автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Исследование и разработка математических аспектов рекуррентного уравнивания

на правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ АСПЕКТОВ

РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНИВАНИЯ

специальность 05.24.01. - "Геодезия"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1995

"гСгта выпслн-гав на кафедре геодезии ~ковсксгс государственного университета геодезии и картографии

Научный руководитель - доктор технических наук,

Московская аэрогеодезическое предприятие (МАГП)

совета К 055.01.01 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в Московском государственном университете геодезии п картографии по адресу: 103064, Москва, К-54, Гороховский пер., 4, МГУГиК, ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУГиК.

'рофессор Маркузе Ю

Офиипаль ные сппоненты: доктор технических наук, профессор Новак В.Е. кандидат технически'-: наук, доцент Лиоеев К.А.

р с

Ведущая организация :

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

ев Р. А

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальнось и цель работы.

Одним из рациональных способов уравнивания геодезических построений является рекуррентный способ (без составления нормальных уравнений). Рекуррентное уравнивание позволяет легко учитывать новые измерения, выполнять отбраковку грубых ошибок измерений и исходных данных, выявлять систематические ошибки и ошибки исходной информации при представлении ее в ЭЕМ. Рекуррентное уравнивание применяется при уравнивании обширных геодезических сетей при совместном уравнивании наземных и спутниковых измерений. Вместе с тем неразработанными являются ряд вопросов связанных с этим способом. В частности, одним из основных вопросов является выбор исходной матрицы Цо , то есть матрицы весовых коэффициентов неизвестных, если предположить, что измерения еще не выполнялись. От вида матрицы Оо зависит точность вычисления искомой обратной матрицы неизвестных и, следовательно, результаты уравнивания и их точность.

Профессор Маркузе Ю.И. предложил начинать вычислительный процесс с исходной матрицы Цо с большими диагональными элементами, то есть Оо представить в виде

Оо = 1СГЕ , т»о

Поэтому вопросы, связанные с сценкой точности матрицы

О.-й"

в зависимости от выбора П1 с вычислением уточненной матрицы Цп. , являются актуальными. Известен и иной способ рекуррентного уравнивания, матрица Цо необходима не для всех неизвестных, а только для одного подвектора . Для псдвектора Хг матрица Ца не вводится, если матрица Цп может быть получена путем последовательного формирования по необходимым измерениям. Например, при совместном определении 'поправок ориентирующих углов (подвектор X\ ) и координат (подвектср Х.2 )• Тсгда матрица Цо имеет вид . .птс, п ,

п.-(о о)

Такая же ситуация возникает при уравнивании с учетом сшибок исходных данных, тогда

ису V \

ЮтЕ/

Решение задачи, связанной с оценкой погрешности получения матрицы Цп в этом случае, также является актуальным.

При уравнивании полигснометрических сетей по способу узлов определяется матрица обратных весов дирекционны.. >глое узловых направлений и координат узловых пунктов. Однако, актуальной является и задача оценки точности неузловых (внутренних) точек полигонометри-ческих ходое, которую можно эффективно решить рекуррентным способом.

Уравнивание больших геодезических сетей может быть реализовано в двух альтернативных способах:

1) способ подвижного треугольника;

2) способ вращений (способ Гивенса).

Способ подвижного треугольника позволяет значительно увеличить размер уравниваемой сети с использованием только оперативной памяти ЭВМ. Способ вращений - рекуррентный алгоритм уравнивания с вычислением обратной матрицы неизвестных или с преобразованием матрицу Ti-^ в треугольном разложении матрицы

$¡.-1 Тс-*

Тс

ь- тм

в матрицу Ц разложения

, г

при учете I -го измерения. Для сравнения .эффективности обоих способов выполнено сравнение объема вычислений при обращении матрицы нормальных уравнений по способу подвижного треугольника :: по способу Гивенса. В работе также оценивается объем вычислений прп получении матрицы обратных весов неизвестных Цп по рекуррентной формуле.

В диссертации рассмотрен вопрос о применении численного дифференцирования для получения коэффициентов уравнений поправок (при

точности, так как в ряде случаев тзкой матрицы метод составления уравнений поправок и вычисления ковариационной матрицы, и оценки точности результатов оказыватся Солее эффективным.

При совместном уравнивании наземных и спутниковых сетей целесообразно получить критерии для правильного выбора необходимых уравнений с целью определения приближенных параметров преобразования координат с применением способа Гельмерта. Последующее решение этой задачи в рамках рекуррентного уравнивания также является актуальным.

-1Научная новизна работы. -О Получены формулы оценки точности вычисления обратной матрицы по рекуррентной формуле, выведены формулы оценки точности неузловых точек полигонометрических сетей, сделан анализ точности применения численного дифференцирования для получения коэффициентов уравнений поправок, сделано сравнение объемов вычислений при обращении матрицы нормальных уравнений по способу подвижного треугольника и по способу Гивенса, получен критерий для выбора необходимых уравнений для определения приближенных параметров преобразования координат.

^Практическая реализация работы -0 с применением рекуррентного способа разработана программа, позволяющая выполнить уравнивание нивелирной сети по методу вращений Гивенса, программа для определения параметров преобразования координат из одной системы в другую.

Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре научные статьи, приведенные в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем работы 90 страниц. :;их 78 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 52 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследований.

Первая глава посвящена основным сведениям из современных методов уравнивания. Рассмотрены параметрический, обобщенный и рекуррентный способы уравнивания.

Во втором главе рассмотрены вопросы, связанные с оценке;"; точности матрицы Цп е зависимости от Еыбора о( , с оценкой погрешности определения д Ц , с вычислением уточненной матрицы Цп .• рассмотрен объем, вычислений при обращении матрицы нор-

мальных уравнений без их составления, сделано сравнение объемов вычисления при обращении матрицы нормальных уравнений по способу Ги-венсз и по способу подвижного треугольника.

В п. 2.1. выведена формула оценки по нсгмп точности вычисления обратной матрицы 0. =

НлШМшйи <*>

где п и ЦП вычисляется по формуле

П П 0-1 0.1 Ос-'* , -

- строка козффициетов, относящаяся к X -му измерению.

Оо= ¿с Е , ос = -щт 1 гп »о

Сделано уточнение полученной матрицы С|п :

(3)

оценена погрешность определения

Q = Qn+*Qn

И ТII HQSII (4)

где Т - остаточный член формулы Тейлора.

Рассмотрен случай, когда матрицу

можно представить в виде

6.2.1 0-22.

а И = £ + оС-Ео

В этом случае выведена формула

> где

Ео =

Е О О О

{Н(е-*Е0(Ш]

(5)

||д1и 1^1- IIЦП

А

Уточненная матрица 0 находится по формуле

& = Цп + ос Д Ео О

где

(И

(6)

(7)

В^п. " " сравнивается традиционный способ вычисления матрицы Ц. = И с рекуррентным способом для оценки объема вычисле-

ний. Еыведена формула для подсчета числа арифметических операций (умножений и делений) необходимых для составления н обращения квадратной симметричной матрицы Ц - ДТРА методом квадратного корня (при Р=Е ).

и

Сна имеет вид:

I п(п-н) ц (ц2+2и+з) _ т(п!Н)(Ют»з) 5 = 2 + 2 а

где Ь - число ненулевых элементов & матрицы А , положение которых в строке определяется номерами пунктов, ГП =

5 - число ненулевых диагоналей в верхней треугольной матрице

Т ( |ит * Т ) .

Получена формула для подсчета числа арифметических операций при обращении матрицы по рекуррентной формуле:

О)

I

где И = у 1

9

Для иллюстрации рассмотрена сеть триангуляции

рис. 1

По первому способу 3 =56465 По второму способу 6 =49490

Анализ *.татов, полученных на других примерах, показал, что способ обращения матрицы без составления нормальных уравнений не более трудоемкий, чем традиционный, причем, чем больше сеть, тем эффективнее рекуррентный способ.

В п. 2.3. сравнивается обгем вычислительных работ з двух альтернативных способах уравнивания больших геодезических сетей: в способе подвижного треугольника и в способе вращении -Гивенса). Объем вычислений при рекуррентном уравнивании в ферме подвижного треугольника находится по полученной нами формуле

лГО(Ь-т).(т>ЬтЛ)

где - определяется максимальной разностьг '"»яу номерами то-

чек, связанных измерениями, Ь - число ненулевых элементов в <3.1 , ^ - число избыточных измерений, ГП - число определяемых неизвестны; Объем вычислений во втором способе уравнивания (по Гивенсу) равен

5 = 6п + гпг(Ь-т)+ 2(КЧЬ)п

си)

Если сеть имеет 10000 пунктов, то есть К=10000, П =19800, Ь =2, Ь =101, 1 =Л-к =9800, то объем вычислений по методу подвижного треугольника равен Б =71879152, а по методу Гивенса 5 =408078100.

В п. 2.4. рассмотрен численный метод получения коэффициентов уравнений поправок и сделан анализ их точности. При решении задач уравнивания плановых сетей на ЭВМ в ряде случаев целесообразно применять численный метод дифференцирования для получения коэффициентов уравнений поправок. Выведены условия при которых производную £ функции нескольких переменных можно найти по Формуле

Ъи Эх;

Дуг* +

— О. |

белее точной, чем

Ъч Ах; • и*

. /V ^

©М ~ (13)

которая применялась ранее. >

Для функции АЛ- + (Х 1,Х2,... , X/* ••• 5 ...

эти условия следующие

1)

3)

4)

Э и- > 0

ах^

'ди. 9-и

ах;

'ди > «

'д X

Ъ'и. "Зх

дьи

эхГ

ЭЧ эх;-

Абсолютная погрешность вычисления производной по'формуле (12):

А ¿¿Г

где

с^тах | - гХз>&

Абсолютная погрешность вычисления производной по формуле (13):

)

где

С = гтш |

ъгц (м)

В данном разделе также найдена погрешность вычисления производных по формуле (12) для основных видов урав"^"* поправок: длин сторон( Д — в ^ Р^з меньше, чем абсолютная погрешность А ^ вычисления производной по формуле (13)), дирекционных углов ( Д ,если пользоваться формулой (13), тоД^т^ )

Такой метод составления уравнений поправок и вычисление ковариацио-оной матрицы и оценка точности результата является более эффективной.

В п. 2.5. -составлена программа уравнивания нивелирной сети в процедуре рекуррентного уравнивания с преобразованием вращений Ги-венса.

Главз 3 посвящена некоторым важным специальным случаям уравнивания .

При уравнивании полигонометрических сетей по способу узлов определяется матрица обратных весов

ц , Си Олд

йл^ си

дирекционных углов угловых направлений и координат узловых пунктов. Важной являеста и задача оценки точности неузловых (внутренних) точек полигонометрических ходов. Эту задачу можно эффективно решить рекуррентным способом. Для этого в любом оцениваемом ходе между узловыми точками в и ^ иг матрицы Ц составляется матрица:

О =

1а ¿5*5

С^ СЫх5 йлу5 12*1*1. 0*{ц1 СЬ ¡Ьь|/з [¡ХьХк

сы сы^

/

в которой блок Цос относится к угловым направлениям о1 , к

координатам, з ~ матрицы их связи. 5ту матрицу нужно

еобрзговать, удалив из сети оцениваемый ход. Далее гтт рекуррент-й формуле

(И-^г-*

(14)

збходимо удалить ход 5 - "Ь . Для этого сначала уравнение псп-зок для суммы углов £ -го хода

VI - -<5оС$ + бо^ + [

)трицателъным обратным весом — - —, а затем по

)МУЛ9 Р ^

8= л/Г%

(15)

следует учесть уравнение поправок для суш приращений ксордина осям X и У

VI = Аи Ад А 4 а

с весовой матрицей

1Л -

№ "СОБ'вС

. р ] Рь ]

Гпя ["¿ШоССО&оС

\ Р ] I Р5

I ГлЦ [¿¿ГШО&Л

(16)

л ( а 0

После этого составляем матрицу Ц0 - I д

и учитываем измеренные углы и длины сторон в ходе. Уравнения поправок для сторон тлеют вид

= -Са Днач4С< Д«ш+ & , Сс= (СОЗси- (17)

Лясы -(бхнач б^нач) , Дкон-

СбХкон <5^ом)

век

Если угли на узла1: 8 ¡1 ^ были измерены способом круговых приемо то для первой и последней точек следует составить уравнение попр, ЕС!: для направлении

= АсДмач-АсДком ^ ^

Ас = - (81ГЫ-С0$о1)

[Я всех остальных точек составляются уравнения поправок лл~ углов

1ИС.2)

+ + (19)

ле учета всех указанных измерении восстанавливается матрица Ц

узловых точек и вычисляется матрица 0. для узловых и всех тренних точек. Рассмотрен более сложный случай, когда углы на ах измеряются отдельно друг от друга и имеют сбиутс сторону, сое-енную со стороной хода, например

(цач>

2

-О

----О-

рис.3

В этом случае составляется уравнение поправок для угла 1 -5оСнач4 А-(-г Ai ~ А г + i i

Кроме этого уравнения поправок следует еще составить условное нение

-ёЛиач 4 Así As- As-< Ai + W» 0

Уравнения (17) + (19) учитываются по рекуррентной формуле (1 весами Рз =1 - для измеренных сторон, Рр - - для угле

Ра/= - для направлений и, наконец р для ура

ний (20). СКО единицы веса ¿£> = ¿5 , где <о з - СКО лине измерений.

В п.3.2 рассмотрена задача определения приближенных пара ров преобразования координат по трем идентичным точкам. При ура вании пространственных сетей применяются следующие уравнения пр> разованил координат:

i

х'= a+mílv

у¿'

где X = ^ У' I - вектор координат точки Р в системе О Х У

I Хс\

X - Ч1 I " вектор координат точки Р в системе О X У

а<

а

a¿

Ci - 1 ÚLv-| - вектор координат точки 0 в системе 0-Х.

¿алых у:

лач поворота П

4 -<£>»

" * ¿У -<5* 4

:пределения пени пзраметрои преобразования '^т;

4:'

4х-1

а*\

ау

ан

¿X

т

рассмотрении трех идентичных течек возникает девять уравнений, 1 как достаточно иметь только семь. Е работе установлен крите-по которому следует выбирать необходимое уравнение. Для определения номера уравнения I . относяпегссч к пункту рачение Ф = адх<2 + оду^ + елги

о принимать наибольшее значение. Значения уг5$$1П2:?я?С2 споется из таблиц

Таблица 1

1 1 1 ' ' 1 а 1 1 1 | Ь 1 1 1 С

1 1 = 1 1 1 о 1 1 1 -Д*<3 1 дув

1 1=2 1 Д21з 1 1 1 1 о 1 1 -дх«

| 1=3 1 1 -Д^з 1 1 1 1 О

Составлена программа, включенная в программу уравнивания И сетью.

Б п.3.2. сравниваются два способа объединения наземнь спутниковых геодезических сетей: модифицированный способ услов1 дополнительными неизвестными при совместном определении урзвне* координат и параметров преобразования и способ Гельмерта раздель го их зпределс-ния без учета ковариационных матриц. Уравнивание с 0Р5 происходит с фиксацией одного пункта и вычислением координа ковариационной матрицы всех пунктов сети.

В таблице 2 приведены

Фк, ©у,-,

результаты измерений -для 13 базисных линий.

величины

Таблица 2

1 NN | название Я)х I а У 1 Яг

п/п | 1 линии 1 1

1 1 1 1 - 2 I 475.9441 1 I 12085.9594 -5143.8953

2 ! •1 - 3 | 12865.5252 I 8572.5844 -10318.4729

з 1 о - 3 | 12339.5931 I -3513.3617 -5174.5641

4 I -1 - 4 | 12975.8466 I 848.4794 -7214.1154

5 I 2 - 4 | 12499.9137 I -11237.4645 -2070.2187

6 I •6 - 4 I 110.3261 | -7724.0932 3104.3551

7 1 1 - 5 I 3361.6118 | -10099.6173 2041.7930

8 I 4 - Б | -9114.2245 | -10948.0914 9255.9222

9 1 1 - 6 | -5994.7797 | -12457.9499 8246.7894

10 | 4 - 6 | -18970.6209 | -13306.4250 15460.9116

11 | 5 - 6 ! -9856.3958 | -2358.3303 6204.9895

12 | 5 - 7 | -16143.8539 | 3295.5956 7238.3628

13 1 1 6 - 7 | -6287.4497 | 5653.9197 ] 1033.3950

Если выбраны идентичные точки 1, 2, 3, 4 их наземные координаты системе 1942 в проекции Гаусса - Крюгера, в том числе геодеэичес1 высоты Н, приведены в таблице 3.

Таблица

| ! N ! точки ! ! х ! н

• -1 ! 6228266 950 1 7406683.963 | 232.7031

о | 6218775 957 415779.311 | 280.313

; а ! 6209733 361 405249.866 | 277.161

•1 | 6244921 151 409126.249 | 1 232.164

И:: Егт-.лютпая точнее?!, характеризуется диагональной ковариационно е-; га для уравнивания была принята равной 1.

После объединения уравнении: Стти г кзос-^ппс. ::;••:--------г

зособу уравнивания с дспслгкггельнши т.-.гг

?тры преобразования (таблица 4; ;: ;-:"рдг.:!?.г:: 7'

их весовыми коэффициентами.

N ! координаты ! - ^ 1- - г-г" --- -

течки ! 1 вектора £ V Рь

1 1 1 -287.3900 (м) 1 1 57 ,т, р ■> г:

2 ! 172.6348 (м) ' 1 1 84 1940."859 1

3 I -175.9409 (м) ! г>о о --Г'41 |

4 ! 5.2969 (сек) 1 560е-1 1

Б ! 4.9739 (сек) | 433.7094 1

6 1 -6.183.8 (сек) 1 487.6056 1 1

? 1 1 1.0 1 > 1 7.1921 1

СрУУЗ = 7.119 , ^ = 0.523

Таблица 5

1 1 ! х си| 1 ! , ! я 1 1 1 1 1 о. 1 сь 1 1 1 а, ; 1

¡2823112 329 1 1 12166849.933 ¡5275094 799 11 0384 !0.9077 11 1 01741

!28245Я8 517 ¡2178935.431 ¡5269951 080 ¡1 4529 ¡1.4984 ¡2 00341

!2836978 294 ¡2175422.733 15264775 931 12 4575 11. 2 2029!

|2837088 463 12167698.274 15267880 149 12 7501 |1.7050 3 43931

|2827973 ООО 12156749.800 !5277136 266 ! 2 5233 !Я.7246 4 707^!

1 OG^ 0-1 -1 1 0. л. г ■1 12154391.495 15283341 629 ! 2 6576 1 о: р£,70 3 8454!

! 2811829 ^Пр, 12160045.766 ¡5284375 I 1 368 ! ? 1 7Я74 |р Я562 I Г) 4610! I

Если выполни;,1 уравнивание по приближенно:,¡у способу Гельмерта учета ксвариацнсннсй матрицы координат), который традиционно еяяют во многих компьютерных программах, то получим следующие льтаты, которые представлены в аналогичных таблицах (6) и (7).

Таблице

1 1 1 N I | ТОЧКИ 1 1 1 координаты вектора í i | обратные веса - I 1/Pli

1 1 1 1 ¡ -287.7088 (м) i | 270017.5127

1 2 1 172.38,88 (м) ! 410420.2250

I S 1 -176.5373 (м) i 56096.5808

1 4 I 6.2961 (сек) ¡ 315.9880

! 5 1 4.9728 (сек) | 216.3908

I 6 1 -6.1853 (сек) | 241.4069

1 7 | i i 1.0000 | 1.3446 i

Таблиц

N ! x точки| 1 1 ! ^ l * i 1 Qy i С и i !' i

1 1 | 2824112 329 |2166849 932 1 |5275094 799 i |3.5084 3. 123 i 13

O í OOOlCOCi ~ 1 517 |2178936 432 |5269951 080 13.5084 3. 123 13

3 | 2836978 296 |2175422 733 15264775.9:30 13.5084 3. 123 13

4 | 2837085 465 12167698 274 |5267880 149 13.5084 3. 123 13,

5 I 2827975 822 12156749 798 | 5277136 267 13.5084 3. 123 13,

£ ! 231Si17 175 12154391 494 15283341 6:30 13.5084 3. 123 13.

7 i vünüw |2160045 765 |5284375 369 13.5084 * 3. 123 13. 1

Сравнивания приведенные таблицы приходим к выводу о том, что > кссрлннзть; практически равны, но показатели точности существе отличатся. Следовательно, приближенный метод Гельмерта нецелесс рагн: -г.глмгнпть для объединения наземных и спутниковых сетей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные регул» таты лг—готащ:;:: Получена формула для сне:-:!'::: ггчясгтя еы:::\-::*•'; "г---- г •. г.;—i: по рекуррентной формуле.

Выведена формула сценки точности кеугл.гь::: точек л :::г "• ческпх сетей.

Получена формула для определения объема вычислений грп -пс-нии матрицы нормальных уравнений бег их ссстазл?н::я. Выведены формулы для определения объема 2кч::сл?к:::: л: "тообу подвижного треугольника и по способу Гпвенсз. Сделан анализ точности коэффициентов уравнен:::: получе-

ных о псмоеъ» численного метода дифференцпрог.ип:;:. Получена формула для рационального определения ::::.*•: нкь::: значений параметров преобразования координат нагемг.т г. кссмг-ескп:: сетей.

Разработан .алгоритм уравнивания нивелирной сет:! - преобразованием вращений Гивенса. Алгоритм реализован в программе для ЭЕМ. Проведены исследования, которые показали, что приближенный метод Гельмерта нецелесообразно применять для сбъедпненг.п наземных и спутниковых сетей. Основные выводы рализевань; г; программе "Гель-у;ерт" для 5БЫ.

Основные положения диссертации опубликованы е следувшпс рзСо-

.. Кувекина H.A. Объем вычислений при обращении матрицы нормальных уравнений без их составления. Известия зуеов. Геодезия :: аэрофотосъемка, 1084, U 5. с.13-16. :. Маркузе Ю.И., Кувекина H.A. Численный метод получения коэффициентов уравнений поправок и анализ их точности. - М. МИИГАпК (Межвузовский сборник Математ1гческал обработка геодезических измерений), 1985. с.30-84. . Кувекина К.А. Оценка точности вычисления обратной матрицы пс рекуррентной формуле. - Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1985, N 1. с.57-61. . Маркузе ю.И., Кувекина H.A., Юнусова I.A. Оценка точности не-узлевых точек полпгонсметрпческпх сетей. - известия вузов. Геодезия :: аэрофотосъемка, 1991, i! 5. - с. 18-24.

к печ.17.11.95 Ф< д.л. 1,5 Тираж

Формат бумагй Й): [Ж 80 экз. -ДО-Я

щ

|\ . Ii г Бумага офсетная Печ..

Газ № 439 Цена договорная

Печ.л. 1,5

МосГУГиК 103064, Москва К-64, Гороховский пер., 4