автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и свойства колебательных процессов параметрического контура как элемента радиотехнических систем

На правах рукописи

Латышева Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И СВОЙСТВА КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНТУРА КАК ЭЛЕМЕНТА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

05.13.18. - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

05.12.04. - «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения».

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж-2009 003474453

003474459

Работа выполнена на кафедре телекоммуникационных систем Воронежского института МВД России.

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Нечаев Юрий Борисович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент

Бирюк Николай Данилович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Авсентьев Олег Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор Алгазинов Эдуард Константинович

Ведущая организация: ОАО Воронежский «НИИ Вега»

Защита диссертации состоится 14 июля 2009 года в 13в0 час. в аудитории № 213 на заседании диссертационного совета Д 203.004.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Воронежском институте МВД России по адресу: 394065, г. Воронеж, пр. Патриотов, 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского института МВД России.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Воронежского института МВД России: www.vimvd.ru в разделе «Научная работа» - «Диссертационные советы» - «Д 203.004.01».

Автореферат разослан 5 июня 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

V «ииу Ж С» ^^ 1

кандидат физико-математических наук С.В. Белокуров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Во многих публикациях последних лет отмечается революционное, взрывообразное развитие систем телекоммуникации как вширь, в направлении охвата широкого круга пользователей, так и вглубь для достижения резкого увеличения ассортимента коммуникационных услуг. Развитие цивилизованного общества предполагает непрерывное повышение качества во всех сферах деятельности. Это связано с совершенствованием техники. Одно из направлений улучшения техники радиосвязи и телекоммуникационных систем связано с более широким применением нелинейных элементов. Состояние теории нелинейных радиоцепей не может удовлетворить требований современной практики, является фрагментарной, недостаточно систематизированной и плохо поддается обобщениям. Она нуждается в развитии и более широком охвате актуальных практических задач.

Теории нелинейных систем и развитию соответствующего математического аппарата посвящены многочисленные публикации, в том числе и выдающихся ученых AM. Ляпунова, Ван дер Поля, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова, A.A. Харкевича и др. Однако, с развитием техники возникают новые актуальные нелинейные задачи, отличающиеся сложностью и разнообразием.

В радиотехнике большое значение имеют колебательные системы, в основе которых находится резонансный контур с постоянными элементами, который хорошо изучен и широко применяется на практике. Однако, переход от линейного контура к нелинейному связан с большими трудностями, которые в настоящее время не вполне преодолены. В частности, процесс в нелинейном контуре нельзя выразить конечным числом элементарных функций.

Существует неиспользованный вариант систематизации теории нелинейных систем - принцип линейного включения, утверждающий, что любое решение произвольного нелинейного уравнения может быть реализовано в специально подобранном линейном уравнении. Этот принцип для линейных систем играет примерно такую же роль, как принцип суперпозиции для линейных систем, значительно превосходя его по общности. Поэтому первым шагом построения теории нелинейных систем должна быть разработка метода анализа параметрических систем общего вида, т.е. со всеми изменяющимися во времени элементами по любым функциям. Удобным объектом для этого является параметрический контур, простой по структуре, но сложный по существу.

Ранее И.С. Гоноровским был рассмотрен усилитель на основе параметрического контура с периодической емкостью, однако усилитель с периодической индуктивностью более сложен для анализа.

Кроме того, анализ параметрических радиоцепей приводится к бесконечным системам алгебраических уравнений. Это делалось и раньше для

более простых частных случаев. В радиотехнике такие уравнения приближенно решались методом редукции. Такой подход может привести к нужному результату только в том случае, когда анализируемая бесконечная система уравнений сходится. Анализ такой сходимости в научных публикациях по радиотехнике отсутствует. В диссертации разработан более совершенный метод анализа параметрического контура с привлечением теории радиоцепей, теории устойчивости Ляпунова, разработанной Л.И. Мандельштамом концепции резонанса, причем уделено большое внимание сходимости полученных бесконечных систем уравнений. Доказательство сходимости основано на нормировании полученных дифференциальных уравнений и приведении их к специальному виду. Судя по доступным публикациям, такой подход ранее не применялся.

Работа выполнялась в соответствии с координационными планами научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ ОАО «Концерн «Созвездие».

Целью настоящей работы является исследование колебаний в параметрическом контуре, в котором индуктивность, емкость и активные сопротивления изменяются во времени по достаточно гладким функциям, оставаясь положительными. В данном случае математическая часть анализа приводится к бесконечным системам уравнений, поэтому основное внимание уделено сходимости таких систем, ранее этот вопрос применительно к радиоэлектронным задачам не рассматривался.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, предусматривают решение следующих задач:

1. Критический анализ существующих и впервые полученных математических моделей параметрического контура.

2. Анализ сходимости бесконечных систем уравнений, получающихся в результате преобразований математических моделей контура.

3. Проблема устойчивости по Ляпунову параметрического контура, привлечение физических соображений к решению этой сложной математической задачи.

4. Формулировка математической задачи о резонансе параметрического контура, физический смысл резонанса, его общие свойства и отличия от резонанса обычного контура.

5. Решение задачи о параметрическом усилителе как частном случае параметрического контура.

Методы проведения исследований. Выполненные исследования базируются на методах теории электрических цепей, комплексных амплитуд, математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, теории линейных дифференциальных уравнений, методах аппроксимации и теории устойчивости Ляпунова.

Научная новизна. Отдельные результаты диссертации, содержащие научную новизну.

1. При анализе параметрического контура может быть предложено бесконечное множество математических моделей в виде линейных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка, при этом элементы главной диагонали матрицы системы неположительны. Показано, что наиболее удобной для анализа является система двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно заряда конденсатора и магнитного потока индуктивности.

2. Все математические модели могут быть преобразованы в другую модель -линейную бесконечную систему алгебраических уравнений. Предложен метод ее преобразования к регулярному и вполне регулярному виду.

3. Развитие и конкретизация концепции резонанса предложенной советской научной школой нелинейных колебаний.

4. Анализ устойчивости параметрического контура, в том числе и машинными методами. Новые достаточные условия устойчивости контура.

5. Потенциальные возможности параметрического контура, используемые и пока не используемые на практике. Параметрический контур как усилитель синусоидальных колебаний, обладающий низким уровнем собственных шумов.

Достоверность результатов работы. Исходные допущения в настоящей работе ближе к реальным, чем было ранее принято в аналогичных случаях. При проведении исследований использованы надежные и многократно проверенные математические методы, линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, метод комплексных амплитуд, бесконечные системы алгебраических уравнений, а также теория устойчивости Ляпунова. Частные случаи совпадают с известными положениями, а приведенные математические формулы соответствуют физическому смыслу описываемых ими явлений.

Практическая значимость работы. В работе рассмотрены свойства параметрического контура и особенности протекающих в нем процессов при самых общих начальных условиях. Это дает возможность проанализировать ряд практических важных случаев. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при разработке радиоаппаратуры, систем радиосвязи, при чтении спецкурсов в вузах по специальностям «радиофизика», «электроника», «радиотехника».

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ОАО «Концерн «Созвездие» по темам «Аметист», «Креатив», «Таллин», «Москва», «Созвездие-М» и «Кассиопея», ОАО «Воронежский «НИИ Вега» по темам «Кавказ-7М10» и «Кавказ-9», что подтверждено актами внедрения.

Кроме того, отдельные положения диссертации используются в учебном процессе в Воронежском государственном университете, Воронежском институте МВД и Международном институте компьютерных технологий.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Линейные векторные дифференциальные уравнения параметрического контура с отрицательной главной диагональю матрицы. Среди них выделены как наиболее удобные для анализа, как с математической, так и с физической точки зрения, дифференциальные уравнения относительно заряда конденсатора и магнитного потока индуктивности. Преобразования этих уравнений к полному и усеченному дифференциальному уравнению второго порядка.

2. Бесконечные системы уравнений параметрического контура, их преобразования к квазирегулярным, регулярным и вполне регулярным бесконечным системам.

3. Реализация на примере параметрического контура общей концепции резонанса, предложенной советской школой нелинейных колебаний.

4. Машинное решение задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрическом контуре.

5. Формулировка задач для будущего исследования, являющихся естественным продолжением задачи о параметрическом контуре.

Апробация работы. Основные методические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• ХШ, XIV и XV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2007-2009 г.);

• Всероссийской научно-практической конференции «Охрана, безопасность, связь» (ВИ МВД России, 2007 г.);

• Международной научной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» (МИКТ, Воронеж, 2007 г.);

• Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищенных телекоммуникационных систем» (ВИ МВД России, 2007-2008 г.);

• VI и VII международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007; Самара, 2008 г.);

• VIII международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы методология, технологии» (Воронеж, 2008 г.);

• Ежегодных отчетных научных конференциях Воронежского государственного университета (2007-2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 5 статей, из них 4 - в ведущих изданиях, входящих в перечень рекомендованных Высшей аттестационной комиссией, 10 трудов международных конференций, а также получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. ■•■ .

В работах, выполненных в соавторстве, автором лично выполнено: в работах [1,4,6] анализ существующих и разработка новых математических моделей, в работах [2,10] формулировка критериев устойчивости, в работах [3,4,8] исследование колебательных процессов, в работах [4,7] анализ блочных матриц бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, в работе [2] применение метода комплексных амплитуд, в работах [11,12] разработка программного продукта.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 132 наименования. Работа изложена на 161 странице, включает 27 рисунков и 6 таблиц.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, показана научная новизна и практическая ценность результатов работы. Представлены основные научные положения, выносимые на защиту, сведения об опубликовании основных положений. Дается краткое содержание глав диссертации.

В первой главе рассмотрен простейший по структуре вариант параметрического контура - последовательный контур, в предположении, что все его элементы положительны и изменяются во времени по непрерывно-дифференцируемым функциям, возмущающее напряжение может быть любым. Рассматриваются различные математические модели, пригодные для отыскания вынужденных колебаний контура.

Особое внимание в этой главе уделено бесконечным системам уравнений, возможности их приближенных решений методом редукции, позволяющим привести их к конечным системам.

Проведен анализ вынужденных колебаний в контуре с помощью метода комплексных амплитуд. Получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Л,

- 0 0 0 0 - и

- 0 2-,. а 0 0 0 -

- 0 0 0 0 V

- 0 0 0 ¿и 0 -

- 0 0 0 0 *г> 2гл - Л

Л

(1)

Применяя теорию уравнения Матье, получена еще одна бесконечная система уравнений относительно параметрического последовательного контура

С-3

- а.г 1 а-г 0 0 0 0 -

- 0 1 а-\ 0 0 0 - С.,

- 0 0 ао 1 ао 0 0 -• Со

- 0 0 0 «1 1 а\ 0 - С1

- 0 0 0 0 <*г 1 - С2

«3

Получающиеся из анализа контура бесконечные системы уравнений изначально не являются регулярными. Показано, как, используя особенности колебательного контура, привести полученные бесконечные системы к регулярному или вполне регулярному виду.

Во второй главе рассмотрен параметрический контур, в котором тепловые потери учтены раздельно для емкости и индуктивности.

Первый и второй законы Кирхгофа приводят к системе уравнений контура

<1

dr

X = A(r)x + f (г),

где х = colon , х,) - вектор-столбец неизвестных функций, *,=-

(3) ф

Ф

Цт) = со1оп{/^/2)- вектор-столбец свободных функций,

/¡(г)=— у'(г), /2(г) = —г-(г), А (г) = {а,;| = 1,2 - матрица системы с элементами

ЯЧ Фд,

'«О *мГ 1м

В диссертации предложено доказательство сходимости бесконечных систем, основанное на замене блоков матрицы и вектор-столбцов их нормами.

Уо

Л

0 1 0 0 0

м 0 2 0 0

НА,! ¿INI 0 3 0

N1 зМ 0 4

N ¿м j|A,|| 0

Уо ы

У, W

Уг + НУ

Уу и

им

(4)

Полученная обычная (неблочная) бесконечная система уравнений, более удобна для анализа и численных расчетов, поскольку при этом упрощается качественный анализ бесконечных систем, их общая характеристика, не связанная с расчетами.

Данная система уравнений решается стандартными методами.

В третьей главе анализируется сложное и важное для практики явление - резонанс параметрического контура. Анализ резонанса параметрического контура несравнимо сложнее анализа обычного контура.

При резонансе по Мандельштаму происходит мгновенная компенсация тепловых потерь внешними источниками.

В последовательном контуре электрическая жесткость изменяется по

закону

S = —i- = S0(I+т, cos Clt), С (0 0 5

при этом возмущающая э.д.с. e = s(t) может быть любой. Уравнение такого контура относительно заряда конденсатора имеет вид dlq Rdq S0 .. . e(t)

dt LdtL L

Представим это уравнение в специальном виде

d*q S0 s(t) Rdq

—f+—(1+nicos Clt)q = —^----—.

dt L 4 L L dt

Тепловые потери в любой момент времени в точности компенсируются внешним источником, тогда правая и левая части тождественно равны нулю, при этом выполняются равенства

*(0 = (5)

at

^f + %(l + OTjcosQ/)9 = 0. (6)

dt L

Уравнение (6) - уравнение Матье, решение, которого содержится в математической литературе. При заданных начальных условиях решение уравнения (6) будет единственным qp = qp(t)

Найдя его производную и подставляя в равенство (5), определим резонансную э.д.с., возмущающую контур

= (7)

Т.о., резонансная э.д.с. ep[t) одновременно и компенсирует тепловые потери и задает нужные начальные значения в уравнении (7). Аналогичный подход можно обобщить и на более сложные случаи параметрического контура.

Глава 4 посвящена анализу устойчивости параметрического контура по Ляпунову. Известно, что теория Ляпунова исключительно важна при анализе механических и электрических систем с сосредоточенными параметрами. При этом она связана с большой сложностью и громоздкостью в применении к нелинейным системам, когда исследуется устойчивость конкретного решения. В случае линейной системы понятийный аппарат теории устойчивости Ляпунова радикально упрощается. Доказано, что если хотя бы одно решение в линейной системе устойчиво, то и все ее решения устойчивы. Таким образом, теория устойчивости Ляпунова в случае линейных систем относится не к

конкретному решению, а ко всей системе. Принято для взаимопонимания исследовать на устойчивость тривиальное, тождественно равное нулю решение в линейных системах. Несмотря на упрощение понятийного аппарата, сама задача исследования устойчивости линейных систем остается сложной.

В нашем случае для исследования устойчивости параметрического контура оказался удобным второй метод Ляпунова, не предполагающий информации о решении уравнения контура. При этом требуется построение функции Ляпунова, обладающей вполне определенными свойствами. В главе конкретизированы применительно к контуру уже известные достаточные условия устойчивости, а также получены новые достаточные условия устойчивости путем построения оригинальных функций Ляпунова, согласующихся с особенностями параметрического контура.

Для контура, состоящего из индуктивности Ь и емкости С, последовательно с индуктивностью включено активное сопротивление Д, параллельно с емкостью - активная проводимость О, путем построения определенной функции Ляпунова доказано условие асимптотической устойчивости

VГ+G^-VGД с-^стЯ+СД+л/ак, (8)

г

где р- характеристическое сопротивление, а активное сопротивление г -подбирается произвольно.

Условие асимптотической устойчивости более общего характера для параметрического контура может бьггь задано в виде системы двух неравенств

сД£>о

2 Л 2 а

(9)

Рассмотрены разные подходы при исследовании устойчивости, дан их анализ применительно к уравнениям контура и получены достаточные условия устойчивости контура.

Пятая глава имеет прикладной характер и посвящена анализу одноконтурного параметрического усилителя. Такой усилитель оказывается малошумящим, что имеет существенную значимость, особенно для радиосвязи. Однако он реагирует на начальную фазу приходящего сигнала, что является его недостатком. Необходимо создавать быстро реагирующую систему автоматической регулировки усиления. В литературе рассмотрены подобные усилители с изменяющейся во времени емкостью. В диссертации основное внимание уделено рассмотрению параметрического усилителя с изменяющейся во времени индуктивностью.

Для параметрического усиления и генерации особенно интересен случай, когда индуктивность изменяется во времени по периодическому закону, при этом свободные колебания для переменной и(/) удовлетворяют уравнению

р, II. (Ю)

г2 1С 4У 4\/> 2 /2 \С к '

£ ¿г

Введя обозначения ¡у0=—!-, ас = -]&>1-а£, а0= —, получим

V С 2/^

уравнение

сРи .Лф] 1 2ч „ 4й>2 2Д2 . . , Л ,11Л

Уравнение (11) также представляет собой уравнение Матье.

Из теории уравнения Матье известно, что общее решение уравнения Матье имеет вид

« = + г),

где С,, С2 - произвольные константы, - периодические функции с периодом я- или 2ж, ц- показатель, однозначно связанный с параметрами уравнения Матье.

Задача компенсации тепловых потерь в контуре с периодически изменяющимися реактивностями является весьма актуальной для радиосвязи, автоматизации и ряда технических проблем. В настоящее время она не решена с требуемой для практики полнотой, т.к. ее решение связано с появлением паразитного излучения, что ухудшает электромагнитную совместимость.

Шестая глава посвящена машинному анализу процессов параметрического контура, при этом численно решаются сложные и громоздкие задачи с большим числом параметров.

В качестве одной из моделей, описывающих поведение исследуемой системы, рассмотрено уравнение:

Д0(1 + етгсо5(—^ + (1 + тссоз(—+ ))?(/)

</2 ,Л_,_Л

+--+---

¿.а + Ж,«^—== + Ф,)) СЛ(1 + «,С08(—г~ + Ф,)) {и)

- 10сси(1,592356688-105 • ^Ш) = 0

Данная модель проанализирована с помощью различных математических пакетов несколькими способами.

Решить аналитически дифференциальное уравнение (12) при неопределенных параметрах не удалось, поскольку ни один из математических пакетов не предложил решения, ссылаясь на невозможность определения типа дифференциального уравнения. В связи с этим, «сузили» математическую модель с помощью замены символьных переменных на численные значения из допустимых диапазонов. В результате «сужения» уравнение (17) приняло вид:

^(О + 4650,00(^«) + ^-г--&-— .о! (13)

* * 800 -'-+ 5,0.10-" 005(9,310!0

20000000000 ......

В ходе исследования, пакетами Maple 11 и Mathematic 5.0 были предложены идентичные варианты аналитического решения:

------------- ...„.-2 -3999901 1 , 1 , 1 Л 1

о( 0= С le8® 400 HeunG(—,-,-/,--/,-,0,---

чк ~ 99 15840000 400 400 2 99

- —cos(930000í) + + .: 1 (_С2(11 cos(930000í) + 11)^(1 lcos(930000/) -1) 99 ,/8111(9300000

Предложенное решение содержит G-функцию Хана, что делает затруднительным дальнейшее исследование модели в данных математических пакетах, поэтому был разработан специализированный программный комплекс.

Получено большое число графических результатов, часть из которых удалось проанализировать и связать с известными положениями.

Сравнение результатов для т, = 0.01, &>= пт0

Разложение по Фурье Метод комплексных амплитуд Синтезированный метод

' '»и

Таблица 1. Сравнение результатов.

Проведено исследование устойчивости. В результате получена плоскость, на которой определены области, где система устойчива в обычном смысле, система устойчива по Ляпунову, система не устойчива.

В заключении дано краткое резюме результатов диссертации и перспективы дальнейшего развития близких к содержанию диссертации проблем.

Основные результаты диссертационной работы.

1. Получены три математические модели и дан их сравнительный анализ. Одна модель удобна для анализа устойчивости параметрического контура, другая для исследования вынужденных колебаний, третья используется для исследования свободных колебаний в контуре.

2. Анализ процессов в параметрическом контуре является сложным, опирающимся на специальный математический аппарат, в этом случае результат ие может быть выражен конечным числом элементарных функций, что приводит к бесконечной системе линейных

алгебраических уравнений. Разработана методика получения такой системы, показан анализ нескольких способов приближенного решения.

3. Уточнена область применимости теории регулярных систем уравнений по отношению к поставленной задаче.

4. Представлен метод анализа процессов в параметрическом контуре с повышенными потерями. Тепловые потери учтены раздельно для реактивностей, что соответствует их физической природе.

5. Показано, что резонанс параметрического контура целесообразно анализировать на основе линейной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, получаемых непосредственно из законов Кирхгофа.

6. Основным признаком резонанса является полная компенсация тепловых потерь в контуре внешними источниками. Для отыскания собственных колебаний параметрического контура решается усеченная однородная система дифференциальных уравнений.

7. Рассмотрен параметрический контур, уравнение которого, а также уравнение его «собственных» колебаний устойчивы по Ляпунову. Такой контур по своим свойствам более приближен к обычному колебательному контуру, хотя анализ его намного сложнее.

8. Проведен краткий анализ устойчивости параметрического контура на основе первого метода Ляпунова, использовав его специальный метод, разработанный для анализа устойчивости линейного дифференциального уравнения второго порядка с важными для практики особенностями.

9. Рассмотрена устойчивость параметрического контура на основе второго метода Ляпунова. Показано построение функций Ляпунова синусоидального и экспоненциального типов на основе второго метода, получены критерии устойчивости.

Основные публикации по теме диссертации.

Статьи, опубликованные в изданиях рекомендованных ВАК РФ по научным специальностям диссертационной работы:

1. Нечаев, Ю.Б. Анализ вынужденных процессов в радиотехнических колебательных системах методом бесконечных систем уравнений [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // Теория и техника радиосвязи. - 2007. - вып. I - С. 27-35.

2. Нечаев, Ю.Б. Анализ устойчивости параметрического контура специальным методом Ляпунова [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // Теория и техника радиосвязи. - 2007. - вып. 2 - С. 633. Нечаев, Ю.Б. Параметрический контур как обобщение обычного

колебательного контура [Текст] / . Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк,

Е.В. Латышева // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. — 2007. - Т. 50, №6-С. 68-76.

4. Нечаев, Ю.Б. Бесконечные блочные матрицы в теории параметрических радиоцепей [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2008. - Т. 51, №3 - С.54-63.

Другие издания:

1. Нечаев, Ю.Б. Функции Ляпунова в задаче об устойчивости параметрического контура [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева I/ Вестник ВГУ - Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2007. - №1. - С. 152 -158.

2. Нечаев, Ю.Б. Метод комплексных амплитуд в анализе параметрических радиоцепей [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // ХШ международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2007. - Т. 1. - С. 427 - 435.

3. Латышева Е.В. Уравнение Матье для анализа линейного колебательного контура со всеми периодически изменяющимися во времени элементами [Текст] / Е.В. Латышева // Охрана, безопасность и связь - 2007. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. — Ч. 1. — ВИ МВД России. -Воронеж, 2008.- С. 72-73.

4. Нечаев Ю.Б. Уравнение Матье и параметрический контур [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // Международная научная конференция, посвященная 15-тию МИКТ «Компьютерные технологии в технике и экономике» - Воронеж, 2007. - с. 214-220.

5. Латышева Е.В. Новые критерии устойчивости параметрического контура [Текст] / Е.В. Латышева // Всероссийская научно-практическая конференция курсантов, слушателей, студентов, адъюнктов и молодых специалистов «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищенных телекоммуникационных систем». ВИ МВД России. -Воронеж, 2007. - с. 47 - 48.

6. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрического контура [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// VI международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». - Казань, 2007. - с. 72-73.

7. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрического контура общего вида [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // VIII международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж, 2008. - Т.2 - с. 112115.

8. Нечаев, Ю.Б. Резонанс последовательного параметрического контура [Текст] / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева // XTV международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2008. - Т. 1. - С. 381 - 387.

9. Латышева Е.В. Компьютерное моделирование колебательных процессов в параметрическом контуре [Текст] / Е.В. Латышева// Всероссийская научно-практическая конференция курсантов, слушателей, студентов, адъюнктов и молодых специалистов «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищенных телекоммуникационных систем». ВИ МВД России. - Воронеж, 2008. - с. 40 -41.

10. Нечаев, Ю.Б. Второй метод Ляпунова как инструмент исследования устойчивости параметрического контура. / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева [Текст] // VII международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». -Самара, 2008. -С. 72-73.

11. «Решатель 1.0» / Ю.Б. Нечаев, Ю.А. Дергачев, Е.В. Латышева И Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2008613246.-2008.

12. «Снайпер 1.» / Ю.Б. Нечаев, Ю.А. Дергачев, Е.В. Латышева // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2008614674. - 2008.

13. Нечаев Ю.Б. Высокодобротный контур с периодически изменяющейся емкостью. [Текст] / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, Е.В.Латышева// XV международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2009. - Т.1. - с. 354-364.

Подписано в печать _4 июня _2009 Формат 60x90 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная. Усл. печ. л.0,93. Тираж 100 экз. Заказ

Участок оперативной полиграфии Воронежской институт МВД России 394065, г. Воронеж, пр. Патриотов, 53

Введение.

Глава 1. Последовательный параметрический контур.

1.1. Математические модели параметрического контура и их сравнительный анализ.

1.2. Бесконечные системы уравнений как математическая основа анализа параметрического контура, приведение их к регулярным и вполне регулярным системам.

1.2.1. Применение метода комплексных амплитуд для анализа бесконечных систем уравнений параметрического контура.

1.2.2. Ряды Маклорена как математический аппарат анализа процессов в параметрическом контуре общего вида.

1.2.3. Уравнение Матье — удобная математическая основа анализа контура с периодическими параметрами.

1.2.4. Анализ свободных колебаний последовательного параметрического контура методом Н.Е. Кочина.

1.3. Общий анализ, обобщения и физические толкования полученных результатов.

1.4. Выводы по главе.

Глава 2. Анализ процессов в параметрическом контуре с повышенными потерями.

2.1. Обычные и блочные системы алгебраических уравнений, их преобразования и качественный анализ.

2.2. Приближенные методы решения блочных систем алгебраических уравнений.

2.3 Общий математический анализ результатов, возможность обобщения, технические ограничения.

2.4. Выводы по главе.

Глава 3. Резонанс параметрического контура.

3.1. Разложение резонансной функции отклика в бесконечный ряд.

3.2. Бесконечные системы уравнений относительно членов бесконечного ряда отклика при резонансе.

3.3. Характерный упрощенный пример анализа резонанса параметрического контура.

3.4. Физическое толкование полученных результатов.

3.5. Выводы по главе.

Глава 4. Анализ устойчивости параметрического контура.

4.1. Методика анализа устойчивости контура на основе первого метода Ляпунова. Ее недостатки.

4.2. Методика анализа устойчивости контура на основе второго метода Ляпунова. Функции Ляпунова и их построение.

4.3. Конкретные примеры анализа устойчивости параметрического контура.

4.4. Выводы по главе.

Глава 5. Параметрический усилитель как частный случай параметрического контура.

5.1. Последовательный контур с изменяющейся во времени индуктивностью. Свободные колебания.

5.2. Принцип усиления сигнала параметрическим контуром.

5.3. Выводы по главе.

Глава 6. Компьютерное моделирование волновых процессов в параметрическом контуре. Обоснование метода и проведение численных экспериментов.

6.1. Исследование волновых процессов в параметрическом контуре.

6.2. Поиск аналитического решения, основы теории функций Хана.

6.3. Сравнение результатов численных экспериментов.

6.4. Анализ многомерной задачи.

6.5. Выводы по главе.

Актуальность темы. Во многих публикациях последних лет отмечается революционное, взрывообразное развитие систем телекоммуникации как вширь, в направлении охвата широкого круга пользователей, так и вглубь для достижения резкого увеличения ассортимента коммуникационных услуг. Обычно принято считать, что чем шире охват пользователей, тем ниже качество обслуживания. В обсуждаемой сфере деятельности такое положение можно допустить лишь в отдельных частных случаях как исключения. Развитие цивилизованного общества предполагает непрерывное повышение качества во всех сферах деятельности. Это связано с совершенствованием техники. Одно из направлений улучшения техники радиосвязи и телекоммуникационных систем связано с более широким применением нелинейных элементов [1-4]. Анализ и регулировка нелинейных электро- и радиоцепей представляет собой сложные теоретическую и практическую задачи, требующие ощутимых затрат времени и финансов. Состояние теории нелинейных радиоцепей не может удовлетворить требований современной практики. Теория нелинейных систем любого типа является фрагментарной, недостаточно систематизированной и плохо поддается обобщениям. Она нуждается в развитии и более широком охвате актуальных практических задач.

Теории нелинейных систем и развитию соответствующего математического аппарата посвящены многочисленные публикации [5-12], в том числе и выдающихся ученых A.M. Ляпунова, Ван дер Поля, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова, А.А. Харкевича и др. Однако, с развитием техники возникают новые актуальные нелинейные задачи, отличающиеся сложностью и разнообразием.

В радиосвязи большое значение имеют колебательные системы, в основе которых находится резонансный контур. Обычный резонансный контур с постоянными элементами) достаточно хорошо изучен и широко применяется на практике. Однако, переход от линейного контура к нелинейному связан с большими трудностями технического характера, которые в настоящее время не вполне преодолены. В частности, процесс в нелинейном контуре нельзя выразить конечным числом элементарных функций, приходится для этой цели применять суммы бесконечных рядов и перемножать их, приводит на практике к непреодолимой громоздкости.

Существует один неиспользованный вариант систематизации теории нелинейных систем. Примерно пятьдесят лет тому назад был сформулирован принцип линейного включения, утверждающий, что любое решение произвольного нелинейного уравнения может быть реализовано в специально подобранном линейном уравнении. Применительно к техническим задачам это значит, что процесс в нелинейной системе может быть реализован в специально подобранной линейной системе. Этот принцип для линейных систем играет примерно такую же роль, как принцип суперпозиции для линейных систем, значительно превосходя его по общности. Специально подобранные линейные системы могут быть любыми. Отсюда следует, что первым шагом к созданию теории нелинейных систем должна быть разработка метода анализа параметрических систем общего вида, т.е. со всеми изменяющимися во времени элементами по любым функциям. Удобным объектом для этого является параметрический контур, который прост по структуре, что влечет за собой относительное уменьшение громоздкости анализа, но сложен по существу. Ранее основное внимание уделялось параметрическому контуру с изменяющейся емкостью, что целесообразно, исходя из возможностей реализации (но не из принципа линейного включения). В тоже время усилители на основе параметрического контура с периодической индуктивностью более сложны для анализа.

Кроме того, анализ параметрических радиоцепей приводит к бесконечным суммам, но во многих случаях удается избежать перемножения этих сумм. Производя должную выборку слагаемых этих сумм, можно привести задачу к бесконечным системам алгебраических уравнений. Это делалось и раньше для более простых частных случаев. В радиоэлектронных задачах такие уравнения приближенно решались методом редукции, т.е. оставалось конечное число уравнений, остальные отбрасывались. Такой подход может привести к нужному результату только в том случае, когда анализируемая бесконечная система уравнений сходится. Анализа такой сходимости в научных публикациях по радиоэлектронике не обнаружено. В диссертации разработан более совершенный метод анализа параметрического контура с привлечением теории радиоцепей, теории устойчивости Ляпунова, разработанной Л.И. Мандельштамом концепции резонанса, причем уделено должное внимание именно сходимости полученных бесконечных систем уравнений. Доказательство сходимости основано на нормировании полученных дифференциальных уравнений и приведении их к специальному виду. Судя по доступным публикациям, такой подход ранее не применялся.

Рассмотрен одноконтурный параметрический усилитель с периодической индуктивностью. Ранее И.С. Гоноровским был разработан анализ более простого одноконтурного параметрического усилителя с периодической емкостью.

Частные случаи рассчитаны на ЭВМ с привлечением специальных программ. Разработаны такие методы анализа, при которых специфика параметрического контура не имеет решающего значения, т.е. они рассчитаны на обобщения применительно к параметрическим цепям любого типа.

К актуальности задачи о параметрическом контуре относится совершенствование методов ее решения. В настоящее время базовым методом анализа контура является уравнение Матье, которое не может охватить задачи анализа параметрического контура с периодическими элементами. Требуется расширение области применимости уравнения Матье, а также применение других равноценных методов.

Поэтому целесообразно попытаться применить уравнение Матье к более общей задаче: анализу последовательного контура со всеми изменяющимися во времени элементами. Кроме того, желательно иметь в своем распоряжении другие методы, равнозначные теории уравнения Матье, или уравнения с более широкой областью применяемости. Такой подход не исключает применения более общих, чем уравнение Матье уравнений, хотя полнота существующих теорий таких уравнений уступает теории уравнения Матье. Попытка использования их с ограничениями, согласующимися со свойствами параметрического контура, является вкладом в теорию нелинейных и параметрических радиоцепей.

Разработанные методы анализа параметрического контура являются радикальным обобщением методов анализа обычного контура и приводятся к ним, если считать элементы исходного контура постоянными.

Цель настоящей работы: исследование колебаний в параметрическом контуре, в котором индуктивность, емкость и активные сопротивления изменяются во времени по достаточно гладким функциям, оставаясь положительными. Поскольку в данном случае математическая часть анализа приводится к бесконечным системам уравнений, то основное внимание уделено сходимости таких систем, ранее этот вопрос применительно к радиоэлектронным задачам не рассматривался.

Для достижения цели решались следующие задачи:

1. Критический анализ существующих и впервые полученных математических моделей параметрического контура.

2. Анализ сходимости бесконечных систем уравнений, получающихся в результате преобразований математических моделей контура.

3. Проблема устойчивости по Ляпунову параметрического контура, привлечение физических соображений к решению этой сложной математической задачи.

4. Формулировка математической задачи о резонансе параметрического контура, физический смысл резонанса, его общие свойства и отличия от резонанса обычного контура.

5. Решение задачи о параметрическом усилителе с изменяющейся во времени индуктивностью как частном случае параметрического контура.

Результаты и выносимые на защиту научные положения.

1. Линейные векторные дифференциальные уравнения параметрического контура с отрицательной главной диагональю матрицы. Преобразования этих уравнений к полному и усеченному дифференциальному уравнению второго порядка.

2. Бесконечные системы уравнений параметрического контура, их преобразования к квазирегулярным, регулярным и вполне регулярным бесконечным системам.

3. Реализация на примере параметрического контура общей концепции резонанса, предложенной советской школой нелинейных колебаний. Математическая формализация и физический смысл резонанса параметрического контура.

4. Машинное решение задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрическом контуре.

5. Формулировка задач для будущего исследования, являющихся естественным продолжением задачи о параметрическом контуре.

Научная новизна. Отдельные результаты диссертации, содержащие научную новизну.

1. При анализе параметрического контура может быть предложено бесконечное множество математических моделей в виде линейных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка, при этом элементы главной диагонали матрицы системы неположительны.

2. Все математические модели могут быть преобразованы в другую модель — линейную бесконечную систему алгебраических уравнений. Предложен метод ее преобразования к квазирегулярному, регулярному и вполне регулярному виду.

3. Развитие и конкретизация концепции резонанса предложенного советской научной школой нелинейных колебаний. Преодоление трудности отделения резонанса от околорезонансных явлений в параметрическом контуре.

4. Анализ устойчивости параметрического контура, в том числе и машинными методами. Новые достаточные условия устойчивости контура как гарантия невозможности его самовозбуждения.

5. Потенциальные возможности параметрического контура, используемые и пока не используемые на практике. Параметрический контур с периодической индуктивностью как усилитель синусоидальных колебаний.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ОАО «Концерн «Созвездие» по темам «Аметист», «Креатив», «Таллин», «Москва», «Созвездие-М» и «Кассиопея», ОАО «Воронежский «НИИ Вега» по темам «Кавказ-7М10» и «Кавказ-9», что подтверждено актами внедрения.

Кроме того, отдельные положения диссертации используются в учебном процессе в Воронежском государственном университете, Воронежском институте МВД и Международном институте компьютерных технологий.

Краткое содержание работы.

6.5. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

1. В результате исследования доказана правомочность использования синтезированного в ходе работы метода для проведения комплексного анализа моделей параметрических контуров.

2. Показано, что данный метод не обладает ограничениями, в зависимости от используемых (разложение в ряды и метод комплексных амплитуд) и не ведет к потерям информации о поведении исследуемых моделей.

3. В предложенном в диссертации моделировании возможно использование любого числа параметров управления.

4. Разработан специализированный программный комплекс, содержащий набор необходимых математических методов, так как предложенное компьютером решение содержит G-функцию Хана (HeunG), что делает затруднительным дальнейшее исследование данной модели в данных математических пакетах.

5. С помощью пакета MathLab получены результаты численных экспериментов характеризующих поведение заряда и тока во времени при заданных начальных условиях и функциях изменения параметров контура во времени.

Материал, изложенный в первой главе, опубликован в [128].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации разработана теория линейного параметрического контура общего вида. Частные случаи такого контура применяются в практике для нескольких целей, например, параметрического усиления колебаний, модуляции радиосигналов, синхронного детектирования и т.д. Такая теория имеет не меньшее значение для разработки систематизированной теории нелинейных радиоцепей. Последние по существу являются радиоцепями с изменяющимися во времени параметрами, хотя зависимость от времени здесь не прямая, а косвенная. Например, нелинейную емкость можно представить в виде С = С (и), где и - приложенное к конденсатору напряжение. В свою очередь и =ld(t) напряжение, которое является функцией времени. Поэтому С = C[u(t)], так что емкость, в конечном счете, зависит от времени. Теория нелинейных радиоцепей несоизмеримо сложнее теории радиоцепей с постоянными параметрами, являющихся весьма частным случаем линейных радиоцепей. Оказывается, что и теория радиоцепей с переменными параметрами весьма сложна, хотя и проще теории нелинейных радиоцепей. Все линейные радиоцепи подчиняются объединяющему их принципу суперпозиции. Пятьдесят лет тому назад для нелинейных математических уравнений любого типа доказан объединяющий их принцип линейного включения, подчеркивающий значение линейных математических уравнений общего вида для построения теории нелинейных математических уравнений. Принцип линейного включения можно распространить и на теорию линейных радиоцепей, при этом радикально повышается значение теории линейных радиоцепей с переменными параметрами (параметрических радиоцепей). Из-за сложности такой теории целесообразно сначала рассмотреть элементарную ячейку параметрических цепей — параметрический контур. Оказалось, однако, что и теория параметрического контура очень непростая из-за сложности адекватного математического аппарата. Поэтому методически целесообразно сначала рассмотреть простую по структуре колебательную ячейку -параметрический контур.

В диссертации реализована попытка систематизированного анализа процессов, протекающих в параметрическом контуре общего вида. Для конкретизации поставленной целей применено несколько положений научного и методического характера.

1. Вынужденный и свободный процессы в параметрическом контуре не могут быть выражены конечным числом элементарных функций. Аналитические выражения таких процессов нужно задавать в виде суммы бесконечного ряда, которая затем разворачивается в бесконечную систему алгебраических уравнений. Теория бесконечных алгебраических уравнений с необходимой для практики полнотой пока еще не разработана. Если эту теорию применить к полученным в диссертации бесконечным системам уравнений специального вида, то достигается ряд интересных результатов, прежде всего, относящихся к доказательству сходимости решений этих специальных бесконечных систем.

2. Если взять за основу систему дифференциальных уравнений контура, получающихся непосредственно из законов Кирхгофа, то это ведет к получению бесконечных систем алгебраических уравнений с блочной матрицей. Такие бесконечные системы имеют свои особенности, которые впервые рассмотрены и проанализированы в диссертации.

3. В параметрическом контуре, как и в обычном колебательном контуре, может быть реализовано явление резонанса. Резонанс параметрического контура несоизмеримо сложнее резонанса обычного контура. Известные положения общего характера о резонансе конкретизированы в диссертации применительно к параметрическому контуру при исходных допущениях, согласующихся с практическим опытом.

4. Свободный процесс в параметрическом контуре с положительными параметрами, в отличие от такового в обычном контуре, может безгранично возрастать с течением времени. В таком случае контур является неустойчивым по Ляпунову. Трудности анализа устойчивости подобных систем общеизвестны. В диссертации получено несколько новых условий, гарантирующих отсутствие бесконечного возрастания процессов в контуре. Эти условия исключают самовозбуждение параметрического контура.

5. Контур с изменяющимися во времени реактивностями является малошумящей системой. В этом заключается его привлекательность в качестве элемента радиоприемных устройств особенно тогда, когда он расположен на входе или встроен в антенну радиоприемника. В диссертации приведен общий анализ в таком качестве параметрического контура с периодически изменяющимися во времени реактивностями. Определен диапазон частот, в котором применение такого параметрического контура целесообразно.

6. Решения уравнений параметрических контуров любого вида связаны со сложными и громоздкими вычислениями. В диссертации сформулированы типичные численные задачи, возникающие при анализе параметрического контура, привлечены для их решения ЭВМ на основе современных программ Maple 11, Mathematic 5.0 и пакет инженерных вычислений MathLab R13. Дана общая характеристика машинного анализа процессов в параметрическом контуре.

7. Все разработанные в диссертации методы анализа рассчитаны на обобщения. Некоторые из них можно применять для анализа более сложных параметрических цепей почти без изменения. В диссертации заложена возможность развития ее тематики в нескольких направлениях.

1. Былое Б.Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости/ Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. М.: Наука, 1966. - 586 с.

2. Тафт В.А. Основы спектральной теории и расчет цепей с переменными параметрами/ В.А. Тафт. М.: Наука, 1964. - 206 с.

3. Канторович JT.B. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: Физматиздат, 1962. - 708 с.

4. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения/ С.Л. Чечурин. Л.: ЛГУ, 1983. - 219 с.

5. Мандельштам Л.И. О возбуждении колебаний в электрической колебательной системе при помощи периодического изменения емкости/ Л.И. Мандельштам. Полное собрание трудов. Том 2. - М.: изд-во АНСССР, 1947.-с. 63-69.

6. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Том 2/ Л.И. Мандельштам -М.: изд-во АНСССР, 1947. 196 с.

7. Папалекси Н.Д. Эволюция понятия резонанса/ Н.Д. Папалекси // Собрание трудов. М.: изд. АНСССР, 1948. - с. 343-356.

8. Папалекси Н.Д. Полное собрание трудов/ Н.Д. Папалекси. — М.: изд. АНСССР, 1948.-428 с.

9. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами/ Г.С. Горелик// Журнал технической физики. 1934. - Т. IV.-В. 10.-с. 1783-1817.

10. Рубчинский Э.М. О поведении колебательного контура с периодически изменяющейся самоиндукцией при воздействии на него электродвижущей силы/ Э.М. Рубчинский// Известия электропромышленности слабого тока. 1935. — №3. — с. 7-17.

11. Kudrewicz J. О pewnej methodize obliczania ukladow parametrycznych/ J. Kudrewicz// Arch. Electrot. (Polska), 1963. z.l. - Т. XII.

12. Niedzwiecki M. Wiznaczania przebiegow ustalonych w sieci parametryczney zawie raja, cej elemeny zmienme okresow/ M. Niedzwiecki// Arch Electrotech. (Polska), 1965. 12. - №4. - p. 713-725.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости/ Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 476 с.

14. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т. 2/ A.M. Ляпунов. М—Л.: Изд. АНСССР, 1956.-472 с.

15. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения/ И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966.-530 с.

16. Нечаев Ю.Б. Анализ вынужденных процессов в радиотехнических колебательных системах методом бесконечных систем уравнений/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Теория и техника радиосвязи. -В. 1 -2007.-с. 27-35.

17. Нечаев Ю.Б. Параметрический контур как обобщение обычного колебательного контура/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. — Том 50, №6. 2007, с. 68-76.

18. Нечаев Ю.Б. Функции Ляпунова в задаче об устойчивости параметрического контура/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Вестник Воронежского госуниверситета. №1 —2007, с. 152-158.

19. Нечаев Ю.Б. Бесконечные блочные матрицы в теории параметрических радиоцепей/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. Том 51, №3 - 2008, с. 54-63.

20. Нечаев Ю.Б. Анализ устойчивости параметрического контура специальным методом Ляпунова/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Теория и техника радиосвязи. — В. 2 — 2007. — с. 63-69.

21. Нечаев Ю.Б. Метод комплексных амплитуд в анализе параметрических радиоцепей/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// XIII международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». Т. 1. - 2007. - стр. 427 - 435.

22. Нечаев Ю.Б. Уравнение Матье и параметрический контур/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// Международная научная конференция, посвященная 15-тию МИКТ «Компьютерные технологии в технике и экономике» Воронеж. 2007. — с. 214-220.

23. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрического контура/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// VI международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». Казань. 2007. — с. 72-73.

24. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрического контура общего вида/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, Е.В. Латышева// VIII международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технологии». Воронеж. — 2008. Т.2 — с. 112-115.

25. Бирюк Н.Д. О достаточных условиях устойчивости электрического контура с переменными параметрами/ Н.Д. Бирюк// Радиотехника и электроника.- 1968.-Т. 13.-№1. с. 148-149.

26. Бирюк Н.Д. Параметрические элементы/ Н.Д. Бирюк// Известия Вузов MB и ССО СССР. Радиотехника. - 1968. - Т. 11. - №3. - с. 217-227.

27. Бирюк Н.Д. Резонанс маятника/ Н.Д. Бирюк// Известия Вузов. — Физика. 1972. — №1. - с. 156-158.

28. Бирюк Н.Д. Достаточные условия устойчивости обобщенного параметрического контура/ Н.Д. Бирюк, Ю.В. Трубников// Радиотехника и электроника. 1973. - Т. 18. - № 10. - с. 2197-2200.

29. Бирюк Н.Д. Применение рядов Тейлора в анализе параметрических цепей/ Н.Д. Бирюк// Известия вузов MB и ССО СССР. Серия: Радиоэлектроника. - 1975. - Т.18. — №9. - с. 114-115.

30. Бирюк Н.Д Качественный анализ свободных колебаний в квазигармоническом резонансном контуре/ Н.Д. Бирюк// Радиотехника и электроника. 1982.-Т. 27. -№ 9.-е. 1838-1840.

31. Бирюк Н.Д. Анализ свободных процессов в резонансном контуре с изменяющимися параметрами/ Н.Д. Бирюк, В.Н. Дамгов// X Международная конференция по нелинейным колебаниям: Доклады международной конференции, София, 1985. — с. 259-262.

32. Бирюк НД■ Геометрический смысл резонанса линейного контура с периодическими параметрами/ Н.Д. Бирюк, В.Н. Дамгов// Известия Вузов MB и ССО СССР. Серия: Радиоэлектроника. - 1985. - Т.28. -№1. — с. 48-53.

33. Бирюк Н.Д. Свободный процесс в параметрическом контуре/ Н.Д. Бирюк, В.В. Юргелас // Известия Вузов. Радиотехника. - 1999. - №5. -с. 34-41.

34. Бирюк Н.Д. Свободный процесс и вынужденные колебания в обобщенном параметрическом контуре/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 2005. Т. 8, №2. - с. 52-59.

35. Бирюк НД. Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощью энергетической функции Ляпунова/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Наука — производству. 2005. - № 6. - с. 50-52.

36. Бирюк Н.Д. Обобщенный параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 2005. Т. 8, №2. - с. 45-51.

37. Бирюк НД. Параметрический контур с синхронным и асинхронным изменениями реактивностей/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». 2005. - Т. 1.-е. 452-457.

38. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении// Вестник Воронежского института МВД России, 2005.

39. Бирюк Н.Д. Энергетическая функция Ляпунова в проблеме устойчивости параметрического контура/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Вестник Воронежского института МВД России. 2005. - №2 (21). -с. 6-11.

40. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрического контура с положительными элементами/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Телекоммуникации. — 2005. — №6.

41. Бирюк НД. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре с периодическими элементами/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Теория и техника радиосвязи.-2005.-В. 1.-е. 108-118.

42. Бирюк Н.Д. Физические толкование явления параметрического резонанса, энергетический подход/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Вестник ВГУ. 2005. - с. 20-25.

43. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура методом Четаева/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Материалы VII Международной конференции «Циклы», Ставрополь. — 2005. Т. 2. — с. 109-112.

44. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Параметрический контур: проблемы и достижения/ IV Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», Нижний Новгород. -2005.

45. Бирюк Н.Д. Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н Финько// Вестник Воронежского института МВД России. -2004.-№4(19).-с. 123-127.

46. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// XI Международная НТК «Радиолокация, навигация, связь». 2005. - Т. 1. -с. 249-257.

47. Бирюк Н.Д. Обобщенный анализ колебаний в линейном параметрическом контуре/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько// Теория и техника радиосвязи. 2004. - в.2. - с. 41-50.

48. Финько В.Н. Уравнение Матье как уравнение свободных процессов параметрического контура/ В.Н. Финько// Всероссийская научнопрактическая конференция «Современные проблемы борьбы с преступностью». 2005. - с. 106-108.

49. Финько В.Н. Признаки резонанса параметрического контура/ В.Н. Финько// Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы борьбы с преступностью». 2005. - с. 109-112.

50. Величко Ю. Т. Теоретичш основи радютехшчних мереж/ Ю.Т. Величко. Льв1в: Вид-во ун-ту, 1966 -340 с.

51. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1964. - 608 с.

52. Зайцев В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям/ В.Ф.Зайцев, А.Д. Полянин. М.: «Факториал», 1997. - 303 с.

53. Каверин И. А. Ряды и дифференциальные уравнения/ И.А. Каверин. М.: Наука, 1969.- 158 с.

54. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Э. Камке. М.: «Наука», 1965.- 703 с.

55. Касъянков П.П. Ряды и дифференциальные уравнения./ П.П. Касьянков, Л.Б. Комаров. Л., 1966. - 106 с.

56. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье/ Н.В. Мак-Лахлан. М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

57. Фещенко С.Ф. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнениях/ С.Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль, Л.Ф. Николенко. Киев: «Наукова думка», 1966. - 252 с.

58. Каган В.Ф. Основания теории определителей/ В.Ф. Каган. Одесса: Госиздат Украины, 1922. - 522 с.

59. Кузнецова Т.Д. Таблицы характеристических показателей для уравнения Матье/ Т.Д. Кузнецова, Ю.Н. Смирнов. М.: ВЦ АН СССР, 1969. - 70 с.

60. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ Л. Чезари. М.: Мир, 1964.-478 с.

61. Сабсович JT.JI. Вычисление одного определителя, имеющего приложение в теории уравнения Матье/ JI.JI. Сабсович// Прикладная математика и механика. 1957.-Т. 21. -В.1 - с. 145-152.

62. Кочин Н.Е. О крутильных колебаниях коленчатых валов/ Н.Е. Кочин. — Собрание сочинений. Т.2. М.-Л.: АНСССР, 1956. - С.401 - 472.

63. Андронов А.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами/ А.А. Андронов. Собрание трудов. - Изд. АНСССР, 1956. -С. 19-31.

64. Александров В.В. Об абсолютной устойчивости систем 2-го порядка/ В.В. Александров, Н.Н. Жермоленко// Вестник МГУ. Математика, механика. 1972. - №5. - с. 102.

65. Алексеева С.И. Об интегрировании систем линейных дифференциальных уравнений с быстро меняющимися коэффициентами/ С.И. Алексеева// ДАН УССР. Серия А. — Физико-математические и технические науки. - 1975.-№1.-с. 3-10.

66. Астауров В.Б. Об оценках решений линейного дифференциального уравнения второго порядка/ В.Б. Астауров// Труды Государственного НИИ. Отдел научно-технической информации. - 1956. - №4(16). — с. 97-102.

67. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами/ Г. Д'Анжело. М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

68. Додон A.M. Исследование нестационарных систем второго порядка методом Г.В Каменкова/ A.M. Додон// Труды МАИ, 1976. В. 371. -с. 23-28.

69. Елъшин М.И. Качественные проблемы линейного дифференциального уравнения второго порядка/ М.И. Елыпин// ДАН СССР. 1949. - Т. 68. -№2.-с. 221-224.

70. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами/ Н.П. Еругин. Минск: АН БССР, 1963. - 272 с.

71. Заде JI. Теория линейных систем/ JI. Заде, И. Дезоер. М.: Наука, 1970. -704 с.

72. Канкулькин И.Е. Динамические свойства последовательного RLC контура с изменяющейся резонансной частотой/ И.Е. Канкулькин, В.П. Кузнецов, JI.M. Саликов// Вопросы радиоэлектроники. — Серия общетехнической электроники. — 1972. — в. 8. — с. 74-80.

73. Кулешов Ю.Г. Нелинейные и параметрические радиоцепи./ Ю.Г. Кулешов. Киев «Вища школа», 1970. — 104 с.

74. Лось Г.А. Решение и устойчивость двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами/ Г.А. Лось// Украинский математический журнал. — 1973. Т.25. -№3. - с. 390-400.

75. Люкселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике/ У. Люкселл. -М.: ИЛ, 1963.-352 с.

76. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний/ Л.И. Мандельштам. -М.: Наука, 1972.-470 с.

77. Митрополъский Ю.А. Применение квадратичных форм к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений/ Ю.А. Митропольский,

78. A.M. Самойленко, В.Л. Кулик// Дифференциальные уравнения. 1985. -Т.21. -№5. - с. 476-483.

79. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем/ Ф.А. Михайлов. — М.: Наука, 1986. — 319 с.

80. Основы теории колебаний/ В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель,

81. B.Н. Парыгин. М.: Наука, 1988. - 391 с.

82. Петровский Г.Н. Некоторые свойства систем линейныхдифференциальных уравнений/ Г.Н. Петровский// Дифференциальные уравнения.-1974.-Т.'10.-№9.-с. 1652-1661.

83. Самойло К.А. Методы анализа колебательных систем второго порядка/ К.А. Самойло. М.: Сов. Радио, 1976. - 208 с.

84. Соболь И.М. Исследование асимптотического поведения решений линейного дифференциального уравнения второго порядка при помощи полярных координат/ И.М Соболь// Математический сборник. -1951. -Т.28 (70). №3. - С. 707-713.

85. Соколов О.Н. Некоторые вопросы теории колебаний/ О.Н Соколов. — Саратов: изд. СГУ. 1980. - 128 с.

86. Солодовников В.В. Частотные методы анализа и синтеза нестационарных линейных систем/ В.В. Солодовников, Ю.И. Бородин, А.Б. Иоаннисиан. М.: Сов. Радио, 1972. - 168 с.

87. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами (Асимптотические методы и критерии устойчивости и неустойчивости)/ И.З. Штокало. Киев: АН УССР, 1960 - 78 с.

88. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения/ В.А. Якубович, В.М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 718 с.

89. Damgov V.N. Non-linear resonance and parametric phenomena in a complicated oscillating circuit/ V.N. Damgov// IEEE Proceeding. Part 6. — Electronic Circuits and Systems. - 1984. -v.31. - №1. - p. 24-28.

90. Darlington S. Linear time-varying circuits, Matrix manipulations, Power relation and some bounds on stability/ S. Darlington// The Bell System Technical Journal. 1963. - v. 42. - p. 2575-2608.

91. Szalelski K. The vibrations on self oxcited with parametric excitation and non-symmetric elasticity characteristic/ K. Szalelski// Mech. Theory i stosow. -1991.-29. -№1.- p. 59-73.

92. Chiang Yik-Man. Estimates on the growth of meromotphic solutions of linear differential equations/ Yik-Man Chiang, Walter K. Hayman// Comment. Math. Helv. 2004. - 79. - 33. - p. 451-470.

93. Sinha S.C. Order reduction of parametrically Excited nonlinear Systems: Techniques and applications/ S.C. Sinha, Saugram Redkar, Venkatesh

94. Deshmukh, Eric A. Butcher// Nonlinear Dyn. 2005. - 41.- №1.-3. - p. 237273.

95. Zhon Wen. A simplified method about working out particular solutions of second-order differential equation/ Wen Zhon// Math. Theor. and appl. -2005.-25. №4.-p. 113-115.

96. Mc. Cluskey C. Connel. A strategy for constructing Lyapunov function for non-automous linear differential equations/ Mc. Cluskey C. Connel// Linear Algebra and appl. 2005. - 409. - p. 100-110.

97. Stanek Svatoslav. An almost-periodicity criterion for solutions of the oscillatory differential equation y" = g(t)y and its applications/ Svatoslav Stanek// Arch. Math. 2005. - 41. - №2.- p. 229-241.

98. Агеев Д.В. Резонанс в линейных системах с переменными параметрами/ Д.В. Агеев, Н.В. Зенкович// Известия Вузов MB и ССО СССР. Радиотехника. 1973. — №7. — с. 21-25.

99. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи/ С.И. Баскаков. М.: Высшая школа, 1983.-583 с.

100. Жарков Ф.П. Цепи с переменными параметрами/ Ф.П. Жарков, В.А. Соколов. М.: Энергия, 1976. -224 с.

101. Бухарин С.В. Основы анализа и синтеза нестационарных модуляционных систем/ С.В. Бухарин. Воронеж: ВГУ, 1986. - 186 с.10в. Вига P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P. Bura, P.M.

102. Tombs// Wireless Engineer. -1952. v. 29. - p. 95-100. 107. Bura P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P. Bura, P.M. Tombs// Wireless Engineer. -1952. - v. 30. - p. 120-131.

103. Рублев А.Н. Линейная алгебра/ А.Н. Рублев. -М.: Высшая школа, 1968. -384 с.

104. Балитинов М.А. Достаточные условия устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений/ М.А. Балитинов// Известия Северо-Кавказского научного центра. — Серия естественных наук.- 1974.-№4.-с. 108-110.

105. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений/ Р. Беллман. -М.: ИЛ, 1954. -216 с.

106. Бонжиорно И.И. Критерии устойчивости линейных систем спеременными во времени параметрами, выраженные черезхарактеристики в области действительных частот/ Й.Й. Бонжиорно//

107. Труды института по электротехнике и радиоэлектронике: доклады )конференции. Июль, 1964. с. 886-896.

108. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова/ К.Г. Валеев, Г.С. Финин. -Киев «Наукова думка», 1981. 412 с.

109. Годунов С.К. Квадратичные функции Ляпунова/ С.К. Годунов. -Новосибирск, 1982. 167 с.

110. Ив.Даннан Ф.М. Об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами/ Ф.М. Даннан// Украинский математический журнал. 1973. - Т. 25. - №3. -с. 355-361.

111. Дворников В.И. Об одном критерии устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.И.

112. Дворников, JI.E. Шайхет// Прикладная математика и механика. 1975. — Т. 11.-В. 7.-с. 120-127.

113. Жуковский В.И. Обзор работ по устойчивости тривиального решения систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами/ В.И. Жуковский// Сборник работ по геометрии и математическому анализу Орехово-Зуевский ж.д. ин.-т. — 1964. — В. 3.

114. Журавлев В.Ф. Об одном методе нахождения характеристических показателей линейных цепей с периодическими параметрами/ В.Ф. Журавлев, В.Г. Орешников. Труды МАИ. - 1974. - Вы. 293. - с. 83-90.

115. Розенвассер Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления/ Е.Н. Розенвассер. М.: Наука, 1977. - 344 с.

116. Рубановский В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.Н. Рубановский// Общая механика. Итоги науки.-М., 1971.-е. 85-157.

117. Эскин Л.Д. Об асимптотике решений системы у"+0(х)у' + Р(х)у = 0/ Л.Д. Эскин// Известия вузов MB и ССО СССР. Серия математика. — 1974. -№10.-с. 88-103.

118. Юровский А.В. О некоторых критериях устойчивости интегральных систем двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ А.В. Юровский// ДАН СССР. 1948. - Т.67. - №5. -с. 595-598.

119. Гонороеский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы./ И.С. Гоноровский.- М.: Советское радио, 1964. 694 с.

120. Нечаев Ю.Б. Резонанс последовательного параметрического контура/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, Е.В. Латышева// XIV международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». — Т.1. — 2008. с. 381-387.

121. Нечаев Ю.Б. Высокодобротный контур с периодически изменяющейся емкостью./ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, Е.В. Латышева// XV международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». Т. 1. - 2009. - с. 354-364.

122. Ъ\.Нечаев Ю.Б. Свидетельство о государственной регистрации для ЭВМ №2008613246 «Решатель 1.0»/ Ю.Б.Нечаев, Ю.А. Дергачев, Е.В. Латышева// Правообладатель ВГУ. Заявка №2008612067 от 15.05.2008.- Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 07.07.2008.

123. Нечаев Ю.Б. Свидетельство о государственной регистрации для ЭВМ №2008614674 «Снайпер 1.»/ Ю.Б.Нечаев, Ю.А. Дергачев, Е.В. Латышева// Правообладатель ВГУ. Заявка №2008613563 от 31.07.2008.- Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29.09.2008.