

Важливим при цьому е в1дсутн1сть осциляцИ граф1ка пох!дних, що п1двгацуе ст!йк1сть обчислювального процессу та його точн!сть.

Розглядаються умови завдання ДПК.

Визначником неперервно! криво1 будемо називати сукупн1сть незалежних геометричних елемент1в 1 алгоритм побудови дов1льно1 I! точки, що однозначно визначають положения криво! у простор1.

В якост! незалежних геометричних елемвнт1в виступае ДПК, а в якост1 алгоритму - один з алгоритмхв ДГМ.

Розглядаються р1зноман1тн1 вар1анти завдання ДПК.

У перш1й глав1 теоретично обгрунтовуеться метод дискретного диференц1ювання та розробляються його р1зноман!тн1 обчислювэльн1 схеми в сп1вставленн! з в1домим методом чисельного дифережЦюван-ня.

Задача призначення значень пох!даих у вузлах ДПК с некорект-„

- б -

ною до тих п1р, поки не вибрано апарат моделювання або алгоритм згущоння. 3 геометрично! точки зору цв значить, що в заданих вузлах ДПК можна провести дотичн1 як завгодно, якщо не визначен1 додатков1 вимоги 1 умови. Якщо поставити вимогу в1дсутност1 осци-ляц11, те вектор дотично! в кожному вузл1 повинен розм1щуватися усередин1 кута сум!жност1 сус1дн1х ланок ламано! л1н11. В1д положения цього вектора залежить повнота криво! у пром!жку м1ж вузлами, I! симетр1я та 1нш1 характеристики, як! в прикладн1й ма-тематиц1 не розглядаються, але в1д1грають неабияку роль при практичному проектуванн1.

Таким чином, задача чисельного диференц1ювання зводиться не до розрахунку пох1дно!, а до !! вибору в певних межах. Такий про-цес диференц1ювання назвемо даскретним диференц1юваншш. його ха-рактерними рисами е:

- визначення граничних значень пох1дно! (поля допуску) в за-даному вузл1;

- виб!р значения пох1дно1 усередкн1 побудовано1 смуги з ура-хуванням додаткових вимог формотворення криво! (повнота, симетр1я 1 т.1н.).

Для опукло1 (уверх) ДПК маемо

а{= * { ' <у\ < 1 <ь(, Ы1;п-1 (1)

де. а( та - вузлов1 значения смуги, яка названа автором слугою диф-проекц1й (рисЛ) усередин1 яко1 повинн! розм1щатися точки у'{ значень пох1дно!, що не вшишкають осциляцИ ДПК при II згущенн!.

Для угнуто! (униз) ДПК знаки нер1вностей (1) треба зам1нити на протилежн1.

Наводяться основн1 властивост! смуги. Ширдаа А{ смуги в за-вдан1й точц1 дор1внюе

*о

Де

Л{=|Ь1-о( | = |—-|, 1=1;п-1 (2)

О)

- друга к1нцева р1зниця, за допомогою яко! визначаеться опукл!сть ДПК. Для опукло1 ДПК бдля угнуто! и°>0. В початков 1й та к!нцев!й'точках ДПК можна взяти

Тод1 для опукло1 ДПК

Ь0=а0М0« агГЬп"Дп- (5)

При згущенн1 за певними алгоритмами точкового ряду у{,1=0;п, будуються точки у{+0 5, <=0;п-7, на с1тц1 з кроком Гг,=о,5-Л. При цьому смуга звужусться з козкним кроком згущення приблизно в 2 рази.

Розглядаються 1нш1 властиво.ст1 смуги, пов'язан1 з процесом згущення. Зокрема,

де 5 - значения пох1днот в точц1 згущення. При неосцилюючому эгущенн1 смуга згущеного ряду розм1щуеться повн1стх> в мехах смуги везгущеного ряду.

Для забезпечення ст!йкост1 обчислювального процесу при наступите кроках згущення треба дотримуватись двох основних вимог:

- дискретний граф1к пох1дно1 не повинен мати осциляцИ;

- цей граф1к повинен давати змогу проводати синхронне неосци-люючв згущення як само! ДПК, так 1 граф1ка П пох1дао!.

Доводиться, що не всякий неосцилюючий граф1к у\ допускас од-ночасне неосцилюиче згущення 1 ДПК, I його самого. Зокрема, якщо

' в (7)

г , п '

то. дотичн1 та у'( + ; перетинаоться посередан! 1нтервалу [х4,х(+(], а граф1ком пох1дно! на цьому 1нтервал1' моке бути в1др1зок прямо! л1н11. Якщо (7) дотримуеться при (=0; п-1, то ряд у, допускас обвод 1-го порядку гладкост1 1з дуг 2-парабол, ( а графиком пох1дао1 е ламана л1н1я.

Якщо •

У'1*У\+,/иСУ< (8)

.2 Ь.

то для опукло1 ДПК ноосцилюючий ряд е угнутим 1 допускав одночасне неосцилююче згущення 1 ДПК, 1 у' .При цьому дотичн! у'{ та у' ! перетинаються л1в!шо середина 1нторвалу

Якщо неосшшяочий ряд е, як 1 ДПК, також опуклим, то до-тичн! перетинаються прав!ше середини 1нтервалу, а нер!вн1сть (8) мае протилежний знак. Для означения положения точки усередин1 смуги вводиться коеф!ц1снт 0<р.'{<7, так що

У^П-ц^^уЩ (9)

, Алгоритм дискретного диферэнц1ювання опукло! ДПК в укрупнено-му вигляд1 включас:

1. Побудову смуги (I).

2. Анал1з напряму опуклост1 (уверх чи униз), вс1с1 смуги або II д1лянок.

3. Призначення номвр1в (абсцис) граничних точок д1лянок смуги, де напрям опуклост!" зм1нюеться.

4. Складання систем нер1вностой (I) + (8) для угнуто! д1лянки смуги, та (I) +(8) з протилежним знаком нер1вност! для опукло1 д1лянки смуги.

5. Розв'язок систем та виб1р значень пох1дних.

Для виконання ос-таннього пушту можна використовувати програ-ми розв'язку систем нер1вностей, що с у багатьох в1домих обчислю-вальних пакетах. Але вказан1 системи мають специф1чну структуру 1 б1льш доц!льно скористатися властивостями смуги, призначити дов!льний ряд у'{ приблизно посередин1 смуги ( ц'{«0,5 ) 1 в 1н-терактивному ре«им1 виконати корекц!» ряду для досягнення умов (I) + (8).

Досл1джуеться похибка Н1 дискретного диференц1ювання, доводиться, що ви01р точок у'( впливае на величину М.При |1'( близькому до 0,5 еплив парних пох!дних на величину похибки н!велюеться, тому точки бакано вибирати якомога бликче до середини смуги. Але основною причиною значно! похибки е осциляц1я, коливання значень 1 знак1в пох1дних. Тому у подальшому основною вимогою моделювання е в!дсутн1сть осциляцН 1 ДПК 1 граф!к1в II пох1дних. Для цього в згаданий ран!ше алгоритм треба включити умову опуклост1 (угну-тост!) граф!ка . Для угнутого граф!ка у'{

для опуклого - (10) мае протилежний знак.

Враховуючи специф!ку сумарно! системи (I) + (8) + (10), в робот! пропонуеться граф1чний спос1б II розв'язання.

Кр!м згаданого вище, в робот! пропонусться ще 7 способ1в ре-ал1зац!1 методу дискретного даференц!ювання. Ц1 способи в1др1зня-ються або видом ДПК, для яких вони призначен!, або способом розв'язання систоми нер!вностей. Основним серед них е спос1б, що базуеться на властавостях смуги даф-проекц1й. Доводиться 7 тверд-жень в1дносно того, яким повинен бути граф!к пох1дно1 для задано! ДПК (опуклим, угнутим, лэманою л1н!ею 1 т.1н.) та як в1н повинен розм1щуватись в диф-смуз1.. Зокрема, для угнутого граф1ка у'( середина в1др1зку у'{ + ( повинна розм!щуватись вище горизонтал! а( Ь(+) смуги (рис.2), для опуклого - навпаки, що випливае з ге-ометричного тлумачення (8).

9 °М

СЦ-г!

\

\

\

-v

к

щ

-v

Ьи,

\

\

6-v-

<3 Рс*1

У-

Рис.2. Вплив взаслного розтащ/вання точок у'£ ш у'1+1 на напрял опуклот1 граф1ка у'

Ран!ше було доведено, що необх1дною умовою побудови угнутого (опуклого) граф1ка усередин1 смуги е можлив1сть трансформац!! верхньо! (нижньо!) меж! смуги у опуклу вниз (вверх) в межах само!

смуги. В робот1 доводиться, що достатньою умовою побудови такого граф!ка з урахуванБям Яого подальшго неосш1люючого згущення 8 нэявн1сть зазору м!к трансформованою (угнутою) верхнюю межею та серединою смуги,що виражаеться значениям крктер1я 5К{+(=(7>{+5< + ;) - > 0 1з (8), де 5{+(-значення вузлових точок трансформова-

но1 верхньо! мек1.

Даеться в1дпов!дний алгоритм, який е основою програмно1 рв-ал1зац11 методу дискретного диференц!ювання.

Коли розв'язок задач1 дискретного диференц!ювання треба мата в реягим! реального часу (визначення швидкостей руху, розв'язання трьекторних задач 1 т.1н.), актуальним стае автоматичний спос1б розв'язання задач!. Щоб досягти цього, треба перейти в1д системи нер!вностей до системи р1внянь або зм1шаних систем 1 вказати ЕОМ алгоритм вибору точки, розь'язку в пол1 допуску.

В робот! пропонусться дв1 схеми для перетворення системи (8) в систему р1внянь. Системи (I) 1 (10) використовуються при цьому, як системи обмежень на значения управляючого параметра.

Вводиться деякий коеф1ц!снт 1>г, що компенсуе р1зницю в значениях л!во! 1 право! частин (8) 1 перетворш (8) в р1вняння.Так

як у( виступае в рол1 иножника, то таку схему названо ыульт1пл1 кативною по аналог!! з видами перешкод в теорИ сигнал!в. Досл1джуеться 4 р!зновиди схеми, з яких найбЫъш! ттпвост! мае спос1б, що веде до системи р1внянь

. (11)

При 0<г>{<0,5 дотичн1 у'{ та ц'1+ перетинаються л1в1ше се-редини 1нтервалу [ а граф1к у' е угнутим.

При 0,5 < г>( < 1 дотичн1 перетинаються прав1ше середани, а граф1к ц\ - опуклий. При ^\=иг система (11) формув при умовах (1) +(10) дотичн! парабол1чного обводу.

Наводяться розрахунков!. формули та вказ1вки в!дносно вибору значения управляючого параметра у' при формуванн1 неосцилюючого при згущенн! граф!ка у'{.

Друга схема названа аддативною.оскиьки компенсуючий параметр виступае в вигляд! доданка

1з сп1вставлення (8) та (12) видно, що параметр визначае в1дстанъ середини в1др1зку у'£ у'( + / в1д горизонтам о(Ъ{ + г При й(+) > О граф!к у'( угнутий, при + ? < О - опукдай, при <3( + ( =0 - дамана лШя. Очевидно,щоб уникнути осциляцИ,|<2( + >|<|5К |.

Наводяться розрэхунков1 схеми та даються рекомендацИ щодо вибору параметра у^, при заздалег1дь тгризначених в!дпов1дно

згаданого обмежэння.

В теорП дискретно! 1нтерполяц11, розвинено1 в роботах акад. Найдиша В.М. та його учн1в, найб!льи поширеними с три метода:

- метод геометричша сп!вв1дношекь;

- метод тотожностей;

- метод _базисних функц1й 1нтерполяц1!.

Розглянут1 виде способи дискретного даференц1ювання мозкна вважати узагальненням методу геометричнпх сп1вв!дношень.

Розглядаеться можлив!сть дискретного диференц1ювання на основ! тотожностей. Основна тотокн!сть згущення

(13)

зв'язуа значения других к1нцев*лх р!зниць зл!ва б!_а «. та справа

б|+0 5 в!д вузлово! 1-1 точки з1 значениями

1-0.5 б та б'

(до

{ ---1

Тндекси вгор! биз-

згущення та п1сля згущення) у вузлов!й точц!. начають номер кроку згущення.

При б|=0 система (13) формуе значения та б|+0 5 так!,

що пряма,що з'еднуе в1дпов1дн1 1м точки (1-0,5)'та (1+0,5)'проходить, через у( 1 мозга вважатися дотичною до майбутньо! криво! в 1-му вузл! (рис.3).

Рис.3. Форлувачня > вашчних у вуэлах ЛПК на основ I тотожностей

Pua.4. До бивначення . Kymi& сул1хност1 ианок лалано1 лЫП залкненоХ ДПК

АГ-

мм

~ -ÍSS'

Рис.5. (41:2) Слуга iqjmte судtxcnocml \ та граф £ к кут.16 нахил у -/¿/Ч— дотичних у вуэлах ДПК \ \

(рис.4.) \ V

Множина цих дотичних, очевидно, в1дпов!даб парабол1чному обводу. Давться розрахункова схема та алгоритм вибору управляю-чого параметра у' для одержання вказаного обводу.

Для побудови угнутого граф!ка у' пропонуеться система

при О < г>( < 1, що виражае асиметр1ю дотичних.

АналоПчна система розв'язувться для опуклого граф1ка у'(, да-ються рекомендац!! щодо вибору значения В^ . П!сля того, як сформована множина значень б|+0 ^ розраховуються

Досл1джуеться можлив!сть використання базисних функц!й (пол!ном1в 2-го та 3-го порядк!в). Зокрема,множина пол!ном1в 2-го порядку дас розрахункову систему оомекень

За(-Ь{<у'{+у'и1<ЗЬ{-а., ЫиГп^Т, (16)

яка доповнюс системи (1) + (8) + (10). При цьому формуеться множина значень у'{, близьких до парабол1чного обводу.

В багатьох практичних задачах важливе значения мае розрахунок дотичних у вузлах сп!ралевидаих та замкнеких ДПК. Якщо для замк-нено! ДПК (рис.4) побудувати смугу (рис.5) кут1в нахилу до ос1 Ох кожнот ланки вписано! ламано! л!н1Т, то ширина ц1бт смуги у кожному вузл! дор!внюе куту сум!жност1 згаданих ланок. Усере-дин1 Ще1 смуги можна побудувати граф!к нахилу дотичних, що не викликають осциляцИ ДПК, при згущенн!. Крок с!тки смуги нер1вном1рний 1 в1дображае довжину•ланок ламано!.

Такий п1дх!д дозволяе ви?<ористати результата попередн1х досл1джень, уникнути надто великих значень пох!дно1, за рахунок операц!й з к!нцевими значениями кут!в нахилу (а не 1х тангенс1в) суттево п1двищити точн!сть розрахунк!в, уникнути параметричндго представления ДПК та ускладень, з ним пов'язаких.

Оск!льки метод дискретного диференцХювання пов'язаняй з розв'язанням систем Л1н1йних нер!вностей-обмежень (1) + (8) + (10), то ц1лком 1стотною е спроба застосувати маиинн! програми розв'язку задач! л!н!йного програмування Для формування неосцилю-

ючого г^зф1ка . При цьому мозша використати ц!льову функц1ю у вигляд! мШмуму (максимуму) площ! п!д ламяною граф1ка у'{.

Розглядатъся алгоритма дискретного диференц!юваш1Я у вкпадку попереднього завдашя деяких значонь пох!лдо1 у вузлах ЛПК..

Друга глава присвячена досл!д;кенню новкх способХв дискретно! 1нтерполяцЦ перс-важно у випадках попереднього завдання дотичних у вузлах ДПК.

Найб!льш загальним способом дискретно! 1нтерполяц1! ДПК без врахування пох!дних е розв'язакня системи л!н!йних нер1вностей опуклост! згущено! ДПК

Необх!дн!сть розв'язання ц1е! задач1 диктуеться згущенням ряду У\, де значения пох!дних не задан!. В робот! пропонусться графхчний спос!б визначешш ординат точок згущення за допомого» складено! номограми 1з вир!внялгах точок, де слочэтку визначаеться смуга розв'язку, приблмзно прсередин! яко! вибираються иукан! значения.

Для ДПК з краткими вузлами (у вузлах задан! значения пох!дних) розглядаеться умова, аналог1чпа (3) при повторному згу-щенн!, зв!дк!ля одержуються нов! обмежекня на положения точки згущення yl+0 5 з урахуванням значения у'и0 5.

î/t + r(î/'i+0.5^'t + l]~7 Wuo.sWi + faWi+o.sl^T'' (,8)

Для того, щоб мати поле вибору для у{+0 5, треба у'{+0 5 виб-рати 1з сп!вв!дношень

h---2— y 1*0.5* —?-' ■ <19>

Аналог1чн1 сп1вв!дношення, що гарантують наявн!сть розв'язку (19) п1сля того, як вибрано у 0 5, мають вигляд

».^■"»«Л'^;« .«о»

Сп!вв!дношення (19) 1 (20) в фувдзкенталькимц при попоредаьо-му вибор! точки згущення ylt0 5 (щоб граф1к y't в'точц! у' ^ не осцилював) або значения у\±0 5' (щоб ДПК у{ в точц! згущешя на осцилювала). В робот! в зв'язку з цим розглядаеться 2 шляхи одно-

часного згущення у ± г/'£ в залежюст! в 1д того, яке значения би-бираеться першим. В подалылому все до реал1зовано в програмному забезпеченн!.

Для локального згущення ДПК з краткими вузлами на 1нтервал! пропонусться спос1б, що оазуеться на 1де1 мультшШка-тивно! схеми. На основ1 того.що дотичн! на кожному кроц1 згущення перетинаються зл1ва в!д середши в точц1 на в1дстан1 V • в!д л!вого вузла, пропонуються формули посл!довного розрахунку пох1дно! 1 точки згущення

(22)

П1сля цього анзлог!чне згущення сл1д провести на кожн!й з по-ловшнкх д!лянок ,1:т.д. При цьому за умов угнутост1 граф!ка y't необх!дио, щоб з кожшш кроком значения v ь зростало, але заключне î't <0,5.

На ОСНОВ1 мультппл1катавно1 схеми пропонуеться ще один спос!б згущення, який передбачае розв'язок системи р!внянь i формування зразу опуклого. ланцюга дотичних шляхом под1лу 1нтервалу [xt,x{ + Jl на К piEHiîx частил. Наводяться в!дпов!дн1 фзрмули, даеться алгоритм розрахунку 1 досл!джуетьс.я моклшз1сть його автоматизац!!.

Аналог1чн1 задач! розв'язуються-для аддитивно! схеми: спо-чатку спос1б посл!довного розрахунку, потХм - фармування опуклого ланцыга дотичних на основ! параметра Установлюеться зв'язок

м!Ж'параметрами г> та d на одному 1 тому зк кроц! згущення. .

Значн! mojudieoctI мае спос1б згущення .спиралевидних ДПК на ochobI кут1в сум!жност! ланок , вписано1 ламано1 л!н1!. Досл1джуються залежност! . Mis л1н1йиими та кутовими параметрами, згущення, що- дозволяв застосувати результата попереДн!х досл!даень. Поставлена та вир!шена у в!дпов1дност1 з алгоритмами дискретно - параметричного методу задача фэрмування на певному кроц1 згущення такоГДПК, щоб вс1 кути. сум!зкност! були р1вн1.

..Недол!ком цього способу е те, що точка перетину ланок ламано!. д!н1Л згущено! ДПК нев1дома.

, .Пропонуеться 1ншй спос!б локального 'згущення точками, що ..розташованХна - середишшх ' перпендикулярах. до.в!дпов1дних ланок

(рис.6). Тотожн1сть згущення, виракена через кути сум1гност1, в цьому вкладку мае вигляд

С»)

Шляхом накладоння додаткових зв'язк!в м1ж кутами 1з (23) мок-на одержати немало розрахункових схем. Зокрема, при 7{=7|+0 5 одержуетъся р1зницева схема 1-го порядку

ст1Пка при прям1Я прогонц!. Наводяться 1нш1 можливост!, даться розрахунков! формули одержання опуклоТ згущено1 ДПК.

Розглядаються можливост1 виконання згущення при р1зних способах завдання ДПК.

Для того, щоб при згущенн! врахувати значения кривини в'зав-дан!й точц! ДПК, приЯмаеться, що цэ значения обернене до рад!уса кола, яке 1нцидентне 3-м точкам: задан!й, точи! до 1 п1сля не.1. Кривина залежить.' в!д. бёличини кута сум1жност! ланок ламаног в

задан1й точц! та величиям хорда, що стягуе сус1дн! точки. Одержана тотожн1сть, виражена через кривини та л1н1йн1 параметра ДПК. На основ1 геометричних сп!вв1дношень одержан1 формули розрахунку смуги кривини, вибору та розрахунку кута сум!жност1 та ординати шукано! точки.

Сл1дуючим напрямом дискретно! 1нтерполяц11 с згущення ДПК на основ1 тотожностей (13). Шляхом накладення на (13) додаткових у1.'.ов на взаемозв'язок м1ж к1нцевими р1зницями можна одержати ве-лике р1зноман1ття схем для ьизначення р!зниць в точках згущення,

а значить 1 !х ординат. Зокрема, при 5+б|+0 5| одержу-

еться р1зницева схема 1-го порядку

Наводяться формули 1 алгоритми розрахунку смуги допустимых значень параметра б^ 5 , рекомендации по його вибору за умов в1д-сутност! осциляцИ. П1сля розрахунку решти значень ъ'ио 5 визначаються у{+0 5 зг1дно з (15).

Вказуеться на'можлив1сть одержаяня тоточностей б1льш високого порядку та накладання 1нших вв'язк!в м1ж р!зницями.

Спос1б згущення ДПК за допомогою базисних функц1й 1сторично явився першим способом дискретноГ 1нтерполяц1!. В робот1 розгля-давться його узагальнення на випадок, коли задан1 дотичн1 у вуз-лах ДПК. Наприклад, ордината У1+0 5 точки згущення розраховусться за допомогою 3-пол1нома, заданого'значениями у{,у'£ , У4 + ,»У'{+,

У 1+0,5 ^- * —- ■- Л» . • (2б)

а значения пох1дно! У'1+0 5 того к пол!нома в точц1 згущення дор1внюе .

Уио.а-у — —•

П1сля того,.як згущення розраховано, одержаний ряд перенумерову-еться 1 згущення повторшться.

Але цей спос1б пв дае можливост! корекцИ розв'язку. Цього можна досягнути, об'еднавши сдас1б тотожностей 1 р1зницев1 представления алгебра!чних пол!ном1в.

Зокрема, р1зницеве р1вняння 3-пол1кома з урахуванням точек згущення мае вигляд

eu5 -♦ ölo.5=°- i=t^rt-

Розглядаючи це р1ЕИяння разом з тотозкн1стю (13) та виключаючи ö[ . мохна одержати р1зницеву схему (25). Аналог!чно можна одержати б1льш склада! схеми.

Щоб уникнути осшшяцИ при моделюванн1 ДПК.що мають пря--мол!н1Ян1 д1лянки, ! забезпечити прямол!н1йне згущення вказано1

д1лянки, треба ö|+0 5 вибрати 1з сп1вв!дношення

1

'1+O.S- 4

ö? при \Ь°\<\Ъ°и,\, при

а уио 5 розрахувати зг1дно з (15).

Другий enoeiö врахування прямол1н!йних д!лянок полягав в

призначенн! у'{ = у'{ + 1 = bt+i з наступним згущенням за одним 1з розглянутих вище метод!в.

В робот1 досл1дкуеться мохлив!сть згущення на основ! розв'язання задач! л!н1йного програмування. Система обмежень складаеться з систем (19) + (20), а ц1льова функц!я може мата вигляд

У'о*г[У'о.5+У',+У', .5+У'г+■ • s) (29)

В1дтак знайдеться нижня межа розв'язку. Якщо зам!нити min на max, то знайдеться верхня межа розв'язку. Множина п!дходявдх розв'язк!в знаходиться, як суперпозиц!я граничних значень.

На зак1нчення друго1 глави розглядавться спос!б доповнення на р!вном1рн!Я с1тц1 1нформац11, представлено! на нер!вном!рн1й с!тц1. Основою способу е мультипл1кативна або аддитивна схеми згущення.

В трет1Я глав! теоретично обгрунтовуеться метод дискретного !нтегрування плоско! ДПК, який в1др!знясться в!д в!домих метод1в чисельного 1нтегрування тим, що точки перв!сно! криво! вибирають-ся з поля допуску, а не розраховуються однозначно. Доводиться,що кожен з в1домих метод!в чисельного 1нтегрування (метод ряд!в, метод невизначених коеф1ц!снт!в, метод !нтерполяц11) мае в!дпов1да1 дискрета! аналоги 1 мохе усп!шно використовуватись в практиц!

дгм.

Найб1льшши можливостями з точки зору точност!, швидкоди , 1нтерактивного характеру моделювання волод!е запропонований в робот! на основ! дискретно-параметричного методу спос1б смуги перв1сно! криво1, яка визначаеться обмеженнями (для опукло1 ДПК) 'У'и1<&1<У'г (30)

де у -у

Ье-1—' + <31>

Розглядаютъся 3 можливост! завдання пох!дних:

- анал!тично, деяким диференц!алъним р!внянням;

- граф!чно у вигляд1 неперервного граф!ка;

- дискретно у вигляд! точкового ряду.

Перш1 два способи шляхом дискретизац!! зводяться до третъого, але перед ним мають перевагу в тому, що крок дискретизацП мокна вибирати доыльно, тим самим регулюючи точн1сть 1нтегрування.

Обмеження (30) утворюють смугу ( рис.7), усередин1 яко! мокна побудувати граф1к Д( 1, маючи початковв значения Д0 побудувати точковий ряд перв1сно! криво!. Доводиться, що цей ряд буде опук-лим, коли множина значень буде монотонно спадаа. Досл!джу-сться умова, при виконанн! яко1 угнутий граф!к у\ мае перв!сну ДПК таку, що можливо одночасне неосцилююче згущення перв1сно! ДПК у{ 1 дискретного граф1ка Це можливо, коли

д ыщи^. (32)

1+1 2

П1сля того, як вибрана множина задовольняе (30) 1 (32),можна визначити точки перв!сно1 ДПК зг1дно (31). Очевидно, що граф1к Л{ с верхньою межею даференц1ально! смуги перв!сно! ДПК • для вибору

У'г

Розглядаеться дискретна !нтегрування граф!чно представленого диференц!ального р!вняння:

- невпорядкованим точковим масивом, в кожн1й точц1 якого задано пеьне значения пох!дно!;

- впорядкованим точковим масивом по л!н!ям зв'язку х=х{г' де в кожн!й точц! у1 задано значения у у,

- сукуга1стю 130КЛИН у'= у'{;

- граф1ком у'= у' (х) .

Першей спос1б методами двовим!рно1 дискретно! !нтерполяц11 (гл.4) можна легко перевести в другий або трет!й.

Основу дискретного 1нтегрування становить сп!вв!даошення, що вит1кае з (30),

+ Уи1< (33)

Це значить, що козша наступна точка ) перв1сноГ ДПК розм1щуеться м1ж променями у\ та У'{+). що виходять 1з точки у (рис.12). Точн1сть 1нтегрування ззлежить в!д того, яке положения займае точка у, на в1др!зку А()А1 . Це визначавться коеф!ц!еитом О < ц <1,так що У,=У^, И-и) ЩА0 Вводиться коеф1ц1ент V, який в залежност1 в1д напряму опуклост1 граф!ка у'( приймае значения О < V < 0,5 для угнутого у'£, 1 0,5 < V < 1 для опуклого у'{ 1 визна-чае точку перетину дотичних для первЮно! ЛПК (рис.8). Визна-чаеться залежн1сть м!к коеф!ц1ентами ц 1 V.

Рис.в. Схела розб'язання дьф1в}1яння, превставиеного 1эол1н1или х=х{

Пропонуеться алгоритм, що в1дсл1дковуе у ситуац!! рис; 8 напрям опуклост! граф!ка у'(, а також перв1сно1 ДПК 1 визначае меж! зм!ни V з врахуванням наступного неосцилюючого .згущення 1 перв1сно! ДПК, 1 граф!ка у£. Одержано аналоПчний алгоритм у вкладку, коли р1вняння-представлена 1зоклинами. Тут можлив! два ви-падки, коли 1зэклини за-'.даи! неперервними кривими або представлен!

точковими рядами(дискретно). В останньому випадку для визначення точок переткну промен!в у'£ та у'{ + ; з !зоклиною у' =у'и ,притягують метода локально! дискретно! 1нтерполяц11.

Пропонуетъся спосХб дискретного 1нтегрування анал1тично за-даних диференц!альних р1внянь, основу якого складае сп!вв1даошен-ня (33), а також виб1р кроку Ь=х - х0 1нтегрування, виходячи з похибки Е. При цьому. пршускасться, що в1дстань АоА1 (рис.8) не перевищуе заданого Е>0.

Пропонусться також схема дискретного 1нтегрування, коли 1эоклинами с горизонталь?)! прям! у=у'.

Запропонований метод Хнтегрування е однокроковим.Досл!джуеть~ ся похибка методу, де визначасться головне його досто1нство: повед!нка р1шень р1знвдево! задач1 ! ди$еренц1ально! в1дпов!дають одне одному 1 подр1бнення кроку Ъ звужуе область вибору не т!льки у, але 1 у' . Важливим резервом пЩвищення точност! е адаптивний виб!р значения г» на кожному кроц1 1нтегрування.

Четверта глава присвячена двовим1рн!й дискретн!й 1нтерполяц1! ДПП. Досл1джуються два принцилово р1зн1 п1дходи:

- моделювання ДПП, як однопараметрично! множют кривил л1н!й, на основ! метод!в ДГЫ ДПК, розглянутих ран1ие;

- моделювання ДПП, як двопараметрично! множили точок зг1дно спец1алыглх алгоритм1в, що пропонуються в робот1.

Моделювання поверхн!, дискретно представлено! координатами вузлових точок на прямокутн1й, р1вном!рн1й в план! с1тц! з крока-ми та 1\ , в первому випадку зд!йснюсться через посл1довну даскрвтну !нтерполяц!ю, зг1дно з якою визначаеться апл1ката дов!льноТ точки (х, у) в план1 дано1 ДПП. Спочатку методами дискретно! одновим!рно! !нтерполяц!1 моделюються ряди у = , з метою визначення апл1кат Ху гточок цих ряд!в з абсцисою д^х. Пот1м одержаний таким чином ряд х=х !нтерполюеться вздовж ос! Оу з метою знаходження апл!кати г при у=у. За допомогою вектор1в дотичних в кожному з напрям!в визначаеться дотачна площина в точц1 (х.у.г).

Для уникнення осциляц!! необх!дне узгодкення поздовжн1х та поперечних одновим!рних 1нтерполяц1й.

Пропонуеться алгоритм узгодженого вибору точок х=х в кожному з ряд!в у=у,_(, lJJ••' чином, щоб одержаний ряд х=х в неп-

рям! ос! Оу був опуклим (угнутим). Це досягаеться шляхом побудови смугл р!шень вздовж ос! Оу на основ! пол1в допуску на виб!р точок

в кожному з ряд1в y=¡jj_f, Uj,.... Побудова неосцилюючо! ДПК в ц1й смуз! не ьикликав осциляцИ названих ряд1в.

Двовим!рна дискретна 1нтерполяц1я ДПП досл1джуеться в трьох напрямках:

- формування опуклоТ чарунки ДПП на ochobí геометричних сп1вв1даошень;

- одержання розрахункових алгоритм1в на основ! тотожностей;

- використання базисних функц!й !нтерполяц11.

На ochobI проведених разом з Вруст1новим В.М. досл!джень одержано алгоритм розрахунку точки М згущення усередин! опукло1 чарунки,у вузлах яко! завдан! дотичн1 площини. Цей алгоритм включав згущення ребер чарунки (гл.2) з наступним сп!вставленням об-межень на положения точки М: знизу (в1дносно середин хорд, що з'еднують протилежн1 точки середин ребер, та хорд, що з'еднують вузли чарунки) та зверху (в!дносно точок дотичних площин в вузлах чарунки та серединах бокових ребер, розташованих над серединами хорд). Точка М вибираеться усередин1 отриманого таким чином поля допуску, а дотична площина визначаеться узгодженою суперпозиц!ею чотирьох дотичних вектор1в (у поздовжньому, поперечному та двох д!агональних напрямах).У подальшому точки чарунки перенумеровують-ся 1 алгоритм згущення повторюеться.

Розглядаеться тотожн1сть двовим!рного згущення для складено! чарунки С(1-1, 3-1),(1-1, 3+1 >,(1+1, J-1), (1+1, 3+1)) з точками (1, 3-1). (1-1, 3). (1, 3+1), (1+1, 3) на ребрах та (!, 3) усередин!

il , i Í , i f , д I ,

^i-0,5,J-0,5 1-0,5. J+0.5 йi+0.5. J-0,5 ai+0,5, J+0,5

(34)

+4&ltJ=A°tJ-2¡f>fJ; t=TJm=T;J^TJñPT, Д0 ' 7

L°.rzi.J~ ~[zi-i,J-i*zl-i ,J+i*zi+i ,J-i+zi+i ,j+i]~

перевидения точки z{ j в!дносно центра вершин складено! чарунки, перовищення точки г. , в1дносно центра середин бокових ребер,

• • J -j

^-0.5.J-0.5=Zl-0,S,J-0.5- 4[Zt-,.J-t+Zl.J-1+Zl.J+Zt-1 .J-ПврвВИ-

щення точки згущення г10 5 } 0 5 в1дносно- центра вершин, як1 II оточують. Аналог1чно визначаються 1нш1 перевищення формули (34). Вони е узагалънэнням других к1нцевих р1зниць для точкових ряд1в, розглянутих у гл.2. Система (34) мае (ш-1) <п-1) р1внянь з ш-п нев1домими. Для одержання однозначного р1иення недостатньо (ш+п-1) р1внянь, як1 можна одержати накладенням додаткових зв'язк1в на перевищення Д.'

Розглядэються р1зноман!тн1 вар1анти накладення зв'язк1в на перевищення при умов1 в!дсутност1 осциляц11 ДПП, наводяться формули розрахунк!в перевицень, зв1дк1ля можна одержати апл1кати то-чок згущення.

Важливим напрямом двовим!рноГ 1нтерполяцИ. де в повн1Я м1р1 враховуються зм1шая1 пох1дн1, е використання базисних функЩй, як продовження та узагальнення аналог1чного методу одновим1рно! 1нтерполяц11. Для побудови точки згущення усередин1 чарунки Г(1,3),(1+1,(1,3+1),(1+1,3+1>) застосовуеться баэисна функц1я - параболо1д г=ах+Ьу+сху+<1, 1нцидентний вершинам чарунки. Точка згущення гио 5. що належить цьому параболоТду, мае эпл1кэ-

ту ' ' ' 1

За ц1ею формулою розраховуються точки згущення будь-якоУ чарунки.

Аналог1чне (35) р1вняння можна використати 1 при параметрич-ному представленн! поверхн1. Тод1 кожна з координат х.у або г точки згущення дор1внве середньому арифиетичному в1д в!дпов1дних координат вузл!в чарунки.

Найб1льше можливостей для формотворення ДПП надае р1вняння чарунки Кунса.

-1 I, (V) \г(ъ)

О (4,0) (4,1) (О.V) (0,0) (0,1) , (36)

(1,1» (1,0) (1,1).

де (и,0),(и,1),(0,7),и,у) - р1вняння ребер чарунки;11,12-пе-рех1дн1 функцИ в1д и або и, 1;(и.)=и, Iг(и)=1-и. При и=У=1/2 (рис.9) координата (1/2, 1/2) дор1внюв

(1/2,1/2)=-!~[(1/2,0)+(1/2,1)+(0,1/2)+(и1/2)У

-1

~(и,и)= I,(и) 1г(и)

Рис.9. До обгрунтування розрахунку точна згущення 4 - кутоХ чарунки

- ~[(0,0)+(0,1 )+(иО)+(1,1)]. (37)

Розглядаеться розшрення (36) до похЛдних другого порядку (зм1ианих пох1дних 4-го порядку) 1 алгоритм розрахунку точки згущення та дафервнц1альних характеристик в н1Й з урахуванням вказа-них пох1дних.

Близькою до формули Кунса в формула чарунки кусково! по-верхн!, запропонована Найдишем. В.М., зв1дки координата (1+0,5,3+0,5) точки згущення дор1внюз

(l+Q,5,J+0,5)=-

Л

0 (L+Q,S,l)_ Ll±0x5J±1l

d,J+0,5) ,(i,J) (i.J+t) (38) (l+1,J+0,5)\(i+1J) (UUJ+1)

де h/0 - обкреслений визначник. Ця формула в1др1знявться в1д (36) в!дсутн!стю перех1дних функц!й, як1, особливо при врахуванн1 пох!дних, сприяють о'сщшщИ. Розглядаються умови розрахунку (38),коли А=0, а також узагальнення (38) з метою врахування пох1дних високих порядк1в.

Розглянут1 способи двовим1рно1 даскретно1 ЛнтерполяцИ мають нескладну програмну реал1зац1ю на основ! стандартних п1дпрограм обчислення визначник!в, не потребують значних об'ем!в оперативно! пам'ят! 60М, в1др!зняються в1д неперервних метод!в високою точн!стю, швидкод!с» та мохлив!стю боротися з осциляц!ею.

У п'ят1й глав! досл1даувться мокливЮть ефективно1 автомати-зац!1 дискретного геометричного моделювання ДПК дискретно-пара-метричним методом.

Основнмм напрямом uleî робота е ор!ентац!я на розробку прог-раыного зэбезпечення в межах одн!е! !з поширених САПР.' При цьому використовуються широк! можливост! системи в проведенн! д!алогу, в1зуал1зац!1 та документуванн! р!шення. 0р1ентуючись на систему Auto CAD 10,0 в робот! одержан! розрахунков1 формули та складен! програми дискретного диференц!ювання та !нтерполяц!1 ДПК. Програ-ми дать можлив1сть в!зуал1зац!1 ДПК, диф-смуги та граф1ка пох1дно!; широко! корекц!! форми як криво!, так ! граф!ка ii пох!дно!; доповнення ггрсцесу моделювання додатковими вимогами та умовами; друкування граф!к1в та таблиць за результатами ■ моделювання, а також !х передач! до пристро!в в1дтворення !нформац!1. В процес! впровадження результата досл!даення в практику складен1 алгоритми та програми показали високу ефективн1сть на прикладах дискретного моделювання обвод1в кузовно! поверхн!. На баз1 диск-ретно-параметричного методу в робот! одержан! модел! рельефу м1сцевост1, як1 передбачають побудову дов1льно1 точки рельефу, формування його горизонталей, побудову л1н1й водорозд!лу та водо-потоку 1 T.1H. Вказан1 модел! використан! в НД1 охорони грунт!в (м.Луганськ) при складанн1 ППП розрахунку розм!щення г1дро~ техн!чних споруд на схилах з метою попередження воднот ероз!!.

висновки

Виконэн1 в дисертац1йн1й робот1 досл1дження дали змогу одержать результата, як1 мають наукову новизну та практичну ц1нн1сть.

I. Запропоновано, досл!джено та впроваджено в практику проек-тування дискретно-параметричний метод геометричного моделювання кривих л1н1й та поверхонь, характерною ознакою якого е побудова смуги припустимих значень неосцилюючого розв'язку поставлено! задач! та виб1р шуканого значения усередин1 побудовано1 смуги.

Метод забезпечуе локальн!сть, високу точн1сть розрахунк1в, широк! можливост1 корекцИ розв'язку при дотриманн! заданих ви-мог, значну швидкод!» та економ1ю машинних ресурс1в.

Метод дае змогу розв'язувати широкий спектр прикладних задач при дотриманн! значного числа диференц1ально-геометричних умов.

Складовими даскретно-параметричного методу, як1 становлять його зм1ст, е:

1.1. Метод дискретного диференц1ювання плоско1 дискретно представлено! криво! (ДПК), який дав змогу одержати множину значень пох1дио! у вузлах криво!, яка гарантус в1дсутн!сть осциляцИ при згущенн! 1 ДПК 1 граф!ка II пох1дао!.

Виконано теоретичне обгрунтування методу, запропоновано п'ять обчислювальних схем його реал!зац11, а також мультипл!кативна та аддитивна схеми обчислювального процесу, максимально наближеного до автоматичного. Запропоновано спос1б формування дотичних у вузлах сп1ралевидних та замкнених ДПК, який спираеться на формування смуги припустимих значень кут1в нахилу дотичних.

1.2. Сукупн1сть 1з 6 способ1в дискретно! 1нтерполяц!! (згущення) точкового ряду та точкового ряду з дотичними. Способи т1сно ув'язан! з аналог1чними реал1зац1ями методу дискретного ди-ференцИовання 1 являються 1х орган1чним продовженням.

1.3. Метод дискретного 1нтегрування р!зноман1тними способами заданих або представлених диференц!альних р1внянь, який гарантуо високу швидк!сть та точн1сть за рахунок в1дпов1даост1 розрахунко-во! схеми геометр!! даференц!ального р!вняння.

Виконано теоретичне обгрунтування методу, запропоновано 3 способи його реал1зац1! в залежност! в!д способ1в представления дпМвренц!ального р!вняння.

1.4. Сукупн1сть 1з 4 cnccoOlB двоЕкм1рно! 1НТерП0ЛЯЦ!1, ЯК1 базуються на ран1ше розроблених способах одновим!рно! 1нторпо-ляцИ 1 являють 1х лодалыглй рсзвиток та узагальнення в межах дискретно-парам.етричного методу.

Способи дають змогу зд1йсн»вати дискретне моделювання парэ-метрично представлешьх позерхопь з урахуванням днферен-ц!ально-геокетричних характеристик завданого порядку, включаючи зм!шан1 частинн! пох1дн1 за параметрам!.

2. За результатам досл1джень на основ! пакету Auto CAD роз-роблено програже забезлечеквя автсматизованого проектування плоских та просторсвих обвод1в, яке Еикористовуе переваги та серв1сн1 можлиьост! пакета 1 реал1зуе вс! можливост1 дискрет-но-параметричного методу. Пакет програм впроваджено на ПО "Авто-GA3" (к.Запор1:скя) при ггроектуванн! л1н1йдах обвод!в кузовки по-верхонь, в НД1 охорони грунт!в УААН (м.Луганськ) при проектуванн! розтз'луЕання г!дротехн!чних споруд на схилах, а також прийнято до Епровадкення на ПО "Азовсталь". Результата досл1дженъ впровад-жон1 в навчальному процес! ТДАТА в курс! "Математичне -моделювання в розрахунках на ЕОМ".

Основким досто1нстбом запропонованого в робот1 дискретно-па-раметричного методу е розрахунок обмежень, усередин! яких розв'язок задовольняе поставлен! вимоги, що дае широк! можливост! його вар!ац11 та опткм!зац11.

OchobhI положения дисертацИ опубл1ковзн1 у таких основних роботах:

1. Верещага В.М. Дискретное дифференцирование.Таврич.гос.агро-техн. академия.Мелитополь,1995г. 89 е.; Деп. в ГНТВ Украинн, 20.10.95г. ,»£304-Ук.95.

2. Верещага В.М. О поле дифпроекций эмпирической кривой.В кн."Начертательная геометрия и черчение" (межвузовский сборник), Алма-Ата,1979,с.63-66

3. Верещага.В.М..Цымбэл В.И.Формирование дискретного точечного ряда, определяющего расположения гидротехнических сооружений. В кн.: "Прикладная геометрия и инженерная графика",К.,1992, Вып.53, с.83-85.

4. Верещага В.М., Брустинов В.М. Дискретна !иторполяц!я лШйних

каркас!в кузовних поверхонь, В кк.:"Прикладна геометр!я та 1нж.грзф1ка". К.,1994,Вып.56,с.84-85.

5. НаЯдш В.М..Верещага В.М.Проблемы численного интегрирования. В кн.:"Прикладная геометрия и инкен.графика",К.I994,Вып.57,

с.21-24

6. Верещага D.M. Алгоритмы конструирования поверхностей с использованием дифпроекьий.З библиогр.указателе ЕЖЗлИ.Допониро-вашше рукописи, 1979, Jf 12/93 c.14G.

7. Верещага В.М. Нормирование производных в узлах плоской дискретно представленной кривой.Мелитопольский ин~т мех.с.х..Мелитополь, IS94, -18с.: Деп.в ГНТБ Украину,22.02.94

6. Ворецага В.М. Преобразование полосы дифпроекцнй при сгущении точечного ряда. Мелитопольский ин-т мех.с.х..Мелитополь,I9S4, Доп.В ЖЕ A.B. Украины,22.02.94 Ж337-Ук94.

9. Верещага В.М. О построении выпуклой ДПК в полосе диф-проекций. Мелитопольский ин-т мех.с.х.,Мелитополь,1994,Деп.в ГПТБ Украи-■ ни,22.02.94 Л'335-УкЭ4

10. Верощага В.М.,Щербина В.М. Дискретное моделирование замкнутых кривых.Мелитопольский ин-т мех.с.х..Мелитополь, 1394, Деп.в ; ГКТБ Украину,20.04.94 ^303-Ук94. j

11. Найдда B.W. .Еоровдга В.М. ,Брустанов В.М. ,Нс.йдшз A.B. .Последо-вателъиря дискретная интерполяция поверхностей.Мелитопольский : ин-т мех.с.х., Мелитополь,1994,-9с.Деп.в ГНТБ Украины,20,04.94 ; Х80б-Ук94 A.B. I

12. Найдыа В.М.,Верещага В.М.Дискретное интегрирование таблично ] представленной функции. Мелитопольский ин - т мех.с.х., Мелитополь ,1594,-IIс. Доп.Б ГИТБ Украину,20.04.94 >.>ЗС7-"кЭ4. \

13. Найдш В.M.,Верощага В.М.,Ерустанов В.М..Найдпщ A.B. Дискрет- | ноо моделирование д;:скретно продставлешщх поверхностей. Мели- j топольеккй пн-т мех.с.х., Мелитополь,1994, - 13с. Деп. ъ ГНТБ j Украинк,20.04.94 #203-УкЭ-1. '

14. Верощага В.М.,Найдш А.В.,Голубцов В.П. Геометрическое модели- > рование-основа автоматизированного проектирования протпьоэро- | знойных мероприятий. Тезксы Всесоюзной научно-практической j конференции " Почвозащитное земледелие с контурно-молиораткв- ? ной организацией территории в стопной зоне. Ду- ; ганск,Т9Э1,тЛ,'с.2П-23 :

15. Ворецага B.W. Формирование точечного каркаса поверхности на ; основе двумерной дискретной интерполяции. X Всосоюзшй научно-

- методический семинар "Инженерная и машинная графика". Тезисы докладов.Полтава,1991,с.140.

16. Верещага B.W. О дискретном загущении ячеек поверхности с использованием метода Кунса. В кн." Проблемы графической технологии",Тезисы докладов научно-технической конференции,ч.II,Севастополь, 1991, С.46.

17. Верещага В.М.Дискретное моделирование поверхностей. Материалы научно-практического семинара "Компьютерная графическая подготовка специалистов",Тез.докл.Витебск, февраль Г992,

с.68-69.

18. Верещага В.М.Геометрическое моделирование дискретно представленных поверхностей. Всеукраинская научно-метод.конф."Перспективы развития машин.графики в преподавании граф.дисциплин "те з . докл. Оде с са, 1992, с. 104.

19. Верещага В.М.Двумерная дискретная интерполяция. Материалы Всеукраинской научно-методической конференции"Геометричне мо-делюзання. Гнженерна та май.граф."Тезисы докл.Харьков,сентябрь, 1993г. с. 29

20. Верещага В.М., Щербина В.М. Моделирование неоднозначных кривых. Тезисы междунар.научно-метод.конф." Геометричне моделю-ванняЛнженерна та кош. граф1ка",Льв1в,1994, с.55-56.

21. Найдыш В.М.,Верещага В.М..Ерустмнов В.М.,Найдыш A.B. Сгущение 4-угольных ячеек дискретного точечного каркаса поверхности. Тезисы меадунар.научно-метод.конф." Геометричне моделювання. 1нженерна та комп.граф1ка",Льв!в, 1994, с.17-18.

22. Найдыш В.М..Верещага В.М. Дискретное моделирование первообраз-нойГТезисы междунар. научно-метод.конф." Геометричне. моделювання. 1нженерна та ксмп.граф1ка",Льв1в, 1994,с.57-58.

Верещага Виктор Михайлович. Дискретно-параметрический метод геометрического моделирования кривых линий и поверхностей. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01. - "Прикладная геометрия, компьютерная графика, дизайн и эргономика".

Киевский государственный технический университет строительства и архитектуры. КиевДЭЭб.

Защищаются двадцать две научных работы,в которых изложены основные вопросы дискретного геометрического моделирования дискретно представленных на равномерной сетке кривых линий и поверхностей. Теоретически обоснован и разработан дискретпо-пзраметричес-

кий метод и его составляющие: метод дискретного дифференцирования, новые способы одномерной и двумерной дискретной интерполяции, метод дискретного интегрирования. Предложены различные схемы вычислительного процесса и соответствующие им алгоритмы управления формой и формирования как угодно плотного точечного множества моделируемых кривых линий и поверхностей при условии отсутствия осцилляции и кривых ЛИ1ШЯ и графиков их производных. Разработано программное обеспечение дискретно-параметрического метода для использования его в решении практических задач реального проектирования криволинейных обводов.

Ключевые слова: дискретное моделирование, полоса допустимых значений, осцилляция, сгущение.

Vereohchaga Victor Mlkhajlovlch. Discrete and Parametric Method of Curve and Surface Geometrical Modelling.

Dissertation for scientific degree of Doctor of Technical Sciences on speciality of 05.01.01. - Appleicd geometry, computer graphics, design and ergonomics. Kiev State Construction and Architecture Technical University, Kiev, 1995.

Twenty two scientific works are under defence where basic problems of discrete and geometrical modelling are presented discretely .at uniform net of curves and surfaces.

Discrete and parametric method was theoretically substantiated and yjorked out as well as its components: discrete differentiation method, new methods of one - and two dimentloned discrete interpolation, discrete integration method.

Various schemes of computational ргосезз are proposed and corresponding to them algorithms of form control and forming the point set of modelling curves and surfaces of any density provided that there is deficiency of oscillation both curves and graphs of their derivatives.

Discrete and parametric method software was worked out for using to solve practical proflems of real design of curved countours.

Key wordo: discrete modelling, legitimate value atrip, oneiHat,ion, concentration.