автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы и комплексы программ для анализа моделей классических нелинейных полиномиальных гамильтоновых систем и их квантовых аналогов

Направахрукописи

УДК 6813.06 51-72:531/534 51-72:530.145

Уколов Юрий Алексеевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ КЛАССИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ И ИХ КВАНТОВЫХ АНАЛОГОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2004

Работа выполнена в Белгородском государственном университете Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Н.А. Чеканов

И.В. Пузынин

Г.Л. Сидельников

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов.

Защита состоится 23 декабря 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212 015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « 22 » ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко СЕ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время классические нелинейные гамильтоновы системы и их квантовые аналоги играют важную роль при описании современных математических моделей физики, таких как модель квадрупольных колебаний сферической поверхности атомного ядра (система Хенона-Хейлеса), комбинационного рассеяния света, двумерного атома водорода, движения небесных тел и т.д.

Особенностью динамики таких систем являются сингулярности, аттракторы, хаотические режимы. Одним из наиболее загадочных и, возможно, сложных явлений в современной динамике является одновременное существование регулярных и хаотических движений в гамильтоновых динамических системах. Если число степеней свободы превышает 1, оба типа движения возникают в фазовом пространстве большинства известных примеров, таких как стандартное отображение, двойной маятник, система Хенона-Хейлеса, задача трех тел и т.д.

Для исследования подобных нелинейных математических моделей применяются канонические преобразования, аналитические и численные меюды. Знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) позволяет получить много информации о регулярных движениях, и то же почти ничего неизвестно о структуре хаотических движений. Важную роль при изучениии систем допускающих хаотический режим движения сыграли работы Я.Б. Лесина, А. Джиорджилли, В.Ф. Лазуткина, К. Симо и др. Было показано, что для таких систем характерно наличие гиперболической структуры. Для выявления этого свойства нелинейных динамических систем часто используют отображения сохраняющие площадь (симплектиче-ские отображения), например, метод поверхности сечения Пуанкаре.

При изучении нелинейных гамильтоновых систем в последнее время актуальной проблемой является проблема так называемого квантового хаоса. Термин «квантовый хаос» нужно понимать как квантовые проявления динамического хаоса, т.е. построение квантовых аналогов классиче-

гаснд

БИ1

С

• 43

ских нелинейных гамильтоновых систем, допускающих хаотический режим движения, и вычисление их квантовых характеристик. Детальное рассмотрение этого феномена можно найти в книге Ю. Штокмана «Квантовый хаос».

Неоценимую роль для изучения динамики нелинейных гамильтоно-вых систем, а также для построения их квантовых аналогов и вычисления квантовых характеристик играет применение численных методов и компьютеров. Их использование для анализа нелинейных систем было начато работами Э. Ферми и С. Улама и сейчас достигло такого уровня, что характер процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его на дисплее даже в тех случаях, где могут быть получены формальные результаты. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем и вычисления их квантовых характеристик при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Для анализа некоторой системы дифференциальных уравнений, описывающих реальную систему, компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Систематическое развитие компьютерных исследований является одной из фундаментальных задач этого столетия.

Следовательно, разработка дискретных моделей, эффективных методов аналитических, численных, а также их синтез (численно-аналитических), и реализация этих методов в виде быстродействующих и «дешевых» программных средств, является актуальной проблемой математического моделирования нелинейной динамики.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ для анализа динамики нелинейных гамильтоновых систем, аналитических и численных расчетов их квантовых характеристик, а также разработка эффективного численно-аналитического метода решения задачи на собст-

венные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера и его реализация в виде программы.

В диссертационной работе поставлена и решена актуальная научная задача: разработать комплекс программ для анализа динамики нелинейных многомерных гамильтоновых систем полиномиального типа и их квантовых аналогов, а также разработать и реализовать в виде программы численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для нелинейного двумерного уравнения Шредингера.

Для решения этой задачи были поставлены и решены следующие задачи:

• анализ модели нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса

• нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов

• реализация алгоритма построения классической нормальной формы в подходе Депри-Хори и сравнение его с другими способами нормализации

• разработка и реализация численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера.

• визуализация физических характеристик изучаемых процессов Научная новизна. Составлена и отлажена новая программа нормализации полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов. Исследована динамика нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса численно методом сечений Пуанкаре и аналитически методом нормальных форм, на основе классической нормальной формы построен ее квантовый аналог и рассчитан энергетический спектр. Для сравнения полученных результатов методом квантовой нормальной формы был вычислен при конкретных параметрах гамильтониана Барбаниса его точный квантовый спектр методом диагонализации с базисными функциями двумерного осциллятора и рассчитан приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений. Показано, что ре-

зультаты вычислений энергетического спектра на основе метода квантовой нормальной формы дают удовлетворительное приближение при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции. Разработан новый численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шрединге-ра. С помощью нового метода исследована квантовая модель квадруполь-ных колебаний поверхности ядра, а также рассчитаны и визуализированы ее физические характеристики.

Практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при исследовании динамики нелинейных гамильтоно-вых систем. Полученные программные средства могут быть применены для построения классических нормальных форм нелинейных гамильтоно-вых систем полиномиального типа. Разработанный численно-аналитический метод может использоваться при решении задач на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера

Положения выносимые на защиту.

1. Проведен анализ динамики нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса. При помощи критерия отрицательной гауссовой кривизны и прямых численных расчетов сечений Пуанкаре показана неинтегрируемость исследуемой системы. На основе метода классической нормальной формы при помощи правила квантования Вейля для этой системы получен энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической формулы, который при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции дает удовлетворительное приближение к точному квантовому спектру, вычисленному методом диагонализации.

2. Составлена и отлажена программа нормализации нелинейных га-мильтоновых систем полиномиального типа, реализованная в рамках теории возмущений гамильтоновых систем на основе метода Депри-Хори.

3. Разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на И международных конференциях: International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics (Dubna, June 28-30, 2001г.); международная молодежная научная конференция «XXVII Гагаринские чтения» (Москва, 2-7 апреля 2001 г.); International Conference Modern Problems ofTheoretical Physics, MPTP-2002 dedicated to the 90th anniversary of A.S. Davydov (г. Киев, 9-15 декабря, 2002 г.); международной научно-практическая конференция «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Львов, 2003); 6-тая Международная конференция по математическому моделированию, «МКММ'03» (г. Херсон, 9-14 сент. 2003 г.); 6-th Session V.A. Fock School on Quantum and Computational Chemistry, (12 - 16 May 2003, Novgorod the Great, RUSSIA); 6th Workshop on Computer Algebra in Sientific Computing, (September 20-26, Passau, Germany, 2003); LIV международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. (Белгород, 22-25 июня, 2004); Bogolyubov Conference "Problems of Theoretical and Mathematical Physics" (Moscow-Dubna, 2-6 September, 2004); VIII International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics (September 21-24, Saratov, 2004), VIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование» (5-8 октября 2004 г., г. Саров)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях в виде статей и докладов, в трудах международных конференций, а также зарегистрирована программа нормализации нелинейных га-мильтоновых систем в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Личный вклад соискателя в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме

диссертации автор принимал участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка и 3-х приложений. Объем диссертации - 120 страниц. Библиографический список содержит 100 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.

В главе 1 проводится анализ динамики классической нелинейной га-мильтоновой системы с потенциалом типа Барбаниса. Показано, что система неинтегрируема, а, следовательно, допускает хаотический режим движения. Данная система исследуется численно с помощью метода сечения Пуанкаре и аналитически методом классической нормальной формы. На основе классической нормальной формы при помощи правила квантования Вейля построен приближенный энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической формулы. Для сравнения результатов, полученных методом нормальных форм, при определенных параметрах гамильтониана Барбаниса был вычислен точный квантовый спектр методом диагонализации. Показано, что при умеренной величине нелинейности полуклассический спектр достаточно хорошо согласуется с точным квантовым спектром.

В разделе 1.1. для консервативной гамильтоновой системы с двумя

степенями свободы исследуется поверх-

ность потенциальной энергии (ППЭ), заданная уравнением

Показано, что поверхность имеет

три особые точки: минимум в точке (0, 0) равный V = 0 и две седло-

| Н £

вые точки _+_!_ I ' ^ _ , значение потенциальной энергии, 1 ау2/с2' 2 2 акг

в которых равны р

*,2

8 Л,

Рис. 1. Поверхность потенциальной энергии параметрах га-

мильтониана Л, =1, А2 =10, ¿г = 001-

"с о -5 "10 15 Ю V

Поверхность У(ц^) имеет неограниченную область с отрицательной гауссовой кривизной О-Линия, на которой гауссова кривизна равна нулю К = 0, определяется из уравнения ^ЯчУчч ^ ~ ® и изображена на рис. 2 штриховой линией, а об-

Ж<0

затемнена.

Рис. 2. Изотонии поверхности потенциальной энергии (ППЭ) и линия вдоль которой отрицательная гауссова кривизна равна К=0.

Критическую энергию Еа перехода от регулярного движения к хаотическому принимаем равной минимальному значению потенциальной

энергии на линии, вдоль которой гауссова кривизна равна нулю, т.е.

циальной энергии в седловых точках.

Показано, что для данной системы критерий отрицательной гауссовой кривизны дает достаточно надежное предсказание критической энергии перехода от регулярного движения к хаотическому.

В разделе 1.2 описан метод поверхности сечения Пуанкаре. Этот метод удобен для анализа динамики нелинейных двумерных гамильтоно-вых систем. Показано, что рассматриваемая поверхность сечения является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется.

С помощью математического пакета Maple численно построены сечения Пуанкаре, которые свидетельствуют о том, что с ростом энергии доля хаоса увеличивается, но не заполняет все пространство. Наряду с хаотическими траекториями существуют и регулярные даже для энергии системы близкой к значению потенциальной энергии в седловых точках. Ниже приведены характерные рисунки сечений Пуанкаре.

которая составляет в точности половину от значения потен-

Е* 92,5

Е =124,5

-1S -10 -5 О S ft

■8^5 35 3 о Г to iF

р>

Pi

Рис. 3. Ожнж Щажар^ь =1д =10,o=0.0l)-

1

В разделе 1.3 изложена процедура приведения нелинейной гамиль-тоновой системы полиномиального типа к нормальной форме Биркгофа-Густавсона. На основе метода нормализации Биркгофа-Густавсона для системы Барбаниса получена приближенная интегрируемая классическая гамильтонова система, для которой канонические уравнения Гамильтона решаются тривиальным образом.

Выполнив тривиальное каноническое преобразование

перепишем исходную гамильтонову функцию

Как известно, этот гамильтониан серией последовательных канонических преобразований можно привести к более простой, так называемой нормальной форме в виде суммы одно-

г(0 -

родных полиномов О" ^ -й степени:

которая по определению удовлетворяет дифференциальному уравнению

Для гамильтониана Барбаниса при помощи программы GITA на REDUCE была вычислена классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона до членов степени j _ = 8 включительно:

Как видно, нормальная форма из-за несоизмеримости величин С01 и зависит только от комбинаций

и представляет

интегрируемое приближение к исходному неинтегрируемому гамильтониану. Коэффициенты сложным образом зависят от параметров исходного гамильтониана.

В разделе 1.4 при помощи правила соответствия Вейля, получена квантовая модель приближенной нелинейной гамильтоновой системы, полученной методом нормальных форм. Для этой модели построен энергетический спектр в полуклассическом приближении.

Чтобы проквантовать классическую нормальную форму, а затем найти энергетический спектр в полуклассическом приближении, вводим новые комплексные канонически сопряженные переменные

и представляем следующим образом 4

^=11^(27,7,*} (2^7.

= 1 1+*=.

Используя правило соответствия Вейля, которое каждому моному

т *п

сопоставляет определенное дифференциальное выражение

т!

2 2 Н 2 2 —у -

V V V V

—-г—а„ <з„а„ ,

м1!(т-1)! " " » '

получаем квантовый аналог нормальной формы Биркгофа-Густавсона в виде некоторого дифференциального оператора

Задача на собственные значения для оператора легко решается,

так как собственные функции есть полиномы Чебышева-Эрмита, а собственные значения, дающие полуклассический энергетический спектр исходного гамильтониана, определяются следующей формулой

где а коэффициенты сложным образом зависят

от параметров исходного гамильтониана.

Матричная форма исходного гамильтониана в базисе полиномов Че-бышева-Эрмита имеет следующий вид

Записав исходный гамильтониан в матричном виде, и решая задачу на

собственные значения найден точный энергетический

спектр исследуемой системы.

Для этой же системы найден приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений. Уровни энергии возмущенной системы во втором приближении

_ 2огга,д -Кхэ,?;,«; -{¡ш,«, +2(0^ -8ш,и2 -4ю, +2й2

Используя ранее выведенные формулы для матричных элементов исходной системы, получен приближенный энергетический спектр (результаты записаны табл. 1).

Таким образом, были вычислены несколько сот уровней системы с помощью квантовой нормальной формы, теории возмущений и методом диагонализации, нижайшие из которых приведены в табл. 1.

Таблица1

Сравнение точных Е^^ , полуклассических и вычисленных по теории возмущения Е^ значений энергий при значениях параметров

К» п/п («1,Иг) Е оаа Ере*

1. (0,0) 2.08094 2.08086 2.08098

2. (1,0) 3.07963 3.07955 3.08067

3. (2,0) 407648 4 07639 4 07953

4. (3,0) 5 07148 5 07140 5.07756

5. (0,1) 5.24374 5.24366 5.24304

6. (4,0) 6.06464 6 06456 6.07476

7. (1,1) 624348 6.24340 6 24229

8. (5.0) 705594 7.05587 7.07112

9. (2,1) 724137 724129 7.24238

10. (6,0) 8.04540 8.04532 806664

Из таблицы видно, что полуклассический спектр вычисленный

квантованием гамильтоновой функции методом нормальных форм, удовлетворительно воспроизводит точный квантовый спектр при малой степени нелинейности с точностью 0,001 %.

В главе 2 на основе рядов Ли изложен метод канонической замены переменных в подходе Депри-Хори, при помощи которого разработан и реализован алгоритм нормализации полиномиальных гамильтонианов с произвольным числом степеней свободы.

В разделе 2.1 изложены основы метода Депри-Хори в канонической теории возмущений гамильтоновых систем.

В разделе 2.2 разработан и реализован в виде программы LINA на REDUCE алгоритм нормализации полиномиальных гамильтонианов. Суть метода состоит в том, что на основе преобразования Ли вблизи точки равновесия (qm,pm) фазового прострайс Кв&'д л я полиномиального гамильтониана

ищется такая каноническая замена переменных что

новый гамильтониан Г(4,Т],е) будет удовлетворять соотношению {#0,Г} = 0) что означает нормальную форму Г(£,Т],е) для гамильтониана H(q,p, Е).

Решая систему уравнений с начальными условиями q , р=Х\ при dqJW(q,p,E)^ dp _ dW(q,p,e)i

и представив производящую функцию Ли W(<J, и новый га-

мильтониан в виде степенных рядов

i*О Л! k=0 *»

k\

показано, что неизвестные и Г^ удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению (основное уравнение)

где Н0, IIк - компоненты исходного гамильтониана, а величины Тк определяются выражением

и дифференциальный оператор Ли определяется как L ° = W }

Требуя, чтобы компоненты удовлетворяли условию \На, О, из основного уравнения находим два неизвестных однородных полинома

В разделе 2.3 в качестве примера при помощи программы нормализации LINA получены нормальные формы для одномерного, двумерного и трехмерного гамильтонианов. Получены формулы прямого и обратного канонического преобразования переменных, на основе которых можно построить приближенные интегралы движения в аналитическом виде. На основе полученных результатов, проведено сравнение метода нормализации в подходе Депри-Хори с методом нормализации Биркгофа-Густавсона. Показано, что алгоритм Депри-Хори более эффективен по сравнению с алгоритмом Биркгофа-Густавсона при числе степеней свободы больше двух.

В главе 3 разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе (ССБ).

{H0,Wk} = -Hk+Yk-Tk, к = 0,1,2,...

символ

{о, о} означает скобку Пуассона.

В разделе 3.1 описан новый метод решения двумерного уравнения Шредингера, в котором вместо диагонализации гамильтоновой матрицы нужно решать, в общем, бесконечную систему дифференциальных уравнений от одной переменной, к которой всегда можно свести уравнение Шредингера. В отличие от метода диагонализации в предлагаемом методе "обрезание" базисной системы функций происходит по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется точное численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций с видом гамильтониана, а, следовательно, к уменьшению вычислительных затрат.

В разделе 3.2 используя метод ССБ, решается задача на собственные значения

для гамильтониана, описывающего квадрупольные колебания сферической поверхности атомного ядра (обобщенная система Хенона-Хейлеса)

а неизвестные компоненты и 5/(г) находятся численно из систе-

мы дифференциальных уравнений.

Показано, что точность числовых значений энергии полученных методом диагонализации гамильтоновой матрицы размерностью 495x495 (см. табл. 2), в нашем подходе достигнута решением системы из только восьми дифференциальных уравнений, что приводит к уменьшению затрат машинных ресурсов (памяти и времени счета). В табл. 2 приведены нижайшие уровни спектра энергии Е-типа.

Й(х,у)ф,у) = Еу/(х,у)

Н(х,у) = -

1

Ь, с - параметры.

Решение ищется в полярных координатах

г- А (г) "

и(г,д>) = цг{г,ф) = ——+[Я( (г) со$1<р + В1 (л^т /р] > 2 /=1

Таблица 2

Энергетический спектр Е -типа гамильтониана Н(Х,у)

с параметрами b = 0.04416, С - 0.00015

Ediag Ессб Щ%) Ediae Ессб Щ%)

1 1 999384 1 999372 0 0006 7 6 005955 6 005972 0 0003

2 2 999628 2 999641 0 0004 8 6 976317 6 976625 0 004

3 3 992368 3 992439 0001 9 6 988910 6 989034 0 002

4 4 990280 4 990394 0002 10 7 964477 7 964810 0004

5 5 002921 5 002935 0 0002 1) 7 989611 7 989745 0002

6 5 980721 5 980968 0004 12 8014769 8 014855 0 001

На рис. 4 показаны характерные волновые функции.

Рис. 4. Изолинии волновой функции Е -типа (значения в затемненной области отрицательны, в светлой - положительны) для уровней Е = 6.989034 и Е = 7.989745

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Виницкий СИ, Ростовцев ВА, Уколов Ю.А., Чеканов Н.А. Классическая динамика и полуклассический спектр гамильтоновой системы типа Барбаниса // Book of Abstract of International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics. - Dubna, 2001. - P.59.

2. Уколов Ю.А. Динамический хаос в системе Барбаниса // Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2002. - Вып. V. - С. 9-12.

3. Уколов Ю.А. Классическая динамика гамильтоновой системы типа Барбаниса // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXVII Гагаринские чтения». - М.: Изд-во «МАТИ», 2001. - Т.2. - С. 87.

4. Уколов Ю.А. Интегралы движения для системы Тоды из трех частиц // Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2001. - Вып. IV. -С. 7-8.

5 Chekanov N A , Krasilnikov V V, Ukolov Yu A The Classical Dynamics and the Energy Spectrum of the Barbanis Hamiltonian System // International Conference Modern Problems ofTheoretical Physics, MPTP-2002 deducated to the 90th anniversary ofAS Davydov Book ofAbstracts -Kiev, 2002 -P 27

6 Уколов Ю A , Чеканов Н А Программа нормализации автономных гамиль-гоновых систем на основе преобразований Ли // Сб научных трудов «Математические модели в образовании, науке и промышленности» МАН ВШ - Санкт-Петербург, 2003 -С 226-229

7 Уколов Ю А , Чеканов Н А Вычисление энергетического спектра гамильтониана типа Барбаниса // Вестник Херсонского государственного технического университета - Херсон, 2003 - С 424-427

8 Уколов Ю А, Чеканов Н А Геометрия поверхности потенциальной функции и особенности фазовых траекторий гамильтоновых систем // Материалы международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» - Львов,2003 -С 99-103

9 Chekanov N А , Ukolov Yu A The energy spectrum calculations for the Bar-banis Hamiltonian // Book ofAbstracts 6-th Session V A Fock School on Quantum and Computational Chemistry Novgorod the Great, 2003 - P 47

10 Chekdnov N A , Gusev A A , Rostovtsev V A , Uwano Y, Vmitsky S I, Ukolov Yu A Program IINA for Normalization of Polynomial Hamiltonians // Proc of the 6th Workshop on Computer Algebra in Sientific Computing - Berlin Springer-Verlag, 2003 -P 133-143

11 Виницкий С И , Пак Д И Ростовцев В А , Уколов Ю А , Чеканов ПА Метод численною решения двумерною уравнения Шредингера // В сб тезисов докладов 54-го Международного совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра - Белгород, 2004 -С 321

12 Чеканов Н А , Уколов Ю А Численное решение стационарного двумерного уравнения Шречингера в приближении самосогласованного базиса Тезисы докладов международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование» -Сэров,2004 -С 100-101

Подписано в печать 1911 2004 Формат 60x84/16 Гарнитура Times Уст п л 1,16 Тираж 120 экз Заказ №287 Оригинал-макет изготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г Белгород, ул Победы, 85

»2343 1

Введение.

Общая характеристика работы

1 Классическая и квантовая модель нелинейной гамиль-тоновой системы с потенциалом Барбаниса

Введение.

1.1 Анализ поверхности потенциальной энергии

1.2 Метод сечений Пуанкаре

1.3 Интегрируемая модель системы Барбаниса в приближении классических нормальных форм Биркгофа-Густавсона

1.4 Квантовая модель системы Барбаниса и ее энергетический спектр.

2 Алгоритм нормализации автономных нелинейных га-ми льтоновых систем в подходе Депри-Хори

Введение.

2.1 Основы метода Депри-Хори в канонической теории возмущений

2.2 Решение основного уравнения.

2.3 Описание программы нормализации LINA

2.4 Примеры выполнения нормализации автономных гамиль-тоновых систем полиномиального типа

Численно-аналитический метод решения двумерного стационарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе

3.1 Описание метода.

3.1.1 Введение.

3.1.2 Постановка задачи.

3.2 Применение численно-аналитического метода.

3.2.1 Асимптотическое поведение вблизи нуля

3.2.2 Ортогональность и сингулярное разложение

Физика в своем современном виде начиналась с нелинейных законов движения частиц. Это видно уже на примере задачи Кеплера, которая содержит типичные свойства нелинейных систем: периодические орбиты с большим числом гармоник и зависимость периода колебаний от амплитуды. А знаменитая проблема трех тел не только не отразила наиболее общие особенности нелинейной динамики, но и позволила раскрыть такие ее сложные и трудноразрешимые свойства, как неинтегрируемость и появление малых знаменателей в рядах теории возмущений. Более того, стало ясно, что для типичных нелинейных ситуаций нельзя предсказать на сколь угодно большое время динамические свойства даже слабо возмущаемых систем. Сложившееся положение дел закрыло перед физиками возможность получить ответы на многие важные вопросы, среди которых достаточно упомянуть проблему «вечной» (т.е. неограниченной во времени) устойчивости динамических систем. Несмотря на многочисленные усилия в области анализа нелинейных систем, с создавшейся ситуацией пришлось мириться в течение многих лет, закрывая глаза на ограниченность, а в некоторых случаях и на возможную несостоятельность наших представлений о динамике того или иного физического процесса. Состояние нелинейного анализа усугублялось существованием значительно более сложных физических объектов - уравнений динамики сплошной среды, уравнений гравитации Эйнштейна [1] и др. Своеобразной областью компенсации явились чисто линейные физические теории - теория электромагнитного поля и квантовая механика. Успехи, достигнутые здесь, в определенной степени ослабили внимание к «нелинейным» трудностям. Кроме того, методы квантовой теории удалось весьма удачно применить к многочисленным классическим задачам, используя линеаризацию исходных уравнений и построение удобных рядов теории возмущений для нелинейных задач на основе результатов линеаризации [2].

Понадобилось некоторое время для того, чтобы стало ясно, что старые проблемы остались на том же уровне и что их преодоление не связано с идеями линеаризации. Одновременно с этим все области физики начали приобретать свои собственные «нелинейные проблемы». Появились нелинейная оптика, нелинейная акустика, нелинейная радиофизика.

Приблизительно в тот же период произошли радикальные изменения и в исследовании нелинейных систем строгими методами. Появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем [3] (метод Крылова-Боголюбова-Митропольского [4]), была доказана теорема о сохранении инвариантов (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера [5,6]) и, наконец, возникло определение нового свойства нелинейных систем - динамическая энтропия Колмогорова-Синая [7-9]. Эта энтропия, будучи новым инвариантом системы, отразила в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием - свойство, которое еще ранее исследовалось в работах Е. Хопфа и Н.С. Крылова. Сейчас известно, что перемешивание, или хаос, может возникать даже в системе с двумя степенями свободы и появление его или отсутствие зависит от значений параметров или начальных условий задачи [10].

Довольно большой вклад в основание науки эффективных вычислений внес А. Пуанкаре [11], получивший множество интересных результатов в этой области. Столетие спустя после его великих работ мы вновь возвращаемся к полученным им результатам. Настоящая работа посвящена отдельным аспектам как символических (аналитических) [12-14], так и численных эффективных вычислений [15,16].

В структуре исследований динамики ключевую роль играют инвариантные объекты фазового потока: периодические орбиты, инвариантные торы, инвариантные устойчивые и неустойчивые многообразия, центральные многообразия и т.д. Они дают ключ к предсказанию или интерпретации поведения большинства точек в фазовом пространстве, следуя идее А. Пуанкаре о том, что лучше изучать все множество орбит, чем следить за какой-то конкретной.

Эти инвариантные объекты могут быть получены при комбинировании символических вычислений и численного продолжения по параметрам. Существенно также знать динамические свойства в окрестности этих объектов для создания надежных алгоритмов. Для проблем, которые превышают наши аналитические возможности, существуют методы анализа результатов приближенного моделирования, позволяющие судить о наличии инвариантных объектов.

Использование компьютера как средства для понимания поведения динамических систем, кажется теперь не вызывает вопросов. Многие явления были первоначально открыты при помощи компьютерного моделирования, а затем получили теоретическое объяснение. Следует помнить, что на компьютере сложно увидеть некоторые очень мелкие детали динамики. Однако произведя вычисления с арифметикой высокой точности, можно все-таки увидеть очень мелкие детали. С другой стороны, нелинейные явления, возникающие вдали от «любого хорошо известного эталонного объекта или задачи», могут оказаться сложными для изучения чисто аналитическими методами. На основе компьютерных результатов возникают гипотезы, требующие доказательства. Также они могут использоваться для проверки (по крайней мере частично) гипотез, возникающих из теоретических построений. Можно сказать, что для средних размерностей и до среднего у ровня детализации имеет смысл опираться на компьютерные результаты. Значение слова «средний» зависит от текущего уровня как аппаратного оборудования, так и алгоритмов. Кроме того, существует взаимосвязь между алгоритмами, используемыми в доказательствах, и алгоритмами, созданными для эффективных вычислений. В некоторых случаях первые могут быть успешно и эффективно запрограммированы, а вторые, созданные для получения результата, преобразованы в теоретические доказательства.

В большинстве экспериментальных наук в настоящее время технологии позволяют исследователю получить большое количество информации о задаче при ее экспериментальном изучении вместо простого размышления о ее возможном поведении. Разумеется, исследователь должен предоставить и проверить всеми возможными способами некоторое последовательное описание собранных экспериментальных данных и должен очень тщательно выбирать, какие свойства следует изучать экспериментально.

Текущее состояние компьютерной технологии позволяет проводить с разумными усилиями большой объем вычислений. Узким местом вычислений являются большой объем данных, используемых в символьных вычислениях и при хранении результатов символьных или численных экспериментов, а также визуализация и интерпретация результатов даже для небольших размерностей (например, в пределах от 4 до 10).

Доступный «пониманию» компьютера вычислительный алгоритм, т.е. последовательность операций (арифметических, логических и т.д.), в результате выполнения которых находится решение, должен удовлетворять весьма жестким и подчас противоречивым требованиям. К ним относятся, прежде всего, необходимость получить решение с заданной точностью за разумное и по возможности минимальное число действий, поскольку время одного расчета должно измеряться минутами и лишь в уникальных случаях - часами. Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать возможностей емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших (малых) чисел, структура алгоритма должна быть достаточно простой и учитывать архитектуру вычислительной системы и т.д.

Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы, позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В настоящее время классические нелинейные гамильтоновы системы [17] и их квантовые аналоги [18-23] играют важную роль при описании современных математических моделей физики, таких как модель квадрупольных колебаний сферической поверхности атомного ядра (система Хенона-Хейлеса) [24], комбинационного рассеяния света [25], двумерного атома водорода [26-31], движения небесных тел [32-34] и т.д. Особенностью динамики таких систем являются сингулярности, аттракторы, хаотические режимы [35]. Одним из наиболее загадочных и, возможно, сложных явлений в современной динамике является одновременное существование регулярных и хаотических движений в гамильтоновых динамических системах [36-39]. Если число степеней свободы превышает 1, оба типа движения возникают в фазовом пространстве большинства известных примеров, таких как стандартное отображение [7], двойной маятник [40], система Хенона-Хейлеса [41], задача трех тел [42] и т.д. Для исследования подобных нелинейных математических моделей применяются канонические преобразования, аналитические и численные методы. Знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM) позволяет получить много информации о регулярных движениях, и то же почти ничего неизвестно о структуре хаотических движений. Важную роль при изучении систем допускающих хаотический режим движения сыграли работы Я.Б. Песина [43], А. Джиорджилли [42], В.Ф. Лазуткина, К. Симо [44] и др. Было показано, что для таких систем характерно наличие гиперболической структуры. Для выявления этого свойства нелинейных динамических систем часто используют отображения сохраняющие площадь (симплектические отображения), например, метод поверхности сечения Пуанкаре. При изучении нелинейных гамильтоновых систем в последнее время актуальной проблемой является проблема так называемого квантового хаоса. Термин «квантовый хаос» нужно понимать как квантовые проявления динамического хаоса [45-47], т.е. построение квантовых аналогов классических нелинейных гамильтоновых систем, допускающих хаотический режим движения, и вычисление их квантовых характеристик. Детальное рассмотрение этого феномена можно найти в книге Ю. Штокмана «Квантовый хаос». Неоценимую роль для изучения динамики нелинейных гамильтоновых систем, а также для построения их квантовых аналогов и вычисления квантовых характеристик играет применение численных методов [16] и компьютеров [48]. Их использование для анализа нелинейных систем было начато работами Э. Ферми и С. Улама и сейчас достигло такого уровня, что характер процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его на дисплее даже в тех случаях, где могут быть получены формальные результаты. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем и вычисления их квантовых характеристик при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Для анализа некоторой системы дифференциальных уравнений, описывающих реальную систему, компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Систематическое развитие компьютерных исследований является одной из фундаментальных задач этого столетия.

Следовательно, разработка дискретных моделей, эффективных методов аналитических, численных, а также их синтез (численно-аналитических), и реализация этих методов в виде быстродействующих и «дешевых» программных средств, является актуальной проблемой математического моделирования нелинейной динамики.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ для анализа динамики нелинейных гамильтоновых систем, аналитических и численных расчетов их квантовых характеристик, а также разработка эффективного численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера и его реализация в виде программы.

В диссертационной работе поставлена и решена актуальная научная задача разработать комплекс программ для анализа динамики нелинейных многомерных гамильтоновых систем полиномиального типа и их квантовых аналогов, а также разработать и реализовать в виде программы численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для нелинейного двумерного уравнения Шре-дингера.

Для решения этой задачи были поставлены и решены следующие задачи:

• анализ модели нелинейной гамильтоновой системы типа Барба-ниса

• нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов

• реализация алгоритма построения классической нормальной формы в подходе Депри-Хори и сравнение его с другими способами нормализации

• разработка и реализация численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера

• визуализация физических характеристик изучаемых процессов

Научная новизна. Составлена и отлажена новая программа нормализации полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов. Исследована динамика нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса численно методом сечений Пуанкаре и аналитически методом нормальных форм, на основе классической нормальной формы построен ее квантовый аналог и рассчитан энергетический спектр. Для сравнения полученных результатов методом квантовой нормальной формы был вычислен при конкретных параметрах гамильтониана Барбаниса его точный квантовый спектр методом диагонализации с базисными функциями двумерного осциллятора и рассчитан приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений. Показано, что результаты вычислений энергетического спектра на основе метода квантовой нормальной формы дают удовлетворительное приближение при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции. Разработан новый численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера. С помощью нового метода исследована квантовая модель квадрупольных колебаний поверхности ядра, а также рассчитаны и визуализированы ее физические характеристики.

Практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при исследовании динамики нелинейных га-ми льтоновых систем. Полученные программные средства могут быть применены для построения классических нормальных форм нелинейных гамильтоновых систем полиномиального типа. Разработанный численно-аналитический метод может использоваться при решении задач на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера

Положения выносимые на защиту.

1. Проведен анализ динамики нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса. При помощи критерия отрицательной гауссовой кривизны и прямых численных расчетов сечений Пуанкаре показана неинтегрируемость исследуемой системы. На основе метода классической нормальной формы при помощи правила квантования Вейля для этой системы получен энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической формулы, который, при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции дает удовлетворительное приближение к точному квантовому спектру, вычисленному методом диагонализации.

2. Составлена и отлажена программа нормализации нелинейных га-мильтоновых систем полиномиального типа, реализованная в рамках теории возмущений гамильтоновых систем на основе метода Депри-Хори.

3. Разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 11 международных конференциях: International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics (Dubna, June 28-30, 2001г.); международная молодежная научная конференция «XXVII Гагаринские чтения» (Москва, 2-7 апреля 2001 г.); International Conference Modern Problems of Theoretical Physics, MPTP-2002 dedicated to the 90th anniversary of A.S. Davydov (г. Киев, 9-15 декабря, 2002 г.); международной научно-практическая конференция «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Львов, 2003); 6-тая Международная конференция по математическому моделированию, «МКММ'ОЗ» (г. Херсон, 9-14 сент. 2003 г.); 6-th Session V.A. Fock School on Quantum and Computational Chemistry, (12 -16 May 2003, Novgorod the Great, RUSSIA); 6th Workshop on Computer Algebra in Sientific Computing, (September 20-26, Passau, Germany, 2003); LIV международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. (Белгород, 22-25 июня, 2004); Bogolyubov Conference «Problems of Theoretical and Mathematical Physics»

Moscow - Dubna, 2-6 September, 2004); VIII International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics (September 21-24, Saratov, 2004), VIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование» (5-8 октября 2004 г., г. Саров)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях в виде статей и докладов, в трудах международных конференций, а также зарегистрирована программа нормализации нелинейных гамильтоновых систем в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Личный вклад соискателя в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка и 3-х приложений. Объем диссертации - 120 страниц. Библиографический список содержит 100 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1966. — Т.З. - 436 с.

2. М. Джеммер. Эволюция понятий квантовой механики.- М.: Наука, 1985. 379 с.

3. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах.-М.: Наука, 1986.-255 с.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М. : /2 издание , исправленное, Наука, 1958 г. — 408 с.

5. В.И. Арнольд. Малые знаменатели 2, Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона// УМН-1963.-т.18,5-с.13-40.

6. А.Н. Колмогоров. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона//ДАН-1954,-т.98,4-с.527-530.

7. Г. Шустер. Детерминированный хаос. М.: Мир,1988. - 528 с.

8. Г.М. Заславский. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984. 272 с.

9. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. — 368 с.

10. М. Табор. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — М.: УРСС, 2001. — 320 с.

11. А. Пуанкаре. Новые методы небесной механики, т. 1,2. Избран, труды. М.: Наука, 1971-1972.

12. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1989. 608с.

13. Э.Уиттекер Аналитическая динамика . — Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. 596 с.

14. Ф.Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. - 300с.

15. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. — М. : Научный мир, 2000. 316с.

16. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир; 1998. — 575 с.

17. Г. Голдстейн. Классическая механика. М.:Наука, 1975. - 415 с.

18. M.V. Berry. Quantising a classicaly ergodic systems: Sinai's billiard and the KKR method// Am. Phys. v. 131- P. 163-216.

19. Berry M.V. Regular and irregular semiclassical wave-function// J.Phys.-T977.-V.A10, n,12-P. 2083-2091.

20. Berry M.V., Wilkinson M. Diabolic points in the spectra of triangles// Proc.R.Soc.Lond.-1984.-V.A392-P.15-43.

21. Berry M.V. Quantal phase factors accompaying adiabatic chages// Proc.R.Soc.Lond.-1984.-V.A392-P.45-57.

22. Haake F. Quantum Signatures of Chaos. -Berlin: Springer-Verlag,-2001.

23. Keller J.B. Corrected Bohr-Sommerfield quantum conditions for nonseparable systems//Am.Phys.-1958.-V.4,n.2-pl80-188.

24. Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, E.B. Инопин. Хаос и катастрофы в квадрупольных колебаниях ядер// ЯФ 1987. - Т.45. - С.350-356.

25. V.A. Morozov, Y.M. Dubina. Modeling of vibronic interaction and chaotic dynamics in electronic and nuclear subsystems of molecules// International Journal of Quantum Chemistry — 2002. — V. 88,

26. D. Delande, J.C. Gay. Quantum chaos and statistical properties of energy levels: numerical study of the hydrogen atom in a magnetic field// Pgys. Rev. Lett. 1986. - V.57, n. 16 - P. 2006-2009.

27. Ю.П. Степановский. Атом водорода во внешнем поле как ангармонический осциллятор//УФЖ 1987. - Т.32,9 - С. 1316 - 1321.

28. М. Robnik, Е. Schrufer. Hydrogen atom in a strong magnetic field: calculation of the energy levels by quantizing the normal form of the regularised Kepler Hamiltonian//J.Phys.A.:Math.Gen. 1985. - V.18 - P. 1853 - 1859.

29. J.B. Delos, S.K. Khudson, D.V. Noid. Trajectories of an atomic electron in a magnetic field// Phys.Rev. 1984. - V.A30 - P. 1208 -1218.

30. Friedrich H., Wintgen D. The hydrogen atom in a uniform magnetic field an example of chaos//Phys.Rev. - 1989. - V.183,n.2 - P. 37 -79.

31. S. Saini, D. Farrelly. Hydrogen atom in a strong magnetic field: semiclassical quantization using classical adiabatic invariance// Phy.Ren. 1987. - V.A36 - P. 3556 - 3574.

32. А.П. Маркеев. Точки либрации в небесной механике и космоди-намике. — М.: Наука, 1978. — 312 с.

33. К. Зигель, Ю. Мозер. Лекции по небесной механике. — Ижевск: НИЦ "РХД", — 2001. — 384 с.

34. I. Peterson Newton'Clock: Chaos in solar system. — New York: W.H. Freeman, 1993.

35. B.V. Chirikov. A universal instability of many dimensional oscillators systems//Phys.Rev.-1979-v.52-p.265-379.

36. Т. Постон, H. Стюарт. Теория катастроф и ее приложение. М.: Мир, 1980 - 606 с.

37. Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, В.Н. Тарасов, Е.В.Инопин, Н.А. Чеканов. Стохастическая ядерная динамика// ЭЧАЯ. — Т.20, вып. 4. 1989. - С. 878.

38. D. Wintgen, Н. Friedrich. Classical and quantum-mechanical transition between regularity and irregularity in a Hamiltonian systems// Phys. Rev. 1987 - v. A35, n. 3- p.1464-1466.

39. E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow// J. Atmos. SCI.-1963-V.20-P.130-141.

40. А. Лихтенберг, M. Либерман. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Москва, - 1984. — 528 с.

41. М. Непоп, С. Heiles. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments// Astron.J.- 1964-V.69-P.73-79.

42. Я.Б. Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория// УМН. 1977. - Т.32, - С.55-114.

43. V.F. Lazutkin, С. Simo. Homoclinic orbits inthe complex domain// International Jornal of Bifurcation and Chaos.- V.7 1997. - P. 253274.

44. WeismanY., Jortner J. Quantum manifestations of classical stochastisity energetics of some nonlinear systems//J. Chem.Phys.-1982.-V.77, n.3-P. 1469-1485.

45. Peres A. Instability of Quantum Motion of a Chaotic System// Chaos and Quantum Caos: Proc. of the Adriatico Research Conference on Quantum Chaos, Singapore: World Scientific -1991.

46. Shepelyansky D.L. Some Statistical Properties of Simple Classically Stochastic Quantum Systems// Physica D.-V.8-1983.-P. 208.

47. Дж. Уилкинсон, К. Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, — 1976. 590 с.

48. В. Barbanis. Astronomical Journal. V.71. - No.6. - 1966. - P.415

49. Heller E.J. Bound-State Eigenfunctions of Classicaly Chaotic Hamiltonian systems: Scar of periodic Orbits//Phys.Rev.Lett. 1984. -V.53-P.1515.

50. J.A. Campbell, W.H. Jeffris. Cel. Mech. V.2. - 1970. - P.467.

51. Дж.Биркгоф. Динамические системы. — Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. - 408 с.

52. F.G. Gustavson. On constructing formal integrals of hamiltonian systems// Astronomical Journal. —1966. — V.71 — P. 670-686.

53. I. Krivoshey. Dynamic chaos and instability in barrier processes of chemical dynamics//Sov.Sci.Rev.B.Chem.-1988.-V.ll-P.123.

54. M. Toda. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity// Phys.Lett. 1974. - V.58 - P. 335-336.

55. Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, И.В. Кривошей. Отрицательная кривизна потенциальной энергии и стохастизация в нелинейных задачах химической динамики// Хим. физ. 1986. - Т. 5. - С. 309-317.

56. А.Д. Брюно. Нормальная форма системы Гамильтона// УМН -1988. Т.43, вып. 1(259) - С.23-56.

57. Wood W.R., АН М.К. On the limitations of the Birkhoff-Gustavson normal form approach// J.Phys.A: Math.Gen. 1987. - V.20 - P.351-358.

58. В.Ф.Еднерал, О. А. Хрустал ев. Пакет для приведения систем ОДУ к нормальной форме// Программирование — № 5. — 1992. — С. 73-80

59. А.С. Hearn. REDUCE User's Manual, Version 3.4. The Rand Corporation. — Santa Monica. — 1991.

60. В.И.Арнольд Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. - 472 с.

61. Eastes W., Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound s tatets of a multidimensional system//J.Chem.Phys.-1974-v.61,n.lO-p.4301-4306.

62. Ch. Jaffe, W.P. Reinhard. Uniform semiclassical quantization of regular and chaotic classical dynamics on the Henon-Heiles surface// J. Che.Phys.-1982-v.77,n.lO-p.5192-5203.

63. S.W. Mc Donald, A.N. Kaufman. Spectrum and eigenvalues for a Hamiltonian with stochastic trajectories// Phys.Rev. Lett. 1979 -v. 42 - P. 1189.

64. Noid D.V., Koszykowski M.L., Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound statets of a multidimensional systems with fermi resonance//J. Chem.Phys.-1979-v.71, n.7-p.2864-2873.

65. Noid D.V., Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound statets of a multidimensional system for nearly 1:1 degenerate systems// J. Chem. Phys.-1982-v.77,n.lO-p.5191-5203.

66. R.B. Shirts, W.P. Reinhard. Approximate constant of motion for classicaly chaotic vibrational dynamics: vague tori., semiclassical quantization, and classical intramolecular energy flow//j.Chem.Phys.-1982-v.77,n.lO-p.5204-5217.

67. Соловьев E.A. Адиабатические инварианты и проблема квазиклассического квантования многомерных систем//ЖЭТФ-1978-т.75, вып.4-с. 1261-1268.

68. Swim R.T., Delos J.В. Semiclassical calculation of vibritional energy levels for nonseparable systems using Birkhoff-Gustavson normal form//J.Chem.Phys.-1979-v.71-p. 1706-1716.

69. Чеканов H.A. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона// ЯФ-1989-т.50, вып.8-с.344-34б.

70. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. -М.: Наука, 1986.- 496 с.

71. Дж. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. — 564 с.

72. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Теоретическая физика.- М.: Наука, 1989. Т. 3 - 768 с.

73. Дирак Д. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. -480 с.

74. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. -М.: Высшая школа, 1961. 619 с.

75. Ю. Мозер. Лекции о гамильтоновых системах. — М.: Мир, — 1973.

76. А.П. Маркеев. Теоретическая механика. — Ижевск: НИЦ "РХД",- 2001. 592 с.

77. А.Н. Nayfeh. Pertubation methods// A Wiley-Interscience Publication. — New York. — 1973.

78. A.H. Nayfeh. Introduction to Pertubation Techniques// A Wiley-Interscience Publication. — New York. — 1981.

79. Г.Е.О. Джакалья. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука. — 1979. - 319 с.

80. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения.™ М.:Наука, 1988. 312 с.

81. A. Giorgilli. A computer program for integrals of motion// Comp.Phys. Com. 1979. - V.6. - P. 331.

82. T. Uzer, R.A. Marcus// J. Chem. Phys. 1984. - V.81. - P. 5013.

83. M. Robnik// J. Phys. A: Math. Gen. 1984. - V. 17 - P. 109.

84. Basios V., Chekanov N.A., Markovski B.L., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians// Сотр. Phys. Commun. — 1995.— V.90.- P. 355.

85. G.I. Hori, Theory of general perturbations with unspecified canonical variables// Publ. Astron. Soc. Japan. 1966. - V. 18. - P. 287-296.

86. A. Deprit. Canonical tranformations depending on a small parameter// Cel. Mech. 1969. - V. 1. - P. 12-30.

87. A.A. Kamel. Expasion formular in canonical transformation depending on a small parameter// Cel. Mech. — 1970. — V.3 — P. 90.

88. W.A. Mersman. A new algorithm for Lie transformation// Cel. Mech.- 1970. V. 3. - P. 81-89.

89. Ali M.K. The quantum normal form and its equivalents// J. Math. Phys. 1985. - V. 26 (10). - P. 2565.

90. А.П. Маркеев, А.Г. Сокольский. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. Препринт — 31. ИПМ АН СССР, 1976.

91. A.Gusev, Yu.Ukolov, N.Chekanov, V.Rostovtsev, Y.Uwano and S. Vinitsky. The Program LIN A for Normalization of PolynomialHamiltonians//Computer Algebra in Scientific Computing. — Munchen: Springer-Verlag, 2003. P. 187-197.

92. Yu. L. Bolotin, V.Yu. Gonchar, V.N. Tarasov, N.A. Chekanov. Phys. Lett. V. A135, - 1989. - P.29.

93. С.И. Виницкий, Д.Н. Пак, В.А. Ростовцев, H.A. Чеканов, Ю.А.Уколов// Сб. тезисов докладов 54-го Международного совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Белгород: БелГУ, 2004. - С. 321.

94. Ю.Л. Болотин, С.И. Виницкий, В.Ю. Гончар и др. Препринт — Р4-89-590. Дубна: ОИЯИ, 1989. 26с.

95. Ю.Л. Болотин, С.И. Виницкий, В.Ю. Гончар, Н.А.Чеканов и др. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией// ЯФ 1990. - Т.52, Вып.2(8) -С. 588-600.

96. Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. — М.: Физматлит, 1963. — Т.2 — 515 с.

97. Ошибки округления в алгебраических процессах. Сб. докладов под ред. В.В. Воеводина. -М.: ВЦ МГУ, 1968. С. 39-58.

98. Lawson C.L., Hanson R.J. Solving least squares problems. Englewood Cliffs, N.J. Pretice-Hall.-1'974.

99. Stewart G.W. Introduction to matrix computation. New York: Academic press.-1973.