автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование систем управления со сменой размерности фазового пространства

« .'/ КИХВСЫШЙ УШВЕРСИТЕТ 1меш ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

1г

на правах рукопису

УДК 681.516:621.865.3

Сопроншк Фед|р ОлсксШопич

ДОСЛ1ДЖЕШ1Я СИСТЕМ КЕРУВАННЯ 31 ЗМ1НОЮ ВИМ1РНОСТ1 ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ

01.05.02 - Мвтематичцс моделювашш та обчнслгоаальш метода и наукових досл!джешшх

Автореферат дкссртацН па ядобутгя паукового ступени доктора ф1эико-математич«1« паук

КиГп - 1996

Днсертац'шш е pvкопке

Роботу ииконако на кафсдр| матсматичпнх проблем упраалЬшя i iciöcpiiOTiiKH Чертиемького державного yniDepciiTcry iM. IO. Фсдькоиича

Науковнй консультант:

доктор фкэико-матсматичпих паук, професор КИРИЧЕНКО Микола Федорович

Офишин ононенти:

доктор ф1знк0-матсм<\тичних паук, професор ПЕРЕСТКЖ Микола Олсксшович

доктор ф1знко-матсматпчних наук,

професор 1СОРЕШВСЫШЙ Данило Григорович

доктор ф1зи1Со-матсматлчпих наук БЕРБ'ЮК BiKTop бнгенович

IlpoBiAiia органгзашя: 1пститут юбернетики iMeai В.М. Глушкова HAH Укра'1'ни, м. Кто

Захист в1дбудеться 21 листопада 1996 року о 14.00 годин! на засщанн! спец'1ал1зовано1 вчено! ради Д 01.01.20 в Кишському ун!верситет1 ¡меш Тараса Щевченка за адресою 252127, м. Knie -127, пр. Академп<а Глушкова 6, факультет юбернетики, ауд. 40

3 дисерташею можна ознайомигися в б!блюгец( КиТвського yitiDepcHTcry ¡мен! Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 58

Автореферат роз!сланий _ 'ff TKjoßrrUtSL _ 1996 року

Вчений секретар

спсц1ал!зоваиоТ вчено? ради П.М. ЗЩЬКО

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. Системи керування, кероваш пронеси, эокрема технологами!, мають виключно р1зноман1тн! структури i природу. Досл$дження систем керування пов'язан! з багатьма типами моделей, як! в тш чи iimnif Mipi надаготь можлив!сть вивчити певш властивосп них систем. Ч1льне Micue серед сукупност! моделей займають магематичш модел! i, як покаэуе практика, у Глльшост! випадмв динамка систем керування описуетъся диференц1альними або pisinmeniiMii р1вияннями.

На протяз! останшх десятир1Ч почалось ¡нтенсивне дослщження математичних моделей динам1чиих систем з розривними траектортми, як1 описують процеси в бюмехан1чних, мехатронних, модульно-агрегованих kocmîmhiix та шших системах керування. Значний вклад у вивчення таких систем внесли Ащепков Л.Т., Ларин В.Б., Кириченко М.Ф., Бублик Б.М., Гаратценко Ф.Г., Емельянов C.B., Жук К.Д., Казаков 1.Ю., Мишкк А.Д., Самойленко A.M., Перестгок М.О., Берб'юк B.C., Слюсарчук В.Ю., УткШ B.I.

У дисертац!йн1й poôoTi вивчаються власти nocti систем керування на ochobî математичних моделей у вигляд1 лшшних систем р1внянь 3Î зм!ною BHMipitocri фазового простору з неперервним та дискретним аргументом. Тобто об'ектом досл1-джень дано! робота е системи з розривними траектор1ями, причо-му розрившеть траектор!й зумовлена тим, що стан системи у фазовому простор! керовано зм1нюе EUMipiiicTb при певних значен-_ нях аргументу.

Метою дисертацШно)' робота е розробка reopiï i методов ма-тематичного моделювання досл!дження властивостей систем керування 3Î зм!ною BHMipHocTi фазового простору, математична фор-мал!зац!я рекурсивного эображення и ростах та складних роботов i побудова на ц!й ochobI математичних моделей геомегричних, статичних, кШематиЧких та динам1чних процес!в у вигляд1 моделей систем керування 31 зм!ною вим!рносг1 фазового Простору, а гакож розробка абсгракц!й i специф!кац1Й сйстем керування 3i змШого BUMïpHocTi фазового простору та ïx застосування у нових

комн'ютерних технолопях нроскгування, моделюьання та оптимизаци вказаних систем.

Методология та основ» i методи дослщкення. Мстоди досл1джсная систем керуванпя м змпюю uiiMipnocTi фазового простору розвииуто на ocuoBi результат Р. Калмапа для систем керування, принципу максимуму ГамЬгьтопа-Понтряпна, принципу оптимальности Бслмапа, методах мппмакспого оцшювання, розробленпх у працях М.Ф. Киричсика, О.Г. Наконечного, теори дипадпчних систем з ¡миульс.иими збуреннями, розроблено!' A.M. Самойленком, М.О. Псрсстюком. Гепстичний метод оптмшацп структур роботш базуеться на ¡деях генетичного алгоритму Дж. Холаида i розроблених структурах даних. Суть абстракцШ i формалышх специфисашй систем керування з! змИюю ciiMipnocri фазового простору »¡дображае подальший розйиток математичного об'ектно-ор!ентовного походу до системного вирниспня проблем проекгувания програмних комплекс^ та розробки комл'готерних засоб|в з штелектуалышм штерфейсом для моделювання ироцеЫв цих систем.

Наукова новизна. У дисертаци особисто автором одержано TaKi iioei результат«:

- доведено теореми про необхщш i достатн! умови шлком ке-ровносп систем керування 3i змпюю вим1рност1 фазового простору з неперервним та дискретним аргументом;

- одержано KprircpiY шлком спостережност! систем 3i змшою BHMipHocTi фазового простору з неперервним та дискретним аргументом у конструктивному вигляд1, записано р1вняння ф1льтр1В, за виходами яких можна вщновити початковий стан спостережу-вано! системи;

- вперше в явному вигляд1 знайдено оитимальне керування для систем si smihoio вим!рност1 фазового простору з неперервним та дискретним аргументом у мппмакешй постанови!, описана MittiMaKCHa апостер!орна множина стан1В, одержан! р1вняння мМмахсних ф1льтр1в, виходи яких е оптимальними апостершр-ними оцШками cTaiiia вказаних систем;

- вперше для систем керування 3i змшою вим1рност1 фазового простору на ochobI властивостей псевдообернених матриць знайдено множини вс!х керувань, як! у випадку цшком керовнос-

11 переводять систему в задану фишльну точку простору сташв, одержан! конструктивн! зображснпя п!дпростор!в досяжних стан ¡п некеровних систем керування з! зм1кою вим!рност! фазового простору, як! знаходяться на найближчих в!дстаиях до фЬшльних, » в1дпов1дн1 Тм множинн керувань;

- вперше встановлено загальний вигляд множимы л1н!йних спостер(гач1В в задачах сиостережешш, як! в!дновлююгь початко-вий стан систем 31 змшого вим'фносп фазового простору;

- введено формальн! структур« для оггису характеристичнкх елемештв проспгх 1 складних ланок роботт. Запропонована кла-сиф'1кац!я простой робот, складний робот базового типу, склад-ний робот. Вперше запроваджена рангопа структура складних роботт, яка дала змогу одержат» математичи! модел! р!знома1пт-них процеав робот'т з багатьма захватами у вигляд! матеиатич-них моделей систем керування з! зм!пого шш1рпост1 фазового простору з дискретним аргументом;

- у терм!пах характеристпчних елементт ланок 1 тишв з'ед-наш> гинсматичиих пар одержан! математцчн! модел! геометрич-них, статичних, кШематичтгх та дтшичних процес!в складних робот1п;

- розроблепо метод генегичпого моделювашш ! застосовано до оптим!заци геометричпих структур мехатрониих систем, якнй в!дображае самооргашзацпо 1 самовдосконалешм складних систем у юаемоди з зовЫшшм середовящем;

- вперше розроблено абстракцп та формальн! специфжацн систем керування з! змЬюю внмгриост! фазового простору ! на 1х основ1 розроблено програмний комплекс моделювання 1 анал1зу аластивостей систем керування з! зм!ною вим!рност! фазового простору, проектування складних просторовнк сб'екгш з триви-м^рним граф1чи;1м воображениям цих структур та зручним граф1чним Штерфейсом в середовниЦ сучасиих операцШних систем комп'ютер!п.

Теоретична х практична цпш1сть. Теоретичш результата дос-л!джень дисертациЧно? робота надають можлив1сть анал!эу влас-тизостей керовност1, спостережностЬ а також оптнм!зац!Т систем керування з1 змшою вим!риост! фазового простору. Подати мате-матичн! модел! пронес !в мехатронних систем у вигляд! матема-

гачних моделей систем керування э1 зм!ною вим!рност1 фазового простору. Вони можуть буги використан! при розв'язуванн1 прик-ладнях задач керування, класично'1 механ1кй, проектування складних просгорових об'ект!в, зокрема модульно-агреговаиих косм!чних, саморган1зацЦ' 1 саморозвигку складних б1отехн1чних спаеп,

Результат дисертаци можуть бути покладен1 в основу спецкурс для студент!в 1 асп1рант!в з питань конструктивно? теор!1 систем керування з! зм1ною вим!рност! фазового простору та еле-меят!в САПР мехатронних систем.

На аахисг шшоситься:

1. Теореми про ц!лком керовй!сть, спостережШсть, м!н1макс-ие керування ! спостереження в системах з! змйюго Ш1м!рност! фазового простору.

2. Задач! 1 теореми про оптималышЙ виб1р апостершрних множин иеЫдомих параметр!в 1 зови1шн!х збурекь для систем з! зм!ною лим!рност1 фазового простору у м!и1максн!Й постанови!, мМмакси! фшьтри, виходами яких е онтимальн! параметр« вказаних систем.

3. Теореми про вйгляд множини вс!х керуваНь, як! забезпе-чують переведения початкового стану ц!лком керовних систем з! зм!ною вим1рНост! фазового простору в заданий ф!налышй стан, а для некеровних систем - 1) ста и, найближчий до ф5нального.

4. Теореми про эагальнйй вигляд лМЙних спостер!гач1В в системах з! зм!ноЮ вим!рност! фазового простору.

5. СтруктурНИй об'ектно-ор1ентовиий н!Дх1Д до рекурсивного зображения робот!й з багатьма захватами та Гх математичних моделей на основ! розробленИх прим1тив!в та Ыдповщннх структур данйх.

6. Зображен*1я складних робот!в у ййгляд! рангово! структу-ри та зведеНня МйТематИчйих моделей про геометричний стан до математичноГ моде л! систеМи керування з! зм!ною вим!рносп фазового простору з дискрстним аргументом.

7. Метод геиетичного моделювання саморозвигку ! самовдос-Коналення геометричних структур мехатронних систем у взаемо-

д!1 з зовтшшм середовиицем i його застосування до оптим1зацК складних робели.

8. Абстракцп i спсциф1кац1-1 тип!в даних систем керування si 3MiHoio BUMipjiocri фазового простору та програмннй комплекс моделговання процес'ш мехатронних систем.

Апробация роботи \ публжаци. Основа i результата дисер-тацн допов1далися i обговорювалися на пауковому ceMinapi кафедри математичних проблем управлшня i юбернетики Черш-вецького державного ун1верситету, иа пауковому м1жкафсдраль-ному ceMinapi математичного факультету Черн'шецького державного университету, на VII Всесогозшй конференцП' "Качественная теория дифференциальных уравнений" (м. Рига, 1989 р.), м1жна-родиому ceMiHapi з методт i нрограмного забезпечення для досл!-джеиня систем керування Оркутськ, 1991 р.), м^жнародшй кон-ференци "TeopiK наближення га задач! обчислювальноТ математики" (Дпшронетровськ, 1993 р.), 1-й УкраТнськш конфереи-цц з автоматичного керування "Автоматика-94" (м. Кшв, 1994 р.), 2-й УкрашськШ конфереицн з автоматичного керування "Автоматика-95" (м. Львш, 1995), М1Жнароди1Й математичнШ кон-ференцп, приспячешй пам'ят1 Ганса Гана (Черн1вц1, 1995), м!ж-народних конференцию Development and Application Systems (Румун1я, Сучава, 1992 р., 1994 р., 1996р.).

Основа! результата дисертацн опубликован! в працях [1-25].

Особкстий виесок. Досл!джения, подан! в дисертацН, е результатом самостШно! робота автора. Вони узагальшоють результата, ЯК1 одержан! особисто автором або за участи сшвавтор1в. В' остаиньому випадку ствавторам не належать 1деГ, що знабшли свое воображения з дисертацН. Безпосередиьо автор здШснив постановку задач в працях [2,4,6-8,13-15,17-20,22,25], а в працях [3,5,16,21,24] брав упасть у постанови! задач. Автор брав та-кож участь в обговорешп результата i оформляв б5лыи1сть po6iT, як1 иапнсан1 в спшавторствь

Структура та сбеяг днгертацГь ДисертацШна робота складаеться 3i вступу, трьох розд!л1В, buchobkib, списку лкератури, що нал1чуе 118 найменувань, та додатку. Загальний обсяг роботи складае 288 стор!нок.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОШ

У встугп обгрунтовано актуалынсть вибрато? теми досл1-джень, дано короткий огляд л1терагури, сформульовано мету робота та наукову новизну, визначено методи дослЦщепь, а також наведено положения, як! виносяться на захист.

У параграф! 1.1 розроблено структур»! схеми систем керування 31 змшога вим1риосп фазового простору, математичн1 модел1 яких - лшшш дгшамлчш системк з неперервним та диск-ретним аргументом. Нехай систему керування на в1др1зку [7^ ,7| ]

з розбиттям

{О,У = 0,1,...,ЛГ|'о = Го < ^ <...< ^ <(„ = Г,} * {(,,0£ } * ЛГ} можиа описати математичною моделлю вигляду

= ^(^(о+ддо^от, i (I)

*и> = 1 - о) + > (2)

= (з)

де х(л (?) - и/-виМ1р!Шй вектор стану на штсрвал! [(/-!>(/). - /и7-вим1рний вектор керувань, / v^j■| - гу-вим1рний

вектор параметра керувань у переключеиш ■ структур, А)(1),В^(),С1,В1 - «¡дом! матриц! Ыднов!дно розм1р1в п, х пп п1 х т], п1 м, х г, , ] -\,М, аричому компонента матриць

1 керувань %)(0 кусково-неперервн1 при / С, = Е{ - одшшчна матриця порядку И[, а Д = 0 - нульова МаТрИИЯ рОЗМ'фу А!, X Г[.

ТоД1, як в ¡до мо з теори звичайних диференц!алышх р!вняль, 1снуе I едшшй кускова-ненерервний розв'язок систем» (1), (2) -хи)(1), який в5дпов'1дае функщям керування г/0)(/), / е,/у), Параметрам керувань у переключенш структур у = 1. ./V I

задовольняе початкову умову (3).

Для влзначеносн вважатимемо, що в точках розриву комионенти векторов стану системи (1), (2) - \ керугання

- Иц){() при * е[*;_1>(/) нсперервн1 справа, а %)(0> Н<1)М та *(*)('). ~ непсрервн! в1дпов!дио при / = ^ та / =

Математичну модель л!кШноТ системи керування з'( змпгою вим1рност> фазового простору з дискретним аргументом подамо у вигляд!

х(/)(/е,_, + к + 1) = +■ + +

+ Я, Л)1/(/)(£), (4)

х(л(км) = С,*,/.,, + (5)

%(*») = %. <6>

тут хи)(к/_[ + к) - лу-вим1рний вектор стану, + к) - шу-

вим!рний вектор керувань, 0 <, к <, к) - к1А - 1. - гу-вим1риий

вектор параметр! в керувань у переключенн! структур, + + к), €¡1 ~ в!дом! матриц! в!дпов!дно

розм!р1В п, ХП), П] х т,, П] х«/ч, й/ х Гц у = кцкг,...,^^

- задаш момента зм!ни вим!рност1 фазового простору, /с0 ,/с^ -вщповщно початковий та кшцевий момента, С, = Е1г Д = 0.

Сшввщпошеккя (2) 1 (5) визначают'ь кероваи! змиш вим1рност1 фазового простору в (1) та (4) в!дпов1дно.

Оск)Лысн в загальному випадку матриц! С! 1 мають вигляд С, = Л'а^Сд.С^,...,^) 1 то

в момента / = /у (/с = к/), ] - 1,... -1, сп1ввщношення (2) або (5) задають деревовидне розгалуження.

Керошпсть динам1чш1Х систем керування 31 змшою < вим!рност1 фазового простору з неперервним аргументом розглянуто в параграф! 1.2.

Задача 1.2.1. Задано р{впяшгя руху (1), (2), в1Др13ок часу [Г0,Г,] з розбитгям (о,0 2 У 2 /V}, початкове ! кЬщеве значения х(1) е X, 1 х(лг) е фазового вектора об'екта керування. Потр1бно знайти можлив1 керування ит{1),...,иШ){() 1 параметри керувань у переключенн! структур як1 переводить систему (1),

(2) з! стану х(1)(/0) = л-(1) в стан х^-^у) = х{{Г).

©значения 1.2.1. Система (1), (2) ¡з задании розбитгям називаеться шлком керовною на ¡нтервал! [7^,71], якщо для дов1лышх точок х(„ еХ, 1 х(лг) еХл фаяових простор1в Хи Х№

poaMipiB nlt nN в1днов1дно, кнують так! функцК керуваиь u(y,(f) i вектори параметр!в керувань у переключенн! структур v(/), j = 1 ,N, за яких розв'язок (1), (2) задовольняе умовк

){То) = *{ii)[TN) = xiNy (7)

Нехай Xj (t, т) - нормальна фундаментальна матриця розв'язшв Л1Н1ЙиоТ однор'1дно1 системи = Aj(i)Xj(t, т),

г е,fy). Позначимо

xXk{tK,x)Bt{x), re[4.„i»), te[tM,tj), Izk^j, (8) Ид (0 = *

MWi). / = /V. (9)

Теорема 1.2.1. Для того, щоб система (1), (2) була ц!лком керовна на штервал! [Г,,Г,] ¡з задании розбиттям, необх!дно ! досить 1снування такого ка e[l,]V], що

або lTWm{tH ,t) * 0,i e[v„0, або lTWM,(t„) * О (10)

для дошльного лл.-tiitMipHoro вектора / (/ * 0).

Детермшантний критерш цшком керовност! систем з1 зм!ною BHMipiiocri фазового простору, ¡нвар1антних в!дносио 3MiHn t ,/j), сформульовано в теорем! 4.2.2.

Параграф 1.3 присвячено досл1дженню керовност! динам!чних систем (4), (5), для яких + к) еXt,

0 < k ^ — i • "»^-(JV) (^iV-1

+ к)е

gXn, к ¿kN - Xt ,Xi,...,XN - фазов! простори

В1ДН0В1ДН0 BHMipHOCTefi Гц,П2,...,ПА.

Означения 1.3.1. Система (4), (5) називаеться щлком керовною на- ¡нтервал1 \k0,kN] \з заданими моментами переключения структур якщо для довшышх точок

х(1) б А", та x(f/)eXK ¡снують так! керування uU){kh[ + к),

ю

0 5 к £ к) - к]^ -1, 1 параметри керувань у переключенш структур у = що роэв'язок (4), (5) задовольняе умови

^{ко) = ^(ц» - х\ы)-

Визначимо матричн! функцК:

Х1(кы + к,км + /) = Л,{кы + * + /), (13)

/ ¿Л, & = -Л/.1 -1,

+ + р) = + + Р + 1 Щ(км + р), (14)

ФДЛу., +кук^) = Х,(к1.1 х

хХ,_1(кн,к1_1)С„...Х,{к„к,_1)С„ (15)

А) = ДМ)ААГ*Г(*> А-») +

!>•1

+*'А-.+ + А)- (16)

Теорема 1.3.1. Система (4), (5) ц1лком неровна на ¡нтервал! [А^,**] тод1 I т!льки тод1, коли ншуе %-вим1риий вектор / такий, то - Флг(^Л)%, = У{к„^)1.

Легко переконатися в тому, що гвердження теореми 1.3.1 правнльне, якщо виконуеться умова А)) Ф 0, а

керування

* = (17)

1 параметри керувань у переключены! структур

у(„ = ВД (Ар >к,_х№{ки>кр)У-ЧЬ.кК) х

х[*(Аг)-Ф(*у А )*(«)], (18)

= псреводять (х(1) А) в

У параграф! 1.4 розглядаеться задача спостережност! для систем з! зм!ною вим!рност1 фазового простору з неперервним I дискретним аргументами.

и

Нехай математична модель спостережносп на в1др!зку [Т^.Г,] з розбиттям Л?} мае вигляд

%)('/-! + 0) = С1хи-» " 0) - (20)

зЫ')=0,(/)Ху, (21)

г(Л = />,*„, <Гу), У - 1, /V. (22)

Тут %)(»■) - иу-вимфннй вектор стан'ш системи при I Уиу(0 ~ 'Лу-вим1рний вектор результат!в вим!рювань при ( а г(я ~ *у-вим1рний вектор вим1рювань в момент часу

(¡, А}{(), С;, (УД0. ^/-В1дом1 матрищ розм!р1в «ухиу, пjXHj.it т1хП), //ХМу в^повщно, У = 1,-ЛГ. Вважаемо, що С, = £[ - одинична матриця розм!ру л1 х и,.

Означения 1.4.1. Система (19)—(22) називаеться шлком спостережною на якщо для довольного розв'язку (19),

(20) за вектор-функщями уи){ <) ! векторами як!

вмзначаються сп!вв!дношеннямм (21) 1 (22) в!дпов!дно, однозначно можна знайти х(1,(Г0).

Позначимо

г и, о) = хг (*,, 1а )сщ (г2, г,)... с]х] , , у = и\г,

^ = + '/^(г./о^ЧгЛ)^)

V Ы

Теорема 1.4.1. Для того, щоб система (19)-(22) була ц!лком спостережною на [/0>*лг]> необх1дно ! досить виконання умови: !снуе таке у* е {1,2,при якому

або Wf.it,-Ы 0,( е[(г_„(г), або (Уг(у',0)/ * 0 для дов1льного «1-вим1рного вектора I (I * 0).

3 доведения теореми 1.4.1 випливае, що

*«('о> = £ { (Г, 10)У; (г)</г + И^у, 0)*О)

ч

У

KpiM цього показано, що ^(t,,) ~ (%(ta))~l<pm(t9), де <pw{t) - розв'язок рекурентиого ф!льтра

P(N) if IЧ ) ~ DJ<Z(N) >

9M -0) = + 0) + DTtz{t),

a 4?k{t), к = 1, N, задоволмше рекурентш матричш р!вняння PiKKaTi

= (/ШО-'МФМ')~Gl{t)Gk{t), <6[t„0, Vk{tt -0) = + 0)Ck + DlDk, к = N-1,...,1.

Для дннам1чних систем (19), ¡нварюнтних вщносно ' 7 = 1,^, в теорем! 1.4.2 сформульовано

детерм1нантний критерШ спостережностк

Розглянемо задачу спостережност1 для дискретних систем 3i зм1ного BUMipiiocTi фазового простору , математична модель яких мае вигляд

х(п (kj-i + к + 1) = Aj(kh, + к)хи)(км + к), (23)

ikj-i), (24)

yuAki-i + k) ~ GAkj-1 + k)x(j)iki-i + k)> <25>

г(/) = DjXUj(kj), (26) -

де xw(-) eX,, Xj - /ly-Bimlpni фазов! простори, Aj(-), Cj, Gj( ), Dj -в!дом1 матриц! в!дпов1дно posMipiB itj xnJt nj x rij^, mt x nt, rjxrtj, y(J)(j - /My-Bimipiii функци i z(j) - /)-BHMipni вектори результатов вимф:овань, k^ i kN - початковий i кшцеиий момента, k^kj,... - момента переключения структур, к ejO.&y -kj.i - l], / = 1 ,N, Cj = E - одинична матриця порядку

Означения 1.4.2. Система (23)-(2б) називаеться ц1лком спостережною на [/q,,/:^], якщо за результатами вим1рювань

■Уш^о). <*» + !) ..........Ур^Ь), +1)

можна однозначно визначнги ХцД^о) = х(|, еX,. Нехай ФД*,., +к,к,) = ■+ к^С^.-Х^к.Х-дС,,

де XJ(k)Л + k,kJ_l)~ А/{км + Доведена

теорема.

Теорема 1.4.3. Якщо ¡снуе таке _/0 е[1,Л'], для якого або

(ЬЖФ^САл.! + />Л)С£(*Л-| + /») * + + Р.*о)) > 0

для деякого р е[0,АЛ - - 1], або

О,

то система (23)-(26) ц!лкоч спосгережна на Показано, що

*«)(**) = +

+ к,къЩ{к,_х + + Л),

де Г = + + кЩ(км + к) х

хф + АЛ) + Фт,{к1>к0)П]П}Ф^,к,)).

Кр1м цього, легко одержати, що = Й^'^ДАо), Д®

вектор Р(!)(А:0) е розв'язком рекурентного фильтра

9иЛк1-1 +•*) = + к)р<л(км +к + 1) + Л = А> - Л>_, - 1.....1,0,

Р</-«) (*/-!> = С]+ > ] = N ~

причому Д ~ нульова матрица, а = И^/:,,), де ^(^о)-розв'язок матричноТ системи

+ к) = А[(км + кЩ(кн +к + \)АЦкм +к) + +(?;<*,_,+*)<?, (А,.1 + *), * = 1.....1,0, ] = N,...,1,

= С1г,(км)су + о;:,/),.,, ] = 2.

У параграф! 1.5 показано, що для пошуку оптимальних розв'язк1в керовноТ динам ¡чно1 системи з! змшого вим1рност1 фазового простору з неперервним аргументом можна використовувати принцип максимуму Гам1льтона-Понтряг!на. А саме, для системи

= /«,>(*,,>('),«<,,(0,0, <27)

%<4») = *«»> %)('/-« + °) = - 0).^/,),_ Ш)

и(Л(/) е^, ; е»0. ) = (29)

розглядаеться така задача оптимального керування: серед ус!х припустимих керувань {%(•), ...,«<*>(•), >,...,%>), як1 переводять систему (27), (28) 31 стану Лш(70) = х{щ е X, в стан Х(Х)({г*) - е еХя на пром!жку [Г0)7,] з розбиттям 5 _/ 5 7У}Г знаЙ7й так!г при яких функц(онал

. V М

= £ |г),г/(У)(г), г)с/г +

/-11И

ДГ-1

+ - 0). «М^е*)) <ЗУ)

набувае иайменшого значения.

Вважатимемо, що - дов1льн! множили з £ЯГ/, а -довьтьн? опукл1 мноокини ,з Ег>, } = а припустиинми

керуючими функциями %,(•) е кусково-неперервтн функцй", визначе»! на промгжках з1 значениями в множин! II¡,

у' = 1,ТУ, причому в точках розриву «(у)(-) та хи)(1) - розв'язки (27), (28) - неперервн! справа, а також %(/), хш(() I а(/0(/), хаг)(0 ~ неперервн1 в!дповщпо в точках / = /в = Т0 1 / = /у = Г,.

Щодо фупкц5й I функцюнал1в, яю визначають систему керування (27), (28) 1 функц'юнал (30), вимагатимемо виконання такйх умов:

- компонента вектор] и /и1(хи)(1),ии)(1),1) 1 матриць

у'> '"2 - вкзначеш 1 неперервш на прямому дх\. л __ _:

добутку Х] х и) х[0-1»0).У =

-компонента векторш -0)>у(л)> функц'юнали

-0),Уо+„) та ф(л;(л,)(/л,)) - визначеш та неперервно

диференцШопш в1дпов1дно на множинах та

Хы, & також маюгь обмежеш друп похщш по своТх аргументах.

Нехай {«,,)(•),.<.,и<лг)('М„,...,%,} - припустиме керування

>*<*)(")} ~ в1дпов!дна йому траектор1я. Введемо в

розгляд так! функца:

= 11/(хт№>Рц)(0 ЯАхи>(Ь -0),Ал('у +0),уо+1)) = 0),У(У+1)) +

4 ~ °)> "о+о)»

де — розв'язок системи диференщалышх р!внянь

= -рт^/иШЪУ Ш) +

I (31)

РиМ -0) = #Д*(Л(0 -0),р(у)(0 + 0),уо+„), (32) • Ф»(х,Л) (/*)). (33)

Правильн! теоремн.

Теорема 1.5.1. Якщо керування {(•),.,., (•), У(в„,..., ^ } 1 В1ДП0В!дна йому траекторш (-)>■••» е розв'язком

задач1 оптимального керувания (27)-(30), то обов'язково ¡снуе ненульовий розв'язок системи р1внянь (31)-(33), який задовольняе умови:

- майже всюди на [Го,7!] виконуеться умова максимуму -

/-1 /-1 - в кшцевий момент часу / = /у

- п0х1дн1 функций Mj(xU)(tJ ~0),pu■|(tJ+ по вс1х можливих в1дносно множиии напрямках в точках у(7+1) недодатнК

Теорема 1.5.2. Нехай компонент« функцШ /0)(х(/)(/),»(,,(/),/) I матриць _ визначен| 1

неперервш на прямому добутку х {Уу х /Д компонента вектор1в ^(^.„(/у., - 0),г(;)), функщонал1в рДх,^/, - 0), у(/+1)) та ф(л<уу)(/у)) - визначен! 1 неперервно диференпШовш в1дпов}дно на множинах Х1А хУ/, X/ х та Х№, а також мають обмеже!» друг! пох1дн! по своГх аргументах. Тод1

3 /(«(»( ), ■■ ■, (•), По,• • •,У(Н)) ^ дикл

= ~ЯгаНии)НДх(/)(г),р(/)(г),м(/)(г), г),/ е (34) ^ У(У) _

= -ЯтЛ^Н,^.^ -0),дл(гу +0),у(/)),У = (35)

де %,(/) - розв'язок (31)-(33), €[(,_„/,), ./ =

Нехай система (27) ! умови розгалуження структур (28) мають в1дпов1дно вигляд (1), (2), множина Ч! зб!гаеться з простором £"',аСгз Ег'.

Задача 1,5.1. Серед ycix нрипустимих керувань {«dl(■)»••-»ЦлоО)»уО)» •••»%)}» «Ki переводить систему (1), (2) ai стану *(,)(/<,) = *(<>> е е X, ь стан x(fl)(tN) = х(1) eXN на пром^жку [Го,7]] з розбиттям {/у ,0^ j <. jV}, знайти raKi, при яких функцтнал

=4l 'f Ш + <)( 0öy ( T)UU)(r))dr +

* 1 о

+i EVÄW*) + - 0)) +

i-1

) (36)

набувае найменшого значения.

Вважаемо, то (?,(>),...,<?„(/), Pj, — ,Pii,

SU...,SN - додатно означен! матриц! в'1дн0в!диих порядков.

Теорема 1.5.3. Якщо матриц! £Г; - PflDjRjUj^ +0)Dj, j - \,N, - неособлив!, де - одиничш матриц! порядку rJt то оптимальниЙ регулятор системи (1), (2) за критер!ем якосп (36) визначаеться функц1ями керування

та керуваннями у переключе1Ш1 структур

v(/) = {ЕГ1 - PfxDJRj+ 0)DjY1 х__ xPf'DjÄjU^ + 0)CjXüJtM - 0), j = 1, N,

де Rj{t) - розв'язки матричних р!внянь PiKfcari 3i зворотною 3Minoio часу

^ = .Rj{t)Aj{i)-AJ(t)R,{t)- __ -i?J(/)^(f)ß;,(i)jr;(/)iiy(/) + <?,(,), / e[tj.lttj), j = 1,N,

IS

R,{tj - 0) - -Sj + C]«RM{t, + + {tJ + 0)i>,tl X *(£.,„ - PjtDURj^tj + O)0y+1)" X xPf^RjJtj + 0)C^„ j ~ N .....1.

Задачам мМмаксного керування для систем 3i зм!ною BHMipHoeri фазового простору присвячеио параграф 1.6. На в!др!зку з розбиттям {tj,0^ j й ЛГ} розглянемо систгму

- A,(t,uin(t))x(j)(t) + /„,(», / <37>

%>('/-. + °> = W/-. - 0) + У = UV, (38)

де Лу(/,м<я(/)), С/( Dj - в!дом! п} х nj х П)Л i х гу матриц!, х(Л(() - Лу-вим1рн1 вектори стану системи, %>(<) - нев1дом! ittj-BHMipHi вектор-функцн, /<;,(*) = (/i/(').••• »/»¿/(О) - постШио дноч! збурекня, компоненти яких е кусково-неперервкими функциями при / б^.иГу), j,...,v,y/) - иев!дом! вектори

параметр!в у переключенн! структур, С, = 2?, - единична матриця порядку Д - нульова матриця розм!ру и, х г,. Позначимо

Zr = v(^>)>

= {(zT,/,г, О,-,ft + + f !/(y)(r)C0,(r)/w(r)drS AJ}, (39)

Л = canst > 0, P = diag(B<>>Bi,...,B#) - блочна матриця po3Mipy Af x M, M = n, + Bj, Gj{ ) - додатио означен! матриц!

розм!р!в щ x x Гу, х Лу в!дпов!дно, у = 1,7V.

Задача 1.6.1. Знайти А, («(1)<•)>-•-»««*)(•)») ~ таке мэдсси-мальне значения А при задания %(•)>• ••»"(»)(•)> для Bcix розв'язк!в (37), (38), як» визначаються початковими значениями, ност!йно дтчими збуреннями, та параметрами v(l),...,v(yV) у переключен!» структур з облает! (39), справджувалась нер'шшеть

1/^(^)1 £1 (40)

для довольного вектора / {/ * 0) з Пц компонентами.

Нехай ЛТД/,л) - нормальна фундаментальна матрица розв'яэкш системи

Wм(t)т)^XJ(t,ti.l)CJ...Xl¡(h,т)Ck,т, I =П7. <41)

Теорема 1.6.1. Вектори х(1)> \ вектор-функцн

/(!>(•)»•••. /¡//»О. при яких для розв'язку (37), (38) виконуеться р!вн1сть ¡/г^(лг)('л)| = 1. тобто "иайг1ршГ значения з обласп (39) при заданих и(1)(/),...(О 1 будь-якому 1*0, внзначаються з1 аНввщкошень

*н> = <*г («<»(•), •.•,«<у,(-), 'л

Ут = 4(и<>>(-),...,«(л>(-),^) В-МХнО».^)!,

/„) О = Л) («,„ (•),...,(•), )<?Г1 (0 XI (А, 0*, >,) /.

а е розв'язком задач! оптимального

керування:

м]шм1зуваги квадратичний термШальний критерш

/ц,><•),....««*><•»=(И(1)(гшн ())

на розв'язках матричних систем

' е{//.,,у = 1,/V, _

GO.) - Дг\ (?,(',-, + 0) = СД.^/,.,-0)Cf + DjBfDJJ « 2,;V

Нехай pyx системи задано у вигляд)

^^»^(/^»(O+^iO/waiOl + ^W/ujiW. <42)

з умопами керованого переключения структур (38), де Dn(t), DJt(t) - Е1дом1 матриц! з кусково-пеперервними компонентами po3Mipio П] х rjK та fij х Гд, fw\(t),fim{t) - вектори збурень з кусксво-неперервними компонентами в!дпов!дно розм1-pie ry,, Г/2, ЛДО - иеп!дом! матриц! порядку n]t j = l,N. Вважатимемо At{t), j = \,N - параметрами оптим!зац11 системи (42), (38) в облает!

+£ 'i[/(Л.(г)<Г)/,у,,(r> + /J,3(г)(т)/;(г)гS А1}, (43)

/-1«ы

де Gj}(-),Gj2{-) - додатно означен! матриц! в!дпов!дно розм!р!в г/1хгл 1 '/г х Oi » *т .>&i)i P"dlag(Bt>Bl,...M,

B0,Bj - додатно означеш матриц! вщповщних розм1рт, j = 1 ,N. Задача 1.8.2. Знайти такс максимальне значения

л><'»>= л'(40,- ■, 4г Шк),

що при вибор! лочагкових значень, параметр!» у переключенн1 структур та збурень з облает! (43) для xN{tN) 1 довольного вим!рного вектора / {1*0) справджувагиметься нер1вн1сть (40).

Теорема 1.6.2. Якщо Dn{t) таю, що матриц! DjiiOGjHODJjC) ~ неособлив!, t е j-hN, то

квадратичний терм!нальний критерШ I(Aj(()) - lTQ}(t)l, t е/Д досягае мМмуму при

A4(t) = -Q){t){Dn{t)G-i\{f)D]l{ (44).

де Qj(t) -симстричц! матричи! рози'изки задач Кони

ЩР - -0/ (/)(/>;, (0^2 (о)"1

о, _

Якщо викоиуютьсн умовн теореми 1.6.2, то энайдено значения ночагкових умов х(1!, параметра у(1) ,..,,у(ЛМ та функцш /Л),(-), «н1 належать облает! (43) 1

при яких (40) нерстворюеться в рпнпелъ, що е твердженаям теореми 1.6.3.

Рогляиемо тспер дниамКиу систему керувашш з розгалужешмм структур вигляду

+Лл(0^/,2(0)+ОУ1(0/«„(Г). (45)

для якоТ умови переключения структур маготь внгляд (38), а Р/(() 1 Яj(t) - матричт функцн з кусково-неперервннми слемен-тами на штервал1 ['у-м'/) розм1р!в п1 х 1 5у-х иу в!дпов!дно, матриц! /1Д0» 0/^1), Су, охарактеризован! вище,

Нехай початков! значения, параметры керувань у переключеши структур у(„,...,у(„„ эбурешш /<1)1(-),"-./<^)1(-), /«^(^.-•'-»/(лчзО належать обласл ^(/д,), яка визначаеться сп1вв1Дношенням (43), а матрич!» функцп Р)Ц), ] = , - нев1-ДОМ1 параметри оптим!зацп системи (45), (38).

Задача 1.6.3. Знайти таке максимальне значения А, Ц„) = ч( о Д, (?, О,..., Р„ (•), Ь ),

що при вибор! початкових значень, параметр1В керувань у переключение структур та збурень з облает! Яля

розв'язк'ш (45), (38) справджуватиметься нер!ви!сть (40).

Теорема 1.0.4. Якщо О/2(0 так!, що матриц!

^(0^1(0^(0 ~ иеособлив! при / ] = ЦУ, то

онтимальи! матриц! Р/(0 вианачаються р!вностями р«(1) • нСу(/)Л7(0(Яуа(0б/1(0Л/2('))~' на траектор!як снсгеми матричних р!вкяпь

- мм,«)+о^оАЦо+ьм^ешо - . ае.) = «ед.до.,^+ад-1/);, у- ЕЖ

Отриман! результат« даготь можлив!сть вйзначити максимальн! роэм!ри областей нев1домих парамотр!а систем, якщо структура 1'х апр!ор! типу областей

Ц1 результати використано для «обудови оптимального мш!максного спостер1гача. Розглянемо таку математичну модель спос1ережпост1 систем з1 змШого вимфност! фазового простору*.

- ЛЩЪп(/) + Л,, </)/„•.,(0, (46)

(0-! - 0)''+ йм», (47)

Лл(') » **(')*>(') + «8)

I >,(/) - 5/-пим1рн1 вектори результата вим!ргойань,

ЛДО. D,i(Q,RJ{t),C/,DJ,DiJ(Q - магриц1, визначен! раи!ше,

Задача 1!.6.4. За результатами спостережень (•)>•-■>>'(*)(•) для спстеми (46), (47) побудувати л1н1йний посл!довний ф1льтр, вих1Д якого ,,)(•) задовольняе нер!вп1сть

51, а область початковйх зиачень,

параметр!!! .., г(Л) у переключены! структур, збурень

/(!„(•),...,/(„„(•), як! д!ють на систему, та завад вим1рюваиь /(№(■)>••■>буде при цьому макеймалышх розм!р!в.

Припустимо, що шуканий л!и!йний ф!льтр Мае вигляд

= 4(0Ал(0 + Р,(0(у{Л(0 - М0хт0)),

де Р,(0. ] = ~ иев!дом1 матриц!.

Якщо инконуються умовн теореми 1.6.4, то шуканий мипмаксний спостер!гач отримаемо при

р/^е/олдоадое;^)^))-', де о - матриц»

роза'язки задач Кони

ЩР-=моо/т+еу(олг(о+адад дмо+

) = Пдг,__

е,<о » зг', сд/у.,+о) = с^.д/^-ос; + ад1«], у = 2,/у.

Розглянемо задачу про спостсрежшсть для систем з'1 змпюю вим1рност1 фазового простору з математичною моделлю

-^1 = ^(0^,(0 + /,„(/), (49)

= (50)

Ил(0 » Я/0%><0 + (51)

~ > (52)

де хш(/) / б[/у.,,/у), ЛД0, #,(')> Су, Ду - в'|дом1 матриц)

рОЗМ1р1в Лу X Пу, Ш) X Иу, «уХИу.,, /уХЯу В1ДП0В1Д110, /<Л(Г) -

зовЫшш збурення, з(У) (/) 1 - результата вим1рюваиь, ! ~ завади вим1рювань, / = 1, /V. Нехай початков! стали, зовн'шш! збурення та завади вим1рювань належать обласТ!

" = {(гг ,/<Г>. (•),-. (•),..., 1?ю2 ())г:

J'^tJ.{

де = (х[1)^Ц)1,...,у(ГЮ1), х0) еХ, - вектор початкового стану системи (49), Д = со«5/ >0, Р = Д,,^,...,^), Д,,Д, (•),..., (?;,(•), Сп(')>•••> - квадратн! додатно означен!

матриц! в1дгюв1дних розм!р1в.

* .

Прииустимо, що Ыдбувсн експернмент при заданнх х(1),

/(01 (•).--,/(*,!(•). Пу,,.....^^,, як! належать П, 1

+{у(/)(0- н,(г)ж(/,(г))Гг)(уш(г) - #,(г)хш(г))) +

+ К* (У) ~

Л»

+ Яу(г)х,Л)(г)) <?м(г)(у(лг)(т)-Ялг(г)Х,лг)(т))Л +

'ли

Задача 1.3,5. На ОД/) виэначитн точку -*<*)(') 3

м!н1мальною нормою за умови, що початков! значения, зовн!шн! збурення та завади вим!рювань належать облает! О, 1 на основ! цього знайти мможнну оптималышх апостерюрних оц!нок стан!в х(Л,,(0. ' системи (49), (50).

Для розв'язашш задач! 1.6.5 викорнстано принцип оптимальност! Белмана ! доведено теорему.

Теорема 1.6,5. М1н!максна апостер!орна множина оц!нок стан!в системи (49), (50) за результатами спостережень (51), (52), якщо початков! значения, завади вим!рювань 1 зовн!шн! збурення належать облает! П, задовольняе нер!вн!сть

(х(*>(0-^0)4(0(%,(»-%,('))* А» -8{хтШ,к),

де S(xm,t,k) = x(тk)Rlt(t)X(t)4x(^)g(^)(f) + P^(t), матриц! ЯД/), вектори £(*)(/)> скалярн! функц!? рц(0 - эадовольняють р!вняння

^Мй = я, (ОЯ» (/) - Д*(0 АО - М -с*.. - о)=аде,-.+о)с*+А=1, N.

^¡р- - -А{ (0^,(0 + ШО;№8т{ 0 +

-0)=» + 0) - 2£№{*), к ш 1,лг,

) = = + 0)

Для ;?(*,(/) одержано рЬняиня фшьтра типу ф!льтра КалмаНа.

V параграф! 1.7 На основ! принципу шпшалыюсп Белмана для систем э! змЫою вим!р)тст1 фазового простору з дискретним аргументом розглянуто м!н!максн! задач! спостережност1. Нехай динам!ка систем» 1 спостереження и стан!в задано математичного моделлго

%,(*/-! + к +1) = Л,{км + к)хт{кы + к) + /,л(*л, + к), (53)

*«>(*/-«) (54)

УчЛк1-\ + к) - +Л) + у(У)з(Л/ч + (55)

*(Я = 0ухш(А:,)+гО)11 (56)

де хи)(к1.1) к е [0,к} - к).\ -1], Х1 - яу-вим!рний фазовий проспр стайв, + к), Н^к^ + к), С;, - в!дом1

матриц! розм1р!в к х Пу, п1 х х яу в1дповщно,

/(Я ч-А) - иу-вим!рн! вектори зовн!шн!х збурень, У(1){к1.1 + /:) ! - в!дгюв!дно /йу-вимфн! ! гу-вим1рш результата спостережень, ги)1 ! ^ип{кмл-к) - завади вим1рювань в!Дпов!дних розм!р!в, ] .

Позначимо

= Ц)» й.• • •,, Ущ2(А,),...,(Л) -1),...,

<лгц(*и).....1&ц(** - 1),/(Г)(• •,/ш<А:,),...,

/(л) ( ^лг-1 )> • • • > /<л) (^лг)) •

Нехай початков! стани, завади вим^рговань та пост'пшо д!юч1 зовн!шн! збурення належать обласп Q = zTPz ^ Я2}, де Р = dlag{B,

-,Gm(kN), ~ блочна матриця

po3Mipy МхМ, М =/i, + ¿(гу + (kj - кы +1)(п/ + ms)),

Х-const > О, Д, Gjx, GJ2(-),B/(-) -додатно означен! матриц! в1дпов!дно розм!р!в я, х й,, г) х гу, /йу х т}, Лу х л7, j = 1,JV.

Припустимо, що вибрана деяка точка z еП ! отримано результата спостережень. Розглянемо область

(*0),• • •,я,(А, -1),.• •,

(к„ -1)):

+ S[(Z(/, ~ DjXin(k,))rGn(zV} - Djx(j)(kj)) + i-i i

+ ifu)(kM + + *)/u> <*/-. + *) +

*«0

+ *) - /ЗД-. + 4 £))Г X

+ + fc) - Яу(Лу_, + k)xii)(kJ.l + *))] +

+£(/<*>< V, + (*,., + Щ*><**-, + Л) + + А)- Нц{кц_\ + к)хт{кы.1 + £))г X

-HN{kN.x + + k)H tf}, 0£ m £ kff — кЯА -1.

Задача i.7.i. На Пг(от) визначиги точку xm{kNA + /с) з мнймальною нормою за умови, що початков! значения, завади вим!рювань та эовн1шн! збурення належать облает! fi, i на основ! цього знайти множину оптималышх апостер!орних ошкок стан!в i + k), к e[0,fcy -kNA -1], системи (53), (54). Теорема 1.7.1. Якщо початков! значения, збурення, яю диоть иа систему, га завади вим!рювань належать облает! П, то мппмаксна апосгерюрна множина стан!в системи (53), (54) за результатами спостережень (55), (56) визначаеться нертшетю

(xU)(kj_, + к) - xU)(kj„|

де

xU){kM + k) = -i + k)gut(kj.t + A),

xL)RAkH + + xu)Su)(kj-\ +k) +

+Pj(kj., + 4 ft)» + *)[ЛД1ку_, + к +1) -

-Лу(*у., + к + + k)Rj(kJ4 + А +1)] х

хЛ/Ау., + ft) + + k)Gn(k)-i + k)Hj(khl + ft),

+ *) B ^(Лу-, + - R№i-i + x x + k)]gU){khi + к +1) - 2//; (Ay., + A -1) x

*Оп(к)Л + к - \)y{n(khi + k), Rjikj) = ед„(А,)Су+1 + />j6'yMZ)y,

Pj(kj) = Pi*\{kj) + ififiisZyi, j = Ar-l,7V-2,...,l.

Теорема 1.7.2. Якщо Лу(А;., + A + 1) * Bj(kj_i + A) i матриц! /ly(Ay_i + A) неособлив), А =0,1,--Лу - £y-i - Ь ./ = l,iV, то xU)(kj.i +A) задовольияе р1вняння

*,y,(fty_, + Л + 1) = /4y (Ay., + ft)*,,, (Ay., +• A) -

-^(Ay., + /^[^(^ + ft)-HJ(kh, + k)Gn{kj.x + k) x хЯу(Ау., + ft)]"1//' (fty_, + k)Gn(kM + A) x *(У<л(км +k)-Aj(kj_l + A)x,y ,(*,_,+*))

за умов

x(j)(k/-i) — Cjxu-i)(k/-i)t j - 2,...N.

МножиннШ проблем! керування для систем 3i змшою BiiMipHocTi фазового простору з дискретним i исперервним аргументами присвячено параграф 1.8. Нехай xU)(kJ_l + к) eXj - вектор стану системи (4), (5), j = \,N, прмчому

вХм. (57)

Якщо (4), (5) щлком керовна на [Ао.А*]. то керування

Й(Л(А,.,+А), А = 0,1.....Лу - к,л -1, та параметра керувань у

переключенш структур у(>), у = 1, /V, як1 переводить систему з1 стану хт(к0) = 0 еХ, в стан = х^еХ^, мають вигляд

(17), (18), вяких х(1)(А„) = 0.

Означения 1.8.1. Якщо система (4), (5) шлком неровна, то загальним розв'язком задач1 керування про переведения И з1 стану х(1)(А0) я 0 в стан Х(У)(ЛУ) = х(ДГ) називатимемо множину

= {(ии)(км)<ииМ/-1 +1),О.Пл): + к) б /Г', А -А;., - 1],У(у) 6 Ю х|1)(Ао) = 0, Х{Ы){кц) - х^)}.

Означенна 1.8.2. Якщо система (8.1), (8.2) не ц!лком неровна, то загальним псевдорозв'язком задач! терм1иального керування називатимемо множину

П;., = {(ав>(*м),+ 1),...,и[л{ку - 1),у(/)): + к) еШЛ е[0,А, - км -1],у(/) е Я'',/ = Ш

Теорема 1.8.1. Якщо система (4), (5) не 1илком керовна, то множина для задач! (4), (5), (53) мае вигляд

и^ивГ'^ёЮ,

к,у)(Ау., + А) = ФЦк^к/^ + А)Ф^(Ааг, ,А0)х(ЛГ)+

+«(Л(АУ.1+ *)-№/■ (*„*,-. + к)ФТАк„,к,)УЯкК,к0)х

)Оту(т) +

т* I

*«-*«-! -I _

'+ £ +Р)и1я){кт.1^ р)),

р.о

уо» = ЩХЦк)гк^)ФЦк у 1 (ке1

+уи) - О]X}(к,, к^)ФТи(к„,к,)У^кя Л) £ «V , *») х

я-1

х(Х„(АтДиЧ)1)ту(м| + 2 \Уя(к„,к„., + р)и(и)(А:я.1 + />)), /»в

V Цл(кы +к) е «">, к е [0,*у - А:^, -1], V у(Л е Л'> =

. де Х^,кн), + *), иають

вигляд (13), (14), (15), (16) вщповщно, а Уу(кА,к0) -псевдообериела до матриц! У/,(ку,к0).

Враховуючи вигляд Цу,() та \и), одержуемо

|и<я(Л;., + Л))]1 = х^у; (к„ ,к0)Фы (к„,к^ х

V, \к1, кн + к)ХУ1 {к,, км + *)Ф£ <*„, к,)УЩк„, *„)*(*„

Л -к, -1],

П/к/'к/. |-1 2 ^

У х пмп • 1и</>(Л,.. + Л)! + пип |у(.,||

= х^Уя^кы >ко)Хц/у

Легко показати також, що

„„„ {г.. I —

Теорема 1.8.2. Якщо система (4), (5) ц!лком неровна, то множина для задач1 (4), (5), (57) мае вигляд

= К«й)(*>-+ О»-»"&)(*/ -1), У(Я):

и[л( ) а я1"', v,,; ея\

"</)(*;-! + *) = + л> + /7и>(*/-1 + *) ~

-»У«*;,*,-. + К

х(;гя(лт,*я_,)£„%,+ X + р)>1(»)(.к„_1 + р)),

р.о

"(У) = ПУ> + Ъп -

/я-1

*.-*«-!-I

*(Хт{к„,к„-1)£>Л^ + 2 + р)«,я1)(/:м:1 + р)),

р«0

Множини керувань отримано 1 у внпадку, коли ии)(к^ + к), к е[0,Ау_1 - к/ -1], та параметры керувань у переключенн! структур у(/), у = 1,, задоволышють для деякоТ стало! Л>0 обмеження

ЕГ^'М*;-. + *)|2 + ИлГ)й Я2,

а також для систем з« зм1нозо вим1рност! фазового простору з неперервним аргументом, що знайшло воображения в теоремах 1.8.3-1.8.5.

У параграф! 1.9 одержано множини лМйних спостер!гач1в в задачах спостереження для систем з1 змйгою вим1рност1 фазового простору з дискретним 1 неперервним аргументами.

Структурний об'ектно-ор1ентовний п1дх'щ досл!дження мехатронних систем, як систем керування э! зм1ною вим1риост1 фазового простору, та Тх математичних моделей роэвинуто в другому розд1л1. Наведено постановки типових задач про геометричний, статичний, К1нематичний та динам!чний стан мехатронних систем, запропоновано алгоритми оптим!эацП структур мехатронних систем, зокрема метод генетичного моделювання \ оптим1зацП геометричних структур складних роботов. Показано, що окрем! задач! про стан мехатронних сигтем

можна розв'язувати методами теорн оптимального керування для систем 31 змшою вим!рност! сказового простору.

У параграф! 2.1 описано примтпш - проста та складна ланка, ']'х характеристики: вх!д, вихщ, напрямок шдходу ! оршиташя входу та виходу в систем! координат, иов'язашй з примшшом.

Формажзацн понять Простой \ екладшш робот ирисвячеио параграф 2.2. Запроваджепо поияття: тнн з'еднання лапок у 1<>нсматичн!й пар!, прости й робот, складний робот базового типу, складний робот, структура захвата 1 корпус робота. Дано рскурсишп означения гсометрнчних, статпчпих, к'шематичних та дина.ч!чних структур мехатронних систем.

Магсматичш моде;п гео.мсгричппх процеав у рекурсивному вигляд! одержано в параграф! 2.3. Нехай Оху1 - декартова система координат, яку иазинатимсмо абсолютною, основною або базовою. Початок шеТ систем» коодилат для реалышх нроцес!в вибиратимемо з техполопчних чи геометричних м!ркувань. Як в!дзначено вище, з кожною лайкою пов'язана система координат, в якШ геометрнчна структура ланки мае вигляд 055£ = {¿>,С,ф(')|, де В вектор положения виходу,

С = (с|,с2,с3) - матриця орт'ш, як! характеризують: с, - напрямок виходу, с2 - ор!ентац!ю виходу, с3 = с, х с2.

Нехай задано геометричну структуру т-ланкового простого робота С55Я ={6551(0),а(1),Ст(1),...)а(т),С7т(т)}, де а(у) е{0,1} - тип з'еднання у-1 к'шематично'! пари, який складаеться т1льки з просгих ланок. Позначимо О(у') - рад!ус-вектор початку системи координат в абсолготнш систем! координат. Год! ршняння

О(у) = 0(у -1) + К{] - 1)[Ви -1) + (1 - аиШу - 1Ц], (58)

у = 1,...,т + 1, 0(0) = 0, К(0) = Е, (60)

огтеують геометричний стан 055Й у рекурентному вигляд!.

Запишемо (58)-(60) так:

00) - 60 -1) + ВО - 1)ии -1), ] = 1,...,т + 1,

0(0) = 0,0(т + 1) = 0(1).

Якщо ця система ц!лком керовна, то, використавши результата параграфа 1.8, одержуемо множину вс)х керувань, як1 забезпечують виконання крайових умов 0(0) = 0, 0(т +1) ш (?(1)

Задавши ор1ентац"ио корпуса за допомогою куив Ейлера, повшстю визпачимо положения простого робота в базовШ систем! координат. Викорисговуючи (58)—(60), одержано математичн! модел1 складних роботов. Тут же запроваджено рангову структуру, на основ! яко! математична модель геометричного стану складного робота одержана у вигляд!

Хи){кн + к +1) а А}хи]{кн + к) + В,{кн + к)ии)(км + к),

де 01кЩ-кн-\, А) = <На^Е1.....ЕМ)), Л,»^!?,.....

Еи..., ЕЯ), Е„т - одиничн! матриц! третього порядку,

В,{к„+к)=<Иц[ <а (*/-» + Д:).....«V (*,-, + )._

о,{км+к) =

[а,(кы + + + к))Е]ВКТ{0) х

П] - розм1ри ранпв, ] = \,М.

У параграф! 2.4 отримаио статичш магематичш модел! для простих 1 складних робог!в.

Теорема 2.4.1, Статична модель простого робота описуеться рекурентними сп1вв1дношенними

МЛ = Ли + 1) + в,е„ (61)

ои) = ои+1)Чки)ри))*(с&) + +[ки)Ш+г,(/)(1 -«(/ + !)))*,+1]х ли +1), (62) »*,ги)[«и)е0)+0 -«(;))«(;)].) = (ез>

де Л(У), (>и)> 1), -(?(/ + 1) - векгори реакцШ в'язей

(вщпов!дно сили I моменти), обумовлсш вив1льненням в!д в'язей попередшх та наступних ланок, 6у - вага 7-1 ланки.

Аналогична теорема 2.4.2 доведена у випадку, коли вс1 параметри задаються у пов'язаних системах координат.

Отримаио також статичн1 математичн! модел1 корпуса 1 захвата складного робота. Наприклад, статична модель корпуса мае взгляд

Л(0) = £д(<Ы+С0*з. (64)

VI

<?(«)= §(<2(0,г)+ (ллг(0)(5(0, +

+с,(0, у)(Т- а(О, уМ( V)))х Л(0, у)) +

+(М(0)р(0))х(ео<?э), (65)

де А(0, у) = Я,( 1), 0(0, у) = 0К(1), 1 0,(1), у = й, - сила 1

момент, викликаш вив!льненням в!д в'язей - простих роботе, ВК(0) - матриця ор1снгацп корпуса за кутами Ейлера, а(0, к) -типи приеднань простих робовв до корпуса.

Теорема 2.4.3. Статична математична модель складного робота базового типу в абсолютнШ систем 1 координат задаеться сшвв1дношеинями (64), (65) та стйтичиими моделями (61)-(63) для простих робот!в.

Для складних робот!» статичну математичну модель подамо у рекурсивн!й форм!:

SMMCR - {SMMBCR\ (SMMBCR (0),SMMCR (l),..., SMMCR («))},

де SMMBCR | SMMBCR (0) - статична математична модель складного робота базового типу, a SMMCR \ SMMCR (i) -статична математична модель складного робота, / = 1 ,п.

Сп1Вв1дношення для обчисленля в абсолготшй систем! координат i системах координат ланок кшематичних характеристик просгих i складних po6orin як систем зв'язаннх твердих ил одержано в параграф! 2.5. Нехай

закон руху в простор! узагальнених координат, причому 9j{t), j = \,m, - дв!ч1 неперервно диференцШовн1 функцИ. Рух основи робота задамо сп'1вв!диошеииями

г, = г,(/), <Р= fit), Р = (67)

де гр - радиус-вектор центра мае основи, yr, <р, р - кути Ейлера (npenecii, власиого обертання та нутацп в1дпов1дно)( визначаготь обертання навко.то центра мае основи.

Теорема 2.5,1. Якщо закон руху простого робота в простор! узагальнених координат мае вигляд (66). Закон руху основи простого робота в абсолютн!й систем! координат - в1дпов'1дно (67), то KyTOBi швидк1сть та прискорешш лаиок, лпИйн! швидк1сть та прискорення центр !в мае ланок визначаються сп1ВВ1Дношеннями

o>U) = <a{j - I) + a{j)kAj)0j,

e(j) = s{j - I) + aUMjye, 4 a{j -1) x MjYe,),

v(j) = v(j -1) 4 aHj -1) x (KU - l)[Hf -1) - Ю ~ О)) +

4«(y) x {K{j)p{j)) + (1 - a{j)){a,{j) x ЫЛ^+ШЪ,

Aj) = A] ~ 1) + s(j - 1) x (k(j - 1 ){b(j - 1) - P(j -1)}) +

+«(/ -1) X <о{] -1) X (*(/ - 1)[ь(/ -1) - РО - 1))) + МЛ X {К(])М + тО) X соО) X {КШШ +

+(1 +4Л* ЖЛхШЪ*

+2с»(/) х + Л.0)^)

з початковими умовами о(0,г) = гр(/), ¿-(0,/) = ¿>(0,/),

'/Зсс» у/+ <рйп.р&т цг = рьт у - ф бш /?соэ V

де а(у') - тип з'еднання в у'-й к1кемагнчнш пар!, у = 1,/«.

Аналогична теорема доведена для швидкостей 1 прискорень у вщносних системах координат.

Для складного робота базового типу к'шематична модель складаеться з закону руху корпуса, який подаеться у вигляд1 (67), 1 к!нематичних моделей для д простих робот1в для кожного з яких задано закон руху (66) в простор! узагальнених коодииат, 1 початкових умов, сформульованих в теорем 1 2.5.1.

К!нематична математична модель складного робота тепер легко визначаеться як рекурсивна структура

кммек = {кммзся | (КММВСВ. (0),КММСБ. (1),...,КММВСЯ (я))}.

(68)

Тобто це або к1нематична математична модель складного робота базового типу, або кшематична математична модель складного робота базового типу як кореневого вузла дерева 1 к!нематичних моделей П - шддерев, кожне з яких можна описати за допомогою хагемагичноГ модел! виг ляду (68).

ВраховуюЧи кшематичш сп1вв1дношення, отримаш в параграф! 2.5 та принцип Даламбера, одержано динам! чш математичн! модел1 для простих 1 складних робоив.

Теорема 2,6.1. Динамична магемагична модель простого робота, якщо вс! пеобх1дм1 величини задаються в абсолютнш систем'1 координат, мае вигляд

U, = k{{j)[a{j)Qij) + (1 - a(j))R(j)], (69)

R{j)*R{J + \) + G,e,-FU), (70)

QU)=Q(j + 1)-ь + - a{j + 1))<9,+1])х R(j + 1)--M{j) + (K(Mj))x{e£j), (71)

де ^(7) - головний вектор сил iiiepui'i, M(j) - головний момент сил inepuii, K[j) - матрица, яка обчислгоеться за сп1вв1дношеннями (56), (57), у = т,т-

Динам1чна модель, сформульована в теорем! 2.6.2, враховуе те, що вс! необх1дк1 величини задано у в!дносних системах координат.

Запровадимо математичну динам1чну модель захвата простого робота у випадку, коли в!н е складною ланкою з (i,{fi>\), "виходами". Позначимо R{m, v) i Q(m, v), v=\,//, в!дпов!дно реакцП i моменти сил взаемодн робота з зовн!шшм середовищем. Тод1 умови р1вноваги захвата матимуть вигляд

R(m) = flR(m,v)^Gme3-F{m), (72)

Q[m) =±(Q(m, v) + (*(«)($<«, v) 4-

•-I

+c,(m, v)(l - a{m, v))&„( v)) x R{m, v)) +

+-{K{m)p{m))x{Gme})-M{m), (73)

де F{m) = -гЧ^М, M{nt) =

M{m) = ~J(m)e{m) - Sj{m) x (/(«)&(m)), /(/я) - тензор inepuii захвата в точц! 0{т).

Для шших ЛЗйЬК игтематичну модель динамки на основ! принципу Даламбера запишемо як (70), (71), а узагальнеш сили розрахуемо за формулою (69).

Узагальнеш сили на "виходах" захвата можнд обчислити так:

uv{m) = {K{m)cim, v))T(ar{m)Q(m, v) +

+(l-«Xm))Ä(m,v)), (74)

де а„(/я) - 0 або 1 в залежност! в!д типу в!дпов1дпо поступальшн або обертально! взаемодП v-ro виходу захвата ¡з зови!шн1м середовищем, v= 1 ,q.

Розглянемо складний робот базового типу. Головний вектор сил ifíepuil корпуса в будь-який момент часу знайдемо за формулою

F(0)=~g-%W{0,t). (75)

Сили i момента сил, прикладет до корпуса розрахуемо за сп!вв!дношеннями

Ä(0) = ¿Ä(0, v) + <?0e3 - F(0), (76)

ß(0) = i(ß(0,v) +

+(^(0)(¿(0, и) +ф, v)(l - а,(0))Ш)) * A«*, v) +

+(ВК(0)р{0)) х (<?0е,) - Ai (О). (77)

У формул! (77) а„(0) - типй з'еднань простих робот!в SR( v) з корпусом i можуть набирати значень 0 або 1, Af(0) = ВК{0)М(0), Й{0) визначаеться з дииам1чних р1внянь Ейлера для корпуса складного робота базового типу.

Теорема 2.6.3. Динам!чна математнчна модель для складного робота базового типу складаеться з математично! модел1 корпуса (76), (77) та q математичних моделей простих робот!в (6Э)-(71).

Рекурсивна форма динам1чних структур складних робот!в виражае рекурсивну суть математично!' динамично! модел! складних робот!в, що в!добразимо у вигляд! наступно! теоремн.

Теорема 2.8.4. Динамична математична модель складного робота мае внгляд

DMMCR * {DMMBCR | (DMMBCR {0),DMMCR (l),...,DMMBCR (<?))},

де DMMBCR |DMMBCR (0) - динам1мна иатематична модель складного робота базового типу, сформульована в теорем! 2.6.3, DMMCR \DMMCR (/), /=1,н, - динамНн! модел'1 складних робопв.

У параграф! 2.7 в repMinax запроваджсних структур 1 розроблених математичних моделей сформульовано задач! 2.7.12.7.15, hkî е основнимн при вивченн! в!дпов!дних процес!в мехатрошшх систем.

3 метод!в i алгоритм!», розроблених в параграф! 2.8, в'1Дзначимо застосувания мстод1в оптимального керування до розв'язання обернено! задач! про геометричний стан захвата мантуляцшного робота та обгрунтування побудови TpaeicTopiï перенесения вантажу э мннмалышми затратами в нединам1чноМу режим!.

Основою методу гекетичного моделювання, розробленого в 2.9, е геор!я i алгоритм проведения комп'ютерного експеримеиту еволюцшно1 самооргаН1зацп структур мехатронних систем у взаемодИ з 30BHimHiM середовищем за вибраним критер!ем якост1.

У третьоку роздш розроблено специф!кац!1 та абстракцК даних i процедур, як! забезпечують формальний опис даних ! процедур програмного комплексу для комп'ютерного анал!зу систем керування, Розд!л складаеться з чотирьох параграф1в. Параграф 3.1 м!стить коротку !нформац!ю про принципи розробки абстракций даних, ïx склад, а також характеристику елемент/в специфжацШ. Тут же вводяться прост! i складн1 об'екти систем керування з! зм!ного вим1риост! фазового простору.

У параграф! 3.2 розроблено абстракц!'{ даних для систем керування, як! складаюгься з додатково! специф1каци та спепиф!каци ¡нтерфейсу. Як приклад, наведемо специф1Кац!ю простого об'екта системи керування

SO_SPEC: trait

imports ШТ_51»ЕС, REAL_TABLE_SPEC

introduces

NEW: -> SO

CHANGE: SO, REAL_TABLE, REAL_TABLE -> SO

INSERT; SO, REAL.TABLE, REAL_TABLE -> SO EQUAL: SO, SO -+BOOL" SIZE_ENTRY: SO -> INT SIZE_EXIT: SO INT CONTROL: SO -* BOOL OBSERVE: SO BOOL PUT_A: SO REAL_TABLE PUT_B: SO -» REAL_TABLE IS_IN: SO, REAL_TABLE.. REAL_TABLE -> BOOL IDNTRANS: SO SO constrains SO so that

SO generated by [NEW, CHANGE] SO partitioned by {EQUAL] for all [x.y.SO, A,B: REALTABLE] ISJN(NEW,A,B)=FALSE iS_IN(CHANGE(x,A,B),A,B)=TRUE EQUAL(x,y)>=if PUT_A(x)=PUT_A(y)& PUT_B (x)=PUT_B(y) then TRUE else FALSE PUT_A(CHANGE(x,A,B))=A P UT_A( INSERT(NEW, А, В) )=A PUT_B(CHANGE(x,A,B))=B PUT_B(INSERT(NEW,A,B))=B SIZEJEXIT(NEW)=0 SIZE_ENTRY(NEW)=0 SIZE_EXITCx)=sqrt(SIZESREAL_TABLE(PUT_A(x))) SIZE_ENTRY(x)=SIZE$REAL_TABLE(PUT_B(x))/ /SIZE_EXIT(x) IDNTRANS(x)=Cl4ANGE(x,E,0)

Специфгкац1'1 простих i складних ланок, простих робот1в, складних po6oriB базового типу i складних робот1в та в'щпошдш специф!каци ¡нтерфейав розроблено в параграф} 3.3.

Базов! структури даних, на. ochobi яких реал1зовано nporpaMHi засоби анагизу систем керування, а також моделювання розгляиутнх у дашй po6oTi процепв мехатронних систем, наведено в параграф! 3.4.

ОСИОВШ РЕЗУЛЬТАШI висновки

1. На основ1 допедсних теорем одержано конструктив!» критерИ' для вивчення властивостей керовносГ1, спостережиост!, м1н!максного керувашся I спостереження в системах керування з1 зм1ною вим!рност1 фазового простору. Побудовано ф!льтрн, виходи яких Ыдновлгагать початковий стан сностережуваних систем або е оптималышми значениями нев!домих параметр!в розглядуваних систем.

2. 1деХ псевдообернення матриць застосовано для одержання множини вс1х керувань, як1 переводить шлком керовну систему з! зм1пою вимфносг1 фазового простору з початкового стану в заданий фшальняй, а для не Шлком керовннх систем - в стан, найближчий до фШального. Це дае можлив!сть формулювати 1 розв'язувати задач! про пр'юритетт керуаашш системами з! змпюю вим!рност1 фазового простору.

3. Загалышн розв'язок задач! про спостереження для систем 31 зм1нокэ вим^рпосг! фазового простору, одержаний в дисертацп, дозволяе формулювати ! розв'язувати зада<п про оптимальне спостереження в мйпмаксшй або стохастичн'ш постановц'1 при паявиост! завад за рахуиок вибору в!дпов!дного матричного параметра.

4. Рекурсив1псгь магематичних моделей робот!В з багатьма захватами ¡стотно виражепа у системному шдход! до розробки нрим1тнв!в га шдпов!дних структур даних, що е суттго математнчного об'ектно-ор1ентовного тдходу до розв'язання задач, пов'язаних з проектуванням 1 моделгованням у робототехп1ц1.

5. Запровзджена рангова структура зображелня складних робот!в е основою модифшац]? математичних моделей геометрич-ннх пронеси) до математичних моделей систем керування з! лмпшго вим1рносп фазового простору з дискретным аргументом.

5. Математичпа формал!эац'ш структур роботов з багатьма захватами е базою для розробки методу генегичного моделювання 1 його застосування до оптим1зацП геометричних структур

мехатронних систем як еволющйного саморозвйтку 1 самовдосконалення у взаемодП з зовшши1м середовищем.

7. Програмш засоби моделювания процес!в мехатронних систем розроблено на основ! абстракций i специфжацш тип!в даних та в!дпов1дних штерфейЫв, що в!дпов1дае найнов!шим комп'ютерним гехнолоНям.

Користуючись нагадаю, автор висловлюе щиру подяку своему вчителю, професору М.Ф. Кириченко за постШну увагу та корисне обговорення результате.

Основш результата дисертац'11 опублшоваш в таких науковнх прадях:

1. Сопронюк Ф.О. Моделювания та опгим1зашя систем управляя з розгалуженням структур. - Черн1вц1, Рута, 1995. - 155 с.

2. Сопронюк Ф.А., Тимофеева E.H. Наблюдаемость в системах с изменяющейся структурой//Проблемы управления и информатики. - 1994. - № 5-6. - С. 45-48.

3. Кириченко Н.Ф., Сопронюк .O.A. Кинематические и динамические модели мехатронных системУ/Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 6. - С. 116-127.

4. Сопронюк Ф.А., Фодчук A.B. Математическое описание структур мехатронных сКстем/УПроблемы управления и информатики. - 1996. - N° 3. - С. 127-134.

5. Кириченко Н.Ф., Сопронюк Ф.А. Минимаксное управление в задачах управления и наблюдения для систем с разветвлением структур/Юбозрение прикладной и промышленной математики. -К.: Науч. иад-во "ТВП", 1994. - Г. 1, Вып. 6. - С. 1-14.

6. Сопронюк Ф.А., Лазорик В.В. Системный подход к моделированию геометрических и статических процессов мехатронных систем. - Черновцы, 1992. - 46с. - Деп. в УкрНИИНТИ,

№ 1329-Ук92.

7. Сопронюк Ф.О., Тимофшва 6.М. Побудова оптимального регулятора для систем з розгалуженням. - Чершвш, 1995. - 10 с. -Деп. в ДНТБ Украшн, № 1920-Ук95.

8. Сопрошок Ф.О., Мартинюк C.B. Спостережн1сть 1 оптималь-не регулювштя в дискретних системах з розгалуженням структур. - Чершвц!, 1996. - 25 с. - Деп. в ДНТБ Укршни, М» 306-Ук96.

9. Сопрошок Ф.О. Одна задача мйй.чаксного керувания системами з розгалуженням структур//Нелн|1Йи1 диференц1алый р!в-няння Taïx застосування: 36. наук. пр. - К.: Itt-т математики АН УкраГпи, 1992. - С. 71-73.

10. Сопрошок Ф.О. Miiii.MaKCHi anocreplopiii ouíhkk стан!в систем з розгалуженням струкгур//Конструктипи1 методи досл!джен-ня диференц1альних piniwHb: 36. Наук. пр. - К.: 1н-г математики АН Укра'Гни, 1993. - С. 84-90.

11. Сопрошок Ф.О. MiniMaKCHe сяосгереження в системах з розгалуженням структур//Системи еволюцШних р1внянь з п!сля-д1ею: 36. наук. пр. - К,: 1и-т математики HAH Укра'/шг, 1995. -С. 103-108.

12. Сопрошок Ф.О. ПараметриЧиа оптим1зац1я в системах з розгалуженням структур//Матер1али м!жн. математичио1 Конф., при-свяченоГ tiaM'dîi Ганса Гана - Черн1вц1: Руга, 1995. - С. 276-282.

13. Сопрошок Ф.О., Мартиигок C.B. Кероаан1сть дискретних систем з розгалуженням структур//М;\тер1али м1жн. математичног конф., ирисвячено!' пам'ят) Ганса Гана - Черн(пц1: Рута, 1995. -С. 283-288.

14. Сопроигок Ф.О., Фодчук О.В. Генетичне програиування í оптим1за!ия структур мехатрониих снстем//Матер1али м!жя; мате-матичио! конф., присвячено! пам'ят! Ганса Гана - Черпг1вц1: Рута, 1995. - С. 289-295.

15. СаДовяк A.M., Сопрошок Ф.А. Математическое моделирование оптимальных структур манипуляцдаикых роботов//Тех доял. VII Всесоюзной конф. "Качественная теории дифференциальных уравнений" 3-9 апреля Í9S9 г. - Pitra, 1989. - С. 196.

16. КйриЧенка Н.Ф., Сопрошок Ф.А., Лазорик Ö.B. Математические структуры САПР мехятрониьгх систем упряклекргя If Тех докл. межд. сем. ttd методам rt программному обеспечешго Для исследования систем автоматического управления. - Иркутск: АН СССР, ÍS91. - С. 83.

17. Сопрошок Ф.О., Мартишок C.B. Про керовШсть дискретннх систем з розгалуженням структур//Тези доп. MiJfm. конф. "Теор1я наближенпя та задач} обчислювально!" математики", приев. 76-р1ч-чю державного ун'терситету. - ДнШропетровськ, 1993. - С. 171.

18. Сопронюк Ф.О., Мартишок С.В. Моделгавання дискретних систем з1 зм!мою структур//Гези доп. 1-i Укра'шсько! конф. з автоматичного керування "Автоматика-94" 18-23 травпя 1994 р., ч.

2. - КиТв, 1994. - С. 319.

19. Сопрошок Ф.О., Тимоф1ева G.M. Оптимальне керування в системах з розгалуженням структур//Друга Украшська кои-ференц1Я з автоматичного керування "Автоматика-95", Льв1в, 2630 вересня 1995р.: Праць - Т.1. - Льв1в: НВЦ "ITIC", 1995. - С. 53-54.

20. Сопрошок Ф.О., Фодчук О.В. Моделювання кШематики i статики систем управлпшя з розгалуженням структур//Друга УкраУнська конференц!я з автоматичного керування "Автоматика-95", Льв1в, 26-30 вересня 1995 р.: Прац!, - Т.4. - Льв!в: НВП "iriC", 1995. - С. 27-28.

21. Kirichenko N., Soproniuk F. Adjustment and Control In Distributed Structures SystemsZ/Development and Application Systems. - Numb. 1. - Suceava (Rom.), 1992. - P. 121-124.

22. Lazoric V., Soproniuk F. Simulation Structures of Mechatronic Control SystemsZ/Deveiopmcnt and Application Systems. - Numb.

3. - Suceava (Rom.), 1994. - P. 63-68.

23. Soproniuk F. Minimax Estimation for Systems with Distributed StructuresZ/Development and Application Systems. - Numb. 3. -Suceava (Rom.), 1994. - P. 157-162.

24. Kirichenko M., Soproniuk F. Struktured Methods for Control Systems Research//Development and Application Systems. - Numb. 6. - Suceava (Rom.), 1996. - P. 33-40.

25. Soproniuk F., Lazoric V., Fodchuk A. Algorithms for Solving Problems of Mechatronic Systems State//Development and Application Systems. - Numb. 6. - Suceava (Rom.), 1996. - P. 161 -172.

Soproniuk F.A. The Research of Control Systems with Phase Space Dimension Variation. Thesis for a degree of Doctor of Science in Physics and Mathematics, speciality 01.05.02 - Mathematical Simulation and Calculating Methods in Scientific Research. Taras Shevchenko Kiev University.

A thesis, based on 25 articles on the research of control systems with phase space dimension variation, is presented. The theorems of controlability, observability, minimax control and observation have been proved, the sets of controls and linear observers have been obtained. A theory of simulation of complicated robots as control systems with phase space dimension variation has been elaborated. The thesis presents abstractions and specifications have been used for developing a software package of mechatronic systems processes simulation.

Сопронкж Ф.А. Исследование систем управления изменением размерности фазового пространства. Рукопись. Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы в научных исследованиях. Киевский университет имени Тараса Шевченка. Киев. 1996.

Защищается диссертация, в которой содержатся результаты 25 работ по исследованию систем управления с изменением размерности фазового пространства. Доказаны теоремы об управляемости, наблюдаемости, минимаксному управлению и наблюдению, получены множества управлений и линейных наблюдателей. Разработана теория моделирования сложных роботов как систем управления с изменением размерности фазового пространства. Предложены абстракции и спецификации, на основании которых разработан программный комплекс моделирования процессов мехатронных систем.

Ключов} слова: система керування, математична модель, оптим1зац!я, MiiiiMaKcm оцшки, складний робот, структура, генетйчне моделювання, абстракц'1Я, специф1кац1я, програмний комплекс.