автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование некоторых математических моделей теории экономического роста

На правах рукописи

Мичасова Ольга Владимировна

0046:

6832

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 2010

" 9 ЛЕК 2010

004616882

Работа выполнена на кафедре математического моделирования экономических систем Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель: Кузнецов Юрий Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического моделирования экономических систем, ННГУ.

Официальные оппоненты:

Баландин Дмитрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра численного и функционального анализа, ННГУ.

Польдин Олег Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической экономики, ГУ ВШЭ (Нижегородский филиал).

ЗА » Шб&^^уЗ» 2010 г. в иного Совета Д'212.166.13 при Ниже-

Ведущая организация: Пермский государственный университет Защита диссертации состоится «_

часов на заседании диссертационного Совета Д'212.166.13 при городском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп. , ауд.,Щ_.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан « ^ » ил&Цл, 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Савельев Владимир Петрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Проблема выявления основных факторов экономического роста и анализа механизмов их влияния на развитие национальных экономик является одной из наиболее актуальных проблем в современной экономической теории. Опыт промышленно развитых стран показывает, что научно-технологический прогресс и инновации являются одними из важнейших факторов экономического роста, а человеческий капитал служит источником социально-экономического развития и одной из ключевых составляющих инновационного производства.

Современные процессы информатизации общества и развитие технологий привели к усилению роли человеческого капитала, так как только благодаря интеллектуальным способностям и высокой квалификации рабочей силы становится возможным быстрое и результативное внедрение тех инноваций, которые позволяют обеспечить эффективное функционирование экономики в современных условиях. Мировой финансовый кризис лишь подчеркнул важность изучения этих факторов.1

В настоящее время общепризнано, что построение экономики, основанной на знаниях, невозможно без развития человеческого капитала; поэтому исследование влияния этого фактора на экономическое развитие является актуальной проблемой современной теории экономического роста.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического роста и развития, построение и исследование их математических моделей внесли такие зарубежные ученые, как К. Эрроу (K.J. Arrow), Д. Касс (D. Cass), Т. Купманс (T. Coopmans), Е. Домар (E.D. Domar), Р. Харрод (R.F. Harrod), H. Калдор (N. Kaldor), Р. Лукас (R. Lucas), Ф. Рамсей (F.P. Ramsey), П. Ромер (Р. Romer), Й. Шумпетер (J.A. Schumpeter), Р. Солоу (R.M. Solow), X. Узава (H. Uzawa), и многие другие.

Различные динамические модели экономического роста исследовались в работах Дж. Алонсо-Карреры (J. Alonso-Carrera), Р. Барро (R. Barro), Дж. Бенхабиба (J. Benhabib), Дж. Кабайе (J. Caballé), Р. Фармера (R.E.A. Farmer), Г. Гонга (G. Gong), А. Грейнера (А. Greiner), К. Муллигана (C.B. Mulligan), С. Ортигейры (S. Ortigueira), Р. Перли (R. Perli), К. Сала-и-Мартина (X. Sala-i-Martin), M. Сантоса (M.S. Santos), У. Семмлера (W. Semmler), Д. Ксье (D. Xie) и многихдругих.

Теоретические основы концепции человеческого капитала, различные методики его измерения, а также способы учета в динамических моделях экономического роста разрабатывались такими учеными, как Г. Беккер (G. Becker), M. Блауг (M. Blaug), Э. Денисон (E.F. Denison), П. Кленоу (P.J. Klenow), Дж. Ли (J. Lee), Ф. Махлуп (F. Machlup), H. Мэнкью (N.G. Mankiw), Дж. Минсер

1 См. Медведев Д.А. Выступление на XII Петербургском международном экономическом форуме // Стенограмма выступления Президента РФ Д.А. Медведева на XII Петербургском международном экономическом форуме (07.06.2008. г. Санкт - Петербург) // http://www.rost.ru/official/2008/06/070000_14284.shtml

(J. Mincer), Г. Псачаропулос (G. Psacharopoulos), Д. Ромер (D. Romer), Т. Шульц (T.W. Schultz), Д. Вейл (D.N. Weil), Л. Восманн (L. Woßmann) и многие другие.

В отечественной научной литературе значимые результаты в данной области представлены в работах С.А. Ашманова, В.А. Бессонова, В.З. Беленького, К.Ю. Борисова, С.Ю. Глазьева, О.О. Замкова, Г.Б. Клейнера, B.JI. Макарова, В.П. Максимова, В.Д. Матвеенко, A.A. Петрова, C.JI. Печерского, В.М. Полтеровича, И.Г. Поспелова, A.M. Рубинова, Ю.Н. Черемных, A.A. Шананина, Ю.А. Шараева и других. Проблемы человеческого капитала исследовались B.C. Автономовым, Р.И. Капелюшниковым, О.В. Киселевой, Г.Б. Клейнером, A.B. Корицким, B.JI. Макаровым, Д. Нестеровой, В. Новиковой, PJL Нуреевым, В.В. Радаевым, И.В. Розмаинским, К.З. Сабирьяновой, A.A. Саградовым, И.В. Соболевой и другими.

Анализ периодической научной литературы указывает на неослабевающий и стабильный интерес специалистов к проблемам моделирования экономического роста. Сопоставление основных моделей экономического роста с эмпирическими данными свидетельствует о необходимости определенной коррекции существующих и разработке новых моделей, которые позволят учесть ряд современных тенденций в экономическом развитии.

Область исследования соответствует требованиям паспорта специальностей ВАК 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: пункт 5 - комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование некоторых математических моделей теории экономического роста, описывающих механизм воздействия уровня человеческого капитала на долгосрочные темпы роста душевого ВВП с учетом экстерналий в производственном и образовательном секторах.

В соответствии с обозначенной целью поставлены и решены следующие задачи диссертационного исследования:

• дать обобщение и уточнение понятия внешних эффектов (экстерналий), определяемых средним по экономике уровнем человеческого капитала, применительно к рассматриваемому кругу моделей эндогенного экономического роста с учетом накопления человеческого капитала;

• провести анализ и классификацию существующих методов измерения (расчета) уровня человеческого капитала по степени их адекватности проблемам теории экономического роста;

• разработать обобщенную модель экономического роста типа модели Узавы - Лукаса с учетом накопления человеческого капитала, включающую в себя экстерналии в производственном и образовательном секторах и эффект убывающей отдачи от масштаба в образовательном секторе;

• провести теоретическое и численное исследование качественных свойств и особенностей обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала, включая выявление условий существования траекторий сбалансированного роста (в смысле Р. Лукаса), определение областей параметров, при которых в системе проявляется эффект неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба);

• дать оценку уровня человеческого капитала в России и его вклада в производственную функцию РФ с целью определения степени его влияния на экономический рост;

• провести анализ и сопоставление возможностей и особенностей прикладных пакетов программ в контексте их применения для исследования проблем теории экономического роста.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построение и исследование математической модели экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающей классическую модель Лукаса, учитывающую убывающий эффект масштаба в производственной функции человеческого капитала; наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования; структурные особенности внешнего эффекта человеческого капитала: и в сфере образования, и в сфере производства экстерналии определяются «средним» трудовым вкладом экономического агента в соответствующий вид деятельности (с учетом его эффективности)"; «амортизацию» человеческого капитала.

2. Описание качественных особенностей траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели; определение условий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказательство (с помощью численно-аналитических методов) возможности существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории.

4. Систематизация и классификация основных показателей, характеризующих человеческий капитал; выявление меры человеческого капитала, которая может использоваться для анализа механизмов его воздействия на экономический рост для отдельной национальной экономики.

5. Анализ современного состояния человеческого капитала Российской Федерации; определение параметров производственной функции РФ с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

Объектом исследования является экономический рост и источники его возрастания, роль процессов формирования и накопления человеческого капитала, а также механизм его воздействия на темпы экономического роста.

2 Другими словами, рассматриваемые в работе внешние эффекты человеческого капитала являются характерными для секторов (sector-specific externalities), и не сводятся к среднему уровню человеческого капитала на рынке груда

Предметом исследования являются математические модели теории экономического роста, описывающие механизм влияния сектора знаний на долгосрочные темпы роста ВВП; роль экстерналий, обусловленных формированием и накоплением человеческого капитала, в образовательном и производственном секторах; количественные и качественные характеристики траекторий сбалансированного роста в обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала.

Теоретической и методологической основой работы являются труды зарубежных и отечественных ученых в области экономической теории и теории экономического роста и развития, математического моделирования, статистических методов исследования и информационных технологий, а также материалы научных конференций, совещаний и семинаров по изучаемой проблематике.

Основными методами исследования являются методы экономико-математического моделирования, теории оптимального управления (принцип максимума JI.C. Понтрягина), качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, статистического и регрессионного анализа, теории численных методов и алгоритмов. Для моделирования использовались программные средства MatLab и Microsoft Excel.

Информационно-эмпирическую базу исследования составляют данные и нормативные документы Правительства РФ, Федеральной службы государственной статистики РФ, материалы и отчеты ЮНЕСКО и ОЭСР, а также информация, представленная в специализированных базах данных, размещенных в сети Internet на специализированных сайтах, материалы, приведенные в ряде монографий и публикаций отечественных и зарубежных ученых, в периодической печати, в специализированных подборках материалов, публикуемых в ряде научных журналов и другие источники информации.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов базируется на математической и экономической корректности постановки решаемых задач, применении обоснованных математических методов исследования и комплексного подхода к изучаемой проблеме. Она подтверждается сопоставлением результатов с исследованиями отечественных и зарубежных авторов в данной области, а также эмпирическими данными по динамике экономического роста.

Научная новизна исследования состоит в разработке и исследовании новой эндогенной математической модели экономического роста с учетом процесса накопления человеческого капитала, установлении ряда качественных особенностей оптимальных сбалансированных траекторий, определении условий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба), доказательстве с помощью численно-аналитических методов возможности существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной

траектории, установлении некоторых результатов о возможных сценариях эволюции в окрестности сбалансированных траекторий развитых экономических систем и экономических систем переходного типа, сравнительном анализе различных мер оценки человеческого капитала, выявлении наиболее адекватных его характеристик для моделирования экономического роста, а также построении производственной функции РФ с учетом человеческого капитала.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Теоретическое значение диссертации заключается в построении и исследовании новой математической модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала как фактора роста, учитывающей наличие в производственном и образовательном секторах экстерналий, определяемых средним по экономике уровнем человеческого капитала, а также эффект убывающей отдачи от масштаба в образовательном секторе.

Практическая значимость исследования состоит в том, что предложенная модель и полученные для нее результаты могут быть применены для анализа влияния накопления человеческого капитала на темпы долгосрочного экономического роста развитых стран и стран с переходной экономикой.

Ряд положений, разработанных в диссертационном исследовании, используются в учебном процессе механико-математического факультета Нижегородского государственного университета при изучении ряда учебных дисциплин и спецкурсов и могут быть применены в учебном процессе в других ВУЗах в рамках экономико-математических специальностей и направлений подготовки.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Государственное регулирование экономики. Региональный аспект» (Нижегородский государственный университет, 2005, 2007, 2009 гг.); международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносовские чтения» (Московский государственный университет, 2006-2008 гг.); конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» (Нижегородский государственный университет, 2007 г.); итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижегородский государственный университет, 2007 г.); молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казанский государственный университет, 2008, 2009 гг.); международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Воронежский государственный университет, 2008 г.); региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития и пути их решения» (Дзержинск, 2010 г.); конференции «Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе» (Европейский Университет в Санкт-Петербурге, 2010 г.); Нижегородской сессии молодых ученых (Математические науки) (2008-2010 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы изложены в 22 научных публикациях общим объемом 8,7 печатных листа, в том числе 6 работы объемом 4,1 п.л. в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Работы [1-14] написаны совместно с научным руководителем (вклад авторов равноценен), а работы [15-22] выполнены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Объем основной части диссертационной работы составляет 148 страниц машинописного текста, в том числе 35 иллюстраций, 16 таблиц и 175 формул; библиографический список включает 207 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика научного направления и анализ состояния проблемы, обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и основные задачи исследования, положения, выносимые на защиту, а также дается краткий обзор содержания глав.

Первая глава посвящена обзору основных этапов развития теории экономического роста; рассмотрению понятия человеческого капитала и основных его характеристик, а также возможностей учета человеческого капитала в моделях экономического роста; исследованию возможностей информационных технологий для численного исследования таких математических моделей и описанию особенностей математического аппарата теории оптимального управления для их изучения.

Обеспечение устойчивого экономического роста представляет собой одну из важнейших задач реальной экономической политики и экономической теории. Под экономическим ростом обычно понимается долгосрочная тенденция (тренд) развития ряда важнейших экономических показателей, таких, как реальный выпуск (валовой внутренний продукт, ВВП) и реальный выпуск на душу населения (душевой ВВП). И хотя эти показатели не являются «измерителями» благосостояния, они весьма часто используются для сравнения уровня экономического развития и, косвенно, уровня жизни, в различных странах.

Хотя мировая экономика в целом показывает стабильные темпы роста, экономический рост сильно варьируется в различных регионах мира. В качестве существенных факторов экономического роста отмечаются научно-технический прогресс и образование, которые снижают зависимость производства от естественных ресурсов. Причем роль уровня квалификации рабочей силы (то есть - в более широком плане - уровня подготовки или образования) отмечалась ещё классиками экономической теории, начиная с А. Смита3. По су-

3 Spengler J.J. Adam Smith on Human Capital // American Economic Review. - 1977. - Vol. 67. - No. 1. - pp. 32-36.

8

ществу уже тогда речь шла о том, что наряду с физическим капиталом важнейшим фактором производства является человеческий капитал, то есть благоприобретенные и полезные качества и способности жителей страны.

В явном виде понятие человеческого капитала было введено в экономическую науку в 60-х годах XX столетия в работах Дж. Минцера, Г. Беккера и Т. Шульца. Обзор и анализ историко-методологических аспектов возникновения и развития этого понятия представлен в целом ряде статей4.

Следует отметить, что к настоящему времени само понятие «капитал» претерпело весьма серьезное переосмысление и заметную трансформацию, так что его трактовки, предлагаемые представителями различных научных направлений, отличаются достаточно сильно. Тем не менее, с определенными оговорками это понятие может быть охарактеризовано следующим образом5. Капитал — это результат социальной оценки ограниченного, допускающего накопление, ликвидного, воспроизводимого и способного приносить новую (добавочную) стоимость хозяйственного ресурса, который включен в процессы воспроизводства и возрастания стоимости путем взаимной конвертации своих разнообразных форм. Чрезвычайно важным является тот факт, что капитал может принимать не только овеществленные формы, но также и воплощаться в отдельных людях и в отношениях между людьми. Можно указать некоторые основные формы капитала, которые адекватны тем или иным подходам к изучению хозяйственной деятельности. В их числе, в первую очередь, следует отметить исходную форму капитала - экономический капитал, который в своем вещном состоянии включает в себя денежный капитал (финансовые средства), производственный капитал (средства производства) и товарный капитал (готовые продукты). На раннем этапе развития теории экономического роста традиционно рассматривались лишь такие формы капитала, как физический капитал (physical capital; машины, оборудование, здания, сооружения) и трудовые ресурсы (фактически - численность вовлеченных в производство работников).

Как уже отмечалось выше, одной из важнейших форм капитала является человеческий капитал. Он представляет собой совокупность накопленных профессиональных знаний, умений и навыков, получаемых в процессе образования и повышения квалификации, которые впоследствии могут приносить доход - в виде заработной платы, процента или прибыли. С известными оговорками человеческий капитал может быть охарактеризован как оценка воплощенной в индивидууме способности приносить доход.

Основная проблема в концепции человеческого капитала связана с выбором его адекватной меры. Сложность состоит в том, что «индивидуальный человеческий капитал» (характеризующий каждого человека в отдельности) на самом деле описывается множеством весьма разнообразных параметров. В принципе, эти параметры должны быть некоторым образом «агрегированы» в

4 См., например, Соболева И.В. Парадоксы измерения человеческого капитала. Научный доклад. - М.: Институт экономик» РАН, 2009. - 50 с.

3 Радаев В.В. Понятие капитала, формы капиталов и их конвертация // Экономическая социология (электрон-

ный журнал). - 2002. - Т. 3. - № 4. - С. 20-32. - [Режим доступа: www.ecsoc.msses.ru, свободный]

некоторую величину, представляющую интерес с макроэкономической точки зрения - например, в рамках теории экономического роста часто предполагается, что эта величина является аддитивной, так что человеческий капитал системы равен сумме «индивидуальных человеческих капиталов». Для построения адекватных показателей необходимо проводить эконометрический анализ обширных (и зачастую труднодоступных) статистических данных. Кроме того, одноименные параметры в разных странах могут рассчитываться по-разному.

В литературе предлагаются следующие показатели, характеризующие уровень человеческого капитала: уровень грамотности взрослого населения; процент учащихся; уровень образования и средний срок обучения; размер заработной платы в зависимости от образования; текущая стоимость ожидаемого пожизненного дохода; коэффициент Джини; оценка Минцера и норма доходности обучения; индекс агрегированного человеческого капитала; показатели, связывающие человеческий капитал с научно-исследовательской деятельностью и инновациями; показатели, характеризующие экономику знаний и т.д.

Все они действительно характеризуют различные аспекты человеческого капитала, но при их использовании для сравнения разных стран могут давать прямо противоположные результаты. Кроме того большая часть этих показателей не может использоваться для анализа экономической динамики одной отдельно взятой страны, так как большинство из них либо остаются достаточно стабильными на значительных промежутках времени, либо их расчет (например, ежегодный) вызывает затруднения или большие материальные затраты.

В 60-е годы XX столетия Ф. Махлупом6 был введен в научный оборот термин «экономика знаний» для определения типа экономики, в которой знания играют решающую роль, а производство знаний является источником роста (близкие и весьма широко применяемые понятия - «инновационная экономика», «общество знаний», «информационное общество» и т.д.). Считается, что экономика знаний существенно отличается от экономики индустриального типа, когда накопление богатства было связано с материальными активами - напротив, в экономике, основанной на знаниях, особое внимание должно уделяться накоплению человеческого капитала, а также созданию такой инфраструктуры, которая позволила бы эффективнее использовать накопленные опыт и знания в производстве и потреблении7.

Впервые человеческий капитал был включен в неоклассическую модель экономического роста в знаменитой (и теперь уже ставшей классической) работе Р. Лукаса8. В его модели экономического роста человеческий капитал играет приблизительно ту же роль, что и научно - технологический прогресс. Это за-

6 Machlup F. The Production and Distribution of Knowledge in the United States. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1962. Русский перевод: Махлул Ф. Производство и распространение знаний в США. - М.: Издательство «Прогресс», 1966. - 462 с.

7 Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. д-р. экон. наук, проф. В.П. Колесов. - М.: ИНФРА-М, 2008.-432 с.

8 Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. - 1988. - Vol. 22. -No. 1. —pp. 3-42.

метно сближает модель Лукаса с известной моделью Узавы9, однако у данных моделей существуют и принципиальные отличия. Р. Лукас впервые ввел в рассмотрение концепцию своеобразного «дуализма» человеческого капитала. Существенной чертой его модели является явное выделение двух путей (каналов) влияния человеческого капитала на экономический рост. Эти два типа воздействия могут быть обозначены как внутренние (описывающие непосредственное повышение эффективности производства, связанное с ростом квалификации работников) и внешние эффекты (экстерналии). Внешние эффекты человеческого капитала характеризуются некоторым средним значением человеческого капитала в экономической системе в целом.

Эта концепция, а также некоторый механизм взаимодействия процессов накопления физического и человеческого капиталов, были положены в основу построенной Р. Лукасом эндогенной математической модели экономического роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала. Механизм накопления человеческого капитал предполагает обучение с «отрывом от производства» (в отличие от известной модели Эрроу «learning-by-doing»). Это обучение происходит в рамках своеобразного «образовательного сектора экономики» -именно там работники осуществляют накопление и развитие своего человеческого капитала. Модель Лукаса позволила, в частности, объяснить ряд эмпирических фактов, касающихся различий в темпах экономического роста. Дальнейшее развитие данного направления исследований привело как к детальному изучению, так и к ряду уточнений и обобщений модели Лукаса.

Для изучения и моделирования динамики экономического роста могут применяться математические программы, пакеты имитационного моделирования, а также статистические и эконометрические программы, в зависимости от желаемых результатов и применяемых математических методов. Для реализации вычислительных экспериментов с обобщенной модель экономического роста в рамках данного диссертационного исследования применялся программный пакет MatLab.

Во Второй главе работы описывается обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. Классическая модель экономического роста Лукаса подвергается критике за то, что она не отражает эффект убывающей отдачи от масштаба и, из-за линейности уравнения описывающего образовательный сектор, завышает темпы роста, по сравнению с теми, которые наблюдаются в реальной экономике. Это можно объяснить тем, что при достаточно высоком уровне человеческого капитала создание дополнительного человеческого капитала становится все более сложной и дорогостоящей процедурой, поэтому темп накопления замедляется.

В работе предложена и исследована двухсекторная модель экономического роста, обобщающая ряд подобных моделей, включая классическую модель Лукаса, и учитывающая эффект убывающей отдачи от масштаба, а также наличие экстерналий не только в производственном, но и в образовательном секто-

9 Uzawa II. Optimal technical change in an aggregate model of economic growth // International Economic Review. -1965.-Vol. б.-No. l.-pp. 18-31.

ре. Кроме того скорость накопления человеческого капитала определяется не только уже достигнутым уровнем h(t), но зависит также от доли времени [1 - m(î)] , которую экономический агент посвящает своему образованию, а также от величины «средних» значений человеческого капитала на рынке труда ha(t) и доли [1 -ua{t)] времени, отводимого образованию. Естественно предположить также, что, в принципе, экономический агент заинтересован в том, чтобы тратить на каждый из видов деятельности (производственную и образовательную) такую же часть своего активного времени, как и в среднем по рынку. Другими словами, можно считать, что в сфере производства экстерналии определяются величиной ua(t)ha(t) - «средним» трудовым вкладом экономического агента в производство (с учетом его эффективности).

Поэтому уравнение динамики объема физического капитала имеет вид:

^ - A{t)K(if[umtmt)V[ua{t)hM-vKm-c{t)N{t), о)

at

где A(t) - функция, описывающая экзогенный технологический прогресс ( A(t) = А0еса, темп технологического прогресса постоянен а = const ), K(t) -физический капитал, N(t) - численность рабочей силы (N(t) = N0e"', п = const), u(t)h(t)N(t) - эффективная рабочая сила («внутренний эффект» ЧК), c(t) - удельное потребление, fi - доля физического капитала, у - положительный параметр, цк - норма амортизации физического капитала.

Уравнение динамики накопления человеческого капитала записывается следующим образом:

^ = S[\-u(t)Y{l-ua(t)]mqha(ty -пHh(t), (2)

at

где S - положительный технологический параметр, р, s,q и г - неотрицательные параметры (эластичности производственной функции человеческого капитала типа Кобба-Дугласа по соответствующим переменным), причем p + s = 1, q + r = \, a /uh - норма амортизации человеческого капитала. Заметим, что уравнение (2) отражает тот факт, что на «микроуровне» репрезентативный экономический агент рассматривает функции ua(t) и ha{t) как заданные (экзогенные), так что производственная функция человеческого капитала в правой части уравнения (2) отражает наличие на «микроуровне» эффекта убывающей отдачи от масштаба и отсутствие такого эффекта - на «макроуровне».

Система уравнений (1), (2) дополняется начальными условиями вида *(OU=*o>0,A(OLo=Ab>0.

Предполагается, что репрезентативный экономический агент выбирает свои уровень потребления c(t) е R+ s [0,оо) и долю u(t) е [0,1] своего активного времени, посвященного трудовой деятельности таким образом, чтобы максимизировать величину полной дисконтированной полезности:

J = J[c, и] = {e'f"N(t)U[c(t)\dt -> max. (3)

о

Здесь функция U\c] - «мгновенная» полезность экономического агента при уровне его потребления с. Обычно рассматривается функция полезности с постоянной несклонностью к риску:

[с-

[ In с, ст = 1;

Оптимизационная задача, связанная с моделью (1) - (3) экономического роста с учетом накопления человеческого капитала состоит в выборе таких управляющих параметров c(/)eR+ = [0,со) и u{t) е [0,1], которые бы максимизировали функционал (3) на допустимых траекториях [K(t),h(t)}, t е[0,со) динамической системы (1), (2) при соблюдении условий

h(t) = ha(t), u(t) = ua(t), Vi e [0,«). (5)

Существуют, по крайней мере, две различные экономические трактовки условий (5), которые приводят к различным типам оптимальных траекторий.

■ I. «Задача социального планировщика» (social planner). Существует некоторый гипотетический «социальный планировщик», выбирающий с точки зрения всего общества в целом оптимальный путь (траекторию) экономической системы, «изначально» располагающий исчерпывающей информацией о ее развитии, и способный воздействовать на все ее составные части. Поэтому можно считать, что условия (5) имеют место «изначально».

II. «Задача о конкурентном равновесии» (competitive equilibrium). Рассматривается ситуация, когда отдельные фирмы и домохозяйства не обладают исчерпывающей информацией об экономическом развитии системы, но ожидают, что накопление человеческого капитала и доля u(t) е [0,1] активного времени, посвященного трудовой деятельности, будут следовать известным в каждый момент функциям ha(t) и ua(t), Vi е[0,оо), которые являются (с их точки зрения) экзогенно заданными и на которые каждый агент воздействовать не может. В этих условиях экономические агенты решают оптимизационную проблему выбора режима потребления. Экономическая ситуация будет находиться в равновесии, если ожидаемое и реальное поведение совпадут, т.е. если в итоге окажется, что имеют место равенства (5).

Дальнейший анализ поставленной оптимизационной задачи основан на принципе максимума Понтрягина. Подробная схема анализа такого рода задач приведена в (Кузнецов, 2008)10. Для каждой из экономических трактовок предложенной модели выписывается функция Гамильтона-Понтрягина, осуществляется переход к сопряженной системе, выписываются необходимые условия экстремума и условия трансверсальности, после чего можно записать общую

10 Кузнецов Ю.Д. Оптимальное управление экономическими системами. -Нижегородского госуниверситета, 2008. - 449 с.

Нижний Новгород: Издательство

оптимизационную задачу. Основная цель исследования состоит в выявлении и анализе траекторий сбалансированного роста. Их изучение представляет наибольший интерес с экономической точки зрения. Траектория сбалансированного роста (balanced growth path, BGP) - это такая траектория системы (1)-(4) {k(t),h(t),c(t),u(t)}, для которой темпы роста переменных к, h и с являются постоянным, а и - постоянная величина.

Для доказательства существования траекторий сбалансированного роста в обобщенной системе выполняется переход от сопряженных переменных {dK{t),dH{t)} к переменным {<:(/),/?(/)}, где c(t) - удельное потребление, а p(t) = eH(t)/0K(t) - относительная «теневая цена» человеческого капитала, выраженная в единицах цены физического капитала. Далее осуществляется переход от дифференциального уравнения для относительной теневой цены p(t) к дифференциальному уравнению для функции u(t). При этом выполняется также традиционный для неоклассических моделей переход к удельной (на душу населения) величине k(t) = K(t)/N (t). Полученная система дифференциальных уравнений позволяет не только установить существование траекторий сбалансированного роста, но и изучить вопросы их устойчивости:

dk(t)

= A{t)Ktfh{tt^u{tt^ -{цК + n)k(t)-c(t), (6)

dt

^l = S[l-u(t)]h(t)-^h(t), (7)

dt

^ = ~c{t)[pA{my-'h{tt^u{tr^-{p + nK)\ (8)

dt a

(9)

dt /3-у [ 1 J kit) J

причем условия трансверсальности принимают вид:

\ime-{p-"vc(tyak{t) = Q, Ше-^^'кЦУфУиЦУ^Ч^-Р = 0, (10) /-♦00 /->00

где Р = а + {\-р){п + цК) + 8А3-ць{\-р + у), Q = A,-(P~y) (Р*гУ, при A3=p,A4=q-p получается задача о конкурентном равновесии, а при Д3 = 1,Д4 =0 - задача социального планировщика

Предложение 1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (6) - (9) обладает первым интегралом

citYkityPh^uitf^e-™ = const, (11)

где £l = a + n- р + 5АЪ -//Й(1-Л4) и ft* у.

Предложение 2. Пусть Р = а. Тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений (6) - (9) наряду с первым интегралом (11) обладает ещё одним первым интегралом вида

— =-?—^^—Т1Б7ГТТ. Ф = [(/?-и/?)+ Р = о- (12)

k(t) сМф^/оЬФо)]**4'-'0'

В работе получены выражения для темпов роста переменных на траекториях системы в явном виде через параметры системы:

Г =а(1-Д4) + (1-^ + у)[/1-/? + ^з-^(1-А4)]

* сг(1-/? + /)-/-(1-/?)Д4

®c=®k

Сопоставление полученных выражений для темпов роста с результатами для модели Лукаса показывает, что темп роста человеческого капитала в предложенной модели ниже. Этот результат в большей степени соответствует эмпирическим данным.

Для понижения размерности системы (6)-(9) вводятся инструментальные

1 1 -Р+г

переменные: q(t) = c(t)/k(t), x(t) = k(t)A(t)/i'[ h(t) /i_1 . На траекториях сбалансированного роста они являются постоянными. В результате преобразований получается следующая система уравнений:

= x(tfu(t)l-fi+r + у/[\ - u(t)]x(t) - q(t)x(t) - Mx(t), (14)

dt

Ш = m'Mtt^qit) + [q(t)f - m,

at

(15)

du(t) _ 1

dt p-y

u(t){P + SQ[l-u(t)]-Mt)}, (16)

^ = ^сфх^М^ - (Р + (17) dt а

М-Р + У) а 1 -0 + г е Р Г, О

где \и~-д-—-——, М =-+ п+ик-11ъ—-—В= — -п-1лЛ\--,

У (1-Ю \-р К Н а а)

ф = 1-\,(/ЗФу). а

Система уравнений (14) - (17) обладает специфической структурой -уравнения (14) - (16) образуют замкнутую подсистему. Поэтому целесообразно исследовать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (14) -(16). Данная система обладает ненулевым состоянием равновесия. Обозначим его:

Хе=со1{хе,Че,ие), хе >0, де >0, ие е [0;1] (18)

Для изучения системы (14)-(16) в окрестности состояния равновесия (18) стандартным подходом является линеаризация системы в точке Хе и дальнейшее изучение линеаризованной системы:

где £ = X-Хе, £, = а матрица Л представляется следующим об-

разом:

Л =

О

Че

-Р-г

р-у

(1 -р + у)и,

г \ ^ х.

-щ,

(1 -р+г)фи1'^хГ 32 ..

Р-У

(20)

Характеристический полином матрицы Л имеет вид:

цг(Л) = - Л) = £ + с,Л2 + с2Л + с3, (21)

где, как известно, коэффициенты с1 = -БрА (БрА - след матрицы Л), с3 =-(1е1Л, а с2 представляет собой сумму всех главных миноров второго порядка матрицы (20). В работе получено явные выражения коэффициентов с(, с2, с3 через параметры системы. В принципе, явный вид коэффициентов полинома (21) позволяет получить важную информацию о структуре фазового пространства системы (14) - (16) в окрестности состояния равновесия Хе (в зависимости от набора параметров в). Например, в соответствии с классической теоремой Рауса - Гурвица количество к = ки корней полинома (21) в правой полуплоскости С+ ={Л еС:ЯеЯ>0} комплексной плоскости С совпадает с числом перемен знаков в наборе {а0,а1,а2,а$}, где а0=1, а1=А1=с1, а2 = Д2/Д,, аъ = Д3/Д2, Л! = с,, Д2 =с{с2 -с3, Д3 = с3(с,с2 -с3), причем, если определители Гурвица Ак (к = 1 + 3) отличны от нуля (что и предполагается), то полином (21) не имеет чисто мнимых характеристических чисел, так что в левой полуплоскости С_ = {Л е С: 11е Л < 0} будет располагаться к$=3-ки корней этого полинома.

В работе введены в рассмотрение подмножества &(к)(П) а ®ВСР(0),

к = 0 + 3. По определению, параметр в е если все определители Гур-

вица А, (1 = 1 + 3) отличны от нуля, а в правой полуплоскости С+ находится ровно к = ки корней характеристического полинома матрицы Л (так что в левой полуплоскости С_ лежит к8=3-ки корней). Ясно, что 0<т)(£>)П0м(В) = 0, т*п.

Положим, далее, Г(/)) = 0лсД£>)\и1=о®т(-'Жтак что> по определению, справедливо равенство ®ввР{0) = Если в е Г(£)), то

среди корней характеристического полинома матрицы Л имеются чисто мнимые или нулевые корни.

В соответствии с классическими результатами качественной теории дифференциальных уравнений могут представиться следующие возможности.

Случай ©<0)(/>). Все корни находятся в левой полуплоскости С_ плоскости С. Состояние равновесия устойчиво. Для любых начальных условий #(0|,=+О=£о из окрестности £0е£/(<?к3) имеем -> ,

£(/,£0) е £/(#к3), V?>0. Этот факт не позволяет однозначно определить начальные условия для функций с (?) и м(/) в задачах (1) - (3), (14) - (17). Другими словами, не представляется возможным выделение единственной траектории, сходящейся к ВОР. Следовательно, имеет место ситуация неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

Случай 0(''(£)). В правой полуплоскости С+ плоскости С находится

1 корень. Состояние равновесия неустойчиво и является или седлом, или седло-фокусом. Все траектории, полностью лежащие в двумерном локально устойчивом многообразии приближаются при г-»+со к состоянию равновесия, а все траектории, лежащие в одномерном неустойчивом многообразии, наоборот, при / —> +со удаляются от состояния равновесия. Задание начального условия = не позволяет однозначно определить начальные условия для функций с(1) и г/(с). Как и в предыдущем случае, имеет место ситуация неопределенности.

Случай 0<2)СО). В правой полуплоскости С+ находится 2 корня. Состояние равновесия системы (14)-(16) неустойчиво и является либо седлом, либо седло-фокусом с одномерным локально устойчивым многообразием и двумерным неустойчивым многообразием. Задание начального условия £(0|/=+0 = ¿о (в достаточно малой окрестности точки вп, ), вообще говоря, позволяет однознач-

п

но определить начальные условия для функций с(/) и и(7), а значит, выделить единственную траекторию, сходящуюся к ВОР. Следовательно, при 9 е 0(2)(£)) реализуется ситуация (локальной) определенности.

Случай в0>(О). В правой полуплоскости С+ находится 3 корня. Состояние равновесия неустойчиво и является или неустойчивым узлом, или неустойчивым фокусом. Все траектории при / -» +со удаляются от состояния равновесия и ни одна траектория системы не сходится к ВОР. Следовательно, и в этом случае имеет место ситуация неопределенности.

Таким образом, наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели вытекает из справедливости соотношения:

01(0) (/)) I) ©(1) (£>) 1) 0'[3) (£>) * 0 ■

В связи с этим заметим следующее. Системы неравенств, задающие как само множество &ВСР(0), так и его подмножества 0а>(£>) (к = 0 + 3), носят

весьма громоздкий характер и не позволяют получить простые аналитические представления для их границ. Поэтому использование таких представлений малоэффективно; гораздо более информативным и наглядным оказывается подход, основанный на использовании возможностей компьютерных систем.

В Третьей главе работы выполнено численно-аналитическое исследование обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. Предлагаемая модель может использоваться для исследования экономической динамики в первую очередь развитых стран, так как человеческий капитал именно таких стран обладает эффектом убывающей отдачи от масштаба. Поэтому целесообразным представляется изучение динамики системы для набора параметров, равных или близких к реальным значениям развитых стран (типа Германии или США).

к = col {а, р, 8, р, cr, п, fiK, /ль} е К = R+ х (0,1) х R2+ х Z х R х R2 + с R8

Следует отметить, что проблема определения реальных значений параметров для тех или иных моделей экономического роста остается одной из наиболее актуальных проблем. Большая часть работ в данной области содержит либо исключительно иллюстративные примеры, основанные на интуитивных оценках коэффициентов, либо оценку того или иного вида регрессий, которые позволяют определить степень влияния разного рода факторов на экономический рост, но не дают оценки параметров для моделей типа Лукаса. Однако существует работы, в которых предприняты попытки оценивания коэффициентов для моделей экономического роста с учетом человеческого капитала11, поэтому их результаты, с учетом ряда замечаний, могут быть использованы для численного моделирования:

kdc seo/{0.0105, 0.44, 0.05, 0.024, 0.403, 0.013, 0.04, 0.04}еК

Остальные параметры - вектор л = col{y, p,q} е П =R+ х[0,1]2 с R3 характеризует экстерналии в производственном секторе и эффект отдачи от масштаба в образовательном секторе. В работе выполнен качественный анализ динамических особенностей системы (14)-(16) в зависимости от выбора вектора л е П (используемая ниже терминология является общепринятой12).

С помощью системы компьютерной математики MatLab были написаны программы, которые позволяют строить фазовый портреты системы (14)-(16) в окрестности состояния равновесия, вычислять линеаризованную матрицу и собственные значения системы, определять тип состояния равновесия, исследовать структуру множества 0B(;p(DC£;k"dc) в зависимости от вектора к.

Приведем здесь лишь некоторые результаты вычислительных экспериментов. Ограничимся случаем конкурентной экономической системы (D = Dce = col(q,0,p)). Непосредственный численный анализ корней полинома

11 Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Structural change and economic dynamics. - 2004. - Vol. 15. - No. 4. -pp. 401^420.

12 Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. - Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 428 с.

(21) показывает, что множества &{к)(0СЕ\к0С), к = 0-ьЗ, не пусты и «достаточно представительны» по набору элементов при всех к = 0 ч- 3 (в том смысле, что эти множества из пространства I*3 имеют положительный объем). 1. Эффект неопределенности.

На рис. 1 приведен общий вид фрагмента множества &вср^се''кос) 11

его подмножеств &{к\0СЕ;кос) в пространстве К3. Следует отметить, что в

данной задаче реализуются практически все возможные варианты типа состояния равновесия.

Рис.1. Фрагмент множества ©вср(Осе\квс) и характер расположения множеств <да\0СЕ-,к0С)^ {к = 0-5-3)

II!

"III"'» .......... ■ ■« 111111 ■ ш ■ им

. ._ ' 1,1: ? . . I и

Рис.2. Сечение фрагмента множества ®ваг^Ра''Кк) плоскостью у = у,= 0.4 и характер расположения множеств

На рис. 2 представлен общий вид фрагмента сечения множества ® вор(^се'■>Кос) плоскостью у = у, для значения у, =0.4 (В работе Р.Лукаса используется значение у, = 0.417). Из рис. 1 и 2 непосредственно вытекает наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели конкурентной экономики в силу соотношения и*=0,и ®{к)(ВСЕ\к0С) * 0.

Рис.4. Вектор параметров л = (0.400,1.000,0.700) е &т(0СЕ;к0С). Седло-фокус

Рис.3. Вектор параметров = (0.403,0.840,0.790) е 0{1" (£>„\квс). Устойчивый узел

я

На рис. 3 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа устойчивый узел, что соответствует ситуации локальной неопределенности в фазовом пространстве системы.

2. Ситуация (локальной) определенности.

Как уже отмечалось выше, эта ситуация возникает в случае принадлежности параметров системы множеству &2)(Dce-,kdc). На рис, 4 приведен общий

вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа седло-фокус, что соответствует ситуации локальной определенности в фазовом пространстве системы.

В рассматриваемой задаче в расположении множеств &{1)(Dce\kdc) и

Qm(DCE;KDC) имеется важная особенность - они имеют общую границу r<0,2)(DCE-,KDC). Соответственно, и множества Q(2\DCE,KDC\yt) и Q(0)(DCE,KDC;yt) имеют общую границу \\ фСЕ\кйс\у,).

На рис. 5 вид множеств 0<2) (DCE; кос; ), 0<о) (DCE; kdc ; /j и кривой Н

показан более детально. Ясно, что на кривой Н для корней характеристического уравнения справедливы соотношения Re^ <0, р = Re/U3 = 0, так что при

переходе «изображающей точки» из области ®m(DCE;KDC;y„) в область

Q(2\Dce;kdc;/,) возможен ряд бифуркаций.

Опишем сценарии некоторых из таких бифуркаций. Прежде всего, если точка (p,q) е Н такова, что £У = |lm^2 3| ^ 0, а первая ляпуновская величина 1Х отлична от нуля, то при переходе «изображающей точки» из области Q(0}(DCF-,/cDC:y,) в область Q(2) {DCK\KDC\yf) через точку (p,q) е Н происходит (субкритическая (subcritical) или «перевернутая» (inverted) при > 0 и суперкритическая (supercritical) или «прямая» (direct) при 1г< 0) бифуркация Андронова - Хопфа. Подобный переход может происходить и при условии /, = 0 (бифуркация Баутина). Наконец, такой переход может реализоваться и путем перехода через мнимую ось двойного нулевого корня (бифуркация Богданова - Та-кенса).

Приведем здесь лишь один из результатов, показывающих, что динамика рассматриваемой системы может быть весьма сложной. Он касается перехода из области ©<0)(DC£;/r/x.;/,) в область ©{2)(ВСЕ;к0С;у,) через кривую Н по отрезку вертикальной прямой вида р- р,.

Рассмотрим случай р, = 0.9 (убывающий эффект отдачи от масштаба по «сроку обучения»). Проследим за изменениями структуры фазового пространства в окрестности стационарного решения Хе = Хе (q) в зависимости от вели-

чины q, характеризующей эффект отдачи от масштаба по уровню человеческого капитала в образовательном секторе.

Численные расчеты (в теоретическом и практическом плане близкие к методологии работы (Dhooge А., et al. 2006)'3) показывают, что при значении Ч = Чн (Чн -0.789309 054) в системе происходит субкритическая бифуркация Андронова - Хопфа (SH).

При значениях параметра q = qi0) и q = q{2) (<?(0)«0.789313 750, р(0) =-0.000011 487; q{2) =0.789 297 625, р(2) «0.000 027 651) в системе наблюдаются («прямая» и «перевернутая») бифуркации предельных циклов типа складки (fold bifurcation of limit cycles, или Limit Point of Cycles (LPC)).

Таким образом, в окрестности стационарного решения Xe=Xe(q) при

q е (qff,q(0)) в системе сосуществуют три предельных цикла (два из которых -неустойчивые), при q & (q(2\qH) - два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый), а при q > qm - один неустойчивый предельный цикл. При q < q{2) состояние равновесия неустойчиво.

Ясно, что при q е (qH,q ) область устойчивости стационарного решения определяется «внутренним» неустойчивым предельным циклом, «влипающим» в состояние равновесия при q = qH, а при q > qm- единственным («внешним») неустойчивым предельным циклом. Заметим также, что в отличие от (субкритической) бифуркации Андронова - Хопфа, носящей локальный характер, бифуркации предельных циклов типа складки являются «глобальными».

Описанный переход может быть наглядно представлен на соответствующих бифуркационных диаграммах. На рис. 6 изображена диаграмма, которая

13 Dhooge Д., Govaerts W„ Kuznetsov Yu.A., Mestrom W., Riet A.M., Sautois B„ MATCONT and CL MATCONT: Continuation toolboxes in MatLab. User's Guide. - Utrecht University (Netherlands) - Gent University (Belgium). 2006. - 100 pp.

показывает зависимость от параметра q стационарного решения Хе = Xe(q) (отвечающего BGP) и амплитуд предельных циклов, возникающих в его окрестности. Точнее говоря, на рисунке представлена проекция на ось Ох стационарного решения и предельных циклов (подобное представление адекватным образом передает картину перехода, поскольку в данной задаче предельные циклы однозначно проецируются на координатные плоскости). На диаграмме устойчивые объекты показаны сплошной линией, неустойчивые - штрих-пунктиром.

Таким образом, из результатов численных экспериментов следует существование устойчивого предельного цикла в окрестности неустойчивого в смысле A.M. Ляпунова стационарного решения Хе =Xe(q), отвечающего сбалансированной траектории роста (BGP). Более того, при «квазистационарном» изменении параметров системы, при которых реализуется переход изображающей точки (в пространстве параметров) рассмотренного типа, устойчивое (при q> qH) стационарное состояние Хе = Xe(q) «теряет» устойчивость (при q<qH) ив его окрестности возникают колебания конечной амплитуды (возрастающей с уменьшением q). Это - «жесткий» режим возникновения колебаний.

На рис. 7 и 8 в качестве примера приведен вид некоторых траекторий системы в окрестности стационарного решения Хе = Хе (q*) при

д* = 0.789 313 500e(q//,ql0)). Они дают достаточно наглядное представление о структуре фазового пространства системы в случае сосуществования трех предельных циклов.

Рис.7. Вид траекторий системы в окрестности при д = 0.789 313 500 .

Поведение траекторий в окрестности устойчивого предельного цикла

Рис.8. Вид траекторий системы в окрестности Хе=Хе(д) при ? = 0.789 313 500 . Поведение траекторий в окрестности неустойчивого «внешнего» предельного цикла, внутри которого располагается устойчивый предельный цикл.

В рамках теории экономического роста сбалансированные траектории роста (ВОР) выступают в качестве своеобразных «магистралей развития эконо-

мики», представляющих «равновесную» эволюцию экономической системы. В абсолютном большинстве случаев они оказываются неустойчивыми. Поэтому тот факт, что в случае убывающего эффекта отдачи от масштаба, как по «сроку обучения», так и по уровню человеческого капитала в образовательном секторе, в окрестности неустойчивой BGP-траектории могут существовать устойчивые предельные циклы, является весьма важным и позитивным для теории экономического роста. По существу это означает, что хотя «равновесная» эволюция экономической системы «по магистрали развития» и нереализуема (из-за её неустойчивости), вполне реализуемы, устойчивы и имеют «ту же тенденцию», что и «магистраль развития», другие траектории, имеющие, правда, «колебательный характер». Другими словами, эволюция экономической системы может осуществляться «практически вдоль магистрали развития» в рамках некоторого устойчивого «образовательного экономического цикла».

В Четвертой главе работы описаны основные тенденции экономического развития Российской Федерации, а также текущее состояние ее человеческого капитала. На основе статистических данных Федеральной службы государственной статистики была построена производственная функция с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

В качестве меры человеческого капитала для анализа производственной функции Российской Федерации применялось отношение количества защит докторских и кандидатских диссертаций при выпуске из аспирантуры к количеству выданных патентов. Очевидно, что такая величина является своеобразной характеристикой эффективности воздействия образования и научных разработок на инновации и новые технологии. Чем меньше это отношение, тем эффективнее научные исследования.

Выбор такой меры человеческого капитала основан на работе (Soukiazis Е., Cravo Т., 2008)14, в которой в качестве величины, описывающей человеческий капитал, используется соотношение количества патентов и количества статей, опубликованных в научных журналах в течение года. Количество патентов является, в некотором роде, индексом внедрения новых технологий и описывает инновационность экономики. Количество научных статей может служить показателем качества образовательной системы. Таким образом, соотношение этих двух величин характеризует эффективность воздействия науки и научных исследований на производство. Для определения количества и рейтинга научных статей часто используется индекс цитирования (Science Citation Index). Однако, как подчеркивается в (Колесов, 2008)15, данный показатель далеко не всегда может адекватно использоваться для характеристики российской науки, так как он имеет систематическое отклонение в пользу англоязычных публикаций, а, кроме того, имеют место такие явления, как искусственная и ложная популярность, которые не влияют на ценность информации, представленной в той или иной публикации. Поэтому с учетом доступности исходной ин-

14 Soukiazis Е., Cravo Т. Human Capital and the Convergence Process Among Countries // Review of Development Economics. 2008.-Vol. 12.-No. l.-pp. 124-142.

" Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. В.П. Колесов. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 432 с.

формации вместо количества статей использовался показатель выпуска из аспирантуры и докторантуры с защитой диссертации.

По статистический данным РФ за 1993-2008 год была получена производственная функция с учетом человеческого капитала:

У ~ = 1.50Аг°'55/г0'86, где у - валовой внутренний продукт на душу трудоспособного населения, к -фондовооруженность, к - человеческий капитал. Однако данная регрессионная модель имеет недостаток: в ней присутствует автокорреляция в остатках. Преодолеть это позволяет построение регрессионной модели для производственной функции с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса вида:

у = у2(кЛО = 0.24еольк°-36}1<>м На рис. 9 представлены графики производственных функций с учетом человеческого капитала (у1) и нейтрального технического прогресса (у2), а также исходные данные о ВВП на душу занятых в экономике (у).

производственных функций с учетом человеческого капитала

Таким образом, на основании эконометрического анализа можно сделать вывод о том, что человеческий капитал и научно-технический прогресс являются существенными факторами экономического роста и позволяют значительно улучшить описательные качества производственной функции при моделировании валового выпуска РФ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Построена и исследована математическая модель экономического роста, обобщающая модель Лукаса и учитывающая накопление физического и человеческого капиталов, убывающий эффект масштаба в производственной

24

функции человеческого капитала; наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования; структурные особенности внешнего эффекта человеческого капитала и его «амортизацию».

2. Описаны и изучены качественные особенности траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели; определены условия возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказана (с помощью численно-аналитических методов) возможность существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории.

4. Систематизированы и классифицированы основные показатели, характеризующие человеческий капитал; выявлена мера человеческого капитала, наиболее адекватная для анализа механизмов воздействия человеческого капитала на экономический рост для отдельной национальной экономики.

5. Проанализировано современное состояние человеческого капитала Российской Федерации; построена производственная функция РФ с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах из списка периодических изданий рекомендованных ВАК

1. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. I // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование. Оптимальное управление.- 2010. — № 1.-е. 171-178.

2. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. II // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование. Оптимальное управление - 2010. - № 2(1). - с. 158-165.

3. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. III // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование. Оптимальное управление - 2010. - № 3(1). - с. 177-190.

4. Кузнецов Ю.А., Перова В.И., Мичасова О.В. Имитационное моделирование экономических процессов с применением программного пакета ITHINK // Экономический анализ: теория и практика. -2006. -№ 6(63). - с. 11-15.

5. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. - 2007. - № 5(86). - с. 23-30.

6. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Человеческий капитал: формирование, измерение, вклад в экономический рост // Экономический анализ: теория и практика. - 2010. - № 26(191). - с. 21-33.

Публикации в других изданиях

7. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Использование системы MatLab для численно-аналитического исследования задач теории экономического роста // Прикладная информатика. - 2006. - №6. - с. 39-47.

8. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Некоторые математические модели динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // В кн.: Систелтое моделирование социально-экономических процессов'. Труды XXXI Международной научной школы - семинара имени академика С. С. Шаталина. Воронеж, 1-5 октября 2008 г. В Зч. / под ред. В.Г. Гребенникова, И.Н. Щепиной, В.Н. Эйтингона // Труды школы - семинара. Часть II. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - с. 92 - 98.

9. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. О применении пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей экономического роста // Материалы международной научно-методической конференции «Болонский процесс: сотрудничество Российских и Европейских университетов (проект CD_JEP-23225-2002)». Нижний Новгород, ННГУ, 27 октября 2006 г. - Нижний Новгород: Изд-во «Пламя», 2006. - с. 42-48.

10. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Об одной математической модели динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства». - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. - с. 245-249.

11. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом человеческого капитала // Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе: Материалы 4-ой ежегодной конференции Европейского университета в Санкт-Петербурге и Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. - СПб.: Издательство Европейского университета в Санкт-Петербурге, 2010. - с. 54-57.

12. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Применение пакета MATLAB для исследования некоторых задач теории экономического роста // Материалы научных конференций «Ломоносовские чтения 2004-2005-2006» кафедры математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова / Под общ. ред. М.В.Грачевой, Л.Н.Фадеевой, Ю.Н.Черемных. - М.: МАКС Пресс, 2006. - с. 97-98.

13. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Применение численно-аналитических методов для построения экономических моделей // Государственное регулирование экономики. Региональный аспект. Материалы Шестой Международной научно-практической конференции (Нижний Новгород, 17-19 апреля 2007 г.) В 2 т. Том I. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007. -с. 143-144.

14. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Модель экономического роста с учетом «внешнего эффекта» человеческого капитала. // Государственное регулирование экономики. Региональный аспект. Материалы Седьмой Международной научно-практической конференции: В 2 т. Том II. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобаческого, 2009. - с. 349-352.

15. Мичасова О.В. Исследование моделей макроэкономического роста с помощью пакета MATLAB // Технологии Microsoft в теории и практике программирова-

ния. Материалы конференции / Под ред. проф. Р.Г.Стронгина. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. - с. 178-182.

16. Мичасова О.В. Об одной модели экономического развития с учетом «внешнего эффекта» человеческого капитала // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Седьмой молодежной научной школы конференции. - Т.37. Казанское математическое общество. Лобачевские чтения -2008. - Казань: Изд-во Казан, гос. университета, 2008. - с. 125-127.

17. Мичасова О.В. Об одной модели экономического роста // Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки (13; 2008) / Отв. за вып. Зверева И.А. - Нижний Новгород: Гладкова О.В., 2008. - с. 27-28.

18. Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом человеческого капитала // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения - 2009»; Казань, 1-6 ноября 2009 г.; Казан, матем. об-во. - Казань: Казан. матем. об-во, 2009. - Т.39. - с. 297-299.

19. Мичасова О.В. Применение пакетов имитационного моделирования для анализа моделей экономического роста // Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Материалы конференции / Под ред. проф. Р.Г.Стронгина. -Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. - с. 182186.

20. Мичасова О.В. Производственная функция Российской Федерации с учетом человеческого капитала // Государственное регулирование экономики. Региональный аспект. Материалы Седьмой Международной научно-практической конференции: В 2 т. Том II. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобаческого, 2009. - с. 361-364.

21. Мичасова О.В. Производственная функция РФ с учетом нейтрального технического прогресса и человеческого капитала. // Актуальные проблемы социально-экономического развития и пути их решения: Материалы Первой Региональной научно-практической конференции (Дзержинск, 18 марта 2010 г.). - Нижний Новгород: Изд-во НИСОЦ, 2010. - с. 207-210.

22. Мичасова О.В. Человеческий капитал как фактор экономического роста // Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки (14; 2009) / Отв. за вып. Зверева И.А. - Нижний Новгород: Гладкова О.В., 2009. - с. 19-20.

Подписано к печати 09.11.2010 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 688.

Отпечатано в Центре цифровой печати Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

Введение

Глава 1. Теория экономического роста и человеческий капитал

1.1. Актуальные проблемы теории эндогенного экономического роста

1.2. Человеческий капитал как фактор производства

1.3. О применении информационных технологий для численного исследования математических моделей экономического роста

1.4. Об особенностях применения теории оптимального управления в теории экономического роста

Глава 2. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала

2.1. Постановка задачи

2.2. Общая оптимизационная задача

2.3. Преобразование общей оптимизационной задачи

2.4. Некоторые свойства решений задачи (2.49)-(2.53)

2.5. Траектории сбалансированного роста

2.6. Исследование устойчивости траекторий сбалансированного роста

2.7. Анализ линеаризованной системы (2.102)-(2.104)

Глава 3. Численно-аналитическое исследование обобщенной модели экономического роста с применением системы Ма^аЬ

3.1. Создание компьютерной модели

3.2. Исследование структуры пространства решений в зависимости от параметров

3.3. Структура фазового пространства системы в зависимости от параметров

3.4. Существование предельных циклов в окрестности траектории сбалансированного роста

Глава 4. Человеческий капитал как фактор развития экономики России

4.1. Основные тенденции экономического развития Российской Федерации

4.2. Человеческий капитал в России

4.3. Научно-технологическая и инновационная деятельность в Российской Федерации

4.4. Производственная функция для экономики России

4.5. Производственная функция РФ с учетом человеческого капитала - — - ------128

Актуальность темы исследования

Проблема выявления основных факторов экономического роста и анализа механизмов их влияния на развитие национальных экономик является одной из наиболее актуальных проблем в современной экономической теории. Опыт промышленно развитых стран показывает, что научно-технологический прогресс и инновации являются одними из важнейших факторов экономического роста, а человеческий капитал служит источником социально-экономического развития и одной из ключевых составляющих инновационного производства.

Современные процессы информатизации общества и развитие технологий привели к усилению роли человеческого капитала, так как только благодаря интеллектуальным способностям и высокой квалификации рабочей силы становится возможным быстрое и результативное внедрение тех инноваций, которые позволяют обеспечить эффективное функционирование экономики в современных условиях. Мировой финансовый кризис лишь подчеркнул важность изучения этих факторов.1

В настоящее время общепризнано, что построение экономики, основанной на знаниях, невозможно без развития человеческого капитала; поэтому исследование влияния этого фактора на экономическое развитие является актуальной проблемой современной теории экономического роста.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического роста и развития, построение и исследование их математических моделей внесли такие зарубежные ученые, как К. Эрроу (K.J. Arrow), Д. Касс (D. Cass), Т. Купманс (T. Coopmans), Е. Домар (E.D. Domar), Р. Харрод (R.F. Harrod), H. Калдор (N. Kaldor), Р. Лукас (R. Lucas), Ф. Рамсей (F.P. Ramsey), П. Ромер (Р. Romer), Й. Шумпетер (J.A. Schumpeter), Р. Солоу (R.M. Solow), X. Узава (H. Uzawa), и многие другие.

Различные динамические модели экономического роста исследовались в работах Дж. Алонсо-Карреры (J. Alonso-Carrera), Р. Барро (R. Barro), Дж. Бенхабиба (J. Benhabib), Дж. Кабайе (J. Caballé), Р. Фармера (R.E.A. Farmer), Г. Гонга (G. Gong), А. Грейнера (А. Greiner), К. Муллигана (C.B. Mulligan), С. Ортигейры (S. Ortigueira), Р. Перли (R. Perli), К. Сала-и-Мартина (X. Sala-i-Martin), M. Сантоса (M.S. Santos), У. Семмлера (W. Semmler), Д. Ксье (D. Xie) и многих других.

Теоретические основы концепции человеческого капитала, различные методики его измерения, а также способы учета в динамических моделях экономического роста разрабатывались такими учеными, как Г. Беккер (G. Becker), M. Блауг (M. Blaug), Э. Денисон (E.F. Denison), П. Кленоу

1 См Медведев Д а. Выступление на XII Петербургском международном экономическом форуме // Стенограмма выступления Президента РФ Д.А. Медведева на XII Петербургском международном экономическом форуме (07.06.2008. г. Санкт - Петербург) // http://www.rost ги/оШсш1/2008/06/07000014284.5Ьы1

P J. Klenovv), Дж. Ли (J. Lee), Ф. Махлуп (F. Machlup), H. Мэнкью (N.G. Mankiw), Дж. Минсер (J. Mincer), Г. Псачаропулос (G. Psacharopoulos), Д. Ромер (D. Romer), Т. Шульц (T.W. Schultz), Д. Вейл (D.N. Weil), Л. Восманн (L. Woßmann) и многие другие.

В отечественной научной литературе значимые результаты в данной области представлены в работах С.А. Ашманова, В.А. Бессонова, В.З. Беленького, К.Ю. Борисова, С.Ю. Глазьева, О.О. Замкова, Г.Б. Клейнера, В.Л. Макарова, В.П. Максимова, В.Д. Матвеенко, A.A. Петрова, С.Л. Печер-ского, В.М. Полтеровича, И.Г. Поспелова, A.M. Рубинова, Ю.Н. Черемных, A.A. Шананина, Ю.А. Шараева и других. Проблемы человеческого капитала исследовались B.C. Автономовым, Р.И. Капелюшниковым, О.В. Киселевой, Г.Б. Клейнером, A.B. Корицким, В.Л. Макаровым, Д. Нестеровой, В. Новиковой, Р.Л. Нуреевым, В.В. Радаевым, И.В. Розмаинским, К.З. Сабирьяновой, A.A. Саградовым, И.В. Соболевой и другими.

Анализ периодической научной литературы указывает на неослабевающий и стабильный интерес специалистов к проблемам моделирования экономического роста. Сопоставление основных моделей экономического роста с эмпирическими данными свидетельствует о необходимости определенной коррекции существующих и разработке новых моделей, которые позволят учесть ряд современных тенденций в экономическом развитии.

Область исследования соответствует требованиям паспорта специальностей ВАК 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: пункт 5 — комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование некоторых математических моделей теории экономического роста, описывающих механизм воздействия уровня человеческого капитала на долгосрочные темпы роста душевого ВВП с учетом экстерналий в производственном и образовательном секторах.

В соответствии с обозначенной целью поставлены и решены следующие задачи диссертационного исследования:

• дать обобщение и уточнение понятия внешних эффектов (экстерналий), определяемых средним по экономике уровнем человеческого капитала, применительно к рассматриваемому кругу моделей эндогенного экономического роста с учетом накопления человеческого капитала;

• провести анализ и классификацию существующих методов измерения (расчета) уровня человеческого капитала по степени их адекватности проблемам теории экономического роста;

• разработать обобщенную модель экономического роста типа модели Узавы-Лукаса с учетом накопления человеческого капитала, включающую в 4 себя экстерналии в производственном и образовательном секторах и эффект убывающей отдачи от масштаба в образовательном секторе;

• провести теоретическое и численное исследование качественных свойств и особенностей обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала, включая выявление условий существования траекторий сбалансированного роста (в смысле Р. Лукаса), определение областей параметров, при которых в системе проявляется эффект неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба);

• дать оценку уровня человеческого капитала в России и его вклада в производственную функцию РФ с целью определения степени его влияния на экономический рост;

• провести анализ и сопоставление возможностей и особенностей прикладных пакетов программ в контексте их применения для исследования проблем теории экономического роста.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построение и исследование математической модели экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающей классическую модель Лукаса, учитывающую убывающий эффект масштаба в производственной функции человеческого капитала; наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования; структурные особенности внешнего эффекта человеческого капитала: и в сфере образования, и в сфере производства экстерналии определяются «средним» трудовым вкладом экономического агента в соответствующий вид деятельности (с о учетом его эффективности) ; «амортизацию» человеческого капитала.

2. Описание качественных особенностей траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели; определение условий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказательство (с помощью численно-аналитических методов) возможности существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории.

4. Систематизация и классификация основных показателей, характеризующих человеческий капитал; выявление меры человеческого капитала, которая может использоваться для анализа механизмов его воздействия на экономический рост для отдельной национальной экономики.

5. Анализ современного состояния человеческого капитала Российской Федерации; определение параметров производственной функции РФ с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

2 Другими словами, рассматриваемые в работе внешние эффекты человеческого капитала являются характерными для секторов (.sector-specific externalities), и не сводятся к среднему уровню человеческого капитала на рынке труда

Объектом исследования является экономический рост и источники его возрастания, роль процессов формирования и накопления человеческого капитала, а также механизм его воздействия на темпы экономического роста.

Предметом исследования являются математические модели теории экономического роста, описывающие механизм влияния сектора знаний на долгосрочные темпы роста ВВП; роль экстерналий, обусловленных формированием и накоплением человеческого капитала, в образовательном и производственном секторах; количественные и качественные характеристики траекторий сбалансированного роста в обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала.

Теоретической и методологической основой работы являются труды зарубежных и отечественных ученых в области экономической теории и теории экономического роста и развития, математического моделирования, статистических методов исследования pi информационных технологий, а также материалы научных конференций, совещаний и семинаров по изучаемой проблематике.

Основными методами исследования являются методы экономико-математического моделирования, теории оптимального управления (принцип максимума JT.C. Понтрягина), качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, статистического и регрессионного анализа, теории численных методов и алгоритмов. Для моделирования использовались программные средства MatLab и Microsoft Excel.

Информационно-эмпирическую базу исследования составляют данные и нормативные документы Правительства РФ, Федеральной службы государственной статистики РФ, материалы и отчеты ЮНЕСКО и ОЭСР, а также информация, представленная в специализированных базах данных, размещенных в сети Internet на специализированных сайтах, материалы, приведенные в ряде монографий и публикаций отечественных и зарубежных ученых, в периодической печати, в специализированных подборках материалов, публикуемых в ряде научных журналов и другие источники информации.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов базируется на математической и экономической корректности постановки решаемых задач, применении обоснованных математических методов исследования и комплексного подхода к изучаемой проблеме. Она подтверждается сопоставлением результатов с исследованиями отечественных.и зарубежных авторов в данной области, а также эмпирическими данными по динамике экономического роста.

Научная новизна исследования состоит в разработке и исследовании новой эндогенной математической модели экономического роста с учетом процесса накопления человеческого капитала, установлении ряда качественных особенностей оптимальных сбалансированных траекторий, определении условий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба), доказательстве с помощью численно-аналитических методов возможности существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории, установлении некоторых результатов о возможных сценариях эволюции в окрестности сбалансированных траекторий развитых экономических систем и экономических систем переходного типа, сравнительном анализе различных мер оценки человеческого капитала, выявлении наиболее адекватных его характеристик для моделирования экономического роста, а также построении производственной функции РФ с учетом человеческого капитала.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Теоретическое значение диссертации заключается в построении и исследовании новой математической модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала как фактора роста, учитывающей наличие в производственном и образовательном секторах экстерналий, определяемых средним по экономике уровнем человеческого капитала, а также эффект убывающей отдачи от масштаба в образовательном секторе.

Практическая значимость исследования состоит в том, что предложенная модель и полученные для нее результаты могут быть применены для анализа влияния накопления человеческого капитала на темпы долгосрочного экономического роста развитых стран и стран с переходной экономикой.

Ряд положений, разработанных в диссертационном исследовании, используются в учебном процессе механико-математического факультета Нижегородского государственного университета при изучении ряда учебных дисциплин и спецкурсов и могут быть применены в учебном процессе в других ВУЗах в рамках экономико-математических специальностей и направлений подготовки.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Государственное регулирование экономики. Региональный аспект» (Нижегородский государственный университет, 2005, 2007, 2009 гг.); международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносовские чтения» (Московский государственный университет, 2006-2008 гг.); конференции «Технологии Microsoft в^теории и практике программирования» (Нижегородский государственный университет, 2007 г.); итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижегородский государственный университет, 2007 г.); молодежной научной школе-конференции

Лобачевские чтения» (Казанский государственный университет, 2008, 2009 гг.); международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Воронежский государственный университет, 2008 г.); региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития и пути их решения» (Дзержинск, 2010 г.); конференции «Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе» (Европейский Университет в Санкт-Петербурге, 2010 г.); Нижегородской сессии молодых ученых (Математические науки) (2008-2010 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы изложены в 22 научных публикациях общим объемом 8,7 печатных листа, в том числе 6 работы объемом 4,1 п.л. в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Работы [1-14] написаны совместно с научным руководителем (вклад авторов равноценен), а работы [15-22] выполнены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Объем основной части диссертационной работы составляет 148 страниц машинописного текста, в том числе 35 иллюстраций, 16 таблиц и 175 формул; библиографический список включает 207 наименований.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Построена и исследована математическая модель экономического роста, обобщающая модель Лукаса и учитывающая накопление физического и человеческого капиталов, убывающий эффект масштаба в производственной функции человеческого капитала; наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования; структурные особенности внешнего эффекта человеческого капитала и его «амортизацию».

2. Описаны и изучены качественные особенности траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели; определены условия возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказана (с помощью численно-аналитических методов) возможность существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории.

4. Систематизированы и классифицированы основные показатели, характеризующие человеческий капитал; выявлена мера человеческого капитала, наиболее адекватная для анализа механизмов воздействия человеческого капитала на экономический рост для отдельной национальной экономики.

5. Проанализировано современное состояние человеческого капитала Российской Федерации; построена производственная функция РФ с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аширов Д.А., Леонова О.Ю. Управление человеческими ресурсами. М.: Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2002. — 93 с.

2. Бессонов В.А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике В кн. Бессонов В.А., Цухло C.B. Анализ динамики российской переходной экономики. - М.: Институт экономики переходного периода, 2002. С. 5-89.

3. Бессонов В.А., Воскобойников И.Б. Динамика основных фондов и инвестиций в российской переходной экономике. — Москва: ИЭПП, 2006. — 65 с.

4. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990.-360 с.

5. Бурдье П. Формы капитала // Экономическая социология (электронный журнал). 2002. - Т. 3. - No. 5. - С. 60-74. - Режим доступа: www.ecsoc.msses.ru, свободный.

6. Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. — М.: ДиаСофт, 2005. 608 с.

7. Воронцовский A.B. Исторические аспекты моделирования экономического роста. // Вестник СПбГУ. 2006. - Сер. 5. - Вып. 2. -с. 63-74.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

9. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Пер. с англ. под ред. А.Д. Морозова. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. -560 с.

10. Дедов JI.А. О логических основах измерений в экономике // Вестник Нижегородского университета им. НИ. Лобачевского. Серия Экономика и финансы. 2005. - No. 1. - с. 752-758.

11. Дьяконов В. Mathematica 4: Учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 656 с.

12. Емельянов A.A., Власова Е.А., ДумаР.В. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: Финансы и статистика, 2004. - 368 с.

13. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 122 с.

14. Замков О.О., Толстопятенко A.B., ЧеремныхЮ.Н. Математические методы в экономике. М.: Дело и Сервис, 2004. — 368 с.

15. Ивантер В.В., Комков Н.И. Перспективы и условия инновационно-технологического развития экономики России // Проблемы прогнозирования. — 2007. — No. 3. — С. 13.

16. История экономических учений: Учеб. пособие / Под ред. В. Автономова, О. Ананьина, Н. Макашевой. М.: ИНФРА-М, 2007. - 784с.

17. Капелюшников Р.И. Записка об отечественном человеческом капитале: Препринт WP3/2008/01. — М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2008. — 56 с.

18. Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с ÁnyLogic 5. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 400 с.

19. Каток А.Б., ХасселблатБ. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М.: МЦНМО, 2005. - 464 с.

20. КендрикДж. Совокупный капитал США и его формирование. — М.: Прогресс, 1978.-275 с.

21. КетковЮ.Л., Кетков А.Ю., Шулыд М.М. MatLab 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

22. Кетков Ю.Л., Кузнецов А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения MatLab versus MathCAD // Математика в высшем образовании. 2005. — No. 3. — с. 27-52.

23. Колемаев В.А. Математическая экономика. — 3-е стереотип, изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 339 с.

24. Концепция долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года (Утверждена распоряжениями Правительства Российской Федерации от 17.11.2008 N 1662-р и от 08.08.2009 N 1121-р). 94 с.

25. Корицкий A.B. Введение в теорию человеческого капитала: Учебное пособие Новосибирск: СибУПК, 2000. - 112 с.

26. Королев A.B., МатвеенкоВ.Д. О структуре равновесных нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса // Автоматика и телемеханика. — 2006. — No. 4. — с. 126-136.

27. КудровВ.М. Экономика России: сущность и видимость // Мировая экономика и международные отношения. 2009. - No. 2. — С. 39-48.

28. Кузнецов Ю.А. Метод математического моделирования в исследовании экономических систем // В кн.: Экономический рост и вектор развития современной России / Под ред. проф. К.А. Хубиева. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2004. С. 518 - 525.

29. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008. 449 с.

30. Кузнецов Ю.А., МичасоваО.В. Использование системы MatLab для численно-аналитического исследования задач теории экономического роста // Прикладная информатика. 2006. - №6. - с. 39-47.

31. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. H.H. Лобаческого, 2009. с. 349352.

32. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. 2007. — № 5(86). - с. 23-30.

33. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Человеческий капитал: формирование, измерение, вклад в экономический рост // Экономический анализ: теория и практика. 2010. - № 26( 191 ). - с. 21 -33.

34. Кузнецов Ю.А., Перова В.И., Мичасова О.В: Имитационное моделирование экономических процессов с применением программного пакета ITHINK // Экономический анализ: теория и практика. 2006. -№6(63).-с. 11-15.

35. Макаров В.Л. Становление экономики знаний в России и мире // В кн.: Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. д-р экон. наук, проф. В.П. Колесов. М.: ИНФРА-М, 2008. - 432 с. - Гл. 1, С. 34 - 44.

36. Макаров В.Л. Экономика знаний: уроки для России. // Вестник Российской Академии Наук. 2003. - Том 73. - No. 5. - С. 450-456.

37. МидлтонМ.Р. Анализ статистических данных с использованием Microsoft Excel для Office ХР. M.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. -296 с.

38. Мичасова О.В. Исследование моделей макроэкономйческого роста с помощью пакета MATLAB // Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Материалы конференции / Под ред. проф.

39. Р.Г.Стронгина. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. - с. 178-182.

40. Мичасова О.В. Об одной модели экономического роста // Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки (13; 2008) / Отв. за вып. Зверева И.А. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2008. - с. 27-28.

41. Мичасова О.В. Человеческий капитал как фактор экономического роста // Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки (14; 2009) / Отв. за вып. Зверева И.А. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2009. -с. 19-20.

42. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. — Москва-Ижевск: «Институт компьютерных исследований», 2003. 304 с. ~ ~ - —

43. Набиуллина Э. Приоритеты деятельности на 2008 г. и на среднесрочную перспективу // Экономист. 2008. - No. 4. - С. 9.

44. Национальная инновационная система и государственная инновационная политика Российской Федерации. Базовый доклад к обзору ОЭСР национальной инновационной системы Российской Федерации — Москва, 2009.-208 с.

45. Нейлор Т. и др. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. Пер. с англ. М.: Издательство «Мир», 1975. -500 с.

46. НеймаркЮ.И., Компьютерная концепция исследования конкретных динамических систем // В кн.: Труды VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (19 — 22. 09. 2005). Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2005. С. 17 - 18.

47. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходный период в России // Economics, Education and Research Consortium. 1998. - №99/04. - 47 с.

48. Охорзин B.A. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде MathCAD: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2005. - 144 с.

49. Петрова К.Ю. Вариационное исчисление в пакете Maple // ExponentaPro. -2004.-No. 1(5).-с. 84-87.

50. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MatLab 5.x: В 2-х т. Том 2.-М.: Диалог-МИФИ, 1999. 304 с.

51. РадаевВ.В. Понятие капитала, формы капиталов и их конвертация // Экономическая сог{иология (электронный журнал). 2002. - Т. 3. - No 4. -С. 20-32. - Режим доступа: www.ecsoc.msses.ru, свободный.

52. Речнов A.B., Самарин В.В., Филиппов В.П. Применение пакета MathCAD для решения прикладных экономических задач // ExponentaPro. 2004. -No. 1(5).-с. 76-80.

53. Российская газета 20 марта 2009 года, №48 (4872)

54. Саградов A.A. Экономическая демография: Учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2005.-256 с.

55. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2005. 320 с. (2-е изд.).

56. Сенчагов В.К. (ред.) Экономическая безопасность России: Общий курс: Учебник. 3-е изд., перераб. и дополн. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009.-815 с.

57. Сидоренко В.Н. Системно-динамическое моделирование экономического роста // Моделирование и прогнозирование социально-экономических процессов. 1999. - С. 33-44.

58. Соболева И.В. Парадоксы измерения человеческого капитала. Научный доклад.—М.: Институт экономики РАН, 2009. 50 с. - -

59. Стребуляев С.Н., Васин Д.Ю. Использование системы аналитических вычислений Maple для решения задач прикладной математики: Учебноепособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. - 170 с.

60. Стронгин Р.Г. Исследование операций. Модели экономического поведения: Учебник. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2002. - 244 с.

61. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика: учебник. М.: Высшее образование 2007. -654 с.

62. Тихомиров Н.П., ДорохинаЕ.Ю. Эконометрика: учебник. М.: Экзамен,2003.-512 с.

63. Халафян A.A. Statistica 6. Статистический анализ данных. — М.: Бином-Пресс, 2007.-512 с.

64. ЧеремныхЮ.Н. Математическое моделирование экономических процессов // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление — 2002. -Вып. 1(21).— с. 192-199.

65. Чуканов С.В. Переходные проъ\ессы в экономике и нестационарные модели экономической динамики. — М.: Изд-во ВЦ РАН, 2006. — 46 с.

66. Шараев Ю.В. Теория экономического роста. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. - 254 с.

67. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 428 с.

68. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. М.: Проспект, 2009. -288 с.

69. Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. д-р экон. наук, проф. В.П. Колесов. М.: ИНФРА-М, 2008. - 423 с.

70. Alonso-Carrera J. More on the dynamics in the endogenous model with human capital //Investigations Economics. — 2001. Vol. 25. - No. 3. - pp. 561-583.

71. Alonso-Carrera J., Freire-Seren M.J. Multiple equilibria, fiscal policy, and human capital accumulation // Journal of Economic Dynamics & Control.2004. Vol. 28. - pp. 841-856.

72. Arrow K.J. The economic implications of learning by doing. // The Review of Economic Studies. 1962. - Vol. 29. -No. 3. - pp. 155-173.

73. Arrow K.J. The role of securities in the optimal allocation of risk-bearing. // The Review of Economic Studies. 1964. - Vol. 31.- No. 1. - pp. 91-96.

74. Barro R.J. Determinants of economic growth: a cross-country empirical study. Cambridge, MA: MIT Press, 1997.

75. Barro R.J. Economic Growth in a cross section of countries // Quarterly Journal of Economics. 1991. - Vol. 106. -No. 2. - pp. 407-443.

76. Barro R.J. Human capital and growth // American Economic Review. 20017 — Vol. 91.-No. 2.-pp. 12-17.

77. Barro R.J., LeeJ.-W. International comparison of educational attainment // Journal of Monetary Economics. 1993. - Vol. 32. -No. 3. -pp. 363-394.

78. Barro R.J., Lee J.-W. International data on educational attainment: updates and implication // Oxford Economic Papers. — 2001. Vol. 53. - No. 3. - pp. 541563.

79. Barro R.J., Lee J.-W. International measure of schooling years and schooling quality // American Economic Review. — 1996. — Vol. 86. — No. 2. — pp. 218223.

80. Barro R.J., Sala-i-Martin X. Economic Growth. 2nd ed. - Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 2004. - 654 p.

81. Becker G. Human Capital: A Theoretical and Empirical Analysis with Special Reference to Education. New York: Columbia University Press, 1964.

82. Becker G.S. Investment in Human Capital: A Theoretical Analysis // Journal of Political Economy. 1962. - Vol. 70. - No. 5. - pp. 9-49.

83. Benhabib J., Farmer R.E.A. Indeterminacy and Sunspots in Macroeconomics // In: Handbook of Macroeconomics, Vol.1 A. Amsterdam: Elsevier, 1999. — pp. 387-448.

84. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and indeterminacy: on the dynamics of endogenous growth // Journal of Economic Theory. — 1994. — Vol. 63. No. 1. -pp. 113-142.

85. Benhabib J., Spiegel M.M. The role of human capital in economic development: evidence from aggregate cross-country data // Journal of Monetary Economics. 1994. - Vol. 34. -No. 2. - pp. 143-173.

86. Bennett R., Fanner R.E.A. Indeterminacy with non-separable utility // Journal of Economic Theory. -2000. -Vol. 93.-No. 1.-pp. 118 143.

87. BilsM., KlenowP.J. Does schooling case growth? // American Economic Review. -2000. Vol. 90.-No. 5.-pp. 1160-1183.

88. Bond E.W., Wang P., Yip C.K. A general two-sector model of endogenous growth with human and physical capital: balanced growth and transitional dynamics II Journal of Economic Theory. 1996. - Vol. 68. - No. 1. - pp. 149173.

89. BourdieuP. Ökonomisches Kapital, kulturelles Kapital, soziales Kaputal // In: Kreckel, Reinhard (ed.) Soziale Ungeichheiten (Soziale Welt, Sonderheft 2). -Goettingen: Otto Schwartz & Co., 1983. -P. 183-198.

90. BritoP.B. Economic growth theory, fifty years after // In: M. Seabra Pereira (ed.) A portrait of state-of-the-art research at the Technical University of Lisbon. Netherlands: Shpringer, 2007. - pp. 197-216.

91. Brock W.A., Scheinkman J.A. Global asymptotic stability of optimal control systems with applications to the theory of economic growth // Journal of Economic Theory. 1976. - Vol. 12. - No. 1. - pp. 164-190.

92. Brunner M., StrulikH. Solution of perfect foresight saddlepoint problems: a simple method and applications // Journal of Economic Dynamics & Control. — 2002. Vol. 26. - pp. 737-753.

93. Caballé J., Santos M.S. On endogenous growth with physical and human capital // Journal of Political Economy. — 1993. Vol. 101. — No. 6. — pp. 1042-1067.

94. CardD. The casual effect of education on earnings // In Ashenfelter O., Card D. (eds.) Handbook of labour economics. Volume 3A. Amsterdam: North-Holland, 1999.-pp. 1801-1863.

95. Caselli F., Esquivel G., LefortF. Reopening the convergence debate: a new look at cross-country growth empirics // Journal of Economic growth. 1996. -Vol. 1.-pp. 363-389.

96. CassD. Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation. // The Review of Economic Studies. 1965. - Vol. 32. - No. 3. - pp. 233-240.

97. CassD., ShellK. Introduction to Hamiltonian dynamics in economics // Journal of Economic Theory. 1976. - Vol.12. - No. 1. - pp. 1-10.

98. Castello A., Domenech R. Human capital inequality and economic growth: some new evidence // The Economic Journal. — 2002. — Vol. 112. — No. 3. — pp. 187-200.

99. Chiang A.C. Elements of Dynamic Optimization. — New York: McGraw-Hill, Inc., 1992.-327 p.

100. Craven B.D., Islam S.M.N. Optimization in economics and finance: some advances in non-linear, dynamic, multi-criteria and stochastic models The Netherlands: Springer, 2005. - 161 p.

101. Dagum C., Slottje D.J. A new method to estimate the level and distribution of household human capital with application // Structural Change and Economic Dynamics. 2000. - Vol. 11. - No. 1. - pp. 67-94.

102. Denison E.F. Why growth rates differ: postwar experience in nine western countries. Washington, D.C.: The Brookings Institution, 1967.

103. Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Yu.A., Mestrom W., RietA.M., SautoisB., MATCONT and CL MATCONT: Continuation toolboxes in MatLab. User's Guide. Utrecht University (Netherlands) - Gent University (Belgium). 2006.- 100 pp.

104. Domar E. Capital expansion, rate of growth, and employment // Econometrica. 1946. - Vol. 14. - pp. 137-147. ~

105. Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Stnictural change and economic dynamics. 2004. - Vol. 15. - No. 4. - pp. 401-^-20.

106. Gorodnichenko Y., Sabirianova-Peter K. Returns to schooling in Russia and Ukraine: A semiparametric approach to cross-country comparative analysis // Journal of Comparative Economics. 2005. - Vol. 33. - pp. 324 - 350.

107. Gomez M.A. Optimality of the competitive equilibrium in the Uzawa-Lucas model with sector-specific externalities // Economic Theory. 2004. - Vol. 23. -No. 8.-pp. 941-948.

108. Guckenheimer J. Numerical analysis of dynamical systems // In: Fiedler B. (Ed.), Handbook of Dynamical Systems. Vol. 2. Elsevier B.V., 2009. -1098 pp.

109. Guckenheimer J., Myers M., SturmfelsB. Computing Hopf Bifurcations. I // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1997. — Vol. 34. — No. 1. — pp. 1-21.

110. Gundlach E., Rudman D., Wopmann L. Second thoughts on development accounting // Applied Economics. 2002. - Vol. 34. - No. 11. — pp. 13591369.

111. HalkinH. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons // Econometrica. 1974. - Vol. 42. - pp. 267-272.

112. Hall R.E., Jones C.I. Why do some countries produce so much more output per worker than others? // Quarterly Journal of Economics. 1999. - Vol. 114. -No. l.-pp. 83-116.

113. Hanushek E.A., Kimko D.D. Schooling, labour-force quality, and the growth of nations // American Economic Review. — 2000. Vol. 90. — No. 5. — pp. 11841208.

114. HarrodR.F. An essay in dynamic theory // The Economic Journal. 1939. -Vol. 49.-No. 193.-pp. 14-33.

115. Hintermaier T. On the minimum degree of returns to scale in sunspot models of the business cycle // Journal of Economic Theory. 2003. - Vol. 110. — No. 3. -pp. 400-409.

116. Howey R.S. Review on The theory of economic development: an inquiry into profits, capital, credit, interest, and the business cycle by Joseph A. Schumpeter // The American Economic Review. 1935. - Vol. 25. —No. 1. — pp. 90-91.

117. Islam N. Growth empirics: a panel data approach // Quarterly Journal of Economics.- 1995.-Vol. 110.-No. 4.-pp. 1127-1170.

118. Islam S.M.N., Craven B.D. Computation of non-linear continuous optimal growth models: experiments with optimal control algorithms and computer programs // Economic Modelling. 2001. - Vol. 18. - pp. 551 -568.

119. Jeong B. Measurement of human capital input across countries: a method based on the laborer's income // Journal of Development Economics. — 2002. — Vol. 67.-pp. 333-349.

120. Jones C.I. Time series tests of endogenous growth models // Quarterly Journal of Economics. 1995. - Vol. 110. - No. 2. - pp. 495-525. ~ "" ~

121. Jorgenson D.W. Productivity. Volume 1: Postwar U.S. economic growth. Volume 2: International comparisons of economic growth. Cambridge, MA: MIT Press, 1995.

122. Jovanovic В., Rob R. Solow vs. Solow. New York University: Mimeo, 1999.

123. JuddK.L. Numerical methods in economics. Cambridge, MA: MIT Press, 1998.

124. JuddK.L. Projection methods for solving aggregate growth models // Journal of Economic Theoiy. 1992. - Vol. 58. - pp. 410-452.

125. KaldorN. Capital Accumulation and Economic Growth / In F. Lutz, D. Hague (eds.). The Theoiy of Economic Growth. — N.Y.: St. Martin's Press, 1961. -pp. Ill-222.

126. Klenow P.J. Ideas versus rival human capital: Industry evidence on growth models // Journal of Monetary Economics. 1998. - Vol. 42. - No. 3. - pp. 323.

127. Knight F.H. Diminishing returns from investment // The Journal of Political Economy. 1944. - Vol. 52. - No. 1. - pp. 26-47

128. Koopmans T. On the concept of optimal economic growth II Pontificae Academiae Scientiarum Scripta Varia. — 1965. Vol. 28. - pp. 225-300.

129. Krueger A.B., Lindahl M. Education for growth: why and for whom? II Journal ofEconomic Literature. -2001. -Vol. 39.-No. 4.-pp. 1101-1136.

130. Kuriacou G.A. Level and growth effects on human capital: a cross-country study of the convergence hypothesis // Economic Research Reports 19-26. -New York: C.V. Starr Center for Applied Economics, New York University, 1991.

131. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. 2nd Edition. - New York-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1998.-614 pp.

132. Ladron-de-Guevara A., Ortigueira S., Santos M. S. Equilibrium dynamics in two sector models of endogenous growth // Journal of Economic Dynamics and Control. 1997. - Vol. 21. - No. 2.-pp. 115-143.

133. Levhari D. Further implications of learning by doing // Review of Economic Studies. 1966. - Vol. 33. - pp. 31-38.

134. LiptonD., PoterbaJ., Sachs J., Summers L. Multiple shooting in rational expectation models И Econometrica. 1982. — Vol. 50. - pp. 1329-1333.

135. Liu W.M. Criterion of Hopf bifurcations without using eigenvalues // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1994. — Vol. 182. - No. 1. — pp. 250-256.

136. Lucas R.E., Jr. Lectures on economic growth. — Cambridge and London: Harvard University Press, 2002. 204 p.

137. Lucas R.E., Jr. On the mechanics of economic development // Journal of Monetaiy Economics. 1988. - Vol. 22. - pp. 3-42.

138. Machlup F. The Production and Distribution of Knowledge in the United States. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1962. Русский перевод: Махлуп Ф. Производство и распространение знаний в США.- - М.: Издательство «Прогресс», 1966. - 462 с.

139. Mangasarian O.L. Sufficient conditions for optimal control of nonlinear systems // SIAM Journal of Control. 1966. - Vol. 4. - pp. 139-152.

140. MankiwN.G., RomerD., Weil D.N. A contribution to the empirics of economic growth // The Quarterly Journal of Economics. — 1992. Vol. 107. -No. 2. - pp. 407-437.

141. MengQ., Yip C.K. On indeterminacy in one-sector models of the business cycle with factor-generated externalities // Journal of Macroeconomics. — 2008. -Vol. 30.-No. l.-pp. 97-110.

142. Mercenier J., Michel P. A criterion for time aggregation in intertemporal dynamic models // Mathematical Programming. — 1994. Vol. 64. - pp. 179197.

143. Mercenier J., Michel P. Discrete-time finite horizon approximation of infinite horizon optimization problems with steady-state invariance // Econometrica. — 1994. Vol. 62. - pp. 635-656.

144. Michel P. On the transversality conditions in infinite horizon optimal problems //Econometrica. 1982. - Vol. 50. - No. 4. - pp. 975-985.

145. Mincer J. Investment in Human Capital and Personal Income Distribution // Journal of Political Economy. 1958. - Vol. 66. - No. 4. - pp. 281-302.

146. Mincer J. On-the-job Training: Costs, Returns and Some Implications // Journal of Political Economy. 1962. - Vol. 70. — No. 5. — pp. 50-79.

147. Mincer J. Schooling, experience and earnings. — New York: National Bureau of Economic Research, 1974.

148. Mulligan C.B., Sala-i-Martin X. Measuring aggregate human capital // Journal of Economic Growth. 2000. - Vol. 5. - pp. 215-252.

149. Mulligan C.B., Sala-i-Martin X. Transitional dynamics in two-sector models of endogenous growth // The Ouartely Journal of Economics. 1993. - Vol. 108. -No. 3.-pp. 739-773.

150. Nehru V., SwansonE., DubeyA. A new database on human capital stock in developing and industrial countries: sources, methodology and results // Journal of Development Economics. 1995. - Vol. 46. - No. 2. - pp. 379-401.

151. Novales A., Fernández F., Ruiz J. Economic Growth. Theory and Numerical Solution Methods. Berlin - Heidelberg: Springer, 2008. - 521 pp.

152. O'Connel S.A., Zeldes S.P. Rational Ponzi games // International Economic Review. 1988. - Vol. 29. - No. 3. - pp. 431-450.

153. Ortigueira S. A dynamic analysis of an endogenous growth model with leisure // Economic Theory. 2000. - Vol. 16. - pp. 43-62.

154. Piazza-Georgi B. The role of human and social capital in growth: extending our understanding // Cambridge Journal of Economics. — 2002. Vol. 26. -pp. 461-479.

155. PintusA.P. Indeterminacy with almost constant returns to scale: capital-labor substitution matters // Economic Theory. 2006. - Vol. 28. - No. 3. - pp. 633649. ------- * - — —

156. Pratt J.W. Risk aversion in the small and in the large // Econometrica. 1964. -Vol. 32.-No. 1-2.-pp. 22-136.

157. Psacharopoulos G. Returns to investment in education: a global update // World development. 1994. - Vol. 22. - No. 9. - pp. 1325-1343.

158. Psacharopoulos G., ArrigadaA.M. The educational composition of the labour force: an international comparison // Educational Labour Review. — 1986. — Vol. 125. No. 5. - pp. 561-574.

159. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal. -1928.-Vol. 38.-No. 152.-pp. 543-559.

160. Robinson C. Dynamic systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. -London-N.Y.: CRC Press. 1999. 506 pp.

161. Romer P. Human capital and growth: theory and evidence // Carnegy-Rochester Conference Series on Public Policy. — 1990. — Vol. 32. — pp. 251286.

162. Romer P.M. Endogenous technical change // Journal of Political Economy. -1990. -Vol. 98. -No. 5. pp. 71-102.

163. Romer P.M. Growth based on increasing returns due to specialization // The American Economic Review. 1987. - Vol. 77. — No. 2. - pp. 56-62.

164. Romer P.M. Increasing returns and long-run growth // The Journal of Political Economy.- 1986. -Vol. 94.-No. 5.-pp. 1002-1037.

165. Romer P.M. The origins of endogenous growth // The Journal of Economic Perspectives. 1994. - Vol. 8. - No. 1. - pp. 3-22.

166. Sargent T.J., Wallace N. The stability of models of money and growth with perfect foresight // Econometrica. 1973. - Vol. 41. - No. 10. - pp. 10431048.

167. Schmidt G.W. Dynamics of endogenous economic growth: A case study of the "Romer Model". Sydney: Elsevier, 2003 - 484 p.

168. Schultz T.W. Capital Formation by Education // Journal of Political Economy. 1960. - Vol. 68. - No. 6. - pp. 571-583.

169. Schultz T.W. Investments in Human Capital // American Economic Review. -1961.-Vol. 51.-No. l.-pp. 1-17.

170. Schumpeter J.A. The theory of economic development. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1934.

171. Seierstad A., SydsasterK. Optimal control theory with economic applications. -North Holland, Amsterdam, 1987.

172. Sheshinski E. Optimal accumulation with learning by doing / In K. Shell (eds.) Essays on the Theory of Optimal Growth. Massachusetts: MIT Press Cambridge, 1967.

173. Shone R. Economic dynamics: Phase diagrams and their economic application. 2nd ed. - New York: Cambridge University Press, 2002. - 708 p.

174. Soboleval. Paradoxes of the measurement of human capital // Problems of economic transition. — 2010. — Vol. 52. No. 11.- pp. 43-70.

175. Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth // The Quarterly Journal of Economics. 1956. - Vol. 70. - No. 1. - pp. 65-94.

176. Solow R.M. Technical change and the aggregate production function // Review of Economics and Statistics. 1957. - Vol. 39. - No. 3. — pp. 312-320.

177. SoukiazisE., Cravo T. Human Capital and the Convergence Process Among Countries // Review of Development Economics. — 2008. — Vol. 12. — No. 1. — pp. 124-142.

178. Spengler J.J. Adam Smith on Human Capital // American Economic Review. -1977. Vol. 67. - No. 1. - pp. 32-36.

179. Stemp P.J., Herbert R.D. Solving non-linear models with saddle-path instabilities // Computational Economics. 2006. - Vol. 28. - pp. 211-231.

180. Stuart A.M., Humphries A.R. Dynamical systems and numerical analysis. -Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1996.

181. SwanT.W. Economic growth and capital accumulation // Economic Record. -1956.-Vol. 32.-No. 2.-pp. 334-361.

182. Technical Documentation for MatLab R2006a

183. VanTrinhL.T., Gibson J., OxleyL. Measuring the stock of human capital in New Zealand // Mathematics and Computers in Simulation. 2005. - Vol. 68. -pp. 485-498.

184. Wo|3mann L. Specifying human capital // Journal of Economic Surveys. -2003.-Vol. 17.-No. 3.-pp. 239-270.

185. XieD. Divergence in economic performance: transitional dynamics with multiple equilibria // Journal of Economic Theory. 1994. - Vol. 63. - No. 1. -pp. 97-112.

186. Yang X. Generalized Form of Hurwitz Routh Criterion and Hopf Bifurcation of Higher Order // Applied Mathematics Letters. - 2002. - Vol. 15. - No. 5. -pp.615- 621.

187. Young A.A. Increasing returns and economic progress // The Economic Journal. 1928. - Vol. 38. -No. 152. -pp. 527-542.