автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Параметрический контур с изменяющимися во времени положительными элементами и его потенциальные возможности

На правах рукописи

Финько Владимир Николаевич ¿¿^тлН

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КОНТУР С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И ЕГО ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

05.12.04 - «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж-2005

Работа выполнена в открытом акционерном обществе Концерн «Созвездие»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Нечаев Юрий Борисович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Бирюк Николай Данилович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Попов Павел Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Власов Борис Иванович

Ведущая организация: ОАО Воронежский научно-исследовательский

институт «Вега»

Защита состоится «31» января 2006 года в 15°° часов на заседании диссертационного совета К 203.004.01 при Воронежском институте МВД России по адресу: 394065, г. Воронеж, пр. Патриотов, 53, ауд. 329

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского института МВД России.

Автореферат разослан <$_»

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Шерстюков С.А.

г<гз

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Радиотехнические устройства с явно зависимыми от времени элементами широко применяются на практике в случаях управления электрическими сигналами: усиление, модуляция, преобразование частоты, детектирование и др. В настоящее время радиотехнические системы развиваются в направлении более интенсивного насыщения их нечинейными и параметрическими элементами. Математическому аппарату теории параметрических радиоцепей - линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, посвящены труды многих математиков. Фундаментальные результаты получены выдающимися математиками А.Ляпуновым и А.Пуанкаре. Существенный вклад в теорию нелинейных и параметрических радиоцепей внесла советская школа нелинейных колебаний, возглавляемая академиками Л.Мандельштамом и Н.Папалекси. Однако эти исследования относятся ко времени, когда реактивности можно было изменять только механическим путем, т.е. достаточно медленно и с небольшим коэффициентом модуляции. Применение новых материалов (сегнетоэлектриков, ферромагнетиков, полупроводниковых диодов) позволило изменять реактивности параметрического контура электрическим способом, т.е. повысить частоту изменения реактивностей и их коэффициент модуляции. Исследования показали, что изменяющиеся во времени реактивности обладают более высокими потерями, чем постоянные. Поэтому при анализе линейного параметрического контура пришли к необходимости представлять его состоящим из положительных, изменяющихся во времени, индуктивности, емкости и нескольких активных сопротивлений. При этом реактивности изменяются по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления - по непрерывным, причем эти законы заранее неизвестны.

При анализе устойчивости параметрического контура ранее использовался метод малого параметра, приводящий к уравнению Матье, свойства которого достаточно хорошо изучены. В современных задачах коэффициенты модуляции элементов контура в общем случае не подходят под определение малого параметра, и уравнение контура со многими переменными элементами не всегда может быть приведено к уравнению Матье.

В литературе свободный процесс в неустойчивом параметрическом контуре, называемый параметрическим резонансом, исследован лишь для частных случаев. Полной, завершенной теории параметрического резонанса пока не существует.

Крайне мало публикаций посвящено другому явлению, близкому по названию, но отличающемуся по существу от предыдущего. Это явление -резонанс параметрического контура. Основы теории резонанса параметрического контура с использованием идей Мандельштама были разработаны Г.Гореликом, а дальнейшего развития эта теория также не получила. Отметим лишь одну из особенностей резонанса параметрического контура. Известно, что резонансная характеристика обычного контура является одногорбой, а системы из двух связанных контуров с взаимоиндуктивной

Т РОС НАЦИОИ/ , А | БИБЛИОТЕК

связью - двугорбой." Резонансная характеристика параметрического контура состоит из бесконечного числа горбов, которые в частных случаях могут определенным образом группироваться.

Цель настоящей работы - исследование свободных и вынужденных колебаний в линейном параметрическом контуре, состоящем из изменяющихся во времени по непрерывно дифференцируемым законам положительных емкости и индуктивности и нескольких изменяющихся во времени по непрерывным законам положительных активных сопротивлений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели параметрического контура и провести их сравнительный анализ.

2. Исследовать свободный процесс в контуре как функцию времени, разработать рекомендации по приближенному построению этой функции.

3. Рассмотреть проблему устойчивости параметрического контура по Ляпунову.

4. Провести качественный и количественный анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении, обобщить результаты на случай вынужденных колебаний при любом возмущении.

5. Исследовать характеристики и общие показатели нескольких радиотехнических устройств, основным элементом которых является параметрический контур.

Методы проведения исследований. Выполненные исследования базируются на методах теории электрических цепей, комплексных амплитуд, математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, теории линейных дифференциальных уравнений, методах аппроксимации и теории устойчивости Ляпунова.

Научная новизна. При выполнении исследований получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Получен ряд математических моделей для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени положительными элементами.

2. Разработан метод анализа процессов в параметрическом контуре при аппроксимации законов изменения его элементов полиномами.

3. Разработан метод анализа свободных и вынужденных процессов в параметрическом контуре с периодически изменяющимися во времени элементами, в основе которого лежит специально адаптированный для этой цели метод комплексных амплитуд.

4. Получены новые критерии устойчивости параметрического контура.

5. Выделены и исследованы специальные виды параметрических контуров с синхронными и асинхронными элементами, изменяющимися во времени.

Обоснованность и достоверность результатов. Исходные допущения в настоящей работе ближе к реальным, чем было ранее принято в аналогичных случаях. При проведении исследований использованы надежные и многократно

проверенные математические методы, линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, метод комплексных амплитуд, бесконечные системы алгебраических уравнений, а также теория устойчивости Ляпунова. Частные случаи полученных результатов совпадают с известными положениями, а приведенные математические формулы отражают физический смысл соответствующих явлений.

Практическая ценность работы. В работе рассмотрены свойства параметрического контура и особенности протекающих в нем процессов при самых общих начальных условиях. Это дает возможность проанализировать ряд практически важных частных случаев. С оригинальных позиций представлены широко применяющиеся в радиосвязи системы:

1. Модулятор с частотной или фазовой модуляцией. Основным элементом модулятора является параметрический контур с изменяющейся во времени реактивностью. Этот контур представляет собой частный случай рассмотренного в диссертации параметрического контура.

2. Одноконтурный параметрический усилитель. Как известно, любой резонансный контур может быть усилителем напряжения или тока. Например, напряжение на реактивности любого последовательного контура в О раз выше питаюшей э.д.с. (0 - добротность контура). В отличие от обычного контура в параметрическом контуре 0 в принципе может быть беспредельно увеличена. Параметрический усилитель - пример параметрического контура с быстрым изменением реактивности.

3. Сверхрегенеративный радиоприемник - сложная система радиосвязи, центральным элементом которой является параметрический контур с изменяющимся во времени активным сопротивлением. Свойства этого параметрического контура различны в зависимости от режима работы сверхрегенеративного приемника. В данном случае рассматривается параметрический контур с изменяющимся активным сопротивлением и широким набором характеристик.

Кроме того, результаты работы могут бьггь использованы при разработке радиоаппаратуры, систем радиосвязи, при чтении спецкурсов в вузах по специальностям «радиофизика», «электроника», «радиотехника».

Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные результаты использованы в научно-исследовательских работах ОАО концерна «Созвездие» при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по темам «Босфор», «Пирамида», «Созвездие-М», «Таллин», «Кассиопея», «Диоптрия», в ОАО Воронежский НИИ «Вега» при выполнении опытно-конструкторских работ «Кавказ-7М10», «Кавказ-9», в НВП «Протек» при выполнении опытно-конструкторских работ «Диабазол», «Житель». Кроме того, результаты работы внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД России.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Векторные дифференциальные уравнения для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени элементами. Ограничения на законы

изменения элементоб: реактивности изменяются во времени по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления и проводимости - по непрерывным, оставаясь всегда положительными.

2. Метод решения векторных дифференциальных уравнений, основанный на разложении функций времени в ряды Маклорена. Эффективность метода заметно выше, чем в подобных абстрактно математических задачах, за счет учета радиотехнической специфики.

3. Метод решения векторных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, основанный на разложении фуйкций времени в ряды Фурье с последующим применением специально разработанного варианта метода комплексных амплитуд.

4. Новые критерии устойчивости параметрического контура на основе второго метода устойчивости Ляпунова.

5. Два предельных, с точки зрения устойчивости, способа изменения реактивностей контура: синхронное и асинхронное. В первом случае контур устойчив при любом законе изменения реактивности, во втором - максимально близок к положению неустойчивости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2005г.), IV Международной конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2005г.), VII Международной конференции «Циклы» (Ставрополь, 2005г.), Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы борьбы с преступностью» (радиотехнические науки) (Воронеж, Воронежский институт МВД России), ежегодных научных конференциях Воронежского государственного университета (2004,2005 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 11 статей, из них 7 - в ведущих изданиях, входящих в перечень рекомендованных Высшей аттестационной комиссией, 3 труда международных конференций, 3 тезиса докладов на международных и всероссийских конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 184 наименования. Работа изложена на 181 странице, включает 21 рисунок и 5 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, показаны научная новизна и практическая ценность результатов работы, и ее реализация. Представлены основные научные положения, выносимые на защиту, сведения об опубликовании основных положений. Дается краткое содержание глав диссертации.

В первой главе проведен обзор литературы, посвященной общей характеристике свободных процессов и вынужденных колебаний в

параметрическом контуре. Особое внимание уделено проблеме устойчивости параметрического контура, а также ее разрешению на основе теории устойчивости Ляпунова. Так как параметрический контур является более сложным устройством как по отношению к последовательному, так и по отношению к параллельному колебательному контуру, в качестве его эквивалентной схемы представлена схема самого общего вида. В зависимости от того, что выбрать в качестве определяющих функций, можно предложить сколь угодно много математических моделей контура общего вида. За основу описания предложено взять математическую модель в виде нормированной линейной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее целесообразную при построении общих методов анализа. В компактном виде система уравнений может быть представлена в виде одного векторного уравнения.

где х = colon (jcj , х2 ), j( т) Gl е(т)^ им 1 + RGL им '

f(r)-colon(f„f2)

(1)

вектор-столбцы; , 1 е(т) ^

12 =---—. Квадратная матрица второго

1 + Лбх 1М

N

порядка А(т) = {¿»у } состоит из элементов аи=~—|GC+ — +

а\2

1м

С r(l + RGL )

, а21 '

'М

__:_ . .Jjl

L (l + RGl) ' 2 _

С R

tM

\

1+ RGL

L\\ + RGl tl

M J

Решение уравнения (1) не может бьггь выражено в виде конечного числа элементарных функций. Так как элементы матрицы и вектор-столбцов являются гладкими функциями безразмерного времени, то решение (1) будет гладкой функцией, матрицу можно разложить в матричный ряд Маклорена, а свободный вектор и вектор решения - в векторные ряды Маклорена.

А(т)=|>*т*, Г(т)=£?*т*, *(т)=|>т*, (2)

к-0 к=0 к=О

где А /с — постоянные известные матрицы, /к - постоянные известные вектор-столбцы; хк - постоянные неизвестные вектор-столбцы, к-а, 1,2,... Подставив (2) в (1) и выполнив преобразования, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с блочной матрицей

f-Ào 1 О О

-A, -Ag 2 О

-А2 -Ах -Aq 3

- А3 -А2 -Ax -Aq

-Ai - A-i -Аг

О О О 4

А -А>)

\ 'V f/oï

л

— h

h /з

/ Л у 4/4 /

Каждый элемент Ак представляет собой матрицу второго порядка с постоянными элементами. Каждый элемент вектор-столбцов хк, /к является вектор-столбцом второго порядка с постоянными элементами. Найти решение -значит найти бесконечное множество вектор-столбцов хк, из которых затем составляется вектор-функция х(т) согласно (2).

Бесконечная неоднородная алгебраическая система (3) может быть решена методом редукции (усечения). Для этого необходимо доказать сходимость этой системы. Классическим методом иногда удается доказать сходимость, налагая определенные ограничения на элементы матрицы системы (3), при условии, что ее решение не известно. В нашем случае решение 5с(т) является гладкой вектор-функцией времени. Поэтому, согласно теории рядов Маклорена, ряд в (2) быстро сходится. Тогда при больших к все векторы хк можно заменить нуль-векторами. Из (3) получится конечная алгебраическая система, то есть сходимость бесконечной системы доказана. Аналогично рассмотрены также свободные колебания в контуре.

Представлен анализ устойчивости параметрического контура вторым методом Ляпунова. Для анализа в общем случае построена функция Ляпунова в виде определенной квадратичной формы с зависящими от времени коэффициентами. В результате получены новые критерии устойчивости параметрического контура:

Л 1 (0с+0,+В.Сс0,. (4)

аГ 1 + С ЬУ

<1 1 (вс+61.ЯЛ ей 1 + ЯсД С Ь)

Здесь р = л/£/С - изменяющееся во времени характеристическое сопротивление контура. В (4) приведено два критерия устойчивости, требующих пояснения. Справа и слева знака неравенства находятся две функции времени. Первое неравенство означает, что, начиная с любого момента времени ( = (0 и далее при всех значениях времени, функция, стоящая слева, не может быть меньше функции, стоящей справа. Если это выполнено, то устойчивость гарантирована. Более того, если нестрогое неравенство «>» заменить строгим «>», то контур асимптотически устойчив. Аналогично можно толковать и второе неравенство в (4), только здесь левая функция при ! > /0 не может быть больше правой. Критерии (4) исключают случаи, когда сравниваемые функции постоянно пересекаются.

Для практических случаев представляет интерес параметрический контур с периодически изменяющимися элементами, когда период изменения всех элементов один и тот же. Определено, что более целесообразно разлагать решение и функции изменения элементов не в ряд Маклорена, а в ряд Фурье. При этом применяется специально адаптированный к данной задаче метод комплексных амплитуд. В данном случае контур описывается системой двух дифференциальных уравнений (в отличие от традиционного описания - одним

дифференциальным уравнением второго порядка), что приводит к похожим бесконечным алгебраическим уравнениям, но блочным (клеточным). Каждый блок матрицы представляет собой квадратную матрицу второго порядка. Блочная система уравнений решается по тем же правилам, что и обычная система уравнений.

Вторая глава посвящена применению первого метода Ляпунова к анализу устойчивости параметрического контура, который, в отличие от обычного, в линейном приближении может быть неустойчив. На практике свободный процесс, возрастая, накладывается на вынужденные колебания, что приводит к непредсказуемым процессам. Первый метод Ляпунова качественно вскрывает полную картину всего семейства решений таких уравнений с точки зрения теории устойчивости, кроме того, он специально разрабатывался для уравнения Хилла с положительной функцией. Использование предложенного Ляпуновым числового ряда, с помощью которого решается вопрос об устойчивости путем вычисления суммы членов ряда, с повышением порядка членов, определяемых интегрированием через параметры контура, приводит к существенному росту объема вычислений. В диссертации подробно рассмотрена конкретизация ^той задачи, вскрыты причины роста объема вычислений. Разработан численный метод анализа устойчивости на основе первого метода Ляпунова с применением ЭВМ.

Описана методика определения константы Ляпунова А. Она выражается через фундаментальную систему решений уравнения:

= 0, (5)

01

где функция р(т) - непрерывная, положительная, периодическая с периодом Т, т.е. р{т) = р(т + Т), и позволяет решить вопрос об устойчивости. Уравнение (5)

устойчиво, если А2 < 1, и неустойчиво, если А2 > 1. Случай А2 = 1 является особым, требующим дальнейшего исследования. Трудность применения метода заключается в вычислении константы А. Система решений (5) состоит из двух линейно независимых решений *((/) и *2(0> найденных на замкнутом интервале времени [О,Г]. Начальные условия выбираются определенным Образом: ^¡(0) = 1, *{(0) = 0; *2(0) = 0, ^(0)= 1. Характеристическая постоянная равна

лЛ[х,(г)+У2(г)]. (6)

Константа А определяется без решения фундаментальной системы уравнений (5). В качестве примера в диссертации разработан прямой численный метод определения константы Ляпунова с использованием ЭВМ. Его сущность состоит в том, что уравнение (5) определяется единственной функцией р{т). Интервал [0, Г]

разбивается на определенное число п в общем случае неравных подынтервалов. В пределах любого подынтервала функция p(t) считается постоянной и равной одному из значений в этом подынтервале. Чем больше п и меньше длины подынтервалов, тем точнее получится решение. На рис.1 представлено использованное разбиение интервала [ 0, Т ] на три равных подынтервала

ГЛ 7* "1 \Т ТТЛ Г 2Г „ 1 „ 0,— J, I—,— , — ,74. На протяжении каждого подынтервала функции

p{t) присваивается постоянное значение, равное ее значению в начале подынтервала. Рассмотрим следующее начальное значение для решения уравнения (5): *(0) = х0, jc¿(0) = х'0. Тогда на первом подынтервале может быть построено решение

x = Xmcos{fat + <p), (7)

затем найдена его производная

дс' = 4щХт со{А' + Ф+|]-

Амплитуда Хт и начальная фаза <р находятся из начальных условий. При t = 0 имеем

х(0) = Хт cos<p = Xq , х'(0) = Хт sin (p = *¿,

что можно представить в виде системы

ло

cos<p = ——

Хт

х'о

sm<p = --—

(8)

Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, находим амплитуду

-УЛ

Х'"--\}ло-г—. (9)

Подставляя это значение в (8), находим со еде вт^з, а по ним - начальную фазу (р. Подставляя Хт,<р в формулу (7), получим приближенное решение

уравнения (5) в подынтервале

0.1 3

. Значения этой функции и ее производной в

конце подынтервала являются начальными условиями для следующего подынтервала и т.д. Таким образом, при любых начальных условиях решение и его производная могут быть определены до конечного интервала ? = Т, что и требуется для приближенного вычисления характеристической константы А. Вычислить константу Ляпунова А с приемлемой точностью позволяет

применение ЭВМ, поскольку требуемое количество подынтервалов в таком случае достигает десятков или сотен тысяч.

Численным методом решена задача об устойчивости контура, представленного схемой рис.2. Дано объяснение неустойчивости параметрического контура из физических соображений. Выделены два характерных случая, названные синхронным и асинхронным изменениями реактивностей. Исследован также частный случай параметрического контура со скачкообразным изменением емкости, для которого константа Ляпунова вычисляется точно. Дифференциальное уравнение такого контура приводится к хорошо исследованному уравнению Мейснера. Этот частный случай имеет большое значение для качественного анализа процессов в параметрическом контуре общего вида.

В третьей главе проведен анализ устойчивости параметрического контура вторым методом Ляпунова. Предложены три функции Ляпунова, согласующиеся со спецификой параметрического контура. Это позволило получить новые критерии устойчивости параметрического контура. В частности, один из критериев устойчивости контуров общего вида может быть представлен в виде системы двух неравенств

Рис.2

в,

1 +

¿г--

2Д 1 +

(9)

Здесь функция Ляпунова выбрана в виде

,, я2 ф2

У = —+— по-»

1С 21

и представляет собой мгновенную энергию, запасенную в реактивностях контура; ц — заряд конденсатора, Ф - магнитный поток, взаимодействующий с катушкой индуктивности. Если при всех <-»оо, начиная с любого момента времени / = г0, выполняются приведенные выше нестрогие неравенства (9), то устойчивость контура гарантирована. Если же эти нестрогие неравенства заменить строгими, то в случае их выполнения гарантирована асимптотическая устойчивость контура. В диссертации сформулированы также другие критерии устойчивости контура, полученные на основе иным образом составленных функций Ляпунова.

Четвертая глава посвящена исследованию резонанса параметрического контура. Теория резонанса была разработана профессором Г.С.Гореликом для

последовательного контура с периодически изменяющейся емкостью в предположении, что тепловые потери невелики. Им было получено усеченное дифференциальное уравнение без первой производной, назвав его собственным уравнением контура, и выделил три случая, когда собственное уравнение находится: 1) внутри области устойчивости; 2) на границе между областями устойчивости и неустойчивости; 3) внутри области неустойчивости.

В диссертации развита теория резонанса для первого случая, т.е. для контура со всеми периодическими элементами, более общего, чем последовательный, и потерями не обязательно малыми. В отличие от известного представления, при рассмотрении резонанса внутри области устойчивости считается, что контур запитывается двумя источниками: тока _/'(?) и напряжения с э.д.с. с(/). Именно такое представление позволяет увидеть физический смысл резонанса. Законы Кирхгофа непосредственно приводят к системе уравнений

Л С4 Ь

аГФ 1 /ч

1Г=сд~1ф+е{,)-

(П)

Она взята за основу при теоретическом рассмотрении резонанса. Понятие резонанса относится к установившемуся режиму, это значит, что контур должен быть асимптотически устойчив. При резонансе источники энергии играют особую роль - они в точности компенсируют диссипативные потери и задают начальные условия для установившихся колебаний. Установившиеся колебания при резонансе удобно описать системой (11), которую можно представить в векторном виде

+ А(/)х = Г (/) - В(<)х, (12)

где * =

Ф

т

и«/

л

А(0 =

Г о'

I 0 > с 0 0 * 1 и

При резонансе тождественно выполняется равенство

Г(г)-В(0х = 0,

(13)

но при этом тождественно выполняется и другое равенство

— х + А(>)ж=0.

Л

(14)

Последнее уравнение является основополагающим для резонанса, в диссертации оно названо базовым уравнением. Решение однородного

векторного дифференциального уравнения (14) при определенных начальных условиях, которые задаются источниками энергии е(г), является

математическим представлением резонанса. Внешнее воздействие при резонансе должно быть специфичным и удовлетворять равенству f(t) = В(г) х.

В пятой главе рассмотрены известные радиотехнические устройства, в которых центральную роль играет параметрический контур. Принцип действия этих устройств рассмотрен с позиций функционирования параметрического контура. Проанализированы следующие устройства: модулятор с угловой (частотной или фазовой) модуляцией, сверхрегенеративный радиоприемник и одноконтурный параметрический усилитель.

Модулятор представлен как параметрический контур с медленным изменением реактивности. На практике применяются модуляторы с одной изменяющейся реактивностью. Однако, в более общем случае, можно рассмотреть модуляторы с двумя изменяющимися во времени реактивностями. Их потенциальные возможности значительно многообразнее, хотя их реализация сложнее.

Основу сверхрегенеративного приемника составляет параметрический контур с периодически изменяющимся во времени активным сопротивлением, которое может быть отрицательным в пределах части периода. Частота изменения сопротивления выше, чем в модуляторе. Рассмотрены различные варианты функционирования такого контура.

Одноконтурный параметрический усилитель содержит в своей основе параметрический контур с быстрым изменением реактивности. На практике распространены случаи, когда лишь одна реактивность изменяется во времени. Показано, что если обе реактивности будут переменными, то управляемость усилителя заметно повысится. Основная идея усиления такая же, как и в обычном контуре. Например, в обычном последовательном контуре напряжение на любой реактивности в Q раз больше питающей э.д.с. Здесь <2 -добротность контура, которая обычно имеет порядок 100, но в нагруженном контуре она меньше. Параметрический контур позволяет увеличить добротность в предельном случае до бесконечности. Однако при больших добротностях работа усилителя становится неустойчивой, поэтому на практике за счет изменения реактивности добротность контура увеличивают примерно на порядок. Особенностью одноконтурного параметрического усилителя является то, что усилитель реагирует на начальную фазу приходящего сигнала, т.е. является фазочувствительным. Главная ценность параметрического усилителя в том, что он является малошумящим, это очень важное свойство для радиоприема.

В заключении дано краткое резюме методов и результатов диссертации, обсуждение перспективы дальнейшего развития близких к содержанию диссертации проблем.

Основные результаты диссертационной работы

1. Сформулирована в общем виде задача анализа процессов в параметрическом контуре со всеми изменяющимися во времени элементами. Показано, что во всех случаях задача анализа приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Новая идея доказательства сходимости такой системы (по известным заранее свойствам искомого вектора) радикально повышает эффективность доказательства, а значит и расширяет область применимости метода редукции.

2. Модифицирован метод комплексных амплитуд, который является более удобным методом анализа как вынужденных, так и свободных колебаний в параметрическом контуре с периодически изменяющимися элементами.

3. Сформулирована в общем виде, удобном для технических приложений, проблема устойчивости параметрического контура. Впервые в радиотехнике теория устойчивости Ляпунова была применена для широкого круга технических задач.

4. Впервые в радиотехнике сформулирована центральная задача первого метода Ляпунова - вычисление характеристической постоянной, - в численном виде. Представлен пример такого вычисления с помощью ЭВМ. Такой подход допускает значительное обобщение, может быть развит и усовершенствован в направлении приближения к практике.

5. Широко применялся для анализа устойчивости второй метод Ляпунова, в том числе и с привлечением физических соображений. На основе второго метода Ляпунова получен ряд простых и удобных в применении критериев устойчивости параметрического контура.

6. Обобщены основные положения резонанса параметрического контура на более сложные по структуре контуры, причем потери в них могут быть не обязательно малыми. Это означает, что область применимости известной ранее теории резонанса параметрического контура значительно расширена.

7. Впервые привлечен к анализу параметрического контура принцип линейного включения, показывающий, что процессы во всем множестве параметрических контуров и во всем множестве нелинейных контуров одинаковы.

8. Проведен анализ известных радиотехнических систем, основанных на параметрическом контуре, результаты которого подтверждают значимость полученных теоретических положений.

Настоящее исследование может быть развито с целью создания общей теории линейных параметрических радиоцепей.

Основные положения диссертации опубликованы в приведенных ниже работах:

1. Бирюк, Н.Д. Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н Финько // Вестник Воронежского института МВД России. - 2004. -№4(19).-С. 123-127.

2. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - 2005. - Т. 1. - С. 249-257.

3. Бирюк, Н.Д. Обобщенный анализ колебаний в линейном параметрическом контуре / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Теория и техника радиосвязи. - 2004. - вып.2. - С. 41-50.

4. Бирюк, Н.Д. Свободный процесс и вынужденные колебания в обобщенном параметрическом контуре / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев,

B.Н. Финько// Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2005. - Т. 8, №2. - С. 52-59.

5. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощью энергетической функции Ляпунова / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Наука — производству. - 2005. - № 6. - С. 50-52.

6. Бирюк, Н.Д. Обобщенный параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2005. - Т. 8, №2. -

C. 45-51.

7. Бирюк, Н.Д. Параметрический контур с синхронным и асинхронным изменениями реактивностей / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - 2005. - Т. 1. - С. 452-457.

8. Бирюк, Н.Д. Энергетическая функция Ляпунова в проблеме устойчивости параметрического контура / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Сборник научных трудов / Вестник Воронежского института МВД России. - 2005. - №2 (21). - С.6-11.

9. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Параметрический контур: проблемы и достижения // Тезисы доклада IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 3-9 октября 2005 г.).-С.269.

10. Бирюк, Н.Д. Проблема устойчивости параметрического контура с положительными элементами / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Телекоммуникации. - 2005. - №6. - С. 42-48.

11. Бирюк, Н.Д. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре с периодическими элементами / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько//Теория и техника радиосвязи. -2005. - Вып. 1. - С. 108-118.

06-863 ^

12. Бирюк, Н.Д. Физические толкование явления парамегрического резонанса, энергетический подход / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Вестник Воронежского госуниверситета. - 2005. - С. 20-25.

13. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура методом Четаева / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Материалы VII Международной конференции «Циклы», Ставрополь. - 2005. - Т. 2. - С. 109112.

14. Финько, В.Н. Уравнение Матье как уравнение свободных процессов параметрического контура / В.Н. Финько // Сборник материалов (радиотехнические науки) / Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы борьбы с преступностью». - 2005. - С. 106-108.

15. Финько, В.Н. Признаки резонанса параметрического контура / В.Н. Финько // Сборник материалов (радиотехнические науки) / Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы борьбы с преступностью». - 2005. - С.109-112.

16. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении // Вестник Воронежского института МВД России. Сборник научных трудов. 2005, №5(24), С. 33 - 38.

Подписано в печать 27.12.2005 г. Формат 60><84'/16 Усл. Печ. л. 1.0

Тираж 100 экз. Заказ № >;

Типография Воронежского института МВД России

394065 Воронеж, просп. Патриотов, 53 #

Введение.

Глава 1. Общие методы анализа процессов в параметрическом контуре.

1.1 Анализ процессов в параметрическом контуре с элементами, изменяющимися во времени по произвольным законам

1.1.1 Вынужденные колебания.

1.1.2 Свободные колебания.

1.1.3 Устойчивость по Ляпунову.

1.1.4 Новый критерий устойчивости параметрического контура.

1.2 Уравнения параметрического контура и их преобразования.

1.2.1 Математические модели контура.

1.2.2 Анализ процессов в контуре с помощью рядов Маклорена.

1.3 Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре с периодическими элементами.

1.4 Выводы по главе.

Глава 2. Исследование устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова.

2.1 Основы первого метода Ляпунова применительно к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

2.2 Проблема устойчивости параметрического контура с положительными периодическими элементами.

2.3 Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова.

2.4 Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости.

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Анализ устойчивости параметрического контура вторым методом Ляпунова.

3.1 Основы второго метода Ляпунова. Приведенная система.

3.2 Параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости.

3.3 Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощью энергетической функции Ляпунова.

3.4 Физическое толкование параметрического резонанса, энергетический подход.

3.5 Параметрический контур с синхронными и асинхронными изменениями реактивностей.

3.6 Выводы по главе.

Глава 4. Резонанс параметрического контура.

4.1 Резонанс параметрического контура по Горелику. 106'

4.2 Развитие теории резонанса.

4.2.1 Три резонансные частоты обычного последовательного контура.

4.2.2 Параметрический контур. Базовое уравнение.

4.2.3 Упорядоченное множество решений базового уравнения.

4.2.4 Резонанс параметрического контура и его свойства.

4.2.5 Обобщенная теория резонанса.

4.3 Выводы по главе.

Глава 5. Параметрический контур в системах радиосвязи.

5.1 Угловая модуляция в радиопередатчиках.

5.2 Регенеративный и сверхрегенеративный радиоприем.

5.3 Одноконтурный параметрический усилитель.

5.3.1 Изменяющаяся во времени емкость как отрицательное активное сопротивление.

5.3.2 Параметрический контур как усилитель гармонических сигналов.

5.4 Выводы по главе.

Актуальность темы. Радиотехнические устройства с явно зависимыми от времени элементами широко применяются на практике в случаях управления электрическими сигналами: усиление, модуляция, преобразование частоты, детектирование и др. В настоящее время радиотехнические системы развиваются в направлении более интенсивного насыщения их нелинейными и параметрическими элементами [1]. Параметрическим цепям посвящено немало научных работ [2-21], они позволяют рассмотреть тенденции научного направления. Математическому аппарату теории параметрических радиоцепей- линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, посвящены труды многих математиков. Фундаментальные результаты получены выдающимися математиками А.Ляпуновым и А.Пуанкаре [22]. Существенный вклад в теорию нелинейных и параметрических радиоцепей внесла советская школа нелинейных колебаний, возглавляемая академиками Л.Мандельштамом и Н.Папалекси [23-26]. Можно отметить наиболее значимые публикации последующих лет, как отечественные [1, 10, 11, 15, 26, 27, 29, 30-75] , так и зарубежные [ 16-19, 21, 76-96, 179]. Однако эти исследования относятся ко времени, когда реактивности можно было изменять только механическим путем, т.е. достаточно медленно и с небольшим коэффициентом модуляции. Применение новых материалов (сегнетоэлектриков, ферромагнетиков, полупроводниковых диодов) позволило изменять реактивности параметрического контура электрическим способом, т.е. повысить частоту изменения реактивностей и их коэффициент модуляции. Исследования показали, что изменяющиеся во времени реактивности обладают более высокими потерями, чем постоянные. Поэтому при анализе линейного параметрического контура пришли к необходимости представлять его состоящим из положительных, изменяющихся во времени, индуктивности, емкости и нескольких активных сопротивлений. При этом реактивности изменяются по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления - по непрерывным, причем эти законы заранее неизвестны.

При анализе устойчивости параметрического контура ранее использовался метод малого параметра, приводящий к уравнению Матье, свойства которого достаточно хорошо изучены. В современных задачах коэффициенты модуляции элементов контура в общем случае не подходят под определение малого параметра, и уравнение контура со многими переменными элементами не всегда может быть приведено к уравнению Матье.

В литературе свободный процесс в неустойчивом параметрическом контуре, называемый параметрическим резонансом, исследован лишь для частных случаев. Полной, завершенной теории параметрического резонанса пока не существует.

Крайне мало публикаций посвящено другому явлению, близкому по названию, но отличающемуся по существу от предыдущего. Это явление -резонанс параметрического контура. Основы теории резонанса параметрического контура с использованием идей Мандельштама были разработаны Г.Гореликом [23], а дальнейшего развития эта теория также не получила. Отметим лишь одну из особенностей резонанса параметрического контура. Известно, что резонансная характеристика обычного контура является одногорбой, а системы из двух связанных контуров с взаимоиндуктивной связью - двугорбой. Резонансная характеристика параметрического контура состоит из бесконечного числа горбов, которые в частных случаях могут определенным образом группироваться.

Цель настоящей работы - исследование свободных и вынужденных колебаний в линейном параметрическом контуре, состоящем из изменяющихся во времени по непрерывно дифференцируемым законам положительных емкости и индуктивности и нескольких, изменяющихся во времени по непрерывным законам, положительных активных сопротивлений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели параметрического контура и провести их сравнительный анализ.

2. Исследовать свободный процесс в контуре как функцию времени, разработать рекомендации по приближенному построению этой функции.

3. Рассмотреть проблему устойчивости параметрического контура по Ляпунову.

4. Провести качественный и количественный анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении, обобщить результаты на случай вынужденных колебаний при любом возмущении.

5. Исследовать характеристики и общие показатели нескольких радиотехнических устройств, основным элементом которых является параметрический контур.

Результаты и научные положения, выносимые на защиту.

1. Векторные дифференциальные уравнения для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени элементами. Ограничения на законы изменения элементов: реактивности изменяются во времени по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления и проводимости - по непрерывным, оставаясь всегда положительными.

2. Метод решения векторных дифференциальных уравнений, основанный на разложении функций времени в ряды Маклорена. Эффективность метода заметно выше, чем в подобных абстрактно математических задачах, за счет учета радиотехнической специфики.

3. Метод решения векторных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, основанный на разложении функций времени в ряды Фурье с последующим применением специально разработанного варианта метода комплексных амплитуд.

4. Новые критерии устойчивости параметрического контура на основе второго метода устойчивости Ляпунова.

5. Два предельных, с точки зрения устойчивости, способа изменения реактивностей контура: синхронное и асинхронное. В первом случае контур устойчив при любом законе изменения реактивности, во втором - максимально близок к положению неустойчивости.

Научная новизна. При выполнении исследований получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Получен ряд математических моделей для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени положительными элементами.

2. Разработан метод анализа процессов в параметрическом контуре при аппроксимации законов изменения его элементов полиномами.

3. Разработан метод анализа свободных и вынужденных процессов в параметрическом контуре с периодически изменяющимися во времени элементами, в основе которого лежит специально адаптированный для этой цели метод комплексных амплитуд.

4. Получены новые критерии устойчивости параметрического контура.

5. Выделены и исследованы специальные виды параметрических контуров с синхронными и асинхронными элементами, изменяющимися во времени.

Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные результаты использованы в научно-исследовательских работах ОАО концерна «Созвездие» при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по темам «Босфор», «Пирамида», «Созвездие-М», «Таллин», «Кассиопея», «Диоптрия», в ОАО Воронежский НИИ «Вега» при выполнении опытно-конструкторских работ «Кавказ-7М10», «Кавказ-9», в НВП «Протек» при выполнении опытно-конструкторских работ «Диабазол», «Житель». Кроме того, результаты работы внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД России.

Краткое содержание работы. Глава 1. Общие методы анализа процессов в параметрическом контуре. Кратко рассмотрены развитые в последующих главах методы анализа свободных и вынужденных колебаний в параметрическом контуре, а также соответствующие положения теории устойчивости Ляпунова, подходящие для исследования ограниченности процессов в контуре.

Глава 2. Исследование устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова. Приведено описание первого метода Ляпунова применительно к системе двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами. Обсуждается возможность применения этого метода при исследовании устойчивости параметрического контура. Сформулирована численная задача и приведено ее решение с помощью ЭВМ.

Глава 3. Анализ устойчивости параметрического контура вторым методом Ляпунова. Обсуждается центральный вопрос второго метода Ляпунова для уравнения контура. Предложена функция Ляпунова в форме квадратичной формы с переменными коэффициентами. На ее основе получены новые достаточные условия устойчивости. Предложена также другая, энергетическая функция Ляпунова, на основе которой получены еще одни новые достаточные условия устойчивости. Дан анализ этих результатов с физической точки зрения.

Глава 4. Резонанс параметрического контура. В основу анализа положена теория резонанса параметрического контура, разработанная Г.С.Гореликом. Здесь теория развивается до такого состояния, что охватывает параметрические контуры общего вида, чем рассмотренные Гореликом. Кроме того, предложенный вариант теории более удобен для анализа реальных параметрических контуров.

Глава 5. Параметрический контур в системах радиосвязи. Рассмотрены три системы радиосвязи, в которых параметрический контур играет главную роль. Это модулятор с угловой модуляцией, сверхрегенеративный приемник и одноконтурный параметрический усилитель. В контуре модулятора элементы медленно изменяются во времени. В одноконтурном параметрическом усилителе, наоборот, элементы контура быстро изменяются во времени. Сверхрегенеративный радиоприемник в этом отношении занимает промежуточное положение. Здесь дано несколько своеобразное толкование работы рассмотренных радиотехнических систем, в основу рассмотрения положены процессы в соответствующих параметрических контурах.

В заключении дано краткое резюме методов и результатов диссертации, обсуждение перспективы дальнейшего развития близких к содержанию диссертации проблем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [97-113], докладывались и обсуждались на XI Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2005 г.), IV Международной конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2005 г.), VII Международной конференции «Циклы» (Ставрополь, 2005 г.), Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы борьбы с преступностью» (радиотехнические науки) (Воронеж, Воронежский институт МВД России), ежегодных научных конференциях Воронежского государственного университета (2004, 2005 гг.).

5.4 Выводы по главе

Принцип линейного включения утверждает, что все явления, протекающие в нелинейных системах, могут быть реализованы в подобранных должным образом линейных параметрических системах. Этот принцип радикальным образом повышает значение параметрических систем в радиотехнической практике. В настоящей главе рассмотрены три важных для радиосвязи системы, в которых главную роль играет параметрический контур. Это следующие системы: модулятор с угловой модуляцией, суперрегенеративный радиоприемник и одноконтурный параметрический усилитель. Анализ систем представлен с точки зрения, подчеркивающей значение параметрического контура в каждой из них.

1. Угловая модуляция реализуется в автогенераторе (например, трехточечном), в контуре которого реактивность (одна или две) изменяется по закону, согласованному с модулирующим сигналом. Этот контур выделен и рассмотрен с позиций анализа, изложенного в предыдущих главах диссертации. Здесь возможны два различных толкования принципа действия.

Параметрический контур можно считать обычным контуром, у которого частота настройки изменяется определенным образом. Строго говоря, такой подход является корректным при бесконечно медленном изменении элементов контура. При модуляции эти элементы изменяются медленно (обычно, со звуковой частотой), поэтому на практике такое представление может применяться в приближенном анализе.

Параметрический контур заменяется бесконечным множеством обычных контуров, настроенных на вполне определенные частоты. В таком случае автогенератор генерирует бесконечное множество частот, соответствующих спектру параметрического контура. Такой подход является всегда законным и точным. Однако на практике приходится ограничивать число контуров, принятых к рассмотрению. Это связано с появлением погрешностей.

В любом случае обе точки зрения дополняют друг друга, расширяют наши представления о процессах модуляции и имеют значение для качественного анализа работы модуляционных устройств.

2. В основу суперрегенеративного приемника положен параметрический контур с изменяющимся во времени активным сопротивлением. По устройству и принципу действия близки между собой регенеративный и суперрегенеративный радиоприемники. В первом из них активное сопротивление контура всегда остается положительным. Во втором -включается специальное суперирующее напряжение, позволяющее активному сопротивлению контура получать отрицательные значения на протяжении части периода изменения. Цель данного функционирования — повысить добротность контура. Теоретически в суперрегенеративном приемнике она может быть доведена до бесконечности (достигнут порог самовозбуждения).

3. Одноконтурный параметрический усилитель представляет собой специальный параметрический контур с периодически изменяющейся реактивностью (обычно, емкостью), частота изменения которой в два раза превышает частоту настройки эквивалентного обычного контура с усредненной реактивностью. В таком усилителе заложены потенциальные возможности радикального повышения отношения сигнал-шум. Специфика функционирования такого усилителя пока еще до конца не изучена. Полученные ранее результаты базируются, в основном, на экспериментировании. Здесь параметрический усилитель трактуется как частный случай параметрического контура, подробный анализ которого приведен в предыдущих главах диссертации. Это позволило с более широких позиций рассмотреть протекающие в контуре явления и обнаружить некоторые новые особенности, а также пока еще не реализованные потенциальные возможности.

4. Одним из основных вопросов анализа одноконтурного параметрического усилителя является усвоение механизма внесения в контур отрицательного активного сопротивления с помощью изменяющейся во времени реактивности. В известной литературе объяснение этого механизма носит громоздкий, а поэтому не вполне убедительный характер. В диссертации при объяснении этого вопроса применен новый прием. Как известно, в методе комплексных амплитуд используется, в конечном счете, только действительная часть, а мнимая - отбрасывается. Принимая во внимание эту особенность, можно в некоторых слагаемых комплексные амплитуды заменить на сопряженные комплексные амплитуды. В результате получается более простое и убедительное доказательство того, что при вполне определенных условиях изменяющаяся во времени реактивность вносит в контур постоянное, отрицательное активное сопротивление.

5. В диссертации дан анализ параметрического контура с изменяющимися во времени обеими реактивностями. Оказывается, что явления, протекающие в контуре с одной изменяющейся реактивностью, могут быть либо усилены, либо ослаблены, если должным образом изменять во времени и другую реактивность. Это относится и к рассмотренным в данной главе прикладным вопросам: реализации угловой модуляции и одноконтурному параметрическому усилителю.

Из принципа линейного включения следует, что число подобных технических задач, вписывающихся в теорию параметрических систем, может быть многократно увеличено.

Заключение

Общие методы анализа параметрических радиоцепей намного сложнее, чем радиоцепей с постоянными элементами. Это является одним из главных препятствий широкому применению параметрических цепей в радиотехнике. С другой стороны, принцип линейного включения вскрывает новые потенциальные возможности радиоцепей и радикально повышает их техническое значение. В диссертации рассмотрены узловые вопросы анализа параметрических радиоцепей и их применение в технике на примере параметрического контура, который является одной из важнейших составляющих параметрических радиоцепей.

1. При реализации обнаруживается, что потери в параметрическом контуре выше, чем в обычном, причем их нужно учитывать раздельно для индуктивности и для емкости. В таких случаях за основу целесообразно выбирать математическую модель в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, которая следует непосредственно из законов Кирхгофа. Обычный контур принято представлять в виде одного дифференциального уравнения второго порядка, что для параметрического контура возможно лишь в частных случаях.

В диссертации представлено несколько математических моделей при разных способах учета диссипативных потерь. При достаточно общих исходных допущениях разработан метод аналитического получения функций свободного процесса и вынужденных колебаний путем разложения в ряды Маклорена решений и зависимых от времени элементов контура.

2. В случае периодического изменения во времени элементов контура с одним и тем же периодом разработан метод анализа, основанный на разложении в ряд Фурье решений и изменяющихся во времени элементов, с последующим применением специального варианте метода комплексных амплитуд. Задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Обычно для их решения применяется метод редукции, но для этого нужно доказать сходимость решения при усечении системы. В диссертации предложен оригинальный метод доказательства сходимости, основанный на свойствах решения, которое априорно можно получить, исходя из физических соображений.

3. В радиотехнике анализу устойчивости решений уделяется незаслуженно мало внимания, из-за чего при разработке часто не удается избежать паразитных самовозбуждений. В диссертации широко применяется теория устойчивости Ляпунова, причем, и первый, и второй методы Ляпунова. Первый метод Ляпунова дает в общих чертах картину возможных процессов в контуре. Второй метод Ляпунова позволил получить несколько новых, конкретных критериев устойчивости параметрического контура.

Первый метод Ляпунова связан с большой вычислительной сложностью анализа. В диссертации разработан прием приведения аналитической задачи, вытекающей из первого метода Ляпунова, к численному виду и использованию ЭВМ. Это позволяет в конкретных случаях получить графики, позволяющие обнаружить возможные режимы неустойчивости контура.

4. Резонанс параметрического контура несравненно сложнее и разнообразнее резонанса обычного контура. Общий анализ показывает, что в этом случае возможны три варианта резонанса. В диссертации предложен анализ главного варианта резонанса, который является прямым обобщением резонанса обычного контура.

5. В радиотехнике широко применяются нелинейные системы. Принцип нелинейного включения утверждает, что процесс в нелинейной системе может быть воспроизведен в эквивалентной параметрической системе. С этих позиций проанализированы три широко применяемые в радиосвязи системы: модулятор угловой модуляции, сверхрегенеративный радиоприемник и одноконтурный параметрический усилитель. Во всех трех случаях свойства параметрического контура имеют главное значение для функционирования систем.

Полученные в диссертации результаты могут быть обобщены на параметрические радиоцепи более сложной структуры, а также на нелинейные радиоцепи; для этого нужно найти подходящий способ применения принципа линейного включения.

1. Горяченко, В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. - М.: Высшая школа, 2001. - 395 с.

2. Мандельштам, Л.И. Лекции по теории колебаний / Л.И. Мандельштам. -М.: Наука, 1972.-470 с.

3. Андронов, А.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами / А.А. Андронов, М.А. Леонтович. // В кн: Андронов А.А. Собрание трудов. М.: АН СССР, 1956. - С. 19-31.

4. Блекуэлл, Л. Параметрические усилители на полупроводниковых диодах / Л. Блекуэлл, К. Коцебу. М. Мир, 1964. - 244 с.

5. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. М.: Наука, 1966. - 472 с.

6. Регенеративные полупроводниковые параметрические усилители / В.Н. Васильев, Г.И. Слободенюк, В.И. Трифонов, Ю.Л. Хотунцев. М.: Сов. Радио, 1965.-448 с.

7. Винницкий, А.С. Модулированные фильтры и следящий прием ИМ / А.С. Винницкий. М.: Сов. Радио, 1969. - 548 с.

8. Горелик, Г.С. Линейные резонансные явления в суперрегенеративном приемнике / Г.С. Горелик // Электросвязь. 1939. - №6. - С.29-50.

9. Грабовски, К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом / К. Грабовски. М.: Сов. Радио, 1974. — 304 с.

10. Изобов, Н.А. К теории характеристических показателей линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений / Н.А. Изобов // Математические заметки. 1980. - Т.28, вып. 3. - С. 459-478.

11. Лаптинский, В.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами / В.Н. Лаптинский // Украинский математический журнал. -1975. Т.27. - №3. - С. 378-383.

12. Мандельштам, Л.И. О возбуждении колебаний в электрической колебательной системе при помощи периодического изменения емкости / Л.И

13. Мандельштам // Полное собрание трудов. Том 2. М.: изд. АН СССР, 1947. - С. 63-69.

14. Мандельштам, Л.И. К вопросу о параметрической регенерации / Л.И Мандельштам, Н.Д. Папалекси // Полное собрание трудов. Том 2. — М.: изд. АН СССР, 1947.-С. 140-149.

15. Мандельштам, Л.И. Полное собрание трудов. Том 2 / Л.И Мандельштам. М.: изд. АН СССР, 1947. - 196 с.

16. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. -М.: Наука, 1972. 718 с.

17. Bennet, W.R. A general review of linear varying parameters and nonlinear circuit analysis / W.R. Bennet // Proc. IRE. 1950. - v. 38 - P. 259-263.

18. Bura, P. Resonant circuit with periodically-varying parameters / P. Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - v. 29. - P. 95-100.

19. Bura, P. Resonant circuit with periodically-varying parameters / P. Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - v. 30. - P. 120-131.

20. Darlington, S. Linear time-varying circuits, matrix manipulations, power relation and some bounds on stability / S. Darlington // The Bell System Technical Journal. 1963. - v. 42. - №6. - p. 2575-2608.

21. Kudrewicz, J. Opewnej methodize obliczania ukladow parametrycznych / J. Kudrewicz // Arch. Electrot (Polska). 1963. z. 1. -1. XII.

22. Niedzwiecki, M. Wiznaczanie przebiegow ustalonych w sieci parametrycznej zawie raja, cej elemeny zmienme okresowo / M. Niedzwiecki // Arch, electrotech (Polska). 1965. - 12. - №4. - 713-725.

23. Малкин, И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний / И.Г. Малкин. Л.-М.: ОГИЗ, 1949. - 244 с.

24. Горелик, Г.С. Резонансные явления в линенйных системах с периодически меняющимися параметрами / Г.С. Горелик // Журнал технической физики. 1934. - Т. 4, вып. 10. - С. 1783-1817.

25. Папалекси, Н.Д. Эволюция понятия резонанса / Н.Д. Папалекси // Собрание трудов. М.: изд. АН СССР, 1948. - С. 343-356.

26. Папалекси, Н.Д. Полное собрание трудов / Н.Д. Папалекси. М.: изд. АН СССР, 1948.-428 с.

27. Рубчинский, Э.М. О поведении колебательного контура с периодически изменяющейся самоиндукцией при воздействии на него электродвижущей силы / Э.М. Рубчинский // Изв. электропромышленности слабого тока. 1935. - №3. - С. 7-17.

28. Агеев, Д.В.Резонанс в линейных системах с переменными параметрами / Д.В. Агеев, Н.В. Зенкович // Изв. Вузов MB и ССО СССР. Радиотехника. 1973. - №7. - С. 21-25.

29. Алексидзе, М.А. О приближенном решении некоторых бесконечных систем уравнений / М.А.Алексидзе // ДАН СССР.-1968.-№5. -С.1019-1022.

30. Арбузников, В.А. Метод анализа параметрических цепей в стационарном режиме / В.А. Арбузников // Известия вузов MB и ССО СССР. -1968.-T.il.-№1.-С. 19-23.

31. Балитинов, М.А. Достаточные условия устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений / М.А. Балитинов // Изв. Северо-Кавказского научного центра. Сер. Естественных наук. - 1974. - №4. -С. 108-110.

32. Бедельбаев, А.К. О построении функции A.M. Ляпунова в виде квадратичной формы / А.К. Бедельбаев // Изв. АН Каз. ССР. Сер. Математ. и мех. - 1956. - Вып. 4(8). - С. 24-37.

33. Бирюк, Н.Д. О достаточных условиях устойчивости электрического контура с переменными параметрами / Н.Д. Бирюк // Радиотехника и электроника.- 1968.-Т. 13.-№1.-С. 148-149.

34. Бирюк, Н.Д. Параметрические элементы / Н.Д. Бирюк // Изв. Вузов MB и ССО СССР. Сер. Радиотехника. - 1968. - Т. 11. - №3. - С. 217-227.

35. Бирюк, Н.Д. Резонанс маятника / Н.Д. Бирюк // Изв. высш. уч. заведений. Физика. - 1972.-№1.-С. 156-158.

36. Бирюк, Н.Д. Достаточные условия устойчивости обобщенного параметрического контура / Н.Д. Бирюк, Ю.В. Трубников // Радиотехника и электроника. 1973. - Т. 18. -№10. - С. 2197-2200.

37. Бирюк, Н.Д. Применение рядов Тейлора в анализе параметрических цепей / Н.Д. Бирюк // Известия вузов MB и ССО СССР. Сер. Радиоэлектроника. - 1975.-Т.18.-№9. -С. 114-115.

38. Бирюк, Н.Д. Качественный анализ свободных колебаний в квазигармоническом резонансном контуре / Н.Д. Бирюк // Радиотехника и электроника. 1982. - Т. 27. -№ 9. -С. 1838-1840.

39. Бирюк, Н.Д. Анализ свободных процессов в резонансном контуре с изменяющимися параметрами / Н.Д. Бирюк, В.Н. Дамгов // X Международная конференция по нелинейным колебаниям: Докл. межд. конф., София, 1985. С. 259-262.

40. Бирюк, Н.Д. Геометрический смысл резонанса линейного контура с периодическими параметрами / Н.Д. Бирюк, В.Н. Дамгов // Изв. Вузов MB и ССО СССР. Сер. Радиоэлектроника. - 1985. - Т.28. - №1. - С. 48-53.

41. Бирюк, Н.Д. Свободный процесс в параметрическом контуре / Н.Д. Бирюк, В.В. Юргелас // Изв. высш. уч. заведений. Радиотехника. - 1999. - №5. -С. 34-41.

42. Бухарин, С.В. Основы анализа и синтеза нестационарных модуляционных систем / С.В. Бухарин. Воронеж: изд-во ВГУ, 1986. - 186 с.

43. Виглин, С.И. Переходные процессы в системах с переменными параметрами / С.И. Виглин. М.: Сов. Радио, 1981. - 182 с.

44. Гинзбург, И.П. О достаточных условиях устойчивости решений уравнений y' + py'+qy = 0 / И.П. Гинзбург // Вестник ЛГУ. Сер. математики, физики, химии. 1954. - №5. - С. 65-68.

45. Гостев, В.И. Зоны устойчивости резонансного гетеропараметрического контура / В.И. Гостев, А.Н. Морозов // Радиотехника и электроника. 1985.- Т.30.- №9. -С. 1856-1859.

46. Д'Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами / Г. Д'Анжело. -М.: Машиностроение, 1974. 288 с.

47. Жарков, Ф.П. Цепи с переменными параметрами / Ф.П. Жарков, В.А. Соколов. -М.: Энергия, 1976. -224 с.

48. Канкулькин, И.Е. Динамические свойства последовательного RLC контура с изменяющейся резонансной частотой / И.Е. Канкулькин, В.П. Кузнецов, JI.M. Саликов // Вопросы радиоэлектроники. Сер. общетехнической электроники. - 1972. - вып. 8. - С. 74-80.

49. Каплан, А.Е. Параметрические генераторы и делители частоты / А.Е. Каплан, Ю.А. Кравцов, В.А, Рылов. М.: Сов. Радио, 1966. - 334 с.

50. Карачаров, К.А. Введение в техническую теорию устойчивости / К.А. Карачаров, А.Г. Пилюшик. М.: Госфизматиздат, 1962. - 244 с.

51. Карасев, М.Д. Теория радиотехнических систем с переменными параметрами / М.Д. Карасев // Acta Polytechnica Prace CVUT. v. Prazc. - III. -№1. - 1966. - C. 17-28.

52. Крейн, М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами / М.Г. Крейн // ДАН СССР. 1950. - Т.73. - №3. - С. 445-448.

53. Кулешов, Ю.Г. Нелинейные и парметрические радиоцепи / Ю.Г. Кулешов. Киев «Вища школа», 1970. - 104 с.

54. Лось, Г.А. Решение и устойчивость двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами / Г.А. Лось // Украинский математический журнал. 1973. -Т.25. -№3. - С. 390-400.

55. Люкселл, У. Связанные и параметрические колебания в электронике / У. Люкселл. М.: ИЛ, 1963. - 352 с.

56. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1988. - 391 с.

57. Митропольский, Ю.А. Применение квадратичных форм к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений / Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, В.Л. Кулик // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т.21. - №5. - С. 476-483.

58. Михайлов, Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем / Ф.А. Михайлов. М.: Наука, 1986. - 319 с.

59. Нейгауз, М.Г. Об ограниченности решений линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М.Г. Нейгауз, В.Б. Муский // ДАН СССР. 1951. - Т.77. - №2. - С. 262-265.

60. Подкопаева, Н.А. К признакам ограниченности решений двумерной периодической системы / Н.А. Подкопаева // ДАН БССР. 1979. -Т.23. - №2. -С. 108-111.

61. Розенвассер, Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е.Н. Розенвассер. — М.: Наука, 1977. 344 с.

62. Рубановский, В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / В.Н. Рубановский // Общая механика. Итоги науки. М., 1971.-С. 85-157.

63. Самойло, К.А. Методы анализа колебательных систем второго порядка / К.А. Самойло. М.: Сов. Радио, 1976. - 208 с.

64. Степанов, В.В. О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы / В.В. Степанов // прикладная математика и механика. 1950. - Т. 14. - С. 311-312.

65. Тафт, В.А. Основы спектральной теории и расчет цепей с переменными параметрами / В.А. Тафт. М.: Наука, 1964. - 206 с.

66. Филатов, К.В. Введение в инженерную теорию параметрического усиления / К.В. Филатов. М.: Сов. Радио, 1971. - 176 с.

67. Харкевич, А.А. Линейные и нелинейные системы / А.А, Харкевич // Избранные труды в 3-х томах. Т. 2 М.: Наука, 1973. - 566 с.

68. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964. -478 с.

69. Чечурин, C.JI. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения / C.JT. Чечурин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. - 219 с.

70. Штокало, И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами (Асимптотические методы и критерии устойчивости и неустойчивости) / И.З. Штокало. Киев: АН УССР, 1960. - 78 с.

71. Эскин, Л.Д. Об асимптотике решений системы у" + Q(x)y' + Р{х)у = 0 / Л.Д. Эскин // Известия вузов MB и ССО СССР. Сер. математика. - 1974. -№10.-С. 88-103.

72. Эткин, B.C. Параметрические системы на полупроводниковых диодах / B.C. Эткин, Е.М. Гертензон. М.: Сов. Радио, 1964. - 352 с.

73. Юровский, А.В. О некоторых критериях устойчивости интегральных систем двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / А.В. Юровский // ДАН СССР. 1948. - Т.67. - №5. - С. 595598.

74. Якубович, В.А. Оценки характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / В.А. Якубович // Прикладная математика и механика. 1954. - Т. 18. - С. 533546.

75. Заде, Л. Теория линейных систем / Л. Заде, И. Дезоер. М.: Наука, 1970.-704 с.

76. Мак-Лахлан, Н.В. Теория и приложения функций Матье / Н.В. Мак-Лахлан. М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

77. Шмидт, Г. Параметрические колебания / Г. Шмидт. М:. Мир. -1978.-336 с.

78. Abramovitch, D.Y. Lyapunov redesign of analog phase-lock loops / D.Y. Abramovitch // IEEE Trans. Commun. 1990. - v. 38. - №12. - P. 2197-2002.

79. Aseltine, J.A. A transform method for linear time-varying systems / J.A. Aseltine // Journal of Appl. Phys. 1954. - June. - №6. - P. 761-764.

80. Birjuk, N. Qualitative analysis of the free process in a generalized linear oscillating circuit with periodic parameters. Part 1. Strukture of the differential equations and classification of the free processes in Hamiltomain oscillating circuit /

81. N. Birjuk, V. Damgov // Аэрокосмически изследования в България / Академично издателство «проф. Марин Дринов». 1997. - С. 59-82.

82. Bolle, А.Р. Application on complex symbolism to linear variable networks / A.P. Bolle // IRE Trans, on Circuit Theory. 1955. - March. - P. 32-35.

83. Boher, M. On the real solutions of Systems of two homogeneous linear differential equations of the first order / M. Boher // Trans. Amer. Math. Soc. 1902. -v.3.-P. 196-215.

84. Brodin J. Analysis of time dependent linear network / J. Brodin // IRE Trans, on Circuit Theory. 1959. - March. - P. 12-16.

85. Damgov, V.N. Parametric mechanism of low-frequency instabilities in IMPATT diode microwave oscillators / V.N. Damgov // Sixth colloquium om Microwave Communication-Budapest, 1978.

86. Desoer, C.A. Linear time varying G-C networks: stable and unstable / C.A. Desoer // IEEE Transactions on Circuit Theory. 1963. - v. CT-10. - №2. - P.

87. Dosly, A. Representation of solutions of general linear differential systems of the second order / A. Dosly // Czechoslovak Mathematical Journal. 1985. - v. 35 (110).-P. 444-454.

88. Ibrahim, Y. Covarance function of nonstationary responses of linear systems / Y. Ibrahim // J. Sound and Vibr. 1991. - v. 149. - №3. - P. 504-508.

89. Kuh, E.S. Stability of linear time-varying network the state space approach / E.S. Kuh // IEEE Transaction on Circuit Theory. - 1965. - v. CT-12. №2.

90. Manley, J.M. Some properties of time varying networks / J.M. Manley // IEEE Trans, on Circuit Theory. 1960. - v. CT-7. - August. - P. 275-284.

91. Pipes, L.A. Matrix analysis of linear time-varying circuit / L.A. Pipes // Journal of applied Physics. 1954. - v. 25. - Sept. - №9. - p. 1179-1185.

92. Pipes, L.A. Four methods of analysis of time-variable circuit / L.A. Pipes // IRE TRANS Circuit Theory. 1955. - March. - p. 4-12.

93. Smart, R.G. A general steady-state analysis of power-frequency relations in time-varying reactances / R.G. Smart // Proc. IRE. 1961. - v. 49. №6. - P. 10511058.

94. Szalelski, K. The vibrations of self oxcited system with parametric excitation and non-symmetric elasticity characteristic / K. Szalelski // Mech. teor. i stosow. 1991. - 29. - №1. - C. 57-73

95. Бирюк, Н.Д. Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н Финько // Вестник Воронежского института МВД России. -2004. -№ 4 (19). С. 123-127.

96. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». 2005. - Т. 1. - С. 249-257.

97. Бирюк, Н.Д.Обобщенный анализ колебаний в линейном параметрическом контуре / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Теория и техника радиосвязи. 2004. - вып.2. - С. 41-50.

98. Бирюк, Н.Д. Свободный процесс и вынужденные колебания в обобщенном параметрическом контуре / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. - Т. 8, №2. -С. 52-59.

99. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощью энергетической функции Ляпунова / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Наука — производству. 2005. - № 6. - С. 50-52.

100. Бирюк, Н.Д. Обобщенный параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. - Т. 8, №2. - С. 45-51.

101. Бирюк, Н.Д. Параметрический контур с синхронным и асинхронным изменениями реактивностей / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». 2005. - Т. 1. - С. 452-457.

102. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении // Вестник Воронежского института МВД России. Сборник научных трудов. 2005, № ( ),С. .

103. Бирюк, Н.Д. Энергетическая функция Ляпунова в проблеме устойчивости параметрического контура / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Сборник научных трудов / Вестник Воронежского института МВД России. 2005. - №2 (21). - С.6-11.

104. Бирюк, Н.Д. Проблема устойчивости параметрического контура с положительными элементами / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Телекоммуникации. 2005. - №6. - С.

105. Бирюк, Н.Д. Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре с периодическими элементами / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Теория и техника радиосвязи. 2005. - Вып. 1. - С. 108-118.

106. Бирюк, Н.Д. Физические толкование явления параметрического резонанса, энергетический подход / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Вестник Воронежского госуниверситета. 2005. - С. 20-25.

107. Бирюк, Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура методом Четаева / Н.Д. Бирюк, Ю.Б. Нечаев, В.Н. Финько // Материалы VII Международной конференции «Циклы», Ставрополь. — 2005. Т. 2. — С. 109112.

108. Финько, В.Н. Признаки резонанса параметрического контура / В.Н. Финько // Сборник материалов (радиотехнические науки) / Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы борьбы с преступностью». 2005. - С. 109-112.

109. Бирюк Н.Д., Нечаев Ю.Б., Финько В.Н. Параметрический контур: проблемы и достижения // Тезисы доклада IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 3-9 октября 2005 г.).

110. Павлюк, И.А. Приближенно-аналитические решения неавтономных дифференциальных уравнений / И.А.Павлюк, В.М.Бурым, Ю.А.Пасенченко. -Киев: «Вища школа», 1980.-232 с.

111. Ветров, Г.С. Частный вариант приближенной полной интеграции линейных уравнений с переменными коэффициентами / Г.С. Ветров. Труды Государственного союзного НИ. - Отдел научно-технической информации. -1956. - Вып. 4(168). - С. 135-144.

112. Виноград, Р.Э. Некоторые критерии ограниченности решений систем двух линейных дифференциальных уравнений / Р.Э. Виноград // ДАН СССР. 1952. - Т. 85. - №2. - С. 265-268.

113. Гаврилов, Н.И. Об устойчивости по Ляпунову систем линейных дифференциальных уравнений / Н.И. Гаврилов. ДАН СССР. - 1952. - Т.84. -№3. — С. 425-428.

114. Голоскоков, Е.Г. Нестационарные колебания деформируемых систем / Е.Г. Голоскоков, А.П. Филиппов. Киев: «Наукова думка», 1977. - 339 с.

115. Городецкий, П.Г. Переходные явления в колебательном контуре с переменной индуктивностью / П.Г. Городецкий. ЖТФ. 1952. -Т.22. — вып. 10. -С. 1687-1693.

116. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. -576 с.

117. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Лейпциг-Москва: «Тайбенер»-«Наука», 1981. - 718 с.

118. Gerlach, A.A. A time-variable transform and its application to spectral analysis / A.A. Gerlach // IRE Trans, on Circuit Theory. 1955. - March. - P. 22-25.

119. Sandber, I.W. On truncation techniques in the approximate analysis of periodically time-varying nonlinear networks / I.W. Sandber //IEEE Trans, on Circuit Theory. 1964. - v. CT-11. - June. - №2.

120. Schweizer, G. Eine allgemeine Methode zur Undersuchung von Systemen mit periodish sich anderuden Koefflzienten / G. Schweizer // Archiv der Elektrischen Ubertrangung. 1965. - Band 19. - Heft 9. - S. 469-482.

121. Tucker, David Gorda. Circuits with periodically varying parameters / Gorda David Tucker // London, Macdonald and Co., 1964.

122. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 476 с.

123. Ляпунов, A.M. Собрание сочинений Т. 2 / A.M. Ляпунов. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1956. - 472 с.

124. Александров, В.В. Об абсолютной устойчивости систем 2-го порядка / В.В. Александров, Н.Н. Жермоленко // Вестник МГУ. Математика, механика. 1972. - №5. - С. 102.

125. Алексеева, С.И. Об интегрировании систем линейных дифференциальных уравнений с быстро меняющимися коэффициентами / С.И. Алексеева // ДАН УССР. Сер. А. - Физико-математические и технические науки. - 1975. - №1. - С. 3-10.

126. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. М.: ИЛ, 1954. -216 с.

127. Блинов, И.Н. Аналитические представления решений дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами, зависящими от параметра / И.Н. Блинов // Дифференциальные уравнения. -1965.-Т.1.-С. 1042-1053.

128. Бурдина, В.И. Критерий ограниченности решений системы дифференциальных решений системы дифференциальных уравнений 2-го порядка с периодическими коэффициентами / В.И. Бурдина // ДАН СССР. -1953. -Т.90. №3. - С. 329-333.

129. Ведров, B.C. Об устойчивости движения / B.C. Ведров. М.: Цаги, 1937.

130. Головков, В.П. Об одном способе исследования устойчивости некоторых параметрических систем СВЧ диапазона / В.П. Головков // Радиотехника и электроника. 1974. - №7. - С. 1444-1456.

131. Рублев, А.Н. Линейная алгебра /А.Н. Рублев. М.: Высшая школа, 1968.-384 с.

132. Астауров, В.Б. Об оценках решений линейного дифференциального уравнения второго порядка / В.Б. Астауров // Труды Государственного НИИ. -Отдел научно-технической информации. 1956. - №4 (16). - С. 97-102.

133. Бабкин, Б.Н. Об одном методе приближенного решения дифференциального уравнения вида у"-Р(х)у = /(х) / Б.Н. Бабкин // Учен. зап. / Молотовский госуниверситет им. A.M. Горького. 1953. - Т. 8, вып. 1. - С. 7-9.

134. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука. - 704 с.

135. Каверин, И.А. Ряды и дифференциальные уравнения /И.А. Каверин. -М.: Наука, 1969.- 158 с.

136. Касьянков, П.П. Ряды и дифференциальные уравнения / П.П. Касьянков, Л.Б. Комаров. Л., 1966. - 106 с.

137. Величко, Ю.Т. Теоретичш основи радютехшчних мереж / Ю.Т. Величко. Льв1в: Видавнищтво Льв1вського ушверситету, 1966. - 340 с.

138. Варшавский, Л. А. Электрические цепи с периодически изменяющимися параметрами / Л.А. Варшавский // Изв. Ленинградского политехнического института им. Калинина. 1928. -№31.

139. Даннан, Ф.М. Об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическимикоэффициентами / Ф.М. Даннан // Украинский математический журнал. 1973. -Т. 25.-№3. — С. 355-361.

140. Дворников, В.И. Об одном критерии устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / В.И. Дворников, JI.E. Шфйхет // Прикладная математика и механика. 1975. — Т. 11. -Вып. 7.-С. 120-127.

141. Демидович, Б.П. Об устойчивости в смысле Ляпунова линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Б.П.Демидович // Математический сброник.-1951. -Т.28(7).-С.659-684.

142. Додон, A.M. Исследование нестационарных систем второго порядка методом Г.В Каменкова / A.M. Додон // Труды МАИ. 1976. - Вып. 371. - С. 23-28.

143. Егупов, Н.Д. Численно-спектральный анализ линейных радиотехнических цепей с переменными параметрами / Н.Д. Егупов, А.Н. Дмитриев // Изв. Вузов MB и ССО СССР. Сер. Радиотехника. - 1975. - №9. -С. 11-17.

144. Елыпин, М.И. Качественные проблемы линейного * дифференциального уравнения второго порядка / М.И. Елыпин // ДАН СССР.1949. Т. 68. - №2. - С. 221-224.

145. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. Минск: АН БССР, 1963. - 272 с.

146. Жарий, О.Ю. Введение в механику нестационарных колебаний и волн / О.Ю. Жарий. Киев: «Вища школа», 1989. - 184 с.

147. Журавлев, В.Ф. Об одном методе нахождения характеристических показателей линейных цепей с периодическими параметрами / В.Ф. Журавлев, В.Г. Орешников. Труды МАИ. - 1974. - Вы. 293. - С. 83-90.

148. Зубов, В.И. Теория уравнений управляемого движения / В.И. Зубов. -Л.: ЛГУ, 1980.-288 с.

149. Петровский, Г.Н. Некоторые свойства систем линейных дифференциальных уравнений / Г.Н. Петровский // Дифференциальныеуравнения. 1974. - Т. 10. - №9. - С. 1652-1661.

150. Соболь, И.М. Исследование асимптотического поведения решений линейного дифференциального уравнения второго порядка при помощи полярных координат / И.М Соболь // Математический сборник. -1951. Т.28 (70).-№3. —С. 707-713.

151. Соколов, О.Н. Некоторые вопросы теории колебаний / О.Н Соколов.- Саратов: изд. СГУ. 1980. - 128 с.

152. Сурков, А.Г. Об асимтотической устойчивости некоторых двумерных линейных систем / А.Г. Сурков // Дифференциальные уравнения. -1984. -Т.20. — №. 8.-С. 1452-1454.

153. Фещенко, С.Ф. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнениях / С.Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль, Л.Ф. Николенко.- Киев: «Наукова думка», 1966. — 252 с.

154. Шиманов, С.И. Об отыскании характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / С.И. Шиманов // Прикладная математика и механика. 1958. -Т.22.-№3.-С. 382-385.

155. Зайцев, В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М.: Факториал, 1997.-304 с.

156. Бондаренко, Г.В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний / Г.В. Бондаренко. М.: АН СССР, 1936.

157. Миртумян, P.P. Об одном случае интегрируемости линейного уравнения второго порядка / P.P. Миртумян // Дифференциальные уравнения. -1979.-№3.-С. 555-559.

158. Кузнецова, Т.Д. Таблицы характеристических показателей для уравнения Матье / Т.Д. Кузнецова, Ю.Н. Смирнов. М.: ВЦ АН СССР, 1969. -70 с.

159. Валеев, К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин. Киев «Наукова думка», 1981. - 412 с.

160. Годунов, С.К. Квадратичные функции Ляпунова / С.К. Годунов. — Новосибирск, 1982. 167 с.

161. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. -М.: Наука, 1966.-530 с.

162. Бирюк, Н.Д. Общие энергетические соотношения для линейных периодических реактивностей / Н.Д. Бирюк, В.Н. Дамгов // Доклады Болгарской АН. 1985. - Т.38. -№5. - С. 567-570.

163. Долгинов, А.И. Резонанс в электрических цепях и системах / А.И. Долгинов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1957. - 328 с.

164. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи // С.И. Баскаков. М.: Высшая школа, 1983. - 583 с.

165. Штейн, Н.И. Автогенераторы гармонических колебаний / Н.И. Штейн. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961. - 623 с.

166. Белкин, М.К. Сверхрегенеративный радиоприем / М.К. Белкин -Киев: «Техшка», 1968. 202 с.

167. Чудаков, И.М. Частотная модуляция с помощью емкостей р-п переходов / И.М. Чудаков. Изд-во «Связь», 1968. - 108 с.

168. Картьяну, Г. Частотная модуляция / Г. Картьяну. Бухарест: Академия РНР, 1961. - 580 с.

169. Белов, А.А. Исследование стабильности параметрического сверхрегенеративного усилителя с бигармонической накачкой / А.А. Белов, Л.С. Лепнев // Вестник МГУ. Физика, астрономия. - 1974. - №4. - С. 480.

170. Белоусов, А.П. Параметрические усилители с одним конденсатором / А. П. Белоусов//Труды МАИ.-1961.-Вып. 141.-С. 164.

171. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1. / И.С. Гоноровский. М.: Сов. Радио, 1966. - 439 с.

172. Бобров, И.Н. Параметрические усилители и преобразователи СВЧ / И.Н. Бобров. Киев: «Техшка», 1969. - 240 с.

173. Anderson, D.B. A general catalog of gain, bandwidth and noise temperature expressions for four-frequency parametric devices / D.B. Anderson // IEEE Trans. 1963.-v. ED-10. -№1. - P. 13-30.

174. Brenman, R.X. Spinning pendulum / R.X. Brenman // Mech. Struct and Mech. — 1990. — v. 18.-№4.-P. 433-457.

175. Damgov, V.N. Non-linear resonance and parametric phenomena in a complicated oscillating circuit / V.N. Damgov, G.A. Russeva, A.Y. Spasov // Proc. on 1982 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. Italy, Rome. -May 1982.

176. Damgov, V.N. Non-linear resonance and parametric phenomena in a complicated oscillating circuit / V.N. Damgov // IEEE Proceeding. Part G. -Electronic Circuits and Systems. - 1984. - v. 31. - №1. - P. 24-28.

177. Leon, B.J. A frequency domain theory for parametric networks / B.J. Leon // IRE Trans, on Circuit Theory. 1960. - v. CT-7. - №3. - p. 321-329.

178. Leon, B.J. Solution of a difference equation permanent to linear, parametric electric networks / B.J. Leon // Quarterly of applied Mathematic. 1961. -v. 19.-April.-№1.

179. Seiden, H. Circuits aspects of parametric amplifies / H. Seiden, G. Herrmann // IRE Wescon Convention Record. 1959. - pt. 2. - P. 83-90.1. УТВЕРЖДАЮ

180. Генеральный директор )АО концерна «Созвездие», I член-корреспондент РАН, профессор В.И. Борисов « fS~ » mW/>P2005 г.1. Акто реализации в ОАО концерне «Созвездие» результатов диссертационной работы Финько Владимира Николаевича

181. Н.Н. Толстых Г.П. Проскурин Д.С. Буслов1. J. ■ № #7/на № от1. УТВЕРЖДАЮ

182. Генеральный директор ЗАО НВП1. Ю.А. Аверин 005 г.1. АКТо внедрении результатов диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата технических наук Финько Владимира Николаевича

183. Результаты работы использовались для определения устойчивости узлов и блоков активных передающих фазированных антенных решеток (АПФАР) при воздействии различных дестабилизирующих факторов.

184. Подписи председателя комиссии и членов комиссии

185. Начальник ОК ЗАО НВП «ПРОТЕК» Е.Ф. Мальцева1. Утверждаю1. Акто реализации в ОАО «Воронежский НИИ «Вега» результатов диссертационной работы Финько Владимира Николаевича

186. Декан факультета компьютерных наук, д.ф.-м.н., профессор1. Алгазинов Э.К.1. Члены комиссии:

187. Доцент кафедры информационных систем, к.ф.-м.н.1. Сычев А.В.

188. Начальник кафедры РТС д.т.н., доцент полковник милиции1. Хохлов Н.С.1. Члены комиссии:

189. Профессор кафедры РТС д.т.н., профессор1. Попов П.А.

190. Доцент кафедры РТС к.т.н., доцент майор милиции1. Бокова О.И.

191. Преподаватель кафедры РТС майор милиции1. Андреев Р.Н.