автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Методы и алгоритмы аппроксимации технических поверхностей развертывающимися

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ

На правах рукописи УДК 515.2

ДУБАНОВ АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ АППРОКСИМАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗВЕРТЫВАЮЩИМИСЯ *

Специальность 05.01.01 - Прикладная геометрия

и инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

пГл

^ о UAP 1007

Москва, 1997 г.

- г -

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (техническом университете) на кафедре прикладной геометрии.

Научный

руководитель: Заслуженный деятель науки и техники России,

доктор технических наук, профессор Якунин В. И.

Консультант: кандидат технических наук,

доцент Найханов В. В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Тузов А.Д.,

кандидат технических наук, доцент Николаевский В. Г.

Ведущая организация: ОКБ им. A.C. Яковлева

Защита состоится 1997 г. в ¿Уча.с. на заседании

специализированного совета при при Московском государственном университете пищевых производств.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направить по адресу: 125080, Москва А-80, Волоколамское шоссе И, отдел ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПП.

Автореферат разослан, у?/ 1997 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, /7

д. п.н., профессор Акимова

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Системы автоматизированного проектирования изделий нашли широкое применение при проектировании, конструировании и изготовлении различных технических объектов. Одной из ваяных областей применения автоматизированных систем проектирования являются задачи геометрического моделирования сложных технических поверхностей.

Во многих отраслях промышленности ( авиа-, суда-, автомобилестроении и др.) при изготовлении элементов конструкций применяется листовой материал. При этом возникает необходимость построения разверток сложных неразвертывающихся поверхностей. Процесс построения приближенной развертки является трудоемким и длительным. Возникает необходимость в автоматизации этого процесса.

При построении условных разверток сложных технических поверхностей основными задачами являются:

- обеспечение необходимой точности построений т.е., чтобы максимальное отклонение аппроксимирующих сегментов от развертываемой поверхности не превышало наперед заданной величины;

- сокращение количества аппроксимирующих сегментов до минимально возможного при заданной точности построения приближенной развертки.

Решение вышеизложенных проблем является целью наших исследований.

Цель исследования состоит в разработке методов и алгоритмов построения условных разверток сложных технических поверхностей путем их аппроксимации сегментами конических, цилиндрических и торсовых поверхностей, которые должны удовлетворять наперед за-

данным требованиям.

Основные задачи исследования:

- разработка математической модели процесса построения условных разверток сложных технических поверхностей методом их аппроксимации сегментами конических, цилиндрических и торсовых поверхностей;

- разработка методов и алгоритмов построения условных разверток, обеспечивающих необходимую точность;

- разработка методов и алгоритмов аппроксимации заданной поверхности с минимизацией количества аппроксимирующих сегментов.

Методика выполнения работы. Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, базируется на методах начертательной, проективной, дифференциальной, вычислительной геометрий, математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и других смежных наук.

Теоретической базой для выполнения диссертационной работы послужили исследования Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, С.А. Фролова, Н. Н. Рыжова, А. М. Тевлина, В. Е. Михайленко, В. А. Бусыгина, П. В. Филлипова, Г.С. Иванова, В. А. Осипова, A.B. Павлова, А.Л. Подгорного, K.M. Наджарова, В.М. Найдыша, B.C. Завьялова, А.Д. Тузова, В. И. Якунина и др., а также их учеников.

Решение прикладной задачи, связанной с разработкой математической модели аппроксимации заданной поверхности развертывающимися сегментами, базируется "на результатах исследований по теории поверхностей П.Л. Чебышева, П.К. Рашевского, М. Я. Выгодского и многих других.

Решение задач, связанных с разверткой поверхностей, заданных

точечным базисом, выполнено на основе работ как отечественных ученых; H.H. Рыжова и его учеников [Алимов Р., Камалоз А. и др.], Обуховой В. С. и др., так и зарубежных ученых: А. Фокс, М. Пратт, Дж. Алберг, 3. Нильсон, Дне. Уолш, С. Куне и др.

Научная новизна результатов исследования включает в себя:

- разработку метода выполнения условной развертки неразвер-тыващихся поверхностей, при котором границы аппроксимирующих сегментов принадлежат эквидистантной поверхности;

- разработку методов и алгоритмов построения условных разверток, обеспечивающих наилучшее прилегание аппроксимирующих сегментов;

- разработку алгоритмов развертки сегментов торсовых поверхностей с использованием свойств геодезических линий;

- разработку алгоритмов развертки сегментов торсовых поверхностей способом преобразования ребра возврата в плоскую кривую с сохранением кривизны кривой и длины ее дуги;

- построение дискретных каркасов сегментов торсовых поверхностей для аппроксимации ими составных поверхностей.

Практическая ценность. Предложенные в диссертационной работе методы и алгоритмы построения условных разверток могут быть использованы при создании автоматизированных систем геометрического моделирования сложных технических поверхностей.

Разработанные методы и алгоритмы позволяют моделировать составные развертывающиеся поверхности с наперед заданной точностью.

Полученные результаты можно использовать при проектировании различных изделий в авиа-, судо- и автомобилестроении.

На защиту выносятся:

- метод аппроксимации гладкой замкнутой выпуклой поверхности

с наперед заданной точностью и минимизацией количества аппроксимирующих сегментов;

- метод аппроксимации регулярной поверхности сегментами торсовых поверхностей, при котором границы отдельных сегментов принадлежат эквидистантной поверхности, отступающей от аппроксимируемой на величину допуска;

- метод построения приближенной развертки поверхности, заданной точечным базисом;

- метод построения приближенных разверток составных поверхностей первого порядка гладкости.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены:

- на аспирантских семинарах кафедры "Прикладной геометрии" МАИ , 1993-1997 г. г.

- на 4-ой Международной конференции по компьютерной графике и визуализации "Графикон-94" в г. Нижний Новгород, 1994г.

- на Международной конференции по компьютерной геометрии и графике "Кограф-96" в г. Нижний Новгород, 1996 г.

- на Всероссийской научно-технической конференции "Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования" в г. Улан-Удэ, 1996 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы, включающего 120 наименований и содержит 152 страницы машинописного текста, 39 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы цель и основные задачи исследования, их научная новизна и практическая значимость. Приведены сведения о структуре и объеме работы.

Первая глава посвящена вопросам аппроксимации гладких замкнутых выпуклых поверхностей сегментами конических и цилиндрических поверхностей. Нами предлагается такой метод аппроксимации, при котором границы аппроксимирующих сегментов цилиндрических и конических поверхностей могут быть выражены в квадратурных формулах, что существенно упрощает процесс построения разверток.

Для построения приближеной развертки замкнутых выпуклых поверхностей разработан следующий алгоритм:

- на первом шаге итерационного процесса определяется цилиндрическая поверхность, имеющая минимальную площадь поперечного сечения и касающаяся аппроксимируемой поверхности;

- на основном этапе итераций выполняется построение конической поверхности, касающейся аппроксимируемой. Максимальное отклонение от аппроксимируемой поверхности не должно превышать наперед заданной величины. При этом, площадь линейчатой поверхности, образованной границей аппроксимирующего сегмента и перпендикулярами к аппроксимируемой поверхности, должна быть минимальной.

Требование минимальной площади поперечного сечения цилиндрической поверхности должно обеспечить максимальное прилегание к аппроксимируемой поверхности. Поясним это.

Рассмотрим замкнутую выпуклую поверхность (рис. 1). Пусть

точки Б! и Б2 расположены на значительном удалении от поверхности. Расстояния от точек Б! и Бг до поверхности на порядок превышают линейные размеры поверхности и их можно считать сравнимыми между собой.

Из каждой точки Б! и 32 построим конические поверхности, которые будут касаться рассматриваемой поверхности по некоторым замкнутым линиям. Из построенных двух конических поверхностей для решения наших задач наболее предпочтительной является коническая поверхность с вершиной в точке Бг, так как она обеспечивает наименьший телесный угол и, как следствие, обеспечивает наибольшую площадь соприкосновения с рассматриваемой поверхностью. Если в вершине конической поверхности построить сферу единичного радиу-

са, то величина телесного угла равна площади сегмента сферы, ограниченного линией пересечения с конической поверхностью.

При удалении вершины конической поверхности сама коническая поверхность приближается к цилиндрической. На достаточно больших расстояниях от аппроксимируемой поверхности величину телесного угла можно считать отношением площади поперечного сечения касательной цилиндрической поверхности к квадрату расстояния до ап-роксимируемой поверхности. При построении начального аппроксимирующего сегмента, который является цилиндрическим, целесообразно выбрать поверхность с минимальной площадью поперечного сечения.

Пусть аппроксимируемая поверхность задана в параметрическом виде 1? = И(и, v).

Если вектор Н(А, В, С) коллинеарен образующим касательной цилиндрической поверхности, то линия касания с аппроксимируемой поверхностью соответствует решению системы уравнений :

N [ Л, * И* ] = 0 ,

* (1) й = И (и, v) .

Для определения площади поперечного сечения касательной цилиндрической поверхности строится плоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная образующим.

Линия пересечения такой плоскости и цилиндрической поверхности находится из системы уравнений : / Ахпр + Вупр + Сгпр = О,

Л хкас.цил-хпр _ Укас.цил~Упр _ 2кас.цил~2Пр

А " В " С '

где хпр, уПр, 2пр - координаты точек линии пересечения.

Система уравнений (2) позволяет явно выразить координаты

Хпр. Упр. 2„р через координаты хкзс.цил, укас.цил. 2кас.цил линии касания цилиндрической поверхности и аппроксимируемой.

Линия пересечения цр тндрической поверхности и плоскости

Атроксимцз^ощая цилс-кртеская поверхность.

Линия несения аппроксимируемой и цилиндрической поверхностей.

Точка ли»« касания с координатами Хкас^ил .Укасцил, 2кас.цмл

Плоскость, преходящая через начало коор-дшет и перпендикулярная образующим касательной ция*«рическ.ой поверхности.

У

. Ортогональная проказя X ^ Л'^Дпр точек линии касания на плоскость

Рие.2 Определение площади перпвняккуллрного сечения цшшнлрйчесхон поверхности

Задача сводится к подсчету площади, ограниченной замкнутой плоской кривой хпр, упр, гпр (рис. 2). Площадь контура, ограниченного данной кривой, является функцией компонент А, В, С вектора образующих N касательной цилиндрической поверхности.

Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в точке СШХ, Ц,.^) и касающуюся аппроксимируемой поверхности И = И (и, и).

Линия касания соответствует решению системы уравнений :

- и -

(С-Л) ■ Г * Ну ] - о,

I? = !? (и, v).

Построение конической поверхности необходимо выполнить в соответствии с требованием, чтобы максимальное отклонение от аппроксимируемой поверхности не превышало наперед заданной величины. Для этого необходимо построить линию пересечения с предыдущим аппроксимирующим сегментом и найти ее ортогональную проекцию на аппроксимируемую поверхность.

Если радиус-вектор точек линии пересечения с предыдущим сегментом есть йпер, а йорт - радиус-вектор ортогональной проекции на аппроксимируемую поверхность, то расстояние между соответствующими точками будет:

Решение уравнения с1Н/с1у = 0 позволяет определить максимальное расстояние Н^ от линии пересечения до аппроксимируемой поверхности, где v - параметр линии пересечения. Если величина допуска (3 - есть максимальное расстояние от аппроксимирующих сегментов до развертываемой поверхности, то уравнение Нтах= (1 определяет поверхность, являющуюся геометрическим местом вершин конических поверхностей, удовлетворяющих данному условию.

Для выбора вершины конической поверхности необходимо определить площадь сегмента линейчатой поверхности, образованной перпендикулярами к аппроксимируемой поверхности и ограниченной линиями 1?пер и Иорт (рис. 3). Искомая коническая поверхность имеет минимальное значение площади данного линейчатого сегмента.

г

(4)

Апроксмшруюций номтеэфй селант.

¿пфскомфуемая

гсосркностъ.

Ортогональная проекция Кцл ти< пересечете га аплрсксимфуемую поверхность.

Л«е»мвтая пове$в«ость, сгрммежвя 9»кнутьии МИЫИ И , до«им«ите оЕраэуацие потерей перпепркуярыл»«* КорТ .

Пове^аюстъ, »ляпщаяся ггопетри-чеоим местом верим конудои, удо»-пегесряицжуспсяиоН = Й

Лмчя пере«чю*я с преды-фщш сегментом Йгер.

Рис. 3 К построению аппроксмаярдащаго шшчэкого ((Г1КНТ1.

Для развертки полученных аппроксимирующих сегментов конических поверхностей строится сфера единичного радиуса с центром в вершине конической поверхности (рис. 4).

Сфера едиимио рцруса с фитроа в мриже ко«ческсй пеаврнности.

Ркс. 4 Развартха конического ншакта.

Предлагаемые в первой главе диссертации методы и алгоритмы позволяют точно и быстро строить развертки замкнутых выпуклых поверхностей.

Во второй главе рассматриваются вопросы аппроксимации регулярных поверхностей сегментами торсовых поверхностей. На основе теоретических исследований нами предложен следующий алгоритм:

- на аппроксимируемой поверхности определяется точка минимальной кривизны;

- из построенной начальной точки провести линию, инцидентную аппроксимируемой поверхности. Искомая линия обладает следующим свойством: если торсовая поверхность касается аппроксимируемой поверхности по этой линии, то направление образующей в точке касания совпадает с направлением наименьшей кривизны;

- построить однопараметрическое множество плоскостей, касающихся аппроксимируемой поверхности в точках найденной линии. Огибающая такого множества плоскостей является поверхностью развертывающейся, в общем случае, торсовой.

- на построенной торсовой поверхности выделяется линия, все точки которой отступают от аппроксимируемой поверхности на заданное расстояние;

решение вышеперечисленных задач предполагается выбрать в качестве начального этапа итерационного процесса;

- построить следующую аппроксимирующую торсовую поверхность такую, чтобы она содержала границу предыдущего аппроксимирующего сегмента. На этой торсовой поверхности построить аналогичную линию. Решение данной задачи является основным этапом итерационного процесса;

- произвести развертку полученных сегментов торсовых поверхностей с выделением на них границ и линий касания с аппроксимируемой поверхностью. В разработанном алгоритме границы аппроксимирующих сегментов принадлежат эквидистантной поверхности. Это позволяет сократить количество аппроксимирующих сегментов.

Для обеспечения наилучшего прилегания торсовой поверхности к аппроксимируемой на ней строится линия касания торсовой и аппроксимируемой поверхностей. Если торсовая поверхность касается аппроксимируемой по этой линии, то направление образующих совпадают с направлением наименьшей кривизны в точках касания.

Если аппроксимируемая поверхность задана в параметрическом виде Н = |{(и, V) и на ней задана линия иШ, уЦ), то для образующей касательной торсовой поверхности имеем:

(3

1=[ [^х^] х —[ЦцхИу] 1. (5)

1 с! ь -*

Если образующая касательной торсовой поверхности в точке касания совпадает с направлением наименьшей кривизны, то линия касания с аппроксимируемой поверхностью удовлетворяет уравнению :

№N-1110

г г йи сЗУ ч \2 /• йи С!У

М— + Н— ^ М (И >

( с1и ¿iv v

Ь— + М— М сИ >

( ии иу \

М— + М— (6)

(И (11 >

(£N-10 - + (ЕМ-и) - 0.

йи С!У

(ии иу \

ь— + и—)

гН гН >

сП сИ

На начальном этапе итерационного процесса выбирается линия, содержащая точку наименынй кривизны. Для того, чтобы минимизировать количество аппроксимирующих сегментов целесообразно, чтобы границы аппроксимирующих сегментов принадлежали эквидистантной поверхности. Задача построения апроксимирующего сегмента сводится

к построению торсовой поверхности, касающейся аппроксимируемой и проходящей через заданную пространственную кривую. Такой пространственной кривой является линия пересечения двух соседних аппроксимирующих сегментов. На имеющейся торсовой поверхности выделяется линия, отступающая от аппроксимируемой поверхности на расстояние <Эшах. Такая линия соответствует решению системы уравнений:

, I И,орс^.»)-Вир(и. V) ] • ^ = О,

[ Н,0рс(1.*)-Кир(и,у) 1 ■ Ву =0, (7)

I |Вгорс(1,ш)-й|1р(и.у)| = (1пах,

где 1{ТОрС(Ь,и) - точки торсовой поверхности, принадлежащие эквидистантной поверхности; йпр(и,V) - их ортогональные проекции на аппроксимируемую поверхность. Система уравнений (7) позволяет выразить параметры и, V, V/ через параметр Ь и получить уравнение границы Игоре (*<) данного торсового сегмента.

Касательный векшр к пространственной фивой ^^

Векторное произведение картельного вектора к кривой и доктора сЗрзэующей торсовой поверхности, 'тирс . д

Вектора чзстчых прпш-водны» в точке поверхности.

Аппроксимируемая поверхность.

В тирс -К

Вектор образующей торсовой поверхности. Пространственная кривая.

Ры.З К ееетроеиип торсозой ммрхввете, ккмкцмея

»ценной я преходящей ч«рп вроетртстниитга нмвпз.

Если у нас есть пространственная кривая Кторсто Для

построения касательной торсовой поверхности на аппроксимируемой поверхности необходимо найти соответственные точки, принадлежащие одной образующей. Из точки Rtopc(t) можно построить множество касательных плоскостей к аппроксимируемой поверхности. Для построения касательной торсовой поверхности необходимо, чтобы касательная плоскость также касалась линии Rtopc^) (рис. 5).

Соответственные точки на аппроксимируемой поверхности и на кривой RjopcU) находятся из системы уравнений :

[ ТГ Иторс х (^торс " Ru = О'

L dt J

(8)

f — Rtopc * (Rtopc - R)| • Rv = 0.

L at J

Образующая торсовой поверхности (R^pc - R) и касательный вектор к кривой Р,орс определяют плоскость и их векторное произведение является нормалью к этой плоскости. Данная плоскость касается также аппроксимируемой поверхности, поэтому ее нормаль должна быть перпендикулярна векторам частных производных аппроксимируемой поверхности в точках касания.

Для развертки полученных аппроксимирующих торсовых сегментов разработаны два способа.

Первый - является способом преобразования ребра возврата торсовой поверхности в плоскую кривую с сохранением длины дуги и кривизны кривой.

Второй способ использует тот факт, что геодезическая линия на торсовой поверхности при ее развертке преобразуется в прямую линию.

Для реализации первого способа необходимо на развертываемом сегменте торсовой поверхности выделить ребро возврата.

Известно, что ребро возврата торсовой поверхности также является линией стрикции и находится по формуле:

где rit) - направляющая торсовой поверхности, l(t) - единичная вектор-функция направлений образующих.

Задача преобразования ребра возврата в плоскую кривую с сохранением длины дуги и кривизны имеет решение в квадратурах:

где б - параметр длины дуги ребра возврата, к - кривизна ребра возврата, х ,у - координаты плоского образа ребра возврата в плоскости (ХОУ).

Известно, что при развертке торсовой поверхности сохраняется внутренняя геометрия поверхности, поэтому величина углов на торсовой поверхности остается неизменной. Также остается неизменной величина угла между образующей и геодезической линией на торсовой поверхности. На развертке геодезическая является прямой линией. Отложив образующие под соответствующими углами к геодезической на плоскости можно получить развертку торсовой поверхности.

Геодезическая линия на торсовой поверхности соответствует системе уравнений:

Const

Const jds + С2,

= О,

где параметр и - параметр образующей, V - параметр положения точки на образующей, б - параметр длины дуги геодезической линии, к - кривизна ребра возврата.

Система уравнений (9) после преобразований приводится к ин-тегро-дифференциальному уравнению:

решаемое численными методами.

Методы и алгоритмы, разработанные во второй главе, позволяют эффективно и точно строить развертки гладких регулярных поверхностей.

В третьей главе рассматриваются вопросы аппроксимации поверхностей, заданных точечным базисом, развертывающимися поверхностями. Для решения данных задач требуется их предварительная интерполяция кусочно-гладкой поверхностью. В данной главе в качестве интерполирующей составной поверхности предлагается использовать поверхность, где отдельными порциями являются сегменты торсовых поверхностей. Для реализации предлагаемого метода требуется на заданном точечном базисе выделить дискретный каркас поверхности, состоящий из однопараметрического множества непересекающихся линий.

Разработанный итерационный процесс состоит из последовательного построения сегментов торсовых поверхностей, проходящих через две заданные пространственные кривые. Рассмотрим две пространственные кривые, заданные в параметрическом виде: ^^(Ц) и Кг =®г ^г)■ Торсовую поверхность можно рассматривать как огибающую

однопараметрического множества плоскостей. В нашем случае необходимо построить однопараметрическое множество плоскостей, касающихся обеих направляющих ^(^(Ц) и ^Иг^) одновременно. Точки на направляющих =й1 (Ц) и И2=8гаг), принадлежащие одной образующей, соответствуют решению уравнения :

Уравнение (10) позволяет определить взаимосвязь между параметрами Ц и Ь2 и обозначить пары соответственных точек. Задача построения торсовой поверхности, проходящей через две пространственные направляющие, имеет наглядное графическое решение.

В этом случае строятся две вспомогательные торсовые поверхности Ц и (рис. 6), ребрами возврата которых являются ^ и 1?2 соответственно. Если две построенные вспомогательные поверхности пересекаются по некоторой линии т, то точка М, инцидентная этой

(10)

Линия пересечения вспомогательных торсовых поверхностей га

\ Вспомогательная торсовая

Ряс. в Опрхдщлснна торсовой поверхности

двумя пространственный* шправллющпыи.

линии, определяет пару соответственных точек А! и А2 на кривых и К2. Две пересекающиеся касательные а1 и аг к кривым ^ и Я2 в точках А! и А2 инцидентны плоскости, которая касается обеих направляющих.

При построении дискретного каркаса поверхности через точки, инцидентные одной линии каркаса, предлагается провести интерполирующую кривую, отдельными сегментами которой являются параметрические многочлены. Целесообразно, чтобы линией каркаса являлась кривая первого порядка гладкости. Поэтому, при построении линии каркаса используются кубические параметрические многочлены. В качестве интерполирующих полиномов можно использовать пространственные Эрмитовы сплайны, а также кубические многочлены, записанные в форме Безье, Фергюсона и др.

Рассмотрим подробнее уравнение (10): его решение не изменяется, если касательные векторы сН^/сИ! и сЮгли2 изменить на векторы Т; = о^сН^ЛН! и Т2 = а2с3{?2 ЛН2. Это говорит о том, что для решения поставленной задачи достаточно условия совпадения направлений векторов производных в узловых точках. В связи с этим, рассмотрим возможность использования интерполирующих параметрических многочленов более низкого порядка.

Рассмотрим параметрический многочлен второй степени: г(и) = ао + а} и + а2иг.

Будем считать, что область изменения параметра есть [0;1]. Начальными условиями для отдельного сегмента являются значения функции в узлах Во и ^ и узловые единичные касательные векторы Т0 и Т! (рис. 7).

Для определения коэффициэнтов параметрического многочлена имеем систему из четырех векторных уравнений:

Ко - ад , Я} = Эо + а1 +- а2, (Ко Т0 = а! , с^ - в! + 2аг.

Для этих четырех векторных уравнений в качестве неизвестных имеем три векторных и две скалярных величины. В координатной записи это система из двенадцати уравнений с одинадцатыо неизвестными. Если данная система уравнений является совместной, то кроме перечисленных переменных должно существовать некоторое условие на начальные данные. Записав покоординатно систему уравнений (И) и исключив все неизвестные, получаем уравнение, связывающее начальные условия данной задачи. Это уравнение, записанное в векторном виде, будет: (Й^-Ко) • [Тг ><Т0 ] =0. Данное уравнение говорит о том, что векторы (^-Ко), Т1 и Т0 лежат в одной плоскости. Если точки, инцидентные одной линии каркаса, принадлежат одной плоскости, то для построения составной кривой первого порядка гладкости можно использовать квадратичные параметрические многочлены.

Рис.7 Начальные условия при построении сегмента кривом.

Для дальнейшего увеличения точности необходимо выполнить построение нового дискретнго каркаса из однопараметрического множества непересекающихся линий.

В четвертой главе рассматриваются вопросы построения условных разверток составных поверхностей. Если аппроксимируемая составная поверхность является выпуклой и замкнутой, то построение ее развертки можно выполнить в полном соответствии с алгоритмом, разработанным в главе 1. В случае аппроксимации регулярных поверхностей с использованием сегментов торсовых поверхностей требуется, чтобы аппроксимируемая поверхность была второго порядка гладкости. Для поверхности Кунса гладкость порядка два приводит к использованию матрицы из 36 векторных элементов, что создает определенные вычислительные трудности.

Линия касания торсовой поверхности и аппроксимируемой

Рис. В К построению линии касания торсового сегмента на составной поверхности.

Для реализации алгоритма аппроксимации на составной поверхности выделяется кусочно-гладкая линия касания торсовой поверх-

нссти и аппроксимируемой (рис.8). Аппроксимирующая торсовая поверхность также является кусочно-гладкой. Границы аппроксимирующих сегментов принадлежат эквидистантной поверхности, отступающей от аппроксимируемой на определенное расстояние. Это позволяет при заданной точности построения развертки сократить количество аппроксимирующих сегментов.

При построении алгоритма развертки составные поверхности удобно представлять как поверхность тензорного произведения:

Р(и, v) , Й! (и) а, (v) .

Вектор нормали к составной поверхности будет записан:

^ ад, (и) с1й, (V)

Евцх^] = ) [а,,*^] ——ос, (у) Ц-(и) —— .

Коэффициэнты первой квадратичной формы будут:

^ <1^ (и) сЗс^ (и)

Е => »и -а*! —:-^ (V) —-Й! (V).

^ йй! (и) а«! (у)

^ сзй, (v) 6«! (v)

О, =) аИ -ак! а, (и) —— ^(и) ——.

1./Гк.1 ^ м

Для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы необходимо найти выражения для вторых производных составной аппроксимируемой поверхности: л с12й4 (и)

< и и4

^ =1 ь а11 дц2 <*3 (v).

, йй, (и) сЗй, (v) а йга, (v)

Киу =1Чаи —:---— • ^ -1Ца11 й1 (и) ——.

'д (Зи (IV С!У

Векторное произведение первых производных будет:

^ döj (u) d«! (v)

[R^RJ = ) [а^ха^] ——ctj(v) «„(и) ——

i./Tk.i du dv

Коэффициенты второй квадратичной формы : ^ (и) (ЗЙ! О

Ь =2 ашп'^И^!] —— О, (V) «„(и) --(^(У)

i. j . li~Tl. го. n du dv du'

/ EG-F2

^ б^Си) dcí1(v) ddm (и) ййпМ

М = > аут-1ацхак13 —-(V) «„(и) —------—

/ЁсГ^

$ бс^и) йс^М й2«^ (V)

N - > авп-[аижвк1] —--л, (V) «„(и) —— «„(и) а

^ 1 т П du dv dv

1, л , К, 1, т, п

При решении уравнения (6) с данными коэффициентами первой и второй квадратичных форм применяется итерационная схема:

—-- = Г(и!,У|).

т

Линия касания торсовой и составной поверхностей строится для каждого сегмента в отдельности. Так как уравнение (6) является дифференциальным уравнением первого порядка, то для построения линии касания поверхностей достаточно на составной поверхности задать начальную точку. Для обеспечения наилучшего прилегания

аппроксимируещего сегмента к составной поверхности целесообразно выбрать точку наименьшей кривизны.

Если 1<1 и к2 - есть кривизны главных направлений в некоторой точке поверхности, то они удовлетворяют системе уравнений :

к^г -

ЬМ - М

ЕМ + - 2Ш к1 + кг = -—-з-

ЕБ - г' Ев - Г

Если к - есть наименьшая из величин ^ и кг, то для нахождения точки поверхности с минимальным значением к, необходимо решить систему уравнений: Зк Зк

— = 0 , — = 0. Эи Эу

Для обеспечения непрерывности линии касания при переходе к следующему сегменту необходимо в качестве начальной точки выбрать точку пересечения с границами сегментов (рис.8)

Образующие дискретного каркаса торсоесй поеертости

Общие пврпвнди<>-ЛфЫОТ к и 1з

Точ?а стрикцж для образующей 12

А2 = и А'2 * Аг)

Рис. 9 Построение линии сгрикцни на заданной линейчатой каркасе.

При построении развертки торсовой поверхности, заданной

дискретным линейчатым каркасом, можно приближенно построить ребро возврата , последовательно находя общие перпендикуляры к двум соседним образующим. На одной образующей находятся две точки, являющиеся основаниями общих перпендикуляров к соседним образующим. Точкой стрикции приближенно можно считать их среднее значение (рис.9)

Рис. 10 К построению развертки торсовой поверхности, заданной дискретный линейчатый каркасом.

Если у построенного дискретного линейчатого каркаса торсовой поверхности любые две образующие лежат в одной плоскости (рис.10), то можно выполнить развертку торсовой поверхности.

На прямой зафиксируем точку В!. Следует отметить, что образующие и 1г лежат в одной плоскости. Из точки ЕЦ в плоскости С11) проведем прямую В^ и и определим угол й между прямыми 1г и В^. Если угол между прямыми 12 и Е^Вз также равен углу а, то

при развертке торсовой поверхности точки В^, Вг, В3 лежат на одной прямой. В главе 2 был проведен теоретический анализ особенностей геодезических линий на торсовых поверхностях и описан способ использования свойств геодезической при построении разверток торсовых поверхностей. Разработанный метод можно считать алгоритмом приближенного построения геодезической линии на торсовой поверхности.

Так как торсовая поверхность является огибающей касательных плоскостей к аппроксимируемой поверхности, то любой дискретный каркас можно дополнить до вышеуказанной модели (рис. 11).

Аппроксимируемая поворхность

Касательные плоскости

Точхи касания торсовой поверхности с аппрсксиыируеиой

Дополнительная образующая

Линия касания торсовой поверхности и аппроксимируемой

Образующие торсовой поверхности

Рис. 11 Дополнение дисяротного линейчатого каркаса.

Рассмотрим две соседние образующие ^ и 12. Им соответствуют точки А1 и А2 касания с аппроксимируемой поверхностью. Г^ и П2 -есть касательные плоскости в данных точках. Дополнительная обра-зуящая 1 - есть линия пересечения плоскостей Г^ и П2.

Полученный дискретный каркас представляет аппроксимирующую торсовую поверхность в удобном для развертки виде с использованием свойств геодезической линии.

Заключение

На основе теоретических и прикладных исследований разработаны методы и алгоритмы построения условных разверток сложных технических поверхностей. Исследованы вопросы построения разверток различных технических поверхностей, таких как: замкнутые выпуклые поверхности; сегменты регулярных поверхностей; поверхности, заданные точечным базисом и составных поверхностей. Разработанные методы и алгоритмы предназначены для построения разверток с наперед заданной точностью. Исследованы возможности сокращения количества аппроксимирующих сегментов.

Совокупность полученных результатов исследований сводится к следующему:

1. Разработаны методы построения разверток с использованием эквидистантных поверхностей.

2. Разработана методика построения аппроксимирующих торсовых поверхностей, направление образующих которых совпадает с направлением наименьшей кривизны в точках касания, что обеспечивает наилучшее прилегание к аппроксимируемой поверхности.

3. Разработаны методы развертки торсовых поверхностей: с использованием свойств геодезических линий и способом преобразования ребра возврата в плоскую кривую.

4. Исследованы вопросы построения разверток составных поверх-

ностей и поверхностей, заданных точечным базисом.

Предложенные методы и алгоритмы могут послужить основой для создания систем автоматизированного построения условных разверток сложных технических поверхностей, применяемых в различных отраслей промышленности.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дубанов А.А., Найханов В. В., Якунин В.И. Метод определения ребра возврата при аппроксимации неразвертывающегося сегмента торсовой поверхностью. 4-ая Международная конверенция по компьютерной графике и визуализации, г. Нижний Новгород, 1994 г.

2. Дубанов А.А., Найханов В.В., Якунин В.И. Определение линии касания неразвертывающегося сегмента и аппроксимирующей его торсовой поверхности. Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике, СГТУ, г. Саратов, 1995 г., с. 46-47.

3. Дубанов А.А., Якунин В. И. Построение торсовой поверхности, касающейся заданной и проходящей через пространственную кривую. Тезисы Международной конференции по компьютерной геометрии и графике, "Кограф-96", г. Нижний Новгород, 1996 г., с. 118.

4. Дубанов А.А., Найханов В. В., Якунин В. И. Определение линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей. Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике, СГТУ, г. Саратов, 1996 г., с. 111-112.

5. Дубанов А.А., Найханов В. В., Якунин В. И. Построение тор-

совой поверхности при помощи двух пространственных направляющих. Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике, СГТУ, г. Саратов, 1996 г., с. 116-117.

6. Дубанов А.А., Найханов В.В., Якунин В.И. Развертка конической поверхности. Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике, СГТУ, г. Саратов, 1996 г.. с. 117-118.

7. Дубанов А.А., Найханов В. В., Якунин В.И. Определение торсовой поверхности, касающейся двух заданных поверхностей. "Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования". Всероссийская научно-техническая конференция. г. Улан-Удэ, 1996 г., с. 74-76.

7\/ ■ ^

/