автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Математические модели, методы анализа и имитационное моделирование системы двух связанных параметрических контуров с кондуктивной связью

На правах рукописи

АЛЕХИН Сергей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, МЕТОДЫ АНАЛИЗА

И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ С КОНДУКТИВНОЙ связью

Специальности: 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения; 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж-2008

003457996

Работа выполнена в открытом акционерном обществе «Концерн «Созвездие»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Нечаев Юрий-Борисович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент

Бирюк Николай Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Алгазинов Эдуард Константинович;

доктор технических наук, профессор Хохлов Николай Степанович

Ведущая организация: ОАО Воронежский научно-исследовательский

институт «Вега» •

Защита состоится 26 декабря 2008 года в 14 часов в аудитории №213 на заседании диссертационного совета Д 203.004.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Воронежском институте МВД России по адресу: 394065, г. Воронеж, пр. Патриотов, 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского института МВД России.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Воронежского института МВД России: www.vimvd.ru в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 203.004.01».

Автореферат разослан « » ноября 2008 г.

Ученый секретарь _■ _

диссертационного совета ■*=-. ^г/^^У'— ~ С.В. Белокуров

Обшая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время радиоэлектроника развивается в нескольких направлениях. Одно из них связано с расширяющимся применением нелинейных и параметрических радиоэлектронных устройств. С развитием этого направления все более сказывается отставание теории нелинейных и параметрических радиоцепей от потребностей практики. Одной из основных сложностей построения систематизированной теории нелинейных систем является применение обобщающего принципа,- подобного принципу суперпозиции для линейных -систем - принципа линейного включения.

Принцип линейного включения утверждает, что для решения произвольной нелинейной системы уравнений можно подобрать линейную систему, дающую такое же решение. Представляется целесообразным построить систематизированную теорию нелинейных радиоцепей на основе этого принципа. Для этого необходимо сосредоточить усилия на исследовании линейных параметрических радиоцепей.

По этой тематике опубликовано много работ. Прежде всего, можно отметить публикации представителей школы нелинейных колебаний, возглавляемой академиками Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Успехи этой школы стимулировали большое число публикаций. Наиболее известные монографии этого направления - монография В.А. Тафта, посвященная нестационарным (параметрическим) электрическим цепям; одна из нескольких монографий коллектива авторов во главе с Ф.А. Михайловым по системам автоматического регулирования; монография C.JI. Чечурина по механическим системам. Этому научному направлению большое внимание уделено в зарубежной научной литературе. Достаточно красноречивым является тот факт, что один том престижного американского журнала (IRE Trans. On Cirquit Theory) полностью посвящен электрическим цепям с изменяющимися во времени параметрами. Внушительный список публикаций по параметрическим системам позволяет отметить следующую особенность -они посвящены либо отдельным частным вопросам (в основном, разновидностям параметрического контура), либо, наоборот, весьма общей проблематике.

В радиоэлектронике, особенно в радиосвязи, весьма широко применяются системы двух связанных контуров с переменными параметрами.

Цель работы заключается в разработке физически прозрачных методов анализа системы связанных параметрических контуров с кондуктивной связью, а также в исследовании на их основе общих свойств системы, включая важные для радиосвязи и радиоизмерений резонансные характеристики.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, предусматривают решение следующих задач:

1. Получение и обоснование адекватного математического описания выбранной для анализа физической колебательной системы.

2. Исследование особенностей вынужденных колебаний при возмущающих функциях достаточно широкого класса.

3. Получение физически обусловленного описания резонансных свойств колебательной системы.

4. Проведение анализа устойчивости системы по Ляпунову на основе рассмотрения свободных процессов в системе.

5. Проведение оценки перспектив обобщения предложенных методик анализа на более сложные радиоцепи.

Научная новизна. Впервые с большой степенью общности исследована параметрическая система двух связанных контуров с внутренней и внешней кондуктивной связью. Разработаны методы анализа таких систем, базирующиеся на тео-

рии дифференциальных уравнений, теории бесконечных систем алгебраических уравнений, методе комплексных амплитуд. Рассмотренная параметрическая система представляет интерес для радиоэлектроники, радиосвязи, радиоизмерений. Кроме того, в диссертации проведен анализ возможности обобщения полученных результатов применительно к более сложным параметрическим радиоцепям.

При выполнении диссертационной работы получены результаты, характеризуемые научной н'овизной и состоящие в следующем:

1. Адекватной математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является линейная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эта система уравнений является результатом непосредственного использования законов Кирхгофа применительно к анализируемой физической системе.

2. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является также линейная система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Такая система характерна для механических систем, а в случае аналогии колебательных процессов может использоваться для систем электрических.

3. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является бесконечная линейная блочная алгебраическая система с постоянными коэффициентами. Матрица системы состоит из блоков порядка 2x2, неизвестный и свободный вектор-столбцы состоят из векторных блоков порядка 2x1. Получены конкретные бесконечные системы уравнений этого порядка

4. Показано, что параметрическая система двух связанных контуров с кондуктивной связью по энергетическим признакам аналогична известной стационарной системе двух контуров с кондуктивной связью (электромагнитная энергия попеременно перекачивается из одного контура в другой). Различие состоит в том, что в параметрической системе с положительными элементами свободный процесс при определенных условиях может с течением времени безгранично возрастать.

5. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости, дающие гарантию того, что свободный процесс в анализируемой физической системе с течением времени стремится к нулю.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных результатов подтверждается надежным, многократно проверенным математическим аппаратом; прозрачным физическим смыслом функциональных зависимостей; непротиворечивостью известным фактам в частных случаях, а также полученными численными оценками.

Практическая значимость работы. Проведенные исследования носят фундаментальный характер и позволяют глубоко осмыслить явления, связанные с изменением во времени элементов радиоцепей. Такие явления сопровождают процессы в нелинейных и параметрических радио- и электроцепях. Целенаправленные, вполне определенные зависимости во времени реактивносгей могут компенсировать тепловые потери, что очень важно для помехоустойчивой радиосвязи.

Полученная в диссертации информация о ряде закономерностей может быть использована при проектировании малошумящих радио- и телевизионных приемников. Спектры протекающих в параметрических радиоцепях процессов такие же, как и в нелинейных радиоцепях. Их исследование позволяет разобраться в особенностях «засорения» эфира, что дает возможность улучшить электромагнитную совместимость радиоэлектронных систем. В этом направлении в диссертации получены конкретные результаты в виде спектрального состава квазипериодических колебаний в исследуемой системе.

Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные

результаты использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах ОАО Концерн «Созвездие», ОАО Воронежский НИИ «Вега», НВП «Протек», внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД, что подтверждено актами внедрения.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью. Все параметры системы (емкости, индуктивности, активные сопротивления) изменяются во времени в соответствии с произвольными непрерывно дифференцируемыми и положительно определенными функциями. Э.д.с. и задающие токи изменяются во времени по любым функциям. Получены дифференциальные уравнения разных типов для такой системы. Общий анализ проведен на основе линейной системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Предложено нормирование переменных в общем виде.

2. Анализ устойчивости системы первым методом Ляпунова. Проанализированы современные достижения в этом вопросе, выделено неравенство Важев-ского, как конструктивное для рассмотренной в диссертации физической системы. Для повышения эффективности неравенства Важевского предложено специальное нормирование уравнений физической системы. Получены достаточные условия устойчивости анализируемой физической системы при ограничениях, которые обычно выполняются на практике.

. 3. Анализ устойчивости физической системы вторым методом Ляпунова. Предложена функция Ляпунова, представляющая собой мгновенную энергию, запасенную в реактивностях системы. На этой основе получены достаточные условия устойчивости системы. Кроме того, функция Ляпунова видоизменена, в результате чего получены достаточные условия устойчивости более общего характера.

4. Анализ резонанса заданной физической системы на основе двух подходов. Один из этих подходов оказался более конструктивным и гибким. Проведен конкретный анализ резонанса по Мандельштаму применительно к рассматриваемой физической системе.

5. Исследование возможностей применения рассматриваемой или подобных ей систем на практике. По потребности в применении первое место занимают малошумящие параметрические усилители. По совокупности параметров параметрические усилители занимают лидирующее положение среди малошумя-щих усилителей, применяющихся в современной технике. Наиболее качественными параметрическими усилителями являются двухконтурные параметрические усилители, в основу которых положены системы двух связанных контуров, в том числе и с кондуктивной связью.

6. Модифицированный метод комплексных амплитуд, используемый при анализе вынужденных колебаний. В этом случае анализ приводит к бесконечным системам алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрены свойства таких уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2008 г.), VII Международной научно-технической конференции (Самара, 2008 г.) ежегодных научных конференциях Воронежского государственного университета и Воронежского института МВД РФ.

Публикации. Основные результаты работы отражены в 11 публикациях, в том числе в 7 статьях, 4 материалах научных конференций. Работы [1, 2, 3, 4, 6, 7] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

В работах, выполненных в соавторстве, автором лично выполнено: в работах [1, 2, 9, 12] формулировка и обоснование различных критериев устойчивости, в работах [3, 4, 5] исследование устойчивости системы с внешне- и внутрикон-дуктивной связью, в работах [6, 10] математическое моделирование вынужденного процесса, в работах [7, 8, 9] математические модели и исследование резонанса,, в работе [11] обосновано достаточное условие устойчивости.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованных литературных источников из-122 наименований. Работа изложена на 187 страницах, содержит 32 рисунка и 6 таблиц.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цель и задачи исследований, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследуются два типа параметрических систем двух связанных контуров с кондуктивной связью. Их эквивалентные схемы показаны на рис. 1,2. Предполагается, что все параметры (емкости, индуктивности и активные сопротивления) положительны, их изменение во времени описывается произвольными непрерывно дифференцируемыми функциями. В каждую систему включены четыре источника энергии, необходимых для анализа сложного явления резонанса: два источника э.д.с. и е2), два источника тока (д и ]2 )■ Считаем, что изменения во времени токов и э.д.с. произвольны.

моф Т^'О0'

МС2=гС2©Ы»

Рис. 1. Двухконтурная колебательная система с внугрикондуктивной связью с' I, Р и

^—ГГЛГУ-.-,-1 I—,-

Ь фс, с,

и.

Рис.2. Двухконтурная колебательная система с внешнекондуктивной связью

Поскольку на структурном уровне приведенные схемы могут быть преобразованы одна в другую, не ограничивая общности, можно провести анализ лишь одной из колебательных систем. В работе для анализа выбрана система с внутрикондуктив-ной связью (рис.1). Для этой физической системы применение законов Кирхгофа позволяет получить систему дифференциальных уравнений (1), в которой - заряды емкостей С1, С2; ^, ф2 - магнитные потоки, связанные с индуктивностями Ы, Ь2.

Следует отметить, что, исключая различное количество зависимых переменных, можно записать эквивалентные системы дифференциальных уравнений второго, третьего порядка либо дифференциальное уравнение четвертого порядка. Использование системы (1) для анализа выбранной физической системы продиктовано возможностью обосновать дальнейшие преобразования, основанные на физической трактовке ее коэффициентов.

л с,

л ^41 йф2

я + л , /? , —'--Л - — Фг+£х С),

А

л -

—<¡>2 С)

с,

Математическая система (1) для анализа радиотехнических систем имеет недостатки. Так, в системе единиц СИ коэффициенты в (1) могут существенно различаться по величине, поскольку емкости реальных физических систем имеют порядок единиц пикофарад, индуктивности - единиц милигенри, сопротивления- единиц Ом, проводимости - десятков Сименсов. Различие коэффициентов в системах уравнений на несколько порядков создает сложности для решения, так как пренебречь малыми коэффициентами в данном случае недопустимо. Для исключения подобных сложностей в работе предложен переход к нормированным переменным.

Рассмотрим произвольные именованные масштабные делители 1и, фи, имеющие размерности времени, заряда и магнитного потока, перейдем к безраз-

мерным переменным г = — ,х1 = —,х2=—,х3 ■■ <м Ям - Фм Тогда вместо (1) получим

'2 т _ Я\ Ям

ум

А,

ат с,

скг - X

ат

дх,, - 'мКх

ат А

ах 4 - 'мГ X

ат А

Ям

х, -Л,

А 4 я,

-—--л

_ А

*4

V?

гС,

г

1м-Ям

(2)

где г--

Ям

нормирующее сопротивление. При необходимости можно вернуться

к исходной системе (1), положив 1М= 1, Ям=1, фм=1- В системе (2) все переменные, коэффициенты при них и свободные функции безразмерные. Таким образом, сложная математическая задача приведена к корректной математической.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости рассматриваемой физической системы первым методом Ляпунова. В ней приведен обзор современного состояния проблемы использования первого метода устойчивости Ляпунова. Уделено внимание применению неравенства Важевского, определяющего условия асимптотической устойчивости системы.

Рассмотрим векторное уравнение, которое соответствует математической системе (2):

(3)

Утверждается, что для любого решения этого уравнения справедливо двустороннее неравенство

||х(г0)1ехр{А(г1)Л1 < |х(г)|| < |х(0||ехр/л(гМ. (4)

где | х(/) |-евклидова норма решения х(г),т.е. если х (г) =со1о п (х, ((). (').■■>*»;(<))>то II *(0| = У*? (0+дг2(')+МО и Л(') - наименьшими наибольший характеристические корни симметризованной матрицы уравнения (3) \,(')=~[а(/)+Ат(г)].

Характеристические корни Я/ = 1,2,...,п находятся из решения алгебраического уравнения п -й степени

ае1[А,(0--и] = 0, (5)

где I - единичная матрица порядка лх п. Неравенство (4) позволяет сделать важный для рассматриваемой задачи вывод: если л(/)<-й<0, где Ь - положительная константа, то система (2), соответствующая уравнению (3), асимптотически устойчива.

Для системы (2) уравнение (5) приводит к алгебраическому уравнению четвертой степени вида

Л4 + а3(0Я3 +а2(1)Л2 +а1(1)Я + а0(()= 0, (6)

где коэффициенты ¡=0, 1, 2,...,3 достаточно сложно связаны с элементами матрицы А(0- Выражения для коэффициентов можно упростить, если особым способом нормировать систему (1), а именно для каждой переменной выбрать

свой масштабный коэффициент: ^ = хг=—, х3 =—, * = — •

Я„1' Фм1 Ф» 2 9*2

Предположив, что в рассматриваемой физической системе все реактивности постоянны, можно подобрать так, что ряд слагаемых в выражениях для коэффициентов равенства (6) взаимно уничтожатся. При этом выражения для коэффициентов примут вид (7).

В реальных параметрических системах переменная часть реактивностей много меньше постоянной части, поэтому во многих случаях формулы (7) окажутся справедливыми и при переменных реактивностях. -

о (Л-.*3'0* +

оК' С,С2 ¿Л ' (7)

| + Д,/?2 + ф, + Я2)Гс, | о/

£1

¿2 ) ^С, С;

а = | с2 УД. +Д ,

1с, с, Л А к )

,. С. С, Я,+Л й2 + й а3(/) = — + — + —-+ —-.

С, С2 ¿, ¿2

Типичный случай изменения емкости можно представить зависимостью

С(0=С0[1 + тсоз(П/ + р)], (8)

где О. - достаточно высокая частота, т - коэффициент модуляции емкости, имеет порядок величины, обратной добротности контура, т.е. т—0,01«1. В таком случае, в первом приближении считая емкость постоянной, можно воспользоваться приближенными формулами (7) и применить условия Рауса-Гурвица, гарантирующие отрицательность всех корней уравнения (6), т.е. выполнение условия Л(/)<-й< 0,

h = const < 0, вытекающего из неравенства Важевского и являющегося условием асимптотической устойчивости рассматриваемой физической системы.

В третьей главе рассмотрено применение второго метода Ляпунова к анализу устойчивости исследуемой физической системы. В ней приведена краткая характеристика современного состояния решаемой задачи, сформулированы основные теоремы метода. Одна из них основана на следующих двух утверждениях. Для заданного уравнения (3) строится определенно положительная функция Ляпунова

V(x,t) > 0, F(0,/)= 0, (9)

затем находится полная производная этой функции. Если она, начиная с любого момента времени t = /0, при всех t является неположительной, т.е.

V(x,t)<0, V(0,t) = 0, (10)

то система (3) устойчива по Ляпунову. Если же полная производная определенно отрицательна, т.е.

V(x,t)<0, r(0,t) = 0, (П)

то система (3) асимптотически устойчива по Ляпунову.

Задав функцию Ляпунова для математической системы (1) в виде мгновенной энергии, запасенной в реактивностях,

ЛЫ

А

ее полную производную получим в виде V - -

Чг

(12)

G,-C,/2„2 Я,+ 4/2^2 R2 + L2/2,

-Ч\

-l

Ц

R ZL + Xi

A A

Из выражений (11) и (12) следует, что теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости справедлива при выполнении системы неравенств

О, г»-С,/2]

я,;>-Д/2 . (13)

К2>-4/2 02>-С2/ 2

представляющих достаточное условие асимптотической устойчивости физической системы. Неравенства должны выполняться для любого момента времени. Задание функции Ляпунова в более общем виде

(14)

2 С, 1

где а =«(/)- произвольная непрерывная функция времени, позволило вместо (13) получить более общий критерий устойчивости

С,

С,

El

El ¿2

с,

£+-£> а 1С a L.

>0

го a 2L,

а 2 ¿2 а С, а + 2С,

>0

(15)

Положив — а

.g^Cl С, 2 С,

вместо (15) получим систему трех неравенств:

#'4

Для эффективного использования второго метода нужно строить подходящие функции Ляпунова. В некоторых предметных областях накоплен определенный опыт по построению функции Ляпунова, например - в теории автоматического регулирования. Для радиоэлектронных систем такой опыт пока отсутствует.

В четвертой главе проводится анализ вынужденных колебаний в системе по рис.1, особое внимание уделено явлению резонанса. Систему (2) представим в компактном векторном виде

dx

х = A(r)x + f(r),

(17)

(18)

(19)

где х и г(г) - вектор-столбцы четвертого порядка, А(г) - матрица порядка 4x4. Элементы вектор-столбцов и матрицы можно выписать, сравнивая (17) с (2). Общий подход описания вынужденного процесса заключается в представлении матрицы и вектор-столбцов в виде бесконечной суммы разложения по функциям безразмерного времени. Например, все элементы матрицы и вектор-столбцов можно разложить в ряды МаклОрена:

х(г) = £x,r',f(r) = If,r',A(r)= ¿А,У,

/=0 ¡=0 /=0

ат ,=о Тогда для системы (2) получим представление

00 / 00 00 Л 00

1(/+1К+1У= 1А,У I Ix,y +2V.

/=0 \/=о А/=о У ;=о

Упорядочив произведение бесконечных сумм

(00 Y00 00 ( ' \

2V Ех,т' =1 IAMX,K Vi=o А<=о у i=o\i=o ) упростим уравнение (19):

Z0- + lK+1r' = ¿fzA^x, V.

/=о /=0Ч/=0 )

Приравнивая коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях независимой переменной (г'), получим бесконечную систему алгебраических уравнений

i

О' + ^ж = 2>,-/х/ +f„/' = 0,1,2,...,

1=0

которую в развернутом виде можно записать так:

(20)

х, — А0х0 Г0

2X2 ~ А,х0 А^Х^ ~Ь ^

ЗХз=А2Х0+А,Х, + А0Х2 + Г2 (22)

= + А*.,х, + ••• + АЛ +Г4

Это бесконечная блочная (клеточная) система линейных алгебраических уравнений". Каждый представляет собой вектор-столбец четвертого порядка с постоянными элементами. Такое же представление имеют свободные векторы . Коэффициенты при неизвестных представляют собой матрицы А, порядка

4x4 с постоянными элементами. Если при г = 0 известно начальное значение х(г)= х, то из первой формулы выражений (18) находим

х(0)=х0. (23)

Зная х0> из первого уравнения системы (22) найдем Х]. Зная %о и \], из второго уравнения системы (22) найдем х2 и т.д. Зная х0,х!,...,хьиз £ +1 -го уравнения системы (22) найдем Решая таким образом уравнения системы (22) одно за другим, находим конечное число решений х0,х[,х2,...,хп, а по ним строим приближенное решение системы (17), которая следует из системы (2)

х(г)=£х,У. . (24)

/-о

Аналогично поступаем и в важном для радиотехники случае, когда в (17) все элементы матрицы являются периодическими функциями безразмерного времени т с одной и той же круговой частотой £1, а элементы свободного вектора Г (г) - синусоидальные функции с одной и той же круговой частотой со. В этом случае целесообразно применить метод комплексных амплитуд, разложив матрицу и векторы уравнения (17) в ряды Фурье. При этом показано, что изображение по методу комплексных амплитуд нужно искать в виде

х(г)= ¿Х4е'(й,+Ш)г, (25)

к=-<ю

где Х^ — вектор четвертого порядка, состоящий из элементов, представляющих собой комплексные амплитуды синусоидальных функций с одной и той же частотой ю + Ш.

Далее элементы матрицы и свободного вектора представляются в виде разложения в ряды Фурье в комплексном виде. Используя вместо х его изображение (25) по методу комплексных амплитуд и выбирая по одному уравнению для каждой комплексной амплитуды гармонической составляющей с частотой со + кП, получаем бесконечную систему алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд Х*.В результате приближенного решения системы получаем 2п +1 значение комплексных амплитуд, по которым строится приближенное изображение (25) для конечной суммы

(26)

к=-п

точность решения зависит от числа п. По изображению (26) находим приближенное решение уравнения (17)

х(г)=Яех(т). (27)

Сходимость ряда (25) для изображения (26) напрямую зависит от степени гладкости функций, задающих элементы матрицы и свободный вектор. Если они непрерывны вместе со своими кратными производными до к -го порядка включительно, то, начиная с некоторого к, модули комплексных амплитуд убывают

обратно пропорционально А"2,

В радиотехнике обычно требование достаточной гладкости изменяющихся во времени параметров выполняется, за исключением импульсных-систем.

Резонанс колебательной системы (рис.1) с изменяющимися во времени параметрами проявляется сложным образом. Концепция резонанса, разработанная для стационарных систем, в этом случае не применима. Кроме того, в параметрических системах может реализоваться несколько типов резонансов, существенно отличающихся друг от друга.

В работе в основу анализа положена альтернативная концепция резонанса, предложенная академиком Л.И. Мандельштамом. Исходной является система (1). Прежде всего, эту систему представим в специальном виде:

л

+/.(')

л

Л ¿Я.

1 Д,+Д

"с™—V

1

-ТгЯг-

2

.!к±Иф2+Е2(,)

(28)

В правой части сгруппированы слагаемые, связанные с тепловыми потерями и внешними возмущениями. При резонансе их сумма должна быть тождественно равной нулю, т.е.

= -7—«

V

(29)

Из тождественного равенства нулю правой части в (28) следует система уравнений для левой части:

1 - л -01 =0

Л С,

Л

л

~Яг=0

-4~Фг=0

(30)

Система уравнений (30) описывает собственные колебания параметрической системы (рис.1). Понятие «собственные колебания» применительно к параметрической системе условно, поскольку она не является изолированной от внешней среды.

Такая терминология призвана подчеркнуть аналогию между параметрической и соответствующей стационарной системой.

Итак, в случае резонанса по Мандельштаму в системе реализуются собственные колебания, согласно уравнениям (30), а резонансные внешние воздействия связаны с собственными колебаниями соотношениями (29).

Если система уравнений (30) неасимптотически устойчива по Ляпунову, то такой резонанс является прямым обобщением резонанса соответствующей стационарной системы. Если система (30) неустойчива по Ляпунову, то ее собственные колебания с течением времени беспредельно возрастают, а отсюда, согласно уравнению (29), при резонансе требуется беспредельное возрастание внешних воздействий, что практически не реализуемо. В таком случае может быть реализован резонанс другого типа.

Представим сопротивление связи (рис.1) в виде суммы Л = /?' + /?". Тогда систему уравнений (1) приведем в другом специальном виде:

Л

-Л

л с,

V 1

-ТГЪ+Ш

Г1

Я . Я'

V

Я

2

Я

л

¿Яг Л

2 ¿>2 1 Л °2

'ь,

я,+я

+*!(') ■ф2+£2(1)

л(0

(31)

Эта система уравнений, как и предыдущая, при резонансе распадается на две системы:

Л

1

+ -¿=0 Ц

л с,д> + ц

Я'

= 0

¿ф,

Я' , Я'

л и 1

(32)

■

Ь

Л

Я,+Я'

(33)

Сопротивление Л' подбирается так, чтобы система (32) была неасимптотически устойчива, т.е. при конечных начальных значениях ее решения были конечными, не стремящимися к нулю. Тогда, согласно (33), и задающие токи, и э.д.с. будут конечными. Такой резонанс заметно отличается от предыдущего и не может считаться прямым обобщением резонанса стационарной системы.

В пятой главе изложены вопросы практического применения параметрических систем. Перспективы их применения достаточно широки.

В области преобразования сигналов параметрические системы могут выполнять такие же функции, как и нелинейные: усиление, преобразования частоты, модуляция, детектирование.

Кроме того, параметрические системы могут произвольно возникать в сложных радиотехнических системах и ухудшать их качество. Так, в радиосистемах, работающих со значительными сигналами, всегда присутствует какая-либо паразитная емкость, изменяющаяся во времени. При этом в схеме непредусмотренно возникает параметрический контур. В работе показано, что если он неустойчив, то возникает генерация паразитных колебаний, являющихся помехой.

Полезные свойства параметрических систем реализуются в радиоэлектронных устройствах, прежде всего, при создании малошумящих усилителей. В параметрических усилителях эффект достигается за счет изменяющихся во времени реактивно-стей, при этом есть реальные перспективы уменьшения в них шумов, которые частично реализуются на практике.

В диссертации проведен обзор малошумящих усилителей разных типов, для каждого приведена совокупность эксплуатационных параметров, по которым проводится сравнение. Показано, что параметрические усилители по совокупности оцениваемых параметров занимают лидирующее положение. При этом самые качественные параметрические усилители создаются на базе двухконтурных систем типа исследованной в диссертационной работе.

В шестой главе исследуются области устойчивости численными методами, подобно тому, как это сделано для уравнения Матье. Следует отметить, что исследуемая система много сложнее системы, описываемой уравнениями Матье. В уравнении Матье области устойчивости и неустойчивости упорядочение группируются, при этом разделяющие их границы являются плавными и протяженными. Для системы двух связанных параметрических контуров с кондукгивной связью компьютерный анализ позволил обнаружить весьма сложную картину зависимости областей устойчивости и неустойчивости от параметров, характеризующих изменения системы во времени. Границы между областями представляют концентрические окружности, причем концентрация точек, в которых система устойчива, снижается с удалением от центра окружности. Для строгого обоснования такого характера областей требуется проводить дальнейшие исследования, выходящие за рамки задач, поставленных в настоящей работе.

В заключении дана развернутая характеристика проведенной научной работы. Наряду с полученными результатами приведены характеристики применяемых методов анализа, которые очень важны в работах подобного типа. С одной стороны, методы должны быть общими и охватывать широкий круг явлений. С другой стороны, сами анализируемые процессы являются сложными и многомерными. Поэтому исследовать их свойства в полной мере приближенными методами анализа непросто.

Процессы в параметрических системах при периодическом воздействии могут и не быть периодическими. Они описываются почти периодическими функциями, область применимости которых несоизмеримо шире, чем у периодических функций. Несмотря на то, что их можно разложить в ряд Фурье, соотношения между частотами гармонических составляющих в этом случае намного более разнообразны, чем у периодических функций.

В диссертации развит спектральный метод анализа, в сочетании с методом комплексных амплитуд он упрощает получение бесконечных систем уравнений для комплексных амплитуд спектральных составляющих функции вынужденного процесса Проведен анализ устойчивости параметрической системы первым и вторым методом Ляпунова. Как самостоятельную задачу можно рассматривать построение функций Ляпунова В качестве первоначальной функции Ляпунова использовано выражение для мгновенной энергии, накопленной в реактивностях системы. В дальнейшем эта функция Ляпунова обоснованно видоизменена. В основу диссертации положены об-

щие принципы анализа, допускающие обобщение на параметрические системы любой сложности по структуре, в том числе и на механические параметрические системы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бирюк Н.Д. Критерии устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, С.Ю. Алехин U Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2008. - Т.51. -№9,- С.51 - 59.

2. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, С.Ю. Алехин // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2008. - Г.51. -№8. - С.37 - 39.

3. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2008. - Т. 11. - №1. - С.55 - 59.

4. Нечаев Ю.Б. Обобщение энергетической функции Ляпунова в анализе устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2008. - Т. 11. - №1. - С.60 - 64.

5. Бирюк Н.Д. Параметрическая система двух связанных контуров с кондук-тивной связью/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, С.Ю. Алехин // Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - Воронеж, 2008. - Вып. 1. - JC.5 -10.

6. Нечаев Ю.Б. Вынужденный процесс в параметрической системе двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Вестник ВГТУ. - Воронеж, 2008. - Т.4. -№2. - С.38 - 42.

7. Нечаев Ю.Б. Резонанс параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Вестник ВГТУ. - Воронеж, 2008. - Т.4. - №3. - С.116 - 121.

8. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрических радиоцепей/ Ю.Б. Нечаев, С.Ю. Алехин // Охрана, безопасность, связь: сб. материалов Всерос. науч.-пракг. конфУ Воронеж, ВИ МВД РФ, 2007. - Воронеж, 2008. - Ч. 1. - С.62 - 64.

9. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрических радиоцепей/ Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Информатика: проблемы, методология, технология: сб. материалов науч.-методич. конф./ Воронеж, 2008. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2008. - Т.2. - С.108 - 111.

10. Бирюк Н.Д. Общая характеристика резонанса параметрической системы двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, С.Ю. Алехин // Материалы XIV международной науч.-техн. конф. «Радиолокация, навигация, связь»/ Воронеж, 2008. - Воронеж, 2008.-Т.1.-С.373 — 380.

11. Нечаев Ю.Б. Достаточные условия устойчивости параметрической системы двух колебательных контуров с внутрикондуктивной связью / Ю.Б. Нечаев, Н.Д. Бирюк, С.Ю. Алехин // Тезисы VII международной науч.-техн. конф, посвященной 150-летию со дня рождения А.С.Попова, Самара/ 2008. - Самара, 2008. - С. 16 -17.

Подписано в печать '. ^.2008. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. 0,93. Уч.-изд. л. 1. Гарнитура Тайме новая. Печать офсетная. Бумага типографская. Тираж 100 экз. Заказ №///*

Типография Воронежского института МВД России 394063, Воронеж, просп. Патриотов, 53

Введение.

Глава 1. Общие свойства двухконтурных систем с кондуктивной связью. Проблемы анализа

1.1 Адекватные системы дифференциальных уравнений

1.2 Преобразование системы уравнений физической колебательной системы.

1.3 Нормированные уравнения физической колебательной системы.

1.4 Дифференциальные уравнения физической колебательной системы относительно магнитных потоков.

1.5 Колебательная система с периодическими параметрами.

1.6 Выводы по главе.

Глава 2. Анализ устойчивости физической системы первым методом Ляпунова.

2.1 Основные понятия и терминология теории устойчивости Ляпунова в общем случае.

2.2 Качественный анализ линейных дифференциальных систем.

2.3 Характеристические показатели как основа первого метода Ляпунова.

2.4 Линейная дифференциальная система.

2.5 Линейные дифференциальные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке.

2.6 Неоднородная периодическая система линейных дифференциальных уравнений.

2.7 Достаточные условия устойчивости системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

2.8 Выводы по главе.

Глава 3. Анализ устойчивости физической системы вторым методом Ляпунова. Функции Ляпунова. Новые критерии устойчивости.

3.1 Достаточные условия устойчивости физической системы на основе функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

3.2 Обобщенная энергетическая функция Ляпунова.

3.3 Общий метод оценки полной производной функции

Ляпунова.

3.4 Выводы по главе.

Глава 4. Резонансные свойства физической системы.

4.1 Резонанс стационарной системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

4.2 Резонанс параметрической колебательной системы.

4.3 Выводы по главе.

Глава 5. Практическое применение двухконтурных параметрических систем.

5.1 Изменяющаяся во времени реактивность как отрицательное активное сопротивление.

5.2 Двухконтурный параметрический усилитель с емкостной связью.

5.3 Двухконтурная параметрическая система с внешнекондуктивной связью.

5.4 Критический обзор применения параметрических усилителей в технике.

5.5 Выводы по главе.

Глава 6. Машинный анализ процессов в системе параметрических контуров и проведение численных экспериментов.

Актуальность темы. В настоящее время радиоэлектроника развивается в нескольких направлениях. Одно из них связано с расширяющимся применением нелинейных и параметрических радиоэлектронных устройств. С развитием этого направления все более сказывается отставание теории нелинейных и параметрических радиоцепей от потребностей практики. Одной из основных сложностей построения систематизированной теории нелинейных систем является применение обобщающего принципа, подобного принципу суперпозиции для линейных систем — принципа линейного включения.

Принцип линейного включения [1] утверждает, что для решения произвольной нелинейной системы уравнений можно подобрать линейную систему, дающую такое же решение. Представляется целесообразным построить систематизированную теорию нелинейных радиоцепей на основе этого принципа.

Для этого необходимо сосредоточить усилия на исследовании линейных параметрических радиоцепей.

По этой тематике опубликовано много работ. Прежде всего, можно отметить публикации представителей школы нелинейных колебаний, возглавляемой академиками Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси [2-9]. Успехи этой школы стимулировали большое число публикаций. Наиболее известные монографии этого направления - монография В.А. Тафта [10], посвященная нестационарным (параметрическим) электрическим цепям; одна из нескольких монографий коллектива авторов во главе с Ф.А. Михайловым по системам автоматического регулирования; монография C.JI. Чечурина [13] по механическим системам. Этому научному направлению большое внимание уделено в зарубежной научной литературе. Достаточно красноречивым является тот факт, что один том престижного американского журнала (IRE Trans. On Cirquit Theory) [14, 15] полностью посвящен электрическим цепям с изменяющимися во времени параметрами. Внушительный список публикаций по параметрическим системам [3, 6-9,

11, 12, 14-23, 36-56, 58, 59, 72, 73, 75-77, 86-96] позволяет отметить следующую особенность - они посвящены либо отдельным частным вопросам (в основном, разновидностям параметрического контура), либо, наоборот, весьма общей проблематике.

В радиоэлектронике, особенно в радиосвязи, весьма широко применяются системы двух связанных контуров с переменными параметрами.

Цель работы заключается в разработке физически прозрачных методов анализа системы связанных параметрических контуров с кондуктивной связью, а также в исследовании на их основе общих свойств системы, включая важные для радиосвязи и радиоизмерений резонансные характеристики.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, предусматривают решение следующих задач:

1. Получение и обоснование адекватного математического описания выбранной для анализа физической колебательной системы.

2. Исследование особенностей вынужденных колебаний при возмущающих функциях достаточно широкого класса.

3. Получение физически обусловленного описания резонансных свойств колебательной системы.

4. Проведение анализа устойчивости системы по Ляпунову на основе рассмотрения свободных процессов в системе.

5. Проведение оценки перспектив обобщения предложенных методик анализа на более сложные радиоцепи.

Научная новизна. Впервые с большой степенью общности исследована параметрическая система двух связанных контуров с внутренней и внешней кондуктивной связью. Разработаны методы анализа таких систем, базирующиеся на теории дифференциальных уравнений, теории бесконечных систем алгебраических уравнений, методе комплексных амплитуд. Рассмотренная параметрическая система представляет интерес для радиоэлектроники, радиосвязи, радиоизмерений. Кроме того, в диссертации проведен анализ возможности обобщения полученных результатов применительно к более сложным параметрическим радиоцепям.

При выполнении диссертационной работы получены результаты, характеризуемые научной новизной и состоящие в следующем:

1. Адекватной математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является линейная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эта система уравнений является результатом непосредственного использования законов Кирхгофа применительно к анализируемой физической системе.

2. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является также линейная система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Такая система характерна для механических систем, а в случае аналогии колебательных процессов может использоваться для систем электрических.

3. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является бесконечная линейная блочная алгебраическая система с постоянными коэффициентами. Матрица системы состоит из блоков порядка 4x4, неизвестный и свободный вектор-столбцы состоят из векторных блоков порядка 4x1. Получены конкретные бесконечные системы уравнений этого порядка.

4. Показано, что параметрическая система двух связанных контуров с кондуктивной связью по энергетическим признакам аналогична известной стационарной системе двух контуров с кондуктивной связью (электромагнитная энергия попеременно перекачивается из одного контура в другой). Различие состоит в том, что в параметрической системе с положительными элементами свободный процесс при определенных условиях может с течением времени безгранично возрастать.

5. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости, дающие гарантию того, что свободный процесс в анализируемой физической системе с течением времени стремится к нулю.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных результатов подтверждается надежным, многократно проверенным математическим аппаратом; прозрачным физическим смыслом функциональных зависимостей; непротиворечивостью известным фактам в частных случаях, а также полученными численными оценками.

Практическая значимость работы. Проведенные исследования носят фундаментальный характер и позволяют глубоко осмыслить явления, связанные с изменением во времени элементов радиоцепей. Такие явления сопровождают процессы в нелинейных и параметрических радио- и электроцепях. Целенаправленные, вполне определенные зависимости во времени реактивностей могут компенсировать тепловые потери, что очень важно для помехоустойчивой радиосвязи.

Полученная в диссертации информация о ряде закономерностей может быть использована при проектировании малошумящих радио- и телевизионных приемников. Спектры протекающих в параметрических радиоцепях процессов такие же, как и в нелинейных радиоцепях. Их исследование позволяет разобраться в особенностях «засорения» эфира, что дает возможность улучшить электромагнитную совместимость радиоэлектронных систем. В этом направлении в диссертации получены конкретные результаты в виде спектрального состава квазипериодических колебаний в исследуемой системе.

Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные результаты использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах ОАО Концерна «Созвездие», ОАО Воронежский НИИ «Вега», НВП «Протек», внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД, что подтверждено актами внедрения.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью. Все параметры системы (емкости, индуктивности, активные сопротивления) изменяются во времени в соответствии с произвольными непрерывно дифференцируемыми и положительно определенными функциями. Э.д.с. и задающие токи изменяются во времени по любым функциям. Получены дифференциальные уравнения разных типов для такой системы. Общий анализ проведен на основе линейной системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Предложено нормирование переменных в общем виде.

2. Анализ устойчивости системы первым методом Ляпунова. Проанализированы современные достижения в этом вопросе, выделено неравенство Важевского, как конструктивное для рассмотренной в диссертации физической системы. Для повышения эффективности неравенства Важевского предложено специальное нормирование уравнений физической системы. Получены достаточные условия устойчивости анализируемой физической системы при ограничениях, которые обычно выполняются на практике.

3. Анализ устойчивости физической системы вторым методом Ляпунова. Предложена функция Ляпунова, представляющая собой мгновенную энергию, запасенную в реактивностях системы. На этой основе получены достаточные условия устойчивости системы. Кроме того функция Ляпунова видоизменена, в результате чего получены достаточные условия устойчивости более общего характера.

4. Анализ резонанса заданной физической системы на основе двух подходов. Один из этих подходов оказался более конструктивным и гибким. Проведен конкретный анализ резонанса по Мандельштаму применительно к рассматриваемой физической системе.

5. Исследование возможностей применения рассматриваемой или подобных ей систем на практике. По потребности в применении первое место занимают малошумящие параметрические усилители. По совокупности параметров параметрические усилители занимают лидирующее положение среди малошумящих усилителей, применяющихся в современной технике. Наиболее качественными параметрическими усилителями являются двухконтурные параметрические усилители, в основу которых положены системы двух связанных контуров, в том числе и с кондуктивной связью.

6. Модифицированный метод комплексных амплитуд, используемый при анализе вынужденных колебаний. В этом случае анализ приводит к бесконечным системам алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрены свойства таких уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 11 публикациях, докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2008 г.), VII Международной научно-технической конференции (Самара, 2008 г.) ежегодных научных конференциях Воронежского государственного университета и Воронежского института МВД РФ.

Выводы по главе

Так как полученное в работе аналитическое решение является многопараметрическим, то построить его портреты можно, поочередно фиксируя параметры, входящие в одну из групп, и изменяя значения параметров из другой группы.

При анализе параметров, вошедших в решение, было выделено две группы: t - безразмерное время (группа 1);

R, С, L - сопротивление, емкость и индуктивность соответственно (группа 2).

При изменении параметров из группы 1 и фиксировании группы 2 и последовательной подстановки законов изменения емкости, представленных в таблице 1, получены портреты, изображенные на рис.6.2 — 6.17.

Так как решение состоит из четырех компонент, то каждому закону из таблицы 1, соответствует четыре портрета. Каждый из графиков соответствует закону изменения заряда на каждом из участков цепи. При сравнении групп портретов наблюдаем сходное поведение заряда, которое отличается только скоростью его убывания.

Исследование решения на устойчивость также проводилось с помощью построения модели Вольтерра для каждого из компонент решения. На рис.6.18 — 6.21 наблюдаем, что на каждом из графиков присутствует единственная точка, вокруг которой происходит "закручивание" поля направлений. Таким образом, между компонентами решения может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, т.е. система устойчива.

При фиксировании параметров из группы 1 и изменении параметров из группы 2, получаем трехмерный портрет (на рис.6.22 представлен вид сверху).

Заключение

Радиотехнические цепи с переменными параметрами на практике присутствуют в разных качествах в устройствах связи. Все более высокие требования к качеству работы систем обусловили потребность в развитии их теории. Особенность развития этой теории в сложности адекватного математического аппарата, которым является теория систем линейных дифференциальных уравнений с зависящими от аргумента коэффициентами. Перспективой является создание систематизированной теории линейных параметрических радиоцепей.

Общие методы анализа параметрических радиоцепей намного сложнее, чем радиоцепей с постоянными элементами. Это является одним из главных препятствий широкому применению параметрических цепей в радиотехнике. В диссертации рассмотрены узловые вопросы анализа параметрических радиоцепей и их применение в технике на примере системы двух кондуктивно связанных параметрических контуров, которая является одной из важных составляющих ряда радиотехнических устройств.

В работе проведен разносторонний анализ процессов в системе двух кондуктивно связанных параметрических контуров.

1. На основе теории систем линейных дифференциальных уравнений предложены математические модели для анализа рассматриваемой физической системы.

Естественной математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является линейная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эта система уравнений построена на основе законов Кирхгофа и ее естественно считать основной математической моделью анализируемой физической системы.

Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является также линейная система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Такая система характерна для механических систем, поэтому целесообразна в тех случаях, когда проводится аналогия между подобными по колебательным процессам электрическими и механическими системами.

Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью также является бесконечная линейная блочная алгебраическая система с постоянными коэффициентами. Матрица система состоит из блоков порядка 4x4, неизвестный и свободный вектор-столбцы состоят из векторных блоков порядка 4 х 1. С использованием разложения в ряд Маклорена и в ряд Фурье получены конкретные бесконечные системы уравнений.

2. В рамках рассмотренного математического аппарата проведен анализ свободных и вынужденных колебаний в рассматриваемой системе. Вынужденные колебания в соответствии с теорией колебательных систем любого типа исследованы на основе спектрального метода, который развит в работе применительно к системам электромагнитных колебаний, что позволило привести задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений и использовать методы приближенного решения таких систем.

С учетом физических соображений на основе теории устойчивости. Ляпунова получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости анализируемой системы. Рассмотрение возможных вариантов решения сложной задачи анализа устойчивости исследуемой системы и их оценка позволили обоснованно выбрать для анализа второй метод Ляпунова, позволяющий получать достаточные условия устойчивости. В части построения функций Ляпунова, обычно имеющих абстрактный математический характер, в работе предложена и использована функция Ляпунова, имеющая определенный физический смысл, трактуемая как энергия, запасенная в реактивностях. Такое представление позволяет упростить выявление физических закономерностей и особенностей поведения системы в процессе ее исследования на основе сложных математических моделей.

3. Резонансные явления анализируемой параметрической системы оказались несоизмеримо сложнее таковых в соответствующей стационарной физической системе. Оказалось целесообразным положить в основу теории резонанса условие, впервые полученное академиком Л.И. Мандельштамом, заключающееся в том, что при резонансе должна осуществляться мгновенная компенсация тепловых потерь внешними источниками. В работе получены аналитические соотношения, отражающие выполнение этого условия, и исследован резонанс.

4. Проведен сравнительный анализ двухконтурного параметрического усилителя с изменяющейся во времени емкостью связи и аналогичного назначения радиоцепи с изменяющимся во времени сопротивлением связи.

На основе проведенного сравнительного анализа высокочастотных малошумящих усилителей разного типа отмечено приоритетное положение параметрических усилителей, в частности, двухконтурных, к которым по своим свойствам примыкает система (радиоцепь), исследуемая в работе.

5. Сопоставлением выявленных закономерностей с результатами, полученными численными методами с использованием возможностей современных компьютеров, показано, что рационально дополнить аналитические исследования применением численных методов. Важен именно синтез аналитического и численного подходов, поскольку сами по себе численные методы не позволяют провести качественный анализ.

Полученные в диссертации результаты могут быть обобщены на параметрические радиоцепи более сложной структуры, а также на нелинейные радиоцепи, что требует проведения дальнейших теоретических исследований.

1. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости /Б.Ф.Былов, Р.Э.Виноград, Д.М.Гробман, В.В.Немыцкий. — М.: Наука, 1966.-472 с.

2. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами/ Г.С.Горелик // Журнал технической физики. 1934. - Т.4.-Вып.10. - С. 1783 - 1817.

3. Горелик Г.С. Линейные резонансные явления в суперрегенеративном приемнике/ Г.С.Горелик // Электросвязь. — 1939. — №6. С.29 - 50.

4. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний/ Л.И.Мандельштам.- М.: Наука, 1972. 470 с.

5. Соколов О.Н. Некоторые вопросы теории колебаний/ О.Н.Соколов. Саратов: СГУ, 1980. - 128 с.

6. Андронов А. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами / А.А.Андронов, М.А.Леонтович.— М.: АН СССР, 1956. -С.19 -31.

7. Мандельштам Л.И. О возбуждении колебаний в электрической колебательной системе при помощи периодического изменения емкости / Л.И. Мандельштам. Полное собрание трудов. Т.2. - М.: изд. АН СССР, 1947. — С.63 - 69.

8. Мандельштам Л.И. К вопросу о параметрической регенерации / Л.И.Мандельштам. Полное собрание трудов. Т.2. - М.: изд. АН СССР, 1947.-С.140-149.

9. Папалекси И.Д. Эволюция понятия резонанса / И.Д. Папалекси. Собрание трудов. М.: изд. АН СССР, 1948. - С.343 - 356.

10. Тафт В.А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем / В.А.Тафт. М.: Энергия, 1978. - 272 с.

11. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами/ Ф.А.Михайлов,

12. Е.Д.Теряев, В.П.Булеков, Л.М.Самаков, Л.С.Диканов. -М.: Наука, 1971. -562 с.

13. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем/ Ф.А.Михайлов. — М.: Наука, 1986. — 319 с.

14. Чечурин C.JI. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения/ С.Л.Чечурин. — Л.: Издательство ЛГУ, 1983. — 219 с.

15. Bolle А.Р. Application on complex symbolism to linear variable networks/ A.P.Bolle // IRE Trans. On Circuit Theory. 1955. - March. - P.32 -35.

16. Pipes L.A. Four methods of analysis of time-variable circuit/ L.A.Pipes// IRE Trans. Circuit Theory. 1955. - March. - P.4 - 12.

17. Якубович В .А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения/ В.А.Якубович, В.М.Старжинский. — М.: Наука, 1972. 718 с.

18. Рубановский В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.Н.Рубановский // Общая механика. Итоги науки. — М., 1971.-С.85- 157.

19. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений/ М.В.Федорюк. М.: Наука, 1983.-352 с.

20. Bura P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P.Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - V.29. - P.95 - 100.

21. Bura P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P.Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - V.30. - P. 120 - 131.

22. Агеев Д.В. Резонанс в линейных системах с переменными параметрами/ Д.В.Агеев, Н.В.Зенкович // Известия ВУЗов. Радиотехника. -1973. — №7. -С.21 -25.

23. Bennet W.R. A general review of linear varying parameters and nonlinear circuit analysis/ W.R. Bennet // Proc. IRE. 1950. - v.38. - P. 259 — 263.

24. Бирюк Н.Д. Параметрические элементы/ Н.Д. Бирюк // Изв. ВУЗов. Радиотехника. 1968. - Т. 11. - №3. - С.217 - 227.

25. Бирюк Н.Д. Резонанс маятника/ Н.Д. Бирюк // Изв.ВУЗов. Физика. 1972. -№1. - С.156 - 158

26. Бирюк Н.Д., Трубников Ю.В. Достаточные условия устойчивости обобщенного параметрического контура/ Н.Д. Бирюк, // Радиотехника и электроника. 1973. - Т. 18. -№10. - С.2197 - 2206.

27. Бюрюк Н.Д. Применение рядов Тейлора в анализе параметрических цепей/ Н.Д.Бирюк // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. 1975. - Т. 18. -№9 —С.114 — 115.

28. Бирюк Н.Д. Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Вестник Воронежского института МВД России. 2004. - №4(19). - С.123 - 127.

29. Бирюк Н.Д. Обобщенный анализ колебаний в линейном параметрическом контуре/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Теория и техника радиосвязи. 2004. — Вып.2. — С.41 - 50.

30. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько. XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2005. - T.l. - С.249 - 256.

31. Бирюк Н.Д. Свободный процесс и вынужденные колебания в обобщенном параметрическом контуре/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. Т.8. - №2. - С.52 - 59.

32. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощьюэнергетической функции Ляпунова/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Наука производству. — 2005. - №6. - С.50 — 52

33. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрического контура с положительными элементами/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев,

34. B.Н.Финько//Телекоммуникации. 2005. — №6.

35. Бирюк Н.Д. Физическое толкование явления параметрического резонанса, энергетический подход/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Вестник ВГУ.Физика, Математика. 2005. - С.20 - 25.

36. Винницкий А.С. Модулированные фильтры и следящий прием ИМ / А.С.Винницкий. М.: Сов. радио, 1969. - 548 с.

37. Жарков Ф.П. Цепи с переменными параметрами/ Ф.П.Соколов, В.А.Жарков. М.: Энергия, 1976. - 224 с.

38. Каплан А.Е. Параметрические генераторы и делители частоты/ А.Е.Каплан, Ю.А.Кравцов, В.А.Рылов. — М.: Сов. радио, 1966. 334 с.

39. Кулешов Ю.Г. Нелинейные и параметрические радиоцепи/ Ю.Г.Кулешов. Киев: «Вища школа», 1970. - 104 с.

40. Варшавский JI.A. Электрические цепи с периодически изменяющимися параметрами/ Л.А.Варшавский // Известия Ленингр. Политех, ин-та им.Калинина. — 1928. — №31.

41. Карасев М.Д. Теория радиотехнических систем с переменными параметрами/ М.Д.Карасев // Acta Polytechnica Prace CVUT. — v.Prazc. — III. — №.1. 1966.-C. 17-28.

42. Егупов Н.Д. Численно-спектральный анализ линейных радиотехнических цепей с переменными параметрами/ Н.Д.Егупов, А.Н.Дмитриев // Изв. ВУЗов. Радиотехника. 1975. - №9. - С. 11 - 17.

43. Носов В.Р. Об устойчивости некоторых нестационарных уравнений/ В.Р.Носов // Автоматика и телемеханика. — 1997. — №9. — С.31 — 42.

44. Abramovich D.Y. Lyapunov redesign of analog phase-lock loops/ D.Y.Abramovich // IEEE Trans. Commun. 1990. - v.38. - №12. - P.2197 -2002.

45. Brodin J.Analysis of time dependent linear network // IRE Trans. On Circuit Theory. 1959. - March. - P. 12 - 16.

46. Damgov V.N. Parametric mechanism of low-frequency instabilities in IMP ATT diode microwave oscillators/ V.N.Damgov // Sixth colloquium on Microwave Communication. — Budapest, 1978.

47. Damgov V.N. Non-linear resonance and parametric phenomena in a complicated oscillating circuit/ V.N.Damgov // IEEE Proceeding. — Part 6. — Electronic Circuits and Systems. 1984. - v.31. - №1. - P.24 - 28.

48. Darlington S. Linear time-varying cirquits, Matrix manipulations, Power relation and some bounds on stability/ S.Darlington // The Bell System Technical Journal. 1963. - V.42. - P.2575 - 2608.

49. Kudrewicz J. О pewnej methodize obliczainia ukladow paramtrycznych/ J.Kudrewicz // Arch. Electrot. (Polska). 1963. -Z.l. — T.XII.

50. Manley J.M. Some properties of time varying networks/ J.M.Manley // IEEE Trans. On Circuit Theory. 1960. - V.CT-7. - August. - P.275 - 284.

51. Niedzwiecki M. Wiznaczanie przebiegow ustalonych w sieci parametryczney zawie raja, cej elemeny zmienme okresowo/ M.Niedzwiecki // Arch. Electrohech. (Polska). 1965. - 12. - №4. - P.713 - 725.

52. Smart R.G. A general steady-state analysis of power-frequency relations in time-varying reactauces/ R.G.Smart // Proc.IRE. 1961. — V.49, №6.-P. 1051 - 1058.

53. Szalelski K. The vibrations of self oxcited system with parametric excitation and non-symmetric elasticity characteristic/ K.Szalelski // Mech. Theory i stosow. 1991. - 29. -№1. - C.59 - 73.

54. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье/ Н.В.Мак-Лахлан. М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

55. Павлюк И. А. Приближенно-аналитические решения неавтономных диффер. уравнений/ И.А.Павлюк, В.М.Бурым, Ю.А.Пасенченко Киев: «Вища школа», 1980. — 232 с.

56. Фещенко С.Ф. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений/ С.Ф.Фещенко, Н.И.Шкиль, Л.Ф.Николенко. Киев: «Науков думка", 1966. - 252 с.

57. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами/ И.З.Штокало. Киев: АН УССР, 1960. -73 с.

58. Изобов Н.А. К теории характеристических показателей линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений/ Н.А.Изобов // Матем. заметки. 1980. - Т.28. - Вып.З. - С.459 - 478.

59. Купцова С.Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений/ С.Е.Купцова. Тр.Средневолж. мат. общ-ва, 2006. - Т.8. - №1. - С.235 - 243.

60. Митропольский Ю.А. Применение квадратичных форм к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений/

61. Ю.А.Митропольский, А.М.Самойленко, В.Л.Кулик // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т.21. -№5. - С.476 - 483.

62. Петровский Г.Н. Некоторые свойства систем линейных дифференциальных уравнений/ Г.Н.Петровский // Дифференциальные уравнения. 1974.-Т. 10.-№9.-С. 1652- 1661.

63. Плотникова Н.В. Линейные дифференциальные уравнения с многозначными траекториями/ Н.В.Плотникова // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.10. - 2006. - №1. - С.57 - 63.

64. Францев А.В. О полиномиальных решениях линейных дифференциальных уравнений/ А.В.Францев // Успехи матем. наук. — 2008.- май-июнь. Т.63. -Вып.3(381). - С. 149 - 171.

65. Хатвани Л. О применении дифференциальных неравенств в теории устойчивости/ Л.Хатвани // Вестник МГУ. Математика и механика.- 1975. №3. - С.83 — 89.

66. Шаманаев П.А. О локальной приводимости систем дифференциальных уравнений с возмущениями порядка выше первого к линейным системам с переменной матрицей/ П.А.Шаманаев // Тр. Средневолж. мат. о-ва. -2006. 8. — №1. — С.ЗЗО -336.

67. Chiang Yik-Man Estimates on the growth of meromorphic solutions of linear differential equations/ Yik-Man Chiang, Walter K.Hayman // Comment, math. helv. 2004. - 79. - №3. -P.451 - 470.

68. Nguyen Van Minh, Naito Toshiki, Nguerekata Gaston. A spectral countability condition for almast automorthy of solutions of differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. - 134. - №11. - P.3257 - 3266.

69. Sinha S.C. Order reduction of parametrically Excited nounlinear systems: Techniques and applications/ S.C.Sinha, Saugram Redkar, Venkatesh Deshmukh, Eric A.Butcher // Nonlinear Dyn. 2005. - 41. - №1 - 3. - P.237 -273.

70. Zhou Wen. A simplified method about working out particular solutions of second-order differential equation/ Wen Zhou // Math, theor. and appl. — 2005. -25. -№4. -P.113 115.

71. Бухарин С.В. Основы анализа и синтеза нестационарных модуляционных систем/ С.В.Бухарин. Воронеж: ВГУ, 1986. — 186 с.

72. Виглин С.И. Переходные процессы в системах с переменными параметрами/ С.И.Виглин. — М.: Сов. радио, 1981. — 182 с.

73. Д" Анжел о Г. Линейные системы с переменными параметрами/ Г.ДлАнжело. -М.: Машиностроение, 1974. — 288 с.

74. Заде Л. Теория линейных систем/ Л.Заде, И.Дезоер. М.: Наука, 1970.-704 с.

75. Люкселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике/ У.Люкселл. — М.: ИЛ, 1963. 352 с.

76. Шмидт Г. Параметрические колебания/ Г.Шмит. — М.: Мир. — 1978.-336 с.

77. Абрамов В.В. Устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае/ В.В.Абрамов // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2006. —№10. С.5 - 9.

78. Андреев А.С. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы/ А.С.Андреев, Т.А.Бойкова // Прикладная математика и механика, 2004. — Т.68. Вып.4. - С.678 - 686.

79. Андреев А.С. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости/ А.С.Андреев, О.А.Перегудова // Прикладная математика и механика. 2006. - Т.70. - Вып.6. - С.965 - 976.

80. Асташов И.В. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений/ И.В.Асташов // Фундам. и прикл. матем. — 2006. — 12. — №5. С.З - 9.

81. Демидович Б.П. Об устойчивости в смысле Ляпунова линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений/ Б.П.Демидович // Математ. сборник. 1951. - Т.28(7). - С.659 - 681.

82. Купцов С.Ю. Об одном методе исследования на устойчивость семейств линейных систем дифференциальных уравнений/ С.Ю.Купцов // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2006. - 8. — №1. - С.337 - 341.

83. Куранин В.Н. Об устойчивости уравнения х + ах + p(t)x = 0 с периодическим коэффициентом/ В.Н.Куранин, Е.И.Троцкий // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2006. — №11. — С. 138 — 139.

84. Лантинский В.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами/ В.Н.Лантинский // Украинский матем. журнал. 1975. - Т.27, №3. - С.378 - 383.

85. Маркеев А.П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона/ А.П.Маркеев // Прикладная математика и механика. — 2006. — Т.70, вып.2. С.200 - 220.

86. Якубович В.А. Оценки характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.А.Якубович // Прикладная математика и механика. -1954.-Т.18.-С.533-546.

87. Mc.Cluskey C.Counel. A Strategy for constructing Lyapunov functions for non-autonomous linear differential equations/ Mc.Cluskey C.Counel // Linear Algebra and appl. 2005. - 409. - C.100 - 110.

88. Stanek Svatoslav. An almost-periodicity criterion for solutions of the oscillatory differential equation y" = g(f)y and its applications/ Svatoslav Stanek// Arch. math. 2005, 41. - №2. - C.229 - 241.

89. Блекуэлл Л. Параметрические усилители на полупроводниковых диодах/ Л.Блекуэлл, К.Коцебу. М.: Мир, 1964. - 244 с.

90. Бобров И.Н. Параметрические усилители и преобразователи СВЧ/ И.Н.Бобров. Киев: Техшка, 1969. - 240 с.

91. Регенеративные полупроводниковые параметрические усилители/ В.Н.Васильев, Г.И.Слободенюк, В.И.Трифонов, Ю.Л.Хотунцев М.: Сов.радио, 1965. - 448 с.

92. Грабовски К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом/ К.Грабовски. М.: Сов. радио, 1974. — 304 с.

93. Филатов К.В. Введение в инженерную теорию параметрического усиления/ К.В.Филатов. М.: Сов. радио, 1971. — 176 с.

94. Anderson D.B. A general catalog of gain, bandwidth and noise temperature expressions for four-frequency parametric devices/ D.B.Anderson // IEEE Trans. 1963.- v.ED-10. - № 1. - P. 13 - 3 0.

95. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы/ И.С.Гоноровский. — М.: Советское радио, 1964. 695 с.

96. Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники/ В.П.Бакалов, А.Н.Игнатов, Крук Б.Г. — М.: Радио и связь, 1989. — 526 с.

97. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов/ И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Лейпциг-Москва: Тайбенер - Наука, 1981. - 718 с.

98. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Э.Камке. М.: Наука, 1965. - 704 с.

99. Зайцев В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям/ В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин. — М.: Факториал, 1997. 304 с.

100. Маркус М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М.Маркус, Х.Минк. М.: Наука, 1972. - 232 с.

101. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П.Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

102. Рублев А.Н. Линейная алгебра/ А.Н.Рублев. М.: Высшая школа, 1968.-384 с.

103. Завало С.Т. Алгебра и теория чисел/ С.Т.Завало, В.Н.Костарчук, Б.И.Хацет. — Киев: «Вища школа», 1977. 398 с.

104. Долгинов А.И. Резонанс в электрических цепях и системах / А.И.Долгинов. M.-JL: Госэнергоиздат, 1957. — 328 с.

105. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний/ В.Д.Горяченко. — М.: Высшая школа, 2001. — 395 с.

106. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний/ С.П.Стрелков. -M.-J1.: Гостехтеориздат, 1950. — 344 с.

107. Асеев Б.П. Колебательные цепи/ Б.П.Асеев. — М.: Госиздат, 1955.-462 с.

108. Палош В.Е. Исследование динамики двойного маятника со следящей и консервативной силами/ В.Е.Палош // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — №3. — С.64 — 74.

109. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний/ И.Г.Малкин. Л.-М.: ОГИЗ, 1949. - 244 с.

110. Годунов С.К. Квадратичные функции Ляпунова/ С.К.Годунов. — Новосибирск, 1982. 167 с.

111. Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики/ Д. тер Хаар. -М.: Наука, 1974.-223 с.

112. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения/ И.Г.Малкин. М.: Наука, 1966.-530 с.

113. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ Л.Чезари. М.: Мир, 1964. -478 с.

114. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В.Канторович, В.И.Крылов. -М.-Л.: Госфизматиздат, 1962. 708с.

115. Алексидзе М.А. О приближенном решении некоторых бесконечных систем уравнений/ М.А.Алексидзе // ДАН СССР. — 1968. — №5. — С.1019 1022.

116. Величко Ю.Т. Теоретические основы радиотехнических помех/ Ю.Т.Величко. Львов: Изд. ЛДУ, 1966. - 340 с.

117. Руденко В.М. Малошумящие входные цепи СВЧ приемных устройств/ В.М.Руденко, Д.Е.Халятин, В.Р.Магнушевский. М.: Связь, 1971.-279 с.

118. Основы теории колебаний/ В.В.Мигулин, В.И.Медведев, Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин. М.: Наука, 1988. - 391 с.

119. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова/К.Г.Валеев. — Киев: Наукова думка, 1981.-412 с.

120. Бирюк Н.Д. Критерии устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника, 2008. — Т.51. -№9.-С.51 -59.

121. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника, 2008. — Т.51. — №8. — С.37 — 39.

122. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Ю.Б .Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2008. — Т.П. — №1. — С.55 — 59.

123. Бирюк Н.Д. Параметрическая система двух связанных контуров с кондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. — Воронеж, 2008. — Вып.1. С.5 — 10.

124. Нечаев Ю.Б. Вынужденный процесс в параметрической системе двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Вестник ВГТУ. Воронеж, 2008. - Т.4. - №2. -С.38-42.

125. Нечаев Ю.Б. Резонанс параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Вестник ВГТУ.- Воронеж, 2008. Т.4. - №3.-С.116 - 121.

126. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрических радиоцепей/ Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Охрана, безопасность, связь: сб. материалов Всерос. науч.-практ. конф., Воронеж, ВИ МВД РФ, 2007 г. Воронеж, 2008. - Ч. 1. - С.62 - 64.

127. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрических радиоцепей/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Информатика: проблемы, методология, технология: сб. материалов науч.-методич. конф., Воронеж, 2008 г. Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2008. - Т.2. - С. 108 - 111.

128. Кисленко В.В. Ничуговский М.А.1. УТВЕРЖДАЮу^^шз^&Ф^шьного директора1. Созвездие»,

129. В.И. Николаев Ш^ьЬЦщ^М. 2008 г.1. АКТо реализации в ОАО «Концерн «Созвездие» результатов диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата технических наук1. Алехина Сергея Юрьевича

130. Математическая модель параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

131. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ПРОМЫШЛЕННОСТИ

132. ЗАКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО

133. Г| ГтГф % (Ч^ НАУЧНО ВНЕДРЕНЧЕСКОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ «ПРОТЕК» 1AJ- ^ й\ НЬ (зло НВП «ПРОТЕК»)

134. Почтовый адрес: 394000, Воронеж, ФГУП «Почта России», а/я 189 тел. (4732) 39-99-51,39-99-52 факс (4732) 39-99-54e-mail:protek@protek.vrn.ru ИНН 3665017521 КПП 366501001 ОКПО 41211944

135. Ю.А. Аверин QLc^aS^2008 г.1. АКТо внедрении результатов диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата технических наук Алехина Сергея Юрьевича

136. Использование результатов диссертационной работы Алехина С.Ю. при проектировании и разработке узлов и блоков АПФАР позволило сократить сроки разработки опытных образцов специальной техники.

137. Подписи председателя комиссии и членов комиссии удостоверяю

138. Начальник ОК ЗАО НВП «ПРОТЕК»1. Е.Ф. Мальцева1. УТВЕРЖДАЮ

139. Проректор по учебной работе

140. Воронежского государственного1. АКТ ВНЕДРЕНИЯв учебный процесс

141. Декан физического факультета,к.ф.-м.н., доцент

142. Заведующий кафедрой электроники, д.ф.-м.н., профессор1. A.M. Бобрешов1. A.M. Воробьев

143. Начальник кафедры ТКС д.т.н., профессор полковник милиции

144. Профессор кафедры ТКС д.т.н., доцент подполковник милиции

145. Профессор кафедры ТКС к.т.н., доцент подполковник милиции

146. Доцент кафедры ТКС к.т.н., доцент . полковник милиции1. Председатель комиссии:1. Члены комиссии:1. Н.С. Хохлов1. О.И. Бокова1. С.А. Шерстюков1. А.И. Климов