автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов параметрических колебаний

На правах рукописи

т/

Лысенкова Светлана Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г я ноя 2013

005540650

Сургут-2013

005540650

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа - Югры»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Тараканов Виктор Иванович

Баутин Сергей Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения», заведующий кафедрой Высшей и прикладной математики

Кучерявенко Дмитрий Григорьевич,

кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный нефтегазовый университет», доцент кафедры Автоматизации и вычислительной техники

Ведущая ФГБОУ ВПО «Югорский

организация: государственный университет»

(г. Ханты-Мансийск)

Защита состоится « 19 » декабря 2013 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет» по адресу: 625003 г. Тюмень, ул. Перекопская, 15а, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-библиотечном центре ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет».

Автореферат разослан « 18 » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Олейников Евгений Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Потеря устойчивости функционирования технических или физических систем носит разнообразный характер, при этом можно выделить такие виды потери устойчивости как: статическая, динамическая, при параметрических колебаниях и др. Под параметрическими колебаниями понимают колебания, при которых внешнее периодическое воздействие на систему входит в уравнение колебаний не в виде слагаемых, а в виде периодических коэффициентов при дифференциальных операторах.

При исследовании параметрических колебаний возникают определенные математические трудности, которые разрешают приближенными методами. Однако приближенные методы не дают математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.

Проблема параметрических колебаний чаще всего встречается в двух случаях: когда они сопровождаются наличием демпфирования, то есть внутреннего или внешнего трения, и когда они сопровождаются дополнительным движением системы в виде прецессии. Примером параметрической колебательной системы при наличии демпфирования могут быть качели, которые раскачивают стоя на них и приседая в такт колебаниям, а демпфирующей силой при этом является в основном аэродинамическое сопротивление. Явление прецессии встречается в гироскопических системах.

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов численного моделирования параметрических колебаний систем с учетом демпфирования и прецессии, а также исследование особенностей и закономерностей этих процессов с использованием нового итерационного алгоритма.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математического метода перехода задачи о нахождении границ между областями устойчивости и неустойчивости параметрических колебаний с учетом демпфирования к спектральной задаче для дифференциального уравнения.

2. Разработка математического метода перехода спектрального уравнения с учетом демпфирования в дифференциальной форме к спектральному уравнению в операторной форме.

3. Разработка программного комплекса для математического моделирования процессов параметрических колебаний на основе итерационной схемы.

4. Проведение исследования и построение областей устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров, характеризующих воздействие, приводящее к параметрическому резонансу.

5. Разработка математического метода перехода задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса к спектральному дифференциальному уравнению.

6. Разработка математического метода перехода спектральных уравнений при наличии прецессии в дифференциальной форме к спектральным уравнениям в операторной форме.

7. Проведение исследования и построение области существования прецессии маятника в плоскости параметров. Построение траектории движения конца маятника при прецессии.

Объектом исследования являются параметрические колебания с учетом демпфирования и прецессия плоскости колебаний маятника на

кардановом подвесе.

Предмет исследования - закономерности и особенности исследования областей устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров для параметрических колебаний с учетом демпфирования и возникновение прецессии при колебаниях маятника на кардановом подвесе.

Методы исследования. Теория итерационных алгоритмов для решения спектральных задач с интегральными операторами, методы программирования, теория дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие трем пунктам специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:

Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений. Новый математический метод по моделированию параметрических колебаний с учетом демпфирования, на основе которого дифференциальная задача сводится к спектральной с интегральными операторами. Новый математический метод по моделированию прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе.

Пункт 2: Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей. Численный метод решения спектральной задачи для линейного пучка интегральных операторов.

Пункт 4: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Программный комплекс раз-

работанного итерационного алгоритма на основе численного решения задач устойчивости при параметрических колебаниях с проведением различных видов тестирования и обоснование существования прецессионного движения маятника на кардановом подвесе.

Таким образом, в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 в диссертации присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.

1. Получен новый математический метод исследования спектральной задачи с интегральными операторами для расчета границ устойчивости параметрических колебаний с учетом демпфирования.

2. Получен новый математический метод исследования спектральной задачи с интегральными операторами для расчета области прецессии в плоскости параметров маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса.

3. Предложен новый численный метод для решения спектральных задач.

4. Создан программный комплекс для математического моделирования процессов параметрических колебаний.

5. Построены зоны устойчивости и неустойчивости для параметрических колебаний с учетом демпфирования.

6. Построена область прецессии в плоскости параметров маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса.

Достоверность результатов исследования обеспечивается: математически строгими доказательствами, совпадением оценки качественного поведения областей в задачах устойчивости с известными ранее диаграммами Айнса-Стретга.

Практическая значимость. Сделан существенный вклад по внедрению в научный арсенал методов исследования устойчивости нового, эффективного итерационного алгоритма. Для параметрических колебаний с учетом демпфирования получены области устойчивости, пригодные для инженерной практики и обобщающие аналогичные результаты Айнса-Стретта. На основе теоретичес-„л исследований и численных расчетов открыт новый физический эффект существования прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса. Разработан комплекс программ для численного нахождения спектральных чисел задачи о

параметрических колебаниях при наличии демпфирования и задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры прикладной математики, строительные технологии и конструкции, лаборатории математического моделирования в строительстве Сургутского государственного университета и на следующих конференциях:

- VIII Окружная конференция молодых ученых «Наука и инновации XXI века», г. Сургут (2007 г.);

- IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск (2008 г.);

- Всероссийская конференция по математике и механике, г. Томск

(2008 г.).

Публикации. Основные результаты отражены в 7 публикациях, в том числе 4 публикации в рецензируемых журналах из перечня ВАК, получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участвовал в формулировках постановок задач, создал и реализовал в виде комплекса программ численный метод для моделирования параметрических колебаний систем с учетом демпфирования и прецессии. Автор исследовал операторные уравнения, рассматривал вопрос возможности применения итерационной схемы, анализировал результат.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 68 наименований. Общий объем работы составляет 100 страниц, в том числе 24 рисунка и 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования в области параметрических колебаний.

В первой главе проводится обзор литературы по тематике связанной с параметрическими колебаниями, формулируется цель, объект, предмет, задачи исследования, научная новизна и др.

При отсутствии демпфирования проведены достаточно полные расчеты, характеризующие границы между областями устойчивости и неустойчивости, которые называются диаграммами Айнса-Стретта. Построение этих диаграмм было основано на свойствах функций Матье, являющихся решениями уравнения параметрических колебаний у" + [a + qcos2t]y = Q . Если в уравнении у" + [а + qy(t)]y = 0 периоди-

ческая функция ф(0^со$2с, то для его решения можно использовать результаты Флоке (1883).

По анализу устойчивости решения уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования у" + Э/ + = о имеется большое количество литературы. Основным содержанием этих работ является получение оценок, характеризующих области устойчивости в плоскости параметров. Однако ни в одной из этих работ не приводятся диаграммы, точно описывающие эти области в случае 3*0 типа диаграмм Айнса-Стретта.

Теория колебаний маятника при вертикальных вынужденных колебаниях точки подвеса и колебаниях маятника в одной плоскости рассматривались во многих работах, как экспериментально, так и теоретически, при этом был установлен интересный эффект стабилизации маятника в перевернутом положении, когда центр тяжести маятника был выше точки подвеса. Этот эффект в ряде работ обобщался на исследование устойчивости некоторых технических систем с вибрирующим основанием.

Обширный материал по исследованию различных видов маятников и маятниковых систем приведен в работе Т.Г. Стрижак.

Анализ литературы показал, что схема появления прецессионного движения плоскости колебаний маятника ранее не рассматривалась.

Интерес представляет не только сам механический эффект, но и его математическое обоснование, а также метод численного нахождения параметров прецессии.

Во второй главе в разделе 2.1 рассматривается математическая модель задачи исследования устойчивости параметрических колебаний с демпфированием:

/ + Э У + [я + ?ф(|)]у = 0, 0</<°о, д*0,

*Г (1)

ф(/) = ф(/ + я), 1<р(0Ж = 0, ¡ф(0) 2 1, <р(0 е С(0,2п).

о

Уравнение является исходным для математических исследований и расчетов, но не для реального использования в физике и технике, где оно имеет следующий вид:

/ + »о /+ 1а0 + <?0Ф(ют)1У = 0, (2)

Здесь х - размерное время, Э0- некоторый коэффициент трения, ао> Яо~ параметры, характеризующие воздействие, приводящее к параметрическому резонансу, со - частота этого воздействия. При переходе к безразмерному времени / = сот/2 получается уравнение, где ве-

личины 9 = 2Э0 /со, а = 4а0/ы2, ^ = 4^0/ю2 являются безразмерными.

Коэффициент 9 называется коэффициентом демпфирования, коэффициент д- коэффициентом возбуждения колебаний.

В разделе 2.2 задача нахождения границ устойчивости решения уравнения (1) сводится к спектральной задаче. На основе теории Флоке решение уравнения (1) представляется в виде

у(0 = ю, (1)ехр(- 1п о,) + со2 (¡)ехр{- 1п ст2), л 71

мультипликаторы ст^ а2 являются корнями уравнения

с2 -2ра+ехр(-Эгс) = 0, р = ^[д:1(71)+х2(п)], (4)

где х1(0,х2(0 частные решения уравнения (1), с начальными условиями

*,(<>) = 1, х|(0) = 0, х2(0) = 0, ^(0) = 1. Кривая в плоскости ад, отделяющая зоны устойчивости и неустойчивости решения уравнения (1), обозначается символом Г.

Теорема 1. На кривой Г мультипликаторы ст1,ст2 принимают

только один из двух вариантов значений:

ст, =1, ст2 = ехр(-Эл); ст, = -1, 02 = -ехр(-Э71).

Сопоставим задаче нахождения кривой Г спектральную задачу для дифференциального уравнения

/ + 8 / + Ц1 + г)ф(0]у = 0, 0 < Г < 2л, (5)

с краевыми условиями

у(0) = у(2п), (6)

/(0) = /(2я)ехр(2Эя) (7)

и функциональным условием

уеСДОя), (8)

где Х- спектральный параметр, который зависит от переменного параметра г) и принимает такие значения, при которых система (5) - (8)

имеет нетривиальное решение.

На промежутке 0 < ? < 2л уравнения (1) и (5) совпадают, если положить

\ = а, д = г\а. (9)

Теорема 2. Если решение спектральной задачи в дифференциальной форме (5) — (8) существует, то множество Г состоит только из точек a, q, полученных по формулам (9), а задача исследования и вычисления кривой Г эквивалентна проблеме исследования и вычисления спектра задачи (5) — (8).

Основным результатом главы являются краевые условия (б), (7) которые дают возможность перейти от бесконечного промежутка к конечному.

В третьей главе в разделе 3.1 осуществляется переход от спектральной задачи (5) - (8) в дифференциальной форме к эквивалентной задаче в операторной форме. Рассматривается уравнение

и = Fu + ХВи,и е Н, (10)

где спектральный параметр, H - гильбертово пространство.

Операторы В, F задаются в следующем виде

I I . 2п

Bu= \f{x)u(x)ck - ДО |и(т)<Л - Л, («) - /0)~г ]/(т)и(т)А,

0 0 J { ' о

/(0 = |ехр(Э(т - у))[1 + ЛФ(т)К У = lin' + exp*29*),

о » 2

1 \2f' '1 f2* Y2* ÏI

= — j |/(тМт)Л - до \u{x)dx dt - |/(2Tt)j \f(t)dt 1 \f{x)u{x)dx .

l°Lo о J 1.0 Ào JJ

F(u) = [l - exp(S(i - y))}/ + h2 (u), i 2*

*2(î0= — Г[еХР(Э(/-У))-1]иЛ.

2л о

Собственные числа и соответствующие собственные функции уравнения (10) можно находить последовательно, начиная с первого, по следующей итерационной схеме:

и*+1 = Fuk+akAnk, к = 1,2,3,..., щ=АИ, heH,

OD

Данный итерационный алгоритм сходится к решению уравнения (Ю)всмысле lim ак = Я.2, lim \ик —q>,jl2 =0, где первое спектральное

it-HM t-Кя" "

число, ф! - первая собственная функция, параметры ак монотонно уменьшаются на итерациях ак >cri+1.

Последующие спектральные числа X) и собственные функции ср, находятся по индукции на основе построения вспомогательных операторов Рт, Ат, т — 2,3,4,... и итерационного алгоритма (11).

Теорема 3. При любом значении параметра 0 < < со и любом значении коэффициента демпфирования 9, 0 < 3 < нахождение множества а,деГ для уравнения (10) эквивалентно решению спектрального уравнения на основе итерационного алгоритма, при этом параметры а,д связаны с параметрами X, ,г| соотношениями

а, = X,, Я, = М, где а, =а, (<з,/) - отдельные ветви многозначной функции Г.

Для любого значения коэффициента 3 в плоскости ад имеется бесконечная последовательность чередующихся областей устойчивости и неустойчивости решения уравнения (1).

В разделе 3.2 описывается программный комплекс и результаты численного счета.

Программный комплекс написан с использованием модульного подхода, структура его представлена на рис. 1. Программа состоит из четырех основных частей, содержащих модули для расчета: спектральных чисел уравнения колебаний при наличии демпфирования, погрешности независимым способом по величине невязки, спектральных чисел уравнения колебаний при наличии прецессионного движения маятника на -кардановом подвесе, координат точек траектории движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса.

Один из дополнительных модулей комплекса содержит операторы описания именованных констант и основных переменных, которые используются для расчета и сохранения результатов. Другой модуль содержит процедуры, отвечающие за задание начальных условий. Таким образом, при изменении решаемой задачи требуется изменять только эти процедуры без необходимости модификации тела основной программы. Вспомогательная процедура инициализирует переменные, хранящие значения количества расчетных точек, шага по времени и управляющих параметров, сохраняет промежуточные значения переменных в файл, служит для вывода данных на экран, записи результатов расчетов в файлы.

Разработанный программный комплекс оснащен оконным пользовательским интерфейсом, позволяющим варьировать условия задачи без изменения и перекомпиляции исходного кода.

Вычисление части кривой Г, соответствующей в плоскости ад границе между первой зоной устойчивости и зонами неустойчивости, проводилось на основе итерационной схемы при задании функции ф(/) = со$2л

Результаты расчетов контролировались двумя способами:

1. По величине относительной невязки уравнения (10):

6 -

1 М+ККМ'

2. Независимым способом, минуя теоремы 2 и 3. По величине невязки

_ |[*,(7г) + 4(ОР -(1 + ехр(-Эл))2|

2 [*,(70 + 4(т0р + (1 + ехр(-Эя))2 ' В этом случае величина х, (7г) + д:^ (л) находилась из численного решения дифференциального уравнения (1) на промежутке (0,я). Причем в качестве параметров а и ц в уравнение (1) подставлялись параметры, найденные по итерационной схеме (11).

Интегралы в операторах считались по квадратурным формулам трапеций с числом узлов на промежутке (0,2л) равным 3000. При расчетах параметр г) варьировался с переменным шагом от 0,1 до 1000, для ошибок е15 е2 выполнялись неравенства б, <10~5, б2 - 10~2.

В качестве примера для 9 = 0,01; а = 1,025; = 0,051 в табл. 1 приводится значение погрешности е2 в зависимости от величины шага Л(к

в конечно-разностной схеме решения уравнения (1) на промежутке (0,л) при равномерном разбиении промежутка.

Таблица I

Значения погрешности е2 в зависимости от величины шага /кк

п-10'3 71-Ю"4 я-Ю-5 л-Ю-6

е2 0,005 0,003 0,001 0,0004

Рис. 1. Структура программного комплекса для численного моделирования задач параметрических колебаний

Уменьшение шага Л(к приводит к лучшей конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения (1), повышению точности его решения, уменьшению ошибки е2. Однако это происходит пока величина Лгк не достигнет некоторого малого значения, когда ошибка в2 начинает возрастать с уменьшением шага А(к , что связано с увеличением погрешности от представления чисел с конечным числом значащих цифр в компьютере и погрешностей выполнения арифметических операций.

Результаты численных расчетов кривой Г для значений 9 = 0,01; 9 = 0,1; 9 = 0,2; 9 = 0,3; 9 = 0,4; 9 = 0,5; 9 = 1 приведены на (рис. 2-8), в силу симметрии кривой Г относительно оси а, показаны только кривые в полуплоскости д>0 .

-г \

1 .............,.1 к

1 ............-оЦ 1

-м- к \ г —I

0*—^ 0 шш 5 / 1 5 2

Рис. 2. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: & = 0,01

Рис. 3. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: 9 = 0,1

- - * 3

........ .........„_ „ : \ ь......

1=5 ■ \ " V* ...............-ч ...........-.........0,-в-К -г———-

.......................0:5- \ -№ .. . -

О*

\

0.2 \

0.1

Рис. 4. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: 9 = 0,2

!------«н?

Рис. 5. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: 9 = 0,3

......г..... —V

Щ

-------------еяг ................о;е-

----о.г-

Рис. 6. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: & = 0,4

Рис. 7. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: 9 = 0,5

\

Ч»

ч

\ "

V

д

1

1

: 1

Рис. 8. Зоны устойчивости и неустойчивости для значения: 9 = 1

На рисунках зоны устойчивости окрашены в серый цвет, а зоны неустойчивости имеют белый цвет.

Общая картина изменения зон устойчивости и неустойчивости.

• При значении 9 = 0,01 граница практически не отличается от границы на диаграмме Айнса-Стретга, в которой полагается 9 = 0,00.

• Первая зона устойчивости монотонно растет с увеличением 9, причем ее левая граница асимптотически стремится к оси д при а = 0 , а правая граница перемещается по оси а вправо и вверх по оси ц.

• Зона неустойчивости при а > 0, <7 > 0 также перемещается вправо и вверх, не отрываясь от оси а при <7 = 0 , где имеется кратная точка. Ширина зоны монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю.

Характер участков кривой Г, которые получались приближенными методами, качественно отличается. С ростом коэффициента 9 кривые отделяются от кратных точек, но перемещаются не вправо по оси а, как в настоящей работе, а вверх по оси <7.

В главе 3 речь идет о решении не единственной задачи, так как исходное уравнение содержит произвольную, я - периодическую функцию ф(0. Численное решение задачи проводилось, когда функция ср(/)

задавалась в виде ср(0 = соб2/.

В четвертой главе рассматривается возможность появления прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе, структура которого приведена в разделе 4.1. При этом маятник совершает вынужденные колебания в вертикальном направлении и может совершать колебания относительно точки подвеса в любой плоскости, а плоскость колебаний может свободно поворачиваться. Схема маятника на кардановом подвесе изображена на рис. 9.

В разделе 4.2 осуществляется математическая постановка задачи.

Система уравнений получается в следующих предположениях.

• Угол отклонения маятника относительно вертикальной оси г мал и синус этого угла можно заменить на величину угла.

• Угол 9 между плоскостью колебаний и осью координат л; является функцией времени /.

• Маятник представляет невесомый стержень длиной I, имеющий на конце сосредоточенную массу т .

• Периодическое внешнее воздействие на вертикальной оси имеет гармонический характер с частотой ю и амплитудой 5, поэтому, смещение Ж точки подвеса в вертикальном направлении задается соотношением Ж = -8созк>Л

Используя закон сохранения момента количества движения маятника относительно точки подвеса, получаем:

I(p"x +ml(g + 6ю eos coi )ф* = О,

(12) (13)

Лру + ml(g + 5оз eos (üt)q>y = О, где <рг, ф); - проекции угла отклонения маятника относительно вертикальной оси на оси х,у,1 -момент инерции маятника, g - ускорение силы тяжести.

Переходя к безразмерному времени т = и

безразмерным параметрам a, q

4 mgl .. mi а = —-——, <7 = 45—, ш2 / /

уравнения (12), (13) можно переписать в виде

ф" + (a + qcos2x)<px - 0, (14)

ф^ +(a + qcos2x)(py =0. (15)

Представим функции срх(т),ф^(т) в виде

Ф^ = Rl (т) eos ат +Л2 СО si" ат, (16) ФУ = ■RI(T)smaT-/?2(i:)C0SaT> (17)

где а — постоянная составляющая скорости прецессии маятника. Вводя обозначения r\=q/X, у(т) = 1+r)cos2r, X = а - а2, получим R"+2aR'2+X\y(i)Rl=0, (18)

R¡ - 2aR{ + Хц1(г)Я2 = 0. (19)

Нетривиальное решение уравнений (18), (19) будем искать в классе непрерывных и непрерывно дифференцируемых, л - периодических функций, что приводит к следующим краевым условиям

Rl(0) = Rl(n),R2(0) = R2(n), R[(0) = R¡(n), R'2 (0) = R'2 (n). В главе пятой в разделе 5.1 произведено математическое моделирование операторной формы спектральной задачи. В гильбертовом пространстве Н рассматривается спектральное уравнение относительно спектрального параметра X

u = Gu + ХАи, иеН. (21)

Рис. 9. Маятник на кардановом подвесе: 1 - маятник, 2 - нижняя вилка, 3 - подшипник, 4 - крестовина, 5 - верхняя вилка, 6 - опора, 7 - шток

(20)

Оператор А задается следующим образом

' А\\ и, О

Аи =

Аии2

о о ^п>о

t

/(т)= |(1 + г\соз2т)Л.

о

Оператор О задается следующим образом

О

йи = а

у-Оищ О

т

Спик = + И2(ик), к = 1,2.

о

Теорема 4. Уравнение (21) имеет, по крайней мере, одно действительное значение спектрального параметра X = Ца, п) пРи всех значениях 0<а<2, 0<т|<1.

Для получения значения спектрального параметра X при разных значениях параметров а, г| можно использовать итерационную схему

г(к +1) = в2{к) + <зкАг{к), к = 1,2,3,..., = АИ, ЬеН

ок = |Иг(^)|Г2|-(МЪ,Ог(к)) + ((Аг(к),Сг(к))2 + Щк^(||г(*)|2 -||Ог(*)||2

где к - номер итерации. Итерационная схема всегда сходится.

Теорема 5. В плоскости параметров Х,д (<г/ = ЛГ|) существует, по

крайней мере, одна зона устойчивости, в которой имеется нетривиальное решение спектральной задачи (18) - (20) при а * О.

Отсюда следует существование, по крайней мере, одной зоны устойчивости, в которой существует прецессия при параметрических колебаниях маятника. Вопрос о том, все ли зоны устойчивости являются зонами прецессии, остается открытым.

В разделе 5.2 строится на основе итерационной схемы алгоритм численных расчетов, с использованием разработанного программного комплекса.

На каждой итерации для итерационных параметров ак должно выполняться условие ок> ак+,, а для нормы ||z(A)jj = ||z(k +1)|, Vk .

Погрешность решения, оценивалась по величине невязки \\z{k)-Gz{k)-akAz{k)\

Для всех проведенных расчетов е < 0,000001.

Тестом для решаемой задачи явилось совпадение границы зоны прецессии с кривой, отделяющей зону устойчивости и неустойчивости на диаграмме Айнса-Стретта.

Все интегралы в операторах вычислялись по квадратурным формулам трапеций с равномерным разбиением интервала 0 < х < л на 2000 частей.

На рис. 10 представлена функциональная зависимость a = a(k,q), где X результат численного решения спектральной задачи (21), q определяется формулой q = >.г| = q(a,r\). Зависимость a = a(A, q) представлена в виде линий уровня a = const. Серым цветом выделена зона, в которой решение спектральной задачи отсутствует.

Результаты, представленные на рис. 10, переносятся на плоскость физических параметров a,q (рис. 11), где а = Х + а2 = \(a,q) + a2.

Рис. 10. Линии уровня a = const функциональной зависимости a = а(Х, q) , где значения а обозначены числами на кривых

На рис. 11 серым цветом окрашена зона параметров а, с? в которой существует прецессия боковых колебаний маятника. Эта зона представляет криволинейную полосу, отделяющую с одной стороны зону неустойчивости колебаний (кривая 1 на рис. 11), а с другой стороны зону, в

которой боковые колебания маятника отсутствуют при сохранении вертикальных колебаний (кривая 2 на рис. 11).

Кривая 1 совпадает с кривой, отделяющей зоны устойчивости и неустойчивости на диаграмме Айнса-Стретта, и на кривой 1 скорость прецессии а равна нулю.

На (рис. 12-17) изображена траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при различных значениях а, г|.

От величины а зависит число колебаний при минимальном числе оборотов по орбите для полного периода периодической кривой (табл. 2). Данная зависимость реализуется не при всех а, а только тогда, когда значения параметров а,д попадают в зону прецессии.

Если отношение а/г\ является иррациональным числом, то теоретически совпадения начала и конца циклов не будет, но при численных расчетах, когда иррациональное число аппроксимируется рациональным числом, такое совпадение будет выполняться. Следует подчеркнуть, что величины ср(, <р характеризуют безразмерные угловые амплитуды поперечных колебаний маятника.

Таблица 2

Значения числа колебаний (А) при минимальном числе оборотов (я) по орбите до появления периодического решения

Рис. 11. Зона прецессии на части диаграммы Айнса-Стретта в плоскости параметров а, д

а о" о" •Ч о" 0,25 т о" 0,35 ч о" 0,45 'Г, о" 0,55 о" 0,65 о"

к 10 20 5 4 10 20 5 20 2 20 5 20 10

п 1 3 1 1 3 1 2 9 1 11 3 13 7

Рис. 12. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = 0,1,11 = 0,08

Рис. ] 3. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = 0,1, Л = 0,11

Рис. 14. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = ОЛ.г) = 0,14

Рис. 15. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = 0,15,л = 0,29

Рис. 16. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = 0,2,л = 0,0615

Рис. 17. Траектория движения конца маятника на плоскость ортогональную оси подвеса при а = 0,3,11 = 0,01

Так как необходимо было численное подтверждение самого факта прецессии, расчеты были ограничены первой зоной устойчивости параметрических колебаний на диаграмме Айнса-Стретта, где такая зона устойчивости нашлась.

В заключении описаны результаты работы и положения, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан математический метод перехода задачи о нахождении границ между областями устойчивости и неустойчивости параметрических колебаний с учетом демпфирования к спектральной задаче для дифференциального уравнения.

2. Разработан математический метод перехода спектрального уравнения с учетом демпфирования в дифференциальной форме к спектральному уравнению в операторной форме.

3. Разработан программный комплекс для математического моделирования процессов параметрических колебаний на основе итерационной схемы.

4. Проведено исследование и построены области устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров, характеризующих воздействие, приводящее к параметрическому резонансу.

5. Разработан математический метод перехода задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса к спектральному дифференциальному уравнению.

6. Разработан математический метод перехода спектральных уравнений при наличии прецессии в дифференциальной форме к спектральным уравнениям в операторной форме.

7. Проведено исследование и построена область существования прецессии маятника в плоскости параметров. Построены траектории движения конца маятника при прецессии.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

1. Тараканов В.И., Лысенкова С.А. Итерационный алгоритм определения устойчивости уравнения колебаний при наличии демпфирования // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН Сиб. отд. (Новосибирск). - 2012. -Т. 15, № 1.-С. 103-119.

2. Тараканов В.И., Лысенкова С.А., Нестеренко М.В. Прецессия при параметрических колебаниях маятника на кардановом подвесе // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН Сиб. отд. (Новосибирск). - 2013. -Т. 16, № 4. - С. 393-404.

3. Tarakanov V.I., Lysenkova S.A. Iterative algorithm of determining the stability of an equation of oscillations with damping // Numerical Analysis and Application, Pleiades Publishing Inc. - 2012. - Vol. 5, № 1. - P.84-98.

4. Tarakanov V.I., Lysenkova S.A., Nesterenko M.V. The precession of a parametric oscillation pendulum with the Cardano suspension // Numerical Analysis and Application, Pleiades Publishing Inc. - 2013. - Vol. 16, № 4. -P. 370-381.

Публикации в других изданиях

5. Тараканов В.И., Лысенкова С.А. Параметрический резонанс при импульсном нагружении // Тр. СурГУ. № 25. Физ.-тех. науки. - Сургут, 2006.-С. 62-70.

6. Тараканов В.И., Лысенкова С.А., Нестеренко М.В., Никифоров И.В. Линейный пучок компактных, частично симметричных операторов в гильбертовом пространстве // Математические идеи П.Л. Чебышева их приложение к современным проблемам естествознания: Тез. докл. 4-ой Междунар. конф. - Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2008. - С. 72-73.

7. Тараканов В.И., Лысенкова С.А., Нестеренко М.В., Никифоров И.В. Итерационные алгоритмы нахождения спектра компактных, частично симметричных операторов в гильбертовом пространстве // Всероссийская конференция по математике и механике: Тез. докл. - Томск, 2008. -С. 150.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ

8. Лысенкова С.А. Свидетельство о регистрации программы «Программа для вычисления параметров прецессии маятника на кардановом подвесе». - 2012. - № 2012616893.

9. Лысенкова С.А. Свидетельство о регистрации программы «Программа нахождения спектральных чисел уравнения колебаний при наличии демпфирования». - 2012. -№2012616894.

Лысенкова Светлана Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 15.11.2013 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 120. Заказ № 84.

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе издательского центра СурГУ. Тел. (3462) 76-30-65, 76-30-66.

Отпечатано в полиграфическом отделе издательского центра СурГУ. г. Сургут, ул. Энергетиков, 8. Тел. (3462) 76-30-67.

ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет ХМАО - Югры» 628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, пр. Ленина, 1. Тел. (3462) 76-29-00, факс (3462) 76-29-29.

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования «Сургутский государственный университет ХМАО - Югры»

На правах рукописи

04201452552 Лысенкова Светлана Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Тараканов

Сургут-2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3

ГЛАВА 1. Обзор литературы. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем..................................................................................................7

1.1. Обзор литературы..........................................................................................................7

1.2. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем. Научная новизна исследования............................................................................................................................15

ГЛАВА 2. Математический метод перехода от постановки задачи

исследования устойчивости параметрических колебаний с демпфированием к спектральной задаче в дифференциальной форме.............................................23

2.1. Постановка задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования...............................................................................23

2.2. Сведение задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования к спектральной задаче в дифференциальной форме ......................................................................................................................................26

ГЛАВА 3. Замена спектральной задачи в дифференциальной форме

исследования параметрических колебаний с демпфированием спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором................................37

3.1. Операторная форма спектральной задачи.................................................................37

3.2. Численные расчеты. Описание программного комплекса......................................48

ГЛАВА 4. Математический метод перехода от задачи исследования

прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе к спектральной задаче

в дифференциальной форме.................................................................................61

4.1. Маятник на кардановом подвесе................................................................................61

4.2. Математическая постановка задачи исследования прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе............................................................................................................63

ГЛАВА 5. Замена спектральной задачи о прецессии маятника на кардановом

подвесе спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором и численное решение этой задачи...................................................70

5.1. Операторная форма спектральной задачи.................................................................70

5.2. Численные расчеты.....................................................................................................76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................91

ЛИТЕРАТУРА

94

ВВЕДЕНИЕ

Колебательное движение - одно из самых распространенных в природе: разнообразные маятники, колебания атомов и молекул, колебания мембран и оболочек и др.

Потеря устойчивости функционирования технических или физических систем носит разнообразный характер. Одним из видов этой потери устойчивости является потеря устойчивости при параметрических колебаниях. Под параметрическими колебаниями понимают колебания, при которых внешнее периодическое воздействие на систему входит не в виде слагаемых в уравнение колебаний, а в виде периодических коэффициентов при дифференциальных операторах.

При исследовании параметрических колебаний возникают определенные математические трудности. Поэтому во многих случаях они проводились приближенными методами. Однако приближенные методы не дают математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.

Эта проблема встречается чаще всего в двух случаях: когда параметрические колебания сопровождаются наличием демпфирования, то есть внутреннего или внешнего трения, и когда параметрические колебания сопровождаются дополнительным движением системы в виде прецессии. Примером параметрической колебательной системы при наличии демпфирования могут быть качели, которые раскачивают стоя на них и приседая в такт колебаниям, а демпфирующей силой при этом является в основном аэродинамическое сопротивление. Явление прецессии встречается в гироскопических системах, а также в задачах небесной механики.

Одна из интересных особенностей такой системы с параметрическими колебаниями - параметрический резонанс. Параметрический резонанс состоит в том, что при некоторых соотношениях величин являющихся

параметрами уравнения колебаний в системе возникают нарастающие во времени колебания.

Следует учесть, что наличие внешнего или внутреннего трения не только ограничивает амплитуду параметрических колебаний, но и меняет зоны параметрического резонанса. Поэтому определение границ зон устойчивости параметрических колебаний с демпфированием при параметрическом резонансе и является важным для исследования устойчивости технических систем

При параметрических колебаниях может возникать прецессия. Явление прецессии заключается в движении оси вращения тела, при котором ось описывает круговую коническую поверхность.

Таким образом, моделирование процессов параметрических колебаний систем при наличии трения и прецессии представляет интерес для исследования устойчивости физических и технических систем

Математические модели параметрических колебаний представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, содержащие переменные коэффициенты. Для таких уравнений точное решение не было получено и на практике используют приближенные методы (метод Ритца, метод Бубнова-Галеркина и др.). Поэтому возникает проблема математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.

Математически корректное моделирование фактически состоит из трех этапов. Первый этап заключается в разработке спектральных уравнений в дифференциальной форме, которые бы давали возможность в плоскости параметров строить зависимости описывающие данные явления, т.е. границу между областями устойчивости и неустойчивости для уравнения параметрических колебаний при демпфировании, и области параметров, для которых может существовать прецессия. Второй этап заключается в переходе

от спектральной задачи в дифференциальной форме к эквивалентной задаче с интегральными операторами.

Третий этап заключается в теоретическом и численном исследовании данных спектральных задач с интегральными операторами на основе новых математических итерационных алгоритмов, сходимость которых доказана только для спектральных задач с интегральными операторами, но не с дифференциальными операторами.

Известное неудобство при использовании предлагаемых итерационных алгоритмов представляет то, что спектральную задачу в дифференциальной форме необходимо приводить к эквивалентной спектральной задаче с интегральными операторами, чтобы обеспечить компактность этих операторов.

Однако это неудобство искупается следующими важными преимуществами:

• После численного решения на основе предлагаемой итерационной схемы спектральной задачи возможна самопроверка решения, путем подстановки полученного решения в исходное операторное уравнение и оценки невязки удовлетворения этого уравнения. Сделать такую самопроверку для уравнения в дифференциальной форме невозможно.

• На основе получаемого итерационного алгоритма возможно теоретическое исследование спектральной задачи, в том числе и оценки факта существования дискретного спектра, наличия точек сгущения, а также оценки функциональных свойств получаемых собственных элементов. Таким образом, в этом случае достигается методическое единство теоретического исследования и численного решения.

Содержание диссертации разбито на пять глав, первая из которых содержит вводный материал, вторая и третья глава связаны с решением

задачи о параметрических колебаниях с учетом демпфирования, четвертая и пятая глава содержит постановку и решение задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе при вынужденных периодических вертикальных смещениях точки подвеса.

Разбиение изложения каждой задачи на две главы связано с тем, что методически вторая и третья главы не связаны между собой и каждая из них представляет самостоятельный интерес в научном плане. Но третья глава в содержательном плане является продолжением второй главы, а пятая глава продолжением четвертой главы.

ГЛАВА 1. Обзор литературы. Развернутая формулировка цели работы и

решаемых проблем.

1.1. Обзор литературы

Впервые параметрические колебания были описаны Фарадеем в 1931 году [63]. Он наблюдал параметрические колебания жидкости в сосуде. В 1859 году Мельде наблюдал параметрические колебания струны [65]. Теоретические обоснования этим явлениям были даны Релеем в 1883 году.

При отсутствии демпфирования проведены достаточно полные расчеты, характеризующие границы между областями устойчивости и неустойчивости, которые называются диаграммами Айнса-Стретта. Эти диаграммы впервые были приведены в английском издании книги [39], русский перевод которой вышел в 1935 г.

Построение этих диаграмм было основано на свойствах функций Матье, являющихся решениями уравнения параметрических колебаний у,11+[а + дсо$2^у = 0. На плоскости амплитуда - частота воздействия существуют зоны неустойчивости, которые имеют вид характерных клювов, расположенных в окрестности резонансных частот. Добавление линейного затухания не стабилизирует неустойчивости, а лишь сужает границы зон.

Диаграммы Айнса-Стретта в разных масштабах и с приведением разного количества зон устойчивости воспроизводят во многих учебниках и монографиях [2, 6, 7, 8, 14, 32, 36, 55, 60].

Для исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно использовать метод Ляпунова, метод усреднения [7, 25, 27]. Устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса, исследована, например, в работе Меркина Д.Р. [25] с использованием метода усреднения и показано, что при некоторых частотах вибрации нижнее устойчивое состояние маятника может стать неустойчивым

из-за резонансных явлений, и наоборот, верхнее неустойчивое состояние маятника можно сделать устойчивым с помощью высокочастотной вибрации.

Рис. 1. Диаграмма Айнса-Стретта. Заштрихованы зоны устойчивости

На рис. 1. изображена диаграмма, где в координатах aq (коэффициентов уравнения Матье) изображены области устойчивых и неустойчивых режимов, называемая диаграммой Айнса-Стретта. Области неустойчивости в пространстве параметров а ид, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возрастающее решение, на рис. 1. незаштрихованы.

Если периодическая функция ^ соз2г, то воспользоваться

функциями Матье нельзя, но можно использовать результаты Флоке (1883) [64].

По анализу устойчивости решения уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования имеется большое количество литературы, содержащей как новые оригинальные результаты, так и обзоры работ по этому вопросу [5, 20, 23, 24, 26, 58, 60, 61].

Например, в работе Анисимова В.Н., Литвинова В.Л. проводится анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием [3]. Рассматривается амплитуда колебаний, при влиянии

демпфирующих сил, выражение которой аппроксимируют параболической зависимостью.

В работе Короткова A.B., Куликова Ю.А, рассматривается влияние демпфирования на изменение границ устойчивости параметрических колебаний тонкостенных криволинейных труб из армированных пластин, расчеты проводились методом малого параметра [18]. Исследовано расположение резонансных полос, соответствующих главным простым и комбинационным параметрическим резонансам, в зависимости от постоянной составляющей скорости давления, структурных, геометрических параметров и демпфирования.

В работах [1, 2, 9, 15, 16, 29, 33, 60] рассматриваются параметрические колебания различных физических систем.

Основным содержанием этих работ является получение оценок, характеризующих области устойчивости в плоскости параметров. Однако ни в одной из этих работ не приводятся диаграммы, точно описывающие эти области в случае 3 ф 0 типа диаграмм Айнса-Стретта.

Обширный материал по исследованию различных видов маятников и маятниковых систем приведен в работе [45].

Теория колебаний маятника при вертикальных вынужденных колебаниях точки подвеса и колебаниях маятника в одной плоскости рассматривались во многих работах [4, 10, 17, 28, 32, 40, 55, 59], как экспериментально, так и теоретически. При этом был установлен интересный эффект стабилизации маятника в перевернутом положении, когда центр тяжести маятника был выше точки подвеса [12, 17, 31, 40].

В работах Боголюбова H.H. и Маркина Д.Р. исследуется устойчивость математического маятника с вибрирующей точкой подвеса. Авторы рассматривают уравнения движения математического маятника с вибрирующей точкой подвеса, а также приводят известные результаты об условиях возникновения параметрического резонанса (когда нижнее положение

равновесия маятника становится неустойчивым) и об условиях, когда верхнее положение равновесия можно сделать устойчивым за счет вибрации (при этом маятник будет совершать устойчивые колебания в перевернутом состоянии).

Исследование устойчивости математического маятника с вибрирующей точкой подвеса авторами рассматривалось при следующих ограничениях.

Пусть материальная точка с массой т закреплена на конце стержня длины /, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Через а обозначен угол отклонения маятника от вертикали. Такой маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое. Исследуется влияние вертикальных колебаний точки подвеса О на характер равновесия маятника. Авторы предполагают, что точка подвеса вибрирует по гармоническому закону у = a cos Qt.

На рис.2 рассматриваются колебания обычного (а) и перевернутого (б) маятника с вибрирующей точкой подвеса.

а) Рассматриваются колебания маятника около нижнего положения равновесия (рис. 2а). Авторы переходят в неинерциальную систему координат, связанную с точкой подвеса О. В этой системе координат на маятник действуют сила тяжести F-mg и переносная сила инерции Ф = —ту. По второму закону Ньютона можно написать уравнение движения:

w4-(da) = -(F + 0)sina (1)

at

о

где Ф - -ту = mafl cosQt. Для малых значений угла отклонения а уравнение (1) принимает вид

9 Г о

da

dt2

а = 0. (2)

/

Вводится обозначение г = Q/, уравнение (2) приводится к виду

а = 0. (3)

da g , а

——L -cosr

dz2

in

2 /

у

Таким образом, авторы получают уравнение вида

сi2a dt2

+ (¿> +£,cosr)a = О,

(4)

которое называется уравнением Матье. Отмечается, что для рассматриваемой

2 г-

I д.

задачи параметр 8 является положительным: 8 - —> 0 (здесь через = - /у

обозначается частота свободных колебаний маятника при отсутствии вибрации точки подвеса).

к.') \ > t ' А i f О i А ч

п 1/ f /У////

IF

а) б)

Рис. 2. Обычный (а) и перевернутый (б) маятники с вибрирующей точкой подвеса

Вблизи значений S = —,k = 1,2,3,... наступает так называемый параметрический резонанс [25] и положение равновесия становится

"I

неустойчивым. Последовательно присваивая параметру S = —значения

Q

1 i 9 „ 25 п " , 10„

—, I, —, 4, —, 9, ..., получаемые соответственно при к = 1,2,3,..., авторы

делают вывод, что параметрический резонанс наступает около частот

2 12 1

Ц=2гу0, П2=й)0, П3=-а>0, П4=-щ, П5=-со0, П6 =-а>0, ..., (5)

б) Авторы считают, что для вывода уравнения движения маятника вблизи верхнего положения равновесия (рис. 26) достаточно в уравнении (3)

заменить g на -g

(Р-д

с1г

■ +

Я а

л - +—собг

1С1

2 I

а = О,

(6)

т.е. перевернутый маятник с вибрирующей точкой подвеса также описывается уравнением Матье (4), где параметр 5 является отрицательным:

_ £

5 = -

<0.

/СГ

Устойчивость решения уравнения (4) достаточно хорошо исследована (см. например, [25]). Область устойчивости уравнения Матье на плоскости параметров 8е представлена на рис. 2 в виде диаграммы Айнса-Стретта. Диаграмма дана только для значений г > 0, а для значений г < 0 она получается зеркальным отображением относительно оси 5.

10123456789 10 [

Рис. 3. Диаграмма Айнса-Стретта: заштрихованные поля -области устойчивости маятника с вибрирующей точкой подвеса (для обычного маятника 8 > 0, для перевернутого маятника 5 <0)

Как видно из диаграммы, при малых значениях \е| (т.е. «1) нижнее

положение равновесия маятника становится неустойчивым вблизи значений = 0,25, 62 =1, 8Ъ = 2,25, 84 =4, 5$ = 6,25, 86 = 9, ... из-за параметрического резонанса.

Из диаграммы также следует, что в принципе возможно обеспечение устойчивости при 5 < 0 (т.е. можно стабилизировать движение

П>^[2.(-)со0, (9)

перевернутого маятника с помощью вибрации). Для значений |б:|«1 у�