автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы и алгоритмы для исследования гамильтоновых систем ангармонических осцилляторов в классическом и квантовом подходах

□□3462548

На правах рукописи

ФЛОРИНСКИЙ Вячеслав Владимирович

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ В КЛАССИЧЕСКОМ И КВАНТОВОМ ПОДХОДАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О ^ --.

Белгород - 2009

003462548

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Чеканов Николай Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Брусенцев Александр Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Блажевич Сергей Владимирович

Ведущая организация Российский университет дружбы народов

Защита состоится 19 марта в 16.00 на заседании диссертационного совета Д. 212.015.04 при Белгородском государственном университете, по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета

Автореферат разослан «)£. » февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

В.А. Беленко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики, прикладной математики, техники приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.

В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов, описывающих одномерные ангармонические осцилляторы. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие модели широко используются, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с заданным выходом реагента), в технике (управление хаосом в микросистемах и др.).

В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера, определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы. Поэтому нахождение собственных значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является важной задачей.

В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде, что наиболее целесообразно. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические.

К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагона-лизации. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, точность рассчитываемых собственных значений сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.

Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитиче-

ских, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).

Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программ с использованием современных систем компьютерной алгебры, и их дальнейшее применение для исследования ряда практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы и решены следующие задачи.

1. Разработка методов получения аналитических соотношений для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:

а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;

б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля;

в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

2. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры.

3. Провести апробацию разработанных методов и программ путем решения следующих задач:

а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре;

б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда;

в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы;

г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;

д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Методы исследований: преобразование математических моделей, методы теории дифференциальных операторов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, методы теоретической и математической физики, метод нормальных форм, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики.

Научную новизну работы составляют:

1) методы аналитических преобразований в задаче вычисления собственных значений дифференциальных операторов для уравнения Шрёдингера на основе метода Линдштедта-Пуанкаре, метода нормальных форм, правила Бора-Зоммерфельда, правила Вейля и непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2) алгоритмы символьных преобразований и вычисления собственных значений и собственных функций операторов одномерных ангармонических осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией, имеющей один или два симметричных минимума, на основе средств компьютерной алгебры;

3) результаты применения предложенных методов:

а) на основе метода Линдштедта-Пуанкаре найдено представление для решения уравнения

у" + р(х,а)у' + д(х,а)у = 0, где ц{х,а) - некоторый полином относительно *, а а - малый параметр;

б) с помощью правила Бора-Зоммерфельда и найденных указанным методом классических траекторий ангармонических осцилляторов с потенциалами четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности получены формулы для их спектров в явном виде;

в) с помощью метода нормальных форм Депри-Хори и при помощи степенных рядов решены одномерные уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость результатов. Результаты данного исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для нахождения спектра и собственных функций их квантовых аналогов. Практическую полезность составляют программные реализации предложенных методов в среде Maple. Они могут применяться для получения приближенного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром методом Лин-дштедта-Пуанкаре и последующего нахождения приближенной аналитической формулы спектра соответствующего оператора по правилу Бора-Зоммерфельда. Результаты диссертационной работы можно использовать для получения квантовых нормальных форм Депри-Хори и спектров одномерного уравнения Шрёдингера в случае различных полиномиальных потенциалов и для решения задачи на собственные значения и нахождения волновых функций в виде степенных рядов, а также в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод символьно-численного решения одномерного уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциальными функциями, имеющими один локальный минимум на основе метода Линдштедга-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда.

2. Способ приближенного решения уравнения Шрёдингера на основе классических нормальных форм Депри-Хори и полученные этим способом аналитические формулы для спектров ангармонических осцилляторов с потенциальными функциями четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности.

3. Приближенные аналитические формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов, имеющих потенциальную функцию с двумя локальными минимумами, полученные с помощью разработанных символьно-численных программ на основе метода нормальных форм Депри-Хори, а также на основе непосредственного решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Га-гаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Фи-

зико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта по направлению «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11.2000 и в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).

Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 12 публикациях в виде статей (из которых две в журналах из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Программа LINDA по теме диссертационного исследования зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, 12 таблиц, 7 рисунков и пяти приложений. Содержание работы изложено на 130 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, а также методы исследования. Приведены основные положения, выносимые на защиту, раскрыта научная новизна и практическая значимость работы, отмечена апробация результатов.

Первая глава посвящена новому методу нахождения спектра одномерных гамильтоновых систем на основе метода Линдштедта-Пуанкаре (А. Найфэ, 1976).

В разделе 1.1 изложены общие основы метода Линдштедта-Пуанкаре. Данный метод представляет собой модификацию метода малого параметра, впервые предложенного Пуанкаре. Суть его состоит в том, что решение дифференциального уравнения

х + со 2x = sf(x,x) ищется в виде степенных разложений

ы о

t = T{\ + £0)l+E1(02 +...), (1)

где £ - малый параметр (0 < е <к 1), неизвестная функция х = x(t) зависит от временной переменной t, f(x,x) - непрерывная функция своих аргументов, а ü),,ü)2,... - постоянные, соответствующим выбором которых можно избавиться от секулярных (т.е. неограниченно растущих со временем) членов ряда.

Данный ряд необходимо подставить в решаемое уравнение и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получить систему рекуррентных дифференциальных уравнений, из которой находятся неизвестные функции xk(t). Уравнение, получаемое заменой (1), решается методом малого параметра, причем коэффициенты при секулярных членах приравниваются к нулю, и из этих условий находятся значения ava2.....

Раздел 1.2 посвящен решению уравнения Шрёдингера

Нр¥(х) = Е¥(х), (2)

в котором оператор Я„ определен формулой

Я =-~+-iJ + a/, (3)

' 2dx 2 W

где 0 < а <к 1 - параметр, х - пространственная координата, зависящая от новой переменной т (1), // = 4,6,8 - степень нелинейности.

Для решения задачи на собственные значения оператора (3) в работе используется так называемый полуклассический подход. Вначале рассматривается классическая система, соответствующая квантовому оператору Нр, которая описывается гамильтоновой функцией

W . (4)

Классические траектории системы (4) находятся из системы уравнений движения Гамильтона, которая сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка (известному как уравнение Дюффинга) и интегрируется методом Линдштедта-Пуанкаре. Для решения этой задачи составлена программа LINDA в среде Maple. Входными данными для нее являются степень нелинейности ß потенциальной функции (4) и N - порядок искомого решения по малому параметру. Например, для случая ц=А и N=7 решение имеет вид

V< (О:= А cosC - 'о) + « ^ Л cos(<- Q + j A' cos(3(r-10)) j +

++ ^ ] со5(5(/ - го)) + - )) ^ +

+а4((—А7- — Л'1 со5(7(/ - )) + — А9 <хк(9(1 -!„)) + 1,1,512 4096 ) 0 4096 0

, , . (2919 , 7797 , 5 (3 315 ,.. ,

+Лсо5(/-<0) + -А--А9 +-А--А соб(3(/-/„)) +

0 I 512 4096 4 64 )

-Жа> + Жл'1со8(5(Г-/0))1 + в' (—А" «ю(11 (<-/0))н

1,64 512 1024 ) 0 ) 1,32768

....... 1

I, 128 4096 8 64 32768 )

(35 5 301 3015 ,9 35853 ч1Л ,с. .Л

+ —А--А +-А--А со5(5(/-Л,)) + ...,

1,64 128 1024 32768 ) ° )

где А и С0- постоянные интегрирования.

Результаты для других значений ц более подробно приведены в диссертационной работе.

В разделе 1.3 описано решение задачи на собственные значения оператора (3) на основе полученных классических траекторий по известном)' правилу квантования Бора-Зоммерфельда:

±-<$р<Ь = п + ^, (5)

где р - классический импульс (р = х), п = 0,1,2,..., т - индекс Маслова, который в рассматриваемой задаче равен двум. После возвращения к старой переменной г по формуле (1) данное условие квантования примет вид:

Т_

2 < 2 1 - |(х'(г))Л- = Л + -, л = 0;1;2;...

где Г - период колебаний. Левая часть этого выражения представляет собой полином относительно Е - полной энергии системы. Чтобы получить указанный полином в явном виде, необходимо найденное классическое решение выразить через Е. Для этого воспользуемся физическим смыслом постоянных интегрирования А и /0: положим начальную фазу 10 равной 0, а амплитуду колебаний А выразим через полную энергию системы. В точках поворота кинетическая составляющая энергии равна нулю, поэтому полная энергия системы будет равна потенциальной

£1121 + а х" (0) = Е .

Подставив в это выражение полученные классические траектории, разрешим его относительно А методом итераций. Для случая ц— 4 первые члены разложения квадрата амплитуды имеют вид

А1 = 2Е-а С4Е + 9Е2^аг^2Е + ПЕ2 + +~Ег +~Е'

Подставляя полученное выражение и классические траектории в условие Бора-Зоммерфельда (5), получим уравнение относительно энергии системы Е. Это выражение не приводится в силу его громоздкости. Разрешая полученное уравнение итерационным способом, получим приближенную аналитическую формулу для спектра исходного оператора. В случае //=4 она имеет вид

н«-4) Nfi П 51 2f3 3 2 1 3")

Е. ' = п +—+—а\ п +п + ---а —п + и +—и + — +

2 2 [ 4)8 V2 2 4)

+ -~аг (п" + 2пг + -п + -1 - (32«$ + 48л4 + 48пъ + 24п1 + 6п+Ь+

16 V 2 16) 2048 ^ '

ь(87549 6 262647 5 1313235 4 437745 3 1313235 2

а -п +-п +-п +-п +-п +

I 64 64 256 128 1024

262647 87549^1 6(3132399 7 21926793 6 65780379 5

+-п +- -я -п +-п +-п +

1024 4096 ) { 256 512 1024

109633965 , 109633965 , 65780379 2 21926793 3132399А

+-п +-п +-п +-пл--+

2048 4096 8192 16384 32768 ) .

238225977 » 238225977 , 1667581839 6 16677581839 5

+а -п +-п +-п +-п +

V 2048 512 2048 2048

8337909195 4 1667581839 , 16677581839 2

+-п +---п +-п +

16384 8192 32768

238225977 238225977

+-п +-—— ,

32768 524288 )

где «=0,1,2,... - квантовое число. Аналогичные выражения для случаев //=6 и /¿=8 приведены в диссертационной работе.

В разделе 1.4 производится сравнение полученных результатов с известными ранее. Получено хорошее согласие с работами других авторов, по крайней мере, для нижайших уровней и умеренных значений степени нелинейности. Формула для ft = 4 совпадает с формулой, полученной в работе Ali М.К., Wood R.W., Devitt J.S. J. Math. Phys., 1986.

В следующей таблице представлено сравнение полученных результатов с результатами, полученными в работе Бенерджи (Banerjee К., Bhatna-gar S.P., Choudhry V., Kanval S.S. Proc. R. Soc. Lond., 1978) для ц = 4 при а = 10~3.

и

Таблица 1

Сравнение результатов, полученных по программе LINDA с результатами, полученными Бснерджи

№ LINDA Banerjee Отклонение в %

0 1,0007489 1,0007486 0,00003

1 3,00336 3,00337 0,0002

2 5,00934 5,00971 0,007

3 7,0182 7,0186 0,005

4 9,0301 9,0305 0,004

5 11,04502 11,0453 0,003

6 13,0628 13,0631 0,003

7 15,0834 15,0835 0,0006

8 17,10709 17,1074 0,0021

9 19,1335 19,1339 0,0019

10 21,1629 21,163 0,0017

Во второй главе вычислены энергетические уровни ангармонических осцилляторов, рассмотренных в первой главе, но методом квантовых нормальных форм Депри-Хори (Джакалья Г.Е.О. 1979, Маркеев А.П. 1978).

В разделе 2.1 поставлена задача на собственные значения, аналогичная той, которая решена в первой главе.

В разделе 2.2 излагается метод классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори, в котором классическая гамильтонова функция

представляется в виде ряда

Н^х,р) = \(х2 + р2>+±±-Н>(х,р), (6)

2. 1=, /С!

".(*./»)= I *,„*'/>"

1-¥т=к+2

и вычисляется ее нормальная форма.

Нормальной формой классической гамильтоновой функции Н^(х,р)

называется функция удовлетворяющая условию

|1(^+7г>Г (£,7)} = о, (7)

где {/, g] - скобка Пуассона. Производящую функцию \У(х,р) канонического преобразования (л:,/?)-»■ (£,77) и саму нормальную форму Г(£,т]) будем искать в виде степенных рядов

Щ, V) = £ ^ Г, (£ л).

к*О К! /Ы)*!

Неизвестные величины Wk{x,p) и Yk(^,r¡) удовлетворяют следующему основному уравнению

{H0,Wk] = -Hk + rt-Tt, к = 0,1,2,..., (8)

где Я0 и Нк - компоненты классической гамильтоновой функции (6), а величины Тк определяются выражением

= +cLKj,t->l К,., = LjT,-ZCCJ-'L^,),

>=l m-1

где С* - биномиальные коэффициенты, L¡ - оператор Ли, который определяется через скобки Пуассона по формуле L¡f н (f j.

Чтобы найти неизвестные компоненты lVk и Г4, основное уравнение (8) дополним условием (7), которое определяет нормальную форму. Полученный в результате полином Нк + Тк представим в виде суммы двух однородных полиномов Nk+Rk, удовлетворяющих условиям \Ha,Nt] = 0, \H0,Rk] Ф0. Тогда из основного уравнения (8) с учетом условия (7) неизвестные компоненты производящей функции Wk и нормальной формы можно определить следующим образом: Гk=Nk, {H0,Wk}= ~Rk.

Для решения поставленной задачи (2), (3) на собственные значения удобно ввести новые комплексные канонически сопряжённые переменные

* = 1 + 14). (9)

и переписать классическую нормальную форму Депри-Хори в виде

IW) = í<*o-

í=I

В предлагаемом подходе классические нормальные формы Депри-Хори для функции (6) вычислены с помощью программы LINA в среде Reduce, которая позволяет получить классическую нормальную форму в любом заданном порядке s по степеням выражения ^ + цг, ограничиваясь возможностями компьютера. Например, при 5 = 22 и // = 4 классическая нормальная форма гамильтоновой функции (6) имеет вид

" 2 ' 16 ^ 128 ^ ' 2048 V }

10689 4 j ю 87549 ¡ с2 2 п 3132399 6 с2 : 14 --а (£ + п ) +-а (4 +1 ) —-а(4 +1 i +

32768 ^ ' 131072 ^ ' > 2097152 ^ ' '

238225977 7 е2 2 « 18945961925 „ с2 2 и +—-а (4 +1] )--а (4 +1 ) +

67108864 v J 2147483648 ^ J

194904116847 9 г2 2 2» 8240234242929 1(1 2 22 +-—-а (4 +»/ )---а (42+п2л .

8589934592 ^ J 137438953472 v }

Аналогичные выражения для случаев /л-6 и //=8 приведены в диссертационной работе.

Для нахождения квантовой нормальной формы воспользуемся правилом Вейля

т * 1 Г -♦I-*-«-'"-'

: г з: : -»—> -а а а ,

2" £?/!(«-/)!

â* = —l=f ——1. Тогда собственные

где а --4 \, а=—т= —+ § . 1огда собственные значения исходной

<4/2 \d$ J N2\d$

задачи (2), (3) при //=4 могут быть приближенно вычислены по формуле:

1 3 ( г I) 51 г(4 , . 2 8 Л Е? = п + - + -а\ л +П + - -—а -п +2п +-п + 1 +

2 2 { 2) 16 {3 3

+—а>[пА + 2л' +5пг + 4л +-)-(4л5 + 10л4 + 40л' + 50л2 + 46л + 15)+ 16 V 2) 256

87549 J 6 , s 35 4 з ,n j 69 45 а п+3п+—л +30« + 49л2 +—л +—

64

3132399 J , 7 6 5 245 4 , 343 2 ,,„ 315Ï -а л +-л+ 28л+-л +154л +-л +132л +- +

256 ^ 2 4 2 8 )

97434424593 ,М „ 2 7 21 6 56 5 399 4 308 ,

+-а\~—л +-п +-п +-л +-л +-л +

1024 1,818 409 409 409 818 409

2 264 315 Л 18945961925 J , 9 , ,n , ,cn 6

+п +-п + ----а л +—л + 60л +189л +

409 1636 J 16384 1, 2

2 2 4 J

+194904116847 g> ,„ + ^ + ^ + +Ш6пб + 9оШ + 32768

7087 ^

+25135л4 +35900л5 +41877л2 + 25335л + —I-

-8240234242929а-°Гл"+Ип.о + 110пч1^лЧ3498лЧ10164лЧ 65536 I, 2 4

s 276485 4 239327 3 460647 г _„1J; 155925^

+3 7400л +---п +-п +-п +73215л+- + ...

4 2 4 S )

Аналогичные выражения для случаев /л=6 и ц=% приведены в диссертационной работе. Для получения квантовых нормальных форм составлена программа QuantaWeyl в среде Maple.

В разделе 2.3 метод нормальных форм Депри-Хори применяется для решения задачи с потенциальной функцией, имеющей два локальных минимума

Id1 2 2 2

---— + а(хг-а

2 dx2 к J

1и(х) = Еу(х), (10)

где л - пространственная координата, а > 0 - параметр, у(х) - волновая функция, а - действительное число, определяющее положения двух минимумов потенциальной функции, Е - энергия. В соответствии с методом классических и квантовых нормальных форм преобразуем классический ана-

лог уравнения Шрёдингера (10), перенеся начало координат в левый минимум, с помощью замены х->—£=, р ->, где ю0 = 2а^2а, и разделив на

а>0. В результате получим классическую гамильтонову функцию

l,2 2 4аа

Н(х,р) = ~{рг+хг)--тl=x, +-jx\

2 ®0 <о0

которую представим в виде

H(x,p)=l-ixt + pt^fi-LHk(x,p), (11)

^ i.i *!

где Нк(х,р) - однородные полиномы степени к: Нк(х,р)= £ hlmx'p",

Um-k+2

а числовые коэффициенты hlm известны. Применяя к ней метод нормализации Депри-Хори, описанный в разделе 2.2, получим классическую нормальную форму гамильтоновой функции (11), которая в десятом порядке по малому параметру имеет вид:

„ ,, ч й>п ,2 2 3 ,2 2 2 Г 17' 15а2 ,2 2 2

f 375 с2 г 4 225а2 с2 ¡') ,

listof6 > +Ч > Г

f 10689 е2 2 5 24945а2 с2 2 4 НЮа4 е2 ¡'I <

JЛЩ,^ + ,33862^1 2 2 S _

[4096<^ J 64m1,' * } 4alz К }) {18237765а2 е2 2 6 6383475а4 е2 2 5 231510а6 е2 2 41 «

^ 512< v J 16^ ^ ' ' со'а

f 145625865а" с1 г« 8163729а6 е2 2 s' -<S +7 Ъ +--15-(§ + 4>

(м7ЧЯ70П1/,« 6 47936322а8 „2 ,

4ш

ш„

2424834657а8 с2 2 6 9 11299284360а'" с2 2 * ,„ а>0 со0

Как и в случае одного минимума в потенциальной функции, введем новые комплексные канонически сопряжённые переменные (9) и воспользуемся правилом Вейля. В результате получим квантовую нормальную форму

~i-r 17[Л3+-^2 + 2Л' + -1 + 240| W2 + A4-|а2<и„ |а2 + 4col 1 I 2 4) { 2)

—-^-тг|10б89|2Л'5+5Л4+20Лг,+25Лг2 + 23Л' + —] +

128^4 I 2)

+1596480^'+ 2Л'Ч5Лг2+4Л' + |^<а0аг + 721920^2^' + зЛ2+ ^а4 -

128 л) I,4

0[8?549(

2Ы6 +6Л'5 + 35Лг4 +60М3 + 98^2 +69/^ + — 1 +

+10836000^2Лг5+5Л'4 + 20Л'+25Аг2 + 23А' + ^й)оа: + +59558400^ + 2й' + 5Й2+41У + !^2а4|а5_ —[ 3647553('10Л'6 +ЗЛ'! + 175Л4 +300^+490^ + 345ЛЧ—) +

16»1Ч I 2 J

+102135600(2Л'5 +5^4 + 20ЛГ3 + 25Л'2 +23ЛГ + Ц1а2й), +592665601 Л'4+2^' + 5^2+4Лг + -|а6й)2 |а6 +

+-^71145625865ГгЛ6 + 5^' +35^4 +60^' + 98^2 + 69Й + —1 +

<1 I 2)

+130619664^5 +5Л4 + 20Ы1 +25Ы1 + 23^ + у^а2<а0 jа7 --■^Ы 68758790112^ + 6^5 +35Л4 +60^' + 98Й2 + 69^+—1 +

«оЧ I 2 )

+95 872644 ^Л^5 + 5Лг4 + 20ЛГ3 + 25ЛГ2 + 23^ + 'у)^» )а'+ 77594709024а8 Г, Лб . ,л5 . .,.-,4 . ,„л3 . „„л2 . „л . 45.

+--2/Г + 6Л'5 + 35Л'4 + 60Л'3+98Л'2+6 9.У+— а*

со? I 2 )

361577099520а»( ^ + + + 69* +« V

со" V 2 .

где ю{) = 2аЛа и введен дифференциальный оператор И = а*а. Тогда собственные значения рассматриваемой задачи (10) могут быть найдены по полученной в диссертационной работе формуле

где

2©л V 2

3 , „ . 3) ._„Г 2 . 1

£<2) =--Ц- 17 л3 +-л2 +2л + - +240 л2 +л + - а:

4в 2 4 7 I 2

о ?

£<3) = ^Ц5 [ яЧ2«Ч5«Ч4„ + |] + 48(4яЧб«Ч8« + 3;>^],

£<4) =--г( 3563| 2и5 + 5л4 + 20п' + 25п2 + 23п + — ]+

+532160^п4 +2 п3 +5 пг + + 240640^2л3 + 3лг + 4л + |^2а4

£<5) = —Ц- 875491 2л6 + 6л5 + 35л4 + 60л3 + 98л2 + 69л+— |+

" 128ш" \ I 2)

+10836000^2л5 + 5и4 + 20и3 + 25л2 +23 п + Ща0а2 + +59558400^л4+2л!+5л2 + 4л + |^02а^,

£<6) = —3647553(юп6 +3л5 +175л4 + З00и3 +490л2 + 345л+ —) + +102135600^2л5 + 5«4 + 20л3 + 25л2 +23л + Ща2са0+ +59266560^л4 +2л3 + 5л2+4л + ^а6й)^, £<7> =^-^6934565^2п6 +5п5 +35л4 +60л3 +98п2 +69л + ~^|+ +6219984^2«5 + 5л4 +20л3 + 25лг +23л + у^гй>0 ^ £(„ = _ ^32742281 ^2л6 + 6 л5 + 35л4 + 60 л3 + 98 л2 + 69 л + ~ j+

+4565364^2л5 +5л4 +20л3 +25л2 +23л + ~]а2со,

Г(9) 77594709024а8 ( 6 , 5 4 , по 2 45

£<" =--- 2л + 6л5 + 35л4 + 60л3 + 98л + 69л + —

®о° I 2

Г(10) 361577099520а'0 (. 6 , 5 4 , „. 2 45")

Е. ' =--г:- 2л +6л +35л +60л3+98л2 + 69л +— ,

< { 2 )

здесь со„ = 2а^2а , п = 0,1,2,....

Раздел 2.4 содержит результаты численных расчетов, которые показывают хорошее согласие полученных энергетических уровней с соответствующими данными, взятыми из литературы. Сравнение результатов представлено в таблицах.

Таблица 2

Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами,

при /1 = 4, а = 10"'

п р р

0 1,0007481 1,0007485 10"5

1 3,00373 3,00373 0

2 5,00972 5,00973 2-Ю"5

3 7,01862 7,01865 2-Ю"5

4 9,03057 9,03053 2-10"'

Таблица 3

Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами,

при ц = а = 10"4

п р

0 1,00018 1,00018 0

1 3,0013 3,0013 0

2 5,0046 5,0046 0

3 7,011 7,011 0

4 9,023 9,023 0

Таблица 4

Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами, при ¿/ = 8, а = 1(Г5

п р ^ом £(%)

0 1,00006 1,00006 0

1 3,00058 3,00058 0

2 5,0026 5,0026 0

3 7,0083 7,0083 0

4 9,02 9,02 0

В таблицах через п обозначен номер собственного значения; — значения энергии, рассчитанные по полученным формулам; Еди - значения энергии, полученные Беннерджи; £ (%) - относительные отклонения в процентах Е№ от Едм. Как видно из таблиц, имеется хорошее согласие результатов при данных значениях параметров.

В разделе 2.5 приводится сравнение метода нормализации Депри-Хори с методом, предложенным в первой главе и основанным на использовании рядов Линдштедта-Пуанкаре.

Построена потенциальная функция ¥(х,а) = а\х +— | и соответст-

со

тт { \ < 2 2\ 4

вующая система Н(х,р) = —(х +р )+ах + ——, для которой применимы

как метод нормализации Депри-Хори, так и полуклассическое квантование на основе метода Линдштедта-Пуанкаре.

В главе 3 символьно-численный метод решения уравнения Шрёдинге-ра с помощью степенных рядов применяется для различных нелинейных ангармонических осцилляторов.

В разделе 3.1 задача на собственные значения сводится к краевой задаче у/"(х) + 2{Е-У(х))у/{х) = 0, у/(±°о) = 0. О2)

Вначале вычисляются два линейно независимых решения уравнения (12) в виде степенных рядов

оо оо

цг,(х,£) = ! + £ акхк, у/2(х, Е) = х + £ V*.

Для случая У(х) = ах первые члены разложения волновых функций имеют вид:

у/1(х,Е) = 1-Ех + 11£2

(Е1 Р 4 / Еъ

--+ — X + -

и 12) к 90

7Е | а

4 аЕ 1

2520 2520 105 + 672

д: +

/

43а£ 7 а

113400 4536 9450

£

уг{х,Е)=х-—х> +

(Е> О /

4--

,30 20J V

211Е 2700 453600

Е3

13 Е а

+ •

630 1260 21

х7 +

17£

2 аЕ 1

22680 22680 189 1440 Е5 Е3 83аЕ2

х9 +

59Е | 31а | и

1247400 35640 103950 554400 23100, Для У(х) = ах6 и У(х) = ахг аналогичные результаты приведены в диссертационной работе.

Чтобы общее решение у/(х) = С1у/1(х) + С2у/2(х) рассматриваемой задачи (12) удовлетворяло краевым условиям, необходимо выбрать произвольные постоянные С, и С2 так, чтобы система линейных алгебраических уравнений | С, (~К,Е) + С2у/2 (-Л, Е) = 0, 1 Схц/х{к,Е) + С1у/1 (Я, Е) = 0 имела нетривиальные решения (Д - параметр).

На практике область (~оо,+оо) редуцируется в отрезок [-Л.+Л]. При этом значения параметра К варьируются так, чтобы получаемые собственные значения совпадали в возможно большем числе десятичных знаков. В частности, для нижних уровней энергии в наших расчетах Л е [2,95; 3,1].

Приравнивая к нулю определитель системы (13), получим уравнение относительно Е, корни которого являются спектром задачи (12). Для каждого вычисленного корня Еп система (13) имеет единственное решение С,м и

поэтому волновая функция «-го энергетического уровня имеет вид

В разделе 3.2. представлены результаты численных расчетов. Проведено сравнение аналогичных результатов, полученных с помощью нормальных форм (глава 2) и с помощью степенных рядов с квантово-механическими расчетами из работы Бенерджи. Показано удовлетворительное согласие для вычисленных нижайших уровней энергии.

В разделе 3.3 методом нормальных форм и с помощью степенных рядов решено уравнение Шрёдингера доя ангармонического осциллятора четвертой степени с двумя симметричными минимумами. Проведено сравнение с результатами, полученными в разделе 2.3 для этой задачи методом нормальных форм.

В разделе 3.4 представлены результаты численных расчетов для потенциала с двумя минимумами, найденные методом степенных рядов. Приводится сравнение полученных результатов с расчетами, выполненными по методу нормальных форм. Вычислены величины расщепления для уровней, лежащих ниже высоты потенциального барьера, по формулам, взятым из литературы. Значения расщеплений, полученные в результате численного эксперимента, совпадают с теоретическими.

На рис. 1 представлена структура энергетических уровней симметричного двухъямного ангармонического осциллятора. Жирной линией обозначен график потенциальной функции, тонкими пунктирными линиями - уровни энергии, полученные методом нормализации, сплошными линиями - уровни с учетом расщепления.

Рис. I. Структура уровней энергии двухъямного симметричного ангармонического осциллятора

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении А рассмотрен вопрос сходимости рядов Линдштедта в методе Линдштедта-Пуанкаре; сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях сходимости этих рядов.

В приложении Б приведен новый алгоритм оценки погрешности метода Линдштедта-Пуанкаре, учитывающий точное решение, выраженное в неявном виде.

В приложении В содержится листинг программы LINDA на Maple.

В приложении Г приведена программа квантования по правилу Вейля и формулы для спектров ангармонических осцилляторов.

В приложении Д представлен листинг Марк-программы для решения уравнения Шрёдингера методом степенных рядов.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы получения аналитических формул для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:

а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;

б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля;

в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры;

3. Развит метод Линдштедта-Пуанкаре для решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сформулированы и обоснованы условия сходимости рядов Линдштедта, а также решен вопрос о корректности представляемого ими решения;

4. С помощью разработанных методов и программ проведено исследование некоторых математических моделей ангармонических осцилляторов и решены следующие задачи:

а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре;

б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда;

в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы;

г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;

д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Основные публикации по теме диссертации:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК

1. Чеканов, H.A. Решение уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов / H.A. Чеканов, В.В. Флоринский // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. -2008. - №7. -С. 147-151.

2. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюф-финга / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2008. - Т. 4. -№ 9. - С. 109-111.

Научные статьи в других изданиях

3. Флоринский, В.В. Квантование одномерной системы Дюффинга в полуклассическом приближении / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов H.A. // Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ. - 2004. -Bbm.VIII. - Ч. 1.-С. 34-36.

4. Флоринский, В.В. Квантование решений одного дифференциального уравнения второго порядка / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Успехи современного естествознания. - 2004- № 7. - С. 83-84.

5. Флоринский, В.В. Квантование уравнения Дюффинга на основе метода Линдштедта-Пуанкаре / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагарин-ские чтения». - М.: Изд-во «МАТИ», 2006. - Т. 5. - С. 74-76.

6. Флоринский, В.В. Полуклассический спектр уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., Орел. Т. 2. - Орел: Издательство ОГУ. - 2006. - С. 230.

7. Флоринский, В.В. Квантование классических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности /В.В. Флоринский // Сборник материалов международной научной конференции для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях», 23-25 марта 2007 г. - Харьков: ХНУ.-2007.-С. 160.

8. Флоринский, B.B. Собственные значения ангармонического осциллятора / В.В. Флоринский // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». - 2007. - № 790. - С. 83-88.

9. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюф-финга/ В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Физико-математическое моделирование систем. Материалы IV Международного семинара (Воронеж, 26-27 ноября 2007 г.), Часть I. - Воронеж. - 2007. - С. 149-154.

10. Флоринский, В.В. Квантование нелинейных одномерных осцилляторов по правилу Вейля / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН. - 2008. - С. 46-47.

11. Флоринский, В.В. Квантование классических ангармонических осцилляторов методом нормальных форм / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Вып. 2 (31). — Херсон: ХНТУ, - 2008. - С. 490-494.

Официальная регистрация программ

12. Флоринский, В.В. Программа нахождения спектра слабовозмущенного осциллятора методом полуклассического квантования «LINDA» / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200602029. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 7242 ОФАП - 2006.

Подписано в печать 05.02.2009. Формат60x84/16. Гарнитура Times. Усл. п.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 19. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета. 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Введение.

1. Нахождение собственных значений нелинейных одномерных осцилляторов с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре.

Введение.

1.1. Метод Линдштедта-Пуанкаре.

1.2. Интегрирование классических уравнений движения методом Линдштедта-Пуанкаре.

1.3. Правило Бора-Зоммерфельда.

1.4. Основные результаты.

2. Нахождение собственных значений оператора

Шрёдингера методом нормальных форм Депри-Хори.

Введение.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Метод нормальных форм Депри-Хори для одноямного потенциала.

2.3. Метод нормальных форм Депри-Хори для потенциала с двумя минимумами.

2.4. Результаты численных расчетов.

2.5. Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре.

3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Введение.

3.1. Случай одного минимума.

3.2. Результаты численных расчетов.

3.3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала.

3.4. Полученные результаты.

Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики [1 - 7], прикладной математики, техники [8-13] приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.

В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов на примере одномерных ангармонических осцилляторов. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие системы имеют практическую значимость, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с выходом заданного реагента [14 — 16]), в технике (нанотехнологии, управление хаосом в микросистемах и др.).

В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера [17], определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы [1 - 3, 18 - 26]. Поэтому нахождение собственных значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является актуальной задачей.

В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Задача усложняется, если система допускает хаотическое поведение [27 — 46]. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические (см., например [24, 47 — 103]).

Использование численных методов в связи с нелинейностью задачи и сложностью потенциала требует большого объема компьютерных ресурсов. К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагонализа-ции [47 — 49]. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, точность сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.

Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитических, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).

Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных комплексов с использованием современных систем компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.), и их дальнейшее применение для исследования ряда практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы и решены следующие задачи.

1. Разработка методов получения аналитических соотношений для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе: а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда; б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля; в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

2. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры.

3. Провести апробацию разработанных методов и программ путем решения следующих задач: а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре; б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда; в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы; г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля; д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Методы исследований: преобразование математических моделей, методы теории дифференциальных операторов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, методы теоретической и математической физики, метод нормальных форм, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики.

Научную новизну работы составляют:

1) методы аналитических преобразований в задаче вычисления собственных значений дифференциальных операторов для уравнения Шрёдингера на основе метода Линдштедта-Пуанкаре, метода нормальных форм, правила Бора-Зоммерфельда, правила Вейля и непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2) алгоритмы символьных преобразований и вычисления собственных значений и собственных функций операторов одномерных ангармонических осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией, имеющей один или два симметричных минимума, на основе средств компьютерной алгебры;

3) результаты применения предложенных методов: а) на основе метода Линдштедта-Пуанкаре найдено представление для решения уравнения + р{х,а)у' + q(x,a)y = 0, где q(x,a) - некоторый полином относительно х,а а - малый параметр; б) с помощью правила Бора-Зоммерфельда и найденных указанным методом классических траекторий ангармонических осцилляторов с потенциалами четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности получены формулы для их спектров в явном виде; в) с помощью метода нормальных форм Депри-Хори и при помощи степенных рядов решены одномерные уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты данного исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для нахождения спектра и собственных функций их квантовых аналогов. Разработанные программы в среде Maple могут применяться для получения приближенного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром методом Линдштедта-Пуанкаре и последующего нахождения приближенной аналитической формулы спектра соответствующего оператора по правилу Бора-Зоммерфельда. Результаты диссертационной работы можно использовать для получения квантовых нормальных форм Депри-Хори и спектров одномерного уравнения Шрёдингера в случае различных полиномиальных потенциалов и для решения задачи на собственные значения и нахождения волновых функций в виде степенных рядов, а также в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод символьно-численного решения одномерного уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциальными функциями, имеющими один* локальный минимум на основе метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда.

2. Способ приближенного решения уравнения Шрёдингера на основе классических нормальных форм Депри-Хори и полученные этим способом аналитические формулы для спектров ангармонических осцилляторов с потенциальными функциями четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности.

3. Приближенные аналитические формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов, имеющих потенциальную функцию с двумя локальными минимумами, полученные с помощью разработанных символьно-численных программ на основе метода нормальных форм Депри-Хори, а также на основе непосредственного решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Га-гаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДЫ, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта по направлению «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11.2000 и в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).

Личный вклад соискателя. Автор диссертации, работая совместно с научным руководителем, самостоятельно разработал все алгоритмы и программы, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Основные научные результаты, изложенные в диссертации, получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 12 публикациях в виде статей (из которых две в журналах из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Программа LINDA по теме диссертационного исследования зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, 12 таблиц, 7 рисунков и пяти приложений. Содержание работы изложено на 130 страницах.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы получения аналитических формул для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе: а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда; б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля; в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры;

3. Развит метод Линдштедта-Пуанкаре для решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сформулированы и обоснованы условия сходимости рядов Линдштедта, а также решен вопрос о корректности представляемого ими решения;

4. С помощью разработанных методов и программ проведено исследование некоторых математических моделей ангармонических осцилляторов и решены следующие задачи: а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре; б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда; в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы; г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля; д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Заключение

1. Ландау, Л.Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. -703с.

2. Блохинцев, Д.И. Основы квантовой механики / Д.П. Блохинцев. М.: Наука, 1983.-664с.

3. Давыдов, A.C. Квантовая механика / A.C. Давыдов. М.: Наука, 1973. -704с.

4. Бете, Г. Квантовая механика / Г. Бете. М.: Мир, 1965. - 334с.

5. Курышкин, В.В. Квантовые функции распределения: — дис. канд. физ.-мат. наук /В.В. Курышкин; УДН. М., 1969.

6. Шифф, Л. Квантовая механика / Л. Шифф. 2-е изд. - М.: ИЛ, 1959. -473 с.

7. Холево, A.C. Введение в квантовую теорию информации / A.C. Холево. -МЦНМО, 2002. -127 с.

8. Берман, Г.П., Введение в квантовые компьютеры / Г.Д. Дулен, Р. Майнье-ри, В.И. Цифринович. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 188 с.

9. Валиев, К.А., Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Вали-ев A.A. Кокин. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-352с.

10. Квантовые вычисления: за и против / Библиотека «Квантовый компьютер и квантовые вычисления», Т.1. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. - 212 с.

11. Китаев, А.Ю. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок /

12. A.Ю. Китаев // УМН. 1997. -№ 6.

13. Shor, P.W. Algorithms for Quantum Computation: Discrete log and Factoring / P.W. Shor // FOCS'35. 1994. - P. 124.

14. Фрадков, Л.Ф. Управление молекулярными и квантовыми системами / Л.Ф. Фрадков, O.A. Якубовский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 416 с.

15. Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

16. Воронин, А.И. Динамика молекулярных реакций / А.И. Воронин,

17. B.И. Ошеров. М.: Наука, 1990. - 424с.

18. Шрёдингер Э. Квантование как задача о собственных значениях В кн.: Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. -М.: Наука, 1976,

19. C.9-20; С. 21-50; С.75-115; С.116-138.

20. Флюгге, 3. Задачи по квантовой механике / З.Флюгге. М.: Мир, 1974. -Т.1. - 343с.

21. Bagchi, В. A unified treatment of exactly solvable and quasi-exactly solvable quantum potentials / B. Bagchi, A.A. Ganguly // J. Phys. A.: Math. Gen. 2003. -V.36.-P. 161-167.

22. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. М.:1. Мир, 1981. 342с.

23. Aldaya, V. Canonical coherent states for the relativistic harmonic oscillator / V. Aldaya, J. Guerrero // J. Math. Phys. 2003. -Vol. 44.

24. Borisov, D.I. On the spectrum of a Schroedinger operator perturbed by a fast oscillating potential / D.I. Borisov // Journal of Mathematical Science. — 2006. -V. 139, No. l.-P. 6243-6322.

25. Fyodorov, Y.V. The density of stationary points in a high-dimensional random energy landscape and the onset of glassy behaviour / Y.V. Fyodorov, H.J. Sommers, I. Williams // JETP Letters. 2007. - Vol. 85. - P.261-266.

26. Фрёман, H. ВКБ-приближение / H. Фрёман, П.У., Фрёман. M.: Мир, 1967.-168с.

27. Bender, С.М. Anharmonic oscillator / С.М. Bender, Т.Т. Wu // Phys. Rev. -1969.- V.184, No.5. P.1231-1260.

28. Bender, C.M. Anharmonic oscillator II. A study of perturbation theory in large order / C.M. Bender, T.T. Wu // Phys. Rev. 1973. - V.7, No.6. - P. 16201636.

29. Штокман, Х.Ю. Квантовый хаос / Х.Ю. Штокман. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-376 с.

30. Буреева, A.A., Лисица B.C. Возмущенный атом / A.A. Буреева, B.C. Лисица. М.: ИздАТ, 1997. - 464с.

31. Haake, F. Quantum Signatures of Chaos / F. Haake. 2-nd ed. - Springer -Verlad Berlin Heidelberg, 2001. - 497p.

32. Табор, M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. -М.-.УРСС, 2001.-320 с.

33. Шустер, Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. М.: Мир, 1988. -240с.

34. Gutzwiller, М.С. Chaos in classical and quantum mechanics / M.C. Gutzwiller. Springer-Verlag, New York Inc., 1990. - 431 p.

35. Bolotin, Yu.L., The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function / Yu. Bolotin, V.Yu Gonchar, V.N Tarasov, N.A. Cheka-nov // Phys. Lett. 1990. - V.A144., No.8,9. -P.459-461.

36. Пуанкаре, А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре. М.: Наука, 1971. - Т. 1, - 776с.; Т.2, М.: Наука, 1972.-360 с.

37. Lorenz, E.N. Deterministic поп periodic flow / E.N. Lorenz // J. Atoms. Sci. -1963.-V.20-P. 130-141.

38. Henon, M. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments / M. Henon, C. Heiles // Astron. J. 1964. - V.69 - P .73-79.

39. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-352 с.

40. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с.

41. Цыганов, А.В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных / А.В. Цыганов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-384 с.

42. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

43. Переломов, A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. / A.M. Переломов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 238 с.

44. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. М.: Мир, 1984. - 528с.

45. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. М.: Наука, 1984. - 240с.

46. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288с.

47. Bohigas, О. Characterization of a chaotic quantum spectra and universality of level fluctuations laws / O. Bohigas, M.J. Giannoni, C. Schmit // Phis. Rev. Lett. 1984. -V.52 - P. 1-4.

48. Брур, X.B. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. / Х.В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 336 с.

49. Уилкинсон, Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Дж. Уилкинсон, К. Райнш. М.: Машиностроение, 1976. - 392с.

50. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир, 1999.-549с.

51. Banerjee, К., The anharmonic oscillator / К. Banerjee, S.P. Bhatnagar, V. Choudhry, S.S. Kanval // Proc. R. Soc. London. 1978. - A.360. - P. 575-586.

52. Маслов, В.П. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. М.: Наука, 1976. - 292с.

53. Ульянов, В.В. Интегральные методы в квантовой механике / В.В. Ульянов. -Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, 1982. 160с.

54. Fernandez, M. F. On an alternative perturbation method in quantum mechanics / M.F. Fernandez // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39 - P. 1683-1689.

55. Турбинер, A.B. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура "нелинеаризации" / А.В. Турбинер // УФН. -1984.- Т. 144 Вып. 1. - С. 3578.

56. Белокуров, В.В.,. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений / В.В. Белокуров, Ю.П. Соловьев, Е.Т. Шавгулидзе // ТМФ. 2000. - Т.123, №3. - С.452-461.

57. Пузынин, И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И.В. Пузынин, И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, В.Н. Первушин // ФЭЧАЯ. 1999. -Т.30, Вып. 1. - С.210-265.

58. Swimm, R.T. Semiclassical calculation of vibritional energy levels for non-separable systems using Birkgof-Gustavson normal form / R.T. Swimm, J.B. Delos // J. Chem. Phys. 1979. - V.71. - P. 1706-1716.

59. АН, M.K. The quantum normal form and its equivalents / M.K. Ali. // J. Math. Phys. 1985. -V.26, No. 10. - P. 2565-2572.

60. Robnik, M. The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form / M. Robnik // J. Phys. A: Math. Gen. 1984. - V.17. - P. 109-130.

61. Чеканов, H.A. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона / Н.А. Чеканов // ЯФ 1989. - Т.50, Вып.8. - С.344-346.

62. Jaffe, L.G. Lage N limits as classical mechanics / L.G. Jaffe // Rev. Mod. Phys. -1982. -V.54 P.407-435.

63. Ivanov, I.A. Link between the strong-coupling and weak-coupling asymptotic perturbation expansions for the quartic anharmonic oscillator / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - V.31 - P. 6995-7003.

64. Ivanov, I.A. Sextic and octic anharmonic oscillator: connection between strong-coupling and weak-coupling expansions / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - V.31 - P. 5697-5704.

65. Славянов, С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредин-гера / С.Ю. Славянов. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - 256с.

66. Глазунов, Ю.Т. Вариационные методы / Ю.Т. Глазунов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 470 с.

67. Eastes, W. Semiclassical calculation of bound states of a multidimensional system / W. Eastes, R.A. Marcus // J. Chem Phys. 1974. - V. 61, N. 10. -P. 4301-4306.

68. Соловьев, В.А. Адиабатические инварианты и проблема квазиклассического квантования многомерных систем / В.А. Соловьев // ЖЭТФ. 1978. -Т. 75.-Вып. 4.-С. 1261-1268.

69. Miller, W.H. Semiclassical theory of atom-diatom collision: Path integral and the classical S-matrix / W.H. Miller // J.Chem.Phys. 1970. - V. 53, N. 5. - P. 1949-1959.

70. Banerjee, K. General anharmonic oscillators / K. Banerjee // Proc. R. Soc. Lond. 1978. - A.364 - P.265-275.

71. Nikolaev, A.S. On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form / A.S. Nikolaev // J. Math. Phys -1996. V.37. N.6, - P. 2643-2661.

72. Esposti, M.D. Quantization of the classical Lie algorithm in the Bargmann representation / M.D. Esposti, S. Graffi, J. Herczynski // Ann. Phys. 1991. - V. 209,N. 2.-P. 364-392.

73. Koscik, P. The optimized Rayleigh-Ritz scheme for determining the quantum-mechanical spectrum / P. Koscik, A. Okopinska // J. Phys. A: Math. Theor. -2007. -V. 40. -P.10851-10869.

74. Hioe, F.T. Quantum theory of anharmonic oscillators. I. Energy levels of oscillators with positive quartic anharmonicity / F.T. Hioe, E.W. Montroll // J. Math. Phys. 1975. - V. 16, N. 9. - P. 1945-1955.

75. Hioe, F.T. Quantum theory of anharmonic oscillators. II. Energy levels of oscillators with x2a anharmonicity / F.T. Hioe, Don Mac Millen, E.W. Montroll // J. Math. Phys. 1976. - V. 17, N. 7. - P. 1320-1337.

76. Kesarwani, R.N. Five-term WKBJ approximation / R.N. Kesarwani, Y.P. Yarshni // J. Math. Phys. 1980. - Y. 21, N. 1. - P. 90-92.

77. Kesarwani, R.N. Eigenvalues of an anharmonic oscillators / R.N. Kesarwani, Y.P. Varshni // J. Math. Phys. 1981. - V. 22, N. 9. - P. 1983-1989.

78. Шильников Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л.Чуа. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

79. Йаффе, Л. Квантовая механика с большим N и классические пределы / Л. Йаффе // Сб. Физика за рубежом, сер. А. Исследования. М.: Мир, 1984.-239 с. (С.60-88).

80. Dineykhan, М. The Schroedinger equation for bound state systems in oscillator representation / M. Dineykhan, G.V. Efimov // Repots of Math. Phys. 1995. -V.6, N. 2/3,-P. 287-308.

81. Tang A.Z. Shifted 1/N expansion for the Hulten potential / A.Z. Tang, F.T. Chan//Phys. Rev. 1987.-A35,N.2.-P. 911-914.

82. Коллатц. Задачи на собственные значения / Коллатц. — М.: Наука, 1968, — 504с.

83. Yue-ying, Qi. The Continuum Eigen-Functions of 1-D Time-Independent Schrodinger Equations by Using Symplectic Algorithm / Yue-ying Qi, Xue-Shen Liu, Pei-Zhu Ding // Intern. J. Quantum Chem. 2004. - P. 1-7.

84. Chun-Hui Miao and Shang-Wu Qian. Variational supersymmetric WKB approximation / Chun-Hui Miao, Shang-Wu Qian // Phys. Rev. 1997. - A56, No.3.-P. 2412-2414.

85. Kinoshita, H. Symplectic integrator and their application to dynamical astronomy / H. Kinoshita, H.Yoshida, H Nakai // Celestial mechanics and dynamical astronomy. 1991. - V.50 - P. 59-71.

86. Chaudhuri, R.N. Eigenvalues of anharmonic oscillators and the perturbed Coulomb problem in N-dimensional space / R.N. Chaudhuri, M. Mondal // Phys. Rev. 1995.-A52,No.3.-P. 1850-1856.

87. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Мальком, К. Моулер. М.: Мир, 1980. - 279с.

88. Lindstedt, A. Uber die Integration einer fur die strorungstheorie wichtigen Differentialgleichung / A. Lindstedt // Astron. Nach., 1882. N. 103. - Col. 211220.

89. Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ. M.: Мир, 1976. - 456с.

90. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. — М.: Мир, 1984. -535с<

91. Флоринский, В.В. Программа нахождения спектра слабовозмущенного осциллятора методом полуклассического квантования «LINDA» /

92. В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200602029. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 7242 ОФАП - 2006.

93. Джакалья, Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е.О. Джакалья. М.: Наука, 1979. - 320с.

94. Маркеев, А.П. Теоретическая Механика / А.П. Маркеев. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001.-592 с.

95. Голдстейн, Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. М.: Наука, 1975. -415 с.

96. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966.-300 с.

97. Basios, V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians / V. Basios, N.A. Chekanov, B.L. Markovski, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Сотр. Phys. Commun. 1995. - V. 90 - P. 355.

98. Shirts, R.B. Approximate constant of motion for classically chaotic vibrational dynamics: vague tori, semiclassical quantization, and classical inframolecular energy flow / R.B. Shirts, W.P. Reinhard. // J. Chem. Phys. 1982. - V.77, N.10-P. 5204-5217.

99. Gusev, A.A. A comparison of algorithms for the normalization and quantization of polinomial Hamiltonians / A.A. Gusev, N.A. Chekanov, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky. and Y. Uwano // Programming and Computer Software. 2004. - V.30, N. 2 - P. 75-82.

100. Вейль, Г. Теория групп и квантовая механика / Г. Вейль. М.: Наука, 1986,-496 с.

101. Гребенников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребенников. М.: Наука, 1986. - 256 с.

102. Зигель, К. Лекции по небесной механике / К. Зигель, Ю. Мозер -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 384 с.

103. Уиттекер, Э. Аналитическая динамика / Э. Уиттекер. — Ижевск: НИЦ «РХД», 1999.-596 с.

104. Ukolov, Yu.A. LINA 01: A REDUSE program for the normalization of poli-nomial Hamiltonian / Yu. A. Ukolov, N.A. Chekanov, A.A. Gusev, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky, Y. Uwano // Comp. Phis. Commun. 2005. -Vol.166,N. l.-P. 66-80.

105. Борн, M. лекции по атомной механике / М. Борн. Харьков - Киев: ГНТИ, 1934.-312с.

106. Флоринский, В.В. Квантование одномерной системы Дюффинга в полуклассическом приближении / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Сборник студенческих научных работ. Белгород: Изд-во БелГУ. - 2004. -Bbin.VHI.-4.1.-C. 34-36.

107. Флоринский, В.В. Квантование решений одного дифференциального уравнения второго порядка / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Успехи современного естествознания. 2004 — № 7. — С. 83-84.

108. Флоринский, В.В. Полуклассический спектр уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, H.A. ^ Чеканов // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., Орел. Т. 2. Орел: Издательство ОГУ. - 2006. - С.230.

109. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, Н.А Чеканов // Физико-математическое моделирование систем. Материалы IV Международного семинара (Воронеж, 26-27 ноября 2007г.), Часть I. Воронеж. - 2007. - С. 149-154.

110. Флоринский, В.В. Собственные значения ангармонического осциллятора /В.В. Флоринский // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». 2007. - № 790. - С. 83-88.

111. Чеканов, H.A. Решение уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов / H.A. Чеканов, В.В. Флоринский // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. -2008. -№7. -С.147-151.

112. Флоринский, В.В. Квантование классических ангармонических осцилляторов методом нормальных форм / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. — Вып. 2 (31). Херсон: ХНТУ. - 2008. - С. 490-494.

113. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, H.A. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2008. Т.4. - №9. - С. 109-111.

114. Jafarpour, M. Calculation of energy eigenvalues for the quantum anharmonic oscillator with a polynomial potential / M. Jafarpour, D. Afshar // J. Phys. A: Math. Gen. -2002. V.35 -P. 87-92.

115. Erik Van der Straeten. The quantum doble-well anharmonic oscillator in an external field / Erik Van der Straeten, Jan Naudts // J. Phys. A: Math. Gen. -2006.-V. 39.-P. 933-940.

116. Alvarez, G. Transition from classical mechanics to quantum mechanics: x4 perturbed harmonic oscillator / G. Alvare, S. Graffi, H.J. Silverstone // Physical review A. 1988. - V.38, N. 4 - P. 37-47.

117. Killingbeck, J.P. A matrix method for power series potentials / J.P. Killing-beck, T. Scott. B. Rath // J. Phys. A: Math. Gen. 2000. - V.33 - P. 6999 -7006.

118. Альбеверио, С. О формулах для расщепления верхних и нижних энергетических уровней одномерного оператора Шредингера / С. Альбеверио, С.Ю. Доброхотов, Е.С. Семенов // Теоретическая и математическая физика.-2004.-Т. 138, №1.-С. 116-126.