автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование диапазона применимости метода малого параметра в некоторых задачах теории нелинейных колебаний

Введение.

Глава I. Общий подход к построению решений с гарантированной точностью для математических моделей, содержащих малый параметр, описывающих нелинейные периодические процессы.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Теоремы о локализации точных решений в случае нелинейных систем.

§1.3. Локализация точных решений в случае квазилинейных систем в-го порядка.>.

§1.4. Локализация точных решений в случае квазилинейных систем второго порядка. „.«,.<«.<.»,.<.,.«.

Глава IL О построении решений с гарантированной точностью для математических моделей, содержащих малый параметр, описывающих .нелинейные квазипериодические процессы.

§2.1. Локализация точных решений в случае квазшериодической системы.

§2.2. Локализация точных решений в случае нелинейной системы.

Глава III. Построение решений с гарантированной точностью для квазилинейных систем второго порядка в нерезонансном случае.

§3.1. Методика построения решений с гарантированной точностью для квазилинейных систем второго порядка в нерезонансном случае.

§3.2. Построение решений с гарантированной точностью в случае нерезонансных решений уравнения Дюффинга.

§3.3. Исследование вопроса о расширении области применимости метода малого параметра.

Глава IV. Построение решений с гарантированной точностью для квазилинейных систем второго порядка в случае резонанса.

§4 1 Мет-одикя построения решений с гаритировяппой чочгюстыо для квазшгинейных систем в резонансном случае.

§4.2. Построение решений с гарантированной точностью для резонансных решений уравнения Дюффинга.

§4.3. Построение решений с гарантированной точностью для уравнения

Ван-дер-Поля с монохроматическим возбуждением.

Глапя V. Некоторые сравнительные оценки.

§5.1. О сравнении per г гения с гарантированной точностью с точным решением дифференциального уравнения, второго порядка.

§5.2. О сравнении методик, оценки, малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний.

Выводы.

Метод малого параметра - метод возмущений в его многочисленных модификациях представляет собой одно из мощных средств современной прикладной математики при решении разнообразных моделей техники и естествознания; с его помощью можно получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных нелинейных моделей описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных. [96,97,35,43].

В настоящее время в эпоху быстрого развития вычислительной техники методы малого параметра отнюдь не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и построения опорных "тестовых" решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов, применяемых в задачах теории нелинейных колебаний, а так же в геофизике и метеорологии.

Метод был предложен А. Пуанкаре в начале 90-х годов XIX века для решения задач небесной механики [77].

Следует отметить, что первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория периодических решений и теория устойчивости движения дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период A.M. Ляпуновым [60].

Только в тридцатых годах двадцатого столетия началось широкое использование методов Пуанкаре-Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Основная заслуга в деле развития и применения этих методов к решению задач механики, радиотехники и теории автоматического регулирования, несомненно, принадлежит отечественным ученым. Здесь в первую очередь следует отметить работы А.А. Андронова и А.А. Витта [1], а также Л.И. Мандельштама и Н.Д. Папалекси [63], в которых был использован метод А. Пуанкаре при изучении колебаний в электрических контурах. В этих работах, наряду с исследованием ряда задач, разрабатывался сам метод. Затем следует указать на книги А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина [2,3], В.В.

Булгакова [33], Дж. Стокера [95], В.Д. Мак-Миллана [61], Н.Н. Моисеева [68], в которых излагается метод Пуанкаре или отдельные вопросы этого метода.

Из более поздних работ иностранных авторов, посвященных изложению и развитию метода, следует отметить книги Дж. Хейла [100], Т.Хаяси [99] и Н. Минорского [111], а также работу К.О. Фридрихса [105], в которой дано своеобразное изложение метода.

Существенный вклад в развитие метода А. Пуанкаре сделал И.Г. Малкин [62],. метод А. Пуанкаре был применен им к различным видам систем: квазилинейным системам, близким к системам Ляпунова, а также системам, близким произвольным нелинейным. В своей монографии И.Г. Малкиным были подытожены все наиболее важные результаты по развитию метода А. Пуанкаре.

Методы малого параметра за последние десятилетия двадцатого века получили интенсивное развитие в трудах многих исследователей. Эти методы были с успехом использованы при решении ряда важных прикладных задач [43,45,46,48,53,59,65-67,71,72,74]. К числу значимых работ следует отнести монографии Дж. Коуля [52], где дается общий подход к решению многих прикладных задач методами теории возмущений, А. Найфе [70], в которой на современном уровне описываются методы малого параметра в применении к широкому кругу задач механики и математической физики; в работе даются также оригинальные методы, разработанные самим автором. В работе А.П. Проскурякова [76] рассматриваются вопросы построения периодических решений квазилинейных систем с одной и несколькими степенями свободы, рассматривается вопрос устойчивости полученных периодических решений и показывается эквивалентность одного из асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митропольского [7] методу Пуанкаре и показано, как при помощи метода Пуанкаре в первом нриближени и можно получить результаты Ван-дер-Поля.

Однако, использование методов, основанных на малом параметре, до сих пор оставляет у исследователей конкретных систем чувство определенной неудовлетворенности из-за отсутствия ответа на узловой вопрос: какова же область возможных приложений этого метода? В то же время опыт исследования конкретных физических систем показывает, что метод малого параметра оказывается достаточно эффективным и в тех случаях, когда входящие в уравнение нелинейности значительны. В связи с этим вопрос о малости малого параметра в последние годы интересовал многих исследователей, которые с разных точек зрения пытались ответить на этот вопрос. Однако, получаемые при этом ограничения на малый параметр оказывались слишком жесткими и практически давали математическое обоснование применения метода к сравнительно узкому классу слабо нелинейных физических систем.

Кроме того, применимость различных приближенных методов (в частности и метода малого параметра) решения нелинейных дифференциальных уравнений имеет не только чисто теоретическое, но и большое практическое значение. Это объясняется тем, что из анализа приближений к решению, как правило, невысоких порядков, зачастую делаются далеко идущие физические выводы, а получаемые при этом формулы служат основой инженерных расчетов. Естественно, что всегда целесообразно убедиться в достоверности полученных результатов. Поэтому возникает необходимость в разработке различного рода подходов к оценке качества приближенных решений. В частности, такой вопрос всегда возникает при применении в задачах теории колебаний методов, основанных на идее разложения решения в ряд по степеням малого параметра ц. Практически ограничиваются обычно, первым приближением (первыми членами соответствующих рядов) или, в лучшем случае, двумя-тремя приближениями (двумя-тремя членами рядов). Однако эти методы теоретически обоснованы, т.е. можно гарантировать достаточную точность находимых приближенных формул лишь при достаточно малых значениях р.

Однако, использование методов, основанных на малом параметре, сих пор оставляет у исследователей конкретных систем чувст определенной неудовлетворенности из-за отсутствия ответа на узлов» зопрос: какова же область возможных приложений этого метода? В то я $ремя опыт исследования конкретных физических систем показывает, чт ютод малого параметра оказывается достаточно эффективным и в те лучаях, когда входящие в уравнение нелинейности значительны. В связи < тим вопрос о малости малого параметра в последние годы интересоваг ногих исследователей, которые с разных точек зрения пытались ответить на от вопрос. Однако, получаемые при этом ограничения на малый параметр сазывались слишком жесткими и практически давали математическое ^основание применения метода к сравнительно узкому классу слабо линейных физических систем.

Кроме того, применимость различных приближенных методов (в зтности и метода малого параметра) решения нелинейных рференциальных уравнений имеет не только чисто теоретическое, но и шшое практическое значение. Это объясняется тем, что из анализа 1ближений к решению, как правило, невысоких порядков, зачастую аютея далеко идущие физические выводы, а получаемые при этом >мулы служат основой инженерных расчетов. Естественно, что всегда ^сообразно убедиться в достоверности подученных результатов. Поэтому гикает необходимость в разработке различного рода подходов к оценке ;ства приближенных решений. В частности, такой вопрос всегда икает при применении в задачах теории колебаний методов, основанных щее разложения решения в ряд по степеням малого параметра р. тичсски ограничиваются обычно, первым приближением (первыми 1ми соответствующих рядов) или, в лучшем случае, двумя-тремя зижениями (двумя-тремя членами рядов). Однако эти методы тически обоснованы, т.е. можно гарантировать достаточную точность .имых приближенных формул лишь при достаточно малых значениях р.

В то же время параметр \а имеет совершенно определенное значение р* и мы не можем произвольно считать его сколь угодно малым, не теряя при этом физического смысла задачи.

Поэтому на практике важно уметь оценить степень точности полученных в той или иной задаче приближенных формул при конкретных значениях параметра д, до которых решения обладают требуемой точностью.

Таким образом, метод малого параметра, как и вообще любой приближенный метод, требует тщательного исследование вопроса о пределах своей применимости и о близости полученного решения к истинному,

Перейдем к рассмотрению работ, в которых в той или иной степени затрагивались данные вопросы.

Теоремы обоснования асимптотических методов [7] убеждают в том, что погрешность асимптотического решения s может быть сколь угодно малой на сколь угодно большом, но конечном интервале времени Т, при условии, что О < 11 < ul и условии совпадения обоих решении при t - 0. Но с другой стороны, согласно указанным теоремам для получения сколь угодно малой ошибки асимптотического решения необходимо положить, что u 0, т.е. к такому положению, когда система теряет свои нелинейные свойства. Предельная величина параметра ц, присутствующая в указанных теоремах, связана исключительно с методом доказательства и в соответствующих работах [2,7,36,63] не содержится рекомендаций для практического определения п. В реальных системах р имеет совершенно определенное значение, пусть даже малое.

В работах [47,73,78,80-84,86,87,110] был рассмотрен вопрос, касающийся оценок области сходимости рядов или последовательных приближений, находимых по методу Ляпунова-Пуанкаре для квазилинейных дифференциальных уравнений, а также для систем более общего вида. Предлагаемое рассмотрение основывалось большей частью на идеях A.M. Ляпунова, указавшего на практический путь получения таких оценок и давшего первый пример эффективной оценки [60]. Возможность получения указанных оценок рассматривалась также в статьях [38,55,102,107-109] однако там нет конкретных примеров, и как показывает анализ, некоторые сравнительные оценки (см., например, [81]), выводимые в этих статьях формулы (на основе принципов, отличных от тех, которые использовались A.M. Ляпуновым), опираются на более грубое мажорирование.

Впервые вопрос о применимости метода малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний был рассмотрен в работе Ю.А. Рябова [85]. В ней на основе идей A.M. Ляпунова даются способы нахождения оценок для области существования периодических решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений, а также указываются приемы получения оценок точности этих решений. Для различных случаев приводятся приемы построения уточненных мажорирующих функциональных уравнений, определяющих границу ji такую, что при /л < д периодическое решение рассматриваемого уравнения может быть найдено методом малого параметра. При фиксированном ц < и с помощью мажорирующего уравнения оценивают допускаемую погрешность первых двух приближений периодических решений рассматриваемых уравнений, находимых методом < О гг А Г'А rTOf^^XI^T^O II » fOTA ггл» /Г л ГЛПЛ ТТТГЛТТТ! rr I/'-niT ТТАЛ О АРАТТТГЧ^ЛАП О ГТ "ГГ гт

М&jiUI U ilaJJaivlC i jjcx ri ivivivJAUivi у ^р^Дп^ппл v^. irvjvjvjoci. i/1 иллюстрации предложенных методов рассматривается ряд конкретных примеров из физики и техники: уравнение Дюффинга, Ван-дер-Поля и уравнение катодного осциллятора.

В ряде работ С.А. Горбатенко [39-42] решаются задачи, связанные с вопросами точности асимптотических методов при исследовании квазилинейных систем и систем более общего вида. При этом разбираются следующие вопросы: определяет ли k-ое приближение асимптотического метода качественно верный результат; какую погрешность дает рассматриваемое k-ое приближение при заданном значении малого параметра; каково предельное значение величины р., для которого справедливо рассмотрение данного приближения. Рассмотрение указанных вопросов производится с помощью функции A.M. Ляпунова, исходя из позиции строгого метода, предложенного Т.В. Каменковым [49,50,101]. Следует отметить, что в строгом методе накладываются определенные ограничения на величину малого параметра р, присутствующего в рассматриваемых уравнениях и имеются рекомендации для определения предельного значения р. Для квазилинейных автономных систем автором получены выражения для оценки погрешностей k-го и первого приближений, предельного значения параметра р., а также доказана теорема (аналогичная теореме Н.Н. Боголюбова) о необходимых и достаточных условиях существования близости решений k-го приближения асимптотического метода к истинному решению квазилинейных систем уравнений (автономных).

В работах Е.В. Сака и Ю.А. Рябова [87,93,94] рассматриваются квазилинейные системы разностных уравнений, для которых дается способ оценки области ju < ц, в которой применим метод малого параметра и определяются периодические решения методом итераций по малому параметру, а также находится область сходимости данных итераций. Ю.А. Рябовым и Д.К. Лика [58,52,53] проводится подробный анализ методов итераций, применяемых при построении периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Рассматриваются вопросы сходимости итерационного процесса, при определенных условиях, налагаемых на правые части уравнений, на малый параметр; оценки области сходимости итераций, оценки погрешности приближенных решений.

Для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений Ю.А.Рябовым и Д.Х.Хусановым в работах [91,92] с помощью метода конечных мажорирующих уравнений A.M. Ляпунова рассмотрен способ нахождения оценки значений малого параметра, при которых данный итерационный процесс сходится к искомому решению.

В работе Е.Н. Розенвассера [79] рассматривается область применимости различных классических методов (в частности, метода малого параметра) нелинейной механики с помощью метода интегральных уравнений [51,75].

При решении практических задач часто возникает потребность в уточнении полученного результата с целью улучшения оценок области сходимости, и погрешности приближенного решения. С этой целью здесь с помощью некоторых преобразований получают новое интегральное уравнение, эквивалентное исходному. В таких случаях мажорирующие уравнения для преобразованного интегрального уравнения дают более точные результаты, чем соответствующая мажоранта для исходного интегрального уравнения.

Как нетрудно заметить, некоторые из изложенных способов улучшения оценок решений сходны с приведенными в работе Ю.А. Рябова [85]. Однако здесь, как отмечает сам автор, рассмотрены грубые оценки радиуса сходимости приближенных периодических решений.

Из анализа нетрудно заметить, что для отдельных вариантов метода малого параметра проводится оценка соответствующего радиуса круга сходимости, к тому же полученные оценки радиуса сходимости настолько ограничительны, что они практически оказываются невыполнимыми в большинстве физически содержательных задач. В то же время известно, что метод малого параметра приводит к удовлетворительным результатам и для не малых значений параметра р. [99]. Кроме того, сам факт сходимости ряда по степеням малого параметра часто не дает возможности получения эффективных оценок погрешности рассматриваемого приближенного решения.

Результаты исследований [103,104,112-114] связанные с обоснованием метода Галеркина, неожиданно открыли дополнительные возможности и в области обоснования условий применимости метода малого параметра и его модификации. В связи с этим, целью диссертационной работы явилось обоснование применимости метода малого параметра для построения решений с гарантированной точностью для математических моделей описывающих периодические и квазипериодические процессы.

Уместно отметить, что в работах Бобылева Н.А., Бурмана Ю.М., Коровина С.К. и Емельянова С.В.[5-6], для метода гармонического баланса приводятся оценки числа гармоник метода, достаточного для получения приближения к описываемому колебательному режиму с заданной точностью.

Следует заметить, что в работе Б.И. Крюкова и Г.И. Середовича [57] исследуется поведение субгармонических решений уравнения Дюффинга. При этом строятся высокоточные приближенные решения с гарантированной точностью и анализируется особенности проявления субгармонических и субультрагармонических резонансов.

В первой главе рассмотрен общий подход к построению решений с гарантированной точностью и к получению оценок предельных значений малого параметра в задачах о периодических решениях нелинейных дифференциальных систем.

В §1.1 для действительной системы дифференциальных уравнений вида

-X(xj^) (1) at где u - малый параметр, .г и Л'(/.х,и) - векторы одинаковой размерности, X{t,х,\х)периодично по t с периодом 2п и непрерывно дифференцируемо noi в области DxL, где D - заданная область х-пространства и L - действительная прямая. Ставится задача: оценить те значения параметра, при которых разность по норме точного и приближенного периодического решения не превышает некоторой заранее заданной величины 5.

При таком подходе вопрос о сходимости соответствующих рядов по степеням малого параметра не ставится. Более того, такая постановка задачи продолжает оставаться содержательной и в случае расходящихся рядов [4].

В §1.2 для системы (1) доказываются теоремы о локализации точных решений, и на основании этих теорем предлагаются конструктивные алгоритмы для вычисления периодических решений с гарантированной точностью. Получена также аналогичная теорема для системы нелинейных алгебраических уравнений, содержащих малый параметр.

В §1.3 рассматриваются теоремы о локализации точных решений в случае квазилинейных систем вида dx. = asl(t)x1+as2(t)x2+. + asll(t)xH+Fs(t) + yfs(x1,x2,.,xH,t,y.) (2) at s=l,2,.,n), где ask(t) (s=l,2,.,n; к- l,2,.,n) - периодические коэффициенты с периодом 2п, Fs(i) - непрерывные периодические функции с периодом 2п, ju - малый параметр, fs(x],x2,.,xn,t,\i) - функции периодические по t с периодом 2п и непрерывно дифференцируемы по х],х2,.,х„ в области DxL, где D - заданная область изменения переменных х},х2,.,х„ w L- действительная прямая.

Из приведенных теорем, получены условия, которые позволяют определить диапазон значений малого параметра р, при которых приближенное решение системы (2) будет лежать в некоторой 8-окрестности точного решения рассматриваемой квазилинейной системы.

В §1.4 выясняются условия существования точного решения для квазилинейной системы вида dx , (3) = -q2x + F(x)+ \xf(t,x, {dt где р - малый параметра; q2 - некоторая постоянная, отличная от целого числа; F(t) - непрерывная периодическая функция t периода 2п, разложимая в ряд Фурье; f{t,x,y,\x) непрерывна и периодична по t с периодом 2л .

Полученные результаты обобщены на резонансный случай. Кроме того, предлагаются конструктивные алгоритмы для получения оценок параметра р, при которых выполняется условие где под и л*(/,р) понимается соответственно точное и приближенное решение системы (3).

Во второй главе исследованы условия существования точных квазипериодических решений в случае математических моделей, содержащих малый параметр, описывающих квазипериодические процессы.

В первом параграфе главы II доказываются теоремы о локализации точных решений в случае квазипериодических систем вида dx = Aif)x + \iF{t,x,\i), (4) dt где ц - малый параметр; A(t) - непрерывная квазипериодическая матрица по t с периодами coy,o)2,.coOT; x,F{t,x,\x) - векторы одинаковой размерности и }<{t,x,\\) квазипериодично по t с периодами G)J,(o2,.(dni и непрерывно дифференцируемо по х в области D (здесь D - замкнутая область х-пространства). Исходя из доказанных теорем предлагается процедура для получения оценок параметра ju, при которых погрешность приближенного решения меньше любой заранее заданной величины 8.

В §2.2 доказываются теоремы о локализации точных решений в случае нелинейной квазипериодической системы вида (1), где X (7,л\ц) квазипериодично по t с периодами со;,со2,.о),„ и непрерывно дифференцируемо rio х в области D (D - замкнутая область х-пространства). На основании приведенных теорем предлагаются конструктивные алгоритмы для вычисления квазипериодических решений с гарантированной точностью.

В главе III. Получены оценки в случае нерезонансных решений квазилинейных систем второго порядка.

В §3.1 приводится методика нахождения таких оценок. Показано, что в случае квазилинейных систем второго порядка нахождение оценок малого параметра р сводится к определению корней многочлена.

В §3.2 приводится оценка границ применимости метода малого параметра в случае нерезонансных решений уравнения Дюффинга. Выясняется влияние порядка приближенного решения по методу малого параметра на величину оценок р.

Показано, что т-ое приближение дает более широкую область применимости метода малого параметра, чем приближение (m-l)-ro порядка. Здесь рассматривается вопрос улучшения оценок значений р и тем самым показано, что метод малого параметра действительно может эффективно использоваться для исследования систем со сравнительно большими значениями параметра р.

В четвертой главе даются оценки малого параметра для резонансных решений квазилинейных систем второго порядка. В § 4.1 установлено, что в случае резонансных решений квазилинейных систем второго порядка нахождение оценок малого параметра может свестись к определению корней алгебраического уравнения. Во втором параграфе приводятся оценки границ применимости метода малого параметра в случае резонансных решений уравнения Дюффинга. Оценки строились для первого и второго приближений периодического решения. Рассмотрен вопрос о возможном улучшении полученных оценок. В заключении главы получены предельные значения параметра р для случая уравнения Ван-дер-Поля с монохроматическим возбуждением.

В последней главе даются некоторые сравнительные оценки. В первом параграфе на конкретном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка показано совпадение с точностью до о-10~6 точного и приближенного субгармонического решения, построенного методом малого параметра [62].

15

В §5.2 последней главы для уравнения Дюффинга сравнивается предлагаемая методика оценок малого параметра с методикой Ю.А. Рябова [85]. Показано хорошее совпадение предлагаемых оценок с оценками следующими из результатов исследования Рябова Ю.А.

Исходя из результатов исследования можно ответить на следующие вопросы: определяет ли ш-ое приближение по методу малого параметра качественно верный результат; какую погрешность дает рассматриваемое приближение при заданном значении параметра р. и каково значение р, для которого справедливо рассмотрение данного приближения по методу малого параметра.

Предложенная в работе процедура определения оценок реализована в виде комплекса программ. Проведенные численные эксперименты показали достаточно высокую ее эффективность и позволили оценить область применимости метода малого параметра для конкретных типов нелинейных задач.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих статьях автора [8-32,56].