автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное интегрирование уравнений динамики твердого тела каноническим методом

УДК 517.958

Селиванов Константин Михайлович

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА КАНОНИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 дек ?т

Ижевск - 2010

004617476

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

доктор технических наук, профессор Ефимов Игорь Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Вахрушев Александр Васильевич (г. Ижевск)

кандидат физико-математических наук, доцент Шумкова Дарья Борисовна (г. Пермь)

ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (г. Уфа)

Защита диссертации состоится «24» декабря 2010 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.065.07 при ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» по адресу: 426069, Ижевск, ул. 30 лет Победы, д. 2, корпус 5, ауд. 504.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, д. 7, ФГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет», ученому секретарю диссертационных советов. E-mail: dissovet@istu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» по адресу: 426069, г.Ижевск, ул. Студенческая, 7, к.1. С авторефератом можно ознакомиться на официальном сайте ГОУ ВПО ИжГТУ: www.istu.ru.

Автореферат разослан « 23 » ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

К.В. Кетова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Уравнения движения твердого тела в механике допускают различные формы записи. Для аналитических исследований чаще других используется известная система уравнений Эйлера, имеющая симметричный вид записи и форму, аналогичную уравнениям Ньютона. Применяемый в аналитической динамике метод Лагранжа менее удобен вследствие не инвариантности функции Лагранжа относительно выбора координат, задающих ориентацию твердого тела. Преобразования Лежандра, осуществляемые при переходе к координатно-импульсному представлению фазового пространства для функции Гамильтона, также приводят к усложнению формы записи уравнений движения. Поэтому в динамике твердого тела применение гамильтонова формализма ограничено исследованием общих свойств системы в частности, наличием у нее интегралов движения и циклических координат. Фундаментальные результаты при разработке теоретических основ классической механики принадлежат Л. Эйлеру, Ж.Л. Лагранжу, MB. Остроградскому, У. Гамильтону, К. Якоби, A.M. Ляпунову, C.B. Ковалевской, АЛ. Колмогорову, В.И. Арнольду, Ю. Мозеру.

При численном интегрировании уравнений движения твердого тела ситуация принципиально меняется. Прежде всего, алгоритмы, полученные при использовании всех трех перечисленных методов, оказываются одинаково неинвариантными по отношению к выбору обобщенных координат и одинаковыми по сложности. Однако при этом оказывается, что только в рамках гамильтонова формализма возможно использование канонического метода интегрирования, в основе которого лежат канонические преобразования фазового пространства.

Предметом исследования являются математические модели динамики твердого тела и численные методы интегрирования уравнений движения, применительно к транспортным, авиационным, космическим системам.

При конструировании, создании и последующей эксплуатации летательных аппаратов одним из важнейших вопросов является исследование условий устойчивости их движения, обеспечивающих безопасные режимы полета. Особо опасной является ситуация, при которой колебательное движение одной из степеней свободы, например, относительно оси тангажа, переходит во вращательное движение другой степени свободы, например, относительно оси курса (плоский штопор). Натурное воспроизведение таких режимов связано с большим риском для экипажа и самого летательного аппарата. Моделирование в аэродинамических трубах сопряжено с большими затратами и, как правило, возможно лишь после создания опытного образца. В этой связи альтернативой или направлением снижения рисков и затрат является построение адекватных объектно-ориентированных компьютерных моделей динамики летательного аппарата и компьютерный эксперимент, позволяющий проанализировать устойчивость его движения.

Целью работы является построение математических моделей динамики твердого тела с использованием канонического метода интегрирования применительно к описанию поведения летательного аппарата.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Построение математической модели динамики твердого тела на основе гамильтонова формализма.

2. Построение канонических алгоритмов для исследования устойчивости движения твердого тела.

3. Сравнение разработанных алгоритмов с существующими.

4. Разработка программного комплекса для исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Проведение исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

Теоретические и методологические основы исследования.

Исследования проведены с использованием теории канонического метода интегрирования динамических уравнений Гамильтона. В основе указанного метода лежит принцип консервативных возмущений. Согласно этому принципу все вычислительные процессы численного интегрирования уравнений движения должны соответствовать малому консервативному возмущению. Такой подход приводит к значительному повышению достоверности и информативности результатов компьютерного эксперимента.

Согласно результатам канонической теории возмущений (теорема Колмогорова - Арнольда - Мозера) малые консервативные возмущения не могут нарушать устойчивость консервативной системы при ее движении вблизи положения равновесия. С другой стороны, неустойчивость консервативно возмущенной системы, воспроизводимая в процессе компьютерного эксперимента, всегда определяет неустойчивость исходной системы, поскольку означает попадание решения для фазовой траектории в окрестность сепаратрисы. Таким образом, имеется реальная возможность использования результатов указанной теории в исследовании динамики твердого тела, в частности, для условий устойчивости летательных аппаратов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются проведенными исследованиями сходимости численных методов, проверкой разработанных методик на решении тестовых задач и сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель динамики твердого тела, построенная с использованием гамильтонова формализма в условиях свободного вращения, в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Устойчивые алгоритмы интегрирования уравнений динамики твердого тела.

3. Сравнение результатов полученных каноническим методом и методом Эйлера.

4. Программный комплекс моделирования динамики твердого тела и результаты анализа компьютерных моделей поведения летательного аппарата.

5. Исследование поведения летательного аппарата в условиях свободного вращения, в потенциальном поле, под действием диссипативных сил. Научная новизна работы.

1. Впервые получены математические модели движения твердого тела под действием консервативных и диссипативных сил.

2. Впервые получены устойчивые к накоплению погрешности алгоритмы численного интегрирования уравнений движения твердого тела в условиях свободного вращения, иод действием обобщенных сил и моментов.

3. Впервые получена численная реализация канонического метода интегрирования уравнений динамики твердого тела.

4. Впервые разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Впервые с помощью программного комплекса даны сравнительные характеристики устойчивости движения твердого тела с использованием алгоритмов метода Эйлера и канонического метода.

Практическая значимость и реализация результатов исследования. Программный комплекс, использующий канонический метод интегрирования, обеспечивает повышение точности и производительности компьютерного эксперимента.

Полученные алгоритмы и методики, реализованные в программном комплексе, могут быть использованы при проектировании транспортных, авиационных и космических систем.

Результаты работы внедрены в Чайковском технологическом институте (филиал) ГОУ ВПО Ижевский государственный технический университет. Акт внедрения (использования) результатов работы прилагается.

Программный комплекс был использован в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специатьности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», в курсе «Методология научного творчества» для магистрантов, а также при преподавании разделов «Механика» в курсе физики.

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей, позволяют утверждать перспективность его дальнейшего внедрения в различные области эволюционной динамики.

Работа проводилась по заданию Федерального агентства по образованию в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" по теме 0120.0 805060 "Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА)" (2008 - 2009 гг.).

В настоящее время продолжаются исследования в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 года (ГК № 02.740.11.0658 от 29 марта 2010 г) по теме

"Разработка модели автоматизированной системы интеграции открытых виртуальных лабораторных комплексов".

Разработаны программные комплексы "Моделирование и исследование динамической устойчивости летательного аппарата" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611155) и "Моделирование и оценка вертикальных вибронагружений транспортного средства" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010615497).

Научная апробация результатов исследования.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Выставке - сессии инновационных проектов ИжГТУ, (Ижевск, 2008 г.), Научно - практических конференциях Чайковского технического института (филиал) ИжГТУ (Чайковский, 2008-2010 гг.), XII Международной научно - практической конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики" в МГУПИ (Москва, 2009 г.), VI Всероссийской научно - технической конференции "Информационные системы и модели в научных исследованиях промышленности и экологии" (Тула, 2010 г.).

Публикации.

Результаты работы отражены в 9 научных публикациях:? статей в научных журналах, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации, 2 зарегистрированные программы для ЭВМ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и двух приложений. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, 13 таблиц и список литературы из 126 наименований. В приложениях представлен акт о использовании результатов работы и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, определена цель работы, сформулирована научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен анализ литературных источников, касающихся вопросов описания и исследования динамики твердого тела, методов интегрирования уравнений динамики.

В диссертационной работе использованы методы аналитической динамики.

Запишем исходную систему уравнений Гамильтона для невозмущенного движения твердого тела:

а дн{р,д)

Л дд

й дН(р,д) —д = -1-

с1Г др

где Н(р,д) - функция Гамильтона, р,д - обобщенные импульсы и координаты.

Связь между исходной и консервативно возмущенной системой осуществляется бесконечно малыми каноническими преобразованиями. Из теории канонического интегрирования этому должны соответствовать алгоритмы численного интегрирования, обеспечивающие консервативность возмущения, вызванного процессом счёта. В данной работе используются алгоритмы следующего вида:

импульс - координата: координата - импульс:

где т - шаг интегрирования.

Основные свойства указанных алгоритмов.

Свойство 1. Преобразования фазового пространства, осуществляемые алгоритмами (2), (3) есть бесконечно малые преобразования по параметру шага интегрирования.

Свойство 2. Влияние процесса счёта проявляется в форме м&того консервативного возмущения исходной системы.

Свойство 3. Предлагаемые алгоритмы устойчивы к накоплению погрешности счёта.

Свойство 4. Алгоритмы интегрирования уравнений Гамильтона (2), (3) выполняют наименьшее количество арифметических операций по сравнению с другими алгоритмами (за исключением метода Эйлера).

На основе использования алгоритмов (2), (3) могут быть построены компьютерные модели, воспроизводящие движение твердого тела в условиях свободного вращения, под действием консервативных и диссипативных сил.

Во второй главе рассмотрены вопросы кинематики, динамики и устойчивости движения твердого тела на основе использования гамильтонова формализма.

Конфигурация твёрдого тела определяется тремя декартовыми координатами центра масс и тремя углами, фиксирующими ориентацию относительно неподвижной системы отсчёта, а движение центра инерции соответствует движению материальной точки.

Рассмотрены следующие модели движения твердого тела: свободное вращение, движение в потенциальном поле, движение в потенциальном поле

(2)

(3)

под действием диссипативных сил, которые могут исследоваться отдельно, либо в различных комплексах.

Представим физическую модель объекта как движение свободного твердого тела с одной неподвижной точкой, относительно неподвижной системы координат ОХхХгХ3, а в качестве углов (ф,0,\|/) выберем навигационные углы поворота относительно оси крена, тангажа и курса

Преобразования оператора А соответствуют положению твердого тела, совершившего последовательный поворот на угол крена ф, угол тангажа G и угол курса у:

( cos0 • cosiy -cosG-simy sin0 }

Л =j costp'sinxy + sin 9 ■ sin Q -cosy sin <p • sin у - sirup ■ sin 0 • sin у -simp-cosG ! (4) ^simp-siny-cos^-sinG-cosy sin<p-cos\(/ + cos(p-sin0-sinY costp-cosOj.

Для записи кинематических формул летательного аппарата необходимо определить проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат OYlY2Y3, выразив их через углы поворотаф,8,у и их производные ф,0,\{/.

Получим выражение проекций угловых скоростей твердого тела на оси подвижной системы координат:

Q, = cos0-cos\p-ф + вту-б,

Q2 =-cos0-sin\|/^ + cos\j/-0, (5)

Q3 =sinG-<p + y.

Поскольку главные моменты инерции твердого тела отнесены к осям системы OYiY1Yi, то кинетическая энергия вращения выразится квадратичной формой вида:

T=y(jrñ2¡+j2-nl+jyn¡),

(б)

где Jl,Jг,Jъ - главные моменты инерции.

Схема построения функции Гамильтона Я, заключается в преобразовании производных функции навигационных углов в обобщенные импульсы:

(7)

где

А^ЛДфА^ФАЧ'), (8)

Функция Гамильтона Я для случая свободного движения (вращения) твердого тела совпадает с кинетической энергией Т:

(9)

запишем

(10)

H = T = ZT9'Mj,

/■=1

где Ту - коэффициент квадратичной формы кинетической энергии Т, q¡ - обобщенные координаты (навигационные углы). Используя выражения для преобразования координат, кинетическую энергию твердого тела в случае свободного вращения:

Т = Ту, • ф:г + Г, 2 • ф • 0 + Т22 ■ q.г + Тхз • ф ■ у + Тъз • , где значения коэффициентов квадратичной формы имеют вид:

7¡, = 0.5 • ( У, • cos2 0 • cos2 \|/ + ,/2 • cos2 0 • sin2 i+r + ./3 • sin2 0 ), 7¡2 =(J[ -J2)-cos9-cosy-siny, Г22 =0.5-( •sin2v|/ + J2-cos2v(/ ), 7¡3 = Jj - sin9, Г33=0.5./3.

Определим из (9) проекции кинетического момента (обобщенные импульсы) через производные функций углов поворота ф,в,у:

дТ

(П)

Рч=ёф=т" 'ф+ Т[2 '9+ Тп Рь=Щ:-Т\г' Ф+ ^22 '9+ O'V,

сд)

аТ

Эф

— = 71з'Ф+ О-0+Г33-ф.

Разрешим систему (12), используя формулу Крамера, получим:

1 / \ Л,„

Ф = т(м1ГЛр + м2ГРе + Мзг;^)::

д'

6 = ^(^12'Ар + М22-Рв + М23= У' 1 / \ А„

V = т(М!3 ■ Лр + М32 • Рв + М33 ■Ру) = -Г,

Д ! Ао Д

А

„. г , „ . ■ д

где Д, Дф,Д9,Д1)/ - определители системы (12), Му =1,2,3 - алгебраические дополнения.

В соответствии со схемой (7), подставляя выражения производных функций углов поворота (13) в функцию кинетической энергии (10), получим функцию Гамильтона Н для случая свободного вращения:

1 .2 . „ . . . „ А2 . гг. . . . „ .2^ (14)

н=-

• (7], • Д* + Ти • Дф • Л0 + Т22 ■ А* + ти • Д9 • Ду + г33 • д*).

В динамические уравнения Гамильтона входят частные производные функций Гамильтона Н по импульсам и координатам и представляют собой достаточно громоздкие выражения, поэтому предварительно следует определить соответствующие частные производные всех промежуточных выражений. При создании и тестировании компьютерных программ эти промежуточные выражения удобно представить как упорядоченную систему функций (банк функций) в табличном виде. Схема формирования системы фуйкций и алгоритма представлена на рисунке 2.

Т,

Д,Дф,Дв>Л,

8[Т9ЛА„Л еЛ) дН

6(ФД¥) 5(Ф,0,у)

¿5(^,Д,Дф>Д9,Д¥) дн

а(я,,р„,р¥)

дП

ф'

Рисунок 2 - Схема формирования системы функций и алгоритма

Движение объекта в отсутствие действия сил диссипации (полной и неполной) выразится в форме консервативной системы (1). При численном интегрировании фазовые траектории возмущенных движений будут иметь вид:

Р= р +5 Р,

е-,*«. (15)

Будем считать функции р,д и 6Р,30 одного класса дифференцирусмости, тогда можно утверждать, что фазовым траекториям (рисунок 3) соответствует собственная система динамических уравнений:

<1 р_ ая(р,бл) л зд

<н

в=

дН(Р,в, т)

др '

ПтН(Р&-с) = Н(р,д).

(16)

(17)

£3.5

• 2,5 1 ' о

Я 2 1,5 1

• ........

.......... Курс ;

; Тангаж

:

: • Крен ...........4-.......

0.5 „ 1 .1,5

Угловые координаты *

.....!....,■-.->.»

••укрйг"

-г'-г---;^":--!;^*''-....... ■ ..... ...... г...... -•••г™,;«-'

5 ?е 15 25 25 35 4 « 4$ 50 £4

Рисунок 3 - Фазовые траектории свободного движения

Рисунок 4 - Зависимость угловых координат <рД\|/ от времени

Принимаем следующие утверждения.

1. Воспроизводимое компьютером движение (рисунок 4) соответствует движению исходной системы в условиях действия бесконечно малых консервативных возмущений.

2. Консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают исходную устойчивость движения, т.е. движения в окрестности большой и малой оси инерции.

3. Неустойчивость воспроизводимого компьютером движения означает движение в области неустойчивости твёрдого тела, т.е. в окрестности средней оси инерции.

Запишем уравнения движения твердого тела в форме системы уравнений Гамильтона с учетом диссипативных членов:

дН{р,д) дд

а

ТГ

£ = дН(р,д)

6р

А

С) _ ( -1

где р = (лр>/>е>Л|/)' ^ = (ф.? = (ф,0.М') - соответственно угловые импульсы, навигационные углы и их производные, 0(,Д2 - диссипативные моменты с полной и неполной диссипацией энергии.

Кроме рассмотренных, явно задаваемых сил, обеспечивающих режим движения, на объект действуют силы малой интенсивности самой различной природы. Указанные силы приводят к изменению его фазовых траекторий. Требование малости отклонения фазовой траектории, при условии малости действующих возмущающих сил, очевидно, составляет необходимое условие устойчивости режима движения (рисунок 5).

Под устойчивым режимом движения будем понимать способность объекта сколь угодно долго оставаться в фиксированной окрестности невозмущённой фазовой траектории при действии на него малых возмущающих факторов (устойчивость по Лагранжу).

г то ■уаом

0-1 «09 I 509 I С | .«за |4Ш

1-15С0

-г ого

Л ООО

..............

......1.,............

'"-"^■^ренГ

-«,82

*■,'.*........ V»»""

-».О» « в,о Узловые координаты *

а)

-0.01 ® ».м Угловые координоты

б)

(19)

Рисунок 5 - Фазовые траектории движения твердого тела относительно осей координат в потенциальном поле в моменты времени а) 1= 100 сек., б) 1= 2000 сек.

Сохранение гамильтоновой формы преобразования р—<?——>2 позволяет представить гамильтониан возмущённой системы (16) в форме канонических рядов вида:

яу =я0(Ае)+я, (р,е) ■ т+...

Н„ (Р,д, т) = Я0 {Р,д) + Я, {Р,д) • т + ...

Сходимость рядов (19) обеспечивает выполнение условия устойчивости движения к малым консервативным возмущениям, поскольку означает сколь угодно долгое нахождение фазовой траектории в окрестности невозмущённого движения. Ряды (19) заведомо могут расходиться при попадании фазовой точки в малую окрестность сепаратрис, что соответствует нахождению твердого тела вблизи нейтрального положения между состоянием колебаний и вращений. Все другие случаи расходимости при разумных предположениях о величине параметра имеют исключительный характер и представляют лишь

теоретический интерес, поскольку скорость ухода возмущённой траектории оказывается пренебрежимо малой по отношению ко времени движения. Такие выводы соответствуют реальной картине - постоянно действующие на объект малые возмущения различной природы не нарушают режимов движения, если он не оказывается вблизи критических режимов.

Следовательно, малые консервативные возмущения не нарушают устойчивость режима движения твердого тела, а нарушение устойчивости является достаточным условием критических режимов движения и перехода колебания во вращение.

Проанализируем вопрос о влиянии диссипативных возмущений на устойчивость движения.

Для бесконечно малых по параметру т возмущений динамические уравнения будут иметь вид:

5Я(Р,6,т) „(А 1

Л

с1(

2 =

ая(лат)

др

-щ е,т

у ,

(20)

Как и в случае консервативной системы, будем полагать степень малости возмущений выше первого порядка. Рассмотрим бесконечно малые возмущения для случая с полной диссипацией энергии (возмущения, связанные с вязким трением):

(¡1

дн(р,д,т) \

--*-- + £>| О,т | ,

да { )

ая(/>,6,т)

ер '

(21)

(22)

Диссипативную часть преобразования можно рассматривать как некоторое малое по порядку шага монотонное возмущение диссипативной функции вида £)(2 +8д(т2)), которое увеличивает или уменьшает имеющуюся диссипацию энергии. Па рисунке 6 изображены фазовые траектории при действии консервативных и диссипативных сил. На рисунке ба представлен полный фазовый портрет, отдельно каждые фазовые траектории приведены на рисунках 56, 5в, 5г.

. г »в

лш -г$ов

ч

Тангпж

аь

4ДО5 О ДО

Угловые «оорДйнаты*

а)

8 я»

»,.' .. .ж . ■

б 1Ш ел Угловые «оордммагы *

0.01-5

в)

1»

Л «ю | ш >, да

с

I « I

5

| «М»

4,6! 5 «И

Угяоеы© КООРДМНЛТ1-Л *

б)

1Ш

гя» . 1»

а к» 1 5®-I .

I -ш

1-1 се« мяв--гш

./С

■•'/Шй;:-

► * *■•« ^ЯК*',* # <* * «

Угловые координаты "

г)

Рисунок 6 - Фазовые траектории вращения относительно осей координат под действием консервативных и диссипативных сил а) крен, тангаж и курс, б) крен, в) тангаж; г) курс В соответствие с теоремой Лагранжа, наличие диссипативных сил в устойчивой системе делает её асимптотически устойчивой. В интересующем нас случае, устойчивости по Лагранжу, означает, что бесконечно малые диссипативные возмущения проявляются в увеличении или уменьшении стабилизирующего фактора действующих диссипативных сил в форме экспоненты порядка о{ т2).

Таким образом, можно сделать следующие обобщения.

1, Консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают исходную устойчивость движения твердого тела, т.е. движения в окрестности большой и малой оси инерции и в окрестности точки минимума потенциала.

2. Неустойчивость воспроизводимого компьютером движения твердого тела означает его попадание в области неустойчивости, т.е. либо в окрестности средней оси инерции, либо в окрестности точки максимума потенциала.

3. Диссипативное возмущение, вызванное процессом интегрирования, не может стабилизировать исходную неустойчивость системы.

Исследуем погрешность метода канонического интегрирования, анализируя изменение функции Гамильтона Н (10), составляющих квадратичной формы (11) (рисунок 7) и относительной погрешности изменения функции Гамильтона Н (рисунок 8).

Н*ошгав: * ±:аоо

тр тх

Рисунок 7 - Р1зменение функции Гамильтона и членов квадратичной формы во времени

Рисунок 8 - Относительная погрешность изменений гамильтониана по времени

По определению, данный график (рисунок 8) показывает влияние малого консервативного возмущения. Малое консервативное возмущение не нарушает устойчивость процесса счета, что и подтверждается малыми изменениями функции Гамильтона. Амплитуда изменения функции Гамильтона при шаге т = 0.01 остается постоянной в течение всего времени интегрирования, при относительной погрешности шах = 0,0002.

В третьей главе рассмотрены алгоритмы численной реализации системы Гамильтона, построенные с использованием канонического метода интегрирования.

Основные требования к компьютерным моделям динамики заключаются в следующем.

1. Все выполняемые операции в процессе интегрирования уравнений движения необходимо рассматривать как возможные возмущения.

2. Возмущения, вызванные процессом счета, должны быть выше первого порядка малости.

3. Характер возмущения должен соответствовать характеру моделируемого воздействия (рисунок 9).

Силы инерции Свободное вращение Малые консервативные возмущения

Консервативное поле

Потенциальные силы —

Общий случай воздействия

Силы инерции —

Диссипативные силы Малые диссипативные возмущения

Силы с явной зависимостью от времени —

Рисунок 9 - Возмущения, вызванные процессом численного интегрирования

Модель свободного вращения в условиях действия потенциальных сил является консервативной системой. Таким образом, процесс численного интегрирования должен соответствовать малому консервативному возмущению. Функциональная схема компьютерной модели при численном интегрировании консервативной системы приведена на рисунке 10.

Динамическая система 4- ту Возмущенная динамическая система

Дифференциальные уравнения Ч- т -> Дифференциальные уравнения

* *

Численный алгоритм Функция вычислительного процесса

+ *

Фазовый каскад Вычислительный процесс

Рисунок 10 - Функциональная схема построения процесса численного интегрирования при каноническом методе

Существенно, что установление инвариантности позволяет полностью исключить процесс аналитического интегрирования и свести задачу к исследованию характера возмущения самих дифференциальных уравнений.

Проведем сравнение результатов интегрирования, полученных каноническим методом и методом Эйлера.

В , таблице 1 приведены значения исходных данных сравнительного анализа для случая свободного вращения твердого тела.

Моменты инерции, кг м2, I = 0 Моменты импульсов, кг-м21'с, 1 = 0 Угловые координаты, градусы, ( = 0

' А Н Р9 Ро Ру Ф 0 V

ш4 10" ю4 1222 2000 3333 0 0 0

Результаты численного эксперимента приведены на рисунке 11.

«4«» ММС ^»ае»

§ »0»

| 15«} \ *

^-ЯМО

4-5555

*••-."»•• Г'"

•

> . > >• * ; >Крен ;

II

1 * \ У. Ж % ' V , Л рс * : : * * - ">- Танг,1ж :

гт-гг;з 9 ем

& гел

згадз

£22» X

£ ш®

I

I 493

439

Курс

. Тангаж \

"7"

г Креп;

-« .%» I а »» гз и

УПТОЯЬ!« яоордимвты "

0.* 0.» М 1 Угловые координаты *

1Д

а) б)

Рисунок 11 - Результаты численного эксперимента а) фазовые траектории по методу Эйлера, б) фазовые траектории по каноническому методу, шаг интегрирования т = 0.01

Результаты проведенных экспериментов показывают, что при исследовании методом Эйлера движение является неустойчивым. При каноническом методе возникающие в процессе счета консервативные возмущения не нарушают исходную устойчивость движения.

В таблице 2 приведены значения исходных данных для сравнительного анализа движения твердого тела в потенциальном поле.

Таблица 2 - Исходные данные для случая движения в потенциальном поле

Моменты инерции, кг-м1, t-0 Моменты импульсов, кг-м1 ¡с, 1 = 0 Угловые координаты, градусы, t = 0 Восстанавливающие моменты, кг-м2/с, i = 0

h h Р., Рэ Рч» Ф G Мух Му2 MYl

104 ю4 104 1222 2000 3333 0 0 0 107 2i07 4-Ю7

Результаты численного эксперимента приведены на рисунке 12.

Рисунок 12 - Результаты численного эксперимента а) фазовые траектории по методу Эйлера, б) фазовые траектории по каноническому мегоду, при шаге интегрирования т = 0.01

Стрелочками на рисунке 12а показано направление движения расходимости улитки Эйлера (неустойчивый фокус). При каноническом методе на рисунке 126 видно устойчивое колебательное движение.

Рассмотрим движения твердого тела в потенциальном поле под действием диссипативных сил, значения исходных данных приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Исходные данные для случая движения в потенциальном поле под действием диссипативных сил_ _

Моменты инерции, кг-м2, 1 = 0 Моменты импульсов, кг-м2/с, 1 = 0 Угловые координаты, градусы, 1 = 0 Восстанавливающие моменты, кг-м2/с, f = 0 Диссипативные моменты, кг-м2 je, t = 0

h h ^3 Р* Ро Pv Ф е Щ\ Мг2 Муъ MQn MQn MQ„

104 10* ю4 1222 2000 3333 | 0 j 0 0 10' 2-Ю1 4-Ю7 2 2~ 2

Результаты численного эксперимента приведены на рисунке 13.

115 К» .....-................Л....»..—

1И050

"уЪеоо

щ

|гзез»

I « ¡[•»ем »-<зо«о

•гзбю -163 ив

ДУРС -.'крен

...........¡^-.-..Ц.

*• • Т.'• -»

• «.Л

••.....'Тгнгг»( ......

-ог о г,г Угловые координаты •

а)

зетс гш . »»

'л 1 Ш

N

" те

с

I е

* -я« |.»М5

-2 ею -га»

Курс

„... .....

" Г'*.*. I * . ; . ;

-0.0« <.01 -8.005 0 0.004 0,01 Угловые координаты *

б)

Рисунок 13 - Результаты численного эксперимента а) фазовые траектории но методу Эйлера, б) фазовые траектории по каноническому методу, при шаге интегрирования г = 0.01

Результаты проведенных экспериментов показывают, что при исследовании методом Эйлера происходит расходимость улитки Эйлера (рисунок 13а), т.е. фазовые траектории имеют неустойчивый фокус. При каноническом методе на рисунке 136 наблюдается асимптотическая устойчивость.

В четвертой главе описано построение программного комплекса моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата, который предназначен для проведения компьютерного эксперимента, в режиме реального времени и временного опережения.

Разработана методика организации этапов моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата (рисунок 14).

Физическое - Формирование —> Математическое

моделирование входных данных моделирование

к *

Модель поведения <— Анализ динамической устойчивости Формирование выходных данных

Рисунок 14 - Этапы моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата

На этапе физического моделирования описываются модели поведения летательного аппарата под действием внешних сил, выделяются параметры режимов и конструкции, которые являются входными параметрами программного комплекса: угловые координаты, определяющие конфигурационное пространство твердого тела, относительно неподвижной системы отсчета; производные по времени от угловых координат; главные моменты инерции.

Для свободного вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в качестве углов выбраны углы поворота относительно оси крена, тангажа и курса (ф,0,\у) (рисунок 1).

Совокупность учета сил тяжести, силы тяги двигателя и аэродинамических сил и их комбинаций дает многообразие физических моделей, и дополняют входные параметры.

Математической моделью, описывающей движение твердого тела применительно к описанию движения летательного аппарата, являются динамические уравнения Гамильтона.

В качестве выходных данных предусмотрена мультимедийная модель движения летательного аппарата, графическое и численное представление переменных параметров модели.

Анализ результатов заключается в качественной и количественной оценке параметров и сравнение их с экспериментальными данными.

В программном комплексе решаются следующие задачи: ввод исходных данных для моделирования системы; проверка правильности введённых данных; выбор модели движения или группы моделей; проведение компьютерного эксперимента на основе математической модели; отображение ЗИ-модели движения; построение проекций летательного аппарата; построение графиков; формирование отчета по проведенному исследованию; настройка внешнего вида оболочки и отдельных объектов (графиков, ЗО-модели).

Программный комплекс имеет большой набор параметров, которые можно настраивать для удобства использования.

В качестве примера работы программного комплекса проведем численное исследование движения твердого тела в потенциальном поле. Динамические характеристики твердого тела (/ьX начальные условия (<р,0,\|/, РФ,/>0' Рм при I = 0) и внешние воздействия (Му],Мг2,Мп) при шаге интегрирования т = 0.01 приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Исходные данные для случая движения в потенциальном поле

Моменты инерции, кг-мг,1-0 Моменты импульсов, кг-мг/с,с = 0 Угловые координаты, градусы, / = 0 Восстанавливающие моменты, кг-м^/с, ( = 0

А Н РФ Ро РЧ Ф 0 ¥ Мп МГ2 Мп

104 К)4 ю4 1222 2000 3333 0 0 0 107 2'107 4107

На рисунке 15 показано окно с графическими результатами исследования.

5;! Иске**« мины»-;

РЛ '

Мел«»* ммпу*«« - рм уг(1Л (к^о^ ♦ ;.

39« ч^К»

а 15со

. -5» ! .1 800

у* Курс

.........::;!

.....У\

/г у)

\ Гц:".......ткрся.......-а*?---/-

\\ ___г.-

V, .-<" ...........

■■...... V' -1 Тянга« ' ■

Рисунок 15 - Окно с графическими результатами исследования движения в потенциальном поле'

Результат проведенного эксперимента показывает, что происходит устойчивое колебательное движение.

На программный комплекс "Моделирования и исследования динамической устойчивости летательных аппаратов" (МИДУЛА) получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611155. Также на программный комплекс "Моделирование и оценка вертикальных вибронагружений транспортного средства" получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010615497.

Работа проводилась по заданию Федерального агентства по образованию в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" по теме 0120.0 805060 "Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА)" (2008 — 2009 гг.).

В настоящее время результаты работы используются в исследованиях в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 года (ГК № 02.740.11.0658 от 29 марта 2010 г) гю теме "Разработка модели автоматизированной системы интеграции открытых виртуальных лабораторных комплексов".

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Математическая модель движения твердого тела, построенная на основе фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать его поведения в условиях свободного вращения, в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Доказано, что консервативные возмущения не нарушают устойчивость движения твердого тела.

3. Разработана методика построения алгоритмов интегрирования уравнений Гамильтона, устойчивых к накоплению погрешности во времени.

4. Построенные алгоритмы позволяют повысить точность решения и быстродействие, что подтверждается малой величиной относительной погрешности функции Гамильтона Н (шах ^/¡^ =0,0002) и

наименьшим возможным числом используемых в алгоритмах арифметических операций.

5. Разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

6. Программный комплекс использован для сравнительной характеристики устойчивости движения твердого тела с помощью алгоритмов интегрирования Эйлера и канонического метода интегрирования и для исследуемых режимов показал:

а) свободное вращение: неустойчивость по методу Эйлера и устойчивость по каноническому методу;

б) движение в потенциальном поле: неустойчивый фокус по методу Эйлера, устойчивый фокус по каноническому методу;

в) движение в потенциальном поле под действием диссипативных сил: неустойчивый фокус по методу Эйлера, асимптотическая устойчивость по каноническому методу.

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов K.M., Ермолаева Е.В. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела. // Вестник ИжГТУ. - 2009. - №4 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009 - С. 190-195.

2. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Ермолаева Е.В., Селиванов K.M. Канонический метод в основе анализа устойчивости летательных аппаратов. // Сборник научных трудов. XII Международная научно - практическая конференция. "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики". - Москва: Изд-во МГУПИ, 2009. - С.43-46.

3. Якимович Б.А., Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Ермолаева Е.В., Селиванов K.M. Программно - методический комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата. // Сборник научных трудов. XII Международная научно - практическая конференция. "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики". - Москва: Изд-во МГУПИ, 2009. - С. 193-197.

4. Селиванов K.M. Канонический метод интегрирования в исследовании движения твердого тела. // Интеллектуальные системы в производстве. -2010. - № 1 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ - С. 67-76.

5. Селиванов K.M. Движение твердого тела под действием обобщенных сил. // Информационные системы и модели в научных исследованиях промышленности и экологии: Тез. докл. VI Всероссийская науч. - техн. конф. 2010 - Тула: Изд-во Инновационные технологии, 2010. - С. 10-15.

6. Селиванов K.M. Устойчивость движения твердого тела под действием малых консервативных возмущений. // Информационные системы и модели в научных исследованиях промышленности и экологии: Тез. докл. VI Всероссийская науч. - техн. конф. 2010 - Тула: Изд-во Инновационные технологии, 2010. - С. 22 - 26.

7. Свидетельство о официальной регистрации программы для ЭВМ «МИДУЛА» / Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов K.M., Ермолаева Е.В.-№ 2010611155; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9.02.2010 г.

8. Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА): Отчет НИР (заключ.) / ИжГТУ; рук. Ефимов И.Н. 2009 - 134 с. - Исполн.: Морозоев Е.А., Германюк Г.Ю., Селиванов K.M., [и др.].

№ государственной регистрации 01 200. 805060.

9. Свидетельство о официальной регистрации программы для ЭВМ «Моделирование и оценка вертикальных вибронагружений транспортного средства» / Ефимов И.Н., Селиванов K.M., Гаас С.О., Кочеева И.Ф. -№ 2010615497; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 27.08.2010 г.

Диссертант

К.М. Селиванов

Подписано в печать 10.11.10г. Формат 60x84/16 Усл. печ. л 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №1189

Отпечатано в ЧТИ ИжГТУ 617766, Пермский край, г. Чайковский, ул. Декабристов, 23

Введение.

Глава 1. Проблемы моделирования в динамике твердого тела

1.1. Динамические системы.

1.2. Динамика и кинематика твердого тела.

1.3. Интегрирование уравнений динамики.

1.4. Использование канонического метода интегрирования в моделировании динамики и устойчивости летательного аппарата.

1.5. Постановка цели и задач исследований.

Глава 2. Построение математической модели движения твердого тела с использованием гамильтонова формализма.

2.1. Кинематика свободного вращения твердого тела.

2.2. Динамика свободного вращения твердого тела.

2.3. Движение твердого тела под действием обобщенных сил.

2.4. Устойчивость движения твердого тела под действием малых возмущений.

2.5. Полученные результаты и выводы.

Глава 3. Построение алгоритмов на основе канонического метода интегрирования.

3.1. Канонические преобразования фазового пространства.

3.2. Интегрирование динамических уравнений свободного вращения.

3.3. Движение твердого тела в потенциальном поле.

3.4. Движение твердого тела в потенциальном поле под действием диссипативных сил.

3.5. Сравнение результатов полученных каноническим методом с методом Эйлера.

3.6. Полученные результаты и выводы.

Глава 4. Программный комплекс моделирования динамической устойчивости летательных аппаратов.

4.1. Методика моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

4.2. Структура программного комплекса.

4.3. Этапы проведения эксперимента.

4.4. Исследование движения летательного аппарата.

4.5. Полученные результаты и выводы.

Актуальность. Уравнения движения твердого тела в механике допускают различные формы записи-Для аналитических исследований» чаще других используется известная1 система уравнений Эйлера, имеющая < симметричный вид записи и форму, аналогичную уравнениям' Ньютона. Применяемый; в аналитической динамике- метод Лагранжа менее удобен вследствие не- инвариантности функции: Лагранжа относительно1, выбора координат, задающих ориентацию твердого тела. Преобразование Лежандра, осуществляемые при переходе к координатно-импульсному представлению; фазового пространства для. функции Гамильтона, также- приводят к усложнению формы, записи уравнений движения: Поэтому, в динамике твердого тела применение гамильтонова формализма, ограничено исследованием7 общих* свойств системы в частности, наличием у нее интегралов движения и циклических координат. Фундаментальные результаты, при разработке теоретических основ классической, механики принадлежат Л: Эйлеру, Ж. Л. Лагранжу, М.В. Остроградскому, У. Гамильтону, К. Якоби, А.М. Ляпунову, C.B. Ковалевской, А.Н. Колмогорову, В:И. Арнольду, Ю. Мозеру.

При численном интегрировании уравнений- движения» твердого тела ситуация принципиально меняется. Прежде всего, алгоритмы, полученные при использовании всех трех перечисленных методов, оказываются одинаково неинвариантными* по отношению к выбору обобщенных координат и одинаковыми по сложности. Однако при этом оказывается, что только в рамках гамильтонова формализма возможно использование канонического метода интегрирования, в основе которого лежат канонические преобразования фазового пространства.

Предметом исследования являются математические модели динамики твердого тела и численные методы интегрирования^ уравнений движения, применительно к транспортным, авиационным, космическим системам.

При конструировании, создании и последующей эксплуатации летательных аппаратов одним из важнейших вопросов является исследование условий устойчивости их движения, обеспечивающих безопасные режимы полета. Особо опасной является ситуация, при которой^ колебательное движение одной из степеней свободы, например, относительно оси* тангажа, переходит во вращательное движение* другой- степени свободы, например, относительно оси курса (плоский штопор). Натурное воспроизведение* таких режимов связано с большим риском для экипажа и самого летательного аппарата. Моделирование в аэродинамических трубах сопряжено с большими затратами» и, как правило, возможно лишь после создания опытного образца. В этой связи, альтернативой или направлением снижения рисков и затрат является построение адекватных объектно-ориентированных компьютерных моделей-динамики летательного аппарата и компьютерный эксперимент, позволяющий? проанализировать устойчивость его. движения.

- Целью работы является построение математических моделей динамики' твердого тела с использованием канонического метода интегрирования применительно к описанию поведения летательного аппарата.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачш

1. Построение математической модели динамики твердого тела на основе1 гамильтонова формализма.

2. Построение канонических алгоритмов для; 'исследования устойчивости движения твердого тела.

3. Сравнение разработанных алгоритмов с существующими.

4. Разработка программного комплекса для исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Проведение исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

Теоретические и методологические основы исследования.

Исследования проведены с использованием теории канонического метода интегрирования динамических уравнений Гамильтона. В основе указанного 5 метода лежит принцип консервативных возмущений. Согласно этому принципу все вычислительные процессы численного интегрирования уравнений движения должны соответствовать малому консервативному возмущению. Такой подход приводит1 к значительному повышению достоверности? и, информативности результатов компьютерного эксперимента.

Согласно, результатам, канонической теории? возмущений; (теорема. Колмогорова - Арнольда - Мозера) малые консервативные возмущения не могут нарушить устойчивость консервативной системы при* ее? движении вблизи положения: равновесия. С другой стороны, неустойчивость консервативно; возмущенной системы, воспроизводимая? в; процессе компьютерного эксперимента; всегда определяет неустойчивость исходной системы, поскольку, означает попадание решения для фазовой траектории в окрестность сепаратрисы. Таким образом, имеется реальная возможность использования результатов указанной теории в исследовании^ динамики твердого тела, в-частности, для условий устойчивости летательных аппаратов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются проведенными исследованиями сходимости» численных методов, проверкой разработанных методик на решении тестовых задач и сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель динамики твердого, тела, построенная с использованием гамильтонова формализма в условиях . свободного: вращения^ в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Устойчивые алгоритмы интегрирования уравнений динамики твердого тела.

3. Сравнение результатов полученных каноническим методом и методом: Эйлера.

4. Программный комплекс моделирования динамики твердого тела и результаты анализа компьютерных моделей поведения летательного аппарата.

5. Исследование поведения летательного аппарата в условиях свободного вращения, в потенциальном поле, под действием диссипативных сил. Научная новизна работы.

1. Впервые получены математические модели движения твердого тела под действием консервативных и диссипативных сил.

2. Впервые получены устойчивые к накоплению погрешности алгоритмы численного интегрирования уравнений движения твердого тела в условиях свободного вращения, под действием обобщенных сил и моментов.

3. Впервые получена численная реализация канонического метода интегрирования уравнений динамики твердого тела.

4. Впервые разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

5. Впервые с помощью программного комплекса даны сравнительные характеристики устойчивости движения твердого тела с использованием алгоритмов метода Эйлера и канонического метода.

Научная апробация результатов исследования.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Выставке - сессии инновационных проектов ИжГТУ, (Ижевск, 2008 г.), Научно - практических конференциях Чайковского технического института (филиал) ИжГТУ (Чайковский, 2008-2010 гг.), XII Международной научно - практической конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики" в МГУПИ (Москва, 2009 г.), VI Всероссийской научно - технической конференции "Информационные системы и модели в научных исследованиях промышленности и экологии" (Тула, 2010 г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования.

Программный комплекс, использующий канонический метод интегрирования, обеспечивает повышение точности и, производительности компьютерного эксперимента.

Полученные алгоритмы и методики, реализованные в) программном комплексе, могут быть использованы при проектировании транспортных, авиационных и космических систем.

Результаты, работы внедрены в Чайковском технологическом институте (филиал) ГОУ ВПО "Ижевский государственный технический университет". Акт внедрения (использования) результатов работы прилагается.

Программный комплекс был использован в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических' процессов» для-специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», в курсе «Методология научного творчества» для магистрантов, а также при преподавании.разделов «Механика» в курсе физики.

Положительные результаты, использования канонического метода численного интегрирования для исследования, рассмотренных динамических моделей, позволяют утверждать перспективность его дальнейшего внедрения в различные области эволюционной'динамики.

Работа4 проводилась по заданию-Федерального агентства по образованию в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" по теме 0120.0 805060 "Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА)" (2008 - 2009 гг.).

В настоящее время продолжаются исследования В' рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 года (ГК № 02.740.11.0658 от 29 марта 2010 г) по теме "Разработка модели автоматизированной системы интеграции открытых виртуальных лабораторных комплексов".

Разработаны программные комплексы "Моделирование и исследование динамической устойчивости летательного аппарата" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611155) и "Моделирование и оценка вертикальных вибронагружений транспортного средства" (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010615497).

Публикации.

Результаты работы отражены в 9 научных публикациях:

7 статей в- научных журналах, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации, 2 зарегистрированные программы для ЭВМ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и двух приложений. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, 13 таблиц и список литературы из 126 наименований. В приложениях представлен акт о использовании результатов работы и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные выводы и результаты.

1. Математическая модель движения твердого тела, построенная на основе фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать его поведения в условиях свободного вращения, в потенциальном поле и под действием диссипативных сил.

2. Доказано, что консервативные возмущения не нарушают устойчивость движения твердого тела.

3. Разработана методика построения алгоритмов интегрирования уравнений Гамильтона, устойчивых к накоплению погрешности во времени.

4. Построенные алгоритмы позволяют повысить точность решения и быстродействие, что подтверждается малой величиной относительной погрешности функции Гамильтона Н (шах - 0,0002) и наименьшим возможным числом используемых в алгоритмах арифметических операций.

5. Разработан программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата.

6. Программный комплекс использован для сравнительной характеристики устойчивости движения твердого тела с помощью алгоритмов интегрирования Эйлера и канонического метода интегрирования и для исследуемых режимов показал: а. свободное вращение: неустойчивость по методу Эйлера и устойчивость по каноническому методу; б. движение в потенциальном поле: неустойчивый фокус по методу Эйлера, устойчивый фокус по каноническому методу; в. движение в потенциальном поле под действием диссипативных сил: неустойчивый фокус по методу Эйлера, асимптотическая устойчивость по каноническому методу.

1. Математическая энциклопедия: Большая советская энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. - 2-е изд. - М.: Большая советскаяэнциклопедия, 1977 1984.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

3. Айзерман М.А. Классическая механика. 2-е изд. - М.: Наука, 1980.367 с.

4. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с латин., в кн.: Крылов А.Н., Собр. трудов, Т. 7. М.: Л., 1936.

5. Григорян А.Т. История механики с древнейших времен до XVIII в. -М.:Л., Наука, 1972. 523 с.

6. Космодемьянский A.A. Очерки по истории механики. 2 изд., - М.: Мир, 1964.-432 с.

7. Яковлев В.И. Предыстория аналитической механики. Ижевск: РХД, 2001.-328 с.

8. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.: Л., 1938. - 499 с.

9. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1,2./ Пер. с фр.; Под ред. А.Г. Лойцянского и А.И. Лурье - М.: Л., 1950.

10. Остроградский М. В. Полное собрание трудов. Т. 2, 3. - Киев: АН УССР, 1959.

11. Гамильтон У. Об общем методе в динамике. / Пер. с англ., в кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей под. ред. A.C. Полака. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - С. 284 - 288.

12. Якоби К. Лекции по динамике. / Пер. с нем.; Под ред. А.Г. Лойцянского. М.: Л., ОНТИ, 1936. - 272 с.

13. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1,2.- М.: Мир, 1981.

14. Гернет М. М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и сокр. - М.: Высшая школа, 1981. - 304 с.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. - 174 с.

16. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. -М.: Наука, 1987. 368 с.

17. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М. Изд-воМГУ, 1978. -57'5с.

18. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ, 1984.-295 с.

19. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. - 416 с.

20. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

21. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975.-222 с.

22. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. -335 с.

23. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

24. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. — 264 с.

25. Синг Дж. Л. Тензорные методы в динамике. М.: Государственное изд.-во иностранной литературы, 1947. - 42 с.

26. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. -М.: Мир, 1971.-392 с.

27. Аппель П. Теоретическая механика. Динамические системы. Аналитическая механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. - 487 с.

28. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.-664 с.

29. Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965. — 408 с.

30. Вариационные принципы механики: Сборник статей / Под. ред. A.C. Полака. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - 932 с.

31. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1985.-589 с.

32. Купершмидт Б.А. Лагранжев формализм в вариационном исчислении. / Функц. анализ и его прил. 1976. - Т. 6. - № 2. - С. 77-78

33. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегрированные уравнения: Справ, рук. 3-е изд. - СПб.: Лань, 2005. - 191 с.

34. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев: АН МолдССР, 1970. - 144 с.

35. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983.-280 с.

36. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975 - 415 с.

37. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск: РХД, 1999. -160 с.

38. Арнольд В.И. Математические аспекты классической и небесной механики. -М.: ВИНИТИ, 1985. 305 с.

39. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2000, -136 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. - М.: Наука, 1964.-523 с.

41. Климантович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982 - 608 с.

42. Стэррок П. Статическая и динамическая электронная оптика. М.: Мир, 1958.-72 с.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Квантовая механика. Т. 3. - М.: Наука, 1989. - 652 с.

44. Давыдов A.C. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. - 450 с.118

45. Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1,2. - Харьков: ОНТИ, 1975.

46. Данилов Л.В. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

47. Нетушил A.B. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях: учебник для вузов. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. школа, 1983. - 432 с.

48. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков / Пер. с англ. М.: Наука, 1965.-456 с.

49. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.-488 с.

50. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977. - 496 с.

51. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории управления. / Пер. с англ.; Под ред. Алексеев В.М. М.: Наука, 1974. - 384 с.

52. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. - 636 с.

53. Ламб Г. Теоретическая механика. Т. 2. - М.: Ленинград, 1935. - 496 с.

54. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. - М.: Наука, 1989. - 520 с.

55. Яворский Б.М., Детлаф A.A., Лебедев А.К. Справочник по физике. Для инженеров и студентов вузов. М.: ОНИКС Мир и Образование, 2006. -1056 с.

56. Савельев И. В. Курск общей физики. Т. 1. - М.: Наука, 1971. - 352 с.

57. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. — М.: Изд-во МГУ, 1984.-296 с.

58. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю.И. Дика. 5-е изд. - Т. 1. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 576 с.

59. Трухан Н.М. Динамика твердого тела: Учебно-методическое пособие: Теоретическая механика. М.: Изд-во МФТИ 2000. - 42 с.

60. Черногоров Е.П. Теоретическая механика. Кинематика: Курс лекций. -Челябинск 2009. 76 с.

61. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учеб. пособие: Для вузов. Механика. 4-е изд. - Т. 1. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 560 с.

62. Синг Дж. Л. Классическая динамика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. -448 с.

63. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика пространственного движения самолета М.: Машиностроение, 1967. - 226 с.

64. Ишлинский А. Ю., Борзов В. И., Степаненко Н. П. Лекции по теории гироскопов. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 248 с.

65. Магнус К. Гироскопы. Теория и применения. М.: Мир. 1974. - 280 с.

66. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., парераб. и дополн. - М.: Изд-во МГУ, 2000. - 719 с.

67. Дружинин Е.И., Ромашов Ю.В. Компьютерные технологи решения задач теоретической механики: Учебное пособие. Харьков: НТУ «ХПИ», 2003. - 320 с.

68. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Постранственное движение. — М.: Машиностроение, 1983. 320 с.

69. Хаар Д. тер. Основы Гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. - 290 с.

70. Ильин В. А., Садовничий В. А. Математический анализ. Ч. 1; 3-е изд.; Под. ред. А. Н. Тихонов. - М.: Проспект, 2004. - 517 с.

71. Демидович Б.П. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.120

72. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1977. 832 с.

73. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы / Жидков Н.П., Кобельков Г.М. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Бином, 2001. - 632 с.

74. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. -Т. 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 16-30.

75. Данилина Н.И. Численные методы: Учебник для техникумов. М.: Высш. шк. 1976.-368 с.

76. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Екатеринбург: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2006. 143 с.

77. Большая советская энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. 3-е изд.- Т. 14. М.: Большая советская энциклопедия, 1973.

78. Боргест Н.М. и др. Краткий словарь авиационных терминов / Данилин А.И., Комаров В.А, М.: Изд-во МАИ, 1992. - 224 с.

79. Афонин П.М., Голубев И.С. Беспилотные летательные аппараты. / Под. ред. JI.C. Чернобровкина- М.: Машиностроение 1967. 440 с.

80. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. М.: Машиностроение. 1969. - Т. 1 - 500 с.

81. Пашковский И.М. Устойчивость и управляемость самолета. М.: Машиностроение. 1975. -328 с.

82. Кильчевский H.A. Курс теоретической механики, — Т. 2. М.: Наука. 1977.-544 с.

83. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. К проблеме интегрирования динамических систем. // Вестник Оренбургского ГУ. 2005. № 12(50). - С. 34 - 39.

84. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во институт экономики Уро РАН, 2006. - 135 с.

85. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во института экономики УрО РАН, 2006. -198 с.

86. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонические преобразования и канонические ряды гамильтоновых систем. // Вестник ПГТУ. Пермь 2005.-№3-С. 80-88.

87. Богословский С.Г., А.Д. Дорофеев. Динамика полета летательных аппаратов: Учебное пособие. СПб.: СПбГУАП, 2002. - 64 с.

88. Котик М.Г. Динамика взлета и посадки. М.: Машиностроение 1984. -256 с.

89. Николаев Л.Ф. Аэродинамика и динамика полета транспортных самолетов. М.: Изд-во Транспорт, 1990. - 392 с.

90. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. - 309 с.

91. Морозов Е.А. О связи канонических отображений с гамильтонианами. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. Ижевск 2005. -№2-С. 43-46.

92. Морозов Е.А. Каноническое интегрирование в проектировании динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во института экономики УрО РАН, 2006. -198 с.

93. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонический метод интегрирования нелинейных динамических систем: Тез. докл. Международного конгресса. Нелинейный динамический анализ. (Санкт-Петербург, 2007). -СПб. 2007.-274 с.

94. Бадягин A.A., Мухамедов Ф.А. Проектирование легких самолетов. М.: Машиностроение, 1978. - 208 с.

95. Матвеев В.Н. Расчет возмущенного движения самолета. М.: Оборонгиз, 1960. -224 с.

96. Смешко Ю.И. Устойчивость и управляемость самолета в эксплуатационной области полета: Справочник. М.: Машиностроение, 1987.-136 с.

97. Горощенко Б. Т., Дьяченко А. А. Эскизное проектирование самолета. -М.: Машиностроение, 1970. 327 с.

98. Остославский И.В. Калачев Г.С. Продольная устойчивость и управляемость самолета. М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1951. - 366 с.

99. Пышнов B.C. Динамические свойства самолета. М.: Оборонгиз, 1951, -173 с.

100. Мозер Ю. KAM тория и проблема устойчивости. - Ижевск: ИРТ, 2001. - 448 с.

101. Морозов Е.А. О консервативном характере возмущений метода численного интегрирования. // Известия ТулГУ. Серия математическая. Математика. Механика. Инфоматика. Т 11. Вып. 3. Тула: ТулГУ. 2005. -С. 142-145.

102. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Устойчивость канонического метода интегрирования гамильтоновых систем. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. Ижевск 2003. №1 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ -С. 23-38.

103. Морозов Е.А. Об устойчивости интегральных кривых в сопряженных пространствах. // Вестник ИжГТУ. Ижевск 2005. №3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ,-С. 39-41.

104. Морозов Е.А. Об интегрировании диссипативных динамических систем. // Вестник ИжГТУ. Ижевск 2006. № 3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2006. -С. 63 -65.

105. Исследование динамической устойчивости летательных аппаратов (ЛА): Отчет НИР (заключ.) / ИжГТУ; рук. Ефимов И.Н. 2009 134 с. -Исполн.: Морозоев Е.А., Германюк Г.Ю., Селиванов K.M., и др.. -№ государственной регистрации 01 200. 805060.

106. Фленов М.Е. Библия Delphi. 2-е изд., перераб. и доп. - Спб.: БХВ-Петербург, 2008. - 800 с.

107. Ревич Ю.В. Нестандартные приемы программирования на Delphi. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 560 с.

108. Фаронов В. В. Система программирования Delphi в подлиннике. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 450 с.

109. Мюллер Дж. Технология СОМ+: библиотека программиста. СПб.: Питер, 2002. - 464 с.

110. Липаев В.В. Проектирование программных средств: Учеб. пособие для вузов по спец. «Автоном. сист. обр. информ. и упр.». М.: Высш. шк., 1990.-303 с

111. By M. и др. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. / Дэвис Т., Нейдер Дж., Шрайндер Д. СПб.: Питер, 2006.-400 с.

112. Эдвард Энджел. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL 2-е изд. - М.: Вильяме, 2001. - 592с.

113. Ричард С и др. OpenGL Суперкнига / Райт мл., Бенджамин Липчак. 3-е изд. - М.: Вильяме, 2006. - 1040 с.

114. Рэнди Дж. OpenGL. Трехмерная графика и язык программирования шейдеров. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2005. - 430 с.

115. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов K.M., Ермолаева Е.В. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела. // Вестник ИжГТУ. 2009. №4 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009.-С. 190-195.

116. Селиванов К.М. Канонический метод интегрирования в исследовании движения твердого тела. // Интеллектуальные системы в производстве. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2010.- № 1.- С. 67-76.

117. Свидетельство о официальной регистрации программы для ЭВМ «МИДУЛА» / Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов К.М., Ермолаева Е.В.- № 2010611155; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9.02.2010 г.

118. Roskam Jan Airplan aerodynamics and performance. Design, Analysis and Research Corporation, 1997. - 743 c.