автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование задачи Леви о ферме минимального веса и ее модификаций

, О I, .5 „

На правах рукописи

Зинковский Евгений Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ЛЕВИ О ФЕРМЕ

и

МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ

Специальность 05.23.17 — строительная механика

о

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург — 1995

Работа выполнена на кафедре "Механика и процессы управления"

Санкт-Петербургского государственного технического университета

Научный руководитель — доктор технических наук,

профессор А.А.Первозванский

Официальные оппоненты — доктор технических наук,

Профессор Л.В.Петухов

— кандидат технических наук, доцент В.В.Куроедов

Ведущая организация — Проектно-изыскательскйй и научно-

исследовательский институт по проектированию энергетических систем СЕВЗАПЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ

Защита состоится В на

заседании диссертационного Совета К 063.38.08 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

195Й51. С

.-Петербург, ул. Политехническая, 29. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГТУ. Автореферат разослан "-Ч^

1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук,

доцент В.А. Рукавишников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема оптимизации конструкций является одной из актуальных задач механики твердых деформируемых тел. Изучались и продолжают изучаться классы задач, отличающиеся целевыми функциями (жесткость, вес, стоимость ), свойствами сред (упругая, упруго-пластическая), пространственной конфигурацией (шарнирные фермы, рамы, пластины, оболочки, трехмерные тела).

Данная работа связана с одной из первых и, возможно, самой простой проблемой оптимизации - задачей Леви о шарнирной ферме минимального обьема.

Необходимо указать, что вычислительным аспектам проблемы нахождения упругих конструкций минимального веса уделяется внимание в работах многих авторов (см. главу 1 ). Но на ряду с вычислительными аспектами, которым в литературе по даппой задаче и ее модификациям уделяется преимущественное внимание, имеются качественные проблемы. Их исследование представляется целесообразным начать с простейших постановок. Поэтому в даппой работе за основную постановку взята задача Леви.

Основной особенностью оптимальной фермы Леви оказывается то, что в нее входят не все стержни и узлы, которые допустимы в исходном множестве стержней и узлов. Иначе говоря, материал кон-цетрируется в части исходного пространства. Такими же свойствами обладают оптимальные решения и в других задачах оптимизации конструкций. .

В связи с этим являются практически актуальными следующие проблемы:

- выявить ситуации, когда заранее может быть изъята часть узлов без увеличения общего веса несущей конструкции;

- определить, является ли это свойство робастным, т.е. сохраняется ли оптимальная конструктивная схема при малых изменениях внешней нагрузки;

- найти способ построения единственной фермы минимального веса, в которой удовлетворяются условия прочности при любых нагрузках из заданного класса;

- выявить пути учета дополнительных условий, не входящих в формулировку классической задачи Леви, по имеющих важное практическое значение;

о

Цель работы:

- провести исследование зависимости степени избыточности решения задачи Леви от параметров задачи;

- рассмотреть условия сохранения конфигурации и степени избыточности фермы, являющейся решением задачи Леви при изменении внешней нагрузки;

- рассмотреть задачу о ферме, оптимальной для класса нагрузок;

- провести численные исследования зависимости избыточности решения задачи о ферме, оптимальной на множестве альтернативных пагрузок;

- рассмотреть некоторые задачи, отличающиеся по постановке от задачи Леви: с учетом собственного веса стержней, с учетом ограничений на перемещения шарниров и условий устойчивости стержней при работе на сжатие.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- введены понятия избыточности и вырожденности, характеризующие исходную и оптимальную конструкции;

- по результатам аналитического и численного исследования решения задачи Леви сделан вывод, что степень вырожденности оптимальной фермы существенно зависит от взаимного положения опор и точки приложения внешней нагрузки, а также от направления действия внешней нагрузки. Проведено сравнение с результатами решения задачи о ферме оптимальной для пескольких альтернативных нагрузок;

- введено понятие робастности неприводимой конструктивной схемы оптимальной фермы. Дано описание класса нагрузок, на котором свойство робастности заведомо сохраняется, и механическая интерпретация ограничений, задающих этот класс;

- доказаны следующие общие утверждения: 1) задача о ферме оптимальной на многогранном множестве нагрузок эквивалентна проблеме оптимизации на конечном множестве нагрузок, отвечающим угловым точкам многогранника; 2) то же справедливо для задачи с учетом условий устойчивости (для произвольного вида зависимости критической силы Эйлера от площади поперечного сечения стержня);

- предложены: алгоритм для численного решения задачи о ферме оптимальной на многогранном множестве нагрузок; алгоритмы приближенного решения задач о ферме минимального веса, с учетом ограничений по устойчивости стержней или по перемещению узлов, основанные на сведении возникающих задач к последовательности

задач линейного программирования;

Практическими результатами работы является созданное программное обеспечение для решения задач оптимизации ферм, которое поступило в фонд программ АООТ "СЕВЗАПЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ" , а также используется в учебном процессе в СПбГТУ и ПГУПС. Построении варианты оптимальных конструкций при типовых нагруже-ниях. Ряд основных результатов вошел в учебное пособие "Вычислительные методы в инженерных расчетах"(ЛИИЖТ,1994). Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных семинарах Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 4 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, включающий 70 наименований, приложение. Текст диссертации изложен на 136 страницах машинописного текста и содержит 19 рисунков и 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко описывается к какой области принадлежит рассматриваемая задача, перечисляются положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткое описание постановок классических задач оптимизации: задачи Леви и задачи Максвелла-Мичелла и результатов полученных этими авторами. Дается обзор современной литературы и формулируются задачи для исследования.

Задача Леви заключается в следующем. Задана некоторая статически неопределимая шарнирная ферма (т.е. положение шарнирных опор — узлов фермы, в которых может производится ее закрепление, а также число, положение и способ соединения стержнями свободных шарниров). Некоторые (или все) из свободных шарниров нагружены задаными сосредоточенными внешними силами. Значения напряжений растяжения/сжатия возникающих в стержнях фермы должны удовлетворять ограничениям на предельно допустимые величины. Требуется выбрать площади поперечных сечений стержней таким образом, чтобы чтобы вес фермы передающей нагрузку на опоры был минимален, и чтобы в то же время не были нарушены условия прочности.

М.Леви доказал, что решение достигается на одной из статически определимых ферм, получаемой удалением части стержней из исходной схемы. Однако, не был указан способ выделения такой фермы.

Существенный прогресс в решении задачи Леви связан с появлением математического программирования. В работе Дорна, Гомори и Гринберга было показано, что задача Леви сводится к задаче линейного программирования (ЗЛП), и следовательно для ее решения могут быть использованы методы Л П.

В отличии от задачи Леви постановка Максвелла-Мичелла значительно более общая. Здесь сетка шарниров вообще пе фиксируется (т.е. не задается ни число, ни положение в пространстве узлов исходной фермы), а задается лишь положение нагруженных узлов и опор. В задаче требуется найти конфигурацию фер.мы, которая позволила бы передать нагрузку на опоры с минимальной затратой материала, удовлетворив ограничениям прочности.

Очевидно, что любая ферма, получаемая путем решения задачи Максвелла-Мичелла, имеет не больший вес, чем ферма находимая в результате решения задачи Леви с теми же нагруженными узлами и опорами, но может может быть и легче. Поэтому, па первый взгляд, следовало бы решать именно задачу Максвелла-Мичелла. Однако не существует эффективных методов построения ее точного решения. Более того, известен результат Мичелла, заключающийся в том, что для некоторых видов нагрузок не существует оптимального решения па классе ферм с конечным числом промежуточных шарниров, а оптимальным является фермоподобный континуум с бесконечным числом узлов и стержней.

Таким образом, именно задача Леви сохраняет основное практическое значение. Вместе с тем сложность ее решения быстро возрастает с увеличением числа вводимых промежуточных узлов.

Наряду с классической формулировкой, известен ряд модификаций задачи об оптимальной ферме. В постановке учитываются такие дополнительные факторы, как ограничения на перемещения шарниров, продольный изгиб, требования, чтобы оптимальная конструкция несла несколько возможных нагрузок.

Все эти модификации лишают задачу Леви линейности и Для их решения требуется разработка специальных алгоритмов.

Из малого числа работ, в которых рассматривается возможность выбора оптимальной топологии фермы, первая по времени, наиболее простая, по весьма эффективная это работа Дорна и др. Простота и

эффективность основаны в данном случае на использовании аппарата линейного программирования. Алгоритмы предложенные в работах П.Гоффа, С. Липсона, Беннета оказываются непрактичными. Выбор оптимальной топлогии очень сильно усложняется,как из за сложности начальной постановки задачи, так и в результате особенностей предлагаемых алгоритмов.

Во второй главе дается математическая формулировка классической задачи Леви как задачи линейного программирования следующего вида:

п

тш / = тш д^ЬЗ^ (1)

* 5' ,=1'

-675, < < Si > О, I = М,

^^сова? + Р* = О,

Ргсоза? + Р< =0, 5 = ТД, (2)

Ггсо5а; + Р? = о,

«ёт,

где 5,-, С?/, £¡7" — удельный вес материала стержней, длина, величины допустимых напряжений на растяжение и сжатие для г-го стержня; тгг — множество номеров стержней, закрепленных в 5-ом узле; су?, а|, а? — углы между г'-ым стержнем и ортами осей ОХ, ОУ, 02 соответственно; Р',Р®,Р* — проекции на координатные оси внешней силы, действующей на я-ый узел.

Анализ задачи показывает, что она может быть преобразована к виду:

тт{сТх/Лх = Ь; х > 0} (3)

С21-1 = C2i = хы-1 = = -РГ, г = 1, п,

где 6 € Рт — столбец проекций вне1пних сил на координатные оси. Матрица А 6 Н'" х 7?" есть матрица косинусов углов между стержнями и ортами осей координат. Причем, Р, = Р+ — > 0.

Введем обозначения В — матрица базиса; сд, хв — базисные части векторов с и ж. В работе показано, что каждому базису, т.е. неособой подматрице матрицы А, соответствует некоторая статически определимая ферма. Поскольку оптимум в задаче ЛП достигается на одном из базисов, то тем самым удается получить простое доказательство

теоремы Леви: оптимальная ферма является статически определимой. Этот результат оправдывает отсутствие условий совместности деформаций в исходной формулировке. Наряду с этим доказывается, что число стержней в оптимальной ферме не превосходит размерности базиса, т.е. 3 х к для пространственной фермы (или 2 х к для плоской), где к — общее число исходных узлов. Однако, как правило, базис является вырожденным, т.е. в нем присутсвуют нулевые элементы, а следовательно, в оптимальной ферме могут быть изъяты соответсвующие стержни. Назовем такие стержни нулевыми, а нулевым узлом - такой шарнир, что все закрепленные в нем стержни - нулевые. Очевидно, что нулевые узлы могли быть изъяты из исходной сетки без ухудшения качества конструкции. Поэтому анализ условий вырожденности базиса позволяет в некоторых случаях решить вопрос о возможности упрощения исходной сетки, а следовательно, упрощения задачи оптимизации. Неприводимой конструктивной схемой оптимальной фермы назовем схему соединения узлов исходной фермы, получаемую удалением из оптимальной фермы нулевых узлов и нулевых стержней. Вводятся понятия избыточности и вырожденности. Первое вводится как отпошепие общего числа шарниров фермы к числу нагруженных внешней силой, а последнее, как отношение общего числа шарниров исходной сетки к числу ненулевых шарниров в оптимальной ферме. В этой же главе выводятся условия оптимальности некоторых простых неприводимых ферм.

Рассмотрим произвольную плоскую ферму па двух опорах. Пусть внешняя сила приложена только в одном из шарниров. Будем называть его первым. Пронумеруем опоры числами 1 и 2. Проведем прямые через опоры 1, 2 и шарнир 1 липии (II, 12). Первым конусом будем называть объединение секторов, каждый из которых получается пересечением двух полуплоскостей, лежащих выше и ниже линий 11,12. Вторым конусом будем называть оставшуюся часть пространства.

Утверждение 1. Для рассмотренной задачи оптимальная неприводимая конструкция состоит из стержней соединяющих нагруженный шарнир), если все другие шарниры расположены в конусе 2, а внешняя сила действует по прямой, принадлежащей первому конусу; утверждение также верно, если все пенагруженные шарниры лежат в конусе 1, а внешняя сила действует по прямой, лежащей в конусе 2.

Для проектировщика это значит, что не имеет смысла вводить в исходную сетку задачи дополнительные шарниры если не ввести хотя

бы один в соответсвующем (см. Ухв.1) конусе ( иначе не один из них не войдет в оптимальную конструкцию)/ от

Для произвольной плоской фермы закрепленной па двух неподвижных опорах было доказано, следующее утверждение.

Рассмотрим статически определимую конструкцию, состоящую только из опорных стержней, соединяющих каждый из шарниров, где приложена внешняя сила с опорами.

Пусть каждая из внешних сил имеет такое направление действия, что вызывает в первом опорном стержне (т.е. в закрепленном в первой опоре) шарнира, где она приложена, такое же по знаку напряжение, что и любая другая внешняя сила в своем первом опорном стержне. Пусть это справедливо и для второго (т.е. закрепленного во второй опоре) опорного стержня каждого шарнира (т.е. внешние силы вызывают и во вторых опорных стержнях шарниров, где опи приложена, одинаковые по знаку напряжения). Задачу Леви для рассмотренной выше произвольной плоской фермы на двух опорах и внешних сил, удовлетворяющих рассмотренным выше условиям назовем основной задачей.

Рассмотрим вспомогательную задачу: произвольную плоскую ферму, состоящую из двух шарниров и закрепленную на двух опорах. Пусть направления внешних сил в каждом из шарниров удовлетворяют тем же условиям, что и основной задаче (причем знаки, возникающих в опорных стержнях напряжений, должпы совпадать с таковыми в основной задаче).

Утверждение 2. Если для всех возможных подконструкций исходной фермы (фермы из основной задачи), состоящих из двух шарниров и пяти стержней (четыре из которых - опорные и один, соединяющий два шарнира) решение вспомогательной задачи - есть ферма, состоящая из четырех опорных стержней, то и решение основной задачи есть ферма, состоящая только из опорных стержней (а именно, рассмотренная при описании основной задачи статический определимая конструкция). ,

Получено алгебраическое неравенство относительно переменпых задающих геометрию фермы, рассматриваемой во вспомогательной задаче, которое должно выполняться для каждой пары шарниров, чтобы утверждение 2 было верно.. Тогда, ферма являющиеся решением вспомогательных задач "распадается" па две части, которые никак не связаны между собой. В основной задаче оптимальная ферма "распадается" на к (по числу.шарниров в исходной ферме)

независимых частей несвязанных между собой. Ясно также, что в этом случае вырожденность вектора Ь (внешняя сила равна нулю в нескольких шарнирах) приводит к вырожденности решения. То есть не имеет смысла вводить избыточные шарниры, если для них и каждого из нагружепных шарниров решением вспомогательной задачи является описанная выше ферма.

К сожалению, сделать выводы о структуре оптимальной фермы на основе аналитических исследований удалось только для таких простейших примеров (аналогичные утверждепия верны для 3-х мерной фермы на трех опорах). Но для пас важен качественный результат. А именно, с точки зрения проблемы вырожденпости оптимальной фермы эти результаты означают, что возможно такое расположение шарниров исходной фермы, что большинство (из утверждений следует, что их может быть сколь угодно много) из них не войдет в оптимальную конструктивную схему. Следовательно, последняя может иметь сколь угодно большую степень вырожденности.

Множество решенных с помощью этого программного модуля задач, отличающихся различным количеством опор, характером внешней нагрузки и расположением точек их приложения, показало, что можно выделить два типа решений, существенно отличных по степени вырожденности и реализующихся в зависимости от геометрии исходной задачи и направления внешней нагрузки. Первый тип решения характеризуется предельно малой степенью вырожденности неприводимой конструктивной схемы оптимальной фермы. С увеличением количества шарниров в исходной ферме, растет также число ненулевых шарниров оптимальной фермы . Это случай, когда решение задачи Максвелла-Мичелла не аппроксимируется пи одной из конечномерных задач Леви. Второй тип решения характеризуется большой степени вырожденности, т.е. большинство шарниров исходной фермы не входит в оптимальную конструкцию.

Для иллюстрации зависимости приведены результаты численных расчетов для плоской фермы ( состоящей из 26 свободных шарпи-ров, двух опор и 377 стержней) и для трехмерной фермы, на трех неподвижных опорах (10 шарниров, 3 опоры, 75 стержней ).

На основании этих численных данных было сделан следующий вывод: конструктивная схема оптимальной шарнирной фермы обладает большой избыточностью в тех случаях, когда для передачи внешней нагрузки па опоры существенно необходимы элементы работающие на изгиб (т.е. когда в раме, подверженной такой же пагрузке как

и шарнирная ферма, велики по сравнению с нормальными усилиями перерезывающие силы).

На численных примерах показано, что неприводимая конструктивная схема оптимальной фермы может резко меняться при изменении направления действия внешней нагрузки. Степень ее вырожденности может меняться скачком на сколь угодно большую величину. Это служит подтверждением необходимости рассматривать задачу о ферме оптимальной на множестве нагрузок.

В третьей главе дается определение робастности неприводимой конструктивной схемы.

Введем в рассмотрение класс внешних сил Р . Под классом понимается мпожество возможных сил, на изменения которых по величине и направлению наложены ограничения.

Определение. Неприводимая конструктивная схема оптимальной фермы называется робастной на классе Р,если для любой р £ Р соответствующая оптимальная ферма содерждит одни и те же непулевые стержни. ( Это определение общее для любых стержневых конструкций. )

На основе представленя задачи Леви в терминах линейного программирования доказано

Утверждение 3. Если некоторая статически определимая ферма является оптимальной для некоторой внешней нагрузки, то неприводимая конструктивная схема этой фермы будет робастной для всех нагрузок из класса, задаваемого уравнением х = В~1Ь > 0, при условии, что нулевые компоненты вектора х остаются пулевыми (В — матрица базиса ЗЛП соответствующая полученной оптимальной ферме).

Последнее ограничение означает, что могут меняться величины и направления внешних сил, но ненагруженные в первой задаче внешней силой шарниры, при изменении внешней нагрузки, должны остаться ненагруженными. Механическая интерпретация доказанного утверждения состоит в следующем. Если некоторая конструктивная схема оптимальна для нагрузки задаваемой вектором Ь„, то она заведомо робастна на классе внешних сил, который характеризуется тем, что, 1) к тем шарнирам, которые не были нагружены не прикладываются внешние силы и 2) сохраняются знаки усилий, возникающих в стержнях фермы.

В частности из утверждения следует, что робастность не сохраняется, если множество Р включает системы нагрузок с различным

и

числом узлов пагруженных внешней силой.

Таким образом, всегда есть хотя бы малое множество нагрузок на котором сохраняется конструктивная схема оптимальной фермы. Но, в тоже время, показано, что существуют критические схемы пагру-жения, даже при малом изменении которых, конструктивная схема резко меняется. Это теоретическое положение демонстрируется на примерах, где менялось направление внешней нагрузки.

В четвертой главе рассматривается задача о ферме оптимальной на классе нагрузок.

Определение. Конструкция называется оптимальной на классе внешних нагрузок Р, если для любой нагрузки р 6 Р напряжения не превышают допустимых, и конструкция обладает минимальным весом.

Поясним подробнее разницу между понятием робастпой неприводимой конструктивной схемы и конструкцией оптимальной на классе нагрузок. Важно понимать, что неприводимой схеме, робастной на классе Р, соответствует целое множество конструкций. Каждой нагрузке р из класса Р соответствует своя конструкция, которая может оказаться неспособной нести другие нагрузки из данного клас-сса. Конструкции, соответствующие разным единичным нагрузкам из класса состоят из одних и тех же стержней, но геометрические характеристики стержней для каждой свои.

Напротив, конструкция оптимальная на классе Р, это одна конструкция, с фиксированными геометрическими характеристиками стержней, способная нести любую нагрузку изданного класса.

Далее в этой главе описывается формальная постановка задачи, являющаяся обобщением постановки предложенной Дорном, Гомори, Гринбергом.

Пусть Р множество (класс) возможных нагрузок, а р - произвольная нагрузка из этого множества. Тогда задача оптимизации на классе имеет вид:

/* = пйп {^'Б/АПр) =р, ре Р, -в-в < Г(р) < С+Я}, (4)

где 5 € Я" — вектор площадей поперечных сечений срежней фермы; п — общее число стержней в исходной ферме; I € Ип — вектор длин стержней; — диагональные матрицы, ненулевые элемен-

ты которых суть допустимые предельные напряжения растяжения и сжатия; р Е Пт — вектор проекций внешних сил в шарнирах фермы.

Существенной особенностью данной задачи является наличие в ней континуума ограничений и, вообще говоря, она не является клас-

сической задачей Л П.

Однако можно указать ситуацию, когда проблема (4) приводима к конечномерной ЗЛП.

Утверждение 4. Пусть Р является выпуклым многоранпым множеством, ар'.] = 1,г его крайние точки. Тогда задача (4) эквивалентна задаче:

/ = тш{1тЗ/АЕ> = р>,-СБ < < (3+5, з = М7} (5)

Таким образом, задача оптимизации на многогранном множестве нагрузок свелась к классической проблеме оптимизации на конечном множестве альтернатив, которым соответствуют системы нагрузок, отвечающие крайним точкам многогранника. Для пояснения приведем наиболее тривиальный пример.Пусть каждая из проекций внешних сил может принимать любое значение из отрезка рт < рт < т = 1.М. Тогда множество Р является М-ыерным параллелепипедом, имеющим Я = 2м крайних точек.

Приведенная в этом параграфе постановка задачи о ферме оптимальной на классе нагрузок является обобщением постановки для 2-х альтернативных нагрузок предложенной впервые в работе Дорп, Го-мори и Гринберга, где отсутствуют уравнения отвечающие условиям совместности деформаций. Но, как показывается в дапной главе, оптимальная ферма, вообще говоря, статически неопределима. Значит реальные напряжения в стержнях фермы отличны от рассчитанных и условия прочности могут нарушаться.

Таким образом, очевидпо, что обоснованное ранее исключение уравнений совместности из формулировки задачи (см. Гл.2), в постановке о ферме оптимальной на совокупности нагрузок пе применимо.

Исходная постановка задачи, предложенная Дорном некорректна с точки зрения теории стержневых конструкций. Однако решение задачи без учета условий совместности, может послужить начальным приближением для поиска оптимальной фермы. Такой алгоритм предлагается в главе 5. Для его реализации остается актуальным вопрос эффективного решения задачи поставленной в данной главе.

Очевидно, что с увеличением числа альтерпатив растет размерность задачи (5). Для практических задач это число становится очень большим. Поэтому в работе предложен алгоритм блочного программирования позволяющий значительно уменьшить объем машинной памяти, необходимой для решения задачи. Алгоритм требует многократного решения задачи для фиксированных пагрузок,

а также решения вспомогательной задачи проектирования точки на симплекс. На осповапии численных расчетов в этой главе также показывается, что 1) конструктивная схема фермы, оптимальной на классе, вообще говоря, не совпадает ни с одной из схем, оптимальных для единичных нагрузок из рассматриваемого класса; 2) зависимость вырожденности фермы оптимальной на классе от направления внешней нагрузки принимает качественно иной характер. Исчезают резкие "скачки " в степени избыточности, наблюдавшиеся в задаче Леви при изменении направления внешней силы. Зависимость от геометрии задачи остается качественно схожей с полученной для задачи Леви.

Во

пятой главе рассматриваются некоторые задачи, отличные от классической задачи Леви.

Учет ограничений на перемещение узлов: уравнения равновесия шарниров запишутся как и ранее в виде: АР — Р, где Р £ Л",Р 6 В"1, А £ Ят х Д" — соответственно вектор нормальных усилий в стержнях, вектор проекций внешних сил, приложенных в узлах и матрица направляющих косинусов, т — число степеней свободы конструкции. Необходимо также учесть условия совместности деформации, которые для упругой фермы (т.е. с учетом закона Гуьа) запишутся следующим образом АТи = Х~хР, где и Е Вт — вектор перемещений узлов фермы, X = (Иад{х\, ■■■,хп},х, = £,5г-//;,/,- — длина стержня номер г, Е - модуль Юнга.

Целевая функция (вес фермы) и ограничения по допустимым напряжениям в стержнях также могут быть записаны через переменные х. Задача в целом принимает вид:

/ = гшп {сТх/АР = Р, -СГх <Р> С+х;х > 0; <Цх) = (1т[АХАт]~1р < ¿тах

(6)

где д € Ят — заданный вектор, в.тах — столбец допустимых перемещении, = врг/Е, Ог = в-и/Е; а = р$/Е.

Введение ограничений по перемещениям резко усложняет проблему. Она перестает быть задачей линейного программирования. Более того, не гарантирована выпуклость допустимой области. Предложен алгоритм решения основанный на последовательной линеаризации и проектировании на допустимую область.

Задача о ферме оптимальной на классе нагрузок. В главе 4 показано, что в постановке задачи о ферме оптимальной на классе нагрузок существенно необходимо учитывать уравнения

совместности деформаций. При этом оказывается, что утверждение 4 (Глава 4, п.1), доказанное для постановки без учета условий совместности, остается в силе, т.е. в случае, когда Р — выпуклое многогранное множество, задача о ферме оптимальной на классе нагрузок:

п

/*= тЬ (7)

¿=1

ЛР(р) = Р; Ати(р) = С-^^Р

-С < САт[АЗСАт]~1р < С; Ур £ Р

(где р — вектор проекций нагрузок из класса Р, Р — вектор напряжений растяжения/сжатия в стержнях, и — вектор проекций перемещений шарниров, С = (Иад{Е/и}] 5 = с/га^{5,}, г = 1 , п)

эквивалентна задаче на конечном множестве альтернатив:

71

Г = тт5]!Д-, (8)

1=1

при условиях

АР' = р»; Ати> = С^Б'1^

-С < САТ[Л5САТ]-V < С; ^ = Т~Р,

где - крайние точки множества Р. Однако, в данной постановке задача на конечном множестве альтернатив является нелинейной. Для ее решения предлагается следующий алгоритм:

а) Решить задачу (5) без учета условий совместности (см.Гл.4).

б) Проверить выполнение условий прочности рассчитанных с учетом условий совместности. Если они выполняются (как, например, в случае когда решением задачи в пункте а) является статически определимая ферма), то задача решена. В противном случае, выделить подмножество С?0г, г € /0> Для которых условия прочности нарушены и выбрать новые значения допустимых напряжений — —Л,-, г £ 10. иричем величина пропорциональна невязке в нарушенном уравнении условия прочности. Вновь решить задачу (5) и проверить выполнение условий прочности и т.д. пока последние не будут удовлетворены.

в) В окрестности полученного допустимого решения провести линеаризацию ограничений на прочность задачи (8). Для этого необходимо рассмотреть малую вариацию площадей поперечных сече-

ний: 5= Яс + бв. Тогда обратную матрицу жесткости К"1 (Б) можно приближенно представить так: ~ [/ — К~1(30)К(65)]А'_1(50).

Очевидно, что тогда задача относительно переменных 6Б будет линейной. На величины 6Б накладывается ограничение — Д < ¿5 < Д. где величина Д задает возможный шаг на изменение жесткостей. Она подбирается из условия, чтобы значение целевой функции в новой точке было не больше чем в предыдущей. Если окажется, что в результате решения зтой задачи полученное решение не удовлетворяет условиям прочности, то производится проектирование полученной точки на допустимую область по схеме описанной в пункте б). В окрестности новой допустимой точки снова провести линеаризацию, и так далее.

Критерием остановки алгоритма будет служить ограничение на минимальное уменьшение веса ДР = (Р^ — Рь+1) > е > 0. Работа алгоритма иллюстрируется на примерах.

Чтобы учесть продольный изгиб используется формула Эйлера для критической силы Рцт — -к^ЕЗ!^. Тогда задача нахождения оптимальной по весу фермы запишется:

/ = шш{/г5/АР = Р; - тах{Р/1т, 6-5} < Р < 5 > 0} (9)

Расчетная схема должна быть пригодна для любого варианта, когда Pi¿m(5) является монотонно возрастающей и выпуклой функцией 5. Пусть 5/гт(—Р) — обратная функция, т.е. Рцт(8цгп(—Р)) — —Р. Условие на усилия можно записать в виде 5 > N(F), где неравенство понимается покомпонентно.

Исключив 5 из постановки перепишем задачу в виде:

тш(Е - Р}. (10;

г

Во всех случаях, когда Р/;т(5) растет быстрее, чем линейно, функция ЛГ(Р) не является выпуклой. В силу этого обстоятельства задачг может оказаться многоэкстремальной.

Поэтому в качестве одного из подходов к численному решению за дачи предлагается также, как и для задачи с учетом ограничений пс перемещениям, использовать метод деформируемого многогранник; в сочетании с процедурой поиска начального приближения методов ЛП-т последовательностей. Эта, уже описанная выше, схема являля ется реализацией общего подхода к минимизации "плохих" функций

Вместе с тем специфика задачи позволяет с помощью специальных эвристических приемов (Глава 5) получить достаточно эффективные результаты. Предложен ряд алгоритмов, основной из которых также базируется на идее последовательной линеаризации и проектировании на допустимую область.

Утверждение 5. Пусть Р является выпуклым многогранным множеством, а p>,j = 1 , г — его крайние точки. Тогда задача о ферме оптимальной на классе нагрузок Р, эквивалентна задаче на конечном множестве альтернатив р3,j = 1 , г.

В задаче с учетом собственного веса стержней он учитывается не только при формировании функционала, как в задаче Леви, но и при построении как уравнений равновесия, так и условий по допустимым напряжениям. Продольные усилия в стержнях в этом случае оказываются переменными.

Оказывается, что без учета изгибных напряжений, в силу линейности -F(£), где 0 < £ < 1 — отсчитывается вдоль стержня, достаточно проверки условий прочности на концах стержня

-Grs, <F< GfSi, -GJ S, < F < G+Su Ж = F\ + g^Sicosa] (11)

Добавляя в условия равновесия усилия, статически эквивалентные поперечным компонентам сил веса, задачу минимизации веса можно представить теперь в виде:

min {fS/AF = P + ßS; -G~S <F< G+S} (12)

Построенная модификация остается задачей ЛП и допускает применение стандартного алгоритма. Вместе с тем, как уже указывалось, эта постановка не учитывает изгибных напряжений, вызываемых поперечными компонентами сил веса. Поскольку изгибпые напряжения определяются моментами инерции поперечных сечений, нелинейно зависящими от выбираемых площадей, то учет этих напряжений, также как и в задачах с ограничениями по устойчивости, приводит к потере линейности задачи в целом. Мы сталкиваемся с теми же трудностями. Для преодоления их, применимы предложенные ранее эвристические приемы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе численных экспериментов с математической моделью шарнирной фермы (уравнения равновесия) сделаны выводы о существенной зависимости структуры (а именно, степени избыточности) оптимальной по весу фермы от приложенной внешней нагрузки. Б результате многочисленных расчетов выделены два полярных случая: когда, в зависимости от точек приложения внешних сил и их направления, оптимальная ферма состоит из большого числа шарниров и стержней, и наоборот, когда число шарниров и стержней мало.

2. Установлен диапазон изменения нагрузок по направлению и величине, на котором заведомо сохраняется конфигурация оптимальной фермы задачи Леви (свойство робастности). Получен критерий оценки этого диапазона состоящий в том, что конфигурация оптимальной фермы сохраняется неизменной, пока изменение внешней нагрузки не приводит к изменению знаков напряжений в стержнях фермы.

3. Доказано, что задача о ферме минимального веса ,в случае, когда она рассчитывается на произвольную внешнюю нагрузку из заданного диапазона, может быть сведена к проблеме оптимизации на конечном множестве единичных нагрузок. Это справедливо при условии, что множество внешних нагрузок - многогранник. Тогда исходная задача оказывается эквивалентной задаче на конечном множестве крайних точек многогранника. Предложен алгоритм для численного решения задачи с экономным использованием памяти ПЭВА:

4. На основании анализа численных экспериментов показано, что конструкция фермы оптимальной для заданного диапазона нагрузок, вообще говоря, не совпадает со структурой ни одной из ферм, оптимальных для единичных нагрузок из рассматриваемого диапазона.

5. Установлено, что учет собственного веса стержней в задаче Леви не выводит задачу оптимизации из класса задач линейного программирования (ЛП), если не принимать во внимание изгибных напряжений.

6. Установлено, что учет ограничений по устойчивости стержней и по перемещению узлов резко усложняет задачу о ферме минимального веса, превращая ее из задачи ЛП в невыпуклые задачи. Предложены алгоритмы приближенного решения задач, основанные на сведении возникающих задач к последовательности задач линейного программирования.

7. Разработано программное обеспечение для решения задачи

1 о

оптимизации фермы в различных постановках. Программа прошла апробацию НИЛконструкций НИИ "СЕВЗАПЭНЕРГОСЕТЬПРО-ЕКТ" и поступила в фонд программ этого института.

Основные положения диссертации отражены в печатных работах:

1) Зинковский Е.А. Вырожденные решения задачи'о ферме минима- ; льного веса, Механика и процессы упр., Сборник научных трудов СПбГТУ, N 446,стр.177-180,1993. '

2) Захаров М.Г., Зинковский Е.А. О двух типах решения задачи о • ферме минимального веса, Механика и процессы упр., Сб. науч. тр. ' СПбГТУ, N 448,стр.165-169, 1994. ;

3) Боровских Ю.В., Захаров М.Г., Зинковский Е.А., Топаж А., Вычислительные методы в инженерных расчетах.ч.1. Оптимальное про- ; ектировапие конструкций, Уч. пособие, ЛИИЖТ,99с. ,Спб, 1994.

4) Захаров М.Г., Зинковский Е.А., Первозванский А.'А. Задача о ' шарнирной ферме оптимальной на нескольких альтернативных наг- • рузках, Мехапика и процессы упр., Сб. науч. тр. СПбГТУ, N 449, 1 1995.

1Э