автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование устойчивости и анализ управления нелинейных неконсервативных систем

004612600

На правах рукописи

ПАЛОШ Виталий Евгеньевич

Исследование устойчивости и анализ управления нелинейных неконсервативных систем

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление н обработка информации (информатика, машиностроение)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 Ш 2010

Москва - 2010

004612600

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Агафонов Сергей Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Вахрамеев Сергей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Щеглов Георгий Александрович

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится «¡6 »КО-^^/Ш 20/#года в /Зч .00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим выслать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.141.15, кандидат технических наук, '

старший научный сотрудник, доцент " Аттетков A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Устойчивость неконсервативных систем — один из разделов механики, имеющий важное практическое значение и вызывавший интерес на протяжении всего минувшего столетия. Задачи исследования устойчивости возникают при рассмотрении систем со следящими и реактивными силами, при проектировании гироскопических устройств, современных конструкций в машиностроении, крупногабаритных космических конструкций. Эти же вопросы появляются и при решении задач управления, поскольку нагрузки, возникающие в объектах систем автоматического регулирования, в большинстве случаев представляют собой неконсервативные силы. Поэтому анализ и обнаружение новых качественных механических эффектов поведения систем под действием неконсервативных нагрузок представляет значительный интерес.

В диссертационной работе рассматривается устойчивость и управление следующими системами: динамически симметричный космический аппарат, солнечный парус, двойной маятник, свободный стержень.

Первые работы по нахождению стационарных режимов динамически симметричного космического аппарата относятся к 1950-1960 гг., среди них можно выделить работы Г.Н. Дубошпна. В.Т. Кондураря, Ф.Л. Чер-ноусько. Стабилизации и управлению спутников постоянными внешними моментами посвящены работы А.Д. Герман, С.А. Гутника, В.А. Сарыче-ва. В работе С.А. Агафонова и А.Д. Герман решена задача стабилизации стационарного движения динамически симметричного спутника с помощью приложения внешних моментов. Центр масс спутника движется по круговой орбите. Задача решена в строгой нелинейной постановке. Стабилизирующие внешние моменты формируются по известным значениям компонент угловой скорости спутника, а также по значениям углов Эйлера, полученным из решения задачи Дарбу.

В.А. Сарычевым рассмотрено движение спутника, центр масс которого движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью. Спутник не является динамически симметричным и на него действуют постоянные внешние стабилизирующие моменты.

Динамика систем соединенных тел. находящихся на орбите, представляет большой интерес, поскольку имеет различные практические применения, такие как космические роботы и манипуляторы, телескопы, орбитальные станции и т.д. Первые публикации на эту темы появились в научной литературе в начале 1960-х годов. Отметим работы А. Аннели-

/ '

си, М. Лаванги, А.К. Мисры, В.А. Сарычева. Существуют также работы, в которых рассматриваются системы, состоящие из произвольного числа материальных точек. В работах А.Д. Герман исследована устойчивость по первому приближению возможных положений равновесия систем такого вида.

Г. Циглер рассмотрел колебания двойного маятника, состоящего из двух невесомых стержней равной длины I и нагруженного на конце следящей силой Р. Массы сосредоточены в узлах т\ — 2т, т2 = т, гравитационные силы отсутствуют, восстанавливающие моменты в шарнирах равны Mi = -Ав1 - Вв 1, М2 = -А(62 - 6Х) - В [в2 - 0i) .

Был получен неожиданный результат: критическая сила, при которой система теряет устойчивость, с исчезающе малой вязкостью оказалась значительно ниже, чем значение критической силы системы, в которой с самого начала предполагалось отсутствие вязкости. Этот эффект, получивший название парадокса дестабилизации, вызвал большой интерес и способствовал появлению значительного числа публикаций во всем мире.

Парадоксу дестабилизации, возникающему при исследовании устойчивости двойного маятника, посвящены работы С.А. Агафонова, В.В. Болотина, А.П. Сейраняна, П. Хагедорна, Г. Херрманиа.

Отметим, что механическая система в виде двойного перевернутого маятника привлекает интерес исследователей как объект автоматического управления. Синтез управления в форме обратных связей по состоянию для таких объектов выполнен в работах A.A. Гришина, П.Д. Крутько, С.А. Решмина, Ф.Л. Черноусько.

Парадокс дестабилизации возникает и при исследовании континуальных моделей стержней. Исследованию устойчивости стержней посвящены работы С.А. Агафонова, В.В. Болотина, Д.В. Георгиевского, Ю.В. Захарова, Г.К. Охоткина, А.П. Сейраняна.

Устойчивость свободного стержня впервые исследовалась в работах К.Н. Гопака и В.И. Феодосьева.

В работе С.А. Агафонова и Г.А. Щеглова рассмотрен свободный стержень с нелинейной вязкостью. Показано, что в этом случае также наблюдается парадокс дестабилизации.

Цель работы — развитие и решение задач управления и устойчивости нелинейных систем, находящихся под действием неконсервативных нагрузок.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются ме-

тоды теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории управления, линейной алгебры, теоретической механики и вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Научная новизна:

1. В нелинейной постановке решена задача управления стационарным движением вокруг центра масс динамически симметричного космического аппарата, находящегося на круговой орбите, с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Получены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Впервые рассмотрена система, представляющая собой двойной маятник, нагруженный следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты. В нелинейной постановке получены условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника.

4. В нелинейной постановке решена задача устойчивости прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, а определяющее соотношение имеет вид а = Ее + кд£ + кге2? + А^ё3.

Научная и практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при разработке алгоритмов управления динамически симметричным космическим аппаратом, при проектировании и исследовании систем со следящими и реактивными силами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод управления стационарным движением динамически симметричного космического аппарата с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами, в шарни-

pax которого действуют стабилизирующие моменты.

4. Условия устойчивости по Ляпунову прямолинейной формы свободного стержня, па один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на научных семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана и МГУ им. М.В. Ломоносова (2009,2010), докладывались на Девятой Крымской международной математической школе «Метод функции Ляпунова и его приложения» (Алушта, Украина, 2008), Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2009), Третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2009), International Conference «Dynamical System Modelling and Stability Investigation» (Киев, Украина, 2009), Четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах, в том числе в 4-х статьях Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий (1, 2, 4, 7] и 5-ти тезисах докладов и трудах конференций [3, 5, 6, 8, 9].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе диссертационной работы. Из совместной публикации в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 127 страницах, содержит 40 иллюстраций. Библиография включает 57 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, представлен обзор известных результатов по рассматриваемым в работе задачам, приведены данные о структуре и содержании диссертации.

В первой главе решается задача управления движением динамически симметричного космического аппарата, центр масс которого движется по круговой орбите с угловой скоростью Шо = const. Два главных

центральных момента равны А = В, момент инерции относительно оси симметрии равен С. За обобщенные координаты приняты углы Эйлера О, Ф-

После исключения циклической координаты уравнения движения спутника сводятся к вида'

А (в - ф2 sin 9 cos 9 + uj0ip cos ф - u.'0i¿ cos 2в cos ф+

sin 0 cos 9 cos2 ф^ + СП (^ф sin в + uj0 cos 9 cos ф^ — < -3toj{C- A) sinocos в = Мв, (1)

A (ф siri2 & + фв sin 29 + ojq6 cos 26 cos гА — wo в cos ф—

~Jq sin2 9 sin ф cos ф^ — СП (в sin 9 + wo sin 9 sin ф^ = Mv,,

где СП — циклическая постоянная; Mg и — стабилизирующие внешние моменты, формирующиеся следующим образом:

Me = Аи:о sin 6q cos во cos2 фо + Cíluо cos во cos ^о—

-3шЦС - A) sinОо cos 9 — Г^3, Мф = —Auiо sin2 бо sin V'o cos г^-'о — СПш0 sin (?о sin ^¿'о — Гг^3,

ГДе Г1 > 0 и Гг > 0 — постоянные коэффициенты.

При таком выборе управляющих моментов система уравнений (1) имеет в орбитальной системе координат положение равновесия 9 = во, ф = фо, 9 = ф = 0. Ранее в нелинейной постановке задача не рассматривалась. Уравнения первого приближения, записанные в матричном виде

Мх" + Gx' + Кх = 0, (2)

V ' j yo sin29oJ Oy \fc2 fc3>/

Если матрица К положительно определена, то положение равновесия х = 0 системы (2) устойчиво.

Если матрица К отрицательно определена, то устойчивость положения равновесия х = 0 системы (2) зависит от матрицы G, поскольку в этом случае степень неустойчивости системы четна.

Если матрица К не является знакоопределённой, то положение равновесия х = 0 неустойчиво.

В случае устойчивости положения равновесия х = О характеристическое уравнение системы первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней ±.ш\, ±га>2-

Если в системе нет резонансов третьего и четвертого порядков (шг ф 2а>1 и и)2 Зс^'1), то систему уравнений можно привести к нормальной форме

!ъи[ = + Лцг^Ш! + А^хи^Щ + ...,

\ )

ги'2 = ш2ю2 + А21щги2Ти1 + А^ги^Щ + • • •, где многоточие — слагаемые не ниже пятого порядка малости.

По теореме Каменкова нулевое положение равновесия системы (3) асимптотически устойчиво при одновременном выполнении трех условий: 1) Ие Ап < 0, 2) ПеЛ22 < О, 3) если КеЛ12 > 0 и Б,еЛ21 > 0, то Д = КеЛцЯеЛгг — ЛеЛ^ПеЛг! > 0. Положение равновесия неустойчиво при строгом нарушении знака, по крайней мере в одном из условий 1) - 3).

Численный анализ коэффициентов Лц, Ап, А21, А22 показал, что в области, где К отрицательно определена, условия теоремы Каменкова нарушаются всегда, при любом выборе коэффициентов Г1 и Гг.

В области, где К положительно определена, при Г: = Г2 = 0 относительное равновесие неустойчиво, т.е. стабилизировать космический аппарат постоянными моментами нельзя. При этом всегда можно выбрать такие коэффициенты Г1 и Г2, что условия теоремы Каменкова будут выполняться.

При резонансе третьего порядка (и;2 = 2и{) положение равновесия является неустойчивым.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости равновесия солнечного паруса он представляет собой механическую систему, состоящую из двух невесомых стержней АцАг и ЛхЛ2 одинаковой длины а. В точках Ло, Лх, Л2 расположены три одинаковые массы т. Движение системы происходит в плоскости хог. Управляющим воздействием является следящая сила р, с которой на солнечный парус МИ действуют солнечные лучи. Направление этой силы всё время движения совпадает с направлением стержня ЛоЛ]. Положение системы Л0Л1Л2 определяется двумя углами 01 и в2 (рис. 1). Центр масс С в орбитальной системе хог имеет координаты хс, гс. В нелинейной постановке задача рассматривается впервые.

О Солнце

Рис. 1. Солнечный парус

У солнечного паруса существуют положения равновесия

вг = в2 = 0, вх = в2 = О,

(4)

Х^ ■ — О5 ■ «р 0.

Из системы первого приближения найдены условия устойчивости положения равновесия (4)

Положение равновесия хс = О, £с = 0 устойчиво по первому приближению, если параметры а и /3 удовлетворяют системе (5). Решение гс = О, ¿с = 0 неустойчиво.

При выполнении условий (5) характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней ±¿^1,2- Если в системе нет резонанеов третьего и четвертого порядков (ш2 ф 2и>1 и ш2 ф 3^), то систему уравнений можно привести к норматьной форме

0 < 3+ £а, РФ 2 +¡а,

Г а Р где а = /3 = -5-

ги[ = шхЮх + Ацъь^ш\ + А12Ю1и'2ш2 + ..., = Ш2и}2 + А21и)\'и)2й)1 + ^22^2^2 +----

(б)

Величины Лц, А12, А21 II Л22 являются чисто мнимыми, поэтому невозможно доказать устойчивость или неустойчивость по Ляпунову.

По теореме Бибпкова-Плисса, если определитель Д = ¡тЛцЬпЛгг — 1тЛ121тЛ21 Ф 0, то нулевое положение равновесия системы (6) устойчиво для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

При резонансе третьего порядка. = 2и»х положение равновесия является неустойчивым.

В третьей главе рассматривается устойчивость двойного маятника, представляющего собой систему двух невесомых стержней СБ и БЕ длиной I (рпс. 2). В шарнирах действуют стабилизирующие моменты Л/1 = -А61 - Ввь М2 = -А{62 - Ог) - В (б2 - ¿1). В шарнире Б и на свободном конце Е расположены две одинаковые массы т. Гравитационные силы отсутствуют. На свободный конец маятника Е действует следящая сила Р, направление которой во всё время движения совпадает с направлением стержня БЕ. На шарнир Б действует консервативная сила Р, всегда направленная вертикально вниз. При наличии консервативной силы устойчивость двойного маятника ранее не рассматривалась.

р

Рис. 2. Двойной маятник под действием консервативной и следящей Р сил

Исследуется устойчивость положения равновесия замкнутой системы 0!=в2 = 0, ¿1 = вг= 0. (7)

С помощью теоремы Рауса-Гурвица найдены условия асимптотической

устойчивости положения равновесия (7)

/<1-

р<15^7(бЬ2-3&2/ + |/2-4/ + 1б),

—7= - безразмерные параметры. V Ат12

При этом возможны ситуации, когда характеристическое уравнение имеет один нулевой корень и три корня с отрицательными действительными частями, пару чисто мнимых корней и два корня с отрицательными частями, один нулевой корень, пару чисто мнимых корней и один корень с отрицательной действительной частью.

Задача устойчивости в критическом случае одного нулевого корня эквивалентна задаче устойчивости для уравнения

Коэффициент при х^ отрицательный, поэтому положение равновесия (7) асимптотически устойчиво. В случае пары чисто мнимых корней задача устойчивости сводится к

Устойчивость положения равновесия (7) определяется знаком ИсЛэ. Если ЯеЛз < 0, то положение равновесия асимптотически устойчиво; при ИеЛз > 0 положение равновесия неустойчиво. В диссертационной работе проводится исследование знака величины ИеЛз.

Задачу устойчивости в критическом случае устойчивости пары чисто мнимых корней и одного нулевого корня можно свести к системе:

х\ = А2х\ + ..., Л2 < 0.

системе:

у' = г АV + Лзг,2ги + .... к/ = —г'А XV + А3уи<2 +____

I

\

у' = Сгу3 + С2ур2 + [7,(1?, V, р) = Ы3\у, р) + ад г, р), р' = Ие С3у2р + Ие САр3 + у,р) =

= Д(3)(г,/э) + Я(1?,и,р)

и уравнению

# = А + 1ш С3у2р + 1т С4р3 + V, р).

Рассмотрим две формы С(ь\р) = — , Р{ь',р) = гб^+рЯ'3'. Положение равновесия (7) будет неустойчиво, если существует хотя бы одна вещественная прямая, задаваемая уравнением /э) = 0. на которой Р{у, р) может принимать положительные значения. Уравнение (3(г',р) = 0 задает прямую ь = 0.

Ие С4 > 0, следовательно, нулевое положение равновесия неустойчиво.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы свободного стержня длины I, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила Р. Определяющее соотношение имеет вид а = Ее + к0г + к\Е2ё + к2гг, где Е - модуль Юнга, ко, к\,к2- коэффициенты внутренней вязкости, а — напряжение, г — деформация. При указанном определяющем соотношении задача рассматривается впервые.

Уравнение колебаний стержня имеет вид

где р - плотность материала стержня, / - площадь поперечного сечения, У = / у2<Ш, I = / уЧЕ, Е - постоянное поперечное сечение стержня.

соответствуют свободным концам стержня. Решение уравнения колебаний стержня ищется в следующем виде:

Р(0,р) = Ие С4р4.

~ 0

у(х, т) = и^т^^х) + ы2(т)^2(г),

X

где х = —, т =

безразмерные величины.

(рк(х) = С\ соэ^х + Сгвт^х + СзсЬ^£ +

6к задаются уравнением chSk CosS^ = 1, к = 1,2.

Функции щ(т) и и2(т) удовлетворяют системе дифференциальных урав-неннй

ill + + (<5"i + епр)щ + р(е12 - а12)и2 + Xi(a\, а2, Щ, и2, щ, й2) = О, й2 + a0S2u2 + (¿2 + е22р)и2 + p(e2i - a2\)ui + X2(ai,a2, гц, и2, щ.йг) = О,

где A'i(ai, а2, щ,и2, Щ, й2) и Х2{а.\, а2, щ, и2, щ,й2) — слагаемые не ниже третьего порядка малости, а безразмерные параметры задаются формулами

к0 ГТ~ ki I k2I I EJ PI2

Исследуется устойчивость положения равновесия

щ = и2 = 0, uj = и2 = 0.

При а0 = 0, й! = 0, а2 = 0 находится такое р* ~ 116,097, что при 0 < р < р* положение равновесия системы системы первого приближения устойчиво.

При ао ф 0, <zj = 0, а2 = 0 с помощью теоремы Рауса-Гурвица при каждом конкретном значении ад можно определить такое значение р. что при 0 < р < р положение равновесия системы первого приближения будет асимптотически устойчивым. Интерес представляет предельное значение, limp = 94,564 ф р*, то

aa-»0

есть значение критической силы при коэффициенте ао, стремящимся к нулю, не совпадающее с её же значением при oq = 0.

При р = р характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней ±гЛ. Задача устойчивости сводится к системе:

v' = i\v + A^v2w +____

w' = —iXw + A3VW2 + ....

Устойчивость положения равновесия определяется знаком величины Re/l.3. В диссертационной работе показано, что Р1.еЛз > 0 при любых значениях а о, а 1, а2. Следовательно, положение равновесия системы в критическом случае пары чисто мнимых корней неустойчиво.

Выводы и основные результаты работы

1. Для динамически симметричного космического аппарата решена задача стабилизации относительного положения равновесия с помощью предложенного управления. В линейной постановке получены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными внешними моментами, получены условия стабилизации внешними моментами с добавлением нелинейных составляющих.

2. В линейной постановке получены условия устойчивости положения равновесия солнечного паруса. В нелинейной постановке найдены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

3. Проведено исследование устойчивости положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты. Получены условия устойчивости при следующих критических случаях устойчивости: одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней, одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней.

4. Для свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, показано, что значение критической силы при наличии внутренней вязкости всегда меньше, чем при отсутствии таковой. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения в зависимости от ее величины. При критическом случае устойчивости пары чисто мнимых корней доказана неустойчивость.

Основные результаты диссертации опубликованы в

работах

1. Палош В.Е. Исследование устойчивости свободного вязко-упругого стержня под действием следящей силы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. JVs 4. С. 72-78.

2. Палош В.Е. Устойчивость двойного маятника с вязкоупру-гими элементами, нагруженного следящей и консервативными силами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. № 1. С. 87-98.

3. Палош В.Е. Устойчивость двойного маятника с вязкоупругпмп элементами, нагруженного следящей и консервативными силами // Метод функции Ляпунова и его приложения: Тезисы докладов Девятой Крымской международной математической школы. Алушта, 2008. С. 129.

4. Палош В.Е. Исследование динамики двойного маятника со следящей и консервативной силами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 64-74.

о. Палош В.Е. Стабилизация внешними моментами искусственного спутника земли / Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции. М., 2009. С. 125-128.

6. Палош В.Е. Стабилизация динамически симметричного спутника с помощью внешних моментов / Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов Третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2009. С. 45-49.

7. Крутько П.Д., Палош В.Е. Стабилизация состояний равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 3. С. 3-17.

8. Палош В.Е. Стабилизация внешними моментами искусственного спутника земли ' Dynamical System Modeling and Stability Investigation: Thesis of Conference Reports International Conference. Kyiv, 2009. C. 150.

9. Палош В.Е. Исследование устойчивости относительного положения равновесия солнечного паруса Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов Четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2010. С. 29-30.

Подписано в печать 13.10.2010

Усл.п. л. - 1.0 Заказ №02733 Тираж: 100экз.

Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 107023, Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр.12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

Введение

1 Стабилизация стационарного движения динамически симметричного космического аппарата с помощью внешних моментов

1.1 Уравнения движения космического аппарата.

1.2 Исследование устойчивости по первому приближению

1.3 Метод нормальной формы.

1.4 Критический случай устойчивости двух пар чисто мнимых корней.

1.5 Резонанс третьего порядка.

1.6 Численное моделирование.

2 Исследование устойчивости относительного положения равновесия солнечного паруса

2.1 Уравнения движения солнечного паруса.

2.2 Исследование устойчивости по первому приближению.

2.3 Критический случай устойчивости двух пар чисто мнимых корней

2.4 Резонанс третьего порядка.

2.5 Численное моделирование.

3 Исследование устойчивости двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами

3.1 Уравнения движения двойного маятника.

3.2 Исследование устойчивости по первому приближению

3.3 Влияние консервативной нагрузки на наличие парадокса дестабилизации

3.4 Критический случай устойчивости одного нулевого корня

3.5 Критический случай устойчивости пары чисто мнимых корней

3.6 Критический случай устойчивости пары чисто мнимых корней и одного нулевого корня.

3.7 Численное моделирование.

4 Исследование устойчивости свободного стержня под действием следящей силы

4.1 Вывод уравнения колебаний стержня.

4.2 Исследование устойчивости при а\ — 0 и ач = 0.

4.3 Анализ собственных значений.

4.4 Исследование устойчивости при ао ф 0, а.1 ф 0, а^ ф 0.

4.5 Численное моделирование.

Выводы и основные результаты

Актуальность темы. Устойчивость нсконсервативных систем — один из разделов механики, имеющий важное практическое значение и вызывавший интерес на протяжении всего минувшего столетия [7, 40]. Задачи исследования устойчивости возникают при рассмотрении систем со следящими и реактивными силами, при проектировании гироскопических устройств, современных конструкций в машиностроении, крупногабаритных космических конструкций. Эти же вопросы появляются и при решении задач управления, поскольку нагрузки, возникающие в объектах систем автоматического регулирования, в большинстве случаев представляют собой неконсервативные силы. Поэтому анализ и обнаружение новых качественных механических эффектов поведения систем под действием неконсервативных нагрузок представляет значительный интерес.

В диссертационной работе рассматривается устойчивость и управление следующими системами: динамически симметричный космический аппарат, солнечный парус, двойной маятник, свободный стержень.

Первые работы, в которых были найдены стационарные режимы у динамически симметричного космического аппарата, [10, 15] относятся к 1959-1960 гг. Причём в работе [10] содержатся первые исследования устойчивости этих стационарных движений (в линейном приближении).

Среди работ, посвящённых исследованию устойчивости стационарных движений динамически симметричного космического аппарата, отметим работу [42]. В ней найдены достаточные условия устойчивости всех стационарных режимов путём построения функций Ляпунова. Кроме того, из работы следует, что не существует никаких других стационарных движений, кроме исследованных в этой статье.

Стабилизации и управлению спутников постоянными внешними моментами посвящены работы [34, 55].

В работе [3] решена задача стабилизации стационарного движения динамически симметричного спутника-гиростата с помощью приложения внешних моментов. Центр масс спутника движется по круговой орбите. Задача решается в строгой нелинейной постановке. В фазовом пространстве находится оценка области притяжения стационарного движения. Стабилизирующие внешние моменты формируются по известным значениям компонент угловой скорости спутника, а также но значениям углов Эйлера, полученным из решения задачи Дарбу [16].

В работе [56] рассмотрено движение спутника, центр масс которого движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью Lúо- Спутник не является динамически симметричным и на него действую внешние стабилизирующие моменты. За обобщенные координаты приняты углы Эйлера а, ¡3, 7. Уравнения движения спутника имеют вид:

Ар + (С - B)qr = 3uj¡(C - B)a2az + Ми Bq + (A — C)rp = За%{А - С)аха3 + М2, Сг + (В - A)pq = За%(В - А)(ца2 + М3,

Р = áü4 + 7 + LO0CI4, q = áa5 + /5 sin -у + Шоа5, г = cholq 4- ft cos 7 + а>о«в, где А, В, С — центральные моменты инерции, p,q,r - проекции угловой скорости на главные центральные оси инерции, oí = — sin a cos ¡3, а2 = cos a sin 7 4- sin a sin f3 cos 7, аз = cos a cos 7 — sin a sin (3 sin 7, = sin /9, 05 = cos /3 cos 7, Cl6 = — cos f3 sin 7.

Стабилизирующие моменты Мо, M¿ формируются следующим образомг г

Af\ = 3cüq(C — 5)((cos ао sin7о + sin oto sin^ocos 7о)х x (sin «o sin /5o sin 7o — eos aQ eos 70) — eos2 Pq sin 70 eos 70),

M2 = 2ujI{A — C) (sin o¿q eos «o eos (3q eos 70 — sin fio eos Po(l + sin2 o-o) sin 70), ^ /W;i — lüq(B — A) (sin [3q eos fio(1 + 3 sin2 a0) eos 70 + 3 sin a0 eos Qo eos pa sin 70).

При таком выборе моментов спутник имеет в орбитальной системе координат положение равновесия а — ао, Р = Ро, 7 = То- Исследованию устойчивости по первому приближению этого положения равновесия посвящена работа [56].

Работа [46] посвящена частному случаю спутника, когда А + В = С.

Динамика систем соединенных тел, находящихся на орбите, представляет боль- ' шой интерес, поскольку имеет различные практические применения, такие как космические роботы и манипуляторы, телескопы, орбитальные станции и т.д. Первые публикации на эту темы появились в научной литературе в начале 1960-х готов. Многие из этих работ были посвящены поведению двух соединенных тел. Отметим работу [33], в которой рассмотрены плоские колебания системы двух тел, соединенных идеальным сферическим шарниром, на круговой орбите. В работах [54, 53] рассмотрены системы трёх соединенных тел, находящихся на орбите. В работах показана неустойчивость треугольной конфигурации системы. Особенностью работ [51. 52] является то, что в них рассмотрена система трех тел, одна связь между телами в которой обладает массой.

В работе [44] рассмотрена система четырёх материальных точек разной массы, соединенных невесомыми стержнями разной длины. Система находится на круговой орбите и вращается вокруг земли с постоянной угловой скоростью. В работе исследуется устойчивость по первому приближению возможных положений равновесия системы.

Существуют также работы, в которых рассматриваются системы, состоящие из произвольного числа материальных точек. В работах [47, 48] исследована устойчивость по первому приближению возможных положений равновесия систем такого вида.

В 1952 году швейцарский ученый Ганс Циглер [57] рассмотрел колебания двойного маятника, состоящего из двух невесомых стержней равной длины I и нагруженного на конце следящей силой Р. Предполагалось, что массы сосредоточены в узлах гп\ = 2га, то = га, гравитационные силы отсутствуют, восстанавливающие моменты в шарнирах равны М\ = —Ав\ — Вв\, = —А(62 — в\) — В (^Оо — •

Был получен неожиданный результат: критическая сила, при которой система теряет устойчивость, с исчезающе малой вязкостью оказалась значительно ниже, чем значение критической силы системы, в которой с самого начала предполагалось отсутствие вязкости. Этот эффект, получивший название парадокса дестабилизации, вызвал большой интерес и способствовал появлению значительного числа публикаций во всем мире.

В работе [50] был рассмотрен маятник Циглера в случае различных коэффициентов демпфирования, т. е. М\ — —А0\ — Вхвх, М2 = —А{в2 — #1) — Во (¿2 — ■ Было показано, что в этом случае также наблюдается парадокс дестабилизации, а устойчивость положения равновесия зависит от отношения коэффициентов диссипации.

В работе [49] исследован маятник Циглера с нелинейным законом демпфирования. Предполагается, что силы трения в обоих шарнирах подчиняются закону гистерезиса

Ке>(х, Х) = 7ж2ж с разными постоянными 7 в обоих шарнирах. Также был рассмотрен и другой закон трения, а именно кубический

Кп(х) = 7.Т3 с разными постоянными 7 соответственно.

Выяснено, что парадоксальное поведение критической нагрузки не исчезает при рассмотрении нелинейных законов демпфирования. Показано, что устойчивость нулевого положения равновесия зависит только от соотношения двух коэффициентов диссипации. Причём схожие результаты получены для обоих законов трения.

В случае нелинейного закона трения область асимптотической устойчивости зависит только от отношения коэффициентов диссипации, в то время как в случае линейного закона демпфирования эта зависимость справедлива лишь при достаточно малых коэффициентах диссипации.

Устойчивость равновесия двойного маятника при отсутствии сил трения исследована в нелинейной постановке в работе [1], причём обе массы приняты равными, т. е. гщ = Ш2 = т.

Полученные результаты сформулированы в виде теоремы: Положение равновесия маятника Циглера устойчиво при 0 < р < 2 для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, кроме, быть может двух значений р = р\ ~ 0,6102 и р = р2 = ^/3, где р — безразмерное значение следящей силы. Заметим, что при решении задачи в линейной постановке, получен следующий результат: положение равновесия устойчиво при 0 < р < 2.

При учёте сил трения в [1] доказано существование устойчивого автоколебательного режима, возникающего-при переходе через критическое значение нагрузки.

В работе [35] автор приходит к следующим результатам: пусть Р€ - критическая сила при отсутствии демпфирования, а Р<1~ предельное значение критической силы при исчезающе малом демпфировании. Рассматривая поведение корней характеристического уравнения в зависимости от величины, действующей на систему силы, делается вывод, что при стремлении коэффициента внутренней вязкости к нулю роль критической нагрузки от Р(/ постепенно переходит к Ре, при исчезающе малой вязкости величина Ра теряет физический смысл границы области устойчивости.

Отметим, что механическая система в виде двойного перевернутого маятника привлекает интерес исследователей как объект автоматического управления.

Синтез управления в форме обратных связей по состоянию для таких объектов выполнен в [23, 32, 17].

Отметим, что парадокс дестабилизации возникает и при исследовании континуальных моделей стержней. В работе [45] рассмотрены поперечные колебания консольно закрепленного стержня при наличии консервативной и следящей сил. Область устойчивости упругого стержня оказывается значительно шире, чем для сгержня с исчезающе малой вязкостью.

Разница в поведении систем, нагруженными силами постоянного направления и следящими силами, исследована в работе [13]. Рассматривается применение эллиптических функций при решении ряда нелинейных задач изгиба тонких упругих стержней и пластин. Исследованы три конкретные задачи: изгиб стержня с защемлённым концом и другим свободным концом под действием нагрузки, направленной под постоянным углом; изгиб стержня с защемлённым и свободным концами под действием следящей силы при произвольном угле слежения; изгиб тонкой круговой пластины под действием радиального сжатия.

Исследованию консольно закрепленного стержня, но нагруженного только следящей силой, посвящена работа [2]. Определяющее соотношение материала стержня принято нелинейным и имеет следующий вид: а — Ее + к\£2ё + А,'2£3

Показывается, что имеет место эффект потери устойчивости при наличии нелинейной вязкости. При этом критическое значение силы при нелинейном законе вязкости больше, чем в модели Кельвина-Фойгта. Кроме того, существенным отличием от линейной вязкости является то, что в модели Кельвина-Фойгта эффект падения критической нагрузки обнаруживается при достаточно малом коэффициенте вязкости, а в нелинейной модели этот эффект проявляется при любых коэффициентах ^ > 0 и ко > 0.

В статье [18] исследована дестабилизация малыми диссипативными силами установившегося движения некоторых систем с конечным (маятник Циглера) и бесконечным (стойка Бека) числом степеней свободы, вращающихся вокруг неподвижной оси. Проведён анализ движения собственных чисел на комплексной плоскости при варьировании параметров.

Устойчивость прямолинейной формы свободного стержня с определяющим соотношением а — Ее, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, впервые рассмотрена в работах [9, 38]. В работе [4] решена та же задача, но с определяющим соотношении материала стержня а = Ее + к]е2ё + к2ё3.

Цель работы — развитие и решение задач управления и устойчивости нелинейных систем, находящихся под действием неконсервативных нагрузок.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Научная новизна:

1. В нелинейной постановке решена задача управления стационарным движением вокруг центра масс динамически симметричного космического аппарата, находящегося на круговой орбите, с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Получены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Впервые рассмотрена система, представляющая собой двойной маятник, нагруженный следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты. В нелинейной постановке получены условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника.

4. В нелинейной постановке решена задача устойчивости прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, а определяющее соотношение имеет вид а = Ее 4- коё + k\£2s -f kos3.

Научная и практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при разработке алгоритмов управления динамически симметричным космическим аппаратом и при проектировании и исследовании систем со следящими и реактивными силами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод управления стационарным движением динамически симметричного космического аппарата с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих.

2. Условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий относительного положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении.

3. Условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами, в шарнирах которого действуют стабилизирующие моменты.

4. Условия устойчивости по Ляпунову прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из четырёх глав.

В первой главе решается задача управления движением динамически симметричного космического аппарата, центр масс которого движется по круговой орбите с угловой скоростью ujq = const. Два главных центральных момента равны А = В, момент инерции относительно оси симметрии равен С. Стабилизирующие моменты выбираются таким образом, чтобы в орбитальной системе координат космический аппарат имел произвольное положение равновесия. Стабилизирующие моменты формируются из постоянной и нелинейной составляющих. В линейной постановке найдены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными моментами, найдены условия стабилизации нелинейными моментами.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости равновесия солнечного паруса; он представляет собой механическую систему, состоящую из двух невесомых стержней и А\Ао одинаковой длины а. В точках Ао, А\, Ао расположены три одинаковые массы т. Управляющим воздействием является следящая сила Р, с которой на солнечный парус МТУ действуют солнечные лучи. Направление этой силы всё время движения совпадает с направлением стержня АоА\. В линейной постановке найдены условия устойчивости положения равновесия системы. Найдены условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

В третьей главе рассматривается устойчивость двойного маятника, представляющего собой систему двух невесомых стержней СП и РЕ длиной /. В шарнирах действуют стабилизирующие моменты М\ = —АВ\ — ВО 1, Мо — —А(02 — 9\) — В (в2-^). В шарнире Р и на свободном конце Е расположены две одинаковые массы т. На свободный конец маятника Е действует следящая сила Р, направление которой во всё время движения совпадает с направлением стержня БЕ. На шарнир Р действует консервативная сила Р, всегда направленная вертикально вниз. В линейной постановке найдены условия асимптотической устойчивости положения равновесия устойчивости. При исследовании устойчивости в нелинейной постановке решена задача при следующий критических случаях устойчивости: один нулевой корень, пара чисто мнимых корней, один нулевой корень и пара чисто мнимых корней.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила Р. Определяющее соотношение имеет вид <т = Ее + кое + к\е2е -Ь кое3, где Е - модуль Юнга, - коэффициенты внутренней вязкости, а — напряжение, е — деформация. Показано, что значение критической силы при наличии внутренней вязкости всегда меньше, чем при отсутствии таковой. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения в зависимости от ее величины. Рассмотрен критический случай устойчивости пары чисто мнимых корней.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [24, 17, 25, 27]; докладывались на следующих конференциях: Девятой Крымской международной математической школе «Метод функции Ляпунова и его приложения» (Алушта, Украина, 2008) [26], Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и техиике» (Москва, 2009) [28], Третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2009) [29], International Conference «Dynamical System Modeling and Stability Investigation» (Киев, Украина, 2009) [30], Четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2010) [31].

Выводы и основные результаты

1. Для динамически симметричного космического аппарата решена задача стабилизации относительного положения равновесия с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих. В линейной постановке получены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными внешними моментами, получены условия стабилизации внешними моментами с добавлением нелинейных составляющих. Доказана невозможность стабилизации при внутреннем резонансе третьего порядка.

2. В линейной постановке получены условия устойчивости положения равновесия солнечного паруса при заданном управлении. В нелинейной постановке найдены условия устойчивости для большинства в (смысле меры Лебега) начальных условий. Доказана неустойчивость при внутреннем резонансе третьего порядка.

3. Проведено исследование устойчивости положения равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами. Доказана асимптотическая устойчивость при критическом случае устойчивости одного нулевого корня. Получены условия устойчивости при критическом случае пары чисто мнимых корней. Доказана неустойчивость при критическом случае устойчивости одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней.

4. Для свободного стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила, показано, что значение критической силы при наличии внутренней вязкости всегда меньше, чем при отсутствии таковой. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения. При критическом случае устойчивости пары чисто мнимых корней доказана неустойчивость.

1. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы // Механика твёрдого тела. 1992. № 5. С. 185-190.

2. Агафонов С.А., Георгиевский Д.В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью иод действием следящей силы // Доклады РАН. 2004. Т. 396, № 3. С. 339-342.

3. Агафонов С.А., Герман А.Д. Стабилизация стационарного движения спутника-гиростата с помощью внешних моментов // Механика твёрдого тела. 2004. № 4. С. 3-6.

4. Агафонов С.А., Щеглов Г.А. О неустойчивости свободного упругого стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // Механика твёрдого тела. 2006. № 2. С. 104-110.

5. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 308с.

6. Бибиков Ю.Н., Плисс В.А. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3, № И. С. 1864-1881.

7. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

8. Гольцер Я.М., Куницын A.JI. Об устойчивости автономных систем при внутреннем резонансе // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39, вып. 6. С. 974-984.

9. Гопак К.Н. Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 4. С. 136-137.

10. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюллетень Института теоретической астрономии АН СССР. 1960. Т. 7, № 7. С. 511-520.

11. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

12. Журавлёв В.Ф. Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

13. Захаров Ю.В., Охоткин Г.К. Эллиптические функции и задачи изгиба тонких стежней и пластин //' Вестник КрасГУ. Физико-математические науки. 2004. № з. С. 44-52.

14. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971. 256 с.

15. Кондурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрономический журнал. 1959. Т. 36, № 5. С. 890-901.

16. Кошляков В.Н. Задачи динамики твёрдого тела и прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1985. 288 с.

17. Крутько П.Д., Палош В.Е. Стабилизация состояний равновесия двойного маятника, нагруженного следящей и консервативной силами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 3. С. 3-17.

18. Литвинов C.B. Устойчивость под действием следящей силы некоторых вращающихся модельных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2002. № 1. С. 59-61.

19. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Едиториал УРСС, 2004. 432 с.

20. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 572с.

21. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344с.

22. Молчанов A.M. Устойчивость в случае нейтрального приближения // Доклады АН СССР. 1961. Т. 141, № 1. С. 24-27.

23. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевёрнутый маятник / A.A. Гришин и др. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 14-22.

24. Палош В.Е. Исследование устойчивости свободного вязкоупругого стержня под действием следящей силы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 4. С. 72-78.

25. Палош В.Е. Устойчивость двойного маятника с вязкоупругими элементами, нпгруженного следящей и консервативными силами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. № 1. С. 87-98.

26. Палош В.Е. Устойчивость двойного маятника с вязкоупругими элементами, нагруженного следящей и консервативными силами // Метод функции Ляпунова. и его приложения: Тезисы докладов Девятой Крымской международной математической школы. Алушта, 2008. С. 129.

27. Палош В.Е. Исследование динамики двойного маятника со следящей и консервативной силами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 64-74.

28. Палош В.Е. Стабилизация внешними моментами искусственного спутника земли // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции. М., 2009. С. 125-128.

29. Палош В.Е. Стабилизация динамически симметричного спутника с помощью внешних моментов // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов Третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2009. С. 45-49.

30. Палош В.Е. Стабилизация внешними моментами искусственного спутника земли // Dynamical System Modeling and Stability Investigation: Thesis of

31. Conference Reports International Conference. Kyiv, 2009. C. 150.

32. Палош В.Е. Исследование устойчивости относительного положения равновесия солнечного паруса // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов Четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2010. С. 29-30.

33. Регамин С.А., Черноусько Ф.Л. Оптимальное по быстродействию управление перевернутым маятником в форме синтеза // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 3. С 51-62.

34. Сарычев В.А. Положения относительного равновесия двух тел, соединенных сферическим шарниром, на круговой орбите // Космические исследования. 1967. Т. 5, № 3. С. 360-364.

35. Сарычев В.А., Гутник С. А. О равновесии спутника под влиянием гравитационных п статических воздействий // Космические исследования. 1994. Т. 32, № 4-5. С. 386-391.

36. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем // Успехи механики. 1990. Т. 13, вып. 2. С. 89-124.

37. Старжинский В.М. Прикладные методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 255 с.

38. Феодосьев В.И. Избранные вопросы и задачи по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973. 400 с.

39. Феодосьев В.И. Об одной задаче устойчивости // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 391-392.

40. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. 592 с.

41. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т. 3. М.: Наука, 1981. 400 с.

42. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино, 1985. 216 с.

43. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, выи. 1. С. 155-157.

44. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208с.

45. Annelisie А. С. Equilibrium configurations of a four-body tethered system // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2006. Vol 29, N 6. P. 1430-1435.

46. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability os elastic systems subjected to nonconservative forces // International Journal of Solids and Structures. 1969. Vol 5, N 9. P. 965-989.

47. Garber Т. B. Influence of constant distributing torques on the motion of gravity-gradient stabilized satellites // AIAA Journal. 1963. Vol.'l, N 4. P. 968-969.

48. Geurman A. Equilibria of multibody chain in orbit plane // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2003. Vol 26, N 6. P. 942-948.

49. Geurman A. Spatial equilibria of multibody chain in circular orbir // Acta Astronáutica. 2006. N 58. P. 1-14.

50. Hagedorn P. On the destabilisation effect of nonlinear damping in nonconservative systems with follower forces // International Journal of Nonlinear Mech. 1970. Vol. 5, N 2. P. 341-358.

51. Herrmann G., Jong I.C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems // Trans ASME, Journal of Applied Mechanics. 1965. Vol. 32, N 3. P. 592-597.

52. Lavanga M., Ercoli Finzi A. Equilibrium analysis of a large multi-hinged space system // Acta Astronáutica. 2003. Vol 53, N 1. P. 9-20.

53. Lavanga M., Ercoli Finzi A. Large multi-hinged space system: a parametric stability analysis // Acta Astronáutica. 2004. Vol 54, N 4. P. 295-305.

54. Misra A.K. Equilibrium configurations of tethered three-body systems and their stability // Advances in the Astronautical Sciences. 2001. N 108. P. 1757-1773.

55. Misra A.K., Amier Z., Modi Z.V.J. Attitude dynamics of three-body tethered systems // Acta Astronáutica. 1988. Vol. 17, N 10. P. 1059-1068.

56. Sarychev V.A., Paglione P., Gucrman A. Equilibria of a satellite in circular orbit: the influence of a constant torque // 48th International Astronautical Congress. Paper IAF-95-A.3.09. Turin, 1997. 5 p.

57. Sarychev V. A., Paglione P., Guerman A. D. Equilibria of a satellite subjected to a constant torque: analysis of stability // Advances in the Astronautical Sciences. 2001. Vol. 108, part 1. P. 555-570.

58. Ziegler H. Die Stabilitátskriterien der Elastomechanik // Ingenieur-Archiv. 1952. V. 20, N 1. S. 49-56.