автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструктивно-метрическое и дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и полос

На правах рукописи

//

Нитейский Антон Сергеевич

КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОЛОС

05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 Я НОЯ 2013

Нижний Новгород - 2013

005540591

005540591

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический

университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, доцент Панчук Константин Леонидович

Официальные оппоненты:

Павлов Александр Сергеевич, доктор технических наук, профессор, ООО «ЭнергоФихтнер», начальник отдела консалтинга,

Юрков Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет», профессор кафедры прикладной информатики и математики

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия»

Защита состоится «17» декабря 2013 г. в 15 час. 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212.162.09 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» Автореферат разослан «15» ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат педагогических наук, доцент Н. Д. Жилина

Общая характеристика работы

Выполнение теоретических исследований в области образования и конструирования различных поверхностей и практическое использование результатов этих исследований с применением современных компьютерных технологий является одним из основных направлений в инженерной геометрии.

Среди множества различных по форме и законам образования поверхностей выделяются линейчатые поверхности, применяемые в различных областях практической деятельности человека: судостроение (обшивка корпуса судна), самолетостроение (теоретические модели элементов горизонтального оперения), архитектурно-строительное проектирование, проектирование пространственно-шарнирных механизмов в конструкциях роботов и манипуляторов, разработка орудий почвообработки, проектирование сложных технических поверхностей на основе аппроксимации линейчатыми развертывающимися поверхностями и др.

Для образования и конструирования линейчатых поверхностей используются известные методы: проективный, погружение в конгруэнцию прямых, кинематический, вычислительной геометрии и др. Анализ этих традиционных методов обнаруживает, что задача параметрического моделирования линейчатых поверхностей как правило не рассматривается; порядки получаемых линейчатых поверхностей не выше четвертого. В тоже время в указанных областях практических применений актуальным является использование алгебраических линейчатых поверхностей более высоких порядков с математическим описанием в векторно-параметрической форме.

В судостроении, самолетостроении, архитектурно-строительной и других областях промышленности объекты могут быть описаны линейчатыми поверхностями, как правило, развертывающимися. Например, мелкие суда выполняются с развертывающейся наружной обшивкой. Но не всегда достигается описание объектов линейчатыми поверхностями. Одна из причин -в принципе не решена задача сшивки линейчатых сегментов по общей образующей. Математический аппарат конструирования линейчатых полос, косых и развертывающихся, с сегментарной стыковкой определенного порядка гладкости на данный момент времени отсутствует. Проблема конструирования линейчатых полос и необходимость ее решения присутствуют и при проектировании сложных технических поверхностей на основе сегментарной аппроксимации развертывающимися поверхностями, например, при конструировании сложных поверхностей лопаток турбин и насосов, лопастей воздушных винтов, рабочих поверхностей орудий почиообработки и др.

Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности проблемы образования и конструирования линейчатых поверхностей и необходимости ее

нового решения на основе развития известных в инженерной геометрии методов и разработки математического инструментария для геометрического моделирования линейчатых поверхностей и полос.

Объект исследования — образование и конструирование сложных криволинейных поверхностей.

Предмет исследования - конструктивно-метрическое и дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и полос.

Цель исследования - разработать новые методы образования линейчатых поверхностей, линейчатых полос и плоских алгебраических кривых, достаточно простые с математической точки зрения, реализуемые без привлечения значительных вычислительных ресурсов, обладающие возможностью параметризации получаемых геометрических моделей поверхностей, полос и кривых.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2. Разработать метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся линейчатых поверхностей на основе плоских кривых.

3. Разработать математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

4. Выполнить практическую реализацию теоретических исследований на основе параметрического конструирования торсовых поверхностей и полос с сегментарной стыковкой, используемых в качестве лемешных поверхностей рыхлителей почвы.

Научная новизна:

1. Разработан новый метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2. Разработан новый метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3. Впервые разработан математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

Теоретическая и практическая значимость работы

Геометрический инструментарий предлагаемого метода конструктивно-метрического образования позволяет получать новые виды линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых и расширяет область их

практического применения, поскольку математически все они представляются в векторно - параметрической форме, наиболее удобной для алгоритмической и программной реализации в решении прикладных задач. Использование дифференциально-геометрических свойств плоских кривых позволяет получить новые математические модели образования различных торсовых поверхностей, удобные для практического использования. Разработанный математический инструментарий стыковки линейчатых поверхностей необходим для сегментарного образования линейчатых полос по различным порядкам гладкости, используемых в задачах конструирования и аппроксимации сложных технических поверхностей. Результаты теоретических исследований работы реализованы при параметрическом конструировании лемешных поверхностей рыхлителей почвы в виде математических моделей, вычислительных алгоритмов, листинга Maple - программ и приняты к внедрению на ФГУП «Омский экспериментальный завод».

Методология н методы исследований

Теоретическую базу диссертационного исследования составили труды ученых по проективной геометрии: Н.Ф. Четверухина, H.A. Глаголева; по аналитической геометрии: Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова, М.М. Постникова; по дифференциальной геометрии: П.К. Рашевского, С.П. Финникова, В. Бляшке и других ученых; по линейчатой геометрии: Д.Н. Зейлигера, С.П. Финникова, Ф. Клейна, Е. Штуди, А.П. Котельникова, Н. Pottmann, J. Walner и других ученых; по теории начертательной геометрии и геометрическому моделированию: Н.Ф. Четверухина, З.А. Скопеца, И.И. Котова, A.M. Тевлина, В.А. Осипова, B.C. Полозова, В.Е. Михайленко, A.JI. Подгорного, B.C. Обуховой, Г.С. Иванова, В.И. Якунина, В.Я. Волкова, С.И. Роткова, В.Ю. Юркова, H.H. Голованова и многих других отечественных и зарубежных ученых.

В работе принята известная в инженерной геометрии методология геометрического моделирования, основанная на аксиоматическом, конструктивном и аналитическом методах моделирования. Проведение теоретических исследований в работе выполнено на основе конструктивного и аналитического методов геометрического моделирования. Основу математического инструментария составили аналитический метод проективной геометрии плоскости и пространства, методы дифференциальной геометрии плоскости и пространства, методы аналитической и вычислительной геометрии, элементы дуального векторного исчисления, компьютерной графики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод конструктивно-метрического образования алгебраических линейчатых поверхностей и плоских кривых.

2. Метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3. Математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты теоретических исследований работы подтверждены публикациями в рецензируемых изданиях и обсуждены на научных конференциях. Основные положения докладывались и обсуждались на 63 научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2009 г.); на региональной молодежной научно-технической конференции «Омское время -взгляд в будущее»( г.Омск, 2010 г.); на 65 научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2011 г.); на международной научно-методической конференции «Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий», посвященной 20-летию независимости Республики Казахстан (г. Алматы, 2011 г.); на Всероссийской молодежной конференции «Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2012)» (г. Кемерово, 2012 г.)

Публикации по теме диссертации

Основные результаты исследований опубликованы в 9 научных работах, 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, и 3 свидетельства о регистрации электронного ресурса.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка. Общий объем составляет 138 страниц, 51 рисунок. Библиографический список включает 117 наименований, в том числе 29 на английском и немецком языках.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность разработки методов конструктивно-метрического и дифференциально-геометрического образования линейчатых поверхностей и их применения при конструировании рабочих поверхностей рыхлителей почвы. Изложены цели, задачи и краткое содержание работы, перечислены основные результаты, приведены данные об их апробации и практическом использовании.

В первой главе выполнен анализ существующих в инженерной геометрии направлений исследований в области образования и конструирования линейчатых поверхностей, указаны области их

практического использования, определены цели и задачи исследования.

Для этого в параграфах 1.1-1.6 рассмотрены работы:

- основанные на использовании классического проективного подхода (Н.Ф. Четверухин, H.A. Глаголев) к конструированию линейчатых поверхностей;

- по образованию линейчатых поверхностей погружением линии в конгруэнцию прямых (В.Е. Михайленко, A.JI. Подгорный, B.C. Обухова, Г.С. Иванов, В.Д. Трухина);

- основанные на кинематическом методе образования линейчатых поверхностей (В. А. Осипов, С.Ф. Пилипака, A.B. Замятин, Д.Я. Ядгаров);

- по образованию линейчатых поверхностей методами вычислительной геометрии (Д. Роджерс, Дж. Адаме, H.H. Голованов, Н. Pottmann, J.Wallner);

основанные на аналитическом моделировании линейчатых поверхностей на основе принципа перенесения Котельникова-Штуди (А.П. Котельников, Е. Штуди, В. Бляшке, Д.Н. Зейлигер, Ф.М. Диментберг);

содержащие исследования по практическому использованию линейчатых поверхностей, при этом выделена одна из недостаточно изученных областей их практической востребованности - конструирование рабочих поверхностей орудий почвообработки (B.C. Обухова, В.Д. Трухина, A.J1. Мартиросов).

Во второй главе рассмотрено образование алгебраических линейчатых поверхностей и кривых линий на основе

двух пучков прямых первого порядка, образования линейчатой поверхности находящихся в не совмещённых

плоскостях. Введение позиционно-метрического условия заключается в построении общего перпендикуляра к соответственным прямым. Матрица коллинеарного соответствия плоских полей, которым принадлежат пучки, имеет вид:

В параграфе 2.1 исследована возможность конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей на основе введения позиционно-метрических условий в коллинеарное и коррелятивное соответствие проективных образов первой ступени, моделируемых в расширенном евклидовым пространством Е3+ (рис. 1). Рассмотрим проективное соответствие

методов проективной и дифференциальной геометрий.

Рис. I. Геометрическая схема

3]

а2 а3

Ь)

ь2 Ь3

С]

с2 с3.

,|Л|*0.

(1)

Если за центры связок, к которым принадлежат эти пучки, принять точки 8, (хь у 1, г\) и Э2 (х2, У2, '¿т), то параметрические уравнения соответственных прямых примут вид I и Г:

(2)

Р]Ч+ [х, у, г,]'; !'<-> [Г]т1' + [х2у2г2]\

причем [Г]г=[Д]-[1], где [/]=[! М Л']1 и [/!=[/ т и]1 координаты направляющих векторов прямых / и Г соответственно, г' - параметры положения точек на прямых / и /'. Образуемая поверхность будет представлять собой множество общих перпендикуляров соответственных прямых. В векторной алгебре и аналитической геометрии известны способы получения уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. В итоге выполняя необходимые математические операции и принимая координаты прямой в пучке {/.,Л/.Л'} за {а,1,0}, получим координатно-параметрические уравнения линейчатой поверхности:

^Пп3 +1пп1Т12)а3 -21па2п1ш+(1п-2т2 -2п2 +71щ+1П113 +<пп12)>-7п2 +пт+21т-712

г(*П-а)

п2+т2^2-21ат+12+п2 - (1"-'2т2-2п2-1пп3 + 71т-1ппт2^2+(-712 + пт-7п2+21пп1т+21ш^-1пп12-1пп3

п2 +т2 а2 -21ат+12 +п2

(3)

гг(1п,а)= 1п(та-1),

где /п - параметр положения точки на линейчатой образующей, а - параметр прямой в пучке.

Исследования этого уравнения показали, что полученная поверхность имеет порядок, равный шести. Предложенный подход может быть использован для получения различного вида линейчатых поверхностей путем увеличения порядка соответственных в коллинеации пучков прямых. Введение позиционно-метрического условия в коррелятивное соответствие (рис. 2) точечного ряда I и пучка плоскостей (I1)

первого порядка, принадлежащих тем же связкам Я/ и 52, состоящее в построении перпендикуляра ЫЧ из точки Ь ряда / на плоскость /,', приводит к образованию квазиподэрных поверхностей - линейчатых поверхностей второго порядка. Матрица коррелятивного соответствия пространства в этом случае имеет вид:

Рис. 2. Геометрическая схема образования квазиподэрной поверхности

а. Ь] с,

а2 Ъ2 с2 1 ,1 А И 0

аз Ьз с3 1

х2 У 2 22 1_

Текущая точка I, на прямой I и соответственная ей плоскость пучка I' имеют однородные координаты соответственно:

[11

'и' А~

В

С

N1

1 р

, причем[Ь'] =[Л][1].

(5)

(6)

где - I параметр положения точки на прямой /. Параметрические уравнения искомого перпендикуляра принимают вид:

^ (1ла, +М1Ь, +Ми, +Хз) + 1Л [г]= ^(И^ +М(Ь2 + Ми2 +у2) -ЫуИ ^(Ьга, +МгЬ3 + Шс3 +2^ -1-М 1

где гп - параметр положения точки на линейчатой образующей, / - параметр положения точки на прямой /.

Найденное уравнение будет описывать в общем случае незамкнутую поверхность. Исключительным является случай, когда сама прямая / будет образующей получаемой поверхности. Тогда поверхность совпадет с плоскостью. Различные виды образующейся линейчатой поверхности могут быть получены путем увеличения порядков соответственных в корреляции точечных рядов и пучков плоскостей.

В параграфе 2.2 рассмотрена плоскостная интерпретация конструктивно-метрического

метода с целью образования алгебраических кривых высших порядков. На плоскости введение позиционно-метрического условия (рис. 3), а именно: проведение перпендикуляра из точки на соответственную ей прямую в коррелятивном соответствии ряда и пучка приводит к

образованию квазиподэры - алгебраической кривой третьего порядка. Коррелятивное соответствие точек Ь'(х, у) ряда первого порядка в и прямых 1{1, т} пучка первого порядка (Б)) имеет вид:

1 -а1х + ь1У + с1 ; т _а2х + Ь2у + с2

а3х + Ь3у + с3 а3х + Ь3у + с3 (7)

Рис. 3. Геометрическая схема образования квазиподэры К( 1 -!)

Искомая кривая К(1-1), где первое и второе число - порядки проективно соответственных ряда и пучка, определяются как множество точек пересечения прямых I и указанных выше перпендикуляров.

Искомые уравнения квазиподэры имеют вид:

X

П12х -

гп1х-1

I2 + т2

- 1шх -

(8)

Рис. 4. Визуализация коррелятивного соответствия прямой и пучка прямых. Квазиподэра К(1-1)

Кривая, построенная на данных условиях, имеет третий порядок и представляет собой известную в геометрии и кинематике кривую — офиуриду (рис. 4). Предложенный метод образования

алгебраических кривых третьего порядка более прост в математическом описании по сравнению с известными методами. Увеличение порядков проективных рядов и пучков прямых позволяет конструировать алгебраические кривые более высоких порядков.

В параграфе 2.3 на основании дифференциальной геомегрии плоской кривой линии получена математическая модель образования линейчатой развертывающейся поверхности. Для плоской кривой , можно записать уравнения прямолинейной образующей (рис. 5):

1 =(т-совр + п -ятр^соза + Ь-вта, (9)

где х, п, Ь - касательная, нормаль и бинормаль кривой §.

Уравнение образуемой линейчатой поверхности может быть записано

1(1,5) = 1(8) + 1(8)Т, (10)

где 5 - натуральный параметр, Т - параметр точки на образующей. Запишем известное дифференциально-геометрическое условие развёртываемое™ линейчатой поверхности

1

/ а

А Л

1

П

Рис. 5. Положение вектора образующей линейчатой повепхности

= о.

(П)

После выполнения необходимых математических преобразований это условие принимает вид

da

- к ■ ctgp • ds - ctg|5 • d(5 = O.

(12)

cos a-sin a

Поскольку k-ds=d5, где dS - приращение угла наклона 5 орта т от его первоначального положения, то приняв d5=dp/m, после интегрирвания получим:

In(|sin(p)|)

In I tga 1=

'+ln[sinp|+C,

где т - скалярный параметр!. В итоге получим решение для угла а:

' т+1

а = аг^ еС-|зт(р)| т

(13)

(14)

Рис. 6. Семейство торсовых поверхностей для окружности при га=0,2; т=1 соответственно

где п-тс < а < (2п+1)-л/2, (3 = :пт8.

Определяя угол 5 = • с1з для заданой плоской кривой ¡г и учитывая предыдущие формулы, получим развертывающуюся линейчатую поверхность. В зависимости от формы плоских кривых и параметра т, определяющего положение образующей прямой, можно получать различные виды торсовых поверхностей (рис. 6).

При этом вместо соотношения р==ш-5 можно принять любой закон изменения угла р. Предложенный дифференциально-геометрический подход позволяет в режиме прямого счета на основе изменения геометрических параметров модели получать интерактивно различные виды развертывающихся линейчатых поверхностей.

В третьей главе рассмотрены теоретические вопросы соприкосновения линейчатых поверхностей.

В параграфе 3.1 приведены сведения по соприкосновению косых линейчатых поверхностей, исследованного К.Л. Панчуком. Основные из них:

- уравнение линейчатой поверхности в дуальной векторной форме имеет вид: А, 0)=а0, (0+гоа,, (г), ог=0, где аО1(0 - единичный вектор образующей прямой, аи(0 - момент вектора а0, относительно начала координат системы отнесения, а,(0- дуальный единичный вектор с координатным представлением А, = Тх + ]у + кг, при этом х2 + у2 + г2 = 1, Г - вещественный параметр Т„<1< Т,;

- существует триэдр линейчатой поверхности с дуальными ортами А,;

Л2 = а02+<оа,2 =—'-; А3 = а03 + соа|3 = Л, х А2 и деривационными уравнениями II

А; = н■ А2; "А; = Н А.+О А,; А"з=(}А2;

• дуальный вектор расхождения двух линейчатых поверхностей с общей образующей имеет выражение:

G(t)=A1(t0)-A,*(t0)H

Aí(t0)AÍ(t0)

•At +

At«o)"AÍ (t0)

- порядок соприкосновения линеичатых поверхностей определяется:

|jm = 0, где g(t) - модуль дуального вектора расхождения;

At^ oAt"

- соприкосновения начальных порядков характеризуются:

и=0 (пересечение но общей образующей) - A,(t0}=A*(t„); A,'(tn)* A,*(t„);

/7=1 - A|(t0) = X,*(t0); A/(t0) = A^(t0); Ajfto)^ A,* (t0). При л=1 в центральной точке общей образующей соприкасающиеся линейчатые поверхности имеют совпавшие триэдры и равные элементы дуальных, дуг, их стрикции пересекаются в центральной точке так, что касательные к стрикциям в этой точке инцидентны касательной плоскости соприкасающихся линейчатых

_ ___// __т

поверхностей; п=2 - A,(t„)= A,-(t0); A,'(t0)= A*(t0);A¡'(t0) = A,*(t0); A¡'tt0) * A,* (t0).

В общей образующей выполняются равенства Н = Н-?;Н' = (Н ■?)',; Q = Q-T', раскрытие которых приводит к следующим результатам: стрикции соприкасающихся линейчатых поверхностей имеют в центральной точке образующей соприкосновения общую касательную, инцидентную касательной плоскости этих линейчатых поверхностей; совмещены триэдры эволют первого порядка соприкасающихся линейчатых поверхностей; равны их дуальные радиусы кривизны p = p=sinR, где R-R(s) - дуальный угол между соответствующими образующими ЛП и ее линейчатой эволюты,

В параграфе 3.2 выполнено решение задачи по построению соприкасающихся развертывающихся поверхностей (торсов), основанное на результатах п.п. 3.1. В отечественной и зарубежной научной литературе эта задача, несмотря на ее практическую востребованность, находится в начальной стадии рассмотрения. Для двух торсов условие п=0 означает пересечение по общей образующей. Рассмотрим соприкосновение п= 1. Для двух торсов A|(t)n

Aj( Г) параметры Р и Р их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг As и As - вещественные числа Aso hAs¿. Поэтому триэдры линейчатых поверхностей в центральной точке А их общей образующей

совпадают с трехгранниками стрикций - ребер возврата торсов: (5о1,а02,аозМ^,1,1о2Доз)- Исходя из условий соприкосновения л= 1, приведенных в п.п. 3.1, и учитывая, что дуальное равенство <15 = а? для торсов становится вещественным с^ то поскольку аз0 = к-ао получаем, что

к • 6а = к • аз. Следовательно, произведение кривизны на элемент дуги стрикции для обеих стрикций в их точке касания равны. Для торсов соприкосновение п=2 исследуется на результат;« этого соприкосновения для косых линейчатых поверхностей, приведенных в п.п.3.1. На основании этих результатов, с учетом выражений для вторых производных

"а^-Н^-А) +№• А2+н-(з-Аз,А[ = -н2'(г)2-X] (16)

следуют дуальные уравнения н = Н-?;Н' = (Н-?)1 ;(} = §•?, раскрытие которых, с учетом уравнений стрикций соприкасающихся торсов, приводит к выражениям ёст = ¿а, к = к, что означает равенство элементов дуг и кривизн стрикций торсов в центральных точках А=Аих совмещенных образующих прямых линий а01 = »01 - На основании этого результата и, учитывая, что для элемента с!з(1) дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а03, можно записать дуальные равенства ав(,> =а801 ч-Ыв,, =(г-Л = (я0+а>я,)а^ из которых, по разделении главных и моментных компонент

сЦ, = = чоТ'аг = ц0аТ = а^,,,

аяц =q1at=aa=aa = q1aT=asi1 (17)

следует результат сЬ(П =а^|), означающий равенство элементов дуальных дуг бинормалей стрикций соприкасающихся торсов. На основании известной в линейчатой геометрии формулы <Ь(1) =Х-ао-ею/*, с учетом последнего результата, получаем х = х, что означает равенство кручений рассматриваемых стрикций. Последовательное выполнение исследований, подробно изложенных в настоящем параграфе работы, привело к получению следующих результатов по соприкосновению и=2: выполняется равенство параметров дуальных дуг бинормалей стрикций Р(„=Р(1); равны элементы дуальных дуг описываемых нормалями а02 и а02 стрикций и равны параметры р.=^ = х/(к2+х2) = р. этих элементов; равны дуальные кривизны

соприкасающихся торсов е = ■ = в и равны дуальные углы

К = К0+шК,, я = й0 +шЙ1, Я = Я, определяющие положение единичных дуальных векторов главных нормалей В, и I, торсов; совмещены триэдры

порядка дуальные

соприкасающихся

г.. о

Ч'-ч

: й,-

эволют первого

В, зВ,,В2 э В2,А2 = А2; равны

изгибы 5=^ = ^ = ) ds ds

торсов в их общей образующей; совмещены триэдры эволют второго порядка В, з в,,С, з С,,С2 з с2 этих торсов (рис.7). На основании проведенных исследований сделан общий вывод о том, что для полного соприкосновения и=2 торсовых поверхностей необходимо, чтобы в их общей образующей выполнялось равенство значений дуальных изгибов 5 = 5.

В параграфе 3.3 рассмотрены примеры применений теоретических результатов п.п. 3.1, 3.2 в задачах конструирования линейчатых полос из сегментов торсовых поверхностей, построенных на основе эрмитова сплайна пятой степени, выражение для которого получается из общего уравнения эрмитова сплайна нечетной степени:

Рис. 7. К соприкосновению двух торсовых поверхностей

10Г

-1514-6Г5)»+(1013-

г(-413+714-

Зг

1514 +615)5!.и +(1-б13 +814 -315)ч'+

Последнее уравнение может быть представлено в матричном виде (7ч ]= [7] [(?/],

матрица геометрии

где [7] - матрица весовых коэффициентов, [С?/] соответственно:

,з

[Т] = [1-1013 +1514 -615,1013-1514 +б15,1-613 -315 +814,714 -413 -315,

2

3 з 3 4 1513 —Г +-Г--Г,-!* ■ 2 2 2 2

«4+-15]; 2

(19>

[Р,] - матрица-столбец координат граничных условий (точек либо касательных). Уравнение торсовой поверхности в этом случае может быть записано в следующем обобщенном виде: ^(^^(О + и-'ВД;! е£0,1]. Первый порядок гладкости стыковки торсов для рассматриваемого случая может быть получен при сонаправленности векторов главных нормалей в узлах сегментов кусочного сплайна, различающихся дополнительными множителями (рис.8). Матрицы геометрий для трех сегментов в рассматриваемом случае имеют вид: [С,] = й • Р2теЖ, Ю2 ] = [Р2, Р3, Р.', Р?,а • Ту, . [О3] = [Р3,Р4,^"Щ,ьТу;ВДт.(20)

(21)

(22)

Эрмитовы сплайны пятой степени с непрерывной производной третьего и четвертого порядков в узлах сегментов получаются на основе решений системы уравнений:

Р'*! (1 = 1) ^¡+1(1 = 0) = О, (1 = 1)- Ё"'^! (г = о) = о.

Раскрывая и группируя члены последних уравнений, получим систему:

3-Г-18-1П,+З.ТГ;2=-60.Р!+2 +24 + 120-Р;+1-60Р|-24^

168-1У+384-1У+! +168-1[;2 =360-Р;+2+24-"^2-360-Р|-24-Т:

Из системы (22) определяются первые и вторые производные в узлах интерполяции [Р"-н], [Р'м], где г =[1, и-1] в точке соединения соседних сегментов. Параметрические уравнения сегментов образующихся кусочных Эрмитовых сплайнов определяются: [Р,] = [Т]-[0,]; [Р2] = [Г]-[О,]; [Р32 = [Т]-[С3].

Кусочные сплайны с непрерывными производными второго и третьего порядков в узлах дают неполный второй порядок гладкости стыковки торсов.

Кусочному сплайну с непрерывной четвертой производной в узлах соответствуют торсы, состыкованные по второму порядку гладкости (совпадают трехгранники стрикций; равны кривизна и кручение в узлах стыка, равны дуальные изгибы 5 = 5). Если добавить циклические условия на концах, например, сплайна (20), то получим замкнутый кусочный сплайн и соответствующую полосу (рис. 9). При сферическом отображении этого сплайна можно получить линейчатые полосы второго порядка гладкости из сегментов сферических торсов.

В четвертой главе выполнено приложение полученных теоретических результатов к решению прикладной задачи по конструированию лемешных поверхностей рыхлителя почвы.

В параграфе 4.1 на основе анализа существующих исследований по конструированию рыхлителей сделан вывод о необходимости геометрического

Рис. 8. Линейчатая полоса первого порядка гладкости стыковки сегментов

Рис. 9. Замкнутая линейчатая

полоса неполного второго порядка гладкости сегментов

моделирования рабочей поверхности лемеха рыхлителя, закрепляемого на различных видах стоек.

В параграфе 4.2 рассмотрено решение задачи конструирования лемешной поверхности для прямой и цилиндрической стоек. Конструирование лемешной поверхности стойки состоит в получении линейчатой поверхности, дающей необходимую информацию и возможность изменения угла крошения лемеха (рис. 10). Представим ее в . виде линейчатой

развертывающейся полосы, имеющей вогнутую форму и выполненную эквидистантно лобовому профилю стойки рыхлителя. Такой лемех имеет вогнутый профиль, соответствующий минимальной энергоемкости захвата и отведения пласта, осуществляет

минимальный оборот агрегатов почвы в пласте, что

Рис. 10. а) соприкосновение пары линейчатых сегментов; б) линейчатая полоса, представляющая

= 26°

лемешную поверхность при т= -0.43 и ат

способствует ровной пахоте и дополнительному крошению почвы. Все это приближает процесс рыхления к условиям минимальной обработки почвы.

Поперечный профиль таких стоек определяется по формуле логарифмической спирали:

{^г-е'совЫ+г-е'втг-] + 0-к, (23)

при этом г - эмпирический параметр, зависящий от ширины долота и глубины рыхления. Дуга логарифмической спирали рассчитывается, исходя из глубины рыхления до 650 мм, при этом рекомендуется выбрать г = 7. Граничные точки профиля стойки определяются из условия ~|*к = = 0, из которого следует ¿1=-тс/4+п-л;; /к=л/4+п-я:.

На практике применяются конструкции рыхлителей с прямыми стойками с приемлемой геометрической формой в виде полупараболического

_ 2 т —

продольного профиля с началом в нижней точке: g = ах -1 + 2-аХ-где а -параметр, отвечающий за кривизну параболы, который может быть подобран из условия минимизации тягового сопротивления при равенстве движущих сил и сил сопротивления при установившемся движении рыхлителя, например, а = 40. Полученный продольный профиль в виде логарифмической спирали удобнее аппроксимировать дугами окружности. Из получившихся линейчатых сегментах затем строится линейчатая развертывающаяся полоса.

Аппроксимация дугами окружностей выполняется радиусо-графическим

способом. В результате на основании формул п.п. 2.3 получаем линейчатые сегменты

[Ь]=[о]+[1]-Т, (24)

т+1

где I =(т-с05р + п-8т|})-с05а + Ь5та ; а = ап^фт(т1)| т ); [о] - коорди-натно-параметрические уравнения дуги окружности; Т - параметр положения точки на образующей, т - скалярный параметр, Г - параметр точки на кривой, представляющей профиль стойки. Скалярный управляющий параметр ш, введенный в п.п. 2.3, определяет вид закона изменения угла рыхления от параметра плоского профиля стойки. Он выбирается эмпирически в зависимости от того, как нужно наращивать угол крошения и какие предельные значения для него приняты. Из этих соображений определяем параметрическую область (рис. 11) для уравнений поверхности п.п. 2.3, в которой угол крошения изменяется в интервале [26°, 0]: ^=0,1„=Зтг/4 для логарифмической спирали.

А-АО

Рис. 11. Закона изменения угла рыхления а при т = -0,43 для логарифмической спирали, 1=[0; 1.4937] рад.

Приводя сегменты в соприкосновение по первому порядку гладкости, получаем линейчатую полосу. Триангулированные уравнения полученной линейчатой полосы распечатывается в структурированный текстовый файл «CSV» или в форматированный файл «ТХТ». После чего данные о линейчатой полосе могут быть импортированы в практически любую САПР.

В работе выполнено построение твердотельной модели рыхлителя в системе Компас 3D. Импорт поверхности лемеха стойки в Компас 3D выполняется при помощи выстроенной команды «Поверхность по сети точек» (рис. 12). Благодаря наличию SDK и параметрическому моделированию в системе Компас 3D выполнена параметрическая модель изделия. Такая модель требует специфических сведений о типах применяемых почв и вариантах конструкций рыхлителей. Предложенная математическая модель лемешной

поверхности рыхлителя и ее конструкция приняты к внедрению на ФГУГ1 «Омский экспериментальный завод».

а) б)

Рис. 12. Параметрическая модель рабочих органов рыхлителей со стойкой 1, долотом 3 и лемехом 2, выполненная в САПР Компас ЗЭ а) с параболической стойкой; б) с криволинейной стойкой

Основные результаты н выводы

1. Разработан новый метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей. Отличительной особенностью метода является возможность получения алгебраических линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых высоких порядков при пониженных, в сравнении с известными методами, порядках проективных рядов, пучков прямых и плоскостей.

2. Разработан новый метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе дифференциальной геометрии плоской кривой, позволяющий выполнять математическое описание линейчатых поверхностей в векторно-параметрической форме. Отличительной особенностью метода является возможность получения в режиме прямого счета, на основе изменения геометрических параметров, различные виды торсовых поверхностей.

3. Разработан математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей, позволяющий образовывать полосы из линейчатых сегментов, состыкованных по определенным порядкам гладкости. Вопросы сегментарного конструирования линейчатых полос по различным порядкам гладкости рассматриваются впервые.

4. Выполнено практическое применение полученных теоретических результатов исследований в задаче параметрического конструирования лемешных поверхностей рыхлителей почвы с возможностью управления

формой рабочей поверхности исходя из технологических условий п оч вообработки.

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Нитейский, А. С. Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе / А. С. Нитейский // Омский научный вестник. -2013.-№2 (120).-С. 151-153.

2. Нитейский, А. С. Элементы теории соприкосновения линейчатых развертывающихся поверхностей / А. С. Нитейский, К. J1. Панчук // Вестник кузбасского государственного технического университета. - 2012. - Вып. 6 (94). -С. 112-117.

3. Нитейский, А. С. Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей [Электронный ресурс] / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Инженерный вестник дона. - 2012. - № 3. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/930/

4. Панчук, К. JI. Элементы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей/ К. Л. Панчук, A.C. Нитейский// Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). - 2012. - Вып. 4(26).-С. 84-90.

5. Нитейский, А. С. Конструирование линейчатой поверхности на основе проективных пучков прямых / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Омский научный вестник.-2011.-№3(103).-С. 13- 17.

Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:

6. Нитейский, А. С. О конструировании линейчатых развертывающихся полос / А. С. Нитейский // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2012): матер. Всерос. молодежной конф. - Кемерово, 2012. -С. 232-233.

7. Нитейский, A.C. Конструктивно аналитическое описание образования квазиподэр [Электронный ресурс] / A.C. Нитейский, К. Л. Панчук // Прикладная геометрия. - 2011. - Вып. 13. - № 27. - С. 12-21. - Режим доступа: http://www.apg.mai.ru/Volume 13/Number27/nit 1327.pdf

8. Нитейский, A.C. Конструктивно-метрическое образование квазиподэр/ А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования - основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России: матер. Всерос. 65-й науч. - техн. конф. ФГБОУ ВПО «СибАДИ» (с междунар. участием). - Омск, 2011. - Кн. 2. - С. 270-275.

9. Нитейский, А. С. Конструктивно-метрический подход к образованию плоских алгебраических кривых/ А. С. Нитейский, 1С. Л. Панчук // Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий: тр. междунар. науч.-метод. конф. - АЛМАТЫ. - 2011. - С. 62-70.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

10. Нитейский, A.C. Программа моделирования лемешной поверхности рыхлителя на основе линейчатой развертывающейся полосы / А. С. Нитейский: М.: ИНиПИ РАО, 2013. - № 50201350848. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19375 от 22.07.2013.

11. Нитейский, А. С. Программа «Компьютерного моделирования алгебраических линейчатых поверхностей высших порядков на основе проективного метода» / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук: М.: ИНиПИ РАО, 2013. - № 50201350152. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 18925 от 12.02.2013.

12. Нитейский, А. С. Программа «Компьютерного моделирования плоских алгебраических кривых высших порядков на основе проективного метода» / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук: М.: ИНИПИ РАО, 2013. - № 50201350153. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 18924 от 12.02.2013.

Подписано в печать 1£ //•■ Г Формат 60x90 1/16 Печать трафаретная. Бумага офсетная. Усл.печ.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № ЛЛ'/ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65. Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

04201450563

На правах рукописи

НИТЕЙСКИЙ АНТОН СЕРГЕЕВИЧ

КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОЛОС

05.01.01- ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель-доктор технических наук, доцент К.Л. Панчук

ОМСК 2013 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ ОБРАЗОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.........................................12

1.1 Принцип Плюккера.................................................................................................12

1.2 Проективный метод образования линейчатых поверхностей............................15

1.3 Образование линейчатых поверхностей погружением в конгруэнцию прямых............................................................................................................................17

1.4 Кинематический метод образования линейчатых поверхностей.......................19

1.5 Конструирование линейчатых поверхностей методами вычислительной геометрии..........................................................................................20

1.6 Аналитическое моделирование линейчатых поверхностей на основе

принципа перенесения Котельникова-Штуди............................................................23

Цель и задачи исследования.........................................................................................26

ГЛАВА 2. КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ......................................................28

2.1 Конструктивно-метрическое образование алгебраических линейчатых поверхностей..................................................................................................................28

2.2 Конструктивно-метрическое образование плоских алгебраических кривых.............................................................................................................................40

2.3 Дифференциально-геометрическое образование развертывающихся

поверхностей..................................................................................................................49

Выводы по второй главе...............................................................................................56

ГЛАВА 3. ОБРАЗОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

И ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОЛОС..........................................................................................58

3.1 Основные сведения по соприкосновению линейчатых поверхностей..............58

3.2 Соприкосновение развертывающихся поверхностей.........................................69

3.3 Линейчатая развертывающаяся полоса.................................................................79

Выводы по третьей главе..............................................................................................89

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ

К КОНСТРУИРОВАНИЮ ЛЕМЕШНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

РЫХЛИТЕЛЯ ПОЧВЫ.................................................................................................91

4.1 Обоснование выбора конструкции рыхлителя.....................................................92

4.2 Конструирование лемешной поверхности рыхлителя....................................102

Выводы по четвертой главе........................................................................................116

Основные результаты и выводы................................................................................117

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................................118

ПРИЛОЖЕНИЕ А.......................................................................................................130

ПРИЛОЖЕНИЕ Б........................................................................................................135

ПРИЛОЖЕНИЕ В........................................................................................................138

ВВЕДЕНИЕ

Проведение теоретических исследований в области образования и конструирования поверхностей и решения проблем практического использования результатов исследований с применением современных компьютерных технологий является одной из основных задач инженерной геометрии.

В общем направлении теоретических исследований и практических применений различных видов поверхностей известны работы ученых: И. И. Котова [27], А. М. Тевлина [77], В.А, Осипова [51], B.C. Полозова [62], В.Е. Михайленко [30], A.JI. Подгорного [60, 61], B.C. Обуховой [45, 47, 50], Г.С. Иванова [20, 21], В.Я. Волкова [28], С.И. Роткова [69], В.Ю. Юркова [87], H.H. Голованова [11, 24], Н. Pottmann, и J. Wallner [101] и многих других. В общем направлении выделяется исследования, относящиеся к линейчатым поверхностям, применительно к областям: судостроения, самолетостроения, автомобилестроения, архитектурно-строительного проектирования,

проектирования пространственно-шарнирных механизмов, разработки орудий для обработки почвы, проектирование сложных технических поверхностей на основе сегментарной аппроксимации развертывающимися поверхностями и др.

Для образования и конструирования линейчатых поверхностей используются известные методы: проективный, погружение в конгруэнцию прямых, кинематический, вычислительной геометрии и др. Анализ этих традиционных методов обнаруживает, что задача параметрического моделирования линейчатых поверхностей как правило не рассматривается; порядки получаемых линейчатых поверхностей не выше четвертого. В тоже время в указанных областях практических применений актуальным является использование алгебраических линейчатых поверхностей более высоких порядков с математическим описанием в векторно-параметрической форме.

В вышеуказанных областях промышленности объекты могут быть описаны линейчатыми поверхностями, как правило, развертывающимися. Например, мелкие суда выполняются с развертывающейся наружной обшивкой. Но не всегда

достигается описание объектов линейчатыми поверхностями. Одна из причин — в принципе не решена задача сшивки линейчатых сегментов по общей образующей. Математический аппарат конструирования линейчатых полос, косых и развертывающихся, с сегментарной стыковкой определенного порядка гладкости на данный момент времени отсутствует. Проблема конструирования линейчатых полос и необходимость ее решения присутствуют и при проектировании сложных технических поверхностей на основе сегментарной аппроксимации развертывающимися поверхностями, например, при конструировании сложных поверхностей лопаток турбин и насосов, лопастей воздушных винтов, рабочих поверхностей орудий почвообработки и др.

Исследованию линейчатого пространства и его подмножеств посвящены работы ученых: R. Sturm [104,105, 106], К. Zindler [107, 108], С.П. Финикова [82, 83], Б.А. Розенфельда [67], Е. Study [103], В. Mayor [93], А.П. Котельникова [25], Д.Н. Зейлигера [19], А.П. Нордена [43], 3. А. Скопеца [73, 74, 75], Н. Pottmann, J., Wallner [101] и других.

Специализированные исследования по образованию и практическому применению линейчатых поверхностей отражены в работах ученых: основателей Киевской научной школы и их учеников - В.Е. Михайленко [30], A.JI. Подгорного [60, 61], B.C. Обуховой [45, 47, 50]; в трудах Ярославской геометрической научной школы З.А. Скопеца [73, 74, 75]; в трудах ученых: Ф.М. Диментберга [16], Я.Б. Шора [85], М.М. Юдицкого [86], В.Д. Трухиной [80], С. Ф. Пилипака [58], А.В. Замятина [18], K.JI. Панчука [54, 55,56] и других.

В существующих специализированных исследованиях выделяются следующие методы образования и конструирования линейчатых поверхностей:

1. Проективный метод. Его использование сводится, в основном, к конструктивно-позиционному образованию линейчатой поверхности как непрерывного множества прямых пересечения двух проективных пучков плоскостей либо соединения соответственных элементов либо двух проективных рядов [10, 47, 84,]. Наибольшее практическое применение данный метод конструирования линейчатых поверхностей получил в авиа- и кораблестроении.

Развитие проективного подхода путем введения метрических элементов (ортогональности, расстояний, углов) с целью конструктивно — метрического образования линейчатых поверхностей практически не рассматривается.

2. Кинематический метод. Основан на перемещении в пространстве некоторого геометрического объекта, с которым подвижно либо неподвижно связана прямая линия. К нему относится метод подвижного трехгранника кривой линии [51, 58, 65], по существу дифференциально-геометрический метод, служащий для образования различных видов поверхностей и недостаточно исследованный для этих целей. Линейчатые поверхности кинематического метода получил широкое распространение в архитектурно — строительном проектировании [18, 61].

3. Классический метод, основанный на погружении линии в конгруэнцию прямых линий. Получил широкое применение для конструирования линейчатых поверхностей практического назначения. Поскольку в общем случае линейчатая поверхность определяется тремя направляющими линиями, то задав две из них, получаем конгруэнцию прямых, из которой погружением в нее третьей линии выделяется линейчатая поверхность. Очевидно, управление формой и геометрией образующейся линейчатой поверхности сводится к изменению формы и геометрии направляющих линий. Данный подход нашел практическое применение в задачах проектирования архитектурных оболочек и лемешно -отвальных поверхностей в изделиях сельскохозяйственного машиностроения [48, 49, 50, 80]. Метод погружения в конгруэнцию прямых, в виду сложности конструктивной реализации геометрического аппарата, получил ограниченное применение. На практике были получены поверхности не выше 4-го порядка [30].

4. Метод вычислительной геометрии. Основная идея метода состоит в том, что область изменения параметров двух направляющих линий сводится к отрезку [О, 1]. Это позволяет получить векторно - параметрическое уравнение линейчатой поверхности, при этом направляющие линии — сплайн кривые [11, 101]. Возможности метода ограничены заданием двух направляющих линий. Несмотря

на эти ограничения, метод получил широкое применение в авиационной, кораблестроительной и автомобилестроительной промышленностях [101].

5. Метод (принцип) перенесения Котельникова-Штуди. Основан на использовании дуальных чисел для аналитического моделирования прямых, векторов и их множеств в трехмерном евклидовом пространстве над алгеброй дуальных чисел Е3й> [16]. Метод нашел множество практических применений в статике стержневых систем, в теории плоских и пространственных шарнирных механизмов, плоских и пространственных зубчатых зацеплений [16].

Анализ существующих применений линейчатых поверхностей показывает их востребованность практически во всех областях человеческой деятельности. На сегодняшний день среди множества перспективных направлений их практического использования выделяется разработка современных орудий безотвальной обработки почвы [46, 48, 49, 80]. ''

Исходя из вышеизложенного, можно делать вывод об актуальности проблемы образования и конструирования линейчатых поверхностей и необходимости ее нового решения на основе развития известных в инженерной геометрии методов и разработки математического инструментария для геометрического моделирования линейчатых поверхностей и полос.

Объект исследования — образование и конструирование сложных криволинейных поверхностей.

Предмет исследования - конструктивно-метрическое и дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и полос.

Цель исследования — разработать новые методы образования линейчатых поверхностей, линейчатых полос и плоских алгебраических кривых, достаточно

простые с математической точки зрения,_реализуемые без привлечения

значительных вычислительных ресурсов, обладающие возможностью параметризации получаемых геометрических моделей поверхностей, полос и кривых.

Задачи исследования:

1. Разработать метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2. Разработать метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся линейчатых поверхностей на основе плоских кривых.

3. Разработать математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

4. Выполнить практическую реализацию теоретических исследований на основе параметрического конструирования торсовых поверхностей и полос с сегментарной стыковкой, используемых в качестве лемешных поверхностей рыхлителей почвы.

Научная новизна:

1. Разработан новый метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.

2. Разработан новый метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3. Разработан впервые математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос.

Теоретическая и практическая значимость работы

Геометрический инструментарий предлагаемого метода конструктивно-метрического образования позволяет получать новые виды линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых и расширяет область их

_________практического применения, поскольку математически все они представляются в

векторно - параметрической форме, наиболее удобной для алгоритмической и программной реализации в решении прикладных задач. Использование дифференциально-геометрических свойств плоских кривых позволяет получить новые математические модели образования различных торсовых поверхностей, удобные для практического использования. Разработанный математический

инструментарий стыковки линейчатых поверхностей необходим для сегментарного образования линейчатых полос по различным порядкам гладкости, используемых в задачах конструирования и аппроксимации сложных технических поверхностей. Результаты теоретических исследований работы реализованы при параметрическом конструировании лемешных поверхностей рыхлителей почвы в виде математических моделей, вычислительных алгоритмов, листинга Maple — программ и приняты к внедрению на ФГУП «Омский экспериментальный завод».

Методология и методы исследований

В работе принята известная в инженерной геометрии методология геометрического моделирования, основанная на аксиоматическом, конструктивном и аналитическом методах моделирования. Проведение теоретических исследований в работе было выполнено на основе конструктивного и аналитического методов геометрического моделирования. Основу математического инструментария составили аналитический метод проективной геометрии плоскости и пространства, методы дифференциальной геометрии плоскости и пространства, методы аналитической и вычислительной геометрии, элементы дуального векторного исчисления, компьютерной графики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод конструктивно-метрического образования алгебраических линейчатых поверхностей и плоских кривых.

2. Метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.

3. Математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых полос. . _________________

Степень достоверности и апробация работы

Достоверность результатов теоретических исследований работы подтверждена публикациями в рецензируемых изданиях и обсуждена на научных конференциях. Основные положения работы докладывались и обсуждались:

- на 63 - ей научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ». 2009 г.,

г. Омск;

- на региональной молодежной научно-технической конференции «Омское время - взгляд в будущее». 14-15 апреля 2010 г., г. Омск;

- на 65 - ой научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ». 2011 г.,

г. Омск;

- на международной научно-методической конференции «Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных технологий», посвященной 20-летию независимости Республики Казахстан. 16-17 ноября, 2011 г., г. Алматы;

на Всероссийской молодежной конференции «Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2012)». 20-22 сентября, 2012 г., г. Кемерово.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты исследований опубликованы в 9-и научных работах, 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, и 3 свидетельства о регистрации электронного ресурса.

В первой главе выполнен анализ существующих в инженерной геометрии направлений исследований в области образования и конструирования линейчатых поверхностей, указаны области их практического использования, определены цели и задачи исследования.

Во второй главе рассмотрен метод конструктивно-метрического образования линейчатых поверхностей на основе коллинеарного соответствия двух связок и дано его математическое описание. Для этого случая рассмотрено получение параметрических уравнений линейчатой поверхности шестого порядка. Рассмотрено применение метода конструктивно-метрического образования для случая коррелятивного соответствия точечного ряда и пучка плоскостей. Показано, что образующаяся линейчатая поверхность имеет второй �