Компьютерное моделирование адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера

Богданов, Михаил Рифкатович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера

кандидата физико-математических наук: Богданов, Михаил Рифкатович
город: Москва
год: 2010
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Компьютерное моделирование адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера»

Автореферат диссертации по теме "Компьютерное моделирование адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера"

На правах рукописи

004603166

БОГДАНОВ Михаил Рифкатович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ В СЛАБО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРИИ КОЛМОГОРОВА-АРНОЛЬДА-МОЗЕРА.

Специальность - 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 3 ИЮН 2010

Москва-2010.

004603166

Работа выполнена в Московском государственном университете инженерной экологии.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Гданский Николай Иванович. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Борисов Анатолий Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Приезжев Вячеслав Борисович. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится «2^» МАЯ 2010г. в^ часов на

заседании диссертационного совета Д 720.001.04 при Объединенном институте ядерных исследований (Лаборатория информационных технологий) по адресу: 141980, г. Дубна, Московской области, ул. Жолио-Кюри, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан « 2.6 » АПрыя_2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор /, /) Иванченко Иосиф Моисеевич

Актуальность темы.

Нелинейные модели математической физики привлекают внимание в последние десятилетия в связи с развитием наукоёмких приложений. В частности, все промышленно развитые страны объявили о развитии национальных программ в области нанотехнологий вплоть до 20182020 гг. с впечатляющими объёмами финансирования. В основе такого современного состояния научных исследований, несомненно, находится широкое распространение компьютерных средств, позволяющих развивать изучение задач, трудных для аналитического исследования.

Уместно подчеркнуть, что в области нанотехнологий исследования сосредотачиваются на малых линейных размерах порядка 100-1000 атомов. Физические явления на этом уровне занимают промежуточное положение между подходами классической физики и квантовой или ядерной физики. Особую роль при этом играют коллективные эффекты, возникающие при движении в сплошной среде ансамблей частиц, значительно меньших по отношению к числу Авогадро. При исследовании такого рода ансамблей частиц в сплошной среде наряду с регулярными эффектами наблюдаются и стохастические свойства динамики.

Построение достаточно простых и универсальных моделей регулярной и стохастической динамики на сегодня апеллирует с одной стороны к нелинейным уравнениям в частных или обыкновенных производных и к методам статистической механики, физики с другой. Наряду с этим выбор моделей широко использует понятие «общности положения», возникшее в теории бифуркаций или катастроф.

Исследование получающихся моделей сочетает в себе использование динамики как в непрерывном, так и в дискретном времени, что вызвано как использованием численных методов, так и возможностью понимания свойств динамики с использованием результатов экспериментальной физики.

Уместно отметить монографию1, где описаны качественные результаты по анализу развитой турбулентности с привлечением широкого перечня численных экспериментальных данных, выполненному А.Н. Колмогоровым и повлекшему развитие исследований, впоследствии оформившихся в теорию Колмогорова-Арнольда-Мозера. Для анализа и формулировки выводов работы понадобилось развитие классических методов теории вероятностей и статистики.

Турбулентный режим, возникающий в транспортных процессах газофазных смесей, жидких сред, а так же мелкодисперсных сыпучих

1 Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. Перевод с англ. А.Н. Соболевского под редакцией М.Л. Бланка. - М.: ФАЗИС, 1998, XIV - 346 с.

веществ представляет большой интерес в связи с разработкой современ ных новых приборов и наукоёмких производственных технологий. Со вершенствование измерительных методов и приборов требует рассмот рения процессов транспорта электронов, фононов, экситонов и дислока ций дефектов в твёрдых телах. Для этого необходимо соответствующи теоретические модели, допускающие цифровую обработку на современ ных ЭВМ с целью оценки физических и геометрических параметров ис следуемых процессов, т.е. необходимы новые подходы и развитие стати стических и вероятностных моделей в сочетании с современными пред ставяениями теории динамических систем.

В диссертационной работе представлены результаты исследова ния в вышеназванных подходах динамики частиц в модели «Bogdanov шар», восходящей к бифуркации Богданова-Такенса на основе систематического численного анализа адиабатических инвариантов динамики, допускающих физическую интерпретацию. В заключение отметим боль шое количество информации, привлекаемой к анализу динамики: порядка 1000 квазиравновесных состояний транспортируемых частиц ансамблей и порядка 20 физических характеристик, относящихся к квазиравновесному состоянию при фиксированных значениях входных данных модели. Это обуславливает необходимость создания и реализации соответствующих программных комплексов для использования современных мощностей ЭВМ с целью, в частности, исследования изменений свойств модели при различных входных данных.

Цель работы.

Создать аналитическую модель и реализовать программные средства для оценки механических, физических, геометрических и термодинамических параметров вихревых движений разреженных потоков частиц с целью их использования для разработки средств и систем неразру-шающего контроля веществ и материалов с улучшенным характеристиками.

Определить физические свойства квазиравновесных состояний в модели «Bogdanov-map») состояний рассеяния в том числе на основе получения численных значений адиабатических инвариантов динамики, имеющих физическую интерпретацию с использованием методов статистической механики и физики.

1. Постановка задачи математического моделирования.

Разработка новых фундаментальных основ исследования динамики пробных частиц в окрестности странного аттрактора на примере ото-

бражения фазовой плоскости на себя, называемого в литературе "Е^с1а-поу-тар", с учётом новых результатов теории динамических систем:

а) развитие методов визуализации стохастических и регулярных структур в фазовом пространстве с целью вычисления периодических орбит основного отображения, а также их геометрических характеристик, и их программная реализация на ЭВМ;

б) разработка фундаментальных основ отбора и методов оценки временных средних динамической системы на плоскости в дискретном времени, допускающих интерпретации в рамках понятий математической физики, статистической в том числе;

в) разработка и обоснование алгоритмов расчёта временных средних с помощью адиабатических инвариантов динамики с целью перехода от микромодели динамики к макропараметрам классической термодинамики;

г) программная реализация на ЭВМ разработанных алгоритмов с целью получения численных оценок параметров динамики;

д) связь результатов расчётов с подходящими литературными данными;

2. Физическая постановка задачи - моделирование движения пробной частицы в окружающей сплошной среде.

Предполагается, что частица движется свободно (прямолинейно с постоянной скоростью) в течение постоянного пролётного времени , по истечении которого она перерассеивается с учетом поля внешних сил. Внешние силы представляют собой потенциальную составляющую, отвечающую ангармоническому потенциалу на прямой и слабо-диссипативное аддитивное возмущение, представляющее собой силу трения с коэффициентом трения, являющимся аффинной функцией на прямой. Свободный член аффинной функции отвечает кинематической вязкости, а линейный член может в подходящих случаях интерпретироваться в качестве результата процесса теплообмена частицы с окружающей средой по закону Фурье.

Задача - исследовать физические свойства квазиравновесных состояний динамики пробной частицы (или их ансамблей).

3. Математическая постановка задачи - изучение отображения фазовой плоскости на себя, имеющее вид:

ХП + \ = Хп Л + 1

= Уп + к-хп (1 -хя)+(е + /1х„)уя

где к е (0.4; 4.2 ~ 10-5 - параметры отображения,

(*„, ) отвечают точке перерассеяния пробной частицы.

Задачей является изучение временных средних величин на фазовом пространстве, имеющих физический смысл, при итерациях отображения.

Результаты эргодической теории динамических систем сводят изучение временных средних к рассмотрению средних вдоль периодических орбит динамической системы в дискретном времени.

Таким образом, мы приходим к необходимости нахождения периодических орбит рассматриваемого отображения, определения их топологического типа и вычисления средних величин вдоль этих периодических орбит.

4. Прикладная постановка задачи.

При анализе движения в сплошной среде волн возбуждения (экситон-ных, фононных, дислокаций дефектов), ударных волн в газовых средах важной задачей является описание механизмов захвата частиц окружающей среды и расчёт физических параметров соответствующих кинетик в транспортных процессах. В частности, можно рассматривать вихревые движения вдоль прямолинейной оси (труба Ранка), вихревые движения вокруг циклически замкнутой оси или движения частиц вдоль плоскости дислокаций в твёрдом теле, струйные течения в жидкости или газе и т.п.

Получить следствия для прикладных задач механики разрушений, развитой турбулентности в вихревых движениях газовых, жидких и мелкодисперсных порошковых сред.

Методы исследования.

Для исследования свойств вихревых движений и самоорганизующихся квазиравновесных структур в турбулентных потоках используется модель движения частиц и их ансамблей с перерассеянием в поле сил ангармонического осциллятора с малыми силами вязкости.

В работе используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений для обоснования модели, классификации типов квазиравновесных состояний. Численная реализация метода Ньютона решения нелинейных функциональных уравнений для вычисления статистически значимого набора квазиравновесных состояний динамики в изучаемой модели. Вычисление адиабатических инвариантов квазиравновесных состояний, позволяющих оценивать температуру, давление, число Рейнольдса, коэффициенты теплоёмкости и теплопроводности. Интерпретация численных результатов с помощью методов математической физики.

Научная новизна.

Получены новые важные результаты о физических параметрах квазиравновесных состояний динамики ансамблей частиц при транспорте в окружающей сплошной среде: распределение чисел Рейнольдса, квазистационарные уровни энергии, распределение давлений, теплопроводности и теплоёмкости. Полученные результаты показывают уточнённые новые сценарии перехода к развитой турбулентности, механике микроразрушений на атомном уровне и т.п. и позволяют прогнозировать свойства материалов для создания новых приборов и методов неразрушающе-го контроля объектов исследования, а так же улучшать их характеристики.

Практическая и теоретическая ценность.

В диссертационной работе предложены новые методы оценки физических параметров потоков частиц на основе адиабатических инвариантов динамики в рамках слабо-диссипативной версии теории Колмо-горова-Арнольда-Мозера. Впервые исследовано возмущение сил ангармонического потенциала на прямой силами малой вязкости переменного знака. Результаты доведены до конкретных числовых величин таких физических параметров квазиравновесных состояний динамики как потенциальная энергия, кинетическая энергия, длина свободного пробега, статистики периодов движения, распределение чисел Рейнольдса в зависимости от периода, коэффициентов теплоёмкости и теплопроводности, а также давления. Получены изохоры, изобары, изотермы соответствующих состояний.

По сравнению с предыдущими исследованиями, например эрго-дической теорией, предложены и реализованы на компьютерной базе методы анализа модели, сочетающей как стохастические, так и регулярные составляющие динамики, что определяет направления дальнейшего развития традиционных подходов теории динамических систем, вероятностей, стационарных случайных процессов как в теоретических, так и в компьютерных разработках.

На основе полученных численных данных получены новые механизмы возникновения микроразрушений в твёрдом теле, новые механизмы возникновения и релаксации развитой турбулентности струйных течений в гидро(газо)динамике.

в двигателях внутреннего сгорания; каскадов ожижения газа на основе эффекта Ранка; препятствовать возникновению микроразрушений и микродефектов в используемых материалах.

Положения, выносимые на защиту:

1. Основной результат 1-й главы. Вихревые движения ансамблей частиц в сплошной среде описываются одномерным движением вблизи оси вихря. Движение частицы можно предполагать свободным в течение пролётного времени. Моделирование динамики частицы в окружающей сплошной среде требует рассматривать аддитивные слабо-диссипативные возмущения гамильтоновых систем, причём возмущающие добавки могут являться силами возбуждения. В одномерном случае общего положения простейший пример, проявляющий как стохастические, так и регулярные свойства самоорганизующихся структур, даётся отображением Богданова. Отображение Богданова отвечает динамике уравнения Ньютона с походящей дискретизацией для учета молекулярно-кинетической теории, лежащей в основе представлений о строении вещества.

С этой целью:

A) выполнен анализ изученных ранее низкоразмерных моделей динамики, проявляющих стохастические свойства движений в детерминированных динамических системах, которые либо имеют малое число стационарных точек, либо постоянные коэффициенты трения, в результате обоснована необходимость рассмотрения сил диссипаций с переменным знаком для рассмотрения как регулярных, так и стохастических режимов динамики;

Б) сформулирована связь рассматриваемых в работе динамических систем в непрерывном и дискретном подходе, локальном и глобальном варианте динамики, что позволяет формулировать результаты расчётов адиабатических инвариантов в терминах математической физики;

B) сформулирована задача нахождения периодических решений в дискретной модели и исследования дискретных инвариантов динамики, сочетающей как источники частиц так и стоки, наряду с рассеивающими квазистационарными режимами динамики.

стояний и т.д. В соответствии с топологией периодической орбиты в фазовом пространстве интенсивные адиабатические инварианты показывают «насыщение», т.е. выход на постоянные асимптотические значения; экстенсивные (кумулятивные) показывают линейный рост в зависимости от периода. В результате впервые получено и проанализировано большое количество квазиравновесных состояний (~ 103) и их физико-механических характеристик (~ i о4) с учётом их взаимных зависимостей.

Для получения указанных результатов развиты, обоснованы и программно реализованы:

A) методы расчёта по Ньютону периодических орбит на основе визуализации стохастических и регулярных структур в фазовом пространстве с привлечением новых результатов теории динамических систем;

Б) фундаментальные методы оценки механических, гидродинамических, термодинамических и геометрических характеристик динамики для регулярных и стохастических компонент динамики в дискретном времени: полная энергия, кинетическая составляющая энергии, длина свободного пробега, средний модуль скорости, числа Рейнольдса, давление, температура, объём, коэффициенты теплопроводности и теплоёмкости, центр тяжести, геометрический центр, амплитуда вихревых движений.

B) алгоритмы расчёта временных средних с помощью адиабатических инвариантов динамики с целью перехода микромодели динамики к макропараметрам классической термодинамики.

«Хаотическое» поведение решений в области стохастической диффузии Арнольда по прошествии конечного времени может сопровождаться «фокусировкой» в соответствии со статистическим весом состояний «out», что и приводит к самоорганизации устойчивых структур в транспортных процессах. В области периодов порядка 103 -И О4 наблюдается фазовый переход 1-го рода: точка перегиба абсолютной температуры и скачок производной давления. Заселение высоко периодичных состояний обязано падению давления в соответствующих энергетических уровнях состояний «out».

Подробно излагается научная основа разработки алгоритмического и программно-технического обеспечения процессов обработки информации и представления результатов исследований.

ров. В качестве параметров здесь фигурируют температура, давление, коэффициенты теплопроводности, теплоёмкости и т.п. Одним из наиболее известных практических примеров указанных явлений является движение газа в трубе Ранка, использованное П.А. Капицей в нижних каскадах установок для ожижения гелия. Для современных технологий полученные оценки параметров позволяют прогнозировать динамические эффекты, позволяющие повышать информационную и метрологическую надёжность приборов и средств контроля в процессе эксплуатации и диагностики приборов контроля. На примере возникновения и развития дефектов при циклическом нагружении металлических стержней получено качественное согласие с возникновением каверн, обязанных повышению температуры, а также микросколов, обязанных понижению температуры, в образце.

В результате предложены новые механизмы возникновения микроразрушений в твёрдом теле.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006г.

IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, 2006г.

XXXVI Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 30 мая-1 июня 2006г.

Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г. Петровского. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 21-26 мая 2007г.

XXXVII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2931 мая 2007г.

IV Международная научно-практическая конференция «Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов». - М.: МГУ ИЭ, 5-7 июня 2007г.

Международная конференция «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 20-24 августа 2007г.

IX Международный симпозиум «Инженерные и технологические исследования для устойчивого развития». - М.: МГУ ИЭ, 21-24 ноября 2007г.

Научная конференция студентов, магистрантов и аспирантов МГУ ИЭ - М.: МГУ ИЭ, 15-18 апреля 2008г.

Международная научно-техническая конференция «Экологические проблемы индустриальных мегаполисов» Донецк-Авдеевка. - Донецк: ДонНТУ, 21-23 мая 2008г.

XXXVIII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008г.

Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина. -М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 17-22 июня 2008г.

Международная конференция «DIFF2008». Суздаль - Владимир, Владимирский государственный университет, 27 июня - 1 июля 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора в проведении исследований и получении результатов заключается в предложениях по вычислению адиабатических инвариантов в рамках слабо-диссипативной версии теории KAM, а так же их физико-механических или термодинамических интерпретациях. Наряду с этим также автором предложены подходы сравнения расчётных данных с экспериментальными. С этой целью автором выполнена большая работа по разработке алгоритмов выполняемых расчётов и их программной реализации, а также выполнены необходимые практические вычисления с последующей подготовкой иллюстраций в виде графиков взаимозависимостей адиабатических инвариантов.

Объём и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, приложения, списка литературы. Полный объём диссертации составляет 169 страниц, библиография 140 наименований. Формулы, таблицы, рисунки нумеруются с помощью трёхзначных индексов, где первый индекс - номер главы, второй индекс - номер параграфа в главе, третий индекс - порядковый номер внутри параграфа. Во введении нумерация однозначная сквозная.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы, определены цель и задачи исследования. Транспортные процессы широко распространены в технических приложениях ввиду изучения кинематики движения в рабочих средах как газовых, жидких, так и порошковых смесей. Классические методы механики сплошной среды испытывают традиционные трудности при описании струйных течений и сильно развитой турбулентности. Учёт молекулярно-кинетической теории строения вещества в подходах механики сплошных сред сталкивается с трудностями детального описания процессов перерассеяния частиц в потоках, что вызывает проблемы в численных реализациях даже на современных ЭВМ. С принципиальной точки зрения речь идёт об исследовании так называемой хаотической динамики потоков, описываемых как уравнениями в частных, так и в обыкновенных производных. Хаотическая динамика зачастую обязана диффузионным процессам в транспортируемых потоках частиц. В диссертационной работе решается задача исследования как диффузионных и регулярных компонент транспортируемого потока частиц, так и их взаимодействия. Эта задача существенно отличается от предыдущих рассмотрений ввиду необходимости механизмов подкачки энергии для образования регулярных структур, то есть речь идёт об изучении незамкнутых систем в классическом смысле. Выявление и оценка механических, физических и геометрических параметров регулярных и связанных с ними стохастических структур является основной задачей диссертационной работы. Знание указанных параметров позволяет разрабатывать новые приборы, методики экспериментальных работ, а также определять оптимальный режим их эксплуатации.

Сформулированы основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы научная новизна и прикладная ценность полученных результатов. Кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава содержит обзор результатов предыдущих исследований по тематике диссертации и состоит из трёх параграфов, наряду с постановкой основных задач исследования.

В параграфе 1 излагаются наиболее важные примеры динамических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени, которые появились во второй половине ХХ-го столетия. Эти примеры продемонстрировали стохастические свойства решений динамических систем, обязанные их сложной топологии в фазовом пространстве, апеллирующей к фрактальным множествам.

Система Лоренца появилась в 1963г. и представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений или векторное поле в

(Я3:

х = -а х + а у у = гх - у - хг г = — Ъг + ху

Система Хенона-Хейлеса. В 1964г. появился пример нетривиальной динамики в гамильтоновой системе следующего вида:

j=i

В 1976г. появился пример Хенона двумерной динамической сис-

темы в дискретном времени. —>

fy + 1 - ах2 ^

Ьх

В 1978г. Фейгенбаум обнаруживает проявление стохастических свойств динамики в одномерной дискретной динамической системе, известной давно и называемой логистическим отображением:

X —> гх (1 - X ) •

В параграфе 2 излагаются мотивировки появления слабо-диссипативной версии теории KAM, а так же основной пример, наиболее изученный на сегодня.

В 70-е годы появилась бифуркация Богданова-Такенса, решающая проблему построения наиболее простого модельного локального примера семейства векторных полей, в котором снимается двукратное вырождение стационара:

х - У I где £- вещественные малые пара-

у = е л- хг + цу ± ху\

метры.

Разностная схема Эйлера первого порядка для численного исследования решений динамических систем семейства выглядит следующим образом:

Хп+Х=Хп+Н*Уп

y„+l=yn+h*y\xwri,

где к - шаг дискретизации, (л:л, уп) - п-й узел дискретизации, а

(^рЛ-и) - следующий узел.

Наряду с явными схемами Эйлера рассматриваются полуявные:

Полуявная схема Эйлера обладает рядом достоинств, выгодно отличающих её от явной схемы Эйлера: она учитывает поток тепла в форме закона Фурье на свободном пробеге на шаге дискретизации. Таким образом, мы рассматриваем движение частицы, которая через шаг дискретизации (постоянный в собственном времени) меняет направление движения, а на пути свободного пробега взаимодействует с окружающей средой по закону Фурье.

Нормализация полуявной схемы Эйлера с помощью подходящего параметра ренормализации Л даёт трёхпараметрическое семейство отображений плоскости на себя

Последнее семейство в литературе имеет название «Отображение Богданова»2.

Третий параграф посвящён изложению основ вычислительных методов анализа адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной версии теории KAM.

Существуют следующая общеизвестная классификация периодических орбит по топологическим типам в зависимости от собственных чисел, обозначаемых через , матрицы Якоби, обозначаемой через А, отображения (1) или его подходящих итераций:

1. Л1,Л2 е 9t (Тг2А > 4DetA): Седловой тип: |\i| < 1, |Хг| >1 ( TrA - DetA > 1,7Ы + DetA> - 1 ,ТгА> 0 и TrA- DetA<\,TrA->rDetA<- 1 ,ТгА<0); Узловой тип (устойчивый): |Xi| < 1, |Яг| <1 (- 1 < DetA < 1 );

2 Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov Map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, N.4, 803-842c.

x„+l=x„ + h*yn+1

(1)

Узловой тип (неустойчивый): |Я1| > 1, |Яг1 > 1 (Ве1А > 1, < - 1); 2. Л,, Л, е С ,1тХфО(Тг2А < ¿\DetA): Фокус (устойчивый): 11еЯ < 1 ( ТгА < 2); Фокус (неустойчивый): ЛеА. > 1 (ТгА > 2); Удобно анализировать условия (1.) и (2.) с помощью диаграммы на плоскости {DetA, ТгА). Бифуркационными границами будут линии:

ИегА = —Тг2А, Ое1А = ТгА -1, = -ТгА -1, ТгА = 2 при ИегА > 1. 4

Рис. 1. Диаграмма топологического типа неподвижных точек диффеоморфизма плоскости на себя. Парабола и три прямых разбивают плоскость {ОегА, ТгА) на 9 областей: в каждой области топологический тип либо седло, либо устойчивый или неустойчивый узел или фокус.

Численные расчёты показывают, что при еЮ-5 отображение (1) может иметь до 103 периодических орбит, причём период меняется в пределах 1 —108. В частности, приведены результаты расчетов для значений параметров, указанных в таблице 1. Здесь Л - безразмерный шаг дискретизации: ь 2 = к •

Табл. 1.

№ £ к /1 = 4к м л-о ~ ~ Макро с имметр ия

1 -1.0Е-5 1 26150 1.123 5.80Е-5 0 17000 б

2 -1.0Е-5 1.53000 1.237 9.80Е-5 0.10204 5

3 -1.0Е-5 2.02955 1.425 2.85Е-4 0.03500 4

4 -7.0Е-6 2.83910 1.685 2.53Е-4 0.02767 3

В столбце Х0 =—£/// приведено значение абсциссы нуля «коэффициента трения» f (х). При f (х) < 0 мы имеем диссипацию энергии пробной частицы, а f (х ) > О отвечает возбуждению динамики.

Параметры £, /И, к выбирались из соображений охватить все случаи маленьких значений макросимметрии динамики (1). Здесь слово макросимметрия означает наличие периодической орбиты с соответствующим периодом и максимальной площадью бассейна притяжения орбиты, т.е. статистическим весом. На рис. 2 представлена иллюстрация макросимметрии порядка 4. По горизонтальной оси меняется координата X: —О/ 5 < X < 1; по вертикальной оси координата у: -О/ 5 < у < 0.5. На рис. 3 показана в увеличенном масштабе окрестность одной точки из двух периодических орбит порядка П = 462. Видно, что окрестность одной периодической орбиты «одета» 4 «лепестками», а другой 5 «лепестками».

Несложно оценить размер этой окрестности. Площадь области захвата всей периодической орбиты складывается из приблизительно равных по площади (так как £•,//« 1) 462 частей. Площадь одной части

оценивается как лг2. Поэтому

Другими словами размеры «лепестка» в нормировке (1) порядка 10"2. Таким образом, для периодических орбит с порядком 108 мы имеем размеры структур (асимптотически (неустойчивых) порядка Ю^Ю"9.

Анализ адиабатических инвариантов вдоль периодических орбит таких как: средняя энергия, средняя длина пробега и т.д. разбивает периодические орбиты на группы (кортежи), в которых адиабатические инварианты ведут себя систематическим образом (например, «насыщаются» к постоянной величине с ростом периода). Систематическое поведение адиабатических инвариантов обязано топологии расположения в фазовом пространстве периодических орбит кортежа (см. иллюстрации).

Рис. 2. Схематическое расположение орбит типа "т" в фазовом пространстве и разделяющей их области стохастической диффузии Арнольда.

462-яг2 <1.5-1

Рис. 3. Иллюстрация случая Рис. 4. Увеличенное изображение макросимметрии 4-го порядка. двух седловых орбит одинакового

порядка 462, но с разными структурами.

Вторая глава содержит необходимые математические определения и результаты, лежащие в основе реализации излагаемых компьютерных исследований. Наряду с изложением программных особенностей приводятся основные результаты, полученные в работе.

В параграфе 1 определяются адиабатические инварианты в дискретном времени, апеллирующие к временным средним вдоль периодических орбит.

Определение. Периодическая орбита динамической системы в дискретном времени является решением функционального уравнения следующего вида:

*0, (2) где неизвестными, подлежащими определению, являются дискретная натуральная величина N и точка х0 в фазовом пространстве.

Классификация линейных динамических систем, приведённая в главе 1, недостаточна для исследования нелинейных динамических систем. Поэтому в параграфе 1 главы 2 излагаются последние результаты об исследовании нелинейных динамических систем, лежащие в основе разработанных и реализованных численных алгоритмов исследований адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной версии теории Колмого-рова-Арнольда-Мозера.

Суть излагаемых результатов заключается в построении специальных моделей динамических систем, так называемых нормальных форм динамических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени.

В работе используются нормальные формы динамических систем в дискретном времени (см. табл. 3.) и виды фазовых портретов векторных полей. Однако, эти нормальные формы в свою очередь строятся на базе результатов исследования динамических систем с непрерывным временем. Поэтому для полноты охвата и изложения материала, лежащего в основе работы, излагаются нормальные формы динамических систем с непрерывным временем._

V «

]

ч I "V '

VI ^

- л-

М-

Табл. 2. Фазовые портреты элементарных особых точек векторных полей на плоскости.

Табл. 3. Нормальные формы диффеоморфизмов плоскости в окрестности конечномодальных особых точек.

Имя д:.»' (1 а ? Я Е Комментарии

(е,м в| + Я V) Г5) I I — нерезонакснык

+ Д 4 жорданова таетг.а к Л 1 Ф 0

с'" ■ <Г'Л' • ( ЙЯ/ 2 Н = 1 . Г = X? + + X.', с # 0

А! 0-1 Л .»: ?+«) Л .»" = пи:,^ -Н — ж"^"

с-; е-1"®* \ ы* 2 | + Ч Я= ( -Г. Д? -нерезонансный

в; ( Я- {е""д-" хг) -сх,'Н + ех Н = х,, р = ±1

О? ( 1 1У V ¡¡А х?')) В X,'дг ЕЁ + рч7 Ё = + р = 0, ±1

д является фазовым потоком векторного поля ^

Д^О А^еК = ^ = ±1 уеЖ+ с,АеЮ Ж = х1+гх2еС

9 9 9 9 9 9 3

ах2 ах1

Параграф 2 посвящён изложению теоретических и практических методов и приёмов исследований, используемых в диссертации.

Определение адиабатических инвариантов - величины, медленно меняющиеся с течением времени:

Пусть F(x),xefK2 - функция на фазовом пространстве. Тогда определено

временное среднее указанной функции вдоль орбиты динамической системы в дискретном времени:

F.M^tHs'M)-

п м

Пусть х0 - точка периодической орбиты с периодом N, тогда: если n = kN, то Fn(x0) = ^F(g^ (*„))** = (*„));

если п Ф kN, то п = kN + q , где 0<д < N, тогда

¿¿'И*»

Анализ адиабатических инвариантов позволяет получить численные оценки макрохарактеристик динамики ансамблей частиц.

Абсолютную температуру ансамбля можно ввести с помощью распределения Больцмана-Гиббса, вычисляя площадь области отталкивания (притяжения) асимптотически (не) устойчивых орбит

S(n) ~ Cond • епЁ/кТ,

где S(n) - площадь одной из примерно равных П областей

(£,jU « 1), Е - средняя энергия, Г - абсолютная температура, к - подгоночный параметр.

Давление в адиабатическом приближении можно оценивать с помощью соотношения

SA-pöV = О,

где SA - работа сил диссипации вдоль периодической орбиты, а SV-пропорционально среднему якобиану вдоль периодической орбиты (хорошо определено и для гиперболических орбит).

Для состояний типа «out» температура возрастает на 2-^-3 порядка, давление падает на 2 -г- 3 порядка.

Для анализируемой динамики ансамбля частиц мы в состоянии вычислить аналог числа Рейнольдса, как отношение средних сил давления к средним сил вязкости вдоль периодической орбиты. Для состояний

типа «out» число Рейнольдса падает на 3 -г- 5 порядков с ростом периода. Соответствующие иллюстрации приведены на рис. 5.

1.5*10* 1,0x10* -5.0*10* ■ : 0,0 " -5.0*10' •1,0*10*-И.бкЮ*-

hyperbolic

bypertxjlic

........-С.'

г,о*1 о4 4,0*10"* в,о*ю*

В_mean

г.......

6,0хЮ*

1,0*104 1.5*10"* 2,0*10

xx_mean

Рис.5. Зависимость числа Рейнольдса от средней энергии отдельного состояния "in", "out", hyperbolic.

Рис.б. Зависимость геометрического центра от «центра тяжести»

состояний "in", "out", hyperbolic

hyperbolic

1,0x10* 1,5*104

xx mean

е,0х«4

§ 4.0*

2,0x104

0.01.0*10'

hyptibolic

1,2x10"' 1.4x10' 1.6*10"' x_ampl

Рис.7. Зависимость амплитуды от «центра тяжести» состояний "in", "out", hyperbolic.

Рис.8. Зависимость средней энергии от амплитуды состояний "in", "out", hyperbolic

В параграфе 3 приводятся основные результаты исследования адиабатических инвариантов на основе вышеизложенных приёмов и методов реализации численных исследований в слабо-диссипативной KAM. На рис. 9,10,11 приведены зависимости средней энергии от периода орбиты, температуры от периода, коэффициента теплоёмкости от коэффициента теплопроводности.

7,7*10* 7,6*104 7,5*10* 7,4*10'* с 74*10'*

I 7.2x1а* •

7,1*10'* 7,0x10* 6.8*10* 6.6И0'1

ог.е

йг.5

Ог, 4 в г. Э

«хю* »,0*10*

б,6x10* : 4,6x10"1 ^ 6,4*10*

в,2*10* 6,0*10*7,8*10''

(к.з • Сг.2

4.0*10' 6,0*10* п_р_с

6,0*10* 1,0*10*

2*10* 3*10* 4*10*

п_р_е

Рис. 9. Средние значения энергии Е по вертикальной оси в зависимости от периода орбиты.

На рис. 10 указана зависимость температуры от периода. На рис. 11. указана зависимость коэффициента теплоемкости от коэффициента теплопроводности.

1,0*10* 6,оно*

д 6,0x10* I 4.0*10* 2.0*10*■ 0,0

Рис. 10.

0,00 7,50*10* 1,50*10* 2,25*10* 3,00*10* 3.75*10*

Рис. 11.

На рис. 12,13 и 14 приведены изотермы, изохоры и изобары вышеуказанных состояний.

Р_$1 Тетрег. 1-10

1,0*1 о4

У658

1,4x10* 1,2*10"" 1,0*10 6.0*10

| 6,0*10 е

4,0*10 2,0*10

р_81 Vвsa 6.0Е-12 - 2.0Е-11

о.о 2.0*10' 4,0*10' 8.0x1 о' 6.0x10' 1,0*10* 1,2x10* 1.4*10* 1,8*10* Тетрв1\

Рис. 12. Р-У-диаграмма.

Рис. 13. Р-Т-диаграмма. 21

1,0X10* • 6,0*10"" 9.0x10" > 4,0x10" • 2.0*10" 0,0'

? Ргм. 2.0Е-5 - 6.0Е-5

1*10* 2*10* 3x10* 4*10*

Тетрег.

Рис. 14. У-Т-диаграмма.

8 гв«лз

' = ' 5 ! 1 ¡. ' "

о.'о

К;, г^ояр^л^хт я

Рис. 15.

* -2,0x10* |

£ -3,0*104

1x10* 2*10" 3x10* 4*10*

^трвгв^га

2,0*10* 1,8*1О4 1,8*10* 1,4х | 1.2*10 | 1,0x10

1x10* 2*10* ЗхЮ* 4*10* 5*10* в*«* (етрвгаАл!

Рис. 16.

На рис. 15, показана зависимость среднеквадратичного уклонения коэффициента теплопроводности от теплопроводности. В тексте диссертации приведены зависимости от амплитуды и центра тяжести. Рис. 16 иллюстрирует зависимость коэффициентов теплоёмкости от температур.

Глава третья посвящена рассмотрению примеров прикладных задач, в которых результаты выполненных исследований предоставляют новые возможности интерпретации и изучения экспериментальных данных с целью прогнозирования свойств материалов в инновационных разработках. В отобранных примерах реализуются вихревые движения частиц или их ансамблей, рассмотренных во второй главе диссертации.

Параграф 1 главы третей посвящён изложению связи исследований с классической установкой, называемой «трубой Ранка».

Изложенный выше одномерный пример динамики пробной частицы в подходе слабо-диссипативной версии теории Колмогорова-Арнольда-Мозера показывает, по крайней мере, несколько особенностей выхода на странный аттрактор, которые ускользали от внимания в предшествующие годы:

A) Странный аттрактор (конечномерный) в нелинейном случае может «одеваться» мелкомасштабными асимптотическими устойчивыми вихрями, что препятствует получению традиционных академических асимптотических оценок сходимости, но взамен даёт более реалистичную картину развитых течений жидкости (или газа).

Б) Динамика на асимптотически устойчивом конечномерном аттракторе помимо гиперболических компонент аттрактора может иметь макро (микро) устойчивые структуры в достаточном количестве для создания условий диссипации энергии в процессе транспорта жидкости (или газа).

B) Появление асимптотически устойчивых мелкомасштабных структур показывает трудности восстановления динамики в численных расчётах (шаг решётки как минимум должен быть меньше масштабов такой структуры, что ведёт к необходимости динамической адаптации сетки в расчётах).

Г) Мелкомасштабные асимптотически устойчивые структуры с учётом их статистического веса (экспоненциально затухающего) могут правильно оцениваться при моделировании шума измеряемого сигнала.

Д) Наконец отметим, что изменение знаков параметров и фазовых координат обращают динамику. Поэтому, вышеизложенное можно применить к сценарию возникновения турбулентности.

Интерпретация основного отображения (1) в качестве отображения последова-ния Пуанкаре вдоль инвариантной кривой динамической системы в непрерывном времени позволяет распространять результаты исследования на нестационарные потоки жидкости или газа вдоль оси движения. Именно такая ситуация возникает в трубе Ранка. В результате расчётные величины адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной модели Колмогорова-Арнольда-Мозера, изложенные во второй главе, позволяют оценивать физические параметры эффектов прохождения газа в трубе Ранка.

Рис. 17. Температура газа на выходе из ВТ

В частности, мы представляем возможность сравнить экспериментальные и расчётные данные для зависимости температуры от расхода газа. Расчётные данные на рисунке 18 и 20 охватывают большой диа-

ДТ1 60 50 40 30 20 10 О 10 20 30 дТ2

- /

У /■--

2 0 А 0 4 I ¿В -

пазон рабочих давлений. На расшифровке рисунков 18 и 20 - рисунках 19 и 21 выделены более узкие «коридоры» рабочих давлений. Часть таких данных качественно совпадает с указанными экспериментальными.

На рис. 18 показана рассчитанная зависимость температуры от расхода, на рис. 19 - в выбранном диапазоне давлений (состояния «оиЬ>).

^ 2« IS

¡¡>!J

Рг. 0.002 -1 .ОЕ-6 Gr.5,F_st

Рг 0.002-0,0026 Or.5,F_st

ол s.p»«о* 1Л»1о! i,5i ю с.611 о! :.«на; 3,i?i ю' »чо' Rasxod

Рис. 18. Рис. 19.

На рис. 20 показана рассчитанная зависимость температуры от расхода, на рис. 21 - в выбранном диапазоне давлений (состояния "т").

Рг. 0.003-0.004 О г.5,F ust

ОЛ R,OJIÖ t.о*Iо' I,5HO* 2.0« т* г.гно4 jmie! j ,«/{«"

:ooo ioss *ooo »we 10«« чооо möos ismq

Рис.20. Рис.21.

В параграфе 2 рассматривается задача возникновения микроразрушений металлического стержня при циклическом нагружении.

Описывается экспериментальная установка по исследованию микроразушений металлического стержня при циклическом нагружении. Для интерпретации экспериментальных данных в рамках слабо-диссипативной теории KAM предлагается учесть кооперативные процессы при транспорте, в частности, электронного газа. Особенностью рас-

Рис. 22. Структура подповерхностного слоя образца отожженного сплава ВТ-6 после наработки 25% долговечности: а) ХЗО; продольные макротреши-ны, б) Х300; система продольных и поперечных микротрешин; в) Х5000; распространение трещин по границе а - фазы.

" оси» образца,

смотрения является учёт дефектов в твёрдом теле, которые могут быть дислокациями, дисклинациями или рёбрами плоскостных дефектов.

Анализ использует уравнения в частных производных для «быстрых» и «медленных» эффективных полей дислокаций, дополненных точечными источниками и стоками соответствующих полей.

Для указанных уравнений в частных производных стоятся автомодельные решения, описывающие асимптотики дислокаций. Именно эти автомодельные решения и показывают возможность использования результатов главы второй для оценки физических параметров материала в рамках слабо-диссипативной KAM. В частности, приводимые микрофотографии срезов образца обнаруживают как каверны, обязанные локальному разогреву образца, так и микросколы, обязанные охлаждению

Рис.23. Микроструктуры магния после циклического кручения с деформацией в цикле 1,6% и частотой 3 гц на различных стадиях до разрушения (слева направо).

Результат второй главы объясняет возникновение таких аномалий температуры и давления в терминах состояний «in», «out» слабо-

диссипативной теории KAM. Необходимые подробности излагаются в тексте параграфа 2 главы 3.

Основные результаты диссертационной работы.

2. Получено описание зависимости от периода периодического движения таких адиабатических инвариантов динамики пробной частицы в окружающей среде, как полная и кинетические и потенциальные составляющие энергии частицы, средняя длина пробега, статистический вес квазиравновесных состояний и т.д. В соответствии с топологией периодической орбиты в фазовом пространстве такие инварианты показывают «насыщение», т.е. выход на постоянные асимптотические значения. «Хаотическое» поведение решений в области стохастической диффузии Арнольда по прошествии конечного времени может сопровождаться «фокусировкой» в соответствии со статистическим весом состояний «out». В области периодов порядка 103 -*-104 наблюдается фазовый переход 1-го рода: точка перегиба абсолютной температуры и скачок производной давления. Заселение высоко периодичных состояний (в отличие от принципа Паули) обязано падению давления в соответствующих энергетических уровнях состояний «out».

3. Предложены новые механизмы возникновения микрозон в окружающей среде с физическими параметрами на 2 или 3 порядка выше нормальных параметров. В качестве параметров здесь фигурируют температура, давление, коэффициенты теплопроводности, теплоёмкости и т.п. Одним из наиболее известных практических примеров указанных явлений является движение газа в трубе Ранка, использованное П.А. Капицей в нижних каскадах установок для ожижения гелия.

Струйные течения в окружающей сплошной среде могут отвечать динамике уравнения Ньютона с походящей дискретизацией для учета молеку-лярно-кинетической теории, лежащей в основе представлений о строении вещества.

Расчётные данные качественно совпадают с экспериментальными. Список публикаций по теме диссертации:

1. Богданов Р.И., Богданов М.Р.Новый механизм атомистического разрушения. Тезисы докладов Международного научного симпозиума по

проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. М.: Изд-во МГУ, 2006г., с.53-54.

2. Богданов Р.И., Богданов М.Р. , Нагорных С.Н. Механизм разрушения на локальных разогревах при циклическом кручении стержней. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III, Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2006, с.40.

3. Богданов Р.И., Богданов М.Р. , Нагорных С.Н. Новая природа шума термостимулированной электронной эмиссии со стержней при циклическом кручении. Тезисы докладов XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, М. 30 мая-1 июня 2006г. М.: Изд-во МГУ, 2006г., с.ЗЗ.

4. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Спектральные данные в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Тр.сем. «Время, хаос и математические проблемы». Вып.4 / Составители А.И. Козко, A.C. Печенцов. - М.: КДУ, 2009, с. 215-220.

5. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию. Научный вестник МГТУ ГА, серия «Математика и физика», 2007, с. 50-55.

6. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Турбулентность в рамках слабо-диссипативной версии теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Сборник тезисов международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского, Москва, 2126 мая 2007, с. 43-45.

7. Богданов Р.И.,. Богданов М.Р. Статистики энергетических уровней при транспорте электронного газа. Тезисы докладов XXXVII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, Москва, 29-31 мая 2007, с. 10

8. Богданов Р.И. Богданов М.Р. Турбулентность в рамках слабо-диссилативной версии теории KAM. Тезисы докладов международной конференции «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда 20-24 августа Москва 2007, с. 35-38.

9. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Термодинамика турбулентности в слабо-диссипативной версии теории KAM. Сборник трудов IV международной научно-практической конференции Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов», Москва, 5-7 июня 2007, МГУ ИЭ 2007, с. 357-369.

10. R.I. Bogdanov, S.N. Nagornykh and M.R. Bogdanov. New Nature of the Noise of Thermally Stimulated Electron Emission from Rods under Cyclic

Torsion.: Journal of Surface Investigation, X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 2007, c. 157-166.

11. Богданов Р.И., Богданов M.P. Теплопроводность при транспорте электронного газа. // Тезисы докладов XXXVIII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Под редакцией проф. А.Ф. Тулинова. М: Университетская книга, 2008, с.36

12. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Статистики в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения A.C. Понтрягина, Москва, 17-22 июня 2008. -М: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008, с. 100-101.

13. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Свойства странного аттрактора в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Труды международной конференции «DIFF2008», 27 июня - 1 июля 2008. Суздаль - Владимир, Владимирский государственный университет, с. 54-55.

14. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: теория и практика расчетов. // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2008, т. 48, №3, с.73-90.

15. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. //ДАН. 2008, т.418, №6, с. 754-758.

16. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики струйных течений в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. //ДАН. 2008, т.423, №5, с. 1-4.

17. Генералов М.Б., Нагорных М.Б., Богданов М.Р., Богданов Р.И., Митрофанов A.B. Механизм микроразрушения в слабодиссепативной КАМ-теории. Сб. научных трудов МГУ ИЭ «Механика. Теплофизика. Экология», вып. 3,2006, М.: Издательский центр МГУ ИЭ, с. 3-38.

Типография МГУ 119991, ГСП-1, г. Москва, Ленинские Горы, д.1, стр.15 Заказ № 1325 Тираж 100 экз.

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Богданов, Михаил Рифкатович

Введение.

Глава 1. Слабо-диссипативная КАМ, теория почти открытых систем.

§1. Простейшие примеры динамических систем со стохастическими свойствами решений.

1.1. Критические величины нестационарных процессов.

1.2. Классическая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера.

1.3. Система Лоренца.

1.4. Система Хенона-Хейлеса.

1.5. Пример Хенона.

1.6. Одномерный пример Фейгенбаума.

§2. Пример слабо-диссипативной версии теории КАМ.

2.1. Коразмерность вырождения.

2.2. Динамические системы в дискретном времени.

2.3. Динамика движений в динамических системах с непрерывным временем.

§3. Теоретические основы вычислительных методов анализа адиабатических инвариантов.

3.1. Локализация решений уравнения (3.2).

3.2. Продолжение усов сепаратрис гиперболических периодических орбит отображения g.

3.3. Площадь захвата асимптотически (не)устойчивых орбит.

3.4. Оценка погрешностей вычислений.

Выводы.

Глава 2. Адиабатические инварианты основного отображения.

§1. Адиабатические инварианты дискретной модели.

1.1. Периодические орбиты.

1.2. Линеаризация автономных систем в непрерывном времени.

1.3. Динамические системы с дискретным временем.

§2. Теория и практика численных расчётов.

2.1. Адиабатические инварианты в дискретном времени.

2.2. Слабо-диссипативная версия теории КАМ.

2.3. Анализ модели.

2.4. Геометрия структур.

2.5. Компьютерная реализация модели.

2.6. Требования к программе.

2.7. Специфические особенности.

2.8. Арифметические модули.

2.9. Модули, поддерживающие базу данных.

§3. Термодинамическая интерпретация подходящих адиабатических инвариантов.

3.1. Диаграммы термодинамических характеристик.

3.2. Флюктуационный анализ.'.

3.3. Новое квазиклассическое приближение к квантовой механике.

Выводы.

Глава 3. Примеры прикладных задач слабо-диссипативной КАМ.

§ 1. Труба Ранка.

1.1. Постановка задачи исследования кинематических характеристик движения газа в трубе Ранка.

1.2. Обзор методов расчета вихревого эффекта.

1.3. Кинематика относительного движения в трубе Ранка.

1.4. Слабо-диссипативная модель движения пробной частицы в трубе Ранка.

§2. Новая природа шума термостимулированной электронной эмиссии со стержней при циклическом кручении.

2.1. Экспериментальные данные и модель их описания.

2.2. Описание динамических структур пластической деформации металлов и сплавов с помощью частных решений.

2.3. Новая природа шума в слабо-диссипативной К AM.

Выводы.

Введение 2010 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Богданов, Михаил Рифкатович

Актуальность темы.

Нелинейные модели математической физики привлекают внимание в последние десятилетия в связи с развитием наукоёмких приложений. В частности, все промышленно развитые страны объявили о развитии национальных программ в области нанотехнологий вплоть до 2018-2020 гг. с впечатляющими объёмами финансирования. В основе такого современного состояния научных исследований, несомненно, находится широкое распространение компьютерных средств, позволяющих развивать изучение задач, трудных для аналитического исследования.

Уместно отметить монографию [133], где описаны качественные результаты по анализу развитой турбулентности с привлечением широкого перечня численных экспериментальных данных, выполненному А.Н. Колмогоровым и повлекшему развитие исследований, впоследствии оформившихся в теорию Колмогоро-ва-Арнольда-Мозера. Для анализа и формулировки выводов работы понадобилось развитие классических методов теории вероятностей и статистики.

Турбулентный режим, возникающий в транспортных процессах газофазных смесей, жидких сред, а так же мелкодисперсных сыпучих веществ представляет большой интерес в связи с разработкой современных новых приборов и наукоёмких производственных технологий. Совершенствование измерительных методов и приборов требует рассмотрения процессов транспорта электронов, фононов, экси-тонов и дислокаций дефектов в твёрдых телах. Для этого необходимо соответствующие теоретические модели, допускающие цифровую обработку на современных ЭВМ с целью оценки физических и геометрических параметров исследуемых процессов, т.е. необходимы новые подходы и развитие статистических и вероятностных моделей в сочетании с современными представлениями теории динамических систем.

В диссертационной работе представлены результаты исследования в вышеназванных подходах динамики частиц в модели «Bogdanov-map» (см. [1]), восходящей к бифуркации Богданова-Такенса (см. [36]-[65]) на основе систематического численного анализа адиабатических инвариантов динамики, допускающих физическую интерпретацию. В заключение отметим большое количество информации, привлекаемой к анализу динамики: порядка 1000 квазиравновесных состояний транспортируемых частиц ансамблей и порядка 20 физических характеристик, относящихся к квазиравновесному состоянию при фиксированных значениях входных данных модели. Это обуславливает необходимость создания и реализации соответствующих программных комплексов для использования современных мощностей ЭВМ с целью, в частности, исследования изменений свойств модели при различных входных данных. Цель работы.

Создать аналитическую модель и реализовать программные средства для оценки механических, физических, геометрических и термодинамических параметров вихревых движений разреженных потоков частиц с целью их использования для разработки средств и систем неразрушающего контроля веществ и материалов с улучшенным характеристиками.

Определить физические свойства квазиравновесных состояний в модели «Bogdanov-map», состояний рассеяния, в том числе на основе получения численных значений адиабатических инвариантов динамики, имеющих физическую интерпретацию с использованием методов статистической механики и физики.

1. Постановка задачи математического моделирования.

Разработка новых фундаментальных основ исследования динамики пробных частиц в окрестности странного аттрактора на примере отображения фазовой плоскости на себя, называемого в литературе "Bogdanov-map", с учётом новых результатов теории динамических систем: а) развитие методов визуализации стохастических и регулярных структур в фазовом пространстве с целью вычисления периодических орбит основного отображения, а также их геометрических характеристик, и их программная реализация на ЭВМ; б) разработка фундаментальных основ отбора и методов оценки временных средних динамической системы на плоскости в дискретном времени, допускающих интерпретации в рамках понятий математической физики, статистической в том числе; в) разработка и обоснование алгоритмов расчёта временных средних с помощью адиабатических инвариантов динамики с целью перехода от микромодели динамики к макропараметрам классической термодинамики; г) программная реализация на ЭВМ разработанных алгоритмов с целью получения численных оценок параметров динамики; д) связь результатов расчётов с подходящими литературными данными;

2. Физическая постановка задачи - моделирование движения пробной частицы в окружающей сплошной среде.

Предполагается, что частица движется свободно (прямолинейно с постоянной скоростью) в течение постоянного пролётного времени At, по истечении которого она перерассеивается с учетом поля внешних сил. Внешние силы представляют собой потенциальную составляющую, отвечающую ангармоническому потенциалу на прямой и слабо-диссипативное аддитивное возмущение, представляющее собой силу трения с коэффициентом трения, являющимся аффинной функцией на прямой. Свободный член аффинной функции отвечает кинематической вязкости, а линейный член может в подходящих случаях интерпретироваться в качестве результата процесса теплообмена частицы с окружающей средой по закону Фурье.

3. Математическая постановка задачи — изучение отображения фазовой плоскости на себя, имеющее вид: *„ + уп+1 5 где к 6 ~ 1 (Г5 - парамет У„ + к ■ х„ (1 - хп )+{е + их„)у„ ры отображения, {хп,уп) отвечают точке перерассеяния пробной частицы.

4. Прикладная постановка задачи.

При анализе движения в сплошной среде волн возбуждения (экситонных, фо-нонных, дислокаций дефектов), ударных волн в газовых средах важной задачей является описание механизмов захвата частиц окружающей среды и расчёт физических параметров соответствующих кинетик в транспортных процессах. В частности, можно рассматривать вихревые движения вдоль прямолинейной оси (труба Ранка), вихревые движения вокруг циклически замкнутой оси или движения частиц вдоль плоскости дислокаций в твёрдом теле, струйные течения в жидкости или газе и т.п.

Получить следствия для прикладных задач механики разрушений, развитой турбулентности в вихревых движениях газовых, жидких и мелкодисперсных порошковых сред. Методы исследования.

В работе используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений для обоснования модели, классификации типов квазиравновесных состояний (см. [14]-[25]). Численная реализация метода Ньютона решения нелинейных функциональных уравнений для вычисления статистически значимого набора квазиравновесных состояний динамики в изучаемой модели (см. [30]-[34], [111], [121], [134]). Вычисление адиабатических инвариантов квазиравновесных состояний, позволяющих оценивать температуру, давление, число Рейнольдса, коэффициенты теплоёмкости и теплопроводности (см. [27], [97]-[99], [122]). Интерпретация численных результатов с помощью методов математической физики (см. [71], [74], [81], [86], [89]-[91], [98]). Научная новизна.

Получены новые важные результаты о физических параметрах квазиравновесных состояний динамики ансамблей частиц при транспорте в окружающей сплошной среде: распределение чисел Рейнольдса, квазистационарные уровни энергии, распределение давлений, теплопроводности и теплоёмкости. Полученные результаты показывают уточнённые новые сценарии перехода к развитой турбулентности, механике микроразрушений на атомном уровне и т.п. и позволяют прогнозировать свойства материалов для создания новых приборов и методов неразрушающего контроля объектов исследования, а так же улучшать их характеристики.

Практическая и теоретическая ценность.

В диссертационной работе предложены новые методы оценки физических параметров потоков частиц на основе адиабатических инвариантов динамики в рамках слабо-диссипативной версии теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Впервые исследовано возмущение сил ангармонического потенциала на прямой силами малой вязкости переменного знака. Результаты доведены до конкретных числовых величин таких физических параметров квазиравновесных состояний динамики как потенциальная энергия, кинетическая энергия, длина свободного пробега, статистики периодов движения, распределение чисел Рейнольдса в зависимости от периода, коэффициентов теплоёмкости и теплопроводности, а также давления. Получены изохоры, изобары, изотермы соответствующих состояний.

По сравнению с предыдущими исследованиями, например эргодической теорией, предложены и реализованы на компьютерной базе методы анализа модели, сочетающей как стохастические, так и регулярные составляющие динамики, что определяет направления дальнейшего развития традиционных подходов теории динамических систем, вероятностей, стационарных случайных процессов как в теоретических, так и в компьютерных разработках.

Перечисленные результаты в приложениях позволяют оценивать эффекты нелинейной динамики в самоорганизующихся структурах с оценкой числа частиц в ансамбле. В частности, результаты работы позволяют повышать эффективность дожигания отходов как бытовых, так и в двигателях внутреннего сгорания; каскадов ожижения газа на основе эффекта Ранка; препятствовать возникновению микроразрушений и микродефектов в используемых материалах. Положения, выносимые на защиту:

Моделирование динамики частицы в окружающей сплошной среде требует рассматривать аддитивные слабо-диссипативные возмущения гамильтоновых систем, причём возмущающие добавки могут являться силами возбуждения. В одномерном случае общего положения простейший пример, проявляющий как стохастические, так и регулярные свойства самоорганизующихся структур, даётся отображением Богданова. Отображение Богданова отвечает динамике уравнения Ньютона с походящей дискретизацией для учета молекулярно-кинетической теории, лежащей в основе представлений о строении вещества.

С этой целью:

2. Основным результатом второй главы является описание зависимости от периода периодического движения пробной частицы в окружающей среде таких адиабатических инвариантов динамики, как полная, кинетическая и потенциальная составляющие энергии частицы, средняя длина пробега, статистический вес квазиравновесных состояний и т.д. В соответствии с топологией периодической орбиты в фазовом пространстве интенсивные адиабатические инварианты показывают «насыщение», т.е. выход на постоянные асимптотические значения; экстенсивные (кумулятивные) показывают линейный рост в зависимости от периода. В результате впервые получено и проанализировано большое количество квазиравновесных состояний (~ю3) и их физико-механических характеристик (~ i о4 ) с учётом их взаимных зависимостей.

Для получения указанных результатов развиты, обоснованы и программно реализованы:

Хаотическое» поведение решений в области стохастической диффузии Арнольда по прошествии конечного времени может сопровождаться «фокусировкой» в соответствии со статистическим весом состояний «out», что и приводит к самоорганизации устойчивых структур в транспортных процессах. В области периодов порядка ю3^ю4 наблюдается фазовый переход 1-го рода: точка перегиба абсолютной температуры и скачок производной давления. Заселение высоко периодичных состояний обязано падению давления в соответствующих энергетических уровнях состояний «out».

3. Основным результатом третьей главы является предложение новых механизмов возникновения микрозон в окружающей среде с физическими параметрами на 2 или 3 порядка выше нормальных параметров. В качестве параметров здесь фигурируют температура, давление, коэффициенты теплопроводности, теплоёмкости и т.п. Одним из наиболее известных практических примеров указанных явлений является движение газа в трубе Ранка, использованное П.А. Капицей в нижних каскадах установок для ожижения гелия. Для современных технологий полученные оценки параметров позволяют прогнозировать динамические эффекты, позволяющие повышать информационную и метрологическую надёжность приборов и средств контроля в процессе эксплуатации и диагностики приборов контроля. На примере возникновения и развития дефектов при циклическом нагружении металлических стержней получено качественное согласие с возникновением каверн, обязанных повышению температуры, а также микросколов, обязанных понижению температуры, в образце.

В результате предложены новые механизмы возникновения микроразрушений в твёрдом теле. , , Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006г.; IX Всероссийский съезд по - теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, 2006г.; XXXVI Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 30 мая-1 июня 2006г.; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г. Петровского. -М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 21-26 мая 2007г.; XXXVII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 29-31 мая 2007г.; IV Международная научно-практическая конференция «Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов». - М.: МГУ ИЭ, 5-7 июня 2007г.; Международная конференция «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда. -М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 20-24 августа 2007г.; IX Международный симпозиум «Инженерные и технологические исследования для устойчивого развития». - М.: МГУ ИЭ, 21-24 ноября 2007г.; Научная конференция студентов, магистрантов и аспирантов МГУ ИЭ - М.: МГУ ИЭ, 15-18 апреля 2008г.; Международная научно-техническая конференция «Экологические проблемы индустриальных мегаполисов» Донецк-Авдеевка. - Донецк: ДонНТУ, 21-23 мая 2008г.; XXXVIII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008г.; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 17-22 июня 2008г.; Международная конференция «DIFF2008». Суздаль - Владимир, Владимирский государственный университет, 27 июня - 1 июля 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведён в списке литературы в конце диссертации. Личный вклад автора в проведении исследований и получении результатов заключается в предложениях по вычислению адиабатических инвариантов в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ, а так же их физико-механических или термодинамических интерпретациях. Наряду с этим также автором предложены подходы сравнения расчётных данных с экспериментальными. С этой целью автором выполнена большая работа по разработке алгоритмов выполняемых расчётов и их программной реализации, а также выполнены необходимые практические вычисления с последующей подготовкой иллюстраций в виде графиков взаимозависимостей адиабатических инвариантов. Объём и структура диссертации.

Заключение диссертация на тему "Компьютерное моделирование адиабатических инвариантов в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера"

Основные результаты диссертации.

1. Обосновано моделирование динамики частицы в окружающей сплошной среде, которое требует рассматривать слабо-диссипативные возмущения гамильтоновых систем, причём добавки могут являться силами возбуждения. Вихревые движения ансамблей частиц в сплошной среде описываются одномерным движением вблизи оси вихря. В одномерном случае простейший пример даётся отображением Богданова. В диссертационной работе:

A) выполнен анализ литературных низкоразмерных моделей динамики, проявляющих стохастические свойства движений в детерминированных динамических системах, которые либо имеют малое число стационарных точек, либо постоянные коэффициенты трения, в результате обоснована необходимость рассмотрения сил диссипаций с переменным знаком для рассмотрения как регулярных, так и стохастических режимов динамики;

B) сформулирована задача нахождения периодических решений в дискретной модели и исследования дискретных инвариантов динамики, сочетающих как источники частиц так и стоки, наряду с рассеивающими квазистационарными режимами динамики.

2. Основным результатом второй главы является описание зависимости от периода периодического движения пробной частицы в окружающей среде таких адиабатических инвариантов динамики, как полная и кинетические и потенциальные составляющие энергии частицы, средняя длина пробега, статистический вес квазиравновесных состояний и т.д. В соответствии с топологией периодической орбиты в фазовом пространстве интенсивные адиабатические инварианты показывают «насыщение», т.е. выход на постоянные асимптотические значения; экстенсивные (кумулятивные) показывают линейный рост в зависимости от периода, в результате которых впервые получено и проанализировано большое количество квазиравновесных состояний (~103) и их физико-механических характеристик 104) с учётом их взаимных зависимостей.

Для получения указанных результатов развиты, обоснованы и программно реализованы:

Хаотическое» поведение решений в области стохастической диффузии Арнольда по прошествии конечного времени может сопровождаться «фокусировкой» в соответствии со статистическим весом состояний «out», что и приводит к самоорганизации устойчивых структур в транспортных процессах. В области периодов порядка ю3 -ню4 наблюдается фазовый переход 1-го рода: точка перегиба абсолютной температуры и скачок производной давления. Заселение высоко периодичных состояний обязано падению давления в соответствующих энергетических уровнях состояний «out».

3. Основным результатом третьей главы является предложение новых механизмов возникновения микрозон в окружающей среде с физическими параметрами на 2 или 3 порядка выше нормальных параметров. В качестве параметров здесь фигурируют температура, давление, коэффициенты теплопроводности, теплоёмкости и т.п. Одним из наиболее известных практических примеров указанных явлений является движение газа в трубе Ранка, использованное П.А. Капицей в нижних каскадах установок для ожижения гелия. Для современных наукоёмких нанотехнологий полученные оценки параметров позволяют прогнозировать динамические эффекты, позволяющие повышать информационную и метрологическую надёжность приборов и средств контроля в процессе эксплуатации и диагностики приборов контроля. На примере возникновения и развития дефектов при циклическом нагружении металлических стержней получено качественное согласие с возникновением каверн, обязанных повышению температуры, а также микросколов, обязанных понижению температуры, в образце.

Качественный вывод заключается в предложении новых механизмов возникновения микроразрушений в предположении применимости изучаемой модели к транспортным процессам движения частиц, дислокаций в твёрдом теле или в газовой среде.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Гданскому Н.И. за постановку задачи, постоянные консультации в ходе выполнения работы, а также сотрудникам НИИЯФ МГУ им. М.В. Ломоносова Тарасову Ю.И., Сухаревскому В.Г. за полезное обсуждение.

Заключение.

Библиография Богданов, Михаил Рифкатович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov Map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system. 1.ternational Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, N.4, 803-842.

2. Ranque G.J. Experiences sur la Detente Girataire avec Productions Simultantts d'un Echappement d'Air chand et d'Air froid // Journal de Physique et le Radium Suppl.-1993.-V.7.-№4.-p.l 12.

3. Bogdanov R.I., Nagornykh S.N. and Bogdanov M.R. New Nature of the Noise of Thermally Stimulated Electron Emission from Rods under Cyclic Torsion.: Journal of Surface Investigation, X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 2007, c. 157-166.

4. Bohun A., Czechosl. J. Phys., 5, 224, 1953.

5. Dynamic System and Turbulence, Warwick 1980. Proceeding. Editing by D. Rand and L.S. Young. Lecture Notes in Math., 390 p.

6. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformation/ J/ Stat. Phys., 1978, P. 19-25.

7. Griffith A.A. Philos. Trans. Roy. Soc., 1920, A221, p.163.

8. Henon M, Heiles. The Applicabiliti of the Third Integral of the Motion: Some Numerical Results. Astron.J. 1964, P. 68-73.

9. Henon M. A Two-dimensional Mapping with a Strange Attractor. Comm. Math. Phys., 50, 1976, P. 69-77.

10. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow//J. Atmos. Sci. 20. 1963. P. 130-141.

11. Nagornykh S.N. 4th international symposium on exoelectron emission and dosimetry. Liblice, 1973.

12. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. М.: Наука, 1983.279 с.

13. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ./Сост. М. Ван Дайк. М: Мир, 1986 г, 184 с.

14. Андронов А.А., Леонтович В.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем. М., 1966.

15. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости периодических движений от параметра. // Уч. зап. ГГУ, 1939 ,вып. 6, с. 3.

16. Андронов А. А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Май ер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М. : Наука, 1967.

17. Андронов А.А., Хайкин С.Э., Витт А.А. Теория колебаний. М.: Физмат-гиз,1959.

18. Аносов Д.В.//ДАН СССР, 1962,т.145, с.707

19. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны//Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. М.: Наука,1967. Т. ХС.

20. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Гринес В.З. Гладкие динамические системы. II. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. Т.1 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ.). М. 1985, с. 151-242.

21. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — В Динамические системы I. М.: ВИНИТИ, 1985.

22. Арнольд В. И. Обыкновенные дифф. уравнения. — М.: Наука, 1975.

23. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. УМН 27, 5 (1972), с. 119-184.

24. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.

25. Арнольд В.И. Особенности, бифуркации и катастрофы // УФК 1983. Т. 141, вып. 4. С 369-590.

26. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 1999, 284 с.

27. Атомистика разрушения. Сб. статей 1983-1985гг. /сост. Ишлинский А.Ю. -М.: Мир, 1987-248с.

28. Атомная структура межзеренных границ / Пер. с англ. под ред. А.Н. Орлова. М.: Мир, 1978.291с.

29. Белоцерковский О.М., Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент. М.: «Янус-К»,2000, 456с.

30. Белоцерковский О.М., Опарин А.М, Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002, 286 с.

31. Беренблатт Г.И, Ботвина ДР. Методы подобия в механике и физике разрушения // Физ.-хим. механика материалов. 1986. Т. 22, вып. 1. С 57-62.

32. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.:Гостехиздат 1941.

33. Бовенко В.М. Основные положения автоколебательной модели предразру-шающего состояния твердых тел // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 5. G 1097-1101.

34. Богданов Р.И, Расторгуев В.А. Уравнение стохастической диффузии. М.: Изд-во МЭИ, 1997.

35. Богданов Р.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. Тр.сем.им.И.Г.Пет-равского,вып.2., М,МГУ, 1976,с.37-65.

36. Богданов Р.И., Гайдученко И.В., Расторгуев В.А., Тарасов Ю.И. Спектрометрия в слабо-диссипативной теории КАМ. Тр.семинара «Время, хаос и математические проблемы».//М: Книжный дом «Университет», 1999, с.203-223.

37. Богданов Р.И. Бифуркации предельного цикла одного семейства векторных полей на плоскости. Тр. сем. им. И.Г.Петровского, 2., М., МГУ, 1976, с. 23-35.

38. Богданов Р.И. Богданов М.Р. Турбулентность в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ. Тезисы докладов международной конференции «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда 20-24 августа Москва 2007, с. 35-38.

39. Богданов Р.И. Локальная орбитальная эквивалентность векторных полей на плоскости. М.: Изд-во МГУ, 1993.

40. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения (с решением проблемы Гильберта). М.: Вузовская книга, 2003.

41. Богданов Р.И. Приложения слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера//Препринт НИИЯФ МГУ 96-22/429. М.: "Принт", 1996.

42. Богданов Р.И. Садовничий В.А., Левин Г.Г., Булыгин Ф.Б., Богданов М.Р. и др. Отчет по НИР №02.513.11.3321, шифр «2007-3-1.3-07-13-005» , 2007, с. 1391.

43. Богданов Р.И. Уравнение теплопроводности. М.: Изд-во МГАПП, 1995.

44. Богданов Р.И. Факторизация диффеоморфизмов над фазовыми портретами векторных полей на плоскости. Функц. анализ и его приложения, т. 31, вып. 2, 1997, с. 67-70.

45. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики струйных течений в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. //ДАН. 2008, т.423, №5, с. 1-4.

46. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: теория и практика расчетов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008, т. 48, №3, с.73-90.

47. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. //ДАН. 2008, т.418, №6, с. 754-758.

48. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики транспортных процессов на наноуровне. Сб. трудов научной конференции студентов, магистрантов и аспирантов МГУИЭ, 15-18 апреля 2008. -М: МГУИЭ, 2008, с. 35-37.

49. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию. М: Научный вестник МГТУ ГА серия «Математика и Физика», №114, 2007, с. 50-56.

50. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Нагорных С.Н., Митрофанов А.В. Механизм микроразрушения в слабо-диссипативной КАМ-теории. Сб. научных трудов МГУ ИЭ «Механика. Теплофизика. Экология», вып.З, 2006, М.: Издательский центр МГУ ИЭ, с.3-38.

51. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Статистика в слабо-диссипативной версии теории КАМ. Сборник тезисов 9 международного Симпозиума «Инженерные и технологические исследования для устойчивого развития», Москва, 21-24 ноября 2007, с. 35-37.

52. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Новый механизм атомистического разрушения. Тезисы докладов Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М.: Изд-во МГУ, 2006г., с.53-54.

53. Богданов Р.И., Варнавин СВ., Нагорных С.Н. О динамических структурах при пластической деформации металлов и сплавов. //В сб. «Синергетика и усталостное разрушение металлов» М.: Наука, 1989, с. 171-176.

54. Богданов Р.И., Демин А.В., Курилов А.Н. Нелинейные оптические свойства гетерогенных тонких пленок в рамках слабо-диссипативной КАМ. М.: Сборник научных трудов МГУ ИЭ, вып. 2, стр. 40-97.

55. Богданов Р.И.,. Богданов М.Р. Статистики энергетических уровней при транспорте электронного газа. Тезисы докладов XXXVII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, Москва, 29-31 мая 2007, с. 10.

56. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Гостехиздат, 1946.120 с.

57. Бродянский В.М., Мартынов А.В. Зависимость эффекта Ранка-Хилыла от температуры. Теплоэнергетика, 1964, №6.

58. Брур Х.В., Дюмортье Ф., Сван Стрин, Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

59. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. Труды ММ0 25, 1071, с. 119-262.

60. Бурдыга Ю.Ю. Термомеханический метод в исследовании процессов в вихревой трубе: Дис. канд. техн. наук М, 2001, 169с.

61. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985,488 с.

62. Варнавин С.Б., Крупкин П.Л., Нагорных С.Н. Динамика ансамбля дислокаций: Методические рекомендации. Горький: ГГПИ, 1987.

63. Вилази Г. Гамильтонова динамика. —Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2006.

64. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидродинамики. М.: Наука, 1978.

65. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. М.: Металлургия, 1984.280 с.

66. Генералов М.Б., Богданов Р.И., Бурдыга Ю.Ю. Температурные эффекты в трубе Ранка. Сборник научных трудов МГУИЭ. Математика, механика, экология. Выпуск 2. М, 2003г.

67. Генералов М.Б., Нагорных М.Б., Богданов М.Р., Богданов Р.И., Митрофанов А.В. Механизм микроразрушения в слабо-диссипативной КАМ-теории. Сб. научных трудов МГУ ИЭ «Механика. Теплофизика. Экология», вып. 3, 2006, М.: Издательский центр МГУ ИЭ, с. 3-38.

68. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

69. Данилов О.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. М.: Наука, 1983, с. 5-16.

70. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа.

71. Иванова B.C. Механика и синергетика усталостного разрушения // Физ.-хим. механика материалов. 1986. Т. 22, вып. 1. С 62-68.

72. Иванова B.C.' Разрушение металлов. М.: Металлургия, 1979, 166 с.

73. Иванова B.C., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. М.: Металлургия, 1975, 239 с.

74. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. М.: Мир, 1987.

75. Кадомцев Б.Б. Self-organization and transport in tokamak plasma. Избранные труды. В 2 т., T.l -М: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.477.

76. КАМ-теории. Сб. научных трудов МГУ ИЭ «Механика».

77. Капица П.Л. Турбодетандер для получения низких температур и его применение для ожижения воздуха. Журнал технической физики. Т.9, вып. 2. с 99-123.

78. Капица П.Л. Научные труды. Физика и техника низких температур. — М.: Наука, 1989, 460 с.

79. Климонтович Ю.Л. // Статистическая физика-М.: Наука, 1982 с. 26-32.

80. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука, 1988.

81. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972.

82. Крылов А.Н. Собр. трудов. М.: Л.: Изд-во АН СССР, 1936-1956. Т. 1-12.

83. Кузнецов В.И. Теория и расчет эффекта Ранка. Омск: ОмГТУ, 1994. - 218с.

84. Куров И.Е., Киселев А.Б., Нагорных С.Н. Физические основы ползучести и длительной прочности металлов: Уч. пособие. Горький: ГГУ, 1983.

85. Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т.1. М.: «Наука», 1969 г.

86. Ландау Л.Д., Лифишц ЕМ. Статистическая физика. М.: Наука, 1976. Т. 1. 584 с.

87. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.К. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

88. Ляпунов A.M. Избранные труды. Л.: Изд-во АН СССР, 1948.

89. Map еден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения.1. М.:Мир, 1980.

90. Мартынов А.В., Бродянский В.М. что такое вихревая труба? М:Энергия, 1976.- 153с.

91. Мартыновский B.C. Циклы, схемы и характеристики термотрансформаторов. -М: Энергия, 1979.

92. Маслов В.П., Асимптотические методы. М: Изд-во МГУ, 1967, с. 113.

93. Митрофанов А.В., Бурдыга Ю.Ю. Термомеханическая интерпретация вихревого эффекта. Тезисы докладов научной конференции студентов и аспирантов факультета «Техника и физика низких температур». М: МГУИЭ, 2002.

94. Митрофанов А.В., Генералов М.Б., Богданов Р.И. Макрохарактеристики транспортных процессов в трубе Ранка. Интернет форум молодых ученых и аспирантов,- 2005.

95. Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах.1. М.: Мир, 1982, Т.2

96. Нагорных С.Н., Павленков В.И., Письма в ЖТФ, т. 31, вып. 14, с. 40-45.

97. Нагорных С.Н., Павленков В.И., Письма в ЖТФ, т. 31, вып. 5, с.1-5.

98. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979,512 с.

99. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты. М.: Наука, 2000, 247 с.

100. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989.

101. Панасюк В .В. Предельное равновесие твердых тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. 246 с.

102. Панин В.Б., Лихачев В А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 226 с.

103. Паташинский А.З., Шумило Б.И. Теория конденсированного вещества, основанная на гипотезе локального кристаллического порядка // ЖЭТФ. 1985. Т. 89, вып. 1. G 315-328.

104. Потапов Ю.С., Фоминский Л.П., Потапов С.Ю. " Энергия вращения "

105. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Мир, 1985. 328 с.

106. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.З М.: Наука, 1974.

107. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

108. Регель В.Р., Томашевский'Э.К., СпуцкерА.И. Кинетическая природа разрушения твердых тел. М.: Наука, 1974. 350 с.

109. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Перевод с англ. В.А. Гущина и В.Я. Митницкого под редакцией П.И. Чушкина. М.: Мир, 1980, 616с.

110. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. —М.:Физматгиз, 1995,208с. (Современные проблемы математики, вып. 31).

111. Суслов А.Д. и др. Вихревые аппараты. Машиностроение, 1985. - 256с.

112. Сухаревский В. В. Абсолютная температура в "Bogdanov map". В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов - 99", секция "Физика", - МГУ, 1999, с. 202-203.

113. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова. -М: Вестник Московского университета, серия 1 математика, механика, 2003, №5, с. 3-8.

114. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабодиссипа-тивной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. -М: Вестник Московского университета, серия 3 физика, астрономия, 2006, №2, с. 7-9.

115. Таланов В.И. Стимулированная диффузия и кооперативные эффекты в распределенных кинетических системах // Нелинейные волны. М.: Наука, 1983. С 47-56.

116. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

117. Улыбин С.А. Феноменологическая термомеханика/Термодинамика. Феноменологическая термомеханика. Мещеряков А.С., Улыбин С.А. -М:Химия, 1994.

118. Улыбин С.А., Сухов В.И. термомеханическая модель атомного вещества и возможности ее использования в криогенной технике. Сб. науч. тр. ОАО «Крио-генмаш». проблемы криогенной техники. Феноменологическая термомеханика. Спец. Выпуск. - 2001. с 14-89.

119. Усталость и хрупкость металлических материалов // B.C. Иванова, С.Е. Гуре-вич, И.М. Копьев и др. М.: Наука, 1968. 213 с.

120. Ферми Э. Научные труды. М.: Наука, 1972. Т.П. 645 с.

121. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. Перевод с англ. А.Н. Соболевского под редакцией M.JT. Бланка. М.: ФАЗИС, 1998, XIV - 346 с.

122. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи. Пер. с англ. М.: Мир, 1999-685 с.

123. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985. 420 с.

124. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М: Мир, 1987.С.397.

125. Четаев Н. Г. Об устойчивых фигурах равновесия некоторой однородной массы вращающейся жидкости под воздействием сил лучистого сжатия к центру тяжести. //Изв. Физ.-матем. общ. при Казанск. унив. М.: 1926. T.XXVI. С. 49-94.

126. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1973.

127. Чжен П. Управление отрывом потока. М.: Мир, 1979.

128. Шелепин П. А. Теория когерентных кооперативных явлений новая ступень физического знания // Физическая теория. М.: Наука, 1980. С 439—461.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00