автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование линейчатых поверхностей на основе конгуэнций прямых в условиях автоматизированного проектирования (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения)

Новосибирский государственный университет

ргб ОД

На правах рукописи

ТРУХИНА Вера Дмитриевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОНГРУЭНЦИЙ ПРЯМЫХ В УСЛОВИЯХ

АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения)

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 1998

Работа выполнена в. Алтайском государственном техническом университете им. И.И. Ползунова

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор Воронин 10. А.

д.ф.-м.н. профессор Завьялов Ю.С. д.т.н., профессор Оскорбин Н.М.

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита состоится иЬи&Ц?; 1998 г в 15

часов на заседании диссертационного совета Д 063.98.01 в Новосибирском государственном университете по адресу : 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, аудитория 317 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Реферат разослан & ¡993 г

Ученый секретарь диссертационного совета

к. т.н.

Ю.И. Еремин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Линейчатые поверхности находят широкое применение в технических изделиях сложной формы. В данной работе рассматриваются теоретические основы и прикладные аспекты конструктивно-прикладных методов моделирования линейчатых поверхностей как однопараметрического семейства прямых, выделенных из двухпа-раметричсского множества прямых, составляющих конгруэнцию бисе-кант или конгруэнцию бипланар евклидова пространства. Предлагаемые методы моделирования обеспечивают решите проблем и задач конструирования линейчатых поверхностей технических изделии при реализации геометрического моделирования как подсистемы в структуре системы автоматизированного проектирования. Это достигается выполнением трех основных задач. Во-первых, предоставляется возможность моделирования линейчатых поверхностей изделий с учетом экспериментально обоснованных геометрических параметров, обеспечивающих требуемый технологический процесс. Это решается за счет обоснования формы и положения фокальных фигур конгруэнции. Во-вторых, задание геометрических компонент, используемых при построении конгруэнций, таких как фокальные фигуры, лучи конгруэнции, делается в параметрическом виде методами прикладной геометрии, что дает возможность создания численных алгоритмов средствами машинной графики и решает проблему автоматизации выделения из конгруэнций однопараметрического семейства прямых, являющихся образующими моделируемой линейчатой поверхности. В-третьих, построение конгруэнций, из которых выделяются линейчатые поверхности, основывается на возможности замены одной фокальной фигуры на другую, а также изменения положения или формы одной из фокальных фигур, чем достигается получение всего многообразия линейчатых поверхностей, используемых в конкретных технических изделиях.

Таким образом, разработка предлагаемых методов моделирования линейчатых поверхностей технических изделий на основе конгруэнции прямых объясняется несколькими существенными причинами, к которым относятся такие как

1) моделирование линейчатых поверхностей технических изделий позволяет проводить их изготовление в металле на более простом оборудовании (например, штамповкой, литьем, простым фрезерованием при движении фрезы по прямой) без ущерба для выполняемого технологического процесса, но со значительным сокращением производственных затрат;

2) при внедрении компьютерных технологий проектирования происходит моделирование поверхности в привычном традиционном виде, что позволяет автоматизацию проектирования проводить без изменения всей производственной базы;

3) при повышении уровня производства и необходимости более точного описания технической поверхности при таком моделировании возможно задание фокальных фигур сплайн-функциями;

4) разработка методов моделирования линейчатых поверхностей на основе конгруэнций прямых позволит создавать в условиях автоматизированного проектирования компьютерные архивы конструкторской документации в виде метафайлов поверхностей существующих изделий сложной формы.

В данной работе представлено описание, постановка и решение проблемы геометрического моделирования линейчатых технических поверхностей на основе конгруэнций прямых на примере изделий тракторного и сельскохозяйственного машиностроения, как наиболее необходимых в условиях Алтайского края. С этой точки зрения были изучены архивы проектно-конструкторской документации заводов Алтайский тракторный завод (г. Рубцовск), "Алтайсельмаш-Холдинг" (г. Рубцовск), Одессапочвомаш, научно-исследовательских институтов ВИМ (г. Москва), ВИСХОМ (г. Москва), Таврического института мелиорации и электрификации сельского хозяйства (г. Мелитополь, Украина), конструкторская документация лаборатории почвообрабатывающих машин Киевского политехнического института (г. Киев, Украина), проанализированы существующие методы проектирования поверхностей изделий сложной формы тракторного и сельскохозяйственного машиностроения.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова по теме "Математическое и программное моделирование процессов и систем", номер Госрегистра-щш N 01860119542, по теме научно-исследовательской программы "Алтай-наука", номер Госрегистрации 9.2В, в которой автор работы являлся научным руководителем, а также в соответствии с договорами о научно-техническом сотрудничестве с кокструкторско-техноло-гическим центром новых разработок завода Алтайсельмаш-Холдинг (г. Рубцовск) и конструкторским бюро по проектированию малогабаритной техники Алтайского тракторного завода (г. Рубцовск).

Цель работы состоит в создании конструктивного подхода к моделированию линейчатых поверхностей технических изделий, ассо-

циированных с изделиями тракторного и сельскохозяйственного машиностроения. на основе конгруэнпий прямых с параметрическим заданием фокальных фигур методами прикладной геометрии, выделением из них развертывающихся и не развертывающихся линейчатых поверхностей, исследовании их свойств и создании на этой основе инженерно-прикладных алгоритмов визуализации поверхностей технических изделий средствами машинной графики в условиях автоматизированного проектирования, в реализации результатов исследования при проектировании поверхностей технических изделий конкретного назначения.

Основные задачи исследования. Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие конкретные задачи:

1. Разработать концептуальный подход к модел1гроваюпо линейчатых поверхностей, ассоциированных с техническими изделиями тракторного и сельскохозяйственного машиностроения, как однопара-метрического множества прямых, выделенных из двухпараметрическо-го множества прямых, образующих конгруэнции евклидова пространства с определенной декартовой системой координат.

2. Разработать теоретические основы моделирования конгруэнции бисекант как двухпараметрического множества прямых, заданных фокальными фигурами в виде плоских кривых евклидова пространства и прямых проективного пространства, и конгруэнции биплатр как семейства прямых, заданных двухпараметрическим множеством плоскостей, исходя из геометрических параметров, характеризующих технологический процесс, в котором участвует изделие, имеющее форлгу проектируемой поверхности.

3. Разработать методы и алгоритмы выделения из тела конгруэнции линейчатых поверхностей с учетом эмпирических взаимосвязей их геометрических параметров и характеристик технологического процесса, в котором участвует изделие, в зависимости от вида конгруэнции.

4. Сформулировать методы исследования технологических характеристик проектируемого технического изделия по внзуальнод|у сравнению и аналитическое анализу геометрических и дифференциальных характеристик его линейчатой поверхности.

5. Разработать структуру комплекса программ, реализующего алгоритмы построения геометрических моделей поверхностей технических изделий в виде совокупности линейных образующих на основе конгруэнций прямых средствами машинной графики

6. Проиллюстрировать возможности предлагаемого моделирования поверхностей технических изделий при создании новых форм поверхностей конкретных технических изделий.

Методы исследований. Основой исследований являются методы геометрического моделирования линейчатых поверхностей, теории конгруэнции, вычислительной геометрии, методы машинной графики, вычислительной математики и программирования.

В процессе работы использованы труды российских и киевских ученых JI.B. Гячева, В.Е. Михайленко, Ю.С. Завьялова, В.И. Кора-бельского, С.Н. Ковалева, B.C. Полозова, В.М. Найдыша, B.C. Обуховой, В.К. Шаршака.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Концептуальная схема автоматизированного проектирования линейчатых поверхностей технических изделий на основе конгруэнции прямых по экспериментально обоснованным геометрическим параметрам их фокальных фигур.

2. Классификация способов образования конгруэнций прямых в виде конгруэнций бисеканг и конгруэнций бипланар, ассоциированных с техническими изделиями тракторного и сельскохозяйственного машиностроения, по виду и взаимному расположению фокальных фигур.

3. Методы описания двухпарамегрического множества прямых, образующих конгруэнцию, заданную на основе фокальных фигур в виде плоских кривых евклидова пространства и прямых проективного пространства, форма и положение которых определены с учетом геометрических параметров, обоснованных с точки зрения технологического процесса, в котором участвует изделие.

4. Методы связки одного из параметров двухпарамегрического множества прямых, составляющих конгруэнцию, с целью выделения из нее линейчатых поверхностей технических изделий с требуемыми технологическими свойствами.

5. Алгоритмы моделирования линейчатых поверхностей, выделенных из конгруэнции, исходя из геометрических параметров, обоснованных с точки зрения технологического процесса.

Практическая ценность и реализация результатов. Практическая значимость результатов научных исследований, представленных в диссертации, заключается в их направленности на решение конкретных задач компьютерного проектирования линейчатых поверхностей технических изделий. Предложенные методы моделирования использовались в лаборатории конструирования почвообрабатывающих машин Киевского политехнического института для разработки поверхностей

принципиально новых скобообразных плугов ПРВМ-1500, чизелей ПРН-31000, новизна технических решений которых подтверждена двенадцатью авторскими свидетельствами и актом об использован™. На основе методов моделирования линейчатых поверхностей, рассматриваемых в диссертации, был создан комплекс алгоритмических и программных средств моделирования технических поверхностей, ассоциированных с изделиями тракторного и сельскохозяйственного машиностроения. Комплекс был представлен и награжден дипломом оргкомитета выставки научно-технических разработок вузов России и предприятий Алтайского края. Комплекс успешно применен для усовершенствования рабочей поверхности машины ПЛП-6-35, выпускаемой АО "Алтайсельмаш-Холдинг" (г. Рубцовск), использован для проектирования рабочей поверхности машины, входящей в систему машин к мини-тракторам МТ-10 и МТ-15, выпускаемых АО "Алттрак" завода Алтайский тракторный завод (г. Рубцовск). Теоретические разработки в области моделирования линейчатых поверхностей применительно к изделиям сельскохозяйственного машиностроения и вышеназванный программный комплекс использовался в преподавании курса "Математическое моделирование" студентам конструкторских специальностей Автотракторного факультета Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова (г. Барнаул), в учебном процессе Алтайского государственного аграрного университета им. И.В. Лисавенко (г. Барнаул) и Рубцовского индустриально-технологического института (г. Рубцовск). Все применения подтверждены соответствующими актами о внедрении и об использовании.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и результаты исследований докладывались на семинарах кафедры прикладной математики Алтайского государственного технического университета (г. Барнаул, 1985), кафедры инженерной графики Украинской сельскохозяйственной Академии (г. Киев, 1988, 1989), кафедры геометрического моделирования и машинной графики Киевской инженерно-строительной Академии (г. Киев, 1988, 1989, 1990), кафедры шгженерной графики Киевского политехнического института (г. Киев, 1990) и обсуждались на международных научно-технических конференциях: "Проблемы графической технологии" (г. Севастополь, 1991), "Ресурсосберегающие технологии в машиностроении" (г. Рубцовск, 1986, 1991, 1992), "Моделирование процессов и технологического оборудования в машиностроении" (Мелитополь. 1985, 1986, 1994), "Совершенствование рабочих органов сельхозмашин и агрегатов" (г. Барнаул, 1994), "Актуальные проблемы математического и автомата-

зированного проектирования в машиностроении" (г. Казань, 1995); на республиканской научно-практической конференции "Региональные проблемы информатизации" (г. Барнаул, 1995); на региональных конференциях "Проблемы совершенствования организации труда и производства" (г. Барнаул, 1987, 1995), "Повышение технического уровня тракторного машиностроения" (г. Барнаул, 1989), "Педагогические новации, технологии обучения и модели управления" (г. Барнаул, 1996), "Геометрическое моделирование в системах автоматизированного проектирования" (г. Улан-Удэ, 1996), "Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава Донского государственного технического университета" (г. Ростов-на-Дону, 1997).

Публикации. Результаты работы изложены в 53 работах, в том числе издана монография по плану Минвуза СССР (1989 г) и опубликовано учебное пособие, рекомендованное к изданию учебно-методическим объединением по высшему образованию (1996 г.), по результатам работы получено семь рационализаторских предложения на уровне отдельных программ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Содержательная часть включает 312 страниц машинописного текста, 33 рисунка. Прилагаются акты о внедрении и об использовании результатов работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изложению концептуального подхода к моделированию линейчатых поверхностей технических изделий в виде однопараметрического семейства образующих, выделенных из двухпараметрического множества прямых, составляющих конгруэнцию бисекант или конгруэнцию бипланар евклидова пространства, Решение проблемы проектирования линейчатых поверхностей технических изделий сложной формы, несущих в себе свойства выполняемого технологического процесса, должно выполняться комплексно, охватывать решение проблемы от обоснования исходных параметров проектирования поверхности конкретной области применения до анализа на стадии проектирования характеристик поверхности при погружении ее в среду выполняемого технологического процесса. То есть, должна быть создана интеллектуальная среда компьютерного проектирования технической поверхности конкретной формы. Назначение этой среды - автоматизировать процесс формообразования технических поверхностей специального назначения за счет использования в проектирован™ компью-

терного моделирования поверхности и анализа технологических характеристик конструируемого на ее основе изделия до воплощения его в металле. Это позволяет, если и не исключить, то существенно сократить период экспериментальной доводки изделия. Компьютерная среда проектирования изделий сложной технической формы должна включать в себя следующие системы:

- система "Информационные базы данных конструирования поверхностей технических изделий'", обеспечивающая информационное обслуживание конструктора-исследователя при проектировании изделий сложной формы, состав и структура которой определяется современным состоянием знаний о геометрии проектируемой поверхности;

- система "Проектирование изделий сложной технической формы", включающая в себя методы и алгоритмы построения геометрических моделей поверхностей, практическая реализация которой заключается в предоставлении конструктору возможности выбора методов проектирования поверхностей конкретных технических изделий, результаты которой используются далее в технологической подготовке производства изделия и изготовлении на станках с ЧПУ;

- система "Геометрическое моделирование", являющаяся одной из главных задач компьютерного моделирования технических поверхностей, и осуществляющая реализацию моделей, адекватно отражающих наиболее существенные свойства проектируемого технического изделия, к которым относятся его технологические и эксплуатационные хара ктеристики.

Центральное место в структуре интеллектуальной среды проектирования изделий сложной формы занимает система '"Геометрическое модел1грование". В зависимости ог того, какие методы используются для создания геометрических образов поверхности изделия, формируются исходные геометрические параметры, а значит и структурный состав информационной среды проектирования, методы анализа поверхности и алгоритмы машинной графики для ее визуализации.

Рассматриваемое в данной работе геометрическое моделирование линейчатых поверхностей представляет собой теоретическую основу компьютерного проектирования поверхностей изделий сложной формы и заключается в выполнении следующих этапов:

1) моделирование конгруэнции Кг как двухпараметрического множества прямых, заданных на фокальных фигурах евклидова или проективного пространства;

2) выделение из конгруэнции Кг однопараметрического семейства прямых, составляющих линейчатую поверхность Г , погружением в эту конгруэнцию третьей фокальной фигуры или аналитического закона, связывающего один из двух параметров конгруэнции;

3) описание проекции изделия на одну из координатных плоскостей как плоского сложного геометрического объекта, параметры которого обоснованы исходя из характеристик технологического процесса, в котором участвует изделие;

4) нахождение границы проектируемого изделия Т1 как линии пересечения линейчатой поверхности Г и поверхности частного положения Г', заданной на проекции проектируемого изделия.

Теоретические основы геометрического моделирования разрабатывались с учетом соблюдения принципов автоматизированного проектирования применительно к формообразованию технических поверхностей. Основными из них являются принципы инвариантности, развития, информационного единства и включения.

Соблюдение принципа инвариантности обеспечивается на основе создания математических моделей геометрических элементов технических поверхностей и разработки алгоритмов их инвариантных преобразований, то есть неизменных при определенном преобразовании переменных и специфики использования этих поверхностей. Соблюдение принципа незамкнутости (принципа развития) геометрической модели достигается за счет функционального и конструктивного членения ее на геометрические образы (компоненты), изменение формы и пространственного расположения которых определяют новые модели технических поверхностей. При моделировании поверхностей технических изделий на основе конгруэнций определение новых фокальных фигур, форма которых задается исходя из технологических соображений, позволяет конструировать поверхности новой технической формы. Соблюдение принципа информационного и системного единства достигается в результате использования универсальных структур данных, задающих модель поверхности и определяющих визуализацию ее геометрических элементов средствами проблемно-ориентированных языков автоматизированного проектирования, дополненных воспроизведением геометрических образов, отражающих специфику геометрии технической поверхности. Создание моделей технических поверхностей как поверхностей линейных образующих, выделенных из конгруэнции прямых, позволяет определить геометрические элементы в виде фокальных и "погружаемых" фигур, которые могут единообразно описывать поверх-

носги конкретных технических изделий и, хранящиеся в специализированных базах данных, служить основой визуализации поверхности на экране дисплея. Для соблюдения принципа включения, обеспечивающего применение инвариантных технических поверхностей, необходимо на стадии предпроектных исследований определить классы инвариантных геометрических задач, конфигурацию технических средств и системного обеспечения.

Представленный концептуальный подход к структуре геометрического ядра компьютерной среды проектирования линейчатых поверхностей накладывает определенные требования к созданию теоретических основ моделирования этих поверхностей и их программкой реализации. Приведенное в данной работе моделирование технических поверхностей на основе конгруэнции прямых, реализованное на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения, соответствует всем перечисленным выше принципам.

Вторая глава посвящена описанию методов компьютерного моделирования конгруэнции прямых, используемых в конструктивно-прикладном моделировании линейчатых поверхностей. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е3 и проективном пространстве

Е3 , получающемся из Е3 присоединением бесконечно удаленной

плоскости тс как множества несобственных элементов в виде бесконечно удаленных точек и бесконечно удаленных прямых, задана декартова прямоугольная система координат ОХХ7.. Объекты пространств Е3 и

Е з в виде точек, прямых и плоскостей связаны между собой отношениями. вытекающими из абсолютной геометрии. Поскольку геометрические элементы рассматриваемых конгруэнции ассоциированы с линейчатыми поверхностями технических изделий конкретного назначения, задающих требуемый технологический процесс, будем рассматривать ту часть лучей конгруэнции и образующих линейчатых поверхностей, которая ограничена определенными координатными плоскостями У02, XOZ и ХОУ. Обозначим эту часть пространства как О. Способы задания фокальных фигур конгруэнции Кг и их расположение в пространстве П должны обеспечивать выделение всех видов линейчатых поверхностей Г , используемых в проектировании технических изделий. Этим обеспечивается замена при компьютерном моделировании таких поверхностей многочисленных методов проектирования частных видов линейчатых поверхностей единым подходом к созданию их моделей. Так как моделирование рассматриваемых линейчатых поверх-

ностей ориентировано на реализацию всех построений в виде алгоритмов средствами машинной графики, то принято параметрическое описание прямых /(.<,; т), являющихся лучами конгруэнции Кг и фокальных фигур. Это является отличительной особенностью предлагаемого моделирования от существующих описаний конгруэнции прямых, в которых фокальные фигуры имеют известное аналитическое описание. Такой подход к описанию фокальных фигур упрощает численную реализацию моделей.

Определим задание лучей конгруэнции Кг. В конструктивно-прикладном моделировании рассматривается та часть прямых пространства Еъ, которая принадлежит подпространству Q и заключена между точками Аг £ XOZ и Bj gYOZ , Как известно, из шести параметров, определяющих положение точки £>гу(0 на прямой (А¡Вj), существенными являются только четыре. Если эти параметры

связаны таким образом, что произвольными остаются только три из них, то этим выделяется параметрическое семейство прямых, которое называется комплексом. Если параметры прямой связаны двумя соотношениями и связываются два параметра, то оставшиеся два параметра определяют двухпараметрическое семейство прямых, которое называется конгруэнцией прямых.

Связка двух параметров может происходить различными способами, от этого зависит вид и образование конгруэнции. В работе рассмотрены методы конструктивно-прикладного моделирования на основе конгруэнции, у которых связка одного параметра осуществляется заданием функциональной зависимости в виде соотношения

Za^/I&Aj). <D

которое определяет плоскую дугу простой кривой Жордана инцидентную координатной плоскости XOZ. Будем рассматривать соотношение (1) как уравнение первой фокальной фигуры конгруэнции Кг и обозначим ее Ю]. Многообразие конгруэнций, рассматриваемых в работе, получается за счет выбора связки второго параметра двухпараметриче-ского множества прямых пространства Ц. которая определяется второй фокальной фигурой конгруэнции. В качестве второй фокальной фигуры конгруэнций Кг, как основы конструктивно-прикладного моделирования линейчатых технических поверхностей Г , будем рассматривать фигуры, позволяющие определить часть пространства Q, из которой возможно выделение всех видов линейчатых поверхностей техник

ческих изделий конкретного назначения. Исследование конструкторской документации технических изделий сложной формы позволило определить их линейчатые поверхности Г так поверхности, выделенные из конгруэнции бисекант Кг, как двухпараметрического множества прямых, у которого в качестве второй фокальной фигуры могут быть либо простая дуга плоской кривой Жордана со2, лежащая в горизонтально проецирующей плоскости Р пространства Q, либо множество несобственных (бесконечно удаленных) точек прямой (3 проективного

г,*

пространства ¿3 , или как поверхности, выделенные из конгруэнции биплаиар, лучами которых являются линии взаимного пересечения плоскостей, составляющих двухпараметрическое множество плоскостей, касательных к первой фокальной фшуре ©i.

Введенные правила, ограничения и определения позволили обосновать вид и образование конгруэнции Кг, определяющих часть пространства, которому инцидентны образующие линейчатых поверхностей конкретных технических изделий. В данной работе рассматриваются конгруэнции Кг, заданные в пространстве £1, которые образуются следующим сочетанием фокальных фигур:

1. [®] vj о);] - простая конгруэнция с простой дугой плоской кривой Жордана oí 2 в качестве второй фокальной кривой;

2. [й! и [Р и О ]] - проективная конгруэнция с прямой (3 как совокупности бесконечно удаленных точек проективного пространства в качестве второй фокальной фигуры, задаваемая направляющей плоскостью Q ;

3. [соi и [í(л),()(/)] ] - конгруэнция биплаиар, как семейство

прямых, являющихся линиями взаимного пересечения двухпараметрического множества плоскостей, касательных к фокальной фигуре со,.

При моделировании рассматриваемых конгруэнцнй Кг фокальные фигуры в виде простых дуг плоских кривых Жордана задаются в параметрическом виде. Множество точек фокальной кривой такого вида однозначно определяется геометрическими параметрами, значение которых может быть обосновано исходя из конкретного технологического процесса резания. Пусть такими параметрами будут параметры /q,/¡, h, а[, ai-,lí,A'(). геометрический смысл которых показан на рисунке 1.

Рисунок 1 К параметрическому описанию фокальной кривой

Перечень геометрических параметров составлен на основе изучения экспериментальных данных из опыта конструирования технических поверхностей, являющихся основой проектирования изделий, предназначенных для выполнения процесса резания. Решающее значение на форму кривой играют параметры а\ и а2 . В связи со спецификой использования и конструктивными особенностями изготовления поверхности в металле углы щ и а2 могут изменяться в диапазонах

15° <а] <25°, 90° («2 2115°. Углы а\ и «2 определяют касательные к кривой Жордана в точках Д) и соответственно. Параметры ¡1, ¡2,Н задают высоту и вогнутость кривой и определяются ис-

ходя из выполняемого технологического процесса. При выводе параметрического описания кривой учитывался линейный участок 4), который принадлежит касательной к кривой Жордана в точке /|).

Описание простой дуги плоской кривой Жордана заключается в ее параметрическом задании с учетом приведенных геометрических параметров. При выводе параметрического описания кривой Жордана учитывается и линейный участок кривой Л1'о, который соответствует ши-

рине лезвия технического изделия. В работе получено параметрическое описание фокальной кривойPq.Pi,в системе координат 502' в векторной форме:

) = 4Ь (¿у)'' + ^ I (.г,) • У • (2)

Параметрическое описание фокальной кривой в виде соотношений (2) позволяет, изменяя значение параметра щ е[0,1), некоторой текущей точке ¿(5,) "пробежать" всю кривую от точки Рд до точки Верно и утверждение о том, что некоторая точка плос-

кости Р инцидентна фокальной кривой, если при ее координатах {ь1 значение параметра ^ таково, что выполняется соотношение О < ¿у <1. При конструировании конкретных технических поверхностей следует учитывать, что описанные таким образом кривые могут быть продолжены и за точку Р2 ■ При этом для текущего параметра .у/ верно отношение .57 > 1. Сформулированные выше свойства кривой Р()1\Р2, описываемой параметрически как (2.12), позволяют определить, что это кривая второго порядка, непрерывная, не имеющая кратных точек, дважды дифференцируемая и является кривой класса О . Угол наклона

а\ линейного участка Л Р() к оси ОХ совпадает с направлением первой производной кривой в точке Рц. То есть выполняется равенство

г'(.5-/)1>у г_о =tga^. Обычно составные кривые рассматриваются как состоящие из нескольких гладких кусков, для каждого из которых вводится своя параметризация. В нашем случае описание составной кривой А Р()Р[Р2 должно состоять из параметрического описания куска Ро1\Р2 и параметрического описания куска А 1\). Но в данном случае кусок А Р() имеет чисто техническую интерпретацию и не влияет на образование конгруэнции, поэтому в дальнейшем все рассматриваемые методы моделирования конгруэнции прямых строятся на части кривой Р01\Р2 и в дальнейшем будем полагать, что /[) = 0 и линейную часть кривой А 1\)[\Р2 учтем только-на этапе конструирования конкретного изделия.

Простой конгруэнцией является конгруэнция, которая представляет собой двух параметрическое множество прямых, выделенное из четырехпараметрического множества прямых пространства О задани-

ем двух связок 2\ - /\(X]) и = ¡2(ХЪУ1) > которые являются фокальными фигурами со | и са 2 и представляют собой простые дуги плоских кривых Жордана. Первой фокальной фигурой конгруэнции является плоская кривая ©¡, инцидентная координатной плоскости Х(Ж Второй фокальной фигурой является простая дуга плоской кривой Жордана <э2, инцидентная горизонтально проецирующей плоскости Р . Положение плоскости Р определяется из технологических особенностей поверхностей, выделяемых из моделируемых конгруэнции Кг. Образование конгруэнции представлено на рисунке 2

Рисунок 2 Образование простой конгруэнции («[овдг]

Обозначим простую конгруэнцию как [со^Юг] • Если каждому элементу множества точек , инцидентных первой фокальной фигуре ©ь имеющего размерность (оо1), поставить в соответствие каждый элемент из множества точек ¿2 (т./') > инцидентных второй фокальной

фигуре со 2, также имеющего размерность (со1), то получим двухпара-метрическое семейство прямых ^(л'у) ¿2(тразмерности

(оо')х(оо')=(оо2), образующее конгруэнцию [со■ Таким образом,

Ъ

конгруэнция [ю^юг] образуется как двухпарамстркческое множество прямых, пересекающих попарно точки и ¿2('"7)' где точка

/.¡(.у,) - точка инцидентная первой фокальной кривой <эь положение которой определяется параметром ^ таким, что выполняется соотношение (0 < .V, < 1), а точка ¿2("г/) - точка, инцидентная второй фокальной кривой со2 , положение которой задается параметром т^ таким, что выполняется соотношение (0 < ту < 1). В моделировании

конгруэнции может участвовать и часть фокальных кривых со 1 и <т>2, для точек которых значение параметров ц )1 и шу >1, что соответствует

продолжению кривых а>1 и со 2 за точку . Конгруэнцию прямых [сй10Ю;] можно представ1пь двояко как однопараметрические семейства конусов [ Л_'| ] . Одно семейство конусов А'1 образуется как множество пространственных пучков прямых со связкой в точке ¿¡(л,) и направляющей кривой конуса о2 . Множество точек А](л';) первой фокальной кривой О] определяет однопараметрическое семейство конусов К\ размерности (оо1). Второе семейство конусов К 2 образуется как однопараметрическое множество размерности (со1) пространственных пучков прямых со связкой в точке ¿2 (/пу) и направляющей

конуса оз!. Таким образом, имеем совокупность лучей, каждый из которых одновременно принадлежит двум семействам конусов. Такая совокупность называется конгруэнцией бисекаит. В работе выводится порядок и класс такой конгруэнции: две фокальные фигуры в виде плоских кривых второго порядка определяют гиперболическую линейную конгруэнцию Кг( 2,4).

При конструировании поверхностей технических изделий не всегда можно обосновать параметры второй фокальной кривой ось и положение плоскости Р , которой она инцидентна. В связи с этим часто используются на практике линейчатые технические поверхности, которые можно рассматривать как поверхности, выделенные из конгруэнций, у которых в качестве фокальной фигуры оъ используется бесконечно удаленная прямая ¡3 как множество несобственных точек проективного

пространства £3 . Получается конгруэнция с одной несобственной фокальной фигурой в виде совокупности бесконечно удаленных точек проективной прямой р. Пусть первой фокальной фигурой служит

плоская дуга простой кривой Жордана и, , инцидентная координатной плоскости Х02 , непрерывная и допускающая параметрическое описание вида (2.13). В качестве второй фокальной фигуры рассмотрим бесконечно удаленную прямую р бесконечно удаленной плоскости л проективного пространства £3 . Прямая р рассматривается как прямая пересечения в бесконечности параллельных плоскостей, задаваемых направляющей плоскостью О . Обозначим эту конгруэнцию как [с£> 5 и

[О*, Р]] ив дальнейшем будем ее называть конгруэнцией с проективной прямой или проективной конгруэнцией. Разберем, как образуется такая конгруэнция. Через каждую точку /<](лу), на фокальной кривой со], инцидентной координатной плоскости Х02, для значения параметра я,- е [ОД] проведем плоскость 01 в направлении, которое определя-

егся плоскостью () , являющейся направляющей плоскостью проективной конгруэнции.

Для рассматриваемых технических поверхностей в качестве плоскости О* обычно используется горизонтальная' координатная плоскость ХОУ (см. рисунок 3).Рассмотрпм множество прямых, проходящих через точку £ ](.?,) еш) в плоскости 0/. Эти прямые образуют плоский пучок Р(1,\{$1)) с центром в точке Ь\(у) . К множеству точек каждой прямой пучка, являющейся лучом линейной конгруэнции, добавим одну бесконечно удаленную точку. Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых считаются различны,ми. Таким образом, каждая плоскость О) содержит бесконечно много бесконечно удаленных точек. Совокупность бесконечно удаленных точек лучей конгруэнции, лежащих в одной плоскости (?/, задают бесконечно удаленную прямую р. Две параллельные плоскости 01 и 0-1+\ имеют общие бесконечно удаленные точки, поэтому совокупность бесконечно удаленных точек каждой плоскости можно рассматривать как множество, состоящее из точек пересечения двух параллельных плоскостей. Все параллельные плоскости О), ..., ... пересекаются в бесконечности по бесконечно удаленной прямой (3, которую будем считать второй фокальной фигурой. Конгруэнцию ¡со, <и [О*, (3]] можно рассматривать двояко. С

ОДНОЙ стороны конгруэнция (со) и {<2*, р]] - это множество плоских пучков прямых, являющихся лучами конгруэнции, со связкой

в точке 1.-1(5/) ек>1 и инцидентных соответствующей плоскости £>/,

параллельной направляющей плоскости О*, задающей бесконечно удаленную прямую ¡5 проективного пространства £3* . С другой стороны конгруэнцию [ю, и [О*, р]] можно рассматривать как множество плоских пучков прямых, исходящих из бесконечно удаленной прямой [3, являющейся осью пучка плоскостей <2;, Чтобы представить совокупность прямых, принадлежащих этой конгруэнции, нужно к;тедой точке бесконечно удаленной точке проективной прямой р поста-

вить в соответствие определенным образом по одной плоскости О/ пучка плоскостей р(О,-) и принять точки за центры пучков

лучей конгруэнции, каждый для своей плоскости О,. Таким образом, в каждой плоскости Q¡ пучка плоскостей Р(О,) лежит (со1) лучей, а в

пучке Р ((2;) содержится (со1) плоскостей. Следовательно, всего (=с1)х(оо1)=(ао2) прямых, то есть рассматриваемая совокупность прямых является конгруэнцией. Конструктивно несобственной фокальной фигурой при построении лучей конгруэнции воспользоваться невозможно. В конструктивно-прикладном моделировании множество лучей конгруэнции с несобственной фокальной фигурой будем рассматривать как совокупность двухпараметрического семейства линий ¡^(-^■Уj), где 5; -

параметр, определяющий положение точки ¿¡О/) на первой фокальной кривой со]? а у, - параметр, выделяющий конкретный луч конгруэнции из плоского пучка прямых, инцидентного плоскости 0/ со связкой

в точке lij(si,yj), и означает угол, составленный этим лучом с координатной осью ОХ. Вся совокупность лучей ц конгруэнции [со, ^ [{2*,

Р]] , ассоциированной с техническими поверхностями, получается из-

к

менением параметра е[0,1 ] 1г3 и изменением параметра Yj е [0,

Множество лучей получается изменением параметров 0< $ <1 и 0( у, { тс/2, а множество точек получается изменением параметра 0< I <1 на каждом луче конгруэнции. Определим порядок конгруэнции [а>1

о |3]]. Произвольная точка А, шщидентная части пространства

Е3*, выделенного фокальными фигурами см и р, и кривая со, задают коническую поверхность 2 со связкой в точке А и направляющей в виде фокальной кривой Ш). Кроме того, точка А и бесконечно удаленная прямая р, как множество бесконечно удаленных точек, задают плоский пучок прямых со связкой в точке А. Пересекаются коническая поверхность £ и плоский пучок прямых максимум по двум лучам конгруэнции, значит порядок конгруэнции равен двум (п=2). Определим класс проективной конгруэнции. Любая плоскость пространства пересекает фокальную кривую максимум в двух точках, а несобственную прямую Р в одной точке. Точки пересечения дадут два луча конгруэнции. Значит класс конгруэнции равен двум (т=2).

Особый интерес, с точки зрения конструктивно- прикладного моделирования линейчатых поверхностей, представляют конгруэнции би-планар, которые рассматриваются как двухпараметрическое множество прямых, полученных от взаимного пересечения плоскостей, составляющих однопараметрическое множество пучков плоскостей касатель-

пых к кривой к>1 . Положение каждой плоскости конгруэнции определяется однозначно двумя параметрами - параметром s, определяющим точку L\(s,) на кривой со ! , через которую проходит связка пучка плоскостей конгруэнции, и параметром ;/ , который задает угол, составленный следом конкретной плоскости пучка с осью ОХ и тем самым выделяет эту плоскость из пучка. Обозначим эту конгруэнцию как [со 1 \j [ / (л) , О (у ) ]] . Лучами конгруэнции будут прямые пересечения плоскостей, принадлежащих различным пучкам плоскостей с осью пучка по касательной к кривой m 1. Таким образом, многообразие конгру-энций можно получить, если выделить двухпараметрическое множество прямых /у конгруэнции Кг, из прямых пространства П, составляющих плоские пучки со связкой в точках Ь\(.щ) €©), инцидентных плоскостям 0{, касательных к первой фокальной кривой го, в точках L\(sj).

Пусть первой фокальной фигурой конгруэнции служит простая дуга плоской кривой Жордана <оь инцидентная координатной плоскости XOZ и описываемая параметрически в виде (2). Рассмотрим конструктивное построение конгруэнции Кг, лучи которых инцидентны касательным плоскостям к первой фокальной кривой к>]. Кривая юь как множество точек ¿¡(s,), в векторной форме описывается в виде

e>i=/7j(.s). Касательная ¡¡^{.Sj) к кривой о^ имеет направление I.\ (s),

характеризующееся углом а,- (см. рисунок 4). Каждой касательной

ILl{Si), проходящей через точку ею] и составляющую угол а,- с

осью ОХ, поставим в соответствие плоскость Оу пространства Q, для

которой прямая , составляющая угол а/ с осью ОХ, является

прямой пересечения этой плоскости с координатной плоскостью XOZ , а линия пересечения плоскости Оу с координатной плоскостью XOY

составляет с осью ОХ угол yj. Через касательную If^(sj) проходит пучок плоскостей О у. для которых прямая ^(s,) является осью пучка. Обозначим этот пучок как ^(/¿j(^)) • Положение плоскости О,у в пучке P0/4(Sj)) определяется однозначно углом у j. Для каждой точ-

.я

ки ¿¡(л/) е©1 , при изменении угла у j в интервале [U< у j{~) , по-

лучим пучок плоскостей с осью по линии /¿^ ) как множество плоскостей размерности (со1). Каждой точке ею] будет соответствовать свой пучок плоскостей с осью ^ц-)- Множеству точек ,

инцидентных кривой Ю| , соответствует множество пучков плоскостей касательных к кривой Ю) в точках ¿1(5)) размерности (оо1). В каждой плоскости <2,у через точку Ь^), как связку, проходит пучок прямых,

которые образуют множество размерности (со1). Положение каждой прямой пучка однозначно определяется углом ¡3, отсчитываемого от

направления Ь\ (5) (или касательной /¿|(5.)) по часовой стрелке (или против).

Таким образом, получено множество размерности (со1 )х (оо1 )х (со1) прямых, положение которых в пространстве однозначно определяется тремя параметрами .у (или а/), у ] и [¡¡{, где параметр з/ выделяет точку ¿1(5/) из множества точек кривой соь параметр у] выделяет плоскость из пучка плоскостей со связкой по

касательной к кривой СО1 в точке ¿1(5/), а параметр выделяет

конкретную прямую из множества прямых пучка ^(¿^(л;)) е6>,у прямых, инцидентного плоскости Оц. Множество прямых, определяемых тремя параметрами .у, (или а,), у} и , в соответствии с принятыми

определениями образуют комплекс. Точка на прямой комплекса выражается как сумма двух векторов, один из которых определяет точку на первой фокальной кривой соь а второй определяет расстояние точки на прямой комплекса от точки на кривой «м в виде

5{*,Г,р) = £}(*) +¿(3,7, Р) • (3)

Рассмотрим общий случай выделения конгруэнции Кг из комплекса, определенного параметрами зу (или а/), и ¡3\ , введением зависимости »(.у,Ду)-0. Первая фокальная кривая ю 1 в векторной форме

Рисунок 5 К выводу уравнения плоскости, касательной к кривой о.

Угол наклона касательной к оси ОХ есть а/. Он связан с параметром я, соотношением

¿Ir (5)

Через каждую касательную l}^(s¡), как через связку плоскостей, проходит пучок плоскостей Q¡j с векторами нормалей Ñ¡j, характеризующихся углами / j.

В инженерном проектировании обычно положение касательной плоскости Од однозначно задается двумя углами yrflOiM у j и двугранным углом ¿у, составленным плоскостью Q¡j с координатной плоскостью XOY. Углы yjusj связаны с углом a¡ соотношениями

подобия прямоугольных треугольников

tga=ígs--siay. (5)

Уравнение плоскости Оу из пучка плоскостей есть

г-№~ р,

где г - текущая точка, р - расстояние плоскости от начала координат, N° - орт нормали с компонентами

= sin s- sin/; Ny = -sine-cos/; (6)

N¿ = COS¿\

Расстояние р определяется из векторного треугольника ОL\ {s¡ )N (см. рисунок 5) как /? = jzTi - соs (z?. Так как

rñ%a _ -L\{s) №x +NQZ • í'\z{s) m

í,L>bl¿/ ~ I | I . ~ l-l ' \ '

L\x =j¿l(5)|-sina; =\fi(s)\ Lyy = 0; (8)

то, подставляя их значения в формулу расстояния от начала координат до плоскости Qij из пучка плоскостей fOf^Sj)) > получим

Р = [¿l(5)j' • sin а + ЛГ2 • cos a j,

Р = \Nx ■ tga + ,V;

1 + ig2 a

где tga =/££■• sin у; тогда

р - |¿i (л)| • Vsin^ • sin^ у + cos'2 е. (9)

Уравнение плоскости, касательной к первой фокальной кривой как функцию углов (<?,;/) можно записать в вцде

х ■ sins- sinv -у- sins'- oos у +z ■ cosí-—|Lj(,v)J • Jän^e-än^y+oos^s=0. (10 ) Уравнение (10) при свободных параметрах ¿:¿(a¡(s-j)), rj задает двух-параметрическое семейство плоскостей 0¡j . Лучами конгруэнции будут прямые, проходящие через точки (L\xS),P]z), и инцидентные плоскостям Qij. Уравнение лучей конгруэнции плоскостей суть x~Lix(s)_ у _z-L-[z(.s)

тх ry rz

(11)

где тх,ту,т2 - направляющие косинусы луча конгруэнции. Они определяются равенствами

(г.Л7°) = 0, (?•/') = сое Д |?| = 1,

т,

где I = --единичный вектор.

1Л (*)

В конструкивно-приюадном моделировании линейчатой поверхности технического изделия инцидентна только та часть лучей конгруэнции, которая принадлежит части (Л пространства £3 . Это означает, что при построении такой конгруэнции будем рассматривать в каждой плоскости Оу плоский пучок Р( /.](лу)) как совокупность лу чей, исходящих из точки ¿1(5/) и пересекающих координатные плоскости ХОУ и У02 в точке /^('«дО . В этом случае пучок прямых Р( /-.}(.<,,•)) состоит из двух плоских пучков

Конгруэнция [го 1 <и [|?(л),(7(7)]] образуется двояко как конгруэнция бипланар следующим образом. Введем условие, что за лучи конгруэнции принимаются линии пересечения плоскостей из пучков плоскостей, линиями связки которых являются касательные линии к кривой Ю)В точках, определенных параметром . Тогда из трех параметров комплекса лу, /у, останутся свободными только два .у, и у у. При изменении параметра лу возникает однопараметрическое (<»') множество плоскостей £?у , касательных к фокальной фигуре шь Каждая плоскость <2,у со всеми другими плоскостями пересекается по пучку (оо1)

прямил, которые называются бипланарами. Они дважды касаются кривой ©1, так как принадлежат двум касательным плоскостям. Совокупность всех линий пересечения представляет собой множество оо1 х со1 = оо2 и составляет конгруэнцию бипланар. Определим порядок конгруэнции [со] и [<2*,тс]]. Каждый луч такой конгруэнции принадлежит одновременно двум конусам. Следовательно, порядок конгруэнции равен двум. То есть п=2.

Из вышесказанного следует, что параметрическое задание фокальных фигур конгруэнции прямых позволяет выделить из пространства и включить в тело конгруэнции прямые, которые определяются теми фокальными фигурами, положение и форма которых обоснованы исходя из конкретного технологического процесса. Подобный подход к образованию конгруэнций, ассоциированных с линейчатыми поверхностями технических изделий, позволяет создавать на их основе информационные базы, содержащие геометрические элементы обеспечивающие моделирование поверхностей изделий с заданными технологическими и эксплуатационными характеристиками, выделяя на конструкторской документации поверхностей технических изделий геометрические компоненты, обеспечивающие мегаинформацию об этих поверхностях. Видоизменяя предложенные фокальные фигуры и расширяя информационные базы за счет добавления новых фокальных фигур, форма которых обоснована из технологических соображений, можно охватывать все более широкий спектр видов конгруэнций.

В третьей главе рассмотрены методы выделения линейчатых поверхностей из конгруэнций прямых. При решении задач, связанных с использованием конгруэнций при проектировании линейчатых поверхностей технических изделий, требуется выделить из двухпарамет-

ричсского множества прямых пространства, составляющих конгруэнцию, однопараметрические семейства прямых, инцидентных поверхности. Выделение образующих линейчатой поверхности .Г из конгруэнции прямых Кг получается связкой одного параметра в двухпарамет-ричсском множестве прямых конгруэнции. Из предыдущего раздела следует, что все рассматриваемые в конструктивно-прикладном моделировании конгруэнции Кг имеют порядок п=2. Это означает, что через каждую произвольную точку А тела конгруэнции Кг, проходит два ее луча, которые принадлежат двум конусам или конусу и плоскости, как вырожденному конусу. Таким образом, каждую конгруэнцию Кг можно рассматривать двояко как два семейства конусов. Для того чтобы избежать этой двойственности при моделировании линейчатых поверхностей примем соглашение, что при выделении образующих линейчатой поверхности Г из конгруэнции прямых Кг за свободный параметр берется параметр 5,-, определяющий положение точки ¿1(5/) еа>; , из которого исходит образующая моделируемой поверхности Г.

Связка одного из двух параметров конгруэнции прямых осуществлялась обычно "погружением" в тело конгруэнции линий или поверхностей. Прямые лучи конгруэнции, проходящие через точки погружаемой линии или касательные к погружаемой поверхности, составят выделяемую поверхность Г , для которой фокальные и погружаемые фигуры являются направляющими. Отличительной особенностью выделения поверхностей из конгруэнций прямых при моделировании их рассмотренными методами в условиях компьютерного проектирования является возможность аналитической связки параметра, то есть "погружения" в конгруэнцию аналитической зависимости. Это становится возможным благодаря рассмотренному в предыдущей главе параметрическому описанию фокальных фигур и возможности задания текущей точки (/) на луче конгруэнции.

При выделении технических поверхностей из конгруэнций Кг, заданных в соответствии с предложенной и изложенной ранее концепцией моделирования множества их лучей, принимаются следующие условия и ограничения:

1) фокальные и погружаемые линии и поверхности не пересекаются, следовательно рассматриваются не распадающиеся поверхности;

2) в качестве фокальных и погружаемых, то есть в качестве направляющих, фигур поверхности можно брать бесконечно удаленные прямые проективного пространства;

3) наряд»' с традиционными способами выделения поверхностей го конгруэнции прямых образующими поверхности могут являться те лучи конгруэнции, которые удовлетворяют некоторому аналитическому закону, который будем называть '"погружаемым" законом в конгруэнцию.

Выделяемые из конгруэнции Кг поверхности Г являются простыми поверхностями. Простая поверхность - это такое множество точек, которое является образом простой области при отображении ее на координатные плоскости декартовой системы координат. В свою очередь, множество точек на координатной плоскости будет называться простой областью, если оно является образом открытого круга при некотором гомеоморфизме. В случае линейчатой поверхности Г образом ее отображения на координатные плоскости являются прямые, а значит, поверхность /"есть совокупность точек В у (л,, инцидентных простой поверхности. Как всякая простая поверхность, поверхности Г , выделяемые из конгруэнции Кг, являются параметрическими поверхностями. Множество точек пространства называется параметрической поверхностью, если это множество связно. То есть для любых двух точек еГ и еГ существует путь /, лежащий

целиком в Г , с концами в этих точках, и каждая точка име-

ет в пространстве такую окрестность и , что часть Ф, лежащая в (I, является простой поверхностью. Если полная параметрическая поверхность представляет собой ограниченное множество точек в пространстве, то она называется замкнутой. Из рассмотренных конгруэнции прямых и плоскостей можно выделить только незамкнутые линейчатые поверхности. Все выделенные из рассмотренных кокгрузнций поверхности будут поверхностями с краем, которые можно задать непрерывным отображением замкнутого прямоугольника, лежащего в области вещественных переменных s^.tj, для 0 ^ 5/ < 1 и для 0 < < 1. Значение параметра з/ соответствует точке /.](>/) ео)] еХ02, пробегающей первую фокальную кривую ач от точки ¿1(0) = до точки ¿1(1) = . Значение параметра /у соответствует точке Ду^/./у) инцидентной ¡-й образующей поверхности Г , пробегающей отрезок образующей // от точки /);у(лу,0) = до точки Оц (¿-,,1) инцидентной координатной

плоскости ХОУ или координатной плоскости У02. Выделяемые из конгруэнции Кг поверхности Г являются гладкими поверхностями не

имеющими особых точек. Геометрически это означает, что в каждой точке координатной линии определен касательньш вектор и в любой точке касательные векторы ц пересекающихся координатных линий поверхности не коллинеарны. Следовательно, в каждой точке поверхности Г определен вектор нормали N +г5. Рассматриваемые поверхности Г , выделяемые из конгруэнции Кг, подчинены еще одному важному требованию. Участки плоского сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными координатной плоскости ХОУ являются кривыми класса О , то есть являются гладкими, обладают кусочно-непрерывной ограниченной кривизной и допускают такую параметризацию г ~ г(р), что вторая производная г"(р) кусочно непрерывна и ограничена.

Так как выделяемые из конгруэнции поверхности являются линейчатыми поверхностями, то для них характерно ряд дополнительных свойств. Линейчатую поверхность Г , выделяемую из конгруэнции Кг, молото представить семейством прямых, проходящих через кривую со]. Пусть р - текущий радиус-вектор кривой ом, а 5, - параметр, к

которому она отнесена (см. рисунок 6). Тогда кривая может быть описана в виде р = р(5г). В каждой точке ее»] зададим единич-

ный вектор I , направление которого будет зависеть от второго параметра конгруэнции как функции параметра лу, то есть в конечной записи /=/(5;). Каждой точке еш] будет соответствовать единственный луч конгруэнции совпадающий с направлением вектора I . При изменении параметра лу получаем в пространстве О. семейство прямых, зависящих от одного параметра .у,- , который выделяет из конгруэнции прямые, являющиеся образующими линейчатой поверхности Г с направляющей кривой Ю| .

Произвольная точка Оц на образующей линейчатой поверхности будет зависеть от двух параметров - параметра л,' и параметра Су и

ее радиус-вектор на произвольной образующей, определяемой значением 5, можно записать в виде

= + (12)

Это выражение соответствует параметрическому представлению линейчатой поверхности как двухпараметрическому множеству точек. При ^ =сопб1 и изменении параметра /у точи £),у(.$/,/у) поверхности Г движется по образующей поверхности, соответствующей данному значению лу . При Iу =сош! и изменении параметра лу точка

1)7у(.5/:/у) поверхности Г движется по образующим параллельно направляющей линии О] , которые можно представить как линии сечения поверхности Г плоскостями параллельными координатной плоскости

хог.

Одной из важнейших характеристик линейчатой поверхности является признак ее развертываемости. Частные производные радиус-вектора по параметрам и /у запишутся как

Гц = Р'(Ч)+'•''(*<); г5.=Т(зо. (13)

Нормаль N у из точки £>,у(лу,/у) к поверхности Г определяется в этом случае как

N у = х ц . - (р'(Ч) х ))+'•(' '(*/) х /"(лу)). (14)

Если поверхность Г развертывающаяся, то нормаль N¡j сохраняет свое направление вдоль всей образующей поверхности и векторы

(р' (Щ) х /(•?,)) и (í'(sj) х J(si)) (15)

коллинеарны. Анализ технических поверхностей изделий конкретного приложения позволил выявить возможные виды связки параметров при выделении поверхности из конгруэнции прямых.

Выделение однопараметрического множества образующих линейчатой поверхности из двухпараметрического множества прямых простой конгруэнции feo i kj га2] происходит введением связки параметра т j в виде mj = f(s¡) погружением в конгруэнцию [га, и гл2]

бесконечно удаленную прямую (3 проективного пространства Ej* , ко-

гл*

торая задается направляющей плоскостью (¿ как линия пересечения семейства параллельных плоскостей Q\,Q2,---,Q\,--- пересекающих кривые О] и Опв единственной точке. Таким образом, на семейство параллельных плоскостей при конструктивно-прикладном моделировании накладывается ограничение, которое можно сформулировать следующим образом: каждой плоскости Q¡ из семейства плоскостей

бь02'-■>(?/>■■■ ставится в соответствие единственное значение параметра s¡, определяющего точку пересечения плоскости 0¡c кривой a>¡, и единственное значение параметра mj, определяющего точку пересечения плоскости Q¡c кривой (о2. Проективную прямую Р можно рассматривать как ось пучка плоскостей <2l>£?2>-••>(?/>____ Для

технических изделий обычно за направляющую плоскость О * выбирается координатная плоскость XOY. Так как семейство параллельных плоскостей Q\,Q2,---,Qí,--- должно в единственной точке пересекать простые дуги фокальных кривых Ю) и со2 , то для всего множества точек кривой О] и кривой ю2 должно выполняться, по крайней мере, два условия:

1) каждой координате uZ^^mj) точек этих множеств

соответствует единственная точка на кривой Ю] и кривой ю2;

2) верно соотношение Z/^(s,) =Z^(т ■)■

При этом каждая плоскость О/ пучка плоскостей бь(?2'-- >бь••■ выделит единственный луч конгруэнции, инцидентный этой плоскости. Образующими поверхности являются лучи конгруэнции [со] и еа2] инцидентные плоскостям <2ь02>---'бг"'--- • Поверхность Г , как поверхность, выделенная из конгруэнции [со^сог] , будет поверхностью с образующими, инцидентными параллельным плоскостям С?1,£>2,••.,(?/,.•• • Если поверхность Г развертывающаяся, то выполняется условие (15) и, как следствие этого, две соседние образующие /($/) и /(5;+1) лежат в одной плоскости и, кроме того, они параллельны, как инцидентные двум параллельным плоскостям 0\ и <2/+1 • Так гак все образующие поверхности Г в этом слу чае попарно параллельны, то имеют общую бесконечно удаленную точку проективного пространства Л'з*. Поэтому из конгруэнции [ш,слв2] семейством плоскостей 0\,<22,-..,(2/,..., параллельных направляющей плоскости О , можно выделить развертывающуюся поверхность Г только в виде цилиндрической поверхности с направляющей й! и со связкой образующих поверхности в бесконечно удаленной точке пространства £3*. Может быть из конгруэнции [сс^исог] выделена и коническая поверхность, если в качестве направляющей плоскости Q использовать направляющий конус <Э общего положения. В этом случае каждая образующая поверхности Г выделяется из плоских пучков ¡'(¡.{(¿-¡У)

лучей конгруэнции [т^мо]. инцидентных плоскостям 0\,0.2-.• ■•>£?/,••■> проходящих через точки /4(5,) есоь как связки пучков, параллельно

поверхности направляющего конуса 0. Если условие (15) развертывае-мости поверхности не выполняется, то поверхность Г , выделенная из конгруэнции [ю1^ю2], будет неразвертывающаяся. Так как все образующие выделяемой поверхности Г инцидентны параллельным плоскостям - ■ то все выделяемые поверхности Г будут поверхностями Катапана. В общем случае это будут линейчатые поверхности с двумя направляющими Ю] и <в2 и направляющей плоскостью

О*, то есть цилиндроиды. В частном случае, когда вторая фокальная кривая и) 1 при равенстве утлов — от7 вырождается в прямую, полу*-

чаются коноиды, у которых одна из направляющих является прямой линией.

Множество линейчатых поверхностей, выделяемых из простой конгруэнции [со^оь], можно представить в виде символической записи

Г = [G>\V(C>2]^Q* :

цилиндрическая. если Л^^р^Юуф)' цилиндроидачы tau, в остальных сяуч аях;

I «

коноидачьная, если cq = осу.

Выделение образующих линейчатой поверхности Г из лучей проективной конгруэнции [®iu[ Р, О*]] сводится к определению множества прямых l(s,y), каждый элемент которого является результатом выделения из плоских пучков P(I.\{sj)) е Qi единственного луча //, инцидентного плоскости О,, проходящего через точку L\(S[) ео. ,

л*

параллельного направляющей плоскости Q и удовлетворяющего экспериментальной функциональной зависимости у = f(s) . Таим образом, задача выделения поверхности Г из конгруэнции [®iu[ р, Q* ]] состоит в определении связки параметра уj как функции параметра s, в виде у = f(s), что определит единственный луч из каждого пучка P(Lj(s/)) прямых конгруэнции, являющийся образующей моделируемой поверхности Г . Тогда координаты текущей точки D(t) прямой, являющейся образующей поверхности Г , выделенной из конгруэнции р, Q* ]], запишутся в векторной форме как

D(s,y(s),t) = A(s) + ?(.s,y(s),t), (16)

где L\(s) - вектор, определяющий точку на кривой coj, из которой исходит образующая поверхности Г и которая соответствует значению параметра t = О ; г - вектор, определяющий текшую точку D(s,y,t) на образующей поверхности Г . Вообще говоря, теоретически зависимостью у = /(s) может быть любая зависимость, ставящая однозначное соответствие значению параметра 5 из области его определения [О < л- < 1] значение параметра / из области определения ¡0 < ;/ < ZL).

В конструктивно-прикладном моделировании линейчатых поверхностей Г вид зависимости у = /($) выбирается с учетом выполняемого технологического процесса. Анализ линейчатых поверхностей технических изделий, выполняющих функции среза, позволил сформулировать ряд требований, предъявляемых к виду зависимости у = /(5). Конкретизация этих требований заключается в обосновании вида некоторой кривой Ки) на моделируемой поверхности Г , получающаяся как результат сечения этой поверхности плоскостью Р частного положения. Обычно в конструктивно-прикладном моделировании за плоскость Р понимается горизонтально проецирующая плоскость, перпендикулярная нулевой образующей /д поверхности Г , которая инцидентна координатной плоскости ХОУ и ее положение определяется углом у о, значение которого определяется исходя из технологических соображений. С учетом всего вышесказанного, можно сформулировать требования, предъявляемые к зависимости у - /(5): непрерывная на всей области определения параметра .у , нечетная, кусочно дифференцируемая, что обеспечивает существование первой производной в каждой точке кривой 1(и) е Г , составная из простых дут плоской кривой Жордана, имеет конечное число узловых точек.

С учетом зависимости у = /(л) и координатной плоскости ХОУ

в качестве направляющей плоскости, получим параметрическое описание поверхности как двухпараметртеское множество точек, описываемых в векторной форме в виде ? = ?($, О - Свойства выделяемой из конгруэнции поверхности Г , как линейчатой поверхности, состоящей исключительно из параболических точек и описываемой параметрически в виде (16), определяются функциональной зависимостью у = /(.г)

связи параметров .у, и /у. Поверхность Г , описываемая параметрически в виде (16) будет развертывающейся, если Гауссова кривизна

2

равна нулю, то есть, выполняется условие ¿Ы -М , или (с/') - (с/'") = {(¡") , так как (с?'") = 0, то для развертывающейся поверхности достаточно, чтобы (¿/") = 0, Так как это тождество равно нулю при (1<?(у(.у)))' ~ О, то тогда можно сформулировать условие разверты-ваемости линейчатой поверхности Г : поверхность Г , выделенная из конгруэнции, заданной первой фокальной кривой й?; еХ02 и проекпшв-

ной прямой (3, погружением в нее аналитической зависимости У - /(■*). будет развертывающейся, если погружаемый закон

у- таков, что выполняется условие /'(5) = 0 для всех точек поверхности Г , расположенных на одной образующей этой поверхности, исходящей из точки Все поверхности Г , не удовлетворяющие этому условию, будут неразвертывающимися поверхностями Каталана. В общем случае для любой зависимости у = /(л) это будут цилиндроидальные поверхности, как поверхности с двумя направляющими кривыми юь у = /(л) и направляющей плоскостью О*. Если зависимость имеет вид у = а + Ь<% то в качестве второй направляющей будет прямая линия и выделяемая поверхность Г из конгруэнции будет копоидалыюй поверхностью. Если кривая ©1 при условии а\ - «2 вырождается в прямую, то в этом случае из конгруэнции [ю;и[

{3, О ]] выделяется линейчатые поверхности Г двух видов в зависимости от вида функциональной зависимости ;/ = /О), связывающей параметры у и 5. Монотонной функциональной зависимостью у - 1 • .V, где X - коэффициент пропорциональности, из конгруэнции

[ол,и[ р, О*]] выделяется кусок винтовой поверхности Г с образующими, параллельными направляющей плоскости О . Линейной функциональной зависимостью параметров у и 5 вида у-а+Ь-з из конгруэнции р, О ]] выделяется линейчатая поверхность типа косая плоскость как линейчатая поверхность, образованная двумя прямыми направляющими и направляющей плоскостью О .

Таким образом, множество линейчатых поверхностей, выделяемых из конгруэнции [©1о[ р, 0* ]] можно представить в виде символической записи

развергываквдяся, если (?($)=сапй цилицгроидальная, в остальных случаях киУ =' коноюздьпая, если у~а+Ь-.%

винтовая, если(сг1=о2)и0'=А-5);

косая плоскость, если (щ - сг1Уи{у=а~Ь-\%

Г~

со

№*

Выделение линейчатой поверхности Г из конгруэнции бшгланар [ом и [ 1(:ч),0(у) || означает определение на двухпараметрическом множестве плоскостей, составляющих конгруэнцию, однопараметрическое подмножество плоскостей, в котором параметры 5 и у связаны непрерывной, монотонной функциональной зависимостью у = g{^^:). Каждая плоскость однопараметрического подмножества плоскостей

конгруэнции [Ю] и 1Кх),(2(у) ]] описывается в виде (Э(х,у,2, л; у(л:)) - 0. В работе доказывается, что полученное однопараметрическое семейство плоскостей задает линейчатую поверхность Г , которая является огибающей этого семейства. В соответствии с теорией огибающих семейства поверхностей от одного параметра огибающей будем называть линейчатую поверхность Г , которая в каждой своей точке касается некоторой плоскости однопараметрического семейства плоскостей, вдоль прямой /(я), пересекающей первую фокальную фигуру <»1 конгруэнции [Ю) ■и [/(.у).0(/)]] в точке ¿¡(.у. Эту прямую /(л-) следует рассматривать как линию пересечения двух соседних плоскостей |(9; и 0, для 1 =1..п, однопараметрического множества плоскостей. Таким образом, образующие линейчатой поверхности Г , являющейся огибающей однопараметрического семейства плоскостей О,-, для I = I... п. получаются путем предельного перехода из прямой пересечения двух соседних плоскостей семейства при п со. В связи с этим образующими поверхности Г являются прямые /(з), совпадающие с вектором /(х), исходящему из точек ем) и удовлетворяющему равенству

N° (20)

где N0 - орт нормали к поверхности Г , восстановленный из точки /,](л) е«]. В таком случае, линейчатая поверхность Г , как огибающая семейства плоскостей касается каждой плоскости 0($,у(х))

семейства вдоль прямой, которая будет образующей поверхности линейчатой Г .

В работе доказываются свойства линейчатой поверхности Г , как однопараметрического множества прямых, получающихся пересечением двух соседних плоскостей из однопараметричсской совокупности плоскостей касательных к ю 1:

1) линейчатая поверхность Г , выделенная из конгруэнции [01 ^ [ ¡{х).О(у ) )| как однопараметрическое семейство плоскостей 0(.%у($)), и образуюпцши которой являются прямые пересечения двух соседних плоскостей этого семейства, является огибающей и лежит на дискриминаптной поверхности;

2) поверхность будет не только линейчатой, но и развертывающейся, так как выполняется условие, по которому вектор I С?), направленный по образующей /($) поверхности Г , удовлетворяет равенству, определяющему условие компланарности нормальных векторов поверхности Г в каждой точке образующей 1(у)

/'С*) =0.

(22)

1\ (л)х/(л)

Таким образом, однопараметрическое семейство плоскостей Q(л;;/(.у)), выделенное из дпухпараметрического семейства плоскостей, образующих конгруэнцию вида [a>t kj [ !($), О (у) ] ] , определяют дис-криминантную, развертывающуюся, линейчатую поверхность Г .

Так как линейчатая поверхность Г , выделенная из двухпара-метрического множества плоскостей пространства Q, составляющего конгруэнцию fo)¡ и [l(s),Q{y) J] , является развертывающейся, то

представляет собой в общем случае геометрическое место касательных к некоторой горловой линии, называемой ребром возврата. Тогда можно сформулировать условие совместности системы

Ai(.s)x(s) + Bj(s)yt¿) + C¡(s)z(s) + D¿(s) = 0; - >1¿+1(íMS) + Лг+1(5)Х^) +C/+1(*)2(s) +D¡+1 = 0 (23)

/1/+l'(í)x(<¡) + Bl+l (s)y(s)+C¡+{(s)z(s)+Di+{ = 0

при выполнении которого линейчатая поверхность Г , огибающая семейства плоскостей, выделенных их конгруэнции плоскостей, является развертывающейся поверхностью, а функции x(.v), y(s), z(s) определяют ребро возврата. Для этого должно выполняться условие

А} B¡ C¡

A¡+1 B¡+1 Q+i

r t I

Ai+1 Bi+1 ci+1

то есть система (23) однозначно решается относительно x(s), v(.s), z(s) . В соответствии с уравнением плоскости 0(x,y,z,s,y(s)) = 0 как плоскости из двухпарамсгрического семейства плоскостей, составляющего конгруэнцию, в определителе (24) приняты следующие обозначения

A i = sin -smx(fy);

В i - - sins'- cos y(£i);

Сj - cos£¡;

Aj+i = sin ¿7+1 • sin y{si+1);

5/+1 = -sin^+i -cos^^+i);

Q+l = COS Sj+\.

При этом не исключена возможность, что координаты х(л), \{s),z(s) точек D(s) окажутся постоянными для всех значений параметра s, то есть ребро возврата выродится в точку, это означает, что огибающей Г однопараметрического семейства плоскостей О (s, у (s)), выделенных из конгруэнции [км u [ ¡(x),0(y) J] ¡шляется коническая поверхность со связкой образующих в точке D(s). В случае же, когда система уравнений (23) несовместна, это означает, что отсутствует ребро возврата, но поверхность Г всс же существует и она является развертывающейся, а ее образующие /(л) пересекаются в бесконечно удаленной точке проективного пространства. Это означает, что в рассматриваемой части Q. пространства £3 эти образующие параллельны, то есть огибающей Г семейства плоскостей Q(s,y{s)) является цилиндрическая поверхность. Теоретически возможно вырождение семейства плоскостей Q(s,y(s)) в пучок плоскостей. Но в соответствии с принятыми выше ограничением в конструктивно-прикладном моделировании рассматриваем образование конгруэнций с непрерывной плоской кривой ©ieXOZ, когда параметр s определяет точку на этой кривой. Следовательно, такой случай исключен по определению.

Таким образом, погружая в двухпараметрическое семейство плоскостей, задающих конгруэнцию [a¡ и [l(s),0(y)]] , зависимость у =g(s), выделяем однопараметрическое семейство плоскостей Q(s,y(s)), огибающей которого является дискриминантная развертывающаяся поверхность Г, для которой плоскости семейства служат касательными вдоль образующих. Каждая образующая этой поверхности имеет особую точку инцидентную ребру возврата. Когда

параметр 5 меняется, то образующая описывает поверхность Г , а точка Dis), инцидентная образующей /(<), описывает ребро возврата, для которого образующие l(s) являются касательными, а плоскости OÍA У (■*)) однопарамегрического семейства - соприкасающимися плоскостям]!. В дальнейшем будем считать, что образующую на данной плоскости Qj(s) семейства плоскостей, выделенных из конгруэнции [со, ^ [/(л),0(,у)]) - можно получить как предельное положение прямой пересечения этой плоскости с бесконечно близкой плоскостью семейства, а точка D(s) ребра возврата на данной плоскости семейства может быть получена как предельное положение точки пересечения данной плоскости О i (s) и двух бесконечно близких к ней плоскостей семейства, а кривую со i рассматривать как линию пересечения поверхности Г с координатной плоскостью XOZ.

В конструктивно-прикладном моделировании линейчатых технических поверхностей Г , как огибающих однопарамстротеского семейства плоскостей Q(s,y(s)), выделенных из конгруэнции [со, с [l(s),0(y) )| , задача стоит в обосновании из технологических соображений зависимости у = f(s). Для этого были изучены традиционные методы проектирования линейчатых поверхностей технических изделий, экспериментальные данные по обоснованию параметров геометрических компонент этих поверхностей исходя из технологических параметров изделия и сделан однозначный вывод. Исходя из конструкторской практики, невозможно определить из экспериментальных данных непосредственно зависимость у - f(s). В связи с этим, в случае выделения линейчатой поверхности Г из конгруэнции [со, w [Д»,0(/)]] целесообразно перейти от нормировки поверхности по параметру s к нормировке по параметру s, где s - угол, составленный плоскостью Q{s,y(s)) из однопарамегрического семейства плоскостей с координатной плоскостью XOY . Таким образом, вместо зависимости у = g(s), которая позволяет выделить однопараметрическое семейство плоскостей, задающих линейчатую поверхность, из двухпараметрического множества плоскостей конгруэнции [го. vj [/0),0(/)!1 , можно использовать зависимость у ~ f{s). Эта зависимость дает возможность моделировать линейчатую развертывающуюся поверхность на основе ее

сферического отображения. Для развертывающихся поверхностей область сферического отображения вырождается в кривую на сфере.

Рассмотрим моделирование линейчатой поверхности технического изделия как однопараметрического множества прямых, выделенных из двухпараметрического множества плоскостей 0(-%у), составляющих

конгруэнцию [со, [/(s),000]].

Пусть в координатной плоскости XOZ декартовой системы координат пространства £3 задана простая дуга плоской кривой Жордана юь определяющая первую фокальную фигуру конгруэнции плоскостей. Форма фокальной кривой определяется параметрами /о,/],^,«), «?,// > а координаты текущей точки ¿¡(s) ек^ вычисляются как (2). Через каждую точку, инцидентную первой фокальной кривой соь можно провести касательную, лежащую в плоскости XOZ и составляющую угол а/ с осью ОХ . Касательная является носителем (гаи осью) пучка плоскостей, заполняющих подпространство Q пространства Е3 . Если поставить в соответствие параметру s , определяющему точку L\{s) на кривой ю,, угол у , выделяющий единственную плоскость О (s, у (s)) из пучка плоскостей |/>(/(л),<9(;/(л))), то получим семейство плоскостей 0(s,y(s)) касательных к кривой о:>, в точках L\(s), пересекающих координатную плоскость XOZ по касательной l{s) к кривой «м и составляющих угол y(s) с осью ОХ . Образующими моделируемой поверхности Г будут прямые однопараметрического семейства прямых, являющихся линиями пересечения двух соседних бесконечно близких касательных плоскостей Q(sj,y(si)) и Q(sj+i,y(si+i)) к кривой coi в точках I.\{si) и ¿¡(¿/4-1 ) соответственно. В реальном проектировании поверхностей технических изделий выделение однопараметрического семейства плоскостей 0(s,y(s)) из конгруэнции [<В] kj [Ks),Q(y)\\ обычно осуществляется погружением в эту конгруэнцию вместо зависимости, связывающей параметры д и у , зависимость у - f (s). где

у , как уже известно, угол, составленный касательной плоскостью Q(x,y(s)) с координатной осью OA', а ¿' - угол, составленный плоскостью с координатной плоскостью XOZ декартовой системы координат \OXYZ .

Итак, выделяем линейчатую поверхность Г проектируемого изделия однопараметрическим семейством из п плоскостей Q(s(s).y(s)). заданных углами (£j,yj), для / = !...//. Каждой плоскости О(¿<.S]).;/(л]))....,О(¿'(лу, /(.sy)) ,...,Q(£(sn,yn)) семейства соответствует нормальный единичный вектор N\,...,Nп и каждая плоскость 0(s(s),y(s)) принадлежит пучку P(l(s),0(y(s))) плоскостей Q(s,y(s)), носителем которого является прямая /О) касательная к фокальной кривой Ю] в точке ¿1(5). Каждой плоскости Q(s(s),y(s)), заданной углами (f/,7y) в декартовой системе координат, на сфере будет соответствовать точка Nj - конец единичного вектора нормали ON с координатами (.с.',\;/,), где ;/,■- полярный угол точки N; на сфере, а гу- полярный ради\*с точки Л', на единичной сфере. Очевидно, линии е = const являются параллелями, а линии / = const - меридианами сферы. Каждой плоскости 0(&(л% y(s)) из однопараметрического семейства плоскостей Q(s,y(s)) соответствует единственная точка Л'/ на сфере, а семейство плоскостей Q(J(s),y(s)), как семейство задающее развертывающуюся поверхность, будет определять на сфере кривую сферического отображения у = /(¿'). Таким образом, кривая сферического отображения в виде функциональной зависимости ,у/ - f(si) »

задает всю совокупность плоскостей Q(s(s),y(s)), касательных к кривой со i , для которых моделируемая линейчатая поверхность Г является огибающей. Каждая точка Л7,-, инцидентная кривой yi - f(s0 на сфере, с координатами iV/(£y,f/), соответствует плоскости Q(s(s),y(s)) однопараметрического семейства плоскостей. Изменяя параметр ¿у в интервале [%, %] и вычисляя угЬ'л у\ в соответствии с формулой сферического отображения однопараметрического семейства поверхностей у\ - /(гу), вычисляем угол //, тем самым, определяя всю совокупность п плоскостей, заданных углами (гу,//), для i= 1...., п, огибающей которых является выделяемая из конгруэнции линейчатая поверхность Г . В работе доказывается, что уравнением кривой сферического отображения у = /(¿) задается не только вся совокупность нормалей, но и вся совокупность направлений в простран-

стве образующих развертывающейся поверхности Г , выделяемой из конгруэнции плоскостей.

Таким образом, множество линейчатых поверхностей, являющихся огибающими однопараметрических семейств плоскостей, касательных к первой фокальной фигуре «м, и выделенных из конгруэнции плоскостей, можно представить в виде символической записи:

В четвертой главе рассматривается собственно проектирование поверхности технического изделия на основе конгруэнций прямых и плоскостей состоит в выполнении следующих этапов, на каждом из которых определяются геометрические компонешы определенной формы и положения, а также описываются и задаются их геометрические параметры с учетом технологического процесса.

Этап 1. Обоснование из технологических соображений геометрических параметров первой фокальной фигуры й11 е ХО'А конгруэнций Кг исходя из экспериментальных данных о выполняемом технологическом процессе.

Этап 2. Задание ввда, формы и положения второй компоненты конгруэнции Кг, которая может быть либо плоской дугой простой

кривой Жордана со2, либо прямой ¡3 проективного пространства £3*, заданной семейством плоскостей, параллельных направляющей плоскости 0*, либо однопараметрическим семейством плоскостей, касательных к кривой СО].

Этап 3. Выделение из заданной конгруэнции Кг однопарамет-рического множества прямых, являющихся образующими линейчатой поверхности Г . Выделение осуществляется погружением в конгруэнцию в зависимости от ее ввда направляющей плоскости, аналитического закона, связывающего два параметра конгруэнции, или интерполяционной формулы, описывающей сферическое отображение выделяемой поверхности. Результатом выполнения этого этапа является одно-параметрическое множество отрезков А(х)В(^) заданных координатами своих концов во введенной декартовой системе координат, где Л(.v) = /,|(.у) е©ь а координаты точки /3(.у) рассчитываются в зависимости от вида конгруэнции.

торсовая, если совместна (251) кони ясская, сслиреш=сог& : цилиндри веская, если (£51) пэзовм.

Эman 4. "Вырезание" из выделенной линейчатой поверхности Г проектируемого технического изделия. Для этого исходя из технологических соображений обосновывают проекцию изделия на одну из координатных плоскостей, например, фронтальную проекцию изделия, затем определяют линию пересечения двух поверхностей, одной из которых является поверхность Г , а другой - фронтально-проецирующая цилиндрическая поверхность Г ' с направляющей в виде контура изделия на координатной плоскости У OZ . Поверхность проектируемого изделия 77 получается как часть поверхности Г ограниченная линией пересечения двух поверхностей Г Г]Г'.

Этап 5. Исследование геометрии поверхности полученного изделия. С этой целью рассчитываются плоские сечения поверхности, строится геодезическая линия на поверхности изделия, рассчитывается развертка развертывающейся поверхности и квазиразвертка неразвер-тывающейся поверхности изделия для изготовления его в металле.

Этапы 1-3 предложенного порядка проектирования касаются построения конгруэнции в виде двухпараметрических множеств прямых или плоскостей, а также получения модели поверхности технического изделия. Реализация этих этапов рассмотрена в разд. 2 и разд.3. Этапы 4 и 5 касаются собственно проектирования изделия, исследования геометрических характеристик его поверхности и являются предметом обсуждения данной главы.

Итак, линейчатая поверхность Г технического изделия ТУ задана в пространстве Q как однопараметрическое множество отрезков A(s)B(s), где Л (л) , а В (s) eYOZ . Требуется выделить на этом

множестве A(s)B(s) такое подмножество отрезков N(s)M(s), что для всех значений параметра s верю N(s)Af (s) eA(s)B(s). Множество отрезков N (s)M (s) задает поверхность Г ' изделия 77 |. Взаимное расположение точек A(s), B(s),N(s),M(s) на образующей поверхности, соответствующей параметру 5 таково, что отрезок N(s)M(s) является вложенным в отрезок A(s)B(s). Поскольку изначальным условием задания лучей конгруэнции и описания образующих линейчатой поверхности технического изделия является условие о том, что луч конгруэнции исходит из точки А (л) s L\(s) инцидентной ©i eXOZ , то для каждой образующей ¡(s) поверхности верна запись A (s) -с ,V(s) -<M(s) -< В (s).

Решение этой задачи состоит из двух частей. Во-первых, определение проекции контура технического изделия на линейчатой поверхности Г , во-вторых, определение координат концов отрезков Л'(л)А/(л), инцидентных части А(.ч)В($) образующих /(л-). Фронтальную проекцию изделия можно представить как плоский замкнутый составной геометрический объект (СГО), определенный с помощью элементарных геометрических объектов (ЭГО). Совокупность ЭГО представляет собой информационную модель фронтальной проекции технического изделия в виде двумерной матрицы. Строки матрицы определены количеством ЭГО фронтальной проекции технического изделия. В качестве элементарных геометрических объектов мохуг быть отрезки прямых, дуга окружностей, дуги кривых второго порядка и т.д. Последовательность расположения строк в информационной модели фронтальной проекции технического изделия соответствуют порядку обхода контура проекции. Столбцы матрицы информационной модели фронтальной проекции технического изделия соответствует описанию элементарных геометрических объектов с указанием вида геометрии и координат характерных точек геометрических образов ЭГО. Контур изделия на поверхности Г определяется как линия пересечения поверхности Г , заданная однопараметрическим семейством отрезков Л(х)/1(л-), с фронтально проецирующей поверхностью Г', заданной семейством образующих ¡'{а) перпендикулярных фронтальной плоскости проекций, параллельных оси ОХ , для которых параметр а , изменяясь в пределах [0 < а < 1], определяет точку на ЭГО контура 1Л) 7'у. По построению обе эти поверхности принадлежат пространству £2, Если две поверхности Г и Г' пересекаются, то они имеют общие точки, множество которых называют пересечением и которые принадлежат очертаниям конструируемого технического изделия на поверхности Г . Эта задача сводится к нахождению множества точек, полученных от пересечения образующих /(з) поверхности Г с поверхностью Г'. Поверхность Г' можно рассматривать как составную, состоящую из плоскостей, которым соответствует след на координатной плоскости в виде отрезка Г/7'у, и отсеков поверхностей второго порядка с краем, которым соответствует на фронтальной плоскости след в виде дуги окружности или кривой второго порядка. Расчет точек пересечения состоит в

.. __________——,..гл/ ; ■ /т

|Л/ШЫ1ПИ ураилсплЯ и и . !

В работе приведено исследование модели поверхности спроектированного изделия. Для этого рассчитывается геодезическая кривая поверхности, как объект внутренней геометрии поверхности, а также траектория материала по поверхности изделия, что дает возможность оценки технологических характеристик изделия на стадии проектирования в условиях автоматизированного проектирования до воплощения в металле. Ответственным этапом проектирования поверхности изделия сложной формы является получение развертки поверхности Г на плоскость в виде плоского листа толщиной d. Задача рассматривается с геометрической точки зрения как задача о соответствии поверхности изделия некоторой плоской области при условии, что расчеты ведутся относительно внешней стороны плоского листа. Неоднородность деформаций растяжения листа и сдвиги по толщине листа не учитываются. В работе рассматривается соответствие развертки поверхности Г и некоторой плоскости, при котором поверхность налагается на плоскость путем изгибания без растяжений или сжатий и сдвигов, то есть с сохранением длин линий и углов между ними. Из двух видов конгруэнции, которые были описаны выше как простые конгруэнции и конгруэнции с проективной прямой, можно развертывающиеся поверхности получить при выполнении определенных условиях, а из конгруэнции плоскостей можно выделить только развертывающиеся поверхности. При построении разверток развертывающейся поверхности будем исходить из того, что она всегда может бьтгь представлена некоторой кривой у = f(s(s)) как кривой сферического отображения, где y(s), s(s) - углы установки касательной плоскости Q(y.s) к кривой <вь являющуюся первой фиту-рой конгруэнции плоскостей. Исходными данными для построения разверток развертывающихся линейчатых поверхностей будем считать плоскую кривая со на развертываемой поверхности Г , которую в дальнейшем будем называть направляющей кривой, кривую сферического отображения у = f{e(s)), где параметр задает точку на кривой со, фронтальную проекцию технического изделия в виде плоского сложного геометрического объекта, состоящего из элементарных геометрических объектов. В работе предлагается и рассмотрен алгоритм построения развертки развертывающейся поверхности Г а основе кривой сферического отображения.

Таким образом, материалы, представленные в данной главе касаются определения той части линейчатой поверхности, которая относится к поверхности проектируемого изделия, а также анализа геометрии этой части поверхности.

В пятой главе рассматривается применение предложенных конструктивно-прикладных методов моделирования конгруэнций и выделения из них поверхностей в трех направлениях. Первое направление применения моделирования линейчатых поверхностей на основе конгруэнции прямых заключается в следующем: на основе конструктивно прикладных методов, основанных на выделении линейчатой поверхности технического изделия из двухпараметрического множества прямых, задающих конгруэнцию, возможно проектирование поверхности технического изделия с учетом максимального количества геометрических параметров, значение которых возможно обосновать исходя из технологических соображений.

Предложенное концептуальное моделирование обладает необходимыми для этого свойствами, важнейшими из которых является возможность обобщения моделирования на все существующие рабочие поверхности почвообрабатывающих машин (индукционное построение модели) и порождение конкретных информационных объектов (технических изделий) по модели. Отсюда вытекает второе направление применения моделирования линейчатых поверхностей на основе конгруэнций прямых: геометрические компоненты конгруэнций прямых и плоскостей и методы выделения из них однопараметричсского семейства образующих линейчатых технических поверхностей могут служить данными для создания архивов конструкторской документации в виде информационных баз с единообразным типом данных.

Предлагаемый в данной работе метод моделирования линейчатых поверхностей технических изделии как однопараметрических семейств прямых, выделенных из конгруэнции прямых пли плоскостей, заданных в декартовой системе евклидова пространства может служить основой базового метода автоматизированных систем геометрического моделирования и расчетов линейчатых поверхностей. Отсюда вытекает третье направление применения моделирования линейчатых поверхностей на основе конгруэнций прямых и плоскостей: методы выделения линейчатых поверхностей технических изделий из конгруэнции прямых и плоскостей являются базовыми методами моделирования линейчатых поверхностей в автоматизированных системах геометрического моделирования и расчетов.

Практическое применение изложенных выше принципов нашли в решении конструкторских задач в области проектирования поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин. Решение этой проблемы для Алтайского края, на территории которого находятся заводы тракторного и сельскохозяйственного машиностроения, нуждаю-

шихся в разработке новых компьютерных технологий проектирования рабочих органов почвообрабатывающих машин, является наиболее актуальной. В работе приводятся результаты применения изложенных в работе методов конструирования линейчатых поверхностей в конструкторском проектировании конкретных изделий конструкторско-технологического центра новых разработок завода "Алгайсельмаш-Холдинг' а конструкторском бюро мини-техники Алтайского тракторного завода.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Основным результатом работы явилась разработка основ компьютерного моделирования линейчатых поверхностей технических изделий на основе конгруэнции прямых и плоскостей, которые позволили решить ряд важнейших народнохозяйственных задач по разработке конкурентоспособных изделий сельскохозяйственного машиностроения и решить на концептуальном уровне проблему создания компьютерных архивов конструкторской документации поверхностей сложной формы, используемых в проектировании изделий сложной формы в тракторном и сельскохозяйственном машиностроении.

Итогом представленной работы явилось следующее:

1. Выявлены и проанализированы закономерности образования поверхностей изделий сложной технической формы как линейчатых поверхностей развертывающегося и неразвертывающегося типа.

2. Предложен концептуальный подход к моделированию поверхностей на основе конгруэнций прямых и плоскостей для реализации геометрического ядра в общей структуре компьютерных технологий проектирования и изготовления изделий сложной технической формы.

3. Разработаны методы образования конгруэнций прямых и плоскостей на основе параметрического задания их геометрических элементов.

4. Предложены и описаны методы выделения из конгруэнций линейчатых поверхностей, ассоциированных с конкретными техническими изделиями, допускающие компьютерную реализацию средствами машинной графики.

5. Разработаны алгоритмы построения линейчатых поверхностей технических изделий средствами машинной графики, которые, благодаря предложенному принципу моделирования линейчатых поверхностей, реализуют компьютерное хранение существующих техни-

ческих поверхностей линейчатого типа и визуализацию их каркасов на экране графического дисплея.

6. Реализованы принципы моделирования линейчатых поверхностей в виде комплекса программ проектирования рабочих органов почвообрабатывающих машин.

Результаты исследований отражены в следующих публикациях:

1. Трухина В.Д. Применение вычислительной техники при проектировании технических поверхностей/Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ,1989.-82 с.

2. Трухина В.Д. Математическое представление поверхностей технической формы для построения в системах автоматизированного проектирования // Автоматизация управления машиностроительным производством в новых условиях хозяйствования/Алт. политехи, ин-т.-Барнаул:Б.и.,1989.-СД25-127.

3. Трухина В.Д. Указания по оформлению программных документов / Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.и.,1989.-35с.

4. Трухина В.Д. Методика расчета развертки линейчатой поверхности: Метод. указанна/Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова. -Барнаул:Б.и., 1989.-25 с.

5. Трухина В.Д. Взаимодействие человека с ЭВМ в системе автоматизированного проектирования поверхностей технической формы // Тезисы докладов к научно-технической конференции.- Барнаул, 1989,- С.65-66.

6. Трухина В.Д. Автоматизация проектирования развертывающихся поверхностей методом сферического отображения. Автореферат канд. дис,- Киев, 1991.-20 с.

7. Трухина В.Д. Подбор эмпирических формул на ЭВМ: Метод. Указания / Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул: Б.и., 1992.-14 с.

8. Трухина В.Д. Графическое решение задач линейного программирования. Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул: Б.и., 1993.-23 с.

9. Трухина В.Д. Численное интегрирование функций. Алт. политехи. ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.и., 1993.-11 с.

10. Трухина В.Д. Численное решение нелинейных уравнений. Алт. политехи, ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.и., 1993.-14 с.

11. Трухина В. Д. Проектирование развертывающихся поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин на ПЭВМ // Сибирский вестник сельскохозяйственной HayKii.-1993.-N2-C.81-86.

12. Трухина В.Д. Геометрическое моделирование торсовых поверхностей по направляющей кривой и сферическому отображению // Труды Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск З/Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.-Барнаул:Йзд-во АлтГТУ, 1994.-С.174-179.

13. Трухина В.Д. Проектирование поверхности корпуса плуга с помощью системы AutoCAD: Тезисы докладов международной конференции,- Изд-во Рубцовского индустриального института, 1994.-С.260-261.

14. Трухина В.Д. Анализ поверхности по траектории движения пласта по отвалу: Тезисы докладов международной конференции, - Изд-во Рубцовского индустриального института, 1994.-С. 258-260.

15. Трухина В.Д., Шатилова Т.А. Проектирование линейчатых поверхностей на ПЭВМ с использованием системы AutoCAD / Научно-техническое творчество студентов: Сб. тезисов докладов. Часть 1,-Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1994.-С. 157-158.

16. Трухина В.Д., Семенов В.В. Обоснование геометрических параметров линейчатых поверхности по результатам статистических исследований / Сб. тезисов докладов 52-й научно-технической конференции. Часть l.-Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1994.-С. 156-157.

17. Трухина В.Д., Гудин В.А. Анализ и совершенствование поверхности плута ПЛП-6-35 по траектории движения пласта по отвалу / Сб. тезисов докладов 52-й научно-технической конференции.- Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1994.-С. 157-158.

18. Трухина В.Д. Алгоритм построения разверток линейчатых поверхностей методом триангуляции // Совершенствование рабочих органов сельхозмашин и агрегатов. Тезисы докладов международной научно-технической конференции/Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова,-Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та , 1994.-С. 28-30.

19. Трухина В. Д., Семенов В.В. Построение геодезической линии и траектории движения пласта на поверхности корпуса плуга // Совершенствование работах органов сельхозмашин и агрегатов. Тезисы докладов международной научно-технической конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: изд-во гос. техн. ун-та, 1994,-С.30-32.

20. Масло И.П., Корабельский В.И., Трухина В.Д. Разработка почвообрабатывающих машин и орудий по условиям сохранения экологии почвы // Совершенствование рабочих органов сельхозмашин и агрегатов: Тезисы докладов международной научно-технической конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул:Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1994.-С.6-7.

21. Трухина В.Д. Информатизация конструкторских работ при проектировании поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин // Региональные проблемы информатизации. Труды Республиканской научно-технической конференцин/Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова. Барнаул. Изд-во АлтГТУ, 1995.-С. 65-67.

22. Трухина В.Д. Эффективность работы конструктора сельхозмашин в условиях автоматизированного проектирования // Проблемы совершенствования организации труда и производства в период структурной перестройки экономики региона: Тезисы конференции.-Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1995,- С. 100-102.

23. Трухина В,Д. Геометрическое моделирование поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин в условиях автоматизированного проектирования // Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении: Модель-проект-95: Тезисы докладов. Международная научно-техническая конференция: Казань, 1995.-С.83-85.

24. Трухина В.Д. Конструирование поверхностей технической формы в виде параметрического семейства линий // Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. O.K. Никольского. Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова,-Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1995.-С.269-271.

25. Трухина В.Д. Концептуальная схема автоматизированного проектирования технических поверхностей // Труды Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск 5 / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1995,- С. 124-129.

26. Трухина В.Д. Сравнительная оценка величин тягового сопротивления поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин // Сборник тезисов докладов 53-й научно-практической конференции Алтайского государственного технического университета. Часть 1 / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. унта. 1995.-С. 168-169.

27. Трухина В.Д. Применение анализа характеристических линий технической поверхности для усовершенствования корпуса ПЛП-6-35 // Сборник тезисов докладов 53-й научно-технической конференции.

Часть 1/Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1995.-С. 165-166.

28. Трухина В.Д. Обоснование геометрической формы ножей мелиоративной фрезы на ПЭВМ // Сборник тезисов докладов 53-й научно-технической конференции. Часть 1/Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул:Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1995.-С. 167.

29. Трухина В.Д. Графический метод решения задач линейного программирования: Метод. Указания / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1995,- 25 с.

30. Трухина В.Д. Конструктивно-прикладная теория линейных конгруэнций в проектировании технических поверхностей машиностроения // Роль геометрии в искусственном интеллекте в системах автоматизированного проектирования. Сборник докладов Всероссийской научно-технической конференции,- Улан-Удэ: Изд-во ВСГТИ, 1996.-С, 84 - 87.

31. Трухина В.Д. Конструирование технических поверхностей в виде каркаса параметрического семейства линий // Труды Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск 6 / Алт. гос. техн. ун-т.-Барнаул:Изд-во АлтГТУ, 1996.-С. 127- 132.

32. Трухина В.Д. Геометрическое моделирование и машинная графика в проектировании каркасных поверхностей // Труды Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск 6,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1996.-С. 198-201.

33. Трухина В.Д. Формализованный алгоритм выделения каркаса технической поверхности из конгруэнции прямых линий//Труды Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск б.-Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1996.-С. 202 - 205.

34. Трухина В.Д., Щербаков В.М. Проблемы применения почвообрабатывающей фрезы в составе комбинированной машины // Труды Алтайского технического университета им. И.И. Ползунова: Выпуск б.Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1996,- С. 214 - 216.

35. Трухина В.Д. Геометрическое моделирование и машинная графика в инженерном образовании // Межрегиональная научно-практическая конференция. Тезисы конференции. Барнаул. 1996,- С. 101-103.

36. Трухина В.Д. Моделирование и анализ линейчатых технических поверхностей (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения): Учебное пособие,- Барнаул; Изд-во АлтГТУ им. И.И. Ползунова, 1996,-65 с.

37. Трухина В.Д. Симплексный метод решения задач линейного программирования: Метод. Указания / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1996 .- 28 с.

38. Трухина В.Д. Машинная графика для конструкторских специальностей технического университета II Новые информационные технологии в университетском образовании. Материалы международной научно-методической конференции.-WWW.NSU.NSK.SU, Новосибирск.-1996.

39. Трухина В.Д. Основы конструктивно-прикладной теории линейных конгруэнций // Сборник научных статей Ползуновского научно-учебного центра АлтГТУ им. И.И. Ползунова. Выпуск 1,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 59-65.

40. Трухина В.Д. Моделирование линейчатых поверхностей рабочих органов почвообрабатывающих машин в условиях автоматизированного проектирования // Сборник научных статей Ползуновского научно-учебного центра АлтГТУ им. И.И. Ползунова. Выпуск 1,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 56-62.

41. Трухина В.Д. Моделирование рабочих поверхностей почвообрабатывающих машин с учетом экологии почвы' // Материалы международной конференции "Проблемы устойчивого развития общества и эволюции жизненных сил населения Сибири",- Барнаул: Изд-во АГУ, 1997,- С. 87-81).

42. Трухти В.Д., Семенов В.В. Структура компьютерных архивов поверхностей сельхозмашин. Сборник тезисов докладов 55-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997,-С. 105-107.

43. Трухина В.Д. Возможности компьютерного выделения технических поверхностей из конгруэнции линейных образующих / Сборник тезисов докладов 55-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997 - С. 98-101.

44. Трухина В.Д., Дереча В.Р. Построение конгруэнций, ассоциированных с техническими поверхностями сельхозмашиностроения. Сборник тезисов докладов 55-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997,- С. 98-101.

45. Трухина В.Д. Концептуальная схема конструкторских баз данных линейчатых поверхностей технических изделий // Межвузовски! сборник научных трудов / Под ред. O.K. Никольского. Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. 199S.-C.209-215.

46. Трухина В.Д. Конгруэнция прямых в инженерной геометрии И Сборник научных статей Ползуновского научно-учебного центра Ал-тГТУ им. И.И. Ползунова. Выпуск 2,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998,-С. 32-37.

47. Трухина В.Д. Компьютерные архивы линейчатых поверхностей технических изделий // Межвузовский сборник научных трудов АГАУ. Вытек 5,- Барнаул: Изд-во АГАУ, 1998.-С. 52-51.

48. Трухина В.Д. Конгруэнции прямых как информационная основа архивов поверхностей почвообрабатывающих машин // Сборник тезисов докладов 56-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998,- С. 32-37.

49. Трухина В.Д. Геометрическое моделирование поверхностей сферических дисков в составе сменно-универсальных почвообрабатывающих агрегатов // // Сборник тезисов докладов 56-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998.

50. Трухина В.Д. Компьютерное построение геодезических линий на развертывающихся линейчатых поверхностях // Сборник тезисов докладов 56-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998.-С. 101-105.

51. Трухина В.Д. Компьютерный расчет линейчатых поверхностей канавокопателей // Сборник тезисов докладов 56-й научно-технической конференции АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998,- С. 106-110.

52. Трухина В. Д. (научный руководитель). Отчет о научно-исследовательской работе по теме программы "Алтай-наука" номер госрегистрации 9.8 В "Анализ технических поверхностей по траектории движения пласта по отвалу в условиях автоматизированного про-екгирования".-1995.-75 с.

53. Трухина В.Д. (научный руководитель). Отчет о научно-исследовательской работе по теме программы "Алтай-наука" номер госрегистрации 9.8 В "Проектирование линейчатых поверхностей с требуемыми агротехническими и технологическими характеристиками на песональных компьютерах",-1995.-40 с.

Вера Дмитриевна Трухина

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОНГРУЭНЦИЙ ПРЯМЫХ В УСЛОВИЯХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Подписано в печать 11.04.98. Формат 60x84 1/16. Печать -ризография. Усл.п.л. 3,25. Уч.-изд.л. 2,17. Тираж 80 экз. Заказ 25/98.

Издательство Алтайского государственного технического университета им. И И. Ползунова, 656099, г. Барнаул пр-т Ленина, 46.

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020822 от 21.09.93 года.

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД№ 28-35 от 15.07.97

Отпечатано в ЦОП АлтГТУ 656099, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46