автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.06, диссертация на тему:Разработка основ параметрической теории колебаний струны

/

00461

Петров Александр Александрович

РАЗРАБОТКА ОСНОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Специальность 05.11.06 Акустические приборы и системы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 ЗЛЕН 2010

Санкт-Петербург - 2010

004618692

Работа выполнена на кафедре акустики Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Уваров Владимир Константинович.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кирпичников Валерий Юлианович;

кандидат технических наук, доцент Коновалов Сергей Ильич.

Ведущая организация: ООО «Неватон».

Защита состоится «23» декабря 2010 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 210.021.01 при Санкт-Петербургском государственном университете кино и телевидения по адресу: 191119, Санкт-Петербург, ул. Правды, д.13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения,

Автореферат разослан «_» ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке основ параметрической теории колебаний систем с распределенными параметрами. Суть теории заключается в линеаризации нелинейных механических колебательных систем уравнениями с переменными коэффициентами (параметрическими уравнениями). Разработанная теория применяется к моделированию колебаний струны, представляющей собой самый простой пример распределенной системы.

Актуальность исследования. При расчете й проектировании акустических приборов и систем применяется подход, суть которого заключается в том, что сложную механическую колебательную систему разделяют на простые подсистемы (звенья). При этом считается, что характеристики системы определяются совокупностью характеристик входящих в нее звеньев. Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределенную механическую колебательную систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя, представляющие собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций, представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то ее параметры подбираются таким образом, чтобы рабочие частоты колебаний были расположены в окрестности основной (наинизшей) собственной частоты, тогда система рассматривается как сосредоточенная. Однако вблизи резонансной частоты амплитуда колебаний неизменно возрастает, и сказывается нелинейность системы. Возникает противоречие: с одной стороны система должна оставаться линейной, с другой стороны реальные физические процессы не позволяют пользоваться классической линейной теорией колебаний. Таким образом, актуальна задача линеаризации нелинейных колебательных систем с распределенными параметрами.

Кроме того, за последние годы возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний музыкальных инструментов. Решение такого рода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.

Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.

Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.

Основная цель исследования заключается в разработке метода аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными уравнениями с переменными коэффициентами.

В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования:

обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями;

применить разработанный метод к описанию колебаний струны; обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории;

обеспечить внедрение полученных результатов.

Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.

Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического, системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении

дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кугта восьмого порядка, при вычислении спектров - алгоритм быстрого преобразования Фурье).

Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы:

научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций, монографий отечественных и зарубежных авторов;

результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов. Научная новизна исследования.

1. Разработан метод аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими волновыми уравнениями.

2. Указаны границы применимости данной аппроксимации.

3. Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в самопроизвольном параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях возможны субгармонические резонансы -собственные колебания возбуждаются при частотах вынуждающей силы, меньших, чем частоты возбуждаемых мод.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:

согласованностью ' теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки;

использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования;

использованием традиционных методов измерений; соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям.

Научная ценность результатов исследования:

предложен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах;

полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов. Практическая значимость и реализация результатов работы. Материалы диссертационной работы используются: в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»;

в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов;

в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПбГУКиТ в 2007 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в виде депонированных рукописей и одна статья в периодическом издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с

введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22 страницах. Список литературы содержит 107 наименований. На защиту выносятся следующие положения.

1. Нелинейные волновые уравнения, описывающие колебания систем с распределенными параметрами могут быть аппроксимированы параметрическими уравнениями.

2. Границы устойчивости параметрических уравнений определяют пределы применимости параметрической теории.

3. Возможно самопроизвольное возбуждение собственных колебаний в распределенных системах, объясняемое неустойчивостью параметрических уравнений.

Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку целей и задач диссертационного исследования.

В первой главе содержится обзор известных на сегодняшний день теоретических представлений о колебаниях струны.

Уравнения движения однородной струны, расположенной по оси абсцисс и характеризуемой неподвижной (лагранжевой) координатой х, совпадающей с начальной длиной недеформированной струны, находящейся под некоторым начальным натяжением Т0, имеют известный вид

где х(х,/), у{х,г), - соответственно смещения в продольном и двух

поперечных направлениях, Е и р0 - соответственно модуль Юнга и плотность материала, из которого изготовлена струна, индексами обозначены

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(О

частные производные по соответствующим координатам, величина Я определяется как

Л = ^ + (2)

Если положить в (1) 2 г 0 и использовать приближение

7= (3)

Я VII + Хху + У1 2

то после отбрасывания нелинейных членов 0{х2}, О (У) получаются уравнения, полученные Кирхгофом:

Р0хи-{Е + Т0)ххх^Еуху:а,

- . 3 2 ^ (4)

РоУ„ ~ То У * = Е + Укх* + 2У'У**)'

На практике почти всегда выполняется условие Е » Г0, особенно для металлических струн. Таким образом, переходя к пределу Е-*<х>, можно исключить из системы (4) переменную х, если граничные условия имеют вид

*(0,Г) = 5с (/„,*) = 0, (5)

где /0 - длина струны, то есть для продольных колебаний соответствуют закрепленным концам. Интегрирование первого из уравнений (4) с учетом условий (5) и подстановка во второе уравнение дает:

У« =

где

{ с2 V А

\ о о

(6)

с]-^. (7)

Ро Ро

Величины с0, с, имеют физический смысл скорости распространения поперечных и продольных волн соответственно.

Известно, что решение уравнения (6) можно искать в виде равномерно и абсолютно сходящегося ряда по собственным функциям струны

ппх

п

В этом случае при подстановке (8) в (6) получаются уравнения (точками обозначены производные по t)■.

Если в спектре струны присутствует только одно собственное колебание с номером к: Уп = 0 при п Ф к, то получается уравнение Дюффинга

Решение уравнения Дюффинга выражается через эллиптические функции, и оно периодическое, причем период колебаний зависит от амплитуды, в чем проявляется общее свойство неизохронности нелинейных систем. Кроме того, кубическая нелинейность в уравнении (10) дает зависимость силы от смещения вида Р = называемой жесткой характеристикой (рис. 1).

Это соответствует физическим представлениям, согласно которым квазиупругие возвращающие силы возрастают с увеличением смещения. Это означает, что гибкость резко падает при отклонении струны от положения равновесия. Систему с жесткой нелинейностью также называют системой с отсечкой.

Однако если в спектре присутствуют два или более собственных колебания, а также в случае диссипативных и неавтономных колебаний аналитическое решение системы (9) невозможно. В этих случаях используют приближенные методы. Основные известные результаты получены в одномодовом приближении в квазилинейной трактовке, то есть решения ищутся в виде

о,

(10)

где

(П)

где амплитуда и фаза - медленно меняющиеся функции времени. Но в одномодовых приближениях исследуются колебания только в окрестности какой-либо собственной частоты. Построение общего решения на основе частных решений (12) невозможно, так как в нелинейных системах не применим принцип суперпозиции. Таким образом, анализ многочастотных колебаний и их устойчивости остается открытой проблемой.

Во второй главе исследуется задача приближенного анализа многочастотных колебаний систем с распределенными параметрами. Проблема ставится следующим образом. Поскольку в системе должен действовать принцип суперпозиции решений, то она должна быть линеаризована. Но обычная линеаризация не позволяет учесть ряд нелинейных эффектов в системе, которые представляют интерес. Предлагаемое решение - аппроксимация нелинейного уравнения линейным уравнением с переменными коэффициентами.

Пусть колебания некоторой континуальной системы описываются нелинейным волновым уравнением

и„=а(£,и)Ди, (13)

где и - вектор смещений, зависящий от времени I и от координат , и) - параметр, который в нелинейной системе является функцией смещения, £■«:!- малая величина, А - оператор Лапласа.

Представим функции и и а в виде рядов по степеням малого параметра е

/ \ 2 / \ (14)

а = я0 +еах(а) + еа2(и) + ...

Подставляя (14) в (13), имеем

и<°> + £4« = аоДи(°> + еа^ + (и(0>) Ди<°> + о(е*). (15)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £ в уравнении (15), получим для нулевого и первого приближений уравнения

и<°>-аоДи<°>=0,

и«-д0 Ди(,)=й1(и(0»)Ди('

(16)

Рассмотрим теперь параметрическое волновое уравнение

и„=а(гг,х„/)Ди, (17)

Полагая

(18)

имеем

откуда

а(£,х^) = а0+ щ (х,,?) + £2а2 (х(,/) + ... и|(0) + яи£) = я0Ли(0) + £д0Ди(1) + £й,(х„/)Ди((,) + о(е2), (19)

и^Ди'^О,

(20)

и^-аоДи^аДх^Ди'0).

Сравнивая уравнения (16) и (20), можно заключить, что при

а1(х„0 = А,(и(0)) (21)

нелинейное уравнение (13) эквивалентно параметрическому уравнению (17) с точностью до малого параметра е.

Изложенный метод позволяет перейти от нелинейного волнового уравнения к линейному параметрическому волновому уравнению. В случае наличия диссипативных потерь, вынуждающей силы в правой части

уравнения (13) общий характер задачи не меняется, доказательство проводится аналогично, и остается верной формула (21).

Возможность применения указанного метода к уравнению (6) неочевидна, так как перед нелинейным членом стоит большой параметр с,. Но можно показать, что заменами переменных уравнение (6) приводится к виду (13). Введем безразмерные переменные

Т = 4 = у^. (22)

/ I I

'о 'о 'о

Уравнение примет вид

^о о У

У«- (23)

Пусть заданы начальные условия, которые на отрезке £е[0,1]могут быть представлены равномерно сходящимися рядами Фурье по синусам:

у(£,0) = /(4) = £/й*шт£ = = (24)

п п

Обозначим

- = (25)

Величина а имеет физический смысл полной амплитуды колебания струны. Перейдем к новой переменной и:

и{£,т) = у{£,т)/е. (26)

Уравнение (23) примет вид:

„2 1, -

(27)

и„ -

1 +

—Сг

^о о

В новых неременных длина струны равна единице, следовательно, амплитуда £<тЛ. При £ —> О получается обычное линейное уравнение. Таким образом, можно заключить, что величина е2 есть малый параметр, следовательно, мы привели исходное уравнение (6) к виду (13).

Применяя приведенный выше метод к нелинейному уравнению (6), учитывая диссипативные потери, вводя коэффициент затухания 77, имеем:

.2 <,. .•> А

(2В)

о ■

2/оо

У„+2ПУ,

Подставляя решение линейного уравнения в общем виде

/> = е-'< £ sin (ónf + ам) sin тк//0, ¿)m=^co2m-T}2, (29)

m

и представляя общее решение уравнения (28) в виде

получаем в результате

Я, + + 0}] |l + ^е2*%т1Ага[1 - cos2 {áj + а,„)]\дп = 0. (30) I °'0С0 m J

В уравнениях (30) коэффициент перед qn периодически меняется,

следовательно, появляется возможность параметрической неустойчивости,

когда решения неограниченно возрастают. Условия, при которых

реализуется параметрическая неустойчивость, определяются параметрами

со„,Ат и определяют границы применимости параметрической теории.

Рассмотрим устойчивость уравнений (30) в более' жестком случае,

когда /7 = 0:

+ (fflef + «„)]L=0. (31)

[ S'o сй rn J

Если устойчивы уравнения (31), то заранее можно утверждать, что и уравнения(30)будут устойчивы.

Согласно теореме Флоке общее решение любого из уравнений (31) имеет вид

9(0 = СЛ(0 + СЛ(-/), (32)

где /(í) - ограниченная периодическая функция с периодом, равным к/а>к, где ак - наименьшая частота из всего множества ат, Я - ляпуновский

показатель. Если Яе(А) Ф О, то одно из линейно-независимых решений неограниченно возрастает. В случае, когда Ат= 0 для всех т Ф к имеем уравнение Матье, и функции есть функции Матье. Таким образом, из устойчивости уравнений Матье

'4п= 0 (33)

следует устойчивость уравнений Хилла (31).

Приведем (33) к стандартной форме уравнения Матье qr¡+{a-2bcos2т)qr, =0, используя замены

2 2 2

т = 0)к{ + ак-> а = ^ + 2Ь, Ъ = £^п2А2к. (34)

к ]Ы0с0

Если на карту устойчивости уравнения Матье нанести прямые а = и2/к1 + 2Ь, то точки пересечения этих прямых с границами зон устойчивости дадут критические значения ЬКР, которым соответствуют критические значения

амплитуд А^, при которых решения уравнений (33) и, следовательно, (31) неустойчивы (рис. 2).

Если затухание достаточно мало, так что в промежутке А! <к \/г] процесс с достаточной точностью описывается уравнением (31), то из устойчивости уравнения (31) следует устойчивость уравнения (30). Амплитуда Ак затухает экспоненциально, поэтому если ЛД=0 < А^г\ то при

всех остальных ? > 0 Ак< А[':г>.

Из (34) следует, что ~ с0/с,, откуда следует, что чем слабее натяжение струны, тем ниже значения критических амплитуд.

Ь

Рис. 2. Карта устойчивости уравнения Матье.

В третьей главе приводятся результаты численного моделирования параметрических и нелинейных колебаний струны. Рассмотрена задача о щипковом возбуждении струны длиной /0, закрепленной на концах. Для простого случая, когда начальное отклонение величиной Я струна получает посередине, результаты моделирования приведены на рис. 3-8. При построении решений были приняты следующие параметры: // - 0,01; с, /<?0 = 20; Я = 0,01 ■ /0; точка наблюдения - х0 = /0 /9.

Сравнение осциллограмм и спектрограмм, полученных из решений линейного, параметрического (30) и нелинейного (6) уравнений, позволяет сделать выводы о лучшем приближении к точному решению параметрической теории в сравнении с классической линейной теорией.

Г, г

Рис. 3. Численное решение линейного волнового уравнения при щипковом возбуждении струны посередине.

Л

Рис. 4. Спектр колебаний, представленных на рис. 3.

--1-----.--,-[————^--—т-'-1-г

О 20 40 60 80 100

Рис. 5. Численное решение параметрического волнового уравнения при щипковом

Рис. 6. Спектр колебаний, представленных на рис. 5.

0,3 0,2 0.1

Л_

н о -0.1 -од

О 20 40 60 80 100

Рис. 7. Численное решение нелинейного волнового уравнения при щипковом возбуждении струны посередине.

о

-10

-60 -so -100

Рис. 8. Спектр колебаний, представленных на рис. 7.

Спектр колебаний струны, как видно из рисунков 6, и 8, содержит частоты, которые превышают частоты собственных колебаний струны, даваемые формулой

fA, и = 1,2... (35)

¿ib

Данное увеличение частот собственных колебаний связано с известным свойством жестко-нслинейных систем, в которых частота свободных колебаний зависит от амплитуды.

В четвертой главе представлены результаты экспериментальной проверки предположений, сделанных на основе параметрической теории колебания струны. Эти предположения заключаются в следующем.

-181. Свободные колебания струны, как показано во второй главе, можно описать параметрическим уравнением (28). Можно указать условия, при котором собственные колебания этого уравнения неустойчивы. Таким образом, при увеличении начальной амплитуды и, соответственно, глубины модуляции параметра можно добиться параметрического возбуждения собственных колебаний струны, в том числе тех, которые отсутствовали в начальных условиях.

2. Пусть струна находится под действием внешней гармонической силы Рд (х,г) с частотой & < ю,, приложенной в точке х0:

/) = Ф05(х-х0)е*\ (36)

где Ф0 - амплитуда, 8(х) - дельта-функция. Классическое решение задачи на основе линейного уравнения без учета затухания имеет вид:

/V) „ (37)

Ро

Используя (37), можно получить параметрическое уравнение, приближенно описывающее колебания струны:

у„-г02(1 + /гсо82ш/)з;я = ^(х,г)/р0, (38)

где

= с0(\ + Р-г-Тл, В ------

1 + /Г и ' 8р010 со!-со2 '

Представляя решение уравнения (38) в виде ряда по синусам получим

¡}п + со1(\ +}гсоъ2(о{)дп~Впсс>5а)г, (39)

где

2 пгж2с2 Ф0 мп(яж<,//о) ®п ~—л—> вп = г—;--г-Т~-

К ДЛ -к

Если со < то условие резонанса с внешним воздействием не может быть выполнено, и параметрический резонанс возможен только в случае, если

решения однородных уравнений неустойчивы, что имеет место при выполнении условия

й)^, к = 1,2... (40)

к

Из соотношения (40) следует вывод: при возбуждении струны периодической внешней силой возможны резонансные явления на субгармонических частотах.

Таким образом, целью экспериментальных исследований было показать возможность параметрического возбуждения собственных колебаний струны.

Для первого эксперимента использовалась струна с навивкой, длинной 610 мм, настроенная на частоту 88,5 Гц. В ходе эксперимента производились измерения спектра свободных колебаний струны. Струна возбуждалась щипком в узлах 2-го, 3-го и 4-го собственных колебаний, то есть на расстояниях //2, I/3, //4 от края струны. Звукосниматель располагался на расстоянии //7 от края струны.

Измеренные спектрограммы приведены на рис. 6-8, из которых видно, что в спектре свободных колебаний струны присутствуют гармоники, узел которых приходится на точку возбуждения струны. Этот экспериментальный факт не может быть объяснен классической теорией колебаний струны, но является прямым следствием рассмотрения струны в качестве параметрической колебательной системы.

ОНг 77Н2

.Л.

/ \ Л Л 1

1 V ч л ЧЛм/ л Л

■д-с)— \ МЧг

-30dB -40сБ

Рис.9. Спектр свободных колебаний струны (основной тон _/^=88,5Гц), возбужденной в узле 2-й гармоники (на расстоянии //2 от края струны)

0№ 77Н2

1

г / 1" А \ 1

} ч г к \ 1 У Ч

1 1\ ч МЛ

-30с1В ■40с1В

Рис.10. Спектр свободных колебаний струны (основной тон ^ =88,5 Гц), возбужденной в узле 3-й гармоники (на расстоянии 1/3 от края струны)

Рис.11. Спектр свободных колебаний струны (основной тон /¡=88,5 Гц), возбужденной в узле 4-й гармоники (на расстоянии //4 от края струны)

В ходе второго эксперимента струна, длинной / = 610 мм, настроенная на частоту /¡ = 217 Гц, возбуждалась на расстоянии 1/12 от края струны синусоидальным сигналом на частотах fj 2, _/¡/3, fj 4, fj 5, соответственно 108,50; 72,33; 54,25; 43,40 Гц. Приемник, регистрирующий колебания расположен на расстоянии 1/1 от другого края струны. Расположение возбудителя и приемника колебаний выбрано таким образом, чтобы они не попадали в узлы собственных колебаний в исследуемой низкочастотной части спектра.

Измеренные спектрограммы приведены на рис. 9-12. По результатам измерений можно сделать следующие выводы: при параметрическом воздействии на струну возбуждается не только основной тон, но и его гармоники;

при уменьшении частоты возбуждения, то есть с ростом к в выражении m=ajk амплитуды гармоник уменьшаются; это связано с тем, что при больших значениях к зоны параметрического возбуждения сужаются, и растет порог возбуждения.

ОНг 155Н2

, 1 Л|

1 |

■ п. / л

V - Ч у Ц^

-ЗОЙВ -40dB

Рис. 12. Спектр вынужденных колебаний струны (частота основного тона - 217 Гц), возбуждаемой на частоте _/|/2 = 108,50Гц

ОНг 155Нг

шД/1'

■зоав

■40с1В

Рис. 13. Спектр вынужденных колебаний струны (частота основного тона = 217 Гц), возбуждаемой на частоте ^/3 = 72,33 Гц

1

Т

л 1 1,

ч .1' АдЛ^

Рис. 14. Спектр вынужденных колебаний струны (частота основного тона /=217 Гц), возбуждаемой на частоте /4 = 54,25 Гц

АЙЛАГ .т 1 \ л й-Д-Л ь/1 п||1

(тчнт- ] »Л/11!1

Рис. 15. Спектр вынужденных колебаний струны (частота основного тона = 217Гц), возбуждаемой на частоте /¡/5 = 43,4Гц

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Систематизированы основные сведения по теории нелинейных колебаний струны.

2. Впервые поставлена и решена задача аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими уравнениями. Указаны пределы, в которых справедлива данная аппроксимация. Разработанный

алгоритм перехода от нелинейных к параметрическим уравнениям применен к нелинейному уравнению колебаний струны.

3. Проведено численное моделирование свободных колебаний струны, описываемых параметрическим волновым уравнением, результаты которого показывают лучшее приближение к точному решению в сравнении с классической линейной теорией. Некоторые следствия нелинейности системы сохраняются в параметрической модели.

4. Экспериментально подтверждено следствие параметрической теории колебания струны. При свободных колебаниях жестко заделанной с двух концов струны возможно параметрическое возбуждение собственных колебаний и кратных им обертонов, которые отсутствовали в начальных условиях.

5. Экспериментально подтверждается, что при вынужденных колебаниях возможно субгармоническое возбуждение собственных колебаний струны, как это и предсказывается параметрической теорией колебания струны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Уваров В.К., Петров A.A. Исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях простой механической колебательной системы с сосредоточенными параметрами. Деп.рук. №192-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

2. Уваров В.К., Петров A.A. Экспериментальное исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях струны. Деп.рук. Ш94-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2-008.

3. Уваров В.К., Петров A.A. Экспериментальное исследование параметрических явлений при свободных колебаниях струны. Деп.рук. №193-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

4. Уваров В.К., Петров A.A. Параметрические колебания струны// Труды ЦНИИ им. акад. A.A. Крылова., вып. 52 (336), 2010, № 2-е. 187 - 192.

Подписано в печать! 5.11.10 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печ. л. !,0. Тираж 100 экз. Заказ 4.?/.

Подразделение оперативкой полиграфии ФГОУ ВПО «СПбГУКиТ». 192102. Санкт-Петербург, ул. Бухарестская, 22.