автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования

УДК 517.518

004617477

Германюк Галина Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАНОНИЧЕСКОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск-2010

1 с ЛЕК 2№

004617477

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Морозов Евгений Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Карпов Александр Иванович, г. Ижевск

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович, г. Пермь

Ведущая организация:

Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится 24 декабря 2010 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.065.07 по адресу. г.Ижевск, ул. 30 лет Победы, д.2, к.5, ауд.504.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 426069, г.Ижевск, ул.Студенческая, 7, ИжГТУ, ученому секретарю диссертационных советов

E-mail: dissovet @ islu.ru; тел./факс: (8-3412)-59-05-49

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ИжГТУ. С авторефератом можно ознакомиться по адресу: 426069, г.Ижевск, ул.Студенческая, 7, к.1 и на официальном сайте ГОУ ВПО ИжГТУ-http://www.istu.ru

Автореферат разослан 23 ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

К.В. Кетова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.

В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка 104~105, что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.

Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.

В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.

В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.

Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.

Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.

Цель работы - математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.

3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.

Методы исследования

В работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.

На защиту выносятся:

1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц. г

3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.

4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.

2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.

4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.

5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

Научная апробация результатов исследования

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатершбург 2007г.), на 6 - ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 2010г), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.

Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.

Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 143-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.

На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.

Во второй главе обосновывается возможность использования канонического метода численного интегрирования для исследования динамики ансамблей частиц, определяется условие поведения системы в форме обращения времени и исследуется влияние консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами этого метода в линейных и нелинейных системах.

Проанализирована возможность использования канонического метода численного интегрирования в исследовании движения ансамбля частиц. Как было отмечено в актуальности исследования, сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением. Таким образом, компьютерные модели, использующие канонический метод численного интегрирования, позволили исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать эволюционные процессы.

Для исследования влияния консервативных возмущений было рассмотрено использование канонического метода численного интегрирования в динамических уравнениях гармонического осциллятора (линейная система) и математического маятника (нелинейная система), с одной степенью свободы и=/.

Функция Гамильтона Н(рх,х) и уравнения движения для гармонического осциллятора (1) и математического маятника (2) запишутся в виде:

л~ дх ~ Ф°х> (1) с(х 8Н( рх,х)

л дрх

Фх дН(рх,х)

Л дх

с1х _ 8Н(рх,х) Л ~ дрх

~-$т(®0х), (2) = Рх-

N

Для ансамбля Гиббса Н=^Нк, где Ы- число частиц. к=1

Использование канонического метода численного интегрирования позволило исследовать этот вопрос численными методами, в том числе визуально, с помощью графических приложений на экране компьютера.

Для численного интегрирования систем (1) и (2), был использован алгоритм вида импульс-координата:

(3)

[„О+О- п(0 гО)Т \Рх ~ Рх Ю0Х г>

I Рх"; - Р(х° - *т(со0х(1> )г,

Ум> + р<»1> г,

[хо+о^хо) + ро+оТ1

(4)

где г - шаг интегрирования и а0=1.

Было показано, что алгоритмы (3) и (4) осуществляют каноническое преобразование точек фазового пространства. Фундаментальным свойством таких преобразований, в соответствии с утверждением Лиувшшя, является сохранение фазового объёма, действительно якобиан преобразований (3), (4) равен 1, следовательно, преобразования являются каноническими, а т-параметром консервативного возмущения.

Известно, что реальные механические процессы необратимы во времени, а процессы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений (Ньютона, Лагранжа, Гамильтона), инвариантны относительно преобразования Канонический метод численного интегрирования

позволяет исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать обратимость динамических процессов во времени.

Было проанализировано движение невзаимодействующих между собой N = 100 частиц вида (1) и N-1000 частиц вида (2), с начальными условиями

р1 = —, I =!,...,/00; х, = 0 для гармонического осциллятора

25

/?,=/• 0,003, х, = 0, : = ],...,!ООО для математического маятника.

На рисунке 1 показаны последовательные положения ансамбля на экране компьютера в течение времени, соответствующего 6-104 шагам интегрирования в направлении протекания времени, и столько же шагов при обращении времени.

Как видно из рисунка 16, каноническое возмущение, вызванное процессом численного интегрирования, не нарушает детерминированности процесса -

Начальное положение 525 шагов Рх 4 . шагов 3 А""" 2 / у / X

•4 -3 -2 -1 / 365 шагов / \7 Масштаб: / X: 1:1 Рх: 1:1 2 3 4 \ -2 \ 3 V 3 \ 261 шаг -4

** Возврат в начальное

-38 шагов А положение

\ \ \\ , -539 шагов / 2 /

1 / / х

-4 -3 -2 V 1 2 3 4

-196 шагов -2 ^Ч

Масштаб: -3 -355 шлтае

Рх: 1:1 -4

а)

б)

Рисунок 1 - Движение ансамбля частиц по каноническому методу: а) в прямом направлении течения времени; б) при обращении времени

Аналогичные исследования влияния малых консервативных возмущений при прочих равных условиях были проведены на нелинейных системах (математический маятник), в течение времени, соответствующему 6-104 шагам интегрирования.

На рисунке 2 изображено положение ансамбля в случае прямого направления времени. Как видно из рисунков, вследствие замедления движения системы при приближении к сепаратрисе, ансамбль начинает приобретать характерную спиралевидную форму для точек, лежащих ниже сепаратрисы. На сепаратрисе происходит разрыв, и точки, лежащие выше сепаратрисы, переходят во вращательное движение. Вблизи сепаратрисы движение приобретает неупорядоченный характер, что видно из рисунка 2д,е.

г СИЗ |Рх 1 .

-4 -3 -2 •1 |0 1 2 3 4 4-х г I Г

Масштаб:

X: 1:1 Рх: 1:1 н

а)

Рх 4 3 1 \ ) Х

•4 -3^-2 -1 ^ Масштаб: X: 1:1 Рх: 1:1 0 3 4 ■2 3 -4

в)

Рх 4 3 2 / 1 / ^^^ X

-4 3 -2 1 Масштаб: X: 1:1 Рх: 1:1 0 12 3 4 -1 -2 ■3 •4

б)

т-я,аь 4 : X

-4 -3 -2 -1 Масштаб: X: 1:1 -2 -3 ■4

г)

Д) с)

Рисунок 2 - Движение ансамбля частиц математического маятника: а) за 18 шагов; б) за 149 шагов; в) за 306 шагов; г) за 1030 шагов; д)за 20074 шагов; е) за 60000 шагов

Воспользуемся условием обращения времени, рисунок 3. На рисунке 3(а) показано положение ансамбля в момент времени, соответствующему -2503 шагам интегрирования. Видно, что точки, находящиеся в окрестности сепаратрисы не возвращаются в первоначальное состояние. Очевидно, что в окрестности сепаратрисы система не только не возвращается в состояние порядка, но неупорядоченные процессы продолжают развиваться, рисунок 36.

Таким образом, в консервативных нелинейных системах наличие консервативных возмущений приводит к возникновению и развитию неупорядоченных процессов.

Рисунок 3 - Движение ансамбля частиц математического маятника при обращении времени:

а) за время соответствующее - 2503 шагам интегрирования;

б) за время соответствующее — 60000 шагам интегрирования

Для исследования влияния консервативных возмущений на движение двухмерного фазового ансамбля был рассмотрен ансамбль Гиббса из N = 121 невзаимодействующих частиц в потенциальном поле Тода.

Вид потенциала Тода приведён на рисунке 4.

/У &

Рисунок 4 - Уровни потенциальной энергии {/,

Функция Гамильтона и уравнения движения в безразмерном виде запишутся:

N

ы

Ра , р* , / 2тхк 2тук 24

+ -!г,{ехр(2Ук+2Лхк) + ехР(2Ук -^43хк) + ехр(~4ук))-~

Ф^ = _= _^ехр(2у^ + ^ + ехр(2ук _2~[Зхк)-2ехр(-4ук Д т о ук 12

<Ьк ^ дН = рхк

Л дрл тхк '

<1ук Ж = Рук

Л друк тук '

(5)

где к = 1,.....121.

Особенность системы (5) заключается в том, что, как и в случае математического маятника, движение вблизи начала координат будет иметь линейный характер (рис.4).

Как известно из теории, при тх = ту система будет интегрируема, а при

тх * ту система неинтегрируемая.

Как и в случае гармонического осциллятора и математического маятника, запишем алгоритм импульс-координата, для системы (5) в виде:

гс*о _ ¿0

уГ-

у\V

12 „0*0 + г,

тл

„0*0 Рук

к = ],...,] 2]

к=1.....121

где г - шаг интегрирования. В начальный момент времени I = 0 ансамбль Гиббса располагался в начале координат и образовывал квадрат со стороной 0,01 ед. и расстоянием между частицами 0,001 ед..

Пусть система интегрируема: тх=ту и рх = ру = 0,01, общее время

работы, соответствует Ю3 шагам интегрирования. На рисунке 5а представлено последовательное положение ансамбля. Как видно, квадрат сохраняет форму и периодически возвращается в начальное состояние, рисунок 56. Данный случай соответствует линейным системам.

Рассмотрена эволюция системы при увеличении степени нелинейности с начальным значением импульсов рх=ру=1 и тх=ту и прочих равных

условиях. На рисунке 6 представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, при течении времени в положительном направлении (рис.ба) и при обращении времени (рис.66).

» I ' г Масштаб: X: 1:1 У: 1:1 -0.02 -0.01 II:':':' 0.02 ■ - 1 ■* 0.01 р.йК -0.01 0.02

::::: X

<........ ' -СО! ■■ .• --0.02 |

Масодвб: X: 1:1 У: 1:1

а) б)

Рисунок 5 - Движение ансамбля ю 121 частицы в условиях линейного потенциала: а) движение ансамбля в положительном направлении течении времени; б) возвращение в начальное положение при обращении времени

Как видно, система не возвращается в исходное положение при обращении времени и наблюдается возникновение и развитие неупорядоченных процессов. Более детальный анализ показывает, что они развиваются линейно.

Масштаб: . / X: 1:1 / ✓ , "У: 1:1 / Ь ! / / ч У \ 1 \ • \ \ Ч ' \ * X

/ / УГ" *•«.' / -1 . . . 1 . . Ч : \ • Г \ ........!...'

а) б)

Рисунок 6 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:

а) фазовая траектория в интервале от 0,98 ■ 105 до 105 шагов интегрирования;

б) положение ансамбля при обращении времени через Ю^ шагов

Рассмотрим неинтегрируемый случай, соответствующий: тхФту, тх = 1 и ту=2\рх- ру -1 при прочих равных условиях. На рисунке 7 так же представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, в положительном направлении течения времени и при обращении времени соответственно.

1 : ' •-/■• Масштаб: / ■ X: 1:1 . / , ГУ: 1:1 /. / • • / £ 1/ • •• ♦ *• -У • | • щ V \ 1 ' \ ~ ч • \ ■ * \ *. ч [•.' * \ 1 1. X

-1- • '. ч ' •• . \ :

а) б)

Рисунок 7 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:

а) фазовая траектория в интервале от 0,98 ■ 105 до 105 шагов интегрирования; б) положение ансамбля при обращении времени через Ю5 шагов

Из рисунков видно, что в неинтегрируемых системах неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее, в отличие от интегрируемых, где они возрастают линейно. Для сравнительного анализа, одним из предположений можно использовать качественную оценку фазовой траектории ансамбля, на рисунках 6а и 7а. Из рисунка 6а видно, что наблюдается сохранение некоторого

порядка, обусловленного наличием интеграла движения. Для неинтегрируемых систем за тот же интервал времени (рис.7а) наблюдается отсутствие регулярности в повторении траектории, и интенсивность контрастности рисунков неоднородна.

Полученные результаты ещё раз показывают, что нелинейность системы и действие малых консервативных возмущений приводят к возникновению и развитию неупорядочных процессов.

Третья глава посвящена описанию программного комплекса для исследования движения одномерного ансамбля при различных начальных условиях и условиях попарного межчастичного взаимодействия, созданного на основе использования канонического метода численного интегрирования (рис.9).

Программный комплекс состоит из трёх подсистем:

• Подсистема моделирования

• Подсистема просмотра результатов

• Подсистема модификации

Программный комплекс

Рисунок 9 - Структура программного комплекса

Подсистема моделирования позволяет построить компьютерные модели и произвести компьютерный эксперимент на основе канонических алгоритмов интегрирования и состоит из следующих модулей:

• Модуль описания модели - задаёт характеристики динамических систем и её начальные параметры (схема интегрирования).

• Модуль формирования эксперимента - на основе описанной модели создаёт программу для проведения компьютерного эксперимента.

• Модуль проведения эксперимента - проводит интегрирование модели на основе алгоритма интегрирования и передаёт полученный численный

результат в подсистему модификации и в подсистему просмотра результатов.

Подсистема модификации позволяет вычислять среднюю потенциальную и среднюю кинетическую энергию и гамильтониан, используя данные, полученные в результате эксперимента. Так как процесс функционирования модификатора описан заранее, это обеспечивает его удобный вызов посредством одной кнопки, что экономит время оператора и системы. Результатом модификатора является новый набор данных, которые незамедлительно выводятся на экран. Модификатор состоит из следующих модулей:

• Модуль расчёта потенциальной энергии - производит вычисление средней потенциальной энергии системы по формуле:

/ г ч 12 /

1 -2 1

X,- - X, Х, — Х1

V \ 1 } \ 1 ) ; /

п

• Модуль расчёта кинетической энергии - производит вычисление средней

п

2/л2

кинетической энергии системы по формуле: <Ек >= —— .

2п

• Модуль расчёта гамильтониана - производит вычисление суммы кинетической и потенциальной энергий системы по формуле:

Н =<Ек> +11.

• Дамп. Выводит на экран значения всех параметров в текущий момент времени.

Подсистема просмотра результатов предоставляет инструменты для демонстрации числовых данных, полученных в результате проведения эксперимента и состоит из следующих модулей:

• Модуль загрузки данных - позволяет загрузить данные из файла на носителе в память программы.

• Модуль вывода на экран - выводит различные зависимости в виде графиков или отображает фактические значения параметров.

• Модуль сохранения изображения - позволяет сохранять графики в файл для дальнейшего использования.

Как и в натурном эксперименте предусмотрена возможность разделения процесса проведения эксперимента и анализ его результатов. Поэтому основной комплекс вычислительных операций осуществляется в автоматическом режиме без участия оператора в удобное (например, ночное) время. После этого экспериментатор может просмотреть полученные результаты в ускоренном режиме.

В программном комплексе решаются следующие задачи:

1. Ввод исходных данных для моделирования системы.

2. Проверка правильности введённых данных.

3. Проведение компьютерного эксперимента на основе математической модели.

4. Представление результатов эксперимента в виде графиков и таблиц.

В четвёртой главе приводятся результаты работы программного комплекса по исследованию движения одномерного ансамбля, включающего от 3 до 1001 частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия, и общая методика проведения компьютерного исследования одномерных систем.

Как известно, существуют два подхода в исследовании атомно-молекулярных систем: статистический и динамический.

Одной из отличительных особенностей в использовании подходов является трактовка физического смысла величин, характеризующих состояние системы. Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных характеристик системы -температуру.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения частиц тела и для одноатомных газов имеет вид:

<Е>=~кТ , (9)

где Т- абсолютная температура в Кельвинах, к = 1,38-10~п —

моль К

постоянная Больцмана.

Термодинамический и статистический подходы позволяют исследовать системы исключительно в равновесном состоянии.

Однако, как было отмечено выше, эволюционные процессы могут протекать лишь в неравновесных состояниях системы. В этой связи удобно использовать понятие температуры как внутреннюю характеристику системы.

Термодинамическая температура как мера средней кинетической энергии частиц системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Динамическая температура как мера средней кинетической энергии системы в неравновесном состоянии.

Во втором случае изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки поведения системы в условиях парного взаимодействия.

Определим динамическую температуру, выраженную в Кельвинах через текущую среднюю кинетическую энергию, выраженную в безразмерных единицах.

Безразмерная средняя кинетическая энергия доя частицы запишется в виде:

Обратная связь со шкалой Кельвина выразится в виде:

<£•>=- = -— => (Ю)

s 2 s 3 к

где е- значение минимума потенциальной энергии в потенциале Леннарда-Джонса.

Пусть имеется одномерная молекулярная система из Аг-взаимодействующих частиц, совершающих продольные движения вдоль оси х. В качестве потенциала попарного межчастичного взаимодействия будем использовать потенциал Леннарда-Джонса. Функция Гамильтона и динамические уравнения для ансамбля взаимодействующих частиц запишутся в виде:

N N „2 N

1=1 1=1 *

Л

■1=1 1*1

Г \ 1 12 2 г \ 1

1*' ~Х1) 1*' ~х]) /

\хи )

(П)

<Ьс, дН Д ф/ /=/

Для исследования влияния консервативных возмущений воспользуемся алгоритмом импульс-координата, общее время работы соответствует 106 шагам интегрирования:

ан/г,1*' п'*'•г'1-' I

„(к+ц - „<к> .....Рх .....хп >

У! - Р<--5 т -

ол,

=р\

!к>.

1.1-1. 1

I

ХЧ) ¿к*1>

-(к+1) . °"<Р1 .....Р* .....Рп •Х1 —'хп

Х1 ~ Л1 + ^ 1 - ■ Зр,

т,

где 1 = 1.....,п;} = /,....,п; ; г-шаг интегрирования.

Очевидно, что при малых значениях энергии частицы будут совершать колебания вблизи устойчивого положения равновесия, на основе программного комплекса была исследована динамическая температура. График зависимости динамической температуры от числа частиц в системе, в частности для инертного газа Аге представлен на рисунке 10.

Рисунок 10 - Зависимость динамической температуры от числа частиц для инертного газа Иг

Из графика видно, что увеличение числа частиц приводит к стремлению динамической температуры к некоторому фиксированному значению.

Рассмотрено влияние консервативных возмущений на движение ансамблей частиц вблизи положения равновесия, в частности, приведены результаты исследования для ансамбля из 101 частицы. В качестве начальных условий использовались значения:

где 1=1,2,3,.....,п, Ах = /.

График средней кинетической энергии ансамбля представлен на рисунке

Из графика видно, что средняя кинетическая энергия совершает колебания с постоянной амплитудой. Это означает наличие упорядоченного движения в системе, которое определяется в форме двух волн (рис.12). И при обращении времени система возвращается в положение равновесия. Это говорит об устойчивости системы к влиянию консервативных возмущений вблизи положения равновесия.

(12)

11.

Рисунок 11 - График колебания средней кинетической энергии во времени для ансамбля из 101 частицы

пг. Ма&итвВ: ■"м : X: 1:1 0.03 ' Р:1;1 > ■о.ог . ■:;.' ;.> 001 . -

'"V"Г Л"**!™*» ... . « ■ : ......1........ '"■•■■ - ..¡"'.:.-.'.Л; -0.01 .ТУс .«.¿2 V;;.;''; \ --й.оз - ? ;; ■ - •0.34 ; ■ .

Рисунок 12 - Фазовая траектория ансамбля из 101 частицы

Как было показано на предыдущих моделях, причиной возникновения и развития неупорядоченных процессов является нелинейность системы и действие консервативных возмущений. Возникает вопрос, как будет вести рассматриваемая система в условиях нелинейности. Поскольку исследование вопросов перехода детерминированных процессов в неупорядоченные необходимо осуществлять каким-либо упорядоченным образом, для этого был предложен метод импульсной передачи энергии крайним частицам. Упорядоченная передача энергии состоит в том, что крайним частицам сообщён начальный импульс, отличный от нуля: р](0) = Ар, р„(0) = Ар, где Ар - начальный импульс, передаваемый системе в начальный момент времени ( = 0. При таких условиях консервативность системы не нарушается, иными словами, был осуществлён консервативный нагрев. Начальный импульс крайних частиц ансамблей последовательно увеличивали от 0 до 2 с шагом 0,1. Обращением времени определялось поведение системы.

Анализы работы программного комплекса по исследованию поведения ансамбля при консервативном нагреве представлены в таблице 1, в частности, для неона Ме.

Таблица 1 - Анализ компьютерного эксперимента

для ансамбля из 101 частицы (инертного газа Л'е)

Начальная динамическая температура

Т,К

Начальный импульс Ар

Приращение динамической температуры

ЛТ.К

Характер движения

3,4-10

0 -0,5

0 - 5,9 10

сохраняется порядок в движении

3,4-10

0,5 - 1,7

5,9-10"2-68,6-10"2

нарушается порядок в движении

3,4-10-

1-3

1,7 и выше

68,6-10"2 и выше

неупорядоченный с разделением на группы (разрушение кристалла)

Проведённый анализ исследования поведения движения ансамбля вблизи устойчивого положения равновесия и при консервативном нагреве показывает,

что в нелинейных системах влияние консервативных возмущений приводит к возникновению и развитию неупорядоченных процессов.

Основные выводы и результаты работы

1. Построены математические модели движения ансамбля частиц, которые позволяют исследовать движение ансамбля Гиббса: гармонический осциллятор, математический маятник, двумерный ансамбль с потенциалом Тода, в условиях действия консервативных возмущений.

2. Проведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности на больших интервалах времени для алгоритмов интегрирования по каноническому методу и методу Эйлера.

3. На основе компьютерного эксперимента, осуществляемого в условиях обратимости времени, было показано:

- линейные системы устойчивы к действию консервативных возмущений;

- наличие консервативных возмущений в условиях нелинейности системы приводят к возникновению и развитию неупорядоченных процессов;

- в неинтегрируемых системах в отличие от интегрируемых, неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее.

4. Изменение динамической температуры во времени может бьггь использовано для оценки характера движения системы в условиях парного взаимодействия с потенциалом Леннарда-Джонса.

5. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы при консервативном нагреве в одномерном, ансамбле N-51-¡001 частиц могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар =0,5.

6. Разработан и протестирован комплекс программ для исследования движения ансамбля Гиббса до А' = 1000 частиц.

Список публикаций по теме диссертации

1. Морозов Е.А., Германюк Г.Ю. О нелинейных свойствах канонического метода интегрирования динамических уравнений. /Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании: Сборник тезисов Международной научной конференции. Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2007.-С.41.

2. Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Об исследовании системы цепочки Тода каноническим методом. // Сб. докладов второй Всероссийской конференции. Екатеринбург-Ижевск, 2007. - Изд-во института экономики УрО РАН. - С. 97-100.

3. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю. Влияние нелинейности на возникновение и развитие хаоса в одномерных системах. // Вестник ИжГТУ. 2009. - № 3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 162-166.

4. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Использование канонического метода для моделирования молекулярных систем. // Вестник ИжГТУ. 2009. - № 4 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 173-176.

5. Германюк ГЛО. Программный комплекс для исследования динамики ансамбля частиц. / Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образования и экологии: Сборник тезисов Всероссийской научно-технической конференции. Тула, 2010. - С.15-17.

6. Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Программный комплекс для исследования динамики одномерных ансамблей Гиббса. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2010/1. Ижевск 2010. - С.29-36

7. Германюк Д.Е., Германюк Г.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010611691 «Программный комплекс моделирования движения ансамбля», зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 марта 2010г.

8. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Канонический метод интегрирования в исследовании ансамбля Гиббса. /Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики: Сборник научных трудов по материалам XIII Международной научно-практической конференции. - М.: МГУПИ, 2010 г. - С. 127-133.

Подписано в печать 10.11.2010г. Формат 60*84/16 Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 1188 Отпечатано в ЧТИ ИжГТУ 617766, Пермский край, г. Чайковский, ул. Декабристов, 23

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАБОТЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Анализ подходов в исследовании систем.

1.2. Ансамбль Гиббса в потенциальном поле.

1.3. Гамильтоновы динамические системы.

1.4. Методы интегрирования динамических систем.

1.5. Сравнительный анализ алгоритмов интегрирования.

1.6. Постановка цели и задачи выполняемого исследования.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.

2.1. Одномерный ансамбль Гиббса.

2.2. Консервативное возмущение в линейной и нелинейной системе.

2.3. Обратимость времени в линейной и нелинейной системе.

2.4. Математическая модель движения двумерного фазового ансамбля.

2.5. Динамика двухатомной молекулы.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

ГЛАВА 3 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.

3.1. Методика моделирования и исследования движения ансамбля Гиббса.

3.2. Структура и работа программного комплекса.

3.3. Отображение данных и сохранение изображения результатов эксперимента.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

ГЛАВА 4 ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО КРИСТАЛЛА.

4.1. Энергия и температура системы.

4.2. Динамическая температура в одномерной системе.

4.3. Динамика ансамбля вблизи положения равновесия.

4.4. Консервативный нагрев ансамбля частиц.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.

В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка 104 -105, что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.

Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.

В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.

В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.

Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.

Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.

Цель работы - математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.

3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.

Методы исследования

В работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.

На защиту выносятся: 1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.

4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.

2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.

4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.

5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

Научная апробация результатов исследования

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007г.), на 6 - ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 20Юг), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.

Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.

Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 143-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.

На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.

Во второй главе проводятся исследования влияния малых консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами канонического метода численного интегрирования в линейных и нелинейных системах. В качестве математической модели динамической системы был использован ансамбль Гиббса. Исследования влияния консервативных возмущений, моделируемых вычислительным процессом, осуществляются на следующих системах невзаимодействующих частиц: с одной степенью свободы - гармонический осциллятор, математический маятник; с двумя степенями свободы - движение в потенциальном поле Тода.

Влияние консервативного возмущения в условиях межчастичного взаимодействия исследуется на компьютерной модели двухатомной молекулы. В качестве потенциала взаимодействия используется известный потенциал Леннарда-Джонса.

Проведена оценка влияния малых консервативных возмущений на исследуемые системы посредством относительного изменения функции Гамильтона.

В третьей главе представлен разработанный программный комплекс, в основу которого положен канонический метод численного интегрирования динамических уравнений. Описывается структура и работа.

Приведены опытные результаты работы программного комплекса исследования динамической модели из И = 3 -1000 частиц. Полученные результаты показали устойчивость работы программного комплекса к накоплению погрешности. Использования в блоке интегрирования алгоритмов канонического метода численного интегрирования обеспечивают повышение точности и производительности компьютерного эксперимента.

В четвертой главе приводятся результаты проведения компьютерного эксперимента, полученные на программном комплексе, при исследовании динамики одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия. Для ансамблей из 11 и 101 частиц исследовано влияние передаваемых импульсов в начальный момент времени.

В ходе проведения компьютерного эксперимента было подтверждено, что использование канонического метода численного интегрирования в программном комплексе обеспечивает устойчивость систем к влиянию малых консервативных возмущений вблизи положения равновесия. При возрастании нелинейности системы и действия малых консервативных возмущений упорядоченное движение переходит в неупорядоченное.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

Полученные результаты исследования одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия на программном комплексе позволяют сделать следующие выводы:

1. Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять исследования процессов в одномерных ансамблях взаимодействующих частиц.

2. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы в одномерном ансамбле при консервативном нагреве могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

3. Причиной неупорядоченных процессов в условиях нелинейного характера движения частиц ансамбля является влияние малых консервативных возмущений.

4. Развитие неупорядоченных процессов под действием малых консервативных возмущений приводит к общей необратимости динамических процессов в ансамбле.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования были получены следующие основные результаты:

1. Построены математические модели движения ансамбля частиц, которые позволяют исследовать движение ансамбля Гиббса: гармонический осциллятор, математический маятник, двумерный ансамбль с потенциалом Тода, в условиях действия консервативных возмущений.

2. Проведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности на больших интервалах времени для алгоритмов интегрирования по каноническому методу и методу Эйлера.

3. На основе компьютерного эксперимента, осуществляемого в условиях обратимости времени, было показано:

- линейные системы устойчивы к действию консервативных возмущений;

- наличие консервативных возмущений в условиях нелинейности системы приводят к возникновению и развитию неупорядоченных процессов;

- в неинтегрируемых системах в отличие от интегрируемых, неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее.

4. Изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки характера движения системы в условиях парного взаимодействия с потенциалом Леннарда-Джонса.

5. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы при консервативном нагреве в одномерном ансамбле N = 51-1001 частиц, могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

6. Разработан и протестирован комплекс программ для исследования движения ансамбля Гиббса до N = 1000 частиц.

1. Стратонович Р.Л., Полякова М.С. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Изд-во Московского Университета, 1981,— 176 с.

2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. Изд-во «Наука» М., 1976, -480 с.

3. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983,-416 с.

4. Климантович Ю.Л. Статистическая физика. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. С. 608

5. Рейф Ф. Статистическая физика. Перевод с англ. Главная редакция физико-математической литературы изд-во «Наука», 1977, 352 с.

6. Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. -М.: Наука, 1973

7. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И.Хаотическая динамика простых систем. // Природа. 1981. — №2

8. Синай Я.Г. Случайность неслучайного. // Природа. 1981. - №3

9. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности. М.: Просвещение, 1984

10. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 1-5. М.: Советская энциклопедия, 1977-1984.

11. П.Ньютон И., Математические начала натуральной философии, пер. с латин., в кн.: Крылов А.Н., Собр. трудов, т.7, М.-Л., 1936.

12. Эйлер Л., Основы динамики точки. М.-Л., 1938.

13. Лагранж Ж., Аналитическая механика. Т. 1,2. / Пер. с фр.; Под ред. А.Н. —М.-Л., 1950.

14. Остроградский М.В. Полное собрание трудов. Т. 2,3. -К. 1961.

15. Гамильтон У. Об общем методе в динамике., / Пер. с англ. В кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей под ред. A.C. Полака. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. С. 284-288.

16. Якоби К. Лекции по динамике. / Пер. с нем.; Под ред. А.Н. -M.-JL, ОНТИ, 1936. -272 с.

17. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1,2. М.: Мир, 1981. - 14 у.п.л.

18. Гернет М.М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и сокр. - М.: Высшая школа, 1981. — 304 е., ил.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. -М.: Наука, 1988. 174 с.

20. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. - 368 с.

21. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М. Изд-во Моск. ун-та: 1978. 575 е., 127 ил.

22. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд. МГУ, 1984. -295 с.

23. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. -416 с.

24. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

25. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1981. - 14 у.п.л.

26. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967. — 335 с.

27. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

28. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. - 264 с.

29. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. -М.: Мир, 1971.-392 с.

30. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. — 664 с.

31. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. M.-JL, Гостехиздат, 1946.

32. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Изд-во Институт экономики УрО РАН, 2006, 142 с.

33. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.1. / Под ред. В.Н. Лозовского. -СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.

34. Савельев И.В. Курс общей физики, Т.1. Механика. Молекулярная физика. -М.: Наука. 1982. 432 с.

35. Henon М., Heiles С. The applicability of the third of motion: some numerical experiments.Asrtron. J., 69, 73 (1964).

36. Ford J., Stoddard S.D., Turner J.S. On the integrability of the Toda lattice. Prog. Theor. Phys., 50, 1574 (1973).

37. Contopoulos G., Polymilis C. Approximations of the 3- particle Toda lattice. Physica, 24D, 328 (1987).

38. Физическая энциклопедия. Гл. ред. Прохоров A.M., т. 1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1990.

39. Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. — М.: Мир, 1981,574 с.

40. Lennard-Jones J. Е.// Proc. Roy. Soc. 1924. V. A106. P. 463; Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms// Proc. Camb. Phil. Soc. 1931. V. 27. P. 469.

41. Morse P. M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels// Phys. Rev. 1929. V. 34. P. 57.

42. Зиненко В. И., Сорокин Б. П., Турчин П. П. Основы физики твердого тела. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001.

43. Кривцов А. М., Кривцова Н. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела// Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, № 2. С. 254.

44. Malescio G. Intermolecular potentials — past, present, future// Nature Materials. 2003. V. 2. P. 501.

45. Wilson N. T. The structure and dynamics of noble metal clusters: PhD Thesis, 2000.

46. Maruyama S. Molecular dynamics method for microscale heat transfer// W. J. Minkowycz, E. M. Sparrow (Eds). Advances in Numerical Heat Transfer. V. 2, Chap. 6. New York: Taylor & Francis, 2000. P. 189—226.

47. Stoddard S. D., Ford J. Numerical Experiments on the Stochastic Behavior of a Lennard-Jones Gas System// Phys. Rev. 1973. V. A8. P. 1504.

48. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Пер. с англ. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

49. Дубровин Б.А., в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т.4, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) М.: ВИНИТИ, 1985. С.179

50. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002

51. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1995

52. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. М.- Ижевск: Инст. компьют.исслед., 2004

53. Стэррок П. Статистическая и динамическая электронная оптика. — М.: Мир. 1958. 72 с.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З: Квантовая механика. М.: Наука, 1989.-652 с.

55. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 450 с.

56. Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1-2. Харьков. ОНТИ, 1975.

57. Данилов Л.В. и др. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. -256 с.

58. Нетушил A.B. и др. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях: учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1983. — 432 е., ил.

59. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967. 488 с.

60. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977. - 496 е., ил.

61. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1. М.: Наука, 1971.

62. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом. «Удм. ун-т», 1999.

63. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

64. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

65. Колмогоров А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. //Докл. АН СССР. 1954, т.98, С. 572

66. Колмогоров А.Н. ДАН СССР 124 754 (1959)

67. Синай Я.Г. ДАН СССР 124 768 (1959)

68. Колмогоров А.Н. ДАН СССР 98 527 (1954)

69. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. - 176 с.

70. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 224 с.

71. Арнольд В.И. знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической механике. // Успехи математических наук. Т.18, С. 85, 1963

72. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 576 с.

73. Мозер Ю., в сб. Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей Т.6. М.: Мир, 1962, С. 51

74. Арнольд В.И. Успехи математической науки 18 13 (1963)

75. Арнольд В.И. Успехи математической науки 18 91 (1963)

76. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973

77. Мозер Ю. KAM теория и проблемы устойчивости. - Ижевск: ИРТ, 2001. -С. 448

78. Холодниок М. и др. Методы анализа нелинейных динамических моделей. -М.: Мир, 1991.-368 с.

79. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейной динамики. М.: Наука, 1977.-256 с.

80. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988

81. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001

82. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990

83. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987

84. Трещев Д.В. Ведение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис, 1998

85. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. О принципе консервативных возмущений. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/1 Ижевск 2005, С. 52-62

86. Морозов Е.А. Об устойчивости интегральных кривых в сопряженных пространствах. // Вестник ИжГТУ. 2005. №3 Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005. С. 39-41

87. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики. // Успехи физических наук, 2007. Том 177, №9. С. 990-1015

88. Олыпанецкий М.А., Переломов A.M., Семенов-Тян-Шанский М.А., в сб. Итоги науки и техники. Сер. Динамические системы. Т.7. М.: ВИНИТИ, 1987. С.86

89. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. в сб. Итоги науки и техники. Динамические системы. Т.7, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. С.227

90. Щукин А.А., Сушкин И.Н., Зах Р.Г., Бахмачевский Б.И., Лызо Г.П.

91. Теплотехника. М. 1973 С. 479

92. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.5: Статистическаяфизика. М.: Наука, 1964. 523 с.

93. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика.1. М.: Наука, 1979.-552 с.

94. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.2. / Под ред. В.Н. Лозовского.

95. СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.

96. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Физматгиз, 1959, ч. II, гл.1..

97. Демидович Б.П. и др. Численные методы. М.: Наука, 1967. — 368 с.

98. Данилина Н.И. и др. Численные методы. Учебник для техникумов. М.: Высшая школа, 1976. — 368 с.

99. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 832 с.

100. Л. Коллатц. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953, гл.1.

101. Дж. Скарборо. Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл.Х1, XIII.

102. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Канонические схемы численного интегрирования уравнений движения. // Социально-экономические проблемы развития региона. Г. Чайковский, 2001. С. 339-349

103. Морозов Е.А. О связи канонических отображений с гамильтонианами. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/2. Ижевск 2005

104. Морозов Е.А. Каноническое интегрирование в проектировании динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института экономики УРО РАН, 2006. 196 с.

105. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Устойчивость канонического метода интегрирования гамильтоновых систем. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2003/1. Ижевск 2003. С.23-38

106. Морозов Е.А. О консервативном характере возмущений метода численного интегрирования. // Известия ТулГУ. Серия математическая. Математика. Механика. Информатика. — Т 11. Вып. 3. Тула. Изд-во ТулГУ. 2005. С. 142-145.

107. Шилейко A.B., Шилейко Т.И. Информация или интуиция? М.: Мол. гвардия, 1983.-208 с.

108. Henon М. Integrals of the Toda lattice. Phys. Rev., B9, 1921, 1974

109. Casati G., Ford J. Stochastic transition in the unequal-mass Toda lattice. Phys. Rev., Al 2, 1702, 1974

110. Тимоти Бадд. Объектно-ориентированное программирование в действии. Изд-во: Питер, 1997 464 с.

111. Пышкин Е.В. Основные концепции и механизмы объектно-ориентированного программирования. Изд-во: СПб.: БХВ — Петербург, 2005 640с.

112. Иванова Г.С., Ничушкина Т.Н., Пугачев Е.К. Объектно-ориентированное программирование. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 320с.

113. Ш.Немнюгин Сергей Андреевич, Pascal и Turbo Pascal. Учебные языкипрограммирования 2-е издание, — СПб.: Питер, 2008. 544 с. 112. Фаронов В.В. Turbo Pascal 7.0. Практика Программирования. - М.: Просвещение. 1999

114. ПЗ.Культин Н.Б. Delphi 6. Программирование на OBJECT PASCAL. 2 изд.М.

115. Вильяме». 2001. — 526 с. 114. Фленов М.Е. Библия Delphi 2-е изд., перераб. и доп. - Спб.: БХВ-Петербург, 2008. - 800 с: ил. +CD-ROM

116. Архангельский А.Я. Delphi 2006/ Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win 32 и .NET. M. : ООО "Бином-Пресс", 2006 г. - 1152 с. : ил

117. Нб.Культин Н. Б. Основы программирования в Delphi 7. СПб.: БХВ-Петербург. 2003. - 608 е.: ил.

118. Зуев Е. А. Программирование на языке Turbo Pascal 6.0, 7.0, М.:Веста,Радио и связь, 1993, — С.376

119. Кассера В. Ф. Turbo Pascal 7.0, Диасофт, 2003

120. Нэйл Рубенкинг. Turbo Pascal для Windows = Turbo Pascal for Windows. Techniques and Utilités. — M.: Мир, 1993. — С. 535.

121. Фаронов В. В. Turbo Pascal. Наиболее полное руководство. BHV-Санкт-Петербург, 2007.

122. Шрайнер Дэйв, By M., Нейдер Дж., Девис, OpenGL Programming Guide, Fourth edition. СПб.: Питер, 2006. - 624 с.

123. Ричард С. Райт мл., Бенджамин Липчак. OpenGL. Суперкнига = OpenGL SuperBible. — 3 изд. — M.: Вильяме, 2006. — С. 1040.

124. By M., Дэвис Т., Нейдер Дж., Шрайндер Д. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. Питер, 2006

125. Эдвард Энджел. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL = Interactive Computer Graphics. A Top-Down Approach with Open GL. — 2-е изд. — M.: Вильяме, 2001. — 592 с

126. Рэнди Дж. Рост. OpenGL. Трехмерная графика и язык программирования шейдеров. Для профессионалов. Питер, 2005